2012高三数学一轮复习单元练习题：解析几何

第8章 第6节一、选择题1．(2010·湖北黄冈)若抛物线y2＝2px 的焦点与椭圆x26＋y22＝1的右焦点重合，则p 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－4D ．4[答案] D[解析] ∴右焦点2．已知点则这个圆与A ．相交 C ．相离 [答案] B[解析] B ；由点M 作准线l则MD ＝MF ，ON ＝OF ， ∴AB ＝OF ＋CM 2＝ON ＋CM2 ＝DM 2＝MF 2，∴这个圆与y 轴相切．3．(2010·山东文)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( ) A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2[答案] B[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB 的中点(x1＋x22，y1＋y22)，∴y1＋y22＝2，∵A 、B 在抛物线y2＝2px 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y12＝2px1 ①y22＝2px2 ② ①－②得y12－y22＝2p(x1－x2)，＝y1－y2＝2p ＝p ，∵4y2＝C [[(x ，y2＝2px5P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为C. 5D.92[答案] A[解析] 记抛物线y2＝2x 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫12，0，准线是l ，由抛物线的定义知点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0,2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点F 的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F 与点(0,2)的距离，因此所求的最小值等于⎝⎛⎭⎫122＋22＝172，选A.6．已知抛物线C ：y2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF(其中O 为坐标原点)的面积之比为3 1，则点A 的坐标为( ) A ．(2,22)B ．(2，－22)C ．(2，±2)D ．(2，±22)[答案] D[解析] 如图，由题意可得，|OF|＝1，由抛物线定义得，|AF|＝|AM|，∵△AMF 与△AOF(其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，∴S △AMFS △AOF ＝∴|AM|＝3解得y0＝∴点A 7．(2010·2反射后通过抛物线A ．y2＝－C ．y2＝4xD ．y2＝－4x[答案] D[解析] 设过P(－3,1)，方向向量为a ＝(2，－5)的直线上任一点Q(x ，y)，则PQ →∥a ，∴x ＋32＝y －1－5，∴5x ＋2y ＋13＝0，此直线关于直线y ＝－2对称的直线方程为5x ＋2(－4－y)＋13＝0，即5x －2y ＋5＝0，此直线过抛物线y2＝mx 的焦点F ⎝⎛⎭⎫m 4，0，∴m ＝－4，故选D. 8．已知mn≠0，则方程是mx2＋ny2＝1与mx ＋ny2＝0在同一坐标系内的图形可能是( )[答案] A[解析] 若mn>0，则mx2＋ny2＝1应为椭圆，y2＝－mn x 应开口向左，故排除C 、D ；∴mn<0，此时抛物线y2＝－mn x 应开口向右，排除B ，选A.9．(2010·山东聊城模考)已知A 、B 为抛物线C ：y2＝4x 上的不同两点，F 为抛物线C 的焦点，若FA →＝－A ．±23 C ．±34 [答案] D[解析] ∵－|BB1|＝|AF|－∴tan ∠ABM ＝43，由对称性可知，这样的直线AB 有两条，其斜率为±43.10．已知抛物线C 的方程为x2＝12y ，过点A(0，－4)和点B(t,0)的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ C ．(－∞，－22)∪(22，＋∞)D ．(－∞，－22)∪(2，＋∞) [答案] B[解析] 由题意知方程组⎩⎨⎧x2＝12y ①x t ＋y－4＝1 ②无实数解由②得y ＝4xt －4，代入①整理得， 2x2－4x t ＋4＝0，∴Δ＝16t2－32<0， ∴t>22或[点评] 相切的直线与抛物线切点为M(x0，∵过A ∴x0＝±2令y ＝0得二、填空题11．已知点P 的坐标是[答案] (0,0) [解析] 设P⎝⎛⎭⎫－y24，y ，则AP→＝⎝⎛⎭⎫－y24－2，y ，BP →＝⎝⎛⎭⎫－y24－4，y ，AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫－y24－2⎝⎛⎭⎫－y24－4＋y2＝y416＋52y2＋8≥8，当且仅当y ＝0时取等号，此时点P 的坐标为(0,0)．12．(文)(2010·泰安市模拟)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，交抛物线于A 、B 两点，且|FA|＝3，则抛物线的方程是________．[答案] y2＝3x[解析] 设抛物线准线为l ，作AA1⊥l ，BB1⊥l ，FQ ⊥l ，垂足分别为A1、B1、Q ，作BM ⊥AA1垂足为M ，BM 交FQ 于N ，则由条件易知∠ABM ＝30°，设|BF|＝t ，则|NF|＝t2，|MA|＝t ＋32，∵3x.(理)(2010·y 2p>0)点A 、B 、C[答案] y2[解析] ＝|BF|，∵|BC|＝|BC |∴p ＝12|CF|解法2，又|AF|＝3，从而点评：还可以由|BC|＝2|BF|得出∠BCB1＝30°，从而求得A 点的横坐标为|OF|＋12|AF|＝p2＋32或3－p 2，∴p 2＋32＝3－p 2，∴p ＝32.13．已知F 为抛物线C ：y2＝4x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A 、B 两点．设|FA|>|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于________． [答案] 3＋2 2[解析] 分别由A 和B 向准线作垂线，垂足分别为A1，B1，则由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧|AA1|＋|BB1|＝|AB|，|AA1|－|BB1|＝22|AB|，解得⎩⎪⎨⎪⎧|AA1|＝2＋24|AB||BB1|＝2－24|AB|，∴|AA1||BB1|＝3＋22，即|FA||FB|＝3＋2 2.14．(文)若点(3,1)是抛物线y2＝2px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________. [答案] 2[解析] 则⎩⎪⎨⎪⎧y12＝y22＝∵y1＋y2＝(理)(2010·衡水市模考A 、B [答案] 8[解析] 过＝|AA1|＋|BB1|＝三、解答题15．(文)若椭圆C1：x24＋y2b2＝1(0<b<2)的离心率等于32，抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点在椭圆C1的顶点上． (1)求抛物线C2的方程；(2)若过M(－1,0)的直线l 与抛物线C2交于E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线C2的切线l1、l2，当l1⊥l2时，求直线l 的方程．[解析] (1)已知椭圆的长半轴长为a ＝2，半焦距c ＝4－b2， 由离心率e ＝c a ＝4－b22＝32得，b2＝1.∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)， ∴p ＝2，抛物线的方程为x2＝4y.(2)由题知直线l 的斜率存在且不为零，则可设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，∵y ＝14x2，∴y ′＝12x ，∴切线l1，当l1⊥l2由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x x2＝4y 由Δ＝(－4×(又x1·x2∴直线l (理)在△(AB ＋C 在x 轴上移动．(1)求B (2)过点F ⎝⎛0，求直线l的方程．[解析] (1)设B(x ，y)，C(x0,0)，M(0，y0)，x0≠0， ∵CA →⊥CB →，∴∠ACB ＝π2， ∴2x0·y0－x0＝－1，于是x02＝2y0①M 在y 轴上且AM →＝12(AB →＋AC →)， 所以M 是BC 的中点，可得⎩⎪⎨⎪⎧x0＋x2＝0y ＋02＝y0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x0＝－x ②y0＝y2 ③ 把②③代入①，得y ＝x2(x≠0)，所以，点B 的轨迹E 的方程为y ＝x2(x≠0)． (2)点F⎝⎛0y ＝kx －14，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx y ＝x2Δ＝k2－∵FH →＝12HG →∴x1＝12x2∵x1＋x216．(文) 1. (1)求点P (2)设过点AB 为直径的圆恒过原点．[解析] (1)由题意得：x －12＋y2－x ＝1，化简得：y2＝4x (x≥0)． ∴点P 的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)．(2)设直线AB 为y ＝k(x －m)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －m y2＝4x，得ky2－4y －4km ＝0，∴y1＋y2＝4k ，y1·y2＝－4m.∴x1·x2＝m2，∵以线段AB 为直径的圆恒过原点， ∴OA ⊥OB ，∴x1·x2＋y1·y2＝0.即m2－4m ＝0⇒m ＝0或4.当k 不存在时，m ＝0或4. ∴存在m ＝0或4，使得以线段AB 为直径的圆恒过原点．[点评] (1)点P 到定点F(1,0)的距离比到y 轴的距离大1，即点P 到定点F(1,0)的距离与到定直线l ：x ＝－1的距离相等．∴P 点轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，∴p ＝2，∴方程为y2＝4x.(理)已知抛物线y2＝4x ，过点(0，－2)的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点． (1)若OA →·OB →(2)若线段[解析] (1)4)x ＋4＝0①设A(x1y1y2＝(kx1∵OA →·OB →＝4，∴1± 2. ∴直线AB (2)设线段02＝2k ， ∴线段AB y －2k ＝－1k ⎝⎛令y ＝0，得n ＝2＋2k ＋2k2＝2k2＋2k ＋2＝2⎝⎛⎭⎫1k ＋122＋32. 又由k>－12且k≠0得1k <－2，或1k >0，∴n>2⎝⎛⎭⎫0＋122＋32＝2.∴n 的取值范围为(2，＋∞)．17．(文)(2010·全国Ⅰ)已知抛物线C ：y2＝4x 的焦点为F ，过点K(－1,0)的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D. (1)证明：点F 在直线BD 上；(2)设FA →·FB →＝89，求△BDK 的内切圆M 的方程．[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，－y1)，l 的方程为x ＝my －1(m≠0)(1)将x ＝my －1(m≠0)代入y2＝4x 并整理得y2－4my ＋4＝0，从而y1＋y2＝4m ，y1y2＝4①直线BD 的方程为y －y2＝y2＋y1x2－x1(x －x2) 即y －y2＝4y2－y1⎝⎛⎭⎫x －y224 令y ＝0，得x ＝y1y24＝1，所以点F(1,0)在直线BD 上－(x1＋x2)BD 的距离由3|t ＋1|5＝3|t －1|4得t ＝19或t ＝9(舍去)，故圆M 的半径为r ＝3|t ＋1|5＝23，所以圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －192＋y2＝49. (理)(2010·揭阳市模考)已知点C(1,0)，点A 、B 是⊙O ：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足AC →·BC →＝0，设P 为弦AB 的中点．(1)求点P 的轨迹T 的方程；(2)试探究在轨迹T 上是否存在这样的点：它到直线x ＝－1的距离恰好等于到点C 的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．[解析] (1)法一：连结CP ，由AC →·BC →＝0知，AC ⊥BC ，∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝12|AB|，由垂径定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，即|OP|2＋|CP|2＝9，设点P(x ，y)，有(x2＋y2)＋[(x －1)2＋y2]＝9，化简得，x2－x ＋y2＝4.法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x ，y)，根据题意知，x12＋y12＝9，x22＋y22＝9,2x ＝x1＋x2,2y ＝y1＋y2，∴4x2＝x12＋2x1x2＋x22,4y2＝y12＋2y1y2＋y22故4x2＋4y2＝(x12＋y12)＋(2x1x2＋2y1y2)＋(x22＋y22)＝18＋2(x1x2＋y1y2)①又∵AC →·BC →＝0，∴(1－x1，－y1)·(1－x2，－y2)＝0∴(1－x1)×(1－x2)＋y1y2＝0，故x1x2＋y1y2＝(x1＋x2)－1＝2x －1，代入①式得，4x2＋4y2＝18＋2(2x －1)，化简得，x2－x ＋y2＝4.(2)根据抛物线的定义，到直线x ＝－1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y2＝2px上，其中p 2＝1，∴p ＝2，故抛物线方程为y2＝4x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y2＝4x x2－x ＋y2＝4得，x2＋3x －4＝0， 解得x1＝1，x2＝－4，由于x≥0，故取x＝1，此时y＝±2，故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．。

