当前位置：文档之家 › 函数的极值与最大值

函数的极值与最大值

  • 格式：ppt
  • 大小：347.02 KB
  • 文档页数：13

下载文档原格式

  / 13

合集下载

3-5第五节函数的极值与最大值最小值

3-5第五节函数的极值与最大值最小值

教
5 9 2 9 22
3
3
案
5
55
2
34
f( ) 3
5
5 25
为极小值
武 由于x=0是不可导点,它的二阶导数不存在,只好用第一判别法.
汉
科 技
f (x) 3 x 2 2 (x 1) 1 5x 2 0,; x 0, f (x) 0;
学 院
3 3x
3 3x
数
理
系
高
等 数
例5 从一块边长为a的正方形铁皮的四角上剪去同样
学 电
大小的小正方形,然后按虚线把四边折起来,组成无盖的
子 教
盒子.问要去多大的小方块使盒子的容积最大?
案
解： :设剪去小方块
武 汉
的边长为x.
a
科
技
学 院
x
数
理
x
系
高
等 数
V x(a 2x)2 , x (0, x / 2)
学
案
定理2 (第一充分条件) 设函数f(x)在点x0连续,且在x0的某
一空心邻域U0(x0,δ)内可导,x ∈U0
武 汉 科
(1)若x<x0时,f’(x)>0;x>x0时,f’(x)<0,则f(x0)为极大值.
技 学 院
(2)若x<x0时,f’(x) < 0;x>x0时,f’(x) > 0,则f(x0)为极小值.
为0.
武 汉
定理1(必要条件) 若函数f(x)在点x0可导且取得极值f(x0),
科
技 学
则f’(x0)=0,
院
数
理
系
高 等

函数的极值与最大值最小值

函数的极值与最大值最小值

lim
x x0
f (x) f (x0 ) (x x0 )n
2
(n为正整数)
试讨论 f (x)在 x x0 点的极值问题.
解：由于 lim f (x) f (x0 ) 2 0， xx0 (x x0 )n
则
0，当x U (x0, ) 时，有
f
(x) f (x0 ) (x x0 )n
a 1 当a 1时，则1 e1a 0，a 1 0，于是，f (a) 0； 当a 1时，则1 e1a 0，a 1 0，于是，f (a) 0； 因此，当a 1时，f (a) 0，由第二充分条件可知： f (a) 为极小值.
-11-
例 4 设 f (x)在 x0 的某个邻域内连续，且
切线与直线 y 0 及 x 8所围成的三角形面积最大．
解 如图，设所求切点为 P(x0, y0 ), y
T
则切线PT为：y y0 2x0 (x x0 ),
B
P
y0 x02 ,
oA
Cx
A(
1 2
x0
,
0),
C(8, 0),
B(8, 16x0 x02 )
SABC
1(8 2
1 2 x0 )(16 x0
由极值定义可知：f (x)在 x0 不取得极值.
-13-
二、最大值最小值问题
假定：f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内除有限个点外可导， 且至多有有限个驻点.
讨论：f (x) 在[a,b]上的最大值与最小值的问题.
★ 最值的存在性：
若 f (x)在[a,b] 上连续，则 f (x) 在[a,b]上的最值必定存在.
如：y x3，y x0 0， 但 x 0 不是极值点.
【注 2】函数的极值点只可能是驻点或导数不存在的点.

函数的极值与最大值最小值

函数的极值与最大值最小值
极值点是否一定是驻点？ 驻点是否一定是极值点？ 考察x=0是否是函数y=x3的 驻点, 是否是函数的极值点.
x1 x2 x3 x4 x5
定理1(必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f ′(x0)=0. •驻点 使导数f ′(x)为零的点(方程f ′(x)=0的实根)称为函数 f(x)的驻点. 观察与思考： (1) 观察曲线的升降与极值
x1 x2
x3 x4 x5
定理2(第一充分条件)
设函数f(x)在x0处连续, 且在(a, x0)∪(x0, b)内可导. (1)如果在(a, x0)内f ′(x)>0, 在(x0, b)内f ′(x)<0, 那么函数f(x) 在x0处取得极大值; (2)如果在(a, x0)内f ′(x)<0, 在(x0, b)内f ′(x)>0, 那么函数f(x) 在x0处取得极小值; (3)如果在(a, x0)及(x0, b)内 f ′(x)的符号相同, 那么函数f(x) 在x0处没有极值.
1 2 所以当b= d 时, 抗弯截面模量 W 最大, 这时 h = d . 3 3
讨论：
函数f(x)=x4, g(x)=x3在点x=0是否有极值？ >>>
例2 求函数f(x)=(x2−1)3+1的极值. 解 f ′(x)=6x(x2−1)2. 令f ′(x)=0, 求得驻点x1=−1, x2=0, x3=1. f ′′(x)=6(x2−1)(5x2−1). 因为f ′′(0)=6>0, 所以f (x)在x=0处取得极小值, 极小值为f(0)=0. 因为f ′′(−1)=f ′′(1)=0, 所以用定理3无法判别. 因为在−1的左右邻域内f ′(x)<0, 所以f(x)在−1处没有极值. 同理, f(x)在1处也没有极值.

