重庆市杨家坪中学2016_2017学年高二数学上学期第一次月考试题理

重庆市杨家坪中学2014-2015学年高二数学下学期第一次月考试题文选择题（每题5分，共60分）1. 已知是虚数单位，复数等于（）A．B．C．D．2. 若全集U＝{a，b，c，d，e}，A＝{a，c，d}，B＝{b，d，e}，则(A)∩(B)＝（）AφB{d} C{a，c} D{b，e}3. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝，若f(x0)＝－9，则x0的值为( )A．－2 B．2 C．－1 D．14. 复数(是虚数单位在复平面上对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5. 设x取实数，则f(x)与g (x)表示同一个函数的是( )．A．f(x)＝x，g(x)＝B．f (x)＝，g(x)＝C．f(x)＝1，g(x)＝(x－1)0 D．f(x)＝，g(x)＝x－36. 若函数的定义域是，则函数的定义域是（）A． B.(0，2) C.7. 下表为某班5位同学身高（单位：cm）与体重（单位kg）的数据，若两个量间的回归直线方程为，则的值为（）A．121.04 B．123.2 C．21 D．45.128. ”成等差数列”是“”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9. 若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为，值域为，则m的取值范围是（）A. （0，4]B.C.D.10. 已知，若，则的大小关系是（）A . B.C. D.11. 若函数f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，又f(3)＝0，则的解集为( )A．(－3,3) B．(－∞，－3)∪(3，＋∞)C．(－3,0)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)12. 下列命题正确的个数是( )①命题“”的否定是“”；②函数的最小正周期为错误！未找到引用源。

”是“”的必要不充分条件；③在上恒成立在上恒成立；④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”.A．1 B．2 C．3 D．4填空题（每小题5分，共20分）13. 设函数，则．14. 已知集合A={0，m，m2-3m+2}，且2∈A，求实数m的值．15. 黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖___ ___块.已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn ＋1(x)＝f′n(x)，n∈N*，则f2 014(x)＝________．解答题（17-21每小题12分，22题10分，共70分）17. 已知非空集合，，（1）当时，求，；（2）求能使成立的的取值范围.18. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，（1）求的解析式（2）解关于的不等式19.某城市理论预测2007年到2011年人口总数与年份的关系如下表所示(1)请根据上表提供的数据，求最小二乘法求出Y关于x的线性回归方程；(2) 据此估计2012年该城市人口总数。

杨家坪中学校2015-2016学年度12月月考数学（文）试卷考试范围：必修2，选修2-1；考试时间：120分钟；第I 卷（选择题）评卷人 得分一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.已知命题p ：“∀a ＞0，有e a≥1成立”，则￢p 为( )A ．∃0a ≤0，有0a e ≤1成立B ．∃0a ≤0，有0a e ≥1成立C ．∃0a ＞0，有0a e ＜1成立D ．∃0a ＞0，有0a e ≤1成立2.设a ，b 是平面α内两条不同的直线，l 是平面α外的一条直线，则“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要的条件 C ．必要而不充分的条件 D ．既不充分也不必要的条件3.过点（﹣1，2）且与直线y=33x+2垂直的直线方程为（ ） A ．y ﹣2=（x+1） B ．y ﹣2=（x+1）C ．y ﹣2=﹣（x +1）D ．y ﹣2=﹣（x+1）4. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A ．32B ．2C ．3D ．335. 设1k >，则关于x ，y 的方程222(1)1k x y k -+=-所表示的曲线是( ) A 、长轴在x 轴上的椭圆 B 、长轴在y 轴上的椭圆 C 、实轴在x 轴上的双曲线 D 、实轴在y 轴上的双曲线6. 下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（ ）A. ①、③B. ①、④C. ②、③D. ②、④7. 双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为2，则其渐近线的方程为( )A ．y=±xB ．y=±x C ．y=±x D ．y=±2x8.设椭圆12222=+by a x 的离心率为21，右焦点F(c ，0)，方程02=-+c bx ax 的两个根分别为1x 、x x xA ．222=+y x 上B ．222=+y x 内C ．222=+y x外 D ．以上三种情况都有可能9．设点是曲线：（为实常数）上任意一点，点处切线的倾斜角为，则的取值范围是（ ） A ．B ．[0，）∪C ．[0，]∪D ．10. 已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ） A ．1 B ．C ．D ．211.将3个半径为1的球和一个半径为12-的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个较小的球，四个球两两相切，那么上层小球的最高点到桌面的距离是（ ） A.3623+ B. 3623+ C. 3622+ D. 3622+ 12. 设分别是椭圆12222=+by a x （）的左、右焦点，若在直线ca x 2=上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题）评卷人 得分一、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）AB 的距离为 ．14.若抛物线x y 42=上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到ｙ轴的距离为 ．15. 若双曲线()2222103x y a a -=>的离心率为2，则a =________.16.已知点P 22﹣5=0（a ＞0，b ＞0）上任意一点， 若点P 关于直线x+2y ﹣1=0的对称点仍在圆C 上，则+的最小值是 ． 评卷人 得分二、解答题（本题共6道小题,第1题10分，其他12分）17. 已知直线1l ：10ax by ++=，（,a b 不同时为0），2l ：(2)0a x y a -++=， （1）若0b =且12l l ⊥，求实数a 的值；（2）当3b =且12//l l 时，求直线1l 与2l 之间的距离18．已知函数y=xlnx+1． （1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图象在点x=1处的切线方程．19.设命题:p “对任意的2,2x x x a ∈->R ”，命题:q “存在x ∈R ，使2220x ax a ++-=”。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1。

双曲线221412x y -=的一个焦点坐标是（ ） A ．()0,8 B ．()22,0- C ．()0,23 D ．()4,0- 【答案】D 【解析】试题分析:22216,4c a b c =+==，所以交点坐标为()4,0-. 考点：双曲线的概念．【易错点晴】双曲线的标准方程中对,a b 的要求只是0,0a b >>,易误认为与椭圆标准方程中,a b 的要求相同．若0a b >>,则双曲线的离心率()1,2e ∈;若0a b =>，则双曲线的离心率2e =;若0a b <<，则双曲线的离心率2e >。

注意区分双曲线中的,,a b c 大小关系与椭圆,,a b c 关系,在椭圆中222ab c +，而在双曲线中222c a b =+。

2.过椭圆()221043x y a b +=>>的一焦点F 作垂直于长轴的椭圆的弦,则此弦长为（ ) A ．34B ．3C ．23D ．833【答案】B考点：椭圆的通径．3.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点为()2,0F ，双曲线的渐近线3y x =±，则双曲线的方程为（ ）A ．221913x y -= B ．221139x y -= C ．2213x y -= D ．2213y x -= 【答案】D考点：双曲线的概念与性质．4。

ABC ∆的角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知4,,34b B C ππ===，则c 的长度是（ )A 6．232 C ．63D ．23【答案】C 【解析】试题分析：由正弦定理得46,sin sin 3b c c B C == 考点：解三角形．5。

已知数列{}n a 为等差数列，若159a a a π++=，则()28cos a a +的值为（ ） A ．12-B ．3-．12D ．32【答案】A 【解析】试题分析：159553,3a a a a a ππ++===,()()28521cos cos 2cos32a a a π+===-. 考点：数列，三角函数．6.若直线()100,0ax by a b -+=>>平分圆22:2410C x y x y ++-+=的周长，则ab 的取值范围是（ ）A ．1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．10,8⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B考点：直线与圆的位置关系．7.设实数,x y 满足2210101x y x y ⎧+≥⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则x y +取得最小值时的最优解的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．无数个 【答案】B 【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点()()0,1,1,0A B 处取得最小值。