第4节双曲线课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.设P是双曲线-=1上一点,F1,F2分别是双曲线左右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于( B )(A)1 (B)17(C)1或17 (D)以上答案均不对解析:由双曲线定义||PF1|-|PF2||=8,又|PF1|=9,∴|PF2|=1或17,但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c-a=6-4=2>1,∴|PF2|=17.故选B.2.(2013年高考湖北卷)已知0<θ<,则双曲线C 1:-=1与C2:-=1的( D )(A)实轴长相等(B)虚轴长相等(C)离心率相等(D)焦距相等解析:双曲线Cc1==1,双曲线C2的半焦距=1,故选D.c2=3.(2012年高考湖南卷)已知双曲线C:-=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为( A )(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1解析:由焦距为10,知2c=10,c=5.将P(2,1)代入y=x得a=2b.a2+b2=c2,5b2=25,b2=5,a2=4b2=20,所以方程为-=1.故选A.4.已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2等于( C )(A)(B)(C)(D)解析:∵c2=2+2=4,∴c=2,2c=|F1F2|=4,由题可知|PF 1|-|PF2|=2a=2,|PF1|=2|PF2|,∴|PF 2|=2,|PF1|=4,由余弦定理可知cos∠F1PF2==.故选C.5.设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为( A )(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1解析:在椭圆C1中,因为e=,2a=26,即a=13,所以椭圆的焦距2c=10,则椭圆两焦点为(-5,0),(5,0),根据题意,可知曲线C2为双曲线,根据双曲线的定义可知,双曲线C2中的2a2=8,焦距与椭圆的焦距相同,即2c2=10,可知b2=3,所以双曲线的标准方程为-=1.故选A.二、填空题6.(2013年高考辽宁卷)已知F为双曲线C:-=1的左焦点,P,Q为C 上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF 的周长为.解析:由题知,双曲线中a=3,b=4,c=5,则|PQ|=16,又因为|PF|-|PA|=6,|QF|-|QA|=6,所以|PF|+|QF|-|PQ|=12,|PF|+|QF|=28,则△PQF的周长为44.答案:447.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率e=2,且它的一个顶点到较近焦点的距离为1,则双曲线C的方程为.解析:双曲线中,顶点与较近焦点距离为c-a=1,又e==2,两式联立得a=1,c=2,∴b2=c2-a2=4-1=3,∴方程为x2-=1.答案:x2-=18.(2013韶关模拟)设点P是双曲线-=1(a>0,b>0)与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点,其中F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若tan ∠PF2F1=3,则双曲线的离心率为.解析:依题意得PF1⊥PF2,tan ∠PF2F1==3,|PF1|=3|PF2|,设|PF1|=k,则|PF2|=3k,|PF1|2+|PF2|2=10k2=|F1F2|2=4c2,又∵2a=|PF1|-|PF2|=2|PF2|=2k,即a=k,∴e==,即双曲线的离心率为.答案:9.(2013年高考湖南卷)设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两个焦点.若在C上存在一点P,使PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则C的离心率为.解析:设点P在双曲线右支上,由题意,在Rt△F1PF2中,|F1F2|=2c,∠PF1F2=30°,得|PF 2|=c,|PF1|=c,|PF 1|-|PF2|=2a,(-1)c=2a,e===+1.答案:+110.设F1、F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为.解析:如图,由题意得|PF2|=|F1F2|=2c,|F2M|=2a.在△PF2M中,|PF2|2=|F2M|2+|PM|2,而|PM|=|PF1|,又∵|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF1|=2a+2c,即|PM|=a+c.∴|PF2|2=(2c)2=(2a)2+(a+c)2.又c2=a2+b2,∴=,渐近线方程为y=±x,即4x±3y=0.答案:4x±3y=0三、解答题11.已知双曲线x2-=1,过点P(1,1)能否作一条直线l,与双曲线交于A、B两点,且点P是线段AB的中点?解:法一设点A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,且线段AB的中点为(x0,y0),若直线l的斜率不存在,显然不符合题意.设经过点P的直线l的方程为y-1=k(x-1),即y=kx+1-k.由得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0(2-k2≠0).①∴x0==.由题意,得=1,解得k=2.当k=2时,方程①成为2x2-4x+3=0.Δ=16-24=-8<0,方程①没有实数解.∴不能作一条直线l与双曲线交于A,B两点,且点P(1,1)是线段AB 的中点.法二设A(x1,y1),B(x2,y2),若直线l的斜率不存在,即x1=x2不符合题意,所以由题得-=1,-=1,两式相减得(x1+x2)(x1-x2)-=0,即2-=0,即直线l斜率k=2,得直线l方程y-1=2(x-1),即y=2x-1,联立得2x2-4x+3=0,Δ=16-24=-8<0,即直线y=2x-1与双曲线无交点,即所求直线不合题意,所以过点P(1,1)的直线l不存在.12.(2013南京质检)中心在原点,焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1,F2,且|F1F2|=2,椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4,离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程;(2)若P为这两曲线的一个交点,求cos∠F1PF2的值.解:(1)由已知c=,设椭圆长、短半轴长分别为a、b,双曲线实半轴、虚半轴长分别为m、n,则解得a=7,m=3.∴b=6,n=2.∴椭圆方程为+=1,双曲线方程为-=1.(2)不妨设F1、F2分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点,则|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6,∴|PF1|=10,|PF2|=4.|=2,又|F∴cos∠F1PF2===.13.已知双曲线-=1(b>a>0),O为坐标原点,离心率e=2,点M(,)在双曲线上.(1)求双曲线的方程;(2)若直线l与双曲线交于P,Q两点,且²=0.求+的值.解:(1)∵e=2,∴c=2a,b2=c2-a2=3a2,双曲线方程为-=1,即3x2-y2=3a2.∵点M(,)在双曲线上,∴15-3=3a2.∴a2=4.∴所求双曲线的方程为-=1.(2)设直线OP的方程为y=kx(k≠0),联立-=1,得∴|OP|2=x2+y2=.则OQ的方程为y=-x,有|OQ|2==,∴+===.B组14.已知点P在曲线C1:-=1上,点Q在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,点R 在曲线C3:(x+5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是( C )(A)6 (B)8 (C)10 (D)12解析:依题意知P在曲线C1的左支上时|PQ|-|PR|取到最大值,|PQ|的最大值为|PC2|+1,|PR|的最小值为|PC3|-1,则|PQ|-|PR|的最大值是|PC2|+1-(|PC3|-1)=|PC2|-|PC3|+2=8+2=10.故选C.15.从双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于点P,若M为线段FP的中点,O为坐标原点,则|MO|-|MT|与b-a的大小关系为( B )(A)|MO|-|MT|>b-a (B) |MO|-|MT|=b-a(C)|MO|-|MT|<b-a (D)不确定解析:如图所示,取双曲线的右焦点为F',∵M为PF的中点,∴|MF|=|PF|.Rt△OFT中,|OT|=a,|OF|=c,∴|FT|=b,连接OM,PF',则|OM|=|PF'|,∴|MO|-|MT|=|PF'|-(|MF|-|FT|)=|PF'|-|PF|+b=-a+b=b-a.故选B.16.设点P在双曲线-=1(a,b>0)的右支上,双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,若|PF1|=4|PF2|,则双曲线离心率的取值范围是. 解析:由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=4|PF2|,所以4|PF2|-|PF2|=2a,所以|PF2|=a,|PF1|=a,所以整理得a≥c,所以≤,即e≤,又e>1,所以1<e≤. 答案:1<e≤。