函数的极值与最大值

函数的极值与最大值
【例3】
求函数f(x)=x3－3x的极值. 解 f′(x)=3x2－3,f″(x)=6x.令f′(x)=0,求得驻点x1=－ 1,x2=1. 因f″(1)=6>0,故极小值是f(1)=－2.由于f″(－1)=－ 6<0,故极大值是 f(－1)=2. 如果函数在驻点处的二阶导数为零，则定理3失效，这 种情况必须使用定理2判断.
一、函数的极值及其求法
定理1
必要条件）如果f(x)在点x0处可导，且在x0处取得极值，那么 f′(x0)=0.
证明 不妨设x0是f(x)的极小值点，由极小值的定义可知，f(x) 在点x0的某个邻域U(x0)内有定义，且对于x0+Δx∈U(x0)，恒有
Δy=f(x0+Δx)－f(x0)≥0, 于是
因为f(x)在点x0处可导，所以 f′(x0)=f′-(x0)=f′+(x0),
一、函数的极值及其求法
当求出函数的驻点或不可导点后，还要从这些 点中判断哪些是极值点，以及进一步判断极值点是 极大值点还是极小值点.由函数极值的定义和函数单 调性的判定法易知，函数在其极值点的邻近两侧单 调性改变（即函数一阶导数的符号改变），由此可 导出关于函数极值点判定的一个充分条件.
一、函数的极值及其求法
定理2
（第一充分条件）设函数f(x)在点x0处连续，且在 x0的某去心邻域内可导.
（1）若在点x0的左邻域内，f′(x)>0；在点x0的右 邻域内，f′(x)<0，则f(x)在x0处取得极大值f(x0).
（2）若在点x0的左邻域内，f′(x)<0；在点x0的右 邻域内，f′(x)>0，则f(x)在x0处取得极小值f(x0).
函数的极值与 最大值
一、函数的极值及其求法

