复数三角不等式

三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有一个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n*22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h 斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h' 正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H 圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L 注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式;V=s*h 圆柱体V=pi*r2h。

高中数学概念公式大全一、 三角函数1、以角α的顶点为坐标原点,始边为x 轴正半轴建立直角坐标系,在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ,点P 到原点的距离记为r ,则sin α=r y ,cos α=r x ,tg α=x y ,ctg α=y x ,sec α=xr ,csc α=y r ; 2、同角三角函数的关系中,平方关系是：222222 倒数关系是：1=⋅ααctg tg ,1csc sin =⋅αα,1sec cos =⋅αα； 相除关系是：αααcos sin =tg ,αααsin cos =ctg ; 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变,符号看象限;如：=-)23sin(απαcos -,)215(απ-ctg =αtg ,=-)3(απtg αtg -; 4、函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +,最小值是A B -,周期是ωπ2=T ,频率是πω2=f ,相位是ϕω+x ,初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω,凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心;5、三角函数的单调区间：x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈,递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈,递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈,tgx y =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈,ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈;6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ±=±)cos(βαβαβαsin sin cos cos=±)(βαtg βαβαtg tg tg tg ⋅± 1 7、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2⋅cos2α=αα22sin cos -=1cos 22-α=α2sin 21-tg2α=αα212tg tg -; 8、三倍角公式是：sin3α=αα3sin 4sin 3- cos3α=ααcos 3cos 43-9、半角公式是：sin 2α=2cos 1α-± cos 2α=2cos 1α+± tg 2α=ααcos 1cos 1+-±=ααsin cos 1-=ααcos 1sin +;10、升幂公式是：2cos2cos 12αα=+ 2sin 2cos 12αα=-; 11、降幂公式是：22cos 1sin 2αα-=22cos 1cos 2αα+=; 12、万能公式：sin α=21222ααtg tg + cos α=212122ααtg tg +- tg α=21222ααtg tg - 13、sin βα+sin βα-=βα22sin sin -,cos βα+cos βα-=βα22sin cos -=αβ22sin cos -;14、)60sin()60sin(sin 400ααα+-=α3sin ；)60cos()60cos(cos 400ααα+-=α3cos ；)60()60(00ααα+-tg tg tg =α3tg ;15、ααtg ctg -=α22ctg ; 16、sin180=415-; 17、特殊角的三角函数值：18、正弦定理是其中R 表示三角形的外接圆半径：R Cc B b A a 2sin sin sin === 19、由余弦定理第一形式,2b =B ac c a cos 222-+ 由余弦定理第二形式,cosB=acb c a 2222-+ 20、△ABC 的面积用S 表示,外接圆半径用R 表示,内切圆半径用r 表示,半周长用p 表示则：① =⋅=a h a S 21；② ==A bc S sin 21； ③C B A R S sin sin sin 22=；④R abc S 4=； ⑤))()((c p b p a p p S ---=；⑥pr S =21、三角学中的射影定理：在△ABC 中,A c C a b cos cos ⋅+⋅=,…22、在△ABC 中,B A B A sin sin <⇔<,…23、在△ABC 中：-tgC B)+tg(A -cosC B)+cos(A sinC=B)+sin(A == 2cos 2sin C B A =+ 2sin 2cos C B A =+ 22C ctg B A tg =+ tgC tgB tgA tgC tgB tgA ⋅⋅=++24、积化和差公式：①)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅, ②)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅, ③)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅,④)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅;25、和差化积公式： ①2cos 2sin2sin sin y x y x y x -⋅+=+, ②2sin 2cos 2sin sin y x y x y x -⋅+=-, ③2cos 2cos 2cos cos y x y x y x -⋅+=+, ④2sin 2sin 2cos cos y x y x y x -⋅+-=-; 二、 函数1、 若集合A 中有n )(N n ∈个元素,则集合A 的所有不同的子集个数为n 2,所有非空真子集的个数是22-n ;二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是ab x 2-=,顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422，;用待定系数法求二次函数的解析式时,解析式的设法有三种形式,即（一般式）c bx ax x f ++=2)(,（零点式）)()()(21x x x x a x f -⋅-=和n m x a x f +-=2)()( 顶点式;2、 幂函数nm x y = ,当n 为正奇数,m 为正偶数,m<n 时,其大致图象是3、 函数652+-=x x y 的大致图象是由图象知,函数的值域是)0[∞+，,单调递增区间是)3[]5.22[∞+，和，,单调递减区间是]35.2[]2(，和，-∞;三、 反三角函数1、x y arcsin =的定义域是-1,1,值域是]22[ππ，-,奇函数,增函数； x y arccos =的定义域是-1,1,值域是]0[π，,非奇非偶,减函数； arctgx y =的定义域是R,值域是)22(ππ，-,奇函数,增函数； arcctgx y =的定义域是R,值域是)0(π，,非奇非偶,减函数;2、当x x x x x ==-∈)cos(arccos )sin(arcsin ]11[，时，，； 221)cos(arcsin 1)sin(arccos x x x x -=-=，x x x x arccos )arccos(arcsin )arcsin(-=--=-π，2arccos arcsin π=+x x对任意的R x ∈,有： 2)()()()(ππ=+-=--=-==arcctgx arctgx arcctgx x arcctg arctgx x arctg xarcctgx ctg x arctgx tg ，， 当x arctgx ctg x arcctgx tg x 1)(1)(0==≠，时，有：; 3、最简三角方程的解集：{}{}{}{}。

