2.4等腰三角形的判定

第05讲等腰三角形的性质与判定【学习目标】1.了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。

【基础知识】一．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．二．等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．三．等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．【考点剖析】一．等腰三角形的性质（共7小题）1．（2021秋•盱眙县期末）如果等腰三角形两边长是5cm和2cm，那么它的周长是（）A．7cm B．9cm C．9cm或12cm D．12cm2．（2021秋•抚远市期末）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的周长是（）A．15B．12C．12或15D．93．（2022春•鼓楼区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝α，∠B＝∠C，点D是△ABC外一点，E，F分别在AB，AC上，ED与AC交于点G，且∠D＝∠B，若∠1＝2∠2，则∠EGF的度数为（）A．180°﹣2αB．60°+13αC．90°−32αD．30°+23α4．（2022春•镇江期中）三角形的三边长为2，a，5，如果这个三角形中有两条边相等，那么它的周长是．5．（2022春•金湖县校级月考）在△ABC中，∠C＝30°，且∠A＝∠B；求∠A的度数．6．（2022春•睢宁县月考）一个等腰三角形的两条边长为4，7，那么它的周长是多少？7．（2021秋•邗江区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E．（1）若∠A＝50°，求∠CBD的度数；（2）若AB＝7，△CBD周长为12，求BC的长．二．等腰三角形的判定（共7小题）8．（2021秋•仪征市期末）在△ABC中，∠A＝100°，当∠B＝°时，△ABC是等腰三角形．9．（2021秋•靖江市期末）已知a，b是△ABC的两条边长，且a2+b2﹣2ab＝0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．不确定10．（2021秋•滨海县期末）用三根木棒首尾相连围成一个等腰三角形，其中两根木棒的长度分别为3cm和6cm，则第三根木棒长为cm．11．（2021秋•泗阳县期中）如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC．（1）求证：AB＝AC；（2）若点H是BC的中点，求证：AH⊥AD．12．（2021秋•鼓楼区校级期末）下列长度的三条线段能组成等腰三角形的是（）A．1，2，3B．3，4，5C．2，2，3D．2，2，413．（2021秋•龙华区校级期末）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点上，要找一个格点C，使△ABC是等腰三角形（AB是其中一腰），则图中符合条件的格点有（）A．2个B．3个C．4个D．5个14．（2020秋•定西期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？三．等腰三角形的判定与性质（共6小题）15．（2020秋•绿园区期末）如图，直线l分别与直线AB、CD相交于点E、F，EG平分∠BEF交直线CD 于点G，若∠1＝∠BEF，若EF＝3，则FG为（）A．4B．3C．5D．1.516．（2021•建湖县二模）若一条长为32cm的细线能围成一边长等于8cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为cm．17．（2021秋•句容市期末）如图，BD平分∠ABC，DE∥BC交BA于点E，若DE=52，则EB＝．18．（2021秋•射阳县校级期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，且MN ∥BC，分别交AB、AC于点M、N．求证：MN＝BM+CN．19．（2021秋•盱眙县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是AB的中点，连结DE．（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）求∠BDE的度数．20．（2021秋•苏州期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B＝62°，AB+BD＝CD，则∠BAC的度数为（）A．87°B．88°C．89°D．90°【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2021秋•溧阳市期末）若等腰三角形边长别为6cm和3cm，则该等腰三角形的周长是（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm2．（2021秋•江阴市期末）等腰三角形的周长为21cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．5cm B．11cm C．8cm或5cm D．11cm或5cm3．（2022•陕西模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，点E为AC的中点，连接DE．若△ABC 的周长为20cm，则△CDE的周长为（）A．10 cm B．12 cm C．14 cm D．16cm4．（2022•黔东南州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的高．若∠CBD＝20°，则∠BAC 的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°5．（2021秋•鼓楼区校级期末）下列长度的三条线段能组成等腰三角形的是（）A．1，2，3B．3，4，5C．2，2，3D．2，2，46．（2021秋•靖江市期末）已知a，b是△ABC的两条边长，且a2+b2﹣2ab＝0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．不确定二．填空题（共3小题）7．（2021秋•溧水区期末）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，MN经过点O，且MN ∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若BM＝3cm，MN＝5cm，则CN＝cm．8．（2021秋•宁津县期末）如图，△ABC中，∠A＝∠ACB，CP平分∠ACB，BD，CD分别是△ABC的两外角的平分线，下列结论中：①CP⊥CD；②∠P=12∠A；③BC＝CD；④∠D＝90°−12∠A；⑤PD∥AC．其中正确的结论是（直接填写序号）．9．（2021秋•东城区校级期末）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE＝3，CD＝4，ED＝5，则FG的长为．三．解答题（共3小题）10．（2022春•无锡期中）如图①，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，过P点作直线MN，分别交AB和AC于点M和N，且MN平行于BC，试求∠MPB+∠NPC 的度数（用含∠A的代数式表示）；（3）将（2）中的直线MN绕点P旋转，分别交线段AB于点M（不与A、B重合），交直线AC于N，试探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系，并说明理由．11．（2021秋•淮安区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，求∠DBC的度数．12．（2021秋•泗洪县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，角平分线BD，CE相交于点O，求证：OB＝OC．第05讲等腰三角形的性质与判定【学习目标】1.了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。

