2019-2020学年高中数学 1.1基本计数原理教学案 理 新人教B版选修2-3.doc

基本计数原理目 1. 通例，理解掌握分加法数原理与分步乘法数原理.2. 会利用两个原理解决一些的．1．分加法数原理做一件事，达成它有n 法，在第一法中有m 种不同样的方法，在第二法1中有 m 种不同样的方法⋯⋯在第n 法中有m 种不同样的方法，那么达成件事共有N＝2n__________________ 种不同样的方法．2．分步乘法数原理做一件事，达成它需要分红n 个步，做第一个步有m1种不同样的方法，做第二个步有 m 种不同样的方法⋯⋯做第n 个步有 m 种不同样的方法，那么达成件事共有N＝2n__________________ 种不同样的方法．3．分加法数原理和分步乘法数原理，回答的都是相关做一件事的不同样方法的种数．区在于：分加法数原理的是________，其中各样方法相互独立，用其中任何一种方法都能够做完件事，分步乘法数原理的是________，各个步中的方法相互依存，只有各个步都达成才算达成件事．一、1．从甲地到乙地，每天有直达汽 4 班，从甲地到丙地，每天有 5 个班，从丙地到乙地，每天有 3 个班，从甲地到乙地不同样的乘方法有()A．12 种B．19 种C．32 种D．60 种2．有一排 5 个信号的示窗，每个窗可亮灯、可亮灯、可不亮灯，共能够出的不同样信号有()A．25种B．52种C．35种D．53种3．二年 (1) 班有学生 56人，其中男生38 人，从中取1 名男生和 1 名女生作代表参加学校的社会，取代表的方法种数()A． 94B． 2 128C． 684D． 564．会合＝ {x,1}，＝{y,1,2}，其中x，∈{1,2 ，⋯， 9} 且P，把足上述条P Q y Q件的一对有序整数( x，y) 作为一个点，则这样的点的个数是()A． 9B． 14C． 15D． 215．有 4 名高中毕业生报考大学，有 3 所大学可供选择，每人只能填报一所大学，则这 4名高中毕业生报名的方案数为 ()A． 12B． 7C． 34D． 436．某地政府召集 5 家公司的负责人开会，其中甲公司有 2 人到会，其余 4 家公司各有 1人到会，会上有 3 人讲话，则这3 人来自 3 家不同样公司的可能情况的种数为()A． 14B． 16C． 20D． 48二、填空题7．在由 0,1,3,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被 5 整除的数共有 ________个．8．将一个三棱锥的每个极点染上一种颜色，并使每一条棱的两头点异色，若只有五种颜色可使用，则不同样染色的方法种数为________．9．加工某个零件分三道工序，第一道工序有 5 人，第二道工序有 6 人，第三道工序有 4 人，从中选 3 人每人做一道工序，则选法共有________种．三、解答题10．某外语组有9 人，每人最少会英语和日语中的一门，其中7 人会英语， 3 人会日语，现要从中选出会英语和日语的各一人，共有多少种不同样的选法？11．用 0,1,2,3,4,5能够组成多少个无重复数字的比 2 000 大的四位偶数？能力提升12．现有 6 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，则不同样选法的种数是 ()A． 56B．655×6×5×4×3×2D．6×5×4×3×2C.213．书架的第一层有 6 本不同样的数学书，第二层有 6 本不同样的语文书，第三层有5本不同样的英语书．(1)从这些书中任取 1 本，有多少种不同样的取法？(2) 从这些书中任取 1 本数学书， 1 本语文书， 1 本英语书共 3 本书的不同样的取法有多少种？(3) 从这些书中任取 3 本，并且在书架上挨次次排好，有多少种不同样的排法？用两个计数原理解决详细问题时，第一要分清“分类”仍是“分步”，其次要清楚“分”或“分步”的详细准，在“分” 要依照“不重、不漏”的原，在“分步” 要正确“分步”的程序，注意步与步之的性；有些目中“分”与“分步”同行，能够“先分后分步”或“先分步后分”．第一章数原理1． 1基本数原理答案知梳理1．m1＋m2＋⋯＋m n2．m1×m2×⋯×m n3．分分步作1．