1. 利用质数、合数的性质解题．2. 灵活掌握质数、合数的拆分方法．本讲主要是对质数、合数的性质的灵活运用，并对质数2、5的特殊性深刻理解，同时对一些质数、合数的拆分规律进行归纳总结．1． 质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.2． 判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于P 的质数p (均为整数)，使得p 能够整除P ，那么P 就不是质数，所以我们只要拿所有小于P 的质数去除P 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的P ，我们可以先找一个大于且接近P 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除P ，如没有能够除尽的那么P 就为质数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数. 第6讲质数、合数3． 若干个整数的和已知，求这些整数的积最大的方法拆分原则：多拆3，最多拆两个2，不拆1――拆分后乘积最大4． 找n 个连续合数的方法方法一：(1)!2n ++，(1)!3n ++，(1)!4n ++，…，(1)!(1)n n +++这n 个数分别能被2、3、4、…、(n +1)整除，它们是连续的n 个合数．其中!n 表示从1一直乘到n 的积，即1⨯2⨯3⨯…⨯n ．方法二：[2,3,4,5,,,(1)]2n n ++L ，[2,3,4,5,,,(1)]3n n ++L ，[2,3,4,5,,,(1)]4n n ++L ，L ，[2,3,4,5,,,(1)]n n n ++L ，()[2,3,4,5,,,(1)]1n n n +++L (其中[2,3,4,5,,,(1)]n n +L 表示2，3，4，L ，n ，1n +的最小公倍数)【例 1】 已知P 是质数，21P +也是质数，求51997P +是多少？ 【分析】 P 是质数，2P 必定是合数，而且大于1．又由于21P +是质数，2P 大于1，21P +一定是奇质数，则2P 一定是偶数．所以P 必定是偶质数，即2P =．55199721997P +=+321997=+2029=［巩固］ (第五届“华杯赛”口试第15题)图中圆圈内依次写出了前25个质数；甲顺次计算相邻二质数之和填在上行方格中；乙顺次计算相邻二质数之积填在下行方格中．质数列乙填“积数”甲填“和数”978913117532351561285.................................问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同?为什么?［分析］ 质数中只有一个偶数2，其余的质数均为奇数．所以甲填的“和数”中除第一个是奇数5外，其余的均为不小于8的偶数．乙填的“积数”中除第一个是偶数6外，其余所填的全是不小于15的奇数．所以甲填的数与乙填的数都不相同．【例 2】 (2008年南京市青少年“科学小博士”思维训练)炎黄骄子 菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励40岁以下的数学家．华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖．我们知道正整数中有无穷多个质数(素数)，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对利用质数、合数性质解题任何正整数k ，存在无穷多组含有k 个等间隔质数(素数)的数组．例如，3k =时，3，5，7是间隔为2的3个质数；5，11，17是间隔为6的3个质数：而 ， ， 是间隔为12的3个质数(由小到大排列，只写一组3个质数即可)．【分析】 最小的质数从2开始，现要求每两个质数间隔12，所以2不能在所要求的数组中．而且由于个位是5的质数只有一个5，所以个位是3的质数不能作为第一个质数和第二个质数，可参照下表：［巩固］ (全国小学数学奥林匹克)从1～9中选出8个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数．排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可以读到的最大的数是 ． ［分析］ 由于质数除了2以外都是奇数，所以数字在顺时针排列时应是奇偶相间排列．切开后的数仍然具有“相邻两数之和是质数”，并且最高位与最低位之和也是质数，考虑到“最大”的限制条件，最高位选9，第二位选8，第三位最大可以选7，但7与8之和不是质数，再改选5，8与5之和是质数，符合要求．第四位可选剩余的最大数字6，如此类推……十位可选3，个位选2．所以，可以读到的最大数是98567432．数字排列如图．【例 3】 三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数．【分析】 设这三个质数分别是a 、b 、c ，满足11()abc a b c =++，则可知a 、b 、c 中必有一个为11，不妨记为a ，那么11bc b c =++，整理得(1)(1)12b c --=，又121122634=⨯=⨯=⨯，对应的b =2、c =13或b =3、c =7或b =4、c =5(舍去)，所以这三个质数可能是2，11，13或3，7，11．［拓展］ (俄罗斯数学奥林匹克)万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同．