以网格为载体的图形平移与旋转

一道中考网格作图题多样性解法的探究与思考作者：许柱周斌来源：《中学数学杂志(初中版)》2022年第06期【摘要】义务教育课程标准（2022年版）的变化之一，增加了学业质量标准和考试命题建议，明确提出了素养立意的命题原则.文章通过对2022年江苏省宿迁市中考第27题网格作图题多样性解法的探究，谈谈对以核心素养为导向的考试命题的思考.【关键词】网格作图；多样性；数学素养网格是义务教育阶段研究“图形的性质”“图形的变化”和“图形与坐标”的工具.教学从能用直尺或三角板在网格中画平行线、垂线，到借助网格探究平移、旋转和轴对称等图形变换特征以及研究函数的图象和性质，让学生积累丰富的活动经验，掌握相应的基本技能.为此，以网格作图为背景的考试命题成为了近几年的新方向.网格作图的要求是：只使用无刻度直尺，利用格点来作图.本文通过对2022年江苏省宿迁市中考第27题网格作图题多样性解法的探究，谈谈对以核心素养为导向的考试命题的思考.1 试题呈现（2022年江苏省宿迁市第27题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，D，M均为格点.【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图1的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB，CD，相交于点P，并给出部分说理过程.请你补充完整：解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE.在Rt△ABC中，tan∠BAC=BCAC=12，在Rt△CDE中，，所以tan∠BAC=tan∠DCE，所以∠BAC=∠DCE.因为∠ACP+∠DCE=∠ACB=90°，所以∠ACP+∠BAC=90°，所以∠APC=90°，即AB⊥CD.【拓展应用】（1）如图2是以格点O为圆心，AB为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在BM上找出一点P，使PM=AM，写出作法，并给出证明；（2）如图3是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦AB上找出一点P，使AM2=AP·AB，写出作法，不用证明.2 解法探究史宁中教授指出，“数学的结论往往是‘看’出来的.”［1］“看”需要凭借良好的直觉，而直觉需要活动经验的积累.网格作图是通过直接找格点或通过格点找间接的点，即借助无刻度的直尺作直线（线段）或直线（线段）与直线（线段）的交点来完成，故写作法时，要体现出网格中所取的格点.2.1 正确作法赏析对于【操作探究】：tan∠DCE=DECE=12.对于【拓展应用】（1）：方法一构造垂线弗莱登塔尔指出，“学习数学唯一正确的方法就是‘再创造’.”“再创造”是将“操作探究”中所隐藏的新知识、新技能及数学方法等内容，通过阅读去发现或创造出来.“拓展应用”中“在BM 上找出一点P，使PM=AM”，所用到的知识是垂径定理（过点A作半径OM的垂线）；方法是从“操作探究”中的体验获得的“用无刻度的直尺画两条互相垂直的线段”知识技能迁移得出较为直接的（1）问思路1.思路1：如图4，在网格中取格点C，连接AC并延长交圆O于点P（也可取格点G，连接AG或CG交圆O于点P）.方法二构造平行线网格中线段之间存在特殊的位置关系（平行和垂直），故基于原有的知识经验，过由若干个相邻方格组成的矩形的对角线所作的直线（线段），与按相同的方式作出的另一条直线（线段）互为平行线，再利用两直线平行，同位角相等以及同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进而得出（1）问思路2.思路2：如图5，在网格中取格点C，连接BC并延长交圆O于点P（也可取网格右下角格点H，连接HB或HC并延长交圆O于点P）.方法三构造垂直平分线网格中亦可以作出特殊的四边形（菱形、正方形），因此，可以利用特殊四边形的对角线互相垂直平分，推得角相等，进而得出（1）问的思路3，4，5等.思路3：如图6，在网格中取格点F，E，Q，连接MQ，作射线EF交MQ于点N，作射线ON交圆O于点P.思路4：如图7，在网格中取格点N，C，E，连接EN，MB相交于点Q，連接CQ并延长交圆O于点P.思路5：如图8，在网格中取格点G，N，C，E，F，连接EF，GN相交于点D，作射线OD交圆O于点P.方法四构造相似三角形题目条件中所给的点A，B，M均为格点，因此△ABM为格点三角形.因为AB为直径，则△ABM是边长之比为1∶2∶5的格点直角三角形.为此，我们可以构造两直角边比为1∶2的直角三角形得出（1）问中的思路6，7，8，9，10等.思路6：如图9，在网格中取格点E，F，连接EF并延长交圆O于点P.思路7：如图10，在网格中取格点C，连接AC并延长交圆O于点P（类似思路1，证明方法不同）.思路8：如图11，在网格中取格点F，C，连接CF交圆O于点P（也可以取D，E，连接CD，CE，DE，DF，EF或延长可得点P），这里通过两点控制变量，有6种方法得出点P.思路9：如图12，在网格中取格点D，C，连接CD交圆O于点P.思路10：（间接法）如图13，在网格中取格点E，N，C，D，连接BC交圆O于点Q，连接QO并延长交圆O于点P.方法五利用三角函数《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标（2022年版）》）对于三角函数知识要求为，利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值.由于学生提前了解高中相关三角函数的知识，故得出（1）中的思路11，12等.思路11：如图14，在网格中取格点E，F，C，连接MC，EF并延长交于点H，连接OH 交圆O于点P.简证：利用高中三角函数知識，求出∠AOM与∠MOP正切值都等于43，得出点P就是所求的点.思路12：如图15，在网格中取格点N，E，连接EN交MO于点Q，连接AQ并延长交圆O于点P.