2010－2011学年度第一学期江苏省南通市六所省重点高中联考试卷 数 学 Ⅰ试 题 2011.13、方程 x 2m + y 24－m = 1 的曲线是焦点在y 轴上的双曲线，则m 的取值范围是 ▲答案：0<m9、已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的中心为O ，右焦点为F 、右顶点为A ，右准线与x 轴的交点为H ，则||||FA OH 的最大值为 ▲ 13、设M 1(0，0)，M 2(1，0)，以M 1为圆心，| M 1 M 2 | 为半径作圆交x 轴于点M 3 (不同于M 2)，记作⊙M 1；以M 2为圆心，| M 2 M 3 | 为半径作圆交x 轴于点M 4 (不同于M 3)，记作⊙M 2；……； 以M n 为圆心，| M n M n +1 | 为半径作圆交x 轴于点M n +2 (不同于M n +1)，记作⊙M n ；…… 当n ∈N *时，过原点作倾斜角为30°的直线与⊙M n 交于A n ，B n ．考察下列论断： 当n ＝1时，| A 1B 1 |＝2；当n ＝2时，| A 2B 2 |15 当n ＝3时，| A 3B 3 |＝23354213⨯＋－当n ＝4时，| A 4B 4 |＝34354213⨯－－……由以上论断推测一个一般的结论：对于n ∈N *，| A n B n |＝ ▲17、（本题满分15分）已知圆:C 22(2)4x y ++=，相互垂直的两条直线1l 、2l 都过点(,0)A a . （Ⅰ）当2a =时，若圆心为(1,)M m 的圆和圆C 外切且与直线1l 、2l 都相切，求圆M 的方程； （Ⅱ）当1a =-时，求1l 、2l 被圆C 所截得弦长之和的最大值，并求此时直线1l 的方程. 解：（Ⅰ）设圆M 的半径为r ，易知圆心),1(m M 到点)0,2(A 的距离为r 2，∴⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+-222222)2()21(2)21(r m r m ……………………………………………………………4分 解得2=r 且7±=m ∴圆M 的方程为4)7()1(22=±+-y x …………………7分（Ⅱ）当1-=a 时，设圆C 的圆心为C ，1l 、2l 被圆C 所截得弦的中点分别为F E ,，弦长分别为21,d d ，因为四边形AECF 是矩形，所以1222==+AC CF CE ,即124242221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-d d ，化简得 …………………………10分 从而1422222121=+⋅≤+d d d d ，等号成立1421==⇔d d ，1421==∴d d 时，142)(max 21=+∴d d ，即1l 、2l 被圆C 所截得弦长之和的最大值为142 …………………………………13分 此时141=d ，显然直线1l 的斜率存在，设直线1l 的方程为：)1(+=x k y ，则 22)214(41-=+k k ，1±=∴k ， ∴直线1l 的方程为：01=+-y x 或01=++y x …………………………15分江苏省2010高考数学模拟题(压题卷)8．已知F 1、F 2分别是椭圆12222=+by a x ，)0(>>b a 的左、右焦点，以原点O 为圆心，OF 1为半径的圆与椭圆在y 轴左侧交于A 、B 两点，若△F 2AB 是等边三角形，则椭圆的离心率等于13-．三、解析几何题1．已知过点(1,0)A -的动直线l 与圆22:(3)4C x y +-=相交于,P Q 两点，M 是PQ 中点，l 与直线:360m x y ++=相交于N ．(1)求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ; (2)当23PQ =l 的方程;(3)探索AM AN ∙是否与直线l 的倾斜角有关?若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．解：(1)l 与m 垂直，且11,3,3m k k =-∴=故直线l 方程为3(1),y x =+即330.x y -+=圆心坐标（0，3）满足直线l 方程，∴当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ．(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知1x =-符合题意．②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为(1),y k x =+即0kx y k -+=，23,431PQ CM =∴=-= ，则由2311k CM k -+==+，得43k =， ∴直线:4340.l x y -+=故直线l 的方程为1x =-或4340.x y -+=(3),().CM MN AM AN AC CM AN AC AN CM AN AC AN ⊥∴⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅①当l 与x 轴垂直时，易得5(1,),3N -- 则5(0,),3AN =- 又(1,3)AC = ，5AM AN AC AN ∴⋅=⋅=-．②当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1),y k x =+则由(1),360,y k x x y =+⎧⎨++=⎩得365(,),1313k k N k k ---++ 则55(,).1313kAN k k --=++ 515 5.1313k AM AN AC AN k k--∴⋅=⋅=+=-++综上所述，AM AN ⋅ 与直线l 的斜率无关，且5AM AN ⋅=-．2．已知A 、B 是椭圆2214x y +=的左、右顶点，直线(22)x t t =-<<交椭圆于M 、N 两点，经过A 、M 、N 的圆的圆心为1C ，经过B 、M 、N 的圆的圆心为2C ． (1)求证12C C 为定值；(2)求圆1C 与圆2C 的面积之和的取值范围． 解：(1)由题设A （-2，0），B （2，0），由2214x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，解出22(1),(,1)44t t M t N t ---． 设1122(,0),(,0)C x C x ，由22112()14t x t x +=-+-解出13(2)8t x -=．同理，2222()14tx x t -=-+-23(2)8t x += ，122132C C x x =-=(定值)．(2)两圆半径分别为131028t x ++=及210328tx --=， 两圆面积和222(310)(103)(9100)6432S t t t ππ⎡⎤=++-=+⎣⎦， 所以S 的取值范围是257,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．3．已知圆221:(1)16F x y ++=，定点2(1,0),F 动圆过点2F ，且与圆1F 相内切． (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)若过原点的直线l 与（1）中的曲线C 交于A ，B 两点，且1ABF ∆3， 求直线l 的方程． 解：(1)设圆M 的半径为r ，因为圆M 与圆1F 内切，所以2MF r =， 所以124MF MF =-，即124MF MF +=． 所以点M 的轨迹C 是以12,F F 为焦点的椭圆，设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，其中24,1a c ==，所以2,3a b ==．所以曲线C 的方程22143x y +=． (2)因为直线l 过椭圆的中心，由椭圆的对称性可知，112ABF AOF S S ∆∆=． 因为132ABF S ∆=，所以134AOF S ∆=．不妨设点11(,)A x y 在x 轴上方，则1111324AOF S OF y ∆=⋅⋅=11332y x ==± 即：A 点的坐标为3(3,)或3(3,-， 所以直线l 的斜率为12±，故所求直线方程为20x y ±=．4．已知圆C 的圆心在抛物线22(0)x py p =>上运动，且圆C 过(0,)A p 点，若MN 为圆C 在x轴上截得的弦. (1)求弦长MN ； (2)设12,AM l AN l ==，求1221l l l l +的取值范围． 解：(1)设00(,)C x y ，则圆C 的方程为：22220000()()()x x y y x y p -+-=+-．[来源:学科网]令0y =，并由2002x py =，得2220020x x x x p -+-=，解得1020,,x x p x x p =-=+从而212MN x x p =-=， (2) 设MAN θ∠=，因为21211sin 22MAN S l l OA MN p θ∆=⋅⋅=⋅=，所以2122sin p l l θ=，因为l 12+l 22-2 l 1 l 2cos θ=4p 2 ，所以l 12+l 22=)tan 11(4cos sin 44222θθθ+=+p p p . 所以22212122211214(1)sin tan 2(sin cos )2245)2p l l l l l l l l pθθθθθ+++===+=+︒． 因为0090θ<≤，所以当且仅当45θ=︒时，原式有最大值2290θ=︒时，原式有最小值为2，从而1221l l l l +的取值范围为[2,22]． 2011届江苏省苏州市迎二模六校联考数学试题5.若双曲线经过点(3,2)，且渐近线方程是y=±13x ，则这条双曲线的方程是答案：2219x y -= 10.若点P 是曲线y=x 2-ln x 上的任意一点，则点P 到直线y=x-2的最小距离为12. 若过点A (a ,a )可作圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3=0的两条切线，则实数a 的取值范围是答案：3312a a <-<<或18．(本小题满分16分)已知圆C 通过不同的三点P (m ,0)、Q (2,0)、R (0,1),且圆C 在点P 处的切线的斜率为1.（1）试求圆C 的方程；（2）若点A 、B 是圆C 上不同的两点，且满足→CP •→CA=→CP •→CB ，①试求直线AB 的斜率；②②若原点O 在以AB 为直径的圆的内部，试求直线AB 在y 轴上的截距的范围。

