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圆周运动温故自查1．线速度(1)物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢．(2)方向：质点在圆弧某点的线速度方向沿圆弧该点的方向．(3)大小：v＝ (s是t时间内通过的弧长)．切线2．角速度(1)物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢．(2)大小：ω＝ (rad/s)，φ是连结质点和圆心的半径在t时间内转过的角度．3．周期T、频率f做圆周运动的物体运动一周所用的叫周期．做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数，叫做频率，也叫转速．4．v、ω、f、T的关系时间考点精析描述圆周运动的物理量有线速度、角速度、周期、频率、向心加速度五个物理量，线速度描述质点沿圆周运动的快慢，角速度描述质点绕圆心转动的快慢，周期和频率表示质点做圆周运动的快慢，向心加速度描述线速度方向变化的快慢．其中T、f、ω三个量是密切相关的，任意一个量确定，其它两个量就是确定的，其关系为当T、f、ω一定时，线速度v还与r有关，r越大，v越大；r越小，v越小．向心加速度是按效果命名的，总是指向圆心，方向时刻在变化，是一个变加速度．当ω一定时，a与r成正比，当v一定时，a与r成反比，关系式为a＝＝ω2r.注意对公式中v、r的理解，严格地说，v是相对圆心的速度，r是物体运动轨迹的曲率半径.温故自查匀速圆周运动的向心力，是按作用效果命名的，其动力学效果在于向心加速度，即只改变线速度方向，不会改变线速度的大小．表达式：对于做匀速圆周运动的物体其向心力应由其所受合外力提供，mω2r考点精析1．向心力的作用效果：产生向心加速度以不断改变物体的线速度方向，维持物体做圆周运动．2．向心力的来源向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是各力的合力或某力的分力，总之，只要达到维持物体做圆周运动效果的力，就是向心力．向心力是按力的作用效果来命名的．对各种情况下向心力的来源应明确．如：水平圆盘上跟随圆盘一起匀速转动的物体[如图(a)]和水平地面上匀速转弯的汽车，其摩擦力是向心力；圆锥摆[如图(b)]和以规定速度转弯的火车，向心力是重力与弹力的合力．3．圆周运动中向心力的分析(1)匀速圆周运动：物体做匀速圆周运动时受到的外力的合力就是向心力，向心力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心，这是物体做匀速圆周运动的条件．(2)变速圆周运动：在变速圆周运动中，合外力不仅大小随时间改变，其方向也不沿半径指向圆心．合外力沿半径方向的分力(或所有外力沿半径方向的分力的矢量和)提供向心力，使物体产生向心加速度，改变速度的方向，合外力沿轨道切线方向的分力，使物体产生切向加速度，改变速度的大小．4．圆周运动中的动力学方程无论是匀速圆周运动，还是非匀速圆周运动，向心力和向心加速度关系仍符合牛顿第二定律即：温故自查1．定义做匀速圆周运动的物体，在合外力突然消失或者不足以提供圆周运动所需的向心力的情况下，就做逐渐圆心的运动，叫做离心运动．远离2．离心运动的应用和危害利用离心运动制成离心机械，如：离心干燥器、洗衣机的脱水筒等．汽车、火车转弯处，为防止离心运动造成的危害，一是限定汽车和火车的转弯速度不能太；二是把路面筑成外高内低的斜坡以向心力．大增大考点精析物体做离心运动的条件：(1)做圆周运动的物体，由于本身具有惯性，总是想沿着切线方向运动，只是由于向心力作用，使它不能沿切线方向飞出，而被限制着沿圆周运动，如图中B情形所示．(2)当产生向心力的合外力消失，F＝0，物体便沿所在位置的切线方向飞出去，如图中A所示．(3)当提供向心力的合外力不完全消失，而只是小于应当具有的向心力F′＝mrω2，即合外力不足以提供所需的向心力的情况下，物体沿切线与圆周之间的一条曲线运动，如图中C所示．命题规律同轴转动或皮带传动过程中，确定线速度、角速度、向心加速度之间的关系．[考例1] 某种变速自行车，有六个飞轮和三个链轮，如图所示，链轮和飞轮的齿数如下表所示，前、后轮直径约为660mm，人骑该车行进速度为4m/s时，脚踩踏板做匀速圆周运动的角A．1.9rad/s B．3.8rad/sC．6.5rad/s D．7.1rad/s[解析]车行驶速度与前、后车轮边缘的线速度相等，故后轮边缘的线速度为4m/s，后轮的角速度飞轮与后轮为同轴装置，故飞轮的角速度ω1＝ω＝12rad/s，飞轮与链轮是用链条连接的，故链轮与飞轮线速度相同，所以ω1r1＝ω2r2，r1，r2分别为飞轮和链轮的半径，因此周长L＝NΔL＝2πr，N为齿数，ΔL为两邻齿间的弧长，故r∝N，所以ω1N1＝ω2N2.[答案] B[总结评述] 皮带传动、齿轮传动装置，两轮边缘各点的线速度大小相等，根据v＝ωr、a ＝v2/r即可讨论两轮的角速度和边缘的向心加速度的关系．在同一轮上，各点的角速度相同，根据v＝ωr、a＝ω2r即可讨论轮上各点的线速度和向心加速度的关系．如图所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r1、r2、r3.若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为( )[解析]对甲轮边缘的线速度v1＝r1ω1对乙轮边缘的线速度v2＝r2ω2对丙轮边缘的线速度v3＝r3ω3由各轮边缘的线速度相等得：r1ω1＝r2ω2＝r3ω3[答案] A命题规律物体在水平面内做匀速圆周运动，确定轨道平面，确定圆心位置，确定向心力的方向，根据牛顿运动定律，求向心力或向心加速度、线速度、角速度．