高考数学常用公式（不等式、复数及其他部分）1.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （2）,a b R +∈⇒2a b +≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>> （4）b a b a b a +≤+≤-2.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->， 如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间. 121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<；121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.3.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<. 22x a x a x a >⇔>⇔>或x<-a.4.无理不等式：（1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪⇔≥⎨⎪>⎩. （22()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. （32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪⇔>⎨⎪<⎩. 5.指数不等式与对数不等式(1)当a>1时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当0<a<1时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩6.特殊数列的极限（1）0||1lim 11||11n n q q q q q →∞<⎧⎪==⎨⎪<=-⎩不存在或.（2）1101100()lim ()()k k k k t t t n t t kk t a n a n a a k t b n b n b b k t ---→∞-⎧<⎪+++⎪==⎨+++⎪⎪>⎩不存在 . （3）()111lim 11n n a q a S q q→∞-==--（S 无穷等比数列}{11n a q - (|q|<1)的和）. 7.,a bi c di a c b d +=+⇔==.（a,b,c,d ∈R ） 8.复数z=a+bi 的模（或绝对值）9.复数的四则运算法则(1)(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i ;(2)(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i ;(3)(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i ; (4)2222()()(0)ac bd bc ad a bi c di i c di c d c d+-+÷+=++≠++. 10.集合关系： U U A B A A B B A B C B C A =⇔=⇔⊆⇔⊆ U A C B ⇔=Φ U C A B R ⇔=11.平面两点间的距离公式 ,A B d=||AB ==11(,)x y ，B 22(,)x y ).12.向量的平行与垂直 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 a ∥b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=.a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=.13.线段的定比分公式 设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP 的分点,λ是实数，且12PP PP λ= ，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+- （11t λ=+）. 14.三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 15.点的平移公式 ''''x x h x x h y y k y y k ⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ (图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形F ′上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为（h ，k ）).（注：只需记住前一个关系）。

数学史上的十个著名不等式在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．下面择要介绍一些著名的不等式．一、平均不等式（均值不等式）设，，…，是个实数，叫做这个实数的算术平均数．当这个实数非负时，叫做这个非负数的几何平均数．当这个实数均为正数时，叫做这个正数的调和平均数．设，，…，为个正数时，对如下的平均不等式：，当且仅当时等号成立．平均不等式是一个重要的不等式，它的应用非常广泛，如求某些函数的最大值和最小值即是其应用之一．设，，…，是个正的变数，则（1）当积是定值时，和有最小值，且；（2）当和是定值时，积有最大值，且两者都是当且仅当个变数彼此相等时，即时，才能取得最大值或最小值．在中，当时，分别有，平均不等式经常用到的几个特例是（下面出现的时等号成立；（3），当且仅当时等号成立；（4），当且仅当时等号成立．二、柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）对任意两组实数，，…，；，，…，，有，其中等号当且仅当时成立．柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的，…，；，…，都表示实数）是：（1），，则（2）（3）柯西不等式是又一个重要不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位．三、闵可夫斯基不等式设，，…，；，，…，是两组正数，，则（）（）当且仅当时等号成立．闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当时得平面上的三角形不等式：右图给出了对上式的一个直观理解．若记，，则上式为四、贝努利不等式（1）设，且同号，则（2）设，则（ⅰ）当时，有；（ⅱ）当或时，有，上两式当且仅当时等号成立．不等式（1）的一个重要特例是（）．五、赫尔德不等式已知（）是个正实数，，则上式中若令，，，则此赫尔德不等式即为柯西不等式．六、契比雪夫不等式（1）若，则；（2）若，则下面给出一个时的契比雪夫不等式的直观理解．如图，矩形OPAQ中，，，显然阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和，（这可沿图中线段MN向上翻折比较即知）．于是有，也即七、排序不等式设有两组数，，…，；，，…，满足，则有，式中的，，…，是1，2，…，的任意一个排列，式中的等号当且仅当或时成立．以上排序不等式也可简记为：反序和乱序和同序和这个不等式在不等式证明中占有重要地位，它使不少困难问题迎刃而解．八、含有绝对值的不等式为复数，则，左边的等号仅当的幅角差为时成立，右边的等号仅当的幅角相等时成立，这个不等式也称为三角形不等式，其一般形式是，也可记为绝对值不等式在实数的条件下用得较多。

复数z的n次方的模等于z的模的n次方的证明-概述说明以及解释1.引言概述部分的内容应该是对整篇文章的概括和引入。

下面是一个可能的概述部分的内容：1.1 概述复数是数学中一个重要的概念，它由实部和虚部组成，可以用来描述平面上的点或向量。

它在计算机图形学、电路分析、信号处理等领域有着广泛的应用。

本文将探讨复数的幂运算，并证明了一个重要的性质——复数的n次方的模等于复数的模的n次方。

在正文部分，我们将首先对复数的定义和性质进行介绍，包括复数的表示形式、四则运算以及共轭和模等基本性质。

然后，我们会详细讨论复数的模的定义和性质，其中包括模的计算公式和模的运算规则。

接着，我们会引入复数的幂的定义和性质，讨论复数的幂运算的一般规律。

在结论部分，我们将给出一个证明：复数z的n次方的模等于z的模的n次方。

通过推导和论证，我们将展示这个性质的正确性，并提供一个简洁的证明过程。

最后，我们会总结本文的主要内容，强调证明的重要性和复数幂运算的实际应用。

通过本文的阅读，读者将对复数及其幂运算有一个更清晰的认识，并了解到复数的n次方的模与复数的模的n次方之间的关系。

这个性质在解决一些具体问题时将会有很大的帮助。

请根据需要进行修改和调整，以符合您文章的实际情况。

1.2 文章结构文章结构部分的内容：本文采用如下结构进行展开论述：2.1 复数的定义和性质- 复数的定义- 复数的运算法则- 复数的共轭2.2 复数的模的定义和性质- 复数的模的定义- 复数的模的性质- 复数的模的计算方法2.3 复数的幂的定义和性质- 复数的幂的定义- 复数的幂的性质- 复数的幂的计算方法3.结论3.1 证明复数z的n次方的模等于z的模的n次方- 证明思路- 证明过程- 证明结果解释3.2 总结- 本文总结了复数的定义、复数的模的定义以及复数的幂的定义- 通过论述复数的幂的性质，进一步推导证明了复数z的n次方的模等于z的模的n次方的结论- 本文的证明过程清晰、严谨，具备较高的可读性和逻辑性- 最后对本文的研究意义和应用前景进行了简要展望1.3 目的本文的主要目的是证明复数z的n次方的模等于z的模的n次方这一数学命题。

