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平行线的性质与判定平行线是几何学中的一个重要概念，我们都知道平行线永不相交。
在本文中，我们将介绍平行线的性质以及如何判定两条线是否平行。
同时，我们还会探讨平行线与其他图形之间的关系。
一、平行线的性质平行线的性质是几何学中的基础知识，下面我们将讨论几个与平行线相关的重要性质。
1. 对应角相等性质：当一条直线与两条平行线相交时，所形成的对应角相等。
这个性质在解决几何问题中具有重要意义，可以通过对应角的等量关系简化问题的解决过程。
2. 内错角相等性质：当两条平行线被一条截线所切割时，所产生的内错角相等。
这个性质常用于解决与平行线相关的证明问题。
3. 外错角相等性质：当两条平行线被一条截线所切割时，所产生的外错角相等。
这个性质也常用于证明和解决几何问题。
4. 交替内角相等性质：当两条平行线被一条截线所切割时，所形成的交替内角相等。
这个性质在证明平行线的存在性和解决几何问题中经常使用。
以上是平行线的一些重要性质，它们在几何学中被广泛应用，并且有助于解决各种类型的几何问题。
二、平行线的判定在几何学中，判定两条线是否平行是一种常见问题。
下面我们将介绍一些常用的判定方法。
1. 垂直判定：如果两条直线的斜率的乘积为-1，则它们互为垂直线，即相互垂直。
2. 角度判定：当一条直线与另一条直线所形成的内错角或外错角相等时，这两条直线是平行线。
3. 距离判定：如果两条直线上的任意两个点之间的距离在任意位置都相等，那么这两条直线是平行线。
这些判定方法都是基于几何学中的一些基本原理，通过应用这些原理，我们可以快速准确地判断两条线是否平行。
三、平行线与其他图形的关系平行线与其他图形之间存在着一些特殊的关系，下面我们将介绍一些常见的关系。
1. 平行线与平面角：当两条平行线被一条截线所切割时，所形成的平面角相等。
2. 平行线与四边形：在一个平行四边形中，两对相对的边是平行线，且两对相对的角相等。
3. 平行线与三角形：当一条直线平行于三角形的一边时，它将与另外两条边各自形成相似三角形。
北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——平行线的性质（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】平行线的判定方法11.方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简称为：同位角相等，两直线平行.2.表达方式：因为∠1=∠2,（已知）所以a//b（同位角相等，两直线平行）特别提醒：“同位角相等，两直线平行”是通过两个同位角的大小关系（相等）推导出两直线的位置关系（平行）.它是构建起角的大小关系与直线的位置关系的桥梁.【知识点二】平行线的画法过直线外一点画已知的直线平行线的步骤一落：把三角尺的一边落在一直的直线上；二靠：紧靠三角尺的另一边放一直尺；三移：把三角尺沿着直尺移动使其经过已知点；四画：沿三角尺的一边画直线.此直线即为已知直线的平行线.特别提醒：1.经过直线上一点不可以作已知直线的平行线.2.画线段或射线的平行线是画它们所在直线的平行线.3.移动是要始终保持紧靠.【知识点三】平行线的性质及其推论1.平行线的性质：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.2.表达方式：如果a//b,b//c,那么a//b.特别提醒：平行线的性质的前提是“过直线外一点”，若点在直线上，则不可能有平行线.【考点目录】【平行线性质求角的等量关系】【考点1】同位角相等两直线平行；【考点2】内错角相等两直线平行；【考点3】同旁内角互补两直线平行；【平行线性质探究角的关系】【考点4】平行线判探究角的关系或求角度；【平行线性质性质与判定综合】【考点5】平行线判定与性质求角度；【考点6】平行线判定与性质证明;【平行线间的距离】【考点7】平行线间的距离（应用）.【平行线性质求角的等量关系】【考点1】同位角相等两直线平行【答案】相等；理由见分析【分析】根据平行投影可得∠B＝∠E，再根据垂直可得∠C＝∠F＝90°，然后利用“角边角”证明△ABC 和△DEF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．解：两根旗杆的高度相等．理由如下：∵太阳光线AB与DE是平行，∴∠B＝∠E，∵两根旗杆都垂直于地面放置，∴∠C＝∠F＝90°，∵两根旗杆在太阳光下的影子一样长，∴BC ＝EF ，∵在△ABC 和△DEF 中B E BC EF C F ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴△ABC ≌△DEF （ASA ），∴AC ＝DF ，即两根旗杆的高度相等．【点拨】本题考查了全等三角形的应用，根据题意找出三角形全等的条件，然后证明两三角形全等是解题的关键．【变式1】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，把一块三角板的30︒角顶点A 放在直尺的一边BC 上，若1:23:7∠∠=，则2∠=（）A ．126︒B ．118︒C ．105︒D ．94︒【答案】C 【分析】根据平行线的性质和平角的定义即可得到结论．解：如图，由题意知：DE BC ∥，∴31∠=∠，∵1:23:7∠∠=，∴3:23:7∠∠=，∴3327∠=∠，∵2330180∠+∠+︒=︒，∴322301807∠+∠+︒=︒，∴2105∠=︒．故选：C ．【点拨】本题考查的是平行线的性质和平角的定义．熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．【变式2】（2022·甘肃嘉峪关·校考一模）如图两平行线a、b被直线l所截，且∠1=60°，则∠2的度数为.【答案】60°/60度【分析】由a∥b，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3=∠1=60°，又由对顶角相等，即可求得答案．解：∵a∥b，∴∠3=∠1=60°，∴∠2=∠3=60°．故答案为：60°．【点拨】此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．【考点2】内错角相等两直线平行【例2】（2014下·贵州铜仁·七年级统考期末）已知：如图，点D、E分别在AB、BC上，DE AC∥，165∠=︒，265∠=︒，请说明：F CBF ∠=∠．（不必注明依据）【答案】证明见分析【分析】根据平行线的性质得出165C ∠=∠=︒，得出2C ∠=∠，根据平行线的判定得出AF BC ∥，再根据平行线的性质即可得证．解：∵DE AC ∥，165∠=︒，265∠=︒，∴165C ∠=∠=︒，∴2C ∠=∠，∴AF BC ∥，∴F CBF ∠=∠．【点拨】本题考查平行线的判定和性质，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解题的关键．【变式1】（2023·吉林白城·校联考三模）已知，如图，AB ∥CD ，∠A=70°，∠B=40°，则∠ACD=（）A ．55°B ．70°C ．40°D ．110°【答案】B解：AB CD ∥.A ACD ∴∠=∠70.A ∠=︒ 70.ACD ∠=︒故选B.【点拨】两直线平行，内错角相等.【变式2】（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，直线a b ，直线l 与直线a 相交于点P ，直线l 与直线b 相交于点Q ，PM l ⊥于点P ，若155∠=︒，则2∠=.︒【答案】35【分析】本题主要考查平行线性质以及垂线的性质．根据平行线性质得3155∠=∠=︒，利用垂线性质即可求得2∠．解：直线a b ，3155∴∠=∠=︒，又PM l ⊥ 于点P ，90MPQ ∴∠=︒，2903905535∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．故答案为：35．【考点3】同旁内角互补两直线平行【例3】（2023下·山东烟台·六年级统考期末）如图，ABD ∠和BDC ∠的角平分线交于点E ，BE 交CD 于点F ，1290∠+∠=︒．（1）试说明：//AB CD ．（2）若228∠=︒，求3∠的度数．【答案】（1）见分析；（2）62︒【分析】（1）根据角平分线的定义，结合1290∠+∠=︒，可得180ABD BDC ∠+∠︒＝，进而即可得到结论；（2）由228∠=︒，得162∠=︒，进而得62ABF ∠=︒，结合//AB CD ，即可得到答案．解：（1）∵ABD ∠和BDC ∠的角平分线交于点E ，∴21ABD ∠∠＝，22BDC ∠∠＝，又∵1290∠+∠=︒，∴2(12)180ABD BDC ∠+∠∠+∠=︒＝，∴//AB CD ；（2）∵228∠=︒，1290∠+∠=︒，∴162∠=︒，又∵BF 平分ABD ∠，∴162ABF ∠=∠=︒，又∵//AB CD ，∴362ABF ∠=∠=︒．【点拨】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定和性质定理，掌握“同旁内角互补，两直线平行”，“两直线平行，内错角相等”，是解题的关键．【变式1】（2012下·广东茂名·七年级统考期中）两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的比为4：5，则这两个角中较小的角的度数为（）A ．20︒B ．80︒C ．100︒D ．120︒【答案】B【分析】根据比例设两个角为4x 、5x ，再根据两直线平行，同旁内角互补列式求解即可．解：设两个角分别为4x 、5x ，∵这两个角是两平行线被截所得到的同旁内角，∴45180x x +=︒，解得20x =︒，480x =︒，5100x =︒，所以较小的角的度数等于80︒．故选：B ．【点拨】本题考查了平行线的性质，主要利用了两直线平行，同旁内角互补的性质，熟记性质是解题的关键．【变式2】（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，AB ∥CD ，射线AE 交CD 于点F ，若∠1＝116°，则∠2的度数等于．【答案】64°【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可求出∠AFD 的度数，然后根据对顶角相等求出∠2的度数．解：∵AB ∥CD ，∴∠1+∠AFD =180°．∵∠1=116°，∴∠AFD =64°．∵∠2和∠AFD 是对顶角，∴∠2=∠AFD =64°．故答案为64°．【点拨】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．【平行线性质探究角的关系】【考点4】平行线判探究角的关系或求角度【例4】（2017下·北京东城·七年级统考期中）已知：直线AB CD ，点M 、N 分别在直线AB 、直线CD 上，点E 为平面内一点，（1）如图1，请写出AME ∠，E ∠，ENC ∠之间的数量关系，并给出证明；（2）如图2，利用（1）的结论解决问题，若30AME ∠=︒，EF 平分MEN ∠，NP 平分ENC ∠，EQ NP ∥，求FEQ ∠的度数；（3）如图3，点G 为CD 上一点，AMN m EMN ∠=∠，GEK m GEM ∠=∠，EH MN 交AB 于点H ，GEK ∠，BMN ∠，GEH ∠之间的数量关系（用含m 的式子表示）是．【答案】（1）MEN AME ENC ∠=∠+∠，证明见分析；（2）15︒；（3）180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．