大学物理学 质点动力学

大学物理第2章质点动力学习题解答-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第2章 质点动力学习题解答2-17 质量为2kg 的质点的运动学方程为 j t t i t r ˆ)133(ˆ)16(22+++-= （单位：米，秒）， 求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。

解：∵j i dt r d a ˆ6ˆ12/22+== , j i a m F ˆ12ˆ24+== 为一与时间无关的恒矢量，∴质点受恒力而运动。

F=(242+122)1/2=125N ，力与x 轴之间夹角为：'34265.0/︒===arctg F arctgF x y α2-18 质量为m 的质点在o-xy 平面内运动，质点的运动学方程为：j t b i t a r ˆsin ˆcos ωω+= ，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。

证明：∵r j t b it a dt r d a 2222)ˆsin ˆcos (/ωωωω-=+-== r m a m F2ω-==, ∴作用于质点的合力总指向原点。

2-19在图示的装置中两物体的质量各为m 1,m 2，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为μ，求在力F 的作用下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可伸长。

解：以地为参考系，隔离m 1,m 2，受力及运动情况如图示，其中：f 1=μN 1=μm 1g ，f 2=μN 2=μ(N 1+m 2g)=μ(m 1+m 2)g. 在水平方向对两个质点应用牛二定律：②①a m T g m m g m F a m g m T 221111)(=-+--=-μμμ①+②可求得：g m m gm F a μμ-+-=2112将a 代入①中，可求得：2111)2(m m g m F m T +-=μf 1N 1m 1TaFN 2 m 2TaN 1 f 1 f 22-20天平左端挂一定滑轮，一轻绳跨过定滑轮，绳的两端分别系上质量为m 1,m 2的物体（m 1≠m 2）,天平右端的托盘上放有砝码. 问天平托盘和砝码共重若干，天平才能保持平衡？不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不伸长。

本章题头§2-1 牛顿运动定律英国物理学家, 经典物理学的奠基人.创立了经典力学的 基本体系光学，牛顿致力于光的颜色和光 的本性数学，建立了二项式定理，创立 了微积分牛顿 Issac Newton （1643－1727）天文学，发现了万有引力定律， 创制反射望远镜，初步观察到了 行星运动的规律。

一、牛顿第一定律 (Newton first law)惯性定律 任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态， 直到受到力的作用迫使它改变这种状态为止。

意义惯性以及力的概念 1、定义了物体（质点）的惯性；2、说明了力是物体运动状态改变的原因定义了惯性参考系二、牛顿第二定律 (Newton second law)质点加速度的大小与所受合力的大小成正比 , 与质点自身的质量成反比; 加速度方向与合力方向相同。

牛顿第二定律的数学形式为 Fma 原始形式：F dPd mv dmvm dvdtdtdtdt当 v c 时，m 为常量 Fm dvmadt宏观低速运动时1、瞬时性： 之间一一对应（同生、同向、同变、同灭） n 2、力的叠加性：F F1 F2 Fi Fii =13、矢量性：具体运算时应写成分量式直角坐标系中： Fma maximay jmaz k Fxmaxmdv x dt Fyma ymdv y dt Fzmazmdvz dt 自然坐标系中： Fmam at anF mdv dtFnmv24、说明了质量是物体惯性的量度5、在一般情况下力， F是一个变力常见的几中变力形式：F F x kx常见的几中变力形式：F F t F F v kv弹性力 打击力 阻尼力6、适用对象:质点 7、成立的参考系：惯性系 8、成立的条件：宏观低速10＇T 三、牛顿第三定律(Newton third law)物体A 以力F AB 作用于物体B 时, 物体B 也必定同时以力F BA 作用于物体A , F AB 与F BA 大小相等, 方向相反, 并处于同一条直线上,（物体间相互作用规律）mmT P ＇P 地球F AB = F BA作用力与反作用力：1、它们总是成对出现。

第2章质点动力学2.1 牛顿运动定律一、牛顿第一定律任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体所作用的力迫使它改 变这种状态为止。

