圆的切线的判定复习课件剖析共19页

1．切线的性质 (1)性质定理：圆的切线垂直于经 过 切点的半径． 如图，已知AB切⊙O于A点，则 OA ⊥AB.
(2)推论1：经过圆心且 垂直于切线 的直线必经过切点．
(3)推论2：经过切点且 垂直于切线 的直线必经过圆心．
2．圆的切线的判定方法 (1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需
添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线， 从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解， 或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等．
1. AB是圆O的直径，D为圆O上一点， 过D作圆O的切线交AB的延长线于点C，
若DA＝DC，求证：AB＝2BC.
∠BOD 是 BD 所对的圆心角，
∠BCD＝45° ， ∴∠BOD＝90° . ∵∠ADB 是△BCD 的一个外角， ∴∠DBC＝∠ADB－∠ACB ＝60° －45° ＝15° ， ∴∠DOC＝2∠DBC＝30° ， 从而∠BOC＝120° ， ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30° .
在△OEC 中，因为∠EOC＝∠ECO＝30° ， ∴OE＝EC， 在△BOE 中，因为∠BOE＝90° ，∠EBO＝30° . ∴BE＝2OE＝2EC， CE CD 1 ∴BE＝DA＝ ， 2 ∴AB∥OD，∴∠ABO＝90° ， 故 AB 是△BCD 的外接圆的切线．
交⊙O于点E，PA＝AO＝OB＝1. (1)求∠P的度数； (2)求D切点，∴OC⊥PC，△POC 为直角三角形． ∵OC＝OA＝1，PO＝PA＋AO＝2， OC 1 ∴sin ∠P＝ PO＝ .∴∠P＝30° . 2 (2)∵BD⊥PD，∴在 Rt△PBD 中， 由∠P＝30° ，PB＝PA＋AO＋OB＝3， 3 得 BD＝ . 2 连接 AE.则∠AEB＝90° ，∴AE∥PD. ∴∠EAB＝∠P＝30° ，∴BE＝ABsin 30° ＝1， 1 ∴DE＝BD－BE＝ . 2

（三）切线的判定方法 切线的判定方法有三种： ①直线与圆有唯一公共点； ②直线到圆心的距离等于该圆的半径； ③切线的判定定理．
（四）巩固练习
练习1 判断下列命题是否正确． (1)经过半径外端的直线是圆的切线． ( (2)垂直于半径的直线是圆的切线． ( (3)过直径的外端并且垂直于这条直径 的直线是圆的切线． ( (4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线． ( (5)以等腰三角形的顶点为圆心,底边上的 高为 半径的圆与底边相切 ． (
切线需满足两条件： ①经过半径外端； ②垂直于这条半径． 问题：定理中的两个条件缺少一个行不行?
O l A
O
l
O l A
A
图 (1) 中直线 l 经过半径外端，但不与半径垂直；图 (2) （ 3 ） 中直线l与半径垂直，但不经过半径外端． 从以上反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆 的切线．必需同时满足,二者缺一不可
(2)图中直线a b c 均过半径OA 的外端点, 直线与OA 成什 么角 时, 直线是圆O的切线?为什么? 现：(1)直线l经过半径OA的外端点c A； (2)直线l垂直于半径0A． 这时，直线l是圆的切线.
（二）切线的判定定理 切线的判定定理：
经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
) ) ) ) )
练习2. 已知 ,AB 是☉O 的直径, 点D在AB 的延长线 上DB=OB,点C在圆上,CAB=300, 求证:DC是☉O的切线
A C O D
B
（2011•遵义）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O 于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还 需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（ ） A．DE=DO B．AB=AC C．CD=DB D．AC∥OD