等腰三角形的性质与判定等腰三角形是初中数学中的一个重要概念，它具有一些独特的性质和判定方法。

在本文中，我们将探讨等腰三角形的性质和判定，并通过几个例子加深理解。

首先，我们来了解等腰三角形的定义。

等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。

根据这个定义，我们可以得出等腰三角形的第一个性质：等腰三角形的底角（底边对应的角）是相等的。

这是因为等腰三角形的两条边相等，所以它们对应的角也必须相等。

接下来，我们来探讨等腰三角形的第二个性质：等腰三角形的高线（从顶点到底边的垂直线段）是对称轴。

这个性质可以通过几何推理来证明。

假设我们有一个等腰三角形ABC，其中AB = AC。

如果我们从顶点A向底边BC引一条垂直线段AD，我们可以证明BD = CD。

这是因为在等腰三角形中，高线将底边等分，所以BD = CD。

这也意味着高线AD是底边BC的中垂线，而中垂线是对称轴。

除了这些基本性质外，等腰三角形还有一些判定方法。

首先，我们可以通过边长判定法来判断一个三角形是否为等腰三角形。

如果一个三角形的两条边相等，那么它就是等腰三角形。

其次，我们可以通过角度判定法来判断一个三角形是否为等腰三角形。

如果一个三角形的两个角相等，那么它就是等腰三角形。

这两种判定方法可以互相验证，帮助我们确定一个三角形是否为等腰三角形。

让我们通过一个例子来加深对等腰三角形性质和判定的理解。

假设我们有一个三角形DEF，其中DE = DF。

我们可以通过边长判定法得出这个三角形是等腰三角形。

接下来，我们可以通过角度判定法验证这个结论。

如果我们发现角D和角E相等，那么我们可以确定这个三角形是等腰三角形。

通过计算角度，我们可以发现角D和角E的度数相等，所以我们可以得出结论：三角形DEF是等腰三角形。

在实际生活中，等腰三角形的性质和判定方法也有一些应用。

例如，在建筑设计中，等腰三角形的对称性可以用于设计对称美观的建筑物。

在工程测量中，等腰三角形的判定方法可以帮助工程师确定一个三角形的性质，从而更好地进行测量和计算。

浙教版数学八年级上册2.4《等腰三角形的判定》教学设计一. 教材分析《等腰三角形的判定》是浙教版数学八年级上册2.4节的一个知识点。

本节内容是在学生已经掌握了三角形的基本概念、三角形的分类、三角形的性质等知识的基础上进行学习的。

通过学习等腰三角形的判定，使学生了解等腰三角形的性质，提高学生解决几何问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了三角形的基本概念、三角形的分类、三角形的性质等知识。

但部分学生对这些知识的掌握程度不够扎实，对于一些概念和性质的理解还有一定的模糊性。

另外，学生在解决几何问题时，往往缺乏条理性和逻辑性。

因此，在教学过程中，需要关注学生的知识基础，注重培养学生解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解等腰三角形的性质，能够运用等腰三角形的性质解决一些简单的几何问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等活动，培养学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的观察能力、思考能力和创新能力。

四. 教学重难点1.重点：等腰三角形的性质。

2.难点：如何运用等腰三角形的性质解决几何问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置一些实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂活动。

2.探究式教学法：引导学生通过观察、操作、猜想、验证等方法，自主探究等腰三角形的性质。

3.小组合作学习：学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教具准备：三角板、直尺、圆规等。

2.教学课件：制作相关的教学课件，以便于辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过设置一些实际问题，引导学生回顾三角形的基本概念、三角形的分类和三角形的性质等知识。