简证：这种作法需要利用高中知识作图，但证明既可以利用高中知识，也可以利用初中知识.由图直接得出tan∠AEN=43，用高中三角函数诱导公式，可得tan∠AOM=tan（∠EOM－∠EOA）=43.故∠AOM=∠AEN.由“同底同侧顶角相等的两个三角形，四点共圆”，得A，E，O，Q四点共圆，再利用“圆的内接四边形对角互补”，得出∠AQO=∠AEO=90°，根据垂径定理，可证明PM=AM.若利用初中知识证明，须以点O为坐标原点，以OE所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设E（－3，0）、N（1，3）、M（－1，3）、A（－3，1），可先求出直线yEN=34x+94，yOM=－3x，得点Q（－35，95），根据点A（－3，1），可求得yAQ=13x+2，所以kOM·kAQ=－1，所以OM⊥AQ，根据垂径定理可得PM=AM.对于【拓展应用】（2）：思路1：如图16，在网格中取格点D，连接MD交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.（简证：连接OA，类比操作探究，可证OA⊥MD，求得∠AMP=∠ABM.）思路2：如图17，连接MO并延长交圆O于点E，在网格中取格点F，连接EF并延长交圆O于点Q，连接MQ交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.（类似还可以在网格中取格点G，连接EG交圆O于点Q，连接MQ交AB于点P.）思路3：如图18，在网格中取格点D，连接BD并延长交圆O于点E，连接EM交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.（可证格点△AMB≌△ADB，推出∠EBA=∠MBA，证得∠AME=∠MBA.）思路4：如图19，在网格中取格点D，连接MD交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.（简证：证得两个阴影三角形相似，得∠AMD=∠MBA，类似（2）问思路1，证法不同.）思路5：如图20，在网格中取格点C，N，连接CN交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.也可以在网格中取格点C1，C2，C3，N1，连接任意两点（或延长）交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.2.2 典型错误剖析错解1：审题不清.拓展应用题（1）误作PM与PB相等.如图21，在网格中取格点C，连接OC并延长交圆O于点P.错解2：作近似点.如图22，在网格中取格点C，连接OC交圆O于点P.通过计算不难得出，点P是非常接近所求作的点.使用三角函数诱导公式可以求得tan∠AOM=3－131+3×13=43，tan∠MOC=tan（∠MON+∠EOC）=tan∠MON+tan∠EOC1－tan∠MON·tan∠EOC=13+341－13×34=139.因为tan∠AOM≠tan∠MOC，所以PM≠AM.错解3：增加网格.如图23，由于条件中所给定的网格不能够完成6×2矩形的构造，在自行添加的网格中取格点C，连接BC交圆O于点P（简证：连接AC，根据OM∥BC，得∠MOA=∠CBA）.尽管点P就是所求的点，但在自行添加网格的条件下找出的格点是“不守规矩”的作法.因题目所限定的作图工具为无刻度的直尺，故可以通过原图的格点构造网格外新的点，作出点P（如图24，利用格点M，C，E，D，作射线MC，ED）.3 素养表现课标（2022年版）总目标是：通过义务教育阶段的数学学习，学生逐步会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界［2］（以下简称“三会”）.2022年宿迁中考第27题考查学生在操作探究的基础上，借助网格中的格点，用无刻度的直尺作图，着重考查以下五个素养：（1）几何直观.拓展应用（1），在BM上找出一点P，使PM=AM，由于题目属于网格作图，只有利用网格中的格点才可以作出满足条件的图形.根据题目结论可知，若PM等于AM，必定有OM⊥AP.利用直尺可以直观的找到符合OM⊥AP且经过格点的点（思路1中的C，G）.试题的命制也充分考虑评价公平性，为防止学生答题过程中的无意识操作，利用“投机取巧”也可以做对，故题目要求写出作法，并给出证明.提出明确的答题指令，杜绝“无意识的操作”也能做对的现象，变为“有目标的思考”并表达.（2）模型观念.模型观念主要是指对运用数学模型解决实际问题有清晰的认识.从“操作探究”到“拓展应用”，由指定任务出发，通过阅读理解、自主探究、解决问题，获得新知识、新方法.最后，利用“操作探究”所获得的数学模型来解决“拓展应用”这一类问题，模型观念重点考查学生体会和理解数学及数学应用的能力.（3）推理能力.一方面，中考试题命制要有区分度，在“操作探究”环节，因tan∠BAC=tan∠DCE且tan∠BAC=BCAC=12，故推理得出在Rt△CDE中，tan∠DCE=DECE=12.另一方面，网格作图和尺规作图类似，多运用逆向逻辑推理.如拓展应用（1），先把结论PM=AM看作条件，推理得出应该有的结论（OM⊥AP），进而利用“操作探究”中的思想、方法找出BM上符合条件的点P.（4）运算能力.运算能力是“三会”中学会用数学的思维思考现实世界的重要表现形式之一.操作探究环节，借助格点的特性，构造直角三角形，通过观察，计算相关三角函数值得出结论.特别是在拓展应用环节1，考生利用原有的知识经验（思路12），通过构造平面直角坐标系，计算证明格点P就是所求作的格点，尽管繁琐，但考查了学生用代数的方法推出几何结论的能力.拓展应用环节2，学生通过严谨的计算，若满足AM2=AP·AB，则AP=22.先算出数值，后定位置，故直接连接小正方形的对角线，确定点P位置.思路11：如图14，在网格中取格点E，F，C，连接MC，EF并延长交于点H，连接OH 交圆O于点P.