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预备知识高斯随机过程

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高斯随机过程的定义

高斯随机过程的定义

③ D[ax]= E[a2x2]- E2[ax]=a2{ E[x2]- E2[x]}= a2D[x]
④ D[X ± Y] = D[X] + D[Y] ±2CXY
⑷ 联合矩
联合原点矩：E[XnY k]称为两个随机变量X和Y的联合原点矩，反映X
和Y的关联程度。
当n=k=1时， E[XY]称为互相关函数或相关矩。
概率密度函数：若二维分布函数F( X,Y)是连续的，且二阶混合偏导
数存在，则定义
2F ( x, y) xy
f (x, y)
为二维概率密度函数，记为f(x,y)。
显然：
yx
F(x, y) f (,)dd
f(x,y)的性质：
① f(x,y) ≧0
yx
② F(x, y) f (,)dd
2/3
② F(-∞)=0， F(∞)=1
1/3 1/6 1/12 0
③ F(x)单调增，即：若x1 ≦ x2， 则F(x1) ≦ F(x2)
④ F(x)右连续。
0
x1 x2 x3 x4 x5 x6
x
概率密度函数f(x)
若F(x)是连续的，一阶导数存在，则定义
dF(x) dx
f (x)
为随机变量x的概率密度函数f(x)。
第三章 随机过程
3.1 随机过程的基本概念 3.2 典型随机过程
X
3.1 随机过程的基本概念 1. 随机变量的统计特性 2. 随机过程的统计特性
X
随机变量
随机变量：表示随机实验结果的一个变量，叫随机变量。 用大写字母X、Y、…等表示随机变量，用小写字母x、y、…等， 表示随机变量的取值。 ➢连续型随机变量：X的可能取值为整个区间的任意值。如接收 机输出电压噪声。 ➢离散型随机变量： X的可能取值为有限值。如掷殺子。

第4讲高斯随机过程、高斯白噪声和带限白噪声

第4讲高斯随机过程、高斯白噪声和带限白噪声

r(t) Acos (ct ) n(t)
其中：
(2.7.1)
Acos (ct )
---正弦载波:假定A、ωc为常数;θ为随机变量，其一维 pdf 均匀分布，即： f(θ)=1/(2π)， 0≤θ≤2π
n(t) nc (t) cosct ns (t) sin ct (t) c (t) cosct s (t)sin ct
(x) 1
x
ez2 / 2dz
2
(2.5.9)
则正态分布函数可表示为：
F (x) （ x a ）
(2.5.8)
通信原理
第2章 随机过程
xa
x
x
F(x) f (z)dz
1 exp[ (z a)2 ]dz 1
et2 / 2dt
2
2 2
2
（3) 用误差函数表示
正态分布函数更常表示成与误差函数相联系的形式。
通信原理
第2章 随机过程
2. 表达式－－两种！
(t) a (t) cos ct (t) , a 0
c (t) cosct s (t)sinct
(2.6.1/2)
c (t)=a (t) cos (t) (t)的同相分量 s (t)=a (t) sin (t) (t)的正交分量
R c s (0)=0 , f (c ,s )=f (c ) f (s )
通信原理
第2章 随机过程
2.5.3 已知ξ(t)的统计特性，求 aξ(t)、φξ(t)的统计特性
结论2
(t) a (t) cos ct (t) , a 0
若ξ(t)：均值为0、方差为δ2、窄带平稳高斯随机过程。
则：
（1）其包络aξ(t)的一维分布呈瑞利分布； （2）其相位φξ(t)的一维分布呈均匀分布； （3） aξ(t)与φξ(t)统计独立。

高斯随机过程

高斯随机过程

若统计独立，则必不相关；反 若不相关，则统计独 之，则不然，即：若不相关， 立。
则不一定统计独立。
若狭义平稳，则必广义平稳； 若广义平稳，则狭义 反之，则不然，即：若广义平 平稳。 稳，则不一定狭义平稳。
高斯分布函数的计算--查表法（附录B）
x
F (x) p( x)
1
2
R(t1,t2)= R(t1,t1+τ)= E［ξ(t1)ξ(t1+τ)］ = R(τ)



x1x2
f2 (x1,
x2 ;
)dx1dx2

R( )
仅是时间间隔τ=t2-t1的函数
平稳随机过程ξ(t)具有“平稳”的数字特征：它的均值为常数；自
相关函数只与时间间隔τ有关，R(t1,t1+τ)=R(τ)
(t,
t