【分析】（1）过点E 作EE AB ' ，根据平行线的性质进行证明即可；（2）利用EF 平分MEN ∠，NP 平分ENC ∠，可得11,22NEF MEN ENP ENC ∠=∠∠=∠，再根据MEN AME ENC ∠=∠+∠，进行等量代换进行计算即可；（3）由已知条件可得11,22NEF MEN ENP ENC ∠=∠∠=∠，1EMN HEM AMN m∠=∠=∠，再根据平行线的性质进行各角的等量转换即可．解：（1）MEN AME ∠=∠+∠，证明如下：如图1所示，过点E 作EE AB ' ，∵AB CD ，∴AB CD EE 'P P ，∴1,2AME ENC ∠=∠∠=∠，∵12MEN ∠=∠+∠，∴MEN AME ENC ∠=∠+∠．（2）∵EF 平分MEN ∠，NP 平分ENC ∠，∴11,22NEF MEN ENP ENC ∠=∠∠=∠．∵EQ NP ∥，30AME ∠=︒，∴12QEN ENP ENC ∠=∠=∠．∵MEN AME ENC ∠=∠+∠，∴30MEN ENC AME ∠-∠=∠=︒，∴111130152222FEQ FEN QEN MEN ENC AME ∠=∠-∠=∠-∠=∠=⨯︒=︒．（3）180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．证明如下：∵AMN m EMN ∠=∠，GEK m GEM ∠=∠，∴1EMN AMN m ∠=∠，1GEM GEK m∠=∠．∵EH MN ，∴1EMN HEM AMN m∠=∠=∠，∵11GEH GEM HEM GEK AMN m m ∠=∠-∠=∠-∠，∴m GEH GEK AMN ∠=∠-∠，∵180AMN BMN ∠=︒-∠，∴()180m GEH GEK BMN ∠=∠-︒-∠，180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．故答案为：180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．【点拨】本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．【变式1】（2022下·贵州黔南·七年级统考期中）如图，在五边形ABCDE 中，AE BC ∥，则C D E ∠+∠+∠=（）A ．540︒B ．360︒C ．270︒D ．180︒【答案】B 【分析】首先过点D 作DF AE ∥，交AB 于点F ，由AE BC ∥，可证得AE DF BC ∥∥，然后由两直线平行，同旁内角互补可知180E EDF Ð+Ð=°，180CDF C Ð+Ð=°，继而证得结论．解：过点D 作DF AE ∥，交AB 于点F ，AE BC ∥，AE DF BC ∴∥∥，180E EDF ∴∠+∠=︒，180CDF C Ð+Ð=°，360C CDE E \Ð+Ð+Ð=°．故选：B ．【点拨】此题考查了平行线的性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．【变式2】（2023下·广东江门·七年级统考期末）如图，AB ∥CD ，∠ABF =23∠ABE ，∠CDF =23∠CDE ，则∠E ：∠F 等于【答案】3：2解：如图，过点E、F分别作EG∥AB、FH∥AB，又因AB∥CD，根据平行线的传递性可得AB∥EG∥FH∥CD，∵AB∥FH，∴∠ABF=∠BFH，∵FH∥CD，∴∠CDF=∠DFH，∴∠BFD=∠DFH+∠BFH=∠CDF+∠ABF；同理可得∠BED=∠DEG+∠BEG=∠ABE+∠CDE；∵∠ABF=23∠ABE，∠CDF=23∠CDE，∴∠BFD=∠DFH+∠BFH=∠CDF+∠ABF=23（∠ABE+∠CDE）=23∠BED，∴∠BED：∠BFD=3：2．故答案为：3：2．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，解决这类题目要常作的辅助线（平行线），充分运用平行线的性质探求角之间的关系是解题的关键．【平行线性质性质与判定综合】【考点5】平行线判定与性质求角度【例5】（2023上·广东潮州·八年级校考阶段练习）如图，A B、两处是灯塔，船只在C处，B处在A 处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，求船只与两灯塔的视角ACB的度数．【答案】85°【分析】根据方向角的定义，可得∠BAE=45°，∠CAE=15°，∠DBC=80°，然后根据平行线的性质与三角形内角和定理即可求解．解：如图，根据方向角的定义，可得∠BAE=45°，∠CAE=15°，∠DBC=80°．∵∠BAE=45°，∠EAC=15°，∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+15°=60°．∵AE ，DB 是正南正北方向，∴BD ∥AE ，∵∠DBA=∠BAE=45°，又∵∠DBC=80°，∴∠ABC=80°-45°=35°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-60°-35°=85°．题的关键．【变式1】（2023下·甘肃白银·八年级统考期末）如图所示，已知AB EF ∥，那么BAC ACE CEF ∠+∠+∠=（）A ．180°B ．270°C ．360°D ．540°【答案】C 【分析】先根据平行线的性质得出180180BAC ACD DCE CEF ∠+∠=︒∠+∠=︒，，进而可得出结论．解：过点C 作CD EF ∥，∥Q AB EF ，AB CD EF \∥∥，∴180180BAC ACD DCE CEF ∠+∠=︒∠+∠=︒①，②，由①②+得，360BAC ACD DCE CEF ∠+∠+∠+∠=︒，即360BAC ACE CEF Ð+Ð+Ð=°．故选：C ．【点拨】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．【变式2】（四川省成都市金牛区2020-2021学年七年级下学期期末数学试题）一副直角三角板如图放在直线m 、n 之间，且//m n ，则图中1∠=度．【答案】15【分析】如图，过点A 作AC ∥m ，则有////AC m n ，然后可得,45BAC CAD CAD ADE ∠=∠∠=∠=︒，进而问题可求解．解：如图所示，过点A 作AC ∥m ，∵//m n ，∴////AC m n ，∴1,45BAC CAD ADE ∠=∠∠=∠=︒，∵60BAC CAD ∠+∠=︒，∴115BAD CAD ∠=∠-∠=︒；故答案为15．【点拨】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【考点6】平行线判定与性质证明【例6】（2023下·七年级课时练习）如图，BD 平分ABC ∠，ED BC ∥，130∠=︒，4120∠=︒．（1）求2∠，3∠的度数；（2）证明：DF AB ．【答案】（1）230∠=︒，360∠=︒；（2）见详解【分析】（1）根据BD 平分ABC ∠，112ABD ABC ∠=∠=∠，即有130ABD ∠=∠=︒，60ABC ∠=︒，再结合ED BC ∥，即可求解；（2）由60ABC ∠=︒，4120∠=︒可得ABC ∠4=180+∠︒，则DF AB ，问题得解．解：（1）∵BD 平分ABC ∠，130∠=︒，∴112ABD ABC ∠=∠=∠，∴130ABD ∠=∠=︒，60ABC ∠=︒，∵ED BC ∥，∴2130∠=∠=︒，360ABC ∠=∠=︒，即：230∠=︒，360∠=︒；（2）∵60ABC ∠=︒，4120∠=︒，∴ABC ∠4=180+∠︒，∴DF AB ．【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识，掌握两直线平行同位角相等；两直线平行同位角相等；两直线平行，同旁内角互补是解答本题的关键．【变式1】（2020上·河南洛阳·七年级统考期末）如图，若12∠=∠，DE BC ∥，则下列结论：①FG DC ；②AED ACB ∠=∠；③CD 平分ACB ∠；④190B ∠+∠=︒；⑤BFG BDC ∠=∠．其中，正确结论的个数为（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B 【分析】由平行线的性质得出内错角相等、同位角相等，得出②正确；再由已知条件证出2DCB =∠∠，得出FG DC ，①正确；由平行线的性质得出⑤正确；即可得出结果．解：DE BC ∥，1DCB ∴∠=∠，AED ACB ∠=∠，故②正确；12∠=∠ ，2DCB ∴∠=∠，FG DC ∴∥，故①正确；BFG BDC ∴∠=∠，故⑤正确；而CD 不一定平分ACB ∠，1B ∠+∠不一定等于90︒，故③，④错误；故选：B ．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．【变式2】（2021下·江苏盐城·七年级统考期中）如图a b ，c 与a 相交，d 与b 相交，下列说法：①若12∠=∠，则3=4∠∠；②若14180∠+∠=︒，则c d ∥；③4231∠-∠=∠-∠；④1234360∠+∠+∠+∠=︒正确的有（填序号）【答案】①②③【分析】根据平行线的性质和判定逐一进行判断即可．解：如图，①若∠1=∠2，则b ∥e ，则∠3=∠4，故原说法正确；②若∠1+∠4=180°，则c ∥d ；故原说法正确；③由a ∥b 得到∠1=∠6，∠5+∠4=180°，由∠2+∠3+∠5+180°-∠6=360°得，∠2+∠3+180°-∠4+180°-∠1=360°，则∠4-∠2=∠3-∠1，故原说法正确；④由③得，只有∠1+∠4=∠2+∠3=180°时，∠1+∠2+∠3+∠4=360°．故原说法错误．正确的有①②③，故答案为：①②③．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【平行线间的距离】【考点7】平行线间的距离（应用）【例7】（2022下·贵州遵义·七年级校考阶段练习）如图，直线a b ∥，AB 与a ，b 分别交于点A ，B ，且AC AB ⊥，AC 交直线b 于点C ．（1）若160∠= ，求2∠的度数；（2）若6,8AC AB ==，10BC =，求直线a 与b 的距离．【答案】（1）30︒；（2）245【分析】（1）由直线a b ∥，根据平行线的性质得出3160∠=∠=︒，再由AC AB ⊥，根据垂直的定义即可得到结果；（2）过A 作AD BC ⊥于D ，根据1122ABC S AB AC BC AD =⨯⨯=⨯⨯ ，即可求解．解：（1）∵a b∥∴3160∠=∠=︒又∵AC AB⊥∴290330∠=︒-∠=︒（2）如图，过A 作AD BC ⊥于D ，则AD 的长即为直线a 与b 的距离∵6,8AC AB ==，10BC =，ABC 是直角三角形∵1122ABC S AB AC BC AD =⨯⨯=⨯⨯ ∴8624105AB AC AD BC ⨯⨯===∴直线a 与b 的距离245【点拨】本题考查了平行线的性质及三角形的面积，解题的关键是掌握：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．【变式1】（2021下·安徽合肥·八年级统考期末）如图，123////l l l ，且相邻两条直线间的距离都是2，A ，B ，C 分别为1l ，2l ，3l 上的动点，连接AB 、AC 、BC ，AC 与2l 交于点D ，90ABC ∠=︒，则BD 的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【分析】求BD的最小值可以转化为求点B到直线AC的距离，当BD⊥AC时，BD有最小值，根据题意求解即可．解：由题意可知当BD⊥AC时，BD有最小值，此时，AD=CD，∠ABC=90°，∴BD=AD=BD=12AC=2，∴BD的最小值为2．故选：A．【点拨】本题考查平行线的性质，需结合图形，根据平行线的性质推出相关角的关系从而进行求解．【变式2】（2019下·上海金山·七年级统考期中）已知直线a∥b∥c，a与b的距离是5cm，b与c的距离是3cm，则a与c的距离是．【答案】8cm或2cm【分析】直线c的位置不确定，可分情况讨论．（1）直线c在直线b的上方，直线a和直线c之间的距离为5cm+3cm=8cm；（2）直线c在直线a、b的之间，直线a和直线c之间的距离为5cm-3cm=2cm．解：（1）直线c在直线b1：直线a和直线c之间的距离为5cm+3cm=8cm；（2）直线c在直线a、b的之间，如图2：直线a和直线c之间的距离为5cm-3cm=2cm；所以a与c的距离是8cm或2cm，故答案为8cm或2cm．【点拨】此题考查两线间的距离，本题需注意直线c的位置不确定，需分情况讨论．。
