江苏省南通中学高二上学期期末考试数学试题(解析版)

2016-2017学年江苏省南通中学高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5分）若直线经过A（1，0）、B（0，﹣1）两点，则直线AB的倾斜角为．2．（5分）如果平面α∥平面β 且直线l⊥α，那么直线l与平面β 的位置关系是．3．（5分）函数f（x）=x•e x，则f′（1）=．4．（5分）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为．5．（5分）已知抛物线的准线方程为x=﹣2，则抛物线的标准方程为．6．（5分）棱长为1的正方体的外接球的表面积为．7．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为y=2x，则双曲线C的离心率为．8．（5分）已知函数f（x）=lnx+x，若函数f（x）在点P（x0，f（x0））处切线与直线3x﹣y+1=0平行，则x0=．9．（5分）如果平面直角坐标系中的两点A（a﹣1，a+1），B（a，a）关于直线L 对称，那么直线L的方程为．10．（5分）椭圆+=1（a＞b＞0）与圆x2+y2=（+c）2（c为椭圆半焦距）有四个不同交点，则离心率的取值范围是．11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+1在区间[0，2]内单调递减，则实数a的取值范围是．12．（5分）若直线ax﹣by+1=0平分圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0的周长，则ab的取值范围是．13．（5分）定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对任意x∈（0，+∞），f[f （x）﹣log2x]=3成立，若方程f（x）﹣f'（x）=2的解在区间（k，k+1）（k∈Z）内，则k=．14．（5分）过点P（1，3）的动直线与抛物线y=x2交于A，B两点，在A，B两点处的切线分别为l1、l2，若l1和l2交于点Q，则圆x2+（y﹣2）2=4上的点与动点Q距离的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知函数f（x）=﹣x3+x2+3x+a（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）若函数f（x）在区间[﹣4，4]上的最大值为26，求a的值．16．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，E，F分别为PB，PC的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面AEF⊥平面PAB．17．（14分）已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P 在直线l上，过P点作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（1）若点P的坐标为（0，0），求∠APB；（2）若点P的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C、D两点，当时，求直线CD的方程；（3）经过A、P、M三点的圆是否经过异于点M的定点，若经过，请求出此定点的坐标；若不经过，请说明理由．18．（16分）请你设计一个仓库．它的上部是底面圆半径为5m的圆锥，下部是底面圆半径为5m的圆柱，且该仓库的总高度为5m．经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为4百元/m2，1百元/m2，设圆锥母线与底面所成角为θ，且．（1）设该仓库的侧面总造价为y，写出y关于θ的函数关系式；（2）问θ为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：百元）最少？并求出此时圆锥的高度．19．（16分）已知椭圆的离心率为，一条准线方程为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m与椭圆交于P，Q两点．①若m=﹣2，当△OPQ面积最大时，求直线l的方程；②当k≠0时，若以PQ为直径的圆经过椭圆的右顶点，求证：直线l过定点．20．（16分）已知函数，曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线y=e2x+e垂直．（1）求a的值及f（x）的极值；（2）是否存在区间，使函数f（x）在此区间上存在极值和零点？若存在，求实数t的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）若不等式x2f（x）＞k（x﹣1）对任意x∈（1，+∞）恒成立，求整数k的最大值．2016-2017学年江苏省南通中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5分）若直线经过A（1，0）、B（0，﹣1）两点，则直线AB的倾斜角为．【分析】根据斜率公式直线AB的斜率k，再由倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围求出倾斜角的大小．【解答】解：∵直线经过A（1，0）、B（0，﹣1）两点，故直线AB的斜率k=1，设倾斜角为α，则0≤α＜π，且tanα=1，∴α=，故答案为：．2．（5分）如果平面α∥平面β 且直线l⊥α，那么直线l与平面β 的位置关系是l⊥β．【分析】由已知中平面α∥平面β 且直线l⊥α，根据面面平行的几何特征及线面垂直的判定方法，易得到直线l⊥平面β，得到答案．【解答】解：∵平面α∥平面β又∵直线l⊥平面α故直线l⊥平面β故答案为：l⊥β3．（5分）函数f（x）=x•e x，则f′（1）=2e．【分析】根据（uv）′=u′v+uv′和（e x）′=e x，求出函数的导函数，把x等于1代入到导函数中即可求出f′（1）的值．【解答】解：f′（x）=（x•e x）′=e x+xe x，∴f′（1）=e+e=2e．故答案为：2e．4．（5分）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为x2+（y﹣2）2=1．【分析】由圆心在y轴上，设出圆心的坐标（0，b），又圆的半径为1，写出圆的标准方程，由所求圆过（1，2），把（1，2）代入圆的方程即可确定出b的值，从而得到圆的方程．【解答】解：由圆心在y轴上，设出圆心坐标为（0，b），又半径为1，∴所求圆的方程为x2+（y﹣b）2=1，由所求圆过（1，2），代入圆的方程得：1+（2﹣b）2=1，解得：b=2，则所求圆的方程为：x2+（y﹣2）2=1．故答案为：x2+（y﹣2）2=15．（5分）已知抛物线的准线方程为x=﹣2，则抛物线的标准方程为y2=8x．【分析】设抛物线方程为y2=2px（p＞0），根据题意建立关于p的方程，解之可得p=4，得到抛物线方程．【解答】解：由题意，设抛物线的标准方程为y2=2px（p＞0），准线方程是x=﹣，∵抛物线的准线方程为x=﹣2，∴=2，解得p=4，故所求抛物线的标准方程为y2=8x．故答案为：y2=8x．6．（5分）棱长为1的正方体的外接球的表面积为3π．【分析】本题考查一个常识，即：由正方体的体对角线的长就是外接球的直径的大小，因此可得到外接球的直径，进而求得R，再代入球的表面积公式可得球的表面积．【解答】解：设正方体的棱长为a，正方体外接球的半径为R，则由正方体的体对角线的长就是外接球的直径的大小可知：2R=，即R===；=4πR2=3π．所以外接球的表面积为：S球故答案为：3π7．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为y=2x，则双曲线C．【分析】先根据双曲线的标准方程求得渐近线方程，根据其中一条的方程求得a 和b的关系，进而求得a和c的关系，则离心率可得．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y=±，一条渐近线的方程为y=2x，∴=2，设a=t，b=2t则c==t∴离心率e==故答案为：8．（5分）已知函数f（x）=lnx+x，若函数f（x）在点P（x0，f（x0））处切线与直线3x﹣y+1=0平行，则x0=．【分析】求出导函数，利用切线斜率，然后即可．【解答】解：函数f（x）=lnx+x，可得函数f′（x）=+1，函数f（x）在点P（x0，f（x0））处切线与直线3x﹣y+1=0平行，可得：，解得x0=．故答案为：．9．（5分）如果平面直角坐标系中的两点A（a﹣1，a+1），B（a，a）关于直线L 对称，那么直线L的方程为x﹣y+1=0．【分析】利用垂直平分线的性质即可得出．【解答】解：∵k AB==﹣1，线段AB的中点为，两点A（a ﹣1，a+1），B（a，a）关于直线L对称，∴k L=1，其准线方程为：y﹣=x﹣，化为：x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0．10．（5分）椭圆+=1（a＞b＞0）与圆x2+y2=（+c）2（c为椭圆半焦距）有四个不同交点，则离心率的取值范围是．【分析】由圆的方程求得圆的半径，要使椭圆与圆有四个不同交点，则圆的半径大于椭圆短半轴小于椭圆长半轴长，由此得到不等式求得椭圆离心率的范围．【解答】解：由圆x2+y2=（+c）2是以原点为圆心，以为半径的圆，∴要使椭圆+=1（a＞b＞0）与圆x2+y2=（+c）2有四个不同交点，则，由，得b＜2c，即a2﹣c2＜4c2，即；联立，解得或e＞1（舍）．∴椭圆离心率的取值范围是．故答案为：．11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+1在区间[0，2]内单调递减，则实数a的取值范围是[3，+∞）．【分析】由函数f（x）=x3﹣ax2+1在[0，2]内单调递减转化成f'（x）≤0在[0，2]内恒成立，利用参数分离法即可求出a的范围．【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣ax2+1在[0，2]内单调递减，∴f'（x）=3x2﹣2ax≤0在[0，2]内恒成立．即a≥x在[0，2]内恒成立．∵t=x在[0，2]上的最大值为×2=3，∴故答案为：a≥3．12．（5分）若直线ax﹣by+1=0平分圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0的周长，则ab的取值范围是．【分析】依题意知直线ax﹣by+1=0过圆C的圆心（﹣1，2），故有a+2b=1，再利用ab=（1﹣2b）b=﹣2（b﹣）2+，求得ab的取值范围．【解答】解：∵直线ax﹣by+1=0平分圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0的周长，∴直线ax﹣by+1=0过圆C的圆心（﹣1，2），∴有a+2b=1，∴ab=（1﹣2b）b=﹣2（b﹣）2+≤，∴ab的取值范围是．故答案为：．13．（5分）定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对任意x∈（0，+∞），f[f（x）﹣log2x]=3成立，若方程f（x）﹣f'（x）=2的解在区间（k，k+1）（k∈Z）内，则k=1．【分析】设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得t的值，可得f（x）的解析式，由二分法分析可得h（x）的零点所在的区间为（1，2），结合函数的零点与方程的根的关系，即可得答案．【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣log 2x为定值，设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得，t=2；则f（x）=log2x+2，f′（x）=，将f（x）=log2x+2，f′（x）=代入f（x）﹣f′（x）=2，可得log2x+2﹣=2，即log2x﹣=0，令h（x）=log2x﹣，分析易得h（1）=＜0，h（2）=1﹣＞0，则h（x）=log2x﹣的零点在（1，2）之间，则方程log2x﹣=0，即f（x）﹣f′（x）=2的根在（1，2）上，故答案为：1．14．（5分）过点P（1，3）的动直线与抛物线y=x2交于A，B两点，在A，B两点处的切线分别为l1、l2，若l1和l2交于点Q，则圆x2+（y﹣2）2=4上的点与动点Q距离的最小值为﹣2．【分析】设动直线的方程为：y﹣3=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2）．直线方程与抛物线方程联立化为：x2﹣kx+k﹣3=0．对y=x2求导，y′=2x，可得切线l1、l2的方程分别为：y﹣y1=2x1（x﹣x1），y﹣y2=2x2（x﹣x2）．化为：y=2x1x﹣，y=2x2x﹣，再利用根与系数的关系可得：Q，其轨迹方程为：y=2x﹣3．圆x2+（y﹣2）2=4的圆心C（0，2）．求出圆心C到直线的距离d．即可得出圆x2+（y﹣2）2=4上的点与动点Q距离的最小值为d﹣r．【解答】解：设动直线的方程为：y﹣3=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2）．联立，化为：x2﹣kx+k﹣3=0，∴x1+x2=k，x1x2=k﹣3．对y=x2求导，y′=2x，切线l1、l2的方程分别为：y﹣y1=2x1（x﹣x1），y﹣y2=2x2（x﹣x2）．化为：y=2x1x﹣，y=2x2x﹣，相减可得：x==，相加可得：y=（x1+x2）x﹣[﹣2x1x2]=﹣=k﹣3．解得Q，其轨迹方程为：y=2x﹣3．圆x2+（y﹣2）2=4的圆心C（0，2）．圆心C到直线的距离d==＞2=r．∴圆x2+（y﹣2）2=4上的点与动点Q距离的最小值为﹣2．故答案为：﹣2．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知函数f（x）=﹣x3+x2+3x+a（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）若函数f（x）在区间[﹣4，4]上的最大值为26，求a的值．【分析】（1）求出导数，令导数大于0，解不等式即可得到所求增区间；（2）求得f（x）在区间[﹣4，4]内的单调区间，求得极值，以及端点处的函数值，可得最大值，解方程可得a的值．【解答】解：（1），则f′（x）=﹣x2+2x+3，令f′（x）＞0，即﹣x2+2x+3＞0，解得﹣1＜x＜3，所以函数f（x）的单调增区间为（﹣1，3）．（2）由函数在区间[﹣4，4]内的列表可知：函数f（x）在（﹣4，﹣1）和（3，4）上分别是减函数，在（﹣1，3）上是增函数．又因为，所以f（﹣4）＞f（3），所以f（﹣4）是f（x）在[﹣4，4]上的最大值，所以，即．16．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，E，F分别为PB，PC的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面AEF⊥平面PAB．【分析】（1）根据三角形中位线定理可得EF∥BC，进而根据线面平行的判定定理可得EF∥平面ABC；（2）根据PA⊥平面ABC，可得PA⊥BC，结合∠ABC=90°，及线面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAB，进而由线面垂直的第二判定定理可得EF平面PAB，最后由面面垂直的判定定理可得平面AEF⊥平面PAB．【解答】证明：（1）∵E，F分别为PB，PC的中点．∴EF∥BC，又∵BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC；（2）∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又∵∠ABC=90°，∴AB⊥BC，又∵PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，由（1）中EF∥BC，∴EF⊥平面PAB，又∵EF⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PAB．17．（14分）已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P 在直线l上，过P点作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（1）若点P的坐标为（0，0），求∠APB；（2）若点P的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C、D两点，当时，求直线CD的方程；（3）经过A、P、M三点的圆是否经过异于点M的定点，若经过，请求出此定点的坐标；若不经过，请说明理由．【分析】（1）求出MP=2，推出∠MPA=∠MPA=30°，即可求出∠APB．（2）当直线斜率不存在时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线CD方程为y﹣1=k（x﹣2），利用圆心M到直线CD的距离为，求出k没然后求解直线方程．（3）设P（2m，m），MP的中点，求出经过A、P、M三点的圆是以Q为圆心，MQ为半径的圆，的方程，然后求解，交点坐标，推出经过A、P、M三点的圆经过异于点M的定点．【解答】解：（1）因为点P坐标为（0，0），所以MP=2，又因为MA=MB=1，所以∠MPA=∠MPA=30°，故∠APB=60°．（2）当直线斜率不存在时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线CD方程为y﹣1=k（x﹣2）因为，所以圆心M到直线CD的距离为，由，解得k=﹣1或，故直线CD的方程为：x+y﹣3=0或x+7y﹣9=0．（3）设P（2m，m），MP的中点，因为PA为圆M的切线，所以经过A、P、M三点的圆是以Q为圆心，MQ为半径的圆，故其方程为化简得x2+y2﹣2y﹣m（2x+y﹣2）=0，由，解得或，所以经过A、P、M三点的圆经过异于点M的定点．18．（16分）请你设计一个仓库．它的上部是底面圆半径为5m的圆锥，下部是底面圆半径为5m的圆柱，且该仓库的总高度为5m．经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为4百元/m2，1百元/m2，设圆锥母线与底面所成角为θ，且．（1）设该仓库的侧面总造价为y，写出y关于θ的函数关系式；（2）问θ为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：百元）最少？并求出此时圆锥的高度．【分析】（1）根据题意圆锥侧面S1=rl=×，圆柱侧面S2=2π×5×（5﹣5tanθ），侧面总造价为y=4S1+S2．（2）利用导函数求解y的单调性，利用单调性求最小值．即可求出此时圆锥的高度．【解答】解：（1）由题意=，；（2）由（1）可得y=，；那么：令解得：，∵，∴，列表：）所以当时，侧面总造价y最小，此时圆锥的高度为m．19．（16分）已知椭圆的离心率为，一条准线方程为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m与椭圆交于P，Q两点．①若m=﹣2，当△OPQ面积最大时，求直线l的方程；②当k≠0时，若以PQ为直径的圆经过椭圆的右顶点，求证：直线l过定点．【分析】（1）由e==，准线方程x==，求得a和c，b2=a2﹣c2，求得椭圆方程；（2）①将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式及三角形的面积公式，采用换元法，利用基本不等式式的性质，求得△OPQ面积最大的最大值时，求得对应的k值，求得直线l的方程；②AP⊥AQ，利用向量数量积的坐标运算求得5m2+16km+12k2=0，求得m和k的关系，代入即可求证直线l过定点．【解答】解：（1）由椭圆的离心率e==，准线方程x==，解得：a=2，c=，b2=a2﹣c2=1，椭圆C的标准方程；（2）由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＞0，整理得4k2﹣m2+1＞0（*）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，（**）①当m=﹣2时，代入（*）和（**）式得：，，．∴，又O到直线l的距离，∴．令，则t＞0，则当且仅当t=2，即时等号成立，且因此△OPQ面积最大时，直线l的方程为：y=±x﹣2，②证明：由已知，AP⊥AQ，且椭圆右顶点为A（2，0），∴（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=（x1﹣2）（x2﹣2）+（kx1+m）（kx2+m）=0，即（1+k2）x1x2+（km﹣2）（x1+x2）+m2+4=（1+k2）+（km﹣2）•+m2+4=0，整理得：5m2+16km+12k2=0，解得：m=﹣2k或m=﹣，均满足（*）式，∴当m=﹣2k时，直线l的方程为：y=kx﹣2k=k（x﹣2），过定点（2，0）与题意矛盾；当m=﹣时，直线l的方程为y=k﹣=k（x﹣），过定点，得证．20．（16分）已知函数，曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线y=e2x+e垂直．（1）求a的值及f（x）的极值；（2）是否存在区间，使函数f（x）在此区间上存在极值和零点？若存在，求实数t的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）若不等式x2f（x）＞k（x﹣1）对任意x∈（1，+∞）恒成立，求整数k的最大值．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（e），f′（e）的值，求出a的值，从而求出f（x）的解析式，求出函数的单调区间，得到函数的极值即可；（2）画出函数f（x）的图象，结合图象求出t的范围即可；（3）问题可化为，令，（x＞1），根据函数的单调性求出k的最大值即可．【解答】解：（1）由，得．因为f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线y=e2x+e垂直，所以，解得a=1，所以，令，得x=1．因为当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，故f（x）在x=1处取得极大值1，无极小值；（2）因为f（x）在（1，+∞）上单调递减，且f（x）＞0又由（1）知f（x）在（0，1）上单调递增，且，f（1）=1＞0所以由零点存在原理得f（x）在区间（0，1）存在唯一零点，函数f（x）的图象如图所示：因为函数f（x）在区间上存在极值和零点，所以由，解得．所以存在符合条件的区间，实数t的取值范围为；（3）当x∈（1，+∞）时，不等式x2f（x）＞k（x﹣1）可变形为设，（x＞1），则设φ（x）=x﹣lnx﹣2，（x＞1），则因为x＞1时，，所以φ（x）=x﹣lnx﹣2在（1，+∞）上单调递增，又因为φ（3）=1﹣ln3＜0，φ（4）=2﹣ln4＞0所以存在唯一的x0∈（3，4），使得φ（x0）=0，即lnx0=x0﹣2，当x∈（1，x0）时，φ（x）＜0，即h'（x0）＜0，当x∈（x0，+∞）时，φ（x）＞0，即h'（x0）＞0，所以h（x）在（1，x0）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故，因为，且x0∈（3，4），所以整数k的最大值为3．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

