第五章 双曲型方程的有限差分法

二阶非线性双曲型方程的近似解法二阶非线性双曲型方程是一类形式为$$u_{tt}-c^2u_{xx}+f(u,u_t,u_x)=0$$的偏微分方程，其中$c$为常数，$f(u,u_t,u_x)$为非线性项。

这类方程通常出现在波动方程、振动方程、输运方程等领域，解析解往往比较难以获得。

因此，我们需要求取它的数值解。

求解二阶非线性双曲型方程的近似解可以利用有限差分法、有限元法或者其他数值方法。

以下我们分别介绍这些方法。

1.有限差分法：有限差分法是一种基于差分逼近的数值求解方法。

它将求解区域离散化为一系列节点，然后利用近似的差分格式替代偏微分方程中的导数项，最终得到一个代数方程组。

常用的有限差分格式有向前差分、向后差分和中心差分。

通过构建差分格式的方程组，可以通过迭代求解来获得方程的数值解。

2.有限元法：有限元法是一种在连续域上建立有限维函数空间的数值求解方法。

它将求解区域进行网格划分，并在每个网格单元内用一个局部插值函数来近似原方程，然后将整个区域的问题转化为一个代数方程组。

通过求解方程组，可以得到方程的数值解。

有限元法具有较高的适用性和精确度，并且可以处理复杂的几何结构。

3.其他数值方法：除了有限差分法和有限元法之外，还可以利用其他数值方法进行近似解的求取。

例如，谱方法基于将原方程展开为一组函数的级数，然后通过调节级数中的系数使得方程在一些选定的离散点满足。

神经网络方法则通过训练神经网络来逼近方程解。

这些方法在特定问题和特定条件下可能会有更好的效果。

总之，二阶非线性双曲型方程的数值求解可使用有限差分法、有限元法或其他数值方法。

具体选择哪种方法需要根据问题的特点和求解精度的要求来决定。

我们可以根据具体问题的需求进行合适的选择，并使用相应的技术工具来实现近似解的求取。

双曲型偏微分方程组的数值解法研究双曲型偏微分方程组是描述波动、传播、传输等现象的常见数学模型之一，在各个科学领域中都有广泛的应用。

双曲型偏微分方程组通常具有复杂的特征，其解析解往往难以求得，因此需要用数值方法求解。

本文将介绍双曲型偏微分方程组的数值解法，并分析其优缺点，以及应用举例。

双曲型偏微分方程组的数值解法可以分为两类，即有限差分方法和有限元方法。

有限差分方法是将区域分割成网格，通过在网格上构建差分格式来近似微分方程，进而求解数值解。

有限元方法则是利用变分原理，将微分方程转化为弱形式，再通过有限元空间的数值逼近来求解数值解。

下面我们将分别介绍这两类方法。

有限差分方法是求解偏微分方程最常用的数值方法之一。

这类方法的基本思想是将区域划分成网格，通过差分逼近微分算子，将微分方程转化为代数方程组，进而求解数值解。

通常有限差分方法分为显式和隐式两种。

显式差分方法是根据精确度和稳定性的需求，选择合适的差分格式，将数值解的某一时刻的计算公式，仅由该时刻之前的数值解和已知的初值组成，计算简单，但存在较为严格的稳定性限制。

隐式差分方法则以更加严格的精确性和稳定性为代价，使用迭代法求解非线性代数方程组，计算复杂，但稳定性更加优良。

有限差分是求解双曲型偏微分方程最常见的数值方法之一。

虽然有限差分法计算公式简单，但是稳定性限制较高，当空间步长、时间步长不足以满足稳定性条件时，容易产生不稳定性及不合理的解，这是有限差分法的致命弱点之一。

此时有限元法常被作为替代方法。

有限元方法是求解双曲型偏微分方程另一种常用的数值方法。

有限元法基于变分原理，把求解微分方程转化为求最小值问题。

首先，将问题的定义域划分为若干子区域，然后在每个子区域内选取适当的试函数，通过构造一个弱变分解，就可以得到一个线性代数方程组。

有限元法具有更广泛的适用范围，解高维复杂结构问题时可以体现其独特性。

虽然有限元法可以处理不规则区域，但是计算量较大，常会出现稳定性的问题。

双曲型偏微分方程的求解及其应用文献综述双曲型偏微分方程的求解及其应用文献综述一、引言双曲型偏微分方程（Hyperbolic partial differential equation，简称HPDE）在物理、工程、生物等众多领域都有广泛的应用。