平行线及其性质和判定【知识梳理】一、平行线的定义在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与b直线互相平行，记作a∥b。
如右图所示：ab二、平行线的画法：一“落”（三角板的一边落在已知直线上），二“靠”（用直尺紧靠三角板的另一边），三“移”（沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点），四“画”（沿三角板过已知点的边画直线）．三、平行线的性质：1. 平行公理――平行线的存在性与惟一性经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行2. 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行3. 平行线的性质：性质一：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等简称：两条直线平行，同位角相等性质二：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等简称：两条直线平行，内错角相等性质三：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补简称：两条直线平行，同旁内角互补4. 两条平行线间的距离：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度叫做这两条平行线的距离。
平行线间的距离处处相等四、平行线的判定：判定一：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简称：同位角相等，两直线平行判定二：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行简称：内错角相等，两直线平行判定三：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行简称：同旁内角互补，两直线平行判定四：垂直于同一条直线的两条直线互相平行判定五:（平行线公理推论）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行判定六:（平行线定义）在同一平面内，不相交的两条直线平行【诊断自测】1．下列说法正确的是（）A．同位角相等B．在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥cC．相等的角是对顶角D．在同一平面内，如果a∥b，b∥c，则a∥c2．如图，下列能判定AB∥CD的条件有个．（1）∠B+∠BCD=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5．3．如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（）A．∠3=∠4 B．∠1=∠2 C．∠D=∠DCE D．∠D+∠ACD=180°4．下列命题：①对顶角相等；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等．其中错误的有.【考点突破】类型一: 平行线例1、若a⊥b，c⊥d，则a与c的关系是（）A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对答案：D解析：当b∥d时a∥c；当b和d相交但不垂直时，a与c相交；当b和d垂直时，a与c垂直；a和c可能平行，也可能相交，还可能垂直，故选D．例2、在同一个平面内，两条直线的位置关系是（）A．平行或垂直B．相交或垂直C．平行或相交D．不能确定答案：D解析：在同一个平面内，两条直线可能重合、平行或相交．观察选项，D选项符合题意．故选：D．例3、过一点画已知直线的平行线（）A．有且只有一条 B．不存在C．有两条D．不存在或有且只有一条答案：D解析：若点在直线上，过这点不能画已知直线的平行线；若点在直线外，根据平行公理，有且只有一条直线与已知直线平行．故选D．例4、如果a∥b，a∥c，那么b与c的位置关系是（）A．不一定平行B．一定平行 C．一定不平行D．以上都有可能答案：B解析：∵a∥b，a∥c，∴b∥c．∴b与c的位置关系是一定平行，故选B．类型二：平行线的性质例5、如图，直线a∥b，若∠2=55°，∠3=100°，则∠1的度数为（）A．35° B．45° C．50° D．55°答案：B解析：如图，∵直线a∥b，∴∠4=∠2=55°，∴∠1=∠3﹣∠4=100°﹣55°=45°．故选B．例6、如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=50°，则∠AED= .答案：115°解析：∵AB∥CD，∴∠C+∠CAB=180°，∵∠C=50°，∴∠CAB=180°﹣50°=130°，∵AE平分∠CAB，∴∠EAB=65°，∵AB∥CD，∴∠EAB+∠AED=180°，∴∠AED=180°﹣65°=115°，例7、如图，直线m∥n，∠1=70°，∠2=30°，则∠A等于.答案：40°解析：如图，∵直线m∥n，∴∠1=∠3，∵∠1=70°，∴∠3=70°，∵∠3=∠2+∠A，∠2=30°，∴∠A=40°，例8、如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=55°，那么∠2的度数是（）A．20° B．30° C．35° D．50°答案：C解析：∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠3=180°﹣90°﹣∠1=35°，∵a∥b，∴∠2=∠3=35°．故选：C．例9、如图，AB∥CD，CE平分∠BCD，∠B=36°，则∠DCE等于.答案：18°解析:∵AB∥CD，∴∠BCD=∠B=36°，∵CE平分∠BCD，∴∠DC=18°例10、如图，AB∥CD，DE⊥CE，∠1=34°，则∠DCE的度数为.答案：56°解析：∵AB∥CD，∴∠D=∠1=34°，∵DE⊥CE，∴∠DEC=90°，∴∠DCE=180°﹣90°﹣34°=56°．类型三：平行线的判定例11、如图，直线a、b被直线c所截，下列条件能使a∥b的是（）A．∠1=∠6 B．∠2=∠6 C．∠1=∠3 D．∠5=∠7答案：B解析：∵∠2=∠6（已知），∴a∥b（同位角相等，两直线平行），则能使a∥b的条件是∠2=∠6，故选B例12、如图，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制一个变形管道ABCD，使其拐角∠ABC=150°，∠BCD=30°，则（）A．AB∥BC B．BC∥CD C．AB∥DC D．AB与CD相交答案：C解析：∵∠ABC=150°，∠BCD=30°，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴AB∥DC．故选：C．例13、如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（）A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠5 D．∠3+∠4=180°答案：C解析：A、∵∠1与∠2是直线a，b被c所截的一组同位角，∴∠1=∠2，可以得到a ∥b，∴不符合题意，B、∵∠2与∠3是直线a，b被c所截的一组内错角，∴∠2=∠3，可以得到a∥b，∴不符合题意，C、∵∠3与∠5既不是直线a，b被任何一条直线所截的一组同位角，内错角，∴∠3=∠5，不能得到a∥b，∴符合题意，D、∵∠3与∠4是直线a，b被c所截的一组同旁内角，∴∠3+∠4=180°，可以得到a ∥b，∴不符合题意，故选C例14、如图图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是（）A．B．C． D．答案：B解析：A、∠1、∠2是同旁内角，由∠1=∠2不能判定AB∥CD；B、∠1、∠2是内错角，由∠1=∠2能判定AB∥CD；C、∠1、∠2是内错角，由∠1=∠2能判定AC∥BD，不能判定AB∥CD；D，∠1、∠2是同旁内角，由∠1=∠2不能判定AB∥CD；故选B．例15、如图，下列条件中不能判定a∥b的是（）A．∠1+∠4=180°B．∠1=∠3 C．∠1=∠2 D．∠2=∠5答案：A解析：A、根据“邻补角互补”不可以判定a∥b，故本选项符合题意；B、根据“内错角相等，两直线平行”可以判定a∥b，故本选项不符合题意；C、根据“同位角相等，两直线平行”可以判定a∥b，故本选项不符合题意；D、∵∠2=∠3，2=∠5，∴∠3=∠5，∴a∥b（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意；故选：A．【易错精选】1．如图，∠1，∠2，…∠8是两条直线a，b被直线c所截后形成的八个角，则能够判定直线a∥b的是（）A．∠3+∠4=180°B．∠1+∠8=180°B．C．∠5+∠7=180° D．∠2+∠6=180°2．如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（）A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠4=∠5 D．∠2+∠4=180°3．如图所示，下列条件中，能判断AB∥CD的是（）A．∠BAD=∠BCD B．∠1=∠2 C．∠3=∠4 D．∠BAC=∠ACD4．如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD（）A．∠1=∠2 B．∠3=∠4 C．∠D=∠DCE D．∠D+∠ACD=180°【精华提炼】一、平行线的性质：1. 平行公理――平行线的存在性与惟一性经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行2. 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行3. 平行线的性质：性质一：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等简称：两条直线平行，同位角相等性质二：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等简称：两条直线平行，内错角相等性质三：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补简称：两条直线平行，同旁内角互补4. 两条平行线间的距离：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度叫做这两条平行线的距离。
