第五章 双曲型方程的有限差分法

二阶非线性双曲型方程的近似解法二阶非线性双曲型方程是一类形式为$$u_{tt}-c^2u_{xx}+f(u,u_t,u_x)=0$$的偏微分方程，其中$c$为常数，$f(u,u_t,u_x)$为非线性项。

这类方程通常出现在波动方程、振动方程、输运方程等领域，解析解往往比较难以获得。

因此，我们需要求取它的数值解。

求解二阶非线性双曲型方程的近似解可以利用有限差分法、有限元法或者其他数值方法。

以下我们分别介绍这些方法。

1.有限差分法：有限差分法是一种基于差分逼近的数值求解方法。

它将求解区域离散化为一系列节点，然后利用近似的差分格式替代偏微分方程中的导数项，最终得到一个代数方程组。

常用的有限差分格式有向前差分、向后差分和中心差分。

通过构建差分格式的方程组，可以通过迭代求解来获得方程的数值解。

2.有限元法：有限元法是一种在连续域上建立有限维函数空间的数值求解方法。

它将求解区域进行网格划分，并在每个网格单元内用一个局部插值函数来近似原方程，然后将整个区域的问题转化为一个代数方程组。

通过求解方程组，可以得到方程的数值解。

有限元法具有较高的适用性和精确度，并且可以处理复杂的几何结构。

3.其他数值方法：除了有限差分法和有限元法之外，还可以利用其他数值方法进行近似解的求取。

例如，谱方法基于将原方程展开为一组函数的级数，然后通过调节级数中的系数使得方程在一些选定的离散点满足。

神经网络方法则通过训练神经网络来逼近方程解。

这些方法在特定问题和特定条件下可能会有更好的效果。

总之，二阶非线性双曲型方程的数值求解可使用有限差分法、有限元法或其他数值方法。

具体选择哪种方法需要根据问题的特点和求解精度的要求来决定。

我们可以根据具体问题的需求进行合适的选择，并使用相应的技术工具来实现近似解的求取。

双曲型偏微分方程组的数值解法研究双曲型偏微分方程组是描述波动、传播、传输等现象的常见数学模型之一，在各个科学领域中都有广泛的应用。

双曲型偏微分方程组通常具有复杂的特征，其解析解往往难以求得，因此需要用数值方法求解。

本文将介绍双曲型偏微分方程组的数值解法，并分析其优缺点，以及应用举例。

双曲型偏微分方程组的数值解法可以分为两类，即有限差分方法和有限元方法。

有限差分方法是将区域分割成网格，通过在网格上构建差分格式来近似微分方程，进而求解数值解。

有限元方法则是利用变分原理，将微分方程转化为弱形式，再通过有限元空间的数值逼近来求解数值解。

下面我们将分别介绍这两类方法。

有限差分方法是求解偏微分方程最常用的数值方法之一。

这类方法的基本思想是将区域划分成网格，通过差分逼近微分算子，将微分方程转化为代数方程组，进而求解数值解。

通常有限差分方法分为显式和隐式两种。

显式差分方法是根据精确度和稳定性的需求，选择合适的差分格式，将数值解的某一时刻的计算公式，仅由该时刻之前的数值解和已知的初值组成，计算简单，但存在较为严格的稳定性限制。

隐式差分方法则以更加严格的精确性和稳定性为代价，使用迭代法求解非线性代数方程组，计算复杂，但稳定性更加优良。

有限差分是求解双曲型偏微分方程最常见的数值方法之一。

虽然有限差分法计算公式简单，但是稳定性限制较高，当空间步长、时间步长不足以满足稳定性条件时，容易产生不稳定性及不合理的解，这是有限差分法的致命弱点之一。

此时有限元法常被作为替代方法。

有限元方法是求解双曲型偏微分方程另一种常用的数值方法。

有限元法基于变分原理，把求解微分方程转化为求最小值问题。

首先，将问题的定义域划分为若干子区域，然后在每个子区域内选取适当的试函数，通过构造一个弱变分解，就可以得到一个线性代数方程组。

有限元法具有更广泛的适用范围，解高维复杂结构问题时可以体现其独特性。

虽然有限元法可以处理不规则区域，但是计算量较大，常会出现稳定性的问题。

双曲型偏微分方程的求解及其应用文献综述双曲型偏微分方程的求解及其应用文献综述一、引言双曲型偏微分方程（Hyperbolic partial differential equation，简称HPDE）在物理、工程、生物等众多领域都有广泛的应用。

