杨浦区2015年高三一模理科数学试卷 详解

杨浦区2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学学科试卷（理科） 2015.1.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．已知() , 0,1sin 2∈=απα，则α=________________. 2．设{}13A x x =≤≤，{}124,B x m x m m R =+≤≤+∈，A B ⊆，则m 的取值范围是________. 3．已知等差数列{}n a 中，377,3a a ==，则通项公式为n a =________________. 4．已知直线l 经过点()()1,2,3,2A B --，则直线l 的方程是___________________. 5. 函数()()012<-=x x x f 的反函数()=-x f1．6. 二项式91x x -⎛⎫⎪⎝⎭的展开式（按x 的降幂排列）中的第４项是_________________.7． 已知条件:12p x +≤；条件:q x a ≤，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是 ．8．向量()()2,3,1,2a b ==-，若ma b +与2a b -平行，则实数m =_________. 9．一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：窗口6排A 座6排B 座6排C 座走廊6排D 座 6排E 座窗口其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有__________种。

10．在底面直径为6的圆柱形容器中，放入一个半径为2的冰球，当冰球全部溶化后，容器中液面的高度为_______________.（相同质量的冰与水的体积比为10：9）11．不等式()2log 431xx ->+的解集是_______________________.1,0i s ==开始1i i =+否 输出s结束 是第15题图2s s i =+12．设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ，若30a b c a ba b c++=+-，则角C =_________. 13．已知1322i ω=-+，集合{}2*1,n A z z n N ωωω==++++∈，集合1212{|,}B x x z z z z A ==⋅∈、（1z 可以等于2z )，则集合B 的子集个数为__________.14．如图所示，已知函数 2log 4y x =图像上的两 点 A 、 B 和函数 2log y x =上的点 C ，线段 AC 平行于 y 轴， 三角形 ABC 为正三角形时， 点 B 的坐标为 (),p q , 则22q p ⨯的值为________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．程序框图如图所示，若其输出结果是140，则判断框中填写的是（ ） A ． 7i < B ．8i <C ． 7i >D ．8i > 16．下列命题中正确的是（ ） A ．若x C ∈，则方程32x =只有一个根 B ．若12,z C z C ∈∈且120z z ->，则12z z > C ．若z R ∈，则2z z z ⋅=不成立D ．若z C ∈，且20z <，那么z 一定是纯虚数17．圆心在抛物线x y 22=上，且与x 轴和抛物线的准线都相切的一个 圆的方程是（ ）A ．01222=+--+y x y xB ．041222=---+y x y x第14题图A1A C1CB1BD1D OCDC ．01222=+-++y x y xD ． 041222=+--+y x y x 18．对数列{}{},n n a b ，若区间[],n n a b 满足下列条件：①[]11,n n a b ++≠⊂[]()*,n n a b n N ∈；②()lim 0n n n b a →∞-=，则称{},n n a b ⎡⎤⎣⎦为区间套。

2015年上海市杨浦区高考数学二模试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1．（4分）（2015•杨浦区二模）函数f（x）=的定义域是﹣2＜x≤1．【考点】：函数的定义域及其求法．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：只需被开方数为非负数、分母不为零同时成立即可．【解析】：解：根据题意，只需，即，解得﹣2＜x≤1，故答案为：﹣2＜x≤1．【点评】：本题考查函数的定义域，属于基础题．2．（4分）（2015•杨浦区二模）若集合A=，则A∩B的元素个数为 2 ．【考点】：交集及其运算．【专题】：集合．【分析】：集合A表示长轴为，短轴为1的椭圆内部的点集，B表示整数集，画出相应的图形，如图所示，找出A∩B的元素个数即可．【解析】：解：如图所示，由图形得：A∩B={（﹣1，0），（1，0）}，共2个元素．故答案为：2．【点评】：此题考查了交集及其运算，利用了数形结合的思想，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（4分）（2015•杨浦区二模）若，则x的值是log23 ．【考点】：二阶矩阵；有理数指数幂的化简求值．【专题】：矩阵和变换．【分析】：根据矩阵的定义直接计算即可．【解析】：解：∵，∴4x﹣2×2x=3，化简得（2x）2﹣2×2x﹣3=0，解得2x=3或﹣1（舍），从而，解得x=log23，故答案为：log23．【点评】：本题考查矩阵的计算，解对数方程，弄清矩阵的涵义是解题的关键，属于基础题．4．（4分）（2x﹣）6展开式中常数项为60 （用数字作答）．【考点】：二项式定理．【分析】：用二项展开式的通项公式得展开式的第r+1项，令x的指数为0得展开式的常数项．【解析】：解：（2x﹣）6展开式的通项为=令得r=4故展开式中的常数项．故答案为60【点评】：二项展开式的通项公式是解决二项展开式中特殊项问题的工具．5．（4分）（2015•杨浦区二模）某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为0.032 ．【考点】：极差、方差与标准差．【专题】：概率与统计．【分析】：先计算数据的平均数后，再根据方差的公式计算．【解析】：解：数据9.7，9.9，10.1，10.2，10.1的平均数==10，方差=（0.09+0.01+0.01+0.04+0.01）=0.032．故答案为：0.032．【点评】：本题考查方差的定义．一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．6．（4分）（2015•杨浦区二模）对数不等式（1+log3x）（a﹣log3x）＞0的解集是，则实数a的值为 2 ．【考点】：指、对数不等式的解法．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：先解出不等式，再结合已知解集，可得结果．【解析】：解：将对数不等式两边同时乘以﹣1，得（log3x+1）（log3x﹣a）＜0，即（log3x﹣）（log3x﹣）＜0，所以此不等式的解为：或，∵其解集为解集是，∴=2，故答案为：2．【点评】：本题考查对数不等式的解法，属于中档题．7．（4分）（2015•杨浦区二模）极坐标方程所表示的曲线围成的图形面积为．【考点】：简单曲线的极坐标方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：利用把极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆的面积计算公式即可得出．【解析】：解：化为，∴，配方为+=．因此极坐标方程所表示的曲线为圆心为，半径r=的圆．其围成的图形面积S=πr2=．故答案为：．【点评】：本题考查了圆的极坐标方程化为直角坐标方程、圆的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（4分）（2015•杨浦区二模）如图，根据该程序框图，若输出的y为2，则输入的x的值为4 ．【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序框图，得其功能是求分段函数y=的值，由输出的y为2，分情况讨论即可得解．【解析】：解：模拟执行程序框图，可得其功能是求分段函数y=的值，若输出的y为2，则x＞0时，有=2，解得：x=4．当x≤0时，有2x=2，解得x=1（舍去）．故答案为：4．【点评】：本题考查了分支结构的程序框图，根据框图的流程分析得到程序的功能是解题的关键，属于基础题．9．（4分）若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是[9，+∞）．【考点】：基本不等式在最值问题中的应用．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：先根据基本不等式可知a+b≥2，代入题设等式中得关于不等式方程，进而求得的范围，则ab的最大值可得．【解析】：解：∵a+b≥2，ab=a+b+3，∴ab﹣2﹣3≥0∴≥3或≤﹣1（空集）∴ab≥9故答案为：[9，+∞）【点评】：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生对基本不等式的整体把握和灵活运用．10．（4分）（2015•杨浦区二模）已知是不平行的向量，设，则与共线的充要条件是实数k等于±1．【考点】：平行向量与共线向量；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：平面向量及应用．【分析】：利用向量共线定理、共面向量基本定理即可得出．【解析】：解：与共线的充要条件是存在实数λ使得，∴=λ=+，∵是不平行的向量，∴，解得k=±1．故答案为：±1．【点评】：本题考查了向量共线定理、共面向量基本定理，属于基础题．11．（4分）（2015•杨浦区二模）已知方程x2﹣px+1=0（p∈R）的两根为x1、x2，若|x1﹣x2|=1，则实数p的值为±或±．【考点】：一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：根据所给的方程，当判别式不小于0时和小于0时，用求根公式表示出两个根的差，根据差的绝对值的值做出字母p的值．【解析】：解：当△=p2﹣4≥0，即p≥2或p≤﹣2，由求根公式得|x1﹣x2|==1，得p=±，当△=p2﹣4＜0，即﹣2＜p＜2，由求根公式得|x1﹣x2|==1，得p=±．综上所述，p=±或p=±．故答案为：±或±．【点评】：本题考查一元二次方程根与系数的关系，本题解题的关键是对于判别式与0的关系的讨论，方程有实根和没有实根时，两个根的表示形式不同，本题是一个易错题．12．（4分）（2015•杨浦区二模）已知从上海飞往拉萨的航班每天有5班，现有甲、乙、丙三人选在同一天从上海出发去拉萨，则他们之中正好有两个人选择同一航班的概率为．【考点】：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】：概率与统计．【分析】：根据乘法原理得出甲、乙、丙三人选5班航班的总共事件为53，利用排列组合知识得出：他们之中正好有两个人选择同一航班”的有60个，再运用概率知识求解即可．【解析】：解：设“他们之中正好有两个人选择同一航班”的事件为B，根据题意得出甲、乙、丙三人选5班航班的总共事件为53，∵B事件的基本事件的个数为=60．∴P（B）==，故答案为：【点评】：本题考查了古典概率问题的事件的求解，关键是确定基本事件的个数，难度不大，属于容易题．13．（4分）（2015•杨浦区二模）已知n∈N*，在坐标平面中有斜率为n的直线l n与圆x2+y2=n2相切，且l n交y轴的正半轴于点P n，交x轴于点Q n，则的值为．【考点】：极限及其运算；直线与圆的位置关系．【专题】：直线与圆．【分析】：设切线l n的方程为：y=nx+m，由于直线l n与圆x2+y2=n2相切，可得=n，取m=n．可得切线l n的方程为：y=nx+n，可得P n，Q n，可得|P n Q n|．再利用数列极限的运算法则即可得出．【解析】：解：设切线l n的方程为：y=nx+m，∵直线l n与圆x2+y2=n2相切，∴=n，取m=n．∴切线l n的方程为：y=nx+n，∴P n，Q n．∴|P n Q n|==1+n2．∴===．故答案为：．【点评】：本题考查了直线的方程、直线与圆的相切性质、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式，数列极限的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（4分）（2015•杨浦区二模）对于自然数N*的每一个非空子集，我们定义“交替和”如下：把子集中的元素从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如{1，2，4，6，9}的交替和是9﹣6+4﹣2+1=6；则集合{1，2，3，4，5，6，7}的所有非空子集的交替和的总和为7×26．【考点】：集合的表示法；进行简单的合情推理．【专题】：新定义；集合．【分析】：根据“交替和”的定义：求出S2、S3、S4，并根据其结果猜测集合N={1，2，3，…，n}的每一个非空子集的“交替和”的总和S n即可．【解析】：解：由题意，S2表示集合N={1，2}的所有非空子集的“交替和”的总和，又{1，2}的非空子集有{1}，{2}，{2，1}，∴S2=1+2+2﹣1=4；S3=1+2+3+（2﹣1）+（3﹣1）+（3﹣2）+（3﹣2+1）=12，S4=1+2+3+4+（2﹣1）+（3﹣1）+（4﹣1）+（3﹣2）+（4﹣2）+（4﹣3）+（3﹣2+1）+（4﹣2+1）+（4﹣3+1）+（4﹣3+2）+（4﹣3+2﹣1）=32，∴根据前4项猜测集合N={1，2，3，…，n}的每一个非空子集的“交替和”的总和S n=n•2n﹣1，所以S7=7×27﹣1=7×26，故答案为：7×26．【点评】：本题主要考查了数列的应用，同时考查了归纳推理的能力．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）（2015•杨浦区二模）“a≤﹣2”是“函数f（x）=x2+ax+1（x∈R）只有一个零点”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】：根据充分条件和必要条件的定义结合一元二次函数的性质进行判断即可．【解析】：解：若函数f（x）=x2+ax+1（x∈R）只有一个零点，则判别式△=a2﹣4=0，解得a=2或a=﹣2，则“a≤﹣2”是“函数f（x）=x2+ax+1（x∈R）只有一个零点”的既非充分又非必要条件，故选：D．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键．16．（5分）（2015•杨浦区二模）在复平面中，满足等式|z+1|﹣|z﹣1|=2的z所对应点的轨迹是（）A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．两条射线【考点】：轨迹方程．【专题】：计算题；数系的扩充和复数．【分析】：利用复数的几何意义，即可判断出等式|z+1|﹣|z﹣1|=2的z所对应点的轨迹．【解析】：解：复数z满足|z+1|﹣|z﹣1|=2，则z对应的点在复平面内表示的是到两个定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之差为常数2，所以z对应的点在复平面内表示的图形为以F2（1，0）为起点，方向向右的一条射线．故选：C．【点评】：熟练掌握复数的几何意义是解题的关键．17．（5分）（2015•杨浦区二模）设反比例函数f（x）=与二次函数g（x）=ax2+bx的图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，则=（） A． 2或 B．﹣2或 C． 2或 D．﹣2或【考点】：二次函数的性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据已知条件可以画出f（x），g（x）的图象，由图象可得到方程，即方程ax3+bx2﹣1=0有两个二重根，和一个一重根，所以可设二重根为c，另一根为d．所以上面方程又可表示成：a（x﹣c）2（x﹣d）=ax3﹣（ad+2ac）x2+（2acd+ac2）x﹣ac2d=0，所以便得到2acd+ac2=0，所以c=﹣2d．所以再根据图象可得．【解析】：解：根据题意可画出f（x），g（x）可能的图象：A，B两点的横坐标便是方程即ax3+bx2﹣1=0的解；由上面图象知道A，B两点中有一个点是f（x），g（x）图象的切点，反应在方程上是方程的二重根；所以可设二重根为c，另一根为d，则上面方程可变成：a（x﹣c）2（x﹣d）=0；将方程展开：ax3﹣（ad+2ac）x2+（2acd+ac2）x﹣ac2d=0；∴2acd+ac2=0；由图象知a，c≠0；∴由上面式子得：c=﹣2d；；∴；∴由图象知x1=c，x2=d，或x1=d，x2=c；∴．故选：B．【点评】：考查曲线的公共点和两曲线方程形成方程组的解的关系，以及方程二重根的概念，知道了方程的根会把方程表示成因式乘积的形式，两多项式相等时对应系数相等．18．（5分）（2015•杨浦区二模）如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d=f（l）的图象大致为（）A． B． C．D．【考点】：正弦函数的图象．【专题】：压轴题；数形结合．【分析】：根据题意和图形取AP的中点为D，设∠DOA=θ，在直角三角形求出d的表达式，根据弧长公式求出l的表达式，再用l表示d，根据解析式选出答案．【解析】：解：如图：取AP的中点为D，设∠DOA=θ，则d=2|OA|sinθ=2sinθ，l=2θ|OA|=2θ，∴d=2sin，根据正弦函数的图象知，C中的图象符合解析式．故选：C．【点评】：本题考查了正弦函数的图象，需要根据题意和弧长公式，表示出弦长d和弧长l 的解析式，考查了分析问题和解决问题以及读图能力．三.解答题（本大题满分74）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（14分）（2015•杨浦区二模）如图，一条东西走向的大江，其河岸A处有人要渡江到对岸B处，江面上有一座大桥AC，已知B在A的西南方向，C在A的南偏西15°，BC=10公里．现有两种渡江方案：方案一：开车从大桥AC渡江到C处，然后再到B处；方案二：直接坐船从A处渡江到对岸B处．若车速为每小时60公里，船速为每小时45公里（不考虑水流速度），为了尽快到达B处，应选择哪个方案？说明理由．【考点】：向量的三角形法则．【专题】：计算题．【分析】：分别计算两种方案的时间即可．【解析】：解：如图，过A作AD垂直BC交于D，根据题意知∠CAD=15°，∠BAD=45°，设CD为x公里，则有AD=，由于tan15°=tan（45°﹣30°）====，故AD===（2）x，∵BC=10公里，∠BAD=45°，∴BD=AD，即（2）x=x+10，解得x=CD=，从而AD=（2）×（）=5+，AC===10≈14.14，AB==（5+）=≈19.32，下面分别计算两种方案所要花费的时间：方案一：≈≈0.4023（时）；方案二：≈0.4293（时）；显然选择方案一．【点评】：本题考查速度、路程、时间之间的关系，属于基础题．20．（15分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．（I）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；（II）当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1﹣EF﹣A的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】：直线与平面垂直的性质；反三角函数的运用；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】：证明题；综合题；压轴题；探究型；向量法．【分析】：（I）法一：几何法：要D1E⊥平面AB1F，先确定D1E⊥平面AB1F内的两条相交直线，由三垂线定理易证D1E⊥AB1，同理证明D1E⊥AF即可．法二：代数法：建立空间直接坐标系，运用空间向量的数量积等于0，来证垂直．（II）法一：求二面角C1﹣EF﹣A的大小，转化为求C1﹣EF﹣C的大小，利用三垂线定理方法：E、F都是所在线的中点，过C连接AC，设AC与EF交于点H，则CH⊥EF，连接C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影．∠C1HC是二面角C1﹣EF﹣C的平面角．求解即可．法二：找出两个平面的法向量，运用空间向量数量积公式求出二面角的余弦值，再求其角．【解析】：解法一：（I）连接A1B，则A1B是D1E在面ABB1A；内的射影∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1，于是D1E⊥平面AB1F⇔D1E⊥AF．连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影．∴D1E⊥AF⇔DE⊥AF．∵ABCD是正方形，E是BC的中点．∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F．（6分）（II）当D1E⊥平面AB1F时，由（I）知点F是CD的中点．又已知点E是BC的中点，连接EF，则EF∥BD．连接AC，设AC与EF交于点H，则CH⊥EF，连接C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影．C1H⊥EF，即∠C1HC是二面角C1﹣EF﹣C的平面角．在Rt△C1CH中，∵C1C=1，CH=AC=，∴tan∠C1HC=．∴∠C1HC=arctan，从而∠AHC1=π﹣arctan2．故二面角C1﹣EF﹣A的大小为．解法二：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系（1）设DF=x，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），B（1，0，1），D1（0，1，1），E，F（x，1，0）∴∴=1﹣1=0，即D1E⊥AB1于是D1E⊥平面AB1F⇔D1E∪AF⇔即x=．故当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F（2）当D1E⊥平面AB1F时，F是CD的中点，又E是BC的中点，连接EF，则EF∥BD．连接AC，设AC与EF交于点H，则AH⊥EF．连接C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影．∴C1H⊥EF，即∠AHC1是二面角C1﹣EF﹣A的平面角．∵，∵．∴，=，即．故二面角C1﹣EF﹣A的大小为π﹣arccos．【点评】：本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力．空间向量计算法容易出错．21．（15分）（2015•杨浦区二模）已知函数f（x）=是奇函数．（1）求t的值；（2）求f（x）的反函数f﹣1（x）；（3）对于任意的m＞0，解不等式：f﹣1（x）＞log3．【考点】：反函数；函数奇偶性的性质；其他不等式的解法．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：（1）由函数f（x）=是奇函数，可得f（0）=0，解得t，并验证是否满足条件即可．（2）由（1）可得：y=f（x）==1﹣，可得y∈（﹣1，1）．化为3x=（y≠1），把x与y互换可得，两边取对数即可得出反函数．（3）对于任意的m＞0，解不等式：f﹣1（x）＞log3．（x∈（﹣1，1））．化为＞，又x∈（﹣1，1））．化为m＞1﹣x，对m分类讨论即可得出．【解析】：解：（1）∵函数f（x）=是奇函数，∴f（0）==0，解得t=1，经过验证满足条件，∴t=1．（2）由（1）可得：y=f（x）==1﹣，可得y∈（﹣1，1）．解得3x=（y≠1），把x与y互换可得，∴y=，（x∈（﹣1，1））．∴f（x）的反函数f﹣1（x）=，（x∈（﹣1，1））．（3）对于任意的m＞0，解不等式：f﹣1（x）＞log3．（x∈（﹣1，1））．即＞log3．∴＞，又∵x∈（﹣1，1））．∴m＞1﹣x，当0＜m≤2时，解得1＞x＞1﹣m．当m＞2时，解得1＞x＞﹣1．∴不等式：f﹣1（x）＞log3的解集为：当0＜m≤2时，解集为（1﹣m，1）；当m＞2时，解集为（﹣1，1）．【点评】：本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的单调性、不等式的解法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．（15分）（2015•杨浦区二模）数列{a n}满足a1=1，a2=r（r＞0），令b n=a n•a n+1，{b n}是公比为q（q≠0，q≠﹣1）的等比数列，设c n=a2n﹣1+a2n．（1）求证：c n=（1+r）•q n﹣1；（2）设{c n}的前n项和为S n，求的值；（3）设{c n}前n项积为T n，当q=﹣时，T n的最大值在n=8和n=9的时候取到，求n为何值时，T n取到最小值．【考点】：等比数列的前n项和；极限及其运算；数列的求和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）根据题意得出=q（n≥2），判断出奇数项，偶数项分别成等比数列，运用等比数列的通项公式求解即可．（2）运用等比数列的求和公式得出q=1时，S n=（1+r）n，=0，q≠1时，S n=，=，分类讨论求解即可（3）利用条件得出（1+r）8（﹣）28=（1+r）9（﹣）36，r=28﹣1=255，T n=（256）n•（﹣2）=（﹣1）•2，再根据函数性质得出最小项，注意符号即可．【解析】：解：（1）b n=a n•a n+1，{b n}是公比为q（q≠0，q≠﹣1）的等比数列，因为数列{a n a n+1}是一个以q（q＞0）为公比的等比数列因此=q，所以=q（n≥2），即=q（n≥2），∴奇数项，偶数项分别成等比数列∵设c n=a2n﹣1+a2n．∴c n=1•q n﹣1+r•q n﹣1=（1+t）•q n﹣1∴bn=（1+r）•qn﹣1（2）q=1时，S n=（1+r）n，=0q≠1时，S n=，=若0＜q＜1，=若q＞1，=0∴=（3）设{c n}前n项积为T n，当q=﹣时，T n=（1+r）n∵T n的最大值在n=8和n=9的时候取到，∴（1+r）8（﹣）28=（1+r）9（﹣）36，r=28﹣1=255，∴T n=（256）n•（﹣2）=（﹣1）•2，根据数列的函数性质得出n=7，n=10时，T n的最小值为﹣235．【点评】：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求通项公式，等比数列求和公式的应用，数列极限的求解，要注意等比数列求和公式应用时对公比q的讨论，根据函数的性质解析式确定最值．23．（15分）（2015•杨浦区二模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，线段PQ为抛物线C的一条弦．（1）若弦PQ过焦点F，求证：为定值；（2）求证：x轴的正半轴上存在定点M，对过点M的任意弦PQ，都有为定值；（3）对于（2）中的点M及弦PQ，设，点N在x轴的负半轴上，且满足，求N点坐标．【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（1）设出直线PQ的方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理求得x1x2的值，由抛物线的定义分别表示出|FP|，|FQ|，代入整理得到定值，最后验证斜率不存在时的情况；（2）设出直线PQ的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和两点的距离公式，化简整理，即可求得定点M和定值；（3）运用向量共线的坐标表示和向量垂直的条件，化简整理即可求得定点N．【解析】：（1）证明：抛物线的焦点为F（，0），设直线PQ的方程为y=k（x﹣）（k≠0），代入抛物线方程，消去y，得k2x2﹣p（k2+2）x+=0，由根与系数的关系，得x1x2=，x1+x2=p+，由抛物线的定义，知|FP|=x1+，|FQ|=x2+．+=+===为定值．当PQ⊥x轴时，|FA|=|FB|=p，上式仍成立；（2）证明：设M（m，0），当PQ⊥x轴时，令x=m，可得y2=2pm，|MP|=|MQ|=，有+为定值．当PQ斜率存在时，设PQ：x=ty+m，代入抛物线方程可得，y2﹣2pty﹣2pm=0，设P（，y1），Q（，y2）则y1+y2=2pt，y1y2=﹣2pm．即有|MP|2=（m﹣）2+y12=+y12=（1+t2）y12，同理|MQ|2=（m﹣）2+y22=（1+t2）y22．即有+=•，存在m=p即有定点M（p，0）时，上式为•=为定值；（3）解：，可得=，，可得（+λ）•（﹣λ）=0，即为NP2=λ2NQ2，由P（，y1），Q（，y2），M（p，0），设，则y1=﹣λy2，①p﹣=λ（﹣p），②又设N（n，0）（n＜0），则（n﹣）2+y12=λ2[（﹣n）2+y22]，即为﹣n=λ（﹣n），③将①平方可得，y12=λ2y22，④，将④代入②③，化简可得n=﹣p．则N（﹣p，0）．【点评】：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的关系．同时考查向量垂直的条件和向量共线的坐标表示，注意运用韦达定理和抛物线的定义是解题的关键，具有一定的运算量，属于中档题．。

