军考大纲解读——军校考试大纲[最新版]数学考点48：等比数列的性质

2024高考数学数列知识点总结与题型分析数列是高中数学中的重要内容，作为数学的一个分支，数列的掌握对于高考数学的考试非常关键。

在本文中，我们将对2024年高考数学数列的知识点进行总结，并分析可能出现的相关题型。

一、等差数列与等差数列的通项公式等差数列是数学中最常见的数列类型之一。

对于等差数列，首先要了解等差数列的概念：如果一个数列中任意两个相邻的项之差都相等，则称该数列为等差数列。

1.1 等差数列的通项公式等差数列的通项公式是等差数列中非常重要的一个公式，它可以用来求解等差数列中任意一项。

设等差数列的首项为$a_1$，公差为$d$，第$n$项为$a_n$，则等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1)d$1.2 等差数列的性质与常用公式等差数列有一些重要的性质与常用的公式，掌握这些性质与公式可以帮助我们更好地解决与等差数列相关的题目。

（1）等差数列中，任意三项可以构成一个等差数列。

（2）等差数列的前$n$项和公式为：$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$（3）等差数列的前$n$项和的差为：$S_n - S_m = (n-m+1)\frac{a_1 + a_{n+m}}{2}$二、等比数列与等比数列的通项公式等比数列也是数学中常见的数列类型之一。

与等差数列不同的是，等比数列中的任意两项的比值都相等。

2.1 等比数列的通项公式等比数列的通项公式可以用来求解等比数列中的任意一项。

设等比数列的首项为$a_1$，公比为$q$，第$n$项为$a_n$，则等比数列的通项公式为：$a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}$2.2 等比数列的性质与常用公式等比数列也有一些重要的性质与常用的公式，下面我们来了解一下：（1）等比数列中，任意三项可以构成一个等比数列。

（2）等比数列的前$n$项和公式为（$q\neq1$）：$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$（3）当公比$q \neq 1$时，等比数列的前$n$项和与第$n$项的关系为：$S_n = \frac{a_nq - a_1}{q - 1}$三、数列题型分析与解题技巧在高考数学中，对于数列的考察主要包括以下几个方面：3.1 数列的递推关系与通项公式的应用常见的数列题目往往要求我们根据已知的递推关系或者通项公式来求解数列中的某一项或者求解前$n$项的和。

军考大纲解读—军校考试大纲[最新版]数学考点248：数学归纳法应用
关键词：士兵军考张为臻军校考试士兵军考培训军考考点
适用范围
数学归纳法的适用范围仅限于与自然数有关的命题，主要是用来证明等式、整除性和某些几何命题
解题要点
数学归纳法对解题的形式要求严格，数学归纳法解题过程中，
第一步：验证n取第一个自然数时成立;张为臻博客
第二步：假设n=k时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。

最后一步总结表述。

军考大纲解读——军校考试大纲[最新版]数学考点187：分析法和综合法
关键词：军校考试张为臻军考大纲军校考试培训军考数学
(1)用综合法证明不等式：利用不等式的性质和已证明过的不等式以及函数的单调性导出待证不等式的方法叫综合法，概括为“由因导果”;
(2)用分析法证明不等式：从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分条件的方法叫分析法，概括为“执果索因”;
[知识总结] 综合法是利用某些证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立的方法,它是一种由因导果的方法.它的基础主要是均值不等式.张为臻博客
[知识总结] 分析法是一种执果索因的方法,是从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判断这些条件是否具备的问题.同时要特别注意分析法步骤的书写规范问题.。

数列04 等比数列（等比数列的通项与性质）一、具体目标：等比数列（1） 理解等比数列的概念.（2） 掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.（3） 能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题. （4） 了解等比数列与指数函数的关系.二、知识概述： 1、等比数列的概念（1）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，用q 表示 ( 0q ≠)． （2）等比数列的通项公式为11n n a a q-=，通项公式还可以写成1nn a a q q=⋅，它与指数函数x y a =有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列．（3）如果,,a G b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，且2G ab =， 进而可知与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列{}n a 中，2n n k n k a a a -+=⋅．（4）等比数列的前n 项和的公式为11(1)(1)1(1)n n a q q S q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或 11(1)1(1)n n a a qq q S na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩ , 等比数列中没有“0”的项。

