第17章《一元二次方程》word单元检测题

九年级上册数学《一元二次方程》单元测试卷（满分120分，考试用时120分钟）一、单选题1．关于x 的一元二次方程2220x mx n ++=有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程2220y ny m ++=同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②22(1)(1)2m n -+-≥；③1221m n -≤-≤，其中正确结论的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．若实数A 、B 满足A 2﹣8A +5=0，B 2﹣8B +5=0，则1111b a a b --+--的值是（ ） A ．﹣20 B ．2 C ．2或﹣20 D ．123．某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到1 400件．若设这个百分数为x ，则可列方程（ ） A ．()220020011400x ++=B ．()()2200200120011400x x ++++= C ．()220011400x += D ．()()2200120011400x x +++= 4．教育局组织学生篮球赛，有x 支球队参加，每两队赛一场时，共需安排45场比赛，则符合题意的方程为（ ）A ．()11452x x -=B ．()11452x x +=C ．()145x x -=D ．()145x x +=5．已知关于x 的方程x 2+mx+1＝0根的判别式的值为5，则m ＝（ ）A ．±3B ．3C ．1D ．±16．若α，β是方程x 2+2x ﹣2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（ ）A ．2005B ．2003C ．﹣2005D ．40107．甲公司前年缴税A 万元，去年和今年缴税的年平均增长率均为B ，则今年该公司应缴税（ ）万元. A ．2(1%)a b + B ．2(1)a b + C ．2(%)a ab + D ．2(1%)a b -8．已知关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+1＝0有实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．m≤54B ．m≤54且 m≠1C ．m ＜54D ．m ＜54，且 m≠1 9．将方程2650x x --=化为2()x m n +=的形式，则m ，n 的值分别是（ ）A ．3和5B ．-3和5C ．3和14D ．-3和1410．微信红包是沟通人们之间感情的一种方式，已知小明在2016年“元旦节”收到微信红包为300元，2018年为675元，若这两年小明收到的微信红包的年平均增长率为x ，根据题意可列方程为( )A ．300(1+2x)＝675B ．300(1+x 2)＝675C ．300(1+x)2＝675D ．300+x 2＝67511．已知关于x 的一元二次方程2(1)210a x x --+=有实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．2a ≤B ．2a >C ．2a ≤且1a ≠D ．2a <-12．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是（ ）A ．x 2﹣2x ＝5B ．x 2+4x ＝5C ．2x 2﹣4x ＝5D ．4x 2+4x ＝5二、填空题 13．已知关于x 的方程22521x px x ++-=5x +p 有且只有一个正实数根，则p 的范围为__________. 14．若a 与b 是关于x 的方程2220120x x +-=的两根，则23________a a b ++=．15．某电解金属锰厂从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），这样既改善了环境，又降低了原料成本，根据统计，在使用回收净化设备后的1至x 月的利润的月平均值w （万元）满足1090w x =+，问前________个月的利润等于1620万元？16．若ABC 的一边为4，另两边分别满足2560x x -+=的两根，则ABC 的周长为________．三、解答题17．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？18．已知方程()2160x k x ++-=是关于x 的一元二次方程． （1）求证；对于任意实数k ，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是2，求k 的值及方程的另一个根．19．某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，每天可多售5件，若设每件降价x 元．（1）根据题意，填表：（2）若每天盈利1600元，则每件应降价多少元？20．阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=A 的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想--转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ，x3= ；=的解；（2）拓展：用“转化”x（3）应用：如图，已知矩形草坪A B C D 的长A D =8m，宽A B =3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B ，沿草坪边沿B A ，A D 走到点P处，把长绳PB 段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD 、D C 走到点C 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C ．求A P的长．21．每年的3月15日是“国际消费者权益日”，许多商家都会利用这个契机进行打折促销活动．甲卖家的A商品成本为500元，在标价800元的基础上打9折销售．(1)现在甲卖家欲继续降价吸引买主，问最多降价多少元，才能使利润率不低于10%？(2)据媒体爆料，有一些卖家先提高商品价格后再降价促销，存在欺诈行为．乙卖家也销售A商品，成本、标价与甲卖家一致，以前每周可售出50件，为扩大销量，尽快减少库存，他决定打折促销．但他先将标价提高3m%，再大幅降价26m元，使得A商品在3月15日那一天卖出的数量就比原来一周卖出的数量增加了12m%，这样一天的利润达到了20000元，求m．522．百货商店服装专柜在销售中发现：某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．为占有市场份额，在确保盈利的前提下．()1降价多少元时，每星期盈利为6125元．()2降价多少元时，每星期盈利额最大，最大盈利额是多少？23．已知关于x的一元二次方程tx2﹣6x+m+4=0有两个实数根x1、x2．（1）当t=m=1时，若x1＜x2，求x1、x2；（2）当m=1时，求t的取值范围；（3）当t=1时，若x1、x2满足3|x1|=x2+4，求m的值．24．如图，矩形A B C D 中，A B =6C m，B C =8C m，点P从点A 沿边A B 以1C m/s的速度向点B 移动，同时点Q从点B 沿边B C 以2C m/s的速度向点C 移动，当P、Q两点中有一个点到终点时，则另一个点也停止运动．当△D PQ的面积比△PB Q的面积大19.5C m2时，求点P运动的时间．参考答案一、单选题1．关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[答案]D[解析][分析]设方程的两根为x 1、x 2，方程同的两根为y 1、y 2．①根据方程解的情况可得出x 1•x 2=2n ＞0、y 1•y 2=2m ＞0，结合根与系数的关系可得出x 1+x 2=-2m 、y 1+y 2=-2n ，进而得出这两个方程的根都是负根，①正确；②由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出m 2-2n≥0、n 2-2m≥0，将（m-1）2+（n-1）2展开代入即可得出②正确；③根据根与系数的关系可得出2m-2n=（y 1+1）（y 2+1）-1、2n-2m=（x 1+1）（x 2+1）-1，结合x 1、x 2、y 1、y 2均为负整数即可得出-1≤2m -2n≤1，③成立．综上即可得出结论．[详解]设方程的两根为x 1、x 2，方程同的两根为y 1、y 2． ①∵关于x 的一元二次方程x 2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程y 2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，∴x 1•x 2=2n ＞0，y 1•y 2=2m ＞0，∵x 1+x 2=-2m ，y 1+y 2=-2n ，∴这两个方程的根都是负根，①正确；②∵关于x 的一元二次方程x 2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程y 2+2ny+2m=0x 2220x mx n ++=y 2220y ny m ++=22(1)(1)2m n -+-≥1221m n -≤-≤2220x mx n ++=2220y ny m ++=2220x mx n ++=2220y ny m ++=同样也有两个整数根且乘积为正，∴4m 2-8n≥0，4n 2-8m≥0，∴m 2-2n≥0，n 2-2m≥0，∴（m-1）2+（n-1）2=m 2-2n+1+n 2-2m+1≥2，②正确；③∵y 1•y 2=2m ，y 1+y 2=-2n ，∴2m-2n=y 1•y 2+y 1+y 2=（y 1+1）（y 2+1）-1，∵y 1、y 2均为负整数，∴（y 1+1）（y 2+1）≥0，∴2m-2n≥-1．∵x 1•x 2=2n ，x 1+x 2=-2m ，∴2n-2m=x 1•x2+x 1+x 2=（x 1+1）（x 2+1）-1，∵x 1、x 2均为负整数，∴（x 1+1）（x 2+1）≥0，∴2 n -2 m≥-1，即2m-2n≤1．∴-1≤2m -2n≤1，③成立．综上所述：成立的结论有①②③．故选D ．[点评]本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的根的判别式，根据不同结论灵活运用根与系数的关系是解决本题的关键,也是解决问题的难点．2．若实数A 、B 满足A 2﹣8A +5=0，B 2﹣8B +5=0，则的值是（ ） 1111b a a b --+--A ．﹣20B ．2C ．2或﹣20D ． [答案]C[解析] [分析]分两种情况进行讨论：①当A =B 时，可直接得出答案；②当A ≠B 时，根据实数A 、B 满足A 2﹣8A +5=0，B 2﹣8B +5=0，即可看成A 、B 是方程x 2﹣8x +5=0的解，根据根与系数的关系列出关于A ，B 的等式即可求解．[详解]解：①当A =B 时，原式=2；②当A ≠B 时，根据实数A 、B 满足A 2﹣8A +5=0，B 2﹣8B +5=0，即可看成A 、B 是方程x 2﹣8x +5=0的解，∴A +B =8，A B =5．则= =， 把A +B =8，A B =5代入得：= =﹣20．综上可得：的值为2或﹣20． 故选C ．[点评]本题考查了根与系数的关系，难度适中，关键是把A 、B 是方程x 2﹣8x +5=0的解，然后根据根与系数的关系解题．