第二十四章“圆”重、难点及知识结构图

第二十四章圆章节知识点思维导图：一、圆的有关性质（一）与圆有关的概念1、定义：在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

2、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦，叫做直径。

3、弧：圆上任意两点间的部分（曲线）叫做圆弧，简称弧。

能够互相重合的弧叫等弧。

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧，由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。

4、圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。

5、圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有无数个。

6、弦心距：从圆心到弦的距离叫弦心距。

7、同心圆、等圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆；能够重合的两个圆叫等圆。

8、点的轨迹：1）圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2）垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3）角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4）到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5）到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

（二）圆的性质1、对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；圆也是以圆点为对称中心的中心对称图形。

2、性质：①垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；推论1 ：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

推论2：圆两条平行弦所夹的弧相等。

②圆心角定理（圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系）：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对的弦心距相等；圆心角的度数与它所对的度数相等。

圆圆的有关性质圆的对称性弧、弦、圆心角与圆有关的计算正多边形和圆与圆有关的位置关系圆的定义有关概念弦：连接圆上任意两点的线段直径：过圆心的弦轴对称性中心对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴垂径定理(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等(2)在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆心角相等，所对的弦相等(3)在同圆或等圆中，相等的两条弦对的圆心角相等，所对的弧相等周长和面积弧长相关概念相关计算画法正多边形的中心正多边形的半径中心角的度数内角、外角利用同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等点和圆直线和圆相离相切相交点在圆内点在圆上动态：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周， 另一个端点A所形成的的图形叫做圆静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离 等于定长r的点的集合。

弧：圆上任意两点之间的部分弦心距：弦到圆心的距离垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧圆是中心对称图形，绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合，即有旋转不变性圆周角圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径定义定理顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角圆和圆点在圆外没有公共点，（d>r)只有一个公共点，（d=r)有两个公共点，（d<r)切线判定定理切线性质定理切线长三角形内切圆过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线圆的切线垂直于过切点的半径经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角与三角形各边都相切的圆三角形的外接圆不在同一直线上的三个点确定一个圆经过三角形三个顶点的圆，叫三角形的外接圆相离相交相切正多边形外接圆的圆心正多边形外接圆的半径中心角正多边形每一边所对的圆心角边心距中心到正多边形的边的距离周长、面积、边心距扇形圆锥。

第二十四章 圆一、圆的有关概念及表示方法 （一）圆的定义1、描述性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。