B [ 从甲地到乙地有两方案：甲地直达乙地，甲地丙地到乙地，共有4＋3× 5＝19( 种) 方法． ]2． C [ 一个窗有 3 种可能情况 ( 、、不亮 ) ，每个窗出一种情况的方法种数3×3×3×3× 3＝ 35( 种 ) ，即表示的不同样信号．]3． C [ 男生 38 人，女生18 人，第 1 步从男生38 人中任 1 人，有 38 种不同样的法；第二步从女生18 人中任 1 人，有 18 种不同样的法．只有上述两步达成后，才能达成从男生中和女生中各 1 名代表件事，依照分步乘法数原理共有38×18＝684( 种 ) 取代表的方法．]4． B [ 当x＝ 2 ，y可取 3,4,5,6,7,8,9当 x＝ y ， y 可取3,4,5,6,7,8,9，共，共7 个点．7 个点；∴ 的点共有7＋ 7＝14( 个) ．]5． C [4 名高中生考 3 所大学，可分 4 步，每步有 3 种， 4 名高中生名的方案数3×3×3× 3＝ 34.]6． B[ 按意分红两：第一：甲企有 1 人言，有 2 种情况，另两个言人出自其余 4 家企，有6种情况，由分步乘法数原理知有2× 6＝12( 种 ) 情况；第二： 3 人全来自其余 4 家企，有 4 种情况．上可知，共有N＝12＋4＝16(种)情况．]7． 10剖析先考虑个位和千位上的数，个位数字是0 的有3×2× 1＝ 6( 个 ) ，个位数字是5 的有2×2× 1＝ 4( 个) ，因此共有10 个．8． 120剖析如右图，若先染 A 有种色可选，则不同样染色方法共有5 种色可选，B有 4 种色可选，5×4×3× 2＝ 120( 种 ) ．C有3 种色可选，D有29． 12010．解依题意得既会英语又会日语的有7＋ 3－ 9＝ 1( 人 ) ，6 人只会英语， 2 人只会日语．第一类：从只会英语的 6 人中选一人有 6 种方法，此时选会日语的有2＋1＝ 3( 种 )方法．由分步乘法计数原理可得N1＝6×3＝18(种)．第二类：从既会英语又会日语的 1 人中选有 1 种方法，此时选会日语的有 2 种方法．由分步乘法计数原理可得N2＝1×2＝2(种)．综上，由分类加法计数原理可知，不同样选法共有N＝ N1＋ N2＝18＋2＝20(种)．11．解达成这件事有三类方法：第一类是用0 做结尾的比 2 000 大的 4 位偶数，它能够分三步去达成：第一步，选取千位上的数字，只有2,3,4,5能够选择，有 4 种选法；第二步，采纳百位上的数字，除 0 和千位上已选定的数字以外，还有 4 个数字可供选择，有 4 种选法；第三步，采纳十位上的数字，还有 3 种选法．依照分步乘法计数原理，这类数的个数有4×4× 3＝ 48( 个) ；第二类是用 2 做结尾的比 2 000大的 4 位偶数，它能够分三步去达成：第一步，选取千位上的数字，除掉2,1,0，只有 3 个数字能够选择，有 3 种选法；第二步，采纳百位上的数字，在去掉已经确定的首尾两数字此后，还有 4 个数字可供选择，有 4 种选法；第三步，采纳十位上的数字，还有 3 种选法．依照分步乘法计数原理，这类数的个数有3×4× 3＝ 36( 个 ) ；第三类是用 4 做结尾的比 2 000大的4 位偶数，其步骤同第二类，可得有36 个．对以上三类结论用分类加法计数原理，可得所求无重复数字的比 2 000大的四位偶数有48＋ 36＋ 36＝ 120( 个 ) ．12．A [ 每位同学可自由选择 5 个讲座中的其中 1 个讲座，故6 名同学的安排可分6步进行，每步均有 5 种选择，因此共有56种不同样选法．]13．解(1) 因为共有17 本书，从这些书中任取 1 本，共有17 种取法．(2) 分三步：第一步，从 6 本不同样的数学书中取1 本，有 6 种取法；第二步，从 6 本不同样的语文书中取1 本，有 6 种取法；第三步：从 5 本不同样的英语书中取1 本，有 5 种取法．由分步乘法计数原理知，取法总数为N＝6×6×5＝180(种)．(3) 实际上是从17 本书中任取 3 本放在三个不同样的地址上，达成这个工作分三个步骤，第一步：从 17 本不同样的书中取 1 本，放在第一个地址，有17种方法；第二步：从节余16 本不同样的书中取 1 本，放在第二个地址，有16 种方法；第三步：从节余15 本不同样的书中取 1 本，放在第三个地址，有15 种方法；由分步乘法计数原理知，排法总数为N＝17×16×15＝4080(种) ．。

