高中数学人教版教案必修第二章《数列》全章教案

人教版高中必修5第二章数列教学设计教学目标1.理解数列的概念及基本特征，能够正确地用公式计算数列项；2.掌握等差数列和等比数列的求和公式，并能够运用于实际问题的解决；3.培养学生对数学的兴趣和思维能力，提高其数学应用能力和解决问题的能力。

教学重难点1.理解数列的概念及基本特征，掌握常见数列的性质，展现数列的美妙之处；2.掌握等差数列和等比数列的求和公式，能够将问题转化成数列的求和问题。

教学内容及教学步骤导入环节引导学生通过问题引入数列的概念。

示范问题：如果按照1,3,5,7,…的规律一直往下走，你能得出第n 项是什么吗？通过这个问题，让学生明白数列的概念，探究数列的基本性质，引导学生去思考和猜测数列的特征。

讲解环节通过数列的定义和相关例题，让学生掌握数列的概念及基本特征。

数列的定义数列是按照一定规律排列的一列数，数列中每一个数称为该数列的项。

数列的分类常规数列：$a_1, a_2, a_3, …, a_n $特殊数列：•等差数列：a1,a2,a3,...,a n，满足a n+1=a n+d；•等比数列：a1,a2,a3,...,a n，满足a n+1=a n q。

常见数列的性质•等差数列的前n项和：$S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n)$；•等比数列的前n项和：$S_n = \\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。

实践环节练习1观察以下数列，判断其为等差数列还是等比数列并求出公差或公比：1.1,2,4,8,16,32,64,1282.-1,3,7,11,15,19,233.2，-4，8，-16，……答案：1.等比数列，公比为 2；2.等差数列，公差为 4；3.等比数列，公比为 -2。

练习2计算下列数列的前n项和：1.1,2,3,4, (99)2.-1,2,-3,4,-5 (201)3.1,-2,3,-4,…,-99。

答案：1.$S_n = \\frac{n(n+1)}{2}$；2.$S_n =\\frac{n}{2}(-1+(-1)^n(2n+1))$；3.$S_n = (-1)^{n+1}\\frac{n}{2}$。

人教版高中必修5第二章数列课程设计一、课程背景本课程是人教版高中数学必修5第二章数列课程设计，适用于高一学生。

数列是高中数学的重要内容，通过本章的学习，能够加深学生对数列的认识和理解，掌握数列的概念、性质和应用。

同时，数列也是高考数学的热门考点之一，学好数列对于高考取得好成绩非常重要。

二、教学目标1.掌握数列的概念及其分类；2.掌握数列的通项公式、通项公式的和式及其应用；3.理解等差数列和等比数列的性质及其应用；4.培养学生解决实际问题的数学思维能力。

三、教学内容及进度安排第一课时：数列的概念•数列的定义；•数列的分类；•数列的通项公式。

第二课时：数列的通项公式•等差数列的通项公式；•常数项等差数列的通项公式；•等比数列的通项公式。

第三课时：数列的和式•等差数列的和式；•常数项等差数列的和式；•等比数列的和式。

第四课时：等差数列•等差数列的性质；•等差数列的应用。

第五课时：等比数列•等比数列的性质；•等比数列的应用。

第六至七课时：热身练习与综合应用•课堂练习；•综合应用。

四、教学方法本课程采用“让学生自己去发现、自己去试错”的教学方法，在教师的引导下，让学生通过自己的思考和探究，体会数学的美妙和思维的乐趣。

在课程设计中，注重培养学生的解决实际问题的能力，提高学生的实际运用能力。

同时，体现数学思维的性质和思想方法，培养学生的创造性思维和批判性思维。

五、教学评价通过对学生的课堂发言、课堂作业和课后作业的评价，反映学生在数列概念、性质和应用方面的掌握情况和思维能力的提高情况。

同时，通过对学生在实际问题中的解决能力、创造能力、批判能力和实际运用能力的评价，反映学生在数学思维方面的提高情况。

六、教学资源本课程主要使用以下教学资源：1.人教版高中数学必修5教材；2.PPT资源；3.电子版教学资料。

七、课程总结本课程通过对数列概念、性质和应用方面的教学，旨在帮助学生掌握数列的相关知识，提高实际问题的解决能力和数学思维能力，为高考数学的顺利通过打下基础。

第二章数列2.1数列的概念与简单表示法教学目标及核心素养:1.理解数列及其有关概念,了解数列与函数间关系;2.了解数列通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项;3.对比简单的数列,会根据其前几项写出它的通项公式.重点:数列的概念,通项公式及应用.难点:根据一些数列的前几项抽象归纳数列的通项公式.教学过程:一.新课导入得数为：18446744073709551615二.新课讲授传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题:三角形中的小正方形1 3正方形中的小正方形......1 4 9 16提问:这些小正方形有什么规律吗? 数列的基本概念:数列:按一定顺序排列着的一列数; 数列的项:数列中每一个数; 首项:排在第一位的数; 第2项:排在第2位的数; 第n 项:排在第n 位的数. 问题探究一 数列的概念数列的一般形式可以写为{}n n a a a a a 简记为,...,,...,,321（右下标n 表示项的位置序号）。