2024学年南通市重点中学数学高二上期末综合测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．椭圆22194x y +=的长轴长是（） A.3B.6C.9D.4 2．函数()()21ln f x x x=+的图象大致是（） A. B. C. D.3．函数()22ln f x x x =-的递增区间是（） A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D.1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 4．从直线34:15x l y +=上动点P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为C 、D ，则CPD ∠最大时，四边形OCPD （O 为坐标原点）面积是（）3 B.22C. D.25．椭圆221164x y +=的长轴长为（） A.2B.4C.6D.86．某企业甲车间有200人，乙车间有300人，现用分层抽样的方法在这两个车间中抽取25人进行技能考核，则从甲车间抽取的人数应为（）A.5B.10C.8D.97． “直线l 的斜率不大于0”是“直线l 的倾斜角为钝角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8．若函数()2f x x t =-，当1x m ≤≤时，平均变化率为3，则m 等于（）B.2C.3D.19．已知,,A B C 三个观测点，A 在B 的正北方向，相距2040m ，C 在B 的正东方向，相距1360m .在某次爆炸点定位测试中，,A B 两个观测点同时听到爆炸声，C 观测点晚2s 听到，已知声速为340m /s ，则爆炸点与C 观测点的距离是（ ）A.680mB.1020mC.1360mD.1700m10．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,点O 是原点,若3AF =;则AOB ∆的面积为 （ ）A.2C.2D.11．已知m ，n 表示两条不同的直线，α表示平面.下列说法正确的是A.若//m α，//n α，则//m nB.若m α⊥，n α⊥，则//m nC.若m α⊥，m n ⊥，则//n αD.若//m α，m n ⊥，则n α⊥12．已知x ，y 满足24120x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =-的最小值为（）A.5B.-3C.-5D.-9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2014-2015学年江苏省南通中学高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）计算：（）2=．2．（5分）函数f（x）=的单调递增区间是．3．（5分）已知复数z=（2﹣i）i，则z的模为．4．（5分）曲线y=sinx在点（）处的切线方程为．5．（5分）下列图形中，若黑色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为6．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=3x2+2xf′（2），则f′（3）=．7．（5分）已知复数z=2+sinθ+sinθ•i，则||的取值范围是．8．（5分）若函数f（x）=x3+x2+mx+2是R上的单调函数，则实数m的取值范围为．9．（5分）如图为函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象，f′（x）为函数f（x）的导函数，则不等式x•f′（x）＜0的解集为．10．（5分）设P为函数y=（x+1）图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是．11．（5分）已知定义域为{x|x＞0}的函数f（x）对于任意的x都满足f（x）﹣xf′（x）＜0．若0＜a＜b，则bf（a）af（b）（请从“＞”，“＜”，“=”中选择正确的一个填写）．12．（5分）设直线y=a分别与曲线y2=x和y=e x交于点M、N，则当线段MN取得最小值时a的值为．13．（5分）已知点A（x1，x12）、B（x2，x22）是函数y=x2的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点A（x1，lgx1）、B （x2，lgx2）是函数y=lgx（x∈R+）的图象上的不同两点，则类似地有成立．14．（5分）若不等式|ax3﹣lnx|≥1对任意x∈（0，1]都成立，则实数a取值范围是．二、解答题：本大题共3小题，共计90分．请注意文理科类，并在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知复数z=+（a2﹣5a﹣6）i（a∈R）．（1）求实数a为何值时，z为实数；（2）求实数a为何值时，z为虚数；（3）求实数a为何值时，z为纯虚数．16．（14分）已知曲线C：y=e x+a 与直线y=ex+3相切，其中e为自然对数的底数．（1）求实数a的值；（2）求曲线C上的点P到直线y=x﹣4的距离的最小值，并求出取得最小值时点P的坐标．17．（14分）某公司为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查发现投入广告费t（百万元），可增加销售额约为﹣t2+5t（百万元）（0≤t≤5）．（1）若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？（2）现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x（百万元），可增加的销售额约为x3+x2+3x（百万元）．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大？（注：收益=销售额﹣投放）．一、选做题（理）18．（16分）已知数列{a n}的前n项和S n=2n﹣a n（n∈N+）．（1）计算数列{a n}的前4项；（2）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．一、选做题：（文）19．求证：1，，3不可能是一个等差数列中的三项．20．（16分）（理科）已知函数f（x）=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1，x∈R，t∈R．（1）当t≠0时，求f（x）的单调区间；（2）证明：对任意t∈（0，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．21．（16分）已知a∈R，函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），e为自然对数的底数．（1）若a=，求函数y=|f（x）|取得极值时所对应的x的值；（2）若不等式f（x）≤﹣+恒成立，求a的取值范围．2014-2015学年江苏省南通中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）计算：（）2=i．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：原式===i．故答案为：i．2．（5分）函数f（x）=的单调递增区间是（0，e）．【分析】求出函数的导数为y′的解析式，令y′＞0 求得x的范围，即可得到函数的单调递增区间．【解答】解：由于函数的导数为y′=，令y′＞0 可得lnx＜1，解得0＜x＜e，故函数的单调递增区间是（0，e），故答案为：（0，e）．3．（5分）已知复数z=（2﹣i）i，则z的模为．【分析】直接通过复数两边求模即可．【解答】解：复数z=（2﹣i）i，∴|z|=|（2﹣i）i|=|2﹣i||i|==．故答案为：．4．（5分）曲线y=sinx在点（）处的切线方程为．【分析】欲求切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：依题意得y′=cosx，因此曲线y=sinx在点（）处的切线的斜率等于，相应的切线方程是y﹣=（x﹣），即，故答案为：．5．（5分）下列图形中，若黑色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为a n=3n﹣1【分析】根据图形的特点，每增加一个三角形应在原来的基础上再增加3倍个三角形，三角形的个数为：1，3，3×3，3×9…，归纳出第n图形中三角形的个数．【解答】解：由图形得：第2个图形中有3个三角形，第3个图形中有3×3个三角形，第4个图形中有3×9个三角形，以此类推：第n个图形中有3n﹣1个三角形．故答案为：a n=3n﹣16．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=3x2+2xf′（2），则f′（3）=﹣6．【分析】求函数的导数，先求出f′（2），即可．【解答】解：∵f（x）=3x2+2xf′（2），∴f′（x）=6x+2f′（2），则f′（2）=6×2+2f′（2），解得f′（2）=﹣12，则f′（x）=6x﹣24，∴f′（3）=18﹣24=﹣6，故答案为：﹣67．（5分）已知复数z=2+sinθ+sinθ•i，则||的取值范围是．【分析】直接利用复数模的计算公式结合三角函数的有界性求得答案．【解答】解：∵z=2+sinθ+sinθ•i，∴，则||====．∵sinθ∈[﹣1，1]，∴|z|∈．故答案为：．8．（5分）若函数f（x）=x3+x2+mx+2是R上的单调函数，则实数m的取值范围为[，+∞）．【分析】先求f′（x）=3x2+2x+m，而f（x）在R上是单调函数，所以二次函数f′（x）≥0在R上恒成立，所以△≤0，这样即可求出实数m的范围．【解答】解：f′（x）=3x2+2x+m；∵f（x）在R上是单调函数；∴f′（x）≥0对于x∈R恒成立；∴△=4﹣12m≤0；∴．∴实数m的取值范围为[，+∞）．故答案为：．9．（5分）如图为函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象，f′（x）为函数f（x）的导函数，则不等式x•f′（x）＜0的解集为．【分析】先从原函数的极值点处得出导数的零点，再利用导函数是二次函数的特点，结合二次函数的图象，即可解出不等式x•f′（x）＜0的解集．【解答】解：由图可知：±是函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的两个极值点，且a＞0即±是导函数f′（x）的两个零点，导函数的图象如图，由图得：不等式x•f′（x）＜0的解集为：．故答案为：．10．（5分）设P为函数y=（x+1）图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是[，）．【分析】由f′（x）==+，再利用基本不等式求其范围，从而得出切线的倾斜角为θ的正切值的取值范围，而0≤θ＜π，从而可求θ的取值范围．【解答】解：∵函数，∴y′==+≥2=（当且仅当=取等号），∴y′∈[，+∞），∴tanθ，又0≤θ＜π，∴≤θ．故答案为：[，）．11．（5分）已知定义域为{x|x＞0}的函数f（x）对于任意的x都满足f（x）﹣xf′（x）＜0．若0＜a＜b，则bf（a）＜af（b）（请从“＞”，“＜”，“=”中选择正确的一个填写）．【分析】构造函数F（x）=，求导，由已知判断其单调性，得到自变量a，b的函数值大小．【解答】解：令F（x）=，F'（x）=[xf′（x）﹣f（x）]，∵f（x）﹣xf′（x）＜0，所以F'（x）＞0 即F（x）是增函数，即当0＜a＜b，时，F（a）＜F（b），即，∴af（b）＞bf（a）．故答案为：＜．12．（5分）设直线y=a分别与曲线y2=x和y=e x交于点M、N，则当线段MN取得最小值时a的值为．【分析】先确定M、N的坐标，求得线段MN长，利用导数的方法，可求线段MN的最小值，从而可得a的值．【解答】解：∵直线y=a分别与曲线y2=x和y=e x交于点M、N∴M（a2，a），N（lna，a）∴线段MN长l=|a2﹣lna|由题意可知a＞0，设f（a）=a2﹣lna，f'（a）=2a﹣令f'（a）＞0，a＞；令f'（a）＜0，a＜故f（）为函数f（a）的最小值，并且f（）＞0所以a=时，线段MN长取得最小值故答案为：13．（5分）已知点A（x1，x12）、B（x2，x22）是函数y=x2的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点A（x1，lgx1）、B （x2，lgx2）是函数y=lgx（x∈R+）的图象上的不同两点，则类似地有成立．【分析】由类比推理的规则得出结论，本题中所用来类比的函数是一个变化率越来越大的函数，而要研究的函数是一个变化率越来越小的函数，其类比方式可知【解答】解：由题意变化率逐渐变大的函数有线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立函数y=lgx（x∈R+）变化率逐渐变小，函数有线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的下方，故可类比得到结论故答案为14．（5分）若不等式|ax3﹣lnx|≥1对任意x∈（0，1]都成立，则实数a取值范围是．【分析】令g（x）=ax3﹣lnx，求导函数，确定函数的单调性，从而可求函数的最小值，利用最小值大于等于1，即可确定实数a取值范围．【解答】解：显然x=1时，有|a|≥1，a≤﹣1或a≥1．令g（x）=ax3﹣lnx，①当a≤﹣1时，对任意x∈（0，1]，，g（x）在（0，1]上递减，g（x）min=g（1）=a≤﹣1，此时g（x）∈[a，+∞），|g（x）|的最小值为0，不适合题意．②当a≥1时，对任意x∈（0，1]，，∴函数在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增∴|g（x）|的最小值为≥1，解得：．∴实数a取值范围是二、解答题：本大题共3小题，共计90分．请注意文理科类，并在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知复数z=+（a2﹣5a﹣6）i（a∈R）．（1）求实数a为何值时，z为实数；（2）求实数a为何值时，z为虚数；（3）求实数a为何值时，z为纯虚数．【分析】首先求出实部和虚部等于0的a值，然后由复数是实数、虚数和纯虚数的条件得到a的值．【解答】解：由，解得：a=1或a=6．由a2﹣5a﹣6=0，解得：a=﹣1或a=6．（1）当实数a=6时，z为实数；（2）当实数a≠﹣1且a≠6时，z为虚数；（3）当实数a=1时，z为纯虚数．16．（14分）已知曲线C：y=e x+a 与直线y=ex+3相切，其中e为自然对数的底数．（1）求实数a的值；（2）求曲线C上的点P到直线y=x﹣4的距离的最小值，并求出取得最小值时点P的坐标．【分析】（1）设出切点坐标，利用导数求出切线方程，再由曲线C：y=e x+a 与直线y=ex+3相切通过比较系数求得实数a的值；（2）设出与直线y=x﹣4平行且与曲线C：y=e x+3相切的直线与曲线的切点坐标，由函数在切点处的导数等于1求得切点横坐标，代入原函数求得切点坐标，由点到直线的距离公式求得曲线C上的点P到直线y=x﹣4的距离的最小值．【解答】解：（1）设切点为（x0，y0），由y=e x+a，得y′=e x，则，∴过切点的切线方程为，即．又曲线C：y=e x+a 与直线y=ex+3相切，则，解得：a=3；（2）设与直线y=x﹣4平行且与曲线C：y=e x+3相切的直线与曲线的切点为（x1，y1），则，即x1=0，则切点坐标为（0，4），∴曲线C上的点P到直线y=x﹣4的距离的最小值为．17．（14分）某公司为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查发现投入广告费t（百万元），可增加销售额约为﹣t2+5t（百万元）（0≤t≤5）．（1）若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？（2）现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x（百万元），可增加的销售额约为x3+x2+3x（百万元）．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大？（注：收益=销售额﹣投放）．【分析】（1）设投入t（t百万元）的广告费后增加的收益为f（t）根据收益为销售额与投放的差可建立收益模型为：f（t）=（﹣t2+5t）﹣t=﹣t2+4t，再由二次函数法求得最大值．（2）根据题意，若用技术改造的资金为x（百万元），则用于广告促销的资金为（3﹣x）（百万元），则收益模型为：g（x）=x3+x2+3x）+[﹣（3﹣x）2+5（3﹣x）]﹣3=x3+4x+3（0≤x≤3），因为是高次函数，所以用导数法研究其最大值．【解答】解：（1）设投入t（t百万元）的广告费后增加的收益为f（t）（百万元），则有f（t）=（﹣t2+5t）﹣t=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4（0＜t≤3），所以当t=2百万元时，f（t）取得最大值4百万元．即投入2百万元时的广告费时，该公司由此获得的收益最大．（6分）（2）设用技术改造的资金为x（百万元），则用于广告促销的资金为（3﹣x）（百万元），则增加的收益为g（x）=（﹣x3+x2+3x）+[﹣（3﹣x）2+5（3﹣x）]﹣3=x3+4x+3（0≤x≤3），所以g′（x）=﹣x2+4．令g′（x）=0，解得x=2，或x=﹣2（舍去）．又当0≤x＜2时，g′（x）＞0，当2＜x≤3时，g′（x）＜0．故g（x）在[0，2]上是增函数，在[2，3]上是减函数．所以当x=2时，g（x）取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．（16分）一、选做题（理）18．（16分）已知数列{a n}的前n项和S n=2n﹣a n（n∈N+）．（1）计算数列{a n}的前4项；（2）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．【分析】（1）取n=1，2，3，分别求出a1，a2，a3，然后仔细观察，总结规律，猜测a n的值．（2）用数学归纳法进行证明，①当n=1时，命题成立；②假设n=k时，命题成立，即a k=，当n=k+1时，由S k+1=2（k+1）﹣a k+1，得S k+1﹣a k+1=2（k+1），可得当n=k+1时，命题成立，故a n=都成立．﹣2a k+1【解答】解：（1）计算得：a 1=1，a2=，a3=，a4=，猜想a n=；（2）①n=1时，成立；②假设当n=k时成立，即a k=，则当n=k+1时，由S k=2（k+1）﹣a k+1，得S k+1﹣a k+1=2（k+1）﹣2a k+1，+1∴S k=2（k+1）﹣2a k+1，∴2k﹣a k=2（k+1）﹣2a k+1，=．∴a k+1这就是说，当n=k+1时，等式也成立．由①②可知a n=对n∈N+均成立．一、选做题：（文）19．求证：1，，3不可能是一个等差数列中的三项．【分析】用反证法证明即可，其基本步骤是：①假设结论不成立，②从假设出发，经过正确的推理与证明，得出矛盾，③说明假设不成立，即结论是正确的．【解答】证明：假设1，，3是一个等差数列中的三项，可设该等差数列的首项为a，公差为d，其中1，，3分别是等差数列的第m、n、k项，则1=a+（n﹣1）d，①=a+（m﹣1）d，②3=a+（k﹣1）d，③∴②﹣①得﹣1=（m﹣n）d，③﹣①得2=（k﹣n）d，将上面两式相除得：=这是不可能的，上式右边是有理数，左边是无理数．∴假设不成立，即证1，，3不可能是一个等差数列中的三项．20．（16分）（理科）已知函数f（x）=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1，x∈R，t∈R．（1）当t≠0时，求f（x）的单调区间；（2）证明：对任意t∈（0，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．【分析】（1）由f'（x）=12x2+6tx﹣6t2，令f'（x）=0，得x1=﹣t或．分类讨论：当t＞0时，f'（x）＞0的解集为；当t＜0时，f'（x）＜0的解集为，故可求f（x）的单调增区间与单调减区间；（2）由（1）可知，当t＞0时，f（x）在内递减，内单调递增．进而分类讨论：当，即t≥2时，f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；当0＜＜1，即0＜t＜2时，f（x）在内递减，在内单调递增．利用零点存在定理可证对任意t∈（0，2），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．【解答】（1）解：f'（x）=12x2+6tx﹣6t2，令f'（x）=0，得x1=﹣t或．1°当t＞0时，f'（x）＞0的解集为∴f（x）的单调增区间为，f（x）的单调减区间为．2°当t＜0时，f'（x）＜0的解集为∴f（x）的单调增区间为，f（x）的单调减区间为．（2）证明：由（1）可知，当t＞0时，f（x）在内递减，内单调递增．1°当，即t≥2时，f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增．f（0）=t﹣1＞0，f（1）=﹣6t2+4t+3＜0∴f（x）在（0，1）内有零点．2°当0＜＜1，即0＜t＜2时，f（x）在内递减，在内单调递增．若＜0，f（1）=﹣6t2+4t+3≥﹣6t+4t+3=3﹣2t＞0∴f（x）在内存在零点．若＜0，f（0）=t﹣1＞0∴f（x）在内存在零点．∴对任意t∈（0，2），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．21．（16分）已知a∈R，函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），e为自然对数的底数．（1）若a=，求函数y=|f（x）|取得极值时所对应的x的值；（2）若不等式f（x）≤﹣+恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）先求f（x）的导函数，利用导函数值的正负得到f（x）的单调性，通过特殊点（1，0），（e，0）得出函数f（x）值的正负情况，根据绝对值函数的特征，求出|f（x）|的极值点；（2）将原关系式转化为恒成立问题，利用导函数求最值，解不等式得到本题结果．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx﹣（x﹣1），∴f′（x）=﹣；故f′（e﹣1）=0，而f（1）=0，故f（e﹣1）＜0；易知f（e）=0；故函数y=|f（x）|取得极小值时所对应的x的值为1，e；取得极大值是所对应的x的值为e﹣1；（2）（Ⅱ）不等式f（x）≤﹣+，整理为lnx+﹣x+a≤0；…（*）设g（x）=lnx+﹣x+a，则g′（x）=+x﹣（x＞0）=；①当a≤0时，2ax﹣e＜0，又x＞0，则当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．从而g（x）max=g（e）=0．故g（x）≤0恒成立；②当a＞0时，g′（x）==（x﹣e）（﹣）．令﹣=，解得x1=，则当x＞x1时，﹣＞；再令（x﹣e）=1得，x2=+e；则当x＞x2时，（x﹣e）＞1；取x0=max{x1，x2}，则当x＞x0时，g′（x）＞1；故当x ∈（x 0，+∞）时，g （x ）﹣g （x 0）＞x ﹣x 0； 与g （x ）≤0恒成立相矛盾； 综上所述，a ≤0．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =xxxx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x xfxfx①若2bxa-≤，则()m f q=②2bxa->，则()m f p=．x<O-=f(p)f(q)()2bfa-xx<O-=f(p)f(q)()2bfa-x第21页（共21页）。