) E[ (t)

1 2
E{cosw0
(t )] E[sin(w0t
cos[w0 (t2 t1) 2 ]}
) sin(w0 (t

)

)]
(2)

1 2
cosw0
0

1 2
cosw0

R( )
可见:ξ(t)的数学期望为常数，自相关函数只与时间间隔τ有关， 所以ξ(t)为广义平稳随机过程。
f (z)
1
2
蓝线下面积为为F(x)
Q(x)函数：
Q(x) 1 et2 / 2dt
2 x
红线下面积为Q函数
x
z
[例3.2-2]
Z(t)=X1cosw0t－X2sinw0t 是一随机过程。若X1、X2是彼此独立且具 有均值为0，方差为σ2的正态随机变量，求：

北大随机过程课件：第 5 章 第 1 讲 高斯随机过程

北大随机过程课件：第 5 章 第 1 讲 高斯随机过程
C(τ ) = eaτ C(0),τ ≥ 0 ，a<0 是该过程具有马尔可夫性的充分必要条件。
证明： 必要性的证明，
因为ξ (t) 是一个均方连续平稳实高斯分布的随机过程，它的协方差函数 C(τ )
是连续函数，又是马尔可夫过程，
C(τ + s) = C(τ )C(s) C(0)
C(τ + s) = C(τ ) C(s) C(0) C(0) C(0)
−∞
fξ1
∞
(x1 )
−∞
fξ2
/ ξ1
(x2
/
x1 )x2
⋅ dx2dx1
∫ ∫ =
C(t3 ,t2 ) C(t2 , t2 )
∞∞
x2 x1
−∞−∞
fξ2 / ξ1 ( x2
/
x1 ) fξ1
(xபைடு நூலகம் ) ⋅ dx2dx1
= C(t1, t2 )C(t2 , t3 ) C(t2 , t2 )
定理 2：
t1 t2
= ∫ ∫σ 2δ (u − v)dudv 00
t1
= ∫σ 2 0
= σ 2t1
设 t1 > t2 ≥ 0
∫ ∫ E
⎪⎧t1 ⎨ ⎪⎩ 0
ξ
(u)du
⋅
t2 0
ξ
(v)dv⎪⎭⎪⎬⎫
=
σ
2
t
2
6
因此有
∫ ∫ E
⎪⎧ ⎨
t1
⎪⎩ 0
ξ
(u)du
⋅
t2 0
ξ
(v)dv⎪⎬⎫ ⎪⎭
=
σ
2
min{t1 , t 2
∞ ∞∞
∫ ∫ ∫ = x1 x3 fξ1ξ2ξ3 (x1, x2 , x3 ) ⋅ dx1dx2dx3 −∞ −∞−∞

高斯随机过程-PPT精选文档

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2.3高斯随机过程
2.3.1定义
若随机过程ξ(t)的任意n维（n=1, 2, …）分布都是正态分布， 则称它为高斯随机过程或正态过程。 其n维正态概率密度函 数表示如下： 1 fn(x1,x2,…,xn; t1,t2,…,tn) 1 1 2 2 (2 ) ... 1 2 nB
x a 1n n a j k x k k . exp[ B ( )( )] jk 2 B j 1k 1 j k 式中, ak=E［ξ(tk)］，σ2k=E［ξ(tk)-ak］2，|B|为归一化协 方差矩阵的行列式，
1
B
b12 …
b1n …
B21 1
… b2n … 1
…
Bn1 bn2 …
|B|jk 为行列式 |B|中元素bjk 的代数余因子， bjk 为归一化协 方差函数，且
…
2.3.2
（1） 由式(2.3 - 1)可以看出, 高斯过程的n维分布完全由n 个随机变量的数学期望、 方差和两两之间的归一化协方差函 数所决定。因此，对于高斯过程，只要研究它的数字特征就 可以了。 （2） 如果高斯过程是广义平稳的，则它的均值与时间无 关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，由 性质（1）知，它的n维分布与时间起点无关。 所以，广义平 稳的高斯过程也是狭义平稳的。 （3） 如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的， 即对 所有j≠k有bjk=0，这时式（2.3 - 1）变为