高中数学复数重难知识点(一)复数是高中代数的重要内容，在高考试题中约占8%-10%，一般的出一道基础题和一道中档题，经常与三角、解析几何、方程、不等式等知识综合.本章主要内容是复数的概念，复数的代数、几何、三角表示方法以及复数的运算.方程、方程组，数形结合，分域讨论，等价转化的数学思想与方法在本章中有突出的体现.而复数是代数，三角，解析几何知识，相互转化的枢纽，这对拓宽学生思路，提高学生解综合习题能力是有益的.数、式的运算和解方程，方程组，不等式是学好本章必须具有的基本技能.简化运算的意识也应进一步加强.在本章学习结束时，应该明确对二次三项式的因式分解和解一元二次方程与二项方程可以画上圆满的句号了，对向量的运算、曲线的复数形式的方程、复数集中的数列等边缘性的知识还有待于进一步的研究.1．知识网络图2．复数中的难点(1)复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的运算的`几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地加以证明.(2)复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练.(3)复数的辐角主值的求法.(4)利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示，同时复数的模和辐角都具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会.3．复数中的重点(1)理解好复数的概念，弄清实数、虚数、纯虚数的不同点.(2)熟练掌握复数三种表示法，以及它们间的互化，并能准确地求出复数的模和辐角.复数有代数，向量和三角三种表示法.特别是代数形式和三角形式的互化，以及求复数的模和辐角在解决具体问题时经常用到，是一个重点内容.(3)复数的三种表示法的各种运算，在运算中重视共轭复数以及模的有关性质.复数的运算是复数中的主要内容，掌握复数各种形式的运算，特别是复数运算的几何意义更是重点内容.(4)复数集中一元二次方程和二项方程的解法.1。

数学史上的十个著名不等式在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．下面择要介绍一些著名的不等式．一、平均不等式（均值不等式）设，，…，是个实数，叫做这个实数的算术平均数．当这个实数非负时，叫做这个非负数的几何平均数．当这个实数均为正数时，叫做这个正数的调和平均数．设，，…，为个正数时，对如下的平均不等式：，当且仅当时等号成立．平均不等式是一个重要的不等式，它的应用非常广泛，如求某些函数的最大值和最小值即是其应用之一．设，，…，是个正的变数，则（1）当积是定值时，和有最小值，且；（2）当和是定值时，积有最大值，且两者都是当且仅当个变数彼此相等时，即时，才能取得最大值或最小值．在中，当时，分别有，平均不等式经常用到的几个特例是（下面出现的时等号成立；（3），当且仅当时等号成立；（4），当且仅当时等号成立．二、柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）对任意两组实数，，…，；，，…，，有，其中等号当且仅当时成立．柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的，…，；，…，都表示实数）是：（1），，则（2）（3）柯西不等式是又一个重要不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位．三、闵可夫斯基不等式设，，…，；，，…，是两组正数，，则（）（）当且仅当时等号成立．闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当时得平面上的三角形不等式：右图给出了对上式的一个直观理解．若记，，则上式为四、贝努利不等式（1）设，且同号，则（2）设，则（ⅰ）当时，有；（ⅱ）当或时，有，上两式当且仅当时等号成立．不等式（1）的一个重要特例是（）．五、赫尔德不等式已知（）是个正实数，，则上式中若令，，，则此赫尔德不等式即为柯西不等式．六、契比雪夫不等式（1）若，则；（2）若，则下面给出一个时的契比雪夫不等式的直观理解．如图，矩形OPAQ中，，，显然阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和，（这可沿图中线段MN向上翻折比较即知）．于是有，也即七、排序不等式设有两组数，，…，；，，…，满足，则有，式中的，，…，是1，2，…，的任意一个排列，式中的等号当且仅当或时成立．以上排序不等式也可简记为：反序和乱序和同序和这个不等式在不等式证明中占有重要地位，它使不少困难问题迎刃而解．八、含有绝对值的不等式为复数，则，左边的等号仅当的幅角差为时成立，右边的等号仅当的幅角相等时成立，这个不等式也称为三角形不等式，其一般形式是，也可记为绝对值不等式在实数的条件下用得较多。

复数概念及公式总结1、虚数单位:它的平方等于-1，即2、与－1的关系: 就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－3、的周期性：4n+1=i,4n+2=-1,4n+3=-i,4n=14、复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示复数通常用字母z表示，即5、复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；a≠0且b≠0时，z=bi叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0、5、复数集与其它数集之间的关系：NZQRC、6、两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小、如果两个复数都是实数，就可以比较大小当两个复数不全是实数时不能比较大小7、复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数（1）实轴上的点都表示实数（2）虚轴上的点都表示纯虚数（3）原点对应的有序实数对为(0，0)设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，8、复数z1与z2的加法运算律：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i、9、复数z1与z2的减法运算律：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i、10、复数z1与z2的乘法运算律：z1z2= (a+bi)(c+di)=(ac －bd)+(bc+ad)i、11、复数z1与z2的除法运算律：z1z2 =(a+bi)(c+di)=（分母实数化）12、共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数的共轭复数为。

复数三角不等式取等条件复数三角不等式是高中数学中的一种重要不等式，它可以用于解决许多复数相关的问题。

在这篇文章中，我将详细讨论复数三角不等式的取等条件，以帮助大家更好地理解和运用这个重要的数学工具。

$$|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$$这个不等式的意思是，两个复数的和的模不会大于它们各自模的和。

