新北师大版九年级数学上册 特殊的平行四边形(含中考真题解析)

一、选择题1．如图，依据尺规作图的痕迹，则α∠是（ ）A ．54°B ．36°C ．28°D ．72°2．如图，ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，顺次连接ABCD 各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①AC BD ⊥；②ΔΔABO CBO C C =；③DAO CBO ∠=∠；④DAO BAO ∠=∠，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．如图所示，△ABC 是等边三角形，AQ=PQ ，PR=PS ，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，则四个结论正确的是( )①点 P 在∠A 的平分线上； ②A S=AR ； ③QP //AR ； ④△BRP ≌△QSP ．A ．全部正确B ．①②正确C ．①②③正确D ．①③正确 4．如图，在长方形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，连接ED ，若ED ＝5，EC ＝3，则长方形的周长为（ ）A．20 B．22 C．24 D．265．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得到的四边形一定是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．以上都不对6．如图，正方形ABCD的边长为3，点P为对角线AC上任意一点，PE BC⊥，PQ AB⊥，垂足分别是E，Q，则PE PQ+的值是（）A．32B．3 C．322D．327．在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，点E关于∠A的平分线的对称点为F，点F关于∠B的平分线的对称点为G，连结EG．若AE＝1，AB＝4，则EG＝（）A．210B．27C．33D．198．矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相垂直D．两组对角分别相等9．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC，垂足是E，若线段AE＝4，则四边形ABCD的面积为（）A．12 B．16 C．20 D．2410．如图，正方形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G ，连结GF ，给出下列结论：①∠ADG=22.5°；②AD=2AE ；③ACD OGD S S ∆∆=；④四边形AEFG 是菱形；⑤BE=2OG ：⑥若1OGF S ∆=，则正方形ABCD 的面积是642+，其中正确的结论个数为（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个11．如图，AB AF ⊥，EF AF ⊥，BE 与AF 交于点C ，点D 是BC 的中点，2AEB B ∠=∠．若8BC =，7EF =，则AF 的长是（ ）A ．6B ．7C ．3D ．5 12．如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（ ）A ．甲、乙都可以B ．甲、乙都不可以C ．甲不可以、乙可以D ．甲可以、乙不可以二、填空题13．已知，在△ABC 中，∠BAC ＝45°，AB ＝1，AC 8AC 为一边作等腰直角△ACD ，使∠CAD ＝90°，连接BD ，则线段BD 的长度为________．14．如图，菱形ABCD 的边长为10，对角线BD 的长为16，点E ，F 分别是边AD ，CD 的中点，连接EF 并延长与BC 的延长线相交于点G ，则EG 的长为________．15．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD AD 的中点，连接,,,AF BG CH DE ，得到一个新的四边形,MNPQ 则四边形MNPQ 的面积为 _____________．16．如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为(1，3)，则点C 的坐标为______．17．如图，边长为1的菱形ABCD 中，∠DAB=60°．连接对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形AC C 1D 1，使∠D 1AC=60°；连接AC 1，再以A C 1为边作第三个菱形AC 1C 2D 2，使∠D 2AC 1=60°；……按此规律所作的第n 个菱形的边长为___________．18．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别是边AB ，CD 上的点，且60CFE ∠=︒．将四边形BCFE 沿EF 翻折，得到B C FE ''，点C '恰好落在AD 边上，B C ''交AB 于点G ，则GE 的长是_______．19．如图，把长方形纸片ABCD 沿折痕EF 折叠，使点B 与点D 重合，点A 落在点G 处，68DFG ∠=︒，则BEF ∠的度数为_________．20．已知四边形ABCD 中，AC BD ⊥，且8AC =，10BD =，E 、F 、M 、N 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，那么四边形EFMN 的面积等于______．三、解答题21．△ABC 是等腰三角形，其中AB ＝BC ，将△ABC 绕顶点B 逆时针旋转50°到△A 1BC 1的位置，AB 与A 1C 1相交于点D ，AC 与A 1C 1，BC 1分别相交于点E ，F ．（1）求证：△BCF ≌△BA 1D ；（2）当∠C ＝50°时，判断四边形A 1BCE 的形状并说明理由．22．如图，矩形EFGH 的顶点,E G 分别在菱形ABCD 的边,AD BC 上，顶点,F H 在菱形ABCD 的对角线BD 上．（1）求证：BG DE =；（2）若E 为AD 中点，5,12FG GH ==，求菱形ABCD 的周长；23．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝15，E 是BC 上的一点，将△ABE 沿着AE 折叠，点B 刚好落在CD 边上点G 处；点F 在DG 上，将△ADF 沿着AF 折叠，点D 刚好落在AG 上点H处，且CE ＝45BE ， （1）求AD 的长；（2）求FG 的长24．如图，矩形ABCD 中，EF 垂直平分对角线BD ，垂足为O ，点E 和F 分别在边AD ，BC 上，连接BE ，DF ．（1）求证：四边形BFDE 是菱形；（2）若AE ＝OF ，求∠BDC 的度数．25．如图，在ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线//BC MN ，设MN 交BCA ∠的角平分线于点E ，交BCA ∠的外角ACG ∠的平分线于点F ，连接AF ． （1）求证：EO FO =；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论．（3）在（2）的条件下，ABC 满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？并说明理由．26．如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；（2）当ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？（3）四边形DBFE能否是正方形？如果能，ABC应满足什么条件？如果不能，说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠DAC=∠ACB=72°．∵由作法可知，AF 是∠DAC 的平分线，∴∠EAF=12∠DAC=36°． ∵由作法可知，EF 是线段AC 的垂直平分线，∴∠AEF=90°，∴∠AFE=90°-36°=54°，∴∠α=54°．故选：A ．【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键． 2．C解析：C【分析】根据顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．逐一对四个条件进行判断．【详解】解：顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．①,AC BD ⊥∴新的四边形成为矩形，符合条件； ②四边形ABCD 是平行四边形，,AO OC BO DO ∴==．ΔΔ,ABO CBO C C AB BC =∴=．根据等腰三角形的性质可知,BO AC BD AC ⊥∴⊥．所以新的四边形成为矩形，符合条件； ③四边形ABCD 是平行四边形，CBO ADO ∠∠∴=．,DAO CBO ADO DAO ∠∠∠∠=∴=．AO OD ∴=．,AC BD ∴=∴四边形ABCD 是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件；④,DAO BAO BO DO ∠∠==，AO BD ∴⊥，即平行四边形ABCD 的对角线互相垂直，∴新四边形是矩形．符合条件．所以①②④符合条件．故选：C ．【点睛】本题考查特殊四边形的判定与性质，掌握矩形、平行四边形的判定与性质是解题的关键． 3．A解析：A【分析】因为△ABC为等边三角形，根据已知条件可推出Rt△ARP≌Rt△ASP，则AR＝AS，故②正确，∠BAP＝∠CAP，所以AP是等边三角形的顶角的平分线，故①正确，根据等腰三角形的三线合一的性质知，AP也是BC边上的高和中线，即点P是BC的中点，因为AQ＝PQ，所以点Q是AC的中点，所以PQ是边AB对的中位线，有PQ∥AB，故③正确，又可推出△BRP≌△QSP，故④正确．【详解】解：∵PR⊥AB于R，PS⊥AC于S∴∠ARP＝∠ASP＝90°∵PR＝PS，AP＝AP∴Rt△ARP≌Rt△ASP∴AR＝AS，故②正确，∠BAP＝∠CAP∴AP是等边三角形的顶角的平分线，故①正确∴AP是BC边上的高和中线，即点P是BC的中点∵AQ＝PQ∴点Q是AC的中点∴PQ是边AB对的中位线∴PQ∥AB，故③正确∵Q是AC的中点，∴QC=QP，∵∠C=60°，∴△QPC是等边三角形，∴PB=PC=PQ，∵PR＝PS，∠BRP＝∠QSP＝90°，∴△BRP≌△QSP，故④正确∴全部正确．故选：A．【点睛】本题利用了等边三角形的性质：三线合一，全等三角形的判定和性质，中位线的性质，熟练掌握上述性质和判定方法是解题的关键．4．B解析：B【分析】直接利用勾股定理得出DC的长，再利用角平分线的定义以及等腰三角形的性质得出BE的长，进而得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝DC，∵ED＝5，EC＝3，∴DC＝2222-=-=，ED EC534则AB＝4，∵AE平分∠BAD交BC于点E，∴∠BAE＝∠DAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE＝4，∴长方形的周长为：2×（4＋4＋3）＝22.故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等，解题关键是把握已知，整合已知得出等腰三角形，依据勾股定理求出线段长．5．B解析：B【分析】根据三角形中位线的性质，可得到这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，能证出有一个角等于90°，则这个四边形为矩形；【详解】如图，AC⊥BD，E、F、G、H分别为各边的中点，连接点E、F、G、H，∵点E、F、G、H，分别为各边的中点，∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD，∴∠EMO=∠ENO=90°，∴四边形EMON是矩形，∴∠MEN=90°，∴四边形EFGH是矩形；故选：B．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质、平行四边形的判定以及矩形的判定方法，正确掌握知识点是解题的关键．6．B解析：B【分析】证明四边形PQBE是矩形得PE=QB，证明△PEC是等腰直角三角形得PQ=BE便可求得结果【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∠ACB=1∠BCD=45°2∵PE⊥BC，PQ⊥AB，∴四边形PQBE是矩形，∴PQ=BE∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠PCE=45°，又∠PEC=90°∴△PEC是等腰直角三角形∴PE=CE∴PE+PQ=CE+BE=BC=3．故选：B．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的判定，关键是证明PE=CE，PQ=BE．7．B解析：B【分析】连接FG，根据菱形的性质和轴对称的性质可得∠A=60°，AE＝AF，BF＝BG，进而可证△AEF是等边三角形及△BFG是等腰三角形，根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质可求得EF和FG的长，且∠EFG=90°，根据勾股定理即可求得EG的长．【详解】解：连接FG，过点B作BH⊥FG于H，如图，∵菱形ABCD，∠ADC＝120°，∴∠A＝60°，∠ABC＝120°，∵点E 关于∠A 的平分线的对称点为F ，点F 关于∠B 的平分线的对称点为G ， ∴AE ＝AF=1，BF ＝BG ，∴△AEF 是等边三角形，∴∠AFE ＝60°，EF=AF=1∵BF ＝BG ，∴△BFG 是等腰三角形，∴∠GFB ＝1801202-=30°， ∴∠EFG ＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵BF ＝4﹣1＝3，∴BH=32，==， ∴FG ＝∴EG==故选：B ．【点睛】本题考查了菱形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的三边关系、勾股定理，属于常考基本题型，难度适中，充分利用轴对称的性质是解答的关键．8．B解析：B【分析】矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相平分，互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角，据此解答．【详解】A 、是菱形的性质，是矩形的性质，故本选项不符合题意；B 、是矩形的性质，不是菱形的性质，故本选项符合题意；C 、是菱形的性质，不是矩形的性质，故本选项不符合题意；D 、矩形、菱形的对角都相等，故本选项不符合题意；故选：B ．【点睛】此题考查矩形的性质，菱形的性质，熟记各自的性质特征是解题的关键．9．B解析：B【分析】延长CD ，作AF CD ⊥的延长线于点F ，构造出全等三角形，()ABE ADF AAS ≅，即可得到四边形ABCD 的面积就等于正方形AECF 的面积．【详解】解：如图，延长CD ，作AF CD ⊥的延长线于点F ，∵AE BC ⊥，∴90AEC AEB ∠=∠=︒，∵AF CD ⊥，∴90AFC ∠=︒，∵90C ∠=︒，∴四边形AECF 是矩形，∴90EAF ∠=︒，∵BAD EAF ∠=∠，∴BAD EAD EAF EAD ∠-∠=∠-∠，即BAE DAF ∠=∠，在ABE △和ADF 中，BAE DAF AEB AFD AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE ADF AAS ≅，∴AE AF =，∴四边形AECF 是正方形，∵ABE ADF S S ，∴216ABCD AECF S S AE ===．故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，正方形的性质和判定，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．10．B解析：B【分析】由题意易得AC ⊥BD ，OA=OC=OB=OD ，∠ADO=∠ABD=45°，AD=AB ，△ADE ≌△FDE ，则有2BE EF =，进而可得四边形AEFG 是平行四边形，然后根据等腰直角三角形的性质及线段的等量关系可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，OA=OC=OB=OD ，∠ADO=∠ABD=45°，AD=AB ，∵折叠正方形ABCD ，∴△ADE ≌△FDE ，∴∠ADE=∠FDE=22.5°，AD=DF ，AE=FE ，∠EFD=∠DAE=90°，故①正确；∴△EFB 是等腰直角三角形， ∴BE =， ∴AD AB AE ==+，故②错误； 由图可直接判定③错误；∵∠EFB=∠AOB=90°，∴OA ∥EF ，由折叠的性质可得：∠GFO=∠DAO=45°，∴∠GFO=∠ABO=45°，∴GF ∥AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∵AE=AF ，∴四边形AEFG 是菱形，故④正确；∵∠GFO=45°，∠AOB=90°，∴△GOF 是等腰直角三角形， ∴EF GF ==，∴2BE OG =，故⑤正确； ∵2112OGF S OG ∆==， ∴OG =∴2BE EF AE ===， ∴2AB =，∴()22212ABCD S AB ===+正方形⑥错误；∴正确的有三个；故选B ．【点睛】本题主要考查正方形的性质、菱形的判定及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、菱形的判定及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键． 11．C解析：C【分析】根据直角三角形的性质和等腰三角形的判定和性质即可得到结论．【详解】∵AB ⊥AF ，∴∠FAB=90°，∵点D是BC的中点，∴AD=BD=1BC=4，2∴∠DAB=∠B，∴∠ADE=∠B+∠BAD=2∠B，∵∠AEB=2∠B，∴∠AED=∠ADE，∴AE=AD，∴AE=AD=4，∵EF=7，EF⊥AF，∴AF=()2222-=-=3，AE EF47故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．12．A解析：A【解析】试题分析：剪拼如下图：乙故选A考点：剪拼，面积不变性，二次方根二、填空题13．或【分析】AC 作为直角边有两种情况需要分情况讨论画出图后进行计算【详解】解：情况一：延长AB 交CD 于E ∠BAC ＝45°∠CAD ＝90°所以AE 是等腰直角△ACD 的高线中线所以CE=DE 因为∠BAC ＝ 解析：5或13【分析】AC 作为直角边，有两种情况，需要分情况讨论，画出图后进行计算．【详解】解：情况一：延长AB 交CD 于E∠BAC ＝45°，∠CAD ＝90°所以AE 是等腰直角△ACD 的高线，中线所以，AE CD ⊥，CE=DE因为8AC ＝，AE CD ⊥，∠BAC ＝45°所以△ACE 也是等腰直角三角形，根据勾股定理，AE=CE=2所以BE=AE-AB=2-1=1又因为DE=CE=2，AE CD ⊥所以，BD=22145BE DE +=+=情况二：延长直线AB ，分别过C 、D 作垂线，交直线AB 于F 、E ．与情况一类似，可以证出CF=AF=2，BF=AF-AB=2-1=1所以，BE=EF-BF ；因为∠BAC ＝45°，CF AB ⊥所以，∠ACF ＝180°-∠BAC-∠F=45°因为△ACD 是等腰直角三角形，∠CAD ＝90°所以∠ACD ＝45°所以 ，∠FCD ＝∠ACD+∠ACF=45°+45°=90°又因为,DE AB CF AB ⊥⊥所以四边形DEFC 是矩形所以DE=CF=2，EF=DC ；因为在等腰直角△ACD 中，∠CAD ＝90°，8AC ＝ 所以，根据勾股定理，CD=4所以，BE=EF-BF=DC-BF=4-1=3因此，22223213BD DE BE =+=+=故答案为5或13．【点睛】这道题考察的是等腰直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质．熟练掌握这些知识点，画出辅助线，是解题的关键．14．12【分析】连接AC 交BD 于点O 先证EF 是△ACD 的中位线得EF ∥AC 再证四边形CAEG 是平行四边形得AC ＝EG 然后由勾股定理求出OA ＝OC ＝6即可解决问题【详解】解：连接AC 交BD 于点O 如图所示：解析：12【分析】连接AC ，交BD 于点O ，先证EF 是△ACD 的中位线，得EF ∥AC ，再证四边形CAEG 是平行四边形，得AC ＝EG ，然后由勾股定理求出OA ＝OC ＝6，即可解决问题．【详解】解：连接AC ，交BD 于点O ，如图所示：∵菱形ABCD 的边长为10，∴AD ∥BC ，AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝10，∵点E 、F 分别是边AD ，CD 的中点，∴EF 是△ACD 的中位线，∴EF ∥AC ，∴AC ∥EG∴四边形CAEG 是平行四边形，∴AC ＝EG ，∵AC 、BD 是菱形的对角线，BD ＝16，∴AC⊥BD，OB＝OD＝8，OA＝OC，在Rt△AOB中，AB＝10，OB＝8，∴OA＝OC22108=-=6，∴AC＝2OA＝12，∴EG＝AC＝12；故答案为：12．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理及勾股定理等知识；熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．15．【分析】根据题意采取割补法将图中梯形补成与中间的平行四边形一样大小的平行四边形并找到矩形ABCD与5个小平行四边形的面积关系即可得出结论【详解】解：如图所示过A作AK∥DE交CH的延长线于K过B作B解析：12 5【分析】根据题意，采取割补法，将图中梯形补成与中间的平行四边形一样大小的平行四边形，并找到矩形ABCD与5个小平行四边形的面积关系，即可得出结论．【详解】解：如图所示，过A作AK∥DE，交CH的延长线于K，过B作BR∥AF，交DE的延长线于R，过C作CS∥BG，交AF的延长线于S，过D作DT∥CH，交BG的延长线于T，∵H是AD的中点，∴AH=DH，∵AK∥DP，∴∠K=∠DPH，又∵∠AHK=∠DHP，∴△AKH≌△DPH（AAS），∴S△AKH=S△DPH，同理可得，S△BRE=S△AQE，S△CSF=S△BMF，S△DTG=S△CNG，∵AH∥CF，AH=CF，∴四边形AFCH是平行四边形，同理可得，四边形BGDE是平行四边形，∴QM∥PN，QP∥MN，∴四边形MNPQ是平行四边形，∵AK∥QP，AQ∥KP，∴四边形AQPK是平行四边形，又∵E是AB的中点，EQ∥BM，∴Q是AM的中点，∴AQ=MQ，∴S四边形AQPK=S四边形MNPQ，同理可得，S四边形BMQR=S四边形MNPQ，S四边形MNCS=S四边形MNPQ，S四边形DTNP=S四边形MNPQ，∴S四边形BMQR=S四边形MNCS=S四边形DTNP=S四边形AQPK=S四边形MNPQ，∴S四边形MNPQ=15S四边形ABCD=15×3×4=125故答案为：12 5【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是要利用矩形的性质，作出图形中的辅助线构造全等三角形，并找出矩形和平行四边形的面积之间的关系．16．【分析】如图作AF⊥x轴于FCE⊥x轴于E先证明△COE≌△OAF推出CE＝OFOE＝AF由此即可解决问题【详解】解：如图作AF⊥x轴于FCE⊥x轴于E∵四边形ABCO是正方形∴OA＝OC∠AOC＝解析：()3,1-【分析】如图作AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E，先证明△COE≌△OAF，推出CE＝OF，OE＝AF，由此即可解决问题．【详解】解：如图作AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E．∵四边形ABCO是正方形，∴OA＝OC，∠AOC＝90°，∵∠COE+∠AOF＝90°，∠AOF+∠OAF＝90°，∴∠COE＝∠OAF，在△COE和△OAF中，CEO AFO COE OAF OC OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COE ≌△OAF ，∴CE ＝OF ，OE ＝AF ，∵A （1，3），∴CE ＝OF ＝1，OE ＝AF ＝3，∴点C 坐标()3,1-， 故答案为：()3,1-．【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 17．【分析】根据已知和菱形的性质可分别求得ACAC1AC2的长从而得到规律根据规律求得第n 个菱形的边长【详解】解：连接DB 与AC 交于点M ∵四边形ABCD 是菱形∴AD ＝ABAC ⊥DB ∵∠DAB ＝60°∴△解析：()13n -【分析】根据已知和菱形的性质可分别求得AC ，AC 1，AC 2的长，从而得到规律，根据规律求得第n 个菱形的边长．【详解】解：连接DB ，与AC 交于点M ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝AB ．AC ⊥DB ，∵∠DAB ＝60°，∴△ADB 是等边三角形，∴DB ＝AD ＝1，∴BM ＝12，∴AM ＝2， ∴AC同理可得AC 1＝2，AC 2AC 1＝3，按此规律所作的第n 个菱形的边长为1n -，故答案为1n -．【点睛】此题主要考查菱形的性质以及学生探索规律的能力，熟练掌握菱形的性质是关键． 18．【分析】由正方形的性质得出∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°AB ＝AD ＝3由折叠的性质得出FC′＝FC ∠C′FE ＝∠CFE ＝60°∠FC′B′＝∠C ＝90°B′E ＝BE ∠B′＝∠B ＝90°求出∠DC′F解析：8-【分析】由正方形的性质得出∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AB ＝AD ＝3，由折叠的性质得出FC′＝FC ，∠C′FE ＝∠CFE ＝60°，∠FC′B′＝∠C ＝90°，B′E ＝BE ，∠B′＝∠B ＝90°，求出∠DC′F ＝30°，得出FC′＝FC ＝2DF ，求出DF ＝2，，则C′A ＝，AG ＝6，设EB ＝x ，则GE ＝2x ，得出方程，解方程即可．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AB ＝AD ＝3，由折叠的性质得：FC′＝FC ，∠C′FE ＝∠CFE ＝60°，∠FC′B′＝∠C ＝90°，B′E ＝BE ，∠B′＝∠B ＝90°，∴∠DFC′＝180°-60°-60°=60°，∴∠DC′F ＝30°，∴FC′＝FC ＝2DF ，∵DF ＋CF ＝CD ＝6，∴DF ＋2DF ＝6，解得：DF ＝2，∴∴C′A ＝∵∠AC′G=180°-30°-90°=60°，∠AGC′=90°-60°=30°，∴-6，设EB ＝E′B=x ，∵∠B′GE ＝∠AGC′＝30°，∴GE ＝2x ，则＋3x ＝6，解得：x ＝∴GE ＝故答案是：【点睛】本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握翻折变换和正方形的性质，根据题意得出方程是解决问题的关键． 19．56【分析】根据折叠的性质和长方形的性质以及三角形内角和解答即可【详解】解：∵把长方形纸片ABCD 沿折痕EF 折叠使点B 与点D 重合点A 落在点G 处∴∠G=∠A=90°∠GDE=∠B=90°∵∠DFG=6解析：56【分析】根据折叠的性质和长方形的性质以及三角形内角和解答即可．【详解】解：∵把长方形纸片ABCD 沿折痕EF 折叠，使点B 与点D 重合，点A 落在点G 处， ∴∠G=∠A=90°，∠GDE=∠B=90°，∵∠DFG=68°，∴∠GDF=∠G-∠DFG=90°-68°=22°，∴∠ADE=∠GDE-∠GDF=90°-22°=68°，∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-68°=22°，∴∠DEC=90°-∠EDC=90°-22°=68°，由折叠可得：∠FEB=∠FED ， ∴180180685622DEC BEF -∠-=︒︒︒∠==︒， 故答案为：56．【点睛】 此题考查翻折问题，关键是根据折叠前后图形全等和长方形性质解答．20．20【分析】根据三角形的中位线定理证明四边形EFGH 是平行四边形再证明EF ⊥EH 证得四边形EFGH 是矩形即可根据矩形的面积公式计算得出答案【详解】∵点EF 分别是边ABBC 的中点∴EF ∥ACEF=AC解析：20【分析】根据三角形的中位线定理，证明四边形EFGH 是平行四边形，再证明EF ⊥EH ，证得四边形EFGH 是矩形，即可根据矩形的面积公式计算得出答案．【详解】∵点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，∴EF ∥AC ，EF=12AC=4， 同理，HG ∥AC ，HG=12AC=4，EH ∥BD ，EH=12BD=5， ∴EF=HG ，EF ∥HG ，∴四边形EFGH 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，EF ∥AC ，∴EF ⊥BD ，∵EH ∥BD ，∴EF ⊥EH ，∴∠HEF=90°，∴四边形EFGH 是矩形，∴四边形EFGH 的面积=4520EF EH ⋅=⨯=,故答案为：20．【点睛】此题考查三角形的中位线性质定理，矩形的判定定理，能证得四边形是矩形是解题的关键 ．三、解答题21．（1）见解析；（2）四边形A 1BCE 是菱形，理由见解析．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到AB=BC ，∠A=∠C ，由旋转的性质得到A 1B=AB=BC ，∠A=∠A 1=∠C ，∠A 1BD=∠CBC 1，根据全等三角形的判定定理得到△BCF ≌△BA 1D ； （2）由旋转的性质得到∠A 1=∠A ，根据平角的定义得到∠DEC=180°-50=130º，根据四边形的内角和得到∠ABC=360°-∠A 1-∠C-∠A 1EC=180°-50=130º，证得四边形A 1BCE 是平行四边形，由于A 1B=BC ，即可得到四边形A 1BCE 是菱形．