关于复数的三角不等式
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z 1ei(argz - argz 1- Α2)
这样我们完成了定理的证明.
定理 1 的几何意义是明显的: 圆环
z
z1 - z2 ≤ z ≤ z1 + z2
的 每 个 向 量 均 可 由 两 个 圆 周 C 1: =
z z = z 1 和 C 2: = z z = z 2 上
的 相应向量相加得到, 反之亦然. 结合定理 1
n
k- 1
∑ ∑ 使 z +
zj = d1
z j + d 2z k,
k+ 1
j= 1
再次运用情况 (1) 的推理, 即可完成这种情况
的证明.
综合上述, 我们可以看到, 本文对中学教
师和中学生理解复数的特征是有帮助的.
参考文献
1 W. R udin 著, 赵慈庚等译. 数学分析原理. 北京: 高等教育出版社, 1983
l≠j
在 n 个模为 1 的复数 t1, t2, …, tn, 使得
z = t1z 1 + t2z 2 + … + tnz n.
证明 我们在定理 1 的基础上进行, 不
妨设 z 1 ≥ z 2 ≥ … ≥ z n , 此时容易验证 a1 ≥ a2 ≥ … ≥ an, 于是定理 2 的条件变为
n
∑ m ax (a1 = z 1 -
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中学数学 2003 年第 7 期
课外
关于复数的三角不等式
园地
430062 湖北大学数学与计算机科学学院 沈 华
我们知道, 对于任意两个复数 z 1 和 z 2, 有 z1 - z2 ≤ z1+ z2 ≤ z1 + z2 , 这是有名的的三角不等式. 它是一个极其初 等而又重要的不等式, 在分析学里扮演着基 本的角色, 具体可见文献 [ 1 ] [ 2 ]. 根据这个不 等式, 我们容易知道, 对于任意两个模为 1 的 复数 t1 和 t2, 亦有
D 、E、F 分别为 H 在B C、CA 、A B 边所在直线
上 的 射 影, H 1、H 2、H 3 分 别 为 △A E F、
△B D F、△CD E 的垂心, 则
△D E F ≌ △H 1H 2H 3.
若以上题设不变, 则有以下推论.
推论 1 △H 1E F ≌ △D H 2H 3;
△H 2D F ≌ △E H 1H 3;
z = t1z 1 + t2z 2. 在 证明这个定理之前, 我们作如下的约 定: 对于任意非零复数 z , a rgz 表示 z 的幅角, 这样
z = z (co sa rgz + isina rgz ) = z eiargz ,
z = z (co sa rgz - isina rgz ) = z e- . iargz
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然
1<
k
≤
[n+ 21 Nhomakorabea].下面分两种情况进行讨论.
k
n
∑ ∑ (1) 若 z ≥
zj -
z j , 再结合
j= 1
j= k+ 1
定理 2 的条件可得
k
n
∑ ∑ 0 ≤
zj -
zj
j= 1
j= k+ 1
k
n
∑ ∑ ≤ z ≤
zj +
zj ,
j= 1
j= k+ 1
根据定理 1 知, 存在模等于 1 的复数 c1 和 c2, 使
k
n
∑ ∑ 得 z = c1
z j + c2
zj ,
j= 1
j= k+ 1
对 1 ≤ j ≤ k , 记 tj = c1e- , iargz j
对 k + 1 ≤ j ≤ n,
记 tj = c2e- , iargz j 明显地, tj = 1, 并且
z=
= =
k
n
∑ ∑ c1
z j + c2
zj
z1 - z2 ≤ z ≤ z1 + z2 . 当 z 2 = 0 时, 必 须 z = z 1 , 于 是 z e- iargz = z 1e- , iargz1 z = z 1e- i(argz 1- , argz) 此时结论 显然成立. 当 z = 0, 即 z = 0 时, 必须 z 1 - z 2 = 0, 即 z 1e- iargz1 - z 2e- iargz2 = 0, 此时结 论仍然成立. 下面假设 z 1 、 z 2 和 z 都大 于 0. 若 z1 - z2 = z , 则 z 1e- iargz1 - z 2e- iargz2 = z e- , iargz z = - z 1e- i(argz 1- argz ) , z 2e- i(argz 2- argz ) 此时结论是成立的. 同理可证, 当 z 1 + z 2 = z 时, 结论也是成立的. 这样我们可设
的证明思路, 我们不难给出该定理的一个几
何证明.