研究曲线的性质
在解析几何中，切线与曲线的交点是 曲线的重要性质之一，通过切线可以 研究曲线的增减性、极值点和拐点等 。
在实际问题中的应用
机械制造中的圆加工
在机械制造中，切线被广泛应用于圆形的加工和制造，如车削、铣削和磨削等 。
物理学中的圆周运动
在物理学中，切线是描述圆周运动轨迹的重要工具，如卫星轨道、物体旋转等 。
当一条直线与圆心的距离为零时，该直线被称为圆的切线。
切线的性质
切线与半径垂直
切线与半径的交点是切点
通过切点作半径垂直于切线，证明切 线与半径垂直。
切线与半径的交点是切点，这是切线 的定义决定的。
切线长度有限
切线的长度是有限的，等于圆的半径 。
切线的判定定理
01
02
03
判定定理一
如果一条直线通过圆上的 一点，并且该直线与圆的 半径垂直，则该直线是圆 的切线。
提高题目解析
知识应用能力的提升
提高题目要求学生在掌握基础知识的前提下，能够灵活运用 圆的切线性质解决实际问题，如求切线的长度、判断某直线 是否为圆的切线等。
竞赛题目解析
思维能力和创新能力的挑战
竞赛题目难度较大，不仅要求学生熟练掌握基础知识，还 要求他们具备严密的逻辑推理能力和创新能力，能够解决 一些较为复杂的圆的切线问题，如切线与圆的综合问题、 切线与其他几何图形的综合问题等。
切线和半径之间的距离是固定的
切线与半径之间的距离是固定 的，这个距离等于圆的半径。
切线到圆心的距离等于圆的半 径。
切线与经过切点的半径的夹角 为90度。
切线长定理
01
切线长定理：从圆外一点引出的 两条切线，它们的切线长相等。
02
这个定理可以用于证明一些几何 问题，例如角平分线的性质等。

的切线。
02
如果一条直线经过半径 的外端并且与半径之间 的夹角为90度，那么 这条直线就是圆的切线
。
03
如果一条直线经过圆的 某个点，并且与经过该 点的半径垂直，那么这 条直线就是圆的切线。
02
切线的判定方法
圆心到直线的距离
圆心到直线的距离为0
如果圆心到直线的距离为0，径的交点叫做切点，切点是圆上的一 点。
切线的性质
1 2
3
切线与半径垂直
切线与半径之间的夹角为90度。
切线与圆只有一个交点
切线与圆只有一个公共点，即切点。
切线与半径的交点是切点
切点是圆上的一点，也是切线与半径的交点。
切线的判定条件
01
切线的判定条件是：经 过半径的外端并且垂直 于这条半径的直线是圆
《切线的判定方法》ppt课件
$number {01}
目录
• 切线的定义 • 切线的判定方法 • 切线定理的应用 • 切线定理的证明 • 切线定理的拓展
01
切线的定义
切线的几何定义
01
切线是一条与圆只有一个交点的直线，这个交 点叫做切点。
02
切线与半径垂直，即切线与半径之间的夹角为 90度。
03
切线的判定定理
经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线
如果经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线。
经过直径的外端且垂直于直径的直线是圆的切线
如果经过直径的外端且垂直于直径的直线是圆的切线。
经过圆上一点且垂直于该点与圆心的连线的直线是圆的切线
如果经过圆上一点且垂直于该点与圆心的连线的直线是圆的切线。
切线定理在其他领域的应用
数学物理方法
切线定理在数学物理方法中有着广泛 的应用。例如，在求解偏微分方程时 ，可以利用切线定理来分析解的性质 和变化趋势。

