江苏省南通市通州区金沙中学2020-2021学年高二上学期10月阶段测试数学试题

2020-2021学年江苏省南通中学高二（上）期中数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的第3项为（）A.8B.16C.18D.272.（单选题，5分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.（单选题，5分）不等式x+12x−1≤0的解集为（）A.[-1，12）B.[-1，12]C.（-∞，-1]∪（12，+∞）D.（-∞，-1]∪[ 12，+∞）4.（单选题，5分）已知椭圆的准线方程为x=±4，离心率为12，则椭圆的标准方程为（）A. x22+y2=1B.x2+ y22=1C. x24+y23=1D. x23+y24=15.（单选题，5分）数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n-1，则a10=（）A.511B.513C.1025D.10246.（单选题，5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小一份为（）A. 53B. 103C. 56D. 1167.（单选题，5分）椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，P为椭圆C上的动点，若a= √2 b，满足∠F1PF2=90°的点P有（）个A.2个B.4个C.0个D.1个8.（单选题，5分）正数a，b满足9a+b=ab，若不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A.[3，+∞）B.（-∞，3]C.（-∞，6]D.[6，+∞）9.（多选题，5分）若实数a＞0，b＞0，a•b=1，若下列选项的不等式中，正确的是（）A.a+b≥2B. √a+√b≥2C.a2+b2≥2D. 1a +1b≤210.（多选题，5分）对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（）A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件B.“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件C.“a＜5”是“a＜3”的必要条件D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件11.（多选题，5分）设椭圆x29+y23=1的右焦点为F，直线y=m（0＜m＜√3）与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是（）A.AF+BF为定值B.△ABF的周长的取值范围是[6，12]C.当m= √2时，△ABF 为直角三角形D.当m=1时，△ABF 的面积为√612.（多选题，5分）已知数列{a n}，{b n}均为递增数列，{a n}的前n项和为S n，{b n}的前n项和为T n．且满足a n+a n+1=2n，b n•b n+1=2n（n∈N*），则下列说法正确的有（）A.0＜a1＜1B.1＜b1＜√2C.S2n＜T2nD.S2n≥T2n13.（填空题，5分）命题“∀x∈R，ax+b≤0”的否定是___ ．14.（填空题，5分）不等式x2-kx+1＞0对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是___ ．15.（填空题，5分）椭圆x25+y2m=1的离心率为√105，则实数m的值为___ ．16.（填空题，5分）对于数列{a n}，定义A n= a1+2a2+⋯+2n−1a nn为数列{a n}的“好数”，已知某数列{a n}的“好数”A n=2n+1，记数列{a n-kn}的前n项和为S n，若S n≤S7对任意的n∈N*恒成立，则实数k的取值范围是___ ．17.（问答题，10分）求适合下列条件的椭圆标准方程：（1）与椭圆x 22 +y2=1有相同的焦点，且经过点（1，32）；（2）经过A（2，- √22），B（- √2，- √32）两点．18.（问答题，12分）已知等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=2n+a n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．19.（问答题，12分）已知函数f（x）=ax2+bx-a+2．（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．20.（问答题，12分）某工厂年初用98万元购买一台新设备，第一年设备维修及燃料、动力消耗（称为设备的低劣化）的总费用12万元，以后每年都增加4万元，新设备每年可给工厂收益50万元．（Ⅰ）工厂第几年开始获利？（Ⅱ）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：① 年平均获利最大时，以26万元出售该设备；② 总纯收入获利最大时，以8万元出售该设备，问哪种方案对工厂合算？21.（问答题，12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且短轴的两个端点与右焦点是一个等边三角形的三个顶点，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆的右焦点F作直线l，与椭圆相交于A，B两点，求△OAB面积的最大值，并求此时直线l的方程．22.（问答题，12分）已知各项均为正数的两个数列{a n}，{b n}满足a n+12-1=a n2+2a n，2a n=log2b n+log2b n+1+1，且a1=b1=1．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，求使得等式2S m+a m-36=T i成立的有序数对（m，i）（m，i∈N*）．2020-2021学年江苏省南通中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的第3项为（）A.8B.16C.18D.27【正确答案】：C【解析】：由已知利用等比数列的通项公式即可求解．【解答】：解：若等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则它的通项a n=a1•q n-1，由已知可得：a1=2，q=3，则它的通项a3=a1•q2=2×32=18．故选：C．【点评】：本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，若等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则它的通项a n=a1•q n-1，属于基础题．2.（单选题，5分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：解得a的范围，即可判断出结论．【解答】：解：由a2＞a，解得a＜0或a＞1，故a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件，故选：A．【点评】：本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.（单选题，5分）不等式x+12x−1≤0的解集为（）A.[-1，12）B.[-1，12]C.（-∞，-1]∪（12，+∞）D.（-∞，-1]∪[ 12，+∞）【正确答案】：A【解析】：根据题意，分析可得原不等式等价于（x+1）（2x-1）≤0且（2x-1）≠0，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】：解：根据题意，原不等式等价于（x+1）（2x-1）≤0且（2x-1）≠0，解可得：-1≤x＜12，及原不等式的解集为[-1，12）；故选：A．【点评】：本题考查分式不等式的解法，关键是将分式不等式变形为整式不等式．4.（单选题，5分）已知椭圆的准线方程为x=±4，离心率为12，则椭圆的标准方程为（）A. x22+y2=1B.x2+ y22=1C. x24+y23=1D. x23+y24=1【正确答案】：C【解析】：由椭圆的准线方程可知椭圆的焦点在x轴上，再由已知列关于a，b，c的方程组，求得a2与b2的值，则椭圆标准方程可求．【解答】：解：由椭圆的准线方程为x=±4，可知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程为x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0），由 { a 2c =4c a =12a 2=b 2+c 2 ，解得a 2=4，b 2=3，c 2=1．∴椭圆的标准方程为 x 24+y 23 =1． 故选：C ．【点评】：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆标准方程的求法，是基础题．5.（单选题，5分）数列{a n }中，a 1=2，a n+1=2a n -1，则a 10=（ ）A.511B.513C.1025D.1024【正确答案】：B【解析】：直接利用构造法的应用，整理出数列{a n -1}是等比数列，进一步求出数列的通项公式，最后求出结果．【解答】：解：数列{a n }中，a 1=2，a n+1=2a n -1，所以a n+1-1=2（a n -1），所以 a n+1−1a n −1=2 （常数），所以数列{a n -1}是以a 1-1=1为首项，2为公比的等比数列．所以 a n −1=2n−1 ，所以 a n =2n−1+1 ．所以 a 10=29+1=513 ．故选：B ．【点评】：本题考查的知识要点：数列的递推关系式，构造法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．6.（单选题，5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 17 是较小的两份之和，问最小一份为（ ）A. 53B. 103C. 56D. 116【正确答案】：A【解析】：设五个人所分得的面包为a-2d ，a-d ，a ，a+d ，a+2d ，（d ＞0）；则由五个人的面包和为100，得a 的值；由较大的三份之和的 17 是较小的两份之和，得d 的值；从而得最小的一份a-2d 的值．【解答】：解：设五个人所分得的面包为a-2d ，a-d ，a ，a+d ，a+2d ，（其中d ＞0）； 则，（a-2d ）+（a-d ）+a+（a+d ）+（a+2d ）=5a=100，∴a=20；由 17 （a+a+d+a+2d ）=a-2d+a-d ，得3a+3d=7（2a-3d ）；∴24d=11a ，∴d=55/6； 所以，最小的1分为a-2d=20-1106 = 53 ． 故选：A ．【点评】：本题考查了等差数列模型的实际应用，解题时应巧设数列的中间项，从而容易得出结果．7.（单选题，5分）椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1和F 2，P 为椭圆C 上的动点，若a= √2 b ，满足∠F 1PF 2=90°的点P 有（ ）个A.2个B.4个C.0个D.1个【正确答案】：A【解析】：由题意画出图形，由a= √2 b ，结合隐含条件可得b=c ，再由∠F 1PF 2=90°，可得P 为短轴的两个端点，则答案可求．【解答】：解：设椭圆的半焦距为c ，当a= √2 b 时，则 c =√a 2−b 2=√b 2=b ，如图，连接PO ，若∠F 1PF 2=90°，则|PO|=|OF 1|=b ，此时P 点在短轴的上下端点，即符合条件的P 有2个．故选：A ．【点评】：本题考查椭圆的几何性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．8.（单选题，5分）正数a，b满足9a+b=ab，若不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A.[3，+∞）B.（-∞，3]C.（-∞，6]D.[6，+∞）【正确答案】：A【解析】：求出a+b=（a+b）（1a + 9b）=10+ ba+ 9ab≥10+6=16（当且仅当b=3a时取等号），问题转化为m≥-x2+2x+2对任意实数x恒成立，运用二次函数的最值求法和恒成立思想，即可求出实数m的取值范围．【解答】：解：∵正数a，b满足1a + 9b=1，∴a+b=（a+b）（1a + 9b）=10+ ba+ 9ab≥10+2 √ba•9ab=10+6=16（当且仅当b=3a时取等号）．由不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立，可得-x2+2x+18-m≤16对任意实数x恒成立，即m≥-x2+2x+2对任意实数x恒成立，即m≥-（x-1）2+3对任意实数x恒成立，∵-（x-1）2+3的最大值为3，∴m≥3，故选：A．【点评】：本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用基本不等式和二次函数的最值求法，考查化简运算能力，属于中档题．9.（多选题，5分）若实数a＞0，b＞0，a•b=1，若下列选项的不等式中，正确的是（）A.a+b≥2B. √a+√b≥2C.a2+b2≥2D. 1a +1b≤2【正确答案】：ABC【解析】：直接利用不等式的性质和均值不等式的应用判定A、B、C、D的结论．【解答】：解：实数a＞0，b＞0，a•b=1，则对于A：a+b≥2√ab=2，成立，故A正确；对于B：√a+√b≥2√√a•√b=2成立，故B正确；对于C：a2+b2≥2ab=2成立，故C正确；对于D：1a +1b≥2√1ab=2成立，故D不正确．故选：ABC．【点评】：本题考查的知识要点：不等式的性质和均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．10.（多选题，5分）对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（）A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件B.“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件C.“a＜5”是“a＜3”的必要条件D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件【正确答案】：CD【解析】：由题意逐一考查所给的命题是否成立即可．【解答】：解：逐一考查所给的选项：取a=2，b=3，c=0，满足ac=bc，但是不满足a=b，选项A错误，取a=2，b=-3，满足a＞b，但是不满足a2＞b2，选项B错误，“a＜5”是“a＜3”的必要条件，选项C正确，“a+5是无理数”，则“a是无理数”，选项D正确，故选：CD．【点评】：本题主要考查不等式的性质，等式的性质，命题真假的判定等知识，属于中等题．11.（多选题，5分）设椭圆x29+y23=1的右焦点为F，直线y=m（0＜m＜√3）与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是（）A.AF+BF为定值B.△ABF的周长的取值范围是[6，12]C.当m= √2时，△ABF 为直角三角形D.当m=1时，△ABF 的面积为√6【正确答案】：AD【解析】：利用椭圆的性质以及定义，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积公式，逐一分析四个选项得答案．