杨家坪中学高2016级高一学年度上期九月月考数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项： 1.答卷前，将答题卷的密封线内项目填写清楚，特别是你的班级．2．选择题用2B 铅笔填涂，第二卷用0.5毫米的黑色中性（签字）笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效一 、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合A=｛0，1,2｝，B={}12x x -<<，则A B I =A.｛0｝B.｛1｝C.｛0，1｝D.｛0，1,2｝2．已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}{}1,2,3,2,4A B ==，则B A C U Y )(为 A. {}1,2,4 B.{}2,3,4 C.{}0,2,4 D.{}0,2,3,4 3．下列哪组中的两个函数是相等函数 A. ()4444)()(x x g x x f ==， B. 2)(24)(2-=+-=x x g x x x f ， C. ⎩⎨⎧<>==0,10,1)(1)(x x x g x f ， D.33)()(x x g x x f ==， 4．已知全集U ＝R ，集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{x ∈R|x ≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为A ．{1}B ．{0,1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}5.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为A ．1y x =+B ．2y x =- C ．1y x =D ．||y x x =6．已知集合{}|1A x x =≤，{}a x x B >=，且R B A =Y ，则实数a 的取值范围是 A ．()1,∞- B ．(]1,∞- C ．()∞,1 D ．[)+∞,1 7．下列对应是从集合A 到集合B 映射的是A ．x x f RB N A →==:,,的平方根 B ．2012:,,-→==**x x f N B N AC ．{}()xx f B N A 1:,1,0,1,-→-==*D ．xx f Q B Z A 1:,,-→==8．设⎩⎨⎧<+≥-=)10(),6()10(,2)(x x f x x x f 则)5(f 的值为A ．12B ．11C ．10D ．99.定义两种运算：a b a b ⊕=⊗=2()(2)2xf x x ⊕=⊗-为A.奇函数B. 偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数 10. 设函数()()f x x R ∈为奇函数，1(1),(2)()(2)2f f x f x f =+=+,则(5)f = A.5 B.52C.1D. 0 第Ⅱ卷(非选择题，共100分)二、填空题:本大题5小题,每小题5分,共25分,把正确答案填在答题卡横线上． 11．已知偶函数)(x f 在),0(∞+上是增函数，且)2(f a =,⎪⎭⎫⎝⎛=2-πf b ,⎪⎭⎫⎝⎛=23-f c ，则a b c 、、的大小关系是 .12．若()x f 为偶函数，当0>x 时，()x x x f +-=2，则当0<x 时，()=x f .13. 已知集合{},10x A y y B x kx x ⎧⎫⎪⎪===-=⎨⎬⎪⎪⎩⎭,且B B A =I ,则k 的值为14．下列函数一定是奇函数的是①b ax b ax x f --+=)(②c bx ax x f ++=2)(③1321)(-+=x x f ④1321)(+-=x x f 15. 函数32642)(24234++++++=x x bx x ax x x f 最大值与最小值之和为 。

重庆高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则2.若直线：+与直线：互相垂直，则的值为（）A．B．C．或D．1或3.设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是（）A．B．C．D．4.设双曲线的渐近线方程为，则的值为（）A．4B．3C．2D．15.抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标为（）A．B．C．D．06.已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上，球心在上，底面，，则球的体积与三棱锥体积之比是（）A．B．C．D．7.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c）为（）A．48+12B．48+24C．36+12D．36+248.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④9.在圆内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．B．C．D．10.已知点A（3，2），F为抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，当取得最小值时，点P的坐标是（）A．（0，0）；B．（2，2）；C．（－2，－2）D．（2，0）二、填空题1.已知点（2，3）在双曲线C：上，C的焦距为4，则它的离心率为．2.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点在x轴上，离心率为．过点的直线交C于A，B两点，且的周长为16，那么C的方程为_________．3.双曲线上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是．4.如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是。

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杨家坪中学2015—2016学年上期高二年级第一次月考数学试题一．选择题（共60分，每小题5分）1.空间中的四个点最多能确定的平面个数为（ ） A .1 B. 2 C.3 D.42. 下列四个命题中，真命题是（ ）A 、平面就是平行四边形；B 、空间任意三点可以确定一个平面；C 、两两相交的三条直线可以确定一个平面；D 、空间四点不共面，则其中任意三点不共线。

3．教室内有一把尺子无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线A B C D 垂直平行异面相交但不垂直4．设有两条直线，、、和三个平面、γβαn m 给出下面四个命题：（1） //////m n m n n αβαβ⋂=⇒，， （2） ααββα//m m m ⇒⊄⊥⊥，， （3） βαβα////m m ⇒⊂， （4） γβγαβα//⇒⊥⊥， 其中正确的命题个数是（ ） 1234A B C D5．如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1 cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是( )A ．8 cmB ．6 cmC ．2(1＋3) cmD ．2(1＋2) cm 6．P 是边长为a 的正三角ABC 所在平面外一点，PA ＝PB ＝PC ＝a ，E 、F 是AB 和PC 的中点，则异面直线PA 与EF 所成的角为（ ）30456090A B C D ︒︒︒︒7．等边三角形ABC 的边长是a ，BC AD 是边上的高，沿ABC AD ∆将折成直二面角，则点C B 、的距离是( )123222Aa Ba CD a8．二面角，，，的大小为βαβα∈∈︒--B A l 60且l B A 两点在、上的射影分别为321=''='='''B A A A B B B A ，，，其中、，点上是l C 任一点，则BC AC +的最小值为（ ） 42332332AB C D9.在正方体为的中点，是棱中，O DD M D C B A ABCD 11111-底面ABCD 的中心，上为棱11B A P 任一点，则直线AM OP 与所成角为（ ）α•AB•β图13正视图 俯视图侧视图556355 63不能确定D C B A ︒︒︒90604510．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为 （ ） （A ）32 （B ）33 （C ）34（D ）2311．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A .62B .42C .6D .4二、填空题（共20分，每小题5分）13．某几何体的三视图如图13所示，则它的体积是 ．14．三棱锥A —BCD 的四个顶点同在一个球O 上，若AB ⊥面BCD ，BC ⊥CD,AB=BC=CD=1，则球O的表面积等于 ． 15．如图，二面角l αβ--的大小是45°，线段AB α⊂.B l ∈，AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是 .16．在平面几何里，“上的高的斜边是若AB ABC Rt CD ∆，则222111CB CA CD +=．”拓展到空间，研究三棱锥的高与侧棱间的关系，可得出的正确结论是：“若三棱锥ABC BCD A 的三侧面—、ADB ACD 、两两互相垂直，AO 是三棱A BCD 锥—ABC D MNP A 1B 1C 1D 1 yxA ．OyxB ．OyxC ．Oyx D ．O侧俯的高，则 ” ． 三、解答题（共70分，其中第17题10分，其它每小题12分） 17.如图，正方体的棱长为a ，P 、Q 分别为D A 1、11D B 的中点B 1A 1D 1C 1BA D C P Q（1）求证：PQ ∥平面CD C D 11 (2)求PQ 的长17. 三棱锥P —ABC 中，PO ⊥面ABC ，垂足为O ，若PA ⊥BC ，PC ⊥AB ，求证： （1）AO ⊥BC （2）PB ⊥AC18. 已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正(主)视图为矩形，侧(左)视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．(1)若M 为CB 中点，证明：MA ∥平面CNB 1；(2)求这个几何体的体积．19. 如图，在正方体ABCD －1111A B C D 中，棱长为a ,E 为棱CC 1上的的动点． （1）求证：A 1E ⊥BD ；（2）当E 恰为棱CC 1的中点时，求证：平面A 1BD ⊥平面EBD.21. 如图，在圆锥PO 中，已知PO=2,圆O 的直径AB=2，C 是弧AB 的中点，D 为AC 的中点．（1）求异面直线PD 和BC 所成的角（2）求直线OC 和平面PAC 所成角的正弦值22. 如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABC Ｄ中，∠ABC=600，PA=AC=a ，PB=PD=a 2,点E 在PD 上，且PE:ED=2:1.（I ）证明PA ⊥平面ABCD ；（II ）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角 的大小；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在一点F ，使BF//平面AEC ？证明你的结论.EDPAE ABD C1A 1B 1D1C杨家坪中学2015—2016学年上期高二年级第一次月考数学试题一．选择题（共60分，每小题5分）1.空间中的四个点最多能确定的平面个数为（ D ） A .1 B. 2 C.3 D.42. 下列四个命题中，真命题是（ D ）A 、平面就是平行四边形；B 、空间任意三点可以确定一个平面；C 、两两相交的三条直线可以确定一个平面；D 、空间四点不共面，则其中任意三点不共线。