[考例2] 如图所示，质量M＝0.64kg的物体置于可绕竖直轴匀速转动的平台上，M用细绳通过光滑的定滑轮与质量为m＝0.3kg的物体相连．假定M与轴O的距离r＝0.2m，与平台的最大静摩擦力为2N.为使m保持静止状态，水平转台做圆周运动的角速度ω应在什么范围？(g＝10m/s2)[解析]m保持静止状态时，M做圆周运动的半径不变，M的向心力由绳的拉力和静摩擦力的合力提供，由于静摩擦力的大小、方向不定，所以存在临界问题．当ω最小时，M受到的最大静摩擦力的方向与拉力的方向相反，则有mg－F fm＝代入数据得ω1＝2.80rad/s当ω增大时，静摩擦力减小，当ω′＝4.84rad/s时，静摩擦力为零．当ω继续增大时，M受到的静摩擦力方向反向，与拉力方向相同，静摩擦力与拉力的合力提供做圆周运动的向心力．当ω最大时有mg＋F fm＝Mωr代入数据得ω2＝6.25rad/s因此ω的取值范围为2．80rad/s≤ω≤6.25rad/s[答案] 2.80rad/s≤ω≤6.25rad/s一个圆盘在水平面内匀速转动，角速度是4 rad/s.盘面上距圆盘中心0.10m的位置有一个质量为0.10kg的小物体能够随圆盘一起运动，如下图所示．(1)求物体做匀速圆周运动时所受向心力的大小．(2)关于物体的向心力，甲、乙两人有不同意见：甲认为该向心力等于圆盘对物体的静摩擦力，指向圆心；乙认为物体有向前运动的趋势 , 摩擦力方向和相对运动趋势的方向相反，即向后，而不是和运动方向垂直，因此向心力不可能是静摩擦力．你的意见是什么？说明理由．[解析](1)根据牛顿第二运动定律得：F＝mω2r＝0.1×42×0.1N＝0.16N.(2)甲的意见是正确的．静摩擦力的方向与物体相对接触面运动的趋势方向相反．设想一下，如果在运动过程中，转盘突然变得光滑了，物体将沿轨迹切线方向滑动，这就如同在光滑的水平面上，一根细绳一端固定在竖直立柱上，一端系一小球，让小球做匀速圆周运动，突然剪断细绳一端，小球将沿轨迹切线方向飞出．这说明物体在随转盘匀速转动的过程中，相对转盘有沿半径向外的运动趋势．[答案](1)0.16 N (2)同意甲的意见命题规律(1)根据物体在竖直平面内做圆周运动的临界条件，确定物体在最高点或最低点的速度大小或物体受力情况．(2)根据物体在竖直平面内做圆周运动的速度，由牛顿运动定律确定物体所受合力或物体所受的压力或拉力．[考例3] 如图所示，LMPQ是光滑轨道，LM水平，长为5.0m，MPQ是一半径为R＝1.6m的半圆，QOM在同一竖直线上，在恒力F作用下，质量m＝1kg的物体A由静止开始运动，当达到M时立即停止用力．欲使A刚好能通过Q点，则力F大小为多少？(取g＝10m/s2)[解析]物体A经过Q点时，其受力情况如图所示．由牛顿第二定律得mg＋F N＝物体A刚好过Q点时有F N＝0＝4m/s对物体从L到Q全过程，由动能定理得Fx LM－2mgR＝mv2解得F＝8N.[答案]8N[总结评述] (1)正确理解A物体“刚好能通过Q点”的含义是解决本题的关键．常用来表达临界状态的词语还有“恰好”“恰能”“至少”“至多”等，同学们在审题时必须高度注意．小球沿圆弧M→P→Q通过最高点Q时，应服从圆周运动的规律，即应从向心力与线速度的关系求解小球经过Q点的临界速度．(2)圆周运动常与机械能守恒定律、动能定理、电荷在磁场中的偏转等知识相联系，构成综合性较强的题目．如图所示的“S”形玩具轨道，该轨道是用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，固定在竖直平面内，轨道弯曲部分是由两个半径相等的半圆连接而成，圆半径比细管内径大得多，轨道底端与水平地面相切．弹射装置将一个小球(可视为质点)从a点水平弹射向b点并进入轨道，经过轨道后从P点水平抛出．已知小物体与地面ab段间的动摩擦因数μ＝0.2，不计其他机械能损失，ab段长L＝1.25m，圆的半径R＝0.1m，小物体质量m＝0.01kg，轨道质量为M＝0.15kg，g＝10m/s2.求：(1)若v0＝5m/s，小物体从P点抛出后的水平射程；(2)若v0＝5m/s，小物体经过轨道的最高点时管道对小物体作用力的大小和方向；(3)设小球进入轨道之前，轨道对地面的压力大小等于轨道自身的重力．当v0至少为多大时，可出现轨道对地面的瞬时压力为零．[解析](1)小物体运动到P点时的速度大小为v，对小物体由a点运动到P点过程应用动能定理得小物体自P点做平抛运动，设运动时间为t，水平射程为s，则：(2)设在轨道最高点时管道对小物体的作用力大小为F，取竖直向下为正方向F＋mg＝联立代入数据解得F＝1.1N，方向竖直向下．(3)分析可知，要使小球以最小速度v0运动，且轨道对地面的压力为零，则小球的位置应该在“S”形轨道的中间位置，设此时速度为v1，解得：v0＝5m/s.[答案](1)0.4 m(2)1.1N 方向竖直向下(3)5m/s命题规律生活中的圆周运动随处可见，和分析一般圆周运动类似，对物体正确的受力分析，确定向心力、轨迹圆是求解的关键．[考例4] 铁路转弯处的弯道半径r是由地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道处的行驶速率．下面表格中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的内外轨道的高度差h.(g取10m/s2)(1)根据表中数据，试导出h和r的关系表达式，并求出当r＝440m时，h的设计值；(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内外轨的间距设计值为L＝1435mm，结合表中数据，算出我国火车的转弯速率v(以km/h为单位，结果取整数)．(设轨道倾角θ很小时，tanθ≈sinθ)[解析](1)分析表中数据可得，每组h与r的乘积都等于常数C＝660×50×10－3m2＝33m2，因此，hr＝C，得h＝当r＝440m时，有h＝＝0.075m＝75mm(2)若转弯时，内外轨对车轮均没有侧向压力，火车的受力如图甲所示．