南通市海安县如东县2022-2023学年度第一学期高二数学期末试卷解析一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合，，则( ) A ={x |‒2<x ≤1}B ={x |‒1<x ≤2}A ∩B =A. B. C. D. (‒1,1](‒2,2](‒2,1](‒1,2]【答案】A 【解析】【分析】本题考查交集及其运算，是基础题． 直接由交集运算得答案． 【解答】解：集合，， A ={x |‒2<x ≤1}B ={x |‒1<x ≤2}所以．A ∩B =(‒1,1]2. 已知复数，则( ) z =1+i1‒i z 3=A. B. C. D.1‒1i ‒i 【答案】D【解析】 【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用即可求出结果． i 2=‒1【解答】解：， ∵z =1+i 1‒i =(1+i )2(1‒i)(1+i)=i ， ∴z 3=i 3=‒i 故选：．D3. 已知点，，若直线与直线垂直，则( )A (1,0)B (3,1)AB x ‒my +1=0m =A. B. C. D. ‒2‒12122【答案】B【解析】 【分析】本题考查了两直线垂直与斜率的关系，考查了过两点的斜率公式，属于基础题． 求出直线的斜率，根据两直线垂直斜率乘积为即可求的值． AB ‒1m 【解答】解：直线的斜率为， AB 1‒03‒1=12因为直线与直线垂直， AB x ‒my +1=0所以直线的斜率为．x ‒my +1=0‒2所以，解得．1m =‒2m =‒124. 数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列，，，，，{a n }: 112358，其中从第项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，⋯3a 1=a 2=1a n +2=a n +1+a n 这样的数列称为“斐波那契数列”若，则( ) .a m =2(a 3+a 6+a 9+⋯+a 126)+1m =A. B. C. D. 126127128129【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查数列递推关系在解题中的应用，考查阅读能力和分析解决问题的能力，属于中档题．根据数列的特点，每个数等于它前面两个数的和，移项得： ，使用累加法a n =a n +2‒a n +1求得，然后将的系数倍展开即可求解． S n =a n +2‒12(a 3+a 6+a 9+⋯+a 126)+12【解答】解：由从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，，a 1=a 2=1由，得 ，所以，，a n +2=a n +1+a n (n ∈N ∗)a n =a n +2‒a n +1a 1=a 3‒a 2a 2=a 4‒a 3a 3，， ，将这个式子左右两边分别相加可得：=a 5‒a 4…a n =a n +2‒a n +1n ，所以 S n =a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8+a 9+⋯+a n =a n +2‒1S n +1=a n +2所以2(a 3+a 6+a 9+⋯+a 126)+1=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8+a 9+⋯a 124+， a 125+a 126+1=S 126+1=a 128故选C ．5. 已知双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，则的离心率为( )C y y =±2x C A.B. C. D.52235【答案】A【解析】 【分析】本题考查了双曲线的性质，属于基础题．由焦点在轴上，渐近线方程为可得，从而求得离心率的值． y y =±2x ab =2【解答】解：由题意可得，即，ab =2b =12a 所以． c a =a 2+b 2a 2=a2+a 24a 2=54=526. 已知函数的导函数为，且，则( ) f (x )f '(x )f (x )=2xf '(π6)+cos x f (π6)=A.B.C.D.‒12123‒π63+π6【答案】D【解析】 【分析】本题考查了导数的运算，属于基础题． 求导，代入，可得，从而可求 x =π6f '(π6)=12f (π6).【解答】解：， ∵f (x )=2xf '(π6)+cosx ，∴f '(x )=2f '(π6)‒sinx 令，则，x =π6f '(π6)=2f '(π6)‒sin π6即， f '(π6)=12则，．f (x )=x +cosx 7. 已知等差数列中，记，，则数列的前项和为( ){a n }a 4+a 5=2.b n =a n +1a n‒1n ∈N ∗{b n }8A. B. C. D. 04816【答案】C【解析】 【分析】本题考查了等差数列的性质与分组求和法，属于中档题． 分离常数可得，设，当时，可得，b n =1+2a n ‒1c n =2a n‒1c n +c 9‒n =0故可得数列的前项和． {b n }8【解答】解：，b n =a n +1a n ‒1=a n ‒1+2a n ‒1=1+2a n ‒1设，c n =2a n‒1当时，c n +c 9‒n =2a n ‒1+2a 9‒n ‒1=2·a n +a 9‒n ‒2(a n ‒1)(a 9‒n ‒1)，=2·a 4+a 5‒2(a n ‒1)(a 9‒n ‒1)=0故 b 1+b 2+b 3+⋯+b 8=1+2a 1‒1+1+2a 2‒1+⋯+1+2a 8‒1=8+c 1+c 2+⋯+c 8．=8+(c 1+c 8)+(c 2+c 7)+(c 3+c 6)+(c 4+c 5)=88. 已知函数及其导函数的定义域均为，且是奇函数，记，f (x )f '(x )R f (x +1)g (x )=f '(x )若是奇函数，则( ) g (x )g (10)=A. B. C. D.20‒1‒2【答案】B【解析】 【分析】本题主要考查了函数的奇偶性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．根据 是奇函数，可得 ，两边求导推得，f (x +1)f (‒x +1)=‒f (x +1)g (x )=g (‒x +2)，再结合题意可得是函数的一个周期，且，进而可求解． g (2)=g (0)4g (x )g (0)=0【解答】解：因为 是奇函数，所以 ， f (x +1)f (‒x +1)=‒f (x +1)两边求导得 ， ‒f '(‒x +1)=‒f '(x +1)即， f '(‒x +1)=f '(x +1)又，g (x )=f '(x )所以 ，即， g (‒x +1)=g (x +1)g (x )=g (‒x +2)令 可得 ，x =2g (2)=g (0)因为是定义域为的奇函数，所以， g (x )R g (0)=0即．g (2)=0因为是奇函数，g (x )所以 ，又， g (‒x )=‒g (x )g (x )=g (‒x +2)所以， g (‒x +2)=‒g (‒x )则，g (x +2)=‒g (x )， g (x +4)=‒g (x +2)=g (x )所以是函数的一个周期， 4g (x )所以． g (10)=g (2)=0故选B ．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。

2021-2022学年江苏省南通市海门中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知直线l 过点(2,3)且与直线:250m x y -+=平行，则直线l 的方程为（ ） A ．270x y +-= B ．210x y --= C ．240x y -+= D ．210x y -+=【答案】C【分析】由题意，直线l 的斜率为12，利用点斜式即可得答案. 【详解】解：因为直线l 与直线:250m x y -+=平行， 所以直线l 的斜率为12，又直线l 过点(2,3)， 所以直线l 的方程为()1322y x -=-，即240x y -+=， 故选：C.2．已知等比数列{}n a 满足313a =，53a =，则9a =（ ）A ．243-B ．27C ．81D ．243【答案】D【分析】由已知条件求出公比q 的平方，然后利用495a a q =即可求解.【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ， 因为等比数列{}n a 满足313a =，53a =，所以2533913a q a ===， 所以429539243a a q ==⨯=，故选：D.3．设()f x 是定义在R 上的可导函数，若()()000lim2h f x h f x h a h→+--=（a 为常数），则0()f x '=（ ）A ．2a -B ．a -C ．aD ．2a【答案】C【分析】根据导数的定义即可求解. 【详解】0()f x '=()()0001lim222h f x h f x h a a h→+--=⨯=.故选：C.4．已知数列{}n a 的前n 项和(1)2+=nn n a S ，且12a =，则7S =（ ） A ．28 B ．32 C ．56 D ．64【答案】C 【分析】由可得()121n n a a n n n -=≥-，从而可得2n a n =，利用等差数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】解：因为(1)2+=nn n a S ，所以()21n n S n a =+，()1122n n S na n --=≥， 两式相减可得()121n n n a n a na -=+-，即()121n n a a n n n -=≥-， 因为12a =，121a =，所以2n a n=()2n ≥，即2n a n =()2n ≥，1n =时，也满足上式， 所以2n a n =， 所以()77227562S +⨯==，故选：C.5．如图，A 、B 分别是椭圆的左顶点和上顶点，从椭圆上一点P 向x 轴作垂线，垂足为右焦点F ，且//AB OP ，点P 到右准线的距离为3，则椭圆方程为（ ）A ．22163x y +=B ．22142x y +=C ．221129x y +=D ．221126x y +=【答案】A【分析】设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，设该椭圆的焦距为2c ，则(),0F c ，求出点P 的坐标，根据//AB OP 可得出AB OP k k =，可得出b c =，2a c =，结合已知条件求得c 的值，可得出a 、b 的值，即可得出椭圆的方程.【详解】设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，设该椭圆的焦距为2c ，则(),0F c ，由图可知，点P 在第一象限，将x c =代入椭圆方程得22221c ya b+=，得2422221c b y b a a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以，点2,b P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，易知点(),0A a -、()0,B b ，AB b k a =，2OP b k ac=， 因为//AB OP ，则ABOP k k =，得2b b a ac=，可得b c =，则a ， 点P到右准线的距离为为22a c c c c c-=-==a =b c ==因此，椭圆的方程为22163x y +=.故选：A. 6．已知函数232()xf x x a-=+在4x =处取得极值，则()f x 的极大值为（ ） A ．15B ．1C ．14-D ．4-【答案】B【分析】首先求出函数的导函数，依题意可得()40f '=，即可求出参数a 的值，从而得到函数解析式，再根据导函数得到函数单调性，即可求出函数的极值点，从而求出函数的极大值；【详解】解：因为232()x f x x a -=+，所以()()()()2222222232262()x a x x x x a f x x a x a -+----'==++，依题意可得()40f '=，即()2222464204aa ⨯-⨯-=+，解得4a =，所以232()4x f x x -=+定义域为R ，且()()()()22222214268()44x x x x f x x x +---'==++，令()0f x '>，解得4x >或1x <-，令()0f x '<解得14x -<<，即()f x 在(),1-∞-和()4,+∞上单调递增，在()1,4-上单调递减，即在1x =-处取得极大值，在4x =处取得极小值，所以()()()()23211114f x f -⨯-=-==-+极大值；故选：B7．已知函数2()ln f x a x x =+，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有1212()()2f x f x x x ->-，则实数a 的最小值为（ ）A ．14B ．12C ．32D ．2【答案】B【分析】不妨设120x x >>，由题意，可得1122()2()2f x x f x x ->-，构造函数()()2g x f x x =-，则()g x 在()0,∞+上单调递增，从而有()0g x '≥在()0,∞+上恒成立，分离参数转化为最值即可求解.【详解】解：由题意，不妨设120x x >>， 因为对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有1212()()2f x f x x x ->-，所以1212()()22f x f x x x ->-，即1122()2()2f x x f x x ->-，构造函数()2()()22n 0l a x x g x f x x x x ==-+>-，则12()()g x g x >，所以()g x 在()0,∞+上单调递增， 所以20(2)ax xg x +'=-≥在()0,∞+上恒成立，即222a x x ≥-+在()0,∞+上恒成立， 当0x >时，因为22111222222x x x ⎛⎫-+=--+≤ ⎪⎝⎭，所以()max 22122x x -=+，所以12a ≥，实数a 的最小值为12. 故选：B.8．过坐标原点O 作直线:(2)(1)60l a x a y -+++=的垂线，垂足为(,)H m n ，则22m n +的取值范围是（ ）A．0,⎡⎣ B．(0,C ．[]0,8D ．(]0,8【答案】D【分析】求出直线直线()():2160l a x a y -+++=过的定点A ，由题意可知垂足是落在以OA 为直径的圆上，由此可利用22m n +的几何意义求得答案, 【详解】直线()():2160l a x a y -+++=，即()260a x y x y +-++= ，令0260x y x y +=⎧⎨-++=⎩，解得22x y =⎧⎨=-⎩ ， 即直线()():2160l a x a y -+++=过定点(2,2)A - ,由过坐标原点O 作直线()():2160l a x a y -+++=的垂线，垂足为(,)H m n ， 可知：(,)H m n 落在以OA 为直径的圆上，而以OA 为直径的圆为22(1)(1)2x y ++-= ，如图示：故22m n +可看作是圆上的点(,)H m n 到原点距离的平方， 而圆过原点，圆上点到原点的最远距离为||2OA = ，但将原点坐标代入直线:(2)(1)60l a x a y -+++=中，60= 不成立， 即直线l 不过原点，所以(,)H m n 不可能和原点重合， 故22(0,8]m n +∈， 故选：D 二、多选题9．已知圆C 的方程为222410x y x y +-++=，则（ ） A ．圆C 关于直线10x y ++=对称B ．过点(3,0)有且仅有一条直线与圆C 相切 C ．圆C 的面积为4πD ．直线0x y +=被圆C 14【答案】ACD【分析】对A ：由圆心()1,2C -在直线10x y ++=上即可判断；对B ：由点(3,0)在圆C 外即可判断；对C ：由圆的面积公式即可判断；对D ：由弦长公式即可求解.【详解】解：圆C 的方程为222410x y x y +-++=，即()()22124x y -++=，圆心()1,2C -，半径2r =，对A ：因为圆心()1,2C -在直线10x y ++=上，所以圆C 关于直线10x y ++=对称，故选项A 正确；对B ：因为()()2231024-++>，所以点(3,0)在圆C 外，所以过点(3,0)有且仅有2条直线与圆C 相切，故选项B 错误；对C ：因为圆C 的半径为2，所以圆C 的面积为224ππ⨯=，故选项C 正确；对D ：因为圆心()1,2C -到直线0x y +=的距离d ==所以直线0x y +=被圆C所截得的弦长为==D正确. 故选：ACD.10．已知过点(,0)A a 作曲线x y xe =的切线有且仅有两条，则实数a 的取值可能为（ ） A ．5- B ．2-C ．1-D ．2【答案】AD【分析】设切点坐标为00(,)x y ，由导数求切线斜率，然后由直线过(,0)a 得斜率，从而求0x ，根据0x 有两解可得．【详解】设切点为00(,)x y ，由题意(1)e x y x '=+，所以000000e (1)e x x y x k x x a x a=+==--，整理得2000x ax a --=，此方程有两个不等的实根， 所以240a a ∆=+>，4a 或0a >．故选：AD ．11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点00(,)P x y 是直线20bx ay a -+=上任意一点，若圆2200()()1x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率可能为（ ） A ．32B ．2C ．3D ．5【答案】AB【分析】由题意可得双曲线的一条渐近线与直线20bx ay a -+=，利用平行线间的距离公式求出它们之间的距离d ，则由题意可得1d ≥，从而可求出离心率的范围 【详解】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为b y x a=，即0bx ay -=，则直线20bx ay a -+=与直线0bx ay -=的距离为2a d c==， 因为点00(,)P x y 是直线20bx ay a -+=上任意一点，且圆2200()()1x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，所以1d ≥，即21ac≥， 得离心率2ce a=≤， 因为1e >所以双曲线的离心率的取值范围为(1,2]， 故选：AB12．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，n T 为数列{}n b 的前n 项和，且11,*.n n n a a b n N +=∈若40,S =55a =，则（ ） A ．25n a n =- B ．24n S n n =-C ．16n T <-D ．()5n n a b +的最大值为2【答案】ABD【分析】由题意，列方程组求出等差数列{}n a 的首项1a 和公差d 即可求解n a 与n S ，选项A 、B 可判断；由n a 可得n b ，又111136T b ==>-即可判断选项C ，由()1515282n na b n n+=+-，利用单调性即可求解最大值. 【详解】解：因为数列{}n a 为等差数列，40S =，55a =，所以1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d =-=，所以()31225n a n n =-+-⨯=-，()232542n n n S n n -+-==-，故选项A 、B 正确；又因为11n n n a a b +=，所以()()1112523n n n b a a n n +==--，因为1n =时，111136T b ==>-，所以选项C 错误；因为()()()2221515252341615282nnn n a b n n n n n n+===---++-，1n =时，()11235a b =+，2n =时，()2245a b =-+， 3n ≥时，因为15282n n+-随着n 的增大而增大，且大于0， 所以()()33255n n a b a b +≤=+，综上，()5n n a b +的最大值为2，故选项D 正确； 故选：ABD.三、填空题13．经过两点()()1,,1,4A m B m +的直线的倾斜角为45，则m =___________. 【答案】2【分析】由两点间的斜率公式及直线斜率的定义即可求解.【详解】解：因为过两点()()1,,1,4A m B m +的直线的倾斜角为45， 所以4tan 45111AB mk m -===+-，解得2m =，故答案为：2.14．如图的形状出现存南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最一上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……，设从上至下各层球数构成一个数列{},n a 则10a =___________.（填数字）【答案】55【分析】根据题中给出的图形，结合题意找到各层球的数列与层数的关系，得到(1)1232n n n a n +=+++⋯+=，即可得解． 【详解】解：由题意可知，11a =，21212a a =+=+，323123a a =+=++，⋯，1123n n a a n n -=+=+++⋯+，故(1)1232n n n a n +=+++⋯+=， 所以1010(101)a 552⨯+==， 故答案为：5515．设m ，b 为实数，已知经过点1083P ⎫⎪⎪⎝⎭的椭圆22110x y m +=与双曲线221y x b -=有相同的焦点，则b =___________. 【答案】1【分析】由点P 在椭圆上，可得m 的值，再根据椭圆与双曲线有相同的焦点即可求解. 【详解】解：因为点1083P ⎫⎪⎪⎝⎭在椭圆22110x y m +=上，所以221083110m⎛⎫ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，解得8m =，所以椭圆方程为221108x y +=，又椭圆221108x y +=与双曲线221y x b-=有相同的焦点， 所以1081b -=+，解得1b =， 故答案为：1.16．已知函数()222ln f x ax x x =--，a R ∈有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是_______.【答案】(]{},02-∞⋃ 【分析】由题知方程222ln x xa x +=，0x >，a R ∈有且只有一个零点，进而构造函数()222ln x xg x x +=，利用导数研究函数单调性与函数值得变化情况，作出函数的大致图像，数形结合求解即可.【详解】解：因为函数()222ln f x ax x x =--，0x >，a R ∈有且只有一个零点，所以方程222ln x xa x +=，0x >，a R ∈有且只有一个零点， 令()222ln x x g x x +=，则3224ln ()x x g x x '--⋅=，0x >，令()224ln h x x x =--⋅，则()'420h x x=--< 所以()224ln h x x x =--⋅为()0,∞+上的单调递减函数， 因为()1224ln10h =--⋅=，所以当()0,1x ∈时，()0h x >；当()1,x ∈+∞时，()0h x <； 所以当()0,1x ∈时，()0g x '>；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<， 所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，因为当x 趋近于0时，()g x 趋近于-∞，当x 趋近于+∞时，()g x 趋近于0，且()120g =>，()1,x ∈+∞时，()0g x >，故()g x 的图像大致如图所示，所以方程222ln x xa x +=，0x >，a R ∈有且只有一个零点等价于0a ≤或2a =. 所以实数a 的取值范围是(]{},02-∞⋃ 故答案为：(]{},02-∞⋃ 四、解答题17．已知函数32(),f x x ax a R =-∈，且()19.f '-= (1)求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； (2)求函数()f x 在区间[0,3]上的最小值． 【答案】(1)310x y +-= (2)4-【分析】（1）由题意，求出a 的值，然后根据导数的几何意义即可求解；（2）根据导数与函数单调性的关系，判断函数()f x 在区间[0,3]上的单调性，从而即可求解.【详解】(1)解：由题意，2()32f x x ax '=-，因为()19f '-=，所以()()231219a ⨯--⨯-=，解得3a =，所以32()3f x x x =-，2()36f x x x '=-， 因为(1)2f =-，(1)3f '=-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()()231y x --=--，即310x y +-=； (2)解：因为()2()3632f x x x x x '=-=-，[0,3]x ∈， 所以()0,2x ∈时，()0f x '<，()2,3x ∈时，()0f x '>， 所以()f x 在[]0,2上单调递减，在[2,3]上单调递增，所以min ()(2)4f x f ==-，即函数()f x 在区间[0,3]上的最小值为4-.18．已知抛物线2:12C y x =的焦点为F ，经过点F 的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，其中点A 在第一象限；(1)若直线l 的斜率为3，求AFFB 的值；(2)求线段AB 的长度的最小值． 【答案】(1)3； (2)12.【分析】(1)联立直线l 与抛物线C 的方程，求出A 和B 的横坐标即可得；(2)设直线l 方程为3x my =+，与抛物线C 方程联立，求出线段AB 长度求其最小值即可. 【详解】(1)设()()1122,,,A x y B x y ，抛物线212y x =的焦点为()3,0F ，直线l 经过点F 且斜率3k =∴直线l 的方程为)33y x -，将直线l 方程与抛物线212y x =消去y 可得21090x x -+=， 点A 是第一象限内的交点，∴解方程得129,1x x ==，∴12312334AF x BFx +===+. (2)设()()1122,,,A x y B x y ，由题知直线l 斜率不为0，故设直线l 的方程为：3x my =+， 代入抛物线C 的方程化简得，212360y my --=， ∵∆＞0，∴121212,36y y m y y +==-， ∴()()222212121211412112AB m y y m y y y y m =+-=++-=+，当且仅当m ＝0时取等号，∴AB 长度最小值为12.19．圆C 与x 轴的交点分别为(2,0)A -，(6,0)B 且与直线1:3470l x y ++=，2:34310l x y -+=都相切．(1)求圆C 的方程；(2)圆C 上是否存在点P 满足18PA PB ⋅=？若存在，求出满足条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)()()222325x y -+-= (2)存在，()3,3P -或()7,3P【分析】（1）由题意，设圆心()2,C a ，由圆C 与两直线相切，可得圆心C 到两直线的距离都等于圆的半径，进而可求a ，然后求出半径r 即可得答案；（2）假设圆C 上存在点()00,P x y 满足18PA PB ⋅=，利用向量数量积的坐标运算化简，再联立圆C 的方程即可求解.【详解】(1)解：因为圆C 与x 轴的交点分别为(2,0)A -，(6,0)B ， 所以圆心C 在弦AB 的垂直平分线2x =上，设圆心()2,C a ， 又圆C 与直线1:3470l x y ++=，2:34310l x y -+=都相切，=3a =，所以圆心()2,3C ，半径5r AC ===，所以圆C 的方程为()()222325x y -+-=；(2)解：假设圆C 上存在点()00,P x y 满足18PA PB ⋅=，则()()()()200000002,6,2618x y x y x x y ---⋅--=---+=，即22000430x x y -+=①，又()()22002325x y -+-=，即2200004612x x y y -+-=②，联立①②可得0033x y =-⎧⎨=⎩或0073x y =⎧⎨=⎩，所以存在点()3,3P -或()7,3P 满足18PA PB ⋅=.20．已知数列{}n a 满足11a =，()1714nn n aa +--=，2n nb a =.(1)证明：数列{}n b 是等比数列，并求其通项公式；(2)若321log n n c a +=，求数列n n c b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】(1)证明见解析，123n n b -=⨯；(2)996883nn +-⨯.【分析】（1）由已知条件，可得12222212212n n n n n n n nb a a a b a a a +++++==⨯为常数，从而得证数列{}n b 是等比数列，进而可得数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）可得1223n n a -=⨯，又()2212714nn n a a +--=，所以213nn a +=，所以1123n n n c n b -=⨯，利用错位相减法即可求解数列n n c b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【详解】(1)证明：由题意，因为11a =，()1714nn n aa +--=，2n nb a =，所以()()212122222122127171344n nn n n n n n n n b a a ab a a a ++++++----==⨯=⨯=，122b a ==，所以数列{}n b 是以2为首项，3为公比的等比数列，所以123n n b -=⨯；(2)解：由（1）可得1223n na -=⨯，又()2212714nn n a a +--=，所以213nn a +=，所以3213log l 3og n n nc n a +===，所以1112323n n n n c n n b --==⨯⨯， 所以021111112323333n n n T -⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⎪⎝⎭， 2311111111233233333n n n n n T --⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++ ⎪⎝⎭， 所以2111121111131311132333323432313nn n n n nn n n n T -⎡⎤⎛⎫⨯- ⎪⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎢⎥=++++-=-=-- ⎪⎪⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， 所以91399618343883n n n n n nT +⎛⎫=--=- ⎪⨯⨯⎝⎭. 21．已知圆2211:(1)4O x y ++=，圆22249:(1)4O x y -+=，动圆M 与圆1O 外切，且与圆2O 内切.(1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程，并说明轨迹是何种曲线；(2)设过点(0,3)P 的直线l 与直线E 交于,A B 两点，且满足2PAO 的面积是2PBO 面积的一半，求2ABO △的面积． 【答案】(1)22143x y += (2)94或34【分析】（1）设圆1O 的半径为1r ，圆2O 的半径为2r ，圆M 的半径为r ，由题意，1122O M r rO M r r ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，从而可得12121242O M O M r r O O +=+=>=，由椭圆的定义即可求解； （2）由题意，直线l 的斜率存在且不为0，设:30l y kx k，()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及点A 为线段PB 的中点，可得294k =，利用弦长公式求出AB 及2O 到直线AB 的距离d 即可得2ABO △的面积. 【详解】(1)解：圆1O 的圆心()11,0O -，半径112r =，圆2O 的圆心()21,0O ，半径272r =，设圆M 的半径为r ，由题意，1122O M r rO M r r ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，所以12121242O M O M r r O O +=+=>=，由椭圆的定义可知，动圆圆心M 的轨迹是以()11,0O -，()21,0O 为焦点，长轴长为4的椭圆，则2,1a c ==，所以22224,413a b a c ==-=-=， 所以动圆圆心M 的轨迹E 的方程为22143x y +=； (2)解：由题意，直线l 的斜率存在且不为0，设:30l ykx k，()()1122,,,A x y B x y ，由223143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()224324240k x kx +++=，所以1222443k x x k -+=+①，1222443x x k =+②，且0∆>，即232k >， 因为2PAO 的面积是2PBO 面积的一半，所以点A 为线段PB 的中点， 所以2102x x +=，即212x x =③， 联立①②③可得294k =，所以32k =±， 因为2O 到直线AB的距离d =121AB x =-==所以2243312412ABO k k SA dB k +===+， 所以当32k时，294ABO S =，当32k =-时，234ABO S =.所以2ABO △的面积为94或34.22．已知函数()e x af x x =-其中R a ∈.(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)当3a =时，函数()f x 有两个零点1x ，2x ，满足1203x x <<<， 证明126x x +>.【答案】(1)单调递增区间(,)-∞+∞,无递减区间； (2)证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，从而判断其正负，确定函数的单调区间；（2）根据题意可得到123312e ,e x x x x ==，进而变形为22113lnx x x x -=，然后换元令21x t x =，将证明126x x +>的问题转换为(1)ln 2(1)0t t t +-->成立的问题，从而构造新函数，求新函数的导数，判断其单调性，求其最值，进而证明不等式成立. 【详解】(1)2a =时，2,)()e (e 2x x f x x f x x '=-=- ，R x ∈ , 令()()e 2,()e 2x x g x f x x g x ''==-=-，当ln 2x <时，()0g x '< ，当ln 2x >时，()0g x '> ， 故min ()(ln 2)22ln 20g x g ==-> ，则()0f x '> ， 故2()e x f x x =-是单调递增函数，即2()e x f x x =-的单调递增区间为(,)-∞+∞ ,无递减区间； (2)当3a =时，函数()f x 有两个零点1x ，2x ，满足1203x x <<<,即123312e ,e x x x x == ，所以11223ln ,3ln x x x x == ，则2212113(ln ln )3ln x x x x x x -=-=， 令21x t x =，由于1203x x <<<，则211x t x =>， 则21213ln x tx x x t =⎧⎨-=⎩ ，所以123ln 13ln 1t x t t t x t ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，故123(1)ln 1t tx x t ++=- ，要证明126x x +>，只需证明3(1)ln 61t tt +>-，即证(1)ln 2(1)0t t t +-->，设1()(1)ln 2(1),()ln 1h t t t t h t t t'=+--=+-，令1()()ln 1t h t t t ϕ'==+- ，则22111()t t t t t ϕ'-=-= ，当1t >时，21()0t t t ϕ-'=>，即1()()ln 1t h t t t ϕ'==+-在1t >时为增函数， 故()(1)0t ϕϕ>= ，即1()ln 10h t t t'=+->，所以()(1)ln 2(1)h t t t t =+--在1t >时为增函数， 即()(1)0h t h >= ，即(1)ln 2(1)0t t t +-->， 故3(1)ln 61t tt +>-，即126x x +>.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间以及涉及到零点的不等式的证明问题，解答时要注意导数的应用，主要是根据导数的正负判断函数的单调性，进而求函数极值或最值，解答的关键时对函数式或者不等式进行合理的变形，进而能构造新的函数，利用新的函数的单调性或最值达到证明不等式成立的目的m.。