【详解】解：（1）证明：∵△ABC 是等腰三角形，∴AB=BC ，∠A=∠C ，∵将等腰△ABC 绕顶点B 逆时针方向旋转50度到△A 1BC 1的位置，∴A 1B=AB=BC ，∠A=∠A 1=∠C ，∠A 1BD=∠CBC 1，在△BCF 与△BA 1D 中，111A C AB BCA BD CBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△BCF ≌△BA 1D （ASA ）；（2）四边形A 1BCE 是菱形，理由：∵将等腰△ABC 绕顶点B 逆时针方向旋转50度到△A 1BC 1的位置，∴∠A 1=∠A ，∵∠ADE=∠A 1DB ，∴∠AED=∠A 1BD=50º，∴∠DEC=180°-50º=130º，∵∠C=50º，∴∠A 1=50º，∴∠A 1BC=360°-∠A 1-∠C-∠A 1EC=180°-50º=130º，∴∠A 1=∠C ，∠A 1BC=∠A 1EC ，∴四边形A 1BCE 是平行四边形，∴A 1B=BC ，∴四边形A 1BCE 是菱形．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．22．（1）见解析；（2）菱形ABCD 的周长52=【分析】（1）根据菱形和矩形的性质可证得BGF DEH △≌△，即可得证；（2）连接EG ，根据菱形的性质与平行四边形的判定与性质可得AB EG FH ==，利用勾股定理求出FH 的长，即可求解．【详解】（1）证明：四边形EFGH 是矩形，,//EH FG EH FG ∴=,GFH EHF ∴∠=∠180,180BFG GFH DHE EHF ∠=-∠∠=-∠，,BFG DHE ∴∠=∠四边形ABCD 是菱形，//,AD BC ∴,GBF EDH ∴∠=∠)BGF DEH AAS ∴≌（，;BG DE ∴=（2）解：连接EG ，四边形ABCD 是菱形，,//AD BC AD BC ∴=， E 为AD 中点，AE ED ∴=,BG DE =，,//AE BG AE BG ∴=，∴四边形ABGE 是平行四边形，,AB EG ∴=四边形EFGH 是矩形，,EG FH ∴=,AB FH ∴=5,12,90FG GH FGH ==∠=︒，2312513FH ∴=+=13,AB ∴=∴菱形ABCD 的周长52=．【点睛】本题考查特殊四边形的判定与性质，掌握菱形、矩形和平行四边形的判定与性质是解题的关键．23．（1）AD= 9；（2）FG=7.5【分析】（1）设CE 4x =，则BE 5x =，在Rt △CEG 和Rt △AGD 中，分别求得CG 3x =，()22159x -CG+GD=CD=15，构造方程求得x 的值，即可求解；（1）设HF y =，利用ADG AFG ADF SS S =+，构造方程求得y 的值，即可求解．【详解】 （1）∵CE ＝45BE ， ∴设CE 4x =，则BE 5x =， ∴BC=AD=CE+ BE 9x =，∵△AGE 是由△ABE 翻折得到的，∴GE= BE 5x =，AG=AB=15，在Rt △CEG 中，由勾股定理可知：3x ==，在Rt △AGD 中，由勾股定理可知：=，∵CG+GD=CD=15，∴315x +=，解得：1x =，AD 9=；（2）由（1）知：CG=3，GD=12，设HF y =，∵△AHF 是由△ADF 翻折得到的，∴HF=DF y =，∵ADG AFG ADF S S S =+，即111222DG AD AG FH DF AD ⨯=⨯+⨯， ∴129159y y ⨯=+，解得： 4.5y =，即DF 4.5=，∴FG=CD-CG-DF=15-3-4.5=7.5．【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．24．（1）见解析；（2）60°．【分析】（1）首先判定平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判定即可； （2）AE ＝OF ，四边形BFDE 是菱形，BE=BF ，可证△ABF ≌△OBF, ∠ABF=∠OBF, ∠FBO=∠OBF, ∠OBF=30°，即可求解．【详解】证明:(1)∵四边形ABCD 是矩形,∴ AD ∥BC,AD=BC,∴∠EDO=∠OBF,∵EF 垂直平分BD,∴BO=DO,∠EOD=∠BOF=90°,∴△DEO=△BFO(ASA)∴OE=OF,∴四边形EBFD 是平行四边形,又EF ⊥BD,∴四边形EBFD 是菱形;(2)∵四边形EBFD 是菱形,∴ED=EB又 AE ＝OF ，∠A=∠BOF∴△ABF ≌△OBF∴∠ABF=∠OBF,∵∠FBO=∠OBF,∴∠ABF =∠FBO=∠OBF,∴ ∠OBF=30°∴∠BDC=60°．【点睛】本题考查了菱形的性质和判定，掌握菱形的性质和判定是解题的关键．25．（1）见解析；（2）当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形，理由见解析；（3）ABC 满足ACB ∠为直角时，四边形AECF 是正方形，理由见解析．【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义得出32∠=∠，13∠=∠，得出EO=CO ，FO=CO ，即可得出结论；（2）先证明四边形AECF 是平行四边形，再由对角线相等，即可得出结论；（3）由//BC MN ，得出AOE ACB ∠=∠，当90ACB ∠=︒时，AC EF ⊥即可．【详解】（1）证明：如图，∵//BC MN ，∴32∠=∠．又∵CF 平分ACG ∠，∴12∠=∠，∴13∠=∠，∴FO CO =，同理，EO CO =，∴EO FO =．（2）解：当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形，证明如下：当点O 运动到AC 的中点时，AO CO =．又∵EO FO =，∴四边形AECF 是平行四边形，由（1）可知，FO CO =，∴AO CO EO FO ===，∴AO CO EO FO +=+，即AC EF =，∴四边形AECF 是矩形．（3）当点O 运动到AC 的中点时，且△ABC 满足∠ACB 为直角的直角三角形时，四边形AECF 是正方形．在（2）的条件下，ABC 满足ACB ∠为直角时，四边形AECF 是正方形．理由：由（2）知，当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形．∵//BC MN ，∴AOE ACB ∠=∠，当90ACB ∠=︒时，90AOE ∠=︒，即AC EF ⊥，∴四边形AECF 是正方形．【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的性质；熟练掌握平行线的性质和矩形、菱形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．26．（1）证明见解析；（2）AB ＝BC ，理由见解析；（3）能，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，理由见解析．【分析】（1）根据三角形的中位线得出DE ∥BF ，根据平行四边形的判定得出即可；（2）由三角形中位线定理和中点定义可得DE=BD ，根据菱形的判定得出即可； （3）由正方形的判定可得．【详解】解：（1）∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE ∥BF ，∵EF ∥AB ，∴四边形DBFE 是平行四边形；（2）AB ＝BC ，理由是：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE ＝12BC ，BD ＝12AB ， ∵AB ＝BC ，∴DE ＝BD ，又∵四边形DBFE 是平行四边形，∴四边形DBFE 是菱形，即当AB ＝BC 时，四边形DBFE 是菱形；（3）∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE＝12BC，BD＝12AB∵AB＝BC，∴DE＝BD，又∵四边形DBFE是平行四边形，∴四边形DBFE是菱形，∵∠ABC＝90°，∴菱形DBFE是正方形，即当∠ABC＝90°，AB＝BC时，四边形DBFE是正方形．【点睛】本题考查了正方形的判定，菱形的判定，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，灵活运用这些判定定理进行推理是解决本题的关键．。

《第1章 特殊平行四边形》一、选择题1．平行四边形ABCD 中，AC 、BD 是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD 是矩形，那么这个条件是（ ）A ．AB=BCB ．AC=BDC ．AC ⊥BD D ．AB ⊥BD2．在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1D 1、D 1E 1E 2B 2、A 2B 2C 2D 2、D 2E 3E 4B 3、A 3B 3C 3D 3…按如图所示的方式放置，其中点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3…在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…则正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长是（ ）A ．（）2014B ．（）2015C ．（）2015 D ．（）2014二、填空题 3．如图，▱ABCD 的对角线相交于点O ，请你添加一个条件 （只添一个即可），使▱ABCD 是矩形．4．如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边△ADE ，则∠BED 的度数是 ．5．如图，正方形ABCD 的边长为1，以对角线AC 为边作第二个正方形，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去，第n 个正方形的边长为 ．6．如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ．若∠CBF=20°，则∠AED 等于 度．7．边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC 的面积为 ．8．如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上．若△ABE 的面积为8，CE=3，则线段BE 的长为 ．9．正方形OA 1B 1C 1、A 1A 2B 2C 2、A 2A 3B 3C 3，按如图放置，其中点A 1、A 2、A 3在x 轴的正半轴上，点B 1、B 2、B 3在直线y=﹣x+2上，则点A 3的坐标为 ．10．已知E 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，AE=AD ，过点E 作AC 的垂线，交边CD 于点F ，那么∠FAD= 度．11．如图，要使平行四边形ABCD 是矩形，则应添加的条件是 （只填一个）．12．如图，正方形ABCD 的边长为a ，在AB 、BC 、CD 、DA 边上分别取点A 1、B 1、C 1、D 1，使AA 1=BB 1=CC 1=DD 1=a ，在边A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1上分别取点A 2、B 2、C 2、D 2，使A 1A 2=B 1B 2=C 1C 2=D 1D 2=A 1B 2，…．依次规律继续下去，则正方形A n B n C n D n 的面积为 ．13．如图，▱ABCD 中，AB ＞AD ，AE ，BE ，CM ，DM 分别为∠DAB ，∠ABC ，∠BCD ，∠CDA 的平分线，AE 与DM 相交于点F ，BE 与CM 相交于点N ，连接EM ．若▱ABCD 的周长为42cm ，FM=3cm ，EF=4cm ，则EM= cm ，AB= cm ．三、解答题14．如图，在△ABC 中，AB=BC ，BD 平分∠ABC ．四边形ABED 是平行四边形，DE 交BC 于点F ，连接CE ．求证：四边形BECD 是矩形．15．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），点B，D在直线y=x+1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB 的面积是2．求证：四边形ABCD是矩形．16．如图，在△ABC中，AB=AC，点D（不与点B重合）在BC上，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，BF．（1）求证：△AEF≌△BED．（2）若BD=CD，求证：四边形AFBD是矩形．17．正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF，BF，如图．（1）若α=0°，则DF=BF，请加以证明；（2）试画一个图形（即反例），说明（1）中命题的逆命题是假命题；（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由．18．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：BE=CE．（2）求∠BEC的度数．19．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．20．在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x轴正半轴的顶点坐标．21．如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．求证：四边形BCDE是矩形．22．已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）求矩形ADBE的面积．23．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．24．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AC，DE，AC=AB，DE∥AB．求证：四边形AECD是矩形．25．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE ⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．26．如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）求证：四边形BFDE为矩形．27．如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．28．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，∠B=30°，CE⊥AB，垂足为点E．若AD=1，AB=2，求CE的长．29．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．30．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．《第1章 特殊平行四边形》参考答案与试题解析一、选择题1．平行四边形ABCD 中，AC 、BD 是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD 是矩形，那么这个条件是（ ）A ．AB=BCB ．AC=BDC ．AC ⊥BD D ．AB ⊥BD【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判断．【解答】解：A 、是邻边相等，可得到平行四边形ABCD 是菱形，故不正确；B 、是对角线相等，可推出平行四边形ABCD 是矩形，故正确；C 、是对角线互相垂直，可得到平行四边形ABCD 是菱形，故不正确；D 、无法判断．故选B ．【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．2．在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1D 1、D 1E 1E 2B 2、A 2B 2C 2D 2、D 2E 3E 4B 3、A 3B 3C 3D 3…按如图所示的方式放置，其中点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3…在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…则正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长是（ ）A ．（）2014B ．（）2015C ．（）2015D ．（）2014【考点】正方形的性质．【专题】压轴题；规律型．【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．【解答】方法一：解：如图所示：∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…∴D 1E 1=B 2E 2，D 2E 3=B 3E 4，∠D 1C 1E 1=∠C 2B 2E 2=∠C 3B 3E 4=30°，∴D 1E 1=C 1D 1sin30°=，则B 2C 2=（）1，同理可得：B 3C 3==（）2，故正方形A n B n C n D n 的边长是：（）n ﹣1．则正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长是：（）2014． 故选：D ．方法二：∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，∴D 1E 1=B 2E 2=，∵B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…∴∠E 2B 2C 2=60°，∴B 2C 2=， 同理：B 3C 3=×=…∴a 1=1，q=，∴正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长=1×．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键．二、填空题3．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件AC=BD （只添一个即可），使▱ABCD 是矩形．【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．【专题】开放型．【分析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可．【解答】解：添加的条件是AC=BD，理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：AC=BD．【点评】本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．4．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是45°．【考点】正方形的性质；等边三角形的性质．【分析】根据正方形的性质，可得AB与AD的关系，∠BAD的度数，根据等边三角形的性质，可得AE与AD的关系，∠AED的度数，根据等腰三角形的性质，可得∠AEB与∠ABE的关系，根据三角形的内角和，可得∠AEB的度数，根据角的和差，可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵等边三角形ADE，∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，AB=AE，∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，故答案为：45°．【点评】本题考查了正方形的性质，先求出∠BAE的度数，再求出∠AEB，最后求出答案．5．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为（）n﹣1．【考点】正方形的性质．【专题】压轴题；规律型．【分析】首先求出AC、AE、HE的长度，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=1，∠B=90°，∴AC2=12+12，AC=；同理可求：AE=（）2，HE=（）3…，=（）n﹣1．∴第n个正方形的边长an故答案为（）n﹣1．【点评】该题主要考查了正方形的性质、勾股定理及其应用问题；应牢固掌握正方形有关定理并能灵活运用．6．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于65 度．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】根据正方形的性质得出∠BAE=∠DAE，再利用SAS证明△ABE与△ADE全等，再利用三角形的内角和解答即可．【解答】解：∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAE=∠DAE，在△ABE与△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴∠AEB=∠AED，∠ABE=∠ADE，∵∠CBF=20°，∴∠ABE=70°，∴∠AED=∠AEB=180°﹣45°﹣70°=65°，故答案为：65【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质得出∠BAE=∠DAE，再利用全等三角形的判定和性质解答．7．边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC的面积为．【考点】正方形的性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．【分析】过点C作CD和CE垂直正方形的两个边长，再利用正方形和等边三角形的性质得出CE的长，进而得出△ABC的面积即可．【解答】解：过点C作CD和CE垂直正方形的两个边长，如图∵一个正方形和一个等边三角形的摆放，∴四边形DBEC是矩形，∴CE=DB=，∴△ABC的面积=AB•CE=×1×=，故答案为：．【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形和等边三角形的性质得出BE和CE的长．8．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为 5 ．【考点】正方形的性质；三角形的面积；勾股定理．【分析】根据正方形性质得出AD=BC=CD=AB，根据面积求出EM，得出BC=4，根据勾股定理求出即可．【解答】解：过E作EM⊥AB于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∴EM=AD，BM=CE，∵△ABE的面积为8，∴×AB×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：BE===5，故答案为：5．【点评】本题考查了三角形面积，正方形性质，勾股定理的应用，解此题的关键是求出BC 的长，难度适中．9．正方形OA 1B 1C 1、A 1A 2B 2C 2、A 2A 3B 3C 3，按如图放置，其中点A 1、A 2、A 3在x 轴的正半轴上，点B 1、B 2、B 3在直线y=﹣x+2上，则点A 3的坐标为 （，0） ．【考点】正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征．【专题】压轴题；规律型．【分析】设正方形OA 1B 1C 1的边长为t ，则B 1（t ，t ），根据t 一次函数图象上点的坐标特征得到t=﹣t+2，解得t=1，得到B 1（1，1），然后利用同样的方法可求得B 2（，），B 3（，），则A 3（，0）．【解答】解：设正方形OA 1B 1C 1的边长为t ，则B 1（t ，t ），所以t=﹣t+2，解得t=1，得到B 1（1，1）；设正方形A 1A 2B 2C 2的边长为a ，则B 2（1+a ，a ），a=﹣（1+a ）+2，解得a=，得到B 2（，）；设正方形A 2A 3B 3C 3的边长为b ，则B 3（+b ，b ），b=﹣（+b ）+2，解得b=，得到B 3（，），所以A 3（，0）．故答案为（，0）．【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．10．已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE=AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD= 22.5 度．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】根据正方形的性质可得∠DAC=45°，再由AD=AE易证△ADF≌△AEF，求出∠FAD．【解答】解：如图，在Rt△AEF和Rt△ADF中，∴Rt△AEF≌Rt△ADF，∴∠DAF=∠EAF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠CAD=45°，∴∠FAD=22.5°．故答案为：22.5．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，求证Rt△AEF≌Rt△ADF是解本题的关键．11．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是∠ABC=90°或AC=BD（不唯一）（只填一个）．【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．【专题】开放型．【分析】根据矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形，②有一个角是直角的平行四边形是矩形，直接添加条件即可．【解答】解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形故添加条件：∠ABC=90°或AC=BD ．故答案为：∠ABC=90°或AC=BD ．【点评】本题主要应用的知识点为：矩形的判定． ①对角线相等且相互平分的四边形为矩形．②一个角是90度的平行四边形是矩形．12．如图，正方形ABCD 的边长为a ，在AB 、BC 、CD 、DA 边上分别取点A 1、B 1、C 1、D 1，使AA 1=BB 1=CC 1=DD 1=a ，在边A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1上分别取点A 2、B 2、C 2、D 2，使A 1A 2=B 1B 2=C 1C 2=D 1D 2=A 1B 2，…．依次规律继续下去，则正方形A n B n C n D n 的面积为 ．【考点】正方形的性质．【专题】压轴题；规律型．【分析】首先在Rt △A 1BB 1中，由勾股定理可求得正方形A 1B 1C 1D 1的面积=，然后再在Rt △A 2B 1B 2中，由勾股定理求得正方形A 2B 2C 2D 2的面积=，然后找出其中的规律根据发现的规律即可得出结论．【解答】解：在Rt △A 1BB 1中，由勾股定理可知； ==，即正方形A 1B 1C 1D 1的面积=；在Rt △A 2B 1B 2中，由勾股定理可知：==；即正方形A 2B 2C 2D 2的面积= …∴正方形A n B n C n D n 的面积=．故答案为：．【点评】本题主要考查的是正方形的性质和勾股定理的应用，通过计算发现其中的规律是解题的关键．13．如图，▱ABCD 中，AB ＞AD ，AE ，BE ，CM ，DM 分别为∠DAB ，∠ABC ，∠BCD ，∠CDA 的平分线，AE 与DM 相交于点F ，BE 与CM 相交于点N ，连接EM ．若▱ABCD 的周长为42cm ，FM=3cm ，EF=4cm ，则EM= 5 cm ，AB= 13 cm ．【考点】矩形的判定与性质；勾股定理的应用；平行四边形的性质；相似三角形的应用．【专题】综合题；压轴题．【分析】由条件易证∠AEB=∠AFD=∠DMC=90°．进而可证到四边形EFMN 是矩形及∠EFM=90°，由FM=3cm ，EF=4cm 可求出EM ．易证△ADF ≌△CBN ，从而得到DF=BN ；易证△AFD ∽△AEB ，从而得到4DF=3AF ．设DF=3k ，则AF=4k ．AE=4（k+1），BE=3（k+1），从而有AD=5k ，AB=5（k+1）．由▱ABCD 的周长为42cm 可求出k ，从而求出AB 长．【解答】解：∵AE 为∠DAB 的平分线，∴∠DAE=∠EAB=∠DAB ，同理：∠ABE=∠CBE=∠ABC ，∠BCM=∠DCM=∠BCD ，∠CDM=∠ADM=∠ADC ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠DAB=∠BCD ，∠ABC=∠ADC ，AD=BC ．∴∠DAF=∠BCN ，∠ADF=∠CBN ．在△ADF 和△CBN 中，．∴△ADF≌△CBN（ASA）．∴DF=BN．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°．∴∠EAB+∠EBA=90°．∴∠AEB=90°．同理可得：∠AFD=∠DMC=90°．∴∠EFM=90°．∵FM=3，EF=4，∴ME==5（cm）．∵∠EFM=∠FMN=∠FEN=90°．∴四边形EFMN是矩形．∴EN=FM=3．∵∠DAF=∠EAB，∠AFD=∠AEB，∴△AFD∽△AEB．∴=．∴=．∴4DF=3AF．设DF=3k，则AF=4k．∵∠AFD=90°，∴AD=5k．∵∠AEB=90°，AE=4（k+1），BE=3（k+1），∴AB=5（k+1）．∵2（AB+AD）=42，∴AB+AD=21．∴5（k+1）+5k=21．∴k=1.6．∴AB=13（cm）．故答案为：5；13．【点评】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性较强．三、解答题14．（2015•聊城）如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC 于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．【考点】矩形的判定．【专题】证明题．【分析】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC=90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD是矩形．【解答】证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD=CD．∵四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，BE=AD，∴BE=CD，∴四边形BECD是平行四边形．∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∴▱BECD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．15．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），点B，D在直线y=x+1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB 的面积是2．