人教a版必修1学案1.2.2函数的表示法(2)(含答案)

教学设计1.2.2函数的表示法整体设计教学分析课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法，图象法，列表法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图象的直观作用．在研究图象时，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性．课本将映射作为函数的一种推广，这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化．这样处理，主要是想较好地衔接初中的学习，让学生将更多的精力集中理解函数的概念，同时，也体现了从特殊到一般的思维过程．三维目标1．了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法)，会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数，树立应用数形结合的思想．2．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用，提高应用函数解决实际问题的能力，增加学习数学的兴趣．3．会用描点法画一些简单函数的图象，培养学生应用函数的图象解决问题的能力．4．了解映射的概念及表示方法，会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射，感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用，提高对数学高度抽象性和广泛应用性的进一步认识．重点难点教学重点：函数的三种表示方法，分段函数和映射的概念．教学难点：分段函数的表示及其图象，映射概念的理解．课时安排3课时教学过程第1课时导入新课思路1．语言是沟通人与人之间的联系的，同样的祝福又有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为：生日快樂！英文为：Happy Birthday！法文是Bon Anniversaire！德文是Alles Gute Zum Geburtstag！印度尼西亚文是Selamat Ulang Tahun！……那么对于函数，又有什么不同的表示方法呢？引出课题：函数的表示法．思路2．我们前面已经学习了函数的定义，函数的定义域的求法，函数值的求法，两个函数是否相同的判定方法，那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题(板书课题)．推进新课新知探究提出问题初中学过的三种表示法：解析法、图象法和列表法各是怎样表示函数的？讨论结果：(1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的函数关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式．(2)图象法：以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数的图象，这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法．(3)列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法．应用示例例1 某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x)．活动：学生思考函数的表示法的规定．注意本例的设问，此处“y＝f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．本题的定义域是有限集，且仅有5个元素．解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}，用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．用列表法可将函数y＝f(x)表示为图1点评：本题主要考查函数的三种表示法．解析法的特点是：简明、全面地概括了变量间的关系，可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域；图象法的特点是：直观、形象地表示自变量变化时相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的某些性质，图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图、股市走势图等；列表法的特点是：不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值，列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用，如银行利率表、列车时刻表等等．并不是所有的函数都能用解析法表示，只有函数值随自变量的变化发生有规律的变化时，这样的函数才可能有解析式，否则写不出解析式，也就不能用解析法表示．例如：张丹的年龄n(n∈N*)每取一个值，那么他的身高y(单位：cm)总有唯一确定的值与之对应，因此身高y是年龄n的函数y＝f(n)，但是这个函数的解析式不存在，函数y＝f(n)不能用解析法来表示．注意：①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等；②解析法：必须注明函数的定义域，否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域；③图象法：根据实际情境来决定是否连线；④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.图2＋c＜0b＝ax2＋bx＋c的性质，易知活动：学生思考做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？本题利用表格给出了四个函数，它们分别表示王伟、张城、赵磊的考试成绩及各次考试的班级平均分．由于表格区分三位同学的成绩高低不直观，故采用图象法来表示．做学情分析，具体要分析学习成绩是否稳定，成绩变化趋势．解：把“成绩”y看成“测试序号”x的函数，用图象法表示函数y＝f(x)，如图3所示．图3由图3可看到：王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分，学习情况比较稳定而且成绩优秀；张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均分水平上下波动，而且波动幅度较大；赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势，表明他的数学成绩稳步提高．点评：本题主要考查根据实际情境需要选择恰当的函数表示法的能力，以及应用函数解决实际问题的能力．通过本题可见，图象法比列表法和解析法更能直观反映函数值的变化趋势．注意：本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样便于研究成绩的变化特点.图4的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h 所示，那么水瓶的形状是()图5图6要求由水瓶的形状识别容积V 和高度h 的函数关系，突出了对思维能力的考观察图象，根据图象的特点发现：取水深h ＝H ，注水量V ′＞V 0，课本本节练习2,3.【补充练习】1．等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰长x的函数，则()A．y＝10－x(0＜x≤10)B．y＝10－x(0＜x＜10)C．y＝20－2x(5≤x≤10)D．y＝20－2x(5＜x＜10)解析：根据等腰三角形的周长列出函数解析式．∵2x＋y＝20，∴y＝20－2x.则20－2x＞0.∴x＜10.由构成三角形的条件(两边之和大于第三边)可知2x＞20－2x，得x＞5，∴函数的定义域为{x|5＜x＜10}．∴y＝20－2x(5＜x＜10)．答案：D2．定义在R上的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则y＝f(x＋1)的值域为()A．[a，b] B．[a＋1，b＋1]C．[a－1，b－1] D．无法确定解析：将函数y＝f(x)的图象向左平移一个单位得函数y＝f(x＋1)的图象，由于定义域均是R，则这两个函数图象上点的纵坐标的取值范围相同，所以y＝f(x＋1)的值域也是[a，b]．答案：A3．函数f(x)＝11＋x2(x∈R)的值域是() A．(0,1) B．(0,1]C．[0,1) D．[0,1]解析：(观察法)定义域是R，由于x2≥0，则1＋x2≥1，从而0＜11＋x2≤1.答案：B拓展提升问题：变换法画函数的图象都有哪些？解答：变换法画函数的图象有三类：1．平移变换：(1)将函数y＝f(x)的图象向左平移a(a＞0)个单位得函数y＝f(x＋a)的图象；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移a(a＞0)个单位得函数y＝f(x－a)的图象；(3)将函数y＝f(x)的图象向上平移b(b＞0)个单位得函数y＝f(x)＋b的图象；(4)将函数y＝f(x)的图象向下平移b(b＞0)个单位得函数y＝f(x)－b的图象．简记为“左加(＋)右减(－)，上加(＋)下减(－)”．2．对称变换：(1)函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于直线x＝0即y轴对称；(2)函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0即x轴对称；(3)函数y＝f(x)与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称．3．翻折变换：(1)函数y＝|f(x)|的图象可以将函数y＝f(x)的图象位于x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留y＝f(x)的x轴上方部分即可得到．(2)函数y＝f(|x|)的图象可以将函数y＝f(x)的图象位于y轴右边部分翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留y＝f(x)在y轴右边部分图象即可得到．函数的图象是对函数关系的一种直观、形象的表示，可以直观地显示出函数的变化状况及其特性，它是研究函数性质时的重要参考，也是运用数形结合思想研究和运用函数性质的基础．另一方面，函数的一些特性又能指导作图，函数与图象是同一事物的两个方面，是函数的不同表现形式．函数的图象可以比喻成人的相片，观察函数的图象可以解决研究其性质，当然，也可以由函数的性质确定函数图象的特点．借助函数的图象来解决函数问题，函数的图象问题是高考的热点之一，应引起重视．课堂小结本节课学习了：函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数．作业课本习题1.2A组7,8,9.设计感想本节教学设计容量较大，尽量借助于信息技术来完成．本节的设计重点是函数的三种表示方法，提出了表示法的应用，特别是用图象法求函数的值域，并对求函数值域的方法进行了总结以满足高考的要求．第2课时作者：刘菲导入新课思路1．当x＞1时，f(x)＝x＋1；当x≤1时，f(x)＝－x，请写出函数f(x)的解析式．这个函数的解析式有什么特点？教师指出本节课题．思路2．化简函数y ＝|x |的解析式，说说此函数解析式的特点，教师指出本节课题． 推进新课新知探究 提出问题①函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，－x ＋1，x <－1，x ≥－1与f (x )＝x －1，g (x )＝x 2在解析式上有什么区别？②请举出几个分段函数的例子．活动：学生讨论交流函数解析式的区别．所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同对应法则的函数．讨论结果：①函数h (x )是分段函数，在定义域的不同部分，其解析式不同．说明：分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集；生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等等．②例如：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，1，x >0，x <0等．应用示例例1 画出函数y ＝|x |的图象．活动：学生思考函数图象的画法：①化简函数的解析式为基本初等函数；②利用变换法画出图象，根据绝对值的概念来化简解析式．解法一：由绝对值的概念，我们有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，－x ，x ≥0，x <0.所以，函数y ＝|x |的图象如图7所示．图7解法二：画函数y ＝x 的图象，将其位于x 轴下方的部分对称到x 轴上方，与函数y ＝x 的图象位于x 轴上方的部分合起来得函数y ＝|x |的图象如图7所示．点评：函数y ＝f (x )的图象位于x 轴上方的部分和y ＝|f (x )|的图象相同，函数y ＝f (x )的图象位于x 轴下方的部分对称到x 轴上方就是函数y ＝|f (x )|图象的一部分．利用函数y ＝f (x )的图象和函数y ＝|f (x )|的图象的这种关系，由函数y ＝f (x )的图象画出函数y ＝|f (x )|的图象. 图821),0,0x ≤>的图象．①画整个二次函数y ＝(x ＋1)2的图象，再取其在区间图9(1)乘坐汽车5千米以内(含5千米)，票价2元；(2)5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米按5千米计算)，如果某条线路的总里程为20千米，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．活动：学生讨论交流题目的条件，弄清题意．本例是一个实际问题，有具体的实际意义，由于里程在不同的范围内，票价有不同的计算方法，故此函数是分段函数．图10解：设里程为x千米时，票价为y元，根据题意得x∈(0,20]．由“招手即停”公共汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，3，4，5， 0<x ≤5，5<x ≤10，10<x ≤15，15<x ≤20.根据这个函数解析式，可画出函数图象，如图10所示．点评：本题主要考查分段函数的实际应用，以及应用函数解决问题的能力．生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等等．在列出其解析式时，要充分考虑实际问题的规定，根据规定来求得解析式．