高三数学单元练习题：解析几何第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）. 1．圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0（θ∈R ,θ≠2π＋k π，k ∈Z ）的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定的2．下列方程的曲线关于x =y 对称的是 （ ）A ．x 2－x ＋y 2＝1B ．x 2y ＋xy 2＝1C ．x －y =1D ．x 2－y 2＝13．设动点P 在直线x =1上，O 为坐标原点．以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰Rt △OP Q ，则动点Q 的轨迹是 （ ） A ．圆 B ．两条平行直线 C ．抛物线 D ．双曲线4．已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为 （ ）A ．23B ．23 C ．26 D ．332 5．当θ是第四象限时,两直线0cos 1sin =-++a y x θθ和0cos 1=+-+b y x θ的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．重合6．抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．设直线l 过点)0,2(-，且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率是（ ）A ．1±B ．21±C ．33±D ．3±8．设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B 、，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 9．直线3+=x y 与曲线1492=-x x y 的公共点的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．已知x ，y 满足0))(1(≤+--y x y x ，则22)1()1(+++y x 的最小值是（ ）A ．0B ．21C ．22D ．211．已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，Q 、R 分别是圆41)4(22=++y x 和圆41)4(22=+-y x 上的点，则|PQ|+|PR|的最小值是 （ ）A ．89B ．85C ．10D ．912．动点P (x ,y )是抛物线y =x 2－2x －1上的点,o 为原点,op 2当x=2时取得极小值,求,op 2的最小值 （ ） Ａ．43116- Ｂ．43611+ Ｃ．43611- Ｄ．43116+第Ⅱ卷二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）. 13．将直线220x y +-=绕原点逆时针旋转90︒所得直线方程是 . 14．圆心为(1,2)且与直线51270x y --=相切的圆的方程为_____________．15．已知⊙M ：,1)2(22=-+y x Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点，求动弦AB 的中点P 的轨迹方程为 .16．如图把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8分，过每个 作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分于1P ,2P ,……7P 七个点， F 是椭圆的一个焦点，则127......PF P F P F +++=______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共74分)。

2012年高三数学大题复习题组-解析几何1、已知椭圆22132xy+=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且A C B D ⊥，垂足为P ． （1）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：220132xy+<；（2）求四边形A B C D 的面积的最小值． 证明：（1）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200021132222y x y x ++=<≤．（2）（ⅰ）当B D 的斜率k 存在且0k ≠时，B D 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132xy+=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=．设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632kx x k +=-+，21223632k x x k -=+1232BD x x k =-==+ ；因为A C 与B C 相交于点P ，且A C 的斜率为1k -，所以，221112332k AC k k⎫+⎪⎝⎭==+⨯+． 四边形A B C D 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥．当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当B D 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形A B C D 的面积4S =． 综上，四边形A B C D 的面积的最小值为9625．2、在平面直角坐标系xOy中，有一个以(10,F和(2F2的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x y 、轴的交点分别为A 、B ，且向量OM OA OB =+ 。

求：（1）点M 的轨迹方程；（2）O M的最小值。

专题五：分析几何【备考策略】根据近几年高考命题特点和规律，复习本专题时，要注意以下几个方面：[来源:]1．直线的倾斜角、斜率及它们间的关系。

2．两直线平行和垂直的充要条件。

3．点到直线的距离、两平行线间的距离。

4．圆的方程（标准方程和一般方程）。

5．直线和圆的位置关系。

6．椭圆、双曲线、抛物线的定义、性质。

7．直线和圆锥曲线的位置关系，同时常和平面向量、数列、不等式结合，且每年必考。

第一讲直线和圆【最新考纲透析】1．直线和方程（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素。

（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。

（3）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。

[来源:Z_xx_]（4）掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式和一次函数的关系。

（5）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标。

（6）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。

2．圆和方程（1）掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程和一般方程。

（2）能根据给定直线、圆的方程判断直线和圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系。

（3）能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。

（4）初步了解用代数方法处理几何问题的思想。

3．空间直角在系（1）了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置。

（2）会推导空间两点间的距离公式。

【核心要点突破】要点考向1：直线的倾斜角、斜率、距离问题考情聚焦：1．直线的倾斜角、斜率、距离问题是最基本问题，是高考中常考的知识。

2．该类问题常和平面向量结合，体现知识的交汇。

3．多以选择题、填空题的形式考查，属容易题。

考向链接：1．直线的倾斜角和斜率反映了直线的倾斜程度。

已知斜率求倾斜角时，通常可以结合正切函数的图象求解，要注意当斜率的取值范围有正有负时，倾斜角是分段的，如直线斜率的范围是[-1，1]，则倾斜角的取值范围是，而不是2．对于距离要熟记有关公式，并能灵活运用。

高三数学一轮复习 解析几何单元练习题第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）. 1．圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0（θ∈R ,θ≠2π＋k π，k ∈Z ）的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定的2．下列方程的曲线关于x =y 对称的是 （ ）A ．x 2－x ＋y 2＝1B ．x 2y ＋xy 2＝1C ．x －y =1D ．x 2－y 2＝13．设动点P 在直线x =1上，O 为坐标原点．以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰Rt △OP Q ，则动点Q 的轨迹是 （ ） A ．圆 B ．两条平行直线 C ．抛物线 D ．双曲线4．已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为 （ ）A ．23B ．23 C ．26 D ．332 5．当θ是第四象限时,两直线0cos 1sin =-++a y x θθ和0cos 1=+-+b y x θ的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．重合6．抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．设直线l 过点)0,2(-，且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率是（ ）A ．1±B ．21±C ．33±D ．3±8．设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B 、，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 9．直线3+=x y 与曲线1492=-x x y 的公共点的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．已知x ，y 满足0))(1(≤+--y x y x ，则22)1()1(+++y x 的最小值是（ ）A ．0B ．21C ．22D ．211．已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，Q 、R 分别是圆41)4(22=++y x 和圆41)4(22=+-y x 上的点，则|PQ|+|PR|的最小值是 （ ）A ．89B ．85C ．10D ．912．动点P (x ,y )是抛物线y =x 2－2x －1上的点,o 为原点,op 2当x=2时取得极小值,求,op 2的最小值 （ ） Ａ．43116- Ｂ．43611+ Ｃ．43611- Ｄ．43116+第Ⅱ卷二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）. 13．将直线220x y +-=绕原点逆时针旋转90︒所得直线方程是 . 14．圆心为(1,2)且与直线51270x y --=相切的圆的方程为_____________．15．已知⊙M ：,1)2(22=-+y x Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点，求动弦AB 的中点P 的轨迹方程为 .16．如图把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8分，过每个 作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分于1P ,2P ,……7P 七个点， F 是椭圆的一个焦点，则127......PF P F P F +++=______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共74分)。

