有理数的基本概念

有理数的概念及分类有理数一词是从西方传来，在英语中是rational number，而rational通常的意义是“理性的”。

有理数，在数学其实就是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。

正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。

因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。

一、有理数的基本运算有：1.加法运算减去一个数，等于加上这个数的相反数（符号不同，符号相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数）。

2.乘法运算两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

特别注意：零除以任一一个不等于零的数，都得零；零无法搞除数和分母；有理数的乘法与乘法就是互逆运算。

在做除法运算时，根据同号得正，异号得负的法则先确定符号，再把绝对值相除。

若在算式中带有带分数，一般先化成假分数进行计算。

若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。

3.乘法运算（1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。

例如：（-2）的3次方= -8，（-2）的2次方=4。

（2）正数的任何次幂都就是正数，零的任何正数次幂都就是零。

比如：2的2次方=4,2的3次方=8,0的3次方=0。

（3）零的零次幂无意义。

（4）由于乘方就是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算顺利完成。

（5）任何非0数的0次方都是1。

（6）一个数的负数次方=此数正数次方的倒数。

例如：5的-2次方=1/25二、有理数的运算定律有：1.乘法运算律:（1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即a+b=b+a。

（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，和维持不变，即a+b+c=a+（b+c）。

2.加法运算律：（1）减法运算律：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

即：a-b=a+（-b）。

（2）加法结合律：三个数连减至，可以先将两个减至的数相乘，然后再减至，高维持不变，即：a-b-c=a-（b+c）。

有理数的概念及分类
有理数是可以表示为两个整数的比的数，它们可以是正数、负数或零。

有理数包括整数、分数和小数。

下面是有理数的几种分类：
1. 正有理数：正有理数是大于零的有理数，可以用正整数表示。

2. 负有理数：负有理数是小于零的有理数，可以用负整数表示。

3. 整数：整数是正整数、负整数和零的集合。

4. 分数：分数是形如a/b 的有理数，其中a 是整数，b 是非零整数。

分数包括真分数（分子小于分母）和假分数（分子大于分母）。

5. 小数：小数是有理数的一种表达形式。

小数可以是有限小数，即小数部分有限位数；也可以是无限循环小数，即小数部分有限位数，但重复出现。

总之，有理数是可以表示为两个整数的比的数，包括整数、分数和小数。

它们可以被分为正有理数、负有理数、整数、分数和小数等不同的分类。

⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧--⎪⎩⎪⎨⎧---...5.351...2.03121321.0...321.，，负分数：如，，，正分数：如分数，，负整数：如，，，正整数：如整数数理有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧与有理数的关有---画法---单位长度正方向原点定义---数轴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--⎩⎨⎧有理数大小比较非负性性质代数意义几何意义意义绝对值）（0a )0a ()0a (a 0a |a |<=>⎪⎩⎪⎨⎧-=1、 像5，1，2，21，…这样的数叫做正数，它们都比0大，为了突出数的符号，可以在正数前面加“+”号，如+5，+1.2 2、 在正数前面加上“—”号的数叫做负数，如－10，－ 3，… 3、 0既不是正数也不是负数.4、 整数和分数统称为有理数.1、 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线.2、 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度.3、 所有的有理数都可以用数轴上的点表示.4、 相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数.1、 在数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对 值，记作|a|.2、 一个正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，一个负数的绝对值是它的相反数，可表示为概念图1、 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2、 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧律合结律换交运算律一个数与零相加异号两数相加同号两数相加则法法加的数理有的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0.3、 一个数同0相加，仍得这个数.4、 有理数加法的运算律：（1） 加法的交换律：a+b=b+a（2） 加法的结合律：（a+b ）+c=a+(b+c)⎩⎨⎧上这个数的相反数—减去一个数，等于加—法则逆运算的加法是—减法—意义有理数的减法。