且有
1 f( x ) dx f( x ) dx a 2

1 2
f (x)
O
a
x
图2-3 正态分布的概率
3） a表示分布中心，σ表示集中程度，f(x)图形将随着σ 的减小而变高和变窄。当a=0，σ=1时，称f(x)为标准正态分布 的密度函数。 当我们需要求高斯随机变量 ξ小于或等于任意取值 x 的概 率 P(ξ≤x) 时，还要用到正态分布函数。正态分布函数是概率

第5章 高斯随机过程

第5章 高斯随机过程
C 11 C 21 C= M C n1 C 12 C 22 M Cn2
T
协方差矩阵为
L L L
j
C1n C2n M C nn

其中
C ij = cov( x i , x j ) = rijσ iσ
一、多维高斯随机变量
3、n维分布 n维高斯分布的概率密度为
1 n n n φn (v1, v2 ,L, vn ; t1, t2 ,L, tn ) = exp j ∑ ai vi − ∑∑CX (ti , tk )vi vk 2 i =1 k =1 i =1
E[ X 2 (t )] < ∞
三、窄带平稳实高斯随机过程
一个零均值的窄带实平稳随机过程可表示为
τ = t1 − t 2
三、窄带平稳实高斯随机过程
可得二维联合概率密度为
p(a1 , a2 ;ϕ1 , ϕ2 ) =
a1a2 4π 2 C
exp{− 12
1 2C
[σ x2 (a12 + a22 ) − 2a(τ )a1a2 cos(ϕ2 −ϕ1 )]} 12
式中
0 ≤ ϕ 1 , ϕ 2 ≤ 2π
1 T −1 exp − (x − a) C (x − a) 1 2 2 C
若X(t)为平稳过程，则
ai = E[ X (ti )] = a
σ i 2 = D[ X (ti )] = σ 2
二、高斯随机过程
高斯过程是二阶矩过程 严格平稳和广义平稳等价 相互独立和互不相关等价 特征函数
= exp j (a1v1 + a2 v2 ) − (σ1 v1 + 2rσ1v1σ 2 v2 + σ 2 v2 ) 2

随机过程第章预备知识

������ = ������1, ������2, ������3, ������4, ������5, ������6
基本
概念 ℱ = ������, ������1, ������2, ������3 , ������4, ������5, ������6 , Ω - ℱ为-代数， ������, ℱ 为可测空间
代数
•
若������������ ∈ ℱ ,则‫ڂ‬������������=1 ������������ , ‫ځ‬������������=1 ������������ , ‫ځ‬���∞���=1 ������������ ∈ ℱ （有限并，有限
概率 交，可列交事件）
空间
独立 事件
中南民族大学经济学院
3
《随机过程》第1章-预备知识
1 概率空间
例：抛掷一枚骰子，观察出现的点数。
背景
������ = 1,2,3,4,5,6
基本
概念 ������ = 1,3,5 ⊆ Ω ������ = 2,4,6 ⊆ Ω
-
代数 骰子“出现1点”, “出现2点”, … ,“出现6点”, “点数不大于6”,“点数为偶数” 等都为随机事件.
-
代数 （3）若������������ ∈ ℱ, ������ ∈ ������，则‫ڂ‬���∞���=1 ������������ ∈ ℱ(可列并事件）
概率
空间 则称ℱ为-代数， (������, ℱ)为可测空间。
独立 事件
中南民族大学经济学院
6
《随机过程》第1章-预备知识
背景 例：抛掷一枚骰子，������������表示出现������点。
∞
∞
概率 空间