求证：四边形ABCD是矩形．【考点】矩形的判定；一次函数图象上点的坐标特征．【专题】证明题．【分析】首先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定该四边形为平行四边形，然后根据△ABE的面积得到整个四边形的面积和AD的长，根据平行四边形的面积计算方法得当DA⊥AB即可判定矩形．【解答】证明：作EF⊥AB于点F，∵AB∥CD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，在△ABE和△CDE中，，∴△ABE≌△CDE，∴AE=CE，∴四边形ABCD是平行四边形，∵A（2，n），B（m，n），易知A，B两点纵坐标相同，∴AB∥CD∥x轴，∴m﹣2=4，m=6，将B（6，n）代入直线y=x+1得n=4，∴B（6，4），∵CD=4=AB，△AEB的面积是2，∴EF=1，∵D（p，q），∴E（，），F（，4），∴+1=4，∴q=2，p=2，∴DA⊥AB，∴四边形ABCD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，解题的关键是了解有一个角是直角的平行四边形是矩形，难度不大．16．如图，在△ABC中，AB=AC，点D（不与点B重合）在BC上，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，BF．（1）求证：△AEF≌△BED．（2）若BD=CD，求证：四边形AFBD是矩形．【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）AAS或ASA证全等；（2）根据对角线互相平分的证明四边形AFBD是平行四边形，再根据等腰三角形三线合一证明∠ADB=90°，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得证．【解答】证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE=∠EDB，∵E为AB的中点，∴EA=EB，在△AEF和△BED中，，∴△AEF≌△BED（ASA）；（2）∵△AEF≌△BED，∴AF=BD，∵AF∥BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BD，∴四边形AFBD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，三角形全等的判定及性质，能够了解矩形的判定定理是解答本题的关键，难度不大．17．（2015•义乌市）正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF，BF，如图．（1）若α=0°，则DF=BF，请加以证明；（2）试画一个图形（即反例），说明（1）中命题的逆命题是假命题；（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；命题与定理；旋转的性质．【专题】压轴题．【分析】（1）利用正方形的性质证明△DGF≌△BEF即可；（2）当α=180°时，DF=BF．（3）利用正方形的性质和△DGF≌△BEF的性质即可证得是真命题．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD和四边形AEFG为正方形，∴AG=AE，AD=AB，GF=EF，∠DGF=∠BEF=90°，∴DG=BE，在△DGF和△BEF中，，∴△DGF≌△BEF（SAS），∴DF=BF；（2）解：图形（即反例）如图2，（3）解：补充一个条件为：点F在正方形ABCD内；即：若点F在正方形ABCD内，DF=BF，则旋转角α=0°．【点评】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，旋转的性质，命题和定理，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键，注意利用正方形的性质找三角形全等的条件．18．（2015•鄂州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：BE=CE．（2）求∠BEC的度数．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据正方形的性质，可得AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，根据正三角形的性质，可得AE=AD=DE，∠EAD=∠EDA=60°，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；（2）根据等腰三角形的性质，∠ABE=∠AEB，根据三角形的内角和定理，可得∠AEB，根据角的和差，可得答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°∵三角形ADE为正三角形∴AE=AD=DE，∠EAD=∠EDA=60°∴∠BAE=∠CDE=150°在△BAE和△CDE中，∴△BAE≌△CDE∴BE=CE；（2）∵AB=AD，AD=AE，∴AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，又∵∠BAE=150°，∴∠ABE=∠AEB=15°，同理：∠CED=15°∴∠BEC=60°﹣15°×2=30°．【点评】本题考查了正方形的性质，（1）利用了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质；（2）利用了等腰三角形的判定与性质，角的和差．19．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）先证出△ABP≌△CBP，得PA=PC，由于PA=PE，得PC=PE；（2）由△ABP≌△CBP，得∠BAP=∠BCP，进而得∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论；（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∴PC=PE；（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PE，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；（3）在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PC，∴∠DAP=∠AEP，∴∠DCP=∠AEP∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠AEP，即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出∠ABP=∠CBP是解题的关键．20．在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x轴正半轴的顶点坐标．【考点】正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征．【分析】分两种情况：①如图1，令x=0，则y=3，令y=0，则x=3，得到OA=OB=3，∠BAO=45°，根据DE⊥OA，推出DE=AE，由于四边形COED是正方形，得到OE=DE，等量代换得到OE=AE，即可得到结论；②如图2，由（1）知△OFC，△EFA是等腰直角三角形，由四边形CDEF是正方形，得到EF=CF，于是得到AF=OF=2OF，求出OA=OF+2OF=3，即可得到结论．【解答】解：分两种情况；①如图1，令x=0，则y=3，令y=0，则x=3，∴OA=OB=3，∴∠BAO=45°，∵DE⊥OA，∴DE=AE，∵四边形COED是正方形，∴OE=DE，∴OE=AE，∴OE=OA=，∴E（，0）；②如图2，由①知△OFC，△EFA是等腰直角三角形，∴CF=OF，AF=EF，∵四边形CDEF是正方形，∴EF=CF，∴AF=OF=2OF，∴OA=OF+2OF=3，∴OF=1，∴F（1，0）．【点评】本题考查了正方形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，正确的画出图形是解题的关键．21．如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．求证：四边形BCDE是矩形．【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】求出∠BAE=∠CAD，证△BAE≌△CAD，推出∠BEA=∠CDA，BE=CD，得出平行四边形BCDE，根据平行线性质得出∠BED+∠CDE=180°，求出∠BED，根据矩形的判定求出即可．【解答】证明：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD﹣∠BAC=∠CAE﹣∠BAC，∴∠BAE=∠CAD，∵在△BAE和△CAD中∴△BAE≌△CAD（SAS），∴∠BEA=∠CDA，BE=CD，∵DE=CB，∴四边形BCDE是平行四边形，∵AE=AD，∴∠AED=∠ADE，∵∠BEA=∠CDA，∴∠BED=∠CDE，∵四边形BCDE是平行四边形，∴BE∥CD，∴∠CDE+∠BED=180°，∴∠BED=∠CDE=90°，∴四边形BCDE是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质和判定，平行线的性质全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：有一个角是直角的平行四边形是矩形．22．已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）求矩形ADBE的面积．【考点】矩形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．【分析】（1）利用三线合一定理可以证得∠ADB=90°，根据矩形的定义即可证得；（2）利用勾股定理求得BD的长，然后利用矩形的面积公式即可求解．【解答】解：（1）∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵四边形ADBE是平行四边形．∴平行四边形ADBE是矩形；（2）∵AB=AC=5，BC=6，AD是BC的中线，∴BD=DC=6×=3，在直角△ACD中，AD===4，∴S=BD•AD=3×4=12．矩形ADBE【点评】本题考查了三线合一定理以及矩形的判定，理解三线合一定理是关键．23．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．【解答】解：（1）BD=CD．理由如下：依题意得AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEC中，，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=CD，∵AF=BD，∴BD=CD；（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB=AC，BD=CD（三线合一），∴∠ADB=90°，∴▱AFBD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．24．（2014•宁德）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AC，DE，AC=AB，DE∥AB．求证：四边形AECD是矩形．【考点】矩形的判定．【专题】证明题．【分析】先判断四边形AECD为平行四边形，然后由∠AEC=90°即可判断出四边形AECD是矩形．【解答】证明：∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形．∴AD=BE．∵点E是BC的中点，∴EC=BE=AD．∴四边形AECD是平行四边形．∵AB=AC，点E是BC的中点，∴AE⊥BC，即∠AEC=90°．∴▱AECD是矩形．【点评】本题考查了梯形和矩形的判定，难度适中，解题关键是掌握平行四边形和矩形的判定定理．25．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE ⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．【考点】矩形的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；正方形的判定．【专题】证明题；开放型．（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求证∠DAE=90°，【分析】可以证明四边形ADCE为矩形．（2）根据正方形的判定，我们可以假设当AD=BC，由已知可得，DC=BC，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得，四边形ADCE为正方形．【解答】（1）证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC，∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=∠CAE，∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=180°=90°，又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC=∠CEA=90°，∴四边形ADCE为矩形．（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．理由：∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°，∵AD⊥BC，∴∠CAD=∠ACD=45°，∴DC=AD，∵四边形ADCE为矩形，∴矩形ADCE是正方形．∴当∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．【点评】本题是以开放型试题，主要考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用．26．如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）求证：四边形BFDE为矩形．【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）由DE与AB垂直，BF与CD垂直，得到一对直角相等，再由ABCD为平行四边形得到AD=BC，对角相等，利用AAS即可的值；（2）由平行四边形的对边平行得到DC与AB平行，得到∠CDE为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形即可的值．【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠AED=∠CFB=90°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（AAS）；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，。

第一章特殊的平行四边形一．选择题（共6小题）1．如图，矩形ABCD中，BC＞AB，对角线AC、BD交于O点，且AC＝10，过B点作BE⊥AC 于E点，若BE＝4，则AD的长等于（）A．8 B．10 C．3D．42．如图，矩形ABCD中，BH⊥AC，DE∥BH交CB的延长线于点E，交AB于点G，P是DE上一点，∠BPD＝∠BCD，且G为PF的中点．则①AF＝CH；②AC＝3FH；③BE＝BG；④若AE＝，则FG＝3，以上结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝6，点E是边BC上一动点，B关于AE的对称点为B′，过B′作B′F⊥DC于F，连接DB′，若△DB′F为等腰直角三角形，则BE的长是（）A．6 B．3 C．3D．6﹣64．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD 的中点，则下列结论：①∠AME＝90°，②∠BAF＝∠EDB，③AM＝MF，④ME+MF＝MB．其中正确结论的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．如图，以△ABC的各边为边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG，对于四边形ADEG的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A．若△ABC为任意三角形，则四边形ADEG是平行四边形B．若∠BAC＝90°，则四边形ADEG是矩形C．若AC＝AB，则四边形ADEG是菱形D．若∠BAC＝135°且AC＝AB，则四边形ADEG是正方形6．如图是以KL所在的直线为对称轴的轴对称图形，六边形EFGHLK的各个内角相等，记四边形HCH′L、四边形EKE′A、△BGF的周长分别为C1、C2、C3，且C1＝2C2＝4C3，已知FG＝LK，EF＝6，则AB的长是（）A．9.5 B．10 C．10.5 D．11二．填空题（共7小题）7．已知菱形ABCD的周长为52cm，对角线AC＝10cm，则BD＝cm．8．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，对角线AC平分角∠BAD，点P是△ABC内一点，连接PA、PB、PC，若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则菱形ABCD的面积等于．9．如图，菱形ABCD和菱形BEFG的边长分别是5和2，∠A＝60°，连结DF，则DF的长为．10．如果从一个四边形一边上的点到对边的视角是直角，那么称该点为直角点．例如，如图的四边形ABCD中，点M在CD边上，连结AM、BM，∠AMB＝90°，则点M为直角点．若点E、F分别为矩形ABCD边AB、CD上的直角点，且AB＝5，BC＝，则线段EF的长为．11．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E、F分别在BC与CD上，且∠EAF＝45°（1）如图甲，若EA＝EF，则EF＝；（2）如图乙，若CE＝CF，则EF＝．12．在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，直线EF经过对角线BD的中点O分别交边AD、BC与点E、F，点G、H分别是OB、OD的中点，当四边形EGFH为矩形时，则BF的长．13．如图，已知矩形ABCD，AB＝8，AD＝4，E为CD边上一点，CE＝5，点P从B点出发，以每秒1个单位的速度沿着BA边向终点A运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒，则当t的值为时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形．三．解答题（共9小题）14．四边形ABCD是菱形，AC＝16，DB＝12，DH⊥AB于点H，求DH的长．15．菱形ABCD中，点P为CD上一点，连接BP．（1）如图1，若BP⊥CD，菱形ABCD边长为10，PD＝4，连接AP，求AP的长．（2）如图2，连接对角线AC、BD相交于点O，点N为BP的中点，过P作PM⊥AC于M，连接ON、MN．试判断△MON的形状，并说明理由．16．菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，已知AC＝8，BD＝6，求AB边上的高．17．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．18．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．19．在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AC边的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接CF．（1）如图1，求证：四边形ADCF是矩形；（2）如图2，当AB＝AC时，取AB的中点G，连接DG、EG，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形ADCF）．20．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的两条直线分别交边AB、CD、AD、BC于点E、F、G、H．【感知】如图①，若四边形ABCD是正方形，且AG＝BE＝CH＝DF，则S四边形AEOG＝S；正方形ABCD【拓展】如图②，若四边形ABCD是矩形，且S四边形AEOG＝S矩形ABCD，设AB＝a，AD＝b，BE＝m，求AG的长（用含a、b、m的代数式表示）；【探究】如图③，若四边形ABCD是平行四边形，且AB＝3，AD＝5，BE＝1，试确定F、G、H的位置，使直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．21．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、EF为邻边作▱ECFG．（1）证明▱ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连结BC、CG，求∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中点，求DM的长．22．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．（2）如图1，求AF的长．（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．如图，矩形ABCD中，BC＞AB，对角线AC、BD交于O点，且AC＝10，过B点作BE⊥AC 于E点，若BE＝4，则AD的长等于（）A．8 B．10 C．3D．4【分析】根据矩形的性质得出∠BAD＝90°，设AD＝BC＝a，AB＝DC＝b，求出a2+b2＝102，ab＝40，解方程组求出a即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，设AD＝BC＝a，AB＝DC＝b，∵AC＝10，BE⊥AC，BE＝4，∴a2+b2＝102，又∵S矩形ABCD＝2S△ABC∴ab＝2××10×4＝40，∵BC＞AB，解得：a＝4，b＝2，即AD＝4，故选：D．2．如图，矩形ABCD中，BH⊥AC，DE∥BH交CB的延长线于点E，交AB于点G，P是DE上一点，∠BPD＝∠BCD，且G为PF的中点．则①AF＝CH；②AC＝3FH；③BE＝BG；④若AE＝，则FG＝3，以上结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①利用矩形的性质，证明△AFD与△CHB全等，即可推出结论①正确；②先证明四边形PBHF为矩形，推出PB＝FH，再证明△AFG与△BPG全等，推出AF＝FH ＝CH，即可②正确；③假设结论成立，可推出∠BAC＝45°，BA＝BC，故矩形ABCD必为正方形，不符合题意，故③错误；④先证明△EPB与△BHC全等，推出EB＝BC，AB垂直平分EC，求出AC的长度，再证△ABH与△BCH相似，求出BH的长度，最后证△AFG与△AHB相似，即可求出GF的长度为2，故④错误．【解答】解：①∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠BCD＝∠ABC＝90°，∴∠DAF＝∠BCH，∵BH⊥AC，∴∠BHC＝∠BHA＝90°，∴△AFD≌△CHB（AAS），∴AF＝CH．故①正确；②由①知，∠PFH＝∠BHF＝90°，∵∠BPD＝∠BCD＝90°，∴∠BPD＝∠PFH＝∠BHF＝90°，∴四边形PBHF为矩形，∴PB＝FH，PB∥FH，∵∠AFG＝∠BPG＝90°，FG＝PG，∠AGF＝∠BGP，∴△AFG≌△BPG（ASA），∴BP＝AF，∴AF＝FH，由①知，AF＝CH，∴AF＝FH＝CH，∴AC＝3FH，故②正确；③假设BE＝BG，∵∠EBG＝90°，∴∠E＝∠BGE＝45°，在Rt△EFC中，∠FCB＝90°﹣45°＝45°，∴∠BAC＝45°，∴BA＝BC，∴矩形ABCD必为正方形，不符合题意，故③错误；④∵DE∥BH，∴∠PEB＝∠HBC，由②知，四边形PBFH为矩形，PB＝FH＝CH，∴∠EPB＝∠BHC＝90°，∴△EPB≌△BHC（AAS），∴EB＝BC，∵∠ABC＝90°，∴AB垂直平分EC，∴AC＝AE＝6，由②知，AF＝FH＝HC，∴AF＝FH＝HC＝AC＝2，∴AH＝4，∵∠BHC＝∠AHB＝90°，∴∠BAH+∠ABH＝90°，∠ABH+∠HBC＝90°，∴∠BAH＝∠HBC，∴△ABH∽△BCH，∴＝，即＝，∴BH＝4，∵DE∥BH，∴△AFG∽△AHB，∴＝，即＝，∴CF＝2，故④错误，故选：B．3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝6，点E是边BC上一动点，B关于AE的对称点为B′，过B′作B′F⊥DC于F，连接DB′，若△DB′F为等腰直角三角形，则BE的长是（）A．6 B．3 C．3D．6﹣6【分析】如图作B′H⊥AD于H交BC于M．首先证明四边形DFB′H是正方形，设边长为x，则AH＝6﹣x，HB′＝x，在Rt△AHB′中，根据AB′2＝AH2+HB′2，构建方程求出x，再利用相似三角形的性质解决问题即可；【解答】解：如图作B′H⊥AD于H交BC于M．∵∠B′HD＝∠HDF＝∠DFB′＝90°，∴四边形DFB′H是矩形，∵FD＝FB′，∴四边形DFB′H是正方形，设边长为x，则AH＝6﹣x，HB′＝x，在Rt△AHB′中，∵AB′2＝AH2+HB′2，∴62＝（6﹣x）2+x2，解得x＝3，∴B′M＝CF＝6﹣3，∵△AHB′∽△B′ME，∴＝，∴＝，∴EB′＝6﹣6，∴BE＝B′E＝6﹣6，故选：D．4．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD 的中点，则下列结论：①∠AME＝90°，②∠BAF＝∠EDB，③AM＝MF，④ME+MF＝MB．其中正确结论的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据正方形的性质可得AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，再根据中点定义求出AE＝BF，然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF＝∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF＝∠BAD＝90°，从而求出∠AMD＝90°，再根据邻补角的定义可得∠AME＝90°，得出①正确；根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判断出②错误；设正方形ABCD的边长为2a，利用勾股定理列式求出AF，再根据似三角形对应边成比例求出AM，然后求出MF，消掉a即可得到AM＝MF，判断出③正确；如图，过点M作MN⊥AB于N，于是得到＝＝，得到NB ＝AB﹣AN＝2a﹣a＝a，根据勾股定理得到BM＝＝a，于是得到结论．【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，∵E、F分别为边AB，BC的中点，∴AE＝BF＝BC，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴∠BAF＝∠ADE，∵∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，∴∠ADE+∠DAF＝∠BAD＝90°，∴∠AMD＝180°﹣（∠ADE+∠DAF）＝180°﹣90°＝90°，∴∠AME＝180°﹣∠AMD＝180°﹣90°＝90°，故①正确；∵DE是△ABD的中线，∴∠ADE≠∠EDB，∴∠BAF≠∠EDB，故②错误；设正方形ABCD的边长为2a，则BF＝a，在Rt△ABF中，AF＝＝a，∵∠BAF＝∠MAE，∠ABC＝∠AME＝90°，∴△AME∽△ABF，∴＝，即＝，解得：AM＝a，∴MF＝AF﹣AM＝a﹣a＝a，∴AM＝MF，故③正确；设正方形ABCD的边长为2a，则BF＝a，在Rt△ABF中，AF＝＝a，∵∠BAF＝∠MAE，∠ABC＝∠AME＝90°，∴△AME∽△ABF，∴＝，即＝，解得：AM＝a，∴MF＝AF﹣AM＝a﹣a＝a，∴AM＝MF，故③正确；如图，过点M作MN⊥AB于N，则＝＝，即＝＝，解得MN＝a，AN＝a，∴NB＝AB﹣AN＝2a﹣a＝a，根据勾股定理，BM＝＝a，∵ME+MF＝a+a＝a，MB＝a＝a，∴ME+MF＝MB．综上所述，正确的结论有①③④共3个．故选：B．5．如图，以△ABC的各边为边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG，对于四边形ADEG的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A．若△ABC为任意三角形，则四边形ADEG是平行四边形B．若∠BAC＝90°，则四边形ADEG是矩形C．若AC＝AB，则四边形ADEG是菱形D．若∠BAC＝135°且AC＝AB，则四边形ADEG是正方形【分析】根据全等三角形的判定定理SAS证得△BDE≌△BAC，由△BDE≌△BAC，可得全等三角形的对应边DE＝AG．然后利用正方形对角线的性质、周角的定义推知∠EDA+∠DAG ＝180°，易证ED∥GA，即可判断A；求出∠DAG＝135°，根据矩形的判定即可判断B；然后由周角的定义求得∠BAC＝135°；根据AD＝AC＝和菱形的判定即可判断C；根据正方形的判定即可判断D．【解答】解：A、∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，，∴△BDE≌△BAC（SAS），∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC，∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°，∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等），正确，故本选项不符合题意；B、∵四边形ABDI和四边形ACHG是正方形，∴∠DAI＝45°，∠GAC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，∵四边形ADEG是平行四边形，∴四边形ADEG不是矩形，错误，故本选项符合题意；C、∵四边形ADEG是平行四边形，∴若要四边形ADEG是菱形，则需AD＝AG，即AD＝AC．