绵阳中学英才黉舍四初一期末温习之有理数有理数概念整顿班级：姓名：（一）有理数：（1按符号分类：;②负数和零统称为;③正整数和零统称为;④负整数和零统称为.留意：都大于零,都小于零.“0”即不是,也不是.（3）用正数.负数暗示相反意义的量：假如用正数暗示某种意义的量,那么负数暗示其意义的量,假如负数暗示某种意义的量,则正数暗示其意义的量.如：若-5米暗示向东走则+33米; 若+6米暗示上升6米,则-2米暗示.（1）概念：划定了.和的直线注：①..称为数轴的三要素,三者缺一不成.（2）数轴的画法及罕有错误剖析①画一条程度的;②在这条直线上恰当地位取一实心点作为：③肯定向右的偏向为,用暗示;⑤数轴画法的罕有错误（3）有理数与数轴的关系一切有理数都可以用数轴上的暗示出来.在数轴上,右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数,正数都大于,负数都小于,正数大于一切负数.留意：数轴上的点不都是有理数,（三）相反数（1）相反数：只有的两个数互称为相反数．特殊地,0的相反数是;反之亦然 .（2）相反数的性质：①代数意义：只有的两个数叫做互为相反数,特殊地,O的相反数是0．相反数必须消失,不克不及单独消失．例如+5和互为相反数,或者说+5是的相反数,－5是的相反数,而单独的一个数不克不及说是．别的,界说中的“只有”指除以外,两个数,留意应与“只要符号不合”区离开．例如+3与－3互为相反数,而+3与－2固然不合,但它们不是相反数．②几何意义：一对相反数在数轴上应分离位于两侧,并且到原点的相等．这两点是关于对称的．③求随意率性一个数的相反数,只要在这个数的前面添上“”号即可．一般地,数a的相反数是;这里以a暗示随意率性一个数,可认为..负数,也可所以随意率性一个代数式．留意－a不必定是．留意：当a＞0时,－a0(正数的相反数是数);当a=0时,－aO(0的相反数是);当a＜0时负数的相反数是)．④互为相反数的两个数的和为,即若a与b互为,则a+b=0,反之,若a+b=O,则a与b互为．⑤多重符号的化简：一个正数前面不管有若干个“＋”号,都可以全体;一个正数前面有个“－”号,也可以把“－”号全体去失落;一个正数前面有个“－”号,则化简后只保存一个“－”号,即“负正”（个中“奇偶”是斧正数前面的“”号的个数的 ,“负正”是指化简的最后成果的.（四）绝对值（1）绝对值的代数意义及几何意义①绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是;一个负数的绝对值是它的;0的绝对值是.②绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上暗示数a的与的距离.数a的绝对值记作.留意：①取绝对值也是一种,这个符号是“”,求一个数的绝对值,就是根据性质绝对值符号.②绝对值具有性,取绝对值的成果老是.③任何一个有理数都是由部分构成：和它的,如：－5,符号是,绝对值是. （2）字母a 的绝对值的分类___,()___,(0)___,(0)a o a a a >⎧⎪==⎨⎪<⎩ 或___,(0)___,(0)a a a ≥⎧=⎨<⎩ 或___,(0)___,(0)a a a >⎧=⎨≤⎩ （3）运用绝对值比较两个负有理数的大小规矩：两个负数,绝对值大的反而.步调：①盘算两个负数的.②比较这两个的大小.③写出准确的断定成果.④假如若干个非负数的和为0,那么这若干个非负数都必为. 例如：若0,____,____,______a b c a b c ++====则常识点二：有理数运算（一）有理数比较大小1.0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩同正：__________大的数大两数同号同负：__________大的反而小比较大小两数异号（一正一负）：______大于_______正数与0：_______大于0其中有时负数与0：_______小于0 2.数形联合运用数轴比较有理数大小.（二）有理数的加减法（1）有理数加法轨则①同号两数相加,取雷同的,并把绝对值 .②绝对值不相等的异号两数相加,取的加数的符号,并用较大的减去较小的.③一个数同0相加,仍得.（2）有理数加法的运算步调轨则是运算的根据,根据有理数加法的运算轨则,可以得到加法的运算步调：①肯定和的;②乞降的绝对值,即肯定是两个加数的绝对值的.