导数的运算法则及复合函数的导数公式(课堂PPT)

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高等数学导数的计算教学ppt课件

25
第二章导数与微分
第二节导数的计算
三.隐函数与参数式函数的导数
（一）隐函数的导数
显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示的函数称为显函数．例如：
y 1 sin3 x , z x2 y2 .
隐函数：由含x，y的方程F(x, y)=0给出的函数称为隐函数.例如：
x2/ 3 y2/ 3 a2/ 3 , x3 y3 z3 3xy 0 .
32
第二章导数与微分
第二节导数的计算
(二)参数式函数的导数
由参数方程给出的函数：
x y
x(t) y(t )
t
确定了y与x的函数关系．其中函数x(t),y(t)可导，且
x (t)0, ，则函数y=f (x)可导且
f ( x) 1
( y)
或
dy dx
1 dx
.
dy
7
第二章导数与微分
第二节导数的计算
例5 求y=arcsinx的导数．
解：由于y=arcsinx，x(-1,1) 为x=siny，y (-/2, /2) 的反函数，且当y (-/2, /2)时，
(siny)=cosy>0．所以
(arcsin x)' 1 1 1 1 (sin y)' cos y 1 sin2 y 1 x2
f
( x)
3
1
x2
1
x2
1
3
x2
2
2
例10 设y arcsin x 2 x x
解：
y
arcsin
x
3
2x4
，求 y ．
1
3
x
1 4
1 x2 2

课件11：1.2.3 导数的四则运算法则

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1.2.3 导数的四则运算法则
学习目标 (1)能利用导数的运算法则和基本初等函数的导数公式求简单函数的导数； (2)理解并掌握复合函数的求导法则．
知识导学一、导数的四则运算法则 1．函数和(或差)的求导法则若f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)＋g(x))′＝f′(x)＋g′(x)，(f(x) －g(x))′＝f′(x)－g′(x)．注意：(1)设f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)±g(x))′＝ f′(x)±g′(x)，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)．
解：(1)y′＝4x3－9x2＋4x－4. (2)y′＝x′cosx＋x(cosx)′＝cosx－xsinx. (3)y′＝(sin2x)′＝(2sinxcosx)′＝(2sinx)′cosx＋2sinx(cosx)′ ＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x. (4)y′＝(tanx＋cotx)′＝csoinsxx′＋csoinsxx′ ＝cos2cxo＋s2sxin2x＋－sins2ixn－2xcos2x＝co1s2x－sin12x
归纳总结 (1)熟练掌握和运用函数的和、差、积、商的导数公式，并进行简单、合理的运算，注意运算中公式运用的准确性． (2)灵活运用公式，化繁为简，如小题(2)这种类型，展开化为和、差的导数比用积的导数简单容易．
练一练 1.求下列函数的导数： (1)y＝x4－3x3＋2x2－4x－1； (2)y＝xcosx； (3)y＝sin2x； (4)y＝tanx＋cotx； (5)y＝x2lnx＋lo1gax(a>0 且 a≠1，x>0)．
(2)对任意有限个可导函数，有(f1(x)±f2(x)±…±fn(x))′ ＝f1′(x)±f2′(x)±…±fn′(x)．

导数的运算法则及复合函数的导数-PPT文档资料32页

＝sin24x＋cos24x2－2sin24xcos24x ＝1－12sin22x＝1－12·1－c2os x＝34＋14cos x， ∴y′＝－14sin x.
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(3)∵y＝11＋－ xx＋11－＋ xx＝11＋－xx2＋1－1－xx2 ＝21＋－2xx＝1－4 x－2，
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(3)法一 ∵y＝( x－2)2＝x－4 x＋4，
∴y′＝x′－(4 x)′＋4′
＝1－4×
＝1－
2 x.
法二令 u＝ x－2，则 y′x＝y′u·u′x＝2( x－2)·( x－2)′
＝2(
x－2)12·1x－0＝1－
2 x.
(4)设 y＝5log2u，u＝2x＋1，
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名师点睛 1．运用导数运算法则的注意事项
(1)对于教材中给出的导数的运算法则，不要求根据导数定义进
行推导，只要能熟练运用运算法则求简单函数的导数即可． (2)①对于和差的导数运算法则，可推广到任意有限可导函数的和或差，即[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f1′(x)±f2′(x)±…±f′n (x)． ②[ af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)； ③当 f(x)＝1 时，有g1x′＝－gg′2xx.
数乘上第二个函数的导数
两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再
除以分母的平方
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2.复合函数的求导法则
复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成 x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作 y＝f(g(x)).