切线的性质和判定
考点1 圆的切线
切线的性质
圆的切线________过切点的半径
推论
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必过________；(2)经过切点且垂直于切线的直线必过________
切线的判定
(1)和圆有________公共点的直线是圆的切线；(2)如果圆心到一条直线的距离等于圆的________，那么这条直线是圆的切线；(3)经过半径的外端并且________这条半径的直线是圆的切线
探究一、圆的切线的性质
┃归类探究
┃归类探究
┃归类探究
命题角度：1．利用圆心到一条直线的距离等于圆的半径，判定这条直线是圆的切线；2．利用一条直线经过半径的外端，且垂直于这条半径，判定这条直线是圆的切线．
探究二、圆的切线的判定方法
┃归类探究
┃归类探究
┃归类探究
┃归类探究
命题角度：1．利用切线长定理计算；2．利用切线长定理证明．
证明：∵PA，PB，CD都是⊙O的切线，∴PA=PB，CQ=CA，DQ=DB.∴△PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CQ+DQ=PC+PD+CA+DB=PA+PB=2PA.
例2 用尺规作圆，使其与已知三角形的共边都相切．已知：如图29-4-6，△ABC.求作：⊙I，使它与△ABC的三边都相切．分析：要求作的圆与△ABC的三边都相切，则这个圆的圆心到△ABC三边的距离都相等，所以圆心是三角形两个内角平分线的交点，圆的半径是交点到三角形一边的垂线段的长．作法：如图29-4-7.
试用文字语言叙述你所发现的结论
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB

知识回顾
直线与圆相切的判定： 1.利用定义判定：直线和圆只有一
个公共点时，直线与圆相切. 2.利用直线与圆心距离判定：当圆
心与直线的距离等于该圆的半径时，直 线与圆相切.
O
l
O d=r
l
新知探究
知识点1 切线的判定
思考：如图，在⊙O中，经过半径OA 的外端点 A 作直线 l⊥OA. （1）圆心O到直线 l 的距离是多少？
l
∴OA⊥l
ห้องสมุดไป่ตู้ 反证法证明切线的性质
如图，直线CD与⊙O相切，求证：⊙O的半径OA
与直线CD垂直.
证明：（1）假设AB与CD不垂直，过
B
点O作一条直线垂直于CD，垂足为M；
（2）则OM＜OA，即圆心到直线CD的
O
距离小于⊙O的半径，因此，CD与⊙O
相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相 C 矛盾；
A MD
证明：连接OA,OD,作OE⊥AC 于E . ∵ ⊙O与AB相切于E, ∴OD⊥AB.
又∵△ABC为等腰三角形，
O是底边BC的中点，
B
A D
1
O
E C
∴AO平分∠BAC,
∴OD=OE ，即OE是⊙O半径.
∴AC是⊙O的切线. 方法总结：无交点，作垂直，证半径.
随堂练习
1.如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为31°，
d l
A
3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于
O
这条半径的直线是圆的切线.
l
A
已 知 ： 直 线 AB 经 过 ⊙ O 上 的 点 C ， 并 且 OA=OB ，
CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
证明：连接OC.

A
D
P O
C B
第9页/共34页
已知：在△ABC中，AB=AC，以AB为 直径作⊙O交BC于D，DE⊥AC于E，
求证：DE是⊙ O的切线。
A
O
E
B
D
C
第10页/共34页
已知：以Rt△ABC的一直角边为直径作 圆，交斜边BC于P，Q是AC的中点。 求证：PQ是圆O的切线。
B
O
P
AQ C
第11页/共34页
已知：AB是⊙O的直径,AD ⊥DE于D, BE⊥DE于E,又AD≠BE,AD+BE=AB.
求证：DE是⊙ O的切线。
D
C
E
A
B O
第12页/共34页
已知：在⊙O中,半径OA ⊥ OB,弦AC交OB 于D, E是OB延长线上一点,若 ∠ OAD=30O,
ED=CE. 求证：EC是⊙ O的切线。 E
CG=10，BF=3.AG=2
A 判断三角形的形状。E
G
B
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FC
变式训练2
如果三角形的面积 是4，周长为10E，A 求内切圆的半径 G
B FC
第29页/共34页
变式训练3 ∠EOF=150°∠FOG=110°
计算△ABC的各个内角A 度
数
E G
B
C
第30页/共34页
变式训练4
变•如式图训练，5∠：C=90°，AC=6， 改内成切：A圆B的=1半0，径半为径2为，2计.求算三斜角 形边周的长长。 A
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感谢您的观看！
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C是AB延长线上的一点, A=30O, AD=DC. 求证：CD是⊙ O的切线。