由牛顿第二定律得mg tanθ＝代入数据解得v≈15m/s＝54km/h[答案](1)75mm (2)54km/h[总结评述] 近几年，人们对交通运输的快捷提出了更高的要求，为了提高运输力，国家对铁路不断进行提速，这就要求铁路转弯处对应的速率也要提高，由题中表达式v＝可知，提高速度可采用两种方法：(1)适当增加内外轨的高度差h；(2)适当增加轨道半径r.如图所示，医学上常用离心分离机加速血液的沉淀，其“下沉”的加速度可这样表示：而普通方法靠“重力沉淀”产生的加速度为a′式子中ρ0，ρ分别为液体密度和液体中固体颗粒的密度，r表示试管中心到转轴的距离，ω为转轴角速度，由以上信息回答：(1)当满足什么条件时，“离心沉淀”比“重力沉淀”快？(2)若距离r＝0.2m，离心机转速度n＝3000r/min，求a a′.[解析](1)比较两个加速度a和a′可知：只要rω2>g，即ω> 离心沉淀就比重力沉淀快．命题规律物体做圆周运动具有周期性，正确分析物体运动过程，确定物体运动的多解．[考例5] 在半径为R的水平圆板中心轴正上方高为h处，水平抛出一小球，圆板匀速转动．当圆板半径OA与初速度方向一致时开始抛出小球，如图所示，要使球与圆板只碰一次，且落点为A，则小球的初速度v0为多大？圆板转动的角速度为多大？[解析]对做平抛运动的小球的运动情况分析可得在竖直方向：如图所示，小球从光滑的圆弧轨道下滑至水平轨道末端时，光电装置被触动，控制电路会使转筒立刻以某一角速度匀速连续转动起来．转筒的底面半径为R，已知轨道末端与转筒上部相平，与转筒的转轴距离为L，且与转筒侧壁上的小孔的高度差为h；开始时转筒静止，且小孔正对着轨道方向．现让一小球从圆弧轨道上的某处无初速滑下，若正好能钻入转筒的小孔(小孔比小球略大，小球视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g)，求：(1)小球从圆弧轨道上释放时的高度H；(2)转筒转动的角速度ω.[解析](1)设小球离开轨道进入小孔的时间为t，则由平抛运动规律得ωt＝2nπ(n＝1,2,3…)．命题规律根据物体受力分析和物体运动情况，确定物体做圆周运动时的角速度(或转速)大小范围．[考例6] 如图所示，两绳系一个质量为m＝0.1kg的小球，两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，上面绳长L＝2m，两绳都拉直时与轴夹角分别为30°和45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧？[解析]两绳张紧时，小球受的力如图所示，当ω由0逐渐增大时，ω可能出现两个临界值．(1)BC恰好拉直，但F2仍然为零，设此时的角速度ω1，则有F x＝F1sin30°＝mωL sin30°，①F y＝F1cos30°－mg＝0, ②代入已知解①②得，ω1≈2.40rad/s.(2)AC由拉紧转为恰好拉直，但F1已为零，设此时的角速度为ω2，则有F x＝F2sin45°＝mωL sin30°，③F y＝F2cos45°－mg＝0, ④代入已知解③④得ω2≈3.16rad/s.可见，要使两绳始终张紧，ω必须满足2．4rad/s≤ω≤3.16rad/s.[答案] 2.4rad/s≤ω≤3.16rad/s如图所示，把一个质量m＝1kg的物体通过两根等长的细绳与竖直杆上A、B两个固定点相连接，绳a、b长都是1 m，AB长度是1.6m，直杆和球旋转的角速度等于多少时，b绳上才有张力？[解析]已知a、b绳长均为1 m，即sinθ＝0.6，θ＝37°小球做圆周运动的轨道半径b绳被拉直但无张力时，小球所受的重力mg与a绳拉力F Ta的合力F为向心力，其受力分析如图所示，由图可知小球的向心力为F＝mg tanθ根据牛顿第二定律得F＝mg tanθ＝mr·ω2解得直杆和球的角速度为＝3.5rad/s.当直杆和球的角速度ω>3.5rad/s时，b中才有张力．[答案]ω>3.5rad/s命题规律考查识别图象、分析物体在各位置的运动状态等主要知识内容．[考例7] 如图甲所示，在同一竖直平面内的两条正对着的相同半圆形的光滑轨道，相隔一定的距离，虚线沿竖直方向，一小球能在其间运动，今在最高点与最低点各放一个压力传感器，测试小球对轨道的压力，并通过计算机显示出来，当轨道距离变化时，测得两点压力差与距离x的图象如图乙所示，g取10m/s2，不计空气阻力，求：(1)小球的质量为多少？(2)若小球在最低点B的速度为20m/s，为使小球能沿轨道运动，x的最大值为多少？[解析](1)设轨道半径为R，由机械能守恒定律：由图象可得：截距6mg＝6，即m＝0.1kg[答案](1)0.1kg (2)15m[总结评述] 随着高考改革的深入，新高考更加突出对考生应用能力及创新能力的考查，本题就是构建了新的情景：将常见的竖直平面内的圆周变换成两正对着的相同半圆光滑轨道，同时将环内圆周运动和机械能综合，并结合了利用传感器所得的图象，考查了识别图象、分析小球在各位置的状态(特别是特殊点处，如最高点与最低点)等重要知识内容．在本题中既考查了中学阶段很重要的受力分析能力，又对圆周运动的相关知识进行考查，更重要的是考查了同学们在新情景下构建模型、从图象获取信息进行解题的能力．。