2016-2017学年重庆市杨家坪中学高二（上）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．过点（﹣1，3）且与直线2x+y+3=0垂直的直线方程为（）A．x﹣2y+7=0 B．2x﹣y+5=0 C．x﹣2y﹣5=0 D．2x+y﹣5=02．双曲线﹣=1的焦点到其渐近线距离为（）A．1 B．C．D．23．下列说法不正确的是（）A．若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题B．命题“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是““∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”C．当a＜0时，幂函数y=x a在（0，+∞）上单调递减D．“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件4．在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，则等于（）A．﹣+B．﹣++C．D．5．下列命题中正确命题的个数是（）①过空间任意一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直；③过空间任意一点有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行；④过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直．A．1 B．2 C．3 D．46．P为抛物线y2=﹣4x上一点，A（0，1），则P到此抛物线的准线的距离与P 到点A的距离之和的最小值为（）A．B．C．D．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．2π+B ．4π+C ．4π+4D ．2π+48．已知圆C ：x 2+y 2=12，直线l ：4x +3y=25，圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．9．正四棱锥S ﹣ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SB 的中点，且SO=OD ，则直线BC 与AP 所成的角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知两定点A （﹣1，0）和B （1，0），动点P （x ，y ）在直线l ：y=x +3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的对角线AC 1上任取一点P ，以A 为球心，AP 为半径作一个球．设AP=x ，记该球面与正方体表面的交线的长度和为f （x ），则函数f （x ）的图象最有可能的是（ ）A．B．C．D．12．已知点P为椭圆+=1上的动点，EF为圆N：x2+（y﹣1）2=1的任一直径，求最大值和最小值是（）A．16，12﹣4B．17，13﹣4C．19，12﹣4D．20，13﹣4二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．）13．长方体的一个顶点上的三条棱分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为．14．直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则a=．15．已知正四面体ABCD，则直线BC与平面ACD所成角的正弦值为．16．圆x2+y2=9的切线MT过双曲线﹣=1的左焦点F，其中T为切点，M为切线与双曲线右支的交点，P为MF的中点，则|PO|﹣|PT|=．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知命题p：“+=1是焦点在x轴上的椭圆的标准方程”，命题q：∃x1∈R，8x12﹣8mx1+7m﹣6=0．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m 的取值范围．18．如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．（1）证明：直线MN∥平面OCD．（2）求三棱锥N﹣CDM的体积．19．已知抛物线x2=4y的焦点为F，P为该抛物线上的一个动点．（1）当|PF|=2时，求点P的坐标；（2）过F且斜率为1的直线与抛物线交与两点AB，若P在弧AB上，求△PAB 面积的最大值．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M且有|PM|=|PO|（O为原点），求使|PM|取得最小值时点P的坐标．21．如图所示，在矩形ABCD中，AD=2，AB=1，点E是AD的中点，将△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使二面角D′﹣EC﹣B是直二面角．（1）证明：BE⊥CD′；（2）求二面角D′﹣BC﹣E的余弦值．22．已知椭圆G的中心是原点O，对称轴是坐标轴，抛物线的焦点是G的一个焦点，且离心率．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）已知圆M的方程是x2+y2=R2（1＜R＜2），设直线l与圆M和椭圆G都相切，且切点分别为A，B．求当R为何值时，|AB|取得最大值？并求出最大值．2016-2017学年重庆市杨家坪中学高二（上）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．过点（﹣1，3）且与直线2x+y+3=0垂直的直线方程为（）A．x﹣2y+7=0 B．2x﹣y+5=0 C．x﹣2y﹣5=0 D．2x+y﹣5=0【考点】待定系数法求直线方程．【分析】过点（m，n）且与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程为B（x﹣m）﹣A （y﹣n）=0，代入可得答案．【解答】解：过点（﹣1，3）且与直线2x+y+3=0垂直的直线方程为（x+1）﹣2（y﹣3）=0，即x﹣2y+7=0，故选：A．2．双曲线﹣=1的焦点到其渐近线距离为（）A．1 B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线方程求出焦点坐标及一条渐近线方程，在由点到直线的距离公式求得答案．【解答】解：由双曲线﹣=1，得a2=2，b2=3，c2=a2+b2=5，∴双曲线的右焦点F（，0），一条渐近线方程为y=x=x，即2y﹣x=0．由点到直线的距离公式得，焦点到其渐近线的距离d==．故选C．3．下列说法不正确的是（）A．若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题B．命题“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是““∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”C．当a＜0时，幂函数y=x a在（0，+∞）上单调递减D．“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件【考点】特称命题．【分析】A根据复合命题的真假性，即可判断命题是否正确；B根据特称命题的否定是全称命，写出它的全称命题即可；C根据幂函数的图象与性质即可得出正确的结论；D说明充分性与必要性是否成立即可．【解答】解：对于A，当“p且q”为假时，p、q至少有一个是假命题，是正确的；对于B，命题“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是““∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”，是正确的；对于C，a＜0时，幂函数y=x a在（0，+∞）上是减函数，命题正确；对于D，φ=时，y=sin（2x+φ）=cos2x是偶函数，充分性成立，y=sin（2x+φ）为偶函数时，φ=kπ+，k∈Z，必要性不成立；∴是充分不必要条件，命题错误．故选：D．4．在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，则等于（）A．﹣+B．﹣++C．D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】由题意结合图形，直接利用，求出，然后即可解答．【解答】解：因为空间四边形OABC如图，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，所以=．所以=．故选B．5．下列命题中正确命题的个数是（）①过空间任意一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直；③过空间任意一点有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行；④过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平面的基本性质及推论．【分析】为了对各个选项进行甄别，不必每个选项分别构造一个图形，只须考查正方体中的线面即可．【解答】解：考察正方体中互相垂直的线和平面．对于①：过空间任意一点不是有且仅有一个平面与已知平面垂直；如图中平面A1D和平面A1B与平面AC垂直；故错；对于②：过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直；这是正确的，如图中，已知平面A1D和平面A1B与平面AC垂直；故正确；对于③：过空间任意一点不是有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行；如图中：过C1的与A1B1与AD都平行的平面就不存在；故错；对于④：过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直是正确的．故选B．6．P为抛物线y2=﹣4x上一点，A（0，1），则P到此抛物线的准线的距离与P 到点A的距离之和的最小值为（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】通过抛物线方程可知焦点F（﹣1，0），利用两点间距离公式可知|AF|=，通过抛物线定义可知点P到准线的距离d与|PF|相等，P到此抛物线的准线的距离与P到点A的距离之和的最小值．【解答】解：∵抛物线方程为y2=﹣4x，∴焦点F（﹣1，0），又∵A（0，1），∴|AF|==，由抛物线定义可知点P到准线的距离d与|PF|相等，∴d+|PA|=|PF|+|PA|≥|AF|=，故选：D．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2π+B．4π+C．4π+4 D．2π+4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，几何体的直观图是三棱锥与圆柱的的组合体，三棱锥的底面是直角边长为2的等腰三角形，高为2，圆柱的底面半径是2，高为2，即可求出几何体的体积．【解答】解：由题意，几何体的直观图是三棱锥与圆柱的的组合体，三棱锥的底面是直角边长为2的等腰三角形，高为2，圆柱的底面半径是2，高为2，所以体积为+=2π+，故选：A．8．已知圆C：x2+y2=12，直线l：4x+3y=25，圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，根据题意做出符合条件的弧长对应的圆心角是60°，根据几何概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，满足条件的事件是到直线l的距离小于2，过圆心做一条直线交直线l与一点，∵圆心到直线的距离是=5，∴在这条垂直于直线l的半径上找到圆心的距离为3的点做半径的垂线，根据弦心距，半径，弦长之间组成的直角三角形得到符合条件的弧长对应的圆心角是60°根据几何概型的概率公式得到P==故选A．9．正四棱锥S﹣ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SB的中点，且SO=OD，则直线BC与AP所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出直线BC与AP所成的角的余弦值．【解答】如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz．设OD=SO=OA=OB=OC=a，则A（a，0，0），B（0，a，0），S（0，0，a），C（﹣a，0，0），P（0，，）．则=（﹣a，﹣a，0），=（﹣a，，），C=（a，a，0）．设直线BC与AP所成的角为θ，则cosθ===．∴直线BC与AP所成的角的余弦值为．故选：C．10．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】求出A的对称点的坐标，然后求解椭圆长轴长的最小值，然后求解离心率即可．【解答】解：A（﹣1，0）关于直线l：y=x+3的对称点为A′（﹣3，2），连接A′B 交直线l于点P，则椭圆C的长轴长的最小值为|A′B|=2，所以椭圆C的离心率的最大值为：==．故选：A．11．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线AC1上任取一点P，以A为球心，AP为半径作一个球．