2017秋九年级数学上册第1章特殊平行四边形3正方形的性质与判定第2课时正方形的判定习题课件

(1)求证：四边形 EFGH 是正方形． (2)判断直线 EG 是否经过某一定点，说明理由； (3)求四边形 EFGH 面积的最小值．
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠A＝∠B＝90°，AB＝DA． ∵AE＝DH，∴BE＝AH. 又∵AE＝BF，∴△AEH≌△BFE， ∴EH＝FE，∠AHE＝∠BEF. 同理 FE＝GF＝HG， ∴EH＝FE＝GF＝HG，∴四边形 EFGH 是菱形． ∵∠A＝90°，∴∠AHE＋∠AEH＝90°， ∴∠BEF＋∠AEH＝90°，∴∠FEH＝90°， ∴菱形 EFGH 是正方形．
【点悟】 本题考查了菱形的判定及正方形的判定，解题的关键是熟记各种 四边形的性质和判定．
当堂测评
1．下列命题中，正确的是( D ) A．对角线互相平分且相等的四边形是正方形 B．对角线互相平分且垂直的四边形是正方形 C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形
(2)直线 EG 经过正方形 ABCD 的中心，理由如下： 连接 BD 交 EG 于点 O， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB∥DC，AB＝DC， ∴∠EBD＝∠GDB． ∵AE＝CG， ∴BE＝DG. 又∵∠EOB＝∠GOD， ∴△EOB≌△GOD， ∴BO＝DO，即点 O 为 BD 的中点， ∴直线 EG 经过正方形 ABCD 的中心．
答图
(3)设 AE＝DH＝x，则 AH＝8－x， 在 Rt△AEH 中，EH2＝AE2＋AH2＝x2＋(8－x)2＝2x2－16x＋64＝2(x－4)2＋ 32， ∴四边形 EFGH 面积的最小值为 32.
2．已知四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即
可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( D )

第2课时正方形的判定1．掌握正方形的判定定理，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的证明和计算．2．经历探究正方形的判定定理的过程，发展学生综合推理的能力、主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法．3．理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点．重点掌握正方形的判定定理．难点合理恰当地利用特殊平行四边形的性质与判定进行有关的证明和计算．一、复习导入1．我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？2．让学生回答以下问题：(1)怎样判断一个四边形是矩形？(2)怎样判断一个四边形是菱形？(3)怎样判断一个四边形是平行四边形？(4)怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？教师：你有什么方法判定一个四边形是正方形？这就是本节课要探究的内容．二、探究新知1．正方形的判定定理课件出示教材第22页图1－20，提出问题：将一X长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开．怎样剪才能剪出一个正方形？学生动手操作，教师巡视指导，并讲解：因为正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，把折痕作对角线，这时只需剪一个等腰直角三角形，打开即是正方形，因此只要保证剪口线与折痕成45°角即可．教师：满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？引导学生总结出正方形的判定定理：对角线相等的菱形是正方形．对角线垂直的矩形是正方形．有一个角是直角的菱形是正方形．教师：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间有什么关系？教师：同学们能尝试完成这3个定理的证明吗？学生独立完成，教师点评．2．中心四边形学生以小组的形式，在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、梯形和直角梯形中选择一种自己感兴趣的四边形来研究中点四边形，并验证结论的正确性．平行四边形矩形菱形正方形等腰梯形直角梯形梯形引导学生得出结论：平行四边形的中点四边形是平行四边形；矩形的中点四边形是菱形；菱形的中点四边形是矩形；正方形的中点四边形是正方形；等腰梯形的中点四边形是菱形；直角梯形的中点四边形是平行四边形；梯形的中点四边形是平行四边形．三、举例分析例 如图，在矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF ∥CE ，CF ∥BE.求证：四边形BECF 是正方形．证明：∵BF∥CE，CF ∥BE ， ∴四边形BECF 是平行四边形． ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ABC ＝90°，∠DCB ＝90°. 又∵BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，∴∠EBC ＝12∠ABC＝45°，∠ECB ＝12∠DCB＝45°.∴∠EBC ＝∠ECB. ∴EB ＝EC.∴▱BECF 是菱形(菱形的定义)． 在△EBC 中，∵∠EBC ＝45°，∠ECB ＝45°， ∴∠BEC ＝90°.∴菱形BECF 是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形)． 四、练习巩固1．教材第24页“随堂练习”． 2．完成下列问题：图① 图②图③(1)如图①，在△ABC中，EF为△ABC的中位线．①若∠BEF＝30°，则∠A＝________.②若EF＝8 cm，则AC＝________．(2)如图②，在AC的下方取一点D，连接AD，CD.取CD和AD的中点G、H，问EF和GH 有怎样的关系？EH和FG呢？(3)如图③，四边形EFGH的形状有什么特征？五、小结1．通过本节课的学习，你有哪些收获？2．正方形的判定定理有哪些？六、课外作业教材第25页习题1.8第1～4题．本节课采用了多媒体辅助教学，为学生创建了一个学习情境，通过图形的变换，使学生很容易发现问题的规律、找出解决方法，并且学生在老师的启发下，一步一步地探索、归纳、学习，在探索的过程中培养了学生的创新精神和意识．在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问．。