数列的分类: 1.按项的个数分：项数有限的数列叫做有穷数列; 项数无限的数列叫做无穷数列.2. 按数列的“项间的大小比较”(随序号变化的情况)来分： (1)递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项 (2)递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项 (3)常数列 各项都相等 (4)摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项 你能按照上面的标准对下列数列进行分类吗? ⑴全体自然数构成数列⇒无穷数列,递增数列 (2)1996~2002年某市普通高中生人数（单位：万人） 82，93，105，119，129，130，132⇒有穷数列,递增数列 ⑶无穷多个3构成数列3，3，3，3，...⇒无穷数列,常数列⑷目前通用的人民币面额从大到小的顺序构成数列（单位:元）100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01⇒有穷数列,递减数列(5)...(-1),(-1),(-1),(-1)4321构成的数列⇒无穷数列,常数列 问题探究二 数列的图像数列2,5,8,11,14与数列2,5,8,11,14...有何不同?数列2,5,8,11,14与数列2,5,8,11,14...中序号n 与n a 之间有怎样的对应关系呢? 作图可知数列表示在坐标轴中是一些孤立的点 问题探究三:数列的通项公式如果数列{an}的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.我们可以根据数列的通项公式写出数列．思考:通项公式可以看成数列的函数解析式．利用一个数列的通项公式，你能确定这个数列哪些方面的性质？三. 例题讲解例1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：2,0,2,0;(2);41,-31,211,- (1) 解:(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以，它的一个通项公式为：na n n 1)1(+-=.(2) 这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为：1)1(1+-=+n n a .问题:根据数列的前若干项写出来的通项公式是唯一的吗?请举例说明.如(1)可以写成,...)3,2,1,12(1,...)3,2,1,2(1=-====-=m m n n a m m n n a n n 或与函数一样，数列也可以用图象、列表等方法来表示． 数列的图象是一系列孤立的点．例如，全体正偶数按从小到大的顺序构成数列...2...6,2,4,2n ,这个数列还可以表示在下表和下图中例2 下图中的三角形称为希尔宾斯基（Sierpinski ）三角形．在下图4个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象．如图，这4个三角形中着色三角形的个数依次为1，3，9，27 ．则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1 ．所以，这个数列的一个通项公式是：13-=n n a数列例3：一个数列{n a }中，n n n a a a a a -=+==+1212,6,3，那么这个数列的第5项为( )A ．6B ．－3C ．－12D ．－6解:由递推关系式可求得a 3＝a 2－a 1＝6－3＝3，a 4＝a 3－a 2＝3－6＝－3，∴a 5＝a 4－a 3＝－3－3＝－6. 答案:D 四.课堂练习1数列的前5项分别是以下各数，写出各数列的一个通项公式：)(121a :;91,71,51,311, (1)n +∈-=Z n n 解)(2)1(:;521,-421,321,-221,121-n nn Z n n a ∈-=⨯⨯⨯⨯⨯解)(21:;41,42,21,22(3)1,21+-∈=Z n a n n 解2已知数列{a n }，a 1＝1，以后各项由a n ＝a n －1＋1nn －1(n ≥2)给出:(1)写出数列{a n }的前5项； (2)求数列{a n }的通项公式． 解:(1)a 1＝1；a 2＝a 1＋12×1＝32；a 3＝a 2＋13×2＝53；a 4＝a 3＋14×3＝74；a 5＝a 4＋15×4＝95. (2)由a n ＝a n －1＋1nn －1得a n －a n －1＝1nn －1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝1121231...)2)(1(1)1(1+⨯+⨯+--+-n n n n＝(1n －1－1n )＋(1n －2－1n －1)＋…＋(12－13)＋(1－12)＋1 ＝－1n ＋1＋1＝2－1n ＝2n －1n(n ∈N *)．3已知数列{n a }满足1)(,1211-==-n n a a a (n ＞1)写出它的前5项． 解：由题意可知.101,1)1(1,101,011,122452234222322121-=-=--=-=-=-==-===a a a a a a a a aP31习题五.回顾总结1、数列的有关概念;2、数列的通项公式；3、数列的实质；4、本节课的能力要求是;(1) 会由通项公式求数列的任一项；(2)会用观察法由数列的前几项求数列的通项公六.作业布置P33 2,3,4七.课堂反思2.2 等差数列教学目标及核心素养:1.通过实例,理解等差数列的概念;探索并掌握等差数列的通项公式;能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系并能解决相应的问题;体会等差数列与一次函数的关系;2.让学生对日常生活中实际问题分析,引导学生通过观察,推导,归纳抽象出等差数列的概念;由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单问题,进行等差数列通项公式应用实践操作并在操作过程中,通过类比函数概念,性质,表达式得到对等差数列相应问题的研究;3.培养学生的观察,归纳能力,培养学生应用意识.重点:理解等差数列的概念及性质,探索并掌握等差数列的通项公式;会用公式解决一些简单问题;体会等差数列与一次函数的关系.难点:概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法.教学过程:一. 新课引入观察:这些数列有什么共同特点？(1)第23到第28届奥运会举行的年份依次为1984,1988,1992,1996,2000,2004(2)某剧场前10排的座位数分别是：38,40,42,44,46,48,50,52,54,56(3)3,0,-3,-6,-9,-12,……(4)2,4,6,8,10(5)1,1,1,1,1,1……从第二项起，第一项与前一项的差都是同一个常数.二. 新课讲授问题探究一a},从第2项起每一项与它的前一项的差等于同一一般地，如果一个数列{n个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。