121111b a a b --+--221111b a a b -+---（）（）（）（）22221a b ab a b ab a b +--++-++（）（）（）2810162581--+-+1111b a a b --+--3．某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到1 400件．若设这个百分数为，则可列方程（ ） A ．B ．C ．D ． [答案]B[解析][分析]根据题意：第一年的产量+第二年的产量+第三年的产量=1400且今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数x ．[详解]解：已设这个百分数为x ．200+200（1+x ）+200（1+x ）2=1400．故选：B ．[点评]本题考查对增长率问题的掌握情况，理解题意后以三年的总产量做等量关系可列出方程． 4．教育局组织学生篮球赛，有x 支球队参加，每两队赛一场时，共需安排45场比赛，则符合题意的方程为（ ） A ． B ． C ． D ．[答案]A[解析][分析]先列出x 支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛x （x-1）场，再根据题意列出方程为． [详解] x ()220020011400x ++= ()()2200200120011400x x ++++= ()220011400x += ()()2200120011400x x +++= ()11452x x -=()11452x x +=()145x x -=()145x x +=()11452x x -=解：∵有x 支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，∴共比赛场数为， 故选：A ．[点评]本题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系．5．已知关于x 的方程x 2+mx+1＝0根的判别式的值为5，则m ＝（ ）A ．±3B ．3C ．1D ．±1[答案]A[解析][分析]根据根的判别式得出方程m 2﹣4×1×1＝5，求出方程的解即可．[详解]解：∵关于x 的方程x 2+mx+1＝0根的判别式的值为5，∴m 2﹣4×1×1＝5，解得：m ＝±3， 故选A ．[点评]本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．6．若α，β是方程x 2+2x ﹣2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（ ）A ．2005B ．2003C ．﹣2005D ．4010 [答案]B[解析][分析]根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解则可．设x 1，x 2是关于x 的一元二次方程A x 2+B x+C ()11452x x -==0（A ≠0，A ，B ，C 为常数）的两个实数根，则x 1+x 2=-，x 1x 2= ．而α2+3α+β=α2+2α+（α+β），即可求解．[详解]α,β是方程x 2+2x−2005=0的两个实数根，则有α+β=−2. α是方程x 2+2x−2005=0的根,得α2+2α−2005=0,即：α2+2α=2005.所以α2+3α+β=α2+2α+(α+β)=α2+2α−2=2005−2=2003，故选B .[点评]此题考查根与系数的关系，一元二次方程的解，解题关键在于掌握运算法则.7．甲公司前年缴税A 万元，去年和今年缴税的年平均增长率均为B ，则今年该公司应缴税（ ）万元. A ．B ．C ．D ． [答案]B[解析][分析]解答此题运用的数量关系：前年缴税数×（1+年平均增长率）2=今年缴税数，由此直接列式解答即可．[详解]因为公司前年缴税A 万元，两年的年平均增长率均为B ，所以今年缴税数=A （1+B ）2万元． 故选B ．[点评]解答此题的关键是找准单位“1”，去年是前年的（1+B ）倍，今年是去年的（1+B ）倍，由此解决问题．8．已知关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+1＝0有实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．m≤B ．m≤且 m≠1 b a c a2(1%)a b +2(1)a b +2(%)a ab +2(1%)a b -5454C ．m ＜D ．m ＜，且 m≠1 [答案]B[解析] [分析]根据根的判别式和一元二次方程的定义得出不等式组，求出不等式组的解集即可．[详解]∵关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+1＝0有实数根，∴△＝12﹣4（m ﹣1）•1≥0且m ﹣1≠0，解得：m≤且m≠1， 故选：B ．[点评]本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义等知识点，能根据题意得出不等式组是解此题的关键． 9．将方程化为的形式，则m ，n 的值分别是（ ）A ．3和5B ．-3和5C ．3和14D ．-3和14[答案]D[解析]∵x2−6x−5=0，∴x 2−6x=5，∴x 2−6x+9=5+9，∴(x−3)2=14，∴m=−3，n=14.故选：D . 5454542650x x --=2()x m n +=10．微信红包是沟通人们之间感情的一种方式，已知小明在2016年“元旦节”收到微信红包为300元，2018年为675元，若这两年小明收到的微信红包的年平均增长率为x ，根据题意可列方程为( )A ．300(1+2x)＝675B ．300(1+x 2)＝675C ．300(1+x)2＝675D ．300+x 2＝675[答案]C[解析][分析]根据题意得2017年收到的微信红包为300(1+x)元，2018年收到的微信红包为300(1+x)(1+x)元，进而可列出方程.[详解]这两年小明收到的微信红包的年平均增长率为x ，由题意得：300(1+x)2＝675，故选C ．[点评]本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，正确理解题意，表示出2017、2018年微信收到的红包是解题的关键.11．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．且D ．[答案]C[解析][分析]根据方程有两个实数根列出关于A 的不等式，求出A 的取值范围即可．[详解]解：∵关于x 的一元二次方程（A －1）x 2－2x ＋1＝0有两个实数根， x 2(1)210a x x --+=a 2a ≤2a >2a ≤1a ≠2a <-∴，解得A ≤2且A ≠1．故选：C ．[点评]本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程A x 2＋B x ＋C ＝0（A ≠0）的根与△＝B 2－4A C 的关系是解答此题的关键．12．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是（ ）A ．x 2﹣2x ＝5B ．x 2+4x ＝5C ．2x 2﹣4x ＝5D ．4x 2+4x ＝5 [答案]B[解析][分析]配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．[详解]A 、因为本方程的一次项系数是-2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项错误；B 、因为本方程的一次项系数是4，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方4；故本选项正确；C 、将该方程的二次项系数化为x 2 -2x=，所以本方程的一次项系数是-2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项错误；D 、将该方程的二次项系数化为x 2 +x=，所以本方程的一次项系数是1，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方；故本选项错误； 1044(1)0a a -≠⎧⎨=--⎩525414故选B ．[点评]本题考查的知识点是配方法解一元二次方程，解题关键是注意选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．二、填空题13．已知关于x 的方程=5x +p 有且只有一个正实数根，则p 的范围为__________. [答案]p ≥-5[解析][分析]把方程=5x +p 转化为9x 2-5x -p -5=0,然后根据一元二次方程根与系数的关系求解即可. [详解]原方程变形为9x 2-5x -p -5=0,∵关于x 的方程=5x +p 有且只有一个正实数根, ∴设方程的两个实根为x 1,x 2,即∆≥0且x 1,x 2≤0,∴25+36(p +5) ≥0且-p -5≤0,解得p ≥-5,故答案为p ≥-5.[点评]本题考查了一元二次方程A x 2+B x +C =0（A ≠0）的根的判别式∆=B 2﹣4A C 与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.22521x px x ++-22521x px x ++-22521x px x ++-14．若与是关于的方程的两根，则．[答案]2010[解析][详解]∵A 是关于的方程的根，∴A 2+2A ﹣2012=0，即A 2+2A =2012，∴原式=A +B +2012，又∵与是关于的方程的两根，∴A +B =﹣2，则原式=﹣2+2012=2010.故答案为2010.15．某电解金属锰厂从今年月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），这样既改善了环境，又降低了原料成本，根据统计，在使用回收净化设备后的至月的利润的月平均值（万元）满足，问前________个月的利润等于万元？[答案]9[解析][分析]设前x 个月的利润和等于1620万元，根据 “总利润=月利润的平均值×月数”列出方程，解方程即可求解．[详解]设前x 个月的利润和等于1620万元，x （）=1620a b x 2220120x x +-=23________a a b ++=x 2220120x x +-=a b x 2220120x x +-=11x w 1090w x =+16201090x +整理得：x 2+9x-162=0解得x 1=9，x 2=-18（舍去），答：前9个月的利润和等于1620万元．故答案为：9.[点评]本题考查了一元二次方程的应用，根据等量关系“总利润=月利润的平均值×月数”，正确列出方程是解决问题的关键．16．若的一边为，另两边分别满足的两根，则的周长为________．[答案]9[解析][分析]设x 2-5x+6=0的两个根分别为x 1、x 2，由根与系数的关系可得出x 1+x 2=5，再加上三角形的另外一边长度即可求解．[详解]设的两个根分别为x 1、x 2，则有x 1+x 2=-=5， ∴△A B C 的周长为x 1+x 2+4=5+4=9．故答案为：9．[点评]本题考查了根与系数的关系以及三角形的周长，解题的关键是找出三角形的两边之和．解决该题型题目时，由根与系数的关系得出两根之和，再结合三角形的周长公式即可解决问题．三、解答题17．已知关于的方程和，是否存在这样的值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的值；若不存在，请说明理由？