2020-2021学年北师大版高中数学必修五模块检测试题及答案解析

（新课标）最新北师大版高中数学必修五解三角形 同步练习一、选择题1．在ABC ∆中，若222a c b ab -+=，则C 等于 （ ）A ． 60o B. 120o C. 45o 或135o D. 30o2．在△ABC 中，若AC=16,∠A=60o ，面积S =，则BC 为 （ ）A ．75 B.51 C. D. 493.平行四边形ABCD 中，若AC BD ==18，则这个平行四边形的面积是 ( )A.16B. 352 C. 18 D.324. 在ABC ∆中,周长7.5,sin :sin :sin 4:5:6p A B C ==,则下列式子成立的个数是( )①::4:5:6a b c =；②::2a b c =③::4:5:6A B C =；④2, 2.5,3a b c ===.A.0B.1C. 2D.35. 已知ABC ∆的三边长分别为AB ,AC ,BC =,其中,,,(0,)m n t ∈+∞,则ABC ∆是 ( )A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.以上三种情况都有可能6. 在ABC ∆中,已知下列条件解三角形,其中有惟一解的个数为 ( )①60,1A a b ===o ；②30,1,2A a b ===o ；③30,10,6A c b ===o ；④. 30,15,5A c a ===oA.0B.1C.2D.37. 在ABC ∆中, C=60o,a+b=2(3+1),c=22，则A 等于 ( )A.45oB.75oC. 45o 或75oD.90o8. 在ABC ∆中,若60,1,ABC A b S ∆===o 则sin sin sin a b c A B C ++++等于 ( )A.81B.3C.3D.9.若满足30,10A BC ==o 的ABC ∆恰好有不同的两个,则边AB 的长的取值范围是 ( )A.(10,20)B. (5,10)C. [20,)+∞D. (5,10)[20,)+∞U10.一艘船以4/km h 的速度沿着与水流方向成120o的方向航行,已知河水流速为2/km h,则经过,该船的实际航程为( )A. B.6km C. D.8km二、填空题11. 在ABC ∆中，,2,45a xcm b cm B ===o，若利用正弦定理解三角形时有两解，则x 的取值范围是_____.12.设,,a b c 分别是ABC ∆中角,,A B C 的对边，若120,3,5,A b c ===o 则sin sin B C +=_______．13.在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为θ，由此点向塔沿直线行走30m 测得塔顶的仰角为2θ,再向塔前进又测得塔顶的仰角为4θ,则塔高为__________m ．14. 在ABC ∆中，若48,2ABC S ac c a ∆==-=,则b =_______．三、解答题15. 在ABC ∆中，若2cos(60)b c a C -=+o ,求A .16．在△ABC 中，已知2cosAsinB=sinC ，且(a+b+c)(a+b-c)=3ab ，试判断三角形的形状．17. 在ABC ∆中，已知32,10,cos 4C A a c A =+==，求： （1）ca 的值； （2）b 的值.18.已知飞机在高空以300/km h 的速度按水平方向向东飞行,飞机的航线和山顶C 在同一铅直平面内,若机上某人在A 处先测得海拔高度为4000m 的山顶C 的俯角为15o,经120秒后在B点又测得山顶C 的俯角为60o ,求飞机现在的海拔高度.19.设外接圆半径为6的ABC ∆的边,,a b c 所对的角分别为,,A B C .若面积22()S a b c =--且4sin sin 3B C +=. (1)求sin A 的值； (2)求ABC ∆面积的最大值.15o 60o参考答案一、选择题1.A2.D3.A4.C5.C6.D7.B8.B9.A10.B二、填空题11.2x << 12. 13.15 14.三、解答题15.解：∵2cos(60)2(cos 60cos sin 60sin )b c a C a C C -=+=-o o o .∴cos b c a C C -=.由正弦定理，得:sin sin sin cos sin B C A C A C -=-.又∵()B A C π=-+，∴sin()sin sin cos sin A C C A C A C +-=.即sin cos cos sin sin sin cos sin A C A C C A C A C +-=-.∴cos sin sin AsicC C A C -=.∵sin 0C ≠,cos 1A A +=,即1sin()62A π+=. ∵0A π<<,∴23A π=.16.解：(1)∵3cos 4A =，∴sin A ====. 又2C A =,∴3sin sin 22sin cos 24C A A A ====. 由正弦定理,得:sin sin a c A C =,∴sin 3sin 2c C a A ===.(2)由(1)得:23a c =,又10a c +=, ∴4,6a c ==. 由余弦定理,得:22222361620cos 22612b c a b b A bc b b +-+-+===⋅⋅. 又已知3cos 4A =, ∴2203124b b +=,即29200b b -+=.解之,得:4b =,或5b =.经检验知: 4b =不合, ∴5b =.17.解:(1)由1sin 2S bc A =和题设条件得: 221sin ()2bc A a b c =--. 即2221sin 2()2bc A bc b c a =-+-.根据余弦定理,得: 1sin 22cos 2bc A bc bc A =-.∴sin 44cos A A =-.∵22sin cos 1A A +=,∴224sin sin ()14A A -+=.解之,得8sin 17A =.(2) ∵4sin sin 3B C +=,由正弦定理,得:4223b c R R +=,即:42163b c R +=⨯=. ∴16c b =-. ∴2211844sin (16)(16)[(8)64]22171717S bc A b b b b b ==-⨯=-+=--+.∴当8b =时,max 25617S =.18．解：如图，15,60BAC DBC ∠=∠=o o ,故45BCA ∠=o ,又23001060AB =⨯=(km). 则在ABC ∆中，由正弦定理，得:sin15sin 45ABBC =o o .故10sin151)sin 45AB BC ===o o (km). 在Rt BDC ∆中,15sin 601) 3.17022CD BC ==⋅=o (km)=3170m. 从而,有:400031707170+=(m).答：飞机现在的海拔高度为7170m.19．解:(1)由1sin 2S bc A =和题设条件,可得: 221sin ()2bc A a b c =--,即:2221sin 2()2bc A bc b c a =-+-.根据余弦定理,得: 1sin 22cos 2bc A bc bc A =-.∴sin 44cos A A =-,即:4sin cos 4AA -=.∵22sin cos 1A A +=,∴224sin sin ()14A A -+=.结合sin 0A >的条件,可解得:8sin 17A =. (2)∵4sin sin 3B C +=,由正弦定理,得:4223b c R R +=.42163b c R +=⨯=,即16c b =-.21184sin (16)(16)221717S bc A b b b b ==-⨯=-+24[(8)64]17b =--+.∴当8b =时,max 25617S =.。

（新课标）最新北师大版高中数学必修五第一章 数 列（北京师大版必修5）实际用时满分实际得分150分一、选择题（每小题5分，共60分）1.等差数列{}的前n 项和为，＝－18，＝－52，等比数列{}中，=，=，则的值为A.64B.－64C.128D.－1282.已知｛a n ｝是递增数列，且对任意n ∈N*都有a n =n 2+λn 恒成立，则实数λ的取值范围是( ) A.(－72,+∞) B.(0,+∞) C.(－2,+∞) D.(－3,+∞)3.设数列{}是以2为首项，1为公差的等差数列，数列{}是以1为首项，2为公比的等比数列，则=A.1033B.1034C.2057D.2058 4.等比数列{}的前n 项和为，=1，若4，2，成等差数列，则＝A.7B.8C.16D.155.已知一等比数列的前三项依次为33,22,++x x x ，那么2113-是此数列的第（）项. A ．2 B ．4 C ．6 D ．86.在ABC ∆中,tan A 是以－4为第三项,4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以13为第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是（ ） A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．以上都不对7.等比数列{}n a 的各项均为正数,且564718a a a a +=，则3132log log a a ++L +310log a =（ ） A.12 B.10C.31log 5+D.32log 5+ 8.在公比为整数的等比数列{}n a 中，如果,12,183241=+=+a a a a 那么该数列的前8项之和为（ ）A.513B.512C.510D.82259.已知数列｛｝的通项公式为=1(1)n -- •(4n －3),则它的前100项之和为( )A.200B.－200C.400D.－40010.若数列{}的前n 项和S n =n 2－2n+3，则此数列的前3项依次为 ( ) A.－1,1,3 B.2,1,3 C.6,1,3 D.2,3,611.等差数列｛｝中，a 1＞0，S 5＝S 11，则第一个使a n ＜0的项是（ ）12.已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a Λ=（ ） A.)41(16n -- B.)21(16n -- C.)41(332n -- D.)21(332n --二、填空题（每小题4分，共16分）13.三个不同的实数c b a ,,成等差数列，且b c a ,,成等比数列，则::a b c =_________. 14.在数列{}中，a 1=3，且对任意大于1的正整数n ，点（n a ，1-n a ）在直线x －y －3=0上，则=_________.15.等比数列{}n a 的前n 项和为21n-，则数列{}2n a 的前n 项和为______________.16.等差数列{}的前n 项和为，且-=8，+=26.记=，如果存在正整数M ，使得对一切正整数n ，≤M 都成立，则M 的最小值是. 三、解答题（本大题共6题，共74分）17.有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数.18.