人教版高中必修5第二章数列课程设计一、课程背景高中数学中，数列是一个很重要的内容。

数列的概念和性质是高中数学的基础，并且在初等数学、微积分等更高级的数学学科中也会涉及到数列的内容。

因此，对于高中学生，这是一门十分重要的课程。

二、课程目标本课程设计旨在培养学生对数列的概念和性质的理解，能够运用数列的知识解决实际问题。

具体目标如下：1.理解数列的概念，了解常见数列的类型及性质；2.掌握数列的常用运算方法，并能熟练地运用它们；3.能够解决数列的递推公式和通项公式；4.能够应用数列的知识解决实际问题；5.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

三、教学内容和方法1. 教学内容本课程的教学内容主要包括以下几个方面：1.数列的概念；2.常见数列的类型和性质；3.数列的通项公式和递推公式；4.数列的应用。

2. 教学方法本课程采用以下教学方法：1.讲授法：讲解数列概念和性质，引导学生掌握数列的基本特征和常用方法；2.练习法：通过练习，巩固数列的基本知识和方法；3.分组讨论：通过分组讨论，培养学生的团队合作能力，提高学生的解决问题的能力；4.展示法：学生上台做数列的应用题展示，培养学生的表达能力和自信心。

四、教学流程第一节：数列的概念1.引入数列的定义；2.讲解数列的概念和性质；3.练习题。

第二节：常见数列的类型和性质1.引入常见数列类型和性质；2.讲解各种数列的定义和特点；3.练习题。

第三节：数列的通项公式和递推公式1.引入数列的通项公式和递推公式；2.讲解通项公式和递推公式的定义和特点；3.练习题。

第四节：数列的应用1.引入数列的应用；2.分组讨论数列的实际应用；3.展示法呈现数列的应用；4.总结讨论。

五、教学评估1.教师根据学生的课堂表现（包括提问回答、练习情况、分组讨论等）进行定量和定性评估；2.学生根据自我感觉完成学习笔记并提交评估表。

六、教学参考人教版高中数学必修5，第二章数列。

数学5 第二章数列一、课程要求数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本模型。

在本模块中，学生将通过对日常中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。

1、了解数列的概念，概念2、理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，体会等差数列的通项公式与一次函数之间的关系。

3、探索并掌握等差数列的前n项和公式，体会等差数列的前n项和公式与二次函数之间的关系。

4、理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式，体会等比数列的通项公式与指数函数之间的关系。

5、探索并掌握等比数列的前n项和公式，体会等比数列的前n项和公式与指数型函数之间的关系。

6、能在具体的问题情境中，发现数列的等差或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。

二、编写意图：1、数列是刻画离散过程的重要数学模型，数列的知识也是高等数学的基础，它可以看成是定义在正整数集或其有限子集的函数，因此，从函数的角度来研究数列，即是对函数学习的延伸，也是一种特殊的函数模型。

2、本章力求通过具体的问题情景展现，帮助学生了解数列的概念，通过对具体问题的探究，理解与掌握两类特殊的数列，并应用它们解决实际生活中相关的一些问题。

编写中体现了数学来源于生活，又服务于生活的这种基础学科的特点，使学生感觉到又亲切又好奇，充满魅力。

3、教材在例题、习题的编排上，注重让学生重点掌握数列的概念、特殊数列的通项公式、求和公式等，并应用这些知识解决实际生活中的问题，渗透函数思想解决问题。

4、教材在内容设计上突出了一些重要的数学思想方法。

如类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想、特殊到一般等思想贯穿于全章内容的始终。

5、教材在知识内容设计上，注意了数列与函数、算法、微积分、方程等的联系，适度应用现代信息计术，帮助学生理解数学，提高数学学习的兴趣。

三、教学内容及课时安排建议本章教学时间约12课时2.1数列的概念与简单表示法约2课时2.2等差数列约2课时2.3等差数列的前n项和约2课时2.4等比数列约2课时2.5等比数列的前n项和约2课时问题与小结约2课时四、评价建议1、重视对学生数学学习过程的评价关注学生在数列知识学习过程中，是否对所呈现的现实问题情境充满兴趣；在学习过程中，能否发现数列的等差关系或等比关系，体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系。