如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？［分析］ 因为是质数所以个位数不可能为偶数0，2，4，6，8也不可能是奇数5．如果末位数字是3或9，那么数字和就将是3或9的两倍，因而能被它们整除，这就不是质数了．所以个位数只能是7．这个三位质数可以是167，257，347，527或617中间的任一个．【例 4】 (我爱数学少年数学夏令营)用0，1，2，…，9这10个数字组成6个质数，每个数字至多用1次，每个质数都不大于500，那么共有 种不同的组成6个质数的方法．请将所有方法都列出来．【分析】 除了2以外，质数都是奇数，因为0～9中只有5个奇数，所以如果想组成6个质数，则其中一定有2．又尾数为5的数中只有5是质数，所以5只能单独作为6个质数中的一个数．另4个质34765892数分别以1，3，7，9为个位数，从而列举如下：{2，3，5，7，41，89}，{2，3，5，7，61，89}，{2，3，5，7，89，401}，{2，3，5，7，89，461}，{2，3，5，7，61，409}，{2，3，5，47，61，89}，{2，3，5，41，67，89}，{2，3，5，67，89，401}，{2，5，7，43，61，89}，{2，5，7，61，83，409}．即共有10种不同的方法．［拓展］ (2003年“祖冲之杯”邀请赛)大约1500年前，我国伟大的数学家祖冲之，计算出π的值在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把π的值精确到7位小数的人．现代人利用计算机已经将π的值计算到了小数点后515亿位以上．这些数排列既无序又无规律．但是细心的同学发现：由左起的第一位3是质数，31也是质数，但314不是质数，那么在3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927中，质数是 ．［分析］ 注意到3141，31415，3141592，31415926，31415927依次能被3，5，2，2，31整除，所以，质数是314159．【例 5】 (保良局亚洲区城市小学数学邀请赛)用L 表示所有被3除余1的全体正整数．如果L 中的数(1不算)除1及它本身以外，不能被L 的任何数整除，称此数为“L —质数”．问：第8个“L —质数”是什么？【分析】 “L 数”为1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，…．“L —质数”应为上列数中去掉1，16，28，…，即为4，7，10，13，19，22，25，31，34，…．所以，第8个“L —质数”是31．【例 6】 有一个四位数，它的个位数字与千位数字之和为10，且个位数既是偶数又是质数，去掉首位和末位得到一个两位数是质数，又知这个四位数是72的倍数，求这个四位数．【分析】 设这个四位数为abcd ，由题目可知，10a d +=，2d =，所以8a =，四位数是82bc根据：“去掉首位和末位得到一个两位数是质数”，“这个四位数是72的倍数”可得72|82bc ，9|82bc ，即9|(82)b c +++．可以得到9|(1)b c ++．所以b c +的结果有两种可能：8b c +=，17b c +=．bc 可能是80，71，17，62，26，53，35，44，98，89．其中80，62，26，35，44，98为合数．只有71，17，53，89是质数． 又因8|2,2100102(968)(422)bc bc b c b c b c =++=++++所以8|422b c ++(968b c +是8的倍数)．把17，53，89代入上式：不能满足8|422b c ++，只有71可以满足上式：8|47212⨯+⨯+【例 7】 如果一个数，将它的数字倒排后所得的数仍是这个数，我们称这个数为回文数．如年份数1991，具有如下两个性质：①1991是一个回文数．②1991可以分解成一个两位质数回文数和一个三位质数回文数的积．在1000年到2000年之间的一千年中，除了1991外，具有性质①和②的年份数，还有．【分析】这一千年间回文数年份共有10个，除去1991外，还有1001，1111，1221，1331，1441，1551，1661，1771，1881．符合条件②的两位质数只能是11，所以符合条件②的只有三个，即11⨯101=1111，11⨯131=1441，11⨯15l=1661．［铺垫］(2005年武汉“明星奥数挑战赛”)小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数．同时，她感到这个号码很容易记住，因为它的形式为abba，其中a b≠，而且ab和ba都是质数(a和b是两个数字)．具有这种形式的数共有个．［分析］若两位数ab、ba均为质数，则a、b均为奇数且不为5，故有1331，3113，1771，7117，7337，3773，9779，7997共8个数．［拓展］如果某整数同时具备性质：⑴这个数与1的差是质数；⑵这个数除以2所得的商也是质数；⑶这个数除以9所得的余数是5．我们称这个整数为幸运数，那么在两位数中，最大的幸运数是．［分析］条件⑴也就是这个数与1的差是2或奇数，这个数只能是3或者是偶数，再根据条件⑶，除以9余5，在两位的偶数中只有14，32，50，68，86这五个数满足条件．其中86与50不符合⑴，32与68不符合⑵，三个条件都符合的只有14．这个数是14．【例 8】一个等差数列的连续5项都是质数，那么这个等差数列的公差最小是多少？【分析】显然公差应该是一个偶数，如果是奇数的话，那任意相邻的两项就必然是一个奇数一个偶数了．