这个不等式在数学中具有广泛的应用，尤其在几何问题和物理问题中经常出现。

接下来，我们将讨论复数三角不等式的取等条件。

在数学中，当一个不等式取到等号时，我们通常会称之为“取等条件”。

在这个特定的不等式中，取等条件是什么呢？也就是说，什么时候两个复数的和的模会等于它们各自模的和？我们可以将 $z_1$ 和 $z_2$ 写成极坐标形式，即：$$z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)$$$r_1$ 和 $r_2$ 分别为 $z_1$ 和 $z_2$ 的模，$\theta_1$ 和 $\theta_2$ 分别为它们的辐角。

然后，我们将原始的不等式改写为：由于取模的定义为 $|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$，我们可以将左边的表达式展开，得到：$$\sqrt{(r_1\cos\theta_1 + r_2\cos\theta_2)^2 + (r_1\sin\theta_1 +r_2\sin\theta_2)^2} \leq r_1 + r_2$$接下来，我们将左边的表达式进行化简，即：这个不等式可以进一步化简为：通过简单的移项和化简，我们可以得到：注意到 $r_1$ 和 $r_2$ 都是正实数，因此我们知道上式成立的条件是$\cos(\theta_1 - \theta_2) = 1$，也就是说，两个复数的辐角必须相等。

我们可以得出结论：当且仅当两个复数的辐角相等时，复数三角不等式取等。

我们来举个例子，以帮助大家理解取等条件的意义。

解方程与不等式的绝对值与模绝对值和模是数学中常见的概念，它们在解方程和不等式中起着重要的作用。

本文将介绍绝对值和模的定义及性质，并探讨如何利用它们来解方程和不等式。

一、绝对值的定义及性质绝对值是一个数的非负值，表示该数到原点的距离。

对于任意实数x，它的绝对值|x|定义如下：当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。

绝对值具有以下性质：1. 非负性：对于任意实数x，|x|≥0；2. 正负性：对于任意实数x，有|x|=0当且仅当x=0；3. 三角不等式：对于任意实数x和y，有|x+y|≤|x|+|y|。

二、模的定义及性质模是一个复数的非负值，表示该复数到原点的距离。

对于任意复数z=a+bi，它的模|z|定义如下：|z|=√(a²+b²)。

模具有以下性质：1. 非负性：对于任意复数z，|z|≥0；2. 正负性：对于任意复数z，有|z|=0当且仅当z=0；3. 三角不等式：对于任意复数z1和z2，有|z1+z2|≤|z1|+|z2|。

三、解方程中的绝对值和模1. 绝对值方程的解法绝对值方程是形如|f(x)|=g(x)的方程，其中f(x)是一个函数，g(x)是一个实数或者一个只含有实数的表达式。

解绝对值方程的一般步骤如下：步骤1：分情况讨论，将绝对值拆解成正负两种情况。

步骤2：根据绝对值的定义，将拆解后的方程转化为两个等式。

步骤3：分别解两个等式，得到两组解。

步骤4：将两组解合并，得到最终的解集。

2. 模方程的解法模方程是形如|f(z)|=g的方程，其中f(z)是一个复数函数，g是一个实数。

解模方程的一般步骤如下：步骤1：将模方程转化为两个方程：f(z)=g和f(z)=-g。

步骤2：分别解这两个方程，得到两组解。

步骤3：将两组解合并，得到最终的解集。

四、不等式中的绝对值和模1. 绝对值不等式的解法绝对值不等式是形如|f(x)|≥g(x)或|f(x)|≤g(x)的不等式，其中f(x)是一个函数，g(x)是一个实数或者一个只含有实数的表达式。