在数列{}中，=，并且对任意n ∈，n ≥2都有=-成立，令=（n ∈）.（1）求数列{}的通项公式；（2）求数列{}的前n 项和.19.已知{}为各项都为正数的等比数列，=1，=256，为等差数列{}的前n 项和，=2，5=2. （1）求{}和{}的通项公式； （2）设=++…+，求.20. 互不相等的三个数之积为-8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数排成的等差数列.21.已知数列{a n }满足a 1=1,1n a =2a n +1(n ∈N *). （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n}满足114b-•214n b-=(1)n b4b-•…•1a+(n∈N*)，证明：{b n}是等差数列.n22.已知函数f（x）=-2x2+22x，数列{}的前n项和为，点（n，）（n∈）均在函数y=f（x）的图象上.（1）求数列{}的通项公式及前n项和；（2）存在k∈，使得++…+<k对任意n∈恒成立，求出k的最小值.第一章数 列（北京师大版必修5）参考答案1.B 解析：因为＝（+）=9=-18，=（+）=13=-52，所以=-2，=-4.又=，=，所以=2，=·=-4×16=-64.2.D 解析：由｛a n ｝为递增数列得1n a +－a n =2n+1+λ＞0恒成立,即λ＞－2n －1在n ≥1时恒成立，只需λ＞(－2n －1)max =－3,故选D.3.A 解析：由题意知=n+1，=，则=+1，所以++…+=10+=1033.4.D 解析：设公比为q ，则4，2q ，成等差数列，∴4q=4+，∴q=2，∴==16-1=15.5.B 解析：由题意得,得x=-1或x=-4, 当x=-1时，2x+2=0，故舍去，所以,所以-13 ，所以n=4.6.B 解析：设等差数列为｛a n ｝，公差为d,则=-4,=4,所以d=2，所以设等比数列为｛b n ｝，公比为q ，则,=9,所以q=3，所以所以tan tan()1C A B =-+=，所以,,A B C 都是锐角，即此三角形为锐角三角形.7.B 解析：313231031210log log log log ()a a a a a a +++=L L 5103563log ()log (3)10a a ===.8.C 解析：332112131(1)18,()12,,2,22q a q a q q q q q q ++=+====+得或 而q ∈Z,∴q=2,-2=510.9.B 解析：S 100=a 1+a 2+…+a 100=1－5+9－13+17－…+(4×99－3)－(4×100－3)=(1－5)+(9－13)+…+［(4×99－3)－(4×100－3)］=－4×50=－200.10.B 解析：当n=1时，a 1=S 1=12－2×1+3=2;当n=2时，由S 2=a 1+a 2=22－2×2+3=3,得a 2=1;当n=3时，由S 3=a 1+a 2+a 3=32－2×3+3=6,得a 3=3.11.C 解析：由S 5＝S 11 得2a 1＋15d ＝0.又a 1＞0，所以d ＜0．而2＝2a 1＋2（n －1）d ＝（2n －17）d ＜0，所以2n －17＞0，即n ＞8.5．12.C 解析：Θ41252==a a ，，∴.21,41==q a ∴=++++13221n n a a a a a a Λ)41(332n --.13.)2(:1:4- 解析：22222,2,(2),540a c b c b a ab c b a a ab b +==-==--+=，又,4,2a b a b c b ≠∴==-.14.3n 2解析：将点代入直线方程得n a －1-n a =3，由定义知{n a }是以3为首项，以3为公差的等差数列，故n a =3n ，即a n =3n 2.41n -144-1n n -16.2 解析：∵{}为等差数列，由-=8，+=26，得a 1=1，d=4，可解得=2-n ，∴=2-.若≤M 对一切正整数n 恒成立，则只需的最大值≤M 即可.又=2-<2，∴只需2≤M ，故M 的最小值是2.17.解：设这四个数为，a ，aq ，2aq －a,则216,(2)36,a a aq q a aq aq a ⎧=⎪⎨⎪++-=⎩g g ①② 由①，得a 3=216,a=6, ③将③代入②，得q=2 , ∴ 这四个数为3，6，12，18.18.解：（1）当n=1时，==3.当n ≥2时，由=得=1，所以=1.所以数列{}是首项为3，公差为1的等差数列， 所以数列{}的通项公式为=n+2. （2）因为==()，=(1－+++…++)=[－(+)]=.19.解：（1）设{}的公比为q ，由=，得q=4，所以=.设{}的公差为d ，由5=2及=2得d=3， 所以=+（n-1）d=3n-1. （2）因为=1×2+4×5+×8+…+（3n-1），①4=4×2+×5+…+（3n-1），②由②-①，得3=-2-3（4++…+）+（3n-1）=2+（3n-2）·.所以=(n-)·+.20.解：设这三个数为，a ，aq ，∴=－8，即a=-2，∴这三个数为－，－2，－2q.（1）若－2为－和－2q 的等差中项，则+2q=4， ∴－2q+1=0，∴q=1，与已知矛盾；（2）若－2q 为－与－2的等差中项，则+2=4q ， ∴2－q －1=0，∴q=－或q=1（舍去）， ∴这三个数为4，1，－2；（3）若－为－2q 与－2的等差中项，则2q+2=， ∴+q －2=0，∴q=－2或q=1（舍去）， ∴这三个数为4，1，－2.综合（1）（2）（3）可知，这三个数排成的等差数列为4，1，-2.21.（1）解: ∵=2+1（n ∈），∴1+1=2+1n n a a +（），即1+1=2+1n n a a +， {}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列.12.n n a ∴+=即-1（).（2）证法1：12(...)42.n n b b b n nb +++-∴=122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-=① 12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+②②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即1(1)20,n n n b nb +--+=③21(1)20.n n nb n b ++-++=④④－③，得2120,n n n nb nb nb ++-+= 即2120,n n n b b b ++-+=, 故{b n }是等差数列.22.解：（1）因为点（n ，）（n ∈）均在函数y=f （x ）的图象上，所以=-2+22n.当n=1时，==20; 当n ≥2时，=-=-4n+24. 所以=-4n+24（n ∈）.（2）存在k ∈，使得++…+<k 对任意n ∈恒成立，只需k>，由（1）知=-2+22n ， 所以＝-2n+22=2（11-n ）.当n<11时，>0；当n=11时，=0；当n>11时，<0. 所以当n=10或n=11时，++…+有最大值是110. 所以k>110. 又因为k ∈，所以k 的最小值为111.。

（新课标）最新北师大版高中数学必修五章末质量评估(二)(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．在不等边三角形中，a 是最大的边，若a 2<b 2＋c 2，则角A 的取值范围是 ( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πB.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 解析 因为a 是最大的边，所以A>π3. 又a 2<b 2＋c 2，由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0， 可知A<π2，故π3<A<π2. 答案 C2．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，则cosB 等于 ( )． A.14 B.34 C.24 D.23解析 ∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac.又c ＝2a ，∴b 2＝2a 2.∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34. 答案 B3．锐角△ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是 ( )．A ．1<a<3B ．1<a<5 C.3<a< 5 D ．不确定解析 若a 为最大边，则b 2＋c 2－a 2>0，即a 2<5，∴a<5，若c 为最大边，则a 2＋b 2>c 2， 即a 2>3，∴a>3，故3<a< 5.答案 C 4．满足A ＝45°，c ＝6，a ＝2的△ABC 的个数记为m ，则a m 的值为 ( )．A ．4B ．2C ．1D ．不确定解析 由正弦定理a sin A ＝c sin C 得sin C ＝csin A a ＝6×222＝22.∵c>a ，∴C>A ＝45°，∴C ＝60°或120°，∴满足条件的三角形有2个，即m ＝2.∴a m ＝4.答案 A5．在△ABC 中，lg a －lg b ＝lg sin B ＝－lg 2，B 为锐角，则A 的值是 ( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析 ∵lg sin B ＝－lg 2，∴sin B ＝22，又B 为锐角，∴B ＝45°，∵lg a －lg b ＝－lg 2， ∴a ＝22b ，sin A ＝22sin B ＝12，∴A ＝30°. 答案 A6．有一长为1 km 的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )．A ．1 kmB ．2sin 10° kmC ．2cos 10° kmD ．cos 20° km解析 如图所示，∠ABC ＝20°，AB ＝1 km ，∠ADC ＝10°，∴∠ABD ＝160°.在△ABD 中，由正弦定理AD sin 160°＝AB sin 10°，∴AD ＝AB ·sin 160°sin 10°＝sin 20°sin 10°＝ 2cos 10°(km)．答案 C7．在△ABC 中，若lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2，则△ABC 是 ( )．A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形解析 ∵lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝2，∴lg sin A cos Bsin C＝lg 2.∴sin A ＝2cos B sin C ，∵A ＋B ＋C ＝180°，∴sin(B ＋C)＝2cos Bsin C ，∴sin(B －C)＝0.