简证：利用高中三角函数知识，求出∠AOM与∠MOP正切值都等于43，得出点P就是所求的点.思路12：如图15，在网格中取格点N，E，连接EN交MO于点Q，连接AQ并延长交圆O于点P.简证：这种作法需要利用高中知识作图，但证明既可以利用高中知识，也可以利用初中知识.由图直接得出tan∠AEN=43，用高中三角函数诱导公式，可得tan∠AOM=tan（∠EOM－∠EOA）=43.故∠AOM=∠AEN.由“同底同侧顶角相等的两个三角形，四点共圆”，得A，E，O，Q四点共圆，再利用“圆的内接四边形对角互补”，得出∠AQO=∠AEO=90°，根据垂径定理，可证明PM=AM.若利用初中知识证明，须以点O为坐标原点，以OE所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设E（－3，0）、N（1，3）、M（－1，3）、A（－3，1），可先求出直线yEN=34x+94，yOM=－3x，得点Q（－35，95），根据点A（－3，1），可求得yAQ=13x+2，所以kOM·kAQ=－1，所以OM⊥AQ，根据垂径定理可得PM=AM.对于【拓展应用】（2）：思路1：如图16，在网格中取格点D，连接MD交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.（简证：连接OA，类比操作探究，可证OA⊥MD，求得∠AMP=∠ABM.）思路2：如图17，连接MO并延长交圆O于点E，在网格中取格点F，连接EF并延长交圆O于点Q，连接MQ交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.（类似还可以在网格中取格點G，连接EG交圆O于点Q，连接MQ交AB于点P.）思路3：如图18，在网格中取格点D，连接BD并延长交圆O于点E，连接EM交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.（可证格点△AMB≌△ADB，推出∠EBA=∠MBA，证得∠AME=∠MBA.）思路4：如图19，在网格中取格点D，连接MD交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.（简证：证得两个阴影三角形相似，得∠AMD=∠MBA，类似（2）问思路1，证法不同.）思路5：如图20，在网格中取格点C，N，连接CN交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.也可以在网格中取格点C1，C2，C3，N1，连接任意两点（或延长）交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.2.2 典型错误剖析错解1：审题不清.拓展应用题（1）误作PM与PB相等.如图21，在网格中取格点C，连接OC并延长交圆O于点P.错解2：作近似点.如图22，在网格中取格点C，连接OC交圆O于点P.通过计算不难得出，点P是非常接近所求作的点.使用三角函数诱导公式可以求得tan∠AOM=3－131+3×13=43，tan∠MOC=tan（∠MON+∠EOC）=tan∠MON+tan∠EOC1－tan∠MON·tan∠EOC=13+341－13×34=139.因为tan∠AOM≠tan∠MOC，所以PM≠AM.错解3：增加网格.如图23，由于条件中所给定的网格不能够完成6×2矩形的构造，在自行添加的网格中取格点C，连接BC交圆O于点P（简证：连接AC，根据OM∥BC，得∠MOA=∠CBA）.尽管点P就是所求的点，但在自行添加网格的条件下找出的格点是“不守规矩”的作法.因题目所限定的作图工具为无刻度的直尺，故可以通过原图的格点构造网格外新的点，作出点P（如图24，利用格点M，C，E，D，作射线MC，ED）.3 素养表现课标（2022年版）总目标是：通过义务教育阶段的数学学习，学生逐步会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界［2］（以下简称“三会”）.2022年宿迁中考第27题考查学生在操作探究的基础上，借助网格中的格点，用无刻度的直尺作图，着重考查以下五个素养：（1）几何直观.拓展应用（1），在BM上找出一点P，使PM=AM，由于题目属于网格作图，只有利用网格中的格点才可以作出满足条件的图形.根据题目结论可知，若PM等于AM，必定有OM⊥AP.利用直尺可以直观的找到符合OM⊥AP且经过格点的点（思路1中的C，G）.试题的命制也充分考虑评价公平性，为防止学生答题过程中的无意识操作，利用“投机取巧”也可以做对，故题目要求写出作法，并给出证明.提出明确的答题指令，杜绝“无意识的操作”也能做对的现象，变为“有目标的思考”并表达.（2）模型观念.模型观念主要是指对运用数学模型解决实际问题有清晰的认识.从“操作探究”到“拓展应用”，由指定任务出发，通过阅读理解、自主探究、解决问题，获得新知识、新方法.最后，利用“操作探究”所获得的数学模型来解决“拓展应用”这一类问题，模型观念重点考查学生体会和理解数学及数学应用的能力.（3）推理能力.一方面，中考试题命制要有区分度，在“操作探究”环节，因tan∠BAC=tan∠DCE且tan∠BAC=BCAC=12，故推理得出在Rt△CDE中，tan∠DCE=DECE=12.另一方面，网格作图和尺规作图类似，多运用逆向逻辑推理.如拓展应用（1），先把结论PM=AM看作条件，推理得出应该有的结论（OM⊥AP），进而利用“操作探究”中的思想、方法找出BM上符合条件的点P.（4）运算能力.运算能力是“三会”中学会用数学的思维思考现实世界的重要表现形式之一.操作探究环节，借助格点的特性，构造直角三角形，通过观察，计算相关三角函数值得出结论.特别是在拓展应用环节1，考生利用原有的知识经验（思路12），通过构造平面直角坐标系，计算证明格点P就是所求作的格点，尽管繁琐，但考查了学生用代数的方法推出几何结论的能力.拓展应用环节2，学生通过严谨的计算，若满足AM2=AP·AB，则AP=22.先算出数值，后定位置，故直接连接小正方形的对角线，确定点P位置.。