高斯随机过程

高斯随机过程高斯随机过程（GaussianRandomProcess，GRP）是一种常见的随机过程，它由作为时间或空间的变量的永久的高斯噪声的函数组成。

高斯随机过程有着丰富的应用，如数据处理、图像处理、信号处理、机器学习等。

本文将介绍高斯随机过程的概念、定义、特性以及应用场景，并对计算和绘图进行详细讨论。

1. 什么是高斯随机过程高斯随机过程是一种随机模型，它由作为时间或空间变量的永久高斯噪声函数组成。

它是一个随机现象，它的像素点时间/空间和随机变量之间有着特定关系。

它可以用来描述复杂的现象，但又比普通的概率分布拥有更丰富的特性。

高斯随机过程具有两个主要特性：转移性（stationarity）和可预测性（predictability）。

(1)移性：高斯随机过程具有转移性，即无论何时何地，这个过程的随机期望值（Expectation Value）都是一个定值，也就是说，这个过程的随机情况在空间上是一致的，在时间上也是一致的。

(2)预测性：高斯随机过程可以通过观察其连续时间点的值，利用代数运算和概率论，对未来的结果进行预测。

2.斯随机过程的定义高斯随机过程由一个实数序列，每一个取值都是随机变量X的一个实例，称为一个随机函数（Random Function）X。

X的取值不仅受到时间的影响，而且还受到空间的影响，从而构成了一个随机过程。

设X是在某一范围[0,T]上的高斯随机过程，那么X可以定义为：X(t) =(t) (t [0,T])其中，ε(t)是具有零期望值和高斯分布的均匀随机变量，即： E [ε(t)] = 0E [(ε(t)-ε(t))] =(t,tγ(t,tX(t)与X(t之间的协方差函数，即X(t)与X(t之间的统计相关性。

3.斯随机过程的应用场景高斯随机过程拥有广泛的应用场景，可以用于模拟各种复杂的场景。

其中，最常见的应用场景有：(1)据处理：高斯随机过程可以用来处理原始的数据，用来实现数据增强，数据降维以及数据去噪等；(2)像处理：利用高斯随机过程可以进行图像分类，图像检索，目标检测，图像修复，图像降噪等；(3) 信号处理：高斯随机过程在信号处理中可以用于过滤噪声，多信号融合，模式识别，信号传输，信号分离，信号恢复，变换等；(4)器学习：高斯随机过程可以用于机器学习，如聚类，回归，分类，联想推理，强化学习，机器翻译等等。

03第三讲：高斯过程、窄带过程


为是白噪声
物理意义：表明该随机过程上任何两个随
2、自相关函数
机变量之间都是不相关的，只有当τ＝0时 例外
白噪声的功率谱密度(a)和自相关函数 (b)
3、限带白噪声
限带白噪声概念：白噪声被限制在（f1,f2）之内，即在该频率 区上功率谱密度Pn(ω)＝ n0/2，而在该区间之外Pn(ω)＝0，则
这样的白噪声被称为限带白噪声
常见的限带白噪声有两种： a.理想低通型白噪声 b.理想带通型白噪声
理想低通白噪声：
概念：就是白噪声经过理想低通滤波器。
H(ω)为滤波器的系统函数
限带白噪声的自相关函数为
由R(τ)可见，若以1/(2f0)
的时间间隔对理想低通型
白噪声n(t) 进行抽样，则
噪声的样值之间是不相关
的
理想白噪声和限带白噪声的相关函数与谱密度
已知：
求： 解：先求反函数
利用概率论中的边际分布知识，aξ的概率密度函数
结论：aξ服从瑞利分布。
瑞利分布的特点：最大值发生在aξ＝σξ处。
要想计算误码率，必须知道抽样判决前信号和噪声的pdf，而噪声的pdf则为 上式。 aξ概率分布的用途：在数据通信系统中用来求解误码率。如2ASK的非相干 接收，接收机结构如图2.6-4所示。
为了能够借助于数表(误差函数表，概率积分表) 来计算高斯分布 ,需要引入概率积分函数或者误 差函数(互补误差函数)
误差函数的定义： erf (x) 2 x ez2 dz
0
互补误差函数的定义： erfc (x) 1 erf (x)
2

ez2 dz
x
概率积分函数：F (x) 1 x exp[ (z a)2 ]dz ((x a))