这类方程的求解问题一直是数学界研究的热点和难点。

本文将对双曲型偏微分方程的求解及其应用方面的文献进行综述。

二、双曲型偏微分方程的求解方法1.分离变量法分离变量法是一种求解双曲型偏微分方程的有效方法。

该方法通过将方程中的未知函数分离成不同的变量，使方程化简为多个常微分方程，从而简化求解过程。

例如，在求解二维波动方程时，可以将未知函数分离为x和y两个方向的函数，得到一系列的一阶常微分方程，再利用初始条件和边界条件求解。

2.行波法行波法是一种基于双曲函数展开的求解方法。

该方法通过将方程的解表示为双曲函数的展开形式，利用双曲函数的性质，得到方程的通解。

例如，在求解一维波动方程时，可以将解表示为双曲正弦函数的展开形式，再利用初始条件和边界条件求解。

3.有限差分法有限差分法是一种数值求解偏微分方程的方法。

该方法将连续的空间离散化为有限个离散点，将偏微分方程转化为差分方程，再利用迭代或递推的方式求解。

有限差分法在求解双曲型偏微分方程时具有简单、直观、易于编程等优点。

4.变分法变分法是一种通过寻找能量泛函的极值来求解偏微分方程的方法。

该方法将偏微分方程转化为变分问题，利用变分的性质和极值条件，得到方程的近似解。

变分法在求解双曲型偏微分方程时可以获得精确的数值解。

三、双曲型偏微分方程的应用1.波动问题双曲型偏微分方程在波动问题中有着广泛的应用。

例如，在地震波传播、声波传播、电磁波传播等问题中，都可以用双曲型偏微分方程来描述。

通过求解双曲型偏微分方程，可以得到波的传播速度、传播方向、振幅等特征。

2.流体动力学问题双曲型偏微分方程在流体动力学问题中也有重要应用。

例如，在空气动力学、水动力学等问题中，可以用双曲型偏微分方程来描述流体的运动规律。

分格式的依赖区域应该包含微分方程解的依赖区域 20
at n
h a 0
x j nh x j an x j

其中 .
a 0 0 a 1
h
a 0 x j an x j 不收敛
P
n
D
D'
C
D'
21
右偏心格式C.F.L条件
unj 1 unj
不稳定，C.F.L条件仍为
| a| 1，
C.F.L条件下不收敛
26
课堂练习
1. 试给出一阶双曲型方程左偏心格式、右偏
心格式、中心差分格式的C.F.L条件。
27
5.利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式
x k 1 x
x xk
（两点式），
L1 ( x )
yk
yk 1
xk 1 x k
2
2
2
2
2
a 1,|G( ,k )| 1,Von Neumann 条件满足
条件稳定
7
a 0
v
n 1
u
n1
j
u

n
j
a
u
n
j 1
u
n
j
h
((1 a ) a e )v
ikh
,
n
| G( k , ) |2 (1 a a cos kh)2 a 2 2 sin 2 kh
( , t n )
3
x j 2 t
6
x
t
n
2
3
2u
ah2 3 u

(x j , )

的 m=4，即此表对应差商的精度是四阶的。从这些表可以看出，一般地说，随着
差分阶数的增大和对应差商精度的提高，差分表达式所包含的项数将增多。
表 5-1
j
n0 1 2 34
1 -1
aj 1
2 1 -2 1
3 -1 3 -3 1
4 1 -4 6 -4 1
表 5-3 j
n0 1 2345 aj
1 -3 4 -1 2 2 -5 4 -1 3 -5 18 -24 14 -3 4 3 -14 26 -24 11 -2
依此类推，任何阶差分都可由其低一阶的差分再作一阶差分得到。例如 n 阶前差
分为
∆n y = ∆(∆n−1 y) = ∆[∆(∆n−2 y)]
⋯⋯ = ∆{∆⋯[∆(∆y)]} = ∆{∆⋯[∆( f (x + ∆x) − f (x)]}
n 阶的向后差分、中心差分的型式类似。
（5-6）
函数的差分与自变量的差分之比，即为函数对自变量的差商。如一阶向前差
二阶差商多取中心式，即
∆2 y ∆x 2
=
f (x + ∆x) − 2 f (x) + (∆x) 2
f (x − ∆x) 。
（5-9） （5-10） （后的二阶差商。 以上是一元函数的差分与差商。多元函数 f(x,y,…)的差分与差商也可以类推。
如一阶向前差商为
应地，上式中的 ∆y 、 ∆x 分别称为函数及自变量的差分， dy //#######为函数对 dx
自变量的差商。 在导数的定义中 ∆x 是以任意方式趋近于零的，因而 ∆x 是可正可负的。在差
分方法中， ∆x 总是取某一小的正数。这样一来，与微分对应的差分可以有 3 种
形式： 向前差分 向后差分 中心差分