二、牛顿第二定律物体所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比, 方向与合外力的方向相同。

表示为f ma说明:⑵在直角坐标系中，牛顿方程可写成分量式f x ma *， f y ma y ， f z ma z 。

⑶ 在圆周运动中，牛顿方程沿切向和法向的分量式f t ma t f n ma n⑷ 动量：物体质量m 与运动速度v 的乘积，用p 表示。

p mv动量是矢量，方向与速度方向相同。

由于质量是衡量，引入动量后，牛顿方程可写成dv m 一 dt 当 f 0时，r 0，dp 常量，即物体的动量大小和方向均不改变。

此结 论成为质点动量守恒定律三、 牛顿第三定律：物体间的作用力和反作用力大小相等，方向相反，且在同 一直线上。

物体同时受几个力f i ,f 2f n 的作用时，合力f 等于这些力的矢量和f n力的叠加原理d pdtf ma说明：作用力和反作用力是属于同一性质的力。

四、国际单位制量纲基本量与基本单位导出量与导出单位五、常见的力力是物体之间的相互作用。

力的基本类型：引力相互作用、电磁相互作用和核力相互作用。

按力的性质来分，常见的力可分为引力、弹性力和摩擦力。

六、牛顿运动定律的应用用牛顿运动定律解题时一般可分为以下几个步骤：隔离物体，受力分析。

建立坐标，列方程。

求解方程。

当力是变力时，用牛顿第二定律得微分方程形式求解。

例题例2-1如下图所示，在倾角为30°的光滑斜面（固定于水平面）上有两物体通过滑轮相连，已知叶3kg, m2 2kg，且滑轮和绳子的质量可忽略，试求每一物体的加速度a及绳子的张力F T（重力加速度g取9.80m • s 2）。

解分别取叶和m2为研究对象，受力分析如上图。

利用牛顿第二定律列方程:「m2g F TYL F T m1gsi n30o m1a绳子张力F T F T代入数据解方程组得加速度a 0.98m • s 2，张力F T 17.64N。

第2章 质点动力学一、基本要求1．理解冲量、动量，功和能等基本概念；2．会用微积分方法计算变力做功，理解保守力作功的特点；3．掌握运用动量守恒定律和机械能守恒定律分析简单系统在平面内运动的力学问题的思想和方法.二、基本内容（一）本章重点和难点：重点：动量守恒定律和能量守恒定律的条件审核、综合性力学问题的分析求解。

难点:微积分方法求解变力做功. （二）知识网络结构图:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧公式只有保守内力做功条件能量守恒定律公式合外力为条件动量守恒定律守恒定律动能定理动量定理基本定理能功冲量动量基本物理量)()0(（三）容易混淆的概念： 1。

动量和冲量动量是质点的质量与速度的乘积;冲量是合外力随时间的累积效应，合外力的冲量等于动量增量。

2。

保守力和非保守力保守力是做功只与始末位置有关而与具体路径无关的力,沿闭合路径运动一周保守力做功为0;非保守力是做功与具体路径有关的力.(四)主要内容： 1．动量、冲量 动量：p mv = 冲量：⎰⋅=21t t dt F I2．动量定理:质点动量定理：⎰∆=-=⋅=2112t t v m P P dt F I质点系动量定理：dtPd F=3．动量守恒定律：当系统所受合外力为零时，即0=ex F时，或inex F F系统的总动量保持不变，即：∑===n i i i C v m P 14．变力做功：dr F r d F W BAB A⎰⎰=⋅=θcos （θ为)之间夹角与r d F直角坐标系中：)d d d ( z F y F x F W z y BAx ++=⎰5．动能定理：（1）质点动能定理：k1k221222121E E mv mv W -=-=(质点所受合外力做功等于质点动能增量。

）(2)质点系动能定理:∑∑==-=+ni n i E E W W1kio1ki inex(质点系所受外力做功和内力做功之和等于质点系动能增量。

课时安排：2课时教学目标：1. 理解质点动力学的基本概念，包括质点、力、加速度等；2. 掌握牛顿运动定律的应用，包括牛顿第一定律、第二定律和第三定律；3. 学会分析质点的受力情况，并能运用牛顿运动定律进行求解；4. 理解动量、冲量、角动量等概念，并能运用相关定律进行计算；5. 掌握功、功率、动能、势能等能量概念，并能运用能量守恒定律进行求解。

教学重点：1. 牛顿运动定律的应用；2. 动量定理和动量守恒定律；3. 角动量定理和角动量守恒定律；4. 功和能量守恒定律。

教学难点：1. 复杂受力情况下的牛顿运动定律应用；2. 动量定理和动量守恒定律的灵活运用；3. 角动量定理和角动量守恒定律的运用；4. 能量守恒定律在复杂情况下的应用。

