预备知识高斯随机过程

高斯随机过程高斯随机过程（GaussianRandomProcess，GRP）是一种常见的随机过程，它由作为时间或空间的变量的永久的高斯噪声的函数组成。

高斯随机过程有着丰富的应用，如数据处理、图像处理、信号处理、机器学习等。

本文将介绍高斯随机过程的概念、定义、特性以及应用场景，并对计算和绘图进行详细讨论。

1. 什么是高斯随机过程高斯随机过程是一种随机模型，它由作为时间或空间变量的永久高斯噪声函数组成。

它是一个随机现象，它的像素点时间/空间和随机变量之间有着特定关系。

它可以用来描述复杂的现象，但又比普通的概率分布拥有更丰富的特性。

高斯随机过程具有两个主要特性：转移性（stationarity）和可预测性（predictability）。

(1)移性：高斯随机过程具有转移性，即无论何时何地，这个过程的随机期望值（Expectation Value）都是一个定值，也就是说，这个过程的随机情况在空间上是一致的，在时间上也是一致的。

(2)预测性：高斯随机过程可以通过观察其连续时间点的值，利用代数运算和概率论，对未来的结果进行预测。

2.斯随机过程的定义高斯随机过程由一个实数序列，每一个取值都是随机变量X的一个实例，称为一个随机函数（Random Function）X。

X的取值不仅受到时间的影响，而且还受到空间的影响，从而构成了一个随机过程。

设X是在某一范围[0,T]上的高斯随机过程，那么X可以定义为：X(t) =(t) (t [0,T])其中，ε(t)是具有零期望值和高斯分布的均匀随机变量，即： E [ε(t)] = 0E [(ε(t)-ε(t))] =(t,tγ(t,tX(t)与X(t之间的协方差函数，即X(t)与X(t之间的统计相关性。

3.斯随机过程的应用场景高斯随机过程拥有广泛的应用场景，可以用于模拟各种复杂的场景。

其中，最常见的应用场景有：(1)据处理：高斯随机过程可以用来处理原始的数据，用来实现数据增强，数据降维以及数据去噪等；(2)像处理：利用高斯随机过程可以进行图像分类，图像检索，目标检测，图像修复，图像降噪等；(3) 信号处理：高斯随机过程在信号处理中可以用于过滤噪声，多信号融合，模式识别，信号传输，信号分离，信号恢复，变换等；(4)器学习：高斯随机过程可以用于机器学习，如聚类，回归，分类，联想推理，强化学习，机器翻译等等。

高斯随机过程高斯分布•中心极限定理证明：在满足一定条件下，大量随机变量和的极限分布是高斯分布。

•特殊地位：无线电技术理论中最重要的概率分布。

•噪声理论、信号检测理论、信息理论•高斯过程-统计特性最简单{}{}ik X i k X X i k X Xk i X k i X ik X i k X X X k i X k i X ik n n ikn n ik C m t t R m t t R m t t R t t C C m t t R m m t t R t t C C C C C C =−−=−+−+=′−++=++=′−−=−==′=′=××2222)()]()[(),(),()(),(),(..,.........εεεεεεv v Q Xi X i X X m t m t m m ==+=′)()(εQ ),...,;,...,(),...,;,...,(1111n n X n n X t t x x f t t x x f =++∴εε所以，高斯随机过程的宽平稳↔等价严平稳。

C C v v =′XX M M =′∴如果高斯过程X(t)在n 个不同时刻的状态两两互不相关，即则这些状态之间也是互相独立的。

n t t ,...,1)(),...,(1n t X t X )(,0)])()()([(),(k i m t X m t X E t t C C k k i i k i X ik ≠=−−==0=ik C ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)(0...0:...:::...)(00...0)(22212n t t t C σσσv 2、互不相关↔互相独立证明：由于则:t B t A t X 00sin cos)(ωω+=0][][==B E A E 222][][σ==B E A E 0ω1.已知随机过程其中A 与B 是相互独立的高斯变量，且, ,为常数。