【解答】：解：设椭圆的左焦点为F'，则AF'=BF，可得AF+BF=AF+AF'为定值6，故A正确；△ABF的周长为AB+AF+BF，∵|AF+BF为定值6，可知AB的范围是（0，6），∴△ABF的周长的范围是（6，12），故B错误；将y= √2与椭圆方程联立，可解得A（−√3，√2），B（√3，√2），又知F（√6，0），如图，由图可知∠ABF为钝角，则△ABF为钝角三角形，故C错误；将y=1与椭圆方程联立，解得A（−√6，1），B（√6，1），∴ S△ABF=12×2√6×1=√6，故D正确．故选：AD．【点评】：本题考查椭圆的性质，椭圆与直线的位置关系．考查分析问题解决问题的能力，是中档题．12.（多选题，5分）已知数列{a n}，{b n}均为递增数列，{a n}的前n项和为S n，{b n}的前n项和为T n．且满足a n+a n+1=2n，b n•b n+1=2n（n∈N*），则下列说法正确的有（）A.0＜a1＜1B.1＜b1＜√2C.S2n＜T2nD.S 2n ≥T 2n【正确答案】：ABC【解析】：利用代入法求出前几项的关系即可判断出a 1，b 1的取值范围，在求出其前2n 项和的表达式即可判断大小；【解答】：解：∵数列{a n }为递增数列；∴a 1＜a 2＜a 3；∵a n +a n+1=2n ，∴ {a 1+a 2=2a 2+a 3=4； ∴ {a 1+a 2＞2a 1a 2+a 3＞2a 2=4−4a 1∴0＜a 1＜1；故A 正确．∴S 2n =（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a 2n-1+a 2n ）=2+6+10+…+2（2n-1）=2n 2；∵数列{b n }为递增数列；∴b 1＜b 2＜b 3；∵b n •b n+1=2n∴ {b 1b 2=2b 2b 3=4； ∴ {b 2＞b 1b 3＞b 2； ∴1＜b 1＜ √2 ，故B 正确．∵T 2n =b 1+b 2+…+b 2n=（b 1+b 3+b 5+…+b 2n-1）+（b 2+b 4+…+b 2n ）= b 1•(1−2n )2+b 2(1−2n )2=(b 1+b 2)(2n −1)≥2√b 1b 2(2n −1)=2√2(2n −1) ；∴对于任意的n∈N*，S 2n ＜T 2n ；故C 正确，D 错误．故选：ABC ．【点评】：本题考查了数列的综合运用，考查学生的分析能力与计算能力．属于中档题．13.（填空题，5分）命题“∀x∈R ，ax+b≤0”的否定是___ ．【正确答案】：[1]∃x 0∈R ，ax 0+b ＞0【解析】：根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】：解：命题为全称命题，则命题“∀x∈R ，ax+b≤0”的否定是∃x 0∈R ，ax 0+b ＞0， 故答案为：∃x 0∈R ，ax 0+b ＞0．【点评】：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．14.（填空题，5分）不等式x 2-kx+1＞0对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-2，2）【解析】：设y=x 2-kx+1，将不等式恒成立的问题转化为函数y=x 2-kx+1图象始终在x 轴上方，进而根据判别式处理即可．【解答】：解：依题意，设y=x 2-kx+1，因为不等式x 2-kx+1＞0对任意实数x 都成立，所以△=k 2-4＜0，解得k∈（-2，2），故答案为：（-2，2）．【点评】：本题考查了二次函数的性质，二次函数与二次不等式的关系，考查分析解决问题的能力，属于基础题．15.（填空题，5分）椭圆 x 25+y 2m =1 的离心率为 √105 ，则实数m 的值为___ ． 【正确答案】：[1] 253或3【解析】：分当m ＞5和m ＜5时两种情况，根据e= c a 求得m ．【解答】：解：当m ＞5时，√m−5√m = √105 ，解得m= 253 ， 当m ＜5√5−m √5 = √105 解得m=3符合题意， 故答案为： 253或3【点评】：本题主要考查了椭圆的简单性质．要利用好椭圆标准方程中a ，b ，c 的关系．16.（填空题，5分）对于数列{a n }，定义A n = a 1+2a 2+⋯+2n−1a n n为数列{a n }的“好数”，已知某数列{a n }的“好数”A n =2n+1，记数列{a n -kn}的前n 项和为S n ，若S n ≤S 7对任意的n∈N *恒成立，则实数k 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] [94，167] 【解析】：先根据数列的递推式求出a n =2n+2，所以a n -kn=（2-k ）n+2，显然{a n -kn}是等差数列，所以{S n }中S 7最大，则数列{a n -kn}的第7项大于等于0，第八项小于等于0，列出不等式组，即可解得实数k 的取值范围．【解答】：解：由题意可知， a 1+2a 2+⋯…+2n−1a n =n •2n+1 ，则n≥2时， a 1+2a 2+⋯…+2n−2a n−1=(n −1)•2n ，两式相减得： 2n−1a n =n •2n+1−(n −1)•2n ，∴a n =2n+2，又∵A 1= a 11 =4，∴a 1=4，满足a n =2n+2，故a n =2n+2，∴a n -kn=（2-k ）n+2，显然{a n -kn}是等差数列，∵S n ≤S 7对任意的n∈N *恒成立，∴{S n }中S 7最大，则 {a 7−7k =7(2−k )+2≥0a 8−8k =8(2−k )+2≤0，解得： 94≤k ≤167 ， 故实数k 的取值范围是：[ 94 ， 167 ]．【点评】：本题主要考查了数列的递推式，以及等差数列的性质，是中档题．17.（问答题，10分）求适合下列条件的椭圆标准方程：（1）与椭圆 x 22 +y 2=1有相同的焦点，且经过点（1， 32 ）；（2）经过A （2，- √22 ），B （- √2 ，- √32 ）两点．【正确答案】：【解析】：（1）先求出已知椭圆的焦点坐标（±1，0），则可设出所求椭圆方程，代入已知点即可求解，（2）待定系数法设出椭圆方程，代入已知点即可求解．【解答】：解：（1）由已知椭圆方程可得焦点坐标为（±1，0），则可设所求的椭圆方程为： x 2m +y 2m−1=1(m ＞1) ，代入点（1， 32 ），解得m=4或 14 （舍），所以所求椭圆方程为： x 24+y 23=1 ，（2）设所求的椭圆方程为： x 2m +y 2n =1(m ＞0，n ＞0，m ≠n) ，代入已知两点可得：{4m +12n=12 m +34n=1，解得m=8，n=1，故所求的椭圆方程为：x 28+y2=1．【点评】：本题考查了椭圆的标准方程以及焦点相同和不确定的问题的椭圆方程的设法，属于基础题．18.（问答题，12分）已知等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=2n+a n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．【正确答案】：【解析】：（1）根据等差中项可得q=2，即可求出通项公式；（2）利用分组求和即可求出．【解答】：解：（1）设等比数列{a n}公比为q，则q≠0，∵a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项，∴2a2=a1+a3-1，即2q=1+q2-1，解得q=2，∴a n=2n-1；（2）b n=2n+a n=2n+2n-1；∴S n=2（1+2+3+…+n）+（20+21+22+…+2n-1）=n（n+1）+2n-1=n2+n+2n-1．【点评】：本题考查等比数列的通项公式和等差数列的性质，以及等差数列和等比数列的求和公式，考查了运算求解能力，属于基础题．19.（问答题，12分）已知函数f（x）=ax2+bx-a+2．（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意并结合一元二次不等式与一元二方程的关系，可得方程ax2+bx-a+2=0的两根分别为-1和3，由此建立关于a、b的方程组并解之，即可得到实数a、b的值；（2）不等式可化成（x+1）（ax-a+2）＞0，由此讨论-1与a−2a的大小关系，分3种情形加以讨论，即可得到所求不等式的解集．【解答】：解：（1）∵不等式f（x）＞0的解集是（-1，3）∴-1，3是方程ax2+bx-a+2=0的两根，∴可得{a−b−a+2=09a+3b−a+2=0，解之得{a=−1b=2------------（5分）（2）当b=2时，f（x）=ax2+2x-a+2=（x+1）（ax-a+2），∵a＞0，∴ (x+1)(ax−a+2)＞0⇔(x+1)(x−a−2a)＞0① 若−1=a−2a，即a=1，解集为{x|x≠-1}．② 若−1＞a−2a ，即0＜a＜1，解集为{x|x＜a−2a或x＞−1}．③ 若−1＜a−2a ，即a＞1，解集为{x|x＜−1或x＞a−2a}．------------（14分）【点评】：本题给出二次函数，讨论不等式不等式f（x）＞0的解集并求参数的值，着重考查了一元二次不等式的应用、一元二次不等式与一元二方程的关系等知识国，属于中档题．20.（问答题，12分）某工厂年初用98万元购买一台新设备，第一年设备维修及燃料、动力消耗（称为设备的低劣化）的总费用12万元，以后每年都增加4万元，新设备每年可给工厂收益50万元．（Ⅰ）工厂第几年开始获利？（Ⅱ）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：① 年平均获利最大时，以26万元出售该设备；② 总纯收入获利最大时，以8万元出售该设备，问哪种方案对工厂合算？【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列，第n年时累计的纯收入f （n）=50n-[12+16+…+（4n+8）]-98，获利为f（n）＞0，解得n的值，可得第几年开始获利；（Ⅱ）计算方案① 年平均获利最大时及总收益；方案② 总纯收入获利最大时及总收益；比较两种方案，总收益相等，第一种方案需7年，第二种方案需10年，应选择第一种方案．【解答】：解：（Ⅰ）由题设每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列，设第n年时累计的纯收入为f（n），则f（n）=50n-[12+16+…+（4n+8）]-98=40n-2n2-98，获利为：f（n）＞0，∴4n-2n2-98＞0，即n2-20n+49＜0，∴10- √51＜n＜10+ √51；又n∈N，∴n=3，4，5， (17)∴当n=3时，即第3年开始获利．（Ⅱ）① 年平均收入为：f(n)n =40−2(n+49n)≤40−4√n•49n=12（万元）即年平均收益最大时，总收益为：12×7+26=110（万元），此时n=7；② f（n）=-2（n-10）2+102，∴当n=10时，f（n）max=102；总收益为110万元，此时n=10；比较两种方案，总收益均为110万元，但第一种方案需7年，第二种方案需10年，故选择第一种方案．【点评】：本题考查了数列与函数的综合应用问题，也是方案设计的问题；解题时应细心分析，认真解答，以免出错．21.（问答题，12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且短轴的两个端点与右焦点是一个等边三角形的三个顶点，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆的右焦点F作直线l，与椭圆相交于A，B两点，求△OAB面积的最大值，并求此时直线l的方程．【正确答案】：【解析】：（1）由长轴长即等边三角形可得a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）设直线l 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，代入面积公式，由均值不等式的性质可得面积的最大值，及直线l 的方程．【解答】：解：（1）由题意可得2a=4，2b= √b 2+c 2 =a ，所以a=2，b=1，所以椭圆的方程为： x 24 +y 2=1；（2）由（1）可得右焦点F 2（ √3 ，0），显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x=my+ √3 ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线l 与椭圆的方程 {x =my +√3x 24+y 2=1 ，整理可得：（4+m 2）y 2+2 √3 my-1=0， 可得y 1+y 2= −2√3m 4+m 2 ，y 1y 2= −14+m 2 ，所以S △AOB = 12 |OF 2||y 1-y 2|= 12×√3 × √(y 1+y 2)2−4y 1y 2= √32 •√12m 2(4+m 2)2+44+m 2= √32 •4√1+m 24+m 2=2 √3 •√1+m 24+m 2 =2 √3 •√1+m 2+3√2 √3 • 2√1+m 2•3√2 =1， 当且仅当 √1+m 2 = √1+m 2 m= ±√2 ，时三角形的面积最大为1，所以面积的最大值为1，这时直线l 的方程为x= ±√2 y+ √3 ．【点评】：本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题．22.（问答题，12分）已知各项均为正数的两个数列{a n }，{b n }满足a n+12-1=a n 2+2a n ，2a n =log 2b n +log 2b n+1+1，且a 1=b 1=1．（1）求证：数列{a n }为等差数列；（2）求数列{b n }的通项公式；（3）设数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，求使得等式2S m +a m -36=T i 成立的有序数对（m ，i ）（m ，i∈N*）．【正确答案】：【解析】：（1）根据递推关系可得a n+12=（a n+1）2，从而得到数列{a n}为等差数列；（2）根据2a n=log2b n+log2b n+1+1，可知数列{b n}的奇数项和偶数项，进而整合即可得{b n}的通项公式．（3）分别求S n，T n，带入2S m+a m-36=T i成立，则存在s，t∈N*，使得2s=m+7，即2t=m-5，从而2s-2t=12，在证明s≥5不成立，从而得到s=4，m=9，i=6．【解答】：证明（1）：由a n+12-1=a n2+2a n，可得a n+12=a n2+2a n+1即a n+12=（a n+1）2，∵各项均为正数的两个数列{a n}，{b n}，可得a n+1=a n+1，即数列{a n}是首项为1，公差d=1的等差数列．解（2）：由（1）可得a n=n，∵2a n=log2b n+log2b n+1+1，可得b n b n+1=22n-1…… ①∴b n+1b n+2=22n+1…… ②将②①可得：b n+2b n=4．所以{b n}是奇数项和偶数项都成公比q=4的等比数列，由b1=1，b2=2，可得b2k-1=4k-1，b2k=2×4k-1，k∈N*，∴b n=2n-1．故得数列{b n}的通项公式为b n=2n-1．（3）由（1）和（2）可得S n= n(n+1)2，T n=2n-1；由2S m+a m-36=m（m+1）+m-36=2i-1，即（m-5）（m+7）=2i．则存在s，t∈N*，使得2s=m+7，即2t=m-5，从而2s-2t=12，若s≥5，则2s-2t-12≥20，∴t≥5，又∵s＞t，那么2s-2t≥2t+1-2t=2t≥32，可知与2s-2t=12相矛盾，可得s≤4，根据2s-2t=12，s，t∈N*，可得s=4，t=2，此时可得m=9，i=6．【点评】：本题考查了等差、等比数列的通项公式与前n项和公式的综合应用，考查了推理能力与计算能力，属于压轴题．。