∴B ＝C ，∴△ABC 为等腰三 角形．答案 B8．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，B 为锐角，那么角A ，B ，C 的大小关系为 ( )．A ．A>B>CB ．B>A>CC ．C>B>AD ．C>A>B解析 由正弦定理得a sin 30°＝b sin B ，∴sin B ＝32，又∵B 为锐角，∴B ＝60°，∴C ＝90°， 即C>B>A.答案 C9．若△ABC 中，sin B ·sin C ＝cos 2A 2，则△ABC 的形状为 ( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形解析 由sin B ·sin C ＝cos 2A 2可得2sin B ·sin C ＝2cos 2A 2＝1＋cos A ，即2sin B ·sin C ＝1－cos(B ＋C)＝1－cos Bcos C ＋sin Bsin C ，∴sin B ·sin C ＋cos Bcos C ＝1，即cos(B －C)＝1， 又－π<B －C<π.∴B －C ＝0，即B ＝C.答案 C10．在△ABC 中，若cos A a ＝cos B b ＝sin C c，则△ABC 的形状是 ( )． A ．有一内角为30°的直角三角形B ．等腰直角三角形C ．有一内角为30°的等腰三角形D ．等边三角形解析 由cos A a ＝cos B b ＝sin C c 和正弦定理，知cos A 2Rsin A ＝cos B 2Rsin B ＝sin C 2Rsin C ＝12R，∴⎩⎨⎧ cos A ＝sin A ，cos B ＝sin B ，∴A ＝B ＝45°， ∴△ABC 为等腰直角三角形，故选B.答案 B二、填空题(本题6个小题，每小题5分，共30分)11．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则a sin A＝________. 解析 由S ＝12bcsin A ＝12×1×c ×32＝3，∴c ＝4. ∴a ＝b 2＋c 2－2bccos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13. ∴a sin A ＝13sin 60°＝2393. 答案2393 12．在△ABC 中，若S △ABC ＝123，ac ＝48，c －a ＝2，则b ＝______.解析 由S △ABC ＝12acsin B 得sin B ＝32， ∴B ＝60°或120°.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2accos B＝(a －c)2＋2ac －2accos B∴b 2＝22＋2×48－2×48cos B ，∴b 2＝52或148.即b ＝213或237.答案 213或23713．已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足(a ＋b ＋c)(b ＋c －a)＝3bc ，则A ＝________.解析 由已知得(b ＋c)2－a 2＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc.∴b 2＋c 2－a 22bc ＝12.∴A ＝π3. 答案 π3 14．在△ABC 中，a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为________．解析 S △ABC ＝12ac ·sin B ＝12·c ·sin 45°＝24c ， 又因为S △ABC ＝2，所以c ＝42，由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2accos B ＝1＋32－2×1×42×22＝25， ∴b ＝5，所以△ABC 外接圆的直径2R ＝b sin B＝5 2. 答案 5 215．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2(a>0，b>0)，则最大角为________．解析 a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－(a 2＋ab ＋b 2)22ab ＝－12，∴θ＝120°. 答案 120°16．在△ABC 中，已知A B →·A C →＝9，AB ＝3，AC ＝5，那么△ABC 是________三角形．解析 ∵A B →·A C →＝|A B →|·|A C →|cos A ＝15cos A ＝9∴cos A ＝35，∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·ACcos A ＝ 32＋52－2×3×5×35＝16，∴BC ＝4，∴AC 2＝AB 2＋BC 2，∴△ABC 为直角三角形． 答案 直角三、解答题(共40分)17．(10分)济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A 点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m ，到达B 点，又测得泉标顶部仰角为80°.你能帮李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1 m)解 如图所示，点C ，D 分别为泉标的底部和顶端，依题意，∠BAD＝60°，∠CBD ＝80°，AB ＝15.2 m ，则∠ABD ＝100°，故∠ADB ＝180°－(60°＋100°)＝20°.在△ABD 中，据正弦定理，BD sin 60°＝AB sin ∠ADB， ∴BD ＝AB ·sin 60°sin 20°＝15.2·2sin 60°sin 20°≈38.5(m)． 在Rt △BCD 中，CD ＝BDsin 80°＝38.5·sin 80°≈38(m)，即泉城广场上泉标的高约为38 m.18．(10分)已知a 、b 、c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边．(1)若△ABC 的面积S △ABC ＝32，c ＝2，A ＝60°，求a 、b 的值； (2)若a ＝ccos B ，且b ＝csin A ，试判断△ABC 的形状．解 (1)∵S △ABC ＝12bcsin A ＝32， ∴12b ·2sin 60°＝32.得b ＝1.由余弦定理得： a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝12＋22－2×1×2·cos 60°＝3，所以a ＝ 3.(2)因为a ＝c ·a 2＋c 2－b 22ac⇒a 2＋b 2＝c 2， 所以C ＝90°.在Rt △ABC 中，sin A ＝a c， 所以b ＝c ·a c＝a ，所以△ABC 是等腰直角三角形． 19．(10分)在△ABC 中，三个内角∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，其中c ＝10，且cos A cos B ＝b a ＝43. (1)求证：△ABC 是直角三角形；(2)设圆O 过A 、B 、C 三点，点P 位于劣弧AC 上，∠PAB ＝60°.求四边形ABCP 的面积．(1)证明 根据正弦定理得cos A cos B ＝sin B sinA. ∴sin Acos A ＝sin Bcos B ，即sin 2A ＝sin 2B.∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，又∵b a ＝43，∴b ≠a ，A ≠B ，∴2A ＝π－2B ，∴A ＋B ＝π2，∴C ＝π2， ∴△ABC 是直角三角形． (2)解 由(1)可得a ∶b ∶c ＝3∶4∶5，又∵c ＝10，∴a ＝6，b ＝8.在Rt △ACB 中，sin ∠CAB ＝BC AB ＝35，cos ∠CAB ＝45. ∴sin ∠PAC ＝sin(60°－∠CAB)＝sin 60°·cos ∠CAB －cos 60°·sin ∠CAB＝32×45－12×35＝110(43－3)． 如图，连接PB ，在Rt △APB 中，AP ＝AB ·cos ∠PAB ＝5，∴四边形ABCP 的面积S 四边形ABCP ＝S △ACB ＋S △PAC ＝12ab ＋12AP ·AC ·sin ∠PAC ＝24＋12×5×8×110(43－3)＝18＋8 3. 20．(10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，并且a 2＝b(b ＋c)．(1)求证：A ＝2B ；(2)若a ＝3b ，判断△ABC 的形状．解 (1)因为a 2＝b(b ＋c)，即a 2＝b 2＋bc ，所以在△ABC 中，由余弦定理可得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝c 2＋bc 2ac＝b ＋c 2a ＝a 22ab ＝a 2b ＝sin A 2sin B， 所以sin A ＝sin 2B ，故A ＝2B.(2)因为a ＝3b ，所以a b ＝3，由a 2＝b(b ＋c)可得c ＝2b ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3b 2＋4b 2－b 243b2＝32， 所以B ＝30°，A ＝2B ＝60°，C ＝90°.所以△ABC 为直角三角形．。