§1.1基本计数原理教学设计一、教学内容分析《基本计数原理》是人教B版普通高中课程标准试验教科书（选修2-3)第一章第一节的内容；本节课的核心是两个计数原理,理解它关键就是要体会两个计数原理的基本思想及其应用方法。

学生已经学过加法、乘法，本节课的内容要与之建立相关联系。

教学的重点是两个计数原理，解决重点的关键是结合实例阐述两个计数原理的基本内容，分析原理的条件和结论，特别是要注意使用对比的方法，引导学生认识它们的异同。

由于它们不仅是推导排列数、组合数计算公式的依据，而且其基本思想方法贯穿本章内容的始终,所以在本章有重要的地位，是本学科的重要内容。

另外本节课涉及的分步、分类的思想是解决实际问题的最有效武器，是人们思考问题的最根本方法.二、学情分析高二学生已具备一定的数学知识和方法，能很容易的接受两个原理的内容，并应用原理解决一些简单的实际问题，这些形成了学生思维的“最近发展区”．虽然学生已经具备了一定的归纳、类比能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养．另外，学生的求知欲强，参与意识，自主探索意识明显增强，对能够引起认知冲突，表现自身价值的学习素材特别感兴趣。

但在合作交流意识欠缺，有待加强.三、设计思想在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是如何选择对应的原理解决具体问题，产生这一问题的原因是学生无法把具体的问题特征与两个计数的基本思想联系起来。

要解决这一问题，在本节教学时先采取通过典型的、学生熟悉的实例，经过抽象概括而得出两个计数原理，然后按照从单一至综合的方式，安排比较多的例题，引导学生逐步体会两个计数原理的基本思想及其应用方法。

四、教学目标1、知识与技能①掌握分类计数原理与分步计数原理的内容②能根据具体问题的特征选择分类计数原理与分步计数原理解决一些简单实际问题．2、过程与方法①通过具体问题情境总结出两个计数原理，并通过实际事例学生感悟两个原理的应用并最终学会应用②通过“学生自主探究、合作探究，师生共究”更深刻的理解分类计数与分步计数原理，并应用它们解决实际问题3、情感、态度、价值观树立学生积极合作的意识，增强数学应用意识,激发学生学习数学的热情和兴趣. 五、教学重难点重点：分类计数原理与分步计数原理的掌握难点：根据具体问题特征选择分类计数原理与分步计数原理解决实际问题．六、教学过程设计(一)创设情景——引入原理引例1：灰太狼从狼堡去羊村抓羊，他走水路有2艘船，走陆路有3辆汽车．请问灰太狼去羊村一共有几种不同的方法？在解决问题时首先让学生尝试分析,然后由学生代表分析解答，教师及时给出评价，让学生清楚的认识到总方法数是各类方法数之和.为学生顺利总结概括出原理做好铺垫.设计意图:该情境是从学生们喜欢的动画片经过加工设计的，贴近学生生活，能够增强学生的有意注意，激发学生的兴趣，调动学生的主动性和积极性,从而进入思维情境。