这类方程的求解问题一直是数学界研究的热点和难点。

本文将对双曲型偏微分方程的求解及其应用方面的文献进行综述。

二、双曲型偏微分方程的求解方法1.分离变量法分离变量法是一种求解双曲型偏微分方程的有效方法。

该方法通过将方程中的未知函数分离成不同的变量，使方程化简为多个常微分方程，从而简化求解过程。

例如，在求解二维波动方程时，可以将未知函数分离为x和y两个方向的函数，得到一系列的一阶常微分方程，再利用初始条件和边界条件求解。

2.行波法行波法是一种基于双曲函数展开的求解方法。

该方法通过将方程的解表示为双曲函数的展开形式，利用双曲函数的性质，得到方程的通解。

例如，在求解一维波动方程时，可以将解表示为双曲正弦函数的展开形式，再利用初始条件和边界条件求解。

3.有限差分法有限差分法是一种数值求解偏微分方程的方法。

该方法将连续的空间离散化为有限个离散点，将偏微分方程转化为差分方程，再利用迭代或递推的方式求解。

有限差分法在求解双曲型偏微分方程时具有简单、直观、易于编程等优点。

4.变分法变分法是一种通过寻找能量泛函的极值来求解偏微分方程的方法。

该方法将偏微分方程转化为变分问题，利用变分的性质和极值条件，得到方程的近似解。

变分法在求解双曲型偏微分方程时可以获得精确的数值解。

三、双曲型偏微分方程的应用1.波动问题双曲型偏微分方程在波动问题中有着广泛的应用。

例如，在地震波传播、声波传播、电磁波传播等问题中，都可以用双曲型偏微分方程来描述。

通过求解双曲型偏微分方程，可以得到波的传播速度、传播方向、振幅等特征。

2.流体动力学问题双曲型偏微分方程在流体动力学问题中也有重要应用。

例如，在空气动力学、水动力学等问题中，可以用双曲型偏微分方程来描述流体的运动规律。

双曲型方程的有限差分法线性双曲型方程定解问题： （a ）一阶线性双曲型方程（b ）一阶常系数线性双曲型方程组其中A ，s 阶常数方程方阵，u 为未知向量函数。

（c ）二阶线性双曲型方程（波动方程）()x a 为非负函数（d ）二维，三维空间变量的波动方程 §1 波动方程的差分逼近 1.1 波动方程及其特征线性双曲型偏微方程的最简单模型是一维波动方程：（1.1） 22222xu a t u ∂∂=∂∂ 其中0>a 是常数。

（1.1）可表示为：022222=∂∂-∂∂x u a t u ，进一步有 由于x a t ∂∂±∂∂当a dt dx ±=时为()t x u ,的全导数（=dt du dt dx x u t u ⋅∂∂+∂∂xuat u ∂∂±∂∂=）,故由此定出两个方向（1.3）adx dt 1±= 解常微分方程（1.3）得到两族直线（1．4） 1C t a x =⋅+ 和 2C t a x =⋅- 称其为特征。

特征在研究波动方程的各种定解问题时，起着非常重要的作用。

比如，我们可通过特征给出（1.1）的通解。

（行波法、特征线法） 将（1.4）视为),(t x 与),(21C C 之间的变量替换。

由复合函数的微分法则 同理可得将22x u ∂∂和22tu∂∂代入（1.1）可得：即有求其对2C 的积分得：()11C f C u=∂∂ 其中()1C f 是1C 的任意可微函数。

再求其对1C 的积分得：（1.5） ()()11,dC C f t x u ⎰= ()()()()at x f at x f C f C f ++-=+=212211 其中()∙1f 和()∙2f 均为任意的二次连续可微函数。