模块综合测评(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若c ＝4，a ＝42，A ＝45°，则sin C 等于( )A ．12 B ．22 C ．14D ．24A [由正弦定理得sin C ＝c ·sin A a ＝4×2242＝12．]2．函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为( ) A ．(－4，－1) B ．(－4,1) C ．(－1,1)D ．(－1,1]C [由题⎩⎨⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，⇒－1<x <1．]3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1＝1，S 4S 2＝4，则S 6S 4的值为( )A ．32B ．54C ．94D ．4C [由题意知a 1＝S 1＝1，设公差为d ，则S 4＝4a 1＋6d ，S 2＝2a 1＋d ，结合S 4＝4S 2得d ＝2，∴S 4＝16，S 6＝36，∴S 6S 4＝94．]4．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，3]D [∵x >1，∴x －1>0． 又x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3， (当且仅当x ＝2时取“＝”)， 要使x ＋1x －1≥a 恒成立，只需a ≤3．故选D ．] 5．已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝ (x ∈R )，则p 、q 的大小关系为( ) A ．p ≥q B ．p >q C ．p <q D ．p ≤qA [p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥4，当且仅当a ＝3时等号成立； 当且仅当x ＝0时等号成立．显然，p ≥q ．]6．已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4，那么cos C 的值为( ) A ．－14 B ．14 C ．－23D ．23A [由题意知，sin A ∶sinB ∶sinC ＝a ∶b ∶c ＝3∶2∶4，设a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝4k ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ (3k )2＋(2k )2－(4k )22·3k ·2k ＝－14．]7．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9D ．11A [a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3⇒a 3＝1，S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5．故选A ．]8．已知数列{log 2x n }是公差为1的等差数列，数列{x n }的前100项的和等于100，则数列{x n }的前200项的和等于( )A ．100×(1＋2100)B ．100×2100C ．1＋2100D ．200A [由已知，得log 2x n ＋1－log 2x n ＝1， ∴x n ＋1x n＝2，∴数列{x n }是以2为公比的等比数列．∵数列{x n }的前100项的和等于100，由定义得，数列{x n }的前200项的和等于100×(1＋2100)．]9．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎨⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2A [由x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，画出可行域如图，容易求出A (2,0)，B (5,3)，C (1,3)，可知z ＝y －2x 过点B (5,3)时，z 最小值为3－2×5＝－7．]10．等差数列{a n }中，若3a 8＝5a 13，且a 1>0，S n 为前n 项和，则S n 中最大的是( )A ．S 21B ．S 20C ．S 11D ．S 10B [设数列{a n }的公差为d ，因为3a 8＝5a 13，所以2a 1＋39d ＝0，即a 1＋a 40＝0，所以a 20＋a 21＝0，又a 1>0，d <0，故a 20>0，a 21<0，所以S n 中最大的是S 20．] 11．如图，一轮船从A 点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B ，又从B 沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C ，若此轮船从A 点直接沿直接行驶至海岛C ，则此船沿 方向行驶 海里至海岛C ( )A ．北偏东60°；10 2B ．北偏东40°；10 3C ．北偏东30°；10 3D ．北偏东20°；10 2B [由已知得在△ABC 中，∠ABC ＝180°－70°＋10°＝120°， AB ＝BC ＝10，故∠BAC ＝30°，所以从A 到C 的航向为北偏东70°－30°＝40°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝102＋102－2×10×10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝300，所以AC ＝103．]12．若直线ax －y －a ＋3＝0将x ，y 满足的不等式组⎩⎨⎧x －2y ＋5≥0，x ＋y －1≥0，x －y ＋1≤0表示的平面区域分成面积相等的两部分，则z ＝4x －ay 的最大值是( )A ．－8B ．2C ．4D ．8C [由直线ax －y －a ＋3＝0，得a (x －1)＋(3－y )＝0，此直线恒过点C (1,3)．不等式组⎩⎨⎧x －2y ＋5≥0，x ＋y －1≥0，x －y ＋1≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎨⎧x －2y ＋5＝0，x －y ＋1＝0，解得B (3,4)．由⎩⎨⎧x －2y ＋5＝0，x ＋y －1＝0，解得A (－1,2)，可得C (1,3)是AB 的中点．若直线ax －y －a ＋3＝0，将阴影部分所表示的平面区域分成面积相等的两部分，则直线过顶点M (0,1)，将M (0,1)代入ax －y －a ＋3＝0，解得a ＝2．z ＝4x －ay ＝4x －2y ，即y ＝2x －z 2．易知当y ＝2x －z2经过点B 时，目标函数取得最大值，且最大值为4×3－2×4＝4．故选C ．]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将★答案★填在题中的横线上)13．已知二次函数f (x )＝ax 2－3x ＋2，不等式f (x )＞0的解集为{x |x ＜1或x ＞b }，则b ＝ ．2 [由题意知1，b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两根， 由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a ，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.] 14．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝ ．2n [因为数列{a n }为等比数列，则a n ＝2q n －1，又数列{a n ＋1}也是等比数列，则(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2，解得q ＝1，a n ＝2，所以S n ＝2n ．]15．如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°，与A 相距32海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5海里的C 处，则两艘轮船之间的距离为 海里．13 [如图，连接AC ，由题意知，AB ＝BC ＝5，∠ABC ＝60°，所以△ABC 为等边三角形，则AC ＝5，在△ACD 中，AD ＝32，∠DAC ＝45°，由余弦定理得CD＝13．]16．实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≥0x ＋y －3≥02x ＋y －7≤0，若x －2y ≥m 恒成立，则实数m 的取值范围是 ．(－∞，4] [x ，y 满足的平面区域如图：设z ＝x －2y ，则y ＝12x －12z ， 当经过图中的A 时z 最小，由⎩⎨⎧x －y ＋1＝02x ＋y －7＝0得到A (2,3)， 所以z 的最小值为2－2×3＝－4，所以实数m 的取值范围是(－∞，－4]．] 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2a n ＋4． (1)求证{a n ＋4}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项的和S n ．[解] (1)证明：a n ＋1＝2a n ＋4，变形为a n ＋1＋4＝2(a n ＋4)． 又∵a 1＝－2， ∴a 1＋4＝2，∴数列{a n ＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＋4＝2n ，a n ＝2n －4． (2)由(1)可知，a n ＝2n －4，∴S n ＝2＋22＋ (2)－4n ＝2(1－2n )1－2－4n ＝2n ＋1－4n －2．18．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，2b ＝3a sin B ＋b cos A ，c ＝4．(1)求A ；(2)若D 是BC 的中点，AD ＝7，求△ABC 的面积．[解] (1)∵2b ＝3a sin B ＋b cos A ，可得：2sin B ＝3sin A sin B ＋sin B cos A ，由sin B ≠0，可得2＝3sin A ＋cos A ， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1， ∵A ∈(0，π)，可得：A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，7π6，∴A ＋π6＝π2，解得：A ＝π3． (2)设BD ＝CD ＝x ，则BC ＝2x ，由于cos A ＝b 2＋16－(2x )28b ＝12，可得：4x 2＝b 2－4b ＋16，① ∵∠ADB ＝180°－∠ADC ， ∴cos ∠ADB ＋cos ∠ADC ＝0，∵7＋x 2－1627x ＋7＋x 2－b 227x ＝0，可得：2x 2＝b 2＋2，②联立①②可得：b 2＋4b －12＝0，解得b ＝2． ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×4×32＝23．19．(本小题满分12分)某蔬菜基地种植甲、乙两种无公害蔬菜．生产一吨甲种蔬菜需用电力9千瓦时，耗肥4吨，3个工时；生产一吨乙种蔬菜需用电力5千瓦时，耗肥5吨，10个工时，现该基地仅有电力360千瓦时，肥200吨，工时300个．已知生产一吨甲种蔬菜获利700元，生产一吨乙种蔬菜获利1 200元，在上述电力、肥、工时的限制下，问如何安排甲、乙两种蔬菜种植，才能使利润最大？最大利润是多少？[解] 设种植甲种蔬菜x 吨，乙种蔬菜y 吨，利润为z 元，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋5y ≤360，4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0，目标函数为：z ＝700x ＋1 200y ，作出二元一次不等式组表示的平面区域，即可行域，如图，作直线：700x ＋1 200y ＝0，即7x ＋12y ＝0，平移直线，当直线过A 点时目标函数取最大值．