准兑市爱憎阳光实验学校圆周运动温故自查1．线速度(1)物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢．(2)方向：质点在圆弧某点的线速度方向沿圆弧该点的方向．(3)大小：v＝ (s是t时间内通过的弧长)．切线2．角速度(1)物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢．(2)大小：ω＝ (rad/s)，φ是连结质点和圆心的半径在t时间内转过的角度．3．周期T、频率f做圆周运动的物体运动一周所用的叫周期．做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数，叫做频率，也叫转速．4．v、ω、f、T的关系时间考点精析描述圆周运动的物理量有线速度、角速度、周期、频率、向心加速度五个物理量，线速度描述质点沿圆周运动的快慢，角速度描述质点绕圆心转动的快慢，周期和频率表示质点做圆周运动的快慢，向心加速度描述线速度方向变化的快慢．其中T、f、ω三个量是密切相关的，任意一个量确，其它两个量就是确的，其关系为当T、f、ω一时，线速度v还与r有关，r越大，v越大；r越小，v越小．向心加速度是按效果命名的，总是指向圆心，方向时刻在变化，是一个变加速度．当ω一时，a与r成正比，当v一时，a与r成反比，关系式为a＝＝ω2r.注意对公式中v、r的理解，严格地说，v是相对圆心的速度，r是物体运动轨迹的曲率半径.温故自查匀速圆周运动的向心力，是按作用效果命名的，其动力学效果在于向心加速度，即只改变线速度方向，不会改变线速度的大小．表达式：对于做匀速圆周运动的物体其向心力由其所受合外力提供，mω2r考点精析1．向心力的作用效果：产生向心加速度以不断改变物体的线速度方向，维持物体做圆周运动．2．向心力的来源向心力可以是重力、弹力、摩擦力各种力，也可以是各力的合力或某力的分力，总之，只要到达维持物体做圆周运动效果的力，就是向心力．向心力是按力的作用效果来命名的．对各种情况下向心力的来源明确．如：水平圆盘上跟随圆盘一起匀速转动的物体[如图(a)]和水平地面上匀速转弯的，其摩擦力是向心力；圆锥摆[如图(b)]和以规速度转弯的火车，向心力是重力与弹力的合力．3．圆周运动中向心力的分析(1)匀速圆周运动：物体做匀速圆周运动时受到的外力的合力就是向心力，向心力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心，这是物体做匀速圆周运动的条件．(2)变速圆周运动：在变速圆周运动中，合外力不仅大小随时间改变，其方向也不沿半径指向圆心．合外力沿半径方向的分力(或所有外力沿半径方向的分力的矢量和)提供向心力，使物体产生向心加速度，改变速度的方向，合外力沿轨道切线方向的分力，使物体产生切向加速度，改变速度的大小．4．圆周运动中的动力学方程无论是匀速圆周运动，还是非匀速圆周运动，向心力和向心加速度关系仍符合牛顿第二律即：温故自查1．义做匀速圆周运动的物体，在合外力突然消失或者缺乏以提供圆周运动所需的向心力的情况下，就做逐渐圆心的运动，叫做离心运动．远离2．离心运动的用和危害利用离心运动制成离心机械，如：离心枯燥器、洗衣机的脱水筒．、火车转弯处，为防止离心运动造成的危害，一是限和火车的转弯速度不能太；二是把路面筑成外高内低的斜坡以向心力．大增大考点精析物体做离心运动的条件：(1)做圆周运动的物体，由于本身具有惯性，总是想沿着切线方向运动，只是由于向心力作用，使它不能沿切线方向飞出，而被限制着沿圆周运动，如图中B 情形所示．(2)当产生向心力的合外力消失，F＝0，物体便沿所在位置的切线方向飞出去，如图中A所示．(3)当提供向心力的合外力不完全消失，而只是小于当具有的向心力F′＝mrω2，即合外力缺乏以提供所需的向心力的情况下，物体沿切线与圆周之间的一条曲线运动，如图中C所示．[考例1] 某种变速自行车，有六个飞轮和三个链轮，如下图，链轮和飞轮的齿数如下表所示，前、后轮直径约为660mm，人骑该车行进速度为4m/s时，脚踩踏板做匀速圆周运动的角速度最小值约为( )名称链轮飞轮齿数N/个48 38 28 15 16 18 21 24 28A．rad/s B．rad/sC．rad/s D．rad/s[解析] 车行驶速度与前、后车轮边缘的线速度相，故后轮边缘的线速度为4m/s，后轮的角速度飞轮与后轮为同轴装置，故飞轮的角速度ω1＝ω＝12rad/s，飞轮与链轮是用链条连接的，故链轮与飞轮线速度相同，所以ω1r1＝ω2r2，r1，r2分别为飞轮和链轮的半径，因此周长L＝NΔL＝2πr，N为齿数，ΔL为两邻齿间的弧长，故r∝N，所以ω1N1＝ω2N2.[答案] B[总结评述] 皮带传动、齿轮传动装置，两轮边缘各点的线速度大小相，根据v＝ωr、a＝v2/r即可讨论两轮的角速度和边缘的向心加速度的关系．在同一轮上，各点的角速度相同，根据v＝ωr、a＝ω2r即可讨论轮上各点的线速度和向心加速度的关系．如下图，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r1、r2、r3.假设甲轮的角速度为ω1，那么丙轮的角速度为( ) [解析] 对甲轮边缘的线速度v1＝r1ω1对乙轮边缘的线速度v2＝r2ω2对丙轮边缘的线速度v3＝r3ω3由各轮边缘的线速度相得：r1ω1＝r2ω2＝r3ω3[答案] A[考例2] 如下图，质量M＝0.64kg的物体置于可绕竖直轴匀速转动的平台上，M用细绳通过光滑的滑轮与质量为m＝0.3kg的物体相连．假M与轴O的距离r ＝0.2m，与平台的最大静摩擦力为2N.为使m保持静止状态，水平转台做圆周运动的角速度ω在什么范围？(g＝10m/s2)[解析] m保持静止状态时，M做圆周运动的半径不变，M的向心力由绳的拉力和静摩擦力的合力提供，由于静摩擦力的大小、方向不，所以存在临界问题．当ω最小时，M受到的最大静摩擦力的方向与拉力的方向相反，那么有mg－F fm ＝代入数据得ω1＝0rad/s当ω增大时，静摩擦力减小，当ω′＝4rad/s时，静摩擦力为零．当ω继续增大时，M受到的静摩擦力方向反向，与拉力方向相同，静摩擦力与拉力的合力提供做圆周运动的向心力．当ω最大时有mg＋F fm＝Mωr代入数据得ω2＝5rad/s因此ω的取值范围为2．80rad/s≤ω≤5rad/s[答案] 0rad/s≤ω≤5rad/s一个圆盘在水平面内匀速转动，角速度是4 rad/s.