双曲型方程的有限差分法线性双曲型方程定解问题： （a ）一阶线性双曲型方程（b ）一阶常系数线性双曲型方程组其中A ，s 阶常数方程方阵，u 为未知向量函数。

（c ）二阶线性双曲型方程（波动方程）()x a 为非负函数（d ）二维，三维空间变量的波动方程 §1 波动方程的差分逼近 1.1 波动方程及其特征线性双曲型偏微方程的最简单模型是一维波动方程：（1.1） 22222xu a t u ∂∂=∂∂ 其中0>a 是常数。

（1.1）可表示为：022222=∂∂-∂∂x u a t u ，进一步有 由于x a t ∂∂±∂∂当a dt dx ±=时为()t x u ,的全导数（=dt du dt dx x u t u ⋅∂∂+∂∂xuat u ∂∂±∂∂=）,故由此定出两个方向（1.3）adx dt 1±= 解常微分方程（1.3）得到两族直线（1．4） 1C t a x =⋅+ 和 2C t a x =⋅- 称其为特征。

特征在研究波动方程的各种定解问题时，起着非常重要的作用。

比如，我们可通过特征给出（1.1）的通解。

（行波法、特征线法） 将（1.4）视为),(t x 与),(21C C 之间的变量替换。

由复合函数的微分法则 同理可得将22x u ∂∂和22tu∂∂代入（1.1）可得：即有求其对2C 的积分得：()11C f C u=∂∂ 其中()1C f 是1C 的任意可微函数。

再求其对1C 的积分得：（1.5） ()()11,dC C f t x u ⎰= ()()()()at x f at x f C f C f ++-=+=212211 其中()∙1f 和()∙2f 均为任意的二次连续可微函数。

（1.5）为（1.1）的通解，即包含两个任意函数的解。

为了确定函数()at x f -1和()at x f -2的具体形式，给定u 在x 轴的初值（1.5） ()()+∞<<∞-⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂===x x tu x u t t 1000ϕϕ将（1.5）式代入上式，则有注意()=t x u t ,()()()a at x f a at x f ⋅+'+--'21；()=0,x u t ()()()()x a x f x f 112ϕ='-'，有 并对x 积分一次，得 与（ⅰ）式联立求解，得将其回代到通解中，即得（1.1）在（1.5）条件下的解：（1.6） ()t x u , ()()[]at x at x ++-=0021ϕϕ()ξξϕd a atx atx 121⎰+-即为法国数学家Jean Le Rond d ’Alembert (1717-1783)提出的著名的D ’Alembert 公式。

计算v
n 1 0
, 就转化为计算
n 1 0
采用迎风格式
n n n 0 1 0 (1n 0 )
方法二、从方程本身出发
已知边界条件 u(0, t ) 0 有： u (0, t ) 0, t 0
0 1 其中： u u，v），A （ 1 0
一阶双曲型方程及方程组的边界条件怎样给边界条件使方程适定区域为x1不能给边界条件x0不能给边界条件初始条件为对角阵对角线元素为负的对角阵1为对角阵对角线元素为零的对角阵为对角阵对角线元素为正的对角阵s为a的特征向量的列所构成的矩阵处边界条件数目等于负特征值数目处边界条件数目等于正特征值数目零特征值不需给出边界条件件问题会不适定
v v -1 0 为对角阵对角线元素为正的对角阵 v S u t x
为对角阵对角线元素为零的对角阵
I -1 II 0 S AS III +
v v -1 v S u 0 t x
注：采用插值法构造边界条件要用内插公式， 使用外推方法往往是不行。即要用稳 定的格式构造边界条件. 例如：下面的两个不可用的边界条件
用u1 , u2两点的值作线性插值，外推得u0的值
u =2u u
n 0 n 1
n 2
再如（对边值不稳定）
u
n 1 0
=u
n 1 0
2a (u u )
I I II II III III v v v I v II v III v =0, =0, =0 t x t x t x
v (x ,0) g (x ),0 x 1 v (1,t ) (t ),
I I