注意：①本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义；②分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值不同的几种表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.变式训练某客运公司确定车票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0.5元，如果超过100千米，超过部分按每千米0.4元定价，则客运票价y (元)与行程x (千米)之间的函数关系式是________．解析：根据行程是否大于100千米来求出解析式．答案：y ＝0.5,0100,100.4,100x x x x ≤≤⎧⎨+>⎩1．函数f (x )＝|x －1|的图象是( )图11解析：方法一：函数的解析式化为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1，1－x ， x ≥1，x <1.画出此分段函数的图象，故选B.方法二：将函数f (x )＝x －1位于x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，与f (x )＝x －1位于x 轴上方部分合起来，即可得到函数f (x )＝|x －1|的图象，故选B.方法三：由f (－1)＝2，知图象过点(－1,2)，排除A ，C ，D ，故选B.答案：B2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2， x >0，1， x ＝0，－1x ，x <0.(1)画出函数的图象； (2)求f (1)，f (－1)，f [f (－1)]的值．解：分别作出f (x )在x ＞0，x ＝0，x ＜0上的图象，合在一起得函数的图象．(1)如图12所示，画法略．图12(2)f (1)＝12＝1，f (－1)＝－1－1＝1，f [f (－1)]＝f (1)＝1. 3．某人驱车以52千米/时的速度从A 地驶往260千米远处的B 地，到达B 地并停留1.5小时后，再以65千米/时的速度返回A 地．试将此人驱车走过的路程s (千米)表示为时间t 的函数．分析：本题中的函数是分段函数，要由时间t 属于哪个时间段，得到相应的解析式．解：从A 地到B 地，路上的时间为26052＝5(小时)；从B 地回到A 地，路上的时间为26065＝4(小时)．所以走过的路程s (千米)与时间t 的函数关系式为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 52t ，260，260＋65(t －6.5)， 0≤t <5，5≤t ≤6.5，6.5<t ≤10.5.拓展提升问题：已知函数f (x )满足f (1)＝1，f (n ＋1)＝f (n )＋2，n ∈N *.(1)求：f (2)，f (3)，f (4)，f (5)；(2)猜想f (n )，n ∈N *.探究：(1)由题意得f(1)＝1，则有f(2)＝f(1)＋2＝1＋2＝3，f(3)＝f(2)＋2＝3＋2＝5，f(4)＝f(3)＋2＝5＋2＝7，f(5)＝f(4)＋2＝7＋2＝9.(2)由(1)得f(1)＝1＝2×1－1，f(2)＝3＝2×2－1，f(3)＝5＝2×3－1，f(4)＝7＝2×4－1，f(5)＝9＝2×5－1.因此猜想f(n)＝2n－1，n∈N*.课堂小结本节课学习了：画分段函数的图象；求分段函数的解析式以及分段函数的实际应用．作业课本习题1.2B组3,4.设计感想本节教学设计容量较大，特别是例题涉及图象，建议使用信息技术来完成．本节重点为分段函数，这是课标明确要求也是高考的重点，通过分段函数问题能够区分学生的思维层次，因此教学中应予以重视．第3课时作者：林大华导入新课思路1．复习初中常见的对应关系1．对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应．2．对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x，y)和它对应．3．对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应．4．某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应．5．函数的概念．我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种对应就叫映射(板书课题)．思路2．前面学习了函数的概念是：一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应．(1)对于任意一个实数，在数轴上都有唯一的点与之对应．(2)班级里的每一位同学在教室里都有唯一的座位与之对应．(3)对于任意的三角形，都有唯一确定的面积与之对应．那么这些对应又有什么特点呢？这种对应称为映射，引出课题．推进新课新知探究提出问题①给出以下对应关系：图13这三个对应关系有什么共同特点？②像问题①中的对应我们称为映射，请给出映射的定义？③“都有唯一”是什么意思？④函数与映射有什么关系？讨论结果：①集合A，B均为非空集合，并且集合A中的元素在集合B中都有唯一的元素与之对应．如果集合A中的元素x对应集合B中的元素y，那么集合A中的元素x叫集合B中元素y的原象，集合B中元素y叫集合A中的元素x的象．③包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思，即是一对一或多对一．④函数是特殊的映射，映射是函数的推广．应用示例例题下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？(1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；(2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；活动：学生思考映射的定义．判断一个对应是否是映射，要紧扣映射的定义．(1)中数轴上的点对应着唯一的实数；(2)中平面直角坐标系中的点对应着唯一的有序实数对；(3)中每一个三角形都有唯一的内切圆；(4)中新华中学的每个班级对应其班内的多个学生．解：(1)是映射；(2)是映射；(3)是映射；(4)不是映射．新华中学的每个班级对应其班内的多个学生，是一对多，不符合映射的定义.变式训练1．图14(1)，(2)，(3)用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则，是不是映射？图14答案：(1)不是；(2)是；(3)是．2．在图15中的映射中，A中元素60°对应的元素是什么？在A中的什么元素与B中元素22对应？图15对应的元素是32，在A 中的元素1．下列对应是从集合S 到T 的映射的是( )A ．S ＝N ，T ＝{－1,1}，对应法则是(－1)n ，n ∈SB ．S ＝{0,1,4,9}，T ＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，对应法则是开平方C ．S ＝{0,1,2,5}，T ＝{1，12，15}，对应法则是取倒数 D ．S ＝{x |x ∈R }，T ＝{y |y ∈R }，对应法则是x →y ＝1＋x 1－x解析：判断映射的方法简单地说应考虑A 中的元素是否都可以受对应法则f 的作用，作用的结果是否一定在B 中，作用的结果是否唯一这三个方面．很明显A 符合定义；B 是一对多的对应；C 中集合S 中的元素0没有象；D 中集合S 中的元素1也无象．答案：A2．已知集合M ＝{x |0≤x ≤6}，P ＝{y |0≤y ≤3}，则下列对应关系中不能看作从M 到P 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝12x B ．f ：x →y ＝13x C ．f ：x →y ＝xD ．f ：x →y ＝16x 解析：选项C 中，集合M 中部分元素没有象，其他均是映射．答案：C3．已知集合A＝N*，B＝{a|a＝2n－1，n∈Z}，映射f：A→B，使A中任一元素a与B 中元素2a－1对应，则与B中元素17对应的A中元素是()A．3 B．5 C．17 D．9解析：利用对应法则转化为解方程．由题意得2a－1＝17，解得a＝9.答案：D4．若映射f：A→B的象的集合是Y，原象的集合是X，则X与A的关系是________；Y与B的关系是________．解析：根据映射的定义，可知集合A中的元素必有象且唯一；集合B中的元素在集合A中不一定有原象．故象的集合是B的子集．所以X＝A，Y⊆B.答案：X＝A Y⊆B5．已知集合M＝{a，b，c，d}，P＝{x，y，z}，则从M到P能建立不同映射的个数是________．解析：集合M中有4个元素，集合P中有3个元素，则从M到P能建立34＝81个不同的映射．答案：816．下列对应哪个是集合M到集合N的映射？哪个不是映射？为什么？(1)设M＝{矩形}，N＝{实数}，对应法则f为矩形到它的面积的对应．(2)设M＝{实数}，N＝{正实数}，对应法则f为x→1|x|.(3)设M＝{x|0≤x≤100}，N＝{x|0≤x≤100}，对应法则f为开方再乘10.解：(1)是M到N的映射，因为它是多对一的对应．(2)不是映射，因为当x＝0时，集合N中没有元素与之对应．(3)是映射，因为它是一对一的对应．7．设集合A和B都是自然数集，映射f：A→B把A中的元素n映射到B中的元素2n ＋n，则在映射f下，A中的元素________对应B中的元素3.()A．1 B．3 C．9 D．11解析：对应法则为f：n→2n＋n，根据选项验证2n＋n＝3，可得n＝1.答案：A8．已知集合A＝{1,2,3，k}，B＝{4,7，a4，a2＋3a}，且a∈N，k∈N，x∈A，y∈B，映射f：A→B，使B中元素y＝3x＋1和A中元素x对应，求a及k的值．分析：先从集合A和对应法则f入手，同时考虑集合中元素的互异性，可以分析出此映射必为一一映射，再由3→10，求得a值，进而求得k值．解：∵B中元素y＝3x＋1和A中元素x对应，∴A中元素1的象是4；2的象是7；3的象是10，即a4＝10或a2＋3a＝10.∵a∈N，∴由a2＋3a＝10，得a＝2.∵k的象是a4，∴3k＋1＝16，得k＝5.∴a＝2，k＝5.9．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＜3，x∈N，y∈N}，B＝{0,1,2}，f：(x，y)→x＋y，则这个对应是否为映射？是否为函数？请说明理由．解：是映射，不是函数．由题意得A＝{(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(2,0)}，显然对于A中的每一个有序实数对，它们的和是0或1或2，则在B中都有唯一一个数与它对应，所以是映射，因为集合A不是数集而是点集，所以不是函数．拓展提升问题：集合M中有m个元素，集合N中有n个元素，则从M到N能建立多少个不同的映射？探究：当m＝1，n＝1时，从M到N能建立1＝11个不同的映射；当m＝2，n＝1时，从M到N能建立1＝12个不同的映射；当m＝3，n＝1时，从M到N能建立1＝13个不同的映射；当m＝2，n＝2时，从M到N能建立4＝22个不同的映射；当m＝2，n＝3时，从M到N能建立9＝32个不同的映射．集合M中有m个元素，集合N中有n个元素，则从M到N能建立n m个不同的映射．课堂小结本节课学习了：(1)映射的对应是一种特殊的对应，元素之间的对应必须满足“一对一或多对一”．(2)映射由三个部分组成：集合A，集合B及对应法则f，称为映射的三要素．(3)映射中集合A，B中的元素可以为任意的．作业课本本节练习4.补充作业：已知下列集合A到B的对应，请判断哪些是A到B的映射，并说明理由．(1)A＝N，B＝Z，对应法则f为“取相反数”；(2)A ＝{－1,0,2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，对应法则：“取倒数”； (3)A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝R ，对应法则：“求平方根”；(4)A ＝{0,1,2,4}，B ＝{0,1,4,9,64}，对应法则f ：a →b ＝(a －1)2；(5)A ＝N *，B ＝{0,1}，对应法则：除以2所得的余数．答案：(2)不是映射，(1)(3)(4)(5)是映射．设计感想本节教学设计的内容拓展较深，在实际教学中根据学生实际选取例题和练习．本节重点为映射的概念，对于映射来说，只需要掌握概念即可，不要求拓展其内容，以免加重学生的负担，也偏离了课标要求和高考的方向．备课资料【备选例题】【例1】区间[0，m ]在映射f ：x →2x ＋m 下所得的象集区间为[a ，b ]，若区间[a ，b ]的长度比区间[0，m ]的长度大5，则m 等于( )解析：函数f (x )＝2x ＋m 在区间[0，m ]上的值域是[m,3m ]，则有[m,3m ]＝[a ，b ]，则a ＝m ，b ＝3m ，又区间[a ，b ]的长度比区间[0，m ]的长度大5，则有b －a ＝(m －0)＋5，即b －a ＝m ＋5，所以3m －m ＝m ＋5，解得m ＝5.答案：A【例2】设x ∈R ，对于函数f (x )满足条件f (x 2＋1)＝x 4＋5x 2－3，那么对所有的x ∈R ，f (x 2－1)＝________.解析：(换元法)设x 2＋1＝t ，则x 2＝t －1，则f (t )＝(t －1)2＋5(t －1)－3＝t 2＋3t －7，即f (x )＝x 2＋3x －7.所以f (x 2－1)＝(x 2－1)2＋3(x 2－1)－7＝x 4＋x 2－9.答案：x 4＋x 2－9【知识总结】1．函数与映射的知识记忆口诀：函数新概念，记准要素三；定义域值域，关系式相连；函数表示法，记住也不难；图象和列表，解析最常见；对应变映射，只是变唯一；映射变函数，集合变数集．2．映射到底是什么？怎样理解映射的概念？剖析：对于映射这个概念，可以从以下几点来理解：(1)映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；(2)映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的；(3)映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有元素与之对应，而这个与之对应的元素是唯一的，这样集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心；(4)映射允许集合B中存在元素在A中没有元素与其对应；(5)映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的对应元素，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”；(6)映射是特殊的对应，函数是特殊的映射．3．函数与映射的关系函数是特殊的映射，对于映射f：A→B，当两个集合A，B均为非空数集时，则从A到B的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数．。