函数的极值与最值知识点总结

函数的极值与最值知识点总结

函数的极值与最值知识点总结函数的极值和最值是数学中重要的概念，它们对于函数的图像和性质有着重要的影响。

本文将对函数的极值和最值进行详细总结。

1. 函数的极值函数的极值是指函数在某一区间内取得的最大值或最小值。

在函数图像上就是曲线的顶点或谷底。

1.1 极大值和极小值函数在区间内取得最大值的点称为极大值点，函数在区间内取得最小值的点称为极小值点。

极大值点和极小值点合称为极值点。

1.2 极值的必要条件函数的极值一定是函数的驻点（即函数的导数为0）或者是函数定义域的端点，这是极值的必要条件。

1.3 极值判定的充分条件若函数在某点的导数由正变负，则该点是函数的极大值点；若函数在某点的导数由负变正，则该点是函数的极小值点。

这是极值判定的充分条件。

2. 函数的最值函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。

2.1 最大值和最小值函数在定义域内取得的最大值称为最大值，函数在定义域内取得的最小值称为最小值。

2.2 最值的存在性当函数在闭区间上连续时，函数一定存在最大值和最小值。

但是当函数在开区间上连续时，函数不一定存在最大值和最小值。

2.3 最值的求解方法求函数的最值主要通过导数的方法进行。

首先求出函数的导数，然后求出导数的零点，即函数的极值点。

从这些极值点中选取函数值最大的点，即为函数的最大值；选取函数值最小的点，即为函数的最小值。

3. 案例分析接下来通过一个具体的案例来说明函数的极值和最值的求解过程。

3.1 求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 的极值和最值。

首先求导得到 f'(x) = 3x^2 - 6x，令 f'(x) = 0，解得 x = 0 或 x = 2。

当 x = 0 时，f''(0) = 0，无法判断极值情况；当 x = 2 时，f''(2) = 6 > 0，说明 x = 2 是极小值点。

计算 f(2) = 2^3 - 3(2)^2 = -4，可知函数的极小值为 -4。

函数的极值与最大值最小值

函数的极值与最大值最小值

函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
函数极值的判定法 由费马引理可知可导函数的极值点一定是驻点 .
注意: 1) 函数的极值是函数的局部性质.
2) 对常见函数, 极值可能出现在驻点或导数 不存在的点.
y
3) 函数的最值是函数的全局性质.
x 1 , x4 为极大点 x 2 , x5 为极小点
提示: 利用 f ( x) 单调增加 , 及
f (1) f (0) f ( ) (0 1)
利用导数求函数的最值是导数的又一重要应用.
若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则值的方法: (1) 求 f ( x)在 (a , b) 内的极值可疑点
x1 , x2 , , xm
(2) 最大值
M max f ( x1 ) , f ( x2 ) ,, f ( xm ) , f (a) , f (b)
最小值
m min f ( x1 ) , f ( x2 ) , , f ( xm ) , f (a) , f (b)
特别:
• ●当 f ( x) 在 [a , b]内只有一个极值可疑点时, 若在 此点取极大 (小)值 , 则也是最大 (小)值 . • ●当 f ( x) 在 [a , b]上单调时, 最值必在端点处达到.
(证明略)
例如, 容易验证x=0是 y x2 , x ( , ) 的极小 值点. 而 x=0不是 y x , x ( , ) 的极值点.
3
例3 求函数 f ( x) ( x 1) x 的极值 . 2 x 2 1 2 5 解 1) 求导数 f ( x) x 3 ( x 1) x 3 5 3 3 3x 2) 求极值可疑点 2 令 f ( x) 0 , 得 x1 ; 令 f ( x) , 得 x2 0 5 3) 列表判别

函数的极值与最大值最小值

第五节 函数的极值与最大值最小值
一、函数的极值及其求法 二、最大值与最小值问题
一、函数的极值及其求法
极值定义 设函数 f ( x)在 x0 的某邻域U ( x0 )内有定义,
如果对 x U ( x0 ) ,有 f ( x ) f ( x0 ) ( 或 f ( x ) f ( x0 ) ),
求函数 f ( x ) x 2 3 x 2 在 [3,4] 上的 例3 最大值与最小值 .
解: 显然
一定取得最大值与最小值.
f ( x) ( x 2)( x 1)
又
x 1, x 2为不可导点
x [3,1] [2,4] x (1,2).
x 2 3 x 2, f ( x) 2 x 3 x 2,

2 5
0 0.33
2 ( 5 , )
其极大值为 是极大点，
是极小点， 其极小值为
确定函数极值点和极值的步骤
(1) 确定函数定义域 , 并求导数 f ( x );
(2) 求出 f ( x ) 的全部驻点与不可导点;
(3)驻点和不可导点将定义域区间分成若干个区间， 列表考察导函数在各个区间内的符号，以便确定该点
x 最大(小)值若在区间内部取得,则它一定是极大(小)值. o a x1 x2 x3x4 b x 2 , x4 为极小值点
费马( Fermat )引理
设函数 f ( x)在 x0 的某邻域U ( x0 )内有定义,
若 (1) f ( x)在 x0 点可导
则 f ( x0 ) 0.
(2) f ( x)在 x0 点取得极大值或极小值
点处的切线与直线 y 0 及 x 8 所围成的三角形

函数的极值,最大值与最小值

M
m
x1
x2
x3
x4
x5
例4. 求 y 2 x 3x 12 x 14 在 [3,4] 上的最大值与最小值. 2 解: y 6 x 6 x 12 6( x 2)( x 1), 令 y 0, 得驻点 x1 2, x2 1. 因为
3 2
f (3) 23, f (2) 34, f (1) 7, f (4) 142,
(1) 当x x0时, f ( x) 0,当x x0时, f ( x) 0，
则x0为f ( x)的极大值点.
(2) 当x x0时, f ( x) 0,当x x0时, f ( x) 0，
则x0为f ( x)的极小值点.
如果f(x)在x0的两侧保持相同符号, 则x0 不是f(x)的极值点.
x x0 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) lim 0, 当 x x0 时, x x x x0 f ( x) f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) 0, 0, 所以 f ( x0 ) lim x x x x0 x x0
(1) 当x x0时, f ( x) 0,当x x0时, f ( x) 0，
则x0为f ( x)的极大值点.
(2) 当x x0时, f ( x) 0,当x x0时, f ( x) 0，
则x0为f ( x)的极小值点.
说明: 对于情形(1)，由判别定理可知, 当 x x0 时, f(x)单调增加, 当 x x0 时, f(x)单调减少, 因此可知x0为f(x)的极大值点. 同理可说明情形(2).
特殊情况下的最大值与最小值: 若 f(x)在一区间(有限或无限 开或闭)内可导且 有且只有一个驻点x0 则： 当f(x0)是极大值时 f(x0)就是f(x)在该区间上的 最大值 当f(x0)是极小值时 f(x0)就是f(x)在该区 区间上的最小值