解方程组⎩⎨⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得x ＝20，y ＝24． 所以点A 的坐标为(20,24)．所以z max ＝700×20＋1 200×24＝42 800．即种植甲种蔬菜20吨，乙种蔬菜24吨，才能使利润最大，最大利润为42 800元．20．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4>0．[解] 当a ＝0时，－2x ＋4>0，解集为{x |x <2}．当a ≠0时，原不等式可化为(ax －2)·(x －2)>0，则(1)a <0时，原不等式等价于x －2a ·(x －2)<0，又2a <0<2，所以解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a <x <2；(2)a >0时，原不等式等价于x －2a ·(x －2)>0，令2a ＝2，则a ＝1，则 ①当a ＝1时，不等式解集为{x |x ≠2}； ②当a >1时，2a <2，不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >2，或x <2a ； ③当0<a <1时，2a >2，不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >2a ，或x <2． 21．(本小题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝4，S 5＝30，数列{b n }满足b 1＋2b 2＋…＋nb n ＝a n ．(1)求a n ；(2)设c n ＝b n ·b n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n ． [解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 2＝4，S 5＝30， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝45a 1＋5×42d ＝30，解得a 1＝d ＝2．∴a n ＝2＋2(n －1)＝2n ． (2)∵b 1＋2b 2＋…＋nb n ＝a n ， ∴当n ＝1时，b 1＝a 1＝2；当n ≥2时，b 1＋2b 2＋…＋(n －1)b n －1＝a n －1，∴nb n ＝a n －a n －1＝2， 解得b n ＝2n ．∴c n ＝b n ·b n ＋1＝4n (n ＋1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1．∴数列{c n }的前n 项和22．(本小题满分12分)某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)．(1)求S 关于x 的函数关系式； (2)求S 的最大值．[解] (1)由题设，得S ＝(x －8)⎝ ⎛⎭⎪⎫900x －2＝－2x －7 200x ＋916，x ∈(8,450)．(2)因为8<x <450， 所以2x ＋7 200x ≥22x ·7 200x ＝240．当且仅当2x ＝7 200x ，即x ＝60时等号成立． 从而S ≤－240＋916＝676．故当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m 2．。

模块综合评估(二)时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a 9＋a 10＋a 11的值为( C ) A ．39 B ．40 C ．57 D ．58解析：a 9＋a 10＋a 11＝S 411－S 8＝112＋1－82－1＝57. 2．已知a <b <c ，且a ＋b ＋c ＝0，则( A )A ．b 2－4ac >0 B ．b 2－4ac ＝0 C ．b 2－4ac <0 D ．b 2－4ac 的正负不确定 解析：∵a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，∴a <0，c >0，∴ac <0，∴b 2－4ac >0.3．已知△ABC 的三边长分别是2m ＋3，m 2＋2m ，m 2＋3m ＋3(m >0)，则该三角形最大内角的度数是( C )A ．150°B ．135°C ．120°D ．90°解析：设最大内角为θ，由于m 2＋3m ＋3>m 2＋2m ，m 2＋3m ＋3>2m ＋3.故由边角关系可知长为m 2＋3m ＋3的边所对的角最大．由余弦定理得cos θ＝(2m ＋3)2＋(m 2＋2m )2－(m 2＋3m ＋3)22(2m ＋3)(m 2＋2m )＝－12，故θ＝120°.4．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( C )A ．0B ．4C ．－4D ．－2解析：由a >0，b >0，1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0，得k ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )恒成立，而－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝－⎝⎛⎭⎪⎫2＋b a ＋a b ≤－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2b a ·a b ＝－4，当且仅当a ＝b 时取等号，∴k ≥－4. 5．在△ABC 中，三边长分别为m －2，m ，m ＋2，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为( B )A.154B.1534C.2134D.3534解析：由最大角的正弦值为32，知这个角为60°或120°，由三角形不是等边三角形，得最大角为120°，根据余弦定理得(m －2)2＋m 2－2m (m －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝(m ＋2)2，解得m ＝5，则△ABC 的三边长分别为3,5,7，故这个三角形的面积为12×3×5×32＝1534.6．等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，当首项a 1和d 变化时，a 2＋a 8＋a 11是一个定值，则下列各数也为定值的是( C )A ．S 7B ．S 8C ．S 13D ．S 15解析：由a 2＋a 8＋a 11＝3a 1＋18d ＝3(a 1＋6d )＝3a 7，知a 7为一个定值，∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7也为定值． 7．若关于x 的不等式x 2＋ax －a －2>0和2x 2＋2(2a ＋1)x ＋4a 2＋1>0的解集依次为A 和B ，那么，使得A ＝R 和B ＝R 至少有一个成立的实常数( B )A ．可以是R 中的任何一个数B ．有无穷多个，但并不是R 中所有的实数都能满足要求C ．有且仅有一个D ．不存在解析：A ＝R ，则Δ1＝a 2＋4(a ＋2)<0成立，显然是不可能的，即这样的a ∈∅；B ＝R ，则Δ2＝4(2a ＋1)2－8(4a 2＋1)<0成立，即(2a －1)2>0，因而存在无穷多个实常数，但a ≠12能使上述不等式恒成立，从而选B.8．已知等比数列{a n }的首项为8，S n 是其前n 项的和，某同学经计算得S 2＝20，S 3＝36，S 4＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为( C )A ．S 1B ．S 2C ．S 3D ．S 4。

数学必修5第一部分（选择题 共50分）一、 选择题（每小题5分，10小题，共50分）1、在ABC ∆中，︒===452232B b a ，，，则A 为（ ）A ．︒︒︒︒︒︒30.15030.60.12060D CB 或或2、在ABC ∆中，bc c b a ++=222，则A 等于（ ）A ︒︒︒︒30.45.60.120.D C B3、在ABC ∆中，1660=︒=b A ，，面积3220=S ，则a 等于( ) A. 610.B. 75C . 49D. 514、等比数列{}n a 中293a a =，则313239310log log log log a a a a ++++ 等于（ ） A ．9 B ．27 C ．81 D ．2435、三个数a ，b ，c 既是等差数列，又是等比数列，则a ，b ，c 间的关系为 ( ) A ．b-a =c-b B ．b 2=a c C ．a =b=c D ．a =b=c ≠06、等比数列{}n a 的首项1a =1，公比为q ，前n 项和是n S ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和是（ ）A ．1-n SB ．n n q S -C ．n n q S -1D ．11--n n q S7、在等差数列{}n a 中，前四项之和为40，最后四项之和为80，所有项之和是210，则项数n 为（ ）A ．12B ．14C ．15D ．16 8、已知,,a b c R ∈,则下列选项正确的是 （ ）A.22a b am bm >⇒>B.a ba b c c>⇒> C .11,0a b ab a b >>⇒< D.2211,0a b ab a b>>⇒<9、已知x y xy +=，则y x +的取值范围是（ ）A ．]1,0(B ．),2[+∞C ．]4,0(D ．),4[+∞10、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-<-<+0011234x y y x y x 表示的平面区域内的整点的个数是（ ）A ．8个B ．5个C ．4个D ．2个第二部分（非选择题 共100分）二、填空题（每小题5分，4小题，共20分）11、已知0,0>>y x ，且191=+yx ，求y x +的最小值 _____________ 12、当x 取值范围是_____________ 时，函数122-+=x x y 的值大于零 13、在等比数列}{n a 中，08,204321=+=+a a a a ，则=10S14、不等式组6003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积是三、解答题（共六个题，前两题每题10分，后面每题15分，共80分）15、在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程02322=+-x x 的两个根，且()1cos 2=+B A 。