1.1 基本计数原理(二) 学案（人教B版高中数学选修2-3）1.1基本计数原理二学习目标巩固分类加法计数原理和分步乘法计数原理，并能灵活应用这两个计数原理解决实际问题知识点一分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理任务做一件事步骤完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，，在第n类办法中有mn种不同的方法完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法，，做第n个步骤有mn种不同的方法结果完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法知识点二两个计数原理的区别与联系分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点用来计算完成一件事的方法种类不同点分类完成，类类相加分步完成，步步相乘每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事每步中的一种方法不能独立完成这件事注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整类型一组数问题例1用0,1,2,3,4五个数字1可以排成多少个三位数字的电话号码2可以排成多少个三位数3可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数考点两个计数原理的应用题点两个原理在排数中的应用解1三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有55553125种排法2三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二.三位可以排0，因此，共有455100种排法3被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4312种排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，位有3种排法，因此有23318种排法因而有121830种排法即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数引申探究由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数解完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步第一步定个位，只能从1,3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，把1,2,3,4中除去用过的一个还有3个可任取一个，有3种方法；第三步，第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字先排百位有3种方法，再排位有2种方法由分步乘法计数原理知，共有233236个反思与感悟对于组数问题，应掌握以下原则1明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键一般按特殊位置末位或首位分类，分类中再按特殊位置或特殊元素优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解2要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位跟踪训练11用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个用数字作答考点两个计数原理的应用题点两个原理在排数中的应用答案14解析因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是2或3的情况不合题意，所以符合题意的四位数有24214个2我们把各数位上数字之和为6的四位数称为“六合数”如2013，则“六合数”中首位是2的有________个考点两个计数原理的应用题点两个原理在排数中的应用答案15解析设满足题意的“六合数”为“2abc”，则abc4，于是满足条件的a，b，c可分以下四种情况一个为4，两个为0，共3种；一个为3，一个为1，一个为0，共有3216种；两个为2，一个为0，共有3种；一个为2，两个为1，共有3种则“六合数”中首位为2的“六合数”共有15个类型二抽取分配问题例23个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法考点抽取分配问题题点抽取分配问题解方法一以小球为研究对象分三步来完成第一步放第一个小球有5种选择；第二步放第二个小球有4种选择；第三步放第三个小球有3种选择，根据分步乘法计数原理得总方法数N54360.方法二以盒子为研究对象盒子标上序号1,2,3,4,5，分成以下10类第一类空盒子标号为1,2选法有3216种；第二类空盒子标号为1,3选法有3216种；第三类空盒子标号为1,4选法有3216种；分类还有以下几种情况1,5，2,3，2,4，2,5，3,4，3,5，4,5，共10类，每一类都有6种方法根据分类加法计数原理得总方法数N66660.反思与感悟解决抽取分配问题的方法1当涉及对象数目不大时，一般选用列举法.树状图法.框图法或者图表法2当涉及对象数目很大时，一般有两种方法直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行；间接法去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可跟踪训练2高三年级的三个班到甲.乙.丙.丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有A16种B18种C37种D48种考点抽取分配问题题点抽取分配问题答案C解析方法一直接法以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为三类第一类，三个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；第二类，有两个班级去甲工厂，剩下的班级去另外三个工厂，其分配方案共有339种；第三类，有一个班级去甲工厂，另外两个班级去其他三个工厂，其分配方案共有33327种综上所述，不同的分配方案有192737种方法二间接法先计算3个班级自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即44433337种方案类型三种植与涂色问题命题角度1平面图形的涂色问题例3用5种不同的颜色给图中的A，B，C，D四个区域涂色，规定一个区域一种颜色，相邻的区域颜色不同，则不同的涂色方案有________种考点涂色问题题点涂色问题答案180解析由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，C有3种涂法，D有3种涂法共有5433180种不同的涂色方案反思与感悟1涂色问题的基本要求是相邻区域不同色，但是不相邻的区域可以同色解决此类问题要特别关注图形的结构特征如果图形不很规则，往往从某一块出发进行分步涂色，从而选用分步乘法计数原理；如果图形具有一定的对称性，那么先对涂色方案进行分类，每一类再进行分步2涂色问题往往涉及分类.分步计数原理的综合应用，因此，要找准分类标准，兼顾条件的情况下分步涂色跟踪训练3将红.黄.蓝.白.黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法1234考点涂色问题题点涂色问题解第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法1当第2个.第3个小方格涂不同颜色时，有4312种不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5123180种不同的涂法2当第2个.第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有54480种不同的涂法由分类加法计数原理可得共有18080260种不同的涂法命题角度2几何体的涂色问题例4如图所示，将四棱锥SABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数考点涂色问题题点涂色问题解由题意，四棱锥SABCD的顶点S，A，B所染的颜色互不相同，它们共有54360种染色方法当S，A，B染色确定时，不妨设其颜色分别为1,2,3.若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法由分类加法计数原理知，当S，A，B染法确定时，C，D有7种染法由分步乘法计数原理得，不同的染色方法有607420种反思与感悟几何体的涂色问题应转化为平面的涂色问题处理跟踪训练4如图所示的几何体是由一个正三棱锥PABC与正三棱柱ABCA1B1C1组合而成的，现用3种不同的颜色对这个几何体的表面涂色底面A1B1C1不涂色，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有________种考点涂色问题题点涂色问题答案12解析先涂三棱锥PABC的三个侧面有32种情况，然后涂三棱柱的三个侧面有12种情况共有321212种不同的涂法.1有A，B两种类型的车床各一台，现有甲.乙.丙三名工人，其中甲.乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，要从这三名工人中选两名分别去操作这两种车床，则不同的选派方法有A6种B5种C4种D3种考点分类加法计数原理题点分类加法计数原理的应用答案C解析不同的选派情况可分为3类若选甲.乙，有2种方法；若选甲.丙，有1种方法；若选乙.丙，有1种方法根据分类加法计数原理知，不同的选派方法有2114种2在2,3,5,7,11这五个数字中，任取两个数字组成分数，其中假分数的个数为A20B10C5D24考点抽取分配问题题点抽取分配问题答案B解析当分子为11时，分母可为2,3,5,7，所以可构成4个假分数；当分子为7时，分母可为2,3,5，所以可构成3个假分数；当分子为5时，分母可为2,3，所以可构成2个假分数；当分子为3时，分母可为2，所以可构成1个假分数由分类加法计数原理可得，假分数的个数为432110.3有5名同学被安排在周一至周五值日，每人值日一天已知同学甲只能在周三值日，那么这5名同学值日顺序的安排方案共有A12种B24种C48种D120种考点抽取分配问题题点抽取分配问题答案B解析安排同学甲周三值日，其余4名同学的安排方案分四个步骤完成第一步，安排第一位同学，有4种方法；第二步，安排第二位同学，有3种方法；第三步，安排第三位同学，有2种方法；第四步，安排第四位同学，有1种方法根据分步乘法计数原理知，这5名同学值日顺序的安排方案共有432124种4如图，AC，有________种不同的走法考点分类加法计数原理题点分类加法计数原理的应用答案6解析AC分两类第一类，ABC分两步，AB有两种走法，BC有两种走法，ABC有224种走法第二类，AC有2种走法所以AC共有426种走法5如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有________种.ABCD考点涂色问题题点涂色问题答案108解析A有4种涂法，B有3种涂法，C有3种涂法，D有3种涂法，共有4333108种涂法1分类加法计数原理与分步乘法计数原理是两个最基本.也是最重要的原理，是解答后面将要学习的排列.组合问题，尤其是较复杂的排列.组合问题的基础2应用分类加法计数原理要求分类的每一种方法都能把事件独立完成；应用分步乘法计数原理要求各步均是完成事件必须经过的若干彼此独立的步骤3一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏4若正面分类，种类比较多，而问题的反面种类比较少时，则使用间接法会简单一些.。