高二数学必修五第二章数列教案（一）教学目标1、知识与技能：了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；了解数列是一种特殊的函数；2、过程与方法：通过三角形数与正方形数引入数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；3、情态与价值：体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。

（一）教学重、难点重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的几种间单的表示法（列表、图象、通项公式）；难点：了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。

（二）学法与教学用具学法：学生以阅读与思考的方式了解数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法；以观察的形式发现数列可能的通项公式。

教学用具：多媒体、投影仪、尺等（三）教学设想1、多媒体展示三角形数、正方形数，提问：这些数有什么规律？与它所表示的图形的序号有什么关系？2、（1）概括数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。

（2）辩析数列的概念：“1，2，3，4，5”与“5，4，3，2，1”是同一个数列吗？与“1，3，2，4，5”呢？给出首项与第n项的定义及数列的记法：{an}（3）数列的分类:有穷数列与无穷数列；递增数列与递减数列，常数列。

3、数列的表示方法（1）函数y=7x+9与y=3x，当依次取1，2，3，…时，其函数值构成的数列各有什么特点？（2）定义数列{an}的通项公式（3）数列{an}的通项公式可以看成数列的函数解析式，利用一个数列的通项公式，你能确定这个数列的哪些方面的性质？（4）用列表和图象等方法表示数列，数列的图象是一系列孤立的点。

4、例1写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1，-1/2，1/3，-1/4；（2）2，0，2，0．引导学生观察数列的前4项的特点，寻找规律写出通项公式。

