第二节等差数列及求和)

第二讲：等差数列、等比数列的通项公式【知识结构】1、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d （与项数n无关），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差。

等差数列的递推公式为：即a n a n 1 d,n 2,n N （d为常数）/a ni a n d,n N /，这就是一个恒等式，数列中的恒等式一定要注意变量的范围，即项数n的范围。

a b2、等差中项：如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且A -2 3、等差数列的通项公式：a n a i （n 1）d dn 佝d）。

当d 0时，从函数的角度看，等差数列的通项公式是关于n的一次函数，它的图象是在一条直线的散点。

【典型例题】例1、（1）已知等差数列｛a n｝中，a12，公差为3,则通项公式a n3n 1。

（2）已知等差数列｛a n｝中，a2 3，a4 7，则通项公式a n2n1。

（3）已知等差数列｛a n｝中，2a2 a31,a7 a8 20 ，a k15，则k 10。

（4）在等差数列a n中，若a1 a4a$ a12 a15 2 则2。

解:⑶设a1,公差d 3a1 4d 12耳13d 20,解得［c3 a n 2nd 25k 10等差数列的通项公式的作用是把等差数列中的任意一项用首项和公差表示。

练习：P7自主练习中的1,2,3（2）（3）（4）,4 。

例2、（1）a n 1a n2,n N*；（2）满足2a n 1a n 2 a n, n N * ；（3）a n 1a n n,n N *满足条件（2），数列｛a n｝是等差数列。

例3、两个数列1, x i , X 2,……，X 7, 5和1, y i , y 2,……，y 6, 5均成等差数列公差分别解：5 = 1+ 8d 1, d 1 = 1,又 5= 1 + 7d 2, d 22(2)证明： a n pn q(p,q 为常数)是等差数列，说明首项与公差。