教案虑游玩路线的选择，该游客有多少种不同的走法？分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中第6步设定第6个数字有10种办法根据分步乘法计数原理，共有1000000（一百万）个密码解：完成“由不同数字组成银行卡密码”这件事可以分为6个步骤第1步设定第1个数字有10种办法第2步设定第2个数字有9种办法第3步设定第3个数字有8种办法……第6步设定第6个数字有5种办法根据分步乘法计数原理，共有10×9×8×7×6×5=151200个密码解：完成“银行卡密码的最后一个数字是6或者是8，并且组成银行卡密码的数字不能有相同的密码设定”这件事，需要分成2类，最后一个数字是6和最后一个数字是8最后一个数字是6的话，前面的5个数字，根据分析应该分成5个步骤来完成，第1步设定第1个数字有9种办法第2步设定第2个数字有8种办法第3步设定第3个数字有7种办法第4步设定第4个数字有6种办法第5步设定第5个数字有5种办法根据分步乘法计数原理，最后一个数字是6的密码数共有9×8×7×6×5=15120种同理可得最后一个数字是8的密码数共有15120种根据分类加法计数原理，银行卡密码的最后一个数字是6或者是8，并且组成银行卡密码的数字不能有相同的密码数共有15120+15120=30240种课堂练习练习：由数字0,1,2,3,4,5这六个数字，可组成多少个无重复数字的三位数？解：根据题意可知，要完成组成无重复数字的三位数分为三个步骤：第1步：确定百位数，有5种选择，第2步：确定十位数，有5种选择，第3步：确定个位数，有4种选择，根据分步乘法计数原理，可以组成无重复数字的三位数共有5×5×4=100（个）.练习：如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路。