∵AD＝AB，∴当AB＝AD，即AB＝AC时，四边形ADEG是菱形，正确，故本选项不符合题意；D、∵当∠BAC＝135°时，∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣135°＝90°，即平行四边形ADEG是平行四边形，∵当AB＝AD，即AB＝AC时，四边形ADEG是菱形，∴四边形ADEG是正方形，即当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形，正确，故本选项不符合题意；故选：B．6．如图是以KL所在的直线为对称轴的轴对称图形，六边形EFGHLK的各个内角相等，记四边形HCH′L、四边形EKE′A、△BGF的周长分别为C1、C2、C3，且C1＝2C2＝4C3，已知FG＝LK，EF＝6，则AB的长是（）A．9.5 B．10 C．10.5 D．11【分析】根据六边形EFGHLK的各个内角相等，即可得出△BFG，△AEK，△CHL都是等边三角形，由轴对称可得，四边形HCH′L、四边形EKE′A都是菱形，再根据C1＝2C2＝4C3，FG＝LK，EF＝6，即可得到AB＝BF+EF+AE＝11．【解答】解：∵六边形EFGHLK的各个内角相等，∴该六边形的每个内角为120°，每个外角都是60°，∴△BFG，△AEK，△CHL都是等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°，BF＝FG，AE＝AK，CL＝HL，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，即BF+FE+AE＝AK+KL+CL，又∵BF＝FG＝KL，∴EF＝CL＝6＝CH，由轴对称可得，四边形HCH′L、四边形EKE′A都是菱形，∵C1＝2C2，∴AE＝CH＝3，又∵2C2＝4C3，∴C3＝C2＝×12＝6，∴BF＝×6＝2，∴AB＝BF+EF+AE＝2+6+3＝11，故选：C．二．填空题（共7小题）7．已知菱形ABCD的周长为52cm，对角线AC＝10cm，则BD＝24 cm．【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，BD＝2DO，AO＝OC＝AC＝5cm，AD＝AB＝BC＝CD ＝13cm，根据勾股定理求出OD即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BD＝2DO，AO＝OC＝AC＝＝5cm，∵菱形ABCD的周长为52cm，∴AD＝AB＝BC＝CD＝×52cm＝13cm，在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD2＝AO2+0D2，即OD＝＝12（cm），∴BD＝2OD＝24cm，故答案为：24．8．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，对角线AC平分角∠BAD，点P是△ABC内一点，连接PA、PB、PC，若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则菱形ABCD的面积等于50．【分析】将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AM，连接PM，想办法证明∠APH＝30°，利用勾股定理求出AB的平方即可解决问题．【解答】解：将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AM，连接PM，作AH⊥BP于H．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵AM＝AP，∠MAP＝60°，∴△AMP是等边三角形，∵∠MAP＝∠BAC，∴∠MAB＝∠PAC，∴△MAB≌△PAC，∴BM＝PC＝10，∵PM2+PB2＝100，BM2＝100，∴PM2+PB2＝BM2，∴∠MPB＝90°，∵∠APM＝60°，∴∠APB＝150°，∠APH＝30°，∴AH＝PA＝3，PH＝3，BH＝8+3，∴AB2＝AH2+BH2＝100+48，∴菱形ABCD的面积＝2•△ABC的面积＝2××AB2＝50+72，故答案为50+72．9．如图，菱形ABCD和菱形BEFG的边长分别是5和2，∠A＝60°，连结DF，则DF的长为．【分析】延长FG交AD于点M，过点D作DH⊥AB交AB于点H，交GF的延长线于点N，由菱形的性质和勾股定理再结合已知条件可求出NF，DN的长，在直角三角形DNF中，再利用勾股定理即可求出DF的长．【解答】解：延长FG交AD于点M，过点D作DH⊥AB交AB于点H，交GF的延长线于点N，∵四边形ABCD和四边形BEFG都是菱形，∴GF∥BE，EF∥AM，∴四边形AMFE是平行四边形，∴AM＝EF＝2，MF＝AE＝AB+BE＝5+2＝7，∴DM＝AD﹣AM＝5﹣2＝3，∵∠A＝60°，∴∠DAH＝30°，∴MN＝DM＝，∴DN＝＝，NF＝MF﹣MN＝，在Rt△DNF中，DF＝＝，故答案为：．10．如果从一个四边形一边上的点到对边的视角是直角，那么称该点为直角点．例如，如图的四边形ABCD中，点M在CD边上，连结AM、BM，∠AMB＝90°，则点M为直角点．若点E、F分别为矩形ABCD边AB、CD上的直角点，且AB＝5，BC＝，则线段EF的长为或．【分析】作FH⊥AB于点H，利用已知得出△ADF∽△FCB，进而得出＝，求得构造的直角三角形的两条直角边即可得出答案．【解答】解：作FH⊥AB于点H，连接EF．∵∠AFB＝90°，∴∠AFD+∠BFC＝90°，∵∠AMD+∠DAM＝90°，∴∠DAF＝∠BFC又∵∠D＝∠C，∴△ADF∽△FCB，∴＝，即＝，∴FC＝2或3．∵点F，E分别为矩形ABCD边CD，AB上的直角点，∴AE＝FC，∴当FC＝2时，AE＝2，EH＝1，∴EF2＝FH2+EH2＝（）2+12＝7，∴EF＝．当FC＝3时，此时点E与点H重合，即EF＝BC＝，综上，EF＝或．故答案为：或．11．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E、F分别在BC与CD上，且∠EAF＝45°（1）如图甲，若EA＝EF，则EF＝；（2）如图乙，若CE＝CF，则EF＝7﹣4．．【分析】（1）已知EA＝EF，∠EAF＝45°，由三角形的内角和得∠AEF＝90°，∠AEB+∠FEC＝90°，又因∠BAE+∠AEB＝90°，等量代换得∠BAE＝∠CEF，从而证明△ABE≌△ECF；EF的长可由勾股定理求出．（2）作辅助线FM和EN，已知△CEF，构建两个等腰△DEM，△BEN可求出线段DF，AM，FC，BE和AN的长；证明△ANE∽△FMA，再由两个三角形相似的性质求出相似比，解出x 的值，由勾股定理（或三角函数）求出EF的长．【解答】解：（1）如图甲所示：∵EA＝EF，∴△AEF是等腰直角形，∠EAF＝∠EFA，∵∠EAF＝45°，∴∠EFA＝45°，又∵在△AEF中，∠EAF+∠EFA+∠AEF＝180°，∴∠AEF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，又∵∠AEB+∠AEF+∠FEC＝180°，∴∠AEB+∠FEC＝90°，又∵△ABE中，∠B+∠BAE+∠AEB＝180°，∠B＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，在△ABE和△ECF中，∴△ABE≌△ECF（AAS）∴AB＝EC，BE＝CF，又∵AB＝3，BC＝4，∴EC＝3，CF＝1，在Rt△CEF中，由勾股定理得：＝＝故答案为．（2）如图乙所示：作DM＝DF，BN＝BE，分别交AD，AB于点M和点N，设MD＝x，∵四边形ABCDA是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，∴∠BNE＝45°，∠DMF＝90°，又∵∠BNE+∠ENA＝180°，∠FMD+∠FMA＝180°，∴∠ENA＝135°，∠FMA＝135°，又∵∠EAF＝45°，∠BAD＝∠BAE+∠EAF+∠FAD＝90°，∴∠BAE+∠FAD＝45°，∵∠BAE+∠NEA＝45°，在△ANE和△FMA中，∴△ANE∽△FMA（AA）∴；又∵MD＝x，∴DF＝x，∵CE＝CF，AB＝3，BC＝4，∴FC＝EC＝3﹣x，BE＝AB＝x+1，AN＝2﹣x，∴，解得：2﹣4，或﹣2﹣4（舍去），∴FC＝3﹣（）＝7﹣2，∴EF＝FC＝（7﹣2）＝7﹣4．故答案为7﹣4．12．在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，直线EF经过对角线BD的中点O分别交边AD、BC与点E、F，点G、H分别是OB、OD的中点，当四边形EGFH为矩形时，则BF的长或．【分析】根据矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，可求出对角线的长，再由点G、H分别是OB、OD的中点，可得GH＝BD，从而求出GH的长，若四边形EGFH为矩形时，EF＝GH，可求EF的长，通过作辅助线，构造直角三角形，由勾股定理可求出MF的长，最后通过设未知数，列方程求出BF的长．【解答】解：如图：过点E作EM⊥BC，垂直为M，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，∴AB＝EM＝CD＝2，AD＝BC＝6，∠A＝90°，OB＝OD，在Rt△ABD中，BD＝，又∵点G、H分别是OB、OD的中点，∴GH＝BD＝，当四边形EGFH为矩形时，GH＝EF＝，在Rt△EMF中，FM＝＝，易证△BOF≌△DOE（AAS），∴BF＝DE，∴AE＝FC，设BF＝x，则FC＝6﹣x，由题意得：x﹣（6﹣x）＝，或（6﹣x）﹣x＝，∴x＝或x＝，故答案为：或．13．如图，已知矩形ABCD，AB＝8，AD＝4，E为CD边上一点，CE＝5，点P从B点出发，以每秒1个单位的速度沿着BA边向终点A运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒，则当t的值为2或时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形．【分析】根据矩形的性质得出CD＝AB＝8，BC＝AD＝4，求出AP＝8﹣t，DE＝3，由勾股定理求出AE＝5，PE2＝EF2+PF2＝42+（5﹣t）2，分为两种情况：①当AE＝PE时，②当AP ＝PE时，求出即可．【解答】解：根据题意得：BP＝t，∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝4，∴CD＝AB＝8，BC＝AD＝4，∴AP＝8﹣t，DE＝DC﹣CE＝8﹣5＝3，由勾股定理得：AE＝＝5，过E作EF⊥AB于F，则∠EFA＝∠EFB＝90°，∵∠C＝∠B＝90°，∴四边形BCEF是矩形，∴BF＝CE＝5，BC＝EF＝4，∴PF＝5﹣t，由勾股定理得：PE2＝EF2+PF2＝42+（5﹣t）2，①当AE＝PE时，52＝42+（5﹣t）2，解得：t＝2，t＝8，∵t＝8不符合题意，舍去；②当AP＝PE时，（8﹣t）2＝42+（5﹣t）2，解得：t＝，即当t的值为2或时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形，故答案为：2或．三．解答题（共9小题）14．四边形ABCD是菱形，AC＝16，DB＝12，DH⊥AB于点H，求DH的长．【分析】先根据菱形的性质得OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，再利用勾股定理计算出AB＝10，然后根据菱形的面积公式得到•AC•BD＝DH•AB，再解关于DH的方程即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝8，OB＝OD＝6，AC⊥BD，在Rt△AOB中，AB＝＝10，∵S菱形ABCD＝•AC•BD，S菱形ABCD＝DH•AB，∴DH•10＝×12×16，∴DH＝．15．菱形ABCD中，点P为CD上一点，连接BP．（1）如图1，若BP⊥CD，菱形ABCD边长为10，PD＝4，连接AP，求AP的长．（2）如图2，连接对角线AC、BD相交于点O，点N为BP的中点，过P作PM⊥AC于M，连接ON、MN．试判断△MON的形状，并说明理由．【分析】（1）在RT△BCP中利用勾股定理求出PB，在RT△ABP中利用勾股定理求出PA 即可．（2）如图2中，延长PM交BC于E．先证明PD＝BE，再利用三角形中位线定理证明MN ＝BE，ON＝PD即可．【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，AB∥CD∵PD＝4，∴PC＝6，∵PB⊥CD，∴PB⊥AB，∴∠CPB＝∠ABP＝90°，在RT△PCB中，∵∠CPB＝90°PC＝6，BC＝10，∴PB＝＝＝8，在RT△ABP中，∵∠ABP＝90°，AB＝10，PB＝8，∴PA＝＝＝2．（2）△OMN是等腰三角形．理由：如图2中，延长PM交BC于E．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，CB＝CD，∵PE⊥AC，∴PE∥BD，∴＝，∴CP＝CE，∴PD＝BE，∵CP＝CE，CM⊥PE，∴PM＝ME，∵PN＝NB，∴MN＝BE，∵BO＝OD，BN＝NP，∴ON＝PD，∴ON＝MN，∴△OMN是等腰三角形．16．菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，已知AC＝8，BD＝6，求AB边上的高．【分析】首先利用菱形的性质得出AB的长，再利用菱形面积求法得出DE的长．【解答】解：∵菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，BO＝3，∠AOB＝90°，∴AB＝5，∴×6×8＝DE×AB，解得：DE＝，即AB边上的高为：．17．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．【分析】（1）根据已知条件证明AE＝CF，从而根据SAS可证明两三角形全等；（2）先证明DE＝BE，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C，∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝AB，CF＝CD，∴AE＝CF，在△ADE和△CBF中，∵，∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）∵∠G＝90°，AG∥BD，AD∥BG，∴四边形AGBD是矩形，∴∠ADB＝90°，在Rt△ADB中∵E为AB的中点，∴AE＝BE＝DE，∵DF∥BE，DF＝BE，∴四边形DEBF是平行四边形，∴四边形DEBF是菱形．18．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC ＝180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC＝90°，根据矩形的判定得出即可；（2）求出∠FDC的度数，根据三角形内角和定理求出∠DCO，根据矩形的性质得出OD＝OC，求出∠CDO，即可求出答案．【解答】（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵∠ADC＝90°，∠ADF：∠FDC＝3：2，∴∠FDC＝36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，∵四边形ABCD是矩形，∴CO＝OD，∴∠ODC＝∠DCO＝54°，∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．19．在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AC边的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接CF．（1）如图1，求证：四边形ADCF是矩形；（2）如图2，当AB＝AC时，取AB的中点G，连接DG、EG，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形ADCF）．【分析】（1）由△AEF≌△CED，推出EF＝DE，又AE＝EC，推出四边形ADCF是平行四边形，只要证明∠ADC＝90°，即可推出四边形ADCF是矩形．（2）四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠EDC，∵E是AC中点，∴AE＝EC，在△AEF和△CED中，，∴△AEF≌△CED，∴EF＝DE，∵AE＝EC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCF是矩形．（2）∵线段DG、线段GE、线段DE都是△ABC的中位线，又AF∥BC，∴AB∥DE，DG∥AC，EG∥BC，∴四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形．20．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的两条直线分别交边AB、CD、AD、BC于点E、F、G、H．【感知】如图①，若四边形ABCD是正方形，且AG＝BE＝CH＝DF，则S四边形AEOG＝S；正方形ABCD【拓展】如图②，若四边形ABCD是矩形，且S四边形AEOG＝S矩形ABCD，设AB＝a，AD＝b，BE＝m，求AG的长（用含a、b、m的代数式表示）；【探究】如图③，若四边形ABCD是平行四边形，且AB＝3，AD＝5，BE＝1，试确定F、G、H的位置，使直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．【分析】【感知】如图①，根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论；【拓展】如图②，过O作ON⊥AD于N，OM⊥AB于M，根据图形的面积得到mb＝AG•a，于是得到结论；【探究】如图③，过O作KL⊥AB，PQ⊥AD，则KL＝2OK，PQ＝2OQ，根据平行四边形的面积公式得到＝，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．【解答】解：【感知】如图①，∵四边形ABCD是正方形，∴∠OAG＝∠OBE＝45°，OA＝OB，在△AOG与△BOE中，，∴△AOG≌△BOE，∴S四边形AEOG＝S△AOB＝S正方形ABCD；故答案为：；【拓展】如图②，过O作ON⊥AD于N，OM⊥AB于M，∵S△AOB＝S矩形ABCD，S四边形AEOG＝S矩形ABCD，∴S△AOB＝S四边形AEOG，∵S△AOB＝S△BOE+S△AOE，S四边形AEOG＝S△AOG+S△AOE，∴S△BOE＝S△AOG，∵S△BOE＝BE•OM＝m b＝mb，S△AOG＝AG•ON＝AG•a＝AG•a，∴mb＝AG•a，∴AG＝；【探究】如图③，过O作KL⊥AB，PQ⊥AD，则KL＝2OK，PQ＝2OQ，∵S平行四边形ABCD＝AB•KL＝AD•PQ，∴3×2OK＝5×2OQ，∴＝，∵S△AOB＝S平行四边形ABCD，S四边形AEOG＝S平行四边形ABCD，∴S△AOB＝S四边形AEOG，∴S△BOE＝S△AOG，∵S△BOE＝BE•OK＝×1×OK，S△AOG＝AG•OQ，∴×1×OK＝AG•OQ，∴＝AG＝，∴当AG＝CH＝，BE＝DF＝1时，直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．21．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、EF为邻边作▱ECFG．（1）证明▱ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连结BC、CG，求∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中点，求DM的长．【分析】（1）平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线的性质证明∠CEF ＝∠CFE，根据等角对等边可得CE＝CF，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形，即可解决问题；（2）先判断出∠BEG＝120°＝∠DCG，再判断出AB＝BE，进而得出BE＝CD，即可判断出△BEG≌△DCG（SAS），再判断出∠CGE＝60°，进而得出△BDG是等边三角形，即可得出结论；（3）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可得DM＝BM，∠DMC＝∠BME，再根据∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°可得到△BDM是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）证明：，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD，∴△BEG≌△DCG（SAS），∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形，∴∠BDG＝60°；（3）如图2中，连接BM，MC，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝6，AD＝8，∴BD＝10，∴DM＝BD＝5．22．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．（2）如图1，求AF的长．（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．【分析】（1）证△AEO≌△CFO，推出OE＝OF，根据平行四边形和菱形的判定推出即可；（2）设AF＝CF＝a，根据勾股定理得出关于a的方程，求出即可；（3）①只有当P运动到B点，Q运动到D点时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，求出时间t，即可求出答案；②分为三种情况，P在AF上，P在BF上，P 在AB上，根据平行四边形的性质求出即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，∵AC的垂直平分线EF，∴AO＝OC，AC⊥EF，在△AEO和△CFO中∵，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE＝OF，∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴平行四边形AECF是菱形；（2）解：设AF＝acm，∵四边形AECF是菱形，∴AF＝CF＝acm，∵BC＝8cm，∴BF＝（8﹣a）cm，在Rt△ABF中，由勾股定理得：42+（8﹣a）2＝a2，a＝5，即AF＝5cm；（3）解：①在运动过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，只有当P运动到B点，Q运动到D点时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，P点运动的时间是：（5+3）÷1＝8，Q的速度是：4÷8＝0.5，即Q的速度是0.5cm/s；②分为三种情况：第一、P在AF上，∵P的速度是1cm/s，而Q的速度是0.8cm/s，∴Q只能在CD上，此时当A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；第二、当P在BF上时，Q在CD或DE上，只有当Q在DE上时，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形才有可能是平行四边形，如图，∵AQ＝8﹣（0.8t﹣4），CP＝5+（t﹣5），∴8﹣（0.8t﹣4）＝5+（t﹣5），t＝，第三情况：当P在AB上时，Q在DE或CE上，此时当A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；即t＝．。

一、选择题1．在一个四边形ABCD 中依次连接各边的中点得到的四边形是矩形，则对角线AC 与BD 需要满足的条件是（ ） A ．垂直 B ．相等 C ．垂直且相等D ．不再需要条件2．正方形具有而矩形没有的性质是（ ） A ．对角线互相平分 B ．每条对角线平分一组对角 C ．对角线相等 D ．对边相等 3．如图，O 是菱形ABCD 的对角线,AC BD 的交点，E ，F 分别是,OA OC 的中点给出下列结论：①ADEEODSS=；②四边形BFDE 也是菱形；③四边形ABCD 的面积大小等于EF BD ⋅；④ADE EDO ∠=∠；⑤是轴对称图形．其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4．下列说法中正确的是（ ） A ．对角线互相垂直的四边形是菱形 B ．有一个角是直角的平行四边形是正方形 C ．有两个角相等的四边形是平行四边形 D ．平移和旋转都不改变图形的形状和大小5．如图，正方形ABCD ，对角线,AC BD 相交于点O ，过点D 作ODC ∠的角平分线交OC 于点G ，过点C 作CF DG ⊥，垂足为F ，交BD 于点E ，则:ADGBCESS的比为（ ）A ．21):1B ．(221):1-C ．2∶1D ．5∶26．如图，四边形ABCD 中，90A B ∠=∠=︒，60C ∠=°，2CD AD =，4AB =，点P 是AB 上一动点，则PC PD +的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．107．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90ABC ∠=︒，2AB =，点D 是边AC 的中点，连接BD ，点E 为AC 延长线上的一点，连接BE ，30E ∠=︒，则CE 的长为（ ）A ．2622-B ．62-C ．6D ．28．如图，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，连结AD ，把ACD △沿AD 翻折，得到ADC '，DC '与AB 交于点E ，连结BC '，若2BD BC ='=，3AD =，则点D 到AC '的距离为（ ）A 33B ．3217C 7D 139．如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB 、点F 是AD 的中点，作CE ⊥AB 垂足E 在线段AB 上，连接 EF 、CF ，则下列结论：①2BCD DCF ∠=∠；②EF ＝CF ； ③S △BCE ＝S △CEF ；④∠DFE ＝3∠AEF ．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AC =8，BD =6，则菱形的周长等于（ ）A ．40B ．47C ．24D ．20 11．下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的是（ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形12．如图，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点D （5，3）在边AB 上，以C 为中心，把CDB 旋转90°，则旋转后点D 的对应点D 的坐标是（ ）A ．（2，10）B ．（﹣2，0）C ．（2，10）或（﹣2，0）D ．（10，2）或（﹣2，0）二、填空题13．如图，正方形ABCD ，对角线AC ，BD 交于点O ，以OD ，OC 为一组邻边做正方形1DOCC ；CD ，1OC 交于点1O ，以1O D ，11O C 为一组邻边做正方形112DO C C ；1C D ，12O C 交于点2O ，以2O D ，22O C 为一组邻边做正方形223DO C C ……．若1AB =，则1n n n DO C C S +正方形的值为_____．14．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC=4，P为AB边上一动点，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的最小值为___________．15．如图，矩形ABOC的顶点B、C分别在x轴、y轴上，顶点A在第一象限，点B的坐标为（3，0），将线段OC绕点O顺时针旋转60°至线段OD，若反比例函数k yx（k≠0）的图象进过A、D两点，则k值为_____．16．我们把两条对角线所成两个角的大小之比是1：2的矩形叫做“和谐矩形”，如果一个“和谐矩形”的对角线长为10cm，则矩形的面积为_____cm2．17．如下图，在平面直角坐标系中有一边长为l的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y 轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB l为边作第三个正方形OB l B2C2，照此规律作下去，则点B2020的纵坐标为_______．18．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 在DA 的延长线上，BE BF ⊥交CD 于点F ，连接EF ．DEF ∠的角平分线与BD 交于点H ，连接FH ．过点D 分别作DQ EH ⊥于点Q 、DP FH ⊥于点P ，连接PQ PQ ．若1PQ CF ==，则DF =______．19．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ︒∠=，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到'',A B C M ∆是BC 的中点，P 是''A B 的中点，连接PM ，若4,30BC BAC ︒=∠=，则线段PM 的最大值是__________．20．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别是边AB ，CD 上的点，且60CFE ∠=︒．将四边形BCFE 沿EF 翻折，得到B C FE ''，点C '恰好落在AD 边上，B C''交AB于点G，则GE的长是_______．三、解答题21．在正方形ABCD中，点E、F分别在BC边和CD上，且满足AEF是等边三角形,连接AC交EF于点G．=；（1）求证：CE CF（2）若等边AEF边长为2，求AC的长．22．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，ABO是等边三角AB=，求ABCD的面积．形，423．如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，BC=12cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始以每秒4cm的速度运动到B点，动点E也同时从点C开始沿射线CM方向以每秒2cm的速度运动．