1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法课时目标 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．函数的三种表示法(1)解析法——用____________表示两个变量之间的对应关系； (2)图象法——用______表示两个变量之间的对应关系； (3)列表法——列出______来表示两个变量之间的对应关系．一、选择题1．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为( )A ．y ＝50x (x >0)B ．y ＝100x (x >0)C ．y ＝50x (x >0)D ．y ＝100x (x >0)2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 1xA.1xB.1x －1C.11－xD.1x －1 4．已知f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )等于( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7 5．若g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2，则f (12)的值为( ) A ．1 B ．15 C ．4 D ．306．在函数y ＝|x |(x ∈[－1,1])的图象上有一点P (t ，|t |)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( )二、填空题7．一个弹簧不挂物体时长12 cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3 kg 物体后弹簧总长是13.5 cm ，则弹簧总长y (cm)与所挂物体质量x (kg)之间的函数关系式为_________________________________________________________ _______________． 8．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (1x )＋x ，则f (x )的解析式为____________．9．已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为__________________． 三、解答题10．已知二次函数f (x )满足f (0)＝f (4)，且f (x )＝0的两根平方和为10，图象过(0,3)点，求f (x )的解析式．11．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小； (2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小； (3)求函数f (x )的值域．能力提升12．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6·时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝[x10] B ．y ＝[x ＋310] C ．y ＝[x ＋410] D ．y ＝[x ＋510]13．设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式．1．如何作函数的图象一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式(可能有的要表示为分段函数)，再列表描出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等．2．如何求函数的解析式求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．第1课时 函数的表示法知识梳理(1)数学表达式 (2)图象 (3)表格 作业设计1．C [由x ＋3x2·y ＝100，得2xy ＝100. ∴y ＝50x (x >0)．]2．B [由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．]3．B [令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f (1x )＝x1－x ，则有f (t )＝1t1－1t＝1t －1，故选B.]4．B [由已知得：g (x ＋2)＝2x ＋3，令t ＝x ＋2，则x ＝t －2，代入g (x ＋2)＝2x ＋3，则有g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1，故选B.] 5．B [令1－2x ＝12，则x ＝14， ∴f (12)＝1－142142＝15.]6．B [当t <0时，S ＝12－t 22，所以图象是开口向下的抛物线，顶点坐标是(0，12)；当t >0时，S ＝12＋t 22，开口是向上的抛物线，顶点坐标是(0，12)．所以B 满足要求．] 7．y ＝12x ＋12解析 设所求函数解析式为y ＝kx ＋12，把x ＝3，y ＝13.5代入，得13.5＝3k ＋12，k ＝12. 所以所求的函数解析式为y ＝12x ＋12. 8．f (x )＝－x 2＋23x (x ≠0) 解析 ∵f (x )＝2f (1x )＋x ，① 111由①②消去f (1x )，得f (x )＝－23x －x3， 即f (x )＝－x 2＋23x (x ≠0)． 9．f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8 解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a 2x ＋ab ＋b .∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝83或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－8. 10．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由f (0)＝f (4)知⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝c ，f 4＝16a ＋4b ＋c ，f 0＝f 4，得4a ＋b ＝0.① 又图象过(0,3)点， 所以c ＝3.②设f (x )＝0的两实根为x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca .所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－b a )2－2·c a ＝10. 即b 2－2ac ＝10a 2.③由①②③得a ＝1，b ＝－4，c ＝3.所以f (x )＝x 2－4x ＋3. 11．解 因为函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ，列表：(1)根据图象，容易发现f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0， 所以f (3)<f (0)<f (1)．(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．12．B [方法一 特殊取值法，若x ＝56，y ＝5，排除C 、D ，若x ＝57，y ＝6，排除A ，所以选B. 方法二 设x ＝10m ＋α(0≤α≤9)，0≤α≤6时， [x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＝[x 10]，当6<α≤9时，[x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＋1＝[x10]＋1， 所以选B.]13．解 因为对任意实数x ，y ，有 f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)， 所以令y ＝x ，有f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)， 即f (0)＝f (x )－x (x ＋1)．又f (0)＝1， ∴f (x )＝x (x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1.。