设AP=x，记该球面与正方体表面的交线的长度和为f（x），则函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【考点】棱柱的结构特征；函数的图象与图象变化．【分析】球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：①当x=1；②当x=；③当x=．其中①③两种情形所得弧长相等且为函数f（x）的最大值，根据图形的相似，②中弧长为①中弧长的一半．对照选项，即可得出答案．【解答】解：如图，球面与正方体的表面都相交，根据选项的特点，我们考虑三个特殊情形：①当x=1；②当x=；③当x=．①当x=1时，以A为球心，1为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的红色的弧线，其弧长为：3××2π×1=，且为函数f（x）的最大值；②当x=时，以A为球心，为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的兰色的弧线，根据图形的相似，其弧长为①中弧长的一半；③当x=．以A为球心，为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的粉红色的弧线，其弧长为：3××2π×1=，且为函数f（x）的最大值；对照选项，B正确．故选B．12．已知点P为椭圆+=1上的动点，EF为圆N：x2+（y﹣1）2=1的任一直径，求最大值和最小值是（）A．16，12﹣4B．17，13﹣4C．19，12﹣4D．20，13﹣4【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，得|NE|=|NF|=1且，由此化简得=﹣1，根据椭圆方程与两点的距离公式，求出当P的纵坐标为﹣3时，取得最大值20，由此即得=﹣1的最大值，当P的纵坐标为时，取得最小值，由此即得=﹣1的最小值．【解答】解：∵EF为圆N的直径，∴|NE|=|NF|=1，且，则=（+）•（+）=（+）•（）==﹣1，设P（x0，y0），则有即x02=16﹣y02又N（0，1），∴=，而y0∈[﹣2，2]，∴当y0=﹣3时，取得最大值20，则=﹣1=20﹣1=19，当y0=时，取得最小值，则=﹣1=﹣1=．∴最大值和最小值是：19，．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．）13．长方体的一个顶点上的三条棱分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为50π．【考点】球内接多面体．【分析】设出球的半径，由于直径即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线的长，则（2R）2=32+42+52=50，∴R=．R2=50π．∴S球=4π×故答案为：50π．14．直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则a=﹣7．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】根据两直线平行的条件可知，（3+a）（5+a）﹣4×2=0，且5﹣3a≠8．进而可求出a的值．【解答】解：直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则（3+a）（5+a）﹣4×2=0，即a2+8a+7=0．解得，a=﹣1或a=﹣7．又∵5﹣3a≠8，∴a≠﹣1．∴a=﹣7．故答案为：﹣7．15．已知正四面体ABCD，则直线BC与平面ACD所成角的正弦值为．【考点】直线与平面所成的角．【分析】取AD中点E，连结CE，过B作BO⊥CE，交CE于点O，则∠BCO就是线BC与平面ACD所成角，由此能求出结果．【解答】解：如图，取AD中点E，连结CE，过B作BO⊥CE，交CE于点O，则∠BCO就是线BC与平面ACD所成角，设正四面体ABCD的棱长为2，则CO===，∴cos∠BCO==，∴sin∠BCO==．故答案为：．16．圆x2+y2=9的切线MT过双曲线﹣=1的左焦点F，其中T为切点，M为切线与双曲线右支的交点，P为MF的中点，则|PO|﹣|PT|=2﹣3．【考点】圆与圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质．【分析】由双曲线方程，求得c=，根据三角形中位线定理和圆的切线的性质，可知|PO|=|PF′|，|PT|=|MF|﹣|FT|，并结合双曲线的定义可得|PO|﹣|PT|=|FT|﹣（|PF|﹣|PF′|）=2﹣3．【解答】解：设双曲线的右焦点为F′，则PO是△PFF′的中位线，∴|PO|=|PF′|，|PT|=|MF|﹣|FT|，根据双曲线的方程得：a=3，b=2，c=，∴|OF|=，∵MF是圆x2+y2=9的切线，|OT|=3，∴Rt△OTF中，|FT|==2，∴|PO|﹣|PT|=|PF′|﹣（|MF|﹣|FT|）=|FT|﹣（|PF|﹣|PF′|）=2﹣3，故答案为：2﹣3．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知命题p：“+=1是焦点在x轴上的椭圆的标准方程”，命题q：∃x1∈R，8x12﹣8mx1+7m﹣6=0．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m 的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假．【分析】若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，进而可得实数m的取值范围．【解答】解：如果p为真命题，则有，即1＜m＜2；若果q为真命题，则64m2﹣32（7m﹣6）≥0，解得m≤或m≥2．因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p和q一真一假，若p真q假，则＜m＜2，若p假q真，则m≤1或m≥2．所以实数m的取值范围为（∞，1]∪（，+∞）．18．如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．（1）证明：直线MN∥平面OCD．（2）求三棱锥N﹣CDM的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取AD 中点E ，连结ME ，NE ，推导出平面MNE ∥平面CDO ，由此能证明直线MN ∥平面OCD ．（2）三棱锥N ﹣CDM 的体积V N ﹣CDM =V M ﹣CDN ，由此能求出结果． 【解答】证明：（1）取AD 中点E ，连结ME ，NE ， ∵M 为OA 的中点，N 为BC 的中点， ∴ME ∥OD ，NE ∥CD ，∵ME ∩NE=E ，OD ∩CD=D ，ME ，NE ⊂平面MNE ，OD ，CD ⊂平面CDO ， ∴平面MNE ∥平面CDO ，∵MN ⊂平面MNE ，∴直线MN ∥平面OCD ．解：（2）∵OA ⊥底面ABCD ，OA=2，M 为OA 的中点， ∴AM ⊥平面CDN ，且AM=1，∵底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC=，∴=，∴三棱锥N ﹣CDM 的体积V N ﹣CDM =V M ﹣CDN ===．19．已知抛物线x2=4y的焦点为F，P为该抛物线上的一个动点．（1）当|PF|=2时，求点P的坐标；（2）过F且斜率为1的直线与抛物线交与两点AB，若P在弧AB上，求△PAB 面积的最大值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）当|PF|=2时，利用抛物线的定义，即可求点P的坐标；（2）先求出|AB|，再计算抛物线上点到直线的最大距离，即可求出△PAB的面积的最大值．【解答】解：（1）设P（x，y），则y+1=2，∴y=1，∴x=±2，∴P（±2，1）；（2）过F的直线方程为y=x+1，代入抛物线方程，可得y2﹣6y+1=0，可得A（2﹣2，3﹣2），B（2+2，3+2），∴|AB|=•|2+2﹣2+2|=8．平行于直线l：x﹣y+1=0的直线设为x﹣y+c=0，与抛物线C：x2=4y联立，可得x2﹣4x﹣4c=0，∴△=16+16c=0，∴c=﹣1，两条平行线间的距离为=，∴△PAB的面积的最大值为=4．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M且有|PM|=|PO|（O为原点），求使|PM|取得最小值时点P的坐标．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】（1）分类讨论，利用待定系数法给出切线方程，然后再利用圆心到切线的距离等于半径列方程求系数即可；（2）可先利用PM（PM可用P点到圆心的距离与半径来表示）=PO，求出P点的轨迹（求出后是一条直线），然后再将求PM的最小值转化为求直线上的点到原点的距离PO之最小值．【解答】解：（1）将圆C配方得（x+1）2+（y﹣2）2=2．①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y=kx，由直线与圆相切得=，即k=2±，从而切线方程为y=（2±）x．…②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x+y﹣a=0，由直线与圆相切得x+y+1=0，或x+y﹣3=0．∴所求切线的方程为y=（2±）x x+y+1=0或x+y﹣3=0．…（2）由|PO|=|PM|得，x12+y12=（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2⇒2x1﹣4y1+3=0..…即点P在直线l：2x﹣4y+3=0上，|PM|取最小值时即|OP|取得最小值，直线OP⊥l，∴直线OP的方程为2x+y=0．…解方程组得P点坐标为（﹣，）．…21．如图所示，在矩形ABCD中，AD=2，AB=1，点E是AD的中点，将△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使二面角D′﹣EC﹣B是直二面角．（1）证明：BE⊥CD′；（2）求二面角D′﹣BC﹣E的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）由已知得BE⊥EC．从而BE⊥面D'EC，由此能证明BE⊥CD'．（2）法一：设M是线段EC的中点，过M作MF⊥BC垂足为F，则∠D'FM是二面角D'﹣BC﹣E的平面角．由此能求出二面角D'﹣BC﹣E的余弦值．法二：分别以EB，EC所在的直线为x轴、y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z 轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出二面角D'﹣BC﹣E的余弦值．【解答】证明：（1）∵AD=2，AB=1，E是AD的中点，∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，∵AB=AE=DE=CD，∠BAE=∠CDE=90°，∴∠BEC=90°，∴BE⊥EC．又∵平面D'EC⊥平面BEC，面D'EC∩面BEC=EC，∴BE⊥面D'EC，又CD'⊂面D'EC，∴BE⊥CD'．…解：（2）法一：设M是线段EC的中点，过M作MF⊥BC垂足为F，连接D'M，D'F，则D'M⊥EC，∵平面D'EC⊥平面BEC，∴D'M⊥平面BEC，∴D'M⊥BC，∴BC⊥平面D′MF，∴D'F⊥BC，∴∠D'FM是二面角D'﹣BC﹣E的平面角．在Rt△D'MF中，D'M=，，∴，∴二面角D'﹣BC﹣E的余弦值为．…法二：分别以EB，EC所在的直线为x轴、y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z 轴，建立如图空间直角坐标系．则，，，．设平面BEC的法向量为，平面D'BC的法向量为，则，取x2=1，得=（1，1，1），cos＜＞==，∴二面角D'﹣BC﹣E的余弦值为．…22．已知椭圆G的中心是原点O，对称轴是坐标轴，抛物线的焦点是G的一个焦点，且离心率．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）已知圆M的方程是x2+y2=R2（1＜R＜2），设直线l与圆M和椭圆G都相切，且切点分别为A，B．求当R为何值时，|AB|取得最大值？并求出最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（I）依题意可设椭圆G的方程，利用抛物线的焦点是G的一个焦点，且离心率，求得几何量，即可求椭圆G的方程；（II）直线方程与椭圆方程联立，利用直线与圆、椭圆相切，确定参数之间的关系，表示出|AB|，利用基本不等式，可求|AB|最大值．【解答】解：（I）依题意可设椭圆G的方程为，则因为抛物线的焦点坐标为，所以，又因为，所以，所以，故椭圆G的方程为．…（II）由题意知直线l的斜率存在，所以可设直线l：y=kx+m，即kx﹣y+m=0∵直线l和圆M相切，∴，即m2=R2（k2+1）①联立方程组消去y整理可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，∵直线l和椭圆G相切，∴△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=0，即m2=4k2+1②由①②可得设点B的坐标为（x0，y0），则有，，所以，所以等号仅当，即取得故当时，|AB|取得最大值，最大值为1．…2017年2月7日。