高中必修二数学教材数列教案
教学内容：数列
教学目标：1. 了解数列的概念及特点。

2. 掌握常见数列的表示方法及性质。

3. 能够解决与数列相关的问题。

教学重点：数列的概念、常见数列的特点、递推公式的求解。

教学难点：数列的性质应用题的解题技巧。

教学准备：黑板、彩色粉笔、教学PPT、习题集。

教学过程：
1. 概念引入：通过举例引入数列的概念，让学生了解什么是数列，并询问学生对数列的认识。

2. 数列的表示方法：介绍等差数列、等比数列等常见数列的表示方法及特点，并通过实例引导学生理解。

3. 数列的性质：讲解数列的性质，如首项、公差、通项公式等，让学生掌握数列的基本概念。

4. 数列的递推公式：通过实例引导学生如何求解数列的递推公式，让学生熟练掌握求解方法。

5. 综合练习：布置一些数列的练习题目，让学生独立解题，并及时纠正学生的错误。

6. 总结提问：对本节课所学的知识进行总结，并提出一些问题让学生思考，加深对数列的理解。

7. 课后作业：布置一些相关的练习题目，帮助学生巩固复习所学知识。

教学反思：在教学过程中要注重引导学生思考和探究，通过实例让学生理解数列的概念及性质，让学生在解题中得到实际应用。

同时要及时纠正学生的错误，并鼓励他们勇于探索和学习。

教学设计本章复习（二）从容说课在上节课的内容安排的基础上，本节课安排等差数列与等比数列的综合训练，目标是使学生更熟练地运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式以及有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题，提高运算速度和运算能力.教学重点熟练运用知识，探索解题思路，优化解题步骤.教学难点解题思路和解题方法的优化.教具准备多媒体课件，投影胶片，投影仪等三维目标一、知识与技能1.熟练地运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式以及有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题;2.提高运算速度和运算能力.二、过程与方法1.精选例题，通过对例题的分析与探究，优化解题步骤;2.在优化解题步骤的过程中提高运算速度与运算能力.三、情感态度与价值观1.在理解题意、探索思路的过程中学会思考，培养敢于思考、善于思考的思维品质;2.在解决问题的过程中，学会快速地运算、严密地推理、精确地表达，增强速度意识、效率意识.教学过程导入新课师这节课我们要运用等差、等比数列的概念、性质及有关公式，解决一些等差、等比数列的综合问题.首先我们再来明确一下有哪些问题.生(1)对数列概念理解的题目；(2)等差数列和等比数列中五个基本量a1,a n,d(q),n,S n“知三求二”的问题；(3)数列知识在生产实际和社会生活中的应用.师 是的，这是我们前一节课中已经归纳出来的应用本章知识要解决的问题.我们前一节课上已经探讨了几个典型例题，本节课我们进一步探讨.推进新课师 出示投影胶片1：例题1：【例1】 已知公差不为零的等差数列｛a n ｝和等比数列｛b n ｝中，a 1=b 1=1，a 2=b 2，a 8=b 3，试问：是否存在常数a ，b ，使得对于一切自然数n ，都有a n =log a b n ＋b 成立？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由. ［合作探究］师 这道题涉及到两个数列｛a n ｝和｛b n ｝之间的关系，而已知中的三个等式架起了两个数列间的桥梁，要想研究a n ，b n 的性质，应该先抓住数列中的什么量？生 由于｛a n ｝是等差数列，{b n }是等比数列，所以应该先抓住基本量a 1、d 和q. 由已知a 1=b 1=1，a 2=b 2,a 8=b 3，可以列出方程组⎩⎨⎧=+=+2711qd q d . 解出d 和q ，则a n ,b n 就确定了.师 如果a n 和b n 确定了，那么a n =log a b n ＋b 就可以转化成含有a ，b ，n 的方程，如何判断a ，b 是否存在呢？生 如果通过含有n ，a ，b 的方程解出a 和b ，那么就可以说明a ，b 存在；如果解不出a 和b ，那么解不出的原因也就是a 和b 不存在的理由.师 分析得很好.让我们一起来实施刚才分析的思路，看看结论到底是什么？解：设等差数列｛a n ｝的公差为d (d ≠0)，等比数列｛b n ｝的公比为q ，则⎩⎨⎧=+=+.71,12q d q d 解得d =5，q=6.所以a n =5n -4.而b n =6 n -1，若存在常数a ，b ，使得对一切自然数n ，都有a n =log a b n ＋b 成立，即5n -4=log a 6 n -1＋b ,即5n -4=(n -1)log a 6＋b ,即(log a 6-5)n ＋(b -log a 6＋4)=0.对任意n ∈N *都成立. 只需⎩⎨⎧=+-=-046log 056log a a b 成立.解得a =661,b =1.所以存在常数a ，b ，使得对于一切自然数n ，都有a n =log a b n ＋b 成立. 师 本题的关键是抓住基本量：首项a 1和公差d 、公比q ，因为这样就可以求出a n 和b n 的表达式.a n 和b n 确定了，其他的问题就可以迎刃而解.可见：抓住基本量，是解决等差数列和等比数列综合问题的关键.师 出示投影胶片2：例题2：【例2】 某工厂三年的生产计划规定：从第二年起，每一年比上一年增长的产值相同，三年的总产值为300万元，如果第一年、第二年、第三年分别比原计划产值多10万元、10万元、11万元，那么每一年比上一年的产值增长的百分率相同，求原计划中每一年的产值. ［合作探究］师 对应用问题，同学们要认真分析，把实际问题转化成数学问题，用学过的数学知识求解. 请学生读题，并逐句分析已知条件.生甲 由每一年比上一年增长的产值相同可以看出，原计划三年的产值成等差数列，由三年的总产值为300万元，可知此等差数列中S 3=300，即如果设原计划三年的产值分别为x-d ，x ，x ＋d ,则x-d ＋x ＋x ＋d =300.生乙 由产值增长的百分率相同可以知道，实际三年的产值成等比数列，可以设为x-d ＋10， x ＋10，x ＋d ＋11，则(x ＋10)2=(x-d ＋10)(x ＋d ＋11).