2020-2021学年江苏省南通市通州区高二(上)期末数学复习卷2一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A ={−1,0，2}，B ={1,2，4}，则A ∩B =______．2. 写出命题“∃x ∈R ，使得x 2<0”的否定： .3. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2=−8x 的焦点坐标为______．4. 若实数x ，y 满足约束条件{x +y −1≥0x −3y +3≥0x ≤3，则z =2x −y 的最大值为______．5. 在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为x ±2y =0，则该双曲线的离心率为______ ．6. 在平行四边形ABCD 中，AD =1，∠BAD =60°，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BF ⃗⃗⃗⃗⃗ .若BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长为______．7. 已知直线x =−2交椭圆x 225+y 221=1于A 、B 两点，椭圆的右焦点为F ，则△ABF 的周长为______ ． 8. 若x >1，则2x +1x−1的最小值为___________________．9. 设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和为S n ，若a 4+a 10=0，2S 12=S 2+10，则d 的值为______．10. “a >4”是“f(x)=2x 3−3ax 2+6ax −1在R 上既有极大值又有极小值”的 条件.(从“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选择正确的一个填写)11. (1)设{a n }是等差数列，若a 4+a 5+a 6=21，则S 9=______．(2)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5=4，则log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2a 5=______．(3)若数列{a n }满足：a n −2a n+1+a n+2=1，a 1=1，a 2=1，则a 41=________ ．(4)两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n =n+32n+1，则a6b 6=______． 12. 定义在(0,+∞)上的可导函数f(x)满足xf′(x )<f (x )，且f(2)=0，则f(x)>0的解集为____________．13.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,−2)，点B(1,−1)，P为圆x2+y2=2上一动点，则PB的PA 最大值是____________．)−f(x)>0 14.已知f(x)为定义在(0,+∞)上的可导函数，且f(x)>xf′(x)恒成立，则不等式x2f(1x 的解集为__________．二、解答题（本大题共10小题，共130.0分）15.已知cosx=−3，x∈(0,π)5)的值；(Ⅰ)求cos(x−π4)的值．(Ⅱ)求sin(2x+π316.如图，在三棱锥P−ABC中，AB⊥PC，M是AB的中点，点D在PB上，MD//平面PAC，平面PAB⊥平面PMC，△CPM为锐角三角形，求证：(1)D是PB的中点；(2)平面ABC⊥平面PMC．17.某湿地公园围了一个半圆形荷花塘如图所示，为了提升荷花池的观赏性，现计划在池塘的中轴线OC上设计一个观景台D(点D与点O，C不重合)，其中AD，BD，CD段建设架空木栈道，已知AB=2km，设建设的架空木栈道的总长为ykm．(1)设∠DAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式，并写出θ的取值范围；(2)试确定观景台的位置，使三段木栈道的总长度最短．18.在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=4，直线l：4x+3y−20=0．A(45,35)为圆O内一点，弦MN过点A，过点O作MN的垂线交l于点P．(1)若MN//l，求△PMN的面积．(2)判断直线PM与圆O的位置关系，并证明．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√63，且过点(√6,0)．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)设直线l与y轴交于点N，点M(3,0)关于直线l的对称点P在椭圆C上，求|ON|的取值范围．20.已知函数f(x)=mx2−x−lnxm．(Ⅰ)求函数f(x)的极值；(Ⅱ)求证：存在x0，使得f(x0)<1．21.求下列函数的导数(1)y=(2x2+3)(3x−2)(2)y=lnxx+1−2 2x−1．22.设M(x,y)到定点F(√3,0)的距离和它到直线x=4√33距离的比是√32．(Ⅰ)求点M(x,y)的轨迹方程；(Ⅱ)O为坐标原点，斜率为k的直线过F点，且与点M的轨迹交于点A(x1,y1)，B(x2,y2)，若x1x2+ 4y1y2=0，求△AOB的面积．23.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=4，AB=2，点M是BC的中点．(1)求异面直线AC1与DM所成角的余弦值；(2)求直线AC1与平面ADM所成角的正弦值．24.求证：2n+1>n2+n+1，其中n∈N∗．。

2024-2025（上）十月份调研测试高二数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.3.本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.过原点且与直线210x y +-=垂直的直线方程为（）A.2y x =B.2y x =-C.12y x =D.12y x =-2.已知直线1:210l x ay +-=和直线2:(31)10l a x ay --+=，则“16a =”是“12l l ∥”的（）A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，且23OM OA = ，点N 为BC 中点，则MN等于（）A.111222a b c +-B.211322a b c -++C.221332a b c +-D.221332a b c +- 4.已知空间向量()1,2,0,(0,1,1),(2,3,)a b c m ==-= ，若,,a b c共面，则实数m =（）A.1B.2C.3D.45.直线l 按向量(3,1)a =-平移后得直线l '，则直线l 与l '之间的距离的最大值为（）A.1B.3C.D.106.已知两点(1,3)A -，(2,1)B -，若沿y 轴将坐标平面折成直二面角，则折叠后A ，B 两点间的距离是（）A.3B.5C.D.7.在棱长均为1的三棱柱111ABC A B C -中，11π3A AB A AC ∠=∠=，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（）A.6B.6C.63D.38.已知P ，Q 是直线:10l x y -+=上两动点，且||PQ ，点(4,6)A -，(0,6)B ，则||||||AP PQ QB ++的最小值为（）A.10B.10C.D.12二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在空间直角坐标系O xyz -中，下列结论正确的是（）A.点(1,2,3)A 关于原点O 的对称点的坐标为1,2)3(,---B.点(1,2,3)A 关于x 轴的对称点的坐标为(1,2,3)-C.点(1,2,3)A 关于xOz 平面对称的点的坐标为(1,2,3)-D.两点(1,2,3)A ，(3,2,1)B 间的距离为10.已知直线:20l x -=，则（）A.l 的倾斜角为π6B.l 与两坐标轴围成的三角形面积为233C.原点O 到l 的距离为1D.原点O 关于l 的对称点为(11.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，动点P 满足1AP AC AD λμ=+，其中(0,1)λ∈，(0,1)μ∈，则（）A.1AP B D⊥B .平面11A BC ∥平面ACPC.当1λμ+=时，点P 的轨迹长度为1D.存在点P ，使得12DP =三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.直线:20l y -+=与y 轴交于点A ，将l 绕点A 顺时针旋转15 得到直线m ，则直线m 的一般式方程为______.13.在空间直角坐标系中，()()()0000u x x v y y w z z -+-+-=表示经过点()000,,x y z ，且法向量为(),,u v w 的平面的方程，则点()1,1,3P 到平面()()()121220x y z --++-=的距离为______.14.已知点()2,0A -，()2,0B ，()0,2C ，直线()0y ax b a =+>将ABC V 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，已知点()1,1A -，()3,0C ，AB 边的中点在y 轴上，BC 边上的高所在直线方程为4370x y --=.（1）求线段AB 的中点坐标；（2）求ABC V 的面积.16.在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在棱1CC 上，且14CC CP =.（1）求点P 到平面1ABD 的距离；（2）求二面角1P AD B --的正弦值.17.在直角坐标平面xOy 中，已知直线:20l kx y k -++=交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，记AOB V 的面积为S .（1）求直线l 经过的定点P 的坐标；（2）证明：2S >；（3）是否存在直线l ，使得||||||OA OB AB ⋅=，若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由.18.在三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1A C ⊥底面ABC ，90ACB ∠=︒，1A 到平面11BCC B 的距离为1.（1）求证：1AC A C =；（2）求异面直线1AA 与BC 的距离；（3）若直线1AA 与1BB 距离为2，求1AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值.19.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，12AA =，11C CB C CD ∠=∠，145C CA ︒∠=.（1）求证：四边形11BB D D 为矩形；（2）求平面ABCD 与平面1111D C B A 间的距离；（3）求二面角1B AA D --的正弦值.2024-2025（上）十月份调研测试高二数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.3.本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】ACD【10题答案】【答案】BCD 【11题答案】【答案】AB三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】20x y -+=【13题答案】【答案】23【14题答案】【答案】()2四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）()0,1（2）5【16题答案】【答案】（1）2（2）34141【17题答案】【答案】（1）(1,2)-（2）证明见解析（3）存在，250x y -+=【18题答案】【答案】（1）证明见解析（2）1（3）1313【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2（3）3。

2022～2023学年（上）高二期中质量监测数学参考答案与评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。

1． 直线2360x y ++=不经过2． 已知圆226250M x y x y +−++=：，则该圆的圆心坐标为 【答案】D3． 若直线110l ax y a +−−=：与直线:2220l x ay a +−−=：垂直，则实数a 的值为 【答案】B4．直线0x +=被圆224x y +=截得的弦长为5． 已知双曲线C的焦点为())1200F F ，，点P 在双曲线C 上，满足112PF F F ⊥，14PF =，则双曲线C 的标准方程为【答案】BA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】AA ．(31)−，B ．(31)−−，C ．(31)，D ．(31)−，A ．1−B ．0C ．1D ．1±ABC ．2D ．3 【答案】CA ．2214x y −= B ．2214y x −=C ．22132y x −=D ．22123y x −=6． 若点P Q ，分别在椭圆2214y x +=0y +−=上运动，则PQ 的最小值为 【答案】A7． 设椭圆()222210y x C a b a b+=>>：的左、右顶点为12A A ，，左、右焦点为12F F ，，上、下顶点为12B B ，．关于该椭圆，有下列四个命题： 甲：111A F =；乙：214A F =；丙：离心率为12；丁：四边形1122A B F B的面积为如果只有一个假命题，则该命题是 【答案】B8． 设椭圆22221(0)y x C a b a b+=>>：的上顶点为A ，左、右焦点分别为12F F ，，连结1AF 并延长交椭圆C 于点P ，若254PA PF=，则该椭圆的离心率为 【答案】C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年江苏省南通市第一中学高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．等差数列{}n a 中，38a =，1029a =，则6a =（ ） A ．14 B ．17 C ．20 D ．23【答案】B【解析】根据等差数列的性质n m n a a md +=+结合已知条件，求公差d ，进而求出6a 的值 【详解】由等差数列{}n a 中，38a =，1029a =，令公差为d ，则1037a a d =+ ∴8729d +=，解得3d = 而63383317a a d =+=+⨯= 故选：B 【点睛】本题考查了等差数列，由等差数列的性质n m n a a md +=+求项，属于简单题211的等比中项是（ ） A ．1 B ．1- C ．1-或1D ．12【答案】C【解析】根据等比数列等比中项的公式进行求解即可． 【详解】11的等比中项是x ，则满足)221111x ==-=，则1x =或1x =-， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查等比中项的求解，属于基础题．3．已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{y |y ＝2x }，则A ∩B 等于（ ）A ．(－1，2)B ．(－2，1)C ．(0，1)D ．