一、选择题（共10个小题，每小题5分，共50分，四个选项中只有一个是正确的，请将正确选项填在答题卡指定的位置） 1．分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是（ ） A．异面 B．平行C．相交 D．以上都有可能 2.直线平面，直线平面，且∥，其中，分别是直线和直线在平面上的正投影，则直线与直线的位置关系是A．平行或异面 B相交或异面 C相交、平行或异面 D以上答案都不正确 4．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是( )A．8 cm B．6 cm C．2(1＋) cm D．2(1＋) cm . 点P为ΔABC所在平面外一点， PO⊥平面ABC，垂足为O， 若PA=PB=PC，则点O是ΔABC的（ ） A． B．C． D． 6.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 可得该几何体的表面积是( ) A．．．．．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括(? )A. 一个圆柱、两个圆锥B.两个圆台、一个圆柱C.两个圆台、一个圆柱?D.一个圆台、两个圆．的棱长为1，线段 上有两个动点，且,则下列结论中错误的是（ ） A． B．∥平面 C．三棱锥的体积为定值 D．△AEF与△BEF B． C． D． 10.如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（ ） 二、填空题（共5个小题，每小题5分，共25分，请将答案直接填在答题卡指定的位置） 11．设斜线和平面所成的角为θ，那么斜线和平面内过斜足的所有直线的夹角中，最大的角为 ；最小的角为 ．．一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，那么这个正三棱锥的体积是在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离为 14.如上图，已知球球面上四点A、B、C、D， DA平面ABC，ABBC， DA=AB=BC=，则球的体积等于___________ 15. 如上图：正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面的四棱柱）中，E、F、G、H分别是棱 的中点，点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M只须满足条件___ __时，就有MN//平面（N是BC的中点）。