uII向上传播，不需要任何 边界条件。
uIII 向右传播，需给出 x 0处的边界条件： uIII 0, t g III t ，且： g III 0 uIII 0,0 f III 0
否则错误地给出边界条 件，问题会不适定。
例：考虑微分方程组（半无界问题）
n 0 n 1 n 2
5.2、一阶线性双曲型方（组)的边界条件
1、一阶双曲型方程边界条件的处理
设有限区域内的对流程 方： u u a 0 x 0, l , t 0 t x
初值：
u x ,0 f x
x 0, l
如何正确给出边界条件 ？
x, t 0 x l , t 0 若a 0，区域


此格式是一阶精度的。 网格比 h 下面讨论稳定性：
n i k1 jh k 2 mh 设u n v e 代入差分格式，有： j ,m
1 v cos k1 h cos k 2 h i a sink1 h b sink 2 hv n 2 1 G , k 1 , k 2 cos k 1 h cos k 2 h i a sin k1 h b sin k 2 h 2 1 2 2 2 G cos k1 h cos k 2 h 2 a sin k1 h b sin k 2 h 4 1 1 2 1 si n2 k 1 h si n2 k 2 h 2 a 2 b 2 cos k 1 h cos k 2 h 2 4
？
得方程组
a b c 0 b 2c 1; b / 2 2 c 0
3 1 a , b 2, c 2 2
右边界

41-波动方程的差分逼近第五章 双曲型方程的有限差分法 4.1 波动方程的差分逼近 1. 特征针对波动方程22222u u a t x ∂∂=∂∂ （1） 其初值条件为 01(,0)(),(,0)(),t u x x u x x x ϕϕ==-∞<<∞其中0a >是常数。

其相应的特征方程为characteristic equation 2220dx a dt -= 即 221()0dt a dx-= 得到两个特征方向：characteristic direction1dt dx a=± （3） 解（3），得到两族直线： 12,x at c x at c -=+= 2. 显格式取空间步长h 及时间步长τ，用两族平行直线two family of parallel lines,0,1,2,j x x jh j ===±±L,0,1,2,n t t n n τ===L作矩形网格rectangle 。

在(,)j n x t 对方程（1）离散，得到111122222,0,1,2,,,1,2,n n n n n nj j jj j j u u u u u u aj n h τ+-+--+-+==±±L L （5.1）初始条件为00()j j u x ϕ= （5.2）101()j jj u u x ϕτ-= （5.3）（5.1）式逼近的截断误差为22()h τO +。

由于(5.3)式逼近截断误差为()τO ，因此对（5.3）的逼近可作适当改进。

（5）可显示算出各网点的值。

（5.1）简化后可以写成122111()2n n n n n j j j j ju r u u r u u +--+=++-（1-） （6） 针对混合问题：2222201,0,0,(,0)(),(,0)(),(0,)(),(,)().t u ua x l t T t x u x x u x x u t t u l t t ϕϕαβ⎧∂∂=<<<<⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪==⎪⎪⎩此时取空间步长l h J =及时间步长TNτ=，同样建立离散格式（5），针对边值条件，可给出离散的边值条件(),().nn l u n u n ατβτ==3. 稳定性分析为了利用Fourier 方法，令uv t∂=∂，将（1）化成一阶偏微分方程组： 222uv tv u a tx ∂⎧=⎪⎪∂⎨∂∂⎪=⎪∂∂⎩ （7） 再令uw ax∂=∂，则（7）变为 v w a t x w v a tx ∂∂⎧=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=⎪∂∂⎩ （8）令(,)T U v w =及0a A a ⎛⎫=⎪⎝⎭则（8）变为0U UA t x∂∂-=∂∂ 因此，差分方程（5）可写成1112211111122n n n n j j j j n nn n j j j j w w v v a h w w v v ah ττ++-+++---⎧--⎪=⎪⎪⎨-⎪-⎪=⎪⎩（10） 按照Fourier 方法，设12exp(),exp()n n n nj j j j v v i x w v i x αα==，2p lπα=代入（10），消去公因子common factor exp()j i x α和12exp()j i x α-，得到1121111222(sin ),2(sin)n n n n n nphv ir v v lphir v v v lππ+++-=-+=即111122()n nn n v v ph G l v v π++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中 21()(2sin )1ic phph G c r l l ic c ππ⎛⎫== ⎪-⎝⎭为增长矩阵，其特征方程为22(2)10c λλ--+= （14） 其根按模小于1的充要条件是absolute value of root 2|2|2c -≤ （15） 即1r ≤，此为必要条件。