（1）问动点D运动多少秒时，△ABD≌△ACE，并说明理由；（2）设动点D运动时间为x秒，请用含x的代数式来表示△ABD的面积S；（3）动点D运动多少秒时，△ABD与△ACE的面积比为4：1．24．综合与实践已知四边形ACBD与AEFG均为正方形．数学思考：（1）如图1，当点E在AB边上，点G在AD边上时，线段BE与DG的数量关系是______，位置关系是______．（2）在图1的基础上，将正方形AEFG以点A为旋转中心，逆时针旋转角度α，得到图2，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；拓展探索：（3）如图3，若点D，E，G在同一直线上，且222==，则线段BE长为AB AE_____．（直接写出答案即可，不要求写过程）．25．如图，在ABC中，90B，CE垂直于AB于点E，D是AB∠=，30ACB︒的中点．=；（1）求证：AE EDAC=，求DE的长．（2）若226．如图，正方形ABCD的边AB在数轴上，数轴上点A表示的数为-1，正方形ABCD的面积为16.（1）数轴上点B表示的数为；A B C D，移动后的正方形（2）将正方形ABCD沿数轴水平移动，移动后的正方形记为''''A B C D与原正方形ABCD重叠部分的面积记为S.''''① 当S =4时，画出图形，并求出数轴上点'A表示的数；AA的中点，点F在线段② 设正方形ABCD的移动速度为每秒2个单位长度，点E为线段'BB上，且. 经过t秒后，点E，F所表示的数互为相反数，求出t的值.'【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据题意画出相应的图形，如图所示，由四边形EFGH为矩形，根据矩形的四个角为直角得到∠FEH＝90°，又EF为三角形ABD的中位线，根据中位线定理得到EF与DB平行，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠EMO＝90°，同理根据三角形中位线定理得到EH与AC 平行，再根据两直线平行，同旁内角互补得到∠AOD＝90°，根据垂直定义得到AC与BD垂直．【详解】解：如图，∵四边形EFGH是矩形，∴∠FEH＝90°，又∵点E、F、分别是AD、AB边的中点，∴EF是三角形ABD的中位线，∴EF∥BD，∴∠FEH＝∠OMH＝90°，又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，∴EH是三角形ACD的中位线，∴EH∥AC，∴∠OMH＝∠COB＝90°，即AC⊥BD．故选：A．【点睛】此题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质．这类题的一般解法是：借助图形，充分抓住已知条件，找准问题的突破口，由浅入深多角度，多侧面探寻，联想符合题设的有关知识，合理组合发现的新结论，围绕所探结论环环相加，步步逼近，所探结论便会被“逼出来”．2．B解析：B【分析】首先要知道正方形和矩形的性质，正方形是四边相等的矩形，正方形对角线平分对角，且对角线互相垂直．【详解】解：A、正方形和矩形对角线都互相平分，故A不符合题意，B、正方形对角线平分对角，而矩形对角线不平分对角，故B符合题意，C、正方形和矩形对角线都相等，故C不符合题意，D、正方形和矩形的对边都相等，故D不符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查正方形对角线相互垂直平分相等的性质和长方形对角线平分相等性质的比较．3．C解析：C【分析】①正确，根据三角形的面积公式可得到结论．②根据已知条件利用菱形的判定定理可证得其正确．③正确，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求得．④不正确，根据已知可求得∠FDO＝∠EDO，而无法求得∠ADE＝∠EDO．⑤正确，由已知可证得△DEO≌△DFO，从而可推出结论正确．【详解】解：①正确∵E 、F 分别是OA 、OC 的中点． ∴AE ＝OE ．∵S △ADE 12=⨯AE ×OD 12=⨯OE ×OD ＝S △EOD ∴S △ADE ＝S △EOD ． ②正确∵四边形ABCD 是菱形，E ，F 分别是OA ，OC 的中点． ∴EF ⊥OD ，OE ＝OF ． ∵OD ＝OB ．∴四边形BFDE 是菱形． ③正确∵菱形ABCD 的面积12=AC ×BD ． ∵E 、F 分别是OA 、OC 的中点．∴EF 12=AC ． ∴菱形ABCD 的面积＝EF ×BD ． ④不正确由已知可求得∠FDO ＝∠EDO ，而无法求得∠ADE ＝∠EDO ． ⑤正确∵EF ⊥OD ，OE ＝OF ，OD ＝OD ． ∴△DEO ≌△DFO ． ∴△DEF 是轴对称图形．∴正确的结论有四个，分别是①②③⑤， 故选：C ． 【点睛】此题主要考查学生对菱形的性质等知识的理解及运用能力．4．D解析：D 【分析】根据平行四边形，菱形，正方形的判定，依据平移旋转的性质一一判断即可． 【详解】解：A 、对角线互相垂直的四边形是菱形，错误．应该是对角线互相垂直平分的四边形是菱形，本选项不符合题意．B 、有一个角是直角的平行四边形是正方形，错误．应该是有一个角是直角且邻边相等的平行四边形是正方形，本选项不符合题意．C 、有两个角相等的四边形是平行四边形，错误，可能是等腰梯形．本选项不符合题意．D 、平移和旋转都不改变图形的形状和大小，正确，【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，平移变换，旋转变换的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．A解析：A 【分析】由题意先证得DE DC =和()DOG COE ASA ∆≅∆，设2AD DC a ==，进而可用含a 的式子表示出线段AG 和BE 的长，要求:ADG BCE S S ∆∆的比值即求AG 和BE 的比值，代入即可求解． 【详解】 解：正方形ABCD ，AD DC ∴=，45ODC OCD OAD ∠=∠=∠=︒，90DOC BOC ∠=∠=︒，OD OC =， DF 平分ODC ∠，22.5EDF CDF ∴∠=∠=︒， CF DG ⊥，67.5DEF DCF ∴∠=∠=︒，67.54522.5OCE ∴∠=︒-︒=︒，DE DC =， OCE ODG ∴∠=，又OD OC =，90DOC BOC ∠=∠=︒，()DOG COE ASA ∴∆≅∆，OG OE ∴=，设2AD DC a ==，则有OA OB =，2DE a =，BD =，2)BE BD DE a ∴=-=，2AG AO OG a =+=，12ADG S AG OD ∆=，12BCE S BE OC ∆=，OD OC =，::2:2)1):1ADG BCE S S AG BE a a ∆∆∴===，故选：A ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的定义以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是将两个三角形的面积比转化成两条线段的比，综合性较强．6．C解析：C 【分析】作D 点关于AB 的对称点D '，连接CD '交AB 于P ，根据两点之间线段最短可知此时PC +PD 最小；再作D 'E ⊥BC 于E ，则EB =D 'A =AD ，先根据等边对等角得出∠DCD '=∠DD 'C ，然后根据平行线的性质得出∠D 'CE =∠DD 'C ，从而求得∠D 'CE =∠DCD '，得出∠D 'CE =30°，根据30°角的直角三角形的性质求得D 'C =2D 'E =2AB ，即可求得PC +PD 的最小值．作D点关于AB的对称点D'，连接CD'交AB于P，P即为所求，此时PC+PD=PC+PD'=CD'，根据两点之间线段最短可知此时PC+PD最小．作D'E⊥BC于E，则EB=D'A=AD．∵CD=2AD，∴DD'=CD，∴∠DCD'=∠DD'C．∵∠DAB=∠ABC=90°，∴四边形ABED'是矩形，∴DD'∥EC，D'E=AB=4，∴∠D'CE=∠DD'C，∴∠D'CE=∠DCD'．∵∠DCB=60°，∴∠D'CE=30°，∴在Rt△D'CE中，D'C=2D'E=2×4=8，∴PC+PD的最小值为8．故选：C．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，轴对称的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质等，确定出P点是解答本题的关键．7．B解析：B根据等腰直角三角形和三角形内角和性质，得45A ACB ∠=∠=︒，即AB BC =，再根据勾股定理的性质计算，得AC ；根据直角三角形斜边中线的性质，得AD CD BD ==；结合30E ∠=︒，根据含30角的直角三角形的性质，得BE ，最后根据勾股定理计算，即可得到答案． 【详解】∵ABC 是等腰直角三角形，2AB = ∴90ABC ∠=︒，∴45A ACB ∠=∠=︒， ∴2AB BC == ，∴AC ==∵ABC 是等腰直角三角形，D 是AC 的中点，∴AD CD BD ===90BDC ∠=︒，∵30E ∠=︒，∴2BE BD == ，∴DE ==∴CE DE CD =-=故选：B ． 【点睛】本题考查了等腰三角形、三角形内角和、勾股定理、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、三角形内角和、勾股定理、直角三角形的性质，从而完成求解．8．B解析：B 【分析】过点D 作DF ⊥BC'，垂足为F ，过点A 作AG ⊥BC'，交BC'的延长线于G ，则四边形ADFG 是矩形，计算AC '的长，后利用三角形ADC 'M 面积 的不同计算方法计算即可. 【详解】如图，过点D 作DF ⊥BC'，垂足为F ，过点A 作AG ⊥BC'，交BC'的延长线于G ，∵把ACD △沿AD 翻折，得到ADC '， ∴DC=DC '，∠ADC=∠A DC '， ∵D 是BC 边上的中点， ∴DC=BD ， ∵2BD BC ='=， ∴DC '=2BD BC ='=，∴BDC '是等边三角形，∴∠ADC=∠A DC '=∠B DC '=∠DC 'B=60°， ∴BG ∥AD ，∵DF ⊥BC'，AG ⊥BC'， ∴四边形ADFG 是矩形， ∴BF=FC'=1，FG=AD=3，222221BD BF -=-3，∴3GC '=2， ∴AC '22222(3)AG GC '+=+7，设点D 到AC '的距离为h ， ∴1122AC h AD DF '=， ∴1173322h =⨯， ∴h=3217， 故选B. 【点睛】本题考查了三角形的折叠问题，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，矩形的判定，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握折叠的性质，矩形的判定，三角形面积不同表示方法是解题的关键.9．C解析：C 【分析】由在平行四边形ABCD 中，AD=2AB ，F 是AD 的中点，证明AF=FD=CD ，继而证得①2BCD DCF ∠=∠；然后延长EF ，交CD 延长线于M ，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF ≌△DMF （ASA ），可得EF MF =，再证明90ECM ∠=︒，从而可判断②；由,CBECEF S S=可得：13CBEABCDSS =，可得：2,3BE AB =与已知不符，从而可判断③；设∠FEC=x ，则∠FCE=x ，再分别表示∠EFD=9018022703x x x ︒-+︒-=︒-，∠AEF=90,M FCM x ∠=∠=︒-从而可判断④． 【详解】解：①∵F 是AD 的中点， ∴AF=FD ， ∵在▱ABCD 中， AD=2AB ， ∴AF=FD=CD ， ∴∠DFC=∠DCF ， ∵AD ∥BC ， ∴∠DFC=∠FCB ， ∴∠DCF=∠BCF ，∴∠BCD 2DCF =∠，故①正确； ②延长EF ，交CD 延长线于M ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ， ∴∠A=∠MDF ， ∵F 为AD 中点， ∴AF=FD ，在△AEF 和△DFM 中，A FDM AF DFAFE DFM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AEF ≌△DMF （ASA ），∴FE=MF ，∠AEF=∠M ， ∵CE ⊥AB ， ∴∠AEC=90°， ∴∠AEC=∠ECD=90°， ∵FM=EF ，∴EF=CF ，故②正确； ③∵EF=FM ，EFCCFMSS∴=，若,CBECEFS S=则13CBEABCDSS =11,23BE EC AB EC ∴= 32,BE AB ∴= 2,3BE AB ∴=与已知条件不符， 故CBECEFSS=不一定成立，故③错误；④设∠FEC=x ，,EF CF = ∴∠FCE=x ，∴∠DCF=∠DFC=90x ︒-，∠EFC=1802x ︒-， ∴∠EFD=9018022703x x x ︒-+︒-=︒-， ∵∠AEF=90,M FCM x ∠=∠=︒- ∴∠DFE=3∠AEF ，故④正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题关键．10．D解析：D 【分析】根据菱形的性质可求得BO 、AO 的长，AC ⊥BD ，根据勾股定理可求出AB ，进而可得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB =BC =CD =DA ，132==BO BD ，142AO AC ==，AC ⊥BD ，则在Rt△ABO中，根据勾股定理得：5AB=，∴菱形ABCD的周长=4×5=20．故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理，属于基础题目，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．11．D解析：D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．【详解】矩形是中心对称图形，也是轴对称，该选项不符合题意；菱形是中心对称图形，也是轴对称，该选项不符合题意；正方形是中心对称图形，也是轴对称，该选项不符合题意；平行四边形中心对称图形，但不一定是轴对称，该选项符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．12．C解析：C【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可．【详解】解：∵点D（5，3）在边AB上，∴BC＝5，BD＝5﹣3＝2，①若顺时针旋转，则点D在x轴上，O D＝2，所以，D（﹣2，0），②若逆时针旋转，则点D到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，所以，D（2，10），综上所述，点D的坐标为（2，10）或（﹣2，0）．故选：C．【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，正方形的性质，难点在于分情况讨论．二、填空题13．【分析】依题意得由从而可得同理继而可得……依此规律作答【详解】解：在正方形中同理∵∴∵……故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质全等三角形的性质及求三角形的面积等知识正确理解正方形的对角线把正方形解析：+112n【分析】依题意，得1ABCD S =正方形，由ABC DOC 142DOCDOCD C S SS S==正方形正方形，，从而可得11122DOCC ABCD S S ==正方形正方形，同理，111S 4DO C DOCC S =正方形，11112S 2DO C DO C C S=正方形，继而可得 112121111S 2222DO C C DOCC S ==⨯=正方形正方形 ，22112S 4DO C DO C C S =正方形，22223S 2DO C DO C C S=正方形，2231121S 2DO C C DO C C S ==正方形正方形23111222⨯=……，依此规律作答【详解】解：在正方形ABCD 中，,,AC BD AO BO CO DO AB BC CD DA ⊥======，AOB BOC COD DOA ∴≌≌≌，AOBBOCCODDOAS∴=S=S=SS 4DOCABCD S∴=正方形，1S 2DOCDOCC S=正方形，11S 2DOCC ABCD S ∴=正方形正方形，同理∵111S 4DO C DOCC S =正方形，11112S 2DO C DO C C S=正方形∴112121111S 2222DO C C DOCC S ==⨯=正方形正方形 ， ∵22112S 4DO C DO C C S =正方形，22223S 2DO C DO C C S=正方形223112231111S 2222DO C C DO C C S ==⨯=正方形正方形， ……111S 2n n n DO C C n ∴++=正方形， 故答案为：112n + 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质及求三角形的面积等知识，正确理解正方形的对角线把正方形分成面积相等的四个全等三角形是解题的关键14．【分析】以PAPC 为邻边作平行四边形PAQC 由平行四边形的性质可知O 是AC 中点PQ 最短也就是PO 最短所以应该过O 作AB 的垂线PO 然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ 的最小值【详解】解：∵四边形A解析：【分析】以PA ，PC 为邻边作平行四边形PAQC ，由平行四边形的性质可知O 是AC 中点，PQ 最短也就是PO 最短，所以应该过O 作A B 的垂线PO ，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ 的最小值． 【详解】解：∵四边形APCQ 是平行四边形， ∴AO=CO ，OP=OQ ， ∵PQ 最短也就是PO 最短， ∴过点O 作OP´⊥AB 于P´， ∵∠BAC=45°∴∠AP´O 是等腰直角三角形， ∴222,P A P O AO P A P O ''''==+ ∵AO=12AC=2， ∴OP´=22AO = ∴PQ 与AB 垂直时，PQ 最小，最小值为PQ= 2OP´= 22 故答案为：22.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是做高线等腰直角三角形.15．4【分析】过点D 作DH ⊥x 轴于H 四边形ABOC 是矩形由性质有AB ＝CO ∠COB ＝90°将OC 绕点O 顺时针旋转60°OC ＝OD ∠COD ＝60°可得∠DOH ＝30°设DH ＝x 点D （xx ）点A （2x ）反比解析：3【分析】过点D 作DH ⊥x 轴于H ，四边形ABOC 是矩形，由性质有AB ＝CO ，∠COB ＝90°， 将OC 绕点O 顺时针旋转60°，OC ＝OD ，∠COD ＝60°，可得∠DOH ＝30°， 设DH ＝x ，点D 3，x ），点A 3，2x ），反比例函数ky x=（k ≠0）的图象经过A 、D 两点，构造方程求出即可．【详解】解：如图，过点D作DH⊥x轴于H，∵四边形ABOC是矩形，∴AB＝CO，∠COB＝90°，∵将线段OC绕点O顺时针旋转60°至线段OD，∴OC＝OD，∠COD＝60°，∴∠DOH＝30°，∴OD＝2DH，OH3，设DH＝x，∴点D3，x），点A32x），∵反比例函数kyx=（k≠0）的图象经过A、D两点，∴3×x3x，∴x＝2，∴点D（32），∴k＝3＝3故答案为：3【点睛】本题考查反比例函数解析式问题，关键利用矩形的性质与旋转找到AB＝CO＝OD，∠DOH ＝30°，DH＝x，会用x表示点D3，x），点A3，2x），利用A、D在反比例函数kyx=（k≠0）的图象上，构造方程使问题得以解决．16．25【分析】根据和谐矩形的性质求出∠ADB＝30°由含30°角的直角三角形的性质求出ABAD的长即可得出答案【详解】解：∵四边形ABCD是和谐矩形∴OA＝OCOB＝ODAC＝BD＝10∠BAD＝90解析：3【分析】根据“和谐矩形”的性质求出∠ADB＝30°，由含30°角的直角三角形的性质求出AB、AD的长，即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是“和谐矩形”，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝10，∠BAD＝90°，∠CAD：∠BAC＝1：2，∴OA＝OD，∠CAD＝30°，∠BAC＝60°，∴∠ADB＝∠CAD＝30°，∴AB＝1BD＝5，AD＝2∴矩形ABCD的面积＝AB×AD＝cm2）；故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质、新定义、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．17．【分析】首先求出B1B2B3B4B5B6B7B8B9的坐标找出这些坐标的之间的规律然后根据规律计算出点B2020的坐标【详解】解：∵正方形OABC边长为1∴OB=∵正方形OBB1C1是正方形OABC解析：10102-【分析】首先求出B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9的坐标，找出这些坐标的之间的规律，然后根据规律计算出点B2020的坐标．【详解】解：∵正方形OABC边长为1，∴，∵正方形OBB1C1是正方形OABC的对角线OB为边，∴OB1=2，∴B1点坐标为（0，2），同理可知OB2，B2点坐标为（-2，2），同理可知OB3=4，B3点坐标为（-4，0），B4点坐标为（-4，-4），B5点坐标为（0，-8），B6（8，-8），B7（16，0）B8（16，16），B9（0，32），由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形倍，∵2020÷8=252…4，∴B2020的纵横坐标符号与点B4的相同，横坐标为负值，纵坐标是负值，∴B2020的坐标为（-21010，-21010）．故答案为：10102-．【点睛】本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变倍，此题难度较大．18．1+【分析】延长DQ 交EF 于M 延长DP 交EF 于N 先证∆ABE ≌∆CBF∆FPN ≌∆FPD∆EQD ≌∆EQM 设CD=x 则DF=x-1EF=BF=列方程求解即可【详解】解：延长DQ 交EF 于M 延长DP 交E解析：【分析】延长DQ 交EF 于M ，延长DP 交EF 于N ，先证∆ABE ≌∆CBF ，∆FPN ≌∆FPD ，∆EQD ≌∆EQM ，设CD=x ，则DF=x-1，【详解】解：延长DQ 交EF 于M ，延长DP 交EF 于N ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABC=∠BAD=∠BCF=90°，BD 平分∠ADC ，∵BE ⊥BF ，∴∠EBF=90°，∴∠EBF=∠ABC ，∴∠EBF-∠ABF=∠ABC-∠ABF ，∴∠ABE=∠CBF ，在∆ABE 和∆CBF 中，BAE BCF AB CBABE CBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴∆ABE ≌∆CBF ，∴AE=CF ，BE=BF ，∵EQ 平分∠DEF ，OD 平分∠EDF ，EQ 与OD 交于H ，∴FH 平分∠EFD ，∴EP ⊥DP ，∴∠FPN=∠FPD ，在∆FPN 和∆FPD 中，NFP DFP PF PFFPN FPD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴∆FPN ≌∆FPD ，∴PN=PD ，NF=DF ，∵EQ 平分∠DEF ，∴∠DEQ=∠MEQ ，∵EQ ⊥DQ ，∴∠EQD=∠EQM=90°，在∆EQD 和∆EQM 中，DEQ EQ EQ MQEQD EQM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴∆EQD ≌∆EQM ，∴DQ=MQ ，EM=ED ，∴PQ 是∆DMN 的中位线，∴PQ=12MN=1， ∴MN=2，∴EF+MN=EM+FN=DE+DF=AD+AE+CD-CF=2CD ，设CD=x ，则DF=x-1，∴∴，∴2x²+2=4x²-8x+4，∴2x²-8x+2=0，∴x²-4x+1=0，∴(x-2) ²=3，∴122,2x x ==(舍)，∵∴故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质及三角形的中位线定理，解题的关键是熟练掌握有关性质及正确添加辅助线．19．【分析】如图连接PC由直角三角形性质和旋转性质可得A′B′=AB=8PC=4根据PM≤PC+CM可得PM≤6由此即可解决问题【详解】解：如图连接PC在Rt△ABC中∵∠A=30°BC=4∴AB=8根解析：6【分析】如图，连接PC，由直角三角形性质和旋转性质可得A′B′=AB=8，PC=4，根据PM≤PC+CM，可得PM≤6，由此即可解决问题．【详解】解：如图，连接PC，在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=4，∴AB=8，根据旋转不变性可知，A′B′=AB=8，∵P 是 A'B' 的中点，∴A′P=PB′=PC，∴PC=1A′B′=4，2∵CM=BM=2，∵PM≤PC+CM，即PM≤6，∴PM的最大值为6（此时P、C、M共线），故答案是：6．【点睛】本题考查旋转变换、含30度角的直角三角形性质、直角三角形斜边中线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考常考题型．20．【分析】由正方形的性质得出∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°AB＝AD＝3由折叠的性质得出FC′＝FC∠C′FE＝∠CFE＝60°∠FC′B′＝∠C＝90°B′E＝BE∠B′＝∠B＝90°求出∠DC′F解析：8【分析】由正方形的性质得出∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝3，由折叠的性质得出FC′＝FC，∠C′FE＝∠CFE＝60°，∠FC′B′＝∠C＝90°，B′E＝BE，∠B′＝∠B＝90°，求出∠DC′F＝30°，得出FC′＝FC＝2DF，求出DF＝2，，则C′A＝，AG＝6，设EB＝x，则GE＝2x，得出方程，解方程即可．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝3，由折叠的性质得：FC′＝FC，∠C′FE＝∠CFE＝60°，∠FC′B′＝∠C＝90°，B′E＝BE，∠B′＝∠B ＝90°，∴∠DFC′＝180°-60°-60°=60°，∴∠DC′F＝30°，∴FC′＝FC＝2DF，∵DF＋CF＝CD＝6，∴DF＋2DF＝6，解得：DF＝2，∴∴C′A＝∵∠AC′G=180°-30°-90°=60°，∠AGC′=90°-60°=30°，∴-6，设EB＝E′B=x，∵∠B′GE＝∠AGC′＝30°，∴GE＝2x，则＋3x＝6，解得：x＝∴GE ＝故答案是：【点睛】本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握翻折变换和正方形的性质，根据题意得出方程是解决问题的关键．三、解答题21．（1）见解析 （21【分析】（1）根据正方形和等边三角形的性质，证Rt ABE Rt ADF △≌△即可；（2）由（1）可知，AC 垂直平分EF ，根据勾股定理和斜边中线等于斜边的一半求AG 、CG 即可．【详解】（1）证明：正方形ABCD ，∴AB AD =，B D ∠=∠=90°，BC CD =． AEF 是等边三角形，AE AF ∴=．(HL)Rt ABE Rt ADF ∴△≌△．BE DF ∴=．CE CF ∴=．（2）由（1）得，CE=CF ，AE=AF=2，AC ∴垂直平分EF ．1EG FG ∴==．AG ∴===，∵∠ECF=90°，EG=GF ， ∴112CG EF ==，1AC AG CG ∴=+=．【点睛】本题考查了正方形、等边三角形、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题关键是准确把握已知，熟练运用全等三角形、勾股定理等知识进行证明和计算．22．【分析】△AOB 是等边三角形，得出AO=AB ，进而得出四边形ABCD 是矩形，求出AC ，再根据勾股定理求出BC ，即可求出面积=AB•BC ．【详解】解：因为平行四边形ABCD ，∴OA OC =，OB OD =，又∵三角形ABO 是等边三角形4OA OB AB ∴===，∴4OA OB OC OD ====，∴2248AC BD OA ===⨯=∴平行四边形ABCD 是矩形∴90ABC ∠=°在Rt ABC 中，由勾股定理得222AB BC AC += ∴22228443BC AC AB =-=-=∴S ▱ABCD =AB•BC=43×4=163【点睛】本题考查了矩形的判定和性质和等边三角形的性质以及勾股定理，运用勾股定理求边长是解题的关键．23．（1）动点D 运动2秒时，△ABD ≌△ACE ；理由见解析；（2）1236S x =-+；（3）动点D 运动1秒时，△ABD 与△ACE 的面积比为4:1．【分析】（1）设动点D 运动t 秒时△ABD ≌△ACE ，先根据等腰直角三角形得：∠ACE=∠B ，再加上AB=AC 所以只要满足BD=CE ，△ABD ≌△ACE 列式可求得t 的值；（2）作高线AF ，根据等腰直角三角形三线合一可知：AF 是斜边的中线，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得AF=6，代入面积公式可求出代数式；（3）作高线AG ，先证明四边形AFCG 是矩形，求出AG=6，由△ABD 与△ACE 的面积比为4:1列式可得出结论．【详解】(1)如图1，设动点D 运动t 秒时，△ABD ≌△ACE由题意得：CD=4t,CE=2t,则BD=12-4t,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠ACB=45°,∵CM ⊥BC,∴∠BCM=90°,∴∠ACE=90°-45°=45°,∴∠ACE=∠B,∴当BD=CE 时,△ABD ≌△ACE,即12-4t=2t,t=2,动点D 运动2秒时,△ABD ≌△ACE;(2)如图2,过A 作AF ⊥BC 于F,∵AB=AC,∠BAC=90°，∴AF 是等腰直角三角形的中线,∴AF=6,由题意得：CD=4x,则BD=12-4x ， 1112-4)6123622ABD S S BD AF x x ∆==⋅=⨯=-+（； (3)设动点D 运动x 秒时,△ABD 与△ACE 的面积比为4:1 如图2,再过A 作AG ⊥CM 于G,∵∠AFC=∠BCM=∠AGC=90°，∴四边形AFCG 为矩形，∴AG=CF=6,∵△ABD 与△ACE 的面积比为4:1,1·4211·2ABDACEBD AF S S CE AG ==△△ ∴4BD CE= ∴BD=4CE,即12-4x=8x ，x=1．