盘面上距圆盘中心0.10m的位置有一个质量为0.10kg的小物体能够随圆盘一起运动，如下列图所示．(1)求物体做匀速圆周运动时所受向心力的大小．(2)关于物体的向心力，甲、乙两人有不同意见：甲认为该向心力于圆盘对物体的静摩擦力，指向圆心；乙认为物体有向前运动的趋势 , 摩擦力方向和相对运动趋势的方向相反，即向后，而不是和运动方向垂直，因此向心力不可能是静摩擦力．你的意见是什么？说明理由．[解析] (1)根据牛顿第二运动律得：F＝mω2r＝0.1×42×0.1N＝0.16N.(2)甲的意见是正确的．静摩擦力的方向与物体相对接触面运动的趋势方向相反．设想一下，如果在运动过程中，转盘突然变得光滑了，物体将沿轨迹切线方向滑动，这就如同在光滑的水平面上，一根细绳一端固在竖直立柱上，一端系一小球，让小球做匀速圆周运动，突然剪断细绳一端，小球将沿轨迹切线方向飞出．这说明物体在随转盘匀速转动的过程中，相对转盘有沿半径向外的运动趋势．[答案] (1)0.16 N (2)同意甲的意见(1)根据物体在竖直平面内做圆周运动的临界条件，确物体在最高点或最低点的速度大小或物体受力情况．(2)根据物体在竖直平面内做圆周运动的速度，由牛顿运动律确物体所受合力或物体所受的压力或拉力．[考例3] 如下图，LMPQ是光滑轨道，LM水平，长为5.0m，MPQ是一半径为R ＝1.6m的半圆，QOM在同一竖直线上，在恒力F作用下，质量m＝1kg的物体A 由静止开始运动，当到达M时立即停止用力．欲使A刚好能通过Q点，那么力F大小为多少？(取g＝10m/s2)[解析] 物体A经过Q点时，其受力情况如下图．由牛顿第二律得mg＋F N＝物体A刚好过Q点时有F N＝0＝4m/s对物体从L到Q全过程，由动能理得Fx LM－2mgR＝mv2解得F＝8N.[答案] 8N [总结评述] (1)正确理解A物体“刚好能通过Q点〞的含义是解决此题的关键．常用来表达临界状态的词语还有“恰好〞“恰能〞“至少〞“至多〞，同学们在审题时必须高度注意．小球沿圆弧M→P→Q通过最高点Q时，服从圆周运动的规律，即从向心力与线速度的关系求解小球经过Q点的临界速度．(2)圆周运动常与机械能守恒律、动能理、电荷在磁场中的偏转知识相联系，构成综合性较强的题目．如下图的“S〞形玩具轨道，该轨道是用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，固在竖直平面内，轨道弯曲是由两个半径相的半圆连接而成，圆半径比细管内径大得多，轨道底端与水平地面相切．弹射装置将一个小球(可视为质点)从a点水平弹射向b点并进入轨道，经过轨道后从P点水平抛出．小物体与地面ab段间的动摩擦因数μ＝0.2，不计其他机械能损失，ab段长L＝5m，圆的半径R＝0.1m，小物体质量m＝0.01kg，轨道质量为M＝0.15kg，g＝10m/s2.求：(1)假设v0＝5m/s，小物体从P点抛出后的水平射程；(2)假设v0＝5m/s，小物体经过轨道的最高点时管道对小物体作用力的大小和方向；(3)设小球进入轨道之前，轨道对地面的压力大小于轨道自身的重力．当v0至少为多大时，可出现轨道对地面的瞬时压力为零．[解析] (1)小物体运动到P点时的速度大小为v，对小物体由a点运动到P点过程用动能理得小物体自P点做平抛运动，设运动时间为t，水平射程为s，那么：(2)设在轨道最高点时管道对小物体的作用力大小为F，取竖直向下为正方向F ＋mg＝联立代入数据解得F＝N，方向竖直向下．(3)分析可知，要使小球以最小速度v0运动，且轨道对地面的压力为零，那么小球的位置该在“S〞形轨道的中间位置，设此时速度为v1，解得：v0＝5m/s.[答案] (1)0.4 m(2)N 方向竖直向下(3)5m/s[考例4] 铁路转弯处的弯道半径r是由地形决的．弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道处的行驶速率．下面表是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对的内外轨道的高度差h.(g 取10m/s2)弯道半径r/m 660 330 220 165 132 110内外轨高度差h/mm 50 100 150 200 250 300(1)根据表中数据，试导出h和r的关系表达式，并求出当r＝440m时，h的设计值；(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对平安，要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力，又我国铁路内外轨的间距设计值为L＝1435mm，结合表中数据，算出我国火车的转弯速率v(以km/h为单位，结果取整数)．(设轨道倾角θ很小时，tanθ≈sinθ)[解析] (1)分析表中数据可得，每组h与r的乘积都于常数C＝660×50×10－3m2＝33m2，因此，hr＝C，得h＝当r＝440m时，有h＝＝0.075m＝75mm (2)假设转弯时，内外轨对车轮均没有侧向压力，火车的受力如图甲所示．由牛顿第二律得mg tanθ＝代入数据解得v≈15m/s＝54km/h[答案] (1)75mm (2)54km/h[总结评述] 近几年，人们对交通运输的快捷提出了更高的要求，为了提高运输力，国家对铁路不断进行提速，这就要求铁路转弯处对的速率也要提高，由题中表达式v＝可知，提高速度可采用两种方法：(1)适当增加内外轨的高度差h；(2)适当增加轨道半径r.如下图，医学上常用离心别离机加速血液的沉淀，其“下沉〞的加速度可这样表示：而方法靠“重力沉淀〞产生的加速度为a′式子中ρ0，ρ分别为液体密度和液体中固体颗粒的密度，r表示试管中心到转轴的距离，ω为转轴角速度，由以上信息答复：(1)当满足什么条件时，“离心沉淀〞比“重力沉淀〞快？(2)假设距离r＝0.2m，离心机转速度n＝3000r/min，求a a′.