第一章复数与复变函数(Complex number and function of the complex variable)第一讲授课题目：§1.1复数§1.2 复数的三角表示教学内容：复数的概念、复数的四则运算、复平面、复数的模和辐角、复数的三角不等式、复数的表示、复数的乘方与开方.学时安排：2学时教学目标：1、掌握复数的乘方、开方运算及它们的几何意义2、切实理解掌握复数的辐角3、掌握复数的表示教学重点：复数的乘方、开方运算及它们的几何意义教学难点：复数的辐角教学方式：多媒体与板书相结合.P思考题：1、2、3.习题一：1-9作业布置：27板书设计：一、复数的模和辐角二、复数的表示三、复数的乘方与开方参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版.课后记事：1、基本掌握复数的乘方、开方运算2、不能灵活掌握复数的辐角（要辅导）3、能灵活运用复数的三角表示进行复数的运算教学过程：引言复数的产生和复变函数理论的建立1、1545年，意大利数学家Cardan在解三次方程时，首先产生了负数开平方的思想.后来，数学家引进了虚数，这在当时是不可接受的.这种状况随着17、18世纪微积分的发明和给出了虚数的几何解析而逐渐好转.2、1777年，瑞士数学家Euler建立了系统的复数理论，发现了复指数函数和三角函数之间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们应用到水力学和地图制图学上.用符号i表示虚数单位，也是Euler首创的.3、19世纪，法国数学家Cauchy、德国数学家 Riemann 和Weierstrass经过努力，建立了系统的复变函数理论，这些理论知直到今天都是比较完善的.4、20世纪以来，复变函数理论形成了很多分支，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题、复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论等等，并广泛用于理论物理、弹性物理和天体力学、流体力学、电学等领域.5、复变函数课程主要任务为研究复变数之间的相互依赖关系.其中许多概念、理论和方法是实变函数在复变函数领域内的推广和发展，在学习过程中要注意它们相似之处和不同之处的比较.第一章 复数与复变函数§1.1 复数(Complex number)一、 复数的概念（The concept of complex ）1、称iy x +为复数，其中R y x ∈,，1-=i 是虚数单位；通常记为iy x z +=；2、x 和y 分别称为z 的实部和虚部，分别记作z x Re =，z y Im =；3、纯虚数：若,0,0≠=y x 称),(R y x iy x z ∈+=为纯虚数；当0Im ≠z ，那么iy x z +=称为虚数；当0Im =z 时，那么x z =就是一个实数；4、两个复数相等：复数111iy x z +=和222iy x z +=相等是指它们的实部与虚部分别相等.5、共轭复数：称实部相同而虚部互为相反数的两个复数为共轭复数.记z 的共轭复数为z .设复数iy x z +=，则称iy x -为复数z 的共轭复数（Conjugate ），记作iy x z -=注1：两个虚数之间不能比较大小.例如，设0>i ，则i i i ⋅>⋅0，即01<-，矛盾.注2：000i +=二、复数的四则运算（Complex number arithmetic ） 设111ib a z += 222ib a z += 则)()()()(2121221121b b i a a ib a ib a z z ±+±=+±+=±)()())((12212121221121b a b a i b b a a ib a ib a z z ++-=++= 2222211222222121221121))()(b a b a b a i b a b b a a ib a ib a z z +-+++=++=（02≠z ） 容易验证下列公式： (1) 2121z z z z ±=±， (2) 2121z z z z ⋅=⋅， (3) ()0)(22121≠=z z z z z ， (4) )Im(2),Re(2z i z z z z z =-=+，2222)(Im )(Re z z y x z z +=+=， (5) 2Re z z z +=, i z z z Im 2-=，(6) ()z z =. 显然，复数的运算满足交换律、结合律和分配律.复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C .三、复平面（Complex plane ）作映射：),(:2y x iy x z R C α+=→，则在复数集与平面2R 之间建立了一个1-1对应.在直角坐标系中，横坐标轴上的点表示实数，X 轴称为实轴，纵坐标轴上的点表示纯虚数，Y 轴称为虚轴；把实轴和虚轴决定的整个坐标平面我们称为复平面（Complex plane ）或Z 平面.注3 复平面一般称为z -平面，w -平面等.§1.2 复数的三角表示(The representation of complex number)一、复数的模和辐角（Complex modulus and Argument ） 如图: 复数iy x z +=用向量op 来表示.向量的长度称为复数iy x z +=的模，记作：22||y x z +=；向量与正实轴之间的夹角称为复数iy x z +=的辐角（Argument ），记作：z Arg .由于任意非零复数有无限多个辐角，用arg z 表示符合条件 arg z ππ-<≤的一个角，称为复数iy x z +=主辐角（Main Argument ）.即z Arg 的主值，于是ΛΛ,2,1,02arg Arg ±±=+=k k z z π 此时有Argz z Arg z z -==. z z z =2注4 当0=z 时辐角无意义. 当0≠z 时，有如下关系（arg z ππ-<≤，arctan 22y x ππ-<<）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧<<π-≥<π+>=π>>=≠;,,arctan ;,,arctan ;,,;,,arctan arg 0000002000y x y y x x y y x y x x y z z 当当当当x例1 求)43-(Arg )2(Arg i i +-及解二、复数模的三角不等式（Plural triangle inequality ） 关于两个复数1z 与2z 的和与差的模，有下列不等式：（1）||||||2121z z z z +≤+；（2）||||||||2121z z z z -≥+；（3）||||||2121z z z z +≤-；（4）||||||||2121z z z z -≥-；（5）|||Im ||,||Re |z z z z ≤≤；（6）z z z =2||.例2 设1z ，2z 是两个复数，求证：),Re(2||||||212221221z z z z z z -+=-证明 ()()2121221z z z z z z --=- 22π<<π-x y arctan 其中22222Arg()arg()i i k π-=-+πk 222arctan +-=),2,1,0(24Λ±±=+-=k k πππk i i 2)43arg()43Arg(++-=+-ππ++-=k 234arctan ),2,1,0(34arctan )12(Λ±±=-+=k k π()2122212121222112212221Re 2z z z z z z z z z z z z z z z z -+=--+=---=三、复数的三角表示（Representation of complex numbers ）1、复数的点表示（Plural Point ）复数iy x z +=对应有序实数对()y x ,，另一方面，在 平面直角坐标系中点()y x P ,也对应有序实数对()y x ,，因此复数iy x z +=可用点()y x P ,来表示.复数z 与点z 同义2、复数的向量表示（Complex vector that ）我们已经知道复数iy x z +=等同于平面中的向量，所以，复数iy x z +=可用向量来表示，3、复数的三角表示（Complex triangle that ） 设0≠z 的复数，复数z 的模为r ，θ是复数z 的任意一个辐角，则)sin (cos θθi r z +=,上式右端称为复数z 的三角表示.