用等比数列求和公式解题时，注意1q ≠与1q =两个不同的条件．2.等比数列的判定等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n ≠∈N ）或1nn a q a -=（*0,2,q n n ≠≥∈N ），数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n ≥∈N ），则数列{}n a 是等比数列. 【考点讲解】3.等比数列的性质（1）在等比数列{}n a 中，n kn k a a q-=（*,n k N ∈）（2）在等比数列{}n a 中，如果两项的序号和与另两项的序号和相等，那么，它们所对应的积相等，即若m n k l +=+（*,,,m n k l N ∈），则m n k l a a a a ⋅=⋅． （3）在等比数列{}n a 中，依次k 个项之和仍组成一个等比数列，即k S 是前k 项之和，则k S ，2k k S S -，32k k S S -，…，(1)mk m k S S --，…，也是等比数列．（4）对于正项等比数列{}n a ，取lg n n b a =，则{}n b 即为等差数列。

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一．选择题（共9小题）1．已知等差数列{}n a 中，468a a +=，则34567(a a a a a ++++=)A ．10B ．16C ．20D ．242．已知{}n a 为等差数列，若1598a a a π++=，则28cos()(a a +=)A ．12-B ．32C ．12D ．323．已知数列{}n a 是首项14a =，公比1q ≠的等比数列，且14a ，5a ，32a -成等差数列，则公比q 等于()A ．12B ．1-C ．2-D ．24．等比数列{}n a 中，5a 、7a 是函数2()43f x x x =-+的两个零点，则39a a 等于()A ．3-B ．3C ．4-D ．45．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a ≠，若533a a =，则95(S S =)A ．95B ．59C ．53D ．2756．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，26312a a +=-，1020S =，则n S 取最小值时，n 的值为()A ．2B ．3C ．4D ．57．在等差数列{}n a 中，已知35715a a a ++=，则该数列前9项和9(S =)A ．18B ．27C ．36D ．458．在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于()A ．66B ．132C ．66-D ．132-9．在等差数列{}n a 中，前n 项和n S 满足9235S S -=，则6a 的值是()A ．5B ．7C ．9D ．3二．详解题（共3小题）10.已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足*1121(2,)n n n S S S n n N +-+=+∈．（1）求证：数列{}n a 为等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设3n n n b a = ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，25a =-，612S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n s ，并求当n 取何值时n S 有最小值．12．已知各项都不相等的等差数列{}n a ，66a =，又1a ，2a ，4a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22n a n b n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．C【详解】解：等差数列{}n a 中，468a a +=，可得3746528a a a a a +=+==，可得54a =，则则3456788420a a a a a ++++=++=．故选：C ．2．A【详解】解：{}n a 为等差数列，192852a a a a a ∴+=+=，1598a a a π++= ，583a π∴=，28163a a π+=，28161cos()cos32a a π∴+==-．故选：A ．3．B【详解】解： 数列{}n a 是首项14a =，公比1q ≠的等比数列，且14a ，5a ，32a -成等差数列，513242a a a ∴=-，422(4)442(4)q q ∴=⨯-，解得1q =（舍)或1q =-．故选：B ．4．B【详解】解：5a 、7a 是函数2()43f x x x =-+的两个零点，5a ∴、7a 是方程2430x x -+=的两个根，573a a ∴= ，由等比数列的性质可得：39573a a a a == ．故选：B ．5．D【详解】解：依题意，19951553992552a a S a a a S a +⨯==+⨯，又533a a =，∴95927355S S =⨯=，故选：D ．6．C【详解】解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由26312a a +=-，1020S =，得11481210910202a d da +=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得172a d =-⎧⎨=⎩．72(1)29n a n n ∴=-+-=-．由290n a n =-，得92n．∴数列{}n a 自第5项起大于0，则n S 取最小值时，n 的值为4．故选：C ．7．D【详解】解：由等差数列的性质可得：3575153a a a a ++==，解得55a =．则该数列的前9项和1959()9452a a a +===．故选：D ．8．D【详解】解：在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，3924a a ∴+=-，∴数列{}n a 的前11项和为：1111139111111()()(24)132222S a a a a =+=+=⨯-=-．故选：D ．9．A【详解】解： 等差数列{}n a 中，前n 项和n S ，满足9235S S -=，34567896735a a a a a a a a ∴++++++==，65a ∴=，故选：A ．三．详解题（共3小题）10.【解答】解：（1）由已知，11()()1(2n n n n S S S S n +----=，*)n N ∈，即*11(2,)n n a a n n N +-=∈，且211a a -=．∴数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列．1n a n ∴=+（2）由（Ⅰ）知3(1)3n n n n b a n ==+ ，它的前n 项和为22333(1)3n n T n =++⋯++ ，（1）23132333(1)3n n T n +=++⋯++ ，（2）12341(1)(2):2233333(1)3n n n T n +--=++++⋯+-+ 13(13)333(1)3(331322n n n n n +-=+-+=--+- ，∴333(3244n n T n =+- ．11．【详解】解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得115254a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，得17a =-，2d =．{}n a ∴的通项公式为29n a n =-．（2）由（1）得228(4)16n S n n n =-=--，∴当4n =时，n S 取得最小值，最小值为16-．12．【详解】解：（1） 各项都不相等的等差数列{}n a ，66a =，又1a ，2a ，4a 成等比数列．∴61211156()(3)0a a d a d a a d d =+=⎧⎪+=+⎨⎪≠⎩，解得11a =，1d =，∴数列{}n a 的通项公式1(1)1n a n n =+-⨯=．（2）2222n a n n b n n =+=+ ，∴数列{}n b 的前n 项和：23(2222)2(123)n n S n =+++⋯+++++⋯+2(12)(1)2122n n n -+=+⨯-1222n n n +=-++．。