课题：§1.2.2函数的表示法教学目的：（1）明确函数的三种表示方法；（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；（4）纠正认为“y=f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识．教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．教学过程：一、引入课题1.复习：函数的概念；2.常用的函数表示法及各自的优点：（1）解析法；（2）图象法；（3）列表法．二、新课教学（一）典型例题例1．某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．分析：注意本例的设问，此处“y=f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．解：（略）注意：○1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；○2解析法：必须注明函数的定义域；○3图象法：是否连线；○4列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．巩固练习：课本P27练习第1题例2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表：第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟98 87 91 92 88 95张城90 76 88 75 86 80赵磊68 65 73 72 75 82班平均分88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6 请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？解：（略）注意：○1本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点；○2 本例能否用解析法？为什么？ 巩固练习：课本P 27练习第2题例3．画出函数y = | x | ．解：（略）巩固练习：课本P 27练习第3题拓展练习：任意画一个函数y=f(x)的图象，然后作出y=|f(x)| 和 y=f (|x|) 的图象，并尝试简要说明三者（图象）之间的关系．课本P 27练习第3题例4．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：（1） 乘坐汽车5公里以内，票价2元；（2） 5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）．已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义．根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值．解：设票价为y 元，里程为x 公里，同根据题意，如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站（包括起点站和终点站），那么汽车行驶的里程约为19公里，所以自变量x 的取值范围是{x ∈N *| x ≤19}．由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=5432y 1915151010550≤<≤<≤<≤<x x x x (*N x ∈)根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：注意：○1 本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义； ○2 本题可否用列表法表示函数，如果可以，应怎样列表？ 实践与拓展：请你设计一张乘车价目表，让售票员和乘客非常容易地知道任意两站之间的票价．（可以实地考查一下某公交车线路）说明：象上面两例中的函数，称为分段函数．注意：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．三、归纳小结，强化思想理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数，注意分段函数的表示方法及其图象的画法．四、作业布置课本P 28 习题1．2（A 组） 第8—12题 （B 组）第2、3题〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a xa xb x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．。

1.2 函数及其表示1.2.2 函数的表示法（二）教学目标分析：知识目标：理解并掌握函数的三种表示方法，并能进行简单应用。

过程与方法：通过现实生活中丰富实例的探究过程，感受不同方法在具体问题中的应用，渗透数形结合思想方法。

情感目标：提高利用函数观点分析和解决问题的能力，通过数学活动，体验数学的应用意识，体会数学的价值。

重难点分析：重点：函数的三种表示方法。

难点：利用列表、图象认识函数的意义，以及根据条件，利用恰当方法表示函数及相互转化。

互动探究：一、课堂探究：1、复习引入：函数的表示法：（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；（2）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系；（3）列表法：列出表格表示两个变量之间的对应关系。