师 甲、乙两位同学所列方程联立起来，即可解出x ，d .板 书：解：设原计划三年的产值为x-d ，x ，x ＋d ，则实际三年产值为x-d ＋10，x ＋10，x ＋d ＋11. ⎩⎨⎧+=+++-=+++-.)10()11)(10(,3002x d x d x d x x d x 解得x=100，d =10，x-d =90,x+d =110.答：原计划三年的产值分别为90万元、100万元、110万元.师 等差数列和等比数列的知识，在实际生产和生活中有着广泛的应用，在解决这类应用问题时，关键是把实际问题转化成数列问题，分清是等差数列问题，还是等比数列问题，分清a n 和S n ，抓住基本量a 1，d (q)，再调用有关的概念和公式求解.师 出示投影胶片3：例题3：【例3】 已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，数列{a k n }是公比为q 的等比数列，且k 1=1，k 2=5，k 3=17，求k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n 的值.［合作探究］师 题目中数列{a k n }与{a n }有什么关系？生 数列{a k n }的项是从数列{a n }中抽出的部分项.师 由已知条件k 1=1，k 2=5，k 3=17可以知道等差数列{a n }中的哪些项成等比数列？ 生 a 1，a 5，a 17成等比数列.师 要求的k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n 的值，实质上求的是什么？生 实质上就是求数列{k n }的前n 项和.师 要求｛k n ｝的前n 项和，就要确定数列{k n }的通项公式.应该从哪儿入手？生 应该从求等比数列{a k n }的公比入手.其公式为15a a . 师 a 5，a 1要由等差数列｛a n ｝的通项公式来确定，问题就转化成求等差数列中的公差d 和a 1了.生 如果设等差数列{a n }的公差为d ，那么a 5=a 1＋4d ，a 17=a 1＋16d ，由于a 1，a 5，a 17成等比数列，则有(a 1＋4d )2=a 1(a 1＋16d )，从而a n 应该可以求出了.师 请同学们把刚才的分析整理出来. (投影胶片4)解：设数列｛a n ｝的公差为d ，d ≠0，则a 5=a 1＋4d ，a 17=a 1＋16d .因为a 1，a 5，a 17成等比数列，则 (a 1＋4d )2=a 1 (a 1＋16d )，即2d 2=a 1d .又d ≠0，则a 1=2d .所以a n =a 1＋(n -1)d =2d ＋(n -1)d =(n ＋1)d .因为数列{a k n }的公比为q ，则3)11()15(15=++==d d a a q , 所以a k n =a k1·3 n -1=a 1·3n -1=2d ·3n -1.又a k n =(k n +1)d ,则2d ·3 n -1＝(k n +1)d .由d ≠0，知k n =2·3 n -1-1(n ∈N *).因此，k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n=2·3 0-1＋2·31-1＋2·32-1＋…＋2·3n -1-1=2(30＋31＋32＋…＋3n -1)-n =2·133-n -n =3n -n -1. 师 此题的已知条件中，抽象符号比较多，但是，只要仔细审题，弄清楚符号的含意，看透题目的本质，抓住基本量，不管多复杂的问题，都是能够解决的.师 出示投影胶片5：例题4.【例4】 已知数列{b n }是等差数列，b 1＝1，b 1＋b 2＋…＋b 10＝145.(1)求数列{bn }的通项b n ；(2)设数列{a n }的通项a n ＝log a (1＋nb 1)(其中a ＞0且a ≠1)，记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与3log 1+n a b 的大小，并证明你的结论. ［合作探究］师 数列{b n }的通项容易求得，但是它是攀上这个题目的顶端的第一个台阶，必须走好这一步.请同学们快速准确地求出b n .生 快速求解.(1)解：设数列{b n }的公差是d ，由题意得b 1＝1,10b 1＋21×10×(10-1)d ＝145, 解得b 1＝1,d ＝3.∴b n ＝3n -2.师 在下一个问题中，数列{a n }与数列{b n }具有什么关系呢？数列{a n }具有什么特征？ 生 数列{a n }是由数列{b n }生成的一个新的数列？由a n ＝log a (1＋n b 1)＝log a (1+231-n )，可知数列{a n }不是特殊数列. 师 题中比较S n 与3log 1+n a b 的大小，你现在能作出预料吗？ 生 不能，S n 是什么样子还不清楚.需要得出S n ，才能进一步思考.师 那就请同学们先把S n 求出来.生 写出S n ＝log a (1＋1)＋log a (1＋41)＋…＋log a (1＋231-n )＝log a .发现式中的那个积不太好处理.师 能不能现在就和3log 1+n a b 联系起来思考一下？要比较两式大小实质是什么？ 生 因为3log 1+n a b =log a 313+n ，所以实质上就是在同底数的前提下，比较真数的大小. 师 分析的很好.那么真数的大小如何比较出来？生 陷入沉思，深入思考后，提出自己的想法.师 这个大小的比较有一定的难度，下面我们从不同的途径来解决这个问题.(投影胶片6)(2)解:由b n ＝3n -2，知S n ＝log a (1＋1)＋log a (1＋41)＋…＋log a (1＋231-n ) ＝log a , 3log 1+n a b =log a 313+n , 因此要比较S n 与3log 1+n a b 的大小，可先比较(1＋1)(1＋41)…(1＋231-n )与313+n 的大小. 取n ＝1，有(1＋1)＞3113+⨯,取n ＝2，有(1＋1)(1+41)＞3123+⨯, ……由此推测(1＋1)(1＋41)…(1＋231-n )＞313+n 1.