答：动点D 运动1秒时,△ABD 与△ACE 的面积比为4:1．【点睛】本题考查了等腰直角三角形、全等三角形的判定及性质以及动点问题，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键；在动点问题中，明确路程=时间⨯速度，根据时间准确表示动点D 和E 的路程BD 、CE 的代数式，根据题中的等量关系列等式即可．24．（1）BE DG =，BE DG ⊥；（2）成立．证明见解析；（371【分析】（1）根据正方形的性质得到AB AD =，AG AE =，90A ∠=︒，即可证明BE DG =，BE DG ⊥；（2）延长BE ，与DG 交于点H ，证明BAE DAG ≌，得BE DG =，ABE ADG ∠=∠，再由()18090DHO ADG DOH ∠=︒-∠+∠=︒即可证明结论； （3）过点A 作AM BE ⊥于点M ，由ABE ADG ≅△△，证明AEM △是等腰直角三角形，根据勾股定理求出AM 和EM 的长，再算出BM 的长，即可得到BE 的长．【详解】解：（1）∵四边形ACBD 与AEFG 均为正方形，∴AB AD =，AG AE =，∴AB AE AD AG -=-，即BE DG =，∵90A ∠=︒，∴BE DG ⊥，故答案是：BE DG =，BE DG ⊥；（2）成立，如图，延长BE ，与DG 交于点H ，∵四边形ABCD 与AEFG 均为正方形，∴AB AD =，AE AG =，90BAD EAG ∠=∠=︒，∴BAD EAD EAG EAD ∠+∠=∠+∠，∴BAE DAG ∠=∠，∴BAE DAG ≌，∴BE DG =，ABE ADG ∠=∠， ∵18090OBA BOA BAO ∠+∠=︒-∠=︒，DOH BOA ∠=∠，∴90ADG DOH ∠+∠=︒，∴()18090DHO ADG DOH ∠=︒-∠+∠=︒，∴DG BE ⊥；（3）如图，过点A 作AM BE ⊥于点M ，由（2）知ABE ADG ≅△△，∵GE 是正方形AEFG 的对角线，∴45AEB AGD ∠=∠=︒，则AEM △是等腰直角三角形， ∵222AB AE == ∴2AE =∵222AM EM AE +=，∴1AM EM ==， ∴22817BM AB AM =-=-=，∴71BE BM EM =+=+， 故答案是：71+．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，旋转的性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质定理进行证明求解．25．（1）见解析；（2）１．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质解得CD=BD ，得到30DCB B ==︒∠∠，继而得到60ADC A ∠=∠=︒再根据等腰三角形的判定推出AC=CD ，最后根据等腰三角形的性质解题；（2）先解得30ACE ∠=︒，根据含30°角的直角三角形的性质解得AE 的长，即可解题．【详解】（1）证明：在ABC 中，90ACB ︒∠=，D 是AB 的中点，12CD AD BD AB ∴=== DCB B ∴∠=∠30,90B ACB ∠=︒∠=︒30,180903060DCB A ∴∠=︒∠=︒-︒-︒=︒60ADC B DCB ∴∠=∠+∠=︒ A ADC ∴∠=∠AC DC ∴=CE 垂直AB 于点EAE ED ∴=；（2）CE AB ⊥90AEC ∴∠=︒60A ∠=︒30ACE ∴∠=︒12AE AC ∴= 2,AC AE DE ==1DE AE ∴==．【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边的中线、含30°角的直角三角形、三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．26．（1）－5；（2）– 4或2；（3）t=4．【分析】(1)、根据正方形的面积得出AB=4，根据点A 所表示的数得出点B 所表示的数；(2)、①、根据题意得出矩形的一边长为4，要使面积为4，则另一边长为1，然后根据向左移动和向右移动两种情况分别画出图形得出答案；②、用含t 的代数式分别表示出点E 和点F 所表示的数，然后根据互为相反数的两个数的和为零列出方程得出答案．【详解】解：(1)、正方形ABCD 的面积为16，∴AB=4，点A 表示的数为-1，∴AO=1，∴BO=5，∴数轴上点B 表示的数为：–5；(2)、①∵正方形ABCD 的面积为16，∴边长为4．当S=4时，分两种情况：（I ）若正方形ABCD 向左平移，如图1，重叠部分中的A ＇B =1，∴AA ＇=3．则点A ＇表示–1–3= – 4．（II ）若正方形ABCD 向右平移，如图2，重叠部分中的AB ＇=1，∴AA ＇=3．则点A ＇表示–1+3= 2，综上所述：点A ＇表示的数为– 4或2．。

新北师大版九年级数学上册《特殊平行四边形》试卷(附答案)特殊平行四边形》试卷一、填空题1、如图，将△ABC绕AC的中点O按顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件使四边形ABCD为矩形．条件：AB=CD2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为________．四边形EFGH的面积为24.3、如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ＋PQ的最小值为____________．DQ+PQ的最小值为√10.二、选择题4、矩形具有而菱形不具有的性质是() A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等答案：D5、如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC ＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长是()。

A．24B．16C．413D．213答案：B6、如图，将△XXX沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是() A．AB ＝XXX．∠B＝60°D．∠ACB＝60°答案：C7、如图，4×4的方格中每个小正方形的边长都是1，则S 四边形ABDC与S四边形ECDF的大小关系是() A．S四边形ABDC＝S四边形ECDFB．S四边形ABDC<S四边形ECDFC．S四边形ABDC＝S四边形ECDF＋1D．S四边形ABDC＝S四边形ECDF＋2答案：A8、如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC 为边长的正方形ACEF的周长为() A．14B．15C．16D．17答案：C9、如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD 边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD 的面积是() A．12B．24C．123D．163答案：B三、XXX10、如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F。

中考真题分类（解答题）专练：特殊的平行四边形1．（2020•滨州）如图，过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC、CD、DA于点P、M、Q、N．（1）求证：△PBE≌△QDE；（2）顺次连接点P、M、Q、N，求证：四边形PMQN是菱形．2．（2020•遂宁）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A 作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：△BDE≌△FAE；（2）求证：四边形ADCF为矩形．3．（2020•遵义）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E 与点A、C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD、AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G．（1）求证：EF＝DE；（2）当AF＝2时，求GE的长．4．（2019•青海）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明：四边形ADCF是菱形．5．（2019•大庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．M、N在对角线AC上，且AM＝CN，E、F分别是AD、BC的中点．（1）求证：△ABM≌△CDN；（2）点G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，求AG的长．6．（2019•百色）如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F．（1）求证：AE＝BF；（2）若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．7．（2019•内江）如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连结AE、AF、EF．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）若AE＝5，请求出EF的长．8．（2019•哈尔滨）已知：在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．（1）如图1，求证：AE＝CF；（2）如图2，当∠ADB＝30°时，连接AF、CE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的．9．（2020•德阳）如图，四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点．连接GC并延长至F，使CF＝GC，以DC，CF为邻边作菱形DCFE，连接CE．（1）判断四边形CEDG的形状，并证明你的结论．（2）连接DF，若BC＝，求DF的长．10．（2020•呼伦贝尔）已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°．求证：CE＝DF．11．（2020•大庆）如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．12．（2020•呼和浩特）如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点（不与B、C重合），DE ⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．（1）求证：AF﹣BF＝EF；（2）四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点G的位置，如不可能，请说明理由．13．（2020•云南）如图，四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点，点E在AB的延长线上，CE⊥AB，垂足为E，点F在AD的延长线上，CF⊥AD，垂足为F，（1）若∠BAD＝60°，求证：四边形CEHF是菱形；（2）若CE＝4，△ACE的面积为16，求菱形ABCD的面积．14．（2019•鄂州）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O 的直线分别交AB、CD边于点E、F．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）当DE＝DF时，求EF的长．15．（2019•杭州）如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2．（1）求线段CE的长；（2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD＝HG．16．（2018•毕节市）如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ ∥DB，且CQ＝DP，连接AP、BQ、PQ．（1）求证：△APD≌△BQC；（2）若∠ABP+∠BQC＝180°，求证：四边形ABQP为菱形．17．（2018•北京）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．18．（2018•北京）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E 作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF＝GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．19．（2019•青岛）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD 的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．20．（2019•宁波）如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．（1）求证：BG＝DE；（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴EB＝ED，AB∥CD，∴∠EBP＝∠EDQ，在△PBE和△QDE中，，∴△PBE≌△QDE（ASA）；（2）证明：如图所示：∵△PBE≌△QDE，∴EP＝EQ，同理：△BME≌△DNE（ASA），∴EM＝EN，∴四边形PMQN是平行四边形，∵PQ⊥MN，∴四边形PMQN是菱形．2．证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是线段AD的中点，∴AE＝DE，∵∠AEF＝∠DEB，∴△BDE≌△FAE（AAS）；（2）∵△BDE≌△FAE，∴AF＝BD，∵D是线段BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝CD，∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCF为矩形．3．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠ECM＝45°，∵MN∥BC，∠BCM＝90°，∴∠NMC+∠BCM＝180°，∠MNB+∠B＝180°，∴∠NMC＝90°，∠MNB＝90°，∴∠MEC＝∠MCE＝45°，∠DME＝∠ENF＝90°，∴MC＝ME，∵CD＝MN，∴DM＝EN，∵DE⊥EF，∠EDM+∠DEM＝90°，∴∠DEF＝90°，∴∠DEM+∠FEN＝90°，∴∠EDM＝∠FEN，在△DME和△ENF中，∴△DME≌△ENF（ASA），∴EF＝DE；（2）解：如图1所示，由（1）知，△DME≌△ENF，∴ME＝NF，∵四边形MNBC是矩形，∴MC＝BN，又∵ME＝MC，AB＝4，AF＝2，∴BN＝MC＝NF＝1，∵∠EMC＝90°，∴CE＝，∵AF∥CD，∴△DGC∽△FGA，∴，∴，∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝4，∵AC＝AG+GC，∴AG＝，CG＝，∴GE＝GC﹣CE＝＝；如图2所示，同理可得，FN＝BN，∵AF＝2，AB＝4，∴AN＝1，∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝4，∵AF∥CD，∴△GAF∽△GCD，∴，即，解得，AG＝4，∵AN＝NE＝1，∠ENA＝90°，∴AE＝，∴GE＝GA+AE＝5．综上所述：GE的长为：，5．4．证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE∵△ABC是直角三角形，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，∴AE＝DE，BD＝CD在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）（2）由（1）知，AF＝BD，且BD＝CD，∴AF＝CD，且AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝BC＝CD，∴四边形ADCF是菱形．5．（1）证明∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠MAB＝∠NCD．在△ABM和△CDN中，，∴△ABM≌△CDN（SAS）；（2）解：如图，连接EF，交AC于点O．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠ABC＝90°，∴AC＝＝5，∵E、F分别是AD、BC的中点，∴AE＝BF，∴四边形ABFE是矩形，∴EF＝AB＝3，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴EO＝FO，AO＝CO，∴O为EF、AC中点．∵∠EGF＝90°，OG＝EF＝，∴AG＝OA﹣OG＝1或AG＝OA+OG＝4，∴AG的长为1或4．6．（1）证明：四边形ABCD是菱形∴AB＝BC，AD∥BC∴∠A＝∠CBF∵BE⊥AD、CF⊥AB∴∠AEB＝∠BFC＝90°∴△AEB≌△BFC（AAS）∴AE＝BF（2）∵E是AD中点，且BE⊥AD∴直线BE为AD的垂直平分线∴BD＝AB＝27．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝∠ADF＝90°，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS）；（2）解：∵△ABE≌△ADF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，∵∠BAE+∠EAD＝90°，∴∠DAF+∠EAD＝90°，即∠EAF＝90°，∴EF＝AE＝5．8．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF；（2）解：△ABE的面积＝△CDF的面积＝△BCE的面积＝△ADF的面积＝矩形ABCD面积的．理由如下：∴∠CBD＝∠ADB＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABE＝60°，∵AE⊥BD，∴∠BAE＝30°，∴BE＝AB，AE＝AD，∴△ABE的面积＝BE×AE＝×AB×AD＝AB×AD＝矩形ABCD的面积，∵△ABE≌△CDF，∴△CDF的面积═矩形ABCD的面积；作EG⊥BC于G，如图所示：∵∠CBD＝30°，∴EG＝BE＝×AB＝AB，∴△BCE的面积＝BC×EG＝BC×AB＝BC×AB＝矩形ABCD的面积，同理：△ADF的面积＝矩形ABCD的面积．9．解：（1）四边形CEDG是菱形，理由如下：∵四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点，∴GB＝GC＝GD，∵CF＝GC，∴GB＝GC＝GD＝CF，∵四边形DCFE是菱形，∴CD＝CF＝DE，DE∥CG，∴四边形CEDG是平行四边形，∵GD＝GC，∴四边形CEDG是菱形；（2）过点G作GH⊥BC于H，设DF交CE于点N，如图所示：∵CD＝CF，GB＝GD＝GC＝CF，∴CH＝BH＝BC＝，△CDG是等边三角形，∴∠GCD＝60°，∴∠DCF＝180°﹣∠GCD＝180°﹣60°＝120°，∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD＝90°，∴∠GCH＝90°﹣60°＝30°，∴CG＝＝＝1，∴CD＝1，∵四边形DCFE是菱形，∴DN＝FN，CN⊥DF，∠DCE＝∠FCE＝∠DCF＝×120°＝60°，在Rt△CND中，DN＝CD•sin∠DCE＝1×sin60°＝1×＝，∴DF＝2DN＝2×＝．10．证明：∵四边形ABCD为正方形，∴OD＝OC，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COD＝90°，∴∠DOF+∠COF＝90°，∵∠EOF＝90°，即∠COE+∠COF＝90°，∴∠COE＝∠DOF，∴CE＝DF．11．（1）证明：∵在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC，在△AOM和△CON中，，∴△AOM≌△CON（AAS），∴AM＝CN，∵AM∥CN，∴四边形ANCM为平行四边形；（2）解：∵在矩形ABCD中，AD＝BC，由（1）知：AM＝CN，∴DM＝BN，∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，∴平行四边形ANCM为菱形，∴AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，∴在Rt△ABN中，根据勾股定理，得AN2＝AB2+BN2，∴（4﹣DM）2＝22+DM2，解得DM＝．12．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAF+∠DAE＝90°，∵DE⊥AG，∴∠DAE+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠BAF，又∵BF∥DE，∴∠BFA＝90°＝∠AED，∴AE＝BF，∴AF﹣BF＝AF﹣AE＝EF；（2）不可能，理由是：如图，若要四边形BFDE是平行四边形，已知DE∥BF，则当DE＝BF时，四边形BFDE为平行四边形，∵DE＝AF，∴BF＝AF，即此时∠BAF＝45°，而点G不与B和C重合，∴∠BAF≠45°，矛盾，∴四边形BFDE不能是平行四边形．13．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴∠EAC＝∠FAC＝30°，又∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF＝AC，∵点H为对角线AC的中点，∴EH＝FH＝AC，∴CE＝CF＝EH＝FH，∴四边形CEHF是菱形；（2）∵CE⊥AB，CE＝4，△ACE的面积为16，∴AE＝8，∴AC＝＝4，连接BD，则BD⊥AC，AH＝AC＝2，∵点H为对角线AC的中点，∴D、H、B在同一直线上，∵∠AHB＝∠AEC＝90°，∠BAH＝∠EAC，∴△ABH∽△ACE，∴＝，∴＝，∴BH＝，∴BD＝2BH＝2，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝＝20．14．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DFO＝∠BEO，又因为∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，∴△DOF≌△BOE（ASA），∴DF＝BE，又因为DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：∵DE＝DF，四边形BEDF是平行四边形∴四边形BEDF是菱形，∴DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x在Rt△ADE中，根据勾股定理，有AE2+AD2＝DE2∴x2+62＝（8﹣x）2，解之得：x＝，∴DE＝8﹣＝，在Rt△ABD中，根据勾股定理，有AB2+AD2＝BD2∴BD＝，∴OD＝BD＝5，在Rt△DOE中，根据勾股定理，有DE2 ﹣OD2＝OE2，∴OE＝，∴EF＝2OE＝．15．解：（1）设正方形CEFG的边长为a，∵正方形ABCD的边长为1，∴DE＝1﹣a，∵S1＝S2，∴a2＝1×（1﹣a），解得，（舍去），，即线段CE的长是；（2）证明：∵点H为BC边的中点，BC＝1，∴CH＝0.5，∴DH＝＝，∵CH＝0.5，CG＝，∴HG＝，∴HD＝HG．16．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵CQ∥DB，∴∠BCQ＝∠DBC，∴∠ADB＝∠BCQ∵DP＝CQ，∴△ADP≌△BCQ．（2）证明：∵CQ∥DB，且CQ＝DP，∴四边形CQPD是平行四边形，∴CD＝PQ，CD∥PQ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴AB＝PQ，AB∥PQ，∴四边形ABQP是平行四边形，∵△ADP≌△BCQ，∴∠APD＝∠BQC，∵∠APD+∠APB＝180°，∠ABP+∠BQC＝180°，∴∠ABP＝∠APB，∴AB＝AP，∴四边形ABQP是菱形．17．解：（1）∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴▱ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∵BD＝2，∴OB＝BD＝1，在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，∴OA＝＝2，∴OE＝OA＝2．18．证明：（1）如图1，连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°，∵点A关于直线DE的对称点为F，∴△ADE≌△FDE，∴DA＝DF＝DC，∠DFE＝∠A＝90°，∴∠DFG＝90°，在Rt△DFG和Rt△DCG中，∵，∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），∴GF＝GC；（2）BH＝AE，理由是：证法一：如图2，在线段AD上截取AM，使AM＝AE，∵AD＝AB，∴DM＝BE，由（1）知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠ADC＝90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，∴2∠2+2∠3＝90°，∴∠2+∠3＝45°，即∠EDG＝45°，∵EH⊥DE，∴∠DEH＝90°，△DEH是等腰直角三角形，∴∠AED+∠BEH＝∠AED+∠1＝90°，DE＝EH，∴∠1＝∠BEH，在△DME和△EBH中，∵，∴△DME≌△EBH（SAS），∴EM＝BH，Rt△AEM中，∠A＝90°，AM＝AE，∴EM＝AE，∴BH＝AE；证法二：如图3，过点H作HN⊥AB于N，∴∠ENH＝90°，由方法一可知：DE＝EH，∠1＝∠NEH，在△DAE和△ENH中，∵，∴△DAE≌△ENH（AAS），∴AE＝HN，AD＝EN，∵AD＝AB，∴AB＝EN＝AE+BE＝BE+BN，∴AE＝BN＝HN，∴△BNH是等腰直角三角形，∴BH＝HN＝AE．19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF，∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，∵E是OB的中点，∴∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，由（1）得：△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∵EG＝AE，∴EG＝CF，∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形．20．解：（1）∵四边形EFGH是矩形，∴EH＝FG，EH∥FG，∴∠GFH＝∠EHF，∵∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠DHE＝180°﹣∠EHF，∴∠BFG＝∠DHE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠GBF＝∠EDH，∴△BGF≌△DEH（AAS），∴BG＝DE；（2）连接EG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E为AD中点，∴AE＝ED，∵BG＝DE，∴AE＝BG，AE∥BG，∴四边形ABGE是平行四边形，∵EG＝FH＝2，∴AB＝2，∴菱形ABCD的周长＝8．。