2014学年度第二学期高三年级练习卷数学学科（理科） 2015.05.（满分150分，答题时间120分钟）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合{A x y =，集合{B y y =，则A B = .2．在复平面中，复数2(1)3i i ++（i 是虚数单位）对应的点在第_______象限.3．若函数()2x f x x =+的反函数是1()y f x -=，则11()3f -= .4．下面是一个算法的程序框图，当输入值x 为8时，则其输出的结果是 .5．若函数x y a =在[1,0]-上的最大值与最小值的和为3，则a = .6．在极坐标系中，O 是极点，设点(4,)3A π，5(5,)6B π-，则OAB △的面积是 .7．过点(1的直线l 将圆22(2)4x y -+=分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k = .8．将曲线cos ,sin x y =⎧⎨=⎩θθ（θ∈R ）上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的12倍后，得到的曲线的焦点坐标为 .9．在数列{}n a 中，542n a n =-，212n a a a an bn +++=+（n ∈*N ），其中a 、b 为常数，则lim n nn nn a b a b →∞-+的值是 .10．在R 上定义运算“⊗”：(1)x y x y ⊗=-. 若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 11．若存在正数x 使221x x mx<成立，则实数m 的取值范围是 ．12．关于平面向量a 、b 、c ，有下列三个命题：第4题图①若a b a c ⋅=⋅，则b c =；②若(1,)a k =，(2,6)b =-，//a b ，则3k =-； ③非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60︒； 其中真命题的序号为_________.（写出所有真命题的序号） 13．在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P 、Q 、M 、N 分别是线段OA 、OB 、OC 、OD 的中点，在A 、P 、M 、C 中任取一点记为E ，在B 、Q 、N 、D 中任取一点记为F ，设G 为满足向量OG OE OF =+的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外（不含边界）的概率为 .14．已知二次函数2()2f x ax x a =++，对于满足12x x <且121x x a +=-的任意实数1x 与2x ，总有12()()f x f x <成立，则实数a 的取值范围为 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．等差数列{a n }中，若34a =-，424a a =+，则1a =………………………….（ ）.(A) 12-(B) 8- (C) 0 (D) 416．设p ：2200x x -->，q ：210||2x x -<-，则p 是q 的…………………………（ ）. (A) 充分但非必要条件 (B) 必要但非充分条件 (C) 充要条件(D) 既非充分也非必要条件17．已知两个不同的平面M 、N 与三条不同的直线a 、b 、c . 给出下列四个命题：①若c ⊥M 、c ⊥N ，则M ∥N ；②若c ∥M ，c ∥N ，则M ∥N ；③若a ⊥N ，b ⊥N ，则a ∥b ；④若M ⊥N ，b ⊥N ，则b ∥M . 那么上述命题正确的是 ……………………………………（ ）.(A) ①③(B) ①③④(C) ③④(D) ②④18．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22（°C ）”. 现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）： ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；则肯定进入夏季的地区有………………………………………………… ………（ ）.(A) 0个(B) 1个(C) 2个(D) 3个三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19．（本题满分12分）求函数2cos()cos()244y x x x ππ=+-+的值域和最小正周期.20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．如图，已知正三棱锥P -ABC 的侧棱长为2，侧棱与底面所成角大小为60°. （1）求此正三棱锥体积；（2）求异面直线PA 与BC 的距离.21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．已知二次函数()223f x mx x =--，若不等式()0f x <的解集为(1,)n -. （1）解关于x 的不等式：()22411x x n m x -+>+-；（2）是否存在实数()0,1,a ∈使得关于x 的函数()[]()141,2x x y f a a x +=-∈的最小值为4-? 若存在，求a 的值；若不存在，说明理由.22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6AB分.在复平面上，点(,)P x y 所对应的复数p x yi =+（i 为虚数单位），z a bi =+（a 、b ∈R ）是某给定复数，复数q p z =⋅所对应的点为(,)Q x y ''. 我们称点P 经过变换z 成为了点Q ，记作()Q z P =. （1）给出12z i =+，且()(8,1)z P Q =，求点P 的坐标；（2）给出34z i =+，若P 在椭圆22194x y +=上运动，()Q z P =，求||OQ 的取值范围；（3）已知P 在双曲线221x y -=上运动，试问是否存在z ，使得()Q z P =在双曲线1y x=上运动？若存在，请求出z ；若不存在，说明理由.23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知以a 为首项的数列{}n a 满足：13,3,2, 3.n n n n n a a a a a +->⎧=⎨≤⎩（1）若06n a <≤，求证：106n a +<≤；（2）若*,N a k ∈，求使n k n a a +=对任意正整数n 都成立的k 与a ； （3）若321ma =-（*N m ∈），试求数列{}n a 的前m 项的和m S .杨浦区2014学年度第二学期高三年级学业质量调研参考答案及评分标准2015.05一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．[0,2]；2．第一象限；3．1；4．2；5．12；6．5；7．2；8．(0)；9．1；10．13(,)22-；11．(1,)-+∞；12．②；13．34；14．(1,0)(0,2)-．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．B ；16．A；17．A ；18．C三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）解：2cos()cos()244y x x xππ=+-cos22x x=（4分）2sin(2)6xπ=+（3分）.所以，函数2cos()cos()244y x x xππ=+-的值域是[2,2]-，（3分）最小正周期是π（2分）.20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解：（1）取底面的中心G，联结AG，∵P-ABC是正三棱锥，∴P在底面的射影为G，∴∠P AG就是侧棱P A与底面所成角，∴∠P AG=30°，（2分）∵P A=2，∴AG=1，PG∴ABABCS=△，∴1334P ABC V -=. （4分）（2）过D 作DE ⊥P A 于E ，∵BC ⊥PD ，BC ⊥AD ，∴BC ⊥平面P AD ， ∵DE 在平面P AD 上，∴BC ⊥DE ，∴DE 是异面直线AB 与CD 的公垂线，（4分） 在△ABC 中，P A ·DE =PG ·AD，∴PG AD DE PA ⋅==∴异面直线P A 与BC（4分）21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．解：（1）由不等式2230mx x --≤的解集为(1,)n -知关于x 的方程2230mx x --=的两根为-1和n ，且m >0，21,1,33.1n m m n n m ⎧-+=⎪=⎧⎪∴⇒⎨⎨=⎩⎪-⨯=-⎪⎩（4分） 原不等式化为()()210x x -->，∴原不等式的解集为()(),12,-∞+∞；（2分）（2）设,x t a =由2(0,1),[1,2][,]x a x a a a ∈∈⇒∈. （2分）函数2(42)3y t a t =-+-对称轴21t a a =+>. （2分）2min (42)34y a a a =-+-=-（2分） 13a ⇒=或1a =-（舍去）.所以13a =即为所求. （2分）22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.解：（1）根据题意，有8(12)i i p +=+⋅， ∴8(8)(12)10152312(12)(12)5i i i ip i i i i ++--====-++-，∴点P 的坐标为(2,3)-. （4分） （2）∵P 在椭圆22194x y +=上运动，∴||||[2,3]p OP =∈，（3分） 又||5z =，∴||||||||||[10,15]OQ q p z p z ==⋅=⋅∈. （3分）（3）假设存在z a bi =+（a 、b ∈R ），使得得()Q z P =在双曲线1y x=上运动. 设(,)P x y ，∴(,)Q ax by bx ay -+，（2分） ∵Q 在双曲线1y x =上运动，∴1bx ay ax by+=-，（1分） ∴22221abx a xy b xy aby +--=，即P 在22221abx a xy b xy aby +--=曲线上运动.∴有2210ab a b =⎧⎨-=⎩，，解得11a b =⎧⎨=⎩，或11a b =-⎧⎨=-⎩，，所以存在复数z 满足题意，分别为1i +和1i --. （3分）23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.解：（1）当(0,3]n a ∈时，则12n n a a +=∈(0,6]， 当(3,6]n a ∈时，则13(0,3]n n a a +=-∈,故1(0,6]n a +∈，所以当06n a <≤时，总有106n a +<≤. （每种情况3分，总计6分） （2）①当1a =时，2342,4,1a a a ===，故满足题意的3,k t t =∈*N . 同理可得，当2a =或4时，满足题意的3,k t t =∈*N . 当3a =或6时，满足题意的2,k t t =∈*N .②当5a =时，2342,4,1a a a ===，故满足题意的k 不存在. ③当7a ≥时，由（1）知，满足题意的k 不存在.综上得：当1,2,4a =时，满足题意的3,k t t =∈*N ； 当3,6a =时，满足题意的2,k t t =∈*N .当7a ≥时，由（1）知，满足题意的k 不存在. （每种情况2分，共6分） （3）1m =时，3321a ==-，于是13m S S ==； 2m =时，23121a ==-，1211,22a a a ===于是2123m S S ==+=， 3m =时，3321a =-，21232323,23,2221a a a a a a a ⨯===<==- 于是3333(12)3123122112m a S S --===⨯=---，于是，猜测对任意m ，{}n a 是等比数列（其中n m ≤），3m S =恒成立. （2分） 要证等比数列，只需证明，当1k m <≤时，23k a ≤于是12k k a a +=. 以下证明：由m ∈N *，可得211m -≥，故3321ma =≤-,（2分） 当1k m <≤时，111111132323223212(21)2m m m k m m m m a -------⨯⨯⨯≤=<=-+- ∴12k k a a -=（1,2,k m =）（2分） ∴m S =12m a a a ++⋅+=（1+2+…+12)(21)3m m a a -=-=. （2分）。

