天津市2018_2019学年高一数学第一章三角函数4.3单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质

4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4．4 单位圆的对称性与诱导公式(一)内容要求 1.会利用单位圆探究正弦函数、余弦函数的基本性质，并能初步运用性质解决相关问题(重点).2.了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用.3.理解诱导公式的推导过程(重点).4.能运用有关诱导公式解决一些正弦函数、余弦函数的求值、化简和证明问题(难点)．知识点1 单位圆与正弦函数、余弦函数的性质(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦函数y ＝sin x 与余弦函数y ＝cos x 的定义域都是R .(√) (2)函数y ＝sin x 在[0，π]上是单调减函数．(×) (3)函数y ＝cos x 在[0，π]上的值域是[0,1]．(×) (4)函数y ＝sin x 的最大值为1，最小值为－1.(√) 知识点2 2k π±α，－α，π±α(k ∈Z )的诱导公式 对任意角α，有下列关系式成立：sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2k π＋α)＝cos α.(1.8) sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α.(1.9) sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α.(1.10) sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α.(1.11) sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α.(1.12)这五组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号． 【预习评价】1．视α为锐角，则诱导公式中各角所在象限是什么？试完成下表.2.设αα的终边有怎样的对应关系？试完成下表.题型一 正弦函数、余弦函数的定义域问题 【例1】 求下列函数的定义域： (1)y ＝4－cos x ； (2)y ＝2sin x ＋1.解 (1)由y ＝4－cos x 知定义域为R .(2)由题意知2sin x ＋1≥0，即sin x ≥－12在一周期⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2内满足上述条件的角为x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π6，由此可以得到函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋7π6(k ∈Z )．规律方法 利用单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质可求一些复合函数的定义域与单调区间，正弦函数、余弦函数的定义域是研究其他一切性质的前提，要树立定义域优先的意识．求正弦函数、余弦函数定义域实际上是解简单的三角不等式． 【训练1】 (1)函数y ＝12＋cos x的定义域为________．(2)函数y ＝ln sin x 的定义域为________． 解析 (1)由2＋cos x ≠0知cos x ≠－2， 又由cos x ∈[－1,1]，故定义域为R .(2)由题意知sin x ＞0.又y ＝sin x 在[0,2π]内sin x ＞0满足0＜x ＜π，∴定义域为(2k π，2k π＋π)(k ∈Z )．答案 (1)R (2)(2k π，2k π＋π)(k ∈Z ) 题型二 正弦函数、余弦函数的值域问题 【例2】 求下列函数的值域：(1)y ＝(sin x －2)2＋1；(2)y ＝m sin x ＋n (m ≠0)． 解 (1)设t ＝sin x ，则有y ＝(t －2)2＋1，t ∈[－1,1]， ∴当t ＝－1时 ，y ＝(t －2)2＋1取得最大值10； 当t ＝1时，y ＝(t －2)2＋1取得最小值2， ∴y ＝(sin x －2)2＋1的值域为[2,10]． (2)∵sin x ∈[－1,1]，且m ≠0，∴当m ＞0时，y ＝m sin x ＋n 的值域是[n －m ，n ＋m ]； 当m ＜0时，y ＝m sin x ＋n 的值域是[n ＋m ，n －m ]．综上可知，函数y ＝m sin x ＋n (m ≠0)的值域是[n －|m |，n ＋|m |]．规律方法 求与正弦函数与余弦函数有关的值域问题时要注意换元法与分类讨论思想的应用．【训练2】 求y ＝13cos x ，x ∈[π2，3π4]的最大值．解 结合单位圆知y ＝13cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4上y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，0.故最大值为0，即y max ＝13cosπ2＝0.方向1 给角求值问题【例3－1】 求下列三角函数的值：(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－194π；(2)cos 960°.解 (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－194π＝－sin 194π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋34π ＝－sin 34π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＝－sin π4＝－22.(2)cos 960°＝cos(240°＋2×360°)＝cos 240° ＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.方向2 给值求值问题【例3－2】 已知sin(α－75°)＝－223，求sin(105°＋α)的值．解 sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)] ＝－sin(α－75°)＝223.方向3 化简问题 【例3－3】 化简1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立).解 原式＝1＋360°－＋＋＋＋＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1. 规律方法 1.解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 2．化简三角函数式的策略(1)化简时要使函数类型尽量少，角的弧度数(或角度数)的绝对值尽量小，特殊角的正弦、余弦函数要求出值．(2)要认真观察有关角之间的关系，根据需要合理选择诱导公式变角.课堂达标1．sin 585°的值为( ) A ．－22 B.22 C ．－32D.32解析 s in 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°) ＝－sin 45°＝－22. 答案 A2．若sin x ＝2m ＋3，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6，则m 的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－74，－54D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－74，12解析 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6，∴结合单位圆知sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，即－12≤2m ＋3≤12.∴－74≤m ≤－54.答案 C3．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称 .若sin α＝13，则sin β＝________．解析 α与β的终边关于y 轴对称，则α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ，∴β＝π－α＋2k π，k ∈Z .∴sin β＝sin(π－α＋2k π)＝sin α＝13.答案 134．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－θ＝________.解析 cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝－33.答案 －335．化简：＋αα＋－α－－180°－α. 解 原式＝－cos αα[－α＋＋α＝sin αcos αα＋＋α＝sin αcos α－sin α－cos α＝1.课堂小结1．