江苏省南通市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二下·金沙期中) 已知i是虚数单位，则复数z=（1+2i）（2﹣i）的虚部为（）A . ﹣3B . ﹣3iC . 3D . 3i2. （2分） (2017高二下·三台期中) 设x∈R，则“x3=x“是“x=1“的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分） (2018高二下·衡阳期末) 抛物线的准线方程是（）A .B .C .D .4. （2分）给定下列三个命题：p1：若p∧q为假命题，则p，q均为假命题p2：∃a，b∈R，a2﹣ab+b2＜0；p3：在三角形ABC中，A＞B，则sinA＞sinB．则下列命题中的真命题为（）A . p1∨p2B . p2∧p3C . p1∨（￢p3）D . （￢p2）∧p35. （2分） (2017高一下·包头期末) 已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交与A,B两点，连接若，则C的离心率为（）A .B .C .D .6. （2分）双曲线x2-2y2=1的右焦点的坐标为（）A .B .C .D .7. （2分）(2013·江西理) 等比数列x，3x+3，6x+6，…的第四项等于（）A . ﹣24B . 0C . 12D . 248. （2分） (2017高二上·太原期末) 抛物线y2=8x的准线方程是（）A . x=2B . y=2C . x=﹣2D . y=﹣29. （2分）(2020·阿拉善盟模拟) 如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，, .若，分别是棱，上的点，且，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高三下·深圳月考) 若双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的，则该双曲线的离心率为（）A .B .C . 2D .11. （2分）设数列的前n项和为Sn ，令，称Tn为数列a1 ， a2 ，，an的“理想数”，已知数列a1 ， a2 ，，a500的“理想数”为2004，那么数列12， a1 ， a2 ，，a500的“理想数”为（）A . 2002B . 2004C . 2008D . 201212. （2分）将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚得最大利润，售价应定为（）A . 每个95元B . 每个100元C . 每个105元D . 每个110元二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高二上·黄陵期末) 如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为________．14. （1分） (2016高二下·静海开学考) 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．15. （1分） (2020高二上·青铜峡期末) 已知过抛物线的焦点的直线交该抛物线于、两点，，则坐标原点到直线的距离等于________ .16. （1分） (2015高二下·遵义期中) 在数列{an}中，a1=1，an+1= （n∈N*）猜想这个数列的通项公式为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2017高一下·瓦房店期末) 已知等差数列的前项和为，， .（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和 .18. （10分） (2017高二上·安阳开学考) P（x0 ， y0）（x0≠±a）是双曲线E：上一点，M，N分别是双曲线E的左右顶点，直线PM，PN的斜率之积为．（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求λ的值．19. （5分） (2015高三上·日喀则期末) 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asinB=﹣bsin （A+ ）．（1）求A；（2）若△ABC的面积S= c2，求sinC的值．20. （10分）(2017·孝义模拟) 在正三角形ABC中，E、F、P分别是﹣AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角，连结A1B、A1P （如图2）．（1）求证：A1E⊥平面BEP；（2）求二面角B一A1P一F的余弦值的大小．21. （10分）(2017·丰台模拟) 如图所示的几何体中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2AD=2，∠DAB=60°，四边形CDEF为正方形，平面CDEF⊥平面ABCD．（Ⅰ）若点G是棱AB的中点，求证：EG∥平面BDF；（Ⅱ）求直线AE与平面BDF所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段FC上是否存在点H，使平面BDF⊥平面HAD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．22. （5分）(2018·朝阳模拟) 如图，椭圆经过点，且点到椭圆的两焦点的距离之和为 .（1）求椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的两个点，线段的中垂线的斜率为且直线与交于点，为坐标原点，求证：三点共线.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、22-1、22-2、。

一、单选题1．若直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ） (1,0)A B AB A ． B ． C ． D ．30︒45︒60︒135︒【答案】A【分析】利用两点坐标求出直线的斜率，再求对应的倾斜角即可． AB【详解】由直线经过，， (1,0)A B设直线的倾斜角为，则有， θtan θ=又，所以. 0180θ︒≤<︒30θ=︒故选：A.2．若直线与直线互相平行，则实数（ ） 1:20l x y +=2:10l mx y ++=m =A ． B ．C ．D ．2122-12-【答案】A【分析】判断不合题意，再根据直线的平行列出相应的比例式，即可求得答案. 0m =【详解】当时，直线，直线与不平行， 0m =2:10l y +=1l 2l 当时，，0m ≠12//l l ，解得， ∴21011m =≠2m =故选：A.3．若等差数列的前项和为，且，则的值为（ ） {}n a n n S 21012a a +=11S A ． B ． C ． D ．334466132【答案】C【分析】根据结合即可求解. 110211a a a a +=+1111111()2a a S +=【详解】等差数列的前项和为，且， {}n a n n S 21012a a +=由等差数列的基本性质，得，21101112a a a a +=+=. ∴1111111()11126622a a S +⨯===故选：C.4．若直线与圆交于，两点，且，关于直线对1y kx =+2240x y kx my +++-=M N M N 20x y +=称，则实数的值为（ ）k m -A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】A【分析】先对圆的方程配方，求出圆心，再根据两直线以及圆之间的关系求解. 【详解】由圆的方程： 得： ， 2240x y kx my +++-=222242244k m k m x y ⎛⎫⎛⎫+++=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭圆心坐标为 ，,22k m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭直线与圆交于，两点，且，关于直线对称， 1y kx =+2240x y kx my +++-=M N M N 20x y +=则直线必定经过圆心，，，20x y +=(2k -2m -20k m --=又根据垂径定理：直线与直线垂直，可得，即，1y kx =+20x y +=1()12k ⋅-=-2k =所以，故； 1m =-213k m -=+=故选：A.5．数列满足，，，则数列的前10项和为（ ）{}n a 10a =21a =222,3,2,3,n n n a n n a a n n --+≥⎧=⎨≥⎩为奇数为偶数{}n a A ．51 B ．56C ．83D ．88【答案】A【分析】按照已知条件可以发现奇、偶项分别成等差和等比数列，一一列举前10项求和即可.【详解】数列满足，，，{}n a 10a =21a =222,3,2,3,n n n a n n a a n n --+≥⎧=⎨≥⎩为奇数为偶数不难发现，奇数项是等差数列，公差为2，偶数项是等比数列，公比为2， 所以数列的前10项和为：. {}n a (02468)(124816)51+++++++++=故选：.A 6．已知为双曲线的右焦点，为的左顶点，过点且斜率为的直线F 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>A C A 1l与交于另一点，且垂直于轴．则的离心率为（ ） C B BF x C AB ．2C D ．3【答案】B【分析】根据题意先求出，，再根据可得到关于，的关系式，进而即可得到|BF |AF 1BF AF=a c 双曲线的离心率．C【详解】联立，解得，所以， 22222221x cx y a b c b a=⎧⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎩2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩2||b BF a =依题可得，，即， 1BFAF=AF c a =+()2221b c a a c a a c a -==++整理得，所以双曲线的离心率为． 2c a =C 2ce a==故选：B ．7．已知等差数列前项和为，公差是与的等比中项，则下列选项不正确{}n a n n S 670,90,d S a ≠=3a 9a 的是（ ） A ．B ．120a =2d =-C ．当，时，取得最大值 D ．当时，的最大值为2110n =11n S 0n S >n 【答案】D【分析】根据等差数列的通项公式，结合等比中项的定义、等差数列的前项进行求解即可. n 【详解】因为是与的等比中项，7a 3a 9a 所以，()()()22739111162810a a a a d a d a d a d =⋅⇒+=++⇒=-由，有，611906659060159022S a d d d d =⇒+⨯⨯=⇒-+=⇒=-120a =，()221121441121224n S na n n d n n n ⎛⎫=+⋅-=-+=--+ ⎪⎝⎭当，时，取得最大值，10n =11n S ，的最大值为，2210021n S n n n =-+>⇒<<n 20故选：D8．已知函数满足：，，则不等式的解集为()f x ()01f =()()'f x f x <()x f x e <A ． B ． C ．D ．()0,∞+(),0∞-()1,+∞(),1∞-【答案】A【详解】是减函数，由得： ()()()0,x xf x f x f x e e ''-⎛⎫=< ⎪⎝⎭()x f x e ()x f x e <0()(0)1,0x f x f x e e <=∴>故选A.点睛：用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造；如()()f x f x '<()()x f x g x e=构造；如构造；如构()()0f x f x '+<()()x g x e f x =()()xf x f x '<()()f xg x x=()()0xf x f x '+<造等.()()g x xf x =二、多选题9．下列求导运算正确的是（ ） A ． 211()1x xx +'=-B ．(cos )sin x x x ⋅'=-C ．222(e )e x xx x x -'=D ．，则 ()sin(21)f x x =-)cos ()221(f x x '=-【答案】ACD【分析】利用导数计算公式分析各选项可得答案.【详解】A 选项，，故A 正确；()2111()1x x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭''+'=+=-B 选项，，故B 错误；()()(cos )cos cos cos sin x x x x x x x x x ''⋅'=+=-C 选项，，故C 正确； ()()()2222222e e 2e e 2(ee e e xx x x xx xx x x xx x x x ''---'===D 选项，，则，D 正确. ()sin(21)f x x =-)cos ()221(f x x '=-故选：.ACD 10．在平面直角坐标系中，已知双曲线，则（ ）xOy 221412x y -=A ．离心率为2B ．渐近线方程为 y =C ．实轴长为2D ．右焦点到渐近线的距离为【答案】ABD【分析】根据双曲线方程确定的值，即可一一判断各选项，即得答案. ,,a b c 【详解】由双曲线的方程可得，，，，24a =212b =22216c a b =+=所以，，实轴长，离心率，所以A 正确，C 不正确， 2a =b =4c =24a =2ca=所以，渐近线方程为，所以B 正确， by x a=±=因为右焦点为，不妨取渐近线， (4,0)y =0y -=则到渐近线距离为D 正确.(4,0)y =d =故选：ABD.11．设数列的前项和为，且，则（ ） {}n a n n S 2121,log +=-=n n n n S a b a A ．数列是等比数列B ．{}n a 1(2)n n a -=-C ．D ．的前项和为22221232213n n a a a a -++++= {}n n a b +n 2n212n n n T +=-+【答案】ACD【分析】由已知可得数列是，2为公比的等比数列，从而可得通项公式，可判断A 、B ，{}n a 11a =进而可以求的值判断C ，也易求得的前项和判断D.2222123n a a a a ++++ {}n n a b +n 【详解】由已知，当时，可得21n n S a =-1n =11a =选项A ，，可得数列是，2为公比的等比数列，故A 正11122,2-----===n n n n n n n S S a a a a a {}n a 11a =确；选项B ，由选项A 可得解得，故B 错误；1121-==，n n a a a 1n 2n a -=选项 C ，数列是以1为首项，4为公比的等比数列，所以2{}n a ，故C 正确； 222212321441211433n n n n a a a a ---++++===- 选项D ，因为，故D 正确.212n+1n (12)(1)log ,2211222n n nn n n n n n n b a n a b n T --++==+=+=+=-+-，故选：ACD.12．已知函数的图象在处切线的斜率为9，则下列说法正确的是（ ） 3()1f x x ax =-+2x =A ．3a =B ．在上单调递减 ()f x [1,1]-C ．(1)(1)lim0x f x f x∆→+∆-=∆D ．的图象关于原点中心对称 ()f x 【答案】ABC【分析】根据导数的几何意义求得的值，即可判断A ；根据函数单调性与导数的关系，即可判断aB ；由导数的定义可判断C ；由函数的对称性即可判断D. 【详解】，则， 3()1f x x ax =-+2()3f x x a '=-因为函数的图象在处切线的斜率为9， ()f x 2x =所以，解得，故A 正确；()2129f a ='-=3a =，则，3()31,R f x x x x =-+∈2()333(1)(1)f x x x x '=-=-+令，可得，所以在上单调递减，故B 正确； ()0f x '≤11x -≤≤[1,1]-由于，故C 正确；20(1)(1)lim(1)3130x f x f f x'∆→+∆-==⨯-=∆函数，则，3()31,R f x x x x =-+∈3()31f x x x -=-++所以，则的图象关于点中心对称，故D 不正确. ()()2f x f x +-=()f x ()0,1故选：ABC.三、填空题13．等比数列中，则__. {}n a 59740,a a a -=7a =【答案】4【分析】利用等比数列性质可得，结合条件即可得答案.2597a a a =【详解】由题可得，， 259774a a a a ==70a ≠所以. 74a =故答案为：4.14．已知，则__.()2()e 0xf x xf '=-()1f '=【答案】22e 1-【分析】根据导数运算求得正确答案.【详解】，则，()2()e 0xf x xf '=-2()2e (0)x f x f ''=-将代入可得，，解得，0x =()()()002e 020f f f '''=-=-()01f '=故，，2()e x f x x =-()22e 1xf x '=-所以.()2122e 12e 11f ⨯=-=-'故答案为：.22e 1-15．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上一点，与轴垂直，O ()2:20C y px p =>F P C PF x 为轴上一点，且，若，则的准线方程为______．Q x PQ OP ⊥4FQ =C 【答案】=1x -【分析】设点，求得点，由已知条件得出，求出正数的值，即,2p P p ⎛⎫⎪⎝⎭4,02p Q ⎛⎫+ ⎪⎝⎭0PQ OP ⋅= p 可得出抛物线的准线方程.C 【详解】抛物线的焦点，()2:20C y px p =>,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭为上一点，轴，所以，将代入抛物线的方程可得，P C PF x ⊥2P p x =2P px =P y p =±不妨设，因为为轴上一点，且，所以在的右侧．,2p P p ⎛⎫⎪⎝⎭Q x PQ OP ⊥Q F 又，得，即点，所以，， 42Qp FQ x =-= 42Q p x =+4,02p Q ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()4,PQ p =- 因为，所以，，，PQ OP ⊥2402p PQ OP p ⋅=⨯-= 0p > 2p ∴=所以抛物线的准线方程为． C =1x -故答案为：． =1x -16．函数有两个零点，则的取值范围是 __. ln ()2x kf x x =-k 【答案】20,e ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】函数有两个零点，即方程有两个根，构造函数，利ln ()2x kf x x =-ln 2x k x =ln ()(0)x g x x x=>用导数求出函数的单调区间，从而可画出函数的大致图像，根据图象即可得解. ()g x 【详解】函数有两个零点，方程有两个根， ln ()2x k f x x =-∴ln 02x kx -=即方程有两个根， ln 2x kx =设，则函数与的图像有两个交点， ln ()(0)xg x x x =>()g x 2k y =， 21ln ()xg x x -'=当时，，单调递增； (0,e)x ∈()0g x '>()g x 当时，，单调递减，(e,)x ∈+∞()0g x '<()g x 函数在时，取得最大值，∴()g x e x =()1e eg =又当时，；当时，且，0x →()g x →-∞x →+∞()0g x >()0g x →函数的大致图像，如图所示，∴()g x由图像可知，，102ek <<的取值范围是.k ∴20,e⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：.20,e ⎛⎫⎪⎝⎭四、解答题17．已知圆圆心为原点，且与直线相切，直线l 过点． 1C 34100x y +-=(1,2)M (1)求圆的标准方程；1C(2)若直线l 被圆所截得的弦长为l 的方程． 1C 【答案】(1)； 224x y +=(2)或 1x =3450x y -+=【分析】（1）直接由圆心到直线的距离求出半径，即可求出圆的方程；（2）先由弦长公式求出，斜率不存在时符合题意，斜率存在时，设出直线方程，由解出1d =1d =直线斜率，即可求解.【详解】（1）设圆的半径为，则，故圆的标准方程为；r 2r ==1C 224x y +=（2）设圆心到直线到的距离为，则；当直线l 斜率不存在时，易得l d =1d =，此时圆心到的距离，符合题意；:1l x =l 1d =当直线l 斜率存在时，设，即，则，解得，即:2(1)l y k x -=-20kx y k -+-=1d 34k =，:3450l x y -+=故直线l 的方程为或.1x =3450x y -+=18．已知等差数列满足. {}n a 13424,2a a a a +=-=(1)求数列的通项公式及前项和； {}n a n n S (2)记数列的前项和为，若,求的最小值. 1{}n S n n T 9950n T >n 【答案】(1) ()1,2n n n n a n S +==(2) 100【分析】（1）利用等差数列的通项公式及前项和公式即可求解；n （2）利用（1）的结论及裂项相消法求数列的前项和，结合不等式的解法即可求解. n 【详解】（1）设等差数列的公差为，则 {}n a d 因为，13424,2a a a a +=-=所以，即，解得. ()11112432a a d a d a d ++=⎧⎨+-+=⎩1222a d d +=⎧⎨=⎩111a d =⎧⎨=⎩所以数列的通项公式为， {}n a ()111n a n n =+-⨯=所以数列的通项公式及前项和为.{}n a n ()()1122n S n n n n ++==（2）由（1）知，， ()12n n n S +=所以， ()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭所以数列的前项和为 1{}n S n 1231111n nT S S S S =++++ 111111224122223113n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+⎪⎛⎫- ⎪-++- ⎪ ⎪ +⎝⎭⎝⎝⎝⎭⎭⎭ 111111*********n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ . 1211n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭因为， 9950n T >所以，即，于是有，解得， 19921150n ⎛⎫->⎪+⎝⎭19911100n ->+111100n <+99n >因为， *N n ∈所以的最小值为.n 10019．已知：函数. 32()3f x x ax x =--(1)若，求的单调性；(3)0f '=()f x(2)若在上是增函数，求实数的取值范围. ()f x [)1x ∈+∞，a 【答案】(1)答案见解析；(2). (]0-∞，【分析】（1）求出导函数，利用，求出的值，解不等式，即可求出(3)0f '=a ()()''>0<0，f x f x ()f x 的单调性；（2）利用函数在区间上是单调增函数，导数大于等于0恒成立，推出关系式，求出实数的取值范围.a 【详解】（1），，32()3f x x ax x =-- 2()323'∴=--f x x ax ，，.(3)0'= f 27630∴--=a 4a ∴=将代入得，令得或. 4a =()2383'=--f x x x ()0f x '=13x =-3x =x1()3-∞-，13-1(3)3-， 3(3)+∞， ()f x ' +0 -0 +()f x↑↓↑在上单调递减，在上单调递增. ()f x ∴1(3)3∈-，x 1()(3)3∈-∞-+∞，，，x （2）方法1：在上是增函数， ()f x [)1x ∈+∞，在上恒成立， 2()3230f x x ax ∴--'=≥[)1+∞，， 31()2a x x∴≤-当时，是增函数，其最小值为，1x ≥31(2x x-3(11)02-=.实数的取值范围是. 0a ∴≤a (]0-∞，方法2：在上是增函数， ()f x [)1x ∈+∞，在上恒成立， 2()3230f x x ax ∴--'=≥[)1+∞，，. (1)2013f a a=-≥⎧⎪⎨≤'⎪⎩0a ∴≤实数的取值范围是. a (]0-∞，20．已知数列是公比为2的等比数列，，，成等差数列．{}n a 2a 3a 44a -(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若，设数列的前n 项和，求证：． 21log n n na b a +={}n b n T 13n T ≤<【答案】(1)2n n a =(2)证明见解析【分析】(1)根据等差中项的性质和等比数列定义求解；(2)利用错位相减法求和即可证明.【详解】（1）因为，，成等差数列，所以，2a 3a 44a -32442a a a =+-又因为数列的公比为2，所以，{}n a 2311122242a a a ⨯=+⨯-即，解得，所以．1118284a a a =+-12a =1222n n n a -=⨯=（2）由（1）知，则， 2nn a =221log 1log 2122n n n n n n a n b a +++===所以， ① 2323412222n n n T +=++++L ， ② 231123122222n n n n n T ++=++++ ①②得 -23111111122222n n n n T ++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭L 212111111111122221111221122n n n n n n -+++⎛⎫-- ⎪++⎝⎭=+-=+---． 11112133122222n n n n n +++++=+--=-所以． 3332n n n T +=-<又因为， 102n nn b +=>所以是递增数列，所以，所以．{}n T 11n T T =≥13n T ≤<21．已知函数，其中. 211()()ln 2=-++f x x a x x a0a >(1)当时，求曲线在点处切线的方程；1a =()y f x =()()1,1f (2)试讨论函数的单调区间.()f x 【答案】(1)； 32y =-(2)答案见解析.【分析】（1）利用导数几何意义结合条件即得；（2）求函数的导函数,得到导函数的零点,讨论的范围，由导函数的零点对函数定义域分段,利()f x a 用导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性.【详解】（1）当时，,则， 1a =21()2ln 2f x x x x =-+1()2f x x x'=-+，又， ()10f '∴=()312f =-在点处切线的方程为； ∴()y f x =()()1,1f 32y =-（2）由题可得， 1()()11()(0)x a x a f x x a x a x x --⎛⎫'=-++=> ⎪⎝⎭令，解得或， ()0f x '=x a =1x a =若，，当变化时，，的变化情况如表： 01a <<1a a <x ()f x '()f x x (0,)a a 1(,)a a 1a ,1(a )∞+ ()f x ' +0-0 + ()f x 增函数减函数增函数的单调增区间为和,，单调减区间为； ()f x ∴(0,)a 1(a )∞+1(,)a a②若，，当变化时，，的变化情况如表： 1a >1a a <x ()f x '()f x x1(0,)a 1a , 1(a )a a (,)a +∞ ()f x ' +0-0 + ()f x 增函数减函数增函数的单调增区间为和，单调减区间为； ()f x ∴1(0,)a(,)a +∞1(,)a a③若，则，函数的单调增区间为；1a =()0f x '≥()f x ()0,∞+综上，当时，的单调增区间为和,，单调减区间为；当时，01a <<()f x (0,)a 1(a )∞+1(,a a1a >()f x 的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为1(0,a(,)a +∞1(,)a a 1a =()f x .()0,∞+22．已知椭圆过点，且焦距为2222:1(0)x y C a b a b+=>>(2,1)P --(1)求椭圆的方程；C (2)过直线（不经过点交椭圆于点，，试问直线与直线的斜率之和为，求证：l )P C A B PA PB 1-l 过定点.【答案】(1) 22182x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.,,a b c C （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，根据化简求得定点坐标.AB 1PA PB k k +=-【详解】（1）由题意可得，解得，22222411c aba b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩椭圆的方程：.∴C 22182x y +=（2）当直线的斜率不存在时，设其方程为，AB,x t x =-<<2x ≠-则， ,,A t Bt ⎛⎛⎝⎝所以， 212PA PB k k t +===-+解得（舍去），4t =-所以直线的斜率存在.AB 设直线的方程为，其中，AB y kx m =+21m k ≠-联立方程，消去得：， 22182y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y 22(4)8801k x kmx -+=+设，()()1122,,,A x y B x y 则，， 122841km x x k -+=+21224841m x x k -⋅=+所以 12121122PA PB m kx m k k x k x x +++++=+++ 1212(2)21(2)2122k x m k k x m k x x ++-+++-+=+++ 122121()22m k m k k k x x -+-+=+++++ 12112(21)()22k m k x x =+-++++ 12121242(21)2()4x x k m k x x x x ++=+-++++ 2222841842(21)482()44141k m k m km k k k m k +-+-+=+-+-+++ 222221684412(21)16441641k km k k m k k m kmk -++=+-+⋅+--+ 224212(21)(2)1k km k m k k m -+=+-+⋅--， 24212121k km k k m -+-=+=--+整理得，直线的方程为，4m k =AB ()4y k x =+所以直线恒过定点.l ()4,0-【点睛】根据已知条件求解椭圆的方程，关键点在于列方程组来求得，要注意“隐藏条件”,,a b c .求解直线过定点问题，可先设出直线方程，然后根据已知条件列方程，求得直线方程中222a b c =+参数的关系，从而求得定点的坐标.。