接下来, 我们要把定理 1 推广成如下的形
式.
定理 2 设 z 1, z 2, …, z n 和 z 是 n + 1 个复 数, 满足
n
∑ m ax{a1, a2, …, an, 0} ≤ z ≤
zj ,
j= 1
∑ 其中 a j = z j -
z l (1 ≤ j ≤ n) , 则存
z1 - z2 < z < z1 + z2 , 这时 z 1 、 z 2 和 z 可以 构 成 △A A 1A 2 的 三 条 边 ( 如图 1). 在 △A A 1A 2 中, 由正弦定理得到
z 1 sin Α2 = z 2 sin Α1. 由射影定理得到
图1
z = z 2 co sΑ1 + z 1 co sΑ2. 由上面两式组合得到
知
= S 六边形H 1FH 2D H 3E 2S △H 1H 2H 3. 由以上的三个平行四边形, 又易得 推论 3 图 1 中的 H H 1 与 E F、H H 2 与 FD 、H H 3 与 D E 相互平分. 参考文献 1 李 耀 文. 三 角 形 垂 心 的 一 个 性 质. 中 学 数 学,
z j , 0)
j= 2
n
∑ ≤ z ≤
zj .
j= 1
r
n
∑ ∑ 令 k = m in{r
zj ≥
z j }, 显
j= 1
j= r+ 1
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2003 年第 7 期 中学数学
再注意到一个明显的事实, 复数 t 的模 t = 1 当且仅当 t 可写成 t = eiΗ 的形式.
证明 假设复数 z 1、z 2 和 z 满足下面的不 等式:
z1 - z2 ≤ z ≤ z1 + z2 , 不失一般性, 可设 z 1 + z 2 > 0, 并且 z 1 ≥ z 2 , 此时该不等式化为
z 1 - z 2 ≤ t1z 1+ t2z 2 ≤ z 1 + z 2 . 现在, 我们运用三角形的正弦定理和射影定 理来分析上面的三角不等式, 首先证明下面 的
定理 1 设 z 1、z 2 和 z 是 3 个复数, 满足 z1 - z2 ≤ z ≤ z1 + z2 ,
则存在两个模为 1 的复数 t1 和 t2, 使得
z = z 2 (co sΑ1 + isinΑ1) + z 1 (co sΑ2 - isinΑ2)
= z 2 eiΑ1 + z 1 e- iΑ2 , 从而得到
z e- iargz = z 2e- iargz2 eiΑ1 + z 1e- iargz 1 e- iΑ2
= + z
z 2ei(Α1+ argz - argz 2)
j= 1
j= k+ 1
k
n
∑ ∑ c1
z j e- iargz j + c2
z j e- iargz j
j= 1
j= k+ 1
t1z 1 + t2z 2 + … + tnz n.
k
n
∑ ∑ (2) 若 z <
zj -
z j , 从定理
j= 1
j= k+ 1
2 的条件知必须 k ≥ 2, 并且
k- 1
△H 3D E ≌ △F H 1H 2.
证明 如图 1, 由定理知, E F = H 2H 3,
连 结 F H 2、H 2D 、D H 、H F、H 1E、E H 、E H 3、
H 3D , 由 三 角 形 垂 心 的 定 义, 可 知 四 边 形
FH 2D H 、四边形 FH 1E H 均为平行四边形,
n
∑ ∑ z j -
zj < 0
j= 1
j= k
k
n
∑ ∑ ≤ z <
zj -
zj ,
j= 1
j= k+ 1
这个不等式可以化为
k- 1
∑
zj -
n
∑ z k ≤ z +
zj
j= 1
j= k+ 1
k- 1
∑ ≤
zj + zk ,
j= 1
根据定理 1 知, 存在模等于 1 的复数 d 1 和 d 2,
2 D. S. M itrinovic 著, 张小萍等译. 解析不等式. 北 京: 科学出版社, 1987 (收稿日期: 20030512)
顺水 三角形垂心的一个 推舟 性质的三个推论