·一对一辅导教案学生姓名 性别年级初一学科数学 授课教师上课时间 年 月 日第（ ）次课 共（ ）次课课时： 课时教学课题平行线的性质和判定教学目标 平行线的性质和判定教学重点与难点平行线的性质和判定5.2.1平行线1、 平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
5、平行线的基本性质（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
（2）平行推理：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
如右图所示5.2.2平行线的判定 1、平行线的判定方法：（1）判定1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
简称： 同位角相等，两直线平行（2）判定2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
简称： 内错角相等，两直线平行（3）判定3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
简称： 同旁内角互补，两直线平行（4）在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。
（垂直于同一条直线的两条直线平行）【例1】如图1―2―4，直线a ∥b ，则∠A CB ＝________【例2】 如图1―2―5，AB ∥CD ，直线EF 分别交A B 、CD 于点E 、F ，EG 平分∠B EF ，交CD 于点G ，∠1=5 0○求∠2的度数．abc【课堂练习】：1．如图1－2－6，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（）A．l个 B．2个 C．3个 D．4个2．下列说法中正确的个数是（）（1）在同一平面内不相交的两条直线必平行；（2）在同一平面内不平行的两条直线必相交；（3）两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等；（4）两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的平分线互相平行。
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．如果两个角的一边在同一条直线上，另一条边互相平行，那么这两个角只能（）A．相等 B．互补C．相等或互补D．相等且互补4．如图l－2－7。
1第二级（上）·第1讲·基础-提高-尖子班·教师版定 义示例剖析平行线的概念：在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线．用“∥”表示．∥a b ，∥AB CD 等．平行线的性质：两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补． ba 4321若∥a b ，则12∠=∠； 若∥a b ，则23∠=∠；若∥a b ，则34180∠+∠=︒．平行线的判定：同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行． ba 4321若12∠=∠，则∥a b ； 若23∠=∠，则∥a b ；若34180∠+∠=︒，则∥a b ．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．简单说成：过一点有且只有一条直线与已知直线平行．(c )b aA过直线a 外一点A 做∥b a ，∥c a ，则b 与c 重合．平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．简单说成：平行于同一条直线的两条直线平行．c b a若∥，∥b a c a ，则∥b c ．模块一 平行的定义、性质及判定知识导航1平行的性质及判定2【例1】 ⑴ 两条直线被第三条直线所截，则（ ）A ．同位角相等B ．内错角相等C ．同旁内角互补D ．以上都不对⑵ 1∠和2∠是同旁内角，若145∠=︒，则2∠的度数是（ ） A ．45︒ B ．135︒ C ．45︒或135︒ D. 不能确定⑶ 如图，下面推理中，正确的是（ ）A ．∵180A D ∠+∠=°，∴AD BC ∥B ．∵180CD ∠+∠=°，∴AB CD ∥ C ．∵180A D ∠+∠=°，∴AB CD ∥ D ．∵180A C ∠+∠=°，∴AB CD ∥(北京三帆中学期中)⑷ 如图，直线a ∥b ，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）A ．50°B ．40°C ．150°D ．130°(北京101中期中)⑸ 如图，直线AB CD ∥，EF CD ⊥，F 为垂足，如果20GEF ∠=°，则1∠的度数是（ ）A ．20°B ．60°C ．70°D ．30°(北京八中期中)⑹ 如图，直线a b ∥，点B 在直线b 上，且AB BC ⊥，155∠=°，则2∠的度数为______21ba CBA(北京八十中期中)⑺ 如图，1∠和2∠互补，那么图中平行的直线有（ ）A ．a b ∥B ．c d ∥C ．d e ∥D ．c e ∥夯实基础DCBA21edc baba 21DGF1E CB A3 第二级（上）·第1讲·基础-提高-尖子班·教师版(北京十三分期中)⑻ 将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：①12∠=∠；②34∠=∠；③2490∠+∠=°；④45180∠+∠=°，其中正确的个数（ ）12345A ．1B ．2C ．3D ．4(北京十三分期中)⑼ 如图，直线12l l ∥，AB CD ⊥，134∠=°，那么2∠的度数是 ．21l 2l 1DCB A(北京一六一中期中)⑽ 将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果164∠=°，那么2∠等于 ．21(北京一六一中期中)【解析】 ⑴D ； ⑵D ；⑶C ；⑷D ；⑸C ；⑹35°； ⑺D ；⑻D ；⑼56°； ⑽52°.【例2】 ⑴ 如图，∥AB CD ,B D ∠=∠,请说明12∠=∠，请你完成下列填空，把解答过程补充完整．解：∵AB CD ∥，∴180BAD D ∠+∠=°（ ）． ∵B D ∠=∠， ∴BAD ∠+ 180=°（等量代换）． ∴ （同旁内角互补，两直线平行）． ∴12∠=∠（ ）．（北京市海淀区期末）⑵ 填空，完成下列说理过程.如图，DP 平分ADC ∠交AB 于点P ，90DPC ∠=︒，如果∠1＋∠3＝90°，那么∠2和∠4相等吗？说明理由. 解：∵DP 平分ADC ∠，∴∠3＝∠ （ ）21D C BA P D CBA43214∵APB ∠= °，且90DPC ∠=︒， ∴∠1＋∠2＝90°. 又∵∠1＋∠3＝90°，∴∠2＝∠3. （ ） ∴∠2＝∠4.（北京市朝阳区期末）⑶ 如图,已知DE AC ∥，DF AB ∥，求A B C ∠+∠+∠度数．4321FEDCBA解：∵DE AC ∥（ ），∴C ∠= （ ）， 3∠= （ ） 又∵DF AB ∥（ ） ∴B ∠= （ ） A ∠= （ ） ∴3A ∠=∠（ ）∴123A B C BDC ∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠= （ ）【点评】第⑶题即证明了三角形内角和等于180°． 【解析】 ⑴ 依次填：两直线平行，同旁内角互补；B ∠；∥AD BC ；两直线平行，内错角相等⑵ 4，角平分线定义，180，同角的余角相等⑶ 已知；1∠；两直线平行，同位角相等；4∠；两直线平行，内错角相等；已知；2∠；两直线平行，同位角相等；4∠；两直线平行，同位角相等；等量代换；180°；平角定义．【例3】 ⑴ 如图，已知直线AB CD ∥， 115C ∠=°，25A ∠=°，则E ∠ 的度数为 度．⑵ 如图，不添加辅助线，请写出一个能判定EB AC ∥的 条件： .⑶ 如图，点E 在AC 的延长线上，给出下列条件：① 12∠=∠；② 34∠=∠；③ A DCE ∠=∠； ④ D DCE ∠=∠；⑤ 180A ABD ∠+∠=°； ⑥ 180A ACD ∠+∠=°；⑦ AB CD =.能力提升ABC D E图3EDC B AF 4321EDCB A5第二级（上）·第1讲·基础-提高-尖子班·教师版能说明AC BD ∥的条件有 .⑷ 如图，直线EF 分别与直线AB 、CD 相交于点G 、H ， 已知1260∠=∠=°，GM 平分HGB ∠交直线CD 于点M ． 则3∠=（ ）A ．60°B ．65°C ．70°D ．130°【解析】 ⑴ ∵AB CD ∥，115C ∠=°（已知），∴65BFC ∠=°（两直线平行，同旁内角互补） ∴65AFE BFC ∠=∠=°（对顶角相等）． ∵25A ∠=°（已知），∴90E ∠=°（三角形内角和）．⑵ EBD ACB ∠=∠（EBA BAC ∠=∠）等（答案不唯一） ⑶ ②④⑤； ⑷ A ．【例4】 ⑴ 已知：如图1，CD 平分ACB ∠，DE BC ∥，80AED ∠=°，求EDC ∠．⑵ 已知：如图2，1C ∠=∠，2∠和D ∠互余，BE FD ⊥于G ．求证：AB CD ∥．(北京八中期中)EDCBA21G F ED CB A图1 图2【解析】 ⑴ ∵DE BC ∥∴80EDC DCB ACB AED ∠=∠∠=∠=︒，∵CD 平分ACB ∠∴1402EDC DCB ACB ∠=∠=∠=︒⑵ 证明：∵1C ∠=∠（已知）∴BE CF ∥（同位角相等，两直线平行） 又∵BE FD ⊥（已知）∴90CFD EGD ∠=∠=︒（两直线平行，同位角相等） ∴290BFD ∠+∠=︒（平角定义） 又∵290D ∠+∠=︒（已知） ∴BFD D ∠=∠（等量代换）∴AB CD ∥（内错角相等，两直线平行）【例5】 如图，已知：AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于点M 、N ，MG 、NH 分别平分AME ∠、CNE ∠. 求证：MG ∥NH ． 从本题我能得到的结论是：AE BG CDM H F12 3 N MH G FE DCBA6【解析】 ∵AB ∥CD ，∴AME CNE ∠=∠又∵MG 、NH 分别平分AME ∠、CNE ∠∴1122GME AME CNM HNE ∠=∠=∠=∠，∴MG ∥NH从本题我能得到的结论是：两直线平行，同位角的角分线平行. 引导学生举一反三，可得：两直线平行，内错角的角分线平行；两直线平行，同旁内角的角分线互相垂直.模 型示例剖析ab21若∥a b ，则12∠=∠a bc321若∥∥a b c ，则1213180，∠=∠∠+∠=︒ba 321若∥a b ，则123∠=∠+∠ab321若∥a b ，则123360∠+∠+∠=︒【例6】 已知：如图∥AB CD ,点E 为其内部任意一点，求证：BED B D ∠=∠+∠．