江苏省南通市高二上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一下·九江期中) 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列叙述正确的是（）A . 若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥nB . 若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m⊥nC . 若m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，m⊥n，则α∥βD . 若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β2. （2分）已知公差不为零的等差数列的第k、n、p项构成等比数列的连续三项，则等比数列的公比为（）A .B .C .D .3. （2分）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A . 2x+y-3=0B . 2x-y-3=0C . 4x-y-3=0D . 4x+y-3=04. （2分）(2012·全国卷理) 正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，，动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（）A . 16B . 14C . 12D . 105. （2分）设是等差数列.下列结论中正确的是（）A . 若,则B . 若,则C . 若,则D . 若，则（）（）6. （2分）下列命题中正确的是（）A . 经过点P0(x0 ， y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示B . 经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示C . 经过任意两个不同点P1(x1 ， y1)，P2(x2 ， y2)的直线都可用方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示D . 不经过原点的直线都可以用方程表示7. （2分） (2018高二上·长治期中) 若直线过点，，则此直线的倾斜角是（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二下·咸阳期末) 设已知椭圆的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为（）A . (－3，0)B . (－4，0)C . (－10，0)D . (－5，0)9. （2分）已知等差数列中，则n=（）A . 4B . 5C . 6D . 710. （2分）已知点Q(-2,0)及抛物线x2=﹣4y上一动点P（x，y），则|y|+|PQ|的最小值是（）A .B . 1C . 2D . 311. （2分） (2019高三上·广东月考) 若函数的部分图象如图所示，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的得到函数的图象，则在上的最小值是（）A . -1B .C .D .12. （2分） (2019高一下·佛山月考) 已知等比数列中，有，数列是等差数列，其前项和为，且，则（）A . 26B . 52C . 78D . 104二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二上·日喀则期中) 在等比数列{an}中，a1=3，a4=24，则a3+a4+a5=________．14. （1分） (2019高一下·双鸭山期中) 设等差数列满足，则的前项和最大时的序号的值为________．15. （1分）(2017·南海模拟) 已知F1 ， F2分别为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，P （位于第一象限）为椭圆上一点，且PF1⊥PF2 ，若⊙O与PF1相切，则⊙O的方程为________．16. （1分） (2019高二下·深圳期末) 设是公差不为零的等差数列，为其前项和.已知成等比数列，且，则数列的通项公式为________.三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）(2017·吴江模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA=PB，PA⊥PB，AB⊥BC，且平面PAB⊥平面ABCD，若AB=2，BC=1，．（1）求证：PA⊥平面PBC；（2）若点M在棱PB上，且PM：MB=3，求证CM∥平面PAD．18. （10分）(2020·兴平模拟) 在中，角，，的对边分别为，，，且.（1）求角的值；（2）若，且的面积为，求边上的中线的大小.19. （10分）设三个数， 2，成等差数列，其中（x，y）对应点的曲线方程是C．（1）求C的标准方程；（2）直线l1：x﹣y+m=0与曲线C相交于不同两点M，N，且满足∠MON为钝角，其中O为直角坐标原点，求出m的取值范围．20. （5分）已知椭圆的右焦点F2与抛物线的焦点重合，左端点为（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆C1的右焦点且斜率为的直线l2被椭圆C1截得的弦AB，试求它的长度．21. （15分） (2019高二上·涡阳月考) 如图，是棱形，与相交于点，平面平面，且是直角梯形， .（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.22. （5分） (2018高二上·长安期末) 一张坐标纸上涂着圆E：及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线EP'交于点M ．（1）求的轨迹的方程；（2）直线与C的两个不同交点为A ， B ，且l与以EP为直径的圆相切，若，求△ABO的面积的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共50分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。

2019-2020学年江苏省南通市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合{1A =，2}，{B a =，3}a -，若{1}A B = ，则实数(a =)A ．1-B ．1C ．4D ．1或42．（5分）已知复数z 满足(12)5z i +=，则复数(z =)A ．12i--B ．12i-+C ．12i-D ．12i+3．（5分）已知3log 4a =，1331log ,45b c -==，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b>>4．（5分）如图，点A ，B ，C ，P 均在正方形网格的格点上．若(,)AP AB AC R λμλμ=+∈，则2(λμ+=)A ．1B ．32C ．43D ．25．（5分）函数()cos f x x x =的图象大致为()A ．B ．C ．D ．6．（5分）已知两圆的方程分别是22(3)(2)1x y -++=与22(7)(1)36x y -+-=，则这两圆的位置关系是()A ．内含B ．内切C ．相交D ．外切7．（5分）八音是中国古代对乐器的统称，包含“金、石、土、革、丝、木、匏(páo )、竹”八类，每类又包括若干种乐器．现有“土、丝、竹“三类乐器，其中“土”包括“缶(fǒu )、埙(x ūn )“2种乐器：“丝”包括“琴、瑟、筝、琵琶”4种乐器：“竹”，包括“箫、笛、笋“3种乐器．现从这三类乐器中各选1种乐器分配给甲、乙、丙三位同学演奏，则不同的分配方案有()A ．24种B ．72种C ．144种D ．288种8．（5分）已知22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，右焦点为F ，直线11A B 与直线2B F 相交于点T ．若2A T 垂直于x 轴，则椭圆的离心率(e =)A ．13B C ．12D 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2021-2022学年江苏省南通市城中中学高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 直线平分圆的周长，则：A．3 B．5 C．－3 D．－5参考答案：D2. 下列函数，其中既是偶函数又在区间上单调递减的函数为A．B．C．D．参考答案：B3. 若复数为纯虚数，则实数的值为（）A． B． C．D．或参考答案：A由，故选A．4. 直线y＝k(x-2)＋4与曲线y＝1+有两个不同的交点，则实数的k的取值范围是（）A． B． C .D．参考答案：A略5. =0是可导函数y=f (x)在点x=x0处有极值的 ( )A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、非充分非必要条件参考答案：B6. 已知单调递增的等比数列{a n}中，a2?a6=16，a3+a5=10，则数列{a n}的前n项和S n=（）A．B．C．2n﹣1 D．2n+1﹣2参考答案：B【考点】等比数列的前n项和．【分析】由等比数列的性质和韦达定理可得a3，a5为方程x2﹣10x+16=0的实根，解方程可得q和a1，代入求和公式计算可得．【解答】解：∵a2?a6=16，a3+a5=10，∴由等比数列的性质可得a3?a5=16，a3+a5=10，∴a3，a5为方程x2﹣10x+16=0的实根，解方程可得a3=2，a5=8，或a3=8，a5=2，∵等比数列{a n}单调递增，∴a3=2，a5=8，∴q=2，，∴故选：B．7. 设P为椭圆上的一点，F1、F2是椭圆的焦点，若|PF1|:|PF2|=3:1，则∠F1PF2的大小为（）A. 30°B.60° C.90° D. 120°参考答案：B略8. 若，则下列不等式成立的是（）A、 B、 C、 D、参考答案：C略9. 若直线与双曲线的右支交于不同的两点，那么的取值范围是（）A.（）B.（）C.（）D. （）参考答案：D10. 如图1，直三棱柱侧面是边长为5的正方形，，与成角，则长（）A．13 B．10C． D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 一只虫子从点(0,0)出发，先爬行到直线l: x－y+1=0上的P点，再从P点出发爬行到点A(1,1)，则虫子爬行的最短路程是__________．参考答案：如图所示：设关于直线的对称点是，连接和直线交于点，则最短，由，解得，故直线和的交点是，故．故答案为：．12. 把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一个数）：设（）是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数，如．则为 ▲．参考答案：59 略13. 已知函数y=x 3﹣ax 2+x ﹣5若函数在[2，+∞）上是增函数，则a 的取值范围是 ．参考答案：a≤【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求导数得到f′（x ）=x 2﹣2ax+1，根据条件可得到f′（x ）≥0在x ∈[2，+∞）上恒成立，得到关于a 的不等式组，这样即可解出a 的范围，即得出实数a 的取值范围． 【解答】解：∵y=f （x ）=x 3﹣ax 2+x ﹣5， ∴f′（x ）=x 2﹣2ax+1；∵f （x ）在[2，+∞）上是增函数； ∴f′（x ）≥0在x ∈[2，+∞）上恒成立；∴△=4a 2﹣4≤0，或；解得﹣1≤a≤1，或a≤； ∴a≤；故答案为：a≤．14. 等差数列的前n 项和为S n ,且，.记，如果存在正整数M ，使得对一切正整数n ，都成立.则M 的最小值是参考答案： 2 略15._______.参考答案：略16. 若双曲线x 2－=1的离心率为，则实数m=__________．参考答案：2解：由题意可得，，，则，解得．17. 等差数列中，已知，试求n 的值参考答案：50三、解答题：本大题共5小题，共72分。

对于D选项，由于 ， ， 是空间一个基底，所以 ， ， 不共面.假设 ＋ ， ＋ ， ＋ 共面，设 ，化简得 ，即 ，所以 ， ， 共面，这与已知矛盾，所以 ＋ ， ＋ ， ＋ 不共面，可以作为基底.所以D选项正确.
故选：BCD
【点睛】本小题主要考查平面向量基本定理，考查基底的概念，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
19.已知数列 满足： ，前n项和 ， ．
（1）求实数p的值及数列 的通项公式；
（2）在等比数列 中， ， ．若 的前n项和为 ，求证：数列 为等比数列．
【答案】（1） .（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用 求得 的值.利用 求得数列 的通项公式.
（2）利用基本元的思想求得等比数列 的首项和公比，由此求得 ，进而证得 是等比数列.
【详解】当“存在非空集合C，使得C A，B C”时，如 ，但 ，所以不能推出“A B＝ ”.
当“A B＝ ”时，则 的非空子集 的补集 ，必包含 ，也即“存在非空集合C，使得C A，B C”.
故“存在非空集合C，使得C A，B C”是“A B＝ ”成立的必要不充分条件.
故选：C
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查集合子集、补集等知识的运用，属于基础题.
【详解】双曲线 焦点在 轴上，且 ，渐近线为 ，准线方程为 .
对于A选项，双曲线 的离心率为 ，所以A选项正确.
对于B选项，双曲线 的渐近线为 ，与曲线 的渐近线不相同，故B选项错误.
对于C选项，双曲线 的一条准线方程为 代入 ，解得 ，所以弦长为 ，所以C选项正确.
对于D选项，直线 与双曲线 的公共点个数可能为 ，故D选项正确.
（1）若二面角C—AB—D为直二面角，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为_______；