[解析] (1)比拟两个加速度a和a′可知：只要rω2>g，即ω> 离心沉淀就比重力沉淀快．[考例5] 在半径为R的水平圆板中心轴正上方高为h处，水平抛出一小球，圆板匀速转动．当圆板半径OA与初速度方向一致时开始抛出小球，如下图，要使球与圆板只碰一次，且落点为A，那么小球的初速度v0为多大？圆板转动的角速度为多大？[解析] 对做平抛运动的小球的运动情况分析可得在竖直方向：如下图，小球从光滑的圆弧轨道下滑至水平轨道末端时，光电装置被触动，控制电路会使转筒立刻以某一角速度匀速连续转动起来．转筒的底面半径为R，轨道末端与转筒上部相平，与转筒的转轴距离为L，且与转筒侧壁上的小孔的高度差为h；开始时转筒静止，且小孔正对着轨道方向．现让一小球从圆弧轨道上的某处无初速滑下，假设正好能钻入转筒的小孔(小孔比小球略大，小球视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g)，求：(1)小球从圆弧轨道上释放时的高度H；(2)转筒转动的角速度ω.[解析] (1)设小球离开轨道进入小孔的时间为t，那么由平抛运动规律得(2)在小球做平抛运动的时间内，圆筒必须恰好转整数转，小球才能钻进小孔，即ωt＝2nπ(n＝1,2,3…)．(或转速)大小范围．[考例6] 如下图，两绳系一个质量为m＝0.1kg的小球，两绳的另一端分别固于轴的A、B两处，上面绳长L＝2m，两绳都拉直时与轴夹角分别为30°和45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧？[解析] 两绳张紧时，小球受的力如下图，当ω由0逐渐增大时，ω可能出现两个临界值．(1)BC恰好拉直，但F2仍然为零，设此时的角速度ω1，那么有F x＝F1sin30°＝mωL sin30°，①F y＝F1cos30°－mg＝0, ②代入解①②得，ω1≈0rad/s.(2)AC由拉紧转为恰好拉直，但F1已为零，设此时的角速度为ω2，那么有F x＝F2sin45°＝mωL sin30°，③F y＝F2cos45°－mg＝0, ④代入解③④得ω2≈6rad/s.可见，要使两绳始终张紧，ω必须满足2．4rad/s≤ω≤6rad/s.[答案] rad/s≤ω≤6rad/s如下图，把一个质量m＝1kg的物体通过两根长的细绳与竖直杆上A、B两个固点相连接，绳a、b长都是1 m，AB长度是1.6m，直杆和球旋转的角速度于多少时，b绳上才有张力？[解析] a、b绳长均为1 m，即sinθ＝0.6，θ＝37°小球做圆周运动的轨道半径b绳被拉直但无张力时，小球所受的重力mg与a绳拉力F Ta的合力F为向心力，其受力分析如下图，由图可知小球的向心力为F＝mg tanθ根据牛顿第二律得F＝mg tanθ＝mr·ω2解得直杆和球的角速度为＝rad/s.当直杆和球的角速度ω>rad/s时，b中才有张力．[答案] ω>rad/s[考例7] 如图甲所示，在同一竖直平面内的两条正对着的相同半圆形的光滑轨道，相隔一的距离，虚线沿竖直方向，一小球能在其间运动，今在最高点与最低点各放一个压力传感器，测试小球对轨道的压力，并通过计算机显示出来，当轨道距离变化时，测得两点压力差与距离x的图象如图乙所示，g取10m/s2，不计空气阻力，求：(1)小球的质量为多少？(2)假设小球在最低点B的速度为20m/s，为使小球能沿轨道运动，x的最大值为多少？[解析] (1)设轨道半径为R，由机械能守恒律：由图象可得：截距6mg＝6，即m＝0.1kg[答案] (1)0.1kg (2)15m[总结评述] 随着高考的深入，高考更加突出对考生用能力及创能力的考查，此题就是构建了的情景：将常见的竖直平面内的圆周变换成两正对着的相同半圆光滑轨道，同时将环内圆周运动和机械能综合，并结合了利用传感器所得的图象，考查了识别图象、分析小球在各位置的状态(特别是特殊点处，如最高点与最低点)重要知识内容．在此题中既考查了阶段很重要的受力分析能力，又对圆周运动的相关知识进行考查，更重要的是考查了同学们在情景下构建模型、从图象获取信息进行解题的能力．。
高三物理总复习专题讲座<圆周运动、万有引力）一、基本概念1、曲线运动物体做曲线运动的条件:一定受到与速度方向不在同一条直线上的合外力的作用。
<1）作曲线运动质点的速度方向是时刻改变的，质点在某一位置速度的方向就在曲线上该点的切线方向上。
<2）曲线运动一定是具有加速度的变速运动，有时，它的加速度只改变速度方向(如匀速圆周运动>，有时，它的加速度能同时改变速度的方向和大小(如平抛运动等>．b5E2RGbCAP<3）如果合外力方向与速度方向在同一条直线上，那么合外力所产生的加速度就只能改变速度大小，不能时刻改变速度的方向了．p1EanqFDPw<4）做曲线运动的物体的速度大小可能是不变的，如匀速圆周运动等．做曲线运动的物体加速度的大小、方向也可能是不变的，如抛体运动等．速度的大小和方向、加速度的大小和方向都变化的曲线运动也是屡见不鲜的。
DXDiTa9E3d2、匀速圆周运动质点沿圆周运动，且在相等的时间内通过的圆弧长度相等，这种运动叫做匀速圆周运动．描述匀速圆周运动快慢的物理量；；； v=ωr；转数<转/秒）n=f同一转动物体上，角速度相等；同一皮带轮连接的轮边缘上线速度相等。
<1）线速度可以反映匀速圆周运动的快慢．它的大小用单位时间内通过的弧长来定义，即：v=s/t线速度大，表示单位时间通过的弧长长，运动得就快．这里的s不是位移，而是弧长．这与匀速直线运动速度的定义式是不同的。
RTCrpUDGiT线速度也是矢量．圆周上某一点线速度的方向，就在该点的切线方向上．由匀速圆周运动的定义可知，匀速圆周运动线速度的大小是不变的，但它的方向时刻改变，所以匀速圆周运动并不是匀速运动而是变速运动。