三种表示方法的优缺点：解析法的优点是：（1）函数关系清楚、精准；（2）容易从自变量的值求出其对应的函数值；（3）便于研究函数的性质。

解析法是中学研究函数的主要表达方法。

图像法的优点是：能形象直观地表示函数的变化趋势，是今后利用数形结合思想解题的基础。

列表法的优点是：不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值，当自变量的值的个数较少时使用，列表法在实际生产和生活中有广泛的应用。

2、分段函数例1、（公交车票价）某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5公里以内（含5公里），票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）。

如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图像。

解：设票价为y 元，里程为x 公里，由题意可知，自变量的取值范围是(0,20]。

由“招手即停”公共汽车票价的制定规则，可得到以下函数解析式：2,053,5104,10155,1520x x y x x <≤⎧⎪<≤⎪=⎨<≤⎪⎪<≤⎩，其图像为：分段函数：所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数，对它应有以下两点基本认识：2（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。

1.2.2函数的表示方法（学案）一、学习目标1. 明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），了解三种表示方法各自的优点，在实际情境中体会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数； 2. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 3.理解映射的概念，感悟映射与函数的关系。

二、自主学习（1）函数的三要素是 、 、 .（2）已知函数21()1f x x =-，则(0)f = ，1()f x = ，()f x 的定义域为 .（3）分析二次函数解析式、股市走势图、银行利率表的表示形式. （4）初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明.三、合作探究探究1：函数的三种表示方法（1）某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x 与收款数y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．【分析】 函数的定义域是{1,2,3，…，10}，值域是{3 000，6 000，9 000，…，30 000}，可直接列表、画图表示，分析题意得到表示y 与x 关系的解析式，注意定义域．小结： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点：简明；给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值.探究2.阅读教材P 21例5、例6～P 22第一段，完成下列问题．如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．（2）.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3，x <－1，x 2，－1≤x ≤1，x ，x >1，则f (f (f (－2)))＝________.【答案】 1探究3.阅读教材P 22第二段～P 23“思考”，完成下列问题．（3）判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数都是映射，映射不一定都是函数．( )(2)在映射的定义中，对于集合B 中的任意一个元素在集合A 中都有一个元素与之对应．( )(3)从集合A 到集合B 的映射与从集合B 到集合A 的映射是同一个映射．( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)×四、学以致用1．购买某种饮料x 听，所需钱数y 元．若每听2元，试分别用列表法、解析法、图象法将y 表示成x (x ∈{1,2,3,4})的函数，并指出函数的值域． 2 .某市“滴滴打车”汽车的票价按下列规则制定：(1)乘车5千米以内(含5千米)，票价2元；(2)5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米按5千米计算)，如果某条线路的总里程为20千米，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．解：设里程为x 千米时，票价为y 元，根据题意得x ∈(0,20]．由“招手即停”公共汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，3，4，5，0<x ≤5，5<x ≤10，10<x ≤15，15<x ≤20.根据这个函数解析式，可画出函数图象。