要从甲地去丁地，共有多少种不同的走法？通过课堂练习进一步巩固基本计数原理。

章末复习提升课1．分类加法计数原理完成一件事可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同方法，…，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．3．排列数与组合数公式及性质排列与排列数组合与组合数公式排列数公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！（n－m）！组合数公式C m n＝A m nA m m＝错误!＝错误!性质当m＝n时，A m n为全排列A n n＝n！；0！＝1C0n＝C n n＝1；C m n＝C n－mn；C m n＋C m－1n＝Cmn＋1备注n，m∈N＋且m≤n1．“分类”与“分步”的区别(1)分类就是能“一步到位”——任何一类中任何一种方法都能完成这件事情，简单地说分类的标准是“不重不漏，一步完成”．(2)分步则只能“局部到位”——任何一步中任何一种方法都不能完成这件事情，只能完成事件的某一部分，只有当各步全部完成时，这件事情才完成．简单地说步与步之间的方法“相互独立，多步完成”．2．正确区分是组合问题还是排列问题，要把排列中的“定序”和“有序”区分开来．3．正确区分分堆问题和分配问题．4．二项式定理的通项公式T r＋1＝C r n a n－r b r是第r＋1项，而不是第r项，注意其指数规律．5．求二项展开式中的特殊项(如：系数最大的项、二项式系数最大的项、常数项，含某未知数的次数最高的项、有理项…)时，要注意n与r的取值范围．6．注意区分“某项的系数”与“某项的二项式系数”，展开式中“二项式系数的和”与“各项系数的和”，“奇(偶)数项系数的和”与“奇(偶)次项系数的和”．两个计数原理的应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本部分内容的基础．在应用题的考查中，经常要用它们对问题进行分类或分步求解，两个原理的共同之处是研究做一件事，完成它共有的方法种数问题，而它们的主要差异是“分类”与“分步”．分类加法计数原理的特点是：类与类相互独立，每类方法均可独立完成这件事(可类比“并联”电路来理解)；分步乘法计数原理的特点是：步与步相互依存，且只有当所有步骤均完成了(每个步骤缺一不可)，这件事才算完成(可类比“串联”电路来理解)．运用时要掌握其计数本质，合理恰当地运用这两个原理．排列组合是解决计数问题的一种重要方法．但要注意，计数问题的基本原理是分步乘法计数原理和分类加法计数原理，是最普遍使用的，不要把计数问题等同于排列组合问题．已知有3封信，4个信筒．(1)把3封信都寄出，有多少种寄信方法？(2)把3封信都寄出，且每个信筒中最多一封信，有多少种寄信方法？【解】(1)分3步完成寄出3封信的任务：第一步，寄出1封信，有4种方法；第二步，再寄出1封信，有4种方法；第三步，寄出最后1封信，有4种方法，完成任务．根据分步乘法计数原理，共有4×4×4＝43＝64种寄信方法．(2)典型的排列问题，共有A34＝24种寄信方法．【点评】在利用两个原理解答计数问题时，要考虑以下三方面：①要做什么事，②如何去做这件事，③怎样才算把这件事完成了．排列组合的应用(1)重视两个计数原理的应用两个计数原理是本章的核心，其体现的数学思想贯穿全章．在解题时，应认真确定是分类，还是分步．处理排列组合的综合性问题，一般地思想方法是先选元素(组合)，后排列，按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”，始终是处理排列组合问题的基本方法和原理．(2)解排列组合应用题时，常见的解题策略有以下几种： ①特殊元素优先安排的策略； ②合理分类和准确分步的策略； ③排列、组合混合问题先选后排的策略； ④正难则反、等价转化的策略； ⑤相邻问题捆绑处理的策略； ⑥不相邻问题插空处理的策略； ⑦定序问题除法处理的策略；⑧“小集团”排列问题中先整体后局部的策略； ⑨构造模型的策略．从1，3，5，7，9五个数字中选2个，0，2，4，6，8五个数字中选3个，能组成多少个无重复数字的五位数？【解】 从5个奇数中选出2个，再从2、4、6、8四个偶数中选出3个，排成五位数，有C 25·C 34·A 55＝4 800个．从5个奇数中选出2个，再从2，4，6，8四个偶数中再选出2个，将选出的4个数再选一个做万位数．余下的3个数加上0排在后4个数位上，有C 25·C 24·C 14·A 44＝10×6×4×24＝5 760个．由分类加法计数原理可知这样的五位数共有C 25·C 34·A 55＋C 25·C 24·C 14·A 44＝10 560个．【点评】 排列、组合综合题目，一般是将符合条件的元素取出，再对取出的元素进行排列，要注意特殊元素优先安排的原则．二项式定理的应用[学生用书P20](1)牢记二项展开式的通项公式，结合常数项、有理项等概念解题． (2)区别二项式系数和项的系数．(3)注意体会二项式定理的推导过程所蕴含的思想方法，并在解题中应用． (4)赋值法，求二项展开式各项系数和时要注意结合题目条件恰当赋值．已知(x ＋1)n的展开式中，末三项的二项式系数和等于22，系数最大的项为20000，求x .【解】 因为展开式中的末三项二项式系数为C n －2n ，C n －1n ，C nn ， 所以C n －2n ＋C n －1n ＋C nn ＝22， 即C 2n ＋C 1n ＋C 0n ＝22， 所以n 2＋n －42＝0， 所以n ＝6或n ＝－7(舍去)．所以展开式中二项式系数最大项为第⎝ ⎛⎭⎪⎫62＋1项， 即系数最大项为第4项． 所以T 4＝C 36(x )3＝20 000. 所以x 32＝1 000，所以x ＝100.【点评】 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正负变化情况，采用列不等式组的方法求解．当a ，b 的系数均为1时，项的系数与二项式系数相等．1．五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建一项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同承建方案的种数是( )A ．C 14C 44 B ．C 14A 44 C ．C 44D ．A 44解析：选B.让甲工程队先选子项目有C 14种方法，其余4个工程队的承建方案有A 44种，根据分步乘法计数原理，共有C 14A 44种不同的承建方案．2.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 10的二项展开式中含x 的正整数指数幂的项数是( )A ．0B ．2C ．4D ．6解析：选B.T r ＋1＝C r10(x )10－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13rC r 10·x 5－3r 2.由5－3r 2∈N ＋，得r ＝0或2，故展开式中第1，第3项中x 的指数为正整数． 3．1＋3＋32＋…＋399被4除所得的余数是________．解析：原式＝(1＋3)＋32(1＋3)＋…＋398(1＋3)，能被4整除，故余数为0，此题也可用二项式定理求解．答案：04．用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的五位数，然后从小到大排列，问42 351是第几个数？解：可以分情况讨论：第一类：万位上取1，2，3时，共有3A 44＝72个； 第二类：万位上取4，千位上取1时，共有A 33＝6个；第三类：万位上取4，千位上取2，百位上取1时，共有A 22＝2个．所以比42 351小的五位数共有72＋6＋2＝80个，那么42 351是第81个数．。