2021-2022学年江苏省南通市高二上期末考试数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →=12OA →+（14−λ）OB →+（λ+14）OC →成立，则“λ＝1”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件2．若经过P （m ，﹣1）和Q （5，m ）的直线的斜率为2，则m 等于（ ） A ．1B ．3C ．1或3D ．43．已知平行四边形ABCD 内接于椭圆Ω：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），且AB ，AD 斜率之积的取值范围为(−45，−34)，则椭圆Ω的离心率的取值范围为（ ） A ．(√55，12)B ．(√55，√22) C ．(14，√55)D ．(15，14)4．在正四面体P ﹣ABC 中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE →⋅BC →的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．√3D ．735．若圆O 1：x 2+y 2＝5与圆O 2：（x ﹣m ）2+（y ﹣2m ）2＝20（m ＞0）相交，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（1，3）B ．[1，3]C ．（3，+∞）D ．（0，1）6．已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若以F 1F 2为直径的圆过点P ，且∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则C 的离心率为（ ） A ．1−√32B ．√3−1C ．√3−12D ．2−√37．圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4被直线y ＝kx ﹣1截得的最短弦长为（ ） A ．2√3 B ．2√2 C ．√3 D ．√28．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右顶点为A ，左焦点为F ，动点B 在C 上．当AF ⊥BF 时，有AF ＝BF ，则C 的离心率是（ ） A ．√2B ．32C ．√3D ．2二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →=（2，﹣1，﹣4），AD →=（4，2，0），AP →=（﹣1，2，﹣1）．下列结论正确的有（ ） A ．AP ⊥AB B ．AP ⊥ADC ．AP →是平面ABCD 的一个法向量D ．AP →∥BD →10．已知点A （﹣5，0），B （﹣1，﹣3），点P 是圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝1上任意一点，则△P AB 面积的可以等于（ ） A ．11B ．232C ．13D ．27211．已知椭圆E ：x 236+y 220=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，定点A （1，4），若点P 是椭圆E 上的动点，则|P A |+|PF 1|的值可能为（ ） A ．7 B ．10 C ．17 D ．1912．已知椭圆C ：x 2a+y 2b=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2且|F 1F 2|＝2，点P （1，1）在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ） A ．|QF 1|+|QP |的最小值为2√a −1 B ．椭圆C 的短轴长可能为2C ．椭圆C 的离心率的取值范围为（0，√5−12）D ．若PF 1→=F 1Q →，则椭圆C 的长轴长为√5+√17 三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．直线x +√3y +2021＝0的倾斜角为 .（用角度制表示）14．已知a →=（5，3，1），b →=（﹣2，t ，−25），若a →与b →的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是 ． 15．已知椭圆标准方程为x 23+y 22=1，则该椭圆的长轴长是 ．16．过直线l ：y ＝2x 上一点P 向圆C ：（x +3）2+（y ﹣1）2＝8引切线，切线长为d 1，点P 到点M （﹣6，﹣2）的距离为d 2，则|d 1﹣d 2|的最大值为 ．四．解答题（共6小题，其中第17小题10分，第18-22小题各12分，共70分）17．已知两直线l1：ax+3y+4＝0和l2：x+（a﹣2）y+a2﹣5＝0．（1）若l1⊥l2，求实数a的值；（2）若l1∥l2，求实数a的值．18．在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣2，﹣2），C（5，5），圆M为△ABC的外接圆．（1）求圆M的标准方程；（2）过点P（7，2）作圆M的切线，求切线方程．19．如图所示，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝AC ＝2，将△ABD 沿BD 翻折到△A 'BD 的位置，使得AA '=√2． （Ⅰ）求证：平面A 'BD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）当A′M →=2MD →时，求多面体MOCD 的体积．20．如图，一抛物线型拱桥的拱顶O离水面高4米，水面宽度AB＝10米．现有一船只运送一堆由小货箱码成的长方体形的货物欲从桥下中央经过，已知长方体形货物总宽6米，高1.5米，货箱最底面与水面持平．（1）问船只能否顺利通过该桥？（2）已知每加一层货箱，船只吃水深度增加1cm；每减一层货箱，船只吃水深度减少1cm．若每层小货箱高3cm，且货物与桥壁需上下留2cm间隙方可通过，问船只需增加或减少几层货箱可恰好能从桥下中央通过？21．已知点F(2√2，0)为中心在原点的椭圆C的右焦点，且P(2，2√63)在此椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点Q(−4√2，0)的直线交椭圆于A，B两点，点A关于x轴的对称点为点C，求证：直线BC经过定点，并求出定点的坐标．22．抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ．已知点M（2，0），且⊙M与l相切．（1）求C，⊙M的方程；（2）设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由．2021-2022学年江苏省南通市高二上期末考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →=12OA →+（14−λ）OB →+（λ+14）OC →成立，则“λ＝1”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【解答】解：知A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →=12OA →+（14−λ）OB →+（λ+14）OC →成立，若“P ，A ，B ，C 四点共面，则12+14−λ+λ+14=1，恒成立，故λ＝1”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的充分不必要条件， 故选：A ．2．若经过P （m ，﹣1）和Q （5，m ）的直线的斜率为2，则m 等于（ ） A ．1B ．3C ．1或3D ．4【解答】解：∵经过P （m ，﹣1）和Q （5，m ）的直线的斜率为2， ∴−1−m m−5=2，解得m ＝3，经过验证分母不等于0， ∴m ＝3， 故选：B ．3．已知平行四边形ABCD 内接于椭圆Ω：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），且AB ，AD 斜率之积的取值范围为(−45，−34)，则椭圆Ω的离心率的取值范围为（ ） A ．(√55，12)B ．(√55，√22) C ．(14，√55) D ．(15，14)【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由平行四边形对角线互相平分可得A 与C ，B 与D 关于原点对称，所以可得D （﹣x 2，﹣y 2），所以k AB •k AD =y 2−y 1x 2−x 1•y 1+y 2x 1+x 2=y 12−y 22x 12−x 22，将A ，B 的坐标代入可得{x 12a 2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1相减可得x 12−x 22a 2+y 12−y 22b 2=0，可得y 12−y 22x 12−x 22=−b 2a 2，由题意可得：−45＜−b 2a 2＜−34，即34＜b 2a 2＜45，可得：34＜1−c 2a 2＜45，解得：e =c a ∈（√55，12），故选：A ．4．在正四面体P ﹣ABC 中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE →⋅BC →的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．√3D ．73【解答】解：如图，P ﹣ABC 为正四面体，则∠APC ＝∠BPC ＝∠APB ＝60°，E 是棱AB 中点，所以PE →=12(PA →+PB →)，BC →=PC →−PB →，所以PE →⋅BC →=12(PA →+PB →)•（PC →−PB →）=12PA →⋅PC →+12PB →⋅PC →−12PA →⋅PB →−12PB →2=12×2×2×cos60°−12×22=1﹣2＝﹣1， 故选：A ．5．若圆O 1：x 2+y 2＝5与圆O 2：（x ﹣m ）2+（y ﹣2m ）2＝20（m ＞0）相交，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（1，3）B ．[1，3]C ．（3，+∞）D ．（0，1）【解答】解：O 1：x 2+y 2＝5的圆心是（0，0），半径是√5，O 2：（x ﹣m ）2+（y ﹣2m ）2＝20（m ＞0）的圆心是（m ，2m ），半径是2√5， 由题意得：√5＜√m 2+4m 2＜3√5，（m ＞0），解得：1＜m ＜3， 故选：A ．6．已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若以F 1F 2为直径的圆过点P ，且∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则C 的离心率为（ ） A ．1−√32B ．√3−1C ．√3−12D ．2−√3【解答】解：如图，在焦点△PF 1F 2中，由题意知：|PF 1|+|PF 2|＝2a ⋯①，且△PF 1F 2为直角三角形，再由∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2＝2α，且∠PF 1F 2+∠PF 2F 1＝90°，故∠PF 1F 2＝30°， 所以|PF 1|＝|F 1F 2|cos 30°=√3c ，|PF 2|＝|F 1F 2|sin 30°＝c ，代入①式得(√3+1)c =2a ， 故e =c a =2√3+1=√3−1． 故选：B ．7．圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4被直线y ＝kx ﹣1截得的最短弦长为（ ） A ．2√3B ．2√2C ．√3D ．√2【解答】解：直线y ＝kx ﹣1过定点P （0，﹣1），圆心C （1，0）， 当直线CP 与弦垂直时，弦长最短， ∵|CP|=√12+12=√2，∴最短弦长为2√r 2−|CP|2=2√4−2=2√2， 故选：B ． 8．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右顶点为A ，左焦点为F ，动点B 在C 上．当AF ⊥BF 时，有AF ＝BF ，则C 的离心率是（ ） A ．√2B ．32C ．√3D ．2【解答】解：由动点B 在C 上．当BF ⊥AF 时，|AF |＝|BF |， 可得B 在左支上，令x ＝﹣c ，可得c 2a 2−y 2b 2=1，解得y ＝±b √c 2a 2−1=±b 2a ， 即有|BF |=b2a，则a +c =b2a ，即a （a +c ）＝b 2＝c 2﹣a 2＝（c ﹣a ）（a +c ），可得a ＝c ﹣a ，即c ＝2a ， e =ca=2． 故选：D ．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →=（2，﹣1，﹣4），AD →=（4，2，0），AP →=（﹣1，2，﹣1）．下列结论正确的有（ ） A ．AP ⊥AB B ．AP ⊥ADC ．AP →是平面ABCD 的一个法向量D ．AP →∥BD →【解答】解：对于A ，AB →•AP →=2×（﹣1）+（﹣1）×2+（﹣4）×（﹣1）＝0，∴AP →⊥AB →，即AP ⊥AB ，A 正确；对于B ，AP →•AD →=（﹣1）×4+2×2+（﹣1）×0＝0，∴AP →⊥AD →，即AP ⊥AD ，B 正确； 对于C ，由AP →⊥AB →，且AP →⊥AD →，得出AP →是平面ABCD 的一个法向量，C 正确； 对于D ，由AP →是平面ABCD 的法向量，得出AP →⊥BD →，则D 错误． 故选：ABC ．10．已知点A （﹣5，0），B （﹣1，﹣3），点P 是圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝1上任意一点，则△P AB 面积的可以等于（ ） A ．11B ．232C ．13D ．272【解答】解：如图，圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝1的圆心坐标为（1，0），半径为1， 过A ，B 的直线方程为y −3=x+5−1+5，即3x +4y +15＝0．|AB |=√(−5+1)2+32=5=5，所以圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝1上的点P 到直线AB 距离的最大值为d +r =√3+4+1=235， 点P 到直线AB 的距离的最小值为d ﹣r ==√3+41=135， 因此△P AB 的面积的最大值为12|AB |•（d +r ）=12×5×235=232，△P AB 的面积的最小值为12|AB |•（d ﹣r ）=12×5×135=132， 所以△P AB 面积的可以是AB ， 故选：AB ．11．已知椭圆E ：x 236+y 220=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，定点A （1，4），若点P 是椭圆E 上的动点，则|P A |+|PF 1|的值可能为（ ） A ．7B ．10C ．17D ．19【解答】解：由椭圆的定义可得|P A |+|PF 1|＝|P A |+2a ﹣|PF 2|＝2a +|P A |﹣|PF 2|， 由椭圆的方程可得：a ＝6，b ＝2√5，所以c =√36−20=4， 所以F 2（4，0），所以|AF 2|=√(1−4)2+42=5， 因为﹣5≤|P A |﹣|PF 2|≤5 所以7≤|P A |+|PF 1|≤17，故选：ABC ． 12．已知椭圆C ：x 2a+y 2b=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2且|F 1F 2|＝2，点P （1，1）在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ） A ．|QF 1|+|QP |的最小值为2√a −1 B ．椭圆C 的短轴长可能为2C ．椭圆C 的离心率的取值范围为（0，√5−12）D ．若PF 1→=F 1Q →，则椭圆C 的长轴长为√5+√17【解答】解：由|F 1F 2|＝2可得2c ＝2，所以c ＝1，右焦点F 2（1，0）， 所以|PF 2|＝1，所以|QF 1|+|QP |＝|2√a |﹣|QF 2|+|QP |＝2√a −（|QF 2|﹣|QP ）≥2√a −|PF 2|＝2√a −1，所以A 正确； x ＝1与x 2a+y 2b=1的交点为（1，√a1）， 因为点P （1，1）在椭圆内部，所以√a1，所以b ＞√a ，b 2＞a ＝b +c 2＝b +1， 可得b ＞1+√52，有可能√b ＞1，即短轴长不可能为2，所以B 不正确； 或者a 2﹣c 2＞a ，即a 2﹣a ﹣1＞0，可得a ＞1+√52， 所以离心率e =√a 1+√52=√5−12，所以C 正确；若PF 1→=F 1Q →，可得F 1为PQ 的中点．所以可得Q （﹣3，﹣1），而Q 在椭圆上， 所以9a +1b=1，c 2＝a ﹣b ＝c 2＝1，解得a =11±√952（负号舍），所以长轴长2√a =√22−√95，所以D 不正确； 故选：AC ．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．直线x +√3y +2021＝0的倾斜角为 150° .（用角度制表示） 【解答】解：根据题意，设直线x +√3y +2021＝0的倾斜角为α， 其斜率k ＝tan α=−√33，又由0°≤α＜180°， 则α＝150°，故答案为：150°．14．已知a →=（5，3，1），b →=（﹣2，t ，−25），若a →与b →的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是 （﹣∞，−65）∪（−65，5215） ．【解答】解：∵a →=（5，3，1），b →=（﹣2，t ，−25），a →与b →的夹角为钝角， ∴a →⋅b →=5×（﹣2）+3t +1×（−25）＜0， 解得t ＜5215．又a →=（5，3，1）与b →=（﹣2，t ，−25）不共线， 由a →=（5，3，1）与b →=（﹣2，t ，−25）共线，可得−25=t 3=−25，解得t =−65，∴实数t 的取值范围是（﹣∞，−65）∪（−65，5215）．故答案为：（﹣∞，−65）∪（−65，5215）．15．已知椭圆标准方程为x 23+y 22=1，则该椭圆的长轴长是 2√3 ．【解答】解：椭圆标准方程为x 23+y 22=1，则该椭圆的长轴长是2a ＝2√3．故答案为：2√3．16．过直线l ：y ＝2x 上一点P 向圆C ：（x +3）2+（y ﹣1）2＝8引切线，切线长为d 1，点P 到点M （﹣6，﹣2）的距离为d 2，则|d 1﹣d 2|的最大值为 √26 ． 【解答】解：根据题意设P （x ，2x ），则d 1=√PC 2−r 2=√(x +3)2+(2x −1)2−8#/DEL/#=√5x 2+2x +2#/DEL/#=√5×√(x +15)2+925#/DEL/#=√5×√(x +15)2+(0−35)2#/DEL/#故d 1 的几何意义为：x 轴上一点与 (−15，35) 之间距离的√5倍， 又d 2＝MP =√(x +6)2+(2x +2)2−8=√5x 2+20x +40 =√5×√(x +2)2+(0−2)2，故d 2的几何意义为：x 轴上一点与（﹣2，2）之间的距离的√5倍，（﹣2，2）和 (−15，35) 位于x 轴的同侧，所以|d 1﹣d 2|的最大值即为这两点间距离的√5倍，即，|d 1−d 2|max =√5×√(−2+15)2+(2−35)2=√26． 故答案为：√26．四．解答题（共6小题，其中第17小题10分，第18-22小题各12分，共70分） 17．已知两直线l 1：ax +3y +4＝0和l 2：x +（a ﹣2）y +a 2﹣5＝0． （1）若l 1⊥l 2，求实数a 的值； （2）若l 1∥l 2，求实数a 的值．【解答】解：（1）若l 1⊥l 2，则a ×1+3×（a ﹣2）＝0， 解得a =32，故所求实数a 的值为32；（2）若l 1∥l 2，则{a(a −2)−3×1=0a(a 2−5)−1×4≠0，解得a ＝3，故所求实数a 的值为3．18．在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣1，5），B （﹣2，﹣2），C （5，5），圆M 为△ABC 的外接圆．（1）求圆M 的标准方程；（2）过点P （7，2）作圆M 的切线，求切线方程． 【解答】解：（1）设圆M 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0，A （﹣1，5），B （﹣2，﹣2），C （5，5），圆M 为△ABC 的外接圆 {26−D +5E +F =08−2D −2E +F =050+5D +5E +F =0，解得D ＝﹣4，E ＝﹣2，F ＝﹣20， 所以圆M 的方程为x 2+y 2﹣4x ﹣2y ﹣20＝0， 故圆M 的标准方程为（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝25． （2）当切线斜率不存在时，切线方程为x ＝7．当切线斜率存在时，设切线方程为y ﹣2＝k （x ﹣7），即kx ﹣y ﹣7k +2＝0． 由√1+k 2=5，解得k =−125所以切线方程为y −2=−125(x −7)，即12x +5y ﹣94＝0． 综上所述，所求切线方程为x ＝7或12x +5y ﹣94＝0．19．如图所示，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝AC ＝2，将△ABD 沿BD 翻折到△A 'BD 的位置，使得AA '=√2． （Ⅰ）求证：平面A 'BD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）当A′M →=2MD →时，求多面体MOCD 的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD 为菱形，AB ＝AC ＝2 ∴AC ⊥BD ，∠ABC ＝60°，又∵AO ＝A ′O ＝1，AA '=√2，∴A ′O ⊥AO ，又∵AO ⊥BO ，A ′O ∩BO ＝O ，∴AO ⊥平面A ′OB ，即AC ⊥平面A ′BD ， 而AC ⊂平面ABCD ，∴平面A 'BD ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得A ′O ⊥平面ABCD ， 当A′M →=2MD →时，多面体MOCD 的体积V =13V A′−OCD =13×13S △OCD⋅A′O =19×12×OC ×OD =19×12×1×√3=√318．20．如图，一抛物线型拱桥的拱顶O 离水面高4米，水面宽度AB ＝10米．现有一船只运送一堆由小货箱码成的长方体形的货物欲从桥下中央经过，已知长方体形货物总宽6米，高1.5米，货箱最底面与水面持平． （1）问船只能否顺利通过该桥？（2）已知每加一层货箱，船只吃水深度增加1cm ；每减一层货箱，船只吃水深度减少1cm ．若每层小货箱高3cm ，且货物与桥壁需上下留2cm 间隙方可通过，问船只需增加或减少几层货箱可恰好能从桥下中央通过？【解答】解：（1）以O 为原点，过O 垂直于AB 的直线为y 轴，建立如图所示平面直角坐标系：设抛物线方程为x 2＝my ，根据题意知点B （5，﹣4）在抛物线上；.......................2分 ∴25＝﹣4m ；∴m =−254；∴x 2=−254y ；.......................5分 可设C （3，﹣4），过C 作AB 的垂线，交抛物线于D （3，y 0）， 则9=−254y 0；∴y 0=−3625；..................................8分 ∵|CD|=3625＜1.5；∴货箱不能顺利通过该桥．..................................10分 （2）由题（1）知，货物超出高度为（1.5﹣1.44）×100＝6cm ，..................................11分每减少一层，则船体连货物高度整体下降3﹣1＝2cm ，..................................13分 由货物与桥壁需留下2cm 间隙．则需要减少层数为62−1＝2，..................15分答：船只不能顺利通过该桥，需要减少2层可恰好能从中央通过．.....................16分 21．已知点F(2√2，0)为中心在原点的椭圆C 的右焦点，且P(2，2√63)在此椭圆上． （1）求椭圆C 的方程；（2）若过点Q(−4√2，0)的直线交椭圆于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为点C ，求证：直线BC 经过定点，并求出定点的坐标．【解答】解：（1）由已知：{a 2−b 2=8#/DEL/#4a2+83b2=1#/DEL/#⇒3a 4−44a 2+96=0，∴a 2＝12（a 2=83＜8，不合题意，舍去），∴b 2＝4，则椭圆C 的方程为x 212+y 24=1． （4分）（2）设直线BC 的方程为x ＝my +t ， 与椭圆方程联立得（my +t ）2+3y 2＝12， 即（m 2+3）y 2+2mty +t 2﹣12＝0， 设C （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1+y 2=−2mt m 2+3，y 1y 2=t 2−12m 2+3，（6分）由△＞0可得t 2＜4m 2+12． （7分） 又Q(−4√2，0)，A(x 1，−y 1)，B(x 2，y 2)三点共线， 故1x +4√2=2x +4√2⇒y 1(x 2+4√2)+y 2(x 1+4√2)=0，y 1(my 2+t +4√2)+y 2(my 1+t +4√2)=0，2my 1y 2+(t +4√2)(y 1+y 2)=0，（9分）∴2m ⋅t 2−12m 2+3−(t+4√2)⋅2mtm 2+3=0，∴√2mt +3m =0，又m ≠0，∴t =−32√2，即BC 恒过定点(−32√2，0)． （12分） 22．抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点在x 轴上，直线l ：x ＝1交C 于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ ．已知点M （2，0），且⊙M 与l 相切． （1）求C ，⊙M 的方程；（2）设A 1，A 2，A 3是C 上的三个点，直线A 1A 2，A 1A 3均与⊙M 相切．判断直线A 2A 3与⊙M 的位置关系，并说明理由．【解答】解：（1）因为x ＝1与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C 的方程为：y 2＝2px （p ＞0）， 令x ＝1，则y =±√2p ，根据抛物线的对称性，不妨设P 在x 轴上方，Q 在X 轴下方，故P(1，√2p)，Q(1，−√2p)， 因为OP ⊥OQ ，故1+√2p ×(−√2p)=0⇒p =12，抛物线C的方程为：y2＝x，因为⊙M与l相切，故其半径为1，故⊙M：（x﹣2）2+y2＝1．另解：（1）根据抛物线的对称性，由题意可得∠POx＝∠QOx＝45°，因此点P，Q的坐标为（1，±1），由题意可设抛物线C的方程为：y2＝2px（p＞0），可得p=1 2，因此抛物线C的方程为y2＝x．而圆M的半径为圆心M到直线l的距离为1，可得⊙M的方程为（x﹣2）2+y2＝1．（2）很明显，对于A1A2或者A1A3斜率不存在的情况以及A2A3斜率为0的情况满足题意．否则：设A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）．当A1，A2，A3其中某一个为坐标原点时（假设A1为坐标原点时），设直线A1A2方程为kx﹣y＝0，根据点M（2，0）到直线距离为1可得√1+k2=1，解得k=±√33，联立直线A1A2与抛物线方程可得x＝3，此时直线A2A3与⊙M的位置关系为相切，当A1，A2，A3都不是坐标原点时，即x1≠x2≠x3，直线A1A2的方程为x﹣（y1+y2）y+y1y2＝0，此时有，12√1+(y1+y2)2=1，即(y12−1)y22+2y1y2+3−y12=0，同理，由对称性可得，(y12−1)y32+2y1y3+3−y12=0，所以y2，y3是方程(y12−1)t2+2y1t+3−y12=0的两根，则y2+y3=−2y1y12−1，y2y3=3−y12y12−1，依题意有，直线A2A3的方程为x﹣（y2+y3）y+y2y3＝0，令M到直线A2A3的距离为d，则有d2=(2+y2y3)21+(y2+y3)2=(2+3−y12y12−1)21+(−2y1y12−1)2=1，此时直线A2A3与⊙M的位置关系也为相切，综上，直线A2A3与⊙M相切．（2）另解：设A i（y i2，y i），i＝1，2，3，由直线的两点式可知，直线A1A2的方程为（y12−y22）（y﹣y2）＝（y1﹣y2）（x−y22），化简可得x﹣（y1+y2）y+y1y2＝0，因为直线A1A2与圆M相切，所以12√1+(y1+y2)2=1⇒（2+y1y2）2＝1+（y1+y2）2，整理得(y12−1)y22+2y1y2+3−y12=0，同理有(y12−1)y32+2y1y3+3−y12=0，所以y2，y3是关于y的方程(y12−1)y2+2y1y+3−y12=0的两个根，则y2+y3=−2y1y12−1，y2y3=3−y12y12−1，依题意有，直线A2A3的方程为x﹣（y2+y3）y+y2y3＝0，令M到直线A2A3的距离为d，则有d2=(2+y2y3)21+(y2+y3)2=(2+3−y12y12−1)21+(−2y1y12−1)2=1，此时直线A2A3与⊙M的位置关系也为相切，综上，直线A2A3与⊙M相切．。