§6.3 解析几何的综合问题考点核心整合解析几何考查的重点是圆锥曲线，在历年的高考中，占解析几何总分值的四分之三以上.解析几何的综合问题也主要以圆锥曲线为载体，通常从以下几个方面进行考查：位置问题.直线与圆锥曲线的位置关系问题，是解析几何研究的重点内容.常涉及直线与曲线交点的判断、弦长、面积、对称、共线等问题.其解法是充分利用方程思想以及韦达定理. 最值问题.最值问题是从动态角度去研究解析几何中的数学问题的主要内容.其解法是设变量、建立目标函数、转化为求函数的最值.范围问题.范围问题主要是根据条件，建立含有参变量的函数关系式或不等式，然后确定参数的取值范围.其解法主要有运用圆锥曲线上点的坐标的取值范围，运用求函数的值域、最值以及二次方程实根的分布等知识.以上这些问题由于综合性较强，所以备受命题者的青睐.常用来综合考查学生在数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理等多方面的能力.考题名师诠释【例1】(浙江高考，5理)若双曲线m x 2-y 2=1上的点到左准线的距离是到左焦点距离的31,则m=( ) A.21 B.23 C.81 D.89 解析：∵到准线的距离是到左焦点距离的31，∴e=3,即mm 1 =3,∴m=81. 答案：C 【例2】已知双曲线22a x -22by =1(a ＞0,b ＞0)的左、右两个焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线左支上的一点，P 到左准线的距离为d.(1)若双曲线的一条渐近线是y=3x,问是否存在点P 使d,｜PF 1｜,｜PF 2｜成等比数列？若存在，求出P 点坐标，若不存在，说明理由；(2)在已知双曲线的左支上使d,｜PF 1｜,｜PF 2｜成等比数列的点P 存在时，求离心率e 的取值范围.解：(1)法一：由y=3x 是渐近线，得ab =3,c 2=a 2+b 2=4a 2,∴e=2,设P 点的坐标为(x 0,y 0),由双曲线的第二定义，得｜PF 1｜=ed=2d,｜PF 2｜=e(c a 2-x 0),d=-ca 2-x 0, ∴e 2d 2=d ·e(c a 2-x 0),化简得2(-2a -x 0)=2a -x 0 解得x 0=-23a ＜-a,∴点P 存在. 法二：同解法一得,｜PF 1｜=ed=2d,∴｜PF 2｜=2a+｜PF 1｜=2a+2d,又∵｜PF 1｜2=d ·｜PF 2｜，∴有4d 2=d ·(2a+2d)解得d=a,又∵d min =-c a 2-(-a)=a-c a 2=a-a a 22=2a ,d=a ＞2a , ∴存在点P ，使d,｜PF 1｜,｜PF 2｜成等比数列.(2)法一：由(1)得d=-c a 2-x 0,｜PF 1｜2=d ·｜PF 2｜∴有e 2d 2=d ·e(c a 2-x 0),∴ed=ca 2-x 0 即e(-c a 2-x 0)=(ca 2-x 0), 解得x 0=)1()1(e e e a -+≤-a,∴1＜e ≤1+2. 法二：由||||12PF PF =d PF ||1=e,可得｜PF 2｜=e ｜PF 1｜, 又｜PF 2｜-｜PF 1｜=2a,∴｜PF 1｜=12-e a ,｜PF 2｜=12-e ae . ∵｜PF 1｜+｜PF 2｜≥｜F 1F 2｜,而｜F 1F 2｜=2c=2ea, ∴1212-+-e ae e a ≥2ea, 又∵a ＞0,e ＞1,∴e 2-2e-1≤0，解得1＜e ≤1+2.法三：由(1)得e 2d 2=d(2a+ed).解得d=ee a -22≥d min =-c a 2+a, ∴有e 2-2e-1≤0，解得1＜e ≤1+2.点评：确定某几何量的值域或取值范围，一般需要建立起方程或不等式，因此，要树立用方程和不等式的解题思路.与圆锥曲线有关的参数范围问题的讨论常用的两种方法：①不等式(组)求解法；②函数值域求解法.本题要注意双曲线的离心率e ＞1,否则所得答案就不完整.【例3】(湖北黄冈、荆州高三联考)已知动点P 与双曲线22x -32y =1的两个焦点F 1、F 2的距离之和为定值2a(a ＞5)，且cos ∠F 1PF 2的最小值为-91. (1)求动点P 的轨迹方程；(2)若已知D(0，3)，M 、N 在动点P 的轨迹上，且DM =λDN ，求实数λ的取值范围.解：(1)由题意知c 2=5, 设|PF 1|+|PF 2|=2a(a ＞5)，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2 =||||102||||2||||||212212212221PF PF a PF PF F F PF PF -=-+-1. 又|PF 1|·|PF 2|≤(2||||21PF PF +)2=a 2, 当且仅当|PF 1|=|PF 2|时，|PF 1|·|PF 2|取最大值，此时cos ∠F 1PF 2取最小值22102a a --1, 令22102aa --1=-91⇒a 2=9. ∵c=5,∴b 2=4.故所求点P 的轨迹方程为92x +42y =1. (2)设N(s,t)、M(x,y)，则由DM =λDN ，可得(x,y-3)=λ(s,t-3)，故x=λs,y=3+λ(t-3),∴M 、N 在动点P 的轨迹上.故4922t s +=1且4)33(9)(22λλλ-++t s =1. 消去s 得4)33(222t t λλλ--+=1-λ2, 解得t=λλ6513-.又|t|≤2, ∴|λλ6513-|≤2.解得51≤λ≤5. 故λ的取值范围是［51，5］. 评述：本题考查了解析几何的基本方法以及解析几何与三角、不等式、向量的联系，是在知识的交汇点处命题的充分体现，体现了高考命题的方向.【例4】(2004上海高考，22)设P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),…,P n (x n ,y n )(n ≥3,n ∈N )是二次曲线C 上的点，且a 1=|OP 1|2,a 2=|OP 2|2,…,a n =|OP n |2构成了一个公差为d(d ≠0)的等差数列，其中O 是坐标原点，记S n =a 1+a 2+…+a n .(1)若C 的方程为2510022y x +=1,n=3,点P 1(10，0)且S 3=255，求点P 3的坐标；(只需写出一个) (2)若C 的方程为22a x +22by =1(a ＞b ＞0)，点P 1(a,0)，对于给定的自然数n ，当公差d 变化时，求S n 的最小值.(1)解：a 1=|OP 1|2=100,由S 3=23(a 1+a 3)=255,得 a 3=|OP 3|2=70.由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,70,12510023232323y x y x 解得⎪⎩⎪⎨⎧==.10,602323y x ∴点P 3的坐标为(215，10).(2)解法一：原点O 到二次曲线C:22a x +22by =1(a ＞b ＞0)上各点的最小距离为b ，最大距离为a. ∵a 1=|OP 1|2=a 2,∴d ＜0，且a n =|OP n |2=a 2+(n-1)d ≥b 2. ∴122--n a b ≤d ＜0. ∵n ≥3,2)1(-n n ＞0, ∴S n =na 2+2)1(-n n d 在［122--n a b ,0］上递增. 故S n 的最小值为na 2+2)1(-n n ×122--n a b =2)(22b a n +. 解法二：对每个自然数k(2≤k ≤n),由⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+,1,)1(2222222b y ax d k a y x k k k k 解得y k 2=222)1(b a d k b ---. ∵0＜y k 2≤b 2,得122--k a b ≤d ＜0,∴122--n a b ≤d ＜0. 以下与解法一相同.评述：本题主要考查了解析几何、数列、函数、不等式等基本知识，具有一定的综合性，是考查学生良好的数学思维和分析问题、解决问题能力的一道好题.链接·拓展请选定一条除椭圆外的二次曲线C 及C 上一点P 1，对于给定的自然数n,写出符合条件的点P 1,P 2,…,P n 存在的充要条件，并说明理由.解法一:若双曲线C:22a x -22by =1，点P 1(a,0),则对于给定的n ，点P 1，P 2，…，P n 存在的充要条件是d ＞0.∵原点O 到双曲线C 上各点的距离h ∈［|a|,+∞)，且|OP 1|2=a 2,∴点P 1，P 2，…，P n 存在当且仅当|OP n |2＞|OP 1|2，即d ＞0存在.解法二:若抛物线C:y 2=2px,点P 1(0,0)，则对于给定的n ，点P 1，P 2，…,P n 存在的充要条件是d ＞0.理由同上.解法三:若圆C:(x-a)2+y 2=a 2(a ≠0),点P 1(0，0)，则对于给定的n,点P 1，P 2，…，P n 存在的充要条件是0＜d ≤142-n a .。