uvn j
uv t
n j
2
2
2uv t 2
n j
O(
3
)
uv n1 j
uv
n j
A
uv x
n j
2
2
A2
2uv n
x
2
j
O(
3)
用中心差商代替偏导数
uvn j
A
uvn uvn
j1
j1
2h
2
2
A2
2
x
uv n j
h2
O(
3
2h2
h2 )
舍去截断误差, 有LW差分格式.
1 2
a
nj （（u
n ）2
j 1
（u
n ）2）
j1
21
（unj 1）2
1 2
(unj 1 )2
（unj1）2 )
1 2
anj
( unj 1 )2
(
un j 1
)2
(4)用h乘上式两边并对 j 求和，记离散模
un
2
h
（unj）2h
||
un1
||h2 ||
un
||h2
1 2
a
n j
((unj 1
t
x
2u t 2
（ t
a(x)
u ） x
a(x)
x
(u ) t
= a(x) (a(x) u ) a(x) (a(x) u )
x
x
x x
25
代入Taylor展开式,于是有
u(
x
j
,
tn 1 )
u(x
j
,

n1 j
a
u
n j 1
u
n j 1
0
2
2h
稳定性条件：a 1；截断误差：O 2 h2
设a 0，当 a 1即：a 1 ，则可知：
u n 1 j
u n 1 j
un j 1
un j 1
0
记 u0 (x) f (x) ，则由数学归纳法易知：
u
n j
f
j n h
f
x at
换言之，差分方程解是精确解。但注意这
里已经假设
u
0 j
和 u1j
是精确给定的。
可以证明如果给定的初始值有偏差，相应 的格式是不稳定的。（见书p. 53）
3
4) Lax Wendroff 格式
un u(x,t)
un1 u(x, t )
u(x,t ) u(x, ) ut (x,t)
1 2
utt
(
x,
t
)
2
O
3
u(x, ) aux (x,t)
17
如果前提条件不成立，则不一定有整体解。
例
t
ut
0,
x2ux 0 u u0(x)
t
dx dt 0, x
x2 x0
x0
x 1 xt
u( x, t )
u0
( 1
x xt
)
当 x 1/ t 时，解无意义。
b.差分格式的稳定性研究
设 a(x,t) 0
逆风格式为
u n1 j
u
21
2) 差分格式
a.逆风
u
n1
j
u
n j
un j 1
u
n j

双曲型方程的有限差分法§0 预备知识0.1双曲型方程的常见类型： （1）、一阶线性双曲型方程()0u ua x t x∂∂+=∂∂ （2）、一阶常系数线性双曲型方程组0u u A tx∂∂+=∂∂其中u 为未知函数向量，A 为p 阶常数方阵。

（3）、二阶线性双曲型方程（波动方程）一维 22(())0u ua x x x t∂∂∂-=∂∂∂ a (x )为正值函数二维 222222()0u u ut x y∂∂∂-+=∂∂∂三维 22222222()0u u u ut x y z∂∂∂∂-++=∂∂∂∂（4）、对流扩散方程()()(())(,)u u u c x b x a x f x t t x x x∂∂∂∂+-=∂∂∂∂ 等等。