军考大纲解读——军校考试大纲[最新版]数学考点110：函数的单调性关键词：军校考试张为臻军考大纲军校考试培训军考数学单调性函数的单调性(monotonicity)也可以叫做函数的增减性。

当函数 f(x) 的自变量在其定义区间内增大(或减小)时，函数值f(x)也随着增大(或减小)，则称该函数为在该区间上具有单调性。

如果说明一个函数在某个区间D上具有单调性，则我们将D称作函数的一个单调区间，则可判断出：D⊆Q(Q是函数的定义域)。

区间D上，对于函数f(x)，∀(任取值)x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1) >f(x2)。

或，∀ x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1)函数图像一定是上升或下降的。

该函数在E⊆D上与D上具有相同的单调性。

单调函数一般地，设一连续函数 f(x) 的定义域为D，则如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1) >f(x2)，即在D上具有单调性且单调增加，那么就说f(x) 在这个区间上是增函数。

相反地，如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1)则增函数和减函数统称单调函数。

性质图象性质函数图象函数单调性的几何特征：在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。

当x1 < x2时，都有f(x1)当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2) 。

如上图右所示，对于该特殊函数f(x)，我们不说它是增函数或减函数，但我们可以说它在区间 [x1，x2]上具有单调性。

运算性质f(x)与f(x)+a具有相同单调性;f(x)与 g(x) = a·f(x)在 a>0 时有相同单调性，当 a<0 时，具有相反单调性;当f(x)、g(x)都是增(减)函数时，若f(x)·g(x)都恒大于零，则同为增(减)函数;若两者都恒小于零，则都是减(增)函数;两个增函数之和仍为增函数;增函数减去减函数为增函数;两个减函数之和仍为减函数;减函数减去增函数为减函数;函数值在区间内同号时，增(减)函数的倒数为减(增)函数。

军考大纲解读——军校考试大纲[最新版]数学考点166：空间向量的线性运算及其坐标表示关键词：军校考试张为臻军考大纲军校考试培训军考数学
1.空间向量的加减和数乘
加减法：三角形法则及平行四边形法则、其满足的运算规律有交换率和结合率。

向量与数的乘法：.其满足的运算规律有结合率、分配率.设表示与非零向量a同方
向的单位向量，那么。

定理1：设向量a≠0，那么，向量b平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，使b=。

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2.空间向量的加减和数乘的坐标表示
设a=(a1，a2，a3，b=(b1，b2，b3，则
(1a+b=(a1+b1，a2+b2，a3+b3;
(2a-b=(a1-b1，a2-b2，a3-b3;
(3λa=(λa1，λa2，λa3;
(4a∥b( b≠0⇔.。