高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9.1 直线的方程考试要求 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．知识梳理 1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α(α≠90°)． (2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)，其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式名称 方程 适用范围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含直线x ＝x 0 斜截式 y ＝kx ＋b不含垂直于x 轴的直线 两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2) 不含直线x ＝x 1 和直线y ＝y 1截距式 x a ＋y b＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用常用结论直线的斜率k与倾斜角α之间的关系α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k 0k>0不存在k<0牢记口诀：1．“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量a＝(－B，A)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(√)(2)若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α.(×)(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(×)(4)截距可以为负值．(√)教材改编题1．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A．1 B．4C．1或3 D．1或4答案 A解析 由题意得m －4－2－m＝1，解得m ＝1.2．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．x ＋y ＋1＝0答案 D解析 直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0. 3．过点P (2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________． 答案 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0解析 当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0； 当截距不为0时， 设直线方程为x a ＋ya ＝1，则2a ＋3a ＝1，解得a ＝5. 所以直线方程为x ＋y －5＝0.题型一 直线的倾斜角与斜率例1 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2 D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3答案 B解析 直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α. 由于α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]． 由于θ∈[0，π)， 所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，即倾斜角的变化范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.(2)过函数f (x )＝13x 3－x 2的图象上一个动点作函数图象的切线，则切线倾斜角的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，3π4 B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎭⎫3π4，π D.⎣⎡⎦⎤π2，3π4答案 B解析 设切线的倾斜角为α，则α∈[0，π)， ∵f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， ∴切线的斜率k ＝tan α≥－1， 则α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 教师备选1．(2022·安阳模拟)已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是( ) A ．k ≥12B ．k ≤－2C ．k ≥12或k ≤－2D ．－2≤k ≤12答案 D解析 直线l ：y ＝k (x －2)＋1经过定点P (2,1)，∵k P A ＝3－11－2＝－2，k PB ＝－1－1－2－2＝12， 又直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交， ∴－2≤k ≤12.2．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，且α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，则k 的取值范围是________． 答案 [－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1解析 当α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4时，k ＝tan α∈⎣⎡⎭⎫33，1； 当α∈⎣⎡⎭⎫2π3，π时，k ＝tan α∈[－3，0)． 综上得k ∈[－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1.思维升华 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π2，π两种情况讨论． 跟踪训练1 (1)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π答案 B解析 依题意，直线的斜率k ＝－1a 2＋1∈[－1,0)，因此其倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π. (2)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，______. 答案 13－3解析 如图，在正方形OABC 中，对角线OB 所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系．设对角线OB 所在直线的倾斜角为θ，则tan θ＝2，由正方形的性质可知，直线OA 的倾斜角为θ－45°，直线OC 的倾斜角为θ＋45°，故k OA ＝tan(θ－45°)＝tan θ－tan 45°1＋tan θtan 45°＝2－11＋2＝13， k OC ＝tan(θ＋45°)＝tan θ＋tan 45°1－tan θtan 45°＝2＋11－2＝－3. 题型二 求直线的方程例2 求满足下列条件的直线方程：(1)经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍； (2)经过点B (3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 解 (1)当直线不过原点时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0； 当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ， 则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0. (2)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)．所求直线的方程为 x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.教师备选1．已知A (－1,1)，B (3,1)，C (1,3)，则△ABC 的边BC 上的高所在的直线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y ＋2＝0 D ．x －y ＝0答案 B解析 因为B (3,1)，C (1,3)，所以k BC ＝3－11－3＝－1，故BC 边上的高所在直线的斜率k ＝1，又高线经过点A (－1,1)，所以其所在的直线方程为x －y ＋2＝0.2．已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( ) A ．x ＋y －3＝0 B ．x －3y －2＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y －6＝0 答案 D解析 设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝k ＝2，直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k ′＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2＋11－2×1＝－3， 又点M (2,0)，所以y ＝－3(x －2)，即3x ＋y －6＝0. 思维升华 求直线方程的两种方法(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．跟踪训练2 (1)已知△ABC 的三个顶点坐标为A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的方程为( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x －y －12＝0C ．2x ＋y －8＝0D ．2x －y ＋8＝0答案 C解析 由题知M (2,4)，N (3,2)，中位线MN 所在直线的方程为y －42－4＝x －23－2，整理得2x ＋y －8＝0.(2)过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为______________． 答案 x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0 解析 由题意可设直线方程为x a ＋yb ＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b＝1，解得a ＝b ＝3或a ＝4，b ＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0.题型三 直线方程的综合应用例3 已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程． 解 方法一 设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k <0)， 则A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )， S △AOB ＝12(1－2k )·⎝⎛⎭⎫2－1k ＝12⎣⎡⎦⎤4＋－4k ＋⎝⎛⎭⎫－1k ≥12×(4＋4)＝4， 当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立．故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.方法二 设直线l ：x a ＋yb ＝1，且a >0，b >0，因为直线l 过点M (2,1)， 所以2a ＋1b ＝1，则1＝2a ＋1b≥22ab，故ab ≥8， 故S △AOB 的最小值为12×ab ＝12×8＝4，当且仅当2a ＝1b ＝12时取等号，此时a ＝4，b ＝2，故直线l 的方程为x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.延伸探究 1.在本例条件下，当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程． 解 由本例方法二知，2a ＋1b＝1，a >0，b >0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝3＋a b ＋2ba≥3＋22，当且仅当a ＝2＋2，b ＝1＋2时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x ＋2y ＝2＋ 2.2．本例中，当|MA |·|MB |取得最小值时，求直线l 的方程． 解 方法一 由本例方法一知A ⎝⎛⎭⎫2k －1k ，0，B (0,1－2k )(k <0)．所以|MA |·|MB |＝1k 2＋1·4＋4k 2 ＝2×1＋k 2|k |＝2⎣⎡⎦⎤－k ＋1－k ≥4.当且仅当－k ＝－1k ，即k ＝－1时取等号．此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.方法二 由本例方法二知A (a ,0)，B (0，b )，a >0，b >0，2a ＋1b ＝1.所以|MA |·|MB |＝|MA →|·|MB →| ＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5 ＝2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0. 教师备选如图所示，为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪，但△EF A 内部为文物保护区，不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解 如图所示，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则E (30,0)，F (0,20)，∴直线EF 的方程为x 30＋y20＝1.易知当矩形草坪的两邻边在BC ，CD 上，且一个顶点在线段EF 上时，可使草坪面积最大，在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ， 设矩形PQCR 的面积为S ， 则S ＝|PQ |·|PR |＝(100－m )(80－n )， 又m 30＋n20＝1(0≤m ≤30)， ∴n ＝20－23m ，∴S ＝(100－m )⎝⎛⎭⎫80－20＋23m ＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30)，∴当m ＝5时，S 有最大值，此时|EP ||PF |＝5，∴当矩形草坪的两邻边在BC ，CD 上，一个顶点P 在线段EF 上，且|EP |＝5|PF |时，草坪面积最大．思维升华 直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决． 跟踪训练3 已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程． (1)证明 直线l 的方程可化为 k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴无论k 取何值，直线l 总经过定点(－2,1)． (2)解 由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <－2，1＋2k >1， 解得k >0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞)． (3)解 由题意可知k ≠0，再由l 的方程， 得A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0， 解得k >0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·1＋2k 2k＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4 ≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.课时精练1．已知直线l 过点(－2,1)，且倾斜角是π2，则直线l 的方程是( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．y ＝－12xC ．x ＋2＝0D ．y －1＝0答案 C解析 由于直线l 过点(－2,1)，且倾斜角是π2，则直线l 的方程为x ＝－2，即x ＋2＝0.2．(2022·清远模拟)倾斜角为120°且在y 轴上的截距为－2的直线方程为( ) A ．y ＝－3x ＋2 B ．y ＝－3x －2 C ．y ＝3x ＋2 D ．y ＝3x －2答案 B解析 斜率为tan 120°＝－3，利用斜截式直接写出方程，即y ＝－3x －2. 3．直线l 经过点(1，－2)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为( ) A ．x －y －1＝0或x －2y ＝0 B ．x ＋y ＋1＝0或x ＋2y ＝0 C ．x －y ＋1＝0或2x －y ＝0 D ．x ＋y ＋1＝0或2x ＋y ＝0 答案 D解析 若直线l 过原点， 设直线l 的方程为y ＝kx ， 则k ＝－2，此时直线l 的方程为y ＝－2x ， 即2x ＋y ＝0； 若直线l 不过原点， 设直线l 的方程为x a ＋ya ＝1，则1a －2a ＝1，解得a ＝－1， 此时直线l 的方程为x ＋y ＋1＝0.综上所述，直线l的方程为x＋y＋1＝0或2x＋y＝0.4．若直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，则有()A．a>0，c>0 B．a>0，c<0C．a<0，c>0 D．a<0，c<0答案 A解析因为直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，所以直线的斜率a>0，在y轴上的截距c>0. 5．(2022·衡水模拟)1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为()A．0°B．1°C．2°D．3°答案 C解析∵O，O3都为五角星的中心点，∴OO3平分第三颗小星的一个角，又五角星的内角为36°，可知∠BAO3＝18°，过O3作x轴的平行线O3E，如图，则∠OO 3E ＝α≈16°，∴直线AB 的倾斜角为18°－16°＝2°.6．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( ) A ．－1<k <15B ．k >1或k <12C ．k >1或k <15D ．k >12或k <－1答案 D解析 设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k<3，解不等式可得k >12或k <－1.7．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( ) A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞) 答案 C解析 令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ， 所以所求三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，14b 2≤1， 所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．8．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴与y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析 因为直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)， 当x ＝0时，y ＝a ，当y ＝0时，x ＝b ，所以该直线在x 轴与y 轴上的截距分别为b ，a ， 又直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)， 所以a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．所以直线在x 轴与y 轴上的截距之和的最小值为4.9．过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________． 答案 5x ＋3y ＝0或x －y ＋8＝0解析 ①当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ，即5x ＋3y ＝0；②当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a ，代入点(－3,5)，得a ＝－8，即直线方程为x －y ＋8＝0.综上，直线方程为5x ＋3y ＝0或x －y ＋8＝0.10．直线l 过(－1，－1)，(2,5)两点，点(1 011，b )在l 上，则b 的值为________． 答案 2 023解析 直线l 的方程为y －－15－－1＝x －－12－－1，即y ＋16＝x ＋13，即y ＝2x ＋1. 令x ＝1 011，得y ＝2 023， ∴b ＝2 023.11．设直线l 的方程为2x ＋(k －3)y －2k ＋6＝0(k ≠3)，若直线l 的斜率为－1，则k ＝________；若直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和等于0，则k ＝______. 答案 5 1解析 因为直线l 的斜率存在，所以直线l 的方程可化为y ＝－2k －3x ＋2，由题意得－2k －3＝－1，解得k ＝5.直线l 的方程可化为x k －3＋y2＝1，由题意得k －3＋2＝0，解得k ＝1.12．已知点M 是直线l ：y ＝3x ＋3与x 轴的交点，将直线l 绕点M 旋转30°，则所得到的直线l ′的方程为________________________． 答案 x ＝－3或y ＝33(x ＋3) 解析 在y ＝3x ＋3中，令y ＝0，得x ＝－3，即M (－3，0)．因为直线l 的斜率为3，所以其倾斜角为60°.若直线l 绕点M 逆时针旋转30°，则得到的直线l ′的倾斜角为90°，此时直线l ′的斜率不存在，故其方程为x ＝－3；若直线l 绕点M 顺时针旋转30°，则得到的直线l ′的倾斜角为30°，此时直线l ′的斜率为tan 30°＝33，故其方程为y ＝33(x ＋3)．13．直线(1－a 2)x ＋y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫π4，π2 B.⎣⎡⎭⎫0，3π4 C.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，πD.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4 答案 C解析 直线的斜率k ＝－(1－a 2)＝a 2－1， ∵a 2≥0，∴k ＝a 2－1≥－1. 倾斜角和斜率的关系如图所示，∴该直线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 14．已知直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变动时，直线恒过定点( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，3 B.⎝⎛⎭⎫12，3 C.⎝⎛⎭⎫12，－3 D.⎝⎛⎭⎫－12，－3 答案 D解析 直线方程可化为2x ＋1－m (y ＋3)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0，y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝－3，∴直线恒过定点⎝⎛⎭⎫－12，－3.15．已知直线x sin α＋y cos α＋1＝0(α∈R )，则下列命题正确的是( ) A ．直线的倾斜角是π－αB ．无论α如何变化，直线始终过原点C ．直线的斜率一定存在D ．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1 答案 D解析 根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R ，所以A 不正确；当x ＝y ＝0时，x sin α＋y cos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B 不正确；当α＝π2时，直线斜率不存在，C 不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪1－sin α·⎪⎪⎪⎪1－cos α＝1|sin 2α|≥1，所以D 正确． 16．若ab >0，且A (a ,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________． 答案 16解析 根据A (a ,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋yb ＝1，又因为C (－2，－2)在该直线上， 故－2a ＋－2b＝1， 所以－2(a ＋b )＝ab . 又因为ab >0，故a <0，b <0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号，即ab 的最小值为16.。