2015年上海市杨浦区高考一模数学试卷（理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）若，则α＝．2．（4分）设A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|m+1≤x≤2m+4，m∈R}，A⊆B，则m的取值范围是．3．（4分）若在等差数列{a n}中，a3＝7，a7＝3，则通项公式a n＝．4．（4分）已知直线l经过点A（1，﹣2），B（﹣3，2），则直线l的方程是．5．（4分）函数f（x）＝x2﹣1（x＜0）的反函数f﹣1（x）＝．6．（4分）二项式的展开式（按x的降幂排列）中的第4项是．7．（4分）已知条件p：|x+1|≤2；条件q：x≤a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是．8．（4分）向量＝（2，3），＝（﹣1，2），若m+与﹣2平行，则m等于．9．（4分）一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有种．10．（4分）在底面直径为6的圆柱形容器中，放入一个半径为2的冰球，当冰球全部熔化后，容器中液面的高度为．（相同质量的冰与水的体积比为10：9）11．（4分）不等式log2（4x﹣3）＞x+1的解集是．12．（4分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，则角C＝．13．（4分）已知，集合A＝{z|z＝1+ω+ω2+…+ωn，n∈N*}，集合B ＝{x|x＝z1•z2，z1、z2∈A}（z1可以等于z2），则集合B的子集个数为．14．（4分）如图所示，已知函数y＝log24x图象上的两点A、B和函数y＝log2x上的点C，线段AC平行于y轴，三角形ABC为正三角形时，点B的坐标为（p，q），则p2×2q的值为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）程序框图如图所示，若其输出结果是140，则判断框中填写的是（）A．i＜7B．i＜8C．i＞7D．i＞816．（5分）下列命题中正确的是（）A．若x∈C，则方程x3＝2只有一个根B．若z1∈C，z2∈C且z1﹣z2＞0，则z1＞z2C．若z∈R，则不成立D．若z∈C，且z2＜0，那么z一定是纯虚数17．（5分）圆心在抛物线y2＝2x上，且与x轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．x2+y2﹣x﹣2y+1＝0B．C．x2+y2+x﹣2y+1＝0D．18．（5分）对数列{a n}，{b n}，若区间[a n，b n]满足下列条件：①[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）；②，则称{[a n，b n]}为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（）A．B．C．D．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，异面直线AD 与BC1所成角的大小为60°，求：（1）线段A1B1到底面ABCD的距离；（2）三棱椎B1﹣ABC1的体积．20．（14分）如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，∠MON＝，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧上，且线段AB平行于线段MN．（1）若点A为弧的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）设∠AOB＝θ，求A在上何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？21．（14分）已知函数是奇函数，a，b，c为常数（1）求实数c的值；（2）若a，b∈Z，且f（1）＝2，f（2）＜3，求f（x）的解析式；（3）对于（2）中的f（x），若f（x）≥m﹣2x对x∈（0，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．22．（16分）如图，曲线Γ由曲线C1：和曲线C2：组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求△CDF1面积的最大值．23．（18分）数列{a n}各项均不为0，前n项和为S n，b n＝a n3，b n的前n项和为T n，且T n＝S n2（1）若数列{a n}共3项，求所有满足要求的数列；（2）求证：a n＝n（n∈N*）是满足已知条件的一个数列；（3）请构造出一个满足已知条件的无穷数列{a n}，并使得a2015＝﹣2014；若还能构造其他符合要求的数列，请一并写出（不超过四个）．2015年上海市杨浦区高考一模数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）若，则α＝或．【解答】解：∵sinα＝，且α∈（0，π），∴α＝或．故答案为：或2．（4分）设A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|m+1≤x≤2m+4，m∈R}，A⊆B，则m的取值范围是[，0]．【解答】解：∵A⊆B；∴；∴；∴m的取值范围是[，0]．故答案为：．3．（4分）若在等差数列{a n}中，a3＝7，a7＝3，则通项公式a n＝﹣n+10．【解答】解：设数列的公差为d∵a3＝7，a7＝3，∴a1+2d＝7，a1+6d＝3，∴a1＝9，d＝﹣1，∴a n＝﹣n+10．故答案为：﹣n+10．4．（4分）已知直线l经过点A（1，﹣2），B（﹣3，2），则直线l的方程是x+y+1＝0．【解答】解：∵A（1，﹣2），B（﹣3，2），∴过A，B两点的直线方程为，整理得：x+y+1＝0．故答案为：x+y+1＝0．5．（4分）函数f（x）＝x2﹣1（x＜0）的反函数f﹣1（x）＝﹣（x＞﹣1）．【解答】解：∵函数f（x）＝x2﹣1（x＜0），∴值域为（﹣1，+∞），y＝x2﹣1，∴反函数f﹣1（x）＝﹣（x＞﹣1），故答案为：﹣（x＞﹣1）6．（4分）二项式的展开式（按x的降幂排列）中的第4项是﹣84x3．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•x9﹣2r，故按x的降幂排列中的第4项为﹣•x3＝﹣84x3，故答案为：﹣84x3．7．（4分）已知条件p：|x+1|≤2；条件q：x≤a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是[1，+∞）．【解答】解：由|x+1|≤2得﹣2≤x+1≤2，即﹣3≤x≤1，又|x+1|≤2是x≤a成立的充分不必要条件，即﹣3≤x≤1是x≤a成立的充分不必要条件，所以a≥1．故答案为[1，+∞）．8．（4分）向量＝（2，3），＝（﹣1，2），若m+与﹣2平行，则m等于．【解答】解：∵＝（2，3），＝（﹣1，2），∴m+＝m（2，3）+（﹣1，2）＝（2m﹣1，3m+2），﹣2＝（2，3）﹣2（﹣1，2）＝（4，﹣1）．又m+与﹣2平行，∴（2m﹣1）•（﹣1）﹣4（3m+2）＝0，解得：m＝﹣．故答案为：．9．（4分）一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有30种．【解答】解：第一类，当爷爷在6排D座时，再排小孙女，最后排其他人，共有＝18种，第二类，当爷爷在6排C座时，再排小孙女，最后再排其他人，共有＝12种，根据分类计数原理共有18+12＝30种，故答案为：3010．（4分）在底面直径为6的圆柱形容器中，放入一个半径为2的冰球，当冰球全部熔化后，容器中液面的高度为．（相同质量的冰与水的体积比为10：9）【解答】解：半径为2的冰球的体积为＝，水的体积为，设冰球全部熔化后，容器中液面的高度为h，则π×32h＝，∴h＝．故答案为：．11．（4分）不等式log2（4x﹣3）＞x+1的解集是（log23，+∞）．【解答】解：∵4x﹣3＞0，∴，∵log2（4x﹣3）＞x+1，∴2x+1＜4x﹣3，∴（2x）2﹣2•2x﹣3＞0，解得2x＞3，或2x＜﹣1（舍），∴x＞log23．故答案为：（log23，+∞）．12．（4分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，则角C＝．【解答】解：已知等式变形得：（a+b+c）（a+b﹣c）﹣3ab＝0，整理得：（a+b）2﹣c2﹣3ab＝0，即a2+b2﹣c2＝ab，∴cos C＝＝，∵C为三角形内角，∴C＝，故答案为：13．（4分）已知，集合A＝{z|z＝1+ω+ω2+…+ωn，n∈N*}，集合B ＝{x|x＝z1•z2，z1、z2∈A}（z1可以等于z2），则集合B的子集个数为16．【解答】解：∵，∴ω2＝，ω3＝1，1+ω+ω2＝0，∴当n＝1时，z＝1+ω＝+，当n＝2，z＝1+ω+ω2＝0，当n＝3时，z＝1+ω+ω2+ω3＝1，当n＝4时，z＝1+ω+ω2+ω3+ω4＝+，则A＝{+，0，1}，则B＝{x|x＝z1•z2，z1、z2∈A}＝{+，0，1，﹣+}，则集合B的子集个数为24＝16，故答案为：1614．（4分）如图所示，已知函数y＝log24x图象上的两点A、B和函数y＝log2x 上的点C，线段AC平行于y轴，三角形ABC为正三角形时，点B的坐标为（p，q），则p2×2q的值为12．【解答】解：根据题意，设A（x0，2+log2x0），B（p，q），C（x0，log2x0），∵线段AC∥y轴，△ABC是等边三角形，∴AC＝2，2+log2p＝q，∴p＝2q﹣2，∴4p＝2q；又x0﹣p＝，∴p＝x0﹣，∴x0＝p+；又2+log2x0﹣q＝1，∴log2x0＝q﹣1，x0＝2q﹣1＝；∴p+＝，2p+2＝2q＝4p，∴p＝，2q＝4；∴p2•2q＝3×4＝12．故答案为：12．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）程序框图如图所示，若其输出结果是140，则判断框中填写的是（）A．i＜7B．i＜8C．i＞7D．i＞8【解答】解：当S＝0，i＝1时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S＝1，i＝2，当S＝1，i＝2时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S＝5，i＝3，当S＝5，i＝3时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S＝14，i＝4，当S＝14，i＝4时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S＝30，i＝5，当S＝30，i＝5时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S＝55，i＝6，当S＝55，i＝6时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S＝91，i＝7，当S＝91，i＝7时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S＝140，i＝8，当S＝140，i＝8时，应不满足继续循环的条件，故循环条件应为：i＜8，故选：B．16．（5分）下列命题中正确的是（）A．若x∈C，则方程x3＝2只有一个根B．若z1∈C，z2∈C且z1﹣z2＞0，则z1＞z2C．若z∈R，则不成立D．若z∈C，且z2＜0，那么z一定是纯虚数【解答】解：对于A，若x∈C，则方程x3＝2有三个根，故错误；对于B，若z1∈C，z2∈C，则z1，z2无法比较大小，故错误；对于C，若z∈R，则成立，故错误；对于D，若z∈C，且z2＜0，那么z一定是纯虚数，故正确；故选：D．17．（5分）圆心在抛物线y2＝2x上，且与x轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．x2+y2﹣x﹣2y+1＝0B．C．x2+y2+x﹣2y+1＝0D．【解答】解：圆心在抛物线y2＝2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程，以及抛物线的定义可知，所求圆的圆心的横坐标x＝，即圆心（，1），半径是1，所以圆的方程是x2+y2﹣x﹣2y+＝0．故选：D．18．（5分）对数列{a n}，{b n}，若区间[a n，b n]满足下列条件：①[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）；②，则称{[a n，b n]}为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，对于A，，∵，∴[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）不成立，所以A 不正确；对于B，，∵，∴[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）不成立，所以B不正确；对于C，，∵，∴[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）成立，并且，所以C正确；对于D，，∵，∴[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）不成立，所以D不正确；故选：C．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，异面直线AD 与BC1所成角的大小为60°，求：（1）线段A1B1到底面ABCD的距离；（2）三棱椎B1﹣ABC1的体积．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠CBC1为异面直线AD与BC1所成角，∴CBC1＝60°，…（2分）∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1∥面ABCD，BB1⊥面ABCD，∴线段BB1的长为线段A1B1到底面ABCD的距离，…（4分）∵RT△BCC 1中，BC＝1，∠CBC1＝60°，∴，线段A1，B1到底面ABCD的距离为．…（6分）（2）＝…（8分）＝＝…（10分）＝．…（12分）20．（14分）如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，∠MON＝，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧上，且线段AB平行于线段MN．（1）若点A为弧的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）设∠AOB＝θ，求A在上何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？【解答】解：（1）如图，作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，∴∠AOB＝，∴AB＝2R sin，OH＝R cos，OE＝DE＝AB＝R sin，∴EH＝OH﹣OE＝R（cos﹣sin），S＝AB•EH＝2R2（sin cos﹣sin2）＝，（2）设∠AOB＝θ（0＜θ＜），则AB＝2R sin，OH＝R cos，oe＝AB＝R cos，OE＝AB＝R sin，∴EH＝OH﹣OE＝R（cos﹣sin），S＝AB•EH＝R2（2sin cos﹣2sin2）＝R2（sinθ+cosθ﹣1）＝R2[sin（θ+）﹣1]，∵0＜θ＜，∴＜θ+＜，∴θ+＝即θ＝时，S max＝（﹣1）R2，此时A在弧MN的四等分点处．答：当A在弧MN的四等分点处时，S max＝（﹣1）R2．21．（14分）已知函数是奇函数，a，b，c为常数（1）求实数c的值；（2）若a，b∈Z，且f（1）＝2，f（2）＜3，求f（x）的解析式；（3）对于（2）中的f（x），若f（x）≥m﹣2x对x∈（0，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（x）＝﹣f（﹣x）∴＝﹣化简得bx+c＝bx﹣c，解得c＝0，（2）又f（1）＝2，所以a+1＝2b①，因为f（2）＜3，所以＜3②，将①代入②并整理得＜0，解得0＜b＜，因为b∈z，所以b＝1，从而a＝1，∴f（x）＝x+（3）∵f（x）＝x+，∴x+≥m﹣2x，∴m≤3x+，对x∈（0，+∞）恒成立∵3x+≥2，当且仅当x＝时等号成立即x＝时，（3x+）min＝2，∴m≤222．（16分）如图，曲线Γ由曲线C1：和曲线C2：组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C 2的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求△CDF1面积的最大值．【解答】（1）解：∵F2（2，0），F3（﹣6，0），∴，解得，则曲线Γ的方程为和．（2）证明：曲线C2的渐近线为，如图，设直线l：y＝，则，化为2x2﹣2mx+（m2﹣a2）＝0，△＝4m2﹣8（m2﹣a2）＞0，解得．又由数形结合知．设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则x1+x2＝m，x1x2＝，∴＝，．∴，即点M在直线y＝﹣上．（3）由（1）知，曲线C1：，点F4（6，0）．设直线l1的方程为x＝ny+6（n＞0）．，化为（5+4n2）y2+48ny+64＝0，△＝（48n）2﹣4×64×（5+4n2）＞0，化为n2＞1．设C（x3，y3），D（x4，y4），∴，．∴|y3﹣y4|＝＝，＝＝＝，令t＝＞0，∴n2＝t2+1，∴＝＝＝，当且仅当t＝，即n＝时等号成立．∴n＝时，＝．23．（18分）数列{a n}各项均不为0，前n项和为S n，b n＝a n3，b n的前n项和为T n，且T n＝S n2（1）若数列{a n}共3项，求所有满足要求的数列；（2）求证：a n＝n（n∈N*）是满足已知条件的一个数列；（3）请构造出一个满足已知条件的无穷数列{a n}，并使得a2015＝﹣2014；若还能构造其他符合要求的数列，请一并写出（不超过四个）．【解答】（本题（18分），第一小题（4分），第二小题（6分），第三小题8分）解：（1）n＝1时，T1＝S12⇒a13＝a12⇒a1＝1（a1＝0舍去）…（1分）n＝2时，T2＝S22⇒a13+a23＝（a1+a2）2⇒1+a23＝（1+a2）2⇒a2＝2或a2＝﹣1（a2＝0舍去）…（2分）n＝3时，，当a2＝2时，⇒a3＝3或a3＝﹣2（a3＝0舍去）当a2＝﹣1时，…（3分）所以符合要求的数列有：1，2，3；1，2，﹣2；1，﹣1，1…（4分）（2）∵a n＝n，即证13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2，…（5分）用数学归纳法证：当n＝1时，13＝12，等式成立；假设当n＝k时，13+23+33+…+k3＝（1+2+3+…+k）2＝，…（7分）则当n＝k+1时，13+23+33+…+k3+（k+1）3＝（1+2+3+…+k）2+（k+1）3＝+（k+1）3＝（）2（k2+4k+4）＝＝，即当n＝k+1时，等式也成立；综上所述，对任意n∈N*，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2；…（10分）（3）＝++…+①＝++…++②②﹣①得：2S n+a n+1＝，∴2S n＝﹣a n+1；③…（11分）∴当n≥2时，2S n＝﹣a n，④…（12分）﹣1③﹣④得：2a n＝﹣a n+1﹣+a n，整理得：（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣1）＝0，∴a n+1＝﹣a n，或a n+1＝a n+1（n≥2）…（14分）（i）a n＝；（ii）a n＝；（iii）a n＝；（v）a n＝百度文库——让每个人平等地提升自我本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除。

杨浦区2015学年度第一学期期末高三年级3+1质量调研数学学科试卷（理科） 2016.1.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 已知矩阵1012A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，2413B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则=+B A _____________.2. 已知全集U=R ，集合102x A xx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎭⎩，则集合UA =_____________.3. 已知函数()34log 2f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则方程()14f x -=的解x = _____________. 4. 某洗衣液广告需要用到一个直径为4用白布包裹，则至少需要白布_________平方米. 5. 无穷等比数列{}n a (*n N ∈)的前n 项的和是n S ， 且1lim 2n n S →∞=，则首项1a 的取值范围是_____________. 6. 已知虚数z 满足i 61z z 2+=-，则 =z __________. 7．执行如右图所示的流程图，则输出的S 的值为________.8．学校有两个食堂，现有3名学生前往就餐，则三个人 不在同一个食堂就餐的概率是_____________. 9. (1n-展开式的二项式系数之和为256，则展开式中x 的系数为______________.10. 若数12345,,,,a a a a a 的标准差为2，则数1234532,32,32,32,32a a a a a -----的 方差为____________.11. 如图，在矩形OABC 中，点E 、F 分别在线段AB 、BC 上，且满足AB=3AE ，BC=3CF ，若(,)OB OE OF R λμλμ=+∈,则=μ+λ____________.12. 已知()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨--+>⎪⎩≤，当[]1a ,a x +∈时不等式()()2f x a f a x +-≥恒成立，则实数a 的最大值是____________.13. 抛物线C 的顶点为原点O ，焦点F 在x 轴正半轴，过焦点且倾斜角为4π的直线l 交抛物线于点,A B ，若AB 中点的横坐标为3，则抛物线C 的方程为_______________. 14.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当01x ≤≤时，()2f x x =，当0x >时，()()()11f x f x f +=+，若直线y kx =与函数()y f x =的图象恰有11个不同的公共点，则实数k 的取值范围为____________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15. 下列四个命题中，为真命题的是 （ ）A. 若a b >，则22ac bc > B. 若a b >，c d >则a c b d ->-C. 若a b >，则22a b > D. 若a b >，则11a b< 16. 设,a b 是两个单位向量,其夹角为θ,则“36πθπ<<”是“1||<-”的 （ ） AB FSDCB AA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.对于两个平面,αβ和两条直线,m n , 下列命题中真命题是 ( )A.若m α⊥, m n ⊥, 则n α‖B.若m α‖, αβ⊥, 则m β⊥C. 若m α‖，n β‖，αβ⊥，则m n ⊥D. 若m α⊥，n β⊥，αβ⊥，则m n ⊥18. 下列函数中，既是偶函数，又在()π,0 上递增的函数的个数是 （ ）① x tan y = ② ()x cos y -= ③ ⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=2x sin y ④2x cot y =A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分 ．如图，某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型，先用木料搭边框，再用其他材料填充。