[答案]存在，n=0. ABC 42560x x -+=ABC 2560x x -+=b a-x 24832x nx n --=()223220x n x n -+-+=n n[解析][分析]在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数.[详解]若存在n 满足题意.设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2， 由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0， ①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=-，但1-n=不是整数，舍. ②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-(舍)， 综上所述，n=0.18．已知方程是关于的一元二次方程．（1）求证；对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是，求的值及方程的另一个根．[答案]（1）见详解；（2），另一个根是.[解析][分析]（1）直接利用一元二次方程根的判别式进行判断，即可得到结论成立；（2）直接把代入方程求出k ，然后利用根与系数的关系，即可得到另一个根.[详解]解：（1）∵， 324n +-123214()2160x k x ++-=x k 2k 0k =3-2x =()2160x k x ++-=∴，∵，∴，∴对于任意实数，原方程总有两个不相等的实数根；（2）∵， 当时，有，解得：；∴原方程为：，设另一个根为，则，∴，∴原方程的另一个根是.[点评]本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及方程的解，解题的关键是熟练掌握根的判别式和根与系数的关系进行解题.19．某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，每天可多售5件，若设每件降价x 元．（1）根据题意，填表：22(1)41(6)(1)24k k ∆=+-⨯⨯-=++2(1)0k +≥2(1)240k ++>k ()2160x k x ++-=2x =()42160k ++-=0k =260x x +-=2x 226x =-23x =-3-（2）若每天盈利1600元，则每件应降价多少元？[答案]（1）见解析（2）降价4元或36元[解析][分析]（1）根据题意确定出降价后的利润与销售量，以及利润即可；（2）根据盈利的钱数，确定出应降的价即可．[详解]（1）根据题意，填表：（2）根据题意得：（44﹣x）（20+5x）=1600整理得：（x﹣4）（x﹣36）=0解得：x=4或x=36．答：每件应降价4元或36元．[点评]本题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的等量关系是解答本题的关键．20．阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=A 的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x 3+x 2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x 2+x-2)=0，解方程x=0和x 2+x-2=0，可得方程x 3+x 2-2x=0的解．（1）问题：方程x 3+x 2-2x=0的解是x 1=0,x 2= ，x 3= ；（2）拓展：用“转化”的解；（3）应用：如图，已知矩形草坪A B C D的长A D =8m ，宽A B =3m ，小华把一根长为10m 的绳子的一端固定在点B ，沿草坪边沿B A ，A D 走到点P 处，把长绳PB 段拉直并固定在点P ，然后沿草坪边沿PD 、D C 走到点C 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C ．求A P 的长．[答案](1)-2，1；（2）x=3；（3）4m.[解析][分析]（1）因式分解多项式，然后得结论；（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；（3）设A P 的长为xm ，根据勾股定理和B P+C P=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，[详解]解：（1），， --x =3220x x x +-=()220x x x +-=所以或或，，；故答案为，1；（2，方程的两边平方，得即或，，当，所以不是原方程的解．的解是；（3）因为四边形是矩形，所以，设，则因为，()()210x x x+-=0x =20x +=10x -=10x ∴=22x =-31x =2-x =223x x +=2230x x --=()()310x x -+=30x ∴-=10x +=13x ∴=21x =-1x =-11==≠-1-x =3x =ABCD 90A D ∠=∠=︒3AB CD m ==AP xm =()8PD x m =-10BP CP +=BP =CP =两边平方，得整理，得两边平方并整理，得即所以．经检验，是方程的解．答：的长为．[点评]考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程是注意到验根．解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键．21．每年的3月15日是“国际消费者权益日”，许多商家都会利用这个契机进行打折促销活动．甲卖家的A 商品成本为500元，在标价800元的基础上打9折销售．(1)现在甲卖家欲继续降价吸引买主，问最多降价多少元，才能使利润率不低于10%？(2)据媒体爆料，有一些卖家先提高商品价格后再降价促销，存在欺诈行为．乙卖家也销售A 商品，成本、标价与甲卖家一致，以前每周可售出50件，为扩大销量，尽快减少库存，他决定打折促销．但他先将标价提高3m%，再大幅降价26m 元，使得A 商品在3月15日那一天卖出的数量就比原来一周卖出的数量增加了125m%，这样一天的利润达到了20000元，求m ．[答案]（1）最多降价170元，才能使利润率不低于10%；（2）m =2503[解析]∴10=∴10=()22891009x x -+=-+49x =+28160x x -+=()240x -=4x =4x =AP 4m[分析]（1）设降价x 元，根据“利润率不低于10%”列出不等式求解即可；（2）设m %=A ，根据“A 商品在3月15日那一天卖出的数量就比原来一周卖出的数量增加了125m %，这样一天的利润达到了20000元”列出方程求得A 后即可求得m 的值．[详解]解：（1）设降价x 元，列不等式为：（800×0.9﹣x ）≥500（1+10%） 解得：x ≤170．答：问最多降价170元，才能使利润率不低于10%．（2）设m %=A ，根据题意得：[800（1+3A ）﹣2600A ﹣500]•50（1+125A ）=20000整理得：24A 2﹣26A +5=0解得：A 1=56，A 2=14（舍去），∴m %=56，∴m =2503．[点评]本题考查了一元二次方程的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是从题目中整理出等量关系和不等关系，难度不大．22．百货商店服装专柜在销售中发现：某商品的进价为每件元．当售价为每件元时，每星期可卖出件，现需降价处理，且经市场调查：每降价元，每星期可多卖出件．为占有市场份额，在确保盈利的前提下．降价多少元时，每星期盈利为元．降价多少元时，每星期盈利额最大，最大盈利额是多少？[答案](1) 见解析；（2）降价元时，每星期盈利为元.[解析][分析]（1）设降价x 元时，每星期盈利为6125元，根据等量关系“每件商品的利润×数量=总利润6125元”，4060300120()16125()2 2.56125列出方程，解方程即可求解；（2）设降价x 元时，每星期的盈利为x 元，根据等量关系“每件商品的利润×数量=总利润”，列出y 与x 的函数关系式，利用二次函数的性质解答即可.[详解]（1）设降价x 元时，每星期盈利为6125元，根据题意，得：（20-x ）（300+20x ）=6125，解得：=2.5，答：降价2.5元时，每星期盈利为6125元．设降价元时，每星期的盈利为元，则． 因为降价要确保盈利，所以，解得：，∴当时，有最大值， 答：当降价元时，利润最大且为元．[点评]本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用，根据题目中关键描述语，找到等量关系准确的列出方程和二次函数解析式是解决问题的关键．23．已知关于x 的一元二次方程tx 2﹣6x+m+4=0有两个实数根x 1、x 2．（1）当t=m=1时，若x 1＜x 2，求x 1、x 2；（2）当m=1时，求t 的取值范围；（3）当t=1时，若x 1、x 2满足3|x 1|=x 2+4，求m 的值．12x x =()2x y 2y 20x 30020x 20x 100x 6000=-+=-++（）（）406060x <-≤020x ≤<()100 2.5220x ==⨯-y ()()242060001006125420⨯-⨯-=⨯-2.56125[答案]（1）x 1=1，x 2=5（2）t≤且t≠0（3）﹣59或 [解析] [分析]⑴根据题意，直接代入即可求解方程的两根；⑵根据题意，直接代入即可求解；⑶根据一元二次方程的判别式，求解出方程的两根，再根据题意求解即可.[详解]（1）当t=m=1时，方程变形为x 2﹣6x+5=0，（x ﹣5）（x ﹣1）=0，∵x 1＜x 2，∴x 1=1，x 2=5；（2）当m=1时，方程变形为tx 2﹣6x+5=0，根据题意得t≠0且（﹣6）2﹣4•t•5≥0，∴t≤且t≠0；（3）当t=1时，方程变形为x 2﹣6x+m+4=0，△=（﹣6）2﹣4（m+4）≥0，解得m≤5，则x 1+x 2=6，x 1•x 2=m+4，当x 1＜0时，﹣3x 1=x 2+4，解得x 1=﹣5，x 2=11，m+4=﹣55，解得m=﹣59，当x 1＞0时，3x 1=x 2+4，解得x 1=，x 2=，m+4=，解得m=，∴m 的值为﹣59或[点评]本题考查了一元二次方程的性质，掌握一元二次方程的定义求解是解决本题的关键.24．如图，矩形A B C D 中，A B =6C m ，B C =8C m ，点P 从点A 沿边A B 以1C m/s 的速度向点B 移动，同时点Q 从点B 沿边B C 以2C m/s 的速度向点C 移动，当P 、Q 两点中有一个点到终点时，则另一95194个点也停止运动．当△D PQ的面积比△PB Q的面积大19.5C m2时，求点P运动的时间．[答案]当△D PQ的面积比△PB Q的面积大19.5cm2时，点P经过了12秒.[解析][分析]设x秒后△D PQ的面积比△PB Q的面积大19.5cm2，用含x的代数式分别表示出△D PQ的面积和△PB Q的面积，列出方程求值即可．[详解]解:设当△D PQ的面积比△PB Q的面积大19.5cm2时，点P运动了x秒.根据题意得：12×8×x+12×2x(6−x)+12×6(8−2x)+[12×2x(6−x)+19.5]=6×8化简得：2x2−10x+94=0解这个方程得：x1=12，x2=92.（不符合题意，舍去）答：当△D PQ的面积比△PB Q的面积大19.5cm2时，点P经过了12秒.[点评]考查一元二次方程的应用；表示出所给三角形的两条直角边长是解决本题的突破点；用到的知识点为：直角三角形的面积=两直角边积的一半．。