从而引出等腰三角形的判定这一课题。

2.呈现（10分钟）教师通过讲解和展示相关课件，向学生介绍等腰三角形的性质。

引导学生通过观察、操作、猜想、验证等方法，自主探究等腰三角形的性质。

等腰三角形性质及判定
等腰三角形是指三边长度相等的三角形，也叫等腰三角形或等边三角形。

1、等腰三角形的性质：
（1）它的三条边的长度都相等；
（2）它的三个内角都相等，都是60°；
（3）它的两个锐角相等，都是锐角；
（4）它的外角和根据余弦定理可以得到的内角和的和是180°；
（5）它的任意一条腰的垂直平分线为它的直径；
（6）它的面积等于其底边的平方除以4 。

2、等腰三角形判定：
（1）通过量角度来判定：当用角度尺量得到三角形的三个内角值相等，则该三角形为等腰三角。

（2）求外围三角形的周长之和是否相等：三边之和相等的三角形就是等腰三角形。

（3）根据余弦定理：利用余弦定理，设已知任意三角形的两边长度和其夹角，可直接求出另一条边长度，如果当三边长度均相同时，则该三角形即是等腰三角形。

等腰三角形的性质和判定一、知识梳理知识点1：等腰三角形的性质定理1（1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）（2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C（3）证明：取BC的中点D，连接AD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）（4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。

知识点2：等腰三角形性质定理2（1）文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”）（2）符号语言：∵AB=AC ∵AB=AC ∵AB=AC∠1=∠2 AD⊥BC BD=DC∴AD⊥BC，BD=DC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠2BD=DC AD⊥BC（3）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。

知识3：等腰三角形的判定定理（1）文字语言：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）（2）符号语言：在△ABC中∵∠B=∠C ∴AB=AC（3）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。

在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD （AAS）∴AB=AC（4）定理的作用：证明同一个三角形中的边相等。

二、【典型例题分析】基础知识应用题：例1. 如图，已知P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠BAC的度数。

例2. 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别为AB，BC，AC上的点，且BD=CE，∠DEF=∠B。

求证：△DEF是等腰三角形。

综合应用题：例3. 已知：如图，AC和BD相交于点O，AB∥CD，OA=OB，求证：OC=OD例4. 如图，在四边形ABDC中，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，试判断DC与AC的位置关系，并证明你的结论。

例5. 求证：等腰三角形两腰上的中线相等解：已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC的中线求证：BD=CE例6. 如图，点C为线段AB上的一点，△ACM，△BCN是等边三角形，AN，MC相交于点E，CN与BM相交于点F。

浙教版数学八年级上册2.4《等腰三角形的判定》说课稿一. 教材分析《等腰三角形的判定》是浙教版数学八年级上册第2章第4节的内容。

本节课是在学生已经掌握了三角形的基本概念和性质的基础上进行授课的。

等腰三角形是三角形的一种特殊形式，它有两边相等，两个角也相等。

本节课的教学内容主要包括等腰三角形的定义、性质和判定方法。

通过学习本节课，学生能够进一步理解三角形的性质，提高解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形的基本概念和性质，具备了一定的几何知识基础。

但学生对等腰三角形的判定方法可能还比较陌生，需要通过实例和推理来理解和掌握。

此外，学生可能对证明过程的书写和逻辑推理还需要进一步的指导和培养。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解等腰三角形的定义和性质，掌握等腰三角形的判定方法，并能运用判定方法解决问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的几何思维能力和逻辑推理能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探究的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：等腰三角形的定义、性质和判定方法。

2.教学难点：等腰三角形判定方法的推理和证明过程。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法和引导发现法进行教学。

2.教学手段：利用多媒体课件、几何模型等教学辅助工具，帮助学生直观地理解等腰三角形的性质和判定方法。

六. 说教学过程1.导入新课：通过复习三角形的基本概念和性质，引出等腰三角形的定义和性质。

2.探究判定方法：学生分组讨论，每组尝试给出等腰三角形的判定方法，教师进行指导和点拨。

3.推理与证明：学生根据判定方法，进行推理和证明，教师进行评价和反馈。

4.巩固练习：学生进行练习，教师进行讲解和解答。

5.总结与拓展：学生总结等腰三角形的性质和判定方法，教师提出拓展问题，激发学生的思考。

七. 说板书设计板书设计如下：等腰三角形的判定1.定义：两边相等，两个角也相等a.两边相等b.两个角相等c.底角相等2.判定方法：a.两边相等，则两个角也相等b.两个角相等，则两边也相等c.底角相等，则两边也相等八. 说教学评价教学评价主要包括两个方面：一是对学生的评价，二是对教师的评价。