5PCzVD7HxA<2）角速度也可反映匀速圆周运动的快慢．角速度是用半径转过的角度φ与所用时间t的比值来定义的，即：ω=φ/t(这里的角度只能以弧度为单位>．jLBHrnAILg角速度大，表示在单位时间内半径转过的角度大，运动得也就快．在某一确定的匀速圆周运动中，角速度是恒定不变的．角速度的单位是rad／s．xHAQX74J0X<3）周期也可描述匀速圆周运动的快慢．做匀速圆周运动物体运动一周所需的时间叫周期．周期的符号是T，单位是s。
高三物理总复习专题讲座（圆周运动、万有引力）一、基本概念1、曲线运动物体做曲线运动的条件:一定受到与速度方向不在同一条直线上的合外力的作用。
（1）作曲线运动质点的速度方向是时刻改变的，质点在某一位置速度的方向就在曲线上该点的切线方向上。
（2）曲线运动一定是具有加速度的变速运动，有时，它的加速度只改变速度方向(如匀速圆周运动)，有时，它的加速度能同时改变速度的方向和大小(如平抛运动等)．（3）如果合外力方向与速度方向在同一条直线上，那么合外力所产生的加速度就只能改变速度大小，不能时刻改变速度的方向了．（4）做曲线运动的物体的速度大小可能是不变的，如匀速圆周运动等．做曲线运动的物体加速度的大小、方向也可能是不变的，如抛体运动等．速度的大小和方向、加速度的大小和方向都变化的曲线运动也是屡见不鲜的。
2、匀速圆周运动质点沿圆周运动，且在相等的时间内通过的圆弧长度相等，这种运动叫做匀速圆周运动． 描述匀速圆周运动快慢的物理量T r t s v π2==； T t πϕω2==； fT 1=； v=ωr ； 转数（转/秒）n=f 同一转动物体上，角速度相等；同一皮带轮连接的轮边缘上线速度相等。
（1）线速度可以反映匀速圆周运动的快慢．它的大小用单位时间内通过的弧长来定义，即：v=s/t线速度大，表示单位时间通过的弧长长，运动得就快．这里的s 不是位移，而是弧长．这与匀速直线运动速度的定义式是不同的。
线速度也是矢量．圆周上某一点线速度的方向，就在该点的切线方向上．由匀速圆周运动的定义可知，匀速圆周运动线速度的大小是不变的，但它的方向时刻改变，所以匀速圆周运动并不是匀速运动而是变速运动。
（2）角速度也可反映匀速圆周运动的快慢．角速度是用半径转过的角度φ与所用时间t 的比值来定义的，即：ω=φ/t(这里的角度只能以弧度为单位)．角速度大，表示在单位时间内半径转过的角度大，运动得也就快．在某一确定的匀速圆周运动中，角速度是恒定不变的．角速度的单位是rad ／s ．（3）周期也可描述匀速圆周运动的快慢．做匀速圆周运动物体运动一周所需的时间叫周期．周期的符号是T ，单位是s 。
周期长，表示运动得慢；周期短，表示运动得快．（4）有时也用转数n 来表示匀速圆周运动的快慢．转数就是每秒钟转过的圈数，它的单位是转／秒．ω=2πn ．设质点沿圆周运动了一周，我们可根据这些物理量的定义式推导出它们之间有如下关系：v=2πr/T ，ω=2π/T ，v =ωr ，T=1/f ，T=1/n3、向心加速度、向心力r f r Tr r v a 22222)2(4ππω==== r f m r Tm r m r v m ma F 22222)2(4ππω=====向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，产生向心加速度的力叫向心力。
向心力和向心加速度都时刻在改变（圆周运动一定是非匀变速运动）。
ω相同时，a 与r 成正比；v 相同时，a 与r 成反比；r 相同时，a 与ω2成正比，与v2成反比。
[例] 机械手表中的分针与秒针可视为匀速转动，分针与秒针从重合至第二次重合，中间经历的时间为：A ．1 minB ．6059min C ．5960 D ．6061min [解答]分针的角速度1800360021ππω==rad/s 秒针的角速度306022ππω== rad/s 设经时间t 两针第二次重合，则ω2t-ω2t ＝2π 得：5960593600==t ∴选答案C （1）匀速圆周运动既然是变速运动，那么做匀速圆周运动的物体必然有加速度．我们已经知道，与速度同向的加速度能使速度增大，与速度反向的加速度能使速度减小．但匀速圆周运动的速率既不增大也不减小，这说明它不具有与速度同向或反向的加速度，这个加速度也就只能时刻与速度相垂直，它所起的作用也仅是改变线速度的方向．与线速度相垂直也必与圆周切线相垂直，也必过圆心。
所以，匀速圆周运动的加速度又被称为向心加速度，因为它的方向始终指向圆心．向心加速度也是矢量。
因为v 、ω的大小均不变，所以向心加速度的大小也就不变，但由于a 的方向始终垂直于速度在旋转变化，所以向心加速度不是恒量而是变量．匀速圆周运动不是匀加速运动而是变加速运动．（2）向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小。
（向心力永远不做功）显然，向心力的大小也是不变的，但其方向同样也与向心加速度的方向一样指向圆心且不断旋转变化着．所以向心力是变力，而不是恒力．向心力这个名称是根据力的效果命名的，它是物体受的某一个力或某几个力的合力产生的一种效果．并不是说做圆周运动的物体又受到了另外一个新的特殊的力．在匀速圆周运动中，向心力是由物体受到的合外力来担任的．也就是说，做匀速圆周运动的物体所受到的合外力的大小是不变的，方向始终与鸿度墨直并指向圆心．它只能改变速度的方向，不能改变速度的大小．求解匀速圆周运动的动力学基础仍是牛顿第二定律，这就提醒我们在处理匀速圆周运动问题时，同样也离不开分析物体的受力．4、万有引力定律万有引力定律是牛顿在研究天体运动规律的过程中发现的，它是自然科学最伟大的成果之一，宇宙间一切物体都是相互吸引的．任何两个物体间引力的大小跟它们质量的乘积成正比，跟它们距离的平方成反比．这就是万有引力定律，用公式来表示为：F=Gm 1m 2/r 2式中G 为引力常量，G 的单位从上述公式中可推导出是N ·m 2／kg 2，G 的数值为6.67×10-11．这个数值等于两个质量1kg 的物体相距1m 时相互之间万有引力的牛顿数．它最初是由卡文迪许用石英扭秆测定的.普通两个物体之间的万有引力是微不足道的，我们一般不予考虑．但在天体系统中，由于天体质量很大，所以它们之间的万有引力十分强大，天体之间的万有引力是这些天体做什么运动、怎样运动的直接的、决定性的因素．月亮绕地球运转，地球绕太阳公转，月亮、地球在运动过程中所需要的向心力就是由万有引力来提供的。