数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页） 数学试卷 第3页（共18页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理科数学注意事项:1.本试卷共6页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.一、填空题：本大题共有14题,满分56分.直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．设全集=U R .若集合={1,2,3,4}A ，{23}B x x ≤≤=，则U AB =ð .2．若复数z 满足31i z z +=+，其中i 为虚数单位，则z = .3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y ，，=⎧⎨=⎩则12c c -= . 4．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为，则a = .5．抛物线22(0)y px p =>上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = . 6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 . 7．方程1122log (95)log (32)2x x ---=-+的解为 .8．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）.9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C .若1C的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为 . 10．设1()f x -为2()22x xf x -=+，[0,2]x ∈的反函数，则1()()y f x f x -=+的最大值为 . 11．在1020151(1)x x++的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）. 12．赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12E E ξξ-= 元.13．已知函数()sin f x x =.若存在12,,m x x x 满足1206πm x x x ≤＜＜＜≤，且1|f x （）223-1|||++||=122,m m f x f x f x f x f x m m *N （）（）（）（）（）（≥）-+--∈，则m 的最小值为 .14．在锐角三角形ABC 中，1tan 2A =，D 为边BC 上的点，ABD △与ACD △的面积分别为2和4.过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则 DE DF = . 二、选择题：本大题共有4题,满分20分.每题有且只有一个正确答案,将正确答案填在题后括号内,选对得5分,否则一律得零分.15．设12,z z C ∈，则“12z z ,中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件16．已知点A的坐标为（），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为( )ABC .112D .13217．记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数.当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实数根的是( )A .方程①有实根，且②有实根B .方程①有实根，且②无实根C .方程①无实根，且②有实根D .方程①无实根，且②无实根18．设(),n n n P x y 是直线2()1nx y n n *N -=∈+与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限 1lim 1n n ny x →∞-=-( ) A .1- B .12- C .1D .2三、解答题：本大题共有5题,满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19.（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA =，2AB AD ==，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点.证明：11A C F E ，，，四点共面，并求直线1CD 与平面11A C FE 所成的角的大小.20.（本小题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图，A ，B ，C 三地有直道相通，5AB =千米，3AC =千米，4BC =千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为f t ()(单位：千米).甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后在原地等待.设1=t t 时，乙到达C 地. （Ⅰ）求1t 与1f t ()的值；（Ⅱ）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11t t ≤≤时，求f t ()的表达式，并判断f t ()在1[,1]t 上的最大值是否超过3？说明理由.21.（本小题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共18页） 数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）已知椭圆1222=+y x ，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A ，B 和C ，D .记得到的平行四边形ACBD 的面积为S .（Ⅰ）设11(,)A x y ，22(,)C x y .用A ，C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12212||S x y x y =-；（Ⅱ）设1l 与2l 的斜率之积为21-，求面积S 的值.22.（本小题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知数列{}n a 与{}n b 满足112()n n n n a a b b ++-=-，n *N ∈. （Ⅰ）若35n b n =+，且11a =，求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0()n n a a n *N ≥∈.求证：{}n b 的第0n 项是最大项； （Ⅲ）设10a ＜λ=，()n n b n *N λ=∈.求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 和最小值m ，且使得(2,2)Mm∈-.23.（本小题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得cos ()g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期.已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R ，设()f x 单调递增，(0)0f =，()4πf T =. （Ⅰ）验证()sin3xh x x =+是以6π为余弦周期的余弦周期函数； （Ⅱ）设a b <.证明对任意[(),()]c f a f b ∈，存在0[,]x a b ∈，使得0()f x c =； （Ⅲ）证明：“0u 为方程cos ()1f x =在[0,]T 上的解”的充要条件是“0+u T 为方程cos ()1f x =在[,2]T T 上的解”，并证明对任意[0,]x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+.数学试卷 第7页（共18页） 数学试卷 第8页（共18页） 数学试卷 第9页（共18页）1sin602a a ︒，1sin 601632a a a ⎫︒=⎪⎭1sin 601632a a a ⎫︒=⎪⎭【考点】棱锥的结构特征123270x+=011019102015201511(1)C x x x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，项的系数．数学试卷 第10页（共18页） 数学试卷 第11页（共18页） 数学试卷 第12页（共18页）【解析】对任意的i x ，j x ，max min |()()|()()2i j f x f x f x f x -≤-=， 欲使m 取最小值，尽可能多的让(1,2,,)i x i m =取最值点，考虑到1206πm x x x ≤<<<≤，*12231|()()||()()||()()|12(2,)m m f x f x f x f x f x f x m m N --+-++-=≥∈，按照下图所示取值可以满足条件，所以m的最小值为8．【提示】对任意的i x ，j x ，|()()|2i j f x f x -=，让i x 取最值点，考虑到1206πm x x x ≤<<<≤，12231|()()||()()||()()|12m m f x f x f x f x f x f x --+-++-=，【解析】解：如图，ABD △与ACD △的面积分别为2和4||||22AB DE =，||||4AC DF =，可得4||||DE AB =，8||||DF AC =，32||||||||DE DF AB AC =．1tan 2A =，∴sin 1cos 2A A =，联立||||sin 2AB AC A ||||12AB AC =85||||15DE DF =8||||||||cos ,DE DF DE DF DE DF ==故答案为：1615-．85||||15DE DF =数学试卷 第13页（共18页） 数学试卷 第14页（共18页） 数学试卷 第15页（共18页）为坐标原点，、DC 、DD 分别为xyz 轴，建立空间直角坐标系，易求得(0,2,D C =，11(2,2,0)A C =-，(0,1,A E =设平面11AC EF 的法向量为(,y,)n x z =11100n A C n A E ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以,,)(2,2,0)0,)(0,1,1)x y z y z -=-=2-⎧所以(1,1,1)n =，111|||(1,1,1)(0,2,1)||cos ,|||||35n D C n D C n D C -===1CD 与平面11A C FE 所成的角的大小arcsincos AC AP A =上的Q 点，设甲在cos QB PB B22(78)(5t --cos AC AP A ，代值计算可得；由已知数据和余弦定理可得3数学试卷 第16页（共18页） 数学试卷 第17页（共18页） 数学试卷 第18页（共18页）2(a a +-+2112()b b a +++-112)b a +-2(a a +-+1(22n a b +)n x <<；则1()f x T +，2()f x T +，…，()n f x T +为方程c o s ()f x c =在[,2]T T 上的解；又()(4π8π)f x T +∈,；而1()4πf x +，2()4πf x +，…，()4π(4π,8π)n f x +∈为方程cos ()f x c =在[,2]T T 上的解； ∴()()4π()()i i i f x T f x f x f T +=+=+；∴综上对任意,[]0x T ∈，都有()()()f x T f x f T +=+．【提示】（Ⅰ）根据余弦周期函数的定义，判断(6π)cosg x +是否等于cos ()g x 即可； （Ⅱ）根据()f x 的值域为R ，便可得到存在0x ，使得0()f x c =，而根据()f x 在R 上单调递增即可说明0,[]x a b ∈，从而完成证明；（Ⅲ）只需证明0u T +为方程cos ()1f x =在区间[2]T T ,上的解得出0u 为方程cos ()1f x =在[0]T ,上的解，是否为方程的解，带入方程，使方程成立便是方程的解．证明对任意,[]0x T ∈，都有()()()f x T f x f T +=+，可讨论0x =，x T =，(0)x T ∈,三种情况：0x =时是显然成立的；x T =时，可得出cos (2)1f T =，从而得到1(2)2πf T k =，1k ∈Z ，根据()f x 单调递增便能得到12k >，然后根据()f x 的单调性及方程cos ()1f x =在[],2T T 和它在[0]T ,上解的个数的情况说明13k =，和15k ≥是不存在的，而14k =时结论成立，这便说明x T =时结论成立；而对于(0)x T ∈,时，通过考查c o s ()f x c =的解得到()()()f x T f x f T +=+，综合以上的三种情况，最后得出结论即可．【考点】函数与方程的综合运用。

2015 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试上海 数学试卷（理工农医类）考生注意：1. 本试卷共4页，23道试题，满分150分. 考试时间120分钟.2. 本考试分设试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 设全集U R =，若集合{}{}1,2,3,4,|23A B x x ==≤≤，则U A B = ð . 【答案】{}1,4；【解析】根据题意，可得{}|32U B x x x =><或ð，故{}1,4U A B = ð. 2.若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = . 【答案】1142i +；【解析】设(),z x yi x y R =+∈，根据题意，有z x yi =-，可把31z z i +=+化简成 331x yi x yi i ++-=+，对于系数相等可得出11,42x y ==，1142z i ∴=+.3.若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= . 【答案】16；【解析】根据增广矩阵的定义可以还原成方程组12230x y c y c +=⎧⎨+=⎩把35x y =⎧⎨=⎩代入，可得1221,5c c ==，1216c c ∴-=. 4. 若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为a = . 【答案】4；【解析】根据正三棱柱的体积计算公式31=42V h S a a a =⋅⨯⨯===底.5.抛物线()220y px p =>上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = .【答案】2；【解析】根据抛物线的性质，我们知道当且仅当动点Q 运动到原点的时候，才与抛物线焦点的距离的最小，所以有min 1,22pQP p ==⇒=. 6.若圆锥的侧面积与过轴的截面积面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 . 【答案】3π； 【解析】设这个圆锥的母线长为'h ，底面半径为r ，母线与轴的夹角为θ，所以'1=2S l h ⋅⋅侧，而过轴的截面是一个三角形，故122S r h =⋅⋅轴，有h ，所以'122122l h S S r h π⋅⋅==⋅⋅侧轴，''2,h h h h r ⇒===，'sin 3r h πθθ==∴=. 7.方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 . 【答案】2；【解析】由条件可得()111195032095432x x x x ----⎧->⎪⎪->⎨⎪-=-⎪⎩()()()2111134330,33310x x x x ----⇒-⋅+=--= 1133,2,31,1x x x x --=⇒==⇒=，所以1x =或2x =，检验后只有2x =符合；8.在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方法的种数为 .（结果用数值表示） 【答案】120；【解析】这里男女老师都要有的话，可以分男1、女4，男2、女3和男3、女4所以有142332363636456015120C C C C C C ++=++=.9.已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ，若1C 的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为. 【答案】y x =； 【解析】设点P 和Q 的坐标为(),x y 、()00,x y ，则有002x x y y =⎧⎨=⎩又因为1C 的渐近线方程为y =，故设1C 的方程为223x y λ-=，把P 点坐标代入，可得220034x y λ-=，令0λ=，20y ±=即为曲线2C的渐近线方程，即y x =； 10.设()1f x -为()[]22,0,22x xf x x -=+∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 .【答案】4；【解析】通过分析，我们可得函数()222x x f x -=+在定义域[]0,2上是单调递增的，且值域为124⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，由反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域以及反函数与原函数的单调性相同，可得()1f x -的定义域为124⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，值域为[]0,2，又原函数与反函数的公共定义域为124⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，故()()1m a x m a xm a x224y ff-=+=. 11. 在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 .（结果用数值表示）【答案】45；【解析】在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭中要得到2x 项的系数，肯定不能含有20151x 项，故只有()()010100102015111Cx x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，而对于()101x +，2x 项的系数为28210145C x =. 12.赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是：赌客现在标有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将两张卡片上数字之差的绝对值的 1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在每一局赌博中的赌金与奖金，则12E E ξξ-= .（元）【答案】0.2；【解析】由题可知，()()()()222222255544332211.4,2.8, 4.2, 5.610101010P P P P C C C ξξξξ===========所以，1ξ和2ξ的分布列分别为：()111234535E ξ=++++=，2 1.40.4 2.80.3 4.20.2 5.60.1 2.8E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=，即有120.2E E ξξ-=.13.已知函数()sin f x x =，若12,,,m x x x 存在满足1206m x x x π≤<<<≤ ，且()()()()()()()*12231122,m m f x f x f x f x f x f x m m N --+-++-=≥∈ ，则m 的最小值为 .【答案】8；【解析】对任意的,i j x x ，()()()()max min 2i j f x f x f x f x -≤-=，欲使m 取最小值，尽可能多的让()1,2,,i x i m = 取最值点，考虑到1206m xx x π≤<<<≤ ，()()()()()()()*12231122,m m f x f x f x f x f x f x m m N --+-++-=≥∈ ，按照下图所示取值可以满足条件所以m 的最小值为8； 14.在锐角ABC ∆中，1tan 2A =，D 为BC 边上的一点，ABD ∆与ACD ∆面积分别为2和4，过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则DE DF ⋅=.【答案】1615-； 【解析】由题可知，cos cos EDF A ∠=-， 122ABD S AB DE ∆==，142ACD S AC DF ∆==，1sin 62ABC S AB AC A == ，所以4DE AB =，8DF AC =，12sin AB AC A= 4832cos cos cos DE DF DE DF EDF A A AB AC AB AC ⋅=⋅∠=-=- ，化简可得28442tan 16sin cos sin 23331tan 15A DE DF A A A A ⋅=-=-=-=-+ . 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对得5分，否则一律得零分.15.设12,z z C ∈，则“12,z z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 【答案】B ；【解析】充分性不成立，如11z i =+，22z i =+，121z z -=-不是虚数；必要性成立，采用反证法，若12,z z 全不是虚数，即12,z z 均为实数，则12z z -比为实数，所以12z z -是虚数，则12,z z 中至少有一个数是虚数.选择B.16.已知点A 的坐标为()，将OA 绕坐标原点O 逆时针转3π至OB ，则B 的纵坐标为（ ） B. C.112D.132【答案】D ；【解析】以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设(),A ρθ，则,3B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，且sin 1ρθ=，cos ρθ=B 的纵坐标为：D1113sin sin cos 3222πρθρθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭. 17.记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中123,,a a a 是正实数.当123,,a a a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） A.方程①有实根，且②有实根B.方程①有实根，且②无实根C.方程①无实根，且②有实根D.方程①无实根，且②无实根【答案】B ；【解析】方程③无实根，则233160a ∆=-<，又2114a ∆=-，2228a ∆=-，当123,,a a a 成等比数列时，2213a a a =，即有2231a a a =，由30∆<得22223116160a a a ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，即422116a a <当方程①有实根，且②无实根时，214a >，228a <，可以推出42216416416a a <<⨯<，选择B. 18.设(),n n n P x y 是直线()*21nx y n N n -=∈+与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim 1n n ny x →∞-=-（ ） A. 1-B.12-C.1D.2【答案】A ；【解析】采用极限思想求解当n →∞时，直线()*21nx y n N n -=∈+趋向于21x y -=，直线与圆的交点趋向于()1,1P ，1lim 1n n n y x →∞--可以理解为过点()1,1P 所作的圆的切线的斜率k ，设切线方程为()11y k x -=-，结合d r ==解之1k =-，即1lim11n n n y x →∞-=--. 三、解答题（本题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）如图，在长方体中1111ABCD A B C D -，11AA =，2AB AD ==，E 、F 分别是棱AB 、BC 的中点，证明1A 、1C 、F 、E 四点共面，并求直线1CD 与平面11A C FE 所成角的大小.【答案】； 【解析】（1）由于E 、F 分别是棱AB 、BC 的中点，所以//EF AC ，又11//AC AC ，所以11//EF AC ，由ABCDE F1A 1B 1C 1D ABCD F1A 1B 1C 1D公理三的推论，可知1A 、1C 、F 、E 四点共面.（2）连接1A F 、1A B 由于11//CD A B ，所以直线1CD 与平面11A C FE 所成角的大小与1A B 与平面11A C FE 所成角的大小相等.设1A B 与平面11A C FE 所成角为θ，点B 到平面1A EF 的距离为d ，则1sin dA Bθ=，在三棱锥1A EFB -中，体积1A EFB B A EF V V --=，所以111133EFB A EF S AA S d ∆∆⋅=⋅，即11EFBA EF S AA d S ∆∆⋅=，结合题中的数据，可以计算出12EFB S ∆=，1AF A B ==1A F EF =1A F1A EF S ∆=，所以d =，所以1sin d A B θ==，即θ=，所以直线1CD 与平面11A C FE所成角的大小为.本题亦可采用空间向量解决，不再赘述.19.（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分如图，A 、B 、C 三地有直道相通，5AB =千米，3AC =千米，4BC =千米，现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是AB ，速度是5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待，设1t t =时，乙到达C 地. （1）求1t 与()1f t 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离为3千米.当11t t ≤≤时， 求()f t 的表达式，并判断()f t 在[]1,1t 上的最大值是否超过3？说明理由.【答案】（1）138t =，()1f t =（2）()13788755,18t f t t t ≤≤=⎨⎪-<≤⎪⎩；最大值不超过3.【解析】（1）由题中条件可知138t =小时，此时甲与A 点距离为158千米，由余弦定理可知 ()2211515336992388564f t ⎛⎫=+-⨯⨯⨯=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，所以()1f t = （2）易知，当78t =时乙到达B 位置，所以 ①当3788t ≤≤时，()()()()()2222147855278552542185f t t t t t t t =-+--⋅-⋅-⋅=-+⎡⎤⎣⎦； BC②当718t ≤≤时，()55f t t =-；综合①②，()13788755,18t f t t t ≤≤=⎨⎪-<≤⎪⎩当321825t ≤≤时，()f t单调递减，此时函数的值域为35⎡⎢⎣⎦；当217258t ≤≤时，()f t 单调递增，此时函数的值域为35,58⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 当718t ≤≤时，()f t 单调递减，此时函数的值域为50,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 由此，函数()f t 在[]1,1t上的值域为⎡⎢⎣⎦，而29<⎝⎭3<， 所以()f t 在[]1,1t 上的最大值没有超过3.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A B 、和C D 、，记得到的平行四边形ACBD 的面积为S .（1）设()11,A x y ，()22,C x y .用A C 、坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12212S x y x y =-；（2）设1l 与2l 的斜率之积为12-，求面积S 的值. 【答案】（1）C 到直线1l（2）S =【解析】（1）由题易知A C 、两点的横坐标不能同时为零，下面分两种情况①当A C 、两点的横坐标有一个为零时，不妨设10x =，20x ≠不失一般性，此时1l 与y 轴重合，C 到直线1l 的距离为2x ，平行四边形ACBD 的面积为212S x y =；②当A C 、两点的横坐标均不为0时，即1l 和2l 的斜率均存在时，设1l 的方程为y kx =，其中11y k x =，由2221y kxx y =⎧⎨+=⎩可得()222110k x +-=，所以弦长AB ====点C 到直线1l的距离d =所以四边形ACBD 的面积为12212S AB d x y x y =⋅=-综合①②点C 到直线1lACBD 的面积为12212x y x y -.（2）易知两直线的斜率分别为：111l y k x =，222l y k x =，由1l 与2l 的斜率之积为12-可得： 12122x x y y =-，又221112x y =-，222212x y =-，所以()()2222222121212122124x x y y y y y y =-=-++，即221212y y +=， ()()()()222222222222122112211221211212242412124S x y x y x y x y x y x y y y y y y y ⎡⎤=-=+-=-+-+⎣⎦化简得()2221242S y y =+=22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分 已知数列{}n a 与{}n b 满足()*112,N n n n n a a b b n ++-=-∈. （1）若35n b n =+，且11a =，求{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即()0*N n n a a n ≥∈，求证：{}n b 的第0n 项是最大项； （3）设()*10,N n n a b n λλ=<=∈，求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小值m ，且()2,2Mm∈-. 【答案】（1）()*65N n a n n =-∈；（2）证明见解析；（3）1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭；【解析】（1）由35n b n =+可得：()()*1126N n n n n a a b b n ++-=-=∈，又11a =，所以数列{}n a 为以1为首项，6为公差的等差数列，即有()*65N n a n n =-∈； （2）由()*112,N n n n n a a b b n ++-=-∈可得： ()21212a a b b -=- ()32322a a b b -=-()()1122n n n n a a b b n ---=-≥将上述式子累加可得()()1122n n a a b b n -=-≥，当1n =时，也成立，所以()()*112N n n a a b b n -=-∈，由此可得111122n n b a b a =+-，由于1112b a -为常数，所以当{}n a 的第0n 项是最大项时，111122n a b a +-最大，即{}n b 的第0n 项是最大项；（3）有（2）可知()()*112N n n a a b b n -=-∈，即1122n n a b a b =+-，结合1,n n a b λλ==可得 2n n a λλ=⋅-，分三种情况进行讨论：①当1λ=-时，则n 为偶数时3n a =，n 为奇数时1n a =-，即有3M =，1m =-，此时()32,2Mm=-∉-，由此，此情况不符合条件；②当()1,0λ∈-时，则n 为偶数时，()nn λλ=-，由于()1,0λ∈-，所以()0,1λ-∈，从而n λ随着n 增大值减小，此时0n λ>，()2maxnλλ=，无最小值（无限靠近0）；n 为奇数时，0n λ<，此时()nn λλ=--，由于()1,0λ∈-，所以()0,1λ-∈，从而()nλ-随着n 增大值减小，结合()nn λλ=--，可知随着n 增大n λ值增大，此时()minnλλ=，无最大值（无限靠近0）；由此可知数列{}n a 的最大值22M λλ=-，最小值2m λλλ=-=，2221M m λλλλ-==-，又()2,2M m ∈-，所以21221210λλλ-<⎧⎪->-⎨⎪-<<⎩，解之102λ-<<；③当1λ<-时，则n 为偶数时，()nn λλ=-，由于1λ<-，所以()1,λ-∈+∞，从而n λ随着n 增大值增大，此时0n λ>，()2minnλλ=，无最大值（无限靠近+∞）；n 为奇数时，0n λ<，此时()nn λλ=--，由于1λ<-，所以1λ->，从而()nλ-随着n 增大值增大，结合()nn λλ=--，可知随着n 增大n λ值减小，此时()maxn λλ=，无最小值（无限靠近-∞）；由此可知，在1λ<-条件下，数列{}n a 无最值，显然不符合条件；综上，符合条件的实数λ的取值范围为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.23.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得()cos g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期.已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R ，设()f x 单调递增，()00f =，()4f T π=； （1）验证()sin3xh x x =+是以6π为余弦周期的余弦周期函数； （2）设a b <，证明对任意()(),c f a f b ∈⎡⎤⎣⎦，存在[]0,x a b ∈，使得()0f x c =；（3）证明：“0u 为方程cos ()1f x =在[]0,T 上的解”的充要条件是“0u T +为方程cos ()1f x =在[],2T T 上的解”，并证明对任意[]0,x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；【解析】（1）证明：()cosh cos sin 3x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()()6cosh 6cos 6sin cos 6sin cos sin cosh 333x x x x x x x x ππππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()sin3xh x x =+是以6π为余弦周期的余弦周期函数； （2）当()c f a =或者()c f b =时，由于()f x 单调递增，所以存在0x a =或0x b =使得()0f x c =成立；当()()(),c f a f b ∈，构造函数()()p x f x c =-，则()0p a <，()0p b >，从而()()0p a p b ⋅<，所以存在()0,x a b ∈，使得()00p x =，即存在[]0,x a b ∈，使得()0f x c =成立，证毕.（3）先证必要性0u 为方程cos ()1f x =在[]0,T 上的解，即0cos ()1f u =，由[]00,u T ∈可得[]0,2u T T T +∈，由于函数()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，所以00()cos cos ()1f u T f u +==，即0u T +为方程cos ()1f x =在[],2T T 上的解；再证充分性0u T +为方程cos ()1f x =在[],2T T 上的解，即0c 1s ()o f u T +=，由[]0,2u T T T +∈可得[]00,u T ∈，由于函数()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，所以00cos cos ()()1f u f u T =+=，即0u 为方程cos ()1f x =在[]0,T 上的解；下证：对任意[]0,x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+. 由于函数()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，所以cos ()cos ()f x f x T =+，即有 cos ()cos ()0f x f x T -+=，所以()()()()2sin sin 022f x f x T f x f x T ++-+-=，即()()2f x f x T k π++=或()()()Z 2f x f x T k k π-+=∈所以()()2f x T f x k π++=或()()()2Z f x T k f x k π+=+∈ ①若()()2f x T f x k π++=，由()00f =，()4f T π=，可得2k =. 所以()()4f x T f x π++=，这与函数()f x 为增函数矛盾，舍去； ②若()()()2Z f x T k f x k π+=+∈，由()00f =，()4f T π=，可得2k =， 所以()()4f x T f x π+=+，即()()()f x T f x f T +=+. 由此，对任意[]0,x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+.。