2016年10月2016～2017学年度重庆市杨家坪中学高一上学期期中数学试卷一、单项选择1.已知全集U＝{1,2,3,4,5,6},集合P＝{1,3,5},Q＝{1,2,4},则(∁U P)∩Q＝()A.{3,5}B.{2,4}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5}2.若点P(﹣3,4)在角α的终边上,则cosα＝()A. B. C. D.3.函数f(x)＝lnx＋2x﹣6的零点所在的大致区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)4.以下式子中正确的为()A.{0}∈{0,1,2}B.∅⊆{1,2}C.∅∈{0}D.0∈∅5.下列函数中与函数y＝x表示同一函数的是()A.y＝()2B.y＝C.y＝D.y＝6.幂函数在(0,＋∞)上为减函数,则m的取值是()A.m＝2B.m＝﹣1C.m＝2或m＝﹣1D.﹣3≤m≤17.函数y＝1﹣的图象是()A. B. C. D.8.函数f(x)＝的定义域为()A.[1,10]B.[1,2)∪(2,10]C.(1,10]D.(1,2)∪(2,10]9.已知a＝2,b＝log2,c＝log,则()A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.c＞a＞bD.c＞b＞a10.已知f(x)是R上的偶函数,且在(﹣∞,0]是减函数,若f(3)＝0,则不等式的解集是( )A.(﹣∞,﹣3)∪(3,＋∞)B.(﹣3,0)∪(3,＋∞)C.(﹣∞,﹣3)∪(0,3)D.(﹣3,0)∪(0,3)11.设函数f(x)是定义在R 上的奇函数,且f(x)＝,则g [f(﹣8)]＝( )A.﹣1B.﹣2C.1D.212.设集合M ＝{x |x 2﹣2ax ﹣1≤0,a ＞0},集合N ＝{x |x 2＋2x ﹣3＞0},若M ∩N 中恰有一个整数,则实数a 的取值范围是( )A.(1,＋∞)B.C. D.二、填空题13.半径为2m 的圆中,的圆心角所对的弧的长度为 m. 14.若函数f(x)＝a x ＋1(a ＞0,a ≠0)的图象恒过(﹣1,1)点,则反函数的图象恒过点 .15.函数y ＝log(2x 2﹣3x ＋1)的单调增区间为 .16.y ＝x ﹣的值域是 .三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程,只写最后结果的不得分,共70分)17.(10分)不用计算器求下列各式的值 (1)232021)5.1()833()6.9()412(--+--- (2)8log )12()31(2lg 5lg 202+-+--+- 18.(12分)已知集合A ＝{x |2≤x ＜7},B ＝{x |3＜x ≤10},C ＝{x |a ﹣5＜x ＜a }.(1)求A ∩B,A ∪B;(2)若非空集合C ⊆(A ∪B),求a 的取值范围..19.(12分)已知函数(1)求的值;(2)求不等式f(x)＞﹣3的解集.20.(12分)设f(x)＝log a(1＋x)＋log a(3﹣x)(a＞0,a≠1),且f(1)＝2.(1)求a的值及f(x)的定义域;(2)求f(x)在区间[0,]上的最大值.21.(12分)已知定义在(0,＋∞)上的函数f(x)满足,且当x＞1时,f(x)＜0(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的单调性并说明;(3)若f(3)＝﹣1,解不等式f(|x|)＜﹣2.22.(12分)已知函数.(1)当a＝b＝1时,求满足f(x)＝3x的x的取值;(2)若函数f(x)是定义在R上的奇函数存在t∈R,不等式f(t2﹣2t)＜f(2t2﹣k)有解,求k 的取值范围.2016年10月2016～2017学年度重庆市杨家坪中学高一上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择1.已知全集U＝{1,2,3,4,5,6},集合P＝{1,3,5},Q＝{1,2,4},则(∁U P)∩Q＝()A.{3,5}B.{2,4}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5}【知识考查点】交、并、补集的混合运算.( C U P)∩Q.【试题分析】由已知,先求出C∪P,再求【试题解答】解:∵U＝{1,2,3,4,5,6},集合P＝{1,3,5},Q＝{1,2,4},2,4,6},∴C∪P＝{( C U P)∩Q＝{2,4}故选B.【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算,是基础题2.若点P(﹣3,4)在角α的终边上,则cosα＝()A. B. C. D.【知识考查点】任意角的三角函数的定义.【试题分析】利用三角函数的定义可求得cosα即可.【试题解答】解:∵角α的终边上一点P(﹣3,4),∴|OP|＝＝5,∴cosα＝＝﹣,故选:A.【点评】本题考查三角函数的定义,属于基础题.3.函数f(x)＝lnx＋2x﹣6的零点所在的大致区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【知识考查点】函数零点的判定定理.【试题分析】可得f(2)＝ln2﹣2＜0,f(3)＝ln3＞0,由零点判定定理可得.【试题解答】解:由题意可得f(1)＝﹣4＜0,f(2)＝ln2﹣2＜0,f(3)＝ln3＞0,f(4)＝ln4＋2＞0,显然满足f(2)f(3)＜0,故函数f(x)＝lnx＋2x﹣6的零点所在的区间为(2,3)故选C【点评】本题考查函数零点的判定定理,涉及对数值得运算和大小比较,属基础题.4.以下式子中正确的为()A.{0}∈{0,1,2}B.∅⊆{1,2}C.∅∈{0}D.0∈∅【知识考查点】元素与集合关系的判断.【试题分析】根据元素与集合、集合与集合的关系进行判断.【试题解答】解:元素与集合的关系用∈或∉表示,故A、C错误;0∉∅,故D错误;∅是任何非空集合的子集,故B正确.故选:B.【点评】本题主要考查元素与集合、集合与集合的关系,属于基础题.5.下列函数中与函数y＝x表示同一函数的是()A.y＝()2B.y＝C.y＝D.y＝【知识考查点】判断两个函数是否为同一函数.【试题分析】确定函数的三要素是:定义域、对应法则和值域,据此可判断出答案.【试题解答】解:C.∵＝x,与已知函数y＝x的定义域和对应法则完全一样,∴二者是同一函数.故选C.【点评】本题考查了函数的定义,利用确定函数的三要素即可判断出.6.幂函数在(0,＋∞)上为减函数,则m的取值是()A.m＝2B.m＝﹣1C.m＝2或m＝﹣1D.﹣3≤m≤1【知识考查点】幂函数的性质.【试题分析】根据函数f(x)是幂函数列出方程求出m的值,再验证f(x)在(0,＋∞)上是减函数即可.