第二节 等差数列及其前n 项和预习设计 基础备考知识梳理1．等差数列的定义 如果一个数列从第 项起每一项与它相邻的前面一项的差等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母 表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列}{n a 的首项为,1a 公差为d ，那么它的通项公式是3．等差中项 如果 ，那么A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：+=m n a a ).,(,⋅∈N m n(2)若}{n a 为等差数列，且*),,,,(,N n m l k n m l k ∈+=+则(3)若}{n a 是等差数列，公差为d ，则}{2n a 也是等差数列，公差为(4)若}{},{n n b a 是等差数列，则}{n n qb Pa +是(5)若}{n a 是等差数列，则*),(,,,2N m k a a a m k m k k ∈++ 是公差为 的等差数列．5．等差数列的前n 项和公式设等差数列}{n a 的公差为d ，其前n 项和=n S ，或=n s6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系.)2(212n d a n d S n -+= 数列}{n a 是等差数列的充要条件是其前n 项和公式=n s )(n f 是n 的二次函数或一次函数且不含常数项，即=n s ).0(,222=/++B A Bn An7．在等差数列}{n a 中，,0,01<>d a 则n s 存在最 值；若,0,01><d a 则n s 存在最 值8．等差数列与等差数列各项的和有关的性质(1)若}{n a 是等差数列，则}{n s n 也成等差数列，其首项与}{n a 首项相同，公差是}{n a 公差的m m n s s s 32,.,)2(分别为}{n a 的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，m m m m m s s s s s 232,,--成 数列． (3)关于等差数列奇数项与偶数项的性质；①若项数为2n ，则=-奇偶s s . =偶奇s s ,②若项数为,12-n 则=偶s =奇S a n , =-偶奇S S a n , =偶奇s s ,(4)两个等差数列}{},{n n b a 的前n 项和n T S ,π之间的关系为=nn b a典题热身1．（2011．重庆高考）在等差数列}{n a 中，,4,232==a a 则=10a ( )12.A 14.B 16.c 18.D答案：D2．(2011．江西高考)设}{n a 为等差数列，公差n s d ,2-=为其前n 项和，若,1110S S =则=1a ( )18.A 20.B 22.C 24.D答案：B3．已知}{n a 为等差数列，,99,105642531=++=++a a a a a a 以n s 表示 }{n a 的前n 项和，则使n s 达到最大值的n 是( )21.A 20B 22.c 24.D答案：B4．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 ( )5.A 4.B 3.c 2.D5．已知}{n a 为等差数列，,7,22683==+a a a 则=as答案：15课堂设计 方法备考题型一 等差数列有关基本量的计算【例1】在等差数列}{n a 中，(1)已知,153,334515==a a 求,61a(2)已知,168,48128==S s 求1a 和;d(3)已知,5,106==s S a 求8a 和⋅8s题型二 等差数列的判定与证明【例2】(2009．湖北高考题改编)已知数列}{n a 的前n 项和2)21(1+--=-n n n a s （n 为正整数）．(1)令,2n n n a b =求证：数列}{n b 是等差数列；(2)求数列}{n a 的通项公式，题型三 等差数列的性质及应用【例3】(1)设等差数列的前n 项和为,n s 已知前6项和为36,,324=n s 最后6项的和为),6(180>n 求数列的项数n 及.19a a +(2)设等差数列}{},{n n b a 的前n 项和分别为,,n n T s 且]n n T s ,3213+-n n 求88b a 的值． 题型四 等差数列中的最值问题【例4】在等差数列}{n a 中，,369181716-==++a a a a 其前n 项和为⋅n s(1)求n s 的最小值，并求出n s 取最小值时n 的值．(2)求.||||||21πa a a T n +++=技法巧点1．等差数列的判断方法(1)定义法：d d a a n n <=-+1是常数）)(n a ⇔是等差数列．(2)中项公式：}{)(221n n n n a N n a a a ⇔⋅∈+=++是等差数列．(3)通项公式：q P q n a P n ,<+=为常数）}{n a ⇔是等差数列．(4)前n 项和公式：B A Bn An s n 、(2+=为常数）}{n a ⇔是等差数列．2．等差数列的基本量的计算等差数列问题，最基本的解法是应用基本量1a 和d ，通过列方程（组）求解，但恰当地设元可减少运算量．比如：三数和为定值时可设为;,,d a a d a +-四个和为定值时可设-a .3,,,3d a d a d a d ++-3．等差数列的前n 项和n s 的函数性质等差数列}{n a 的前n 项和n s 可变形为+=22n d s n n d a )2(1-，令,2,21d a B d A -==则,2Bn An s n +=当0=/A 即0=/d 时，n s 是关于n 的二次函数，),(n S n 在二次函数Bx Ax y +=2的图像上（y 轴右边），可利用其几何意义解决n s 的最值问题，失误防范1．等差数列}{n a 中若*),,,,(N s r q P s r q P ∈+=+则+P a ,s q a a a +=一般地，,q P q P a a a +=/+必须是两项相加，当然可以是⋅=++-P t p l P a a a 22．等差数列的通项公式通常是n 的一次函数，除非公差.0=d3．公差不为O 的等差列的前n 项和公式是n 的二次函数，且常数项为0．若某数列的前n 项和公式是n 的常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．4．公差,m n a a d m n --=类似于由两点坐标求直线斜率的计算．5．当d 不为零时，等差数列必为单调数列．6．从一个等差数列中，每隔一定项抽出一项，组成的数列仍是等差数列． 随堂反馈1．已知等差数列}{n a 满足,10,45342=+=+a a a a 则它的前10项和=10s ( )138.A 135.B 95.c 23.D答案：C2．(2011．山东青岛质检)已知等差数列}{n a 的公差为=/<d d ),0且,32131063=+++a a a a 若,8=m a 则m 为 ( )12.A 8.B 6.c 4.D答案：B3．（2010．福建高考）设等差数列}{n a 的前n 项和为,n S 若,6,11641-=+-=a a a 则当n s 取最小值时，n 等于( )6.A7.B8.c9.D答案：A4．（2011．成都模拟）如果等差数列}{n a 中，,12543=++a a a 那么=+++721...a a a ( )14.A 21.B 28.c 35.D答案：C5．（2011．扬州模拟）设等差数列}{n a 的公差,1=d 前n 项和为,15,5=s s n 则=10s 答案：55高效作业 技能备考一、选择题1．(2011．遵义模拟)已知等差数列}{n a 的前n 项和为,n s 若,20092a a +=且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O)，则=2010s ( )2010.A 1005.B 20102.C 20102.-D答案：B2．等差数列}{n a 的前n 项和为,n s 已知,0211=-++-m m m a a a ,3812=-m s 则m 等于( )38.A 20.B 10.C 9.D答案：C3．已知}{n a 为等差数列，,99,105642531=++=++a a a a a a 则20a 等于( )1.-A 1.B 3.C 7.D答案：B4．（2011．宁夏银川一中质检）已知数列}{n a 为等差数列且,41371π=++a a a 则)tan(122a a +的值为 ( )3.A 3.±B 33.-c 3.-D答案：D5．（2011．山东临沂质检）在等差数列}{n a 中，若++42a a ,801086=++a a a 则8721a a -的值为( ) 4.A6.B 8.c 10.D 答案：C6．(2011．长沙模拟)若}{n a 是等差数列，首项+>20031,0a a ,0.,0200120032004<>a a a 则使数列}{n a 的前n 项和>1s 成立的最大自然数n 是 ( )4005.A 4006.B 4007.c 4008.D答案：B二、填空题7．(2010．辽宁高考)设1s 为等差，数列}{n a 的前n 项和，若===963,24,3a S s 则答案：158．(2011．东莞模拟)已知n s 为等差数列}{n a 的前n 项和，若,6:7:42=a a 则=37s s ：9．（2010．浙江高考）在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n 行第n+l 列的数是答案：R n +2三、解答题10. (2011．潮州调研)在数列}{n a 中，-+=-n n n a a a a 113,1).2(01≥=-n a n(1)求证：数列}1{na 是等差数列； (2)求数列}{n a 的通项．11．（2011．福建高考）已知等差数列}{n a 中，.3,131-==a a(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若数列}{n a 的前k 项和,35-=k s 求k 的值．12．（2011．浙江高考）已知公差不为O 的等差数列}{n a 的首项1a 为),(R a a ∈且4211,1,1a a a 成等比数列． (1)求数列}{n a 的通项公式；(2)对,⋅∈N n 试比较n a a a a 22221...31211++++与11a 的大小.。