(0，2)【答案】D【解析】先化简集合,A B ,再求A B 得解.【详解】由题得{|12},(0,)A x x B =-<<=+∞, 所以()0,2A B ⋂=. 故选：D 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查指数函数的值域，考查集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．已知n a =，（n ∈+N ），则在数列｛n a ｝的前50项中最小项和最大项分别是（ ） A ．150,a a B ．81,a aC ．89,a aD ．590,a a【答案】C【解析】根据函数y =n a ｝的前50项中最小项和最大项.【详解】因为y =(-∞上单调减，在)+∞单调减，所以当(x ∈-∞时(,1)y ∈-∞，此时81[,](,1)n a a a ∈⊂-∞，当)x ∈+∞时(1,)y ∈+∞，此时509[,](1,)n a a a ∈⊂+∞，因此数列｛n a ｝的前50项中最小项和最大项分别为89,a a ，选C. 【点睛】数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用对应函数性质，如等差数列通项与一次函数，等差数列和项与二次函数，等比数列通项、和项与指数函数.本题利用了函数()cf x a x b=+-性质. 5．已知{}n a 为等比数列，下面结论中正确的是（ ）A ．1322a a a +≥B ．2221322a a a +≥C ．若13a a =，则12a a =D ．若31a a >，则42a a >【答案】B【解析】设{a n }的首项为a 1，公比为q ，当a 1<0，q <0时，可知a 1<0，a 3<0，a 2>0，所以A 不正确；当q ＝－1时，C 选项错误；当q <0时，a 3>a 1⇒a 3q <a 1q ⇒a 4<a 2，与D 选项矛盾．因此根据基本不等式可知B 选项正确．6．朱载堉（1536—1611），明太祖九世孙，音乐家、数学家、天文历算家，在他多达百万字的著述中以《乐律全书》最为著名，在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子．他对文艺的最大贡献是他创建了“十二平均律”，此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上，包括钢琴，故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”．“十二平均律”是指一个八度有13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音频率是最初那个音频率的2倍，设第二个音的频率为2f ，第八个音的频率为8f ，则82f f 等于（ ） ABCD【答案】A【解析】依题意13个音的频率成等比数列，记为{a n }，设公比为q ，推导出q=1122，由此能求出82f f 的值． 【详解】依题意13个音的频率成等比数列，记为{a n }，设公比为q ， 则13a =121a q ，且13a =2a 1，∴q=1122，∴82f f =82a a =q 6=61122⎛⎫= ⎪⎝⎭． 故选A ． 【点睛】本题考查两个频率的比值的求法，考查等比数列的性质等基本性质，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．已知数列{}n a ：112,233+，123444++，12345555+++，…，又1114n n n b a a +=⋅，则数列{}n b 的前n 项的和n S 为（ ） A ．1411n ⎛⎫-⎪+⎝⎭B ．11421n ⎛⎫-⎪+⎝⎭C ．111n -+ D ．1121n -+ 【答案】C【解析】可观察出(1)1232112n n n n n a n n +++++===++，然后用裂项相消法即可求出{}n b 的前n 项和.【详解】 因为数列{}n a 为:12，1233+，123444++，12345555+++，… 所以(1)1232112n n n n n a n n +++++===++， 所以1111114(1)1n n n b a a n n n n +=⋅==-++， 所以{}n b 的前n 项和为11111111112233411n n n -+-+-++-=-++ 故选：C. 【点睛】本题考查用裂项相消法求数列的前n 项和，属于中档题. 8．已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n n a a a a ++-=+，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，则(n= ) A ．119 B ．121C ．120D ．1222【答案】C【解析】由已知推导出n a =122n a +==，由此能求出n ． 【详解】数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n na a a a ++-=+，2214n n a a +∴-=，∴{}2n a 是以21a =4为首项，以d=4为公差的等差数列， 24n n a ∴=，n a ∴=．又∵114n n n n a a a a ++-=+，则()11114n n n na a a a ++-=+， ∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，即()()213211112544n n n a a a a a a a ++-+-+⋯+-=-=，122n a +∴==，解得1121n +=，120n ∴=．故选C ． 【点睛】本题考查数列项数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的递推公式、累加法的合理运用．二、多选题9．在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若 1418a a +=， 2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）A ．2qB ．数列{}2n S +是等比数列C ．8510S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列【答案】ABC【解析】由1418a a +=，2312a a +=，31118a a q +=，21112a q a q +=，公比q 为整数，解得1a ，q ，可得n a ，n S ，进而判断出结论. 【详解】∵1418a a +=，2312a a +=且公比q 为整数，∴31118a a q +=，21112a q a q +=，∴12a =，2q或12q =（舍去）故A 正确， ()12122212n n n S +-==--，∴8510S =，故C 正确；∴122n n S ++=，故数列{}2n S +是等比数列，故B 正确；而lg lg 2lg 2nn a n ==，故数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故D 错误．故选：ABC . 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式以及综合运用，属于中档题． 10．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差4d =，前n 项和为n S ，则下列结论成立的有( ) A ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为100 B ．若1,a 3,a m a 成等比数列，则21m = C ．若111625ni i i a a =+>∑，则n 的最小值为6 D ．若210m n a a a a +=+，则116m n+的最小值为2512【答案】AB【解析】由已知可得:43n a n =-,22n S n n =-,=21n S n n -,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列通过公式即可求得前10项和;通过等比中项可验证B 选项;因为11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭,通过裂项求和可求得111ni i i a a =+∑;由等差的性质可知12m n +=利用基本不等式可验证选项D 错误.【详解】由已知可得:43n a n =-,22n S n n =-,=21n S n n -,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,则前10项和为()10119=1002+.所以A 正确;1,a 3,a m a 成等比数列,则231=,m a a a ⋅81m a =,即=4381m a m =-=,解得21m =故B正确; 因为11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭所以1111111116=1=455494132451ni i i n n n a a n =+⎛⎫-+-++-> ⎪++⎝⎭-∑,解得6n >,故n 的最小值为7,故选项C 错误;等差的性质可知12m n +=,所以()()1161116116125=116172412121212n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+++=+++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当16=n m m n 时,即48=45n m =时取等号,因为*,m n ∈N ,所以48=45n m =不成立,故选项D 错误. 故选:AB. 【点睛】本题考查等差数列的性质,考查裂项求和,等比中项,和基本不等式求最值,难度一般. 11．下列说法正确的是（ ）A ．若,0x y >，满足2x y +=，则22x y +的最大值为4；B ．若12x <，则函数1221y x x =+-的最小值为3C ．若,0x y >，满足3x y xy ++=，则x y +的最小值为2D ．函数2214sin cos y x x=+的最小值为9 【答案】CD【解析】A ，22x y +没有最大值，故A 错误；B ，函数12112(21121y x x x =-++-=--，故B 错误； C ，x y +的最小值为2，故C 正确；D ，22149sin cos y x x=+≥，当且仅当222sin cos x x =时等号成立，故D 正确. 【详解】A ，若x ，0y >，2x y +=，则2222224x y x y ++=⨯=，当且仅当1x y ==时等号成立，没有最大值，故A 错误；B ，若12x <，即210x -<，则函数12112(21121y x x x =-++-=--，当且仅当0x =等号成立，故B 错误；C ，若x ，0y >，2()3(),4x y xy x y +=-+≤所以2()4()120x y x y +++-≥，所以(6)(2)0x y x y +++-≥，所以2x y +≥，（当且仅当1x y ==时取等），所以x y+的最小值为2. 故C 正确；D ，222222222222141444(sin cos )()5529sin cos cos x sin x cos x sin x y x x x x sin x cos x sin x cos x sin x cos x=+=++=+++=，当且仅当222sin cos x x =时等号成立，故D 正确； 故选：CD 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．设d ，n S 分别为等差数列{}n a 的公差与前n 项和，若1020S S =，则下列论断中正确的有（ ）A ．当15n =时，n S 取最大值B ．当30n =时，0n S =C ．当0d >时，10220a a +>D ．当0d <时，1022a a >【答案】BC【解析】首先根据1020S S =，得到1292a d =-，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】因为1020S S =，所以111092019102022a d a d ⨯⨯+=+，解得1292a d =-. 对选项A ，因为无法确定1a 和d 的正负性， 所以无法确定n S 是否有最大值，故A 错误. 对选项B ，13030292930301529022a d S d d ⨯⎛⎫=+=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭， 故B 正确.对选项C ，()10221612921521502a a a a d d d d ⎛⎫+=2=+=-+=> ⎪⎝⎭， 故C 正确.对选项D ，1012918119222a a d d d d =+=-+=-， 22129421321222a a d d d d =+=-+=，因为0d <，所以10112a d =-，22132a d =-，1022a a <，故D 错误.【点睛】本题主要考查等差数列的性质，同时考查了前n 项和n S 的计算，属于简单题.三、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，则n a =______【答案】()()212-12n n n ⎧=⎪⎨≥⎪⎩【解析】根据数列的通项公式和前n 项和的关系，分当1n =时和当2n ≥时，两种情况讨论求解. 【详解】当1n =时，12a =，当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-， 因为12a =，不适合上式，所以n a =()()212-12n n n ⎧=⎪⎨≥⎪⎩. 故答案为：()()212-12n n n ⎧=⎪⎨≥⎪⎩【点睛】本题主要考查数列的通项公式和前n 项和的关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14．已知0a >，0b >，a ，b 的等比中项是1，且1m b a =+，1n a b=+，则m n +的最小值是______. 【答案】4【解析】a ，b 的等比中项是11ab ⇒=，再用均值不等式得到答案. 【详解】a ，b 的等比中项是11ab ⇒=11224m n b a b a a b+=+++=+≥= 当1a b ==时等号成立. 故答案为4本题考查了等比中项，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.15．在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含1个整数，则a 的取值范围是__________． 【答案】[－1，3]【解析】把不等式化为(1)()0x x a --<，讨论1a >，1a <和1a =时，求出不等式的解集，从而得出满足题意的a 的取值范围 【详解】解：关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(1)()0x x a --<， 当1a ≥时，解不等式得1x a <<， 当1a <时，解不等式得1<<a x ， 因为不等式的解集中至多包含1个整数， 所以13a ≤≤或11a -≤<， 所以a 的取值范围为[1,3]-， 故答案为：[1,3]- 【点睛】此题考查了不等式的解法与应用问题，考查分类讨论思想，属于基础题四、双空题16．如图，一粒子在区域{（x ，y ）|x ≥0，y ≥0}上运动，在第一秒内它从原点运动到点B 1（0，1），接着按图中箭头所示方向在x 轴、y 轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度，设粒子从原点到达点A n 、B n 、∁n 时，所经过的时间分别为a n 、b n 、c n ，请你尝试求出3c ＝_____，{b n }的通项公式b n ＝_____．