这些方程的定解条件，可以是仅有初始条件，也可以是初始条件与边界条件的混合。

如对波动方程（一维），有 （1）、初值问题2222201,0(,0)()(,0)()u u a x t Tt xu x x x u x x x tϕϕ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩∂∂=-∞<<∞<≤∂∂=-∞<<∞∂=-∞<<∞∂（2）、混合问题第一类：222220101,0(,0)()01(,0)()01(0,)(1,)00t u u a x t Tt x u x x x u x x x u t u t t Tϕϕ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩∂∂=<<<≤∂∂=≤≤=≤≤==<≤第二类：边界条件改为：(0,)0,(1,)0,0u u t t t T x∂==<≤∂第三类：边界条件改为：(1,)(0,)0,(1,)00u t u t u t t T xα∂=+=<≤∂0.2 波动方程及其特征线性双曲型方程的最简模型：波动方程初值问题22222,0,.u u a a x t x∂∂=>-∞<<∞∂∂ （1） 0(,0)()u x x ϕ= 1(,0)()t u x x ϕ=下面讨论它的特征和解析解。

双曲型方程数值解法的研究及应用双曲型方程是数学中常见的一种偏微分方程。

由于双曲型方程的特殊性质，其数值解法研究具有重要的理论和应用价值。

本文将介绍双曲型方程的数值解法研究现状和应用领域。

一、双曲型方程的定义和特点双曲型方程是偏微分方程中的一种，其特点是解在时间-空间坐标系中以波动形式传播。

具体来说，双曲型方程的一般形式可表示为：$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=a\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+b\frac{\partial u}{\partial x}+cu$$其中，$a,b,c$均为常数，$u=u(x,t)$是待求函数。

这样的方程多见于物理学中的波动现象，并具有许多重要的应用。

二、双曲型方程的数值解法研究现状为了解决双曲型方程的数值解，目前已经发展出了多种数值方法。

以下是几种常见的数值解法：1. 有限差分法有限差分法是一种基本数值解法，其基本思想是将求解域离散化为网格点，将偏微分方程离散化后利用差分公式逼近偏微分方程的导数。

通过对相邻网格点的函数值进行差分，得到一个代数方程组，从而求得数值解。

2. 有限元法有限元法是一种广泛使用的数值解法，其基本思想是将求解域划分为有限个小单元，用一些简单的函数逼近偏微分方程中的未知函数。

在每个小单元内，将未知函数表示为一些已知形式的函数的线性组合。

通过求解线性代数方程组，得到数值解。

3. 谱方法谱方法是一种基于傅里叶分析的数值解法，其基本思想是将函数用一组基函数进行展开，然后通过截取具有最大傅里叶系数的项的方式来逼近原方程。

该方法具有很高的精度和速度。

三、双曲型方程数值解法的应用领域双曲型方程在许多领域中都有广泛的应用，特别是在物理学、工程学、计算机科学等领域中。

以下是几个具体的应用领域：1. 地质物理探测地质物理探测是利用物理方法和手段，研究地球深部结构和物质性质的一项技术。

在进行地质物理探测时，通常需要模拟地震波的传播。

格式(4.31)的稳定性条件为：
k
2
, 0 ar a 1 ，差分格式是稳定的。 当 a0 h
当 a0 ，格式不稳定。 由上分析，当a0时，只有差分格式(4.31)可用，当 a0 时， 则只有式(4.30)可用(见图4.7)。
结论： 建立的差分方程要使其满足稳定性条件与特征 走向的特定关系。 格式
a max a , 0 ,a min a , 0 令 则格式(4.30)和(4.31)可以表示为

n 1 n n n n 1 n U U U U U U m m m m 1 m m a a 0 k h h

(4.41.1)
n 1 n n n U U U U m m m m 1 a 0a 0 k h
n 1 n n 1 n U U U U m m m m a 0a 0 k h
称为Courant-Isaacson-Rees格式。
对微分方程
u u x a ,t 0 t x
(4.42.1)
n 1 n n n a U 2 U U U U U m 1 m m 1 m m U m 1 m 1 a k 2 h 2 h n n n

(4.42.2)
对照不稳定格式(4.26)，发现Courant-Isaacson-Rees格 式是在不稳定格式(4.26)后面加上项
例48euler坐标下一维不定常等熵流方程为0??????xuxut02??????xaxuutu其正规形式为00??????????????????uxutax0?????????????????xuautuaxautauaut469因此courantisaacsonrees格式为????????????????h??????k?h???k????011111111uuauhuuauuuaauhaunmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnm470470?????????????h???????k??h????k?????011111uuauhuuauuuaauhaunmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnm?00maxnmnmnmnmauuauminnmnmnmnmaau?其中1nmnmauhk格式的稳定性条件为nmnmauhkmax或者45二阶线性双