注5：一个复数的三角表示不是唯一的例3 写出复数i +1的三角表示解 因为()41arg 21π=+=+i i ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+4sin 4cos 21ππi i 也可以表示为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+49sin 49cos 21ππi i 例4 设()θθsin cos i r z +=求复数z 1的三角表示 解 因为()θθsin cos ,,12i r z r z z z z -===，所以()()()[]θθθθ-+-=-=sin cos 1sin cos 11i ri r z 4、复数的指数表示（Said plural index ） 由欧拉公式θθθsin cos i e i +=，可得复数 )sin (cos θθi r z +=的指数表示θi re z =例5 将复数 化为指数式 解四、用复数的三角表示作乘除法（With the complex triangle that make multiplication and division ）利用复数的三角表示，我们表示复数的乘法与除法：设1z ，2z 是两个非零复数，则有()10cos sin i ϕϕϕπ-+<≤222122222222222222222cos sin sin sin cos sin sin cos sin cos sin sin i i i i e πϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕπϕπϕϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭-+=+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=)sin (cos ||1111θθi z z += )sin (cos ||2222θθi z z += 则有)]sin()[cos(||||21212121θθθθ+++=i z z z z有||||||2121z z z z =，2121)(Argz Argz z z Arg +=，后一个式子应理解为集合相等.同理，对除法有)]sin()[cos(21212121θθθθ-+-=i z z z z 即2121||z z z z =，2121)(Argz Argz z z Arg -=，后一个式子也应理解为集合相等.五、复数的乘方与开方（Involution and evolution of complex numbers ）1、复数的乘方（A power complex ）设复数()θθsin cos i r z +=，则对正整数n()θθn i n r z n n sin cos += （1） 当1=r 时，即()θθθθn i n i n sin cos sin cos +=+ （2）（2）式称为棣莫弗（De Moivre ）公式2、复数的开方（Evolution of complex numbers ） 开方是乘方的逆运算，设z w n =，则称复数w 为复数z 的z n 次方根.记作n nz z w ==1 （0≠z ）令()θθsin cos i r z += ()ϕϕρsin cos i w +=于是就有 ()=+n n i ϕϕρsin cos ()θθsin cos i r +由此推出 ()ΛΛ,2,1,021,1±±=+==k k n r n πθϕρ故得 ()())]21sin()21[cos(||1πθπθk ni k n z z w n n+++== ΛΛ,2,1,0±±=k （3） 当1.,2,1,0-=n k Λ时，w 有n 个互不相同的值.（3）可写成()())]21sin()21[cos(||1πθπθk ni k n z z w n n +++== 1,,2,1,0-=n k Λ （4） 例6 求4)1(i +的所有值 解：由于)4sin 4(cos 21ππi i +=+，所以有 )]24(41sin )24(41[cos 2)1(84ππππk i k i +++=+ )]216sin()216[cos(2)1(84ππππk i k i +++=+3,2,1,0=k .例7 解方程0)3(32=---i iz zi i z i i z i i i i z i iz z 21)42(21,1)22(212)2(32)3(4930)3(3212+-=+-=+=+=-±=-+-±==---解 内容小结1、复数的概念（iy x z +=）2、复数的四则运算3、复平面4、复数的模和辐角5、复数的三角不等式6、复数的表示法（代数表示、三角表示、指数表示）7、复数的乘方与开方22||y x z +=ΛΛ,2,1,02arg Arg ±±=+=k k z z π()cos sin n n n n n z z z r n i n Argz nArgz θθ⎧=⎪=+⇒⎨=⎪⎩()())]sin()[cos(||πθπθk n i k n z z w n n 21211+++==ΛΛ,2,1,0±±=k2 1§1.3 平面点集的一般概念§1.4复球面与无穷大§1.5 复变函数开集与闭集、区域、平面曲线、复球面、复变函数的概念、复变函数的极限与连续、一致连续性、有界闭区域E上连续函数的性质.1、了解复平面上点集的一般概念2、理解复球面与复平面的关系3、充分理解关于单值函数、多值函数的概念4、理解复变函数的极限与连续性的概念复变函数的概念、极限与连续无穷大与复球面讲授法多媒体与板书相结合P习题一：10-1628一、复球面与无穷大二、复变函数的概念、极限与连续三、有界闭区域E上连续函数的性质[1] 《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.[2] 《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版社.1、基本掌握复变函数的极限运算2、能够理解关于单值函数、多值函数的概念3、基本理解复球面与复平面的关系第二讲授课题目：§1.3 平面点集的一般概念§1.4复球面与无穷大§1.5 复变函数教学内容：开集与闭集、区域、平面曲线、复球面、复变函数的概念、复变函数的极限与连续、一致连续性、有界闭区域E上连续函数的性质.学时安排：2学时教学目标：1、了解复平面上点集的一般概念2、理解复球面与复平面的关系3、充分理解关于单值函数、多值函数的概念4、理解复变函数的极限与连续性的概念教学重点：复变函数的概念、极限与连续教学难点：无穷大与复球面教学方式：多媒体与板书相结合P习题一：10-16作业布置：28板书设计：一、复球面与无穷大二、复变函数的概念、极限与连续三、有界闭区域E上连续函数的性质参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版.课后记事：1、基本掌握复变函数的极限运算2、能够理解关于单值函数、多值函数的概念3、基本理解复球面与复平面的关系教学过程：§1.3 复平面上点集的一般概念(Elementary conception of point set in complex plane)一、开集与闭集（Open set and closed set ）设0, 0>∈δC z ，点集},,|| |{0C z z z z ∈<-δ称为点0z 的δ邻域，记作),(0δz U注1：),(r a U },,|| |{0C z z z z ∈≤-=δ设C z C G ∈⊂0,，(1)若0>∃δ，使得G z U ⊂),(0δ，则称0z 为G 的内点（Interior point ）；(2)若G z U ⋂>∀),(,00δδ中既有属于G 的点，又有不属于G 的点，则称0z 为G 的边界点（Boundary points ）； 集G 的全部边界点所组成的集合称为G 的边界（Border ），记为G ∂；(3)若0>∃δ，使得}{),(00z G z U =⋂δ，则称0z 为G 的孤立点（Outlier ）；注2：G 的孤立点（Outlier ）一定是G 的边界点（Boundary points ）如果G 的所有点都是它的内点，那么称G 为开集；如果0>∃δ，使得),0(δU G ⊂, 则称G 是有界集（Bounded set ），否则称G 是无界集；例1 圆盘),(0δz U 是有界开集；例2 集合}|||{0r z z z G =-=是以0z 为心，半径为r 的圆周，G 是圆盘),(0r z U 和闭圆盘),(0r z U 的边界.例3 复平面、实轴、虚轴是无界集，复平面是无界开集. 例4 点集}||0|{0δ<-<=z z z G 是去掉圆心的圆盘.圆心0z 是点集G 的边界点.它是G ∂的孤立点，二、区域（Region ）复平面C 上的点集D 是一个区域，如果满足：（1）D 是开集；（2）D 是连通的，即D 中任意两点可以用完全属于D 的折线连起来.换句话说：区域就是连通的开集区域D 内及其边界上全部点所组成的点集称为闭区域（Closed area ）.记作G例5 点集=G }3Re 2|{<<z z 为一个垂直带形，它是一个连通的无界区域，其边界为直线2Re =z 及3Re =z .例6 点集=G }3)arg(2|{<-<i z z 为一角形区域，它是一个连通无界区域，其边界为半射线2)arg(=-i z 及3)arg(=-i z .三、平面曲线（Plane curve ）设()())(,)(b t a t iy t x t z z ≤≤+==如果())(Re t z t x =和())(Im t z t y =都在闭区间],[b a 上连续，则称点集]},[|)({b a t t z ∈为一条连续曲线（Continuous curve ）.如果对],[b a 上任意不同两点1t 及2t ，但不同时是],[b a 的端点，我们有)()(21t z t z ≠，那么上述点集称为一条简单连续曲线（Simple continuous closed curve ），或约当曲线（Jordan curve ）.