【答案】8 ()311nn -+-【解析】根据题意，列举数列的前几项，归纳总结，即可求得3c 以及n b .【详解】根据题意，容易可得：123451,6,7,12,13,b b b b b =====； 123452,5,8,11,14,c c c c c =====； 123453,4,9,10,15,a a a a a =====.由归纳可得：38c =；且数列{}n c 是首项为2，公差为3的等差数列，故可得31n c n =-； 容易知{}n b 的奇数项是{}n c 的奇数项减去1得到；{}n b 的偶数项是{}n c 的偶数项加上1得到；故()311nn b n =-+-. 故答案为：8；()311nn -+-. 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，以及归纳法求数列的通项公式，属综合基础题.五、解答题17．已知数列{}n a 满是1310a a +=，245a a +=. （1）若数列{}n a 为等比数列，求通项公式n a ；（2）若数列{}n a 为等差数列，且其前n 项和为n S ，求7S 的值. 【答案】（1）412n n a -=；（2）0.【解析】（1）根据1310a a +=，245a a +=，利用“1,a q ”法求解. （2）根据1310a a +=，245a a +=，利用“1,a d ”法求解. 【详解】（1）设数列{}n a 的公比为q ， 因为1310a a +=，245a a +=.所以211311105a a q a q a q ⎧+=⎨+=⎩，解得18a =，12q =. 所以数列{}n a 的通项公式为412n n a -=.（2）设数列{}n a 的公差为d ， 因为1310a a +=，245a a +=. 所以112210245a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得1152a =，52d =-.所以5102n a n =-， 可得235544n S n n =-. 所以70S =. 【点睛】本题主要考查等比数列和等差数列的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．设函数2()2f x mx mx =--（1）若对于一切实数()0f x <恒成立，求m 的取值范围；（2）若对于[1,3],()2(1)x f x m x ∈>-+-恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）(8,0]-（2）2m >【解析】（1）由不等式220mx mx --<恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解；（2）要使对于[1,3],()2(1)x f x m x ∈>-+-恒成立，整理得只需221xm x x >-+恒成立，结合基本不等式求得最值，即可求解. 【详解】（1）由题意，要使不等式220mx mx --<恒成立，①当0m =时，显然20-<成立，所以0m =时，不等式220mx mx --<恒成立；②当0m ≠时，只需280m m m <⎧⎨∆=+<⎩，解得80m -<<，综上所述，实数m 的取值范围为(8,0]-.（2）要使对于[1,3],()2(1)x f x m x ∈>-+-恒成立， 只需22mx mx m x -+>恒成立， 只需()212m x x x -+>，又因为22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭， 只需221xm x x >-+，令222211111x y x x x x x x===-+-++-，则只需max m y >即可因为12x x +>=，当且仅当1x x =，即1x =时等式成立；因为[1,3]x ∈，所以max 2y =，所以2m >. 【点睛】本题主要考查了含参数的不等式的恒成立问题的求解，其中解答中把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及转化思想的应用，属于基础题. 19．设数列{}n a 的前n 项和为22n S n ＝，{}n b 为等比数列，且11a b ＝，2211()b a a b －＝．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】（1）42n a n =-，124n n b -=；（2）255)4399n nT n ∴-⋅+＝( 【解析】（1）由已知利用递推公式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，可得n a ，代入分别可求数列n b 的首项1b ，公比q ，从而可求n b .（2）由（1）可得()1214n n c n -=-⋅，利用乘“公比”错位相减法求和．【详解】解：(1)当2n ≥时，22122142()n n n a S S n n n ==-=----，当1n =时，112a S ==满足上式， 故{}n a 的通项式为42n a n =-． 设{}n b 的公比为q ，由已知条件2211()b a a b -=知，12b =，122112b b a a ==-，所以2114a q a ==，111124n n n b b q --∴==⨯，即124n n b -=． (2)()114221424n n n nn a n c n b ---===-， 12112134542()]1[4n n n T c c c n ∴⋯⨯⨯⋯－＝＋＋＋＝＋＋＋＋－ 221[()()41434542]34214n n n T n n ⨯⨯⨯⋯－＝＋＋＋＋－＋－两式相减得：1231()553124444214(43)2)3n n n n T n n ⋯-⋅+－＝－－＋＋＋＋＋－＝(255)4399n n T n ∴-⋅+＝(【点睛】本题考查等差数列、等比数列的求法，错位相减法求数列通项，属于中档题.20．南康某服装厂拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m 万件与年促销费用(04)x x ≤≤万元满足131m x =-+.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用x 万元的函数； （2）该服装厂2020年的促销费用投入多少万元时，利润最大？ 【答案】（1）1656([0,4])1y x x x =--∈+；（2）3万元. 【解析】（1）根据题意，结合已知条件，列出函数关系即可；（2）对函数进行配凑，使之可用基本不等式，即可求得利润的最大值. 【详解】（1）由题意知：每件产品的销售价格为8162mm+⨯， 8162(816)816my m m x m x m+∴=⋅⨯-++=+- 181631x x ⎛⎫=+-- ⎪+⎝⎭16561x x =--+([0,4])x ∈； （2）由16165657(1)574911y x x x x ⎡⎤=--=-++≤-=⎢⎥++⎣⎦， 当且仅当1611x x =++，即3x =时取等号. 故该服装厂2020年的促销费用投入3万元时，利润最大. 【点睛】本题考查分式函数模型的应用，涉及用基本不等式求最值，属综合基础题.21．已知数列{}n a 满足：()()2213121n n a a +-=-，1n a ≠±，记数列21n n b a =-，()221n n n c a a n N*+=-∈， （1）证明数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n c 的通项公式；（3）是否存在数列{}n c 的不同项,,()i j k c c c i j k <<使之称为等差数列？若存在，请求出这样的不同项,,()i j k c c c i j k <<；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）()11243n n c n N -*⎛⎫=⋅∈ ⎪⎝⎭；（3）不存在，理由见解析． 【解析】（1）先由已知求出1b ，再由()()2213121n n a a +-=-和21n n b a =-，可得()123n n b n N b *+=∈，从而可证得结论； （2）由（1）可求出()13243n n b n N -*⎛⎫=⋅∈ ⎪⎝⎭，从而可得到1232143n n a -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，进而可求出数列{}n c 的通项公式；（3）假设存在 ,,i j k c c c 满足题意成等差数列，则有1111212122434343j i k ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅=⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简可得1223j i k y i j i -++---= ，左偶右奇不可能成立，从而可得结论 【详解】解：（1）由已知 ()1,0n n a b n N*≠±≠∈ 134b = ， ()()2213121n n a a +-=- ，()123n n b n N b *+=∈ 所以 {}n b 是34为首项， 23 为公比的等比数列（2） 由（1）得()13243n n b n N -*⎛⎫=⋅∈ ⎪⎝⎭ ，所以()12321143n nn a b n N -*⎛⎫=-=-⋅∈ ⎪⎝⎭()12211243n n n nc a a n N -*+⎛⎫=-=⋅∈ ⎪⎝⎭（3）假设存在 ,,i j k c c c 满足题意成等差数列，2j i k c c c =+ 代入得 1111212122434343j i k ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅=⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1232j i j i k y i -+-+-=+，即1223j i k y i j i -++---= ，左偶右奇不可能成立． 所以假设不成立，这样三项不存在 【点睛】此题考查由递推式证明等比数列，考查等比数列的通项公式的计算，考查计算能力，属于中档题22．正项数列{}n a 的前项和n S 满足：242n n n S a a =+，()*n ∈N，（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令()2212n nn b n a+=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：对于任意的*n ∈N 都有564n T <. 【答案】（1）2n a n =；（2）证明见解析.【解析】（1）利用n S 与n a 的关系，结合等差数列的性质，即可得出数列{}n a 的通项公式；（2）由2n a n =得出数列{}n b 的通项公式，结合裂项相消法和不等式的性质证明即可. 【详解】（1）解：∵正项数列{}n a 的前项和n S 满足：242n n n S a a =+，()*n ∈N ① 则211142n n n S a a ---=+，()2n ≥②①-②得()22114222n n n n n a a a a a n --=-+≥-即()2211222n n n n a a a a n --+=-≥即()()()()11122n n n n n n a a a a a a n ---+=+-≥ 又10n n a a ->+，12n n a a --=，()2n ≥.又12a =，所以数列{}n a 是以2为首项2为公差的等差数列.所以2n a n =. （2）证明：由于2n a n =，()2212n nn b n a +=+则()()2222111116422n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦()()()222222222111111111111632435112n T n n n n ⎡⎤=-+-+-+⋅⋅⋅+-+-⎢⎥-++⎢⎥⎣⎦()()22221111115111621626412n T n n ⎡⎤⎛⎫=+--<+=⎢⎥ ⎪⎝⎭++⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了由n S 求n a 以及裂项相消法求数列的和，属于中档题.。

如东高级中学 2020-2021学年度第一学期10月月考高二数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.数列0，0，0，，0 （）A．既不是等差数列又不是等比数列B．是等比数列不是等差数列C．是等差数列不是等比数列D．是等比数列又是等差数列2. 下列不等式中与不等式同解的是（）A．B．C．D．3.已知等差数列中，则的值为（）A. B. C. D.4.已知不等式：（1）（2）（3）2，若要同时满足不等式（1）（2）的也满足不等式（3），则有（）A．B．C．D．5.已知正项数列中，，则的值为（）A．B．4C．8 D．166. 若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.7. 定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列是等积数列且，前41项的和为103，则这个数列的公积为A. 2B. 3C. 6D. 88.南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为A. 99B. 131C. 139D. 141二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9.已知，，则下列不等式中，正确的是A. B.C. D.10.对于数列，若存在数列满足，则称数列是的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是A. 若数列是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；B. 若，则其“倒差数列”有最大值；C. 若，则其“倒差数列”有最小值；D. 若，则其“倒差数列”有最大值．11. 已知数列的前n项和为，且满足，，则下列说法错误的是A. 数列的前n项和为B. 数列的通项公式为C. 数列为递增数列D. 数列为递增数列12. 若数列对任意满足，下面选项中关于数列的命题正确的是A. 可以是等差数列B. 可以是等比数列C. 可以既是等差又是等比数列D. 可以既不是等差又不是等比数列三、填空题.（本大题共4题，每题5分，共20分.请同学们将答案填到答题卷上对应的位置处.）13.若数列是公差不为0的等差数列，、、成等差数列，则的值为________．14.等差数列中，，则________．15. 三个同学对问题“已知m，，且，求的最小值”提出各自的解题思路：甲：，可用基本不等式求解；乙：，可用二次函数配方法求解；丙：，可用基本不等式求解；参考上述解题思路，可求得当________时，有最小值16. 定义：关于x的两个不等式和的解集分别为和，则称这两个不等式为对偶不等式如果不等式与不等式为对偶不等式，且，则________．三、解答题（本大题共有6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. 设为数列的前n项和，且．（1）若，判断数列的单调性；（2）若，求数列的前n项和．18. 若数列的前n项和，求数列的通项公式．（2）若数列的前n项和，证明为等比数列．19. 已知数列的前n项和为，，满足．（1）计算，，，猜想的一个表达式（不需要证明）（2）设，数列的前n项和为，求证：．20.已知二次函数，满足，．（1）求函数的解析式；（2）若关于x的不等式在上有解，求实数t的取值范围；（3）若函数的两个零点分别在区间和内，求实数m的取值范围．21.已知公差大于0的等差数列的前n项和为，且满足，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求的表达式；（3）若，存在非零常数c，使得数列是等差数列，存在，不等式成立，求k的取值范围．22. 已知函数b是非零实常数满足，且关于x的方程的解集中恰有一个元素．（1）求a，b的值；（2）在直角坐标系中，求定点到函数图像上任意一点的距离的最小值；（3）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．2020-2021学年度第一学期10月月考高二数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.数列0，0，0，，0 （）A．既不是等差数列又不是等比数列B．是等比数列不是等差数列C．是等差数列不是等比数列D．是等比数列又是等差数列【答案】C【解析】数列0，0，0，，0，是无穷数列，从第二项开始起，每一项与它前一项的差都等于常数0，符合等差数列的定义，所以数列0，0，0，，0，是等差数列，根据等比数列的定义可知，等比数列中不含有为0的项，所以数列0，0，0，，0，不是等比数列，故选C．2. 下列不等式中与不等式同解的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】不等式等价为，即，故选：D．3.已知等差数列中，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设等差数列的公差为d，由知：又，，可知：，且，，。