方格图在《简单图形的平移》中的应用邯郸市邯郸县明珠实验小学郝淑敏在小学数学教学中，教师可以使用方格图这个数学工具对学生空间思维能力进行训练。

在《新课程标准》中也明确指出“能在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形。

”下面我结合冀教版三年级下册5-7页《简单图形的平移》这节课来谈一谈方格图的使用价值及策略。

一、使用方格图，充分动手操作，加强直观感知，培养空间观念出示教材第5页情境图1、师：把一个长方形纸片A放在方格纸上，向右平移到B的位置，平移了几个方格？学生拿出方格纸自己操作，小组交流平移的过程、方法结果。

师：现在，把图形移回原来的位置。

说一说现在图形向什么方向平移，移动了几个方格。

生：图形向左平移了5个方格。

师：你是怎样判断的？生1：刚才向右平移了5个方格，现在平移到原来的位置，方向相反，向左平移，距离是一样。

生2：按长方形左边的一条边数的。

2、师：把纸片从A处向下平移到C的位置，平移了几个格？学生独立完成，教师巡视，重点了解学生平移的方向和位置是否正确。

指名学生投影演示。

然后再将图形平移回到A，再说出平移的方向和格数。

三年级儿童对空间的想象还需要依附一定直观物体的支持，方格图正为学生认识平移现象提供了实物支持。

这两次活动是由学生自己动手操作实物，实际操作更能加深学生对平移特征的直观体验。

二、基于对方格图的操作经验，发挥丰富相像，训练空间思维能力师：同学们，请你你们认真想一想，如果把纸片A向左平移到D的位置，平移了几个方格？让学生先说一说。

师：同学们自己动手移一移，你想的和做的一样吗？这次活动学生首先进行猜想，依据方格图实物模型抽象出平移的特征；然后动手操作、比较结果，在主观上逐步形成有关平移的空间表象，空间思维能力得到训练。