【解析】 过点E 作∥EF AB ,∵∥EF AB ,∥AB CD （已知）∴∥EF CD （平行于同一条直线的两直线平行）夯实基础知识导航模块二 基本模型中平行线的证明F ABCDEED C BA7第二级（上）·第1讲·基础-提高-尖子班·教师版∵∥EF AB ,（已知）∴B BEF ∠=∠（两直线平行，内错角相等） ∵∥EF CD ,（已知）∴D DEF ∠=∠（两直线平行，内错角相等） ∵BED BEF DEF ∠=∠+∠∴BED B D ∠=∠+∠（等量代换）【例7】 如图，已知AB DE ∥，80ABC ∠=︒，140CDE ∠=︒，求BCD ∠的度数．【解析】 过点C 作CF AB ∥． ∵AB DE ∥且CF AB ∥（已知）∴CF AB DE ∥∥（平行于同一条直线的两直线平行） ∵AB CF ∥且80ABC ∠=︒（已知）∴80BCF ABC ∠=∠=︒（两直线平行，内错角相等）∵DE CF ∥且140CDE ∠=︒（已知）∴180********DCF CDE ∠=︒-∠=︒-︒=︒（两直线平行，同旁内角互补） ∴804040BCD BCF DCF ∠=∠-∠=︒-︒=︒【例8】 如图，已知3180DCB ∠+∠=o ，12∠=∠，:4:5CME GEM ∠∠=，求CME ∠的度数．【解析】 如图延长CM 交直线AB 于点N∵3180DCB ∠+∠=o ，（已知）3ABC ∠=∠（对顶角相等）∴180ABC DCB ∠+∠=o （等量代换） ∴AB ∥CD ，（同旁内角互补，两直线平行） ∴14∠=∠（两直线平行，内错角相等） ∵12∠=∠，（已知） ∴24∠=∠（等量代换） ∴GE ∥CM ，（同位角相等，两直线平行）∴180CME GEM ∠+∠=o （两直线平行，同旁内角互补） ∵:4:5CME GEM ∠∠=， ∴80CME ∠=o【点评】通过辅助线将相关角联系起来.能力提升探索创新FED C B AA BC DE1243AB C DE GMN123ABC DE GM8 判断对错：图中1∠与2∠为同位角（）【解析】×_1∠和2∠不是被同一条直线所截判断对错：垂直于同一条直线的两直线互相平行（）【解析】×_易忘记大前提“在同一平面内”题号班次12345678基础班√√√√√提高班√√√√√尖子班√√√√√知识模块一平行的定义、性质及判定课后演练【演练1】已知如图，1C∠=∠，2B∠=∠，MN与EF平行吗？为什么？NMF21EBAC【解析】∵1C∠=∠（已知），∴MN BC∥（内错角相等，两直线平行）∵2B∠=∠（已知），∴EF BC∥（同位角相等，两直线平行）∴MN EF∥（平行于同一条直线的两直线平行）【演练2】⑴如图1，AB CD∥，AD AC⊥，32ADC∠=°，则CAB∠的度数是．⑵如图2，直线l与直线a，b相交．若a b∥，170∠=°，则2∠的度数是．实战演练219第二级（上）·第1讲·基础-提高-尖子班·教师版⑶ 如图3，直线m n ∥，155∠=°，245∠=°，则3∠的度数为（ ） A ．80° B ．90° C ．100° D ．110°【解析】 ⑴ 122°；⑵ 110°；⑶ C ．【演练3】 ⑴ 根据右图在（ ）内填注理由：①∵B CEF ∠=∠（已知）∴AB CD ∥（ ） ②∵B BED ∠=∠（已知）∴AB CD ∥（ ） ③∵180B CEB ∠+∠=°（已知）∴AB CD ∥（ ）（北京市东城区期末）⑵ 如图：已知12∠=∠，A C ∠=∠，求证：①AB DC ∥ ②AD BC ∥证明：∵12∠=∠（ ） ∴（ ）∥（ ）（ ） ∴C CBE ∠=∠（ ）又∵C A ∠=∠（ ） ∴A ∠= （ ） ∴（ ）∥（ ）（ ）⑶ 如图，∵3E ∠=∠（已知），12∠=∠（已知）又∵∠ =∠ （ ） ∴∠ =∠ （ ） ∴AB CE ∥（ ）【解析】 ⑴ ① 同位角相等，两直线平行；② 内错角相等，两直线平行； ③ 同旁内角互补，两直线平行．⑵ 已知，AB ，CD ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；CBE ∠；等量代换；AD ，BC ；同位角相等，两直线平行． ⑶ 2；3；对顶角相等；1；E ；等量代换；内错角相等，两直线平行．【演练4】 ⑴ 已知：如图1，110D ∠=°，70EFD ∠=°，12∠=∠，求证：3B ∠=∠．(北京三帆中学期中)证明：∵110D ∠=°，70EFD ∠=°（已知）∴180D EFD ∠+∠=° ∴AD ∥ （ ） 又∵12∠=∠（已知）∴ ∥ （ ）∴ ∥ （ ） 图1E D CBA 2112图3F3ED A DFA EB C 图3nm 321图1DC B A图1321F E DCB A10∴3B ∠=∠（ ）⑵ 如图2，EF AD ∥，12∠=∠，70BAC ∠=°．将求AGD ∠的过程填写完整．(北京四中期中)解：∵EF AD ∥，∴2∠= （ ）又∵12∠=∠∴13∠=∠（ ）∴AB ∥ （ ）∴BAC ∠+ 180=°（ ）又∵70BAC ∠=°∴AGD ∠= ．【解析】 ⑴EF ；同旁内角互补，两直线平行；AD ；BC ；内错角相等，两直线平行；EF ；BC ；平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同位角相等．⑵3∠；两直线平行，同位角相等；等量代换；DG ；内错角相等，两直线平行；AGD ∠; 两直线平行，同旁内角互补；110°．【演练5】 如图，已知DA AB ⊥，DE 平分ADC ∠，CE 平分BCD ∠，1290∠+∠=°，求证：BC AB ⊥． 【解析】 ∵DE 平分ADC ∠，CE 平分BCD ∠，1290∠+∠=° ∴180ADC BCD ∠+∠=°，∴AD ∥BC ，∴180DAB ABC ∠+∠=°∵DA AB ⊥，∴90ABC ∠=°，即BC AB ⊥【演练6】 如图，已知12180∠+∠=o ，3B ∠=∠，试判断AED ∠与ACB ∠的大小关系，并对结论进行证明．【解析】 法一：∵12180∠+∠=o ，∴2DFE ∠=∠ ∴AB ∥EF ，∴3ADE ∠=∠ ∵3B ∠=∠，∴B ADE ∠=∠ ∴DE ∥BC ，∴AED ACB ∠=∠法二：延长EF ，找2∠的同位角，证出AB ∥EF ，再找3∠的内错角，证出DE ∥BC 即可．知识模块二 基本模型中平行线的证明 课后演练【演练7】 如图，已知AB ∥CD ，23ABF ABE ∠=∠，23CDF CDE ∠=∠，则:F E ∠∠= .【解析】 分别过点E ，F 做AB 和CD 的平行线，易得：:2:3F E ∠∠=.【演练8】 已知：如图，点E 为其内部任意一点，BED B D ∠=∠+∠. 求证：∥AB CD .ABCDE F123A B D E F12A BC D E 图2132G A E B D FC11 第二级（上）·第1讲·基础-提高-尖子班·教师版 EDC B A【解析】 如图过点E 做∥EF AB ,∵∥EF AB∴B BEF ∠=∠,∵BED BEF DEF B DEF ∠=∠+∠=∠+∠ BED B D ∠=∠+∠∴DEF D ∠=∠∴∥EF CD又∵∥EF AB∴∥AB CDF A B C DE。
初中数学平行线的性质与判定一、引言平行线是初中数学中的重要概念，它在几何学中具有许多重要的性质和应用。
了解平行线的性质和判定方法，对于进行几何证明和解题都有着重要的指导意义。
本文将从平行线的性质和判定方法两个方面进行探讨，以帮助初中学生更好地理解和掌握平行线的相关知识。
二、平行线的性质1. 平行线的定义在平面上，任意两条直线如果永不相交，那么我们称它们是平行线。
2. 平行线的唯一性平面上，通过一点可以画无数条与已知直线平行的直线，但经过一点存在且只存在一条与已知直线平行的直线。
3. 平行线的性质1：对应角相等如果一组平行线被一条截线所切，那么它们所对应的内角和外角分别相等。
4. 平行线的性质2：同位角相等如果两条平行线被一条截线所切，那么它们所对应的同位角相等。
5. 平行线的性质3：内错角互补如果两条平行线被一条截线所切，那么它们所对应的内错角互补，即角的度数之和为180度。
三、平行线的判定方法1. 直线与直线的判定两条直线如果有一点与一直线上的两个角分别相等，那么这两条直线平行。
2. 角与直线的判定如果两条直线上的内角或外角、同位角或内错角相等，那么这两条直线平行。
3. 举例说明例如，已知直线l与直线m分别与一直线n相交，且∠A = ∠B和∠C = ∠D，则可以得出直线l与直线m平行。
四、平行线的应用1. 平行线的应用1：解题在解题中，平行线常常被用来求解线段比例关系、求解角度关系等。
通过运用平行线的性质和判定方法，我们可以更加简洁地解决一些几何问题。
2. 平行线的应用2：建筑设计在建筑设计中，平行线的应用非常广泛。
建筑师常常利用平行线的性质来设计建筑物的立面和空间布局，使其更加美观和合理。
3. 平行线的应用3：地理测量在地理测量中，平行线广泛应用于测量线段的长度和角度的测量。
利用平行线的性质和判定方法，地理测量师可以更准确地进行测量和勘测工作。
五、结论通过对初中数学平行线的性质和判定方法的讨论，我们可以看到平行线在几何学和实际生活中的重要性。
初一数学春季班（教师版）平行线的性质定理知识结构模块一：平行线的性质定理知识精讲平行线的性质定理（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；简记为：两直线平行，同位角相等．（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；简记为：两直线平行，内错角相等．（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；简记为：两直线平行，同旁内角互补．【例1】 如图，AC //DB ，56DBC ∠=o ，则ACB ∠=__________． 【难度】★ 【答案】124度．【解析】因为AC //DB （已知），所以180DBC ACB ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补），因为56DBC ∠=o （已知），所以18056124ACB ︒︒︒∠=-=（等式性质） 【总结】考察平行线的性质的运用．【例2】 （1）如图，已知DE //BC ，A C ∠=∠，则与AED ∠相等的角（不包含AED ∠）有______个；（2）如图，若AB //FD ，则B ∠=____________，若AC //ED ，则DFC ∠=__________．【难度】★【答案】（1）2个；（2）3∠；∠2．【解析】（1）因为DE //BC （已知）， 所以AED C ∠=∠（两直线平行，同位角相等）， 又因为A C ∠=∠（已知），所以A C AED ∠=∠=∠（等量代换）；（2）B ∠=3∠（两直线平行，同位角相等）；2∠=∠DFC （两直线平行，内错角角相等）．【总结】考察平行线的性质的运用．【例3】 如图，直线//a b ，则x y -的值等于（ ）A ．20B ．80C ．120D ．180【难度】★ 【答案】A【解析】因为//a b ，所以ο30=x例题解析321ABCDE ABCDEFABCDO3y°30°xa b又因为3180y x +=，解得ο50=y ，故305020x y ︒-=-=． 【总结】考察平行线的性质及等式性质的综合运用．【例4】 如图，直线//a b ，点B 在直线b 上，且AB BC ⊥，155∠=o ，则2∠的度数是（ ） A ．35oB ．45oC ．55oD ．125o【难度】★ 【答案】A【解析】因为AB BC ⊥（已知），所以90ABC ∠=︒（垂直的意义）因为//a b （已知），所以 1CBD ∠=∠（两直线平行，同位角相等） 因为155∠=o （已知）， 所以55CBD ∠=o （等量代换） 因为2180ABC CBD ∠+∠+∠=o （平角的意义） 所以2180559035︒︒︒︒∠=--=（等式性质）【总结】本题考查平行线的性质及垂直的意义的综合运用．