有限差分方法有限差分方法一种求偏微分(或常微分)方程和方程组定解问题的数值解的方法，简称差分方法。

微分方程的定解问题就是在满足某些定解条件下求微分方程的解。

在空间区域的边界上要满足的定解条件称为边值条件。

如果问题与时间有关，在初始时刻所要满足的定解条件，称为初值条件。

不含时间而只带边值条件的定解问题，称为边值问题。

与时间有关而只带初值条件的定解问题，称为初值问题。

同时带有两种定解条件的问题，称为初值边值混合问题。

定解问题往往不具有解析解，或者其解析解不易计算。

所以要采用可行的数值解法。

有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。

此外，还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解(即收敛性)，等等。

有限差分方法具有简单、灵活以及通用性强等特点，容易在计算机上实现。

偏微分方程初值问题的差分法许多物理现象随着时间而发生变化、如热传导过程、气体扩散过程和波的传播过程都与时间有关。

描述这些过程的偏微分方程具有这样的性质：若初始时刻t=t0的解已给定,则t t0时刻的解完全取决于初始条件和某些边界条件。

利用差分法解这类问题，就是从初始值出发，通过差分格式沿时间增加的方向，逐步求出微分方程的近似解。

双曲型方程的差分方法最简单的双曲型方程的初值问题是：式中嫓(x)为已知初值函数。

这初值问题的解是：u(x,t)=嫓(x-at)。

(2)由(2)可见，(1a)(1b)的解(2)当a>0时代表一个以有限的速度a沿特征线x-at=常数向右传播的波,而解u(x,t)在P(慜,惭)点的值完全由嫓(x)在x轴上的点A(慜-а惭,0)的值决定。

A点就是双曲型方程(1a)在P点的依赖域(图1)。

双曲pde的数值方法【原创实用版2篇】目录（篇1）1.引言2.双曲 PDE 的概述3.双曲 PDE 的数值方法3.1 有限差分法3.2 有限元法3.3 边界元法3.4 谱方法4.结论正文（篇1）【引言】偏微分方程（PDE）是数学物理中一种重要的数学工具，广泛应用于物理、化学、生物学等领域。

双曲 PDE 是 PDE 中一种特殊的类型，其系数具有双曲性质。

由于双曲 PDE 的复杂性，求解起来较为困难。

因此，研究双曲 PDE 的数值方法具有重要的实际意义和理论价值。

【双曲 PDE 的概述】双曲 PDE 是一类具有双曲性质的偏微分方程，其一般形式为：a(x, y) * (u/x - u/y) = f(x, y)，其中 a(x, y) 和 f(x, y) 是已知函数，u(x, y) 是待求解函数。

双曲 PDE 在物理、化学、生物学等领域中有广泛的应用，例如流体力学、电磁学等。

【双曲 PDE 的数值方法】双曲 PDE 的数值方法主要有以下几种：3.1 有限差分法有限差分法是一种常用的求解偏微分方程的数值方法，其基本思想是将 PDE 的解域进行网格划分，通过离散化和差分操作，将 PDE 转化为关于网格节点的代数方程组。

求解该方程组，可以得到 PDE 的数值解。

3.2 有限元法有限元法是另一种求解偏微分方程的数值方法，其基本思想是将 PDE 的解域划分为有限个小的子区域，每个子区域用一个基函数来近似表示。

通过将 PDE 的解表示为基函数的线性组合，可以得到关于基函数系数的代数方程组。

求解该方程组，可以得到 PDE 的数值解。

3.3 边界元法边界元法是一种求解边界值问题的数值方法，其基本思想是将 PDE 的解域划分为内部区域和外部区域，分别用不同的基函数来表示。

通过将PDE 的解表示为内部区域和外部区域的基函数的线性组合，可以得到关于基函数系数的代数方程组。

求解该方程组，可以得到 PDE 的数值解。

3.4 谱方法谱方法是一种求解偏微分方程的数值方法，其基本思想是将 PDE 的解表示为某些特定函数（如傅里叶级数、小波函数等）的线性组合。