《正方形的判定》教学设计一、教学内容分析1、教学内容《正方形的判定》是北师大版数学八年级（下册）第1章第3节《正方形的性质与判定》第2课时的内容。

2、教材特点本节课是在学习了平行四边形、矩形、菱形的性质与判定以及正方形的性质的基础上，引入了正方形的判定，这节课既是前面所学知识的延续，又是对平行四边形、菱形、矩形的判定进行综合的不可缺少的重要环节。

3、教学方法本节课的内容较多，是与前面的内容：平行四边形、菱形、矩形的判定进行综合，对学生的逆向思维与推理能力要求比较高，针对本班的学生的知识结构和心理特征，因此我采用了多媒体辅助教学，运用了“情境引入、合作交流、引导提问、归纳论证、深化巩固”的启发式教学方法。

教学中，引导学生经历类比归纳的过程，充分感受教学思维的特点，进一步提高逻辑推理的能力，增强探索新知识的兴趣。

4、教学重难点教学重点：理解并掌握正方形的判定条件。

教学难点：合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和推理。

二、学生分析1、学情分析学生已掌握了平行四边形、矩形、菱形的定义性质和判定以及正方形的性质，一部分学生掌握良好，具有一定的主动学习和探究学习的能力，但另一部分学生基础一般，加上前面知识不扎实，所以这节课虽是新课但也会起到对前面知识的复习的作用。

另外，本班学生上课不喜欢表现，为了锻炼他们的语言表达能力和推理能力，在平时的教学过程中，都以小组为单位学习，让学生小组讨论探索发现结论，自己组织语言归纳，培养学生的说理能力。

2、学法指导结合本课内容特点和新课标精神，学生在学习中发挥主体作用。

采取“情景导入、观察思考、讨论论证、类比应用”的探究式学习方法，在掌握新知识的同时，培养独立思考、合作交流、勇于探索的良好习惯，提高操作观察能力和逻辑思维水平。

三、学习目标1. 经历探究正方形判定条件的过程，培养学生探究的习惯和综合推理能力，以及逻辑表达能力。

2. 会运用特殊四边形的判定条件进行有关论证。

满足什么条件的菱形是正方形？ 定理:有一个角是直角的菱形是正方形.
请证明你的结论，并与同伴交流．
正方形的判定（ 随堂练习1）
定理:有一个角是直角的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900. A
D
求证:四边形ABCD是正方形.
证明:
∵四边形ABCD是菱形,∠A=900,
B
C
∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.
CG=DG=
1
2 CD，DH=AH=
1
AC
2
∴AE=BE2=BF=CF=CG=DG2=HG=AH
∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG
A
E
B
13 2
H
F
D
G
C
∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH是菱形
∵∠1=∠2=45°∴∠3=90 °
∴四边形EFGH是正方形
（1）以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成一个什 么图形？先猜一猜，再证明．如果以平行四边形各边 的中点为顶点呢？
例1.如图 1-18，在正方形 ABCD
中，E 为 CD 边上一点，F 为 BC 延长线上一点，且 CE = CF．BE
M
与 DF 之间有怎样的关系？请说明
理由．
解：BE = DF，且 BE⊥DF． 理由如下：
（2）延长 BE 交 DF 于点 M． ∵ △BCE ≌ △DCF，∴ ∠ CBE = ∠ CDF． ∵ ∠ DCF = 90°，∴ ∠ CDF + ∠ F = 90°． ∴ ∠ CBE + ∠ F = 90°． ∴ ∠ BMF = 90°．∴ BE⊥DF．
北师大版九年级数学(上)
第一章 特殊平行四边形