求此过程的一、二维概率密度。

第六章 高斯（Gauss ）过程（六）维纳过程（布朗运动）1． 维纳过程的定义设质点每经过t ∆时间，随机地以概率2/1=p 向右移动0>∆x 距离，以概率2/1=q 向左移动0>∆x 距离，且每次移动是相互独立的。

记：−=次质点向左移动第次质点向右移动第i i X i ,1,1若)(t X 表示在t 时刻质点所处的位置，则有：)()(][21tt XX X x t X ∆+++∆=L显然有：1}{}{,0}{2===i i i X E X D X E故有：∆∆==t t t t X D t X E 2)()}({,0)}({假设t c x ∆=∆，其中c 为常数，它由物理意义确定。

0>令∆0→t ，即研究连续的游动，则有：0)}({=t X Et c t t t c t t x t X D t t t 220200lim )(lim )}({lim = ∆∆=∆∆=→∆→∆→∆ 另一方面，任取两个时刻210t t <<，令：∆= ∆=t t n t t n 2211,则有：)()(1211n X X X x t X +++∆=L)()(2212n X X X x t X +++∆=L)()()(21112n n X X x t X t X ++∆=−+L由于(与)121n X X X +++L )(211n n X X +++L )(是相互独立的，因此与相互独立。

即随机过程)(1t X )()12t X −(t X t X 是一独立增量过程。

由此)(t X 可以看作由许多微小的相互独立的随机变量)(1−)(−i t i X t X 组成之和。

由中心极限定理，当∆0→t 时，我们有：)(0200lim x x t c xX P t t i i t Φ=≤−∆∑ ∆=→∆ 即有：∫∞−→∆−=Φ=≤xt du u x x t c t X P }2exp{21)()(lim 220π故当∆0→t 时，)(t X 趋向于正态分布，即0→∆t 时，),0(~)(2t c N t X 由此，我们引入维纳过程（Wienner Process ）的定义：定义：若一随机过程{}0);(≥t t W 满足： （1）)(t W 是独立增量过程；（2）∀； ),0(~)()(,0,2t c N s W t s W t s −+>（3）)(t W 是关于t 的连续函数；则称{}0);(≥t t W 是布朗运动或维纳过程（Wienner Process ）。

高斯随机过程1．高斯随机过程的定义如果随机过程ξ(t)的任意n维（n＝1，2，…）分布均服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程。

其n维正态概率密度函数表示为式中：;|B|为归一化协方差矩阵的行列式，即为行列式|B|中的元素b jk的代数余因子；b jk为归一化协方差函数，即2．高斯随机过程的重要性质（1）高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和归一化协方差；（2）广义平稳的高斯过程是严平稳的；（3）如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即对所有j≠k有b jk＝0，那么它们也是统计独立的；（4）高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程，即若线性系统的输入为高斯过程，则系统的输出也是高斯过程。

3．高斯随机过程的随机变量（1）一维概率密度函数①表达式高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数为②图像图3-1 正态分布的概率密度③特性a．f(x)对称于x＝a这条直线，即f(a＋x)＝f(a－x)b．及；c．a表示分布中心，σ称为标准偏差，f(x)图形将随着σ的减小而变高和变窄。

当a＝0，σ＝1时，称为标准化的正态分布。

即（2）正态分布函数①正态分布函数的定义正态分布函数定义为正态分布的概率密度f(x)积分，即②误差函数a．误差函数的定义erf(x)表示误差函数，其定义为b．误差函数的性质erf(0)＝0，erf(∞)＝1，erf（－x）＝－erf(x)。

c．误差函数表示分布函数②互补误差函数a．互补误差函数的定义erfc(x)表示互补误差函数，其定义为b．互补误差函数的性质erfc(0)＝1，erfc(∞)＝0，erfc(－x)＝2－erfc(x)。

c．误差函数表示分布函数正态分布函数可用互补误差函数erfc(x)表示为d．互补误差函数的应用当x＞a，互补误差函数与高斯概率密度函数曲线尾部下的面积成正比。