2023-2024学年江苏省南通市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.数列1,53,52，…的通项公式可能是a n =( )A. n 2+1n +1B. n +1n 2+1C. n 22n−1D. n 2+12n−12.圆(x +1)2+y 2=1和圆(x−2)2+(y−4)2=16的位置关系为( )A. 相离B. 相交C. 外切D. 内切3.某校文艺部有7名同学，其中高一年级3名，高二年级4名.从这7名同学中随机选3名组织校文艺汇演，则两个年级都至少有1名同学入选的选法种数为( )A. 12B. 30C. 34D. 604.已知F 是抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点，点A(1,14)在C 上，则|AF|=( )A. 38B. 58C. 54D. 945.设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4=6，S 8=18，则S 16=( )A. 48B. 90C. 96D. 1626.已知椭圆C ：x 24+y 23=1，直线l 经过点T(1,12)与C 交于A ，B 两点.若T 是线段AB 的中点，则l 的方程为( )A. 4x−6y−1=0 B. 3x−2y−1=0 C. 4x +6y−7=0 D. 3x +2y−4=07.已知平行六面体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，AA 1=3，BD =4，AD 1⋅DC−AB 1⋅BC =5，则cos <AA 1，BD >=( )A. 512B. −512C. 415D. −4158.已知F 是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，直线y = 52b 与C 交于A ，B 两点.若△ABF 的周长为7a ，则C 的离心率为( )A. 43 B. 65 C. 2 105二、多选题：本题共4小题，共20分。

加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13． (22) ， 14．221416y x或2214y x 15． 144 16． 12四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤。

17. （10分）【解】（1）设 n a 的公差为d ，由条件，得11154(4)8a d a d a d ，， …… 2分 解得183a d ，． …… 3分 由2(1)3198(3)0222m m m S m m m ， 解得0m 或193m ． 因为m N ，所以m 的最小值为7． …… 5分（2）设 n a 的公比为q ， 由条件，得64531226a a q a a ． 将2q 代入45123()6a a q q a ，得112a ． …… 7分所以11(12)122122n n n S ，22n n a ， 所以12=2n nS a ． ……10分 18. （12分）（1）【证】在正四棱柱1111ABCD A BC D 中，以1AD AB AA ，， 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系． 因为123AB AA ，，则(000)A ，，,(220)(103)(010)C E F ，，，，，，，，， …… 2分所以(220)(113)AC EF ，，，，，．…… 4分 因为2(1)210(3)0AC EF ， 所以AC EF ，即AC EF ． …… 6分（2）【解】由1(223)C ，，，得1(120)EC ，，． 设平面1C EF 的法向量()x y z ，，n ，由1EC EF ，，n n 即12030EC x y EF x y z，，n n 令1y ，得2x ，1z ，即(211) ，，n ． …… 9分 设直线AC 与平面1C EF 所成角的大小为 ，则sin cos AC ，n 即直线AC 与平面1C EF ． ……12分 19．（12分）【解】（1）因为抛物线C 的焦点为(20)F ，，所以22p ，即4p ， D 1 EC A 1F C 1 D A B B 1 yx z所以C 的方程为28y x ． …… 2分 设直线l 的方程为(2)y k x ，由2(2)8y k x y x ，，消y 得2222(48)40k x k x k ， 设 1122M x y N x y ，，，，则124x x ． …… 4分 又21212()88256y y x x ，120y y ，所以1216y y ，所以12124(16)12OM ON x x y y ． …… 6分（2）因为MF MP NF ，，成等差数列， 所以1202x x ，且1212(2)(2)(2)x x x ， 即1234x x ． …… 8分又124x x ，解得12263x x ，， ……10分 由212248203k x x k，解得23k ．所以2216NP ． ……12分20. （12分）【解】（1）以AB AD AP ，，为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为2BC ，1AP AB AD ， 所以(100)(001)(010)(120)B P D C ，，，，，，，，，，，，则(101)(011)(110)PB PD DC ，，，，，，，，． 设平面PBD 的法向量1111()x y z ，，n ， 由11PB PD ，，n n 即11111100PB x z PD y z ，，n n 取1(111) ，，n ． …… 2分 设平面PCD 的法向量2222()x y z ，，n ， E由22PD DC ，，n n 即22222200PD y z DC x y ，，n n 取1(111) ，，n ． …… 4分 设二面角B PD C 的大小为 ，则121cos cos 3 ，n n ，所以sin …… 6分 （2）设(2)PE PC ，，（01 ≤），则 (121)BE PE PB ，，． 因为异面直线PD 与BE 所成角的大小为60 ，所以1cos60cos 2PD BE ，， 解得23 ． …… 9分 此时242()333PE ，，，所以点E 到平面PBD的距离1143PE dn n……12分 21.（12分）【解】（1）由121n n a a ，得112(1)n n a a ． …… 1分 因为11a ，所以10n a ， 所以1121n n a a ，所以 1n a 是首项为2，公比为2的等比数列． 所以12n n a ，即21n n a ．…… 3分 由4(21)1n n S n b ，① 得114(21)1n n S n b ，② ①－②，得14(21)(21)n n n b n b n b （2n ≥），即1(23)(21)n n n b n b （2n ≥）， 即12123n n b b n n （2n ≥）． …… 5分 当1n 时，11b ，23b ，所以12121232n n b b b n n ，所以21n b n （2n ≥）， 因为11b 符合上式，所以21n b n （n N ）．…… 7分 （2）由（1）知，2(21)n n c n ． 所以123n n T c c c c 12332+52+72++(21)2n n ，③ …… 9分 所以234+1232+52+72++(21)2+(21)2n n n T n n ，④③－④，得234+162(2+2+2++2)(21)2n n n T n ，1+1+18(12)6(21)22(12)212n n n n n ，所以1(21)22n n T n ．……12分 22.（12分）（1）【证】由题意，12(10)(10)F F ，，，． 设直线l 的方程为(1)y k x ，由22(1)12y k x x y，，消y 得222(21)4220k k x k ． 设 1122A x y B x y ，，，， 则221212224222121k k x x x x k k ，．…… 2分 要证OMA OMB ． 即证直线MA MB ，的斜率之和0MA MB k k ． 因为2121222111(32()4222)(2)MA MB x x x y k x x x x k x y k kk，高二数学参考答案 第 6 页 （共 6 页） 而2313322144128423()4021k k k k k k k k k x x x x ， 所以0MA MB k k 得证，所以MA MB ，的倾斜角互补，即OMA OMB ． …… 4分（2）【解】由（1）及椭圆的对称性可知，直线AB 经过点(20)M ，． 设直线AB 的方程为(2)y m x ，由22(2)12y m x x y ，，消y 得222(21)8820m m x m ． 设 1133A x y B x y ，，，， 则213221328218221m x x m m x x m，，且422644(21)(82)0m m m ，即2102m ．所以13x x，所以AB …… 7分 又点1F 到直线AB，所以1F B A △的面积12S……10分 设221t m ，则(12)t ，，且S 当134t，即m 时，1F B A △……12分 注：过程中没有参数范围，扣1分．。

2023-2024学年江苏省南通市高二上学期期末数学考试1.数列的通项公式可能是（）A．B．C．D．2.圆和圆的位置关系为（）A．相离B．相交C．外切D．内切3.某校文艺部有7名同学，其中高一年级3名，高二年级4名.从这7名同学中随机选3名组织校文艺汇演，则两个年级都至少有1名同学入选的选法种数为（）A．12B．30C．34D．604.已知是抛物线的焦点，点在上，则（）A．B．C．D．5.设是等比数列的前项和，若，则（）A．48B．90C．96D．1626.已知椭圆，直线经过点与交于两点.若是线段的中点，则的方程为（）A．B．C．D．7.已知平行六面体中，，则（）A．B．C．D．8.已知是双曲线的右焦点，直线与交于两点.若的周长为，则的离心率为（）A．B．C．D．9.下列等式中，正确的是（）A．B．C．D．10.已知曲线，则（）A．关于原点对称B．关于轴对称C．关于直线对称D．为的一个顶点11.已知正方体的棱长为分别是棱的中点，则（）A．B．是平面的一个法向量C．共面D．点到平面的距离为12.已知数列中，.在和之间插入1个数，和之间插入2个数，和之间插入个数，，使得构成的新数列是等差数列，则（）A．的公差为6B．和之间插入的2个数是19和25C．D．13.直线经过的定点坐标为__________.14.写出符合下列两个条件的一个双曲线的标准方程为__________.①实轴长为4；②渐近线方程为15.第三届“一带一路”国际高峰论坛于年月在北京召开，某记者与参会的名代表一起合影留念（人站成一排）.若记者不站两端，且代表甲与代表乙相邻的不同排法方式有__________种.16.已知圆是上的两个动点，且.设，，则的最大值为__________.17.记为数列的前项和.(1)若为等差数列，且，求的最小值；(2)若为等比数列，且，求的值.18.如图，在正四棱柱中，，，、分别为和的中点.(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.19.在平面直角坐标系中，已知直线经过抛物线的焦点，与交于两点，与的准线交于点.(1)求的值；(2)若成等差数列，求.20.如图，在四棱锥中，平面，.(1)求二面角的正弦值；(2)在棱上确定一点，使异面直线与所成角的大小为，并求此时点到平面的距离.21.已知数列满足，数列的前项和满足.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和22.已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作不与坐标轴垂直的直线交于两点，点的坐标为.(1)证明：；(2)设点关于轴的对称点为，求的面积的最大值.。