高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9.12 圆锥曲线中的探索性与综合性问题题型一 探索性问题例1 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与C 2：y 29－x 23＝1有相同的渐近线，点F (2,0)为C 1的右焦点，A ，B 为C 1的左、右顶点．(1)求双曲线C 1的标准方程；(2)若直线l 过点F 交双曲线C 1的右支于M ，N 两点，设直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，是否存在实数λ使得k 1＝λk 2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵C 2的渐近线方程为y ＝±3x ，∴b a ＝3， ∵c ＝a 2＋b 2＝2，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线C 1的标准方程为x 2－y 23＝1. (2)由已知，A (－1,0)，B (1,0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，l 过点F (2,0)与右支交于两点，则l 斜率不为零，设l ：x ＝my ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 23＝1，x ＝my ＋2，消元得(3m 2－1)y 2＋12my ＋9＝0， ∵l 与双曲线右支交于两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－1≠0，y 1y 2＝93m 2－1<0，解得m ∈⎝⎛⎭⎫－33，33， Δ＝(12m )2－4×9(3m 2－1)＝36(m 2＋1)>0，∴y 1＋y 2＝－12m 3m 2－1，y 1y 2＝93m 2－1，∵k 1＝y 1x 1＋1，k 2＝y 2x 2－1≠0， ∴k 1k 2＝y 1x 2－1y 2x 1＋1＝y 1my 2＋1y 2my 1＋3＝my 1y 2＋y 1my 1y 2＋3y 2， ∵y 1＋y 2y 1y 2＝－12m 9＝－4m 3， ∴my 1y 2＝－34(y 1＋y 2)， ∴k 1k 2＝－34y 1＋y 2＋y 1－34y 1＋y 2＋3y 2＝14y 1－34y 2－34y 1＋94y 2 ＝－13， ∴存在λ＝－13使得k 1＝λk 2. 教师备选(2022·洛阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，点E ，F 分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O ，且△EOF 的面积为 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且点F 恰为△EAB 的垂心？若存在，求直线l 的方程，若不存在，请说明理由．解 (1)由题意可知⎩⎨⎧c a ＝33，12bc ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧ a ＝6，b ＝2，c ＝2， 所以椭圆C 的方程为x 26＋y 24＝1. (2)假设满足条件的直线l 存在，由E (0，－2)，F (2，0)，得k EF ＝2，因为点F 为△EAB 的垂心，所以AB ⊥EF ，所以k AB ＝－22， 设直线l 的方程为y ＝－22x ＋t ， 代入x 26＋y 24＝1， 得7x 2－62tx ＋6(t 2－4)＝0，Δ＝(－62t )2－4×7×6(t 2－4)＝－96t 2＋672>0，即－7<t <7，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝627t ，x 1x 2＝6t 2－47，由AF ⊥BE 得y 1x 1－2·y 2＋2x 2＝－1， 所以y 1y 2＋2y 1＋x 1x 2－2x 2＝0，将y 1＝－22x 1＋t ，y 2＝－22x 2＋t 代入上式，得3x 1x 2－2(t ＋2)(x 1＋x 2)＋(2t 2＋4t )＝0，所以3×6t 2－47－2(t ＋2)·62t 7＋(2t 2＋4t ) ＝0，所以5t 2＋t －18＝0，解得t ＝95(t ＝－2舍去)， 满足Δ>0，所以直线l 的方程为y ＝－22x ＋95. 思维升华 存在性问题的解题策略存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．跟踪训练1 (2022·南京模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝4x ，经过P (t ，0)(t >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点．(1)若t ＝4，求AP 长度的最小值；(2)设以AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，问是否存在t ，使得OM →·ON →＝－4？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设A ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，由P (4,0)，可得|AP |2＝⎝⎛⎭⎫y 204－42＋y 20 ＝y 4016－y 20＋16 ＝116(y 20－8)2＋12≥12， 当y 0＝±22时，|AP |取得最小值2 3.(2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝4x ，可得y 2－4my －4t ＝0， 即有y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，设以AB 为直径的圆上任一点Q (x ，y )，M (x 3，0)，N (x 4,0)，所以Q 的轨迹方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2t ＝4m 2＋2t ，x 1x 2＝(my 1＋t )(my 2＋t )＝m 2y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋t 2＝－4m 2t ＋4m 2t ＋t 2＝t 2.所以Q 的轨迹方程化为x 2－(4m 2＋2t )x ＋t 2＋y 2－4my －4t ＝0.令y ＝0，得x 2－(4m 2＋2t )x ＋t 2－4t ＝0.所以上式方程的两根分别为x 3，x 4，则x 3x 4＝t 2－4t .由OM →·ON →＝x 3x 4＝－4，即有t 2－4t ＝－4，解得t ＝2.所以存在t ＝2，使得OM →·ON →＝－4.题型二 圆锥曲线的综合问题例2 (2022·梅州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x ＋y ＋22－1＝0与以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)△BMN 是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为△BMN 的重心，求点B 到直线MN 的距离的取值范围．解 (1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点F 2(c ，0)，则以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆(x －c )2＋y 2＝a 2，所以圆心到直线x ＋y ＋22－1＝0的距离 d ＝|c ＋22－1|12＋12＝a ， 又椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，所以a ＝2c ，b ＝3c ， 解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设B (m ，n )，线段MN 的中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，因为O 为△BMN 的重心，则|BO |＝2|OD |＝|OA |，所以D ⎝⎛⎭⎫－m 2，－n 2， 即B 到直线MN 的距离是原点O 到直线MN 的距离的3倍．当MN 的斜率不存在时，点D 在x 轴上，所以此时点B 在长轴的端点处．由|OB |＝2，得|OD |＝1，则点O 到直线MN 的距离为1，点B 到直线MN 的距离为3. 当MN 的斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧ x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得x 1＋x 2x 1－x 24＋y 1＋y 2y 1－y 23＝0，因为D 为线段MN 的中点，所以x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n ，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m 4n ， 所以直线MN 的方程为y ＋n 2＝－3m 4n ⎝⎛⎭⎫x ＋m 2，即6mx ＋8ny ＋4n 2＋3m 2＝0，所以原点O 到直线MN 的距离d ＝4n 2＋3m 264n 2＋36m 2. 因为m 24＋n 23＝1，所以3m 2＝12－4n 2， 所以d ＝4n 2＋3m 264n 2＋36m 2＝12144＋16n 2＝39＋n 2. 因为0<n 2≤3，所以3<9＋n 2≤23，所以123≤19＋n 2<13， 所以332≤3d <3， 即点B 到直线MN 的距离的取值范围为⎣⎡⎦⎤332，3. 教师备选(2022·开封模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 是抛物线C 上一点，且满足FP →＝(0，－2)．(1)求抛物线C 的方程；(2)已知斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，求该数列的公差．解 (1)由题设知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设点P (x 0，y 0)，由FP →＝(0，－2)，即⎝⎛⎭⎫x 0－p 2，y 0＝(0，－2)， ∴x 0＝p 2，y 0＝－2，代入y 2＝2px ， 得4＝p 2，又p >0，∴p ＝2，则抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设直线l ：y ＝2x ＋m ，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，y 2＝4x ， 消去y 得4x 2＋(4m －4)x ＋m 2＝0，满足Δ＝(4m －4)2－16m 2＝－32m ＋16>0，即m <12， 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1－m ，x 1x 2＝m 24， 若|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，则|F A →|＋|FB →|＝2|FP →|，即x 1＋x 2＋2＝4，即3－m ＝4，m ＝－1.即x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14， 又∵公差d 满足2d ＝|FB →|－|F A →|＝x 2－x 1，而|x 2－x 1|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝3，∴2d ＝±3，即d ＝±32. 思维升华 圆与圆锥曲线综合问题中，圆大多数是以工具的形式出现，解决此类问题的关键是掌握圆的一些常用性质．如：圆的半径r ，弦长的一半h ，弦心距d 满足r 2＝h 2＋d 2；圆的弦的垂直平分线过圆心；若AB 是圆的直径，则圆上任一点P 有P A →·PB →＝0.跟踪训练2 (2022·鹰潭模拟)如图，O 为坐标原点，抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，A 为椭圆C 2的右顶点，椭圆C 2的长轴长为|AB |＝8，离心率e ＝12.(1)求抛物线C 1和椭圆C 2的方程；(2)过A 点作直线l 交C 1于C ，D 两点，射线OC ，OD 分别交C 2于E ，F 两点，记△OEF 和△OCD 的面积分别为S 1和S 2，问是否存在直线l ，使得S 1∶S 2＝3∶13？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)由题知，a ＝4，c a ＝12， 所以c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝23，p ＝4.