北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形知识点讲解（含例题及答案）【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算. 【知识关系】【知识点梳理】知识点一、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）对边平行且相等； （2）对角相等；邻角互补； （3）对角线互相平分； （4）中心对称图形. 3．面积：4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形． 边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 知识点诠释：平行线的性质： （1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等. 知识点二、菱形高底平行四边形⨯=S1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形.知识点三、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 知识点诠释：由矩形得直角三角形的性质： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半． 知识点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、平行四边形2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S 宽＝长矩形⨯S1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC 交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．【思路点拨】（1）首先证明四边形DBCF为平行四边形，可得DF=BC，再证明DE=1 2BC，进而得到EF=12CB，即可证出DE=EF；（2）首先画出图形，首先根据平行线的性质可得∠ADG=∠G，再证明∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，然后再推出∠1=∠DCB=∠B，再由∠A+∠ADG=∠1可得∠A+∠G=∠B．【答案与解析】证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，∴四边形DBCF为平行四边形，∴DF=BC，∵D为边AB的中点，DE∥BC，∴DE=12BC，∴EF=DF-DE=BC-12CB=12CB，∴DE=EF；（2）∵DB∥CF，∴∠ADG=∠G，∵∠ACB=90°，D为边AB的中点，∴CD=DB=AD，∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，∵DG⊥DC，∴∠DCA+∠1=90°，∵∠DCB+∠DCA=90°，∴∠1=∠DCB=∠B，∵∠A+∠ADG=∠1，∴∠A+∠G=∠B．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及直角三角形的性质，关键是找出∠ADG=∠G，∠1=∠B．掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．类型二、菱形2、（2016•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【思路点拨】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．【答案与解析】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF=BE．【总结升华】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．【答案】四边形ABCD是菱形；证明：由AD∥BC，AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形,过A，C两点分别作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F．∴∠CFB＝∠AEB＝90°．∵AE＝CF（纸带的宽度相等）∠ABE＝∠CBF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF,∴AB＝BC,∴四边形ABCD是菱形.类型三、矩形3、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．①求证：CD＝AN；②若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．【思路点拨】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC＝∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CN，然后判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD＝∠MDC，再根据等角对等边可得MD＝MC，然后证明AC＝DN，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证．【答案与解析】证明：①∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA，在△A MD和△CMN中，∵DAC NCAMA MCAMD CMN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴AD＝CN，又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD＝AN；②∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC， ∴MD＝MC ，由①知四边形ADCN 是平行四边形， ∴MD＝MN ＝MA ＝MC ， ∴AC＝DN ，∴四边形ADCN 是矩形．【总结升华】要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或对角线相等．4、如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8．将矩形ABCD 沿CE 折叠后，使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处，求EF 的长.【思路点拨】要求EF 的长，可以考虑把EF 放入Rt △AEF 中，由折叠可知CD ＝CF ，DE ＝EF ，易得AC ＝10，所以AF ＝4，AE ＝8-EF ，然后在Rt △AEF 中利用勾股定理求出EF 的值．【答案与解析】 解：设EF ＝x ，由折叠可得：DE ＝EF ＝x ，CF ＝CD ＝6， 又∵ 在Rt △ADC 中，． ∴ AF ＝AC －CF ＝4，AE ＝AD －DE ＝8－x ． 在Rt △AEF 中，222AE AF EF =+， 即，解得：x ＝3 ∴ EF ＝3 【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解． 举一反三： 【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB ＝ 3cm ，BC ＝ 5cm ，则重叠部分△DEF 的面积是__________2cm ．【答案】5.1.提示：由题意可知BF ＝DF ，设FC ＝x ，DF ＝5－x ，在Rt △DFC 中，，10AC =222(8)4x x -=+222DC FC DF +=解得x ＝，BF ＝DE ＝3.4，则＝×3.4×3＝5.1. 类型四、正方形5、如图，一个含45°的三角板HBE 的两条直角边与正方形ABCD 的两邻边重合，过E 点作EF ⊥AE 交∠DCE 的角平分线于F 点，试探究线段AE 与EF 的数量关系，并说明理由.【思路点拨】AE ＝EF ．根据正方形的性质推出AB ＝BC ，∠BAD＝∠HAD＝∠DCE＝90°，推出∠HAE＝∠CEF，根据△HEB 是以∠B 为直角的等腰直角三角形，得到BH ＝BE ，∠H＝45°，HA ＝CE ，根据CF 平分∠DCE 推出∠H＝∠FCE，根据ASA 证△HAE≌△CEF 即可得到答案． 【答案与解析】 探究：AE ＝EF证明：∵△BHE 为等腰直角三角形, ∴∠H ＝∠HEB ＝45°，BH ＝BE.又∵CF 平分∠DCE ，四边形ABCD 为正方形， ∴∠FCE ＝12∠DCE ＝45°， ∴∠H ＝∠FCE.由正方形ABCD 知∠B ＝90°，∠HAE ＝90°＋∠DAE ＝90°＋∠AEB, 而AE ⊥EF ，∴∠FEC ＝90°＋∠AEB ， ∴∠HAE ＝∠FEC.由正方形ABCD 知AB ＝BC ，∴BH －AB ＝BE －BC ， ∴HA ＝CE,∴△AHE ≌△ECF （ASA ）, ∴AE ＝EF. 【总结升华】充分利用正方形的性质和题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段相等.举一反三： 【变式】（2015•黄冈）如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ．若∠CBF=20°，则∠AED 等于 ．【答案】 65°。

第1章特殊的平行四边形一．选择题（共15小题）1．已知四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC，BD相交于点O．下列结论一定成立的是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠ABC＝90°D．∠ABC＝∠BAC 2．菱形的边长是2cm，一条对角线的长是2cm，则另一条对角线的长约是（）A．4cm B．1 cm C．cm D．2cm3．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，AH⊥BC于H，则AH等于（）A．B．C．4 D．54．菱形的两条对角线分别为8和6，则菱形的周长和面积分别是（）A．20，48 B．14，48 C．24，20 D．20，245．如图，菱形ABCD的顶点C在直线MN上，若∠1＝50°，∠2＝20°，则∠ABD的度数为（）A．20°B．35°C．40°D．50°6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，连结OE．若OE＝3，则菱形ABCD的周长是（）A．6 B．12 C．18 D．247．如图，在菱形ABCD中，AE，AF分别垂直平分BC，CD，垂足分别为E，F，则∠EAF的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°8．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝100°，AB的垂直平分线交AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF＝（）A．50°B．40°C．30°D．15°9．如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，添加一个条件不正确的是（）A．AC⊥BD B．AB＝AD C．AC＝BD D．AC平分∠BAD 10．在平面直角坐标系内，点O是原点，点A的坐标是（3，4），点B的坐标是（3，﹣4），要使四边形AOBC是菱形，则满足条件的点C的坐标是（）A．（﹣3，0）B．（3，0）C．（6，0）D．（5，0）11．如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，当它满足以下：①∠1＝∠2；②∠2＝∠3；③∠B＝∠3；④∠1＝∠3中某一条件时，平行四边形ABCD是菱形，这个条件是（）A．①或②B．②或③C．③或④D．①或④12．平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣3，0），B（0，2），C（3，0），D（0，﹣2），则四边形ABCD是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形13．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AB＝2，∠ACB＝30°，则矩形的面积为（）A．4B．2 C．4 D．214．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOD＝120°，AC＝4，则CD的长为（）A．2 B．3 C．2D．215．如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），则BD的长是（）A．6 B．5 C．3D．4二．填空题（共9小题）16．工人师博常常通过测量平行四边形零件的对角线是否相等来检验零件是否为矩形，请问工人师博此种检验方法依据的道理是．17．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．18．如图，平行四边形ABCD，添加一个条件使它成为一个矩形，你会加上．19．如图，P是正方形ABCD内一点，且PA＝PD，PB＝PC．若∠PBC＝60°，则∠PAD＝．20．如图，将边长为6cm的正方形ABCD先向下平移2cm，再向左平移1cm，得到正方形A'B'C'D'，则这两个正方形重叠部分的面积为cm2．21．已知正方形的对角线长为2，则它的面积．22．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，四边形ACEF是正方形，则EF的长为．23．如图在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE ＝BF，请你添加一个条件，使四边形BECF是正方形．24．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件，使四边形ABCD是正方形（填一个即可）．三．解答题（共5小题）25．如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F．（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明你的理由；（2）求证：EO＝DC．26．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，E为边BC上一点，且EC＝AD，连结AC．（1）求证：四边形AECD是矩形；（2）若AC平分∠DAB，AB＝5，EC＝2，求AE的长，27．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝BC，∠D＝45°，CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F，交BC的延长线于G，若AD＝a．（1）求证：四边形ABCF是正方形；（2）求BG的长．28．如图，在正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上，且AE＝BF＝CG＝DH，求证：四边形EFGH是正方形．29．如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH，试判定四边形EFGH的形状，并证明你的结论．参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．【解答】解：∵四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD；故选：A．2．【解答】解：如图，设AC＝2cm，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO＝1cm，BO＝DO，AC⊥BD，∵BO＝＝＝cm，∴BD＝2cm，故选：D．3．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，∴CO＝AC＝6，BO＝BD＝8，AO⊥BO，∴BC＝＝10，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×16×12＝96，∵S菱形ABCD＝BC×AH，∴BC×AH＝96，∴AH＝＝故选：B．4．【解答】解：如图，菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，∴OA＝AC＝4，OB＝BD＝3，AC⊥BD，∴AB＝＝＝5，∴此菱形的周长是：5×4＝20，面积是：×6×8＝24．故菱形的周长是20，面积是24，故选：D．5．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠A＝∠BCD，AB＝AD，∵∠1＝50°，∠2＝20°，∴∠BCD＝180°﹣50°﹣20°＝110°，∴∠A＝110°，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝＝35°，故选：B．6．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，∴△AOD为直角三角形．∵OE＝3，且点E为线段AD的中点，∴AD＝2OE＝6．C菱形ABCD＝4AD＝4×6＝24．故选：D．7．【解答】解：连接AC，∵AE垂直平分边BC，∴AB＝AC，又∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠BCD＝120°，又∵AF垂直平分边CD，∴在四边形AECF中，∠EAF＝360°﹣180°﹣120°＝60°．故选：B．8．【解答】解：如图，连接BF，在△BCF和△DCF中，∵CD＝CB，∠DCF＝∠BCF，CF＝CF∴△BCF≌△DCF（SAS）∴∠CBF＝∠CDF∵FE垂直平分AB，∠BAF＝×100°＝50°∴∠ABF＝∠BAF＝50°∵∠ABC＝180°﹣100°＝80°，∠CBF＝80°﹣50°＝30°∴∠CDF＝30°．故选：C．9．【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，此选项不符合题意；B、邻边相等的平行四边形是菱形，此选项不符合题意；C、由对角线相等不能证明平行四边形ABCD是菱形，此选项符合题意；D、对角线平分对角的平行四边形是菱形，此选项不符合题意；故选：C．10．【解答】解：如图，连接AB交OC于D，∵四边形AOBC是菱形，∴AD⊥OC，OD＝CD，∵点A的坐标是（3，4），点B的坐标是（3，﹣4），∴OD＝3，∴OC＝6，∴C（6，0），故选：C．11．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形；故①④能判定．故选：D．12．【解答】解：如图所示：∵A（﹣3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，﹣2），∴OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD为平行四边形，∵BD⊥AC，∴四边形ABCD为菱形，故选：B．13．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形∴∠ABC＝90°，且∠ACB＝30°∴BC＝AB＝2，∴矩形ABCD的面积＝AB×BC＝2×2＝4故选：A．14．【解答】解：∵∠AOD＝120°，∴∠COD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣120°＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝BO＝CO＝DO＝2，∴△COD是等边三角形，∴CD＝DO＝2，故选：A．15．【解答】解：∵点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），∴线段AC＝＝5，∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝5，故选：B．二．填空题（共9小题）16．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形．17．【解答】解：添加EB＝DC．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC，∴DE∥BC，又∵DE＝AD，∴DE＝BC，∴四边形DBCE为平行四边形．又∵EB＝DC，∴四边形DBCE是矩形．故答案是：EB＝DC．18．【解答】解：答案不唯一，∵四边形ABCD是平行四边形，∴可添加：∠A＝90°、AC＝BD等．故答案为：∠A＝90°．19．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC＝CD，∠DAB＝∠CBA＝90°，∵PB＝PC，∠PBC＝60°，∴△PAB是等边三角形，∴∠APB＝∠PBA＝60°，PA＝PB＝AB，∴∠DAP＝∠CBP＝30°，∵PA＝PD，∴∠PDA＝＝75°．∴∠PAD＝15°，故答案为：15°．20．【解答】解：如图，向下平移2cm，即AE＝2，则DE＝AD﹣AE＝6﹣2＝4cm 向左平移1cm，即CF＝1，则DF＝DC﹣CF＝6﹣1＝5cm则S矩形DEB'F＝DE•DF＝4×5＝20cm2故答案为：2021．【解答】解：∵正方形的一条对角线的长2，∴这个正方形的面积＝＝4，故答案为422．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形∴AB＝BC，且∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝3，∵四边形ACEF是正方形，∴AC＝EF＝3故答案为：323．【解答】解：添加条件：AC＝BC．理由如下：∵EF垂直平分BC，∴BE＝EC，BF＝CF，∵BF＝BE，∴BE＝EC＝CF＝BF，∴四边形BECF是菱形；当BC＝AC时，∵∠ACB＝90°，则∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠EBC＝45°∴∠EBF＝2∠EBC＝2×45°＝90°∴菱形BECF是正方形．故答案为AC＝BC．24．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴当∠BAD＝90°时，四边形ABCD为正方形．故答案为∠BAD＝90°．三．解答题（共5小题）25．【解答】解：（1）四边形AEBO是矩形．证明：∵BE∥AC，AE∥BD∴四边形AEBO是平行四边形．又∵菱形ABCD对角线交于点O∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°．∴四边形AEBO是矩形．（2）∵四边形AEBO是矩形∴EO＝AB，在菱形ABCD中，AB＝DC．∴EO＝DC．26．【解答】解：（1）证明：∵AD∥BC，EC＝AD，∴四边形AECD是平行四边形．又∵∠D＝90°，∴四边形AECD是矩形．（2）∵AC平分∠DAB．∴∠BAC＝∠DAC．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB．∴∠BAC＝∠ACB．∴BA＝BC＝5．∵EC＝2，∴BE＝3．∴在Rt△ABE中，AE＝＝＝4．27．【解答】解：（1）∵CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F，∴FC＝FD，∴∠D＝∠FCD＝45°，∴∠CFD＝90°，即∠AFC＝90°，又∵AD∥BC，∠A＝90°，∴∠B＝90°，∴四边形ABCF是矩形，又∵AB＝BC，∴四边形ABCF是正方形；（2）∵FG垂直平分CD，∴CE＝DE，∠CEG＝∠DEF＝90°，∵BG∥AD，∴∠G＝∠EFD，在△CEG和△DEF中，，∴△CEG≌△DEF（AAS），∴CG＝FD，又∵正方形ABCF中，BC＝AF，∴AF+FD＝BC+CG，∴AD＝BG＝a．28．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，∵AE＝BF＝CG＝DH，∴OE＝OF＝OG＝OH，EG⊥FH，∴四边形EFGH是正方形．29．【解答】答：四边形EFGH的形状是正方形，证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∵AE＝BF＝CG＝DH，∴BE＝CF＝DG＝AH，∴△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAB，∴EF＝FG＝GH＝HE，∠AEH＝∠EFB，∵∠B＝90°，∴∠EFB+∠FEB＝90°，∴∠AEH+∠FEB＝90°，∴∠HEF＝90°，∵EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH的形状是正方形．。

一、选择题1．菱形的一条对角线与它的边相等，则它的锐角等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°2．如图，边长为,a b 的矩形的周长为14，面积为10，则22a b ab +的值为（ ）A ．140B ．70C ．35D ．243．如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，O 为对角线BD 的中点，过O 点作OE AB ⊥，垂足为E ．则下列说法错误的是（ ）A ．点O 为菱形ABCD 的对称中心B ．2OE =C ．CDB ∆为等边三角形D ．4BD =4．如图，在矩形ABCD 中，点E 在DC 上，将矩形沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处．若AB ＝3，BC ＝5，则DE 的长为（ ）A ．12B ．53C ．25D ．135．如图，正方形ABCD ，对角线,AC BD 相交于点O ，过点D 作ODC ∠的角平分线交OC 于点G ，过点C 作CF DG ⊥，垂足为F ，交BD 于点E ，则:ADG BCES S 的比为（ ）A ．(21):1+B ．(221):1-C ．2∶1D ．5∶26．如图，将等边ABC 与正方形DEFG 按图示叠放，其中D ，E 两点分别在AB ，BC 上，且BD BE =．若6AB =，2DE =，则EFC 的面积为（ ）A ．4B ．23C ．2D ．17．如图，正方形ABCD 的边长为3，点P 为对角线AC 上任意一点，PE BC ⊥，PQ AB ⊥，垂足分别是E ，Q ，则PE PQ +的值是（ ）A ．32B ．3C ．322D ．328．如图，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，连结AD ，把ACD △沿AD 翻折，得到ADC '，DC '与AB 交于点E ，连结BC '，若2BD BC ='=，3AD =，则点D 到AC '的距离为（ ）A ．332B ．3217C ．7D ．139．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC BD 、相交于点,О下列结论正确的是（ ）A ．COD AOB S S ∆= B ．AC BD =C ．AC BD ⊥D ．ABCD 是轴对称图形 10．如图，AB AF ⊥，EF AF ⊥，BE 与AF 交于点C ，点D 是BC 的中点，2AEB B ∠=∠．若8BC =，7EF =，则AF 的长是（ ）A ．6B ．7C ．3D ．511．如图所示，正方形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上两点，连接BE ，BF ，DE ，DF ，则添加下列哪一个条件可以判定四边形BEDF 是菱形（ ）A ．∠1＝∠2B ．BE ＝DFC ．∠EDF ＝60°D ．AB ＝AF 12．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝6，∠ABC ＝60°，M 为AD 中点，P 为对角线BD 上一动点，连接PA 和PM ，则PA ＋PM 的最小值是( )A ．3B ．3C ．3D ．6二、填空题13．如图，正方形AOBC 的两边分别在x 轴、y 轴上，点()4,3D -在边AC 上，以点B 为中心，把△BCD 旋转90︒，则旋转后点D 的对应点1D 的坐标是________．14．如图，将矩形ABCD 沿DE 折叠，使A 点落在BC 上的F 处，若∠EFB ＝60°，则∠CFD ＝_____．15．如图，四边形ABCD 是一张长方形纸片，将该纸片对折，使顶点B 与顶点D 重合，EF 为折痕，若6AB =、8BC =，则图中阴影部分的面积为______.16．如图，长方形ABCD 中，AD ＝8，AB ＝4，BQ ＝5，点P 在AD 边上运动，当BPQ 为等腰三角形时，AP 的长为_____．17．如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，BE AC ⊥于点E ，DF 平分ADC ∠，交EB 的延长线于点F ，3BC =，6CD =，则BE BF=_________．18．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（0，3），点B 的坐标是（﹣4，0），以AB 为边作正方形ABCD ，连接OD ，DB ．则△DOB 的面积是_____．19．如图，长方形ABCD 中，F 是BC 上一点，将ABF ∆沿着AF 翻折，使得翻折后的BF 恰好经过AD 边的中点E ，翻折后的点B 记作点G ．若EF DF =，1FC =，则线段BF 的长度为______．20．已知四边形ABCD 中，AC BD ⊥，且8AC =，10BD =，E 、F 、M 、N 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，那么四边形EFMN 的面积等于______．三、解答题21．如图，AD 是ABC 的中线，//AE BC ，且12AE BC =，连接DE ，CE ．（1）求证：AB DE =（2）当ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是矩形？并说明理由．22．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD ，BC 的中点，G ，H 分别是BD 、AC 的中点，依次连接E ，G ，F ，H ．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）当AB=CD时，EF与GH有怎样的位置关系？请说明理由；（3）若AB=CD，∠ABD=20°，∠BDC=70°，则∠GEF= °．23．如图，长方形ABCD中，AD＝a cm，AB＝b cm，且a、b满足|8－a|＋(b－4)2＝0．（1）长方形ABCD的面积为；（2）动点P在AD所在直线上，从A出发向左运动，速度为2cm/s，动点Q在DC所在直线上，从D出发向上运动，速度为4cm/s．动点P、Q同时出发，设运动时间为t秒．①当点P在线段AD上运动时，求以D、P、B、Q为顶点的四边形面积；（用含t的式子表示）②求当t为何值时，S△BAP＝S△CQB．24．在四边形ABCD中，AD//BC．∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm．BC＝26cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．求：从运动开始，使PQ ＝CD，需要经过的时间是多少？25．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AD的中点，过A点作AF∥BC，且交CE的延长线于点F，联结BF．（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；（2）当AB＝AC时，求证：四边形AFBD是矩形；（3）（填空）在（2）中再增加条件．则四边形AFBD是正方形．26．综合与实践问题情境：如图1，已知点O是正方形ABCD的两条对角线的交点，以点O为直角顶点的直角三角形BC=．OEF的两边OE，OF分别过点B，C，且OF OC=，30∠=︒，2E（1）OC的长度为________；操作证明：∆按如图放置，若OE，OF分别与AB，BC （2）如图2，在（1）的条件下，将OEF相交于点M，N．请判断OM和ON有怎样的数量关系，并证明结论；探究发现：∆按如图放置，若点B恰好在EF上，求证：（3）如图3，在（1）的条件下，将OEF=．EM EB【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由菱形的性质可得这条对角线与菱形的两边组成等边三角形，从而求得锐角的度数等于60°．【详解】解：由菱形的性质得，菱形相邻的两边相等，则与这条对角线组成等边三角形，则它的锐角等于60°，故选C ．【点睛】此题主要考查菱形的性质：四边相等．2．B解析：B【分析】由矩形的周长和面积得出7a b +=，10ab =，再把多项式分解因式，然后代入计算即可．【详解】 根据题意得：1472a b +==，10ab =， ∴22a b ab +()10770ab a b =+=⨯=；故选：B ．【点睛】本题考查了矩形的性质、分解因式、矩形的周长和面积的计算；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．3．