第三节等比数列课程标准1.理解等比数列的概念并掌握其通项公式与前n项和公式.2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.3.体会等比数列与指数函数的关系.考情分析考点考法:高考命题常以等比数列为载体,考查基本量的运算、求和及性质的应用.等差数列与等比数列的综合应用是高考的热点,在各个题型中均有出现.核心素养:数学建模、数学运算、逻辑推理.【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.等比数列的有关概念定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零),那么这个数列叫做等比数列通项公式设{a n}是首项为a1,公比为q的等比数列,则通项公式a n=a1q n-1.推广:a n=a m q n-m(m,n∈N*)等比中项如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.此时,G2=ab【微点拨】(1)等比数列中不含有0项;(2)同号的两个数才有等比中项,且等比中项有两个,它们互为相反数.2.等比数列的前n项和公式【微点拨】在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误.3.等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为a n=1·q n,而y=1·q x(q≠1)是一个不为0的常数1与指数函数q x的乘积,从图象上看,表示数列1·q n中的各项的点是函数y=1·q x的图象上孤立的点.4.等比数列的性质(1)对任意的正整数m,n,p,q,若m+n=p+q,则a m·a n=a p·a q.特别地,若m+n=2p,则a m·a n=2.(2)若等比数列前n项和为S n,则S m,S2m-S m,S3m-S2m仍成等比数列(公比q≠-1).(3)数列{a n}是等比数列,则数列{pa n}(p≠0,p是常数)也是等比数列.(4)在等比数列{a n}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即a n,a n+k,a n+2k,a n+3k,…为等比数列,公比为q k.(5)等比数列{a n}的单调性:当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,数列{a n}是递增数列;当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,数列{a n}是递减数列;当q=1时,数列{a n}是常数列.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12341.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是()A.满足a n+1=qa n(n∈N*,q为常数)的数列{a n}为等比数列B.三个数a,b,c成等比数列的必要不充分条件是b2=acC.数列{a n}的通项公式是a n=a n,则其前n项和为S n=(1-)1-D.如果数列{a n}为正项等比数列,则数列{ln a n}是等差数列【解析】选BD.A中q不能为0;B中当a=b=c=0时满足b2=ac,但不是等比数列;C 中a=1时不成立;D中,a n>0,设a n=a1q n-1,则ln a n=ln a1+(n-1)ln q,{ln a n}是等差数列.2.(选择性必修第二册P29例1·变形式)若{a n}是各项均为正数的等比数列,且a1=1,a5=16,则a6-a5=()A.32B.-48C.16D.-48或16【解析】选C.由题意,q>0,则q=2,所以a6-a5=a5(q-1)=16.3.(忽视前n项和的条件致误)等比数列{a n}中,a3=6,前三项和S3=18,则公比q的值为()A.1B.-12C.1或-12D.-1或-12【解析】选C.因为S3=18,a3=6,所以a1+a2=32(1+q)=12,故2q2-q-1=0,解得q=1或q=-12.4.(2023·全国乙卷)已知{a n}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7=________.【解析】设{a n}的公比为q(q≠0),则a2a4a5=a3a6=a2q·a5q,显然a n≠0,则a4=q2,即a1q3=q2,则a1q=1.因为a9a10=-8,则a1q8·a1q9=-8,则q15=(5)3=-8=(-2)3,则q5=-2,则a7=a1q·q5=q5=-2.答案:-2【巧记结论·速算】1.若{a n},{b n}(项数相同)是等比数列,则{λa n}(λ≠0),{1},{2},{a n·b n数列.2.当{a n}是等比数列且q≠1时,S n=11--11-·q n=A-A·q n.【即时练】1.设n∈N*,则“数列{a n}为等比数列”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.