【例5】 如图，直线//a b ，c d ⊥，则下列说法中正确的个数有（）（1）2490∠+∠=o ；（2）1490∠+∠=o ；（3）13∠=∠；（4）3490∠+∠=o ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【难度】★★ 【答案】B【解析】（1）正确：因为//a b ，所以2∠与3∠互为同位角， 又因为c d ⊥，所以3490∠+∠=︒，所以2490∠+∠=︒；（2）错误：14∠=∠（两直线平行，同位角相等）； （3）错误1390∠+∠=︒； （4）正确．所以本题选B【总结】本题考查平行线的性质以及两直线垂直的意义．【例6】 如果两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角（ ）A ．相等或互补B ．互补C ．相等D ．相等且互余【难度】★★ 【答案】A【解析】分为同侧相等和异侧互补两种情况，故选A ．4321a bc d21ABC a bD【总结】本题考查平行线的基本应用，注意分类讨论． 【例7】 如图，已知//AB CD ，x ∠等于（ ）A ．75oB ．80oC ．85oD ．95o【难度】★★ 【答案】C【解析】如图可过的顶点作平行线，那么被分为上下两部分．上半部分与角B 互补；下半部分与角D 互为内错角； 所以易知(180120)2585x ︒︒︒︒∠=-+=．【总结】本题考查平行线的基本应用，老师可以让学生自己动手添加辅助线．【例8】 如图，////AB CD MP AB MN ，，平分4030AMD A D ∠∠=∠=o o ，，，则NMP ∠等于（ ） A ．10oB ．15oC ．5oD ．7.5o【难度】★★ 【答案】C【解析】因为//AB MP （已知）所以A AM P ∠=∠（两直线平行，内错角相等）因为//AB CD （已知）， 所以//MP CD （平行的传递性） 所以D DMP ∠=∠（两直线平行，内错角相等）因为AMD AMP DMP ∠=∠+∠（角的和差），4030A D ∠=∠=o o ，（已知） 所以304070AMD ∠=+=o o o （等式性质）因为MN AMD ∠平分（已知）， 所以ο35=∠=∠NMD AMN （角平分线的意义） 所以40355NMP ∠=︒-︒=︒（等式性质）【总结】本题考查平行线的基本应用，以及角平分线的性质的综合运用．【例9】 如图，//AB CD ，1(220)x ∠=+o ，2(840)x ∠=-o ，求1∠及2∠的度数． 【难度】★★【答案】140240∠=︒∠=︒，．【解析】因为//AB CD （已知），所以12∠=∠（两直线平行，同位角相等）即οο)408()202(-=+x xA BCDMNPx 25°120°ABCD21ABC DEF解得：ο10=x所以140240∠=︒∠=︒，（等式性质） 【总结】本题考查平行线的基本性质．【例10】 如图，已知140∠=o ，2140∠=o ，340∠=o ，能推断出////AB CD EF 吗？为什么？ 【难度】★★ 【答案】能；见解析．【解析】由题意，根据对顶角的性质，可知：2118023180∠+∠=︒∠+∠=︒，所以AB //CD ，CD //EF （同旁内角互补，两直线平行） 所以AB //EF ，即AB //CD //EF ，即证． 【总结】本题考查平行线的判定定理的综合运用．【例11】 已若∠A 的两边与∠B 的两边分别平行，且∠A 是∠B 的2倍少30°，求∠A 与∠B 的度数． 【难度】★★【答案】3030B A ∠=︒∠=︒，或70110B A ∠=︒∠=︒，．【解析】由题意可知，180A B A B ∠=∠∠+∠=︒或，又因为∠A 是∠B 的2倍少30°， 所以230A B ∠=∠-︒，即3030B A ∠=︒∠=︒，或70110B A ∠=︒∠=︒， 【总结】本题考查平行线的性质及两个角的两边平行时的两种情况的讨论．【例12】 已知：如图，123//B AC DE ∠=∠∠=∠，，，且B 、C 、D 在一条直线上． 试说明//AE BD ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】因为//AC DE （已知），所以24∠=∠（两直线平行，内错角相等） 因为12∠=∠（已知），所以14∠=∠（等量代换）所以//AB CE （内错角相等，两直线平行） 所以B ECD ∠=∠（两直线平行，同位角相等）因为3B ∠=∠（已知），所以3ECD ∠=∠（等量代换） 所以//AE BD （内错角相等，两直线平行）4321A BC DE A B C D EF321NM【总结】本题主要考察平行线的性质定理和判定定理的综合运用．【例13】 已知：如图，E 、F 分别是AB 和CD 上的点，DE 、AF 分别交BC 于G 、H ，∠A =∠D ，∠1=∠2，试说明：∠B =∠C ．【难度】★★ 【答案】见解析【解析】因为121AHB ∠=∠∠=∠（已知），（对顶角相等）所以2AHB ∠=∠（等量代换）， 所以//AF ED （同位角相等，两直线平行） 所以D AFC ∠=∠（两直线平行，同位角相等） 因为A D ∠=∠（已知）， 所以A AFC ∠=∠（等量代换） 所以//AB CD （内错角相等，两直线平行） 所以B C ∠=∠（两直线平行，内错角相等）【总结】本题主要考察平行线的性质定理和判定定理的综合运用．【例14】 如图，直线GC 截两条直线AB 、CD ，AE 是GAB ∠的平分线，CF 是ACD ∠的平分线，且//AE CF ，那么AB CD ∥吗？为什么？ 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】因为AE 是GAB ∠的平分线，CF 是ACD ∠的平分线（已知）所以GAE EAB ACF FCD ∠=∠∠=∠，（角平分线的性质）因为//AE CF （已知），所以GAE ACF ∠=∠（两直线平行，同位角相等） 所以EAB FCD∠=∠（等量代换） 所以//(AB CD 同位角相等，两直线平行)【总结】本题主要考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．【例15】 如图12∠=∠，//DC OA ，//AB OD ，那么C B ∠=∠，为什么？ 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】因为//DC OA （已知），所以COA C ∠=∠（两直线平行，内错角相等）， 即1COB C ∠+∠=∠21ABCDOABCDEFG21ABCDEFGH因为//AB OD （已知）， 所以DOB B ∠=∠（两直线平行，内错角相等） 即2COB B ∠+∠=∠， 又因为12∠=∠（已知），所以B C ∠=∠（等量代换） 【总结】本题考查平行线的判定及性质的综合运用．【例16】 如图，已知AD 平分BAC ∠，12∠=∠，试说明1F ∠=∠的理由．【难度】★★ 【答案】见解析【解析】因为AD 平分BAC ∠（已知），所以2BAD ∠=∠（角平分线的意义）因为12∠=∠（已知）， 所以1BAD ∠=∠（等量代换） 所以//EF AD （同位角相等，两直线平行） 所以2F ∠=∠（两直线平行，同位角相等） 所以1F ∠=∠（等量代换）【总结】本题考查平行线的判定及性质的运用．【例17】 已知：如图，AGH B CGH BEF ∠=∠∠=∠，，EF ⊥AB 于F ，试说明CG ⊥AB ． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】因为AGH B ∠=∠（已知）所以//HG CB （同位角相等，两直线平行） 所以CGH BCG ∠=∠（两直线平行，内错角相等）因为CGH BEF ∠=∠（已知），所以BEF BCG ∠=∠（等量代换） 所以//EF CG （同位角相等，两直线平行） 因为EF ⊥AB （已知）， 所以CG ⊥AB ．【总结】本题主要考察平行线的判定定理、性质定理及垂直的判定的综合运用．【例18】 已知，正方形ABCD 的边长为4cm ，求三角形EBC 的面积．【难度】★★ 【答案】8平方厘米．【解析】由题意可知：三角形EBC 与正方形同底BC ，且其高即是 正方形的边DC ，故三角形面积为正方形面积的一半：24428cm ⨯÷= 【总结】本题考查三角形的面积的计算，注意三角形与正方形同底等高．ABCDEABCGE FH21ABCDEF【例19】 如图，AD //BC ，52BC AD =，求三角形ABC 与三角形ACD 的面积之比． 【难度】★★★ 【答案】5:2．【解析】因为//AD BC （已知）所以三角形ABC 与三角形ACD 的高相等（平行线间的距离处处相等） 所以::52ABC ACD S S BC AD ∆∆==：（两三角形高相等，面积比等于底之比） 【总结】本题考查平行线距离处处相等及三角形的面积比问题．【例20】 如图，//AB GE ，//CD FG ，BE =EF =FC ，三角形AEG 的面积等于7，求四边形AEFD 的面积． 【难度】★★★ 【答案】21【解析】联结BG 、CG ．因为//AB GE （已知）所以BEG AEG S S ∆∆=（同底等高的两个三角形面积相等）因为BE =EF （已知）， 所以BEG GEF S S ∆∆=（等底等高的两个三角形面积相等） 所以AEG GEF S S ∆∆==7（等量代换）， 同理7GEF DFG S S ∆∆==． 所以77721AEG GEF DFG AEFD S S S S ∆∆∆=++=++=四边形． 【总结】本题主要考查平行线间的距离处处相等．【例21】 已知E 是平行四边形ABCD 边BC 上一点，DE 延长线交AB 延长线于F ，试说明ABE CEF S S ∆∆与相等的理由．【难度】★★★ 【答案】见解析【解析】因为12ADE DCF ABCD S S S ==△△四边形，所以12CEF DCF DCEDCE ABCD S S S S S ∆∆∆=-=-△四边形， AB CDEFA BCDABCDEFG所以1122ABE ADE DCE DCE DCE ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆=--=--=-四边形四边形四边形四边形所以ABE CEF S S ∆∆=【总结】本题综合性较强，主要考查几何图形的面积关系，注意认真观察图形特征．【例22】 如图，已知AB ∥ED ，试说明：∠B +∠D ＝∠C ． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】过点C 作AB 的平行线CF ，因为AB ∥ED （已知）所以////AB CF ED （平行的传递性）所以B BCF D DCF ∠=∠∠=∠，（两直线平行，内错角相等） 所以B D BCF DCF BCD ∠+∠=∠+∠=∠（等式性质） 【总结】本题考查平行线的性质及辅助线的添加．【例23】 如图所示，已知，++360A B C ︒∠∠∠=，试说明AE ∥CD ． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】过点B 向右作BF //AE ，所以180A ABF ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补）因为++360A B C ︒∠∠∠=（已知） 所以180FBC C ∠+∠=︒（等式性质） 所以//BF CD （同旁内角互补，两直线平行） 所以//AE CD （平行的传递性）【总结】本题考查平行线的判定及性质的综合运用，注意简单的辅助线的添加方法．