江苏省南通市高二上学期数学 10 月月考试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1. （2 分） 若经过两点 A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为 ，则 y 等于（ ） A . －1B . －3C.0D.22. （2 分） (2017·沈阳模拟) 平面直角坐标系中，已知 O 为坐标原点，点 A、B 的坐标分别为（1，1）、（﹣3，3）．若动点 P 满足，其中 λ、μ∈R，且 λ+μ=1，则点 P 的轨迹方程为（ ）A . x﹣y=0 B . x+y=0 C . x+2y﹣3=0 D . （x+1）2+（y﹣2）2=53. （2 分） 已知椭圆 A.的焦点在 轴上，离心率为 ， 则 的值为（ ）B.C.D. 或4. （2 分） (2019 高二上·长春月考) 已知直线 值为（ ）与直线第 1 页 共 10 页互相平行，则实数 的A.0B.C.D.5. （2 分） (2019 高一下·中山月考) 若圆与圆相内切，则 ＝（ ）A.1B . -1C.D.6. （2 分） (2016 高二上·鞍山期中) 圆 C：x2+y2﹣6x+8y+24=0 关于直线 l：x﹣3y﹣5=0 对称的圆的方程是 （）A . （x+1）2+（y+2）2=1B . （x﹣1）2+（y﹣2）2=1C . （x﹣1）2+（y+2）2=1D . （x+1）2+（y﹣2）2=17. （2 分） 若 θ 是直线 l 的倾斜角，且 sinθ+cosθ= ，则 l 的斜率为（ ） A.﹣ B . ﹣ 或﹣2 C . 或2 D . ﹣2 8. （2 分） (2020·贵州模拟) 设椭圆 的两个焦点分别为 ， ，若 上存在点 满足第 2 页 共 10 页，则椭圆 的离心率等于（ ）A.B. C.2D.9. （2 分） 设,若直线与 轴相交于点 ,与 轴相交于点 B,且坐标原点 O 到直线 的距离为 ,则的面积 的最小值为（ ）A. B.2 C.3 D.4 10. （2 分） (2019 高三上·上海月考) 已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，△ABC 是 边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点，∠CEF=90°，则球 O 的体积为（ ）A.B.C.D.二、 多选题 (共 3 题；共 9 分)11. （3 分） (2019 高二上·中山月考) 已知曲线 A . 关于 轴对称，则曲线 （ ）第 3 页 共 10 页B . 关于 轴对称C . 关于原点对称D . 关于直线轴对称12. （3 分） (2019 高二上·辽宁月考) 已知双曲线 为 ，以 为圆心， 为半径作圆 ，圆 与双曲线的一条渐近线交于的离心率为，右顶点， 两点，则有（ ）A . 渐近线方程为B . 渐近线方程为 C. D.13. （3 分） (2019 高二上·辽宁月考) 已知椭圆 离心率为 ，椭圆 的上顶点为 ，且，双曲线的左、右焦点分别为，和椭圆 有相同焦点，且双曲线的离心率为 ， 为曲线 与 的一个公共点，若，则正确的是 （ ）A.B. C. D.三、 填空题 (共 4 题；共 4 分)14. （1 分） (2016 高二上·绍兴期中) 若经过点 P（1﹣a，1+a）和 Q（3，2a）的直线的倾斜角为钝角，则 实数 a 的取值范围为________．15. （1 分） (2017 高二下·濮阳期末) 椭圆 Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为 F1 ， F2 ， 焦距为 2c，若直线 y=与椭圆 Γ 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1 ， 则该椭圆的离心率等于________．第 4 页 共 10 页16. （1 分） (2019 高二上·德惠期中) 已知抛物线 =________的焦点恰好为双曲线的上焦点，则17. （1 分） (2017 高二上·哈尔滨月考) 设 F1,F2 分别为椭圆存在一点 P，使得则椭圆的离心率为________．的左、右焦点，椭圆上四、 解答题 (共 6 题；共 65 分)18. （10 分） (2019 高二上·四川期中) 平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，.（1） 求 边上的高所在的直线方程；（2） 求的面积.19. （10 分） (2017 高三上·会宁期末) 设函数 f（x）=2cos2x+sin2x+a（a∈R）．（1） 求函数 f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2） 当时，f（x）的最大值为 2，求 a 的值，并求出 y=f（x）（x∈R）的对称轴方程．20. （10 分） (2016 高二下·静海开学考) 已知直线 l1 的方程为 3x+4y﹣12=0，（1） 求 l2 的方程，使得：①l2 与 l1 平行，且过点（﹣1，3）；②l2 与 l1 垂直，且 l2 与两坐标轴围成的三角形面积为 4；（2） 直线 l1 与两坐标轴分别交于 A、B 两点，求三角形 OAB（O 为坐标原点）内切圆及外接圆的方程．21. （10 分） (2016 高二上·济南期中) 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ， 且 a3=7，a5+a7=26（1） 求 an 及 Sn；（2） 令 bn=（n∈N*）求数列{bn}的前 n 项和 Tn．22.（10 分）(2019·永州模拟) 已知动点 到两定点，且动点 的轨迹曲线 过点.（1） 求 的值；第 5 页 共 10 页距离之和为 4（ ），（2） 若直线 的值.23. （15 分）如题（21）图，椭圆且。

2021年江苏省南通中学高二年级期末考试数学注意事项：1. 本试卷分选择题与非选择题两部分。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.数列{a n}是等比数列，公比为q，且a1>0.则“q<−1”是“∀n∈N∗，2a2n−1+a2n<a2n+1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件2.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2.定义数列{b m}如下：m+1mb m(m∈N∗)是使不等式a n≥m(m∈N∗)成立的所有n中的最小值，则b1+b3+b5+⋯+b19=()A. 25B. 50C. 75D. 1003.电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗、为国争光的励志故事，打造一部见证新中国体育改革40年的力作，该影片于2020年09月25日正式上映．在《夺冠》，上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起．为安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是()A. 8B. 12C. 16D. 204.小李年初向银行贷款M万元用于购房，购房贷款的年利率为P，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，问每年应还()万元．()A. M10B. MP(1+P)10(1+P)10−1C. M(1+P)1010D. MP(1+P)9(1+P)9−15.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，准线l与x轴交于点H，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，分别过点A，B作准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，如图所示，则：①以线段AB为直径的圆与准线l相切；②以A1B1为直径的圆经过焦点F；③A，O，B1(其中点O为坐标原点)三点共线；★绝密启用前④若已知点A 的横坐标为x 0，且已知点T(−x 0,0)，则直线TA 与该抛物线相切． 则以上说法中正确的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 46. 《九章算术》与《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》卷五商功篇中介绍了羡除(此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体)体积的求法．在如图所示的羡除中，平面ABDA′是铅垂面，下宽AA′=3m ，上宽BD =4m ，深3m ，平面BDEC 是水平面，末端宽CE =5m ，无深，长6m(直线CE 到BD 的距离)，则该羡除的体积为( )A. 24m 3B. 30m 3C. 36m 3D. 42m 37. 如图，某伞厂生产的“太阳”牌太阳伞的伞蓬是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞蓬的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同的颜色图案的此类太阳伞至多有( ) A. 40320种 B. 5040种C. 20160种D. 2520种8. 已知点P 是椭圆x 216+y 212=1(xy ≠0)上的动点，F 1、F 2为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的角平分线上的一点，且F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是( ) A. (0,2)B. (0,√3)C. (0,4)D. (2,2√3)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年高二上学期10月份测试数学试题 含答案（本试卷考试时间120分钟，满分160分，请将答案做在答题卡上）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.直线的倾斜角为 ▲ ．2. 焦点在轴上的椭圆m x2＋4y2＝1的焦距是2，则m 的值是____▲____．3.若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点____▲___．4. 从点引圆的切线，则切线长是 ▲ ．5. 若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆25x2＋9y2＝1上一点，则三角形PF 1F 2的周长等于 ▲ ．6. 圆，圆，则这两圆公切线的条数为 ▲ ．7. 经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 ▲ ．8. 圆关于直线对称的圆的标准方程是 ▲ .9. 已知是由不等式组所确定的平面区域，则圆在区域内的弧长为 ▲ ．10. 圆，则圆上到直线距离为3的点共有▲ 个．11. 在平面直角坐标系中，若直线与圆心为的圆相交于，两点，且为直角三角形，则实数的值是 ▲ ．12. 已知椭圆，点依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线 与直线 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为____▲ __.13. 已知圆，点在直线上，为坐标原点.若圆上存在点使得，则的取值范围为 ▲ ．14. 若对于给定的负实数，函数的图象上总存在点C ，使得以C 为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点的距离为2，则的取值范围为 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，共90分）15.（本小题满分14分）已知直线和．问：m 为何值时，有：（1）；（2）．16.（本小题满分14分）已知椭圆818x2＋36y2＝1上一点，且，．（1）求的值；（2）求过点M 且与椭圆9x2＋4y2＝1共焦点的椭圆的方程．17.（本小题满分15分）在平面直角坐标系中，己知点，，、分别为线段，上的动点，且满足.（1）若，求直线的方程;（2）证明：的外接圆恒过定点（异于原点）.18.（本小题满分15分）在一个特定时段内，以点为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点正北55海里处有一个雷达观测站.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点北偏东且与点相距海里的位置，经过40分钟又测得该船已行驶到点北偏东(其中，)且与点相距海里的位置.（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（2）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.19.（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，已知圆经过，，三点，是线段上的动点，、是过点且互相垂直的两条直线，其中交轴于点，交圆于、两点．（I）若，求直线的方程；（II）若是使恒成立的最小正整数，求三角形的面积的最小值．20.（本小题满分16分）已知函数,．（1）当时，求的最小值；（2）若函数图象上的点都在不等式组表示的平面区域内，求实数的取值范围；（3）若函数在上有零点，求的最小值.10月份测试数学参考答案1. 2.5 3. (0,2) 4.3 5.18 6.2 7.或8.9.10.3 11. －1 12.13.14.15.解：（1）∵，∴，得或；当m＝4时，l1：6x＋7y－5＝0，l2：6x＋7y＝5,即l1与l2重合，故舍去．