[练习一]（1）以下说法是否正确● 因为 n πω2= (n 为转数)，所以角速度与转数成正比．● 向心加速度描述的是线速度方向变化的快慢● 向心加速度描述的是质点在圆周运动中，向心力变化的快慢（2）如图所示，为A 、B 两质点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像．其中A 为双曲线的一个分支．由图可知：A ．A 物体运动的线速度大小不变B ．A 物体运动的角速度大小不变C ．B 物体运动的角速度大小不变D ．B 物体运动的线速度大小不变答案：AC（3）如图所示，物体在恒力F 作用下沿曲线从A 运动到B ，这时突然使它所受力反向，大小不变，即由F 变为-F ，关于此后物体的运动情况，下列说法正确的是：A ．物体不可能沿曲线Ba 运动；B ．物体不可能沿直线Bb 运动；C ．物体不可能沿曲线Bc 运动；D ．物体不可能沿原曲线B 返回A 。
（4）物体运动的速度方向、加速度方向与作用在物体上合外力方向的关系是：A ．速度方向、加速度方向、合力方向三者总是相同的；B ．速度方向可与加速度方向成任何夹角，但加速度方向总是与合力方向相同；C ．速度方向总是和合外力方向相同，加速度方向可能和合外力相同，也可能不同；D ．速度方向与加速度方向或合外力方向可以成任意夹角．（5）如图所示，在匀强电场内将一质量为m 、电量为q 的摆球拉至与悬点O 同一水平面处，由静止释放，则在开始的一小段时间内摆球将作：A ．匀速直线运动；B ．匀加速直线运动；C ．匀减速直线运动；D ．变速圆周运动． 二、向心力应用问题1、向心力的来源向心力是合外力在指向圆心方向的分力，它不是某种性质力的名称，而是根据力的作用效果来命名的。
向心力可以由某一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由某一个力的分力提供。
如果合外力始终指向圆心且大小不变，则物体作匀速圆周运动。
2、向心力公式的应用应用方法：● 以指向圆心方向为正方向。
● 将物体所受到的各个外力分解到指向圆心方向。
● 求出指向圆心的各个分力的合力，即为向心力。
● 据牛顿第二定律列方程F 向=ma 向[例]在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧要高一些，路面与水平面间的夹角为θ。
设拐弯路段是半径为R 的圆弧，要使车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零，车速v 应多大？[解答]如图所示，为汽车在水平面内做匀速圆周运动的受力情况。
重力与路面的弹力的合力提供向心力，由平行四边形定则及牛顿第二定律得：F 合/G=tg θ F 合=mv 2/R ∴θgRtg v =[练习二]（1）关于向心力，下列说法中正确的是：A ．物体受到向心力作用才可能做圆周运动B ．向心力是指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果来命名的C ．向心力可能是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可能是其中某一种力或某一种力的分力D ．向心力只改变物体运动的方向，不可能改变物体运动的快慢（2）放置在地面上的物体，由于地球自转A ．都具有向心加速度B ．向心加速度大小随纬度增加而减小C ．向心加速度方向都指向地球中心D ．产生此向心加速度的力都是由地球对物体的引力提供的[解答]物体做匀速圆周运动，随着纬度的增加，半径减小，由a=ω2R可知，a 减小，向心力由引力与地球的弹力的合力提供，答案：AB 。
（3）如图所示，小球用长为L 的细绳悬于O 点，使之在竖直平面内做圆周运动，小球通过最低点时速率为v ，则小球在最低点时细绳的张力大小为＿＿＿＿。
(小球质量为m)（4）如图，质量为m 的滑块滑到弧形底端时速率为v ，已知圆弧形轨道的半径为R ，则滑块在圆弧形轨道最低点时对轨道的压力大小为＿＿＿＿。
（5）如图示，质量为m 的小球用细绳悬于O 点，绳长为L ，在竖直平面内做圆周运动，到达最高点时速度为v ，则此时绳子的张力为＿＿＿．三、求解匀速圆周运动的思路和步骤匀速圆周运动的求解应在动力学问题的框架范围内．它的核心仍是ΣF=ma ．(1)确定研究对象，分析其受力仍是解题的首要和关键的步骤．(2)以指向圆心的方向为正方向，来确定各个力的正、负号。
建立起牛顿第二定律的方程，并结合运用a=v 2/R=ω2R 等有关知识求解．[例]如图所示，有一质量为m 的小球P 与穿过光滑水平板上小孔O 的轻绳相连，用手捡着绳子另一端，使P 在水平板内绕O 作半径为a 角速度为ω的匀速圆周运动.求：(1)此时拉绳的力多大；(2)若将绳子从此状态迅速放松，后又拉直，使P 绕O 作半径为b 的匀速圆周运动．从放松到拉直这段过程经过了多长时间?(3)P 作半径为b 的匀速圆周运动时，绳子拉力又为多大? [解答]（1）手拉绳子力的大小与绳拉球作匀速圆周运动向心力的大小是相等的，故有F=m ω2a(2)松手后，绳子拉力消失．小球将从刚松手的位置，沿圆周的切线方向，在光滑的水平面上作匀速直线运动．当绳在水平板上长为b 时，绳又被拉紧．在这一段匀速直线运动的过程中，球运动的距离为22a b -(如图b 所示)，故t=s/v=22a b -/（a ω）(3)将刚拉紧绳时球的速度a ω1分解为沿绳分量和垂直于绳分量。