2020年江苏省南通市中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设随机变量服从正态分布，若，则=（）A．0．2 B．0．3 C．0．4 D． 0．6参考答案：D略2. 若正数x，y满足x+3y=xy，则3x+4y的最小值为( )A．24 B．25C．28 D．30参考答案：B3. 设数列的前n项和为，令，称为数列，，…，的“理想数”. 已知数列，，…，的“理想数”为2012，那么数列2，，，…，的“理想数”为（）A 、2010 B、 2011 C、 2012 D 、2014参考答案：A略4. 已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，且与轴相切，则圆的方程是（）A． B．C． D．参考答案：A5. 圆心在直线上的圆C与轴交于两点，，则圆C 的方程为．参考答案：略6.若一个圆的圆心在直线上，在轴上截得的弦的长度等于，且与直线相切，则这个圆的方程可能是参考答案：D选项表示的圆的圆心在直线上，到直线的距离：半径，即相切，在轴上截得的弦的长度是圆的直径等于，所以这个圆的方程只可能是，故选.7. 在等差数列中，，则此数列的前13项之和等于( )A．13 B．26 C．52 D．156参考答案：B8. 若函数最小正周期为的奇函数最小正周期为的偶函数最小正周期为的偶函数最小正周期为的奇函数参考答案：B9. 函数的一条对称轴方程为，则（）A．1 B． C．2 D．3参考答案：B10. 某校为了研究“学生的性别”和“对待某一活动的态度”是否有关，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算k=7.069，则认为“学生性别与支持活动有关系”的犯错误的概率不超过（）A．0.1% B．1% C．99% D．99.9%参考答案：B【考点】BL：独立性检验．【分析】把观测值同临界值进行比较．得到有99%的把握说学生性别与支持该活动有关系．【解答】解：∵K2=7.069＞6.635，对照表格：故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在复平面内，复数（为虚数单位）的共轭复数对应的点位于第象限．参考答案：四（或者4，Ⅳ）12. 已知矩形的长，宽，将其沿对角线折起，得到三棱锥，给出下列结论：① 三棱锥体积的最大值为；② 三棱锥外接球的表面积恒为定值；③ 若分别为棱的中点，则恒有且；④ 当二面角为直二面角时，直线所成角的余弦值为；⑤ 当二面角的大小为60°时，棱的长为．其中正确的结论有(请写出所有正确结论的序号)．参考答案：①②③④13. △ABC的周长等于3（sinA+sinB+sinC），则其外接圆直径等于．参考答案：3【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理和△ABC的外接圆半径表示出sinA、sinB、sinC，代入已知的式子化简后求出答案．【解答】解：由正弦定理得，，且R是△ABC的外接圆半径，则sinA=，sinB=，sinC=，因为△ABC的周长等于3（sinA+sinB+sinC），所以a+b+c=3（sinA+sinB+sinC）=3（++），化简得，2R=3，即其外接圆直径等于3，故答案为：3．【点评】本题考查了正弦定理的应用：边角互化，属于基础题．14. 命题的否定是________________.参考答案：15. 已知函数在区间上为单调增函数，求的取值范围.参考答案：解：……………………………1分因为在区间上单调递增，所以对任意恒成立…………………………4分,对任意恒成立………………………6分设，则………………………8分………………………10分略16. 已知点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为2，则M点轨迹方程是．参考答案：（x﹣4）2+y2=4【考点】轨迹方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出M的坐标，直接由M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为2，列式整理得方程．【解答】解：设M（x，y），由点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为2，得=2，整理得：（x﹣4）2+y2=4．∴点M的轨迹方程是（x﹣4）2+y2=4．故答案为：（x﹣4）2+y2=4．【点评】本题考查了轨迹方程的求法，考查了两点间的距离公式，是中低档题．17. 空间三点的坐标为A（1，5，﹣2），B（2，4，1），C（3，3，p+2），若A，B，C三点共线，则p= ．参考答案：2【考点】JH：空间中的点的坐标．【分析】利用空间向量坐标运算法则先求出=（1，﹣1，3），=（2，﹣2，p+4），再由A，B，C 三点共线，得∥，由此能求出p．【解答】解：∵空间三点的坐标为A（1，5，﹣2），B（2，4，1），C（3，3，p+2），∴=（1，﹣1，3），=（2，﹣2，p+4），∵A，B，C三点共线，∴∥，∴，解得p=2．故答案为：2．【点评】本题考查实数值的求法，考查空间向量坐标运算法则、向量平行等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020-2021学年江苏省南通市启东市、通州区高二上学期期末联考数学试题一、单选题1．不等式220x x +-≤的解集为（ ） A ．[]2,1-B ．[]1,2-C ．(][),12,-∞-⋃+∞D ．(][),21,-∞-+∞【答案】C【分析】把二次项系数化为正数，并因式分解后可得不等式的解． 【详解】原不等式可化为220x x --≥，即(2)(1)0x x -+≥， 所以1x ≤-或2x ≥． 故选：C ．2．在等比数列{}n a 中，已知52414,2a a a a -=-=，则公比q =（ ） A ．12±B ．2±C ．12D ．2【答案】D【分析】由等比数列的通项公式列出方程组求解即可.【详解】由41131142a q a q a q a ⎧-=⎨-=⎩，解得122,7q a ==故选：D3．已知函数()ln xf x e x =，()f x '为x 的导函数，则()1f '的值为（ ）A ．1eB ．eC ．1D ．0【答案】B【分析】求出()f x '，进而可求得()1f '的值.【详解】()ln x f x e x =，则()1ln x f x e x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，因此，()1f e '=.故选：B.4．我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被3除余2的整数从小到大组成数列{}n a ，所有被5除余2的正整数从小到大组成数列{}n b ，把数{}n a 与{}n b 的公共项从小到大得到数列{}n c ，则下列说法正确的是（ ） A ．122a b c += B ．824b a c -=C ．228b c =D ．629a b c =【答案】C【分析】根据题意数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，从而得到数列{}n c 是等差数列，依次对选项进行判断可得答案.【详解】根据题意数列{}n a 是首项为2，公差为3的等差数列，23(1)31n a n n =+-=-，数列{}n b 是首项为2，公差为5的等差数列，25(1)53n b n n =+-=-，数列{}n a 与{}n b 的公共项从小到大得到数列{}n c ，故数列{}n c 是首项为2，公差为15的等差数列，215(1)1513n c n n =+-=-，对于A ， 12222539,1521317a b c +=+⨯-==⨯-=， 122a b c +≠，错误； 对于B ， 82458332132,1541347b a c -=⨯--⨯+==⨯-=，824b a c -≠，错误； 对于C ， 2285223107,15813107b c =⨯-==⨯-=，228b c =，正确；对于D ， ()()629361523119,15913122a b c =⨯-⨯⨯-==⨯-=，629a b c ≠，错误. 故选：C.【点睛】本题考查了等差数列的定义、通项公式，解题的关键是利用数列{}n a 、{}n b 都是等差数列得到数列{}n c 的通项公式，考查了理解能力和计算能力.5．已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则该椭圆的离心率是（ ）A B C D 【答案】A【分析】根据题目中的条件，短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，得到3b c =，即可求出离心率．【详解】由题意可知：223bc =，即3b c =，所以a ==所以离心率101010c e a c ===. 故选：A【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．6．已知正方体1111ABCD A B C D -，点,E F 分别是棱11B C ，11A D 的中点，则异面直线BE ，DF 所成角的余弦值为（ ） A ．5B ．35C ．45D ．25【答案】B【分析】证明//BE AF ，得AFD ∠是异面直线BE ，DF 所成角或其补角，在三角形中求解即可．【详解】连接,AF EF ，∵,E F 分别是棱11B C ，11A D 的中点，∴//EF AB ，EF AB =， ∴ABEF 是平行四边形，∴//BE AF ，∴AFD ∠是异面直线BE ，DF 所成角或其补角， 设正方体的棱长为2，则111A F D F ==，22215AF DF ==+=，2223cos 25255AF DF AD AFD AF DF +-∠===⋅⨯⨯，异面直线BE ，DF 所成角的余弦值为35． 故选：B ．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．7．抛物线22x y =的顶点是抛物线上到点()0,A a 的距离最近的点，则实数的a 取值范围是（ ） A ．(),0-∞ B ．(],0-∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞【答案】D【分析】设(,)P x y 是抛物线上任一点，求出PA ，由0y =时PA 取得最小值可得a 的范围．【详解】设(,)P x y 是抛物线上任一点，则PA ===∵0y ≥，∴当10a -≤，即1a ≤时，0y =时，min PA a =． 故选：D ．8．数列{{}n a 满足*111,(,0)n n a a ta t n N t +==+∈≠，则“12t =”是“数列{}n a 成等比数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充分必要条件的定义和等比数列的定义判断． 【详解】12t =时，由11a =得211122a =+=，311122a =+=，，1n a =，所以{}n a 是等比数列，充分性满足；反之若{}n a 是等比数列，则212a ta t t =+=，2322a ta t t t =+=+，123,,a a a 也成等比数列，所以2213a a a =，即2242t t t =+，又0t ≠，所以12t =，此时1(*)n a n N =∈，满足题意，必要性也满足， 应为充要条件． 故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查充分必要条件的判断，考查等比数列的判断，掌握充分必要条件和等比数列的定义是解题关键．解题方法是充分性与必要性分别进行判断，充分性只要把12t =代入计算求出n a 即可判断，而必要性需由数列{}n a 是等比数列求出参数t ，因此可由开始的3项成等比数列求出t ，然后再检验对*n N ∈数列是等比数列即可．二、多选题9．下列命题正确（ ） A ．若22ac bc >，则a >b B ．2,2n n N n ∀∈≥ C ．()10,,sin 4x x x x∃∈+∞+≤ D ．()22,,20a x x a ∀∈+∞++> 【答案】AD【分析】根据不等式的性质判断A ，由特殊值判断B ，利用导数判断函数14y x x=+的单调性，进而证明1sin 4x x x+>在()0,x ∈+∞上恒成立从而判断C ，根据判别式判断D.【详解】对于A 项，22ac bc >说明0c ≠，则a b >，故A 正确； 对于B 项，当3n =时，32289=<3=，故B 错误； 对于C 项，当[1,)x ∈+∞时，1sin 4x x x+>成立，当(0,1)x ∈时，令14y x x =+，222141144x y x x-'=-=，由110,,0,,1,022x y x y ⎛⎫⎛⎫''∈<∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知函数14y x x =+在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则min 11122y =+=，而sin y x =在(0,1)上单调递增，则sin sin11x <<，即1sin 4x x x+>，故C 错误； 对于D 项，当()2a ,∈+∞时，440a ∆=-<，即220x x a ++>恒成立，故D 正确；故选：AD【点睛】关键点睛：要判断B 项不成立，关键是举反例，在判断C 项时，关键是利用导数得出单调性进而证明不等式.10．已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，则下列说法正确的有（ ） A ．若n 2S n =，则{}n a 是等差数列 B ．若n 21n S a =-，则{}n a 是等比数列C ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n 32,n n n S S S S --，成等差数列D ．若{}n a 是等比数列，则n S ，2n 32,n n n S S S S --成等比数列 【答案】ABC【分析】由n S 与n a 的关系根据等差等比数列的定义依次判断即可得出结果. 【详解】若n 2S n =，当1n =时，112a S ==,2n ≥时，()12212n n n a S S n n n -=-=--=，∴2(*)n a n n N =∈,12n n a a -∴-=，∴{}n a 是等差数列，故A 正确；若n 21n S a =-，当1n =时，11121S a a =-=,∴11a =，2n ≥时，()()112121n n n n n a S S a a --=-=---，12nn a a -∴=，∴{}n a 是等比数列，B 正确；设等差数列{}n a 的公差为d ，首项是112,n n a S a a a =+++,221212()()()+n n n n n n n n S S a a a a nd a nd a nd S n d ++-=+++=+++++=+，同理2322()n n n n S S S S n d -=-+，因此2322()()n n n n n S S S S S -=+-则n S ，2n 32,n n n S S S S --，成等差数列，C 正确；若等比数列{}n a 的公比11,2q a =-=，则242640,0,0,S S S S S =-=-=不可能成等比数列，D 错误； 故选：ABC.11．已知双曲线的渐近线方程为2y x =±，则（ ） A ．虚轴长是实轴长的2倍BC ．过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长是虚轴长的2倍D ．焦点到渐近线的距离等于虚半轴长 【答案】BD【分析】焦点在x ，y 轴两种情况，分别求出,,a b c ，再由抛物线的性质判断ABC ，再由点到直线的距离公式判断D. 【详解】当焦点在x 轴上时，2ba=，即2b a =，即虚轴长是实轴长的2倍c ==，ce a==焦点,0)到渐近线2y x =的距离为2d a b ===过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长为()22822b a b a==当焦点在y 轴上时，2,2a a b b==，即虚轴长是实轴长的12倍由c =得出c e a ===焦点)到渐近线2y x =的距离为d b == 过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长为22122b b b a ⎛⎫== ⎪⎝⎭综上，只有BD 正确 故选：BD【点睛】关键点睛：在判断CD 选项时，关键是利用通径以及点到直线的距离公式进行判断.12．在三维空间中，定义向量的外积：a b ⨯叫做向量a 与b 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：①()a ab ⊥⨯，()b a b ⊥⨯，且a ，b 和a b ⨯构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）：②a b ⨯的模sin ,a b a b a b ⨯=（,a b 表示向量a ，b 的夹角）在正方体1111ABCD A B C D -中，有以下四个结论，正确的有（ ）A ．11AB AC AD DB ⨯=⨯ B ．AB AD AD AB ⨯=⨯C ．1111AC AD BD ⨯与方向相同 D ．6||BC AC ⨯与正方体表面积的数值相等【答案】ACD【分析】在正方体中根据外积的定义逐项检验后可得正确的选项. 【详解】设正方体的棱长为a ，对于A ，如图，因为1AB C 为等边三角形，故2213sin 3AB AC a π⨯==， 因为1111//,BD B D BD B D =，而11AB D 为等边三角形， 故22111123sin3AD DB AD D B a π⨯=⨯==，故A 正确. 对于B ，根据定义，1AB AD AA ⨯=，1AD AB AA ⨯=-，两者不相等，故B 错. 对于C ，因为1BD ⊥平面11A DC ，结合外积的定义可得111AC A D ⨯的方向即为1BD 的方向， 故C 正确.对于D ，226||6262BC AC a a a ⨯=⨯⨯=，故它与正方体的表面积相同， 故选：ACD.【点睛】方法点睛：对于立体几何的新定义问题，一般要依据给出的定义进行验证，此题中注意外积中向量的先后次序.三、填空题13．曲线sin 2y x =在点P (),0π）处的切线方程是________.【答案】22y x π=-【分析】先利用导数求出斜率，再用点斜式写出切线方程. 【详解】因为sin 2y x =，所以2cos 2y x '=， 所以切线斜率2cos22k π== 所以切线方程为：22y x π=-， 故答案为：22y x π=-.【点睛】用导数求切线方程常见类型：(1)在00(,)P x y 出的切线：00(,)P x y 为切点，直接写出切线方程：000()()y y f x x x '-=-； (2)过00(,)P x y 出的切线：00(,)P x y 不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点坐标()11,x y ，再写出切线方程：111()()y y f x x x '-=-.14．已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，若111,n n a a a n +=+=，则1916S S -的值为________. 【答案】27【分析】由1n n a a n ++=得121n n a a n +++=+相减后得数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，由此可得通项，从而求得结论．【详解】∵1n n a a n ++=，∴121n n a a n +++=+，相减得21n n a a +-=，又1121,1a a a =+=，20a =，211a a -=-，所以数列{}n a 的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差为1，21n a n -=，21n a n =-，1916171819981027S S a a a -=++=++=．故答案为：27．【点睛】易错点睛：本题考查等差数列的通项公式，解题时由已知等式中n 改写为1n +，两相减后得21n n a a +-=，这里再计算21a a -，如果2211()22n na a a a +--==，则可说明{}n a 是等差数列，象本题只能说明奇数项与偶数项分别成等差数列．不能混淆，误以为{}n a 是等差数列．这是易错的地方．15．2020年是全国决胜脱贫攻坚之年，“一帮一扶”工作组进驻某山区帮助农民脱贫，发现该山区盛产苹果、梨子、猕猴桃，工作人员文明在线上进行直播带货活动，促销方案如下：若一次购买水果总价不低于200元，则顾客少付款m 元，每次订单付款成功后，农民会收到支付款的80%，在促销活动中，为了使得农民收入不低于总价的70%，则m 的最大值为_________. 【答案】25【分析】根据题意建立函数关系式()7080x x m ⨯≥⨯-％％，整理出8xm ≤恒成立，再由x 的范围即可求解.【详解】设每笔订单促销前的总价为x 元， 根据题意有()7080x x m ⨯≥⨯-％％，即8xm ≤恒成立， 由题意得200x ≥，所以2002588x ≥=，所以25m ≤， 即m 的最大值为25. 故答案为：25【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；(2)求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围.四、双空题16．已知正实数a ，b ，c 满足,1,a b ca b ab abc+++==则2+a b 的最小值为_________；实数c 的取值范围为_________.【答案】3+ 41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】由a b ab +=得1ba b =-代入2+a b 后应用基本不等式可得最小值，注意说明1b >，同时求出4ab ≥，然后由1a b c abc ++=得111c ab =+-，由此可得c 的范围．【详解】由a b ab +=得(1)(1)1a b --=，又0,0a b >>，所以1,1a b >>，111a b =+-，112122(1)311a b b b b b +=++=+-+--33≥=，当且仅当12(1)1b b =--，即212b 时等号成立．所以2+a b 的最小值是3+．a b ab +=≥4ab ≥，当且仅当2a b ==时等号成立，所以ab 的取值范围是[4,)+∞， 由1a b c abc ++=得11111a b ab c ab ab ab +===+---，∵4ab ≥，所以11013ab <≤-，141113ab <+≤-，即41,3c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．故答案为：3+；41,3⎛⎤⎥⎝⎦．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方五、解答题 17．已知集合411A x x ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，集合{}22220,B x x x a a a R =+-+<∈.（1）求集合A ；（2）若x B ∈是x A ∈的必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()13A ,=-；（2）(][),35,-∞-+∞.【分析】（1）解分式不等式411x >+可得集合A ； （2）由已知条件可得出A B ⊆，对a -和2a -的大小关系进行分类讨论，结合A B ⊆可得出实数a 所满足的不等式（组），综合可解得实数a 的取值范围. 【详解】（1）因为411x >+，所以431011x x x --=>++， 所以()()130x x +-<，所以13x，故()13A ,=-；（2）由22220x x a a +-+<得()()20x a x a +-+<， 由x B ∈是x A ∈的必要条件，知A B ⊆.①当2a a -<-，即1a >时，{}2B x a x a =-<<-，则1231a a a >⎧⎪-≥⎨⎪-≤-⎩，解得5a ≥；②当2a a ->-，即1a <时，{}2B x a x a =-<<-，则1321a a a <⎧⎪-≥⎨⎪-≤-⎩，解得3a ≤-；③当2a a =-，即1a =时，B =∅，不满足A B ⊆. 综上可得，实数a 的取值范围为(][),35,-∞-+∞.【点睛】结论点睛：本题考查利用充分条件求参数，一般可根据如下规则求解： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应集合与p 对应集合互不包含． 18．已知()21ln f x ax x =--（1）当2a =时，求()f x 的单调增区间； （2）若()0f x ≥，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭；（2）12a e ≥.【分析】（1）求出导函数()'f x ，在定义域内由()0f x '>得增区间；（2）分离参数得21ln x a x +≥.设()21ln xg x x+=，由导数求得()g x 最大值即可得结论． 【详解】（1）当2a =时，()()221ln ,0,f x x x x =--∈+∞.由()()()221211414x x x f x x x x x+--'=-==， 令()0f x '>，得12x >， 所以()f x 的单调增区间为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭.（2）由()21ln 0f x ax x =--≥，则21ln xa x+≥. 设()21ln x g x x +=，则()312ln xg x x--'=. 令()0g x '=，得12x e -=，且当120,x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当12,x e -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以()g x 在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以当12x e -=到时，()g x 取得最大值为12e ，所以12a e ≥. 【点睛】方法点睛：本题考查用导数求函数的单调区间，研究不等式恒成立问题．不等式恒成立问题的解题方法通常是利用分离参数法分离参数，然后引入新函数，利用导数求得新函数的最值，则可得参数范围． 19．在①119n n a a +-=-，②113n n a a +=-③18n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且19a =，__________，求{}n a 的通项公式，并判断n S 是否存在最大值，若存在，求出最大值：若不存在，说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【答案】答案见解析【分析】选①：由等差数列通项公式得出通项n a 后，解0n a ≥，满足此不等式的最大的n 使得n S 最大，注意若n a 0=，则有两个值使得n S 最大，选②：由等比数列前n 项和公式得出n S ，由于公比是负数，因此按n 的奇偶性分类讨论求得n S 的最大值；选③：由累加法求得n a ，利用n a 的表达式是n 的二次函数形式，当15n ≥时，0n a >，确定n S 不存在最大值. 【详解】选①因为119n n a a +-=-，19a =，所以{}n a 是首项为9，公差为19-的等差数列.所以()118291999n a n n ⎛⎫=+-⋅-=-+ ⎪⎝⎭. 由182099n -+≥，得82n ≤，即820a ≥ 所以n S 存在最大值，且最大值为81S 或82S ， 因为818180181936929S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，所以n S 的最大值为369. 选② 因为113n n a a +=-，19a =，所以{}n a 是首项为9，公比为13-的等比数列. 所以1311933n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.1︒当n 为奇数时，1913271114313n n n S ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭+， 因为271143n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭随着n 的增大而减小，所以此时n S 的最大值为19S =； 2︒当n 为偶数的，1913271114313n n n S ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭+， 且2712719434n n S ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭， 综上，n S 存在最大值，且最大值为9. 选③因为18n n a a n +=+-，所以18n n a a n +-=-，所以217a a -=-，326a a -=-，…，19n n a a n --=-， 以上1n -个等式相加得()()21791171622n n n n n a a -+---+-==， 因为19a =，所以()2173422n n n a n -+=≥，又19a =也满足上式，所以217342n n n a -+=. 当15n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值.【点睛】关键点点睛：本题考查数列前n 项和的最大值问题，一种方法是求出n S 的表达式，由函数的性质确定n S 的最大值，一种是利用数列项的性质，如数列是递减的数列，10a >，则满足0n a ≥的最大的n 使得n S 最大．20．在一张纸片上，画有一个半径为2的圆（圆心为M ）和一个定点N ，且MN =6，若在圆上任取一点A ，将纸片折叠使得A 与N 重合，得到折痕BC ，直线BC 与直线AM 交于点P .（1）若以MN 所在直线为x 轴，MN 的垂直平分线作为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求点P 的轨迹方程；（2）在（1）的条件下，点(6,66Q ，能否找到点P 使得△PNQ 的周长最小，若存在求出该最小值及点P 坐标，若不存在，请说出理由.【答案】（1）2218y x -=；（2）存在点333,36222P ⎛+ ⎝使得PNQ 的周长最小，最小值为33313.【分析】（1）由题意知，BC 是线段AN 的垂直平分线，且PA PN =，分点A 在劣弧EF 和优弧上EF 时，对应点P 在射线MA 上或在射线AM 上， PM PN -为定值可得答案；（2）由题意P 在双曲线的右支上，2PN PM =-，13l PQ PM =++，当Q ，P ，M 三点共线时，求出QM 的长度可得PNQ 的周长l 最小值，直线QM 方程与双曲线方程联立可得P 点坐标.【详解】（1）过点N 作圆M 的切线，切点分别为E ，F ， 由题意知，BC 是线段AN 的垂直平分线，因为直线BC 与直线AM 交于点P ，所以PA PN =，当点A 在劣弧EF 上时，点P 在射线MA 上，所以2PM PN PM PA MA -=-==； 当点A 在优弧EF 上时，点P 在射线AM 上，所以2PN PM PA PM MA -=-==； 所以26PM PN -=<，所以点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线，且22a =，26c =， 所以1a =，3c =，2228b c a =-=，所以点P 的轨迹方程为2218y x -=.（2）PNQ 的周长l PQ PN NQ =++， 因为(6,66Q ，()3,0N ，所以15NQ =，因为2PM PN -=，所以2PN PM =-，或2PN PM =+，所以要使得PNQ 的周长l 最小，则点P 在双曲线的右支上，即2PN PM =-，所以13l PQ PM =++，当Q ，P ，M 三点共线时，PNQ 的周长l 最小，()()226366297333MQ =++==L 的最小值为33313，此时，直线QM 方程为()263y x =+， 代入双曲线方程2218y x -=得2360x x --=，解得333x ±=， 注意到点P 在双曲线的右支上，所以点P 坐标为333,3622⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝，所以存在点333,36222P ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝使得PNQ 的周长最小，最小值为33313+.【点睛】本题考查了轨迹方程的求法和直线与双曲线的位置关系，第二问的关键点是当Q ，P ，M 三点共线时，PNQ 的周长l 最小，考查了学生分析问题、解决问题及计算能力.21．在四棱锥P =ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，BC ∥AD .∠BAD =90°（1）设平面PBC ∩平面PAD =l ，求证：l ∥平面ABCD ；（2）若PA ⊥平面ABCD ，AD=2PA ，PA=AB .在线段PB 上是否存在点E ，使得AE 与平面PBD 25? 【答案】（1）证明见解析；（225. 【分析】(1)由//BC AD ,可证得//BC 平面PAD ，由线面平行的性质,面PBC ∩平面P AD =l ，BC ⊂平面PBC ,即可证得结论.(2)由已知条件以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，计算求得平面PBD 的法向量()2,1,2m =，设()01PE PB λλ=≤≤，设AE 与平面PBD 所成角为θ，由sin cos ,AE m AE m AE mθ⋅==计算即可得解.【详解】（1）因为//BC AD ，AD ⊂平面PAD ,BC ⊄平面PAD ，所以//BC 平面PAD .又因为BC ⊂平面PBC ,平面PBC 平面PAD l =，所以//BC l .又因为l ⊄平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD ， 所以//l 平面ABCD .（2）因为90BAD ∠=︒，所以AB AD ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，AB ，AD ⊂平面ABCD ， 所以PA AD ⊥，PA AB ⊥. 所以PA 、AB 、AD 两两垂直，所以以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设1==PA AB ，则2AD =.所以()1,0,0B 、()0,2,0D 、()0,0,1P ，得()1,0,1PB =-，()1,2,0BD =-. 设(),,m x y z =为平面PBD 的法向量，则m PB ⊥且m BD ⊥，所以0m PB ⋅=且0m BD ⋅=， 即0x z -=且20x y -+=，得2x z y ==，取()2,1,2m =. 假设在线段PB 上存在点E ，使得AE 与平面PBD， 可设()01PE PB λλ=≤≤，则(),0,PE λλ=-， 所以(),0,1AE AP PE λλ=+=-， 设AE 与平面PBD 所成角为θ，则sin cos ,AE m AE m AE mθ⋅==，5=， 所以2209λλ-+=，所以13λ=或23λ=，满足条件.所以在线段PB 上存在点E ，使得AE 与平面PBD . 【点睛】思路点睛：解决线面角、二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为： （1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内； （2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错. （3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量. （4）利用法向量求距离、线面角或二面角.22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为4，椭圆C 的右焦点到右准线的距离为3.（1）求椭圆C 的方程（2）若P 在椭圆C 上且在第一象限，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线PA 、PB 分别交y 轴、x 轴于点M 、N .①求证：AN BM ⋅为定值；②求OMN 面积的最小值【答案】（1）22143x y +=；（2）①证明见解析，②【分析】（1）根据已知条件可求得a 、c 的值，进而可得出b 的值，由此可得出椭圆C 的标准方程；（2）①设点()00,P x y ，可得出22003412x y +=，利用0x 、0y 表示AN 、BM ，进而可计算得出AN BM ⋅为定值； ②利用三角形的面积公式可得)()122OMN S BM AN =⋅+△，利用①中的结论以及基本不等式可求得OMN 面积的最小值.【详解】（1）因为椭圆C 的长轴长为4，所以24a =，即2a =.又因为椭圆C 上的右焦点到右准线的距离为3，所以23a c c-=，即43c c -=，整理可得2340c c +-=，0c >，解得1c =，所以b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）①设点()00,P x y ，则直线()002:2y PA y x x =--，直线0:PB y x =+， 所以0020,2y M x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，N ⎛⎫⎪⎪⎭，所以2AN ==，000002222y y BM x x --+==--，所以20002y AN BM -+⋅==22=因为点()00,P x y 在椭圆C 上，所以22003412x y +=，第 21 页 共 21 页 所以0000000043128324433223x y x y AN BM x y x y --+⋅==--+（定值）； ③)()113222OMN S OM ON BM AN =⋅=⋅+△ 3333332332622BM AN BM AN =≥⨯=当且仅当32BM =，即22AN =6BM =. 所以OMN 面积的最小值为3326【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．。