教学准备：1. 多媒体课件；2. 质点动力学实验器材；3. 相关教材和参考书籍。

教学过程：第一课时一、导入1. 回顾质点运动学的基本概念，如位置、位移、速度、加速度等；2. 引入质点动力学，强调质点动力学在物理学中的重要性。

二、讲授新课1. 质点动力学的基本概念：- 质点：质量集中在一个点上的物体；- 力：使物体发生运动状态改变的原因；- 加速度：物体速度变化率。

2. 牛顿运动定律：- 牛顿第一定律：物体在没有外力作用下，将保持静止状态或匀速直线运动状态；- 牛顿第二定律：物体所受外力与加速度成正比，与质量成反比；- 牛顿第三定律：作用力与反作用力大小相等、方向相反。

3. 动量定理和动量守恒定律：- 动量定理：物体所受冲量等于物体动量的变化；- 动量守恒定律：在没有外力作用下，系统的总动量保持不变。

三、课堂练习1. 分析质点受力情况，运用牛顿运动定律求解；2. 计算动量变化和冲量。

第二课时一、复习1. 复习上一节课所学内容，强调重点和难点；2. 对课堂练习进行讲解和答疑。

二、讲授新课1. 角动量定理和角动量守恒定律：- 角动量定理：物体所受合外力矩等于物体角动量的变化率；- 角动量守恒定律：在没有外力矩作用下，系统的总角动量保持不变。

第二章 质点动力学2－1一物体从一倾角为30︒的斜面底部以初速v 0=10m·s -1向斜面上方冲去，到最高点后又沿斜面滑下，当滑到底部时速率v =7m·s -1,求该物体与斜面间的摩擦系数。

解：物体与斜面间的摩擦力f ＝uN ＝umgcos30︒物体向斜面上方冲去又回到斜面底部的过程由动能定理得220112(1)22mv mv f s -=-⋅物体向斜面上方冲到最高点的过程由动能定理得2010sin 302mv f s mgh f s mgs -=-⋅-=-⋅-2(2)s ∴=把式（2）代入式（1）得，220.198u =2－2如本题图，一质量为m 的小球最初位于光滑圆形凹槽的A 点，然后沿圆弧ADCB 下滑，试求小球在C 点时的角速度和对圆弧表面的作用力，圆弧半径为r 。

解：小球在运动的过程中受到重力G 和轨道对它的支持力T.取如图所示的自然坐标系，由牛顿定律得22sin (1)cos (2)t n dv F mg mdtv F T mg m Rαα=-==-=由,,1ds rd rd v dt dt dt vαα===得代入式（）， A 并根据小球从点运动到点C 始末条件进行积分有，902n (sin )m cos 3cos '3cos ,e v vdv rg d v vrv mg mg rmg αααωααα=-===+==-=-⎰⎰得则小球在点C 的角速度为＝由式（2）得 T 由此可得小球对园轨道得作用力为T T 方向与反向2－3如本题图，一倾角为θ 的斜面置于光滑桌面上，斜面上放一质量为m 的木块，两习题2－2图者间摩擦系数为μ，为使木块相对斜面静止，求斜面的加速度a 应满足的条件。

解：如图所示()1212min max sin ,cos cos sin (1)sin cos 2(1)(2)(sin cos )(cos sin )(sin cos )()(cos sin )1(2)(1)(sin cos )(cos sin )(sin cos a a a a N mg ma ma mg uN m a ma u g u a u g u g tg u a u utg u g u a u g u a θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ==∴-==±==⨯+-=+--∴==++-⨯+=-+∴=得，得，)()(cos sin )1()()11g tg u u utg g tg u g tg u a utg utg θθθθθθθθθ+=---+∴≤≤+- 2－4如本题图，A 、B 两物体质量均为m ，用质量不计的滑轮和细绳连接，并不计摩擦，则A 和B 的加速度大小各为多少 。