等差、等比的公式性质以及数列的乞降方法第一节：等差数列的公式和有关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，假如它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：a n a n 1 d （d 为公差）（ n 2 ， n N *）注：下边全部波及n ，n N *省略，你懂的。

2、等差数列通项公式：a n a1( n1)d ， a1为首项，d为公差推行公式：a n a m(n m) d变形推行：d a n a mn m3、等差中项（ 1）假如a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A a b或2 A a b2（ 2）等差中项：数列a n是等差数列2anan -1a n 1 (n 2)2a n 1a nan 24、等差数列的前 n 项和公式：n(a1a n )na1n(n 1)dS n22d n2(a11d) n An 2Bn22（此中 A、B是常数，所以当 d≠0时， S n是对于 n的二次式且常数项为 0）特别地，当项数为奇数2n1 时，a n1是项数为 2n+1 的等差数列的中间项2n 1a1a2n 12n 1 a n 1（项数为奇数的等差数列的各项S2 n 12和等于数乘以中）5、等差数列的判断方法（ 1）定法：若a n a n1 d 或 a n 1a n d (常数n N)a n是等差数列．（ 2）等差中：数列a n是等差数列2an an-1a n 1 (n 2)2a n 1anan 2（3）数列a n是等差数列（4）数列a n是等差数列6、等差数列的明方法a n kn b （此中k,b是常数）。

S n An2Bn ,（此中A、B是常数）。

定法：若 a n a n 1 d 或 a n 1 a n d (常数n N)a n是等差数列．7、等差数列有关技巧：（ 1）等差数列的通公式及前n和公式中，波及到 5 个元素：a1、d 、n、a n及S n，此中a1、d 称作基本元素。