高斯随机过程

高斯随机过程高斯分布•中心极限定理证明：在满足一定条件下，大量随机变量和的极限分布是高斯分布。

•特殊地位：无线电技术理论中最重要的概率分布。

•噪声理论、信号检测理论、信息理论•高斯过程-统计特性最简单{}{}ik X i k X X i k X Xk i X k i X ik X i k X X X k i X k i X ik n n ikn n ik C m t t R m t t R m t t R t t C C m t t R m m t t R t t C C C C C C =−−=−+−+=′−++=++=′−−=−==′=′=××2222)()]()[(),(),()(),(),(..,.........εεεεεεv v Q Xi X i X X m t m t m m ==+=′)()(εQ ),...,;,...,(),...,;,...,(1111n n X n n X t t x x f t t x x f =++∴εε所以，高斯随机过程的宽平稳↔等价严平稳。

C C v v =′XX M M =′∴如果高斯过程X(t)在n 个不同时刻的状态两两互不相关，即则这些状态之间也是互相独立的。

n t t ,...,1)(),...,(1n t X t X )(,0)])()()([(),(k i m t X m t X E t t C C k k i i k i X ik ≠=−−==0=ik C ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)(0...0:...:::...)(00...0)(22212n t t t C σσσv 2、互不相关↔互相独立证明：由于则:t B t A t X 00sin cos)(ωω+=0][][==B E A E 222][][σ==B E A E 0ω1.已知随机过程其中A 与B 是相互独立的高斯变量，且, ,为常数。