同样的道理，公差如果不是3的倍数，那任意相邻的三项中必然有一个是3的倍数，如果第一项是3, 则第4项也是3的倍数，不能是质数了；综合分析得，公差应该是2和3的倍数，所以公差至少是6.如果公差是5的倍数，则公差至少是30；如果公差不是5的倍数，因为连续项中至少有一个是5的倍数，所以只能是第1个是5,取6为公差，那剩下的就分别是11、17、23、29,恰好满足要求，所以公差最小是6．［拓展］有9个连续自然数，它们都大于80，那么其中质数最多有多少个？［分析］首先除了2以外的质数都是奇数，在任意9个连续自然数中，至多有5个数是奇数，这5个奇数中必然有一个5的倍数，所以质数最多有5-1=4个．构造过程如下：首先有4个偶数，所以这9个数中最大的和最小的都是奇数，中间的一个自然也是奇数；而且9个连续自然数有3个3的倍数，只能有1个奇数，有2个偶数，那么第2个数和第8个数是3的倍数的偶数，这样的话第5个数也就是中间的数必然是3的倍数，为了节省“合数”，所以我们应该让中间的一个数既是3的倍数，又是5的倍数，经试验105可以做中间数, 发现这9个数是101、102、103、104、105、106、107、108、109, 刚好有4个质数101、103、107、109．质数、合数的灵活拆分【例 9】把1988分成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，要使得到的乘积尽可能大，则这时乘积的所有不同质因数的和是．【分析】如果拆成的数中有1，则将1加入其它的数中将会使乘积更大，所以拆成的数中不能有1；如果拆成的数中有不小于5的数a，由于3(3)290->，所以将a再拆成3与a a a--=->，即3(3)a a3a-会使乘积更大，所以拆成的数中不能有不小于5的数；如果拆成的数中有4，由于42222=+=⨯，所以可以将4再拆成两个2，这样乘积不变所以；拆成的数应全为2和3．又因为22233++=+，22233⨯⨯<⨯，所以，如果出现3个以上的2，将3个2换成2个3会使乘积更大；所以，拆成的数中最多只能有2个2，其余的全为3．而198836622=⨯+，所以应将1988拆分成662个3和1个2，这时其乘积最大．而此时乘积只有3和2这两个不同的质因数，所以答案是325+=．总结拆分原则：多拆3，做多拆两个2，不拆1――拆分后乘积最大［巩固］若干个整数的和是2005，求这些整数的积最大是多少？［分析］2005÷3=6681L L，则拆成：6672⨯．32【例11】将30拆成若干个互不相同的自然数之和，要求这些自然数的乘积尽量大，应怎样拆？【分析】拆成2，3，4，6，7，8．1不应出现在拆成的数中．把从2开始的若干个连续自然数相加．如果n n++++-+L与a的差只L，则234(1)++++-<++++-+≥n aL，而234(1)234(1)n n a可能为0，1，2，…，1n-．①当差为0时，将a拆成234(1)a n nL=++++-+②当差为1时，将a拆成34(1)L=+++-+a n n③当差为2，3，…，n-1中的数时，就将该数从2，3，…，n-1，n中删除，其余数即为所拆之数．本题中234567835++++++=，比30大5，故将5去掉，30被拆成234678+++++［巩固］(2008年湖北“创新杯”)电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播．A．7天B．8天C．9天D．10天［分析］由于希望播出的天数要尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少．又123456728++++++=，如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出．由于已有过一天播出2集的情况，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子里播出．例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9等均可．所以最多可以播7天．【例11】写出10个连续自然数，它们个个都是合数．【分析】在寻找质数的过程中，我们可以看出100以内最多可以写出7个连续的合数：90，91，92，93，94，95，96．我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就行了．用筛选法可以求得在113与127之间共有13个都是合数的连续自然数：114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126．同学们可以在这里随意截取10个即为答案．可见本题的答案不唯一．老师可以把本题拓展为找更多个连续的合数：找200个连续的自然数它们个个都是合数．【分析】如果10个连续自然数中，第1个是2的倍数，第2个是3的倍数，第3个是4的倍数L L第10个是11的倍数，那么这10个数就都是合数．又2m+，m+3，L，m+11是11个连续整数，故只要m是2，3，L，11的公倍数，这10个连续整数就一定都是合数．设m为2，3，4，L，11这10个数的最小公倍数．m+2，m+3，m+4，L，m+11分别是2的倍数，3的倍数，4的倍数L L11的倍数，因此10个数都是合数．所以我们可以找出2，3，4L11的最小公倍数27720，分别加上2，3，4L11，得出十个连续自然数27722，27723，27724L27731，他们分别是2，3，4L11的倍数，均为合数．说明：我们还可以写出11!2,11!3,11!411!11L(其中n！=1⨯2⨯3⨯L⨯n)这10个连续合数++++来．同样，(m+1)!