所以抛物线C 1的方程为y 2＝8x ，椭圆C 2的方程为x 216＋y 212＝1. (2)由题设知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x ＝my ＋4.则⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝my ＋4⇒y 2－8my －32＝0. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－32.所以S 2S 1＝12|OC |·|OD |sin ∠COD 12|OE |·|OF |sin ∠EOF ＝|OC |·|OD ||OE |·|OF |＝|y 1|·|y 2||y E |·|y F |＝32|y E |·|y F |， 因为直线OC 的斜率为y 1x 1＝y 1y 218＝8y 1，所以直线OC 的方程为y ＝8y 1x . 由⎩⎨⎧ y ＝8y 1x ，x 216＋y 212＝1， 得y 2⎝⎛⎭⎫y 2164×16＋112＝1， 则y 2E⎝⎛⎭⎫y 2164×16＋112＝1， 同理可得y 2F⎝⎛⎭⎫y 2264×16＋112＝1， 所以y 2E ·y 2F ⎝⎛⎭⎫y 2264×16＋112⎝⎛⎭⎫y 2164×16＋112＝1， 所以y 2E ·y 2F ＝36×256121＋48m 2， 要使S 1∶S 2＝3∶13，只需322121＋48m 236×256＝⎝⎛⎭⎫1332， 解得m ＝±1，所以存在直线l ：x ±y －4＝0符合条件．课时精练1．已知椭圆C ：x 28＋y 24＝1的左、右焦点为F 1，F 2，点P 为双曲线x 24－y 24＝1上异于顶点的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A ，B 和C ，D .(1)设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1·k 2＝1；(2)是否存在常数λ，使得1|AB |＋1|CD |＝λ恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． (1)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋2，k 2＝y 0x 0－2， 因为点P 为双曲线x 24－y 24＝1上异于顶点的任意一点， 所以x 20－y 20＝4(x 0≠±2)，所以k 1k 2＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝1， 即k 1k 2＝1.(2)解 由直线PF 1的方程为y ＝k 1(x ＋2)， 代入椭圆C ：x 28＋y 24＝1， 可得(1＋2k 21)x 2＋8k 21x ＋8k 21－8＝0，所以x 1＋x 2＝－8k 212k 21＋1，x 1x 2＝8k 21－82k 21＋1， 所以|AB |＝1＋k 21x 1＋x 22－4x 1x 2＝42·k 21＋12k 21＋1， 同理可得|CD |＝42·k 22＋12k 22＋1， 因为k 1k 2＝1，可得|CD |＝42·k 21＋1k 21＋2， 则1|AB |＋1|CD |＝142·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋1k 21＋1＋k 21＋2k 21＋1 ＝328， 即存在常数λ＝328， 使得1|AB |＋1|CD |＝328恒成立． 2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实半轴长为1，且C 上的任意一点M 到C 的两条渐近线的距离的乘积为34. (1)求双曲线C 的方程；(2)设直线l 过双曲线C 的右焦点F ，与双曲线C 相交于P ，Q 两点，问在x 轴上是否存在定点D ，使得∠PDQ 的平分线与x 轴或y 轴垂直？若存在，求出定点D 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意可得a ＝1，所以双曲线C ：x 2－y 2b 2＝1， 所以渐近线方程为bx ±y ＝0，设M (x 0，y 0)， 则|bx 0－y 0|b 2＋1·|bx 0＋y 0|b 2＋1＝34， 即|b 2x 20－y 20|b 2＋1＝34， 因为M (x 0，y 0)在双曲线上，所以x 20－y 20b2＝1， 即b 2x 20－y 20＝b 2，所以b 2b 2＋1＝34， 解得b 2＝3，所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1. (2)假设存在D (t ，0)，使得∠PDQ 的平分线与x 轴或y 轴垂直，则可得k PD ＋k QD ＝0，F (2,0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，当直线l 的斜率存在时，直线l ：y ＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，3x 2－y 2＝3， 可得(3－k 2)x 2＋4k 2x －4k 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝4k 2k 2－3， x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3， 所以k PD ＋k QD ＝y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝y 1x 2－t ＋y 2x 1－t x 1x 2－t x 1＋x 2＋t 2＝0， 即k (x 1－2)(x 2－t )＋k (x 2－2)(x 1－t )＝0恒成立，整理可得k [2x 1x 2－(t ＋2)(x 1＋x 2)＋4t ]＝0，所以k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×4k 2＋3k 2－3－t ＋2×4k 2k 2－3＋4t ＝0， 即2×4k 2＋3k 2－3－(t ＋2)×4k 2k 2－3＋4t ＝0， 所以8k 2＋6－4k 2(t ＋2)＋4t (k 2－3)＝0，所以6－12t ＝0，解得t ＝12， 当直线l 的斜率不存在时，t ＝12也满足题意． 所以存在点D ⎝⎛⎭⎫12，0，使得∠PDQ 的平分线与x 轴或y 轴垂直．3．(2022·承德模拟)已知M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足：直线PM 与直线PN 的斜率之积为－14，设动点P 的轨迹为曲线C 1.抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)与C 1在第一象限的交点为A ，过点A 作直线l 交曲线C 1于点B ，交抛物线C 2于点E (点B ，E 不同于点A )．(1)求曲线C 1的方程；(2)是否存在不过原点的直线l ，使点E 为线段AB 的中点？若存在，求出p 的最大值；若不存在，请说明理由．解 (1)设动点P (x ，y )(x ≠±2)，则k PM ＝y x ＋2，k PN ＝y x －2. ∵k PM ·k PN ＝－14， ∴y x ＋2·y x －2＝－14， 即y 2x 2－4＝－14， 即x 24＋y 2＝1(x ≠±2)， ∴曲线C 1的方程为x 24＋y 2＝1(x ≠±2)． (2)设A (x 1，y 1)(x 1>0，y 1>0)，B (x 2，y 2)，E (x 0，y 0)，显然直线l 存在斜率，设l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ， 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0，∴x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 0＝－4km 1＋4k 2. 又由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋m ， 得x 2＝2p (kx ＋m )，即x 2－2pkx －2pm ＝0，∴x 1x 0＝－2pm ，∴x 1·－4km 1＋4k 2＝－2pm ⇒x 1＝p ⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k ， ∴k >0，∵⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，x 2＝2py ， 即x 2＋x 4p 2＝4， ∴p 2⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 2＋p 4⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 4p 2＝4， ∴p 2＝4⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 2＋⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 4，设⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 2＝⎝⎛⎭⎫12k ＋2k 2 ＝t ≥⎝⎛⎭⎫212k ·2k 2＝4， 当且仅当12k ＝2k ，即k ＝12时取等号， 则p 2＝4t ＋t 2＝4⎝⎛⎭⎫t ＋122－14， 当t ≥4时，⎝⎛⎭⎫t ＋122－14≥20， 当k ＝12，即t ＝4时，p 2取得最大值，最大值为15， 即p ＝55. 此时A ⎝⎛⎭⎫255，255，满足Δ>0， 故存在不过原点的直线l ，使点E 为线段AB 的中点，且p 的最大值为55.4．(2022·九江模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，P 为直线y ＝x －2上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B .当P 在y 轴上时，OA ⊥OB .(1)求抛物线C 的方程；(2)求点O 到直线AB 距离的最大值．解 (1)P 为直线y ＝x －2上的动点，当P 在y 轴上时，则P (0，－2)，由x 2＝2py (p >0)，得y ＝x 22p (p >0)， 所以y ′＝x p(p >0)， 设A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212p ，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222p ，x 1>0，x 2<0， 所以过点A 的切线方程为y －x 212p ＝x 1p(x －x 1)， 又因为点P 在过点A 的切线上，所以－2－x 212p ＝x 1p(0－x 1)， 解得x 21＝4p ，又因为OA ⊥OB ，所以直线OA 的斜率为1，所以x 1＝x 212p，解得x 1＝2p ， 解得p ＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)由(1)得抛物线的切线的斜率y ′＝x ，A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222， 所以切线P A 的方程为y －x 212＝x 1(x －x 1)， 切线PB 的方程为y －x 222＝x 2(x －x 2)， 两切线方程联立解得P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，x 1x 22，又点P 在直线y ＝x －2上，所以x 1x 22＝x 1＋x 22－2， 由题意知直线AB 的斜率一定存在，所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与抛物线的方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝2y ， 消元得x 2－2kx －2m ＝0，Δ＝4k 2＋8m >0，所以x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2m ， 所以－2m 2＝2k 2－2，即k ＋m ＝2，满足Δ>0， 所以点O 到直线AB 的距离为d ＝|m |1＋k 2＝2－k 21＋k 2＝1＋－4k ＋31＋k 2， 令t ＝－4k ＋31＋k 2， 则t ′＝2k －22k ＋11＋k 22， 令t ′＝0，得k ＝2或k ＝－12， 所以当k ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(2，＋∞)时， t ′>0，t 单调递增，当k ∈⎝⎛⎭⎫－12，2时，t ′<0，t 单调递减， 当k ＝－12时，t ＝4，当k →＋∞时，t →0且t <0， 所以t max ＝4，所以d max ＝1＋4＝5，所以点O 到直线AB 距离的最大值为 5.。