1．2函数及其表示1.2.2函数的表示法第2课时分段函数及映射●三维目标1．知识与技能(1)通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；(2)纠正认为“y＝f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识；(3)了解映射的概念及表示方法．2．过程与方法(1)重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；(2)启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造性地解决问题；(3)通过教师指导发现知识结论，培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力．3．情感、态度与价值观(1)培养辨证地看待事物的观念和数形结合的思想；(2)使学生认识到事物间是有联系的，对应、映射是一种联系方式；(3)激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神．●重点难点重点：分段函数的概念．难点：分段函数的表示及映射的概念(1)重点的突破：首先以两个例题为依据，通过学生的研习，组内讨论等活动，让学生先从感性上认识分段函数，再结合生活中的其他实例充分理解分段函数是一个函数，而不是几个函数．最后通过习题，利用师生合作探究的方式，让学生掌握分段函数问题的解法，在此过程中培养学生分析问题和归纳总结的能力，强化训练学生数形结合、分类讨论的思想意识，突出重点的同时化解分段函数的表示这一难点；(2)难点的解决：在映射概念引入时，可先从学生熟悉的对应入手，选择一些具体的生活例子，然后列举一些数学例子，分为一对多、多对一、多对多、一对一四种情况，让学生认真观察、比较，再引导学生发现其中一对一和多对一的对应是映射，逐步归纳概括出映射的基本特征，让学生的认识从感性认识到理性认识，体会出映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射．分段函数【问题导思】在现实生活中，常常使用表格描述两个变量之间的对应关系．比如：国内邮寄信函(本埠)，每封信函的重量和对应邮资如下表：(1)邮资M是信函重量m的函数吗？若是，其解析式是什么？【提示】 据函数定义知M 是m 的函数，其解析式为：M ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.80，m ∈ 0，20]1.60，m ∈ 20，40]2.40，m ∈ 40，60]3.20，m ∈ 60，80]4.00，m ∈ 80，100](2)在(1)中有几个函数？为什么？【提示】 一个．因为(1)中的函数虽然有5个不同的部分，但不是5个函数，只不过在定义域的不同子集内，对应关系不同而已．如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．【问题导思】在某次数学测试中，高一 1 班的60名同学都取得了较好的成绩，把该班60名同学的名字构成集合A ，他们的成绩构成集合B .1．A 中的每一个元素，在B 中有且只有一个元素与之对应吗？ 【提示】 是的．2．从集合A 到集合B 的对应是函数吗？为什么？ 【提示】 不是．因为集合A 不是数集． 映射设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射.映射已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－12x ，－1<x <2x22，x ≥2.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32的值；(2)若f (a )＝2，求a 的值．【思路探究】 (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32→求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32(2)就(a )的取值范围分三种情形分别求解．【自主解答】 (1)∵－1<32<2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝2×32＝3.又3>2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f (3)＝92.(2)当a ≤－1时，由f (a )＝2，得a ＋2＝2，a ＝0，舍去； 当－1<a <2时，由f (a )＝2，得2a ＝2，a ＝1；当a ≥2时，由f (a )＝2，得a 22＝2，a ＝2或a ＝－2(舍去)． 综上所述，a 的值为1或2.1．求分段函数函数值的方法分段函数求值(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值求字母取值的步骤 (1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入到不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．已知n ∈N *，且f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －2， n ≥10f n ＋5 ， n <10 ，则f (4)＝________.【解析】 由分段函数定义，f (4)＝f (4＋5)＝f (9)＝f (9＋5)＝f (14)＝14－2＝12【答案】 12画出函数y ＝|x ＋1|＋|x －3|的图象，并写出该函数的值域．【思路探究】y ＝|x ＋1|＋|x －3|――→绝对值定义 零点分段法 去绝对值 ――→分段分段函数―→作图分段函数的图象【自主解答】由y ＝|x ＋1|＋|x －3|＝{ －2x ＋2，x ≤－1 4，－1<x ≤3 2x －2，x >3∴函数图象如图由图象易知函数的值域为[4，＋∞)1．对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的定义脱去绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数的图象．2．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段，画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．下列图形是函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0x －1，x ≥0的图象的是()【解析】 由于f (0)＝0－1＝－1，所以函数图象过点(0，－1)；当x <0时，y ＝x 2，则函数图象是开口向上的抛物线在y 轴左侧的部分．因此只有图形C 符合．【答案】 C下列对应关系中，哪些是从集合A 到集合B 的映射？映射的判断(1)A ＝B ＝N *，对应关系f ：x →y ＝|x －3|；(2)A ＝R ，B ＝{0,1}，对应关系f ：x →y ＝{ 1，x ≥0 0，x <0； (3)设A ＝{矩形}，B ＝{实数}，对应关系f ：矩形的面积．【思路探究】 紧扣映射概念中的“任意一个”“唯一”即可判断． 【自主解答】 (1)集合A 中的3，在f 作用下得0，但0∉B ，即3在集合B 中没有相对应的元素，所以不是映射．(2)对于集合A 中任意一个非负数都唯一对应元素1，对于集合A 中任意一个负数都唯一对应元素0，所以是映射．(3)对于每一个矩形，它的面积是唯一确定的，所以f 是从集合A 到集合B 的映射．判断一个对应是否是映射，关键有两点：(1)对于A 中的任意一个元素，在B 中是否有元素对应； (2)B 中的对应元素是否是唯一的．注意：“一对一”或“多对一”的对应都是映射．已知点(x ，y )在映射f 作用下对应的元素是(2x ，x ＋y )，则(1,3)在f 作用下对应的元素是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52 B ．(2,4) C ．(3,5)D ．(4,6)【解析】 由题意知，x →2x ，y →x ＋y ，故(1,3)在f 作用下对应的元素是(2,4)．【答案】 B与分段函数有关的实际问题的解法(12分)如图1－2－4在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，图1－2－4沿着折线BCDA由点B(起点)向A(终点)运动．设点P运动的路程为x，△APB 的面积为y.试求：(1)y与x之间的函数关系式；(2)画出y＝f(x)的图象．【思路点拨】当点P在线段BC上时△APB的面积随点P的变化而变化，当点P在线段CD上时，△APB的面积是一个定值，当点P在线段AD上时，△APB 的面积随点P的变化而变化，可见应分三段考虑面积计算．【规范解答】(1)①当点P在线段BC上运动时，S△APB＝12×4x＝2x(0≤x≤4).2分②当点P在线段CD上运动时，S△APB＝12×4×4＝8(4＜x≤8).4分③当点P在线段AD上运动时，S△APB＝12×4×(12－x)＝24－2x(8＜x≤12).6分∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， 0≤x ≤4 8， 4＜x ≤824－2x ， 8＜x ≤12 .8分(2)画出y ＝f (x )的图象，如图所示：12分1．本题因点P 所在的位置不同，得到的面积表达式不同，因而应分段计算，得出分段函数表达式．2．解决这类问题的关键点是根据自变量的取值情况决定其对应的运算法则，即保持自变量的取值范围与对应法则的一致性，一般需要分类讨论求解．1．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．2．判断一个对应是不是映射，先看第一集合A ：看集合A 中的每一个元素是否都有对应元素，若有，再看对应元素是否唯一；至于集合B 中的元素不作任何要求.1．已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{0,1}，则下列对应不是从A 到B 的映射的是( )【解析】 在映射中允许“多对一”，但不允许“一对多”． 【答案】 C2．下列图形是函数y ＝－|x |(x ∈[－2,2])的图象的是( )【解析】 ∵x ∈[－2,2]，故函数y ＝－|x |在x ＝±2处均有意义，排除C 、D 两选项．又当x ＝1时，y ＝－1<0，从而排除A 选项，故选B.【答案】 B3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0－2x ＋1，x <0，则f (1)＋f (－1)＝________.【解析】∵f (1)＝2×1＋1＝3,f (－1)＝－2×(－1)＋1＝3，∴f (1)＋f (－1)＝3＋3＝6.【答案】 64．已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)．(1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域．【解】 (1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1，当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .∴f (x )＝{ 1 0≤x ≤2 1－x －2<x <0 . (2)函数f (x )的图象如图所示，(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．一、选择题1．设集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤4}，则下述对应法则f 中，不能构成A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝x 2B ．f ：x →y ＝3x －2C ．f ：x →y ＝－x ＋4D ．f ：x →y ＝4－x 2【解析】 当x ∈[1,2]时，y ＝4－x 2∈[0,3]，故选项D 中的“f ”不能构成A 到B 的映射．【答案】 D2．函数f (x )＝|x －1|的图象是( )【解析】 f (x )＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥11－x ，x <1.由f (x )的解析式易知应选B.【答案】 B3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1x 2＋x －2，x >1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1f 2 的值为( )A.1516 B ．－2716C.89D ．18【解析】 ∵f (2)＝22＋2－2＝4，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫1f 2 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－116＝1516. 【答案】 A4．映射f ：A →B ，在f 作用下A 中元素(x ，y )与B 中元素(x －1,3－y )对应，则与B 中元素(0,1)对应的A 中元素是( )A ．(－1,2)B ．(0,3)C ．(1,2)D ．(－1,3)【解析】 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝03－y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2，∴A 中的元素为(1,2)．【答案】 C图1－2－55．已知函数f (x )的图象是两条线段(如图1－2－5，不含端点)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13等于( )A ．－13 B.13C ．－23D.23【解析】 由图可知，函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1， 0＜x ＜1 x ＋1， －1＜x ＜0 ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13－1＝－23，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－23＋1＝13.【答案】 B 二、填空题6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 x >0 π x ＝00 x <0 ，则f (f (－2))＝________.【解析】 ∵f (－2)＝0，∴f (f (－2))＝f (0)＝π. 【答案】 π7．(2014·镇江高一检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________.【解析】 由题意知f (0)＝2，又f (2)＝22＋2a ∴22＋2a ＝4a ∴a ＝2 【答案】 28．函数y ＝f (x )的图象如图1－2－6所示，那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是________．图1－2－6【解析】 由图象可知，函数y ＝f (x )的定义域为[－3,0]∪[2,3]，值域为[1,5]．其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是[1,2)∪(4,5]．【答案】 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，x ≤1x 2－2x ，x ≥1.(1)求a 的值； (2)求f (f (2))的值； (3)若f (m )＝3，求m 的值．【解】 (1)由函数定义，得当x ＝1时， 应有1＋a ＝12－2×1， 即a ＝－2.(2)由(1)，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≤1x 2－2x ，x ≥1.因为2>1，所以f (2)＝22－2×2＝0， 因为0<1，所以f (f (2))＝f (0)＝0－2＝－2. (3)当m ≤1时，f (m )＝m －2，此时m －2＝3得m ＝5，与m ≤1矛盾，舍去； 当m ≥1时，f (m )＝m 2－2m ， 此时m 2－2m ＝3得m ＝－1或m ＝3. 又因为m ≥1，所以m ＝3. 综上可知满足题意的m 的值为3.10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x >0x 2＋bx ＋c ， x ≤0 ，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，求f (x )的解析式．【解】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝c4－2b ＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x >0x 2＋4x ＋2， x ≤0 .11．为减少空气污染，某市鼓励居民用电(减少燃气或燃煤)，采用分段计费的方法计算．电费每月用电不超过100度时，按每度0.57元计算，每月用电量超过100度时，其中的100度仍按原标准收费，超过的部分每度按0.5元计算．(1)设月用电x 度时，应交电费y 元，写出y 关于x 的函数关系式； (2)小明家第一季度缴纳电费情况如下：【解】 (1)由题可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.57x ，0≤x ≤10057＋12 x －100 ＝12x ＋7，x >100.(2)一月用电12x ＋7＝76，即x ＝138；二月用电12x ＋7＝63，即x ＝112；三月用电0.57x ＝45.6，即x ＝80； ∴138＋112＋80＝330(度) ∴第一季度共用电330度。