（3）有理数加法的运算律①两个加数相加,交流加数的地位,不变.即a+b=b+a(加司法)②三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,不变.即 (a+b)+c=a+(b+c)（加司法）（4）有理数加法的运算技能①分数与小数均有时,应先化为情势.②带分数可分为与两部分介入运算.③多个加数相加时,如有互为相反数的两个数,可先联合得④如有可以凑整的数,即相加得整数时,可先联合.⑤如有同分母的分数或易通分的分数,应先联合在一路.⑥雷同的数可以先联合在一路.（5）有理数减法轨则减去一个数,等于,即a-b=a+()（6）有理数减法的运算步调①把减号变成加号（改变运算符号）②把减数变成它的相反数（改变性质符号）③把减法转化为加法,按照加法运算的步调进交运算.（7）有理数加减混杂运算的步调①把算式中的减法转化为加法;②省略加号与括号;③运用运算律及技能轻便盘算,求出成果.留意：根据有理数减法轨则,减去一个数等于加上,是以加减混杂运算可以根据上述轨则改变成只有的运算,即变成求几个正数,负数和0的和,这个和称为代数和.为了书写轻便,可以把加号与每个加数外的括号均省略,写成省略加号和的情势,（三）有理数的乘除法（1）有理数乘法轨则两数相乘,同号得,异号得,并把相乘.任何数同相乘,都得0.（2）有理数乘法的运算律①两个数相乘,交流因数的地位,积相等.即ab=（乘法联合律）②三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等.即 abc=（乘法联合律）③一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分离同这两个数相乘,再把积相加. 即 a(b+c)=（乘法分派律）（3）有理数乘法轨则的推广①几个不等于0的数相乘,积的符号由的个数决议,当的个数是偶数时,积为;的个数是奇数时,积为.②几个数相乘,假如有一个因数为0,则积为.在进行乘法运算时,如有带分数,应先化为,便于约分;如有小数及分数,一般先将小数化为,或凑整盘算;运用乘法分派律及其逆用,也可简化盘算.（4）有理数除法轨则：除以一个不等于0的数,等于乘这个数的.即a÷b=a· (b≠0)两数相除,同号得,异号得,并把绝对值,除以任何一个不等于0的数,都得0.（5）倒数及有理数除法①乘积为的两个数互为倒数.倒数是消失的,单独一个数不克不及称为倒数;互为倒数的两个数的乘积必定;没有倒数;求一个非零有理数的倒数,只要把它的分子和分母即可（正整数可以看作分母为1的分数）.留意：,,反之亦然.②有理数除法的运算步调：起首肯定商的,然后再求出商的绝对值.（四）有理数的乘方（1,叫做,的成果叫做,中.（2,相乘.3×3×3×3×-3）×（-3）×（-3）×（-3-3）,,应把底数加上括号. 如,而2相乘的积的.当n为奇数时而当n为偶数时留意：负数的奇次幂是,负数的幂是正数.正数的任何次幂都是,0的任何次幂都是,任何不为0的数的0次幂都是.（3）“奇负偶正”口诀的运用口诀“奇负偶正”在多处常识点中均提到过,它具体的运用有如下几点：①多重负号的化简,这里奇偶指的是“－”号的个数,例如：－[－（－3）]=,－[+（－3）]=.②有理数乘法,当多个非零因数相乘时,这里奇偶指的是负因数的个数,正负指成果中积的符号,例如：（－3）×（－2）×（－6）=,而（－3）×（－2）×6=.③有理数乘方,这里奇偶指的是指数,,,则幂为;指数为偶数,则幂为,例如：（－3（－3（4）有理数混杂运算的运算次序：①先乘方,再乘除,最后加减;②同级运算,从左到右进行;③如有括号,先做括号内的运算,按小括号.中括号.大括号依次进行.加减法为一级运算,乘除法为二级运算,乘方及开方（今后学）称为三级运算.同级运算,按从左到右的次序进行;不合级运算,应先算级运算,然后级,最后级;假如有括号,先算括号里的,有多重括号时,应先算___括号里的,再算括号里的,最后算括号里的. 以上运算次序可以简记为：“从左到右,从高（级）到低（级）,从小（括号）到大（括号）”.（五）近似数.和科学记数法（1）科学记数法：把一个大于10的数暗示成的情势（个中,此种记数法叫做科学记数法.例如：. 又如：10200000=也是.（2）科学计数法a和n的肯定：a就是把原数的小数点移动过到左边第1个不是0的数字后面所到的数;n的值比原数的整数位少1.。