否是结束输出Sk=1S=0k=k+2S=S+1k(k+2)k>2016开始杨浦区2015学年度第一学期期末高三年级3+1质量调研数学学科试卷（理科） 2016.1.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 已知矩阵1012A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，2413B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则=+B A _____________.2. 已知全集U=R ，集合102x A x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎭⎩，则集合U A =ð_____________.3. 已知函数()34log 2f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则方程()14f x -=的解x = _____________. 4. 某洗衣液广告需要用到一个直径为4米的球作为道具，该球表面 用白布包裹，则至少需要白布_________平方米. 5. 无穷等比数列{}n a (*n N ∈)的前n 项的和是n S ，且1lim 2n n S →∞=，则首项1a 的取值范围是_____________. 6. 已知虚数z 满足i 61z z 2+=-，则 =z __________. 7．执行如右图所示的流程图，则输出的S 的值为________. 8．学校有两个食堂，现有3名学生前往就餐，则三个人 不在同一个食堂就餐的概率是_____________. 9. ()31nx -展开式的二项式系数之和为256，则展开式中x 的系数为______________.10. 若数12345,,,,a a a a a 的标准差为2，则数1234532,32,32,32,32a a a a a -----的 方差为____________.11. 如图，在矩形OABC 中，点E 、F 分别在线段AB 、BC 上，且满足AB=3AE ，BC=3CF ，若(,)OB OE OF R λμλμ=+∈,则=μ+λ____________.12. 已知()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨--+>⎪⎩≤，当[]1a ,a x +∈时不等式()()2f x a f a x +-≥恒成立，则实数a 的最大值是____________.13. 抛物线C 的顶点为原点O ，焦点F 在x 轴正半轴，过焦点且倾斜角为4π的直线l 交抛物线于点,A B ，若AB 中点的横坐标为3，则抛物线C 的方程为_______________. 14.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当01x ≤≤时，()2fx x=，当0x >时，()()()11f x f x f +=+，若直线y kx =与函数()y f x =的图象恰有11个不同的公共点，则实数k 的取值范围为____________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15. 下列四个命题中，为真命题的是 （ ）A. 若a b >，则22ac bc > B. 若a b >，c d >则a c b d ->- C. 若a b >，则22a b > D. 若a b >，则11a b< 16. 设,a b 是两个单位向量,其夹角为θ,则“36πθπ<<”是“1||<-b a ”的 （ ）OAE B FCSDCB AA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.对于两个平面,αβ和两条直线,m n , 下列命题中真命题是 ( )A.若m α⊥, m n ⊥, 则n α‖B.若m α‖, αβ⊥, 则m β⊥C. 若m α‖，n β‖，αβ⊥，则m n ⊥D. 若m α⊥，n β⊥，αβ⊥，则m n ⊥18. 下列函数中，既是偶函数，又在()π,0 上递增的函数的个数是 （ ）① x tan y = ② ()x cos y -= ③ ⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=2x sin y ④2x cot y =A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分 ．如图，某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型，先用木料搭边框，再用其他材料填充。