当时，即∴当时，．（2）由得或；∴当或时，．16.解：(1)把M的纵坐标代入8x281＋y236＝1，得8x281＋436＝1，即x2＝9.∴x＝±3.故M的横坐标.(2)对于椭圆x29＋y24＝1，焦点在x轴上且c2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为x2a2＋y2a2－5＝1(a2>5)，把M点坐标代入得9a2＋4a2－5＝1，解得a2＝15(a2＝3舍去)．故所求椭圆的方程为x215＋y210＝1.17. 解：（1）因为，所以，又因为，所以，所以，由，得，所以直线的斜率，所以直线的方程为，即．（2）设，则．则，因为，所以，所以点的坐标为又设的外接圆的方程为，则有解之得,,所以的外接圆的方程为，整理得，令，所以（舍）或所以△的外接圆恒过定点为．18.解：（I）如图，AB=40，AC=10，由于0<<,所以cos=由余弦定理得BC=所以船的行驶速度为（海里/小时）.（II）如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）, C（x1，y2）,BC与x轴的交点为D.由题设有，x1=y1=AB=40, x2=AC cos,y2=AC sin.所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40.又点E（0，-55）到直线l的距离d=所以船会进入警戒水域.19.解：（I）由题意可知，圆C的直径为A D，所以，圆C方程为：．当直线垂直于轴时，方程为，不合题意；当直线不垂直于轴时，设方程为：，则，解得，，当时，直线与y轴无交点，不合，舍去．所以，此时直线的方程为．（II）设，由点M在线段A D上，得，即．由AM≤2ＢM，得．依题意知，线段A D与圆至多有一个公共点，故，解得或．因为t是使AM≤2BM恒成立的最小正整数，所以，t=4．所以，圆C方程为：（1）当直线：时，直线的方程为，此时，；（2）当直线的斜率存在时，设的方程为：（），则的方程为：，点．所以，．又圆心Ｃ到的距离为，所以，PQ==故12EPQS BE PQ=⋅==．因为所以，．20.解：（1）（2）由题意可知，在上恒成立，把根式换元之后容易计算出；（3）422()()(1)1h x x f x x bx⎡=++++⎣=0，即，令,方程为，设，，当，即时，只需，此时，；当，即时，只需，即，此时．故的最小值为．20466 4FF2 俲Y22614 5856 塖 25824 64E0 擠NPy36818 8FD2 迒Xr21190 52C6 勆27888 6CF0 泰31013 7925 礥。

（新教材）2020-2021学年上学期高二期中备考卷数学1注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足(2i)3i z =(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为（ ） A 2i B 2iC ．12iD ．12i【答案】D【解析】由)2i 3i z =，可得()()3i2i332i12i 2i2i2iz +====+++-，∴z 的共轭复数为12i -，故选D ． 2．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为16，事件A 表示“出现小于5的偶数点”，事件B 表示“出现小于5的点数”，则一次试验中，事件A B （B 表示事件B 的对立事件）发生的概率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．56【答案】C 【解析】事件B 表示“小于5的点数出现”，B ∴的对立事件是“大于或等于5的点数出现”，∴表示事件是出现点数为5和6．事件A 表示“小于5的偶数点出现”， 它包含的事件是出现点数为2和4，()2163P A ∴==，()4263P B ==，()()211133P B P B ∴=-=-=， ()()()112333P A P B P A B ∴=+==+，故选C ．3．若随机变量~(,0.4)X B n ，且()2E X =，则(1)P X =的值是（ ） A ．430.4⨯ B ．520.4⨯ C ．430.4⨯ D ．420.6⨯【答案】D【解析】因为随机变量~(,0.4)X B n ，所以()0.42E X n ==，解得5n =， 所以随机变量~(5,0.4)X B ，所以()41145(1)C 10.40.420.6P X ==-⨯=⨯，故选D ． 4．若随机变量(1,4)X N ，(0)0.2P X ≤=，则(02)P X <<=（ ）A ．0．6B ．0．4C ．0．3D ．0．8【答案】A【解析】由题意，随机变量(1,4)X N ，可得正态曲线的对称轴1x =，所以()(02)1200.6P X P X <<=-≤=，故选A ． 5．261(2)()x x x+-的展开式的常数项为（ ） A ．25 B ．25- C ．5 D ．5-【答案】B【解析】61()x x-的展开式的通项公式为()()()()()()66666621C 1C 11C rrr r r r r r r rr T x x x x x ----+⎛⎫- ⎪⎝--⎭===． 令622r -=-或620r -=，分别解得4r =或3r =．所以261(2)()x x x+-的展开式的常数项为()()434366121C 1C 1⨯-+⨯-⨯154025-==-，故选B ．6．五名学生和五名老师站成一排照相，五名老师不能相邻的排法有（ ）A ．55552A A B ．5565A AC ．55562A AD ．5555A A【答案】B【解析】由题意五名老师不能相邻用插空法，排法数为5565A A ，故选B ．7．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，则下列说法正确的是（ ）A ．平面PAB ⊥平面PBCB ．异面直线AD 与PB 所成的角为60︒C ．二面角P BC A --的大小为60︒D ．在棱AD 上存在点M 使得AD ⊥平面PMB【答案】D【解析】对于D ，取AD 的中点M ，连PM ，BM ， 侧面PAD 为正三角形，PM AD ∴⊥， 又底面ABCD 是60DAB ∠=︒的菱形，∴三角形ABD 是等边三角形，AD BM ∴⊥，PMBM M =，PM ⊂平面PBM ，BM ⊂平面PBM ，AD ∴⊥平面PBM ，故D 正确；对于B ，AD ⊥平面PBM ，AD PB ∴⊥，即异面直线AD 与PB 所成的角为90︒，故B 错误； 对于C ，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，平面PAD ⊥平面ABCD ，AD ⊥平面PBM ，AD BC ∥，BC PB ∴⊥，BC BM ⊥，则PBM ∠是二面角P BC A --的平面角， 设1AB =，则3BM =，32PM =，在直角三角形PBM 中，tan 1PMPBM BM∠==，即45PBM ∠=︒，故二面角P BC A --的大小为45︒，故C 错误； 对于A ，AD ⊥平面PBM ，//AD BC ，所以BC ⊥平面PBM ，BC ⊂平面PBC ，所以面PBC ⊥平面PBM ，显然平面PAB 与平面PBC 不垂直，故A 错误， 故选D ．8．若函数()()()22ln f x ax a x x a =+--∈R 在其定义域上有两个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．()()4ln 21,++∞ B ．()(0,41ln 2+⎤⎦ C ．()(){},041ln 2-∞+ D ．()()0,4ln 21+【答案】A【解析】函数()y f x =的定义域为()0,+∞，()()()()211122x ax f x ax a x x-+'=+--=． （1）当0a ≥时，对任意的0x >，10ax +>， 若102x <<，则()0f x '<；若12x >，则()0f x '>，此时，函数()y f x =的单调递减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 当0x +→时，()f x →+∞；当x →+∞时，()f x →+∞， 由于函数()y f x =在其定义域上有两个零点， 则11ln 2024a f ⎛⎫=+-<⎪⎝⎭，解得()4ln 21a >+； （2）当0a <时，令()0f x '=，可得112x =，21x a=-． ①若112a -=，即当2a =-时，对任意的0x >，()0f x '≤恒成立，所以，函数()y f x =在定义域上单调递减，至多一个零点，不合乎题意；②若112a ->，即当20a -<<时， 令()0f x '<，得102x <<或1x a >-；令()0f x '>，得112x a<<-．此时，函数()y f x =的单调递减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 当0x +→时，()f x →+∞；当x →+∞时，()f x →-∞， 则有11ln 2024a f ⎛⎫=+-=⎪⎝⎭或1111ln 0f a a a ⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若11ln 2024a f ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，则()4ln 21a =+，舍去； 若1111ln 0f a a a ⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1t a =-，令()1ln g t t t =+-，其中12t >， ()111t g t t t'-=-=．当112t <<时，()0g t '<，此时函数()y g t =单调递减； 当1t >时，()0g t '>，此时函数()y g t =单调递增， 所以，()()min 120g t g ==>，则方程()0g t =无解；③若1102a <-<，即当2a <-时， 令()0f x '<，得10x a <<-或12x >；令()0f x '>，得112x a -<<，此时，函数()y f x =的单调递减区间为10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．当0x +→时，()f x →+∞；当x →+∞时，()f x →-∞， 则有11ln 2024a f ⎛⎫=+-=⎪⎝⎭或1111ln 0f a a a ⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若11ln 2024a f ⎛⎫=+-=⎪⎝⎭，则()4ln 21a =+，舍去；若1111ln 0f a a a ⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1t a =-，令()1ln g t t t =+-，其中102t <<， ()1110t g t t t-'=-=<，所以，函数()y g t =在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以，()13ln 2022g t g ⎛⎫>=+>⎪⎝⎭，此时方程()0g t =无解． 综上所述，实数a 的取值范围是()()4ln 21,++∞，故选A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．下列命题中，正确的命题是（ ）A ．已知随机变量服从二项分布(),B n p ，若()30E x =，()20D x =，则23p =B ．已知34A C n n =，则27n =C ．设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()1102P p ξ-<<=- D ．某人在10次射击中，击中目标的次数为X ，()~10,0.8X B ，则当8X =时概率最大 【答案】BCD【解析】对于选项A ：随机变量服从二项分布(),B n p ，()30E X =，()20D X =， 可得30np =，()120np p -=，则13p =，故选项A 错误； 对于选项B ：根据排列数和组合数的计算公式可得，()()()3!213!A n n n n n n ==---，()()()()4321!4!4!C 24nn n n n n n ---=-=， 因为34A C n n =，所以有()()()()()3212124n n n n n n n -----=，即3124n -=，解得27n =，故选项B 正确；对于选项C ：随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，则图象关于y 轴对称，若()1P p ξ>=， 则()1012P p ξ<<=-，即()1102P p ξ-<<=-，故选项C 正确； 对于选项D ：因为在10次射击中，击中目标的次数为X ，()~10,0,8X B ， 当x k =时，对应的概率()1010C 0.2kkkP x k -==⨯0.8⨯，所以当1k时，()()()10101110110411C 0.80.21C 0.80.2k k kk k k P x k k P x k k----+=-⋅⋅===-⋅⋅，由()()()41111P x k k P x k k =-=≥=-，得444k k -≥，即4415k ≤≤， 因为*k ∈N ，所以18k ≤≤且*k ∈N ， 即8k时，概率()8P x =最大，故选项D 正确，故选BCD ．10．下列等式正确的是（ ） A ．()111A A mm n n n +++=B ．()()!2!1n n n n =--C ．A C !mm n nn =D ．11A A m mnn n m+=- 【答案】ABD【解析】A ．11!(1)!(1)!(1)A (1)A ()!()![(1)(1)]!mm n n n n n n n n m n m n m +++++=+⋅===--+-+，故正确；B ．()()!(1)(2)3212!1(1)n n n n n n n n n --⨯⨯⨯⨯==---，故正确；C ．A A C !!m mm nn nm n =≠，故错误； D ．111!!A A (1)!()!m mn n n n n m n m n m n m +=⋅==-----，故正确， 故选ABD ．11．如图直角梯形ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，122BC CD AB ===，E 为AB 中点，以DE 为折痕把ADE △折起，使点A 到达点P 的位置，且23PC =．则（ ）A ．平面PED ⊥平面EBCD PC ED ⊥C ．二面角P DC B --的大小为π4D ．PC 与平面PED 2【答案】AC【解析】A 中，22222222PD AD AE DE ==+=+=在三角形PDC 中，222PD CD PC +=，所以PD CD ⊥， 又CD DE ⊥，可得CD ⊥平面PED ，CD ⊂平面EBCD ， 所以平面PED ⊥平面EBCD ，A 选项正确； B 中，若PC ED ⊥，又ED CD ⊥，可得ED ⊥平面PDC ，则ED PD ⊥，而EDP EDA ∠=∠， 显然矛盾，故B 选项错误；C 中，二面角P DC B --的平面角为PDE ∠，根据折前着后不变知45PDE ADE ∠=∠=︒，故C 选项正确； D 中，由上面分析可知，CPD ∠为直线PC 与平面PED 所成角， 在PCD Rt △中，2tan 2CD CPD PD ∠==，故D 选项错误， 故选AC ．12．设()f x '为函数()f x 的导函数，已知()()2ln x f x xf x x '+=，()112f =，则下列结论中正确的是（ ）A ．()xf x 在()1,+∞上单调递增B ．