一元二次方程单元测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列方程中，不是一元二次方程的是（）。

A. x^2 - 2x + 1 = 0B. 3x - 2 = 0C. 2x^2 - 3x + 1 = 0D. x^2 - 3x + 2 = 0答案：B2. 一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的根的判别式是（）。

A. b^2 - 4acB. b^2 + 4acC. 4ac - b^2D. 4ac + b^2答案：A3. 已知方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根为x1和x2，则x1 + x2的值为（）。

A. 5B. -5C. 6D. -6答案：A4. 如果方程x^2 + 2x - 3 = 0的两个根是x1和x2，那么x1x2的值为（）。

A. 3B. -3C. 1D. -1答案：B5. 一元二次方程x^2 - 4x + 4 = 0的解是（）。

A. x = 2B. x = -2C. x = 0D. x = 4答案：A6. 已知方程2x^2 - 3x - 2 = 0的判别式为△，那么△的值为（）。

A. 13B. -13C. 17D. -17答案：B7. 一元二次方程x^2 - 2x - 3 = 0的根的和为（）。

A. 2B. -2C. 3D. -3答案：A8. 方程x^2 + 4x + 4 = 0的根是（）。

A. x = 2B. x = -2C. x = 0D. x = -4答案：B9. 一元二次方程x^2 - 6x + 9 = 0的根是（）。

A. x = 3B. x = -3C. x = 0D. x = 9答案：A10. 方程x^2 - 2x + 1 = 0的判别式△为（）。

A. 1B. 0C. -1D. 3答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 一元二次方程x^2 - 4x + 4 = 0的根为______。

答案：x = 22. 已知方程x^2 - 6x + 9 = 0的两个根为x1和x2，则x1x2 =______。

九年级上册数学《一元二次方程》单元测试卷[考试时间:90分钟分数:100分]一、选择题1.方程:① x2−13x =1，② 2x2−5xy+y2=0，③ 7x2+1=0，④ y22=0中，一元二次方程是( )．A . ①和②B . ②和③C . ③和④D . ①和③2.将一元二次方程x2−8x−5=0化成(x+a)2=b(A ，B 为常数)的形式，则A ，B 的值分别是( )A . -4，21B . -4，11C . 4，21D . -8，693.把一元二次方程(x+3)2＝x(3x﹣1)化成一般形式，正确的是( )A . 2x2﹣7x﹣9＝0B . 2x2﹣5x﹣9＝0C . 4x2+7x+9＝0D . 2x2﹣6x﹣10＝04.m、n是方程x2−2019x+2020=0的两根，(m2−2020m+2020)⋅(n2−2020n+2020)的值是( )A . 2017B . 2018C . 2019D . 20205.已知x=1是一元二次方程(m−2)x2+4x−m2=0的一个根，则m的值为( )A . -1或2B . -1C . 2D . 06.x=1是关于x的一元二次方程(a−2)x2−(a2+1)x+5=0的一个根，则A =( )A . -1B . 2C . -1或2D . 不存在7.若关于x的方程x2﹣2x+m＝0的一个根为﹣1，则另一个根为()A . ﹣3B . ﹣1C . 1D . 38.已知x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个根，则x1+x2﹣x1x2的值为()A . 1B . 2C . 3D . 49.关于x的一元二次方程x2-4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m的值为( )A . 74 B . 75C . 76D . 010.受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的300万元，连续两个月降至260万元，设平均降低率为x，则可列方程( )A . 300(1－x)2＝260B . 300(1－x2)＝260C . 300(1－2x)＝260D . 300(1＋x)2＝260二、填空题11.将方程x(x﹣2)＝x+3化成一般形式后，二次项系数为________.12.若m是方程2x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式2m﹣4m2的值为________.13.当x=________时，代数式x2−x与x-1的值相等.14.将一元二次方程ax2+bx+c=0，化为(x−m)2= b2−4ac4a2，则m为________．15.抛物线y=2x2+2(k−1)x−k( k为常数)与x轴交点的个数是________．16.已知x1，x2是关于的一元二次方程x2﹣3x+A ＝0的两个实数根，x12﹣3x1x2+x22＝4，则A ＝________.17.若关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+2=0的一个根是-1，则另一个根是________．18.已知实数m、n满足x2−7x+2=0，则nm +mn的值________.三、计算题19.解方程:(1)2(x-2)²=18.(2)2x(x+3)-x-3=0四、解答题20.已知关于x的一元二次方程kx2－(2k＋1)x＋k＋3= 0有解，求k的取值范围.21.定理:若x1、x2是关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两实根，则有x1+x2=−m，x1x2=n，请用这一定理解决问题:已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2−2(k+1)x+k2+2=0的两实根，且(x1+1)(x2+1)=8，求k的值.22.如图，在宽为20m，长为27m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为450 ，求道路的宽．23.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9.•如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，求原来的两位数.24.根据扬州市某风景区的旅游信息，A 公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元.A 公司参加这次旅游的员工有多少人？扬州市某风景区旅游信息表答案与解析一、选择题1.解:① x2−13x=1不是一元二次方程;② 2x2−5xy+y2=0不是一元二次方程;③ 7x2+1=0是一元二次方程;④ y22=0是一元二次方程．综上:一元二次方程是③和④故答案为:C ．根据一元二次方程的定义:只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，逐一判断即可．2.解: x2−8x−5=0移项得x2−8x=5，配方得x2−8x+42=5+16，即(x−4)2=21，∴A =-4，B =21．故答案为:A根据配方法步骤解题即可．3.解:由原方程，得x2+6x+9＝3x2﹣x，即2x2﹣7x﹣9＝0，故答案为:A .方程左边利用完全平方公式将原方程的左边展开，右边按照整式乘法展开，然后通过合并同类项将原方程化为一般形式.4.解:∵m，n是方程x2−2019x+2020=0的两根，代入得:∴m2−2019m+2020=0,n2−2019n+2020=0∴m2−2019m=−2020,n2−2019n=−2020代入得:∴(m2−2020m+2020)(n2−2020n+2020)= (m2−2019m−m+2020)(n2−2019n−n+2020)将m2−2019m=−2020,n2−2019n=−2020代入得:(m2−2020m+2020)(n2−2020n+2020)= mn根据韦达定理: mn=ca =20201=2020故答案为:D将m，n代入方程得到m2−2019m+2020=0,n2−2019n+2020=0从而得出m2−2019m=−2020,n2−2019n=−2020，再代入即可求解.5.解:把x=1代入(m−2)x2+4x−m2=0得:m－2+4－m2=0，－m2+m+2=0，解得:m1=2，m2=﹣1∵(m−2)x2+4x−m2=0是一元二次方程，∴m－2≠0，∴m≠2，∴m=−1，故答案为:B .首先把x=1代入(m−2)x2+4x−m2=0，解方程可得m1=2，m2=-1，再结合一元二次方程定义可得m 的值6.解:把x=1代入方程得:−a2+a+2=0解得a=−1或a=2又由于原方程二次项系数不为0即A -2≠0，所以A ≠2所以A =-1故答案为:A把x=1代入方程，解关于A 的一元二次方程，a=−1或a=2，因为原方程A -2≠0，所以a=−1．7.解:设方程另一个根为x1，∴x1+(﹣1)＝2，解得x1＝3．故答案为:D ．设方程另一个根为x1，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+(-1)=2，解此方程即可．8.解:∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个根，∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣3，则原式＝﹣1﹣(﹣3)＝﹣1+3＝2.故答案为:B .根据韦一元二次方程根与系数的关系，由x1+x2＝−ba =﹣1，x1x2＝ca=﹣3，代入计算可得.9. ∵ x 1 +x 2＝4，则x 1 +3x 2＝5，得x 1 +x 2+2 x 2＝5，2 x 2=5-4=1，x 2= 12,代入原方程得: (12)2−4×12+m=0,m=74故答案为A根据二次方程根与系数的关系求出两根之和，再代入求x2,把x2代入原方程即可求出m.10.由题意可得，元月份为300万元，2月份为300(1-x)，3月份为300(1-x)2=260故答案为:A根据平均降低率与月份的关系可列出方程。

人教版九年级数学《一元二次方程》单元测试题(含答案)人教版九年级数学《一元二次方程》单元测试题一、选择题（每题3分，共18分）：1.下列关于X的方程中，一定是一元二次方程的是（）A.x-2=(x+3)B.ax+bx+c=2C.x+2D.x-1=2改写为：下列关于X的方程中，是一元二次方程的是（）A.x-2=(x+3)B.ax+bx+c=2C.x+2D.x-1=22.x=2不是下列哪一个方程的解()A.3(x-2)=2B.2x-3x=2C.(x+2)(x-2)=23D.x-x+2=2改写为：下列哪一个方程的解不是x=2？A.3(x-2)=2B.2x-3x=2C.(x+2)(x-2)=23D.x-x+2=23.一元二次方程x-6x-5=配方可变形为()A.(x-3)=14B.(x-3)=42C.(x+3)=14D.(x+3)=42改写为：将一元二次方程x-6x-5配方可变形得到()A.(x-3)=14B.(x-3)=42C.(x+3)=14D.(x+3)=424.下列对一元二次方程要根的情况的判断,正确的是()A.有两个不相等的实数根.B.有两个相等的实数根.C.有且只有一个实数根.D.没有实数根.改写为：下列关于一元二次方程根的判断正确的是()A.有两个不相等的实数根.B.有两个相等的实数根.C.有且只有一个实数根.D.没有实数根.5.已知方程x+7x-1=的两个实数根为a,b,则代数式ab-a-b+1的值为()A.-7B.7C.9D.-9改写为：已知方程x+7x-1的两个实数根为a,b,则代数式ab-a-b+1的值为()A.-7B.7C.9D.-96.定义新运算，规定运算“★”是a★b=ab,如2★5=2´5，若3★x=36，则x为（）A.x=4,x=-4B.x=±4C.x=23,x=-23D.x=3,x=-3改写为：定义新运算，规定运算“★”是a★b=ab，若3★x=36，则x为（）A.x=4,x=-4B.x=±4C.x=23,x=-23D.x=3,x=-3二、填空题(每题3分，共18分）：7.一元二次方程3x(x-3)=2x+1化成一般形式为______。

一元二次方程单元测试题及答案一、选择题1. 一元二次方程的一般形式是：A. ax^2 + bx + c = 0B. ax^2 + bx = 0C. ax^2 + c = 0D. ax + b = 0答案：A2. 下列哪个方程不是一元二次方程？A. x^2 - 3x + 2 = 0B. x^2 - 5 = 0C. 2x + 5 = 0D. 3x^2 - 7x = 0答案：C3. 一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的判别式是：A. b^2 - 4acB. b^2 + 4acC. a^2 - 4bcD. a^2 + 4bc答案：A二、填空题4. 解一元二次方程 x^2 - 5x + 6 = 0，其判别式为 _______ 。

答案：15. 如果一元二次方程的根是 x1 = 2 和 x2 = 3，那么这个方程可以写成 _______ 。

答案：x^2 - 5x + 6 = 0三、解答题6. 解一元二次方程 2x^2 - 7x + 3 = 0。

解：首先计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 * 2 * 3 = 49 - 24 = 25。

由于Δ > 0，方程有两个不相等的实数根。

根据求根公式 x = (-b ± √Δ) / (2a)，我们得到：x1 = (7 + √25) / 4 = (7 + 5) / 4 = 12 / 4 = 3，x2 = (7 - √25) / 4 = (7 - 5) / 4 = 2 / 4 = 0.5。