（新课标）最新北师大版高中数学必修五数列综合练习第I 卷、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确 答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）.1 .“公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为1的等比数列一定是递减数列”；2 “a, b, c 三数成等比数列的充要条件是 b 2= ad'； "a, b, c 三数成等差数列的充要条件是2b= a+C,以上四个命题中，正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2 .已知数列｛a n ｝中，a n =——（nCN ）,则数列｛a ｝的最大项是（）n 156A.第12项B.第13项C.第12项或13项D.不存在3 .在等差数歹!J 中，前n 项的和为S n ,若S m =2n,S=2m,（m 、nCN 且mwn ）,则公差d的值为()A _ 4(m n) mn4 .如果囱❷。

❷为各项都大于零的等差数列，公差d 0,则（B ---- m^_4(m n) C.2( m n) mnD.mn 2(m n)A,a〔a8 a4a5 B・a〔a8 a4a5C. a〕a8 a4 a5D. a〔a8 a4 a55.已知等差数列｛a n｝中，a7 a9 16a 1,则a12的值是 ( )A. 15B. 30C. 31D. 646. a、bCR,且|a|<1, |b|<1,则无穷数列：1,(1+b)a, (1+b+b2)a2,…，1+b+b2+・+b n1)a n 1…的和为( )A. ---- 1---B. 1(1 a)(1 b) 1 abC. ---- 2 ---D. ------- 1----(1 a)(1 ab) (1 a)(1 ab)7.若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m,则m的范围是( )A. (1, 2)B. (2, +oo)C. [3, +8)D. (3, +8)8.已知二次函数y=a(a+1)X— (2a+1)x+1,当a=1, 2,…，n,…时，其抛物线在x轴上截得的线段长依次为d1,d2,…,d n,…，则ii m(d1+cL+…+d n)的值是n( )A. 1B. 2C. 3D. 49.若数列｛a｝前8项的值各异，且a+8=a n对任意nC N都成立，则下列数列中可取遍｛a｝前8项值的数列为A. ｛&k+[｝B.即｝C.｛*｝D.｛瓯+1｝10.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量S (万件)近似地满足S n=— (21n-n2- 5) (n=1, 2,……，12),按此预测，90 在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 ( )A. 5月、6月B. 6月、7月C. 7月、8月D. 8月、9月11.在数列｛a n｝中，如果存在非零常数T ,使得a m+T =3对于任意的非零自然数m均成立，那么就称数列｛a n｝为周期数列，其中T叫数列｛a｝的周期。

（新课标）最新北师大版高中数学必修五必修五模块测试卷（150分，120分钟）一、选择题(每题5分，共60分）1.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos 22A ＝ccb 2+，则△ABC 是( )A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形2.在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8等于( ) A.135 B.100 C.95 D.803.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(3b －c)cos A ＝acos C ，则cos A 的值等于( ) A.23 B. 33 C. 43 D. 63 4.〈日照模拟〉已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝t 25-⋅n －51，则实数t 的值为( ) A.4 B.5 C. 54 D. 515.某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好是3 km ，那么x 的值为( )A.3B.23C.3或23D.3 6.设{a n }为各项均是正数的等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，则( ) A.44S a =66S a B. 44S a ＞66S a C. 44S a ＜66S a D. 44S a≤66S a 7.已知数列{a n }的首项为1，并且对任意n ∈N +都有a n >0.设其前n 项和为S n ，若以(a n ，S n )(n ∈N +)为坐标的点在曲线y ＝21x(x ＋1)上运动，则数列{a n }的通项公式为( ) A.a n ＝n 2＋1 B.a n ＝n 2C.a n ＝n ＋1D.a n ＝n8.设函数f(x)＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-.0,1,0,132＜x xx x 若f(a)<a ，则实数a 的取值范围为( )A.(－1，＋∞)B.(－∞，－1)C.(3，＋∞)D.(0,1)9.已知a>0，b>0，则a 1＋b1＋2ab 的最小值是( ) A.2 B.22 C.4 D.510.已知目标函数z=2x+y 中变量x,y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-,1,2553,34x y x y x ＜则( )A.z max =12,z min =3B.z max =12,无最小值C.z min =3,无最大值D.z 无最大值,也无最小值 11.如果函数f(x)对任意a ，b 满足f(a ＋b)＝f(a)·f(b)，且f(1)＝2，则)1()2(f f ＋)3()4(f f ＋)5()6(f f ＋…＋)2013()2014(f f ＝( )A.4 018B.1 006C.2 010D.2 014 12.已知a ，b ，a ＋b 成等差数列，a ，b ，ab 成等比数列，且log c (ab)>1，则c 的取值范围是( ) A.0<c<1 B.1<c<8 C.c>8 D.0<c<1或c>8 二、填空题（每题4分，共16分）13.〈泉州质检〉△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且acosC ，bcosB ，ccosA 成等差数列，则角B=.14.已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x 11的最小值为. 15.两个等差数列的前n 项和之比为12105-+n n ，则它们的第7项之比为.16.在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝31S n (n ≥1)，则a n ＝.三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(17~20题每题12分，21~22题每题13分，共74分)17.已知向量m ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21,sin A 与n ＝(3，sin A ＋3cos A)共线，其中A 是△ABC 的内角. (1)求角A 的大小；(2)若BC ＝2，求△ABC 的面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状.18.已知数列｛a n ｝满足a 1=1,a n+1=2a n +1(n ∈N*) (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足11144421---n b b b Λ=n b n a )1(+ (n ∈N*),证明：{b n }是等差数列;19.如图1,A,B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？20.解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).21.已知等差数列{a n}的首项a1＝4，且a2＋a7＋a12＝－6.(1)求数列{a n}的通项公式a n与前n项和S n；(2)将数列{a n}的前四项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n}的前三项，记{b n}的前n项和为T n，若存在m∈N＋，使对任意n∈N＋总有T n<S m＋λ恒成立，求实数λ的最小值.22.某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6 t，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，每次购买面粉需支付运费900元.(1)该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)若提供面粉的公司规定：当一次性购买面粉不少于210 t时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，该厂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由.参考答案及点拨一、1.A 点拨：因为cos 22A ＝c c b 2+及2cos 22A －1＝cos A ，所以cos A ＝cb .而cos A=bca cb 2222-+，∴b 2+a 2=c 2，则△ABC 是直角三角形.故选A.2.A 点拨：由等比数列的性质知a 1＋a 2，a 3＋a 4，…，a 7＋a 8仍然成等比数列，公比q ＝2143a a a a ++＝4060＝23，∴a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)14-q ＝40×323⎪⎭⎫ ⎝⎛＝135. 3.B 点拨：(3b －c)cos A ＝acos C ，由正弦定理得3sin Bcos A ＝sin Ccos A ＋cos Csin A⇒3sin Bcos A ＝sin(C ＋A)＝sin B ，又sin B ≠0，所以cos A ＝33.故选B. 4.B 点拨：∵a 1＝S 1＝51t －51，a 2＝S 2－S 1＝54t ，a 3＝S 3－S 2＝4t ，∴由{a n }是等比数列.知254⎪⎭⎫⎝⎛t ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-5151t ×4t ，显然t ≠0，∴t ＝5.5.C 点拨：根据题意，由余弦定理得(3)2＝x 2＋32－2x ·3·cos 30°，整理得x 2－33x ＋6＝0，解得x ＝3或23.6.B 点拨：由题意得公比q>0，当q ＝1时，有44S a －66S a ＝41－61>0，即44S a >66S a ； 当q ≠1时，有44S a －66S a ＝()41311)1(q a q q a --－()61511)1(q a q q a --＝q 3(1－q)()()642111q q q ---⋅＝231q q +611q q --⋅>0，所以44S a >66S a .