§1.2.2函数的表示法一、学习目标：（1）掌握函数的表示方法；（2）通过函数的各种表示及其相互之间的转换来加深对函数概念的理解，同时为今后学习数形结合打好基础。

二、自主学习体验成功函数y=f(x)常用的表示方法有三种，分别是，，。

1.列表法：就是列出来表示之间的对应关系的方法叫做列表法。

跟踪练1：某种笔记本的单价是5元/个，买x（x∈｛1，2，3，4，｝）个笔记本需要y 元，试表示函数y=f（x）2.图像法：就是用表示之间的对应关系，这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法.的图象跟踪练2：（1）用图象法做跟踪练1 （2）作出函数y=2xx<的图象。

作出函数（1）y=x (2)y=2x＋1,x∈Z且2思考：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等。

那么，判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？3.解析法（公式法）：就是用来表示之间的对应关系的方法叫解析法，也称公式法。

跟踪练4：用解析法做跟踪练1思考：比较三种表示法，写出它们各自的特点4.分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值范围，对应关系也不同，这样的函数通常叫做。

典型例题：邮局寄信，不超过20g重时付邮资0.5元，超过20g重而不超过40g重付邮资1元. 每封x克（0<x≤40）重的信应付邮资数y（元）. 试写出y关于x的函数解析式，并画出函数的图象.跟踪练5：某居民小区的物业管理部门每月向居民收取卫生费，计费方法为3人和3人以下的住户，每月收取5元；超过3人的住户，每超出1人加收1.2元。

请根据题意，写出住户的人口数与应收取的卫生费间的函数关系式，并用列表法和图像法表示。

在上例中，函数对于自变量x 的不同 ， 也不同，这样的函数通常称为分段函数。

注意：(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数。

(2)分段函数的定义域是所有不同取值范围的并集。

三、合作探究，共同进步1、已知反比例函数过（1，2），则这个函数的解析式为2、已知一次函数过（1，2），（-1，-2），则这个函数的解析式是3、已知二次函数的顶点为（1，2），且过（-1，-2），求这个函数的解析式？4、画出下列函数的图象：（1）;2,,2)(≤∈=x Z x x x f 且 （2）()(]⎩⎨⎧∞-∈-+∞∈=.0,,1,,0,1x x y（3）2243,(03)y x x x =--≤<四、过手训练，步步为营（一）课堂训练，巩固知识1、判断下列对应:f A B →是否是从集合Ａ到集合Ｂ的函数：（ ） （１）{},0,:,:;A R B x R x f x x f A B ==∈>→→ （２）*,,:1,:.A N B N f x x f A B ==→-→ （３）{}20,,:,:.A x R x B R f x x f A B =∈>=→→2、已知()f x 是一次函数(2)1f =，(1)5f -=-，则()f x =3、已知()23f x x =+，且()6f m =则m =4、画出下列函数的图象：（1）2243,(1,2,3,4)y x x x =--∈ （2）1-=x y（3）⎪⎩⎪⎨⎧≥<<=)1(,)10(,1x x x x y（二）课外作业：1、从水平位置的球体容器顶部的一个孔向球内以相同的速度注水，容器水面的高度h 与注水时间t 之间的关系用图象表示为（ ）2、画出下列函数的图象：（1）12--=x x x y （2）432-+=x x y3、已知)(x f 是二次函数，且满足x x f x f f 2)()1(,1)0(=-+=，求)(x f 的解析式。

第一章集合与函数概念1.2 函数及其表示1.2.2 函数的表示法(第三课时)学习目标①了解映射的概念及表示方法;②会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射;③感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用,提高对数学高度抽象性和广泛应用性的进一步认识.合作学习一、设计问题,创设情境前面学习了函数的概念:一般地,设A,B是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一的数和它对应.(1)对于任意一个实数,在数轴上都有唯一的点与之对应.(2)班级里的每一位同学在教室都有唯一的坐位与之对应.(3)对于任意的三角形,都有唯一确定的面积与之对应.那么这些对应又有什么特点呢?二、自主探索,尝试解决问题1:①给出以下对应关系:这三个对应关系有什么共同特点?②像问题①中的对应我们称为映射,请给出映射的定义.③“都有唯一”是什么意思?④函数与映射有什么关系?三、信息交流,揭示规律分组讨论归纳的结论:①②③④四、运用规律,解决问题【例1】下列哪些对应是从集合A到集合B的映射?(1)A={P|P是数轴上的点},B=R,对应关系f:数轴上的点与它所代表的实数对应;(2)A={P|P是平面直角坐标系中的点},B={(x,y)|x∈R,y∈R},对应关系f:平面直角坐标系中的点与它的坐标对应;(3)A={三角形},B={x|x是圆},对应关系f:每一个三角形都对应它的内切圆;(4)A={x|x是新华中学的班级},B={x|x是新华中学的学生},对应关系f:每一个班级都对应班里的学生.【例2】下列对应是不是从集合A到集合B的映射,为什么?(1)A=R,B={x∈R|x≥0},对应法则是“求平方”;(2)A=R,B={x∈R|x>0},对应法则是“求平方”;(3)A={x∈R|x>0},B=R,对应法则是“求平方根”;(4)A={平面内的圆},B={平面内的矩形},对应法则是“作圆的内接矩形”.【例3】设f:A→B是A到B的一个映射,其中A=B={(x,y)|x,y∈R},f:(x,y)→(x-y,x+y),求:(1)A中元素(-1,2)在B中对应的元素;(2)在A中什么元素与B中元素(-1,2)对应?五、变式演练,深化提高1.设映射f:x→-x2+2x是实数集R=M到实数集R=N的映射,若对于实数p∈N,在M中不存在原象,则实数p的取值范围是()A.(1,+∞)B.[1,+∞)C.(-∞,1)D.(-∞,1]2.设f,g都是由A到A的映射,其对应法则如下表(从上到下):表1映射f的对应法则表2映射g的对应法则则与f[g(1)]相同的是()A.g[f(1)]B.g[f(2)]C.g[f(3)]D.g[f(4)]3.设集合A={a,b,c},集合B=R,以下对应关系中,一定能建立集合A到集合B的映射的是()A.对集合A中的数开平方B.对集合A中的数取倒数C.对集合A中的数取算术平方根D.对集合A中的数立方六、反思小结,观点提炼请同学们回想一下,本节课我们学了哪些内容?七、作业精选,巩固提高必做:课本P23练习4.选做:已知下列集合A到B的对应,请判断哪些是A到B的映射?并说明理由.(1)A=N,B=Z,对应法则:“取相反数”;(2)A={-1,0,2},B={-1,0,},对应法则:“取倒数”;(3)A={1,2,3,4,5},B=R,对应法则:“求平方根”;(4)A={0,1,2,4},B={0,1,4,9,64},对应法则f:a→b=(a-1)2;(5)A=N*,B={0,1},对应法则:除以2所得的余数.参考答案三、信息交流,揭示规律①集合A,B均为非空集合,并且集合A中的元素在集合B中都有唯一的元素与之对应.②一般地,设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射.记作“f:A→B”.如果集合A中的元素x对应集合B中的元素y,那么集合A中的元素x叫做集合B中的元素y的原象,集合B中的元素y叫做集合A中的元素x的象.③包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思,即是一对一或多对一.④函数是特殊的映射,映射是函数的推广.四、运用规律,解决问题【例1】解:(1)是映射;(2)是映射;(3)是映射;(4)不是映射.新华中学的每个班级对应其班内的多个学生,是一对多,不符合映射的定义.【例2】解:(1)是映射,因为A中的任何一个元素,在B中都能找到唯一的元素与之对应.(2)不是从集合A到集合B的映射,因为A中的元素0,在集合B中没有对应的元素.(3)不是从集合A到集合B的映射,因为任何正数的平方根都有两个值,即集合A中的任何元素,在集合B中都有两个元素与之对应.(4)不是从集合A到集合B的映射.因为一个圆有无穷多个内接矩形,即集合A中任何一个元素在集合B中都有无穷多个元素与之对应.点评:本题主要考查映射的概念.给定两集合A,B及对应法则f,判断是否是从集合A到集合B的映射,主要利用映射的定义.用通俗的语言讲:A→B的对应有“多对一”“一对一”“一对多”,前两种对应是A到B的映射,而后一种不是A到B的映射.【例3】解:(1)A中元素(-1,2)在B中对应的元素为(-1-2,-1+2),即(-3,1).(2)设A中元素(x,y)与B中元素(-1,2)对应,则解得所以A中元素(,)与B中元素(-1,2)对应.五、变式演练,深化提高1.解析:方法一:由于集合M,N都是数集,则映射f:x→-x2+2x就是函数f(x)=-x2+2x,其定义域是M=R,则有值域Q={y|y≤1}⊆N=R.对于实数p∈N,在M中不存在原象,则实数p的取值范围是∁N Q=∁R Q={y|y>1},即p的取值范围是(1,+∞);方法二:当p=0时,方程-x2+2x=0有解x=0,2,即在M中存在原象0和2,则p=0不合题意,排除C,D两项;当p=1时,方程-x2+2x=1有解x=1,即在M中存在原象1,则p=1不合题意,排除B项.答案:A点评:本题主要考查映射的概念和函数的值域,以及综合应用知识解决问题的能力.解决本题的关键是转化思想的应用.把映射问题转化为函数的值域问题,进一步转化为求函数的值域在实数集中的补集.其转化的依据是对映射概念的理解以及对函数与映射关系的把握程度.2.解析:f(a)表示在对应法则f下a对应的象,g(a)表示在对应法则g下a对应的象.由表1和表2,得f[g(1)]=f(4)=1,g[f(1)]=g(3)=1,g[f(2)]=g(4)=2,g[f(3)]=g(2)=3,g[f(4)]=g(1)=4,则有f[g(1)]=g[f(1)]=1,故选A.答案:A3.解析:当a<0时,对a开平方或取算术平方根均无意义,则A,C两项错;当a=0时,对a取倒数无意义,则B项错;由于对任何实数都能立方,并且其立方仅有一个,所以对集合A中的数立方能建立映射,故选D项.答案:D。