若还有)()(b z a z =，则称为一条简单连续闭曲线（Simple continuous closed curve ），或约当闭曲线（Jordan closed curve ）.约当定理（Jordan Theorem ）：任意一条约当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域：一个有界的称为该区域的内部，一个无界的称为该区域的外部.他们都是以该闭曲线为边界.光滑曲线（Smooth curve ）：如果())(Re t z t x =和())(Im t z t y =都在闭区间],[b a 上连续，且有连续的导函数，在],[b a 上，()()0)('≠'+'=t y i t x t z ，则称集合]},[|)({b a t t z ∈为一条光滑曲线（Smooth curve ）；类似地，可以定义分段光滑曲线. 由有限条光滑曲线连接而成的连续曲线成为逐段光滑曲线.设D 为复平面上的区域，若在D 内无论怎样划简单闭曲线，其内部仍全含于D ，则称D 为单连通区域（Simply connected region ）.否则，称为多连通区域（Multi-connected region ）例7 集合}3||2|{<-<i z z 为一个圆环，它是一个多连通有界区域，其边界为圆2||=-i z 及2||=-i z .§1.4复球面与无穷大1、复球面 （Complex sphere ）在点坐标是),,(u y x 的三维空间中，把XOY 面看作就是z 平面.考虑单位球面S ：1222=++u y x取定球面在原点O （南极）与z 平面相切，过原点O 作一垂直于z 平面的直线与球面交于一点)1,0,0(N 称为北极.作连接 )1,0,0(N 与z 平面上的点()0,,y x A 的直线, 即复平面上的点()0,,y x A 都对应球面上的点.反过来也成立.那么)1,0,0(N 与复平面上的哪一点对应？约定: 在复平面上有一个理想的点, 称之为无穷远点, 其投影为)1,0,0(N . （下图形是错的）2、无穷大（Infinity ）我们称上面的映射为球极投影.对应于球极投影为N ，我们引入一个新的非正常复数无穷远点∞，称}{∞⋃C 为扩充复平面（Extended complex plane ），记为∞C ，与它对应的球面称为复球面（Complex sphere ）；.关于新“数” 无穷大（Infinity ）∞，作如下几点规定(x A（1） 其实部、虚部、辐角无意义，模等于∞+；（2） 基本运算为（a 为有限复数）：∞=±∞=∞±a a ； )0( ≠∞=⋅∞=∞⋅a a a ；).a (a);a (a ∞≠∞=∞∞≠=∞0 （3） 复平面上的每一条直线都通过点∞，同时，没有一个半平面包含点∞.注：扩充复平面上无穷远点的邻域， 包括无穷远点自身在内且满足0>>M z 的所有点的集合{}M z z >: 称为无穷远点的邻域. 不包括无穷远点自身在内且满足0>>M z 的所有点的集合{}M z z >: 称为无穷远点的去心邻域§1.5复变函数(Complex analysis )一、复变函数的概念（The concept of complex function ） 设在复平面C 上以给点集G .G iy x z ∈+=∀，如果存在一个对应法则f ，都有唯一C ∈+=iv u w 与它对应，则称f 是定义在G 上的一个单值复变数函数，简称为复变函数，记为)(z f w =.不是单值复变数函数的复变数函数称为多值复变数函数.点集G 称为复变数函数)(z f w =的定义域，所有函数值全体称为复变数函数)(z f w =的值域.记作D注：一个复变函数等价于两个实变量的实值函数：若iy x z +=，),(),()(Im )(Re y x iv y x u z f i z f w +=+=，则)(z f w =等价于两个二元实变函数),(y x u u =和),(y x v v =.复变函数)(z f w =也称为从G 到D 上的一个映射或映照.把集合G 表示在一个复平面上，称为z -平面；把相应的函数值)(z f w =表示在另一个复平面上，称为w -平面.我们称映射)(z f w =把任意的G z ∈0映射成为D z f w ∈=)(00，称0w 及A 分别为0z 和G 的象，而称0z 和G 分别为0w 及D 的原象.例8 将)(z f 表示成z 的函数.解二、复变函数的极限与连续（Limits and continuity of Complex functions ）1. 复变函数的极限定义（Definition ）1.1 设函数)(z f w =在点0z 的去心邻域{}ρ<-<||0:0z z z 内有定义，A 是一个确定的复常数∞≠A .如果任给0>ε，总存在正数0)(>=εδδ，对任意z ： ρδ≤<-<||00z z ，有222211()11f z x iy x y x y ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭已知)(21),(21,z z i y z z x iy x z -=+=+=则设.1)(zz z f +=ε<-|)(|A z f ，则称A 为函数)(z f 当z 趋于0z 时的极限（limits ），记作：)()()(lim 00z z A z f A z f z z →→=→当或.2. 复变函数极限的四则运算法则类似于实函数极限的性质，有设 A z f z z =→)(lim 0 B z g z z =→)(lim 0, 则 （1）[()]B A z g z f z z ±=±→)(lim 0（2）()AB z g z f z z =→)(lim 0(3) ()()0lim 0≠=→B B A z g z f z z .定理（Theorem ） 1.1设函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点集G 上有定义，000iy x z +=，ib a A +=则()()ib a A z f G z z z +==∈→(0lim 的充要条件是 ()a y x u G y x y x y x =∈→),(lim ),(),(),(0000 ().),(lim ),(),(),(0000b y x v G y x y x y x =∈→证明（略）复变函数的极限可归结为实函数极限的计算.3. 复变函数的连续性定义（Definition ）1.2设函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点集G 上有定义，G z ∈0，如果)()(lim 00z f z f z z =→成立，则称)(z f 在0z 处连续；如果)(z f 在G 中每一点连续，则称)(z f 在G 上连续.定理（Theorem ）1.2函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是),(),(y x v y x u 与在点()00,y x 处连续.即一个复变函数的连续性等价于两个实变二元函数的连续性.连续函数的性质：(1) 连续函数的四则运算仍然连续(2) 连续函数的复合函数仍然连续(3) 连续函数的模也连续一致连续性（Uniform Continuity ）设函数)(z f w =在集合D 上确定，如果任给0>ε，可以找到一个仅与ε有关的正数0)(>=εδδ，使得当D z z ∈'','，并且δ<-|'''|z z 时，ε<-|)''()'(|z f z f ，则称函数)(z f 在D 上一致连续（Uniform Continuity ）.有界闭区域D 上连续函数的性质1．设函数)(z f 在有界闭区域D 上连续，那么它在D 上有界，即22)],([)],([|)(|y x v y x u z f +=在集D 上有界.2. 设函数)(z f 在有界闭区域D 上连续，那么其模()z f 在D 上达到它的最大值和最小值各一次.3. 设函数)(z f 在有界闭区域D 上连续，那么它在D 上一致连续.例9 求证：()arg (0)f z z z =≠在全平面除去原点和负实轴的区域上连续，在负实轴上不连续.证明： 设0z 为全平面除去原点和负实轴的区域上任意一点.考虑充分小的正数ε,使角形区域00arg arg z z εθε-<<+与负实轴不相交,从图上立即可以看出,以0z 为中心,0z 到射线0arg z θε=±的距离为半径所作的圆盘,一定落在上述角形区域内，这就是说,只要取00sin z δε<≤.那么当0z z ε-<时就有0arg arg z z ε-<.因此arg z 在0z 为连续.再由0z 的任意性,知()arg f z z =在所述区域内为连续.设1x 是负实轴上任意一点,则1Im 0limarg z z x z π≥→= 及 1Im 0limarg z z x z π<→=- 故arg z 在负实轴上为不连续. （如下图）内容小结1、开集与闭集、区域、平面曲线2、复球面3、复变函数的概念4、复变函数的极限与连续、一致连续性5、有界闭区域上连续函数的性质有界性、最大值与最小值、一致连续性。