综上所述，应选B. 7.D 点拨：由题意，得S n ＝21a n (a n ＋1)，∴S n －1＝21a n －1(a n －1＋1)(n ≥2). 作差，得a n ＝21()1212---+-n n n n a a a a ， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0.∵a n >0(n ∈N +)，∴a n －a n －1－1＝0，即a n －a n －1＝1(n ≥2).∴数列{a n }为首项a 1＝1，公差为1的等差数列. ∴a n ＝n(n ∈N +).8.A 点拨：不等式f(a)<a 等价于⎪⎩⎪⎨⎧≥-0,132a a a ＜或⎪⎩⎪⎨⎧,1,0a aa ＜＜解得a ≥0或－1<a<0，即不等式f(a)<a的解集为(－1，＋∞). 9.C 点拨：依题意得a 1＋b 1＋2ab ≥2ab 1＋2ab ≥4ab ab ⋅1＝4，当且仅当a 1＝b1，且ab1=ab 时，取等号，故应选C. 10.C11.D 点拨：由f(a ＋b)＝f(a)·f(b)，可得f(n ＋1)＝f(n)·f(1)，)()1(n f n f +＝f(1)＝2，所以)1()2(f f ＋)3()4(f f ＋)5()6(f f ＋…＋)2013()2014(f f ＝2×1 007＝2 014. 12.B 点拨：因为a ，b ，a ＋b 成等差数列，所以2b ＝a ＋(a ＋b)，即b ＝2a.又因为a ，b ，ab成等比数列，所以b 2＝a ×ab ，即b ＝a 2.所以a ＝2，b ＝4，因此log c (ab)＝log c 8>1＝log c c ，有1<c<8，故选B. 二、13.60° 点拨：依题意得acos C ＋ccos A ＝2bcos B ，根据正弦定理得sin Acos C ＋sin Ccos A ＝2sin Bcos B ，则sin(A ＋C)＝2sin Bcos B ，即sin B ＝2sin Bcos B ，所以cos B ＝21，又0°<B<180°，所以B ＝60°，14. 425 点拨：z ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x 11＝xy ＋xy 1＋x y ＋y x ＝xy ＋xy 1＋xy xy y x 2)(2-+＝xy 2＋xy －2，令t ＝xy ，则0<t ＝xy ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x ＝41.设f(t)＝t ＋t 2，t ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0，设41≥t 2>t 1>0，则f(t 1)－f(t 2)＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+112t t －⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+222t t ＝212121)2)((t t t t t t --. 因为41≥t 2>t 1>0， 所以t 2－t 1>0，t 1·t 2<161.则t 1·t 2－2<0. 所以f(t 1)－f(t 2)>0.即f(t 1)>f(t 2).∴f(t)＝t ＋t 2在⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0上单调递减，故当t ＝41时f(t)＝t ＋t2有最小值433，所以当x ＝y ＝21时，z 有最小值425. 15.3∶1 点拨：设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和为S n ，T n ，则n n T S ＝12105-+n n ，而77b a＝131131b b a a ++＝1313T S ＝113210135-⨯+⨯＝3. 16.21,114,233n n n -=⎧⎪⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ 点拨：∵3a n ＋1＝S n (n ≥1)，∴3a n ＝S n －1(n ≥2). 两式相减，得3(a n ＋1－a n )＝S n －S n －1＝a n (n ≥2)⇒n n a a 1+＝34(n ≥2) ⇒n ≥2时，数列{a n }是以34为公比，以a 2为首项的等比数列， ∴n ≥2时，a n ＝a 2234-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅n .令n ＝1，由3a n ＋1＝S n ，得3a 2＝a 1，又a 1＝1⇒a 2＝31，∴a n ＝31234-⎪⎭⎫⎝⎛⋅n (n ≥2).故⎪⎩⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-.2,3431,112n n n ， 三、17.解：(1)因为m ∥n ， 所以sinA ·(sinA ＋3cosA)－23＝0. 所以22cos 1A -＋23sin2A －23＝0.即23sin2A －21cos2A ＝1，即sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-62πA ＝1. 因为A ∈(0，π)，所以2A －6π∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-611,6ππ， 故2A －6π＝2π，即A ＝3π. (2)由余弦定理，得4＝b 2＋c 2－bc ，又S △ABC ＝21bcsinA ＝43bc ，而b 2＋c 2≥2bc ，bc ＋4≥2bc ，bc ≤4(当且仅当b ＝c 时等号成立)， 所以S △ABC ＝21bcsinA ＝43bc ≤43×4＝3.当△ABC 的面积最大时，b ＝c ，又A ＝3π，故此时△ABC 为等边三角形. 18.(1)解：∵a n+1=2a n +1(n ∈N *),∴a n+1+1=2(a n +1).∴{a n +1}是以a 1+1=2为首项，2为公比的等比数列.∴a n +1=2n.即a n =2n －1(n ∈N *). (2)证明：∵114-b 124-b …14-n b =()n bn a 1+.∴nb b b n -+++)(214Λ=nnb 2.∴2［(b 1+b 2+…+b n )－n ］=nb n ,①2［(b 1+b 2+…+b n +b n+1)－(n+1)］=(n+1)b n+1.②②－①，得2(b n+1－1)=(n+1)b n+1－nb n ,即(n －1)b n+1－nb n +2=0,③ ∴nb n+2－(n+1)b n+1+2=0.④④－③，得nb n+2－2nb n+1+nb n =0,即b n+2－2b n+1+b n =0,∴b n+2－b n+1=b n+1－b n (n ∈N *).∴{b n }是等差数列. 19.解：由题意知AB ＝5(3＋3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°. 在△DAB 中，由正弦定理得，DAB DB ∠sin ＝ADBAB∠sin .∴DB ＝ADBDAB AB ∠∠⋅sin sin ＝︒︒⋅+105sin 45sin )33(5＝︒⋅︒+︒⋅︒︒⋅+45cos 60sin 60sin 45sin 45sin )33(5＝213)13(35++＝103(海里).又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°， BC ＝203海里，在△DBC 中，由余弦定理得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×21＝900， ∴CD ＝30海里.则需要的时间t ＝3030＝1(小时). 答：救援船到达D 点需要1小时.20.解:原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0. (1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1.(2)当a ＞0时， 原不等式化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 2 (x ＋1)≥0⇒x ≥a2或x ≤－1； (3)当a ＜0时，原不等式化为⎪⎭⎫⎝⎛-a x 2 (x ＋1)≤0. ①当a 2＞－1，即a ＜－2时，原不等式的解集为－1≤x ≤a 2； ②当a 2＝－1，即a ＝－2时，原不等式的解集为x ＝－1；③当a 2＜－1，即－2＜a ＜0时，原不等式的解集为a2≤x ≤－1.综上所述：当a ＜－2时，原不等式的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-a2,1；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2＜a ＜0时，原不等式的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,2a ； 当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1］；当a ＞0时，原不等式的解集为(－∞，－1］∪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2a . 21.解:(1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6得a 7＝－2，又a 1＝4，所以公差d ＝－1，所以a n ＝5－n ， 从而S n ＝2)9(n n -. (2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1， 设等比数列的公比为q ，则q ＝12b b ＝21， 所以T n ＝2112114-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-n ＝8⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 211.令f(n)=n⎪⎭⎫ ⎝⎛21.因为f(n)＝n⎪⎭⎫⎝⎛21是关于自然数n 的减函数，所以{T n }是递增数列，得4≤T n <8.又S m ＝2)9(m m -＝－22921⎪⎭⎫⎝⎛-m ＋881，当m ＝4或m ＝5时，S m 取得最大值， 即(S m )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N ＋，使对任意n ∈N ＋总有T n <S m ＋λ恒成立， 则8≤10＋λ，得λ≥－2， 所以λ的最小值为－2.22.