第四章高斯光束理论一、学习要求与重点难点学习要求1．掌握高斯光束的描述参数以及传输特性；2．理解q参数的引入，掌握q参数的ABCD定律；3．掌握薄透镜对高斯光束的变换；4．了解高斯光束的自再现变换，及其对球面腔稳定条件的推导；5．理解高斯光束的聚焦和准直条件；6．了解谐振腔的模式匹配方法。
重点1.高斯光束的传输特性；2.q参数的引入；3.q参数的ABCD定律；4.薄透镜对高斯光束的变换；5.高斯光束的聚焦和准直条件；6.谐振腔的模式匹配方法。
难点1.q参数，及其ABCD定律；2.薄透镜对高斯光束的变换；3.谐振腔的模式匹配。
二、知识点总结22()220020()()112()lim 2r w z z e w z w w R R z z z w z e z w πλλθπ-→∞⎧⎪=⎪⎪⎡⎤⎪⎛⎫⎪⎢⎥=+⎨ ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎪⎪===⎪⎪⎩振幅分布：按高斯函数从中心向外平滑降落。
光斑半径高斯光束基本性质等相位面：以为半径的球面，远场发散角：基模高斯光束强度的点的远场发散角， ()01/2221222200()()1()()()1()11()()()()()w f w z w z R z R z z R z w z i q z R z w z W z R Z w q z if z q z i z πλλπλππλ--⎧⎡⎤⎛⎫⎪=+⎢⎥ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦→⎨⎪⎡⎤⎛⎫=+⎪⎢⎥ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩=-→=+=+=+0（或）及束腰位置w 高斯光束特征参数光斑半径w(z)和等相位面曲率半径R(z)，q 参数，将两个参数和统一在一个表达式中，便于研究⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩高斯光束通过光学系统的传输规律121121121A B C D AR B R R ABCD CR D Aq B q q Cq D θθθθ⎧⎫+⎪⎪⎪⎪=⎪⎪+⎪⎪⎪⎪+⎪⎪=→⎨⎬+⎪⎪⎪⎪+=⎪⎪+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭121r r r傍轴光线的变换规律r 傍轴球面波的曲率半径的变换规律遵从相同的变换规律公式高斯光束参数的变换规律 121'00'000''ABCD Aq B q Cq D q w w F l l l l l w w F +=+⎧⎪⎪⎪⎧−−−−→⎨⎪⎨⎪=+⎪⎩⎪⎪⎩公式高斯光束的聚焦:只讨论单透镜高斯光束的准直：一般为双透镜高斯光束参数的变换规律已知，，确定透镜焦距及透镜距离，高斯光束的模式匹配：实质是透镜变换，分两种情况已知两腔相对位置固定及，确定，如何选择高斯光束的自再现变换和稳定球面腔 220220112'1(')(0)()'2()1w F l l w w or q l q F R l l lw R l l l πλπλ⎧⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥=+ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭=⎧⎪⎣⎦→=→=⇔⎨⎨=⎡⎤⎩⎪⎛⎫⎢⎥=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎩透镜高斯光束的自再现变换即稳定球面腔球面镜三、典型问题的分析思路()w z w w==等相位面曲率半径22()1wR z zzπλ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦高斯光束的q参数在自由空间中的传输规律20()wq z i z q zπλ=+=+2211Re()()11()()()11Im()()R z q ziq z R z w zw z q zλππλ⎧⎧⎫=⎨⎬⎪⎪⎩⎭=-⇒⎨⎧⎫⎪=-⎨⎬⎪⎩⎭⎩基模高斯光束强度的1/e2点的远场发散角2()lim2zw zz wλθπ→∞===追踪高斯光束的q参数值。
首先要计算傍轴光线通过该系统的变换矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡DCBA→求出某位置处的q(z)→光束的曲率半径R(z)和光斑大小w(z)。
1）高斯光束通过单个透镜的变换。
已知入射高斯光束的腰斑半径和位置，求出射高斯光束的腰斑半径和位置。
求解这类问题的方法是根据傍轴光线通过该系统（透镜）的变换矩阵1011A B C D F ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，在透镜左端入射高斯光束的q 参数A q if l=+，求出经过此光学系统变换后的q 参数，然后得到出射高斯光束的腰斑半径和位置。
高斯光束通过双透镜的变换。