(*) 若(*)式成立，则由对数函数性质可断定：当a ＞1时，S n ＞3log 1+n a b , 当0＜a ＜1时，S n ＜3log 1+n a b . (对于(*)式的证明，提供以下两种证明方法供参考)下面对(*)式加以证明：证法一：记A n ＝(1＋1)(1＋41)…(1＋231-n )(1+131+n )=21×45×78×…×2313--n n , D n ＝313+n ,再设nn C n n B n n 313...9106734,133...895623+⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯=,∵当k ∈N 时，121+++k k k k ＞恒成立， 于是A n ＞B n ＞C n .∴A n 3＞A n ×B n ×C n ＝3n ＋1＝D n 3.∴A n ＞D n ,即(1＋1)(1＋41)…(1＋231-n )＞313+n 成立. 由此证得：当a ＞1时，S n ＞3log 1+n a b . 当0＜a ＜1时，S n ＜3log 1+n a b . 证法二：∵2313...710471413-+⨯⨯⨯⨯=+n n n , 因此只需证1＋231-k ＞332313-+k k 对任意自然数k 成立, 即证2313--k k ＞332313-+k k ,也即(3k-1)3＞(3k ＋1)(3k-2)2,即9k ＞5. 该式恒成立，故1＋231-k ＞332313-+k k . 取k ＝1，2，3，…n 并相乘即得A n ＞D n .师(*)式的证明还有一些其他的证明思路，比如说，数学归纳法、反证法等.有待于今后的学习中学会了这些方法后再应用.课堂小结等差数列和等比数列的综合问题，涉及的知识面很宽，题目的变化也很多，但是万变不离其宗，只要抓住基本量a 1，d (q)，充分运用方程、函数、转化等数学思想方法，合理调用相关知识，这样，任何问题都不能把我们难倒.布置作业1.合作探究复习参考题B 组题.2.开展探究活动，思考并解答补充作业.板书设计本章复习(二)例1 典型例题剖析 例4例2 例3习题详解(课本第75页复习参考题)B 组1.（1）B ；（2）D .2.（1）不成等差数列.可以从图象上解释.a ,b ,c 成等差数列，则通项公式为y=p n +q 的形式，且a ,b ,c 位于同一直线上，而a 1,b 1 ,c 1的通项公式却是q pn y +=1的形式，a 1,b 1 , c 1不可能在同一直线上，因此肯定不是等差数列.（2）成等比数列.因为a ,b ,c 成等比，有b 2=a c ，又由于a ,b ,c 非零，两边同时取倒数，则有ca b 1112⨯=， 所以a 1, b 1,c1也成等比数列. 3.体积分数：0.033×(1+25%)6≈0.126，质量分数：0.05×(1+25%)6≈0.191.4.设工作时间为n ，三种付费方式的前n 项和分别为A n ,B n ,C n ，第一种付费方式为常数列；第二种付费方式为首项是4，公差也是4的等差数列；第三种付费方式为首项是0.4，公比为2的等比数列，则A n =38n ；B n =4n +2)1(-n n ×4=2n 2+2n ； C n =21)21(4.0--n =0.4(2n -1). 下面考察A n ,B n ,C n ,看出n ＜10时,38n ＞0.4(2n -1).因此，当工作时间小于10天时，选用第一种付费方式.n ≥10时，A n ≤C n ,B n ≤C n ,因此，选用第三种付费方式.5.第一个星期选择A 种菜的人数为a ，即a 1=a ，选择B 种菜的人数为b 1=500-a ，所以有以下关系式:a 2=a 1×80%+b 1×30%，a 3=a 2×80%+b 2×30%,……a n =a n -1×80%+b n -1×30%，a n +b n =500,所以a n =150+21a n -1,b n =500-a n =350-21 a n -1. 如果a 1=300,则a 2=300,a 3=300,…,a 10=300.6.略7..设这家牛奶厂每年应扣除万元消费基金，2002年底剩余资金是1 000(1+50%)-x ， 2003年底剩余资金是［1 000(1+50%)-x ］(1+50%)-x,1 000(1+50%)2-(1+50%)x-x, ……5年后达到资金1 000(1+50%)5-(1+50%)4x-(1+50%)3x-(1+50%)2x-(1+50%)x=2 000，解得 x=459万元.备课资料 备用习题1.公差不为零的等差数列的第2、第3、第6项依次成等比数列，则公比是( ) A.1 B.2 C.3 D.42.若等差数列{a n }的首项为a 1=1，数列{b n }为等比数列，把这两个数列对应项相加所得的新数列{a n ＋b n }的前三项为3，12，23，则{a n }的公差与{b n }的公比之和为( ) A.-5 B.7 C.9 D.143.在等差数列｛a n ｝中，a 1，a 4，a 25依次成等比数列，且a 1＋a 4＋a 25=114，求成等比数列的这三个数.4.设数列{a n }是首项为1的等差数列，数列{b n }是首项为1的等比数列，又c n =a n -b n (n ∈N *)，已知c 2=61,c 3=92,c 4=547，试求数列{c n }通项公式与前n 项和公式. 5.某工厂四年来的产量，第一年到第三年每年增长的数量相同，这三年总产量为1 500吨，第二年到第四年每年增长的百分数相同，这三年总产量为1 820吨，求这四年每年的产量各是多少吨？参考答案：1.C2.C3.由⎩⎨⎧=++=+,114273),24()3(1121d a d a d a 解得a 1=38,d =0，或a 1=2,d =4，所以三个数为38，38，38,或2，14，98.4.设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q.则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=-+=-+.54731,9221,61132q d q d q d 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.21,34d q , 5.设前三年产量依次为a -d ，a ，a ＋d ，则a -d ＋a ＋a ＋d =1 500，解得a ＝500.后三年产量依次为a ,a +d ,a d a 2)(+，由已知a +a +d +ad a 2)(+ =1 820.解得d =100.所以，四年产量依次为400,500,600,720吨.。