导数的运算法则与四则运算[下学期]--北师大版(中学课件201911)

[ f (x) g(x)]' f '(x) g '(x)
函数和（差）的导数等于它们导数的和（差）。
（可以推广到求有限个函数的和（差）的导数.）
[ f (x) g(x)]' f '(x)g(x) f (x)g(x) ' (轮流求导之和)
[ f (x)]' f '(x)g(x) f (x)g(x) ' ...(g(x) 0)
例3.求下列函数的导数:
(1) y 2sin x cos x 2x2 1 22
(2) y sin2 x cos2 x
4
4
(3) y sin x (1 2 cos2 x)
2
4
对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则。
四、复合函数及求导法则：
一般地，对于两个函数y=f（u）和u=g（x），如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f（u）和u=g（x）的复合函数，记为
y f (g(x))
复合函数的导数：
复合函数 y f (g(x)) 的导数和函数 y f (u)
u #39; x

yu'

u
' x
y对x的导数=y对u的导数与u对x的导数的乘积
例4 求下列函数的导数
（1）..y (2x 3)2; (2)..y e ; 0.05x1
g(x)
[ g ( x)]2
(上导乘下,下导乘上,差比下方)
三、例题分析
例1 求函数 y x3 2x 3的导数
例2.求下列函数的导数:
(1) y x3 sin x cosx

新教材高中数学第五章导数的四则运算法则简单复合函数的导数ppt课件新人教A版选择性必修第二册

4.(2020·广州高二检测)设函数f(x)的导数为f′(x),且满足f(x)=f′(1)x32x,则f(1)=________. 【解析】根据题意,f(x)=f′(1)x3-2x,则f′(x)=3f′(1)x2-2xln 2,当x=1时, 有f′(1)=3f′(1)-2ln 2,解得f′(1)=ln 2,则f(x)=ln 2×x3-2x,故f(1)= ln 2-2. 答案:ln 2-2
c 9,
【内化·悟】运用导数解有关切线问题应特别注意什么? 提示:(Байду номын сангаас)导数的双重性;(2)切点坐标的双重性.
【类题·通】关于求导法则的综合应用
(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化,从而转化为这三个要素间的关系. (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步,也是解题的关键, 务必做到准确. 易错警示:分清已知点是否在曲线上,若不在曲线上则要设出切点.
x
2.函数f(x)=ex+xsin x-7x在x=0处的导数等于 ( )
A.-6
B.6
C.-4
D.-5
【解析】选A.f′(x)=(ex)′+(xsin x)′-(7x)′=ex+sin x+xcos x-7,
所以f′(0)=e0-7=-6.
3.在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:y=x3-10x+3上,且在第二象限内.已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为________. 【解析】设P(x0,y0)(x0<0),由题意知y′｜x=x0 3 x-012 0=2, 即 x0=2 4,得x0=-2,所以y0=15,故点P的坐标为(-2,15). 答案:(-2,15)