函数的极值与最大值最小值

)
(
)
3
(
检查
x
f
¢
0
)
(
)
2
(
的根
求驻点，即方程
=
¢
x
f
);
(
)
1
(
x
f
¢
求导数
.
)
4
(
求极值
例1
求函数 的极值.
解
得驻点
在
的左右两侧附近，
因此 不是极值.
在
点左侧，当 时，
2.9 函数的极值与最大值最小值
讨论蛋白质含量随积温变化的情况.
解 单位土地面积上黑麦草的蛋白质含量的比例为 此函数导数的计算比较复杂，作近似计算 §2.9 函数的极值与最大值最小值
取
令
得w = 683，是最大值点，
此时收获得到的蛋白质数量最多；
令
得w =493，是增长曲线的拐点，
此时是蛋白质数量增加最快的阶段.
只有一个驻点，而最大值一定存在，此驻点就是最大值点，
即当产量为300件时，总利润最大，为25000元.
L(300)=25000，
§2.9 函数的极值与最大值最小值
例6
河北沧州地区种植黑麦草作为饲料，单位土地面积上黑麦草的干物质积累量m是积温w的函数，
而随着植物的生长，干物质中的蛋白质含量 的比例逐渐下降，经验公式为
极值,
定理1
（必要条件）
证明略. (费马引理)
导数等于零的点称为函数的驻点.
§2.9 函数的极值与最大值最小值
例如，
注
① 可导函数的极值点一定是驻点，但反过来驻点不一定是极值点；
② 导数不存在的点也可能是极值点.