充分性:若数列为等比数列,公比为q,为公比为12的等比数列,充分性成立;必要性:,公比为q,则-1=±所以数列不是等比数列,必要性不成立.2.已知数列{a n}的前n项和S n=22n+1+a,若此数列为等比数列,则a=________.【解析】因为数列的前n项和S n=22n+1+a=2×4n+a,所以a=-2.答案:-2【核心考点·分类突破】考点一等比数列基本量的计算[例1](1)(一题多法)记S n为等比数列{a n}的前n项和,若a5-a3=12,a6-a4=24,则=()A.2n-1B.2-21-nC.2-2n-1D.21-n-1【解析】选B.方法一:设等比数列{a n}的公比为q,则由5-3=14-12=12,6-4=15-13=24,解得1=1,=2,所以S n=1(1-)1-=2n-1,a n=a1q n-1=2n-1,所以=2-12-1=2-21-n.方法二:设等比数列{a n}的公比为q,因为6-45-3=4(1-2)3(1-2)=43=2412=2,所以q=2,所以=1(1-)1-1-1=2-12-1=2-21-n.(2)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,若a3a11=232,且S8+S24=mS16,则m=()A.-4B.4C.-83D.83【解析】选D.因为a3a11=232,且a n≠0,所以a11=2a3即a1q10=2a1q2,解得q8=2或q=0(舍去),因为S 8+S 24=mS 16,所以1(1-8)1-+1(1-24)1-=m ·1(1-16)1-,又因为q 8=2,a 1≠0,所以-8=-3m ,解得m =83.【解题技法】等比数列基本量的计算(1)等比数列中有五个量a 1,n ,q ,a n ,S n ,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求解;(2)注意观察条件转化式的特点,尽量采用整体消元、代入的方法简化运算,如两式相除就是等比数列中常用的运算技巧.【对点训练】1.已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15,且a 5=3a 3+4a 1,则a 3=()A .16B .8C .4D .2【解析】选C .设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q ,则1+1+12+13=15,14=312+41,解得1=1=2,所以a 3=a1q 2=4.2.已知{a n }是首项为1的等比数列,S n 是{a n }的前n 项和,且9S 3=S 6,5项和为()A .158或5B .3116或5C .3116D .158【解析】选C .若q =1,则由9S 3=S 6,得9×3a 1=6a 1,则a 1=0,不满足题意,故q ≠1.由9S 3=S 6,得9×1(1-3)1-=1(1-6)1-,解得q =2.故a n =a 1q n-1=2n -1,1=(12)n -1.1为首项,以12为公比的等比数列,所以5项和为T 5=1×[1-(12)5]1-12=3116.【加练备选】设公比为q(q>0)的等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则q=()A.32B.12C.23D.2【解析】选A.因为在等比数列中,S2=3a2+2,S4=3a4+2,所以S4-S2=a3+a4=3(a4-a2),所以a2(q+q2)=3a2(q2-1),又a2≠0,所以q+q2=3(q2-1),即2q2-q-3=0,又q>0,所以q=32.考点二等比数列的判定与证明[例2]已知数列{a n}中,a1=1且2a n+1=6a n+2n-1(n∈N*),(1)求证:数列+;(2)求数列{a n}的通项公式.【解析】(1)因为2a n+1=6a n+2n-1(n∈N*),所以a n+1=3a n+n-12,所以r1+r12+2=3+-12+r12+2=3+32+2=3,因为a1+12=1+12=32,所以数列+2是首项为32,公比为3的等比数列.(2)由(1)得,a n+2=32×3n-1=12×3n,所以a n=12×3n-2.【解题技法】等比数列的判定方法定义法若a n+1a n=q(q为非零常数,n∈N*)或-1=q(q为非零常数且n≥2,n∈N*),则{a n}是等比数列等比中项法若数列{a n}中,a n≠0且r12=a n·+2(n∈N*),则{a n}是等比数列【对点训练】数列{a n}中,a1=2,a n+1=r12a n(n∈N*).证明数列{}是等比数列,并求数列{a n}的通项公式.【解析】由题设得r1r1=12·,又11=2,所以数列{}是首项为2,公比为12的等比数列,所以=2×(12)n-1=22-n,a n=n·22-n=42.【加练备选】成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n}中的b3,b4,b5.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)数列{b n}的前n项和为S n,求证:数列{S n+54}是等比数列.