2015年上海市浦东新区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12个小题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律不得分.1．（3分）不等式2x＞1的解为　{x|x＞0}．　．【考点】：指、对数不等式的解法．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据指数函数的单调性求解即可．【解析】：解：因为y=2x在R上是增函数，又2x＞1=20，所以x＞0．故答案为：{x|x＞0}．【点评】：本题主要考查指数函数的性质，属于基础题．2．（3分）已知复数z满足z•（1+i）=2，其中为虚数单位，则z=　1﹣i　．【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：计算题．【分析】：利用复数的运算法则即可得出．【解析】：解：∵复数z满足z•（1+i）=2，∴z（1+i）（1﹣i）=2（1﹣i），∴2z=2（1﹣i），化为z=1﹣i．故答案为1﹣i．【点评】：熟练掌握复数的运算法则设解题的关键．3．（3分）若关于x，y的方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0表示圆，则实数m的取值范围是　m＜5（或（﹣∞，5））　．【考点】：二元二次方程表示圆的条件．【专题】：计算题．【分析】：根据圆的一般式方程x2+y2 +dx+ey+f=0（ d2+e2﹣4f＞0），列出不等式4+16﹣4m＞0，求m的取值范围．【解析】：解：关于x，y的方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0表示圆时，应有4+16﹣4m＞0，解得 m＜5，故答案为：（﹣∞，5）．【点评】：本题考查二元二次方程表示圆的条件，x2+y2 +dx+ey+f=0表示圆的充要条件是：d2+e2﹣4f＞0．4．（3分）函数y=sinx﹣cosx的最大值为　2　．【考点】：两角和与差的正弦函数．【专题】：三角函数的求值．【分析】：变形可得y=2（cossinx﹣sincosx）=2sin（x﹣），易得最值．【解析】：解：化简可得y=sinx﹣cosx=2（sinx﹣cosx）=2（cossinx﹣sincosx）=2sin（x﹣）∴当sin（x﹣）=1时，原函数取最大值2故答案为：2【点评】：本题考查两角和与差的三角函数公式，属基础题．5．（3分）若=0，则实数x的取值范围是　[0，1）　．【考点】：极限及其运算．【专题】：计算题；导数的概念及应用．【分析】：由题意分x=0与x＞0讨论即可．【解析】：解：∵=0，∴y=x n是减函数，故0＜x＜1；且当x=0时也成立；故实数x的取值范围是[0，1）；故答案为：[0，1）．【点评】：本题考查了导数的定义及指数函数的性质，属于基础题．　6．（3分）（2014•杨浦区三模）已知一个关于x，y的二元线性方程组的增广矩阵是，则x+y=　6　．【考点】：逆矩阵与二元一次方程组．【专题】：计算题．【分析】：首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组，再根据方程求解xy，最后求x+y．【解析】：解由二元线性方程组的增广矩阵，可得到二元线性方程组的表达式，解得，所以x+y=6故答案为6．【点评】：此题主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．7．（3分）（2013•虹口区一模）双曲线的两条渐近线的夹角大小等于　　．【考点】：双曲线的简单性质；两直线的夹角与到角问题．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：求出双曲线的渐近线方程，求出渐近线的倾斜角，即可求出两条渐近线的夹角大小．【解析】：解：由双曲线可知双曲线的渐近线方程为y=x，两条渐近线的倾斜角分别为：30°、150°；所以两条渐近线的夹角为60°即．故答案为：．【点评】：本题考查双曲线的渐近线方程的求法，渐近线的夹角的求法，求出渐近线方程以及倾斜角是解题的关键．8．（3分）已知y=f﹣1（x）是函数y=x3+a的反函数，且f﹣1（2）=1，则实数a=　1　．【考点】：反函数．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：由y=f﹣1（x）是函数y=x3+a的反函数且f﹣1（2）=1知2=13+a，从而解得．【解析】：解：∵f﹣1（2）=1，∴2=13+a，解得，a=1故答案为：1．【点评】：本题考查了反函数的定义的应用，属于基础题．9．（3分）二项式的展开式中含x3项系数为　24　．【考点】：二项式定理．【专题】：二项式定理．【分析】：先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得含x3项的系数．【解析】：解：二项式的展开式的通项公式为T r+1=•24﹣r•，令4﹣=3，求得r=2，故开式中含x3项系数为•22=24，故答案为：24．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．10．（3分）定义在R上的偶函数y=f（x），在[0，+∞）上单调递增，则不等式f（2x﹣1）＜f（3）的解为　（﹣1，2）　．【考点】：奇偶性与单调性的综合．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可．【解析】：解：∵在R上的偶函数y=f（x），在[0，+∞）上单调递增，∴不等式f（2x﹣1）＜f（3）等价为f（|2x﹣1|）＜f（3），即|2x﹣1|＜3，解得﹣1＜x＜2，故答案为：（﹣1，2）【点评】：本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．11．（3分）如图，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=2，∠CBA=30°，D、E分别是BC、AP的中点．求异面直线AC与ED所成的角的大小为　arccos　．【考点】：异面直线及其所成的角．【专题】：计算题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】：欲求异面直线所成角，只需平移异面直线中的一条，是它们成为相交直线，则相交直线所成角就是异面直线所成角，再放入三角形中，通过解三角形求出该角．本题中取AB中点F，连接DF，EF，则AC∥DF，∠EDF就是异面直线AC与PB所成的角．再放入Rt△EFD中来求．【解析】：解：取AB中点F，连接DF，EF，则AC∥DF，所以∠EDF就是异面直线AC与PB所成的角．由已知，AC=EA=AD=1，AB=，PB=，∵AC⊥EF，∴DF⊥EF．在Rt△EFD中，DF=，ED=，cos．所以异面直线AC与ED所成的角为arccos．故答案为：arccos．【点评】：本题主要考查了异面直线所成角的求法，考查运算能力，属于基础题．12．（3分）若直线l的方程为ax+by+c=0，（a，b不同时为零），则下列命题正确的是　（1）（2）（3）　．（1）以方程ax+by+c=0的解为坐标的点都在直线l上；（2）方程ax+by+c=0可以表示平面坐标系中的任意一条直线；（3）直线l的一个法向量为（a，b）；（4）直线l的倾斜角为．【考点】：直线的一般式方程．【专题】：直线与圆．【分析】：（1）根据方程的解与直线的坐标的关系即可得出；（2）方程ax+by+c=0为直线的一般式可以表示平面坐标系中的任意一条直线；（3）直线l的一个方向向量为（b，﹣a），可得直线l的一个法向量为（a，b）；（4）直线l的倾斜角为或π﹣arctan（）或．【解析】：解：直线l的方程为ax+by+c=0，（a，b不同时为零）．（1）以方程ax+by+c=0的解为坐标的点都在直线l上，正确；（2）方程ax+by+c=0可以表示平面坐标系中的任意一条直线，正确；（3）直线l的一个方向向量为（b，﹣a），可得直线l的一个法向量为（a，b），正确；（4）直线l的倾斜角为或π﹣arctan（）或，不正确．综上可得：只有（1）（2）（3）正确．故答案为：（1）（2）（3）．【点评】：本题考查了直线l的方程为ax+by+c=0（a，b不同时为零）的意义、法向量与方向向量的关系、反三角函数，考查了推理能力，属于基础题．二、选择题（本大题共12题，满分36分）每小题都给出四个选项，其中只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分.13．（3分）设椭圆的一个焦点为，且a=2b，则椭圆的标准方程为（ ） A．=1 B．=1 C．=1 D．=1【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：由已知可设椭圆的标准方程为，根据a，b，c之间的关系，可得椭圆的标准方程．【解析】：解：∵a=2b，椭圆的一个焦点为，∴设椭圆的标准方程为，∴a2﹣b2=3b2=3，故椭圆的标准方程为，故选：A【点评】：本题考查的知识点是椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，难度不大，属于基础题．14．（3分）用1、2、3、4、5这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的概率为（ ） A．B．C．D．【考点】：等可能事件的概率．【专题】：计算题．【分析】：首先由排列公式可得全部三位数的个数，进而可得其中奇数的数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．【解析】：解：根据题意，用这5个数字，组成没有重复数字的三位数有A53=60个，其中奇数，即末尾为1、3、5的三位数有3×A42=36个，则奇数的概率P==；故选C．【点评】：本题考查等可能事件的概率的计算，是简单题，注意正确运用排列数公式计算即可．15．（3分）下列四个命题中，为真命题的是（ ） A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，c＞d则a﹣c＞b﹣d C．若a＞|b|，则a2＞b2 D．若a＞b，则＜【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】： A，若a＞b，当c=0时，ac2=bc2，可判断A；B，令a=3，b=2，c=2，d=0，可判断B；C，利用不等式的性质可判断C；D，令a=2＞﹣1=b，可判断D．【解析】：解：A，若a＞b，当c=0时，ac2=bc2，A错误；B，若a=3，b=2，c=2，d=0，满足a＞b，c＞d，但a﹣c=1＜b﹣d=2，故B错误；C，若a＞|b|，则a2＞|b|2=b2，正确；D，若a=2＞﹣1=b，则＞﹣1，故＜错误．故选：C．【点评】：本题考查不等式的基本性质及应用，特值法是解决选择题的良好方法，属于中档题．16．（3分）某校共有高一、高二、高三学生共有1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生健康状态，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为（ ） A． 84 B． 78 C． 81 D． 96【考点】：分层抽样方法．【专题】：概率与统计．【分析】：根据分层抽样的定义建立比例关系即可．【解析】：解：∵高一480人，高二比高三多30人，∴设高三x人，则x+x+30+480=1290，解得x=390，故高二420，高三390人，若在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为人，故选：B【点评】：本题主要考查分层抽样的应用，根据比例关系是解决本题的关键．17．（3分）（2010•湖北模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17=170，则a7+a9+a11的值为（ ） A． 10 B． 20 C． 25 D． 30【考点】：等差数列的前n项和．【专题】：计算题．【分析】：由等差数列的性质可得a7+a9+a11=3a9，而s17=17a9，故本题可解．【解析】：解：∵a1+a17=2a9，∴s17==17a9=170，∴a9=10，∴a7+a9+a11=3a9=30；故选D．【点评】：本题考查了等差数列的前n项和公式与等差数列性质的综合应用，是高考重点考查的内容．18．（3分）（2010•青浦区二模）“直线l垂直于△ABC的边AB，AC”是“直线l垂直于△ABC的边BC”的（ ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．即非充分也非必要条件【考点】：充要条件．【专题】：常规题型．【分析】：此题考查的是充要条件和立体几何知识的综合问题．在解答时，应先判断准谁是条件谁是结论，在由条件推结论和由结论推条件的过程当中判断好真假，然后即可获得结论．【解析】：解：设P：为“直线l垂直于△ABC的边AB，AC”，Q：为“直线l垂直于△ABC的边BC”．若P成立，则l⊥AB，l⊥AC，又∵AB∩AC=A，且AB、AC⊆面ABC，∴l⊥面ABC，又∵BC⊆面ABC∴l⊥BC，由P能推出Q．反之，若Q成立，由线面垂直的定义易知直线l不一定垂直于面ABC，所以直线l不一定垂直于△ABC的边AB，AC，故由Q推不出P．故选B．【点评】：此题考查的是充要条件和立体几何知识的综合问题．解答过程当中条件与结论的明确以及线面垂直知识的应用值得体会、总结、归难．19．（3分）函数f（x）=的零点个数是（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3【考点】：根的存在性及根的个数判断．【专题】：计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】：作函数f（x）=的图象，从而确定零点的个数．【解析】：解：作函数f（x）=的图象如下，故有两个零点，故选C．【点评】：本题考查了函数的零点与函数图象的关系应用，属于基础题．20．（3分）某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前5个交易日，平均每天上涨5%，后5个交易日内，平均每天下跌4.9%，则股民的股票盈亏情况（不计其他成本，精确到元）（ ） A．赚723元 B．赚145元 C．亏145元 D．亏723元【考点】：进行简单的演绎推理．【专题】：计算题；函数的性质及应用；推理和证明．【分析】：由题意先求股票最后价值10×（1+5%）5×（1﹣4.9%）5≈10×0.99277=9.9277万元，从而求解．【解析】：解：由题意得，10×（1+5%）5×（1﹣4.9%）5≈10×0.99277=9.9277；故100000﹣99277=723；故股民亏723元；故选D．【点评】：本题考查了演绎推理的应用及函数在实际问题中的应用，属于基础题．21．（3分）已知数列{a n}的通项公式，则=（ ） A．﹣16096 B．﹣16104 C．﹣16112 D．﹣16120【考点】：数列的求和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由已知条件利用二阶行列式的性质得原式为（a1a4﹣a2a3）+（a2a5﹣a3a4）+（a3a6﹣a4a5）+…+（a2012a2015﹣a2013a2014）=，由此能求出结果．【解析】：解：∵数列{a n}的通项公式，∴=（a1a4﹣a2a3）+（a2a5﹣a3a4）+（a3a6﹣a4a5）+…+（a2012a2015﹣a2013a2014）==（﹣8）×2012=﹣16096．故选：A．【点评】：本题考查列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二阶行列式的性质的合理运用．22．（3分）如果函数y=f（x）在区间I上是增函数，而函数y=在区间I上是减函数，那么称函数y=f（x）是区间I上“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”，若函数f（x）=是区间I上“缓增函数”，则“缓增区间”I为（ ） A． [1，+∞） B．C． [0，1] D．【考点】：函数单调性的判断与证明．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：由题意，求f（x）=的增区间，再求y==x﹣1+的减函数，从而求缓增区间．【解析】：解：f（x）=在区间[1，+∞）上是增函数，y==x﹣1+，y′=﹣•=；故y==x﹣1+在[﹣，]上是减函数，故“缓增区间”I为[1，]；故选D．【点评】：本题考查了函数的性质应用，属于基础题．23．（3分）设θ为两个非零向量的夹角，已知对任意实数t，的最小值是2，则（ ） A．若θ确定，则唯一确定 B．若θ确定，则唯一确定 C．若确定，则θ唯一确定 D．若确定，则θ唯一确定【考点】：数量积表示两个向量的夹角．【专题】：平面向量及应用．【分析】：由题意可得=•t2﹣2•t+，它是关于变量t的一个二次函数，再利用二次函数的性质可得结论．【解析】：解：由题意可得=•t2﹣2•t+，它是关于变量t的一个二次函数，故当t===cosθ （其中，θ为、的夹角），取得最小值2，即||2sin2θ=2，故当θ唯一确定时，||唯一确定，故选：B．【点评】：本题主要考查两个向量的夹角公式的应用，求向量的模的方法，属于基础题．24．（3分）已知x1，x2是关于x的方程x2+mx﹣（2m+1）=0的两个实数根，则经过两点A（x1，x12），B（x2，x22）的直线与椭圆+=1公共点的个数是（ ） A． 2 B． 1 C． 0 D．不确定【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：令m=0，求出x1，x2，进而求出A，B坐标，进而可分析出经过两点A（x1，x12），B（x2，x22）的直线与椭圆+=1公共点的个数，可得答案．【解析】：解：当m=0时，方程x2+mx﹣（2m+1）=0可化为：x2﹣1=0，故x1=﹣1，x2=1，故A，B两点的坐标为（﹣1，1），（1，1），此时A，B两点均在椭圆+=1内部，故直线AB与椭圆+=1有2个公共点，故选：A【点评】：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，本题为选择题，故可采用特殊值代入的方法求解．三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤.25．（7分）已知函数y=lg的定义域为集合A，集合B=（a，a+1），若B⊆A，求实数a的取值范围．【考点】：对数函数的定义域．【专题】：函数的性质及应用；集合．【分析】：根据题意，求出函数y的定义域集合A，利用集合的运算，列出不等式组，求出a的取值范围．【解析】：解：∵函数y=lg，∴＞0，等价于（1+x）（1﹣x）＞0；即（x+1）（x﹣1）＜0，解得﹣1＜x＜1；∴函数y的定义域为集合A=（﹣1，1），又∵集合B=（a，a+1），且B⊆A，∴，解得﹣1≤a≤0；∴a的取值范围是[﹣1，0]．【点评】：本题考查了求对数函数的定义域的问题以及集合的简单运算问题，是基础题目．26．（8分）如图所示，圆锥SO的底面圆半径|OA|=1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，求此圆锥的体积．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由已知得扇形弧长l=2π，圆锥母线长为3，从而得到圆锥的高为2，由此能求出圆锥的体积．【解析】：解：∵圆锥SO的底面圆半径|OA|=1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，∴扇形弧长l=2π，∴圆锥母线长|SA|==3，∴圆锥的高|SO|==2，∴此圆锥的体积V===．【点评】：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．27．（8分）已知直线y=x与抛物线y2=2px（p＞0）交于O，A两点（F为抛物线的焦点，O为坐标原点），若|AF|=17，求OA的垂直平分线的方程．【考点】：直线与圆锥曲线的关系．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：先求焦点F的坐标为（0.5p，0），再求得A坐标（4p，8p），从而有（4p﹣0.5p）2+（8p﹣0）2=AF2=172，可解得p的值，从而可求OA的垂直平分线的方程．【解析】：解：由题意可得：F（0.5p，0），由y=，得：x=2y，可得：y2=2px=2p•2y，∴可得：y=0.4p，x=0.8p，∴可得：A（4p，8p），∴（4p﹣0.5p）2+（8p﹣0）2=AF2=172，∴76.25p2=172，∵p＞0，∴可解得：p=，∴OA的垂直平分线的方程是：y﹣4p=﹣2•（x﹣2p），即y﹣=﹣2•（x﹣）．【点评】：本题考查抛物线的几何性质，考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生分析解决问题的能力，考查了转化思想．28．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b=c，∠A的平分线为AD，若（1）当m=2时，求cosA的值；（2）当时，求实数m的取值范围．【考点】：平面向量的综合题．【专题】：计算题；解三角形；平面向量及应用．【分析】：（1）由题意得，=（+）；从而可得•（+）=2•；从而可得cosA==；（2）•=||•||cosA=，从而可得m==+=+；从而求取值范围．【解析】：解：（1）由题意得，=（+）；故•（+）=2•；故2=3•；故cosA==；（2）•=||•||cosA=；故m==+=+=+；∵，∴（）2∈（1，）；故1＜＜；在＜+＜2．【点评】：本题考查了平面向量的应用即解三角形的应用，属于中档题．29．（7分）在数列{a n}，{b n}中，a1=3，b1=5，a n+1=，b n+1=（n∈N*）（1）求数列{b n﹣a n}、{a n+b n}的通项公式．（2）设S n为数列{b n}的前n项的和，若对任意n∈N*，都有p（S n﹣4n）∈（[1，3]，求实数p的取值范围．【考点】：数列递推式；数列的求和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）将已知的两个关系式相加和相减，即可得到{a n+b n}与{b n﹣a n}的递推式，从而求其通项；（2）根据第一问的结果可求出{b n}的通项，然后求和，然后利用不等式恒成立的思路求解．【解析】：解：（1）由a n+1=，b n+1=两式相减得：b n+1﹣a n+1=﹣=﹣（b n﹣a n），则{b n﹣a n}是以﹣为公比，b1﹣a1=5﹣3=2为首项的等比数列，则b n﹣a n=2×（﹣）n﹣1，由a n+1=，b n+1=两式相加得：，即a n+1+b n+1﹣8=（a n+b n﹣8），∵a1+b1﹣8=3+5﹣8=0，∴a2+b2﹣8=（a1+b1﹣8）=0，则a n+1+b n+1﹣8=（a n+b n﹣8）=0，即a n+b n=8，即数列{a n+b n}常数列，通项公式为a n+b n=8．（1）∵b n﹣a n=2×（﹣）n﹣1，a n+b n=8，∴解得b n=（﹣）n﹣1+4，则S n=+4n=﹣（﹣）n+4n，则S n﹣4n=﹣（﹣）n，由p（S n﹣4n）∈（[1，3]，∴1≤p（﹣（﹣）n）≤3，当n为偶数时，不等式等价为1≤p（﹣（）n）≤3，∵﹣（）n∈（0，），∴此时满足1≤p≤3，解得≤p≤，当为奇数式，不等式等价为1≤p（+（）n）≤3，即∵4≤8﹣（）n﹣3＜8，∴＜则，故．【点评】：本题主要考查数列通项公式的求解以及数列求和的应用，综合性较强，运算量较大．30．（12分）某风景区有空中景点A及平坦的地面上景点B．已知AB与地面所成角的大小为60°，点A在地面上的射影为H，如图，请在地面上选定点M，使得达到最大值．【考点】：直线与平面垂直的性质．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：根据正弦定理以及三角公式，将三角形的边长关系转化为角的关系，结合三角函数的辅助角公式即可得到结论．【解析】：解：∵AB与地面所成角的大小为60°，AH垂直于地面，BM 是地面上的直线，∴∠ABH=60°，∠ABM≥60°，∵，∴=====cotsinM+cosM≤cot30°sinM+cosM=sinM+cosM=2sin（M+30°），当∠M=∠B=60°时，达到最大值．即当M在BH的延长上，且BH=HM处，达到最大值．【点评】：本题主要考查空间正弦定理的应用以及三角函数的公式化简，综合性较强，难度较大．31．（12分）设函数f（x）=（0＜x）（1）设x＞0，y＞0，且x+y，试比较f（x+y）与f（x）的大小．（2）现给出如下3个结论，请你分别指出其正确性，并说明理由．①对任意x∈（0，]都有cosx＜f（x）＜1成立．②对任意x∈（0，）都有f（x）＜1﹣+﹣+﹣成立．③若关于x的不等式f（x）＜k在（0，]有解，则k的取值范围是（，+∞）．【考点】：利用导数研究函数的单调性．【专题】：导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】：（1）求出函数f（x）=（0＜x）的导函数，结合当0＜x时，f′（x）＜0，可得f（x+y）＜f（x）；（2）由当x→0时，→cosx，结合f（x）≤f（），可判断①；根据1﹣+﹣+﹣≈cosx，可判断②；根据不等式f（x）＜k在（0，]有解，则k＞f（x）max，可判断③【解析】：解：（1）∵f（x）=，∴f′（x）==当0＜x时，x﹣tanx＜0恒成立，故当0＜x时，f′（x）＜0，故函数f（x）为减函数，∵x＞0，y＞0，且x+y，∴0＜x＜x+y，∴f（x+y）＜f（x）（2）当x→0时，→cosx，由（1）得f（x）≤f（）=＜1，故①正确；1﹣+﹣+≈cosx，对任意x∈（0，）都有f（x）＞cos，故②错误；若不等式f（x）＜k在（0，]有解，则k＞f（x）max=，故k的取值范围是（，+∞），故③正确．【点评】：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，及函数单调性的应用，涉及三角函数的泰勒展开式等高等数学的知识点，故难度较大，属于难题．32．（12分）已知三角形△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1）．（1）动点P在三角形△ABC的内部或边界上，且点P到三边AC，AB，BC的距离依次成等差数列，求点P的轨迹方程；（2）若0＜a≤b，直线l：y=ax+b将△ABC分割为面积相等的两部分，求实数b的取值范围．【考点】：轨迹方程．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（1）设P（x，y），由题意知，由此能求出点P的轨迹方程．（2）当b=a时，直线l的方程为y=a（x+1），过定点A（1，0），直线l 过三角形的重心（0，）；当b＞a时，令y=0，得x=﹣，故直线l与两边BC，AC分别相交，由面积之比等于相似比的平方，得b＞1﹣．由此能求出实数b的取值范围．【解析】：解：（1）设P（x，y），由题意知，∵x+y﹣1≥0，x+y﹣1≤0，y≥0，∴，整理，得y=（）．（2）当b=a时，直线l的方程为y=a（x+1），过定点A（1，0），由平面几何知识知直线l过三角形的重心（0，），∴b=a=；当b＞a时，令y=0，得x=﹣，故直线l与两边BC，AC分别相交，设其交点分别为D，E，当a不断减小时，为保持小三角形面积总为原来的一半，则b也不断减小，当DE∥AB时，△CDE∽△CBA，由面积之比等于相似比的平方，得b＞1﹣．综上，实数b的取值范围是（1﹣，）．【点评】：本题考查点的轨迹方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．。