2.2等差数列（2）探究任务：等差数列的性质1. 在等差数列{}n a 中，d 为公差， m a 与n a 有何关系？2. 在等差数列{}n a 中，d 为公差，若,,,m n p q N +∈且m n p q +=+，则m a ，n a ，p a ，q a 有何关系？※ 典型例题例1 在等差数列{}n a 中，已知510a =，1231a =，求首项1a 与公差d .变式：在等差数列{}n a 中， 若56a =，815a =，求公差d 及14a .小结：在等差数列{}n a 中，公差d 可以由数列中任意两项m a 与n a 通过公式m na a d m n-=-求出.例2 在等差数列{}n a 中，23101136a a a a +++=，求58a a +和67a a +.变式：在等差数列{}n a 中，已知234534a a a a +++=，且2552a a =，求公差d .小结：在等差数列中，若m +n =p +q ，则mn p q a a a a +=+，可以使得计算简化.例3．一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为___________例4．设{}n a 是公差为－2的等差数列，若5097741=++++a a a a ，则=++++99963a a a a （ ）.A ．－182B ．－148C ．－82D ．－78例5.三个实数10a 2+81a+207,a+2,26-2a 适当排列后,分别取其常用对数后构成公差为1的等差数列,求此时a 的所有值.例6、数列{}n x 中，11x =，且1n x +=，求数列{}n x 的通项公式.例7.设{}n a 是首项为4的单调递增数列，且满足22111168()2n n n n n n a a a a a a +++++=++.求数列{}n a 的通项公式.例8. 已知数列{}n a 满足115a =，且当1n >,*n N ∈时，有112112n n n n a a a a --+=-，求数列{}n a 的通项公式 .动手试试1. 在等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，25833a a a ++=，求369a a a ++的值.练2. 已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少个相同项？1. 在等差数列中，若m +n =p +q ，则m n p q a a a a +=+注意：mn m n a a a ++≠，左右两边项数一定要相同才能用上述性质.2. 在等差数列中，公差m na a d m n-=-. 知识拓展判别一个数列是否等差数列的三种方法，即：（1）1n n a a d +-=； （2）(0)n a pn q p =+≠； （3）2n S an bn =+.当堂检测 ：1. 一个等差数列中，1533a =，2566a =，则35a =（ ）. A. 99 B. 49.5 C. 48 D. 492. 等差数列{}n a 中7916a a +=，41a =，则12a 的值为（ ）.A . 15 B. 30 C. 31 D. 643. 等差数列{}n a 中，3a ，10a 是方程2350x x --=两根，则56a a +＝（ ）. A. 3 B. 5 C. －3 D. －54. 等差数列{}n a 中，25a =-，611a =，则公差d ＝ .5. 若48，a ，b ，c ，－12是等差数列中连续五项，则a ＝ ，b ＝ ，c ＝ .6.已知数列{}n a 满足1123122,12,20()n n n a a a a a a a n N *++=++=-+=∈且，则数列{}n a 的通项公式为 .7.已知数列{}n a 满足11a =，133nn n a a a +=+，则数列{}n a 的通项公式为 .课后作业1. 若 12530a a a +++=， 671080a a a +++=， 求111215a a a +++.2. 成等差数列的三个数和为9，三数的平方和为35，求这三个数.3.已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是4.已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝5.已知为等差数列，，则等于6.在等差数列{a n }中，已知45131477a a a a ++++=…，则11a = ．7.若等差数列{a n }多项依次递减，且有24645a a a =，24615a a a ++=，则通项公式n a =8.已知数列{}(0)n n a a >的首项为1，且满足1n n a a --=2n ≥），则数列{}n a 的通项公式为 .9.已知数列{}n a 满足11a =，)1()1(1+=-++n n na a n n n ，则数列{}n a 的通项公式为 .§2.3 等差数列的前n 项和(1)探究：等差数列的前n 项和公式 问题：1. 计算1+2+…+100=?2. 如何求1+2+…+n =?新知：数列{}n a 的前n 项的和：一般地，称 为数列{}n a 的前n 项的和，用n S 表示，即n S =① 如何求首项为1a ，第n 项为n a 的等差数列{}n a 的前n 项的和?② 如何求首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项的和?试试：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{}n a 的前n 项和n S .⑴184188a a n =-=-=，，； ⑵114.50.715a d n ===，，.小结： 1. 用1()2n n n a a S +=，必须具备三个条件： . 2. 用1(1)2n n n dS na -=+，必须已知三个条件： . 典型例题例1．已知一个等差数列{}n a 前10项的和是310，前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？变式：等差数列{}n a 中，已知1030a =，2050a =，242n S =，求n .例2.等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2+a 4+a 15=p 是一常数，则S 13=变式：1.等差数列{}n a 的前n 项和为n s ，若5418a a -=，则8S 等于2.设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则例3.已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是变式：一等差数列，前12项之和为354，前12项中偶数项之和与奇数项之和的比为32:27，则该数列的公差为 ．例 4.已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，1a 、*1b N ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于A ．55B ．70C ．85D ．100例5.数列｛a n ｝的前n 项和s n =npa n (n ∈N *),a 1≠a 2．（1）求常数p 的值； （2）证明：数列｛a n ｝是等差数列．例6.(1)等差数列前m 项和为30，前2m 项和为100，求它的前3m 项和．(2)已知等差数列的前n 项和为a ，前n 2项和为b ，求前n 3项和．小结：等差数列前n 项和公式就是一个关于11n a a n a n d 、、或者、、的方程，已知几个量，通过解方程，得出其余的未知量.三、总结提升1. 等差数列前n 项和公式的两种形式；2. 两个公式适用条件，并能灵活运用；3. 等差数列中的“知三求二”问题，即：已知等差数列之1,,,,n n a a q n S 五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个.知识拓展1. 若数列{}n a 的前n 项的和2n S An Bn =+（A 0≠，A 、B 是与n 无关的常数），则数列{}n a 是等差数列.2. 已知数列{},n a 是公差为d 的等差数列，S n 是其前n 项和，设232,,,k k k k k k N S S S S S +∈--也成等差数列，公差为2k d . 当堂检测 ：1. 在等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ）. A. 12 B. 24 C. 36 D. 482. 在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（ ）. A ．5880 B ．5684 C ．4877 D ．45663. 已知等差数列的前4项和为21，末4项和为67，前n 项和为286，则项数n 为（ ） A. 24 B. 26 C. 27 D. 284. 在等差数列{}n a 中，12a =，1d =-，则8S = .5. 在等差数列{}n a 中，125a =，533a =，则6S = .6.若一个等差数列﹛a n ﹜的前3项和为34, 最后3项的和为146, 且这个数列所有项的和为390, 则这个数列的项数为课后作业1. 数列｛n a ｝是等差数列，公差为3，n a ＝11，前n 和n S ＝14，求n 和3a .2. 在小于100的正整数中共有多少个数被3除余2? 这些数的和是多少？3.在等差数列{}n a 中,已知499,6,63n a a S ==-=,求n 。