【例24】 如图，已知：AB //CD ，试说明：∠B +∠D +∠BED =360︒（至少用三种方法）． 【难度】★★ 【答案】见解析例题解析模块二：辅助线的添加ABCD EFE CBDA F AEB【解析】方法一：连接BD则∠EBD +∠EDB +∠E =180°（三角形内角和等于180°）因为AB //CD （已知），所以∠ABD +∠BDC =180°（两直线平行，同旁内角互补） 所以∠ABD +∠EBD +∠EDB +∠BDC +∠E =360°，即∠B +∠D +∠BED =360°方法二：过点E 作EF //CD ，因为//AB CD （已知）， 所以//EF AB （平行的传递性）所以∠B +∠BEF =180°，∠D +∠DEF =180°（两直线平行，同旁内角互补） 所以∠B +∠BEF +∠D +∠DEF =360°（等式性质） 即∠B +∠D +∠BED =360°； 方法三：过点E 作//EF BA因为//AB CD （已知）， 所以//EF AB （平行的传递性）所以180180ABE BEF FED EDC ∠+∠=︒∠+∠=︒，（两直线平行，同旁内角互补） 所以∠B +∠D +∠BED =360︒（等式性质）；方法四：过点E 作EF ⊥CD 的延长线与F ，EG 垂直于AB 的延长线于G ， 则有：∠B =∠BGE +∠GEB ，∠D =∠EDF +∠DFE ，所以∠B +∠D +∠BED =∠BGE +∠DFE +∠GED =180+180=360°．【总结】本题考查平行线的判定及性质的综合运用，注意多种方法的归纳总结．【例25】 如图所示，在六边形ABCDEF 中，AF ∥CD ，∠A =∠D ，∠B=∠E ，试说明BC ∥EF 的理由． 【难度】★★★ 【答案】见解析 【解析】连接AD 、BE因为AF ∥CD （已知）所以FAD ADC ∠=∠（两直线平行，内错角相等）因为BAF CDE ∠=∠（已知）， 所以BAD ADE ∠=∠（等式性质） 所以AB ∥DE （内错角相等，两直线平行） 所以ABE BED ∠=∠（两直线平行，内错角相等）因为ABC FED ∠=∠（已知）， 所以EBC BEF ∠=∠（等式性质） 所以BC ∥EF （内错角相等，两直线平行）【总结】本题主要考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．A BCDEF【例26】 如图已知，AB //CD ，∠ABF =23∠ABE ，∠CDF =23∠CDE ，求∠E 和∠F 的关系． 【难度】★★★【答案】:32E F ∠∠=：．【解析】过点E 、点F 分别作AB 的平行线EG 、FH ．因为////EG AB FH AB ，所以/////(AB EG FH CD 等量代换)所以ABF BFH ∠=∠（两直线平行，内错角相等） 所以CDF DFH ∠=∠（两直线平行，内错角相等）所以BFD DFH BFH CDF ABF ∠=∠+∠=∠+∠（等量代换） 同理：BED DEG BEG ABE CDE ∠=∠+∠=∠+∠（等量代换） 因为∠ABF =23∠ABE ，∠CDF =23∠CDE 所以22()33BFD DFH BFH CDF ABF ABE CDE BED ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠所以:32E F ∠∠=：【总结】本题考查平行线的性质定理及角的和差的综合运用，注意辅助线的添加．【例27】 如图，已知：AC //BD ，联结AB ，则AC 、BD 及线段AB 把平面分成①②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何一个部分，当点P 落在某个部分时，联结P A 、PB ，构成∠P AC 、∠APB 、∠PBD 三个角（提示：有公共角断点的两条重合的射线所组成的角是0°角）（1） 当点P 落在第①部分时，试说明：∠P AC +∠PBD =∠APB ； （2） 当点P 落在第②部分时，试说明：∠P AC +∠PBD =∠APB 是否成立?（3）当点P 落在第③部分时，全面探究∠P AC 、∠APB 、∠PBD 之间的关系是__________，并写出动点P 的具体位置和相应的结论，选择其中一种加以证明．321321321321A CP A CA CA CABCD E F【难度】★★★ 【答案】略．【解析】（1）过点P 作PE // AC ．//////AC BD AC PE BD 因为，所以（平行的传递性）所以PAC APE BPE PBD ∠=∠∠=∠，（两直线平行，内错角相等） 因为APB APE BPE ∠=∠+∠（角的和差） 所以APB PAC PBD ∠=∠+∠（等量代换） （2）不成立，过点P 作AC 的平行线即可证明． （3）分类讨论如下：①当动点P 在射线BA 的右侧时，结论是PBD PAC APB ∠=∠+∠； ②当动点P 在射线BA 上时，结论是0PBD PAC APB PAC PBD APB APB PAC PBD ∠=∠+∠∠=∠+∠∠=︒∠=∠或或，（任写一个即可）③当动点P 在射线BA 的左侧时，结论是APB PAC PBD ∠+∠=∠．【总结】本题综合性较强，一方面要通过添加平行线来寻找角度之间的关系，另一方面要从多个角度去讨论题目中的条件及结论．【习题1】 填空：（1） 如图（1），AB //CD ，CE 平分ACD ∠，120A ∠=o ，则ECD ∠________； （2） 如图（2），已知AB //CD ，100B ∠=o ，EF 平分BEC ∠，EG EF ⊥， 则DEG ∠=__________．【难度】★【答案】（1）30°； （2）50°．随堂检测ABCDEFGE ABCD图（1）图（2）【解析】（1）因为AB ∥CD （已知），所以180A ACD ∠+∠=o （两直线平行，同旁内角互补）因为120A ∠=o （已知）， 所以18012060ACD ∠=-=o o o （等式性质） 又因为CE 平分∠ACD （已知）， 所以∠ECD =30°（角平分线的意义）（2）因为AB ∥CD （已知）， 所以180B BEC ∠+∠=o （两直线平行，同旁内角互补）因为100B ∠=o （已知）， 所以18010080BEC ∠=-=o o o （等式性质） 又因为EF 平分BEC ∠（已知）， 所以∠BEF =40°（角平分线的意义） 因为EG ⊥EF （已知）， 所以90GEF ∠=o （垂直的意义） 因为180DEG GEF CEF ∠+∠+∠=（平角的意义） 所以180904050DEG ∠=--=o o o o （等式性质） 【总结】本题考查平行线的性质的运用．【习题2】 填空：（1）如图，直线//a b ，三角形ABC 的面积是422cm ，AB =6cm ，则a 、b 间的距离 为_________；（2）如图，在三角形ABC 中，点D 是AB 的中点，则三角形ACD 和三角形ABC 的面 积之比为____________． 【难度】★【答案】（1）14厘米 ；（2）12．【解析】（1）三角形ABC 的高为：422614⨯÷=，所以a 、b 间的距离为14厘米； （2）因为三角形ACD 和三角形ABC 高相等， 所以面积之比等于底之比，21==∆∆AB AD S S ABC ACD 即． 【总结】本题考查平行线间距离及同高等底的三角形面积的之比．【习题3】 如图，已知FC //AB //DE ，::2:3:4D B α∠∠∠=,则α∠、D ∠、B ∠的度数分别为______________． 【难度】★【答案】72α∠=︒，108D ∠=︒，144B ∠=︒．aCA bABCDBABC F【解析】因为FC //AB //DE （已知），所以互补）两直线平行，同旁内角(180ο=∠+∠CFB B D CFD ∠=∠（两直线平行，内错角相等）设234x D x B x α∠=∠=∠=，，，则可列方程：180423x x x -+=，解得：36x =︒ 则72α∠=︒，108D ∠=︒，144B ∠=︒．【习题4】 如果两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的3倍多12°，则这两个角是()．A ．42°和138°B ．都是10°C ．42°和138°或都是10°D ．以上都不对【难度】★★ 【答案】A【解析】由题意假设这两个角分别为A 、B ，则有：180A B A B ∠=∠∠+∠=︒或，又因为∠A 是∠B 的3倍多12°，则有：312A B ∠=∠+︒， 即180********B B B A ︒-∠=∠+︒∠=︒∠=︒，解得：，． 【总结】本题考查两角位置关系的可能性，注意两种情况的讨论．【习题5】 如图，已知QR 平分∠PQN ，NR 平分∠QNM ，∠1+∠2=90°，那么直线PQ 、MN 的位置关系． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】因为QR 平分∠PQN ，NR 平分∠QNM （已知）所以21PQN ∠=∠，22MNQ ∠=∠（角平分线的意义） 因为∠1+∠2=90°（因为），所以∠PQN +∠MNQ =180°（等式性质） 所以PQ ∥MN （同旁内角互补，两直线平行）【总结】本题考查平行线的判定及角平分线意义的综合运用．【习题6】 如图，已知：AB ∥CD ，EF 和AB 、CD 相交于G 、H 两点，MG 平分∠BGH ，NH平分∠DHF ，试说明：GM ∥NH ． 【难度】★★ 【答案】略．【解析】//AB CD Q （已知）BGH DHF ∴∠=∠（两直线平行，同位角相等）Q 又MG 平分∠BGH ，NH 平分∠DHF21NM RQ P G21AB CDEMNH111,222BGH DHF ∴∠=∠∠=∠12∴∠=∠（等量代换） //GM HN ∴（同位角相等，两直线平行） 【总结】本题考查平行线的判定【习题7】 如图所示，在直角三角形ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，AB =5，三角形内一点O 到各边的距离相等，求这个距离是多少． 【难度】★★ 【答案】1．【解析】设这个距离是x ，则有：()1662ABC S AC BC AB x x ∆==++⨯=， 解得：1x =．【总结】本题可以用面积法求解比较简单．【习题8】 如图，已知AB ，CD 分别垂直EF 于B ，D ，且∠DCF =60°，∠1=30°．试说明：//BM AF ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】因为CD ⊥EF ， 所以90CDF ∠=o（垂直的意义）因为∠DCF =60°（已知）， 所以∠F =30°（三角形的内角和等于180°）因为∠1=30°（已知）， 所以∠1=∠F （等量代换） 所以BM ∥AF （同位角相等，两直线平行）【总结】本题考查平行线的判定及垂直的意义的综合运用．【习题9】 如图，已知直线12//l l ；（1）若1(2)x y ∠=+o ，2x ∠=o ，4(30)y ∠=+o 求1∠，2∠，4∠的度数； （2）若2x ∠=o，3y ∠=o，[]42(2)x y ∠=-o，求x 、y 的值．【难度】★★ 【答案】见解析【解析】（1）因为∠1+∠2=180°（平角的意义），所以2180x y x ++=︒，即x +y =90° 因为12l l ∥ （已知）， 所以∠2=∠4（两直线平行，同位角相等）ABCO 1ABCDEFM4321l 1 l 2即x = y +30， 解得：x =60°，y =30°，所以∠1=120°，∠2=60°，∠4=60°； （2）因为∠3+∠2=180°（平角的意义）， 所以x +y =180°， 因为12l l ∥ （已知）， 所以∠2=∠4（两直线平行，同位角相等） 即42x x y =-， 解得：x =72°，y =108°． 