求正弦函数、余弦函数的定义域、值域时要注意数形结合思想的运用，同时注意周期性在求解时的作用． 2．明确各诱导公式的作用(1)将角转化为0～2π之间的角求值；(2)将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值；(3)将负角转化为正角求值． 3．诱导公式的记忆诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.基础过关1．cos 660°的值为( ) A ．－12B.12 C ．－32D.32解析 cos 660°＝cos(360°＋300°)＝cos 300° ＝cos(180°＋120°)＝－cos 120°＝－cos(180°－60°) ＝cos 60°＝12.答案 B2．若sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则θ在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 ∵sin(θ＋π)＝－sin θ<0，∴sin θ>0.∵cos(θ－π)＝cos(π－θ)＝－cos θ>0，∴cos θ<0，∴θ为第二象限角． 答案 B 3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋α＝32，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－α的值为( )A.12 B ．－12C.32D ．－32解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋α＝－32.答案 D4．函数y ＝2－sin x 的最小正周期为________．解析 因为2－sin(2π＋x )＝2－sin x ，所以y ＝2－sin x 的最小正周期为2π. 答案 2π5．f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数．若f (2 016)＝1，则f (2 017)＝________.解析 ∵f (2 016)＝a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＋2＝a sin α＋b cos β＋2＝1，∴a sin α＋b cos β＝－1.f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β)＋2＝－(a sin α＋b cos β)＋2＝－(－1)＋2＝3. 答案 36．化简下列各式． (1)sin(－193π)cos 76π；(2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°)． 解 (1)sin(－193π)cos 76π＝－sin(6π＋π3)cos(π＋π6)＝sin π3cos π6＝34.(2)sin(－960°)cos 1 470°－cos 240°sin(－210°) ＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°) ＋cos(180°＋60°)sin(180°＋30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝1.7．(1)已知函数y ＝a cos x ＋b 的最大值是0，最小值是－4，求a 、b 的值； (2)求y ＝－2sin x ，x ∈[－16π，34π]的最大值与最小值．解 (1)当a ＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，－a ＋b ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，当a ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0，a ＋b ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝b ＝－2. (2)当x ＝－π6时，y max ＝1，当x ＝π2时，y min ＝－2.能力提升8．若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( )A.12 B ．±32C.32D.－32解析 由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，∵32π＜α＜2π，∴α＝53π. 故sin(2π＋α)＝sin α＝sin 53π＝－sin π3＝－32 (α为第四象限角)．答案 D9．在△ABC 中，给出下列四个式子：①sin(A ＋B )＋sin C ；②cos(A ＋B )＋cos C ；③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ； ④cos(2A ＋2B )＋cos 2C . 其中为常数的是( ) A ．①③ B ．②③ C ．①④D ．②④解析 ①sin(A ＋B )＋sin C ＝2sin C ； ②cos(A ＋B )＋cos C ＝－cos C ＋cos C ＝0； ③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝sin[2(A ＋B )]＋sin 2C ＝sin[2(π－C )]＋sin 2C＝sin(2π－2C )＋sin 2C ＝－sin 2C ＋sin 2C ＝0； ④cos(2A ＋2B )＋cos 2C ＝cos[2(A ＋B )]＋cos 2C ＝cos[2(π－C )]＋cos 2C＝cos(2π－2C )＋cos 2C ＝cos 2C ＋cos 2C ＝2cos 2C . 故选B. 答案 B10．下列三角函数，其中n ∈Z ，则函数值与sin π3的值相同的是________(只填序号)．①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π6；③sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3； ④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋π－π6；⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋π－π3.解析 对于①，当n ＝2m 时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m π＋4π3＝sin 4π3＝－sin π3，∴①不同；对于②，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π6＝cos π6＝sin π3，∴②，③相同；对于④，cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋π－π6＝cos 5π6＝－sin π3. ∴④不同； 对于⑤，sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋π－π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3＝sin π3，∴⑤相同． 答案 ②③⑤11．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πxx ＜，f x －－x ＞，则f (－116)＋f (116)＝________.解析 f (－116)＝sin(－116π)＝sin π6＝12，f (116)＝f (56)－1＝f (－16)－2＝sin(－π6)－2＝－52，∴f (－116)＋f (116)＝12－52＝－2.答案 －2 12．化简：k π－αk －π－α]k ＋π＋αk π＋α(k ∈Z )．解 当k ＝2n (n ∈Z )时， 原式＝n π－αn －π－α]n＋π＋αn π＋α＝－α－π－απ＋αα＝－sin α－cos α－sin αcos α＝－1；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时， 原式＝n ＋π－αn ＋1－π－α]n ＋1＋π＋αn ＋π＋α]＝π－ααsin απ＋α＝sin αcos αsin α－cos α＝－1.综上，原式＝－1.13．(选做题)若π3≤x ≤3π4，求函数y ＝sin 2x －sin x ＋1的最大值和最小值．解 令t ＝sin x .∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，3π4，结合单位圆知t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1， ∴y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，又t ＝12∉⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，∴当t ＝22时，y min ＝12－22＋1＝3－22； 当t ＝1时，y max ＝1.。