【解析】(1)设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d,依题意,得a-d+a+a+d=15,解得a=5.所以数列中的b3,b4,b5依次为7-d,10,18+d.依题意,有(7-d)(18+d)=100,解得d=2或d=-13(舍去),故数列的第3项为5,公比为2.由b 3=b 1·22,即5=b 1·22,解得b 1=54.所以数列是以54为首项,以2为公比的等比数列,其通项公式为b n =54·2n -1=5·2n -3.(2)数列的前n 项和S n =54(1-2)1-2=5·2n -2-54,即S n +54=5·2n -2,所以S 1+54=52,r1+54+54=5·2-15·2-2=2.因此{S n +54}是以52为首项,以2为公比的等比数列.考点三等比数列性质的应用【考情提示】等比数列的性质作为解决等比数列问题的工具,因其考查数列知识较全面而成为高考命题的热点,重点解决基本量运算、条件转化等.角度1等比数列项的性质[例3]已知各项均为正数的等比数列的前n 项和为S n ,a 2a 4=9,9S 4=10S 2,则a 2+a 4的值为()A .30B .10C .9D .6【解析】选B .已知为各项均为正数的等比数列,则a n >0,可得a 1>0,q >0,因为32=a 2a 4=9,所以a 3=3,又因为9S 4=10S 2,则9(a 1+a 2+a 3+a 4)=10(a 1+a 2),可得9(a 3+a 4)=a 1+a 2,所以3+41+2=q 2=19,解得q =13,故a 2+a 4=3+a 3q =10.角度2等比数列前n 项和的性质[例4]已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n,且S8-2S4=5,则a9+a10+a11+a12的最小值为()A.10B.15C.20D.25【解析】选C.由题意可得a9+a10+a11+a12=S12-S8,由S8-2S4=5,可得S8-S4=S4+5.又由等比数列的性质知S4,S8-S4,S12-S8成等比数列,则S4(S12-S8)=(S8-S4)2.于是a9+a10+a11+a12=S12-S8=(4+5)24=S4+254+10≥2当且仅当S4=5时等号成立.所以a9+a10+a11+a12的最小值为20.角度3等比数列的单调性[例5]已知{a n}是等比数列,a1>0,前n项和为S n,则“2S8<S7+S9”是“{a n}为递增数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.因为数列是等比数列,a1>0,2S8<S7+S9,所以a8<a9,所以q7<q8,所以q7(q-1)>0,所以q<0或q>1,所以2S8<S7+S9的充要条件为q<0或q>1.又a1>0,数列为递增数列的充要条件为q>1,所以“2S8<S7+S9”是“为递增数列”的必要不充分条件.【解题技法】1.应用等比数列性质的两个关注点(1)转化意识:在等比数列中,两项之积可转化为另外两项之积或某项的平方,这是最常用的性质.(2)化归意识:把非等比数列问题转化为等比数列问题解决,例如有关S m,S2m,S3m的问题可利用S m,S2m-S m,S3m-S2m(S m≠0)成等比数列求解.2.等比数列的单调性的应用方法研究等比数列的单调性问题,要综合考虑首项的符号以及公比的取值范围,而涉及等比数列有关的单调性的充分必要条件问题,既要考虑数列的单调性也要善于举反例说明.【对点训练】1.设单调递增的等比数列{a n}满足12+14=1336,a1a5=36,则公比q=()A.32B.94C.2D.52【解析】选A.因为数列{a n}为等比数列,所以a1a5=a2a4=36,所以12+14=2+424=2+436=1336,则a2+a4=13,又数列{a n}单调递增,所以q>1,解得a2=4,a4=9,则q2=94,因为q>1,所以q=32.2.设无穷等比数列{a n}的前n项和为S n,若-a1<a2<a1,则()A.{S n}为递减数列B.{S n}为递增数列C.数列{S n}有最大项D.数列{S n}有最小项【解析】选D.由-a1<a2<a1可得a1>0,所以q=21<1,因为-a1<a2得q=21>-1,所以-1<q<1,因为S n=1(1-)1-,当0<q<1时,{S n}递增,当-1<q<0时,{S n}既有递增又有递减,A,B错误;当0<q<1时,S n有最小项S1,没有最大项,当-1<q<0时,a1>0,a2<0,a3>0,a4<0且a3+a4>0,S n有最小项S2,没有最大项,C错误,D 正确.3.设等比数列{a n}的前n项和为S n.若a n>0,S3=5,a7+a8+a9=20,则S15=________.【解析】由等比数列的性质可知S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9,S15-S12是等比数列,由条件可知S3=5,S9-S6=20,则此等比数列的公比q2=205=4,又a n>0,所以q=2,S15=S3+(S6-S3)+(S9-S6)+(S12-S9)+(S15-S12),所以S15=5(1-25)1-2=155.答案:155。