5.2.3简单复合函数的导数课件(人教版)

y通过中间变量u表示成x的函数.
复合函数
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u， y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和 u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).
试一试
指出以下函数是由哪些函数复合而成的？
（1）y＝log2(x＋1) （2）y＝(3x+5)3
（3）y＝e－0.05x＋1
y=log2u和u=x+1 y=u3和u=3x+5 y=eu和u=－0.05x+3
探究:如何求复合函数的导数？以函数 y=sin2x 为例，研究其导数.
y′ =(sin2x)′=(2sinxcosx)′=2 (sinxcosx)′ =2[ (sinx)′cosx + sinx (cosx)′] = 2[cos2x-sin2x]=2cos2x
特别地，[cf ( x)] ___cf__(_x_)__；
f (x)
f ( x)g( x) f ( x)g( x)
(3)
g(
x)
[g( x)]2
.
学习新知
思考如何求函数y=ln(2x－1)的导数？
LOGO
函数y= ln(2x－1)不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的, 所以无法用现有的方法求它的导数.
[解] 解法一：f′(x)＝2f′(2－x)·(2－x)′－2x＋8＝－2f′(2－x)－2x＋8，则f′(1)＝－2f′(1)－2＋8，得f′(1)＝2. 又f(1)＝2f(1)－1＋8－8，得f(1)＝1，故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
巩固练习 1.曲线y＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________.

高数课件64复合函数求导法则

03
误区三
运算错误。有些同学在求导过程中由于运算不熟练或粗心大意导致出错。
要避免这种误区，需要加强运算练习，提高运算准确性和熟练度。
典型例题分析与解答
例题一
求函数$y = sin(2x)$的导数。
分析
这是一个典型的复合函数求导问题，其中外层函数是$sin u$，内层函数是$u = 2x$。根据复合函数求导法则，我们有$frac{dy}{dx} = frac{d(sin u)}{du} cdot frac{du}{dx} = cos u cdot 2 = 2cos(2x)$。
解答
$y' = 2cos(2x)$。
例题二
求函数$y = e^{tan x}$的导数。
分析
这也是一个复合函数求导问题，其中外层函数是$e^u$，内层函数是$u = tan x$。根据复合函数求导法则，我们有 $frac{dy}{dx} = frac{d(e^u)}{du} cdot frac{du}{dx} = e^u cdot sec^2 x = e^{tan x} cdot sec^2 x$。
解答
$y' = e^{tan x} cdot sec^2 x$。
07 总结与展望
课程内容总结
复合函数求导法则基本概念
讲解了复合函数、中间变量、链式法则等基本概念，为求导法则的学习打下基础。
复合函数求导法则的推导
详细推导了复合函数求导法则，包括一元复合函数、多元复合函数以及含参变量的复合函数的求导方法。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
04 复合函数求导法则的应用
单一复合函数的求导
链式法则
若函数u=g(x)在点x可导，函数 y=f(u)在对应点u=g(x)可导，则复合函数y=f[g(x)]在点x可导，且其导数为y'=f'(u)g'(x)或 dy/dx=dy/du * du/dx。

高中数学(人教版)第5章导数和微积分求导法则课件

cos 2 x sin2 x 1 2 sec x. 2 2 cos x cos x
导数的四则运算
同理可得
1 2 ( cot x ) csc x. 2 sin x
1 cos x sin x (iii) (sec x ) 2 2 cos x cos x cos x
f ( x0 ) 1 . ( y0 ) (6)
证设 Δx x x0 , Δy y y0 , 则 Δx ( y0＋ Δy ) ( y0 ), Δy f ( x0Δx ) f ( x0 ) .
由假设, f 1 在点 x0 的某邻域内连续,
0
(4)
导数的四则运算
1 证设 g( x ) ，则 f ( x ) u( x )g( x ). 对 g( x ), 有 v( x ) 1 1 v ( x0 Δ x ) v ( x0 ) g ( x0 Δ x ) g ( x 0 ) Δx Δx v ( x0 Δ x ) v ( x 0 ) 1 . Δx v ( x0 Δ x ) v ( x 0 ) 由于 v ( x ) 在点 x0 可导, v( x0 ) 0, 因此
1
反函数的导数
π2) 上 (ii) y arctan x 是 x tan y 在 ( π 2，
的反函数，故
1 1 1 (arctan x ) 2 2 sec x 1 tan y (tan y )
1 2, 1 x x ( ,).
同理有
1 (arccot x ) , x ( , ). 2 1 x
sec x tan x.
同理可得
(csc x ) csc x cot x .