第2章 质点和质点系动力学（复习指南）一、基本要求掌握牛顿三定律及其适用条件，牛顿第二定律的微分形式和惯性系的概念；掌握万有引力（含重力）、弹性力、摩擦力的相关公式，能用微积分方法求解一维变力作用下的质点动力学问题.掌握功的概念和直线运动情况下变力做功的计算方法；掌握势能的概念，会计算重力、弹性力势能；理解保守力做功的特点.二、基本内容1．力、常见力力是物体间的相互作用.力是物体改变运动状态的原因. 常见力有万有引力、重力、弹性力、摩擦力. （1）万有引力、重力万有引力指存在于任何两个物质（质点）之间的吸引力.其数学表达式为r e rm m G F221 2211kg m N 1067.6 G引力的特点为：方向已知，大小与质点间的距离的平方成反比.重力为地球表面附近物体受地球的引力（忽略地球自转的影响）.重力的特点为：大小已知，方向竖直向下指向地心.g m P 222EE kg m N 80.9 R Gmg（2）弹性力发生形变的物体，由于要恢复形变而对与它接触的物体产生的力叫弹力.弹力的表现形式有很多种，常见的有正压力、绳中张力、绳对物体的拉力、弹簧的弹力等.弹性力的特点为：方向已知，大小与运动状态有关.弹簧弹力：kx F ，x 为弹簧伸长量，弹力方向指向弹簧原长位置. （3）摩擦力两物体沿相互接触面方向有相对滑动或相对运动趋势时作用于接触面上阻碍物体相对运动的力为摩擦力，摩擦力分滑动摩擦力和静摩擦力.滑动摩擦力在相对滑动的速度不是太大或太小时，其大小与滑动速度无关，而和正压力N成正比，N f，f 的方向与相对滑动方向相反.静摩擦力为变力，其值介于0和最大静摩擦力之间，即max 000f f最大静摩擦力指两个有接触面的物体，沿接触面方向即将产生相对滑动时，通过接触面作用于两物体的摩擦力.在此以前两物体间的相互作用静摩擦力大小可以变化.对物体受力分析的顺序为：重力、弹力、摩擦力.在常见力分析中要特别注意静摩擦力. 2．惯性参考系（惯性系）惯性参考系就是用牛顿第一定律定义的参考系.牛顿定律只有在惯性参考系中才成立.惯性参考系有一个重要性质：相对于惯性参考系作匀速直线运动的任何其它参考系也一定是惯性参考系. 3．基本规律 ﹙1﹚牛顿第一定律第一定律明确了力是改变物体运动状态的原因，并反映出物体有保持原来运动状态不变的特性——惯性，第一定律定义了惯性系.﹙2﹚牛顿第二定律第二定律定量描述了外力作用与所产生的效果的关系，即力的作用与物体状态变化的定量关系.对第二定律应用需注意：①适用于惯性系.②适用于质点.③合外力与物体产生的加速度之间为一瞬时关系，合外力沿加速度方向.④第二定律为一矢量式，应用时常在坐标系中分解.在直角坐标系中有：z iz y iy x x ma F ma F ma F i ，，﹙3﹚牛顿第三定律牛顿第三定律指出力是物体间的相互作用.物体间有相互作用便存在相互作用力.应用第三定律需注意：①作用力，反作用力分别作用在相互作用的物体上，不是平衡力.②作用力、反作用力一定属于同种性质的力，同时产生，同时消失.③不论相互作用的两物体是运动还是静止，第三定律总成立. 4．功功是力的空间累积量：r F Wd d .功等于力和力的作用点位移的点积.功是标量，是一个代数量.当力的作用点没有位移或力与其作用点的位移相互垂直时，此力不做功.保守力做功只取决于相互作用质点的始末相对位置，而与各质点的运动路径无关.非保守力做功与路径有关. 5．势能物体间存在保守力相互作用才能引入相关势能.如地球对地面附近物体间存在重力作用，重力为保守力，引入重力势能.因为势能与物体间相对位置相关，所以，一方面势能属于存在保守力相互作用的系统，另一方面物体的位置描述是相对的，所以势能具有相对性.只有选定势能零点后，系统才有确定的势能值.例如一质量为m 的质点处于地面上h 高度，在没明确势能零点前不能确定m 和地球系统的势能大小，而且重力势能可正、可负、可以为零.但任意两个状态之间系统的势能差是确定的，与势能零点选取无关.势能是状态函数.在讨论涉及势能的功能问题时，必须：①选系统.②选势能零点[弹力势能（原长位置）、万有引力（无穷远）势能零点是确定的].③确定并描述初末状态的能量状态.弹簧弹性势能2k 21kx E ，k 为弹簧倔强系数，x 为相对原长位置（势能零点）的位移.三、例题详解2-1、质量为m 的子弹以速度0v 竖直射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为K ，忽略子弹的重力，求：子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式．解：取竖直向下为y 轴正向．子弹进入沙土后受力为v K ，由牛顿定律t mK d d v v ∴vvd d t m K ， v v v v 0d d 0t t m K ∴m Kt /0e v v2-2、物体沿x 轴作直线运动，所受合外力2610x F （SI ）．