解：(1)设该厂应每x 天购买一次面粉，则其购买量为6x t.由题意知，面粉的保管等其他费用为3［6x ＋6(x －1)＋…＋6×2＋6×1］＝9x(x ＋1)元. 设每天所支付的总费用为y 1元，则 y 1＝x 1［9x(x ＋1)＋900］＋6×1 800＝x900＋9x ＋10 809≥2x x 9900⋅＋10 809＝10 989， 当且仅当9x ＝x900，即x ＝10时取等号. 所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.(2)若该厂接受此优惠条件，则至少每35天购买一次面粉.设该厂接受此优惠条件后，每x(x ≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2元，则y 2＝x 1［9x(x ＋1)＋900］＋6×1 800×0.90＝x900＋9x ＋9 729(x ≥35). 令f(x)＝x ＋x100(x ≥35)，x 2>x 1≥35，则f(x 1)－f(x 2)＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+11100x x －⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+22100x x ＝212121)100)((x x x x x x --. 因为x 2>x 1≥35，所以x 1－x 2<0，x 1·x 2>100.所以x 1x 2－100>0. 所以f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2). 所以f(x)＝x ＋x100在［35，＋∞)内为增函数. 所以当x ＝35时，y 2有最小值，约为10 069.7. 此时y 2<10 989，所以该厂应该接受此优惠条件.。

（新课标）最新北师大版高中数学必修五五校联盟（强化班）高一《数列》单元测试班级： 姓名：一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且103=++c b a ， 则a = （ ） A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－42．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 （ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 3．在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于 （ ）A ．40B ．42C ．43D ．45 4．设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝（ ）A ．310B ．13C ．18D ．195．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=（ ） A ．120B ．105C ．90D ．75 6．已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若OC a OA a OB 2001+=，且A 、B 、C 三点共线 （该直线不过原点O ），则S 200＝（ ）A ．100B ．101C ．200D ．2017．设数列{a n }的前n 项和为S n , 已知15a =，且12(1)(1)n n nS n n n S +=+++( n ∈N*)， 则过点P(n,n a ) 和Q(n+2,2+n a )( n ∈N*)的直线的一个方向向量的坐标可以是 （ ）A ．（2，21） B ．(-1, -1) C ．(21-, -1) D ．（2,21--） 8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ）A ．63B ．45C ．36D ．279．已知－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)＝A ．8B ．－8C ．±8D ．9810．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12nn S S S T n+++=L ，称n T 为数列1a ，2a ，……，na 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2004，那么数列2， 1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为（ ）11．数列｛a n ｝中，若a 1=1，a n+1=2a n +3 （n ≥1），则该数列的通项a n = .12．我们把使乘积a 1·a 2·a 3·…·a n 为整数的数n 叫做“劣数”，则在区间（1，2004）内的所有劣数的和为 ．13．设{n a }为公比q>1的等比数列，若2004a 和2005a 是方程24830x x -+=的两根，则=+20072006a a __________.14．已知命题：“若数列{a n }为等差数列，且a m =a ，a n =b (m ≠n ，m ，n ∈N +)，则mn ma nb a n m -⋅-⋅=+”．现已知数列{b n }(b n ＞0，n ∈N +)为等比数列，且b m =a ，b n =b (m ≠n ，m ，n ∈N +)，若类比上述结论，则可得到b m+n = ．15、若a ＋b ＋c ，b ＋c －a ，c ＋a －b ，a ＋b －c 依次成等比数列，公比为q ，则q 3＋q 2＋q＝ ．三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d>0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{b n }的第二项，第三项，第四项．⑴求数列{a n }与{b n }的通项公式．⑵设数列{c n }对任意正整数n ，均有1332211+=+⋯⋯+++n nn a b c b c b c b c ，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2010的值．17．已知f(x ＋1)＝x 2－4，等差数列{a n }中，a 1＝f(x －1)，a 2＝－32，a 3＝f(x)．求：⑴x 的值；⑵数列{a n }的通项公式a n ；⑶a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 26．18．正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝a n +1．(1) 试求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n ·a n+1，{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <12．19．已知函数f(x)定义在区间（－1，1）上，f(12)＝－1，且当x ，y ∈(－1，1)时，恒有f(x)－f(y)＝f(x －y 1－xy )，又数列{a n }满足a 1＝12，a n+1＝2a n 1+a n 2，设b n ＝1f(a 1)＋1f(a 2)＋…＋1f(a n )． ⑴证明：f(x)在（－1，1）上为奇函数；⑵求f(a n )的表达式；⑶是否存在正整数m ，使得对任意n ∈N ，都有b n <m －84成立，若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由．《数列》单元测试卷参考答案1．D ．依题意有22,,310.a c b bc a a b c +=⎧⎪=⎨⎪++=⎩4,2,8.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩2．C ． 3302551520511=⇒⎩⎨⎧=+=+d d a d a ，故选C ．3．B ． ∵等差数列{}n a 中12a =，2313a a += ∴公差3d =．∴45613345a a a a d d d ++=+++＝1312a d+＝42．4．A ． 由等差数列的求和公式可得31161331,26153S a d a d S a d +===+可得且0d ≠ 所以6112161527312669010S a d d S a d d +===+，故选A ． 5．B ．12322153155a a a a a ++=⇒=⇒=，()()1232228080a a aa d a a d =⇒-+=， 将25a =代入，得3d =，从而()()11121312233103530105a a a a a d ++==+=⨯+=.选B ．6．A ． 依题意，a 1＋a 200＝1，故选A ．7．D 解：由条件知n S 1n S n 1n -++=2 ∴{n S n }是等差数列，∴nS n= 5+ (n – 1)×2 = 2n + 3 ∴S n = 2n 2+ 3n ，当n ≥2时，a n = S n = S n – 1 = 4n+1 (a 1也适合)∴k PQ =2a a n 2n -+= 4，设直线PQ 的方向向量为u r = (a , b)，则有ab= 4，只有D 符合.8．B 解： 由等差数列性质知S 3、S 6-S 3、S 9-S 6成等差数列，即9，27，S 成等差，所以S=45，选B 9． 4．∵38)]9(1[3112=---=-a a).38()3()(,3,09,9)9)(1(12222222⋅-=--=∴<⋅-==--=a a b b q b b 故而 B 选∴-=810．A ．认识信息，理解理想数的意义有，20025014984995002501,5004984995002004500321500321=+++++⨯∴++++=a a a a a a a a ΛΛ，选A ．11．由112332(3)n n n n a a a a ++=+⇔+=+，即133n n a a +++=2，所以数列｛n a ＋3｝是以（1a +3）为首项，以2为公比的等比数列，故n a ＋3=（1a +3）12n -，n a =12n +－3.12．∵，k n n a a a n n 时=+=+⋯⋯⋅=⋯⋯+)2(log )2(log 4log 3log 213221n ＋2＝2k ，由n ＝2k－2∈(1，2004)有2≤k ≤10(k ∈Z)．故所有劣数的和为（22＋23＋……＋210）－2×9＝21)21(49--－18＝2026．13． 18 2004a Q和2005a 是方程24830x x -+=的两根，故有：200420051232a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或200420053212a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍）。