努力去创造性地使用各种数学工具为教学服务，为学生各方面数学能力的培养创造良好的条件，是我在今后教学中的追求。

CAD中利用偏移网格进行图形平移与旋转在CAD设计中，偏移网格是一种非常实用的工具，可以用来实现图形的平移与旋转。

它能够使得设计师在制作复杂的图形时更加高效和准确，下面就让我们一起来学习一下如何在CAD中运用偏移网格进行图形的平移与旋转吧。

首先，打开CAD软件并新建一个文件。

选择适合你工作的单位和比例，然后绘制一个基本图形，可以是一个简单的矩形或者任何你想测试的形状。

接下来，我们将学习如何使用偏移网格实现图形的平移。

首先，选择要平移的图形，然后进入编辑模式。

在编辑工具栏中，找到偏移网格工具并点击。

然后，在弹出的对话框中，选择网格的平移选项。

现在，你可以选择平移的距离和方向。

点击图形的某个点作为参考点，然后向任意方向拖动鼠标，即可实现图形的平移。

CAD会自动绘制出一个网格，以参考点为中心，帮助你完成平移操作。

在完成平移后，按下Enter键退出编辑模式，你的图形就成功平移了。

接下来，我们将学习如何使用偏移网格实现图形的旋转。

同样，选择要旋转的图形并进入编辑模式。

找到偏移网格工具并点击，然后选择网格的旋转选项。

在旋转操作中，同样需要选择一个参考点。

点击图形的某个点作为参考点，然后向外画一条线，即可确定旋转的方向和角度。

CAD会自动绘制出一个旋转网格，以参考点为中心，帮助你进行旋转操作。

在完成旋转后，按下Enter键退出编辑模式，你的图形就成功旋转了。

总结一下，通过使用CAD中的偏移网格功能，我们可以轻松实现图形的平移与旋转操作。

只需要选择要操作的图形，并选择适当的参考点，然后按照需要进行平移或旋转操作，即可获得想要的效果。

这种方法非常简便和高效，适用于各种类型的图形设计。

值得注意的是，在使用偏移网格进行平移或旋转操作时，需要注意选择合适的参考点，以确保操作的准确性。

同时，也可以通过调整网格的大小和密度，来适应不同的设计需求。

希望以上的教程对于你在CAD设计中的平移与旋转操作有所帮助。

通过学习和实践，相信你可以更加熟练地运用偏移网格工具，提高工作效率，并创作出更加精彩的设计作品。

微专题七__网格(坐标系)中的旋转作图及旋转证明__[学生用书A30]一网格(坐标系)中的旋转作图(教材P62习题23.1第4题)如图1，分别画出△ABC绕点O逆时针旋转90°和180°后的图形．图1解：如答图，△A1B1C1是△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形；△A2B2C2是旋转180°后的图形．教材母题答图【思想方法】网格(坐标系)中旋转作图的一般步骤：①找出原图形中的关键点；②确定旋转中心、旋转角及旋转方向；③根据旋转的性质作出关键点的对应点；④按原图的关键点连接顺序连接作出的所有点，并标上相应字母．[2018·青岛]如图2，将线段AB绕点P按顺时针方向旋转90°，得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别是点A′，B′，则A′点的坐标是(D)图2A．(－1，3)B．(4，0)C．(3，－3)D．(5，－1)[2017·威海]如图3，A点的坐标为(－1，5)，B点的坐标为(3，3)，C 点的坐标为(5，3)，D点的坐标为(3，－1)．小明发现线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是__(1，1)或(4，4)__．图3【解析】先根据点A，B的坐标建立坐标系，当A和C，B和D为对应点时，如答图①，旋转中心是(1，1)；当A和D，B和C为对应点时，如答图②，旋转中心是(4，4)．变形2答图[2017·齐齐哈尔]如图4，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3，4)，B(－5，2)，C(－2，1)．(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；(2)画出将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2.图4变形3答图解：(1)如答图，△A1B1C1即为所求；(2)如答图，△A2B2C2即为所求．二旋转证明(教材P63习题23.1第10题)如图5，△ABD，△AEC都是等边三角形．BE与DC有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？图5解：BE＝DC.理由：∵△ABD是等边三角形，∴AB＝AD，∠BAD＝60°，同理得AE＝AC，∠EAC＝60°，∴以点A为旋转中心将△ABE顺时针旋转60°就得到△ADC，∴△ABE≌△ADC，∴BE＝DC.【思想方法】旋转前后的图形全等，借此可以在较复杂的图形中发现等量(或全等)关系，或通过旋转(割补)图形，把分散的已知量聚合起来，便于找到解题突破口，疏通解题思路．[2017·舟山改编]如图6，一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC＝EF＝12cm(如图①)，点G为边BC(EF)的中点，边FD与AB相交于点H，此时线段BH的长是__12(3－1)cm__．现将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转60°(如图②)，则点H的初位置与旋转后的末位置间的距离是__(12－63)cm__．(结果保留根号)图6变形1答图【解析】如答图，作HM⊥BC于M，设HM＝x，则MC＝x，BM＝3x，∴x＋3x＝12，解得x＝6(3－1)，BH＝2x＝12(3－1)cm；当三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转60°时，点F恰好落在AB上的点H1处，△CGH1为等边三角形，作H1N⊥BC于N，则GH1＝6cm，NH1＝33cm，BH1＝63cm，HH1＝BH1－BH＝63－12(3－1)＝(12－63)cm.如图7，将一个钝角三角形ABC(其中∠ABC＝120°)绕点B顺时针旋转得到△A1BC1，使得C点落在AB边延长线上的点C1处，连接AA1.图7(1)写出旋转角的度数；(2)求证：∠A1AC＝∠C1.解：(1)旋转角的度数为60°；(2)证明：∵∠ABC＝∠A1BC1＝120°，∴∠ABA1＝∠CBC1＝60°，∴∠A1BC＝60°.∵AB＝A1B，∴△ABA1是等边三角形，∴∠AA1B＝∠A1BC＝60°，∴AA1∥BC，∴∠A1AC＝∠C.∵△ABC≌△A1BC1，∴∠C＝∠C1，∴∠A1AC＝∠C1.[2018·绍兴]小敏思考解决如下问题：原题：如图8①，点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上，∠P AQ＝∠B，求证：AP＝AQ.图8(1)小敏进行探索，若将点P，Q的位置特殊化：把∠P AQ绕点A旋转得到∠EAF，使AE⊥BC，点E，F分别在边BC，CD上，如图②，此时她证明了AE＝AF.请你证明．(2)受以上(1)的启发，在原题中，添加辅助线：如图③，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F.请你继续完成原题的证明．(3)如果在原题中添加条件：AB＝4，∠B＝60°，如图①.请你编制一个计算题(不标注新的字母)，并直接给出答案(根据编出的问题层次，给不同的得分)．解：(1)证明：在菱形ABCD中，∠B＋∠C＝180°，∠B＝∠D，AB＝AD，∵∠EAF＝∠B，∴∠C＋∠EAF＝180°，∴∠AEC＋∠AFC＝180°，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，∴∠AFC＝∠AFD＝90°，∴△AEB≌△AFD，∴AE＝AF.(2)证明：∵∠PAQ＝∠B，∴∠C＋∠P AQ＝180°，∴∠APC＋∠AQF＝180°，∵∠APC＋∠APE＝180°，∴∠AQF＝∠APE，又∵∠AEP＝∠AFQ＝90°，AE＝AF，∴△AEP≌△AFQ，∴AP＝AQ.(3)不唯一，举例如下：层次1：①求∠D的度数．答案：∠D＝60°.②分别求∠BAD，∠BCD的度数．答案：∠BAD＝∠BCD＝120°.③求菱形ABCD的周长．答案：16.④分别求BC，CD，AD的长．答案：4，4，4.层次2：①求PC＋CQ的值．答案：4.②求BP＋QD的值．答案：4.③求∠APC＋∠AQC的值．答案：180°.层次3：①求四边形APCQ的面积．答案：4 3.②求△ABP与△AQD的面积和．答案：4 3.③求四边形APCQ周长的最小值．答案：4＋4 3.[2018·烟台]【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图9①，点P是正方形ABCD内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，你能求出∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB 的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB 的度数．(1)请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】(2)如图②，若点P是6正方形ABCD外一点，P A＝3，PB＝1，PC＝11，求∠APB 的度数．图9解：(1)选思路一：如答图①，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∵PB＝P′B＝2，∠P′BP＝90°，∴PP′＝22，∠BPP′＝45°.又∵AP′＝CP＝3，AP＝1，∴AP2＋P′P2＝1＋8＝9＝P′A2，∴∠APP′＝90°，∴∠APB＝45°＋90°＝135°.变形4答图(2)如答图②，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∵PB＝P′B＝1，∠P′BP＝90°，∴PP′＝2，∠BPP′＝45°.又∵AP′＝CP＝11，AP＝3，∴AP2＋P′P2＝9＋2＝11＝P′A2，∴∠APP′＝90°，∴∠APB＝90°－45°＝45°.观察可知每2次变换，A点向左平移1个单位，故A2018为A向左平移1009个单位，即A2－20172，。