7. 已知方程 x^2 + 4x + k = 0 的一个根是 x = -2，求 k 的值。

解：将 x = -2 代入方程，得到 (-2)^2 + 4 * (-2) + k = 0。

简化得 4 - 8 + k = 0，解得 k = 4。

四、应用题8. 一个长方形的长是宽的两倍，面积是 24 平方米，求这个长方形的长和宽。

解：设宽为 x 米，长为 2x 米。

数学九年级上册 一元二次方程单元综合测试（Word 版 含答案）一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）1．为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册.（1）求这两年藏书的年均增长率；（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？【答案】（1）这两年藏书的年均增长率是20%；（2）到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%． 【解析】 【分析】（1）根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以得到这两年藏书的年均增长率； （2）根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著，从而可以求得到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几. 【详解】解：（1）设这两年藏书的年均增长率是x ，()2517.2x +=，解得，10.2x =，2 2.2x =-（舍去）， 答：这两年藏书的年均增长率是20%；（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有()7.2520%0.44-⨯=（万册）， 到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：5 5.6%0.44100%10%7.2⨯+⨯=，答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，这是一道典型的增长率问题.2．已知关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+1＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k ＝2，求该矩形的对角线L 的长．【答案】（1）k ＞34；（2 【解析】 【分析】（1）根据关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可；（2）当k=2时，原方程x 2-5x+5=0，设方程的两根是m 、n ，则矩形两邻边的长是m 、n ，利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，则矩形的对角线长为22m n +，利用完全平方公式进行变形即可求得答案. 【详解】解：（1）∵方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[－(2k ＋1)]2－4×1×(k 2＋1)＝4k －3＞0， ∴k ＞34； (2)当k ＝2时，原方程为x 2－5x ＋5＝0， 设方程的两个根为m ，n ， ∴m ＋n ＝5，mn ＝5，∴矩形的对角线长为：()222215m n m n mn +=+-=.【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．3．阅读以下材料，并解决相应问题：材料一：换元法是数学中的重要方法，利用换元法可以从形式上简化式子，在求解某些特殊方程时，利用换元法常常可以达到转化的目的，例如在求解一元四次方程42210x x -+=，就可以令21x =，则原方程就被换元成2210t t -+=，解得 t = 1，即21x =，从而得到原方程的解是 x = ±1材料二：杨辉三角形是中国数学上一个伟大成就，在中国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书中出现，它呈现了某些特定系数在三角形中的一种有规律的几何排列，下图为杨辉三角形：……………………………………（1）利用换元法解方程：()()222312313+-++-=x x x x（2）在杨辉三角形中，按照自上而下、从左往右的顺序观察， an 表示第 n 行第 2 个数（其中 n≥4），bn 表示第 n 行第 3 个数，n c 表示第(n )1-行第 3 个数，请用换元法因式分解：()41-⋅+n n n b a c【答案】（1）3172x -+= 或3172x --= 或x=-1或x=-2；（2）()41-⋅+n n n b a c =（n 2-5n+5）2 【解析】 【分析】（1）设t=x 2+3x-1，则原方程可化为：t 2+2t=3，求得t 的值再代回可求得方程的解； （2）根据杨辉三角形的特点得出a n ，b n ，c n ，然后代入4（b n -a n ）•c n +1再因式分解即可． 【详解】（1）解：令t=x 2+3x-1 则原方程为：t 2+2t=3 解得：t=1 或者 t=-3 当t=1时，x 2+3x-1=1 解得：3172x -+=或3172x --= 当t=-3时，x 2+3x-1=-3 解得：x=-1或x=-2 ∴方程的解为：3172x -+=或3172x --= 或x=-1或x=-2 （2）解：根据杨辉三角形的特点得出： a n =n-1(1)(2)2n n n b --= (2)(3)2n n n c --=∴4（b n -a n ）•c n +1=（n-1）（n-4）（n-2）（n-3）+1=（n 2-5n+4）（n 2-5n+6）+1 =（n 2-5n+4）2+2（n 2-5n+4）+1=（n 2-5n+5）2 【点睛】本题主要考查因式分解的应用．解一些复杂的因式分解问题，常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．4．阅读下列材料 计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t ，则：原式＝（1﹣t ）（t +）﹣（1﹣t ﹣）t ＝t +﹣t 2﹣+t 2＝在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题：（1）计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（+）（2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4（3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3【答案】（1）；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2【解析】【分析】（1）仿照材料内容，令+＝t代入原式计算．（2）观察式子找相同部分进行换元，令a2﹣5a＝t代入原式进行因式分解，最后要记得把t换为a．（3）观察式子找相同部分进行换元，令x2+4x＝t代入原方程，即得到关于t的一元二次方程，得到t的两个解后要代回去求出4个x的解．【详解】（1）令+＝t，则：原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣﹣t+t2+＝（2）令a2﹣5a＝t，则：原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2（3）令x2+4x＝t，则原方程转化为：（t+1）（t+3）＝3t2+4t+3＝3t（t+4）＝0∴t1＝0，t2＝﹣4当x2+4x＝0时，x（x+4）＝0解得：x1＝0，x2＝﹣4当x2+4x＝﹣4时，x2+4x+4＝0（x+2）2＝0解得：x3＝x4＝﹣2【点睛】本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算．5．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg时，用油的重复利用率为61.6%．①润滑用油量为80kg，用油量的重复利用率为多少？②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？【答案】（1）28（2）①76%②75，84%【解析】试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；（2）①利用润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案；②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，得出等式求出答案．试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg）；（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；②设润滑用油量是x千克，则x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x）]}=12，整理得：x2﹣65x﹣750=0，（x﹣75）（x+10）=0，解得：x1=75，x2=﹣10（舍去），60%+1.6%（90﹣x）=84%，答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．考点：一元二次方程的应用6．已知x1、x2是关于x的﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）求a的取值范围；（2）若（x1+1）（x2+1）是负整数，求实数a的整数值．【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a的值为7、8、9或12．【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣2-6aa，x1x2=-6aa，由（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=﹣66a - 是是负整数，即可得66a -是正整数．根据a 是整数，即可求得a 的值2． 【详解】（1）∵原方程有两实数根，∴260(2)4(6)*0a a a a -≠⎧⎨∆=-->⎩， ∴a≥0且a≠6．（2）∵x 1、x 2是关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根， ∴x 1+x 2=﹣26a a -，x 1x 2=6aa -， ∴（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=-6a a ﹣26a a -+1=﹣66a -． ∵（x 1+1）（x 2+1）是负整数，∴﹣66a -是负整数，即66a -是正整数． ∵a 是整数，∴a ﹣6的值为1、2、3或6， ∴a 的值为7、8、9或12． 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a 的不等式是解此题的关键．7．近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂家购进了A ，B 两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息见下表：（1）每台A 型空气净化器和B 型空气净化器的销售利润分别是多少？（2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中B 型空气净化器的进货量不少于A 型空气净化器的2倍，为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，请你设计相应的进货方案；（3）已知A 型空气净化器的净化能力为300 m 3/小时，B 型空气净化器的净化能力为200 m 3/小时．某长方体室内活动场地的总面积为200 m ２，室内墙高3 m ．该场地负责人计划购买5台空气净化器每天花费30分钟将室内空气净化一新，如不考虑空气对流等因素，至少要购买A 型空气净化器多少台？【答案】（1）每台A型空气净化器的利润为200元，每台B型空气净化器的利润为100元；（2）为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A型空气净化器33台，购进B型空气净化器67台；（3）至少要购买A型空气净化器2台.【解析】解：（1）设每台A型空气净化器的利润为x元，每台B型空气净化器的利润为y元，根据题意得：5102000,200, {{ 1052500.100. x y xx y y+==+==解得答：每台A型空气净化器的利润为200元，每台B型空气净化器的利润为100元. （2）设购买A型空气净化器m台，则购买B型空气净化器（100﹣m）台，∵B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，∴100-m≥2m，解得：m≤100. 3设销售完这100台空气净化器后的总利润为W元.根据题意，得W=200m+100（100﹣m）=100m+10000.∵要使W最大，m需最大，∴当m=33时，总利润最大，最大利润为W：100×33+10000=13300（元）.此时100﹣m=67.答：为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A型空气净化器33台，购进B型空气净化器67台.（3）设应购买A型空气净化器a台，则购买B型空气净化器（5﹣a）台，根据题意得：12[300a+200(5-a)]≥200×3.解得：a≥2.∴至少要购买A型空气净化器2台.8．如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA=2，OA和AB的长度是关于x的一元二次方程x2﹣4x+a=0的两个实数根．（1）求弦AB的长度；（2）计算S△AOB；（3）⊙O上一动点P从A点出发，沿逆时针方向运动一周，当S△POA=S△AOB时，求P点所经过的弧长（不考虑点P与点B重合的情形）．【答案】（1）AB=2；（2）S△AOB33）当S△POA=S△AOB时，P点所经过的弧长分别是43π、83π、103π． 【解析】试题分析：（1）OA 和AB 的长度是一元二次方程的根，所以利用一元二次方程的根与系数的关系即可求出AB 的长度；（2）作出△AOB 的高OC ，然后求出OC 的长度即可求出面积； （3）由题意知：两三角形有公共的底边，要面积相等，即高要相等． 试题解析：（1）由题意知：OA 和AB 的长度是x 2﹣4x+a=0的两个实数根， ∴OA+AB=﹣41-=4， ∵OA=2， ∴AB=2；（2）过点C 作OC⊥AB 于点C ，∵OA=AB=OB=2，∴△AOB 是等边三角形，∴AC=12AB=1， 在Rt△ACO 中，由勾股定理可得：OC=3，∴S △AOB =12AB ﹒OC=12×2×3=3； （3）延长AO 交⊙O 于点D ，由于△AOB 与△POA 有公共边OA ， 当S △POA =S △AOB 时，∴△AOB 与△POA 高相等，由（2）可知：等边△AOB 的高为3，∴点P 到直线OA 的距离为3，这样点共有3个 ①过点B 作BP 1∥OA 交⊙O 于点P 1，∴∠BOP 1=60°， ∴此时点P 经过的弧长为：1202180π⨯=43π， ②作点P 2，使得P 1与P 2关于直线OA 对称，∴∠P 2OD=60°， ∴此时点P 经过的弧长为：2402180π⨯=83π， ③作点P 3，使得B 与P 3关于直线OA 对称，∴∠P 3OP 2=60°， ∴此时P 经过的弧长为：3002180π⨯ =103π， 综上所述：当S △POA =S △AOB 时，P 点所经过的弧长分别是43π、83π、103π．【点睛】本题主要考查了一元二次方程与圆的综合知识．涉及等边三角形性质，圆的对称性等知识，能综合运用所学知识，选择恰当的方法进行解题是关键．9．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C、D，AB与CD相交于点E，线段OA、OC的长是一元二次方程－18x+72=0的两根（OA＞OC），BE=5，tan∠ABO=．（1）求点A，C的坐标；（2）若反比例函数y=的图象经过点E，求k的值；（3）若点P在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q，使以点C，E，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点Q的个数，并直接写出位于x轴下方的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)、A（12，0），C（﹣6，0）；(2)、k=36；(3)、6个；Q1（10，﹣12），Q2（﹣3，6﹣3）.【解析】试题分析：(1)、首先求出方程的解，根据OA＞OC求出两点的坐标；(2)、根据∠ABO的正切值求出OB的长度，根据Rt△AOB得出AB的长度，作EM⊥x轴，根据三角形相似得出点E的坐标，然后求出k的值；(3)、分别以CE为矩形的边，在点C、E处设计直角，垂线与两坐标轴相交，得到点P，进而得到点Q；以CE为矩形对角线，则以CE的中点为圆心做圆，与两坐标轴相交，得到点P，再得点Q.试题解析：（1）由题意，解方程得：x1=6，x2=12．∵OA＞OC，∴OA=12，OC=6．∴A（12，0），C（﹣6，0）；（2）∵tan∠ABO=，∠AOB=90°∴∴OB=16．在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=20∵BE=5，∴AE=15．如图1，作EM⊥x轴于点M，∴EM∥OB．∴△AEM∽△ABO，∴，即：∴EM=12，AM=9，∴OM=12﹣9=3．∴E（3，12）．∴k=36；（3）满足条件的点Q的个数是6，x轴的下方的Q1（10，﹣12），Q2（﹣3，6﹣3）；方法：如下图①分别以CE为矩形的边，在点C、E处设计直角，垂线与两坐标轴相交，得到点P，进而得到点Q；（有三种）②以CE为矩形对角线，则以CE的中点为圆心做圆，与两坐标轴相交，得到点P，再得点Q；（有三种）如图①∵E（3，12），C（﹣6，0），∴CG=9，EG=12，∴EG2=CG•GP，∴GP=16，∵△CPE 与△PCQ 是中心对称，∴CH=GP=16，QH=FG=12， ∵OC=6， ∴OH=10，∴Q （10，﹣12），如图②作MN ∥x 轴，交EG 于点N ，EH ⊥y 轴于点H ∵E （3，12），C （﹣6，0），∴CG=9，EG=12， ∴CE=15，∵MN=CG=， 可以求得PH=3﹣6，同时可得PH=QR ，HE=CR ∴Q （﹣3，6﹣3）， 考点：三角形相似的应用、三角函数、一元二次方程.10．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程2(1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式2216k k k -+-的值． 【答案】0. 【解析】【分析】由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解．【详解】解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2则12123940x x x x a a +-⎧⎪⎨⎪-≥⎩＝＝＝ ， 由条件，知12121211x x x x x x ++==3， 即33a -=，且94a ≤， 故a ＝－1， 则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则22106k k k -=+-. Ⅱ.当k -1≠0时，∆=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则178k ≤， 又k 是正整数，且k ≠1，则k =2，但使2216k k k -+-无意义.综上，代数式2216kk k-+-的值为0【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，。