2015年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）（2015•上海）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁UΒ=．2．（4分）（2015•上海）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．3．（4分）（2015•上海）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=．4．（4分）（2015•上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=．5．（4分）（2015•上海）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=．6．（4分）（2015•上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．7．（4分）（2015•上海）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为．8．（4分）（2015•上海）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．9．（2015•上海）已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程为．10．（4分）（2015•上海）设f﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为．11．（4分）（2015•上海）在（1+x+）10的展开式中，x2项的系数为（结果用数值表示）．12．（4分）（2015•上海）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则Eξ1﹣Eξ2=（元）．13．（4分）（2015•上海）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m≥12，m∈N*），则m的最小值为．14．（2015•上海）在锐角三角形A BC中，tanA=，D为边BC上的点，△A BD与△ACD的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于E，DF⊥AC于F，则•=．二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）（2015•上海）设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）（2015•上海）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A．B．C．D．17．（2015•上海）记方程①：x2+a1x+1=0，方程②：x2+a2x+2=0，方程③：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根18．（5分）（2015•上海）设P n（x n，y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）C．1D．2A．﹣1 B．﹣三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）（2015•上海）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小．20．（14分）（2015•上海）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t1时乙到达C地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．21．（14分）（2015•上海）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ABCD的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；（2）设l1与l2的斜率之积为﹣，求面积S的值．22．（16分）（2015•上海）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a≥a n（n∈N*），求证：数列{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．23．（18分）（2015•上海）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f（x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．（1）验证g（x）=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=c；（3）证明：“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充分条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．2015年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）（2015•上海）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁UΒ={1，4}．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可．解答：解：∵全集U=R，集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，∴（∁U B）={x|x＞3或x＜2}，∴A∩（∁U B）={1，4}，故答案为：{1，4}．点评：本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键．本题考查了推理判断的能力．2．（4分）（2015•上海）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出．解答：解：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），又3z+=1+i，∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i，化为4a+2bi=1+i，∴4a=1，2b=1，解得a=，b=．∴z=．故答案为：．点评：本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题．3．（4分）（2015•上海）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=16．考点：二阶行列式与逆矩阵．专题：矩阵和变换．分析：根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．解答：解：由题意知，是方程组的解，即，则c1﹣c2=21﹣5=16，故答案为：16．点评：本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．4．（4分）（2015•上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=4．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意可得（•a•a•sin60°）•a=16，由此求得a的值．解答：解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为•a•a•sin60°，正棱柱的高为a，∴（•a•a•sin60°）•a=16，∴a=4，故答案为：4．点评：本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．5．（4分）（2015•上海）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=2．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．解答：解：因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，所以=1，所以p=2．故答案为：2．点评：本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．6．（4分）（2015•上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，由已知中圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，可得l=2h，进而可得其母线与轴的夹角的余弦值，进而得到答案．解答：解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则圆锥的侧面积为：πrl，过轴的截面面积为：rh，∵圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，∴l=2h，设母线与轴的夹角为θ，则cosθ==，故θ=，故答案为：．点评：本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的母线与轴的夹角的余弦值，是解答的关键．7．（4分）（2015•上海）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为2．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可．解答：解：∵log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2，∴log2（9x﹣1﹣5）=log2[4×（3x﹣1﹣2）]，∴9x﹣1﹣5=4（3x﹣1﹣2），化为（3x）2﹣12•3x+27=0，因式分解为：（3x﹣3）（3x﹣9）=0，∴3x=3，3x=9，解得x=1或2．经过验证：x=1不满足条件，舍去．∴x=2．故答案为：2．点评：本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．8．（4分）（2015•上海）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为120（结果用数值表示）．考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；排列组合．分析：根据题意，运用排除法分析，先在9名老师中选取5人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案．解答：解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C95=126种；其中只有女教师的有C65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；故答案为：120．点评：本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算．9．（2015•上海）已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设C1的方程为y2﹣3x2=λ，利用坐标间的关系，求出Q的轨迹方程，即可求出C2的渐近线方程．解答：解：设C1的方程为y2﹣3x2=λ，设Q（x，y），则P（x，2y），代入y2﹣3x2=λ，可得4y2﹣3x2=λ，∴C2的渐近线方程为4y2﹣3x2=0，即．故答案为：．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．（4分）（2015•上海）设f﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为4．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x）=2x﹣2+在x∈[0，2]上为增函数可得其值域，得到y=f﹣1（x）在[]上为增函数，由函数的单调性求得y=f（x）+f﹣1（x）的最大值．解答：解：由f（x）=2x﹣2+在x∈[0，2]上为增函数，得其值域为[]，可得y=f﹣1（x）在[]上为增函数，因此y=f（x）+f﹣1（x）在[]上为增函数，∴y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为f（2）+f﹣1（2）=1+1+2=4．故答案为：4．点评：本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题．11．（4分）（2015•上海）在（1+x+）10的展开式中，x2项的系数为45（结果用数值表示）．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：先把原式前两项结合展开，分析可知仅有展开后的第一项含有x2项，然后写出第一项二项展开式的通项，由x的指数为2求得r值，则答案可求．解答：解：∵（1+x+）10 =，∴仅在第一部分中出现x2项的系数．再由，令r=2，可得，x2项的系数为．故答案为：45．点评：本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．12．（4分）（2015•上海）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则Eξ1﹣Eξ2=0.2（元）．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：分别求出赌金的分布列和奖金的分布列，计算出对应的均值，即可得到结论．解答：解：赌金的分布列为1 2 3 4 5P所以Eξ1=（1+2+3+4+5）=3，奖金的分布列为P====所以Eξ2=1.4×（×1+×2+×3+×4）=2.8，则Eξ1﹣Eξ2=3﹣2.8=0.2元．点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，根据概率的公式分别进行计算是解决本题的关键．13．（4分）（2015•上海）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m≥12，m∈N*），则m的最小值为8．考点：正弦函数的图象．14．（2015•上海）在锐角三角形A BC中，tanA=，D为边BC上的点，△A BD与△ACD的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于E，DF⊥AC于F，则•=﹣．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意画出图形，结合面积求出cosA=，，然后代入数量积公式得答案．解答：解：如图，∵△ABD与△ACD的面积分别为2和4，∴，，可得，，∴．又tanA=，∴，联立sin2A+cos2A=1，得，cosA=．由，得．则．∴•==．故答案为：．点评：本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，考查了三角函数的化简与求值，是中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）（2015•上海）设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑；数系的扩充和复数．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可．解答：解：设z1=1+i，z2=i，满足z1、z2中至少有一个数是虚数，则z1﹣z2=1是实数，则z1﹣z2是虚数不成立，若z1、z2都是实数，则z1﹣z2一定不是虚数，因此当z1﹣z2是虚数时，则z1、z2中至少有一个数是虚数，即必要性成立，故“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的必要不充分条件，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念进行判断是解决本题的关键．16．（5分）（2015•上海）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A．B．C．D．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：根据三角函数的定义，求出∠xOA的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可．解答：解：∵点A的坐标为（4，1），∴设∠xOA=θ，则sinθ==，cosθ==，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则OB的倾斜角为θ+，则|OB|=|OA|=，则点B的纵坐标为y=|OP|sin（θ+）=7（sinθcos+cosθsin）=7（×+）=+6=，故选：D．点评：本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．17．（2015•上海）记方程①：x2+a1x+1=0，方程②：x2+a2x+2=0，方程③：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据方程根与判别式△之间的关系求出a12≥4，a22＜8，结合a1，a2，a3成等比数列求出方程③的判别式△的取值即可得到结论．解答：解：当方程①有实根，且②无实根时，△1=a12﹣4≥0，△2=a22﹣8＜0，即a12≥4，a22＜8，∵a1，a2，a3成等比数列，∴a22=a1a3，即a3=，则a32=（）2=，即方程③的判别式△3=a32﹣16＜0，此时方程③无实根，故选：B点评：本题主要考查方程根存在性与判别式△之间的关系，结合等比数列的定义和性质判断判别式△的取值关系是解决本题的关键．18．（5分）（2015•上海）设P n（x n，y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）A．﹣1 B．C．1D．2﹣考点：极限及其运算．专题：导数的综合应用．分析：当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出．解答：解：当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），而可看作点P n（x n，y n）与（1，1）连线的斜率，其值会无限接近圆x2+y2=2在点（1，1）处的切线的斜率，其斜率为﹣1．∴=﹣1．故选：A．点评：本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）（2015•上海）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小．考点：直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：利用长方体的集合关系建立直角坐标系．利用法向量求出二面角．解答：解：连接AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，所以EF∥AC．由长方体的性质知AC∥A1C1，所以EF∥A1C1，所以A1、C1、F、E四点共面．以D为坐标原点，DA、DC、DD1分别为xyz轴，建立空间直角坐标系，易求得，设平面A1C1EF的法向量为则，所以，即，z=1，得x=1，y=1，所以，所以=，所以直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小arcsin．点评：本题主要考查利用空间直角坐标系求出二面角的方法，属高考常考题型．20．（14分）（2015•上海）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t1时乙到达C地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．考点：余弦定理的应用．专题：解三角形．分析：（1）由题意可得t1==h，由余弦定理可得f（t1）=PC=，代值计算可得；（2）当t1≤t≤时，由已知数据和余弦定理可得f（t）=PQ=，当＜t≤1时，f （t）=PB=5﹣5t，综合可得当＜t≤1时，f（t）∈[0，]，可得结论．解答：解：（1）由题意可得t1==h，设此时甲运动到点P，则AP=v甲t1=5×=千米，∴f（t1）=PC===千米；（2）当t1≤t≤时，乙在CB上的Q点，设甲在P点，∴QB=AC+CB﹣8t=7﹣8t，PB=AB﹣AP=5﹣5t，∴f（t）=PQ===，当＜t≤1时，乙在B点不动，设此时甲在点P，∴f（t）=PB=AB﹣AP=5﹣5t∴f（t）=∴当＜t≤1时，f（t）∈[0，]，故f（t）的最大值超过了3千米．点评：本题考查解三角形的实际应用，涉及余弦定理和分段函数，属中档题．21．（14分）（2015•上海）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ABCD的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；（2）设l1与l2的斜率之积为﹣，求面积S的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；点到直线的距离公式．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）依题意，直线l1的方程为y=x，利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线l1的距离d=，再利用|AB|=2|AO|=2，可证得S=|AB|d=2|x1y2﹣x2y1|；（2）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为﹣，可得直线l1与l2的方程，联立方程组，可求得x1、x2、y1、y2，继而可求得答案．方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=﹣，利用A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，可求得面积S的值．解答：解：（1）依题意，直线l1的方程为y=x，由点到直线间的距离公式得：点C到直线l1的距离d==，因为|AB|=2|AO|=2，所以S=|AB|d=2|x1y2﹣x2y1|；（2）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为﹣，设直线l1的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，根据对称性，设x1=，则y1=，同理可得x2=，y2=，所以S=2|x1y2﹣x2y1|=．方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=﹣，所以x1x2=﹣2y1y2，∴=4=﹣2x1x2y1y2，∵A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，∴（）（）=+4+2（+）=1，即﹣4x1x2y1y2+2（+）=1，所以（x1y2﹣x2y1）2=，即|x1y2﹣x2y1|=，所以S=2|x1y2﹣x2y1|=．点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题．22．（16分）（2015•上海）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a≥a n（n∈N*），求证：数列{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．考点：数列递推式；数列的函数特性．专题：创新题型；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（1）把b n=3n+5代入已知递推式可得a n+1﹣a n=6，由此得到{a n}是等差数列，则a n可求；（2）由a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，结合递推式累加得到a n=2b n+a1﹣2b1，求得，进一步得到得答案；（3）由（2）可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ=﹣1，λ＜﹣1三种情况求得a n的最大值M和最小值m，再由∈（﹣2，2）列式求得λ的范围．解答：（1）解：∵a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），b n=3n+5，∴a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6，∴{a n}是等差数列，首项为a1=1，公差为6，则a n=1+（n﹣1）×6=6n﹣5；（2）∵a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2（b n﹣b n﹣1）+2（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1=2b n+a1﹣2b1，∴，∴．∴数列{b n}的第n0项是最大项；（3）由（2）可得，①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；单调递增，有最小值m=a1=λ，∴∈（﹣2，2），∴λ∈，∴．②当λ=﹣1时，a2n=3，a2n﹣1=﹣1，∴M=3，m=﹣1，（﹣2，2），不满足条件．③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；当n→+∞时，a2n﹣1→﹣∞，无最小值．综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式，对（3）的求解运用了极限思想方法，是中档题．23．（18分）（2015•上海）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f（x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．（1）验证g（x）=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=c；（3）证明：“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充分条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．考点：函数与方程的综合运用．专题：创新题型；函数的性质及应用．分析：（1）根据余弦周期函数的定义，判断cosg（x+6π）是否等于cosg（x）即可；（2）根据f（x）的值域为R，便可得到存在x0，使得f（x0）=c，而根据f（x）在R上单调递增即可说明x0∈[a，b]，从而完成证明；（3）只需证明u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解得出u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上的解，是否为方程的解，带入方程，使方程成立便是方程的解．证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T），可讨论x=0，x=T，x∈（0，T）三种情况：x=0时是显然成立的；x=T时，可得出cosf（2T）=1，从而得到f（2T）=2k1π，k1∈Z，根据f（x）单调递增便能得到k1＞2，然后根据f（x）的单调性及方程cosf（x）=1在[T，2T]和它在[0，T]上解的个数的情况说明k1=3，和k1≥5是不存在的，而k1=4时结论成立，这便说明x=T时结论成立；而对于x∈（0，T）时，通过考查cosf（x）=c的解得到f（x+T）=f（x）+f（T），综合以上的三种情况，最后得出结论即可．解答：解：（1）g（x）=x+sin；∴==cosg（x）∴g（x）是以6π为周期的余弦周期函数；（2）∵f（x）的值域为R；∴存在x0，使f（x0）=c；又c∈[f（a），f（b）]；∴f（a）≤f（x0）≤f（b），而f（x）为增函数；∴a≤x0≤b；即存在x0∈[a，b]，使f（x0）=c；（3）证明：若u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解；则：cosf（u0+T）=1，T≤u0+T≤2T；∴cosf（u0）=1，且0≤u0≤T；∴u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上的解；∴“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解”的充分条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”；下面证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）：①当x=0时，f（0）=0，∴显然成立；②当x=T时，cosf（2T）=cosf（T）=1；∴f（2T）=2k1π，（k1∈Z），f（T）=4π，且2k1π＞4π，∴k1＞2；1）若k1=3，f（2T）=6π，由（2）知存在x0∈（0，T），使f（x0）=2π；cosf（x0+T）=cosf（x0）=1⇒f（x0+T）=2k2π，k2∈Z；∴f（T）＜f（x0+T）＜f（2T）；∴4π＜2k2π＜6π；∴2＜k2＜3，无解；2）若k1≥5，f（2T）≥10π，则存在T＜x1＜x2＜2T，使得f（x1）=6π，f（x2）=8π；则T，x1，x2，2T为cosf（x）=1在[T，2T]上的4个解；但方程cosf（x）=1在[0，2T]上只有f（x）=0，2π，4π，3个解，矛盾；3）当k1=4时，f（2T）=8π=f（T）+f（T），结论成立；③当x∈（0，T）时，f（x）∈（0，4π），考查方程cosf（x）=c在（0，T）上的解；设其解为f（x1），f（x2），…，f（x n），（x1＜x2＜…＜x n）；则f（x1+T），f（x2+T），…，f（x n+T）为方程cosf（x）=c在（T，2T）上的解；又f（x+T）∈（4π，8π）；而f（x1）+4π，f（x2）+4π，…，f（x n）+4π∈（4π，8π）为方程cosf（x）=c在（T，2T）上的解；∴f（x i+T）=f（x i）+4π=f（x i）+f（T）；∴综上对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．点评：考查对余弦周期函数定义的理解，充分条件的概念，方程的解的概念，知道由cosf（x）=1能得出f（x）=2kx，k∈Z，以及构造方程解题的方法，在证明最后一问时能运用第二问的结论．参与本试卷答题和审题的老师有：whgcn；孙佑中；maths；caoqz；刘长柏；翔宇老师；danbo7801；sxs123；海燕；雪狼王；lincy；wfy814；wkl197822（排名不分先后）菁优网2015年6月25日。