【试题解答】解:∵函数f(x)＝(m2﹣m﹣1)x m2＋2m﹣3是幂函数,∴m2﹣m﹣1＝1,解得m＝2,或m＝﹣1;又x∈(0,＋∞)时f(x)为减函数,∴当m＝2时,m2＋2m﹣3＝5,幂函数为f(x)＝x5,不满足题意;当m＝﹣1时,m2＋2m﹣3＝﹣4,幂函数为f(x)＝x﹣4,满足题意;综上,m＝﹣1.故选:B.【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题,解题的关键是求出符合题意的m值.7.函数y＝1﹣的图象是()A. B. C. D.【知识考查点】函数的图象.【试题分析】把函数先向右平移一个单位,再关于x轴对称,再向上平移一个单位.【试题解答】解:把的图象向右平移一个单位得到的图象,把的图象关于x轴对称得到的图象,把的图象向上平移一个单位得到的图象.故选:B.【点评】本题考查函数图象的平移,对称,以及学生的作图能力.8.函数f(x)＝的定义域为()A.[1,10]B.[1,2)∪(2,10]C.(1,10]D.(1,2)∪(2,10]【知识考查点】对数函数的定义域.【试题分析】由根式内部的代数式大于等于0,分式的分母不等于0,对数式的真数大于0联立不等式组求解.【试题解答】解:要使原函数有意义,则,解得:1＜x≤10且x≠2.∴函数f(x)＝的定义域为(1,2)∪(2,10].故选:D.【点评】本题考查函数的定义域及其求法,考查了不等式的解法,是基础题.9.已知a＝2,b＝log2,c＝log,则()A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.c＞a＞bD.c＞b＞a【知识考查点】对数值大小的比较.【试题分析】利用对数函数和指数函数的单调性求解.【试题解答】解:∵0＜a＝2＜20＝1,b＝log2＜＝0,c＝log＞＝1,∴c＞a＞b.故选:C.【点评】本题考查三个数的大小的比较,是基础题,解题时要认真审题,注意对数函数和指数函数的单调性的合理运用.10.已知f(x)是R上的偶函数,且在(﹣∞,0]是减函数,若f(3)＝0,则不等式的解集是()A.(﹣∞,﹣3)∪(3,＋∞)B.(﹣3,0)∪(3,＋∞)C.(﹣∞,﹣3)∪(0,3)D.(﹣3,0)∪(0,3)【知识考查点】奇偶性与单调性的综合.【试题分析】利用函数的奇偶性将不等式进行化简,然后利用函数的单调性确定不等式的解集.【试题解答】解:因为y＝f(x)为偶函数,所以等价为＜0,所以不等式等价为.因为函数y＝f(x)为偶函数,且在(﹣∞,0]上是减函数,又f(3)＝0,所以f(x)在[0,＋∞)是增函数,则对应的图象如图:所以解得x＜﹣3或0＜x＜3,即不等式的解集为(﹣∞,﹣3)∪(0,3).故选:C.【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的性质,根据函数性质的综合应用,将不等式转化是解决本题的关键.11.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)＝,则g[f(﹣8)]＝()A.﹣1B.﹣2C.1D.2【知识考查点】函数的值.【试题分析】先求出f(﹣8)＝﹣f(8)＝﹣log39＝﹣2,从而得到g[f(﹣8)]＝g(﹣2)＝f(﹣2)＝﹣f(2),由此能求出结果.【试题解答】解:∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)＝,∴f(﹣8)＝﹣f(8)＝﹣log39＝﹣2,∴g[f(﹣8)]＝g(﹣2)＝f(﹣2)＝﹣f(2)＝﹣log33＝﹣1.故选:A.【点评】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用.12.设集合M＝{x|x2﹣2ax﹣1≤0,a＞0},集合N＝{x|x2＋2x﹣3＞0},若M∩N中恰有一个整数,则实数a的取值范围是()A.(1,＋∞)B.C.D.【知识考查点】交集及其运算.【试题分析】先求解一元二次不等式化简集合M,N,然后分析集合B的左端点的大致位置,结合M∩N中恰含有一个整数得集合B的右端点的范围,列出无理不等式组后进行求解.【试题解答】解:由x2＋2x﹣3＞0,得:x＜﹣3或x＞1.由x2﹣2ax﹣1≤0,得:a﹣≤x≤a＋.所以,N＝{x|x2＋2x﹣3＞0}＝{x|x＜﹣3或x＞1},M＝{x|x2﹣2ax﹣1≤0,a＞0}＝{x|a﹣≤x≤a＋}.因为a＞0,所以a＋1＞,则a﹣＞﹣1且小于0.由M∩N中恰含有一个整数,所以2≤a＋＜3.即,.解得≤a＜.所以,满足A∩B中恰含有一个整数的实数a的取值范围是[,).故选C.【点评】本题考查了交集及其运算,考查了数学转化思想,训练了无理不等式的解法,求解无理不等式是该题的一个难点.此题属中档题.二、填空题13.半径为2m的圆中,的圆心角所对的弧的长度为m.【知识考查点】弧长公式.【试题分析】根据题意可以利用扇形弧长公式l直接计算.扇形【试题解答】解:根据题意得出:l扇形＝2×＝.故答案为:.【点评】此题主要考查了扇形弧长的计算,注意掌握扇形的弧长公式是解题关键,属于基础题.14.若函数f(x)＝a x＋1(a＞0,a≠0)的图象恒过(﹣1,1)点,则反函数的图象恒过点(1,﹣1).【知识考查点】指数函数的图象与性质.【试题分析】由于函数y＝a x＋1的图象一定经过点(﹣1,1),故它的反函数的图象一定经过点(1,﹣1).【试题解答】解:函数y＝a x＋1的图象一定经过点(﹣1,1),函数与它的反函数的图象关于直线y＝x对称,故它的反函数的图象一定经过点(1,﹣1),故答案为:(1,﹣1).【点评】本题考查函数与反函数的图象间的关系,利用函数与它的反函数的图象关于直线y＝x对称.15.函数y＝log(2x2﹣3x＋1)的单调增区间为(﹣∞,).【知识考查点】复合函数的单调性.【试题分析】求函数的定义域,利用换元法结合复合函数单调性之间的关系进行求解.【试题解答】解:由2x2﹣3x＋1＞0得x＞1或x＜,即函数的定义域为(﹣∞,)∪(1,＋∞),设t＝2x2﹣3x＋1,则y＝log t在定义域上为减函数,要求函数y＝log(2x2﹣3x＋1)的单调增区间,则等价为求函数t＝2x2﹣3x＋1的单调递减区间,∵t＝2x2﹣3x＋1的单调递减区间为(﹣∞,),∴函数y＝log(2x2﹣3x＋1)的单调增区间为(﹣∞,),故答案为:(﹣∞,)【点评】本题主要考查复合函数单调区间的求解,利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键.16.y＝x﹣的值域是{y|y≤} .【知识考查点】函数的值域.【试题分析】先求函数的定义域,然后利用换元法转化为一元二次函数进行求解即可.【试题解答】解:由1﹣4x≥0得x≤,设t＝,则t≥0,且x＝(1﹣t2),则函数等价为y＝(1﹣t2)﹣t＝﹣(t＋2)2＋,∵t≥0,∴当t＝0时,y取得最大值,此时y＝,∴y≤,即函数的值域为{y|y≤},故答案为:{y |y ≤}【点评】本题主要考查函数值域的求解,利用换元法,转化为一元二次函数是解决本题的关键.