九年级上册一元二次方程单元测试卷 （word 版，含解析）一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）1．如图1，平面直角坐标系xOy 中，等腰ABC ∆的底边BC 在x 轴上，8BC =，顶点A 在y 的正半轴上，2OA =，一动点E 从(3,0)出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F 从点C 出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O 停止．已知点E 、F 同时出发，以EF 为边作正方形EFGH ，使正方形EFGH 和ABC ∆在BC 的同侧．设运动的时间为t 秒（0t ≥）．（1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；（2）设正方形EFGH 与ABC ∆重叠面积为S ，请问是存在t 值，使得9136S =？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC 的中点D ，连结OD ，当点E 、F 开始运动时，点M 从点O 出发，以每秒25OD DC CD DO ---运动，到达点O 停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．【答案】（1）t=1；（2）存在，143t =，理由见解析；（3）可能，3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤理由见解析 【解析】【分析】（1）用待定系数法求出直线AC 的解析式，根据题意用t 表示出点H 的坐标，代入求解即可；（2）根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =，故t ﹥4,用待定系数法求出直线AB 的解析式，求出点H 落在BC 边上时的t 值，求出此时重叠面积为169﹤9136，进一步求出重叠面积关于t 的表达式，代入解t 的方程即可解得t 值；（3）由已知求得点D （2，1），AC=结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长．【详解】（1）由题意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)，设直线AC 的函数解析式为y=kx+b ，将点A 、C 坐标代入，得：402k b b +=⎧⎨=⎩，解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AC 的函数解析式为122y x =-+， 当点H 落在AC 边上时，点E(3-t ，0)，点H （3-t ，1），将点H 代入122y x =-+，得： 11(3)22t =--+，解得：t=1； （2）存在，143t =，使得9136S =． 根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =，故t ﹥4， 设直线AB 的函数解析式为y=mx+n ，将点A 、B 坐标代入，得：402m n n -+=⎧⎨=⎩，解得：122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AC 的函数解析式为122y x =+， 当t ﹥4时，点E （3-t ，0）点H （3-t ，t-3），G(0，t-3)， 当点H 落在AB 边上时，将点H 代入122y x =+，得： 13(3)22t t -=-+，解得：133t =； 此时重叠的面积为221316(3)(3)39t -=-=， ∵169﹤9136，∴133﹤t ﹤5， 如图1，设GH 交AB 于S ，EH 交AB 于T,将y=t-3代入122y x =+得：1322t x -=+， 解得：x=2t-10，∴点S(2t-10，t-3)， 将x=3-t 代入122y x =+得：11(3)2(7)22y t t =-+=-， ∴点T 1(3,(7))2t t --，∴AG=5-t ，SG=10-2t ，BE=7-t ，ET=1(7)2t -， 211(7)24BET S BE ET t ∆==-, 21(5)2ASG S AG SG t ∆==- 所以重叠面积S=AOB BET ASG S S S ∆∆∆--=4-21(7)4t --2(5)t -=2527133424t t -+-， 由2527133424t t -+-=9136得：1143t =，29215t =﹥5(舍去)， ∴143t =；（3）可能，35≤t≤1或t=4． ∵点D 为AC 的中点，且OA=2,OC=4，∴点D （2，1），AC=255易知M 点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动；当0﹤t ﹤12时，M 在线段OD 上，H 未到达D 点，所以M 与正方形不相遇； 当12﹤t ﹤1时， 12+12÷（1+4）=35秒， ∴t =35时M 与正方形相遇，经过1÷（1+4）=15秒后，M 点不在正方行内部，则3455t ≤≤； 当t=1时，由（1）知，点F 运动到原E 点处，M 点到达C 处；当1≤t≤2时，当t=1+1÷（4-1）=43秒时，点M 追上G 点，经过1÷（4-1）=13秒，点M 都在正方形EFGH 内（含边界），4533t ≤≤ 当t=2时，点M 运动返回到点O 处停止运动，当 t=3时，点E 运动返回到点O 处, 当 t=4时，点F 运动返回到点O 处,当35t ≤≤时，点M 都在正方形EFGH 内（含边界），综上，当3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤时，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）．【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合，涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．2．已知:在平面直角坐标系xoy 中,直线k y x b =+分别交x 、y 轴于点A 、B 两点,OA=5,∠OAB=60°.(1)如图1,求直线AB 的解析式；(2)如图2,点P 为直线AB 上一点，连接OP ,点D 在OA 延长线上，分别过点P 、D 作OA 、OP 的平行线,两平行线交于点C ，连接AC,设AD=m,△ABC 的面积为S,求S 与m 的函数关系式;(3)如图3,在(2)的条件下,在PA 上取点E ,使PE=AD, 连接EC,DE,若∠ECD=60°,四边形ADCE 的周长等于22，求S 的值.【答案】(1)直线解析式为353y x =-+53253+；(3)203S =. 【解析】【分析】 (1)先求出点B 坐标，设AB 解析式为y kx b =+，把点A(5，0)，B(0，3分别代入，利用待定系数法进行求解即可；(2)由题意可得四边形ODCP 是平行四边形，∠OAB=∠APC=60°，则有PC=OD=5+m ，∠PCH=30°，过点C 作CH ⊥AB ，在Rt △PCH 中 利用勾股定理可求得)35m +，再由S=12AB •CH 代入相关数据进行整理即可得； (3) 先求得∠PEC=∠ADC ，设∠OPA=α，则∠OPC= ∠ADC= ∠PEC=60°+α，在BA 延长线上截取AK=AD ，连接OK ，DK ，DE ，证明△ADK 是等边三角形，继而证明△PEC ≌△DKO ，通过推导可得到OP=OK=CE=CD ，再证明△CDE 是等边三角形，可得CE=CD=DE ，连接OE ，证明△OPE ≌△EDA ，继而可得△OAE 是等边三角形，得到OA=AE=5 ，根据四边形ADCE 的周长等于22，可得ED=172m -，过点E 作EN ⊥OD 于点N ，则DN=52m +，由勾股定理得222EN DN DE +=， 可得关于m 的方程，解方程求得m 的值后即可求得答案.【详解】(1)在Rt △ABO 中OA=5，∠OAB=60°，∴∠OBA=30°，AB=10 ，由勾股定理可得OB=53，∴B(0，3，设AB 解析式为y kx b =+，把点A(5，0)，B(0，53)分别代入，得0553k b b =+⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴353k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ∴直线解析式为353y x =+(2)∵CP//OD ，OP//CD ，∴四边形ODCP 是平行四边形，∠OAB=∠APC=60°，∴PC=OD=5+m，∠PCH=30°，过点C作CH⊥AB，在Rt△PCH中 PH=52m+，由勾股定理得CH=()35m+，∴S=12AB•CH=135325310(5)2m m⨯⨯+=+；(3) ∵∠ECD=∠OAB=60°，∴∠EAD+∠ECD=180°，∠CEA+∠ADC=180°，∴∠PEC=∠ADC，设∠OPA=α，则∠OPC= ∠ADC= ∠PEC=60°+α，在BA延长线上截取AK=AD，连接OK，DK，DE，∵∠DAK=60°，∴△ADK是等边三角形，∴AD=DK=PE，∠ODK=∠APC，∵PC=OD，∴△PEC≌△DKO，∴OK=CE，∠OKD=∠PEC=∠OPC=60°+α，∠AKD= ∠APC=60°，∴∠OPK= ∠OKB，∴OP=OK=CE=CD，又∵∠ECD=60°，∴△CDE是等边三角形，∴CE=CD=DE，连接OE，∵∠ADE=∠APO，DE=CD=OP，∴△OPE≌△EDA，∴AE=OE，∠OAE=60°，∴△OAE是等边三角形，∴OA=AE=5 ，∵四边形ADCE的周长等于22，∴AD+2DE=17，∴ED=172m -， 过点E 作EN ⊥OD 于点N ，则DN=52m +， 由勾股定理得222EN DN DE +=， 即22253517()()()22m m -++=， 解得13m =，221m =-(舍去)，∴S=15325322+=203.【点睛】本题考查的四边形综合题，涉及了待定系数法，平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解一元二次方程等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.3．阅读与应用：阅读1：a ，b 为实数，且a ＞0，b ＞0，因为()2≥0，所以a ﹣2+b ≥0，从而a +b ≥2(当a ＝b 时取等号)． 阅读2：若函数y ＝x +(m ＞0，x ＞0，m 为常数)，由阅读1结论可知：x +≥2，所以当x ＝，即x ＝时，函数y ＝x +的最小值为2． 阅读理解上述内容，解答下列问题：问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x ，则另一边长为，周长为2(x +)，求当x ＝时，周长的最小值为；问题2：汽车的经济时速是汽车最省油的行驶速度，某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时(含70公里和110公里)，每公里耗油()L．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，1h的耗油量为yL．(1)求y关于x的函数关系式(写出自变量x的取值范围)；(2)求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量．【答案】问题1：2，8；问题2：(1)y=；(2)10.【解析】【分析】（1）利用题中的不等式得到x+=4，从而得到x=2时，周长的最小值为8；（2）根据耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度列出函数关系式即可，经济时速就是耗油量最小的形式速度．【详解】(1)∵x+≥2＝4，∴当x＝时，2(x+)有最小值8．即x＝2时，周长的最小值为8；故答案是：2；8；问题2：，当且仅当，即x＝90时，“＝”成立，所以，当x＝90时，函数取得最小值9，此时，百公里耗油量为，所以，该汽车的经济时速为每小时90公里，经济时速的百公里耗油量为10L．【点睛】本题考查了配方法及反比例函数的应用，最值问题，解题的关键是读懂题目提供的材料，易错点是了解“耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度”，难度中等偏上．4．近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．（1）从去年年底至今年3月20日，猪肉价格不断走高，3月20日比去年年底价格上涨了60%．某市民在今年3月20日购买2.5千克猪肉至少要花200元钱，那么去年年底猪肉的最低价格为每千克多少元？（2）3月20日，猪肉价格为每千克60元，3月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克60元的基础上下调a%出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克60元的情况下，该天的两种猪肉总销量比3月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的34，两种猪肉销售的总金额比3月20日提高了1%10a，求a的值．