1.1 基本计数原理一、教学重点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)二、新课探究：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有___________________________种不同的方法.一般归纳：完成一件事情，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有______________________种不同的方法.完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有 ___________________________种不同的方法.一般归纳：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有______________________________种不同的方法.①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.三、典例分析例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学 B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？例2.设某班有男生30名，女生24名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？例3. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？例4. 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？例5. 用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：（1）银行存折的四位密码？（2）四位数？（3）四位奇数？例6：我们把壹元硬币有国徽的一面叫做正面，有币值的一面叫做反面。

1.1 基本计数原理一、教学目标：进一步学习两个计数原理，能进步性合理的分类与分步二、重点难点：分类分步的区分、优先法三、教学过程环节一【课前达标】1．从甲地到乙地有2条路, 从甲地到乙地有2条路;从甲地到丁地有4条路, 从丁地到丙地有2条路.(1)则从甲地经乙地到丙地有条路;(2)从甲地到丙地有条路.2.现有一年级学生代表3名, 二年级学生代表5名,三年级学生代表2名.(1)从中选一人担任学生会主席,共有种方法;(2)从每个年级代表中任选一人组成校学生会主席团,共有种选法;(3)从一、二年级中各选一人,与高三年级两名学生代表共四人组成学生会主席团共有种选法.环节二【典例探究】例1 用0,1,2,……9十个数字,可以组成多少个(1)三位数;(2)无重复数字的三位数;(3)小于500的无重复数字的三位数;(4)小于500且末位数字是8或9的无重复数字的三位数;(5)小于100的无重复数字的三位数.变式: 有三项体育运动项目,每个项目均设冠军和亚军各一名奖项.(1)学生甲参加了这三个运动项目,但只获得了一个奖项,学生甲获得的不同情况有多少种?(2)有4名学生参加了这三个运动项目,若一个学生可以获得多项冠军,那么各项冠军获得者的不同情况有多少种?例3、(1)同室4个各写一张贺卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺卡,则4张贺卡的不同分配方式有（）种.A.5B.6C.7D.8(2)、若且,则有序数对有( )个.A.15B.14C.13D.12【双基达标】1、某电脑用户计划使用不超过500元的资金,购买单价分别为60元,70元的单片软件和盒装磁盘,根据需要,软件至少买3盒,磁盘至少买2盒,则不同的选购方式（）A.5种B.6种C.7种D.8种2、3位旅客到4个旅馆住宿,有种不同的住宿方法.3、在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数有个.4、三边长均为整数,且最大边为11的三角形有个.、5、从正方体的6个面中选取3个面,其中2个面相邻的选法共有( ).A.8种B. 12种C. 16种D. 20种该方程表示的不同直线有( )条.A.12 B. 14 C. 15 D. 207、某商场有4个门，某人进去后在出来,共有种不同走法.8、将5本不同的书,全部分给4个学生,有种不同的分法.9、一辆汽车上有10名乘客,沿途有7个车站,则乘客下车的可能方式共有种.10、若, ,且方程是表示中心在原点的双曲线,则表示不同的双曲线最多有条.11、等腰三角形的三边均为正整数,它们的周长不大于10,这样不同形状的三角形种数为 .12、用1,2, 3,4,5这5个数字,组成没有重复数字的三位数,其中组数有种.13、已知集合,.(1)任取一个奇数, ,共有种不同取法.(2)设点, , ,问可表示个不同点.(3)在(2)问中,有个点不在直线上.中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。