网格中的图形变换专题1．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A 、B 两点的位置如图所示，点C 也在小方格的顶点上，且以A 、B 、C 为顶 点的三角形的面积为1个平方单位，则点C 的个数有（ ） （A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个2．在正方形网格中，ABC △的位置如图2所示，则cos B ∠的值为（ ） A ．12B．2C．2D．33、在图的方格纸中，每个小正文形的边长都是1，若一个三角形的 每个顶点都在小正方形的顶点上，则称这个三角形为格点三角形，请你在方格纸中任意画出两个全等的格点钝角三角形。

4．2008年奥运火炬将在我省传递（传递路线为：昆明—丽江—香格里拉），某校学生小明在我省地图上设定的临沧市位置点的坐标为（–1，0），火炬传递起点昆明市位置点的坐标为（1，1）．如图，请帮助小明确定出火炬传递终点香格里拉位置点的坐标为___________． 5．如图4，在12×6的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位），⊙A 的半径为1，⊙B 的半径为2，要使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示位置需向右平移 个单位．6．一青蛙在如图88⨯网格的格点（小正方形的顶点）上跳跃，青蛙每次所跳的 A 开始连续跳六次正好跳回到点A ，则所构成的封闭图形的面积的最大值是 ．7．三角形在正方形网格纸中的位置如图2所示，则sin α的值是A. 43 B. 34 C. 53 D. 54（图4）CA E H8．（8分）如图7，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，ABC △的顶点均在格点上，点C 的坐标为(41) ，． ①把ABC △向上平移5个单位后得到对应的111A B C △，画出111A B C △，并写出1C 的坐标；②以原点O 为对称中心，画出ABC △与关于原点O 对称的222A B C △，并写出点2C 的坐标．③以原点O 为旋转中心，画出把ABC △顺时针旋转90°的图形△A 3B 3C 3，并写出C 3的坐标．25.如图,在直角坐标系中,点P 的坐标为(3,4),将OP 绕原点O 逆时针旋转90°得到线段OP ′,(1)在图中画出线段OP ′;(2)求P ′的坐标和PP ′的长度.9.（本小题7分）在如图的方格纸中，每个小正方形的边长都为l ， △ABC 与△A 1B 1C 1构成的图形是中心对称图形．(l ）画出此中心对称图形的对称中心O ； (2）画出将△A 1B 1C 1，沿直线DE 方向向上平移5格得到的△A 2B 2C 2;(3）要使△A 2B 2C 2与△CC 1C 2垂合，则△A 2B 2C 2绕点C 2顺时针方向旋转，至少要旋转多少度？（不要求证明）25题图（第18题）18．（6分）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都为1． （1）画出将铅笔图形ABCDE 向上平移9格得到的铅笔图形11111A B C D E ； （2）将铅笔图形11111A B C D E 绕点1A 逆时针旋转90， 画出旋转后的铅笔图形12222A B C D E ．26．（8分）在边长为1的方格纸中建立直角坐标系xoy ，O 、A 、B 三点均为格点. （1）直接写出线段OB 的长；（2）将△OAB 绕点O 沿逆时针方向旋转90° 得到△OA ′B ′.请你画出△OA ′B ′，并求 在旋转过程中，点B 所经过的路径的长度.19.如图，在Rt OAB △中，90OAB ∠=，且点①画出OAB △向下平移3个单位后的111O A B △；②画出OAB △绕点O 逆时针旋转90后的22OA B △，并求点A 旋转到点2A 所经过的路线长（结果保留π）．24．（8分）在如图11的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，ABC △的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）． (1) 画出ABC △绕点O 顺时针旋转90后的111A B C △； （2）求点A 旋转到1A 所经过的路线长．BAC DEA如图5，在平面直角坐标系xoy 中，(15)A -，， (10)B -，，(43)C -，． （1）求出ABC △的面积．（4分） （2）在图5中作出ABC △关于y 轴的对称图形111A B C △．（3分） （3）写出点111A B C ，，的坐标．（3分）22．（本小题满分6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1．（1）平移已知直角三角形，使直角顶点与点O 重合，画出平移后的三角形． （2）将平移后的三角形绕点O 逆时针旋转90，画出旋转后的图形．（3）在方格纸中任作一条直线作为对称轴，画出（1）和（2）所画图形的轴对称图形，得到一个美丽的图案．29.如图6，先将ΔABC 向下平移4个单位得到111A B C ∆，再以直线l 为对称轴将111A B C ∆作轴反射得到222A B C ∆，请在所给的方格纸中依次作出111A B C ∆和222A B C ∆．（图5）lCBA图6OCB如图方格纸中每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，∆ABC 的顶点在格点上，点B 的坐标为（5，－4），请你作出A B C '''∆，使A B C '''∆与∆ABC 关于y 轴对称，并写出B '的坐标. 21、（６分）如上图，在1010⨯正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．（1）作ABC △关于点P 的对称图形A B C '''△。