习题一答案1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i+ （2）(1)(2)i i i --（3）131i i i-- （4）8214i i i -+-解：（1）1323213iz i -==+， 因此：32Re , Im 1313z z ==-，1232, arg arctan , 3131313z z z i ==-=+（2）3(1)(2)1310i i iz i i i -+===---， 因此，31Re , Im 1010z z =-=，1131, arg arctan , 3101010z z z i π==-=--（3）133335122i i iz i i i --=-=-+=-， 因此，35Re , Im 32z z ==-，34535, arg arctan , 232i z z z +==-=（4）82141413z i i i i i i =-+-=-+-=-+因此，Re 1, Im 3z z =-=，10, arg arctan3, 13z z z i π==-=--2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2）13i -+ （3）(sin cos )r i θθ+（4）(cos sin )r i θθ- （5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤解：（1）2cossin22iii e πππ=+=（2）13i -+23222(cos sin )233i i e πππ=+=（3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ-=-+-=（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+22sin [cossin]2sin 2222ii e πθθπθπθθ---=+=3． 求下列各式的值：（1）5(3)i - （2）100100(1)(1)i i ++-（3）(13)(cos sin )(1)(cos sin )i i i i θθθθ-+-- （4）23(cos5sin5)(cos3sin3)i i ϕϕϕϕ+-（5）3i （6）1i +解：（1）5(3)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+-5552(cos()sin())16(3)66i i ππ=-+-=-+ （2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-（3）(13)(cos sin )(1)(cos sin )i i i i θθθθ-+--2[cos()sin()](cos sin )332[cos()sin()][cos()sin()]44i i i i ππθθππθθ-+-+=-+--+-2[cos()sin()](cos2sin 2)1212i i ππθθ=-+-+(2)122[cos(2)sin(2)]21212ii eπθππθθ-=-+-=（4）23(cos5sin5)(cos3sin3)i i ϕϕϕϕ+- cos10sin10cos19sin19cos(9)sin(9)i i i ϕϕϕϕϕϕ+==+-+- （5）3i 3cossin22i ππ=+11cos (2)sin (2)3232k i k ππππ=+++31, 02231, 122, 2i k i k i k ⎧+=⎪⎪⎪=-+=⎨⎪-=⎪⎪⎩（6）1i +2(cossin )44i ππ=+ 4112[cos (2)sin (2)]2424k i k ππππ=+++48482, 02, 1i i e k e k ππ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩4． 设121, 3,2iz z i +==-试用三角形式表示12z z 与12z z解：12cossin , 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-，所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+， 12z z 1155[cos()sin()](cos sin )2464621212i i ππππππ=+++=+ 5． 解下列方程： （1）5()1z i += （2）440 (0)z a a +=> 解：（1）51,z i+= 由此2551k i z i ei π=-=-， (0,1,2,3,4)k =（2）4444(cos sin )za a i ππ=-=+11[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++，当0,1,2,3k =时，对应的4个根分别为：(1), (1), (1), (1)2222a a a ai i i i +-+--- 6． 证明下列各题：（1）设,z x iy =+则2x y z x y +≤≤+证明：首先，显然有22z x y x y =+≤+；其次，因222,x y x y +≥固此有2222()(),x y x y +≥+ 从而222x y z x y +=+≥。