试求该物体运动到m 4 x 处时外力做作的功解：J 168210d )610(d 3424x x x x x F W2-3、一人从10m 深的井中提水．起始时桶中装有10kg 的水，桶的质量为1kg ，由于水桶漏水，每升高1m 要漏去的水．求水桶匀速地从井中提到井口，人所做的功．解：选竖直向上为坐标y 轴的正方向，井中水面处为原点． 由题意知，人匀速提水，所以人所用的拉力F 等于水桶的重量 即：y gy mg ky P P F 96.18.1072.00 （SI ）人的拉力所做的功为：J 980d )96.18.107(d d 10y y y F W W H2-4、一个弹簧下端挂质量为0.1kg 的砝码时长度为0.07m ，挂0.2kg 的砝码时长度为．现在把此弹簧平放在光滑桌面上，并要沿水平方向从长度m 10.01 l 缓慢拉长到m 14.02 l ，外力需做功多少解：设弹簧的原长为0l ，弹簧的劲度系数为k ，根据胡克定律： )(0.071.00l k g ，)(0.092.00l k g 解得：m 05.00 l ，N/m 49 k拉力所做的功等于弹性势能的增量：J 14.0)(21)(21201202p1p2l l k l l k E E W 四、习题精选2-1、一质点在力)25(5t m F （SI ）的作用下，0 t 时从静止开始作直线运动，式中m 为质点的质量，t 为时间，则当s 5 t 时，质点的速率为（提示：变加速度运动，牛II 定律分离变量积分tmF d d v ） （A ）50m·s -1． （B ）25m·s -1． （C ）0． （D ）-50m·s -1．［ ］2-2、已知水星的半径是地球半径的倍，质量为地球的倍．设在地球上的重力加速度为g ，则水星表面上的重力加速度为：（提示：2EER GM g） ［ ］ （A ）g 1.0 （B ）g 25.0 （C ）g 5.2 （D ）g 42-3、质量分别为1m 和2m 的两滑块A 和B 通过一轻弹簧水平连接后置于水平桌面上，滑块与桌面间的摩擦系数均为 ，系统在水平拉力F 作用下匀速运动，如图所示．如突然撤消拉力，则刚撤消后瞬间，二者的加速度A a 和B a 分别为（提示：注意加速度的瞬时性）［ ］（A ）0B A a a （B ）0A a ，0B a （C ）0A a ，0B a （D ）0A a ，0B a2-4、如图所示，质量为m 的物体用细绳水平拉住，静止在倾角为 的固定的光滑斜面上，则斜面给物体的支持力为（提示：画受力分析图）［ ］（A ） cos mg . （B ） sin mg . （C ）cos mg . （D ）sin mg. 2-5、一物体挂在一弹簧下面，平衡位置在O 点，现用手向下拉物体，第一次把物体由O 点拉到M 点，第二次由O 点拉到N 点，再由N 点送回M 点．则在这两个过程中（A ）弹性力做的功相等，重力做的功不相等． （B ）弹性力做的功相等，重力做的功也相等． （C ）弹性力做的功不相等，重力做的功相等． （D ）弹性力做的功不相等，重力做的功也不相等．（提示：弹力和重力都是保守力，做功只与始末位置有关，与路径无关）[ ］2-6、沿水平方向的外力F 将物体A 压在竖直墙上，由于物体与墙之间有摩擦力，此时物体保持静止，并设其所受静摩擦力为0f ，若外力增至F 2，则此时物体所受静摩擦力为_________．（提示：静摩擦力是变力，大小从受力平衡角度分析）2-7、如果一个箱子与货车底板之间的静摩擦系数为0 ，当这货车爬一与水平方向成 角的平缓山坡时，要不使箱子在车底板上滑动，车的最大加速度max a ＝______________________．（提示：以箱子为对象受力分析，最大加速度时摩擦力方向应沿斜面向上） 2-8、如图，在光滑水平桌面上，有两个物体A 和B 紧靠在一起．它们的质量分别为kg 2 A m ，kg 1 B m ．今用一水平力N 3 F 推物体B ，则B 推A 的力等于_____．如用同样大小的水平力从右边推A ，则A 推B 的力等于__________．（提示：先整体，后部分，分析受力和加速度）2-9、质量kg 1 m 的物体，在坐标原点处从静止出发在水平面内沿x 轴运动，其所受合力方向与运动方向相同，合力大小为x F 23 （SI ），那么，物体在开始运动的3m 内，合力所做的功W ＝_______．（提示：变力做功，用元功定义，再积分）2-10、设作用在质量为1kg 的物体上的力36 t F （SI ）．如果物体在这一力的作用下，由静止开始沿直线运动，求：在0到的时间间隔内，这个力对物体做功的大小__________．（提示：力是时间函数，参考教学例题，t F x F W d d d v ，v d d m t F ）。