湖南省平江一中2014高中数学1.2.2函数的表示法教案新人教A版
必修1
教学过程
思考1:上表反映了几个函数关系？这些函数的自变
量是什么？定义域是什么？
思考2:上述4个函数能用解析法表示吗？能用图象法
表示吗？
思考3:.若分析、比较每位同学的成绩变化情况，用
哪种表示法为宜？
思考4:试根据图象对这三位同学在.高一学年度的数
学学习情况做一个分析.
知识探究（三）
某市某条公交线路的总里程是20公里，在这条线路
上公交车“招手即停”，其票价如下：
（1）5公里以内（含5公里），票价2元；
（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元
（不足5公里按照5公里计算）.
思考1：里程与票价之间的对应关系是否为函数？若
是，函数的自变量是什么？定义域是什么？思考2:该
函数用解析法怎样表示？
思考3:该函数用列表法怎样表示？
思考4:该函数用图象法怎样表示？
思考5:上面的函数称为分段函数，一般地，分段函数
的解析式有什么特点？试举例说明.
理论迁移
例1设周长为20cm的矩形的一边长为xcm,面积为
Scm2,那么x与S的对应关系是否为函数？若是，试用
适当的方法表示出来.
例2画出函数y=lxl的图象
练习作业：
P23 练习：1, 2, 3；
P24 习题1.2A 组：9.
王伟同学的数学成绩始终高于班级平均
水平，学习情况比较稳定而且成绩优
秀；张城同学的数学成绩不稳定，总是
在班级平均水平上下波动，而且波动幅
度较大；赵磊同学的数学成绩低于班级
平均水平，但他的成绩呈上升趋势，表
明他的数学成绩在稳步提升.
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1.2.2函数的表示法班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．已知是反比例函数，当时，，则的函数关系式为A. B. C. D.2．已知函数若,则的取值范围是A. B.C. D.3．已知函数f(x)=,则函数f(x)的图象是( )A. B. C. D.4．已知则A.2B.-2C.D.5．已知函数，且，则 .6．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=,若f(1)=-5,则f[f(5)]= .7．已知，为常数，且，，，方程有两个相等的实数根.求函数的解析式.8．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，试求函数的解析式.【能力提升】下图是一个电子元件在处理数据时的流程图:(1)试确定y与x的函数关系式;(2)求f(-3), f(1)的值;(3)若f(x)=16,求x的值.答案【基础过关】1．C【解析】根据题意可设(k≠0)，∵当x＝2时，y＝1，∴，∴k＝2.2．D【解析】若x∈[－1，1]，则有f(x)＝2∉[-1，1]，∴f(2)＝2；若x∉[－1，1]，则f(x)＝x∉[－1，1]，∴f[f(x)]＝x，此时若f[f(x)]＝2，则有x＝2.【备注】误区警示：本题易将x∉[－1，1]的情况漏掉而错选B.3．A【解析】当x=-1时,y=0,即图象过点(-1,0),D错;当x=0时,y=1,即图象过点(0,1),C错;当x=1时,y=2,即图象过点(1,2),B错.故选A.4．C【解析】∵，∴.【备注】无5．【解析】，∴，∴，解得.6．-【解析】由已知条件f(x+2)=可得f(x+4)==f(x),所以f(5)=f(1)=-5,所以f [f(5)]=f(-5)=f(-1)===-.7．∵，且方程f(x)＝x有两个相等的实数根，∴，∴b＝1，又∵f(2)＝0，∴4a＋2＝0，∴，∴.8．OB所在的直线方程为.当t∈(0，1]时，由x＝t，求得，所以；当t∈(1，2]时，；当t∈(2，＋∞)时，，所以【能力提升】(1)由题意知y=.(2)f(-3)=(-3)2+2=11, f(1)=(1+2)2=9.(3)若x≥1,则(x+2)2=16,解得x=2或x=-6(舍去); 若x<1,则x2+2=16,解得x=(舍去)或x=-.综上可得,x=2或x=-.。