（1.5）为（1.1）的通解，即包含两个任意函数的解。

为了确定函数()at x f -1和()at x f -2的具体形式，给定u 在x 轴的初值（1.5） ()()+∞<<∞-⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂===x x tu x u t t 1000ϕϕ将（1.5）式代入上式，则有注意()=t x u t ,()()()a at x f a at x f ⋅+'+--'21；()=0,x u t ()()()()x a x f x f 112ϕ='-'，有 并对x 积分一次，得 与（ⅰ）式联立求解，得将其回代到通解中，即得（1.1）在（1.5）条件下的解：（1.6） ()t x u , ()()[]at x at x ++-=0021ϕϕ()ξξϕd a atx atx 121⎰+-即为法国数学家Jean Le Rond d ’Alembert (1717-1783)提出的著名的D ’Alembert 公式。

41-波动方程的差分逼近第五章 双曲型方程的有限差分法 4.1 波动方程的差分逼近 1. 特征针对波动方程22222u u a t x ∂∂=∂∂ （1） 其初值条件为 01(,0)(),(,0)(),t u x x u x x x ϕϕ==-∞<<∞其中0a >是常数。

其相应的特征方程为characteristic equation 2220dx a dt -= 即 221()0dt a dx-= 得到两个特征方向：characteristic direction1dt dx a=± （3） 解（3），得到两族直线： 12,x at c x at c -=+= 2. 显格式取空间步长h 及时间步长τ，用两族平行直线two family of parallel lines,0,1,2,j x x jh j ===±±L,0,1,2,n t t n n τ===L作矩形网格rectangle 。

在(,)j n x t 对方程（1）离散，得到111122222,0,1,2,,,1,2,n n n n n nj j jj j j u u u u u u aj n h τ+-+--+-+==±±L L （5.1）初始条件为00()j j u x ϕ= （5.2）101()j jj u u x ϕτ-= （5.3）（5.1）式逼近的截断误差为22()h τO +。

由于(5.3)式逼近截断误差为()τO ，因此对（5.3）的逼近可作适当改进。

（5）可显示算出各网点的值。

（5.1）简化后可以写成122111()2n n n n n j j j j ju r u u r u u +--+=++-（1-） （6） 针对混合问题：2222201,0,0,(,0)(),(,0)(),(0,)(),(,)().t u ua x l t T t x u x x u x x u t t u l t t ϕϕαβ⎧∂∂=<<<<⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪==⎪⎪⎩此时取空间步长l h J =及时间步长TNτ=，同样建立离散格式（5），针对边值条件，可给出离散的边值条件(),().nn l u n u n ατβτ==3. 稳定性分析为了利用Fourier 方法，令uv t∂=∂，将（1）化成一阶偏微分方程组： 222uv tv u a tx ∂⎧=⎪⎪∂⎨∂∂⎪=⎪∂∂⎩ （7） 再令uw ax∂=∂，则（7）变为 v w a t x w v a tx ∂∂⎧=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=⎪∂∂⎩ （8）令(,)T U v w =及0a A a ⎛⎫=⎪⎝⎭则（8）变为0U UA t x∂∂-=∂∂ 因此，差分方程（5）可写成1112211111122n n n n j j j j n nn n j j j j w w v v a h w w v v ah ττ++-+++---⎧--⎪=⎪⎪⎨-⎪-⎪=⎪⎩（10） 按照Fourier 方法，设12exp(),exp()n n n nj j j j v v i x w v i x αα==，2p lπα=代入（10），消去公因子common factor exp()j i x α和12exp()j i x α-，得到1121111222(sin ),2(sin)n n n n n nphv ir v v lphir v v v lππ+++-=-+=即111122()n nn n v v ph G l v v π++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中 21()(2sin )1ic phph G c r l l ic c ππ⎛⎫== ⎪-⎝⎭为增长矩阵，其特征方程为22(2)10c λλ--+= （14） 其根按模小于1的充要条件是absolute value of root 2|2|2c -≤ （15） 即1r ≤，此为必要条件。