人教版高中数学《数列》全部教案第三章数列第一教时教材：数列、数列的通项公式目的：要求学生理解数列的概念及其几何表示，理解什么叫数列的通项公式，给出一些数列能够写出其通项公式，已知通项公式能够求数列的项。

过程：一、从实例引入（P110）1．堆放的钢管4,5,6,7,8,9,1011112．正整数的倒数1,,,,23453．2精确到1，0.1，0.001的不足近似值1，1.4，1.41，1.414，4．1的正整数次幂：1,1,1,1,5．无穷多个数排成一列数：1,1,1,1,二、提出课题：数列1．数列的定义：按一定次序排列的一列数（数列的有序性）2．名称：项，序号，一般公式a1,a2,,an，表示法an3．通项公式：an与n之间的函数关系式如数列1：ann3数列2：an1数列4：nan(1)n,nN某4．分类：递增数列、递减数列；常数列；摆动数列；有穷数列、无穷数列。

5．实质：从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N某（或它的有限子集{1，2，，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。

6．用图象表示：—是一群孤立的点例一（P111例一略）三、关于数列的通项公式1．不是每一个数列都能写出其通项公式（如数列3）2．数列的通项公式不唯一如数列4可写成an(1)n和n2k1,kN某1ann2k,kN某13．已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要例二（P111例二）略四、补充例题：写出下面数列的一个通项公式，使它的前n项分别是下列各数：1(1)n1,nN某1．1，0，1，0an22．23456n1，，，，an(1)n24353815(n1)217(10n1)93．7，77，777，7777an4．1，7，13，19，25，31an(1)n(6n5)359172n15．，，，an2n124162562五、小结：1．数列的有关概念2．观察法求数列的通项公式六、作业：练习P112习题3．1（P114）1、2《课课练》中例题推荐2练习7、8第二教时教材：数列的递推关系目的：要求学生进一步熟悉数列及其通项公式的概念；了解数列递推公式的意义，会根据给出的递推公式写出数列的前n项。

人教版高中数学《数列》全部教案人教版高中数学《数列》全部教案一、教学目标1、理解数列的概念，掌握数列的通项公式及其求解方法。

2、掌握等差数列和等比数列的特点及其求解方法。

3、能够根据实际问题中的数据特点，建立相应的数列模型并解决实际问题。

二、教学内容1、数列的概念及通项公式2、等差数列的特点及求解方法3、等比数列的特点及求解方法4、数列在实际问题中的应用三、教学方法1、讲授数列的概念及通项公式，通过例题和练习题加深学生对数列的理解。

2、通过实例和练习题，让学生掌握等差数列和等比数列的特点及求解方法。

3、通过案例分析和实际问题，让学生了解如何根据实际问题中的数据特点，建立相应的数列模型并解决实际问题。

四、教学步骤1、导入新课：通过一些简单的练习题，让学生了解数列的概念及通项公式。

2、讲授新课：（1）数列的概念及通项公式（2）等差数列的特点及求解方法（3）等比数列的特点及求解方法（4）数列在实际问题中的应用3、课堂练习：通过一些例题和练习题，让学生进一步掌握数列的概念及通项公式、等差数列和等比数列的特点及求解方法。

4、课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调数列在实际问题中的应用。

5、布置作业：让学生进一步巩固本节课所学内容，提高对数列的理解和应用能力。

五、教学重点难点1、数列的概念及通项公式的理解。

2、等差数列和等比数列的求解方法。

3、如何根据实际问题中的数据特点，建立相应的数列模型。

六、教学评价1、通过课堂练习和作业，检查学生对数列的理解和应用能力。

2、通过实际问题的解决，评价学生对数列的应用能力。

3、通过学生之间的交流和讨论，了解学生对数列的理解情况。

七、教学建议1、加强对数列概念的理解，注重数列的实际应用。

2、练习等差数列和等比数列的求解方法，掌握其特点。

3、注重数列在实际问题中的应用，提高学生的数学应用能力。

4、提倡学生之间的合作学习，通过交流和讨论，加深对数列的理解。

八、教学实例例1：已知某品牌汽车的价格为20万元，每年按发票金额的10%递增，求5年后该汽车的价格。