2015年上海市杨浦区高考数学一模试卷（理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）若，则α=．2．（4分）设A={x|1≤x≤3}，B={x|m+1≤x≤2m+4，m∈R}，A⊆B，则m的取值范围是．3．（4分）若在等差数列{a n}中，a3=7，a7=3，则通项公式a n=．4．（4分）已知直线l经过点A（1，﹣2），B（﹣3，2），则直线l的方程是．5．（4分）函数f（x）=x2﹣1（x＜0）的反函数f﹣1（x）=．6．（4分）二项式的展开式（按x的降幂排列）中的第4项是．7．（4分）已知条件p：|x+1|≤2；条件q：x≤a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是．8．（4分）向量=（2，3），=（﹣1，2），若m+与﹣2平行，则m等于．9．（4分）一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有种．10．（4分）在底面直径为6的圆柱形容器中，放入一个半径为2的冰球，当冰球全部熔化后，容器中液面的高度为．（相同质量的冰与水的体积比为10：9）11．（4分）不等式log2（4x﹣3）＞x+1的解集是．12．（4分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，则角C=．13．（4分）已知，集合A={z|z=1+ω+ω2+…+ωn，n∈N*}，集合B={x|x=z1•z2，z1、z2∈A}（z1可以等于z2），则集合B的子集个数为．14．（4分）如图所示，已知函数y=log24x图象上的两点A、B和函数y=log2x上的点C，线段AC平行于y轴，三角形ABC为正三角形时，点B的坐标为（p，q），则p2×2q的值为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）程序框图如图所示，若其输出结果是140，则判断框中填写的是（）A．i＜7B．i＜8C．i＞7D．i＞816．（5分）下列命题中正确的是（）A．若x∈C，则方程x3=2只有一个根B．若z1∈C，z2∈C且z1﹣z2＞0，则z1＞z2C．若z∈R，则不成立D．若z∈C，且z2＜0，那么z一定是纯虚数17．（5分）圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．x2+y2﹣x﹣2y+1=0B．C．x2+y2+x﹣2y+1=0D．18．（5分）对数列{a n}，{b n}，若区间[a n，b n]满足下列条件：，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）；①[a n+1②，则称{[a n，b n]}为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（）A．B．C．D．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，异面直线AD与BC1所成角的大小为60°，求：（1）线段A1B1到底面ABCD的距离；（2）三棱椎B1﹣ABC1的体积．20．（14分）如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，∠MON=，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧上，且线段AB平行于线段MN．（1）若点A为弧的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）设∠AOB=θ，求A在上何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？21．（14分）已知函数是奇函数，a，b，c为常数（1）求实数c的值；（2）若a，b∈Z，且f（1）=2，f（2）＜3，求f（x）的解析式；（3）对于（2）中的f（x），若f（x）≥m﹣2x对x∈（0，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．22．（16分）如图，曲线Γ由曲线C1：和曲线C2：组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求△CDF1面积的最大值．23．（18分）数列{a n}各项均不为0，前n项和为S n，b n=a n3，b n的前n项和为T n，且T n=S n2（1）若数列{a n}共3项，求所有满足要求的数列；（2）求证：a n=n（n∈N*）是满足已知条件的一个数列；（3）请构造出一个满足已知条件的无穷数列{a n}，并使得a2015=﹣2014；若还能构造其他符合要求的数列，请一并写出（不超过四个）．2015年上海市杨浦区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）若，则α=或．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】56：三角函数的求值．【分析】根据sinα的值以及α的范围，利用特殊角的三角函数值，即可求出α的度数．【解答】解：∵sinα=，且α∈（0，π），∴α=或．故答案为：或【点评】此题考查了三角函数的化简求值，牢记特殊角的三角函数值是解本题的关键．2．（4分）设A={x|1≤x≤3}，B={x|m+1≤x≤2m+4，m∈R}，A⊆B，则m的取值范围是[，0] ．【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【专题】5J：集合．【分析】根据子集的概念即可得到，解不等式组即得m的取值范围．【解答】解：∵A⊆B；∴；∴；∴m的取值范围是[，0]．故答案为：．【点评】考查描述法表示集合，以及子集的概念．3．（4分）若在等差数列{a n}中，a3=7，a7=3，则通项公式a n=﹣n+10．【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】根据所给的a3=7，a7=3，设出未知数，列出方程，解得首项和公差，写出要求的通项公式．【解答】解：设数列的公差为d∵a3=7，a7=3，∴a1+2d=7，a1+6d=3，∴a1=9，d=﹣1，∴a n=﹣n+10．故答案为：﹣n+10．【点评】在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”首项、公差、公比、通项公式、前n项和是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便．4．（4分）已知直线l经过点A（1，﹣2），B（﹣3，2），则直线l的方程是x+y+1=0．【考点】ID：直线的两点式方程．【专题】5B：直线与圆．【分析】直接写出直线的两点式方程，化为一般式得答案．【解答】解：∵A（1，﹣2），B（﹣3，2），∴过A，B两点的直线方程为，整理得：x+y+1=0．故答案为：x+y+1=0．【点评】本题考查了直线的两点式方程，是基础的会考题型．5．（4分）函数f（x）=x2﹣1（x＜0）的反函数f﹣1（x）=﹣（x＞﹣1）．【考点】4R：反函数．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】求出值域值域为（﹣1，+∞），根据得出x=，转化变量求解反函数即可．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣1（x＜0），∴值域为（﹣1，+∞），y=x2﹣1，∴反函数f﹣1（x）=﹣（x＞﹣1），故答案为：﹣（x＞﹣1）【点评】本题考查了反函数的概念，属于容易题，关键是求解自变量的范围．6．（4分）二项式的展开式（按x的降幂排列）中的第4项是﹣84x3．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】根据二项展开式的通项公式，即可求得展开式（按x的降幂排列）中的第4项．=•（﹣1）r•x9﹣2r，【解答】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1故按x的降幂排列中的第4项为﹣•x3=﹣84x3，故答案为：﹣84x3．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．7．（4分）已知条件p：|x+1|≤2；条件q：x≤a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是[1，+∞）．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11：计算题．【分析】先由绝对值不等式|x+1|≤2解得﹣3≤x≤1；再由p是q的充分不必要条件，知﹣3≤x≤1⇒x≤a，而反之不可，则可求出a的取值范围．【解答】解：由|x+1|≤2得﹣2≤x+1≤2，即﹣3≤x≤1，又|x+1|≤2是x≤a成立的充分不必要条件，即﹣3≤x≤1是x≤a成立的充分不必要条件，所以a≥1．故答案为[1，+∞）．【点评】本题主要考查充分条件及必要条件的含义．8．（4分）向量=（2，3），=（﹣1，2），若m+与﹣2平行，则m等于．【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】由已知向量的坐标求得m+与﹣2的坐标，再由向量平行的坐标表示列式求得m的值．【解答】解：∵=（2，3），=（﹣1，2），∴m+=m（2，3）+（﹣1，2）=（2m﹣1，3m+2），﹣2=（2，3）﹣2（﹣1，2）=（4，﹣1）．又m+与﹣2平行，∴（2m﹣1）•（﹣1）﹣4（3m+2）=0，解得：m=﹣．故答案为：．【点评】平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2=0，∥⇔a1b2﹣a2b1=0，是基础题．9．（4分）一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有30种．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】5O：排列组合．【分析】由题意需要分两类，第一类，当爷爷在6排D座时，第二类，当爷爷在6排C座时，再排小孙女，最后排其他人，根据分类计数原理可得【解答】解：第一类，当爷爷在6排D座时，再排小孙女，最后排其他人，共有=18种，第二类，当爷爷在6排C座时，再排小孙女，最后再排其他人，共有=12种，根据分类计数原理共有18+12=30种，故答案为：30【点评】本题考查了分类计数原理，关键如何分类，属于基础题10．（4分）在底面直径为6的圆柱形容器中，放入一个半径为2的冰球，当冰球全部熔化后，容器中液面的高度为．（相同质量的冰与水的体积比为10：9）【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】半径为2的冰球的体积为=，水的体积为，再利用体积公式，即可求出冰球全部熔化后，容器中液面的高度．【解答】解：半径为2的冰球的体积为=，水的体积为，设冰球全部熔化后，容器中液面的高度为h，则π×32h=，∴h=．故答案为：．【点评】本题考查冰球全部溶化后，容器中液面的高度，考查体积公式，考查学生的计算能力，比较基础．11．（4分）不等式log2（4x﹣3）＞x+1的解集是（log23，+∞）．【考点】7J：指、对数不等式的解法．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由已知条件推导出（2x）2﹣2•2x﹣3=0，解得2x=3，或2x=﹣1（舍），由此能求出结果．【解答】解：∵4x﹣3＞0，∴，∵log2（4x﹣3）＞x+1，∴2x+1＜4x﹣3，∴（2x）2﹣2•2x﹣3＞0，解得2x＞3，或2x＜﹣1（舍），∴x＞log23．故答案为：（log23，+∞）．【点评】本题考查对数方程的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．12．（4分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，则角C=．【考点】HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，即可确定出C的度数．【解答】解：已知等式变形得：（a+b+c）（a+b﹣c）﹣3ab=0，整理得：（a+b）2﹣c2﹣3ab=0，即a2+b2﹣c2=ab，∴cosC==，∵C为三角形内角，∴C=，故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．13．（4分）已知，集合A={z|z=1+ω+ω2+…+ωn，n∈N*}，集合B={x|x=z1•z2，z1、z2∈A}（z1可以等于z2），则集合B的子集个数为16．【考点】16：子集与真子集；A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的基本运算求出集合A，B即可得到结论．【解答】解：∵，∴ω2=，ω3=1，1+ω+ω2=0，∴当n=1时，z=1+ω=+，当n=2，z=1+ω+ω2=0，当n=3时，z=1+ω+ω2+ω3=1，当n=4时，z=1+ω+ω2+ω3+ω4=+，则A={+，0，1}，则B={x|x=z1•z2，z1、z2∈A}={+，0，1，﹣+}，则集合B的子集个数为24=16，故答案为：16【点评】根据复数的基本运算求出集合A，B是解决本题的关键．14．（4分）如图所示，已知函数y=log24x图象上的两点A、B和函数y=log2x上的点C，线段AC平行于y轴，三角形ABC为正三角形时，点B的坐标为（p，q），则p2×2q的值为12．【考点】4N：对数函数的图象与性质．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据题意，设出A、B、C的坐标，由线段AC∥y轴，△ABC是等边三角形，得出AB、AC与BC的关系，求出p、q的值，计算出结果．【解答】解：根据题意，设A（x0，2+log2x0），B（p，q），C（x0，log2x0），∵线段AC∥y轴，△ABC是等边三角形，∴AC=2，2+log2p=q，∴p=2q﹣2，∴4p=2q；又x0﹣p=，∴p=x0﹣，∴x0=p+；又2+log2x0﹣q=1，∴log2x0=q﹣1，x0=2q﹣1=；∴p+=，2p+2=2q=4p，∴p=，2q=4；∴p2•2q=3×4=12．故答案为：12．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用问题，也考查了指数，对数的运算问题，是较难的题目．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）程序框图如图所示，若其输出结果是140，则判断框中填写的是（）A．i＜7B．i＜8C．i＞7D．i＞8【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得满足题意的循环条件．【解答】解：当S=0，i=1时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=1，i=2，当S=1，i=2时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=5，i=3，当S=5，i=3时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=14，i=4，当S=14，i=4时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=30，i=5，当S=30，i=5时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=55，i=6，当S=55，i=6时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=91，i=7，当S=91，i=7时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=140，i=8，当S=140，i=8时，应不满足继续循环的条件，故循环条件应为：i＜8，故选：B．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．16．（5分）下列命题中正确的是（）A．若x∈C，则方程x3=2只有一个根B．若z1∈C，z2∈C且z1﹣z2＞0，则z1＞z2C．若z∈R，则不成立D．若z∈C，且z2＜0，那么z一定是纯虚数【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的运算性质和概念，逐一分析四个答案的真假，可得结论．【解答】解：对于A，若x∈C，则方程x3=2有三个根，故错误；对于B，若z1∈C，z2∈C，则z1，z2无法比较大小，故错误；对于C，若z∈R，则成立，故错误；对于D，若z∈C，且z2＜0，那么z一定是纯虚数，故正确；故选：D．【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了复数的基本概念和性质，难度不大，属于基础题．17．（5分）圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．x2+y2﹣x﹣2y+1=0B．C．x2+y2+x﹣2y+1=0D．【考点】J1：圆的标准方程；K6：抛物线的定义．【专题】5B：直线与圆．【分析】所求圆圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切，不难由抛物线的定义知道，圆心、半径可得结果．【解答】解：圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程，以及抛物线的定义可知，所求圆的圆心的横坐标x=，即圆心（，1），半径是1，所以圆的方程是x2+y2﹣x﹣2y+=0．故选：D．【点评】本题考查圆的方程，抛物线的定义，考查数形结合、转化的数学思想，是中档题．18．（5分）对数列{a n}，{b n}，若区间[a n，b n]满足下列条件：，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）；①[a n+1②，则称{[a n，b n]}为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（）A．B．C．D．【考点】8J：数列的极限．【专题】55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】直接利用已知条件，判断选项是否满足两个条件即可．【解答】解：由题意，对于A，，∵，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）不成立，所以，∴[a n+1A不正确；对于B，，∵，∴[a n，b n+1]⊊+1[a n，b n]（n∈N*）不成立，所以B不正确；对于C，，∵，b n+1]⊊[a n，，∴[a n+1b n]（n∈N*）成立，并且，所以C正确；对于D，，∵，，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）不成立，所以D不正确；∴[a n+1故选：C．【点评】本题考查数列的极限，数列的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，异面直线AD与BC1所成角的大小为60°，求：（1）线段A1B1到底面ABCD的距离；（2）三棱椎B1﹣ABC1的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MK：点、线、面间的距离计算．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）由AD∥BC得CBC1=60°，由已知线段BB1的长为线段A1B1到底面ABCD的距离，由此能求出线段A1B1到底面ABCD的距离．（2）由=，利用等积法能求出三棱椎的体积．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠CBC1为异面直线AD与BC1所成角，∴CBC1=60°，…（2分）∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1∥面ABCD，BB1⊥面ABCD，∴线段BB1的长为线段A1B1到底面ABCD的距离，…（4分）∵RT△BCC1中，BC=1，∠CBC1=60°，∴，线段A1，B1到底面ABCD的距离为．…（6分）（2）=…（8分）==…（10分）=．…（12分）【点评】本题考查线段到平面的距离的求法，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（14分）如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，∠MON=，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧上，且线段AB平行于线段MN．（1）若点A为弧的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）设∠AOB=θ，求A在上何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？【考点】G8：扇形面积公式．【专题】56：三角函数的求值．【分析】（1）作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S；（2）设∠AOB=θ（0＜θ＜），求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S，再求最大值．【解答】解：（1）如图，作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，∴∠AOB=，∴AB=2Rsin，OH=Rcos，OE=DE=AB=Rsin，∴EH=OH﹣OE=R（cos﹣sin），S=AB•EH=2R2（sin cos﹣sin2）=，（2）设∠AOB=θ（0＜θ＜），则AB=2Rsin，OH=Rcos，oe=AB=Rcos，OE=AB=Rsin，∴EH=OH﹣OE=R（cos﹣sin），S=AB•EH=R2（2sin cos﹣2sin2）=R2（sinθ+cosθ﹣1）=R2[sin（θ+）﹣1]，∵0＜θ＜，∴＜θ+＜，∴θ+=即θ=时，S max=（﹣1）R2，此时A在弧MN的四等分点处．答：当A在弧MN的四等分点处时，S max=（﹣1）R2．【点评】本题考查扇形的面积公式，考查三角函数的性质，比较基础．21．（14分）已知函数是奇函数，a，b，c为常数（1）求实数c的值；（2）若a，b∈Z，且f（1）=2，f（2）＜3，求f（x）的解析式；（3）对于（2）中的f（x），若f（x）≥m﹣2x对x∈（0，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；3R：函数恒成立问题．【专题】51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）由奇函数定义可得f（﹣x）=﹣f（x），根据该恒等式可求得c，（2）由f（1）=2及f（2）＜3可得b的范围，又b∈Z可求b值，进而得a；（3）原不等式，分离参数可化为m≤3x+，对x∈（0，+∞）恒成立，利用基本不等式求出3x+的最小值，问题得以解决【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）∴=﹣化简得bx+c=bx﹣c，解得c=0，（2）又f（1）=2，所以a+1=2b①，因为f（2）＜3，所以＜3②，将①代入②并整理得＜0，解得0＜b＜，因为b∈z，所以b=1，从而a=1，∴f（x）=x+（3）∵f（x）=x+，∴x+≥m﹣2x，∴m≤3x+，对x∈（0，+∞）恒成立∵3x+≥2，当且仅当x=时等号成立即x=时，（3x+）min=2，∴m≤2【点评】本题考查函数的奇偶性，利用基本不等式求出函数的最值，属于中档题．22．（16分）如图，曲线Γ由曲线C1：和曲线C2：组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求△CDF1面积的最大值．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）由F2（2，0），F3（﹣6，0），可得，解出即可；（2）曲线C2的渐近线为，如图，设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），设直线l：y=，与椭圆方程联立化为2x2﹣2mx+（m2﹣a2）=0，利用△＞0，根与系数的关系、中点坐标公式，只要证明，即可．（3）由（1）知，曲线C1：，点F4（6，0）．设直线l1的方程为x=ny+6（n＞0）．与椭圆方程联立可得（5+4n2）y2+48ny+64=0，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出．【解答】（1）解：∵F2（2，0），F3（﹣6，0），∴，解得，则曲线Γ的方程为和．（2）证明：曲线C2的渐近线为，如图，设直线l：y=，则，化为2x2﹣2mx+（m2﹣a2）=0，△=4m2﹣8（m2﹣a2）＞0，解得．又由数形结合知．设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则x1+x2=m，x1x2=，∴=，．∴，即点M在直线y=﹣上．（3）由（1）知，曲线C1：，点F4（6，0）．设直线l1的方程为x=ny+6（n＞0）．，化为（5+4n2）y2+48ny+64=0，△=（48n）2﹣4×64×（5+4n2）＞0，化为n2＞1．设C（x3，y3），D（x4，y4），∴，．∴|y3﹣y4|==，===，令t=＞0，∴n2=t2+1，∴===，当且仅当t=，即n=时等号成立．∴n=时，=．【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．23．（18分）数列{a n}各项均不为0，前n项和为S n，b n=a n3，b n的前n项和为T n，且T n=S n2（1）若数列{a n}共3项，求所有满足要求的数列；（2）求证：a n=n（n∈N*）是满足已知条件的一个数列；（3）请构造出一个满足已知条件的无穷数列{a n}，并使得a2015=﹣2014；若还能构造其他符合要求的数列，请一并写出（不超过四个）．【考点】8E：数列的求和；RG：数学归纳法．【专题】16：压轴题；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）依题意，分n=1、2、3，三类讨论，可得所有满足要求的数列；（2）利用数学归纳法证明即可；（3）由=++…+①，=++…++②，联立①②，+a n）（a n+1﹣a n﹣1）=0，于是，可求得一个满足已知条件的可整理得到：（a n+1无穷数列{a n}，并使得a2015=﹣2014；再购造其他符合要求的数列四个即可．【解答】（本题（18分），第一小题（4分），第二小题（6分），第三小题8分）解：（1）n=1时，T1=S12⇒a13=a12⇒a1=1（a1=0舍去）…（1分）n=2时，T2=S22⇒a13+a23=（a1+a2）2⇒1+a23=（1+a2）2⇒a2=2或a2=﹣1（a2=0舍去）…（2分）n=3时，，当a2=2时，⇒a3=3或a3=﹣2（a3=0舍去）当a2=﹣1时，…（3分）所以符合要求的数列有：1，2，3；1，2，﹣2；1，﹣1，1…（4分）（2）∵a n=n，即证13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2，…（5分）用数学归纳法证：当n=1时，13=12，等式成立；假设当n=k时，13+23+33+…+k3=（1+2+3+…+k）2=，…（7分）则当n=k+1时，13+23+33+…+k3+（k+1）3=（1+2+3+…+k）2+（k+1）3=+（k+1）3=（）2（k2+4k+4）==，即当n=k+1时，等式也成立；综上所述，对任意n∈N*，13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2；…（10分）（3）=++…+①=++…++②②﹣①得：2S n+a n+1=，∴2S n=﹣a n+1；③…（11分）=﹣a n，④…（12分）∴当n≥2时，2S n﹣1③﹣④得：2a n=﹣a n+1﹣+a n，+a n）（a n+1﹣a n﹣1）=0，整理得：（a n+1=﹣a n，或a n+1=a n+1（n≥2）…（14分）∴a n+1（i）a n=；（ii）a n=；（iii）a n=；（v）a n=【点评】本题考查数列的求和，考查数学归纳法的应用，突出考查构造函数数学、化归思想及创新思维、逻辑思维、综合运算能力，属于难题．。

上海市杨浦区2015届高三一模数学理含答案1.已知sin α = 1/2.α∈(0,π)，则α=π/6.2.设A=x1≤x≤3，B= {xm+1≤x≤2m+4,m∈R }，A⊆B，则m 的取值范围是 [-2,1)。

3.已知等差数列 {an} 中，a3=7,a7=3，则通项公式为a_n=-2n+11.4.已知直线 l 经过点 A(1,-2),B(-3,2)，则直线 l 的方程是y=-x。

5.函数 f(x)=x^2-1 (x<0) 的反函数 f^(-1)(x)=sqrt(x+1) (x≥0)。

6.二项式 (x-1)^9 的展开式（按 x 的降幂排列）中的第 4项是 -36x^6.7.已知条件p:x+1≤2；条件q:x≤a，若 p 是 q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围是 (-∞,1]。

8.向量 a=(2,3),b=(-1,2)，若 ma+b 与 a-2b 平行，则实数m=2.9.一家 5 口春节回老家探亲，买到了如下图的一排 5 张车票：（略）其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有 36 种。

10.在底面直径为 6 的圆柱形中，放入一个半径为 2 的冰球，当冰球全部溶化后，中液面的高度为 4/3.11.不等式 log2(4-3x)>x+1 的解集是 (1/3,2)。

12.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c，若a+b=c，则角C=π/3.13.已知ω=-1/2+i√3/2，集合A={z|z=1+ω+ω^2+ω^n,n∈N*}，集合B={x|x=z1*z2,z1,z2∈A}，则 B 中元素的个数是 7.19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分。

如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，异面直线AD与BC1所成角的大小为60°，求：1）线段A1B1到底面ABCD的距离；2）直线A1D1与平面B1CD所成的角的大小。

高三学科测试 数学试题（理科）考斯时间 120分钟 满分150分一、填空题：（本大题56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、已知集合1{|0},{|12}1x A x B x x x -=<=-<+，则B C A = 2、椅子tan 2α=-，则sin 3cos sin cos αααα-=+ 3、在复平面中，复数2(1)(3i i i++是虚数单位）对应的点在第 象限 4、函数()2sin 3f x x =+的最小正周期是5、已知函数()22(2)2x x f x f x x ⎧≥=⎨+<⎩，则2(log 3)f =6、已知()351log log 2014f x a a b x =++，若12015()20142014f =，则(2014)f =7、满足2arccos()arccos(2)x x >的实数x 的取值范围是 8、设n a是(1(2,3,4,)n n = 的展开式中x 的一次项的系数，若11(1)n n n n a b a +++=，则nb 的最小值是 9、若存在整数x 使221x x mx<成立，则实数m 的取值范围是10、某班班会准备从甲、乙等7名学生中选4名学生发言，要求甲、乙至少有一人参加，那么不同的发言顺序的种数为 （用数字作答）11、已知函数()2(0)f x x k x k k =-+->，若当34x ≤≤时，()f x 能取到最小值，则实数k 的取值范围是 12、已知数列{}n a 中，1112,1n n a a a +==-+，若k 是5的倍数，且2k a =，则k = 13、如果一个正整数能表示为连个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，则区间[]1,200内的所有“神秘数”之和为14、已知0m >，12m ≠，直线1:l y m =与函数2log y x =的图象从左至右相交于点,A B ，直线24:1l y m =+与函数2log y x =的图象从左至右相交于点,C D ，记线段AC 和BD 在x 轴上的投影程长度分别为,a b ，当m 变化时，ba的最小值是二、填空题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，Ian 高代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。