第八讲网格上的平移空间想象能力是学生应掌握的基本技能之一，图形的平移对于帮助学生建立空间观念，掌握变换的数学思想方法有很大作用．物体或图形在直线方向上移动，而本身没有发生方向上的改变，就可以近似地看作是平移现象．在本节课中让学生通过在方格纸上将图形进行上、下、左、右平移的操作，使学生能找到平移后图形的位置，并会画出在水平方向或竖直方向上平移后的图形，或是找到图形移动的路线．在让学生找最优线路的同时，一定要让学生学会记录数据，从小养成良好的学习习惯．1、教案点为各位老师提供了本节课挂图．第八讲网格上的平移小朋友，缆车在缆绳上上下移动，电梯楼上楼下来回移动，窗户左右拉动，这些现象都是平移．想一想，生活中你还见过哪些平移的现象？【教案思路】开课时，通过生活中的实例，跟学生介绍哪些现象是平移．让学生初步感知到物体上下左右移动，本身的方法不改变就可以看成是平移．把可以平移到红色小鱼位置上的鱼也涂上红色．【教案思路】答案如右上图．在初步认识平移现象以后，让学生通过这个题，进一步来巩固什么是平移．要注意强调在移动的时候小鱼的方向发生了变化，就不是平移了．在下图的网格中，小山羊在A点，它想摘到分别放在B、C、D、E这四个点上的蔬菜，他怎样走才能更快的摘到蔬菜？【教案思路】在这里安排这道题，除了应用平移的知识解决问题外，更重要是是让学生用符号的形式来记录方法，并为后面的学习奠定基础．在用符号记录的时候，老师要强调走的方向一般用上下左右的箭头，移动的格数一般写在箭头的右边．当小山羊从A 点出发，沿网格向右移动到C 点时，我们用符号“→”表示它的方向．它移动了2格，就用数字“2”表示走的格数．这样小山羊从A 点出发向右移动2格到C 点，用符号记录就是．用符号记录的方法比文字更简便．小山羊从A 点出发移动到B 点，用符号表示是（）． 小山羊从A 点出发移动到D 点，用符号表示是（）． 小山羊从A 点出发移动到E 点，用符号表示是（）．四只蚂蚁兄弟都从A点出发去寻找食物，你能根据下面的平移符号，找到它们分别在什么地方找到了食物吗？（画出线路图，并用☆标出到达的地点．）【教案思路】在画线路图的时候，先要根据符号判断先从哪个方向开始走，走了几个点．然后又向哪个方向走，走了几个点．最后一步到达的哪个点就是终点，标上记号．在这里要引导学生看符号来观察方向的变化．汽车从A点出发，你能根据下面的平移符号，画出它所走的路线吗？并标出目的地B点．【教案思路】首先引导学生弄清楚走的方向和各走了几个点，然后再按要求画一画．答案如下：小朋友们画一画，从月亮到星星怎样走最近，从心形到月亮又应该怎样走？这两条路线，哪条更短？【教案思路】先让学生来设计最短的路线，一般走的步数越少，方向变化的越少，线路就是最佳路线，先让学生画一画，然后再用符号记录．最后通过数步数来比较这两条路线，哪条最短．一只小海龟沿格线从A点爬到B点，沿途还要去探访住在三个洞中的朋友．请为它设计一条最佳路线，画出路线图，并用符号表示出来．【教案思路】小海龟可先向下爬2格，再向右爬1格到第一洞；然后向右爬3格到第二洞；再向右爬3格，向下爬2格到第三洞；最后再向下爬1格到B点．这样它即见到了三个洞里的朋友，又最快到达B点．学生还可能出现的答案：方法二：这道题方法较多，我们发现这几种方法走的步数都是一样的，但是进行比较，我们发现第一种方法方向改变的次数较少，在设计线路的时候，选择第一种方法更好．方法三：哈哈！变个小魔术，网格变成平行四边形了．可怜的蜘蛛找不到回家的路，你能根据下面的符号，帮小蜘蛛找到家吗？请画出线路图．【教案思路】网格变成了平行四边形，但是符号所指的方向不变．只是走的时候线路变成了斜线，方法和正方形网格找线路的方法相同．【教案思路】在这个故事中，兔妈妈把萝卜6个6个地数，数了7次，可知一共数了6×7=42（个）萝卜，把这42个萝卜分给了小白兔．然后又7个7个地数，数了6次，可知一共数了7×6=42（个）萝卜，又把这42个萝卜分给了小灰兔．最后自己还剩下36个萝卜．小白兔和小灰兔发现自己的萝卜比妈妈多，于是各给了妈妈2个萝卜，这时他们的萝卜都有40个，就一样多了．深秋的一天，兔妈妈和小白兔、小灰兔一起到菜地里 拔萝卜．不一会儿，他们拔了一筐．兔妈妈先数萝卜，再把萝卜分给两个孩子．她6个6个地数，数了7次，把这些萝卜分给小白兔；又7个7个地数，数了6次，把这些萝卜分给小灰兔．这时筐里还剩下36个萝卜，兔妈妈就留给了自己．小白兔和小灰兔发现妈妈的萝卜少，就各拿出一样多的萝卜给妈妈．这样，三人的萝卜就一样多了．兔妈妈很高兴，说两个孩子都爱妈妈．小朋友．小白兔和小灰兔各拿出几个萝卜给妈妈？你知道吗？蘑菇要向上、向下、向左、向右移动到指定的位置，各要平移几格？【教案思路】格子里面物体的移动，要比点上的移动更难以理解．在这里通过让学生动手移动蘑菇来，让学生理解平移到指定位置需要移动几格．在处理这道题时，可利用挂图老师引导学生来动手尝试．一起唱首歌吧！阿门阿前一棵葡萄树， 阿嫩阿嫩绿地刚发芽， 蜗牛背着那重重的壳呀！ 一步一步地往上爬． ……葡萄树上的葡萄块要熟了，蜗牛又要准备去摘葡萄了．你能根据下面的符号，找到葡萄树种在哪个格子里吗？请小朋友们画一画．【教案思路】老师引导学生边看符号边画图，弄清楚蜗牛走的顺序．蜗牛走的顺序是这样的，先向左走3格，再向上走2格，再向左走1格，最后向上走1格，这一格就是葡萄树的位置．如下图：小鸭子要想一次吃到这三种水果，怎样走最近？请大家帮它设计一条最合理的路线．【教案思路】小鸭子要吃到这三种水果，而且走的线路还不能故意绕远．那么首先要引导学生观察这三种水果先吃哪种，再吃哪种，最后吃哪种．要使走的路线最短，我们发现可以先吃葡萄，再吃梨，最后吃草莓．先让学生画出线路图，最后再用符号记录答案．方法一：先向右平移4格吃到葡萄；再向右平移2格，向下平移3格，吃到梨；然后再向下平移4格，向右平移1格吃到草莓．方法二：先向右平移4格吃到葡萄；再向下平移3格，向右平移2格，吃到梨；然后再向右平移1格，向下平移4格吃到草莓．拓展与提高小朋友，我们一起来玩一个“鸡生蛋、蛋生鸡”的游戏．请从右上方的“蛋”开始，按“蛋—雏鸡一小鸡一大鸡”的顺序，走一条不重复、不交叉的路线，最后从下方箭头走出来．走完后，用符号表示你所走的路线．【教案思路】在这道题中，首先按照要求完成迷宫图，找到从入口到出口的路，然后再引导学生把所有的路用符号记录下来．答案如下：（老师可根据自己的课堂进度灵活处理讲义内容，附加题仅供老师参考使用．）根据下列记录的符号画出路线图，然后仔细观察它像什么？【教案思路】根据代码画出的线路围线的图形如下，一个是字母I或者是“工”，另一个是字母“E”．正方形ABCD平移到A B C D′′′′的位置，向右平移了几格？【教案思路】要知道正方形ABCD平移到A B C D′′′′的位置，向右平移了几格，可以数从B点到B′点有几格，一共是6格，正方形ABCD平移到′′′′的位置，向右平移了6格．A B C D下图是一个展览馆，共有24个展览室，参观者从A室入口．从B室出口．中间相邻的展室都有门相通，现在有一位参观者必须参观C、D两个展室，其余的展室可参观也可不参观．请你为他设计一条最合理的参观路线，并用符号表示出来．【教案思路】方法一：先向下走3格，向右走1格参观C展室；再继续往右走3格，往上走1格参观D展室；最后向右走1格，从B室出来．方法二：先向右13格，向下走3格参观C展室；再继续往右走3格，往上走1格参观D展室；最后向右走1格，从B室出来．1．按所给的平移符号画出A点走过的路线，并标出终点B．【答案】答案如下：2．用符号表示从A到B的最佳线路(必须经过C、D、E三点)，并画出来．【答案】3．填一填．【答案】向上平移5格；向右平移7格；向下平移5格；向左平移6格．4．小狗想把鲜花送给小猫，你能根据下面的符号，找到小猫的家吗？画一画．【答案】答案如下：5．在下图中A点按下面的符号移动，最后落在什么地方？请画一画【答案】答案如下：瓶底的部分呢？却不会被水淹，为什么？小华已经把英语背得很熟了，为什么第二天考什么东西越擦越小？试还是不及格呢？什么东西洗好了却不能吃？一只红螃蟹和一只黑螃蟹比赛赛跑，你说谁会赢呢？【答案】（1）用吸管；（2）洗澡；（3）第二天不考英语；（4）橡皮；（5）衣服；（6）黑螃蟹会赢，红螃蟹是死的．排球是一位名叫威廉·基·摩根的体育干事于1895年在美国发明的。