函数的极值,最大值与最小值


(1)求出函数f(x)在(a b)内的驻点和不可导
点 设这些点为x1 x2 xn; (2)计算函数值 f(a) f(x1) f(xn) f(b) ;
(3)判断: 最大者 M 是函数f(x)在[a b]
上的最大值 最小
小值 极小值为f(0)0 因为f (1)f (1)0 无法用定理3-8判别
在1的左右邻域内f (x)0 所以f(x)在1处没有极值 同理, f(x)在1处也没极值
二、最大值最小值问题
观察与思考： 观察下面的函数在哪些点有可能成为最
大值或最小值点? 怎样求函数的最大值和最小值?
M
m
x1 x2 x3 x4 x5
思考: 极值点是o a x1 x2 x3 x4 x5 b x
3. 极值的判别法
定理2 (第一充分条件) 设函数y=f(x)在点x0 连续, 且在x0的某邻域内可导(点x0可除外). 如果在该邻域内
(1)当x x0时,f (x) 0,当x x0时,f (x) 0，
x x0
xx0 x x0
由 f (x0 ) 0知,存在x0的某邻域, 使
故当 x x0 时，f (x) 0; 当x x0时, f (x) 0,
由判别法1知 f (x)在 x0 取极大值. 同理证(2).
说明: 当二阶导数易求, 且驻点x0处
的二阶导数 f (x0 ) 0 时, 利用判定极值
2. 极值存在的必要条件
定理1 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取 得极值, 那么f (x0)0.
证明: 以f(x0)是极大值来证明.
因为f(x0)是极大值, 故在x0的某邻域内,
对任意的 x x0 都有 f (x) f (x0 ), 所以,
当 x x0时,
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三节 函数的极值与最大值、最小值
一、函数极值的定义 二、函数极值的判定和求法 三、函数的最大值和最小值 1. 求可导函数f(x)在闭区间[a ,b]上的最大值 和最小值 一般方法：求出所有驻点处的函数值，并 与端点的函数值直接比较即知最值。 3 2 f ( x ) x 3 x 9 x 5 在区 例1 求函数 间[-2 ,6]上的最大值和最小值。
凹
凸
几何上，对于凹的曲线弧，切线的斜率随x 的增大而增大，即 f ( x) 为x的增函数，即 f ( x)
>0。对于凸的曲线弧，切线的斜率随x的增大 0。 而减小，即 f ( x) 为x的减函数，即 f ( x ) 。 定理（凹凸性判定定理） 设函数f(x)在区 间(a ,b)内具有二阶导数。 （1）若在(a ,b)内 f ( x) 0 ，则曲线y=f(x) 在(a ,b)内为凹的； （2）若在(a ,b)内 f ( x) 0 ，则曲线y=f(x) 在(a ,b)内为凸的。Fra bibliotek布置作业：
P119: 3(1)(2)(5). 5. 6. P124: 1(单). 2(单). 补充：
用微分法作函数y=2-x-x3的图象。
1
O 12 3 x=2
x
用微分法作函数图象的一般步骤： （1）求函数的定义域 （2）判断函数的有界性、奇偶性、周期性 （3）求函数的一阶导数，并解出驻点；求 函数的二阶导数，解出二阶导数为零的点 （4）用函数的驻点及二阶导数为零的点， 将函数的定义域分成若干个区间，列出一个综 合表，以综合判断函数的单调性、极值及曲线 的凹凸性和拐点（包括凸增、凸减、凹增、凹 减等） （5）判断曲线有无水平或垂直渐近线（若 有的话，则求出之） （6）适当补充若干个辅助点，综合作出函 数的图象。
2. 一个特殊情形 结论：若函数f(x)在一个开区间内可导且有 唯一的极值点x0，则当f(x0)为极大（小）值时， f(x0)就是f(x)在该区间内的最大（小）值。 例2 求函数 y x 4 x 3 的最大值。
2
3. 实际问题 在实际问题中，若函数f(x)在某区间内只有 一个驻点x0，且从实际问题本身又可以知道f(x) 在该区间内必有最值，则f(x0)就是所要求的最 值（不必判断）。
一、凹凸性 定义 如果在某区间内的曲线弧位于其上 任一点切线的上方，则称此曲线弧在该区间内 为凹的；如果在某区间内的曲线弧位于其上任 一点切线的下方，则称此曲线弧在该区间内为 凸的。 y B 例如，右图中，曲 E A C 线弧 ABC在区间(a ,c)内 D 是凸的；弧CDE 在区间 b (c ,b)内是凹的。 c O a x
例3 用边长为48厘米的正方形铁皮做一 个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面 积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊 成铁盒。问怎样截才能使铁盒容积最大？
48-2x x x
48
48-2x
例4 如图所示的电路中，已知电源电压为 E，内阻为r，求负载电阻R为多大时，输出功率 最大？
r E R
第四节 曲线的凹凸与拐点
1 1 的 分别为曲线 y x2
存在，则称直线y=b 为曲线y=f(x)的水平 渐近线；若 lim f ( x )
x x0 ( x x0 0 ) ( x x0 0 )
水平和垂直渐近线。 注意：曲线是由双曲 线y1 平移而得到的。 x
y
y 1 1 x2
y=1
例1
1 判定曲线 y 的凹凸性。 x
x
( ,0)
(0,)
+
y
1 y x
例2 判定曲线y=x3的凹凸性。 x
( ,0)
0 0
(0,)
+
y
y=x3
二、拐点的定义和求法 定义 连续曲线上凹的曲线弧与凸的曲线 弧的分界点叫做曲线的拐点。 例如，例2中的点(0,0)即为曲线y=x3的拐点。 拐点的求法： （1）确定函数y=f(x)的定义域 （2）求出 y f ( x) （3）令 y 0 ，解出这个方程在函数y= f(x)的定义域内的实根 （4）对于解出的方程 y 0 的每个实 根x0，考察 f ( x ) 在x0左右近旁的符号。若 f ( x ) 的符号相反，则点(x0,f(x0))为拐点；否 则不是拐点。
极大值
2 3
2 3
曲线
拐点
极小值
2 3
y=f(x)
(0,0)
y 1 1
y
1 3 x x 3
3
-2
3
-1
O

-1
2 3
2
x
有时，还可结合 所谓水平、垂直渐近 线作图。 定义 对于函数 y=f(x)，若 lim f ( x) b
x ( x ) ( x )
存在，则称直线x=x0 为曲 线y=f(x)的垂直渐近线。 例如，直线y=1及x=2
例3 求曲线 y x 3x 的凹凸区间和拐 点。
3 2
x
( ,1)
1 0 拐点(1,-2)
4
(1,)
+
y
曲线y=f(x)
例4 判断曲线 y (2 x 1) 1 是否有拐 点？
x y y
三、函数图形的描绘（微分法作图） 1 3 例5 用微分法作函数 y x x 的图象。 3 ( ,1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,) + 0 0 + 0 + + +