高斯光束通过第一个透镜后，出射高斯光束的腰斑半径和位置，然后将第一个透镜的出射光束看成是第二个透镜的入射光束，再重复利用公式3）高斯光束的聚焦()()()222002222220w F w F l f l F F l F l F fw f πλ'=-+-'=+-+=(1) F < f 透镜焦距足够小 无论 l 为何值, 均可使00w w '<若 F > f 要使 00w w '<要求()222F F l f <-+即l F l F ><才能聚焦如果F l F <<(2). F 一定时00'l F w F w l F λπ'=⇒==l F l w '>⇒↑→↓00l w l F ''=∞⇒→→良好的聚焦效果：使用短焦距透镜；光腰远离透镜；双透镜聚焦 4）高斯光束的准直a. 单透镜对高斯光束发散角的影响物高斯光束的发散角为002w λθπ=像高斯光束的发散角为 00'2'w λθπ=()2220022w Fw F l f'=-+0'θ=当l F =时，'0w 达到极大值00'w F w λπ=00'22'w w Fλθπ== 在l F =时， F 越大， 0w 越小，像高斯光束的方向性越好。
b. 利用望远镜将高斯光束准直方法：先用一个短焦距的透镜将高斯光束聚焦，获得极小的腰斑，然后用一个长焦距的透镜来改善其方向性，可得到很好的准直效果。
w0l F1F2sw(l)w'0w"0经过第二个透镜后高斯光束的发散角2wλθπ''=''可以看出wθ''''↑→↓，所以要使0w''增大当2l F'=时, 020w F wλπ'''=最大。
所以第二个透镜的焦距2F要尽可能的大,而且'w要尽可能的小，这就要求1l F>>，这时光腰几乎落在焦平面上,12S F F≈+组成一倒装望远镜。
准直倍率(发散角压缩比)()222210111w lF F FlMF w F f Fθθ⎛⎫'==⋅=+>⎪''⎝⎭5）高斯光束的模式匹配模式匹配是使一个谐振腔的振荡模式经透镜变换后能在另一个谐振腔激发出相同的模式。
问题实质是透镜变换。
分两种情况：一种是已知w，w’，确定透镜焦距（F）及透镜的距离l，l’（即两腔的相对位置）。
根据物方高斯光束和像方高斯光束腰斑尺寸和束腰到透镜的距离所满足的公式000w w f πλ'=当0F f >并确定时，可求得 ,'l l 第二种情况是两腔相对位置固定 (即两光腰之间的距离) 'l l l +=0 及w 0, w’0确定，为了实现模匹配, F如何选择。
l F l F -='-=将上面两式相加，根据0'l l l =+，得到000002w w l F w w ⎫'-=+⎪'⎭其中000w w f πλ'=，设0000w w A w w ⎛⎫'=+ ⎪'⎝⎭，上面方程变为()()22222000440A Fl F l A f --++=根据此式可求的焦距F 。
四、思考题1. 高斯光束最多需要几个独立参数来描写2. 认为描述激光束最重要的一个参数是什么，为什么3. 何使单透镜对激光束的聚焦效果最好4. 对激光束聚焦的单透镜应如何选取5. 如何才能使激光束准直效果最好6. 聚焦、打孔及准直是高斯光束常见的应用问题，如何取得最佳工作条件7. 如何加入第二束共线共焦UV激光(30分)8. 试说明发散角和球面光波束张角的区别。
五、练习题1波长为λ的高斯光束入射到位于1z =（图）处的透镜上，为了使出射高斯光束的光腰刚好落在样品的表面上（样品表面距透镜L ），透镜的焦距f 应为多少画出解的简图。
样品w fl L图2. 二氧化碳激光器，采用平凹腔，凹面镜的曲率半径2R m =，腔长1L m =。
求出它所产生的高斯光束的光腰大小和位置，共焦参数R z 及发散角θ。
3. 某高斯光束光腰大小为0 1.14mm ω=，波长10.6m λμ=。
求与腰相距30cm ，10m ，1km 处光斑的大小及波前曲率半径。
4. 求出上题所给出的个高斯光束的发散角21/e θ。
用计算来回答下述问题：在什么条件下可以将高斯光束近似地看作曲率中心在光腰处的球面波即在什么条件下可以用公式()R z z =和公式21/()()e w z R z θ=⋅来计算高斯光束的光斑大小的波前曲率半径5. 某高斯光束的0 1.2mm ω=，10.6m λμ=。
另用2f cm =的凸透镜来聚焦。
当光腰与透镜距离分别为10m 、1m 、0时，出射高斯光束的光腰大小和位置各为多少分析所得的结果。
6. 已知高斯光束的00.3mm ω=，0.6328m λμ=。
试求：（1）光腰处；（2）与光腰相距30cm 处；（3）无穷远处的复参数q 值。
7. 两支氦氖激光器的结构及相对位置如图所示，求在什么位置插入一焦距为多大的透镜才能实现两个腔之间的模匹配11R m=2R =∞'50R cm='2R =∞30L cm='25L cm=50cm图8. 从腔长为1m ，反射镜曲率半径为2m 的对称腔中输出的高斯光束入射到腔长为5cm ，曲率半径为10cm 的干涉仪中去，两腔长相距50cm ，为得到模匹配，应把焦距为多大的透镜放置在何处9. 某高斯光束的0 1.2w mm =，10.6m λμ=，今用一望远镜将其准直，如图所示，主镜用镀金全反射镜：1R m =，口径为10cm ；副镜为一锗透镜：1 2.5f cm =，口径为1.5cm ，高斯光束的束腰与副镜相距1l m =，求以下两种情况望远镜系统对高斯光束的准直倍率：（1）两镜的焦点重合；（2）从副镜出射的光腰刚好落在主镜的焦平面。
图10. 月球距地球表面53.810km ⨯，使用波长0.5145m λμ=的激光束照射月球表面。
当（1）光束发散角为31.010rad -⨯；（2）光束发散角为61.010rad -⨯时，月球表面被照亮的面积为多少两种情况下，光腰半径各为多少11. 一高斯光束的光腰半径02w cm =，波长1m λμ=，从距离透镜为d 的地方垂直入射到焦距为4F cm =的透镜上。