其固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。

2、集合性定义：圆可以看成是所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。

（二）圆的表示方法：以点O 为圆心的圆，记作⨀O ，读作“圆O ”。

（三）圆具有的特性1、圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径r ）。

2、到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。

注：（1）确定一个圆需要两个因素：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。

（2）同一个圆中的所有半径都相等，所以圆上任意两点和圆心[三点不共线(直径)]构成的三角形都是等腰三角形。

（四）圆的有关概念1、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。

以AC 为端点的弦，记作：弦AC 。

注：圆中有无数条弦，其中直径是最长的弦，但弦不一定是直径。

2、弧2.1圆上任意两点间的部分叫做圆弧、简称弧。

以A 、B 为端点的弧记作⨀AB ，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”。

2.2圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

大于半圆的弧叫做优弧，如图中的⨀ABC 。

小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的⨀AC。

注：（1）在一个圆中，任意一条弦都对着两条弧，任意一条弧只对着一条弦。

（2）弧包括优弧、劣弧、半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧。

3、同圆或等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。

同圆或等圆的半径相等。

4、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

等弧是全等的，不仅仅是弧的长度相等。

5、同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆。

二、圆的有关性质 （一）垂直于弦的直径1、圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。

名称 文字语言 符号语言 图示垂径 定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

第24章圆第一节圆的有关性质知识点一：圆的定义1 、圆可以看作是到定点（圆心0）的距离等于定长（半径r）的点的集合。

2、圆的特征（1 ）圆上各点到定点（圆心0）的距离都等于定长（半径）。

（2 ）至9定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。

注意：（1）圆指的是圆周，即一条封闭的曲线，而不是圆面。

（2）“圆上的点”指圆周上的点，圆心不在圆周上。

知识点二：圆的相关概念1、弦与直径：连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。

注意：直径是过圆心的弦，凡是直径都是弦，但弦不一定是直径。

因此，在提到到“弦”时,如果没有特殊说明，不要忘记直径这种特殊的弦。

2、弧、半圆、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

大于半圆的弧（用三个点表示）叫优弧；小于半圆的弧叫做劣弧.注意：半圆是弧，但弧不一定是半圆。

半圆既不是优弧，也不是劣弧。

3、等圆：能够重合的两个圆叫做等圆周。

4、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

注意：等弧的长度相等，但长度相等的弧不一定是等弧。

知识点三：圆的对称性1、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。

注意：（1）圆的对称轴有无数条（2）因为直径是弦，弦是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成“圆的对称轴是经过圆心的直线”。

2、圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心，不仅如此，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合。

知识点四：垂径定理及推论（重点）1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

如图，AB是O 0的直径，CD是O 0的弦，AB交CD于点E,若AB丄CD,贝U CE=DE CB=DB AC=AD注意：（1 ）这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是“过圆心”。

(2)垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍成立。

第二十四章“圆”重、难点及知识结构图小结1 本章概述本章的主要内容有圆的概念及性质，垂直于弦的直径的性质，弧、弦、圆心角之间的关系及性质，圆周角的概念及性质，点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，正多边形和圆的关系，弧长和扇形的面积，圆锥的侧面积和全面积．我们在学习直线型图形的有关性质和证明的基础上来探索一种特殊的曲线型图形——圆，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，而且有无数条对称轴，绕圆心旋转任意角度都和它本身重合，学习本章的基础是以前所学过的结论，同时，本章作为几何知识的总结，运用的知识具有综合性．在中考中所涉及的命题大都和圆的基本性质、与圆有关的位置关系、圆中的计算有关．在本章中，主要概念有圆、圆心角、圆周角、弧、弦、相交、相切、相离，正多边形的半径、中心、边心距等，主要公式有弧长公式、扇形面积公式，圆锥侧面积公式等，主要定理有垂径定理，切线的性质定理和判定定理，切线长定理等．小结2 本章学习重难点【本章重点】掌握垂直于弦的直径的性质；掌握圆的切线的判定定理与性质定理的应用，能利用垂直关系进行有关的证明和计算；掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，并会利用图形加以区别；会利用弧长、扇形面积、圆锥侧面积公式进行有关的计算；掌握圆心角、弧、弦之间的关系及圆周角定理，并能运用它们进行有关的计算．【本章难点】垂径定理，弧、弦、圆心角的关系定理，圆周角定理；直线和圆相切的性质定理、判定定理的证明及应用，切线长定理的应用；圆与圆的五种位置关系的判断；圆锥的侧面积与母线长和底面半径之间的关系等都是本章的难点．间接证明题目的方法——反证法也是本章的难点．在圆中添加“辅助线”既是本章的重点，也是本章的难点．小结3 学法指导1．在本章的学习中，注意通过观察、探索、合作、实践、交流、归纳等数学活动，进行主动的、富有个性的学习，尤其是对于一些结论的得出，更应去探索、总结，通过合情的推理，主动地获取新知，注意“由特殊到一般”“数形结合”“化归”等数学思想方法的运用．2．学习本章应注意以下几点：(1)在实际问题中认识圆的有关概念：圆心、半径、直径、弦、弧(优弧、劣弧)、圆心角、圆周角．(2)通过对实际生活的观察和亲自体验，掌握圆的对称性，并能利用圆的对称性探索圆的一些基本性质，在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系，同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系，垂直于弦的直径平分弦及弦所对的弧等．(3)通过对点、直线和圆与圆的相对运动的探索、实验、推理、计算等归纳出点与圆、直线与圆、圆与圆之间的位置关系，掌握通过点与圆心的距离、直线与圆心的距离、圆心与圆心之间的距离同圆的半径的大小比较，来判定它们之间的位置关系的方法.(4)在对直线与圆相对运动的探索过程中掌握切线的概念，并能利用实验探索切线与过切点的半径之间的关系，同时能判断一条直线是否为圆的切线．(5)在动手操作与观察实验的同时，探索出正多边形与圆的关系、扇形面积及弧长的计算公式，并掌握圆柱及圆锥的侧面积与全面积公式．(6)在学习本章的过程中，要及时准确地画出示意图形，以帮助解题，化抽象为直观．知识网络结构图 圆的概念：在同一平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一端点A 所形成的图形，叫做圆（1）圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆又是中心对称图形（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧推论：平分（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧圆的性质 （3）同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其他各组量也相等（4）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径点在圆外d r ⇔<点在圆上=d r ⇔（1）点和圆的位置关系 点在圆内d r ⇔>及相关性质 不在同一直线上的三点确定一个圆相交d r ⇔＞相切=d r ⇔相离d r ⇔＜切线的判定定理：经过半径外端，并且垂直于半径的直线是圆的切线（2）直线和圆的位置关系 切线的性质定理：圆的切线垂直于过及相关性质和定理 切点的半径圆 切线长定理：从圆外一点引圆的两条点、直线和圆 切线，它们的切线长相等，这一点和的位置关系 圆心的连线平分两条切线的夹角及相关性质 外离和定理 相离内含（3）圆与圆的位置关系 外切相切内切相交（1）正多边形的顶点都在圆上，圆叫做正多边形的外接圆，正多边形 叫做圆的内接正多边形正多边形与圆 （2）圆和正多边形的各边都相切，圆叫做正多边形的内切圆，正多边形叫做圆的外切正多边形（1）弧长公式：=180n R l π 有关圆的计算 （2）扇形面积公式：2=360n R S π （3）圆锥的侧面积公式：S rl π=侧。