关于网格图形问题我们知道，能够完全重合的两个图形，叫做全等形。

请你把下面4×4的正方形方格图形沿着虚线分割成两个全等的图形。

〖解〗：分割方法如下：〖反思〗：1、还有其它分割方法吗？2、从上面的分割方法中，你能发现分割的规律吗？题目：在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线与点G，一等腰三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B，（1）、在图1中，请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想。

（图1）（2）、当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一直角边仍与AC边在同一条直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA交BA于点E，此时，请你通过观察、测量DE、DF与CG 的长度，猜想并写出DE+DF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想。

（图2）（3）、当三角尺在（2）、的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）（图3）〖点评〗：本题以图形的平移为素材，要求学生发现并证明自己所得的结论，将合情推理与逻辑推理融为一体，突出对数学思考的考察。

本题选自《2008年安徽省初中毕业学业考试纲要》数学试题样卷，仅题目文字就超过300字，又出现动点和平移问题，实在可以称之为一个“庞然大物”，如果你是一位初中生，千万不要被它吓到。

仔细审题，你会发现实际考察平时学习的两个小问题：1、等腰三角形两腰上的高相等（应用三角形的全等或三角形的面积公式证明）；2、等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和等于腰上的高（综合应用等腰三角形的性质、三角形的全等、矩形的判定和性质或三角形的面积公式证明）。

所以，在第一轮数学复习时，要注意概念复习和基础题的复习，不要脱离课本，注重数学思想和数学方法的复习。

对一些比较典型的题目，进行一题多思，一题多变，培养我们分析问题和解决问题的能力，以适应中考的需要。