【答案】（1）去年年底猪肉的最低价格为每千克50元；（2）a的值为20．【解析】【分析】（1）设去年年底猪肉价格为每千克x元；根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可；（2）设3月20日两种猪肉总销量为1；根据题意列出方程，解方程即可．【详解】解：（1）设去年年底猪肉价格为每千克x元；根据题意得：2．5×（1+60%）x≥200，解得：x≥50．答：去年年底猪肉的最低价格为每千克50元；（2）设3月20日的总销量为1；根据题意得：60（1﹣a%）×34(1+a%）+60×14(1+a%）=60（1+110a%），令a%=y，原方程化为：60（1﹣y）×34(1+y）+60×14(1+y）=60（1+110y），整理得：5y2﹣y=0，解得：y=0.2，或y=0（舍去），则a%=0.2，∴a=20；答：a的值为20．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用；根据题意列出不等式和方程是解决问题的关键．5．（1）课本情境:如图，已知矩形AOBC，AB＝6cm，BC＝16cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动，与点P同时结束运动，出发时，点P和点Q之间的距离是10cm；（2）逆向发散:当运动时间为2s时，P，Q两点的距离为多少？当运动时间为4s时，P，Q 两点的距离为多少？（3）拓展应用：若点P沿着AO→OC→CB移动，点P，Q分别从A，C同时出发，点Q从点C移动到点B停止时，点P随点Q的停止而停止移动，求经过多长时间△POQ的面积为12cm2？【答案】（1）85s或245s（2）62cm；213cm（3）4s或6s【解析】【分析】(1)过点P作PE⊥BC于E，得到AP＝3t，CQ＝2t，PE＝6，EQ＝16﹣3t﹣2t＝16﹣5t，利用勾股定理得到方程，故可求解；（2）根据运动时间求出EQ、PE，利用勾股定理即可求解；(3) 分当点P在AO上时，当点P在OC上时和当点P在CB上时，根据三角形的面积公式列出方程即可求解．【详解】解：（1）设运动时间为t秒时，如图，过点P作PE⊥BC于E，由运动知，AP＝3t，CQ＝2t，PE＝6，EQ＝16﹣3t﹣2t＝16﹣5t，∵点P和点Q之间的距离是10 cm，∴62+（16﹣5t）2＝100，解得t1=85，t2=245，∴t＝85s或245s.故答案为85s或245s（2）t=2时，由运动知AP＝3×2＝6 cm，CQ＝2×2＝4 cm，∴四边形APEB是矩形，∴PE＝AB＝6，BE＝6，∴EQ＝BC﹣BE﹣CQ＝16﹣6﹣4＝6，根据勾股定理得PQ=2262PE EQ +=,∴当t ＝2 s 时，P ，Q 两点的距离为62 cm ；当t ＝4 s 时，由运动知AP ＝3×4＝12 cm ，CQ ＝2×4＝8cm ， ∴四边形APEB 是矩形，∴PE ＝AB ＝6，BQ ＝8，CE=OP=4∴EQ ＝BC ﹣CE ﹣BQ ＝16﹣4﹣8＝4，根据勾股定理得PQ=22213PE EQ +=,P ，Q 两点的距离为213cm .（3）点Q 从C 点移动到B 点所花的时间为16÷2=8s ，当点P 在AO 上时，S △POQ ＝2PO CO ⋅＝(163)62t -⋅＝12， 解得t ＝4．当点P 在OC 上时，S △POQ ＝2PO CQ ⋅＝(316)22t t -⋅＝12， 解得t ＝6或﹣23（舍弃）． 当点P 在CB 上时，S △POQ ＝2PQ CO ⋅＝(2223)62t t +-⨯＝12， 解得t ＝18＞8（不符合题意舍弃），综上所述，经过4 s 或6 s 时，△POQ 的面积为12 cm 2．【点睛】此题主要考查勾股定理的应用、一元二次方程与动点问题，解题的关键是熟知勾股定理的应用，根据三角形的面积公式找到等量关系列出方程求解．6．已知二次函数y ＝9x 2﹣6ax +a 2﹣b ，当b ＝﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4） ①求a 的值；②求当a ≤x ≤b 时，一次函数y ＝ax +b 的最大值及最小值；【答案】①a 的值是﹣2或﹣4；②最大值＝13，最小值＝9【解析】【分析】①根据题意解一元二次方程即可得到a 的值；②根据a ≤x ≤b ，b ＝﹣3求得a=-4，由此得到一次函数为y ＝﹣4x ﹣3，根据函数的性质当x ＝﹣4时，函数取得最大值，x ＝﹣3时，函数取得最小值，分别计算即可.【详解】解：①∵y ＝9x 2﹣6ax +a 2﹣b ，当b ＝﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4） ∴4＝9×（﹣1）2﹣6a ×（﹣1）+a 2+3，解得，a 1＝﹣2，a 2＝﹣4，∴a 的值是﹣2或﹣4；②∵a ≤x ≤b ，b ＝﹣3∴a ＝﹣2舍去，∴a ＝﹣4，∴﹣4≤x ≤﹣3，∴一次函数y ＝﹣4x ﹣3，∵一次函数y ＝﹣4x ﹣3为单调递减函数，∴当x ＝﹣4时，函数取得最大值，y ＝﹣4×（﹣4）﹣3＝13x ＝﹣3时，函数取得最小值，y ＝﹣4×（﹣3）﹣3＝9.【点睛】此题考查解一元二次方程，一次函数的性质，（2）是难点，正确理解a 、b 的关系得到函数解析式是解题的关键.7．已知关于x 的二次函数22(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点.（1）求k 的取值范围；（2）若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ，且它们的倒数之和是32-，求k 的值. 【答案】（1）k ＜-34 ；（2）k=﹣1 【解析】试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b 2-4ac 的范围可求解出k 的值；（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k 的值.试题解析：（1）∵二次函数y=x 2-（2k-1）x+k 2+1的图象与x 轴有两交点，∴当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0有两个不相等的实数根．∴△=b 2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k 2+1）＞0．解得k ＜-34； （2）当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0．则x 1+x 2=2k-1，x 1•x 2=k 2+1，∵=== 32-， 解得：k=-1或k= 13-（舍去），∴k=﹣18．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x +a ﹣1=0．（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x 1，x 2，求a 的取值范围；（3）若方程两个实数根x 1，x 2满足[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，求a 的值．【答案】（1）123,4x x =-=（2）54a ≤（3）-4 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案；（2）根据判别式即可求出a 的范围；（3）根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】（1）把a =﹣11代入方程，得x 2﹣x ﹣12=0，（x +3）（x ﹣4）=0，x +3=0或x ﹣4=0，∴x 1=﹣3，x 2=4；（2）∵方程有两个实数根12x x ，，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a ﹣1）≥0，解得54a ≤：； （3）∵12x x ，是方程的两个实数根，222211221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-，，，． ∵[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，∴221122229x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+-=⎣⎦⎣⎦，把22112211x x a x x a -=--=-，代入，得：[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9，即（1+a ）2=9，解得：a =﹣4，a =2（舍去），所以a 的值为﹣4．点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．9．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点E ，连结CD .（1）若28A ∠=︒，求ACD ∠的度数；（2）设BC a =，AC b =；①线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根吗？说明理由.②若线段AD EC =，求a b的值. 【答案】（1）ACD ∠＝31︒；（2）①是；②34a b =. 【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠B ，根据等腰三角形的性质求出∠BCD ，计算即可； （2）①根据勾股定理求出AD ，利用求根公式解方程，比较即可；②根据勾股定理列出算式，计算即可．【详解】（1）在ABC ∆中，90ACB ∠=︒.∴90B A ∠=︒-∠9028=︒-︒62=︒，∵BC BD =，∴1802B BCD BDC ︒-∠∠=∠= 180622︒-︒= 59=︒.∴DCA ACB BCD ∠=∠-∠9059=︒-︒31=︒.（2）①BD BC a ==，∴AD AB BD =-AB a =-.在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，22AB AC BC =+22a b =+∵2220x ax b +-=，∴x =a =-a AB =-±.∴线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根.②∵AE AD =，又∵AD EC =， ∴2b AE EC ==， ∴2b AD =. 在Rt ABC ∆中，222AB AC BC =+， ∴2222b a b a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 22224b a ab b a ++=+， ∴234b ab =. ∵0b >， ∴34b a =， ∴34a b =. 【点睛】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．10．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点．己知函数222(3)y x mx m =--+(m m 为常数)． （1）当m =0时，求该函数的零点；（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点；（3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且121114x x +=-，此时函数图象与x 轴的交点分 别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM的函数解析式． 【答案】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．（2）见解析, （3）AM 的解析式为112y x =--． 【解析】 【分析】（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式【详解】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．（2）令y=0，得△=∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根． 即无论m 取何值，该函数总有两个零点．（3）依题意有， 由解得．∴函数的解析式为． 令y=0，解得∴A()，B(4,0) 作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’，则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）．连结CB’，则∠BCD=45°∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°∴∠BCB’=90°即B’（106-，）设直线AB’的解析式为y kx b =+，则20{106k b k b -+=+=-，解得112k b =-=-， ∴直线AB’的解析式为112y x =--， 即AM 的解析式为112y x =--．。

