习 题 二
2-1 质量为m 的子弹以速率0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系； (2)子弹射入沙土的最大深度。
[解] 设任意时刻子弹的速度为v ，子弹进入沙土的最大深度为s ，由题意知，子弹所受的阻力 f = - kv
(1) 由牛顿第二定律 t
v
m
ma f
d d == 即 t
v m kv d d ==-
所以 t m
k
v
v d d -=
对等式两边积分 ⎰⎰-=t
v
v
t m k v v 0d d 0 得 t m
k
v v -=0ln
因此 t m k
e
v v -=0
(2) 由牛顿第二定律 x
v
mv t x x v m t v m
ma f
d d d d d d d d ==== 即 x
v mv kv d d =-
所以 v x m
k
d d =- 对上式两边积分 ⎰⎰=-
00
0d d v s
v x m k
得到 0v s m
k
-=-
即 k
mv s 0
=
2-2 质量为m 的小球，在水中受到的浮力为
F ，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f ＝kv (k 为常数)。若从沉降开始计时，试证明小
球在水中竖直沉降的速率v 与时间的关系为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=
-m kt
e k
F mg v 1 [证明] 任意时刻t 小球的受力如图所示，取向下为y 轴的正方向，开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得
t
v m
ma f F mg d d ==-- 即 t
v m ma kv F mg d d ==--
整理得
m
t
kv F mg v d d =--
对上式两边积分 ⎰⎰=--t v
m
t kv F mg v
00
d d
得 m
kt
F mg kv F mg -=---ln
即 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=-m kt
e k
F
mg v 1
2-3 跳伞运动员与装备的质量共为m ，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即2kv F =。求跳伞员的运动速率v 随时间t 变化的规律和极限速率T v 。
[解] 设运动员在任一时刻的速率为v ，极限速率为T v ，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。
此时 2
T kv mg =
即 k
mg
v =
T
有牛顿第二定律 t
v m kv mg d d 2=-
整理得
m
t
kv mg v d d 2=-
对上式两边积分 mgk
m t kv mg v t v
21d d 00
2⎰⎰=- 得 m
t
v
k mg v k mg =
+-ln
整理得 T 22221
111v e
e
k mg e
e v kg
m t kg m t
kg
m t kg m t +-=+-=
2-4 一人造地球卫星质量m =1327kg ，在离地面61085.1⨯=h m 的高空中环绕地球作匀速率圆周运动。求：(1)卫星所受向心力f 的大小；(2)卫星的速率v ；(3)卫星的转动周期T 。
[解] 卫星所受的向心力即是卫星和地球之间的引力
()
2
e h R m
M G
f +=地
2
e R M G
g 地=
由
上面两
式得
()
()
()
N 1082.710
85.110
63781063788.9132732
63
2
32
e 2
e ⨯=⨯+⨯⨯⨯
⨯=+=h R R mg
f
(2) 由牛顿第二定律
h
R v m f +=e 2
()()
s m 1096.61327
1085.11063781082.736
33e ⨯=⨯+⨯⨯⨯=+=
m h R f v (3) 卫星的运转周期
()()
2h3min50s s 1043.710
96.61085.1106378223
3
63e =⨯=⨯⨯+⨯=+=ππv h R T 2-5 试求赤道上方的地球同步卫星距地面的高度。
[解] 设同步卫距地面高度为h ，距地心为R +h ，则
22ωmr r Mm
G
= mg R
Mm
G =2 所以 2gR GM
=
代入第一式中 3
12
2
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=ωgR r s rad 1027.73600
2425-⨯=⨯=
π
ω
解得 m r 71022.4⨯=
m 1058.31037.61022.4467⨯=⨯-⨯=-=R r h
2-6 两个质量都是m 的星球，保持在同一圆形轨道上运行，轨道圆心位置上及轨道附近都没有其它星球。已知轨道半径为R ，求：(1)每个星球所受到的合力；(2)每个星球的运行周期。
[解] 因为两个星球在同一轨道上作圆周运动，因此，他们受到的合力必须指向圆形轨道的圆心，又因星球不受其他星球的作用，因此，只有这两个星球间的万有引力提供向心力。所以两个星球必须分布在直径的两个端点上，且其运行的速度周期均相同
(1)每个星球所受的合力
()2
2
2
2142R m G R mm
G
F F ===