圆圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。

其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”。

连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧，半圆既不是优弧，也不是劣弧，它是区分优弧和劣弧的一个界限。

能够重合的两个圆叫做等圆。

半径相等的两个圆是等圆。

同圆或等圆的半径相等。

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

垂直于弦的直径：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。

圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心。

圆即是轴对称图形，又是中心对称图形。

圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。

圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

同弧或等弧所对的圆周角相等。

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，O 90的圆周角所对的弦是直径。

外接圆：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。

圆内接四边形的每一个角都是圆周角。

圆内接四边形的对角互补。

点和圆的位置关系设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离d OP =，则有： 点P 在圆外r d >⇔点P 在圆上r d =⇔点P 在圆内r d <⇔不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

第二十四章《圆》小结一、本章知识结构框图二、本章知识点概括（一）圆的有关概念1、圆（两种定义）、圆心、半径；2、圆的确定条件：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一直线上的三个点确定一个圆。

3、弦、直径；4、圆弧（弧）、半圆、优弧、劣弧；5、等圆、等弧，同心圆；6、圆心角、圆周角；7、圆内接多边形、多边形的外接圆；8、割线、切线、切点、切线长；9、反证法：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。

（二）圆的基本性质1、圆的对称性①圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。

*②圆是中心对称图形，圆心是对称中心。

2、圆的弦、弧、直径的关系①垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

* [引申] 一条直线若具有：Ⅰ、经过圆心；Ⅱ、垂直于弦；Ⅲ、平分弦；Ⅳ、平分弦所对的劣弧；Ⅴ、平分弦所对的优弧，这五个性质中的任何两条，必具有其余三条性质，即“知二推三”。

（注意：具有Ⅰ和Ⅲ时，应除去弦为直径的情况）3、弧、弦、圆心角的关系①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

②在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。

③在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。

归纳：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。

4、圆周角的性质①定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

②在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。

③推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

（三）与圆有关的位置关系1、点与圆的位置关系设⊙O的半径为r，OP=d则：点P在圆内d<r；点P在圆上d=r；点P在圆外d>r.2、直线与圆的位置关系设⊙O的半径为r，圆心O到l的距离为d则：直线l与⊙O相交d<r直线和圆有两个公共点；直线l与⊙O相切d=r直线和圆只有一个公共点；直线l与⊙O相离d>r直线和圆没有公共点。