求此过程的一、二维概率密度。

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2 B j1 k 1 jk
j
k
式 中 ：ak
E
（t
k）；
2 k
E（tk） ak 2
B为归一化协方差矩阵
高斯随机过程：重要性质
• 高斯过程的n维分布完全由n个随机变量的数学期望、 方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。
– 只需要其数字特征，就可以确定高斯过程
• 对高斯过程：广义平稳与狭义平稳等价
随机过程通过线性系统
• 平稳随机过程通过线性时不变系统时，关系仍然成立
线性时不变系统
（t）
E （t）
R（ ） P（ ）
h（t）
H（）
（t） （t） h（t）
（t）
E（t）
R（ ） P（ ）
？
h（）（t ）d
随机过程通过线性系统
• 输出过程的数学期望
E[（t）]
E
h( ) (t
)d
h(
Hale Waihona Puke )E (t)da
h( )d
a
h( )e j0 d
a H（0）
输入直流分量 与直流增益的积
随机过程通过线性系统
• 输出过程的自相关函数
R（ t1，t2） E[（t1）（t2）]
E
h(u) (t1
u)du
h(v) (t2
v)dv
h(u)h(v)E (t1 u) (t2 v) dvdu
R（t1，t2） E[ t1 t2 ]
x1 x2 f2 ( x1 , x1，t1，t2 )dx1d x2
2.3 随机信号分析
• 2.3 随机信号分析
– 随机过程基础 – 高斯随机过程 – 随机过程通过线性系统 – 窄带随机过程 – 正弦波加窄带高斯噪声
随机过程（噪声信号）示例
为什么研究高斯过程
R n0 ( )
2
高斯白噪声
如果白噪声又是高斯分布的， 我们就称之为高斯
白噪声。 由R n0 ( )可以看出，高斯白噪声在任
意两个不同时刻上的2取值之间，是统计独立的。
应当指出，我们所定义的这种理想化的白噪声在 实际中是不存在的。但是，如果噪声的功率谱均匀分 布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就 可以把它视为白噪声。
2.3 随机信号分析
• 2.3 随机信号分析
– 随机过程基础 – 高斯随机过程 – 随机过程通过线性系统 – 窄带随机过程 – 正弦波加窄带高斯噪声
随机过程通过线性系统
• 确知信号通过线性时不变系统时 线性时不变系统
x（t）
X（）
h（t）
H（）
y（t）
Y（）
y（t） x（t） h（t）
Y（） X（）H（）
• 中心极限定理表明：
– 一个随机变量，如果它是很多个相互独立的随机 变量之和，而其中每一个对总和只发生不大的影 响，那么，这一总和的分布就近似于正态分布。
• 高斯过程又称正态随机过程。如通信中的噪 声，分子热运动产生的热噪声等都具有高斯 过程的特性。
• 高斯过程，是研究通信信号、特别是通信噪 声的重要数学模型。
一维高斯分布的数值计算
• 误差函数
• 互补误差函数
• X>2时互补误差 函数近似表示
• Q函数与误差函 数关系
erf ( ) 2 et2 dt
0
erfc（） 2 et2 dt
1 erf（）
erfc( ) 1 e 2
Q( ) 1 erfc( )
2
2
一维高斯分布的数值计算
•例
E[ξ(t)]=m
D[ξ(t)]=σ2
R（）
如果各态历经
用时间平均代替集平均
aa
2 2
R( ) R( )
数字特征的计算
•数学期望 E[ (t )] m(t ) xf1( x, t )dx
•方差 •相关函数
D[（t）] （2 t） E（t） E[（t）]2
x2 f1( x, t)dx [m(t)]2
• 如果高斯过程中的随机变量之间互不相关，则他们是 统计独立的。
f ( x1, x2 xn , t1, t2 tn )
f（x1，t1）f（x2，t
）
2
f（xn，tn）
• 高斯过程通过线性系统、其输出也是高斯过程
一维高斯分布*
f (x)
1
2
exp(
(
x
2
a
2
)
2
)
aa==+0/，-2，=1 =0.8/1.2
一维高斯分布*
f (x)
1
2
exp(
(
x
2
a
2
)
2
)
f ( x)dx 1
a
1
f ( x)dx f ( x)dx
a
2
一维高斯分布的数值计算
• 在通信系统中，通常需要计算随机变量X大于某常数
的概率：
P（X C )
f ( x )dx
C
无法直接 计算出
1
( x a)2
C
2
e xp
2 2
dx
z
xa
P（X C )
C a
1
z2
2
e xp
2
dz
Q( )
1
z2
2
e xp
2
dz
查Q数值 计算表
P（X
C)
Q
C
a
一维高斯分布的数值计算
• Q函数的意义
Q( ) 1
面积=Q（）
Q(0) 1
2
Q() 0
Q( ) 1 Q( ), 0
查Q函数表可以求出概率
误码率 1错成0的概率加0错成1的概率， 已知均值、方差，查Q表即可求出
0
1
1->0 0->1
白噪声
信号在信道中传输时， 常会遇到这样一类噪声，
它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即
P（ ）
n0 2
这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随机
过程。 式中n0为一常数，单位是瓦/赫。白噪声的自 相关函数可借助于下式求得，即
随机过程（噪声信号）示例
利用随机过程基础解决通信中问题
随机过程ξ(t)（噪声、信号）
统计、观测、计算
数学期望
方差
相关函数
E[ξ(t)]
D[ξ(t)]
R（t ，t+）
最终求出功率通谱信，系从统而中获所得遇了到频的率信域号
如果上平的稳功率分布与，噪获声得一其般与带都时宽能间、满起功足点率各无性态关
能，达到了研历究经通条信件系统的目的
h(v)h(u)R ( u v)dudv
h( ) h( ) R ( )
输出也是平稳 过程
随机过程通过线性系统
• 输出过程的功率谱密度
R（ ） h( ) h( ) R ( ) P（ ） H（ ）H（）P（ ） H（）2 P（ ）
高斯随机过程：定义
若随机过程ξ(t)的任意n维（n=1, 2, …）分布都是正 态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。 其n维 正态概率密度函数表示如下：
f ( x1, x2 xn , t1 , t2 tn )
2
1
n/ 2 1 2 n B 1/ 2
• exp[ 1
n
n
B
( x j ak )( xk ak )]