人教版九年级上册一元二次方程单元测试卷17一、选择题（共10小题；共50分）1. 一元二次方程的根为A. B. C. ， D. ，2. 用米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为平方米．若设它的一条边长为米，则根据题意可列出关于的方程为A. B.C. D.3. 下列方程中，有实数解的是A.4. 方程是关于的一元二次方程，则的值为A. D. 无法确定5. 三角形两边的长是和，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为A. B. C. 或 D. 以上都不对6. 当满足时，方程的根是A. B. C. D.7. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯次，则参加酒会的人数为A. 人B. 人C. 人D. 人8. 关于的方程有两个不相等的实数根，则的最大整数值是C. D.9. 某商店原来平均每天可销售某种水果千克，每千克盈利元，为了减少库存，经市场调查，这种水果每千克降价元，那么每天可多售出千克，若要平均每天盈利元，则每千克应降价多元?设每千克降价元，则所列方程是A. B.C. D.10. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，若，且方程的两个实数根都是整数，则的值为A. B. 或或C. D. 或或二、填空题（共6小题；共30分）11. 一元二次方程的根的判别式的值是．12. 方程的解为．13. 已知是自然数，且是完全平方数，那么的值是或．14. 为响应全民阅读活动，某校面向社会开放图书馆．自开放以来，进馆人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计进馆人次．若进馆人次的月增长率相同，为求进馆人次的月增长率，设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程为．15. 程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在《算法统宗》中记载："平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几?"【注释】步尺．译文："当秋千静止时，秋千上的踏板离地有尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（尺）时，踏板就和人一样高，已知这个人身高是尺．美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗?"如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，是秋千的静止状态，是踏板，是地面，点是推动两步后踏板的位置，弧是踏板移动的轨迹．已知尺，尺，人的身高尺．设绳索长尺，则可列方程为．16. 我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：一个矩形的面积为平方步，宽比长少步，问宽和长各多少步?设矩形的宽为步，根据题意，可列方程为．三、解答题（共8小题；共104分）17. 某校计划种植一块面积为平方米的长方形草坪，已知该长方形草坪的长比宽的倍还多米，问这个长方形草坪的长为多少米?18. 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．（1）；（2）．19. 已知两个关于的方程和至少有一个相同的实数根，求的值．20. 参加足球联赛的每两队之间都要进行一场比赛，共要比赛场，共有多少个队参加足球联赛?21. 解关于x的方程：．22. 解下列关于的方程：（1）；（2）．23. 某商场经销一种成本为每千克元的水产品，经市场分析，若按每千克元销售，一个月能售出千克；销售单价每涨价元，月销售量就减少千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题．（1）当销售单价定为每千克元，计算月销售量和月销售利润；（2）商场计划在月销售成本不超过元的情况下，使得月销售利润达到元，销售单价应定为多少?24. 为响应国家全民阅读的号召，望月湖区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在年图书借阅总量是本，年图书借阅总量是本．（1）求该社区的图书借阅总量从年至年的年平均增长率；（2）已知年该社区居民借阅图书人数有人，预计年达到人，如果至年图书借阅总量的增长率不低于至年的年平均增长率，那么年的人均借阅量比年增长，的值至少是多少?答案第一部分1. D 【解析】，，即或，解得：或．2. B 【解析】设一边长为米，则另外一边长为米，由题意，得．3. D 【解析】A、，原方程无实数根，B、当，即时，原方程无实数根，C、当，即或时，原方程无实数根，D、，．4. C5. B【解析】解方程得：或．当时，，不能组成三角形；当时，，三边能够组成三角形．该三角形的周长为．6. D 【解析】，解得：，∵方程，∴，∵，∴．7. C 【解析】设参加酒会的人数为人，根据题意得：，整理，得：，解得：，（不合题意，舍去）．答：参加酒会的人数为人．8. C9. B 【解析】设每千克降价元，根据题意得：，故选：B．10. B【解析】关于的方程有两个不相等的实数根，，解得，方程的两个实数根都是整数，是整数，是完全平方数，，或或．第二部分11.12.13. 或【解析】由于是完全平方数，令，则，所以关于的原方程（视为整数），判别式要使该方程有整数解，有是完全平方数，设，则，所以或解得或，代入原方程得或．14.【解析】由题意：第一个月进馆人次，第二个月进馆，第三个月进馆，三个月累计进馆：．15.16. ．第三部分17. 米．18. （1）．它的二次项系数、一次项系数和常数项分别为．（2）．它的二次项系数、一次项系数和常数项分别为，，．19. 假设这个解是，①减②得，解得或．当时，两个方程一样，但没有实数根，舍去；当时，由，得．20. 设共有个队参加比赛，则每队要参加场比赛，根据题意得：整理得：解得：答：共有个队参加足球联赛．21. ，．22. （1），．（2）无解．23. （1）月销售量为：（千克），月利润为：（元）．（2）设单价应定为元，得：，解得：，．当时，月销售成本为元，不合题意舍去．．答：销售单价应定为元/千克．24. （1）设该社区的图书借阅总量从年至年的年平均增长率为，依题意，得：解得：答：该社区的图书借阅总量从年至年的年平均增长率为．（2）依题意，得：解得：答：的值至少是．。