【总结】本题考查平行线的性质及角度的简单计算．【习题10】 如图，∠ADC =∠ABC ，∠1+∠FDB =180°，AD 是∠FDB 的平分线，试说明BC 为∠DBE 的平分线． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】因为∠1+∠FDB =180°（已知），又因为1ABD ∠=∠（对顶角相等） 所以180ABD BDF ∠+∠=o （等量代换） 所以//AB FD （同旁内角互补，两直线平行） 所以2ABD ∠=∠（两直线平行，内错角相等）因为ADC ABC ∠=∠（已知）， 所以ADB CBD ∠=∠（等式性质） 因为//AE FC （已证）， 所以EBD FDB ∠=∠（两直线平行，内错角相等） 即ADB ADF CBD CBE ∠+∠=∠+∠（角的和差）因为AD FDB ∠是平分线， 所以ADB ADF CBD EBC ∠=∠=∠=∠（角平分线的意义） 即BC 为∠DBE 的平分线【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的判定定理及性质定理以及角平分线的综合运用．【习题11】 如图，已知∠ABC =∠ACB ，AE 是∠CAD 的平分线，问：△ABC 与△EBC 的面积是否相等?为什么?【难度】★★★ 【答案】相等，证明见解析．【解析】因为180DAE EAC BAC ∠+∠+∠=o （平角的意义）又180ABC ACB BAC ∠+∠+∠=o（三角形内角和等于180°） 所以DAE EAC ABC ACB ∠+∠=∠+∠（等式性质） 因为∠ABC =∠ACB ，AE 是∠CAD 的平分线（已知） 所以ABC ACB DAE CAE ∠=∠=∠=∠所以//AE BC （内错角相等，两直线平行）所以AE 与BC 间的距离相等（夹在平行线间的距离处处相等） 所以△ABC 与△EBC 的面积相等（同底等高的两个三角形面积相等）．21AB CDEFA BCDE F【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用，同时还考查了三角形的面积问题．【作业1】 如图，AB //CD ，直线l 分别交AB 、CD 于E 、F ，EG 平分BEF ∠，若40EFG ∠=o ，则EGF ∠的度数是（）A ．60oB ．70oC ．80oD ．90o 【难度】★ 【答案】B【解析】因为AB //CD （已知），所以180BEF EFG ∠+∠=o （两直线平行，同旁内角互补） 因为40EFG ∠=o （已知）， 所以∠BEF =140°（等式性质）因为 EG 平分BEF ∠（已知），所以1702BEG BEF ∠=∠=o（角平分线的意义）因为AB //CD （已知）， 所以BEG EGF ∠=∠（两直线平行，内错角相等） 所以∠EGF =70°（等量代换）【总结】本题考查平行线的性质及角平分线的意义的运用．【作业2】 如图，AB //CD ，下列等式中正确的是（ ）A ．123180∠+∠+∠=oB ．12390∠+∠-∠=oC ．231180∠+∠-∠=oD ．23190∠+∠-∠=o【难度】★ 【答案】C【解析】由题意可得：(1803)(1802)1180︒-∠+︒-∠+∠=︒， 解得：231180∠+∠-∠=︒ 【总结】本题考查平行线的性质．【作业3】 若两直线被第三条直线所截，则下列说法中正确的个数有（ ）（1）一对同位角的角平分线互相平行，（2）一对内错角的角平分线互相平行， （3）一对同旁内角的角平分线互相平行，（4）一对同旁内角的角平分线互相垂直 A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 【难度】★ 【答案】D【解析】（1）同位角不一定相等，×；（2）内错角不一定相等，×；课后作业A BCDEF Gl 213ABCD321FEDCBA（3）×； （4）只有当这对同旁内角互补时才成立，× 【总结】本题考查三线八角的基本运用．【作业4】 直线a c ∥，且直线a 到直线c 的距离是3；直线//b c ，直线b 到直线c 的距离为5，则直线a 到直线b 的距离为（ ） A ．2 B ．3 C ．8 D ．2或8【难度】★★ 【答案】D【解析】当直线a 和直线b 在直线c 的两侧时，距离为8； 当直线a 和直线b 在直线c 的同一侧时，距离为2． 【总结】本题考查平行线的性质，注意分类讨论．【作业5】 已知：如图5，∠1=∠2=∠B ，EF ∥AB ．试说明∠3=∠C ． 【难度】★★ 【答案】略．【解析】因为1B ∠=∠（已知）所以//DE BC （同位角相等，两直线平行） 所以2C ∠=∠（两直线平行，同位角相等）又因为//EF AB （已知）， 所以3B ∠=∠ （两直线平行，同位角相等） 所以3C ∠=∠（等量代换）【总结】本题考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．【作业6】 已知：∠1=60o ，∠2=60o ， AB //CD ．试说明：CD //EF ． 【难度】★★ 【答案】略．【解析】设∠2的对顶角为∠3，因为∠1=∠2 = 60o （已知），所以∠1=∠3（等量代换） 所以AB ∥EF （同位角相等，两直线平行）又因为AB ∥CD （已知） 所以CD ∥EF （平行的传递性） 【总结】本题主要考查平行线的判定．21A B C DEFl【作业7】 如图，已知∠4=∠B ，∠1=∠3，试说明：AC 平分∠BAD ． 【难度】★★ 【答案】略．【解析】因为∠4=∠B （已知）所以CD ∥AB （同位角相等，两直线平行） 所以∠3=∠2（两直线平行，内错角相等）又因为∠1=∠3（已知）， 所以∠1=∠2（等量代换）， 所以AC 平分∠BAD （角平分线的意义）【总结】本题考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．【作业8】 如图，//AD BC ，BD 平分ABC ∠，且:2:1A ABC ∠∠=，求DBC ∠的度数．【难度】★★ 【答案】30°．【解析】因为AD ∥BC （已知）所以∠A +∠ABC =180°（两直线平行，同旁内角互补） 又因为∠A ：∠ABC =2:1（已知）， 所以∠A =120°，∠ABC =60°（等式性质）又因为BD 平分ABC ∠（已知）， 所以∠DBC =30°（角平分线的意义） 【总结】本题考查平行线的性质及角平分线的综合运用【作业9】 如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置．若∠AED ′＝65°，则C FB '∠的度数为___________． 【难度】★★ 【答案】65°【解析】因为翻折， 所以D EF DEF '∠=∠（翻折的性质）因为180AED D EF DEF ''∠+∠+∠=o（平角的意义） 又∠AED ′＝65°（已知）， 所以ο5.572180='∠-=∠='∠D AE DEF EF D （等式性质） 因为//AD BC （已知）， 所以180DEF EFC ∠+∠=o （两直线平行，同旁内角互补）EFB DEF ∠=∠（两直线平行，内错角相等）所以EFB ∠57.5=o ，18057.5122.5EFC ∠=-=o o o （等式性质）因为EFC EFC '∠=∠（翻折的性质） 所以65C FB EFC EFB ''∠=∠-∠=︒．EDBC′F CD ′ A2431ABCDABCD【总结】本题主要考查平行线的性质及翻折的性质的综合运用．【作业10】 如图，已知AD //BC ，AB //EF ，DC //EG ，EH 平分FEG ∠，110A D ∠=∠=o ，试说明线段EH 的长是AD 、BC 间的距离． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】因为AD //BC （已知）所以180A B ∠+∠=o ，180C D ∠+∠=o（两直线平行，同旁内角互补） 因为110A D ∠=∠=o （已知）， 所以∠B =∠C =70°（等式性质）因为AB //EF ，DC //EG （已知），所以∠EFG =∠B ，∠EGF =∠C （两直线平行，内错角相等）所以∠EFG = ∠EGF = 70°（等量代换）， 所以∠FEG =40°因为EH 平分FEG ∠（已知）， 所以1202FEH FEG ∠=∠=o（角平分线的意义）所以18090FHE FEH EFH ∠=-∠=∠=o o （三角形内角和等于180°） 即EH 的长是AD 、BC 间的距离．【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的性质及三角形的内角和以及平行线间的距离．【作业11】 如图，AB l ⊥，CD l ⊥（点B 、D 是垂足），直线EF 分别交AB 、CD 于点G 、H ．如果EGB m ∠=o ，FGB n ∠=o ，且(3)EHD m n ∠=-o o ，试求出EGB ∠、BGF ∠、EHD ∠的度数． 【难度】★★★【答案】60EGB ∠=︒，120BGF ∠=︒，60EHD ∠=︒． 【解析】因为AB l ⊥，CD l ⊥（已知）所以//AB CD （垂直于同一直线的两直线平行）所以180FGB EHD ∠+∠=o （两直线平行，同旁内角互补） EGB EHD ∠=∠（两直线平行，同位角相等） 即3180n m n +-=，3m m n =-， 解得：60m =︒，120n =︒．所以60EGB ∠=︒，120BGF ∠=︒，60EHD ∠=︒． 【总结】本题主要考查平行线的性质的运用．A B C D EFGHlA BCD E F GH【作业12】 如图，已知//AB CD ，EG 、FH 分别平分AEF ∠、DFN ∠，那么90GEF DFH ∠+∠=o ，试说明理由．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】因为//AB CD （已知）所以AEF CFN ∠=∠（两直线平行，同位角相等） 因为180CFN DFN ∠+∠=︒（平角的性质） 又因为EG 、FH 分别平分AEF ∠、DFN ∠（已知）所以180AEG GEF DFH NFH ∠+∠+∠+∠=︒（角的和差） 即2180GEF DFH ∠+∠=︒， 所以90GEF DFH ∠+∠=o ． 【总结】本题考查平行线的性质及角平分线性质的综合应用．【作业13】 如图，已知AB ∥EF ，∠B =45°，∠C =x °，∠D =y °，∠E =z °，试说明x 、y 、z之间的关系． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】由题意，过C 、D 两点分别作AB 的平行线CM 、DN因为AB ∥EF （已知）所以//////AB CM DN EF （平行的传递性）所以B BCM ∠=∠，MCD CDN ∠=∠，EDN E ∠=∠（两直线平行，内错角相等） 因为∠B =45°，∠C =x °，∠D =y °，∠E =z °（已知） 所以45x y z -=-（等式性质） 即45x y z -+=．【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的性质以及辅助线的添加，注意观察角度间的关系．ABCDEFG HNABCDEF MN。