+2,(m+1)!+3,,(m+1)!+m+1L是m个连续的合数．那么200个连续的自然数可以是：201!2,201!3,,201!201L+++说明：构造法的应用可以很快得出符合条件的10个连续自然数，而且可以拓展到更多连续自然数的情况．【例12】有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有13种，那么所有这样的自然数中最小的一个是多少？【分析】在所有的质数中，从小到大第13个质数是41，因此在13种分解方法中，质数最大的那一组至少是41445=+=+=+=+=+ +=．按题目要求分拆45有如下12种方法：4534254073811341332 17281926232229163114378414=+=+=+=+=+=+=+按题目要求分拆46有如下7种方法：=+=+=+=+=+=+=+462447391135133319273115379按题目要求分拆47有如下14种方法：=+=+=+=+=+=+=+472453444435426417401037=+=+=+=+=+=+=+因此满足题意最小自然数是47．1136133417301631182919282324［拓展］求1-100中不能表示成两个合数的乘积再加一个合数的最大数是多少？［分析］考虑最小的合数是4，先把表示方法简化为4⨯合数+合数而合数最简单的表现形式就是大于等于4的偶数因此该表示方法进一步表示为4⨯(2⨯n)＋合数即8n+合数(其中n＞1即可)当该数被8整除时， 该数可表示为4⨯(2n )+8 ，n ＞1,所以大于等于24的8的倍数都可表示 当该数被8除余1时，该数可表示为4⨯(2n )+9，n ＞1,所以大于等于25的被8除余1的都可表示当该数被8除余2时，该数可表示为4⨯(2n )+10，n ＞1,所以大于等于26的被8除余2的都可表示当该数被8除余3时，该数可表示为4⨯(2n )+27，n ＞1,所以大于等于43的被8除余3的都可表示当该数被8除余4时，该数可表示为4⨯(2n )+4，所以大于等于20的被8除余4的都可表示当该数被8除余5时，该数可表示为4⨯(2n )+21，所以大于等于37的被8除余5的都可表示 当该数被8除余6时，该数可表示为4⨯(2n )+6，所以大于等于22的被8除余6的都可表示当该数被8除余7时，该数可表示为4⨯(2n )+15，所以大于等于31的被8除余7的都可表示 综上所述，不能表示的最大的数是43835-=经检验，35的确无论如何也不能表示成合数×合数＋合数的形式，因此我们所求的最大的数就是351． P 是质数，10P +，14P +，210P +都是质数．求P 是多少？【分析】 由题意知P 是一个奇数，因为10331÷=L ，14342÷=L ，所以P 是3的倍数，所以3P =2． 三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数．【分析】 设这三个质数分别是a 、b 、c ，满足7()abc a b c =++，则可知a 、b 、c 中必有一个为7，不妨记为a ，那么7bc b c =++，整理得(1)(1)8b c --=，又81824=⨯=⨯，对应的b =2、c =9(舍去)或b =3、c =5，所以这三个质数可能是3，5，73． 用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数?（并写出所组成的质数）【分析】 要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，除了2以外，质数都是奇数，因为0～9中只有5个奇数，所以如果想组成6个质数，则其中一定有2．又尾数为5的数中只有5是质数，所以5只能单独作为6个质数中的一个数．另4个质数分别以1，3，7，9为个位数，从而列举如下：{2，3，5，7，89，461}、{2，3，5，7，89，641}(6252525=⨯.而且641都不能被2、3、5、7、11、13、17、19、23整除，所以641是质数){2，3，5，47，61，89}，{2，3，5，41，67，89}，{2，5，7，43，61，89}4． 有人说：“任何7个连续整数中一定有质数．”请你举一个例子，说明这句话是错的．【分析】 例如连续的7个整数：842、843、844、845、846、847、848分别能被2、3、4、5、6、7、8整除，它们都不是质数．【评注】我们注意到(1)!2n ++，(1)!3n ++，(1)!4n ++，…，(1)!(1)n n +++这n 个数分别能被2、3、4、…、(n +1)整除，它们是连续的n 个合数．其中!n 表示从1一直乘到n 的积，即1⨯2⨯3⨯…⨯n ．5． 若将17拆成若干个的质数之和，使得这些质数的乘积尽可能大，那么这个最大的乘积是多少？【分析】 根据整数拆分原则：多拆3，少拆2，不拆1――拆分后乘积最大．若要使17拆成的不同质数的乘积尽可能大，应该将17分解为5个3和1个2，所以最大乘积是3⨯3⨯3⨯3⨯3⨯2=486．6． (第五届“华杯赛”复赛第8题)把37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法?将每一种拆法中所拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小?【分析】 3735292572331123231319513197111925111925131771317271117=++=+++=++=+++=++=++=+++=+++=++=+++ 共10种不同拆法．其中3⨯5⨯29=435最小拒子入门子发是战国时期楚国的一位将军。