()xf x 在()0,1上单调递减C ．()xf x 在(0,)+∞上有极大值12D ．()xf x 在(0,)+∞上有极小值12【答案】ABD【解析】由2()()ln x f x xf x x '+=，得ln ()()xxf x f x x'+=， 设()()g x xf x =，则ln ()()()xg x xf x f x x''=+=， 由()0g x '>，得1x >；由()0g x '<，得01x <<，所以()()g x xf x =在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减， 在(0,)+∞上有极小值1(1)(1)2g f ==， 故选ABD ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知复数z 满足：()271i 42i z +=-，则z =________． 5【解析】42i12i 2iz +==-，故12i 5z =+=5 14．若2nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的二项式系数和为32，则展开式中3x 的系数为_______． 【答案】10-【解析】依题意2nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的二项式系数和为32，所以232n =，即5n =，二项式52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()()515255C 22C r r r r rr x x x ---⋅⋅-=-⋅⋅，令523r -=，1r =，所以3x 的系数为()1152C 10-⋅=-， 故答案为10-．15．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援．若将5名医生志愿者分配到两家医院(每人去一家医院，每家医院至少去1人)，则共有_______种分配方案．（用数字作答） 【答案】30【解析】由题可知，先将5名医生分成2组，有14235453C C C C 51015⋅+⋅=+=种，再分配的两家医院有2215A 30=种，即有30种分配方案，故答案为30．16．已知空间向量PA ，PB ，PC 的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为60︒，点G 为ABC △的重心，若PG xPA yPB zPC =++，x ，y ，z ∈R ，则x y z ++=__________；||PG =__________．【答案】1，53【解析】取AC 的中点D ，22()33PG PB BG PB BD PB PD PB =+=+=+⨯- 21111[()]32333PB PA PC PB PA PB PC =+⨯+-=++，又PG xPA yPB zPC =++，空间向量PA ，PB ，PC 的模长分别为1，2，3， 且两两夹角均为60︒，13x =，13y =，13z =，1x y z ++=，21111||||()3333PG PA PB PC PA PB PC =++=++22212223PA PB PC PA PB PC PB PA PC =+++⋅+⋅+⋅ 2221111512321223221332223=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在三棱锥P ABC-中，侧面PBC是边长为2的等边三角形，M，N分别为AB，AP的中点，过MN的平面与侧面PBC交于EF．（1）求证：//MN EF；（2）若平面PBC⊥平面ABC，3AB AC==，求直线PB与平面PAC所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（22210．【解析】（1）因为M，N分别为AB，AP的中点，所以//MN PB，又MN⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，所以//MN平面PBC，因为平面MNEF平面PBC EF=，所以//MN EF．（2）因为平面PBC⊥平面ABC，取BC中点O，连接PO，AO，因为PBC△是等边三角形，所以PO BC⊥，所以PO⊥平面ABC，故PO AO⊥，又因为AB AC=，所以AO BC⊥，以O为坐标原点，分别以OB，AO，OP为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得(0,0,0)O ，3)P，(0,2,0)A-，(1,0,0)B，(1,0,0)C-，所以(1,0,3)=-PB，(0,22,3)PA=-，(1,0,3)PC=-，设平面PAC的法向量为(,,)x y z=n，则23030zx z⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，令2y=，得4x=，43z=432,⎛=⎝⎭n，2210cos,2102PB〈〉==⨯n，所以直线PB与平面PAC所成角的正弦值为2210．18．（12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为：商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为300元；分4期或5期付款，其利润为400元，η表示经销一件该商品的利润．（1）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用期付款”的概率()P A；（2）求η的分布列、期望和方差．【答案】（1）0.488；（2）分布列见解析，()300Eη=，()4000Dη=．【解析】（1）购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，设A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知A表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，3()(10.2)0.512P A=-=，∴()1()10.5120.488P A P A=-=-=．（2）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，300元，400元，得到变量对应的事件的概率，(200)(1)0.2P Pηξ====，(300)(2)(3)0.30.30.6P P P ηξξ===+==+=，(400)(4)(5)0.10.10.2P P P ηξξ===+==+=，η的分布列为：∴()2000.23000.64000.2300E η=⨯+⨯+⨯=，∴()222(200300)0.2(300300)0.6(400300)0.24000D η=-⨯+-⨯+-⨯=．19．（12分）已知1()ln (0)f x x ax a x=-≥． （1）若函数()f x 在x e =处的切线平行于x 轴，求函数()f x 的单调区间； （2）设函数()()f x F x x=，若()F x 在(0,)e 上有两个零点，求实数a 的取值范围．(其中e 为自然对数的底数)【答案】（1）()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为(),e +∞；（2）2112a e e<<． 【解析】（1）()21ln xf x a x-'=-，函数()f x 在x e =处的切线平行于x 轴， 则()0f e '=，即0a =，此时()21ln xf x x-'=， 令()0f x '=，解得x e =，当0x e <<时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当x e >时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为(),e +∞． （2）()()2ln f x x F x a x x==-，定义域为()0,∞+，则()312ln xF x x -'=， 可得当(x e ∈时，()0F x '>，()F x 单调递增；当(),x e ∈+∞时，()0F x '<，()F x 单调递减，所以()F x 在x e =(12Fe a e=-， 又210F e a e ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，所以()F x 在()0,e 上有两个零点只需()0F e F e ⎧>⎪⎨<⎪⎩， 即210210a e a e ⎧->⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，解得2112a e e <<，所以实数a 的取值范围为2112a e e<<． 20．（12分）某学校八年级共有学生400人，现对该校八年级学生随机抽取50名进行实践操作能力测试，实践操作能力测试结果分为四个等级水平，一、二等级水平的学生实践操作能力较弱，三、四等级水平的学生实践操作能力较强，测试结果统计如下表：等级 水平一 水平二 水平三 水平四 男生/名 4 8 12 6 女生/名6842（1）根据表中统计的数据填写下面22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为学生实践操作能力强弱与性别有关？实践操作能力较弱实践操作能力较强合计 男生/名 女生/名 合计（2）现从测试结果为水平一的学生中随机抽取4名进行学习力测试，记抽到水平一的男生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．下面的临界值表供参考：()20P K k ≥0．15 0．10 0．05 0．025 0．010 0．005 0．0010k2．072 2．706 3．841 5．024 6．635 7．879 10．828参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【答案】（1）列联表见解析，有95%的把握认为；（2）分布列见解析，() 1.6E ξ=． 【解析】（1）实践操作能力较弱实践操作能力较强合计 男生/名 12 18 30 女生/名 14 6 20 合计262450所以()25061214182254.327 3.8413020262452K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为学生实践操作能力强弱与性别有关． （2）ξ的取值为0，1，2，3，4．()46410C 10C 14P ξ===，()1346410C C 81C 21P ξ===，()2246410C C 32C 7P ξ===，()3146410C C 43C 35P ξ===，()44410C 14C 210P ξ===．所以ξ的分布列为ξ1234P114821374351210所以()01234 1.614217352105E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==． 21．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点D 、E 分别为AC 和11B C 的中点．（1）证明：//DE 平面11ABB A ；（2）若AB BC ⊥，12AB BC AA ===，求二面角B AE D --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）55． 【解析】（1）如图，作线段BC 中点F ，连接DF 、EF ，因为F 是线段BC 中点，点D 为线段AC 的中点，所以DF AB ∥，因为F 是线段BC 中点，点E 为线段11B C 的中点，三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱， 所以1EF B B ∥， 因为DFEF F =，直线AB平面11ABB A ，直线1B B ⊂平面11ABB A ，所以平面DEF ∥平面11ABB A ，因为DE ⊂平面DEF ，所以DE ∥平面11ABB A ．（2）如图，以B 为原点、BC 为x 轴、BA 为y 轴、1BB 为z 轴构建空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()0,2,0A ，()1,0,2E ，()1,1,0D ，()0,2,0BA =，1,0,2BE，1,1,0AD ，0,1,2DE ，设()111,,x y z =n 是平面BAE 的法向量，则0BA BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即111020y x z =⎧⎨+=⎩，令12x =，则()2,0,1=-n ，5=n设()222,,x y z =m 是平面AED 的法向量，则0AD DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即2222020x y y z -=⎧⎨-+=⎩，令22x =，则()2,2,1=m ，3=m ， 令二面角B AE D --为θ，则5cos 35θm nm n， 故结合图像易知，二面角B AE D --5 22．（12分）已知()ln f x x a x =-+． （1）讨论函数()f x 的极值；（2）若对[]1,x e ∀∈，其中e 为自然对数的底数，使得()1af x x+<恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）()212,11,1e e e e ⎛⎫+--- ⎪-⎝⎭．【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()1a a xf x x x-'=-=， 当0a ≤时，()0f x '<，故()f x 的单调递减，无极值；当0a >时，令()0f x '=，得x a =．则0x a <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；x a >时，()0f x '<，()f x 单调递减， 综上所述，当0a >时，()f x 在x a =处取得极大值()ln f a a a a =-+，无极小值． 当0a ≤时，无极值． （2）由题意知，1ln 0aa x x x+--<恒成立， 设()1ln ag x a x x x+=--，则只需()g x 在[]1,e 上的最大值小于零， ()()()221111x x a a a g x x x x +-++⎡⎤+⎣⎦'=+-=，令()0g x '=，得1x =-(舍去)或1x a =+．①当1a e +≥，即1a e ≥-时，()g x 在[]1,e 上单调递增， 故()g x 在[]1,e 上取得最大值()1ag e a e e+=--， 由()0g e <，得10a a e e+--<，解得211e a e +<-，又()2121011e e e e e +--=>--，故()2111e e e +>--，所以2111e e a e +-<<-； ②当11a +≤，即0a ≤时，()g x 在[]1,e 上单调递减， 故()g x 在[]1,e 上取得最大值()()1112g a a =--+=--， 由()10g <，得20a -<≤；③当11a e <+<，即01a e <<-时，()g x 在()1,1a +上单调递增，在()1,a e +上单调递减，故()g x 在[]1,e 上取得最大值()()1ln 12g a a a a +=+--， 又11a e <+<，()0ln 11a <+<，所以()0ln 1a a a <+<，()()2ln 122a a a a -+<+--<-，故01a e <<-， 综上，实数a 的取值范围为()212,11,1e e e e ⎛⎫+--- ⎪-⎝⎭．。