三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程,只写最后结果的不得分,共70分)17.(10分)(2016秋•商州区校级期中)不用计算器求下列各式的值 (1)232021)5.1()833()6.9()412(--+--- (2)8log )12()31(2lg 5lg 202+-+--+- 【知识考查点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值.【试题分析】(1)化带分数为假分数,化小数为分数,然后把和分别写成和的形式,利用有理指数幂的运算性质化简后通分计算;(2)利用对数的和等于乘积的对数得到lg5＋lg2＝1,把化为﹣3﹣1,然后利用有理指数幂的运算性质化简求值.【试题解答】解:(1)232021)5.1()833()6.9()412(--+---＝＝＝＝; (2)8log )12()31(2lg 5lg 202+-+--+-＝＝1﹣9＋1＋3＝﹣4.【点评】本题考查了对数的运算性质,考查了有理指数幂的化简与求值,关键是熟记有关的运算性质,是基础的计算题.18.(12分)(2016秋•定州市期中)已知集合A＝{x|2≤x＜7},B＝{x|3＜x≤10},C＝{x|a﹣5＜x＜a}.(1)求A∩B,A∪B;(2)若非空集合C⊆(A∪B),求a的取值范围..【知识考查点】交集及其运算;集合的包含关系判断及应用;并集及其运算.【试题分析】(1)根据交集与并集的定义求出A∩B和A∪B;(2)根据C≠∅且C⊆(A∪B),得出,解不等式组即可.【试题解答】解:(1)∵集合A＝{x|2≤x＜7},B＝{x|3＜x≤10},∴A∩B＝{x|3＜x＜7},A∪B＝{x|2≤x≤10};(2)由(1)知,A∪B＝{x|2≤x≤10},当C≠∅时,要使C⊆(A∪B),须有,解得7≤a≤10;∴a的取值范围是7≤a≤10.【点评】本题考查了集合的定义与运算问题,是基础题目.19.(12分)(2016秋•九龙坡区校级期中)已知函数(1)求的值;(2)求不等式f(x)＞﹣3的解集.【知识考查点】其他不等式的解法;分段函数的应用.【试题分析】(1)根据函数f(x)的解析式,分别计算f()以及f(f())的值即可;(2)分别解出关于x＜和x≥时的不等式的解集取并集即可.【试题解答】解:(1)f()＝(2×＋1)＝4＝＝﹣2,f()＝(2×＋1)＝2＝﹣1,故f(f())＝f(﹣1)＝(﹣1)2﹣4×(﹣1)＝5;(2)x ＜时,x 2﹣4x ＞﹣3,解得:x ＜1,或x ＞3(舍),故x ＜成立,x ≥时,(2x ＋1)＞﹣3,故2x ＋1＜8,解得:x ＜,综上,不等式的解集是:.【点评】本题考查了函数求值问题,考查解不等式问题,是一道基础题.20.(12分)(2016春•陕西校级期末)设f(x)＝log a (1＋x)＋log a (3﹣x)(a ＞0,a ≠1),且f(1)＝2.(1)求a 的值及f(x)的定义域;(2)求f(x)在区间[0,]上的最大值.【知识考查点】函数的定义域及其求法;复合函数的单调性.【试题分析】(1)由f(1)＝2即可求出a 值,令可求出f(x)的定义域;(2)研究f(x)在区间[0,]上的单调性,由单调性可求出其最大值.【试题解答】解:(1)∵f(1)＝2,∴log a (1＋1)＋log a (3﹣1)＝log a 4＝2,解得a ＝2(a ＞0,a ≠1),由,得x ∈(﹣1,3).∴函数f(x)的定义域为(﹣1,3).(2)f(x)＝log 2(1＋x)＋log 2(3﹣x)＝log 2(1＋x)(3﹣x)＝∴当x ∈[0,1]时,f(x)是增函数;当x∈[1,]时,f(x)是减函数.所以函数f(x)在[0,]上的最大值是f(1)＝log24＝2.【点评】对于函数定义域的求解及复合函数单调性的判定问题属基础题目,熟练掌握有关的基本方法是解决该类题目的基础.21.(12分)(2016秋•九龙坡区校级期中)已知定义在(0,＋∞)上的函数f(x)满足,且当x＞1时,f(x)＜0(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的单调性并说明;(3)若f(3)＝﹣1,解不等式f(|x|)＜﹣2.【知识考查点】抽象函数及其应用;函数单调性的判断与证明.【试题分析】(1)令x＝y＞0.得f(1)＝f(x)﹣f(x);(2)设x 1＞x 2＞0 则,f()＜0,f(x1)﹣f(x2)＝f()＜0(3)令x＝9,y＝3⇒f(9)＝f(3)＋f(3)＝﹣2,不等式f(|x|)＜﹣2⇒f(|x|)＜f(9)⇒|x|＞9⇒x＜﹣9或x＞9【试题解答】解:(1)令x＝y＞0.得f(1)＝f(x)﹣f(x)＝0;(2)设x 1＞x 2＞0 则,f()＜0∴f(x1)﹣f(x2)＝f()＜0所以f(x)在(0,＋∞)为减函数;(3)令x＝9,y＝3⇒f(3)＝f(9)﹣f(3)⇒f(9)＝f(3)＋f(3)＝﹣2,∴不等式f(|x|)＜﹣2⇒f(|x|)＜f(9),∵f(x)在(0,＋∞)为减函数,∴|x|＞9⇒x＜﹣9或x＞9所以原不等式的解集为{x|x＜﹣9或x＞9}.【点评】本题考查了抽象函数的赋值法、单调性、解不等式,属于中档题.22.(12分)(2016秋•九龙坡区校级期中)已知函数.(1)当a＝b＝1时,求满足f(x)＝3x的x的取值;(2)若函数f(x)是定义在R上的奇函数存在t∈R,不等式f(t2﹣2t)＜f(2t2﹣k)有解,求k 的取值范围.【知识考查点】函数奇偶性的性质;函数的值.【试题分析】(1)根据3x＋1＝3•3x,可将方程f(x)＝3x转化为一元二次方程:3•(3x)2＋2•3x﹣1＝0,再根据指数函数范围可得,解得x＝﹣1,(2)先根据函数奇偶性确定a,b值:a＝1,b＝3,再利用单调性定义确定其单调性:在R 上递减.最后根据单调性转化不等式f(t2﹣2t)＜f(2t2﹣k)为t2﹣2t＞2t2﹣k即t2＋2t ﹣k＜0在t∈R时有解,根据判别式大于零可得k的取值范围.【试题解答】解:(1)由题意,当a＝b＝1时,,化简得3•(3x)2＋2•3x﹣1＝0解得,所以x＝﹣1.(2)因为f(x)是奇函数,所以f(﹣x)＋f(x)＝0,所以化简并变形得:(3a﹣b)(3x＋3﹣x)＋2ab﹣6＝0要使上式对任意的x成立,则3a﹣b＝0且2ab﹣6＝0解得:,因为f(x)的定义域是R,所以舍去,所以a＝1,b＝3,所以,①对任意x1,x2∈R,x1＜x2有:因为x1＜x2,所以,所以f(x1)＞f(x2),因此f(x)在R上递减.因为f(t2﹣2t)＜f(2t2﹣k),所以t2﹣2t＞2t2﹣k,即t2＋2t﹣k＜0在t∈R时有解所以△＝4＋4t＞0,解得:t＞﹣1,所以k的取值范围为(﹣1,＋∞)【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用,根据函数奇偶性的定义以及函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键.综合性较强,运算量较大.。