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A. y′=2xcosx-x2sinx B. y′=2xcosx+x2sinx C. y′=x2cosx-2xsinx D. y′=2xcosx-x2sinx
1 x 2. 求y= 3 x 的导数
1 x2
3. 求y= sin x 的导数
4. 求y=2x2+3x+1的导数
18
课外作业：
P18页习题1 .2 A组第4、6、7题
公式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 );
公式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
公式 7 .若 f ( x ) lo g a
x,则 f
'( x )
1 (a x ln a
0,且 a
1);
上导乘下,下导乘上,差比下方 7
[ f( x ) g ( x ) ] f ( x ) g ( x ) f( x ) g ( x )
如果上式中f(x)=c,则公式变为：
[c(g x)]cg(x)
8
练习2、求下列函数的导数。
(1) y = x3·ex
ln x (2)(3) y =x
(2) y = x2·2x
公式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) 1 ;
x
16
课堂小结
一、导数的四则运算法则
(1) (uv) uv
(2) (uv) uvuv
(3)
(
u v
)
uvuv v2
(v0).
二、复合函数的求导法则
yx yu ux，
17
达标练习
1.函数y=x2cosx的导数为（）
4. y=cos x 3
12
复合函数的求导法则
定理设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导，则复合函数 y = f ( (x)) 也可导.
且 yx yu ux，
即：因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导. ( 链式法则 )
13
例4：求下列函数的导数
y′＝1x
3
导数的运算法则:(两函数和差的导数)
[f(x ) g (x ) ]' f'(x ) g '(x )
[c(g x)]cg(x)
4
练习1、求下列函数的导数。
(1) y = (2x+3)2 (2)(2) y= 3cosx - 4sinx (3) f(x)= ax + xa + logax (1) y= ex + ln x
ex x (4) y = 2
9
思考：如何求y=tanx导数呢？
本题可先将tanx转化为sinx和cosx的比值，再利用导数的运算法则(3)来计算。
(3)
y
c
1 o s2; x Nhomakorabea10思考？
如何求函数y=ln(x+2)的导数呢？函数y=ln(3x+2)的导数呢？
11
拆分下列复合函数
1. y= sin(-3x+5) 2. y=sin2x 3. y=cos2x
1.2.2
导数的运算法则及复合函数的导数公式
1
1．求导数的方法 (1)定义法：运用导数的定义来求函数的导数． (2)公式法：运用已知函数的导数公式及导数的则运算法则求导数．
2
基本初等函数的导数公式：
y′＝0 y′＝nxn－1 y′＝cos x
y′＝－sin x y′＝axlna
y′＝ex
y′＝xln1 a
15
基本初等函数的导数公式
公式 1 .若 f ( x ) c , 则 f '( x ) 0;
公式 2 .若 f ( x ) x n , 则 f '( x ) n x n 1 ;
公式 3 .若 f ( x ) s in x , 则 f '( x ) c o s x ;
公式 4 .若 f ( x ) c o s x , 则 f '( x ) s in x ;
5
思考: 如何求下列函数的导数?
(1 )y(x1 )x (2)
(2)yx x
ex
(3) y x2
6
导数的运算法则:(积、商的导数)
[ f( x ) g ( x ) ] f ( x ) g ( x ) f( x ) g ( x )
轮流求导之和
g f((xx))f(x)g(xg)( x)f2(x)g(x)(g(x)0)
(1) y = (2x+3)2 (2) y = e-0.05x+1
(3) y=sin(x+) (其中、均为常数）
14
课堂练习
P18页练习第2题（5）、（6）题
(1) 设 y = sin2 x，求 y . (2) 设 f (x) = sinx2 ，求 f (x).
(3) 设y 1x2, 求 y .
19