B解析：B【分析】根据菱形的性质，等边三角形的判定，含30度的直角三角形的性质，勾股定理即可判断得出答案．【详解】菱形对角线互相垂直平分，O为对角线BD的中点，也是菱形对角线的交点，所以点O为菱形ABCD的对称中心，故A选项正确；∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=BC=CD，∵∠A=60°，∴∠A=∠C =60°，∴△ABD和△CBD是等边三角形，故C选项正确；∴BD=AB=4，故D选项正确；∠OBE=60°，∵OE⊥AB，∴∠BOE=30°，∵O为对角线BD的中点，∴OB=1BD=2，2∴BE=1OB =1，2∴==B选项错误；故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，含30度的直角三角形的性质，勾股定理等．注意证得△ABD是等边三角形是关键．4．B解析：B【分析】先根据矩形的性质得AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，再根据折叠的性质得AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝4，则CF＝BC﹣BF＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+12＝（3﹣x）2，解方程即可得到DE的长．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt △ABF 中，BF 4，∴CF ＝BC ﹣BF ＝5﹣4＝1，设CE ＝x ，则DE ＝EF ＝3﹣x ，在Rt △ECF 中，CE 2+FC 2＝EF 2，∴x 2+12＝（3﹣x ）2，解得x ＝43， ∴DE ＝3﹣x ＝53， 故选：B ．【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，属于常考题型，灵活运用这些性质进行推理与计算是解题的关键．5．A解析：A【分析】由题意先证得DE DC =和()DOG COE ASA ∆≅∆，设2AD DC a ==，进而可用含a 的式子表示出线段AG 和BE 的长，要求:ADG BCE S S ∆∆的比值即求AG 和BE 的比值，代入即可求解．【详解】 解：正方形ABCD ，AD DC ∴=，45ODC OCD OAD ∠=∠=∠=︒，90DOC BOC ∠=∠=︒，OD OC =， DF 平分ODC ∠，22.5EDF CDF ∴∠=∠=︒，CF DG ⊥，67.5DEF DCF ∴∠=∠=︒，67.54522.5OCE ∴∠=︒-︒=︒，DE DC =，OCE ODG ∴∠=，又OD OC =，90DOC BOC ∠=∠=︒，()DOG COE ASA ∴∆≅∆，OG OE ∴=，设2AD DC a ==，则有OA OB =，2DE a =，BD =，2)BE BD DE a ∴=-=，2AG AO OG a =+=， 12ADG S AG OD ∆=，12BCE S BE OC ∆=，OD OC =，::2:2)1):1ADG BCE S S AG BE a a ∆∆∴===，故选：A ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的定义以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是将两个三角形的面积比转化成两条线段的比，综合性较强．6．C解析：C【分析】过F作FQ⊥BC于Q，根据等边三角形的性质和判定和正方形的性质求出BE＝2，∠BED＝60°，∠DEF＝90°，EF＝2，求出∠FEQ，求出CE和FQ，即可求出答案．【详解】过F作FQ⊥BC于Q，则∠FQE＝90°，∵△ABC是等边三角形，AB＝6，∴BC＝AB＝6，∠B＝60°，∵BD＝BE，DE＝2，∴△BED是等边三角形，且边长为2，∴BE＝DE＝2，∠BED＝60°，∴CE＝BC−BE＝4，∵四边形DEFG是正方形，DE＝2，∴EF＝DE＝2，∠DEF＝90°，∴∠FEC＝180°−60°−90°＝30°，∴QF＝12EF＝1，∴△EFC的面积=12×CE×FQ＝12×4×1＝2，故选：C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定、正方形的性质等知识点，能求出CE和FQ的长度是解此题的关键．7．B解析：B【分析】证明四边形PQBE是矩形得PE=QB，证明△PEC是等腰直角三角形得PQ=BE便可求得结果【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC=90°，∠ACB=12∠BCD=45° ∵PE ⊥BC ，PQ ⊥AB ，∴四边形PQBE 是矩形，∴PQ=BE∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴∠PCE=45°，又∠PEC=90°∴△PEC 是等腰直角三角形∴PE=CE∴PE+PQ=CE+BE=BC=3．故选：B ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的判定，关键是证明PE=CE ，PQ=BE ． 8．B解析：B【分析】过点D 作DF ⊥BC'，垂足为F ，过点A 作AG ⊥BC'，交BC'的延长线于G ，则四边形ADFG 是矩形，计算AC '的长，后利用三角形ADC 'M 面积 的不同计算方法计算即可.【详解】如图，过点D 作DF ⊥BC'，垂足为F ，过点A 作AG ⊥BC'，交BC'的延长线于G ，∵把ACD △沿AD 翻折，得到ADC '，∴DC=DC '，∠ADC=∠A DC '，∵D 是BC 边上的中点，∴DC=BD ，∵2BD BC ='=，∴DC '=2BD BC ='=，∴BDC '是等边三角形，∴∠ADC=∠A DC '=∠B DC '=∠DC 'B=60°，∴BG ∥AD ，∵DF ⊥BC'，AG ⊥BC'，∴四边形ADFG 是矩形，∴BF=FC'=1，FG=AD=3，=，∴GC '=2，∴AC '=，设点D 到AC '的距离为h ， ∴1122AC h AD DF '=，∴11322h =⨯，∴h=7， 故选B.【点睛】 本题考查了三角形的折叠问题，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，矩形的判定，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握折叠的性质，矩形的判定，三角形面积不同表示方法是解题的关键.9．A解析：A【分析】根据平行四边形的定义和性质解题．【详解】解：由平行四边形的性质可知△AOB ≌△COD ，∴A 正确；AC=BD 是矩形的性质，不是一般平行四边形的性质，∴B 不正确；AC ⊥BD 是菱形的性质，∴C 不正确；ABCD 是轴对称图形是矩形或菱形的性质，∴D 不正确；故选A ．【点睛】本题考查平行四边形的应用，熟练掌握平行四边形的性质和定义是解题关键． 10．C解析：C【分析】根据直角三角形的性质和等腰三角形的判定和性质即可得到结论．【详解】∵AB⊥AF，∴∠FAB=90°，∵点D是BC的中点，∴AD=BD=1BC=4，2∴∠DAB=∠B，∴∠ADE=∠B+∠BAD=2∠B，∵∠AEB=2∠B，∴∠AED=∠ADE，∴AE=AD，∴AE=AD=4，∵，EF⊥AF，∴==3，故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．11．B解析：B【分析】由正方形的性质，可判定△CDF≌△CBF，则BF=FD=BE=ED，故四边形BEDF是菱形．【详解】由正方形的性质知，∠ACD=∠ACB=45°，BC=CD，CF=CF，∴△CDF≌△CBF，∴BF=FD，同理，BE=ED，∴当BE=DF，有BF=FD=BE=ED，四边形BEDF是菱形．故选B．【点睛】考查了菱形的判定，解题关键是灵活运用全等三角形的判定和性质，及菱形的判定. 12．C解析：C【分析】首先连接AC，交BD于点O，连接CM，则CM与BD交于点P，此时PA+PM的值最小，由在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，易得△ACD是等边三角形，BD垂直平分AC，继而可得CM⊥AD，则可求得CM的值，继而求得PA+PM的最小值．【详解】解：连接AC，交BD于点O，连接CM，则CM与BD交于点P，此时PA+PM的值最小，∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，∴∠ADC=∠ABC=60°，AD=CD=6，BD垂直平分AC，∴△ACD是等边三角形，PA=PC，∵M为AD中点，∴DM=1AD=3，CM⊥AD，2∴223，CD DM∴3故选C．【点睛】此题考查了最短路径问题、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及菱形的性质．注意准确找到点P的位置是解此题的关键．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．(10)或(-18)【分析】画出旋转后的图形根据旋转的性质可知OD1的长和C2D2C2O的长由此判断点D1的坐标【详解】如图所示：根据旋转的性质旋转前后两个图形全等如果△BCD绕点B逆时针旋转90°解析：(1，0)或(-1，8)【分析】画出旋转后的图形，根据旋转的性质可知OD1的长和C2D2，C2O的长，由此判断点D1的坐标.【详解】如图所示：根据旋转的性质，旋转前后两个图形全等，如果△BCD 绕点B 逆时针旋转90°后得△BOD 1，CD= OD 1，BC =BO ，∵四边形AOBC 是正方形，D(-4，3)，∴BC=4，CD =4-3=1，∴OD 1=1∴D 1(1，0)如果△BCD 绕点B 顺时针旋转90°后得△BC 2D 2C 2O=BO+BC 2=4+4=8，C 2D 2=CD=1，点D 2的的坐标为D 2(-1，8).故答案为：(1，0)或(-1，8).【点睛】本题主要考查图形的旋转及旋转的性质和正方形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.14．【分析】根据轴对称和矩形性质得；结合∠EFB ＝60°经计算即可得到答案【详解】∵矩形ABCD 沿DE 折叠使A 点落在BC 上的F 处∴∵∠EFB ＝60°∴故答案为：【点睛】本题考查了轴对称矩形的性质；解题的解析：30【分析】根据轴对称和矩形性质，得90EFD A ∠=∠=；结合∠EFB ＝60°，经计算即可得到答案．【详解】∵矩形ABCD 沿DE 折叠，使A 点落在BC 上的F 处∴90EFD A ∠=∠=∵∠EFB ＝60°∴180180609030CFD EFB EFD ∠=-∠-∠=--=故答案为：30．【点睛】本题考查了轴对称、矩形的性质；解题的关键是熟练掌握轴对称、矩形的性质，从而完成求解．15．【分析】先根据矩形的性质可得设从而可得再根据折叠的性质然后在中利用勾股定理可求出DE 的长最后利用三角形的面积公式即可得【详解】四边形ABCD 是长方形且点F 到AD 的距离等于AB 的长的边DE 上的高为6设 解析：754【分析】先根据矩形的性质可得8,90AD BC A ==∠=︒，设DE x =，从而可得8AE x =-，再根据折叠的性质8,6,90A E AE x A D AB A A '''==-==∠=∠=︒，然后在Rt A DE '中，利用勾股定理可求出DE 的长，最后利用三角形的面积公式即可得．【详解】四边形ABCD 是长方形，6AB =，8BC =，8,90AD BC A ∴==∠=︒，且点F 到AD 的距离等于AB 的长，DEF ∴的边DE 上的高为6，设DE x =，则8AE AD DE x =-=-，由折叠的性质得：8,6,90A E AE x A D AB A A '''==-==∠=∠=︒，在Rt A DE '中，222A E A D DE ''+=，即()22286x x -+=， 解得254x =， 即254DE =， 则阴影部分的面积为125756244⨯⨯=， 故答案为：754． 【点睛】 本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理等知识点，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键．16．3或或2或8【分析】根据矩形的性质可得∠A ＝90°BC ＝AD ＝8然后根据等腰三角形腰的情况分类讨论根据勾股定理和垂直平分线等知识即可求解【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴∠A ＝90°BC ＝AD ＝8解析：3或52或2或8 【分析】根据矩形的性质可得∠A ＝90°，BC ＝AD ＝8，然后根据等腰三角形腰的情况分类讨论，根据勾股定理和垂直平分线等知识即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝90°，BC ＝AD ＝8，分三种情况：①BP ＝BQ ＝5时，AP ＝22BP AB -＝2254-＝3；②当PB ＝PQ 时，作PM ⊥BC 于M ，则点P 在BQ 的垂直平分线时，如图所示：∴AP ＝12BQ ＝52； ③当QP ＝QB ＝5时，作QE ⊥AD 于E ，如图所示：则四边形ABQE 是矩形，∴AE ＝BQ ＝5，QE ＝AB ＝4， ∴PE 22QP QE -2254-3，∴AP ＝AE ﹣PE ＝5﹣3＝2；④当点P 和点D 重合时，∵CQ=3，CD=4，∴根据勾股定理，PQ=5=BQ ，此时AP=AD=8，综上所述，当BPQ 为等腰三角形时，AP 的长为3或52或2或8； 故答案为：3或52或2或8． 【点睛】此题考查的是矩形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理，掌握矩形的性质、等腰三角形的性质、分类讨论的数学思想和勾股定理是解题关键． 17．【分析】由矩形的性质可得结合角平分线的定义可求得可证明结合矩形的性质可得根据三角形的面积公式得到于是得到结论【详解】解：四边形为矩形设与相交于点平分又又故答案为：【点睛】本题主要考查矩形的性质掌握矩 解析：25【分析】由矩形的性质可得2COB CDO ∠=∠，EBO BDF F ∠=∠+∠，结合角平分线的定义可求得F BDF ∠=∠，可证明BF BD =，结合矩形的性质可得AC BF =，根据三角形的面积公式得到BE ，于是得到结论．【详解】 解：四边形ABCD 为矩形，设DF 与AC 相交于点M ，AC BD ∴=，90ADC ∠=︒，OA OD =，6AB CD ==，3AD BC ==， DF 平分ADC ∠，ADG AGD ∴∠=∠，又CDB CAB ∠=∠，CMF CAB DGA ∠=∠+∠，CMF ADG CDB ∴∠=∠+∠，又90BDF ADG CDB ∠+∠+∠=︒，90BDF CMF ∴∠+∠=︒，90CMF F ∠+∠=︒，BDF F ∴∠=∠，BF BD ∴=，AC BF ∴=，6AB CD ==，3AD BC ==，BF AC ∴== 1122ABC S AC BE AB BC ∆==，BE ∴==∴25BE BF ==， 故答案为：25．【点睛】本题主要考查矩形的性质，掌握矩形的四个角都是直角、对角线互相平分且相等是解题的关键，注意三角形外角性质的应用．18．14【分析】过点D 作轴垂足为E 先证明从而得到AE ＝OB ＝4最后依据的面积＝OB•OE 求解即可【详解】解：过点D 作DE ⊥y 轴垂足为E ∵A 的坐标是点B 的坐标是∴OA ＝3OB ＝4∵ABCD 为正方形∴AB ＝解析：14【分析】过点D 作DE y ⊥轴，垂足为E ．先证明ABO DAE ≌，从而得到AE ＝OB ＝4，最后依据OBD 的面积＝12OB•OE 求解即可． 【详解】解：过点D 作DE ⊥y 轴，垂足为E ．∵A 的坐标是()0,3，点B 的坐标是()4,0-，∴OA ＝3，OB ＝4．∵ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ，∠DAB ＝90°．∵90DAE BAO ∠+∠=︒，90BAO ABO ∠+∠=︒，∴DAE ABO ∠∠＝．在ABO 和DAE △中E AOB DAE ABO AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABO DAE AAS ≌．∴AE ＝OB ＝4．∴437OE AE AO =+=+=．∴OBD 的面积＝12OB•OE ＝12×4×7＝14． 故答案为：14．【点睛】本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质和判定，求得OE 的长是解题的关键．19．3【分析】根据等腰三角形的性质得出EP=PD 进而得出AD 的长利用矩形的性质解答即可【详解】解：过F 点作FP ⊥AD 于P ∵EF=DFFP ⊥AD ∴EP=PD ∵FP ⊥AD ∴FP ∥CD ∵四边形ABCD 是矩形∴ 解析：3【分析】根据等腰三角形的性质得出EP=PD ，进而得出AD 的长，利用矩形的性质解答即可．【详解】解：过F 点作FP ⊥AD 于P ，∵EF=DF ，FP ⊥AD ，∴EP=PD ，∵FP ⊥AD ，∴FP ∥CD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴PD ∥FC ，∠PDC=90°，AD=BC ，∴四边形PFCD 是矩形，∴FC=PD=1，∴ED=2PD=2，∵翻折后的BF 恰好经过AD 边的中点E ，∴AD=2AE=4，∴BC=4，∴BF=4-1=3，故答案为：3．【点睛】本题考查了折叠的性质：叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质．20．20【分析】根据三角形的中位线定理证明四边形EFGH 是平行四边形再证明EF ⊥EH 证得四边形EFGH 是矩形即可根据矩形的面积公式计算得出答案【详解】∵点EF 分别是边ABBC 的中点∴EF ∥ACEF=AC解析：20【分析】根据三角形的中位线定理，证明四边形EFGH 是平行四边形，再证明EF ⊥EH ，证得四边形EFGH 是矩形，即可根据矩形的面积公式计算得出答案．【详解】∵点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，∴EF ∥AC ，EF=12AC=4， 同理，HG ∥AC ，HG=12AC=4，EH ∥BD ，EH=12BD=5， ∴EF=HG ，EF ∥HG ，∴四边形EFGH 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，EF ∥AC ，∴EF ⊥BD ，∵EH ∥BD ，∴EF ⊥EH ，∴∠HEF=90°，∴四边形EFGH 是矩形，∴四边形EFGH 的面积=4520EF EH ⋅=⨯=,故答案为：20．【点睛】此题考查三角形的中位线性质定理，矩形的判定定理，能证得四边形是矩形是解题的关键 ．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）当ABC 满足AB AC =时，四边形ADCE 是矩形，证明见解析【分析】(1)根据三角形中位线定理和平行四边形的判定和性质解答即可；(2)根据矩形的判定解答即可.【详解】（1）AD 是ABC 的中线12BD CD BC ∴== 12AE BC = AE BD ∴=又AE BC∴四边形ABDE 是平行四边形AB DE ∴=（2）当ABC 满足AB AC =时，四边形ADCE 是矩形 12AE BC =，12BD CD BC == AE CD ∴=又AE BC ∥∴四边形ADCE 是平行四边形AB DE =∴当AB AC =时，AC DE =∴四边形ADCE 是矩形【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及矩形的判定.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.22．（1）见解析；（2）GH ⊥EF ，见解析；（3）25【分析】（1）首先运用三角形中位线定理可得到EG ∥AB ，EG=12AB ，HF ∥AB ，EG=12AB ，即可得到四边形EGFH 是平行四边形；（2）再运用三角形中位线定理证明邻边相等，从而证明平行四边形EGFH 是菱形，即可证明GH ⊥EF ；（3）由EH ∥CD ，得到∠BDC=∠BPH=70°，由EG ∥AB ，得到∠EGD=∠ABD=20°，再利用三角形的外角性质和菱形的性质即可求解．【详解】证明：（1）∵E 、G 分别是AD 、BD 的中点，∴EG ∥AB ，且12GE AB =， 同理可证：HF ∥AB ，且12HF AB =， ∴EG ∥HF ，且EG=HF ，∴四边形EGFH 是平行四边形；（2）GH ⊥EF ，理由如下：∵G 、F 分别是BD 、BC 的中点 ，∴12GF CD =， 由（1）知12GE AB =， 又∵AB=CD ，∴GE=GF ，又∵四边形EGFH 是平行四边形，∴四边形EGFH 是菱形，∴GH ⊥EF ；（3）∵E 、H 分别是AD 、AC 的中点 ，∴EH ∥CD ，∴∠BDC=∠BPH=70°，∵EG ∥AB ，∴∠EGD=∠ABD=20°，∴∠GEP=∠BPH-∠EGD=50°，∵四边形EGFH 是菱形，∴∠GEF=∠HEF=12∠GEP =25°． 故答案为：25．【点睛】本题考查了中点四边形，菱形的判定和性质，三角形中位线的性质，熟练掌握三角形中位线的判定和性质是解题的关键．23．（1）32cm 2；（2）①四边形的面积为S ＝12t ＋16（cm 2）；②当t ＝43或45时，S △BAP ＝S △CQB ．【分析】 (1) 由|8－a|＋(b －4)2＝0．可求=8=4a b ，，可求长方形ABCD 的面积=AD•AB ＝32(cm 2)；(2)① 当P 在线段AD 上运动时，如图，DP ＝8－2t ，DQ ＝4t ，连BD ，可求S 四边形BPDQ ＝S △BDP ＋S △BDQ ＝12t ＋16(cm 2)；②由S △BAP ＝S △CQB ，可列方程12×2t×4＝12×|4t －4|×8，化去绝对值44t t -=±分类解方程即可．【详解】解：(1) a 、b 满足|8－a|＋(b －4)2＝0．∵()28-0,40a b ≥-≥， ∴8-=04=0a b -，，∴=8=4a b ，，∴AD ＝8cm ，AB ＝4cm ，∴长方形ABCD 的面积=AD•AB ＝32(cm 2)；(2)① 当P 在线段AD 上运动时，如图，DP ＝8－2t ，DQ ＝4t ，连BD ，S 四边形BPDQ ＝S △BDP ＋S △BDQ ，＝12(8－2t)×4＋12×4t×8， ＝12t ＋16(cm 2)； ②由S △BAP ＝S △CQB ，得：12×2t×4＝12×|4t －4|×8， 即|4t －4|＝t ，44t t -=±，44t t -=或44t t -=-，解得：t ＝43或45， 当t ＝43或45时，S △BAP ＝S △CQB ． 【点睛】本题考查非负数和的性质，矩形面积，四边形面积，一元一次方程，掌握非负数的性质，利用非负数求出AD，AB，会求矩形面积，以及四边形面积，会利用三角形面积列方程解决问题是解题关键．24．8s或28 3s【分析】设运动时间为t秒，则有AP＝t，CQ＝2t，分PQ//CD和PQ与CD不平行两种情况进行讨论，再根据平行四边形或梯形的性质建立方程即可求解．【详解】解：（1）当PQ//CD时，∵AD//BC，∴四边形PDCQ是平行四边形，∴PD＝CQ，而AP＝t，CQ＝2t，PD＝AD－AP＝24－t，即：2t＝24－t解得： t＝8．（2）当PQ与CD不平行时，而AD//BC，PQ＝CD，∴四边形PDCQ是等腰梯形，作PM⊥BC于M，DN⊥BC于N，则四边形ABND、PMND均是矩形，∴AD＝BN＝24，CN＝BC－BN＝2，QM＝CN＝2，PD＝MN，而CQ＝QM＋MN＋NC，∴ 2t＝24－t＋2＋2，解得： t＝283．【点睛】此题考查了平行四边形的性质及等腰梯形的判定与性质，属于动点型问题，关键是分类讨论点P及点Q位置，然后利用方程思想求解t的值．25．（1）见解析（2）见解析（3）∠BAC＝90°【分析】（1）根据平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）利用等腰三角形的性质，结合矩形的判定方法得出答案；（3）当△ABC为等腰直角三角形时，四边形AFBD是正方形，理由为：由第一问证得的AF ＝BD，且AF与BD平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得四边形AFBD为平行四边形，若三角形ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD＝BD，且根据三线合一得到AD与BC垂直，可得平行四边形的邻边相等且有一个角为直角，即可判定出四边形AFBD 为正方形．【详解】（1）证明：∵点D 是BC 边的中点，点E 是AD 的中点，∴DE 是△BCF 的中位线，∴DE ∥BF ，∴AD ∥BF ，∵AF ∥BC ，∴四边形AFBD 是平行四边形；（2）证明：（2）∵AB ＝AC ，BD ＝DC ，∴AD ⊥BC ．∴∠ADB ＝90°．∵四边形AFBD 是平行四边形，∴四边形AFBD 是矩形；（3）当△ABC 为等腰直角三角形，且∠BAC ＝90°时，四边形AFBD 是正方形，理由如下： ∵四边形AFBD 为平行四边形，又∵等腰直角三角形ABC ，且D 为BC 的中点，∴AD ＝BD ，∠ADB ＝90°，∴四边形AFBD 为正方形．故答案为：∠BAC ＝90°．【点睛】此题考查了正方形的判定，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，等腰直角三角形的性质，熟练掌握各判定定理是解题的关键．26．（1；（2）OM ON =，证明详见解析；（3）详见解析【分析】（1）由题意可得OC=OB ，OC ⊥OB ，再根据勾股定理即可得到答案；（2）连接OB ，OC ，证明BOM CON ∆∆≌，即可得出答案；（3）根据题意可推出OBF ∆为等边三角形，可得60OBF F ∠=∠=︒，BF OF ==45OBC ∠=︒，可得45OBM ∠=︒，从而可推出，EBM EMB ∠=∠，即可得证．【详解】解：（1）∵点O 是正方形ABCD 的两条对角线的交点，以点O 为直角顶点的直角三角形OEF 的两边OE ，OF 分别过点B ，C ，∴OC=OB ，OC ⊥OB ，∵BC=2，∴OC 2=BC 2-OB 2，2OC 2=BC 2，2OC 2=4，即；（2）OM ON =；证明：如图，连接OB ，OC ，∵点O 是正方形ABCD 的两条对角线的交点，∴OB OC =，45OBM OCN ∠=∠=︒，∵90BOF MOB BOF NOC ∠+∠=∠+∠=︒，∴MOB NOC ∠=∠，在BOM ∆和CON ∆中OBM OCN OB OC MOB NOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()BOM CON ASA ∆∆≌，∴OM ON =；（3）连接OB ，OC ，∵OF OC =，OB OC =，∴OB OF =，∵在Rt OEF ∆中，30E ∠=︒，∴60F ∠=︒，∴OBF ∆为等边三角形，∴60OBF F ∠=∠=︒，2BF OF ==又∵45OBC ∠=︒，∴45OBM ∠=︒，∵180180456075EBM OBM OBF ∠=-∠-∠=--︒︒=︒︒︒，∴180180753075EMB EBM E ∠=-∠-∠=-︒-︒=︒︒︒，∴EBM EMB ∠=∠，∴EM EB =．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握知识点是解题关键．。

第1章特殊的平行四边形一．选择题（共8小题，满分32分）1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6cm，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC 沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间为t秒，若四边形QP′CP为菱形，则t的值为（）A．B．2C．D．32．如图．若要使平行四边形ABCD成为菱形．则需要添加的条件是（）A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD3．如图，Rt△ABC中，DC是斜边AB上的中线，EF过点C且平行于AB．若∠BCF＝35°，则∠ACD的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°4．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P在AB上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于（）A．B．C．D．5．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（）A．2B．2.2C．2.4D．2.56．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判定它为正方形的条件是（）A．AO＝CD B．AO＝CO＝BO＝DOC．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD D．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD7．顺次连接等腰梯形四边中点得到一个四边形，再顺次连接所得四边形四边中点得到的图形是（）A．等腰梯形B．正方形C．菱形D．矩形8．如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为（）A．2+2B．5﹣C．3﹣D．+1二．填空题（共10小题，满分30分）9．如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，…依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为；所作的第n个四边形的周长为．10．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：，使得该菱形为正方形．11．如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是．12．如图是一个矩形桌子，一小球从P撞击到Q，反射到R，又从R反射到S，从S反射回原处P，入射角与反射角相等（例如∠PQA＝∠RQB等），已知AB＝8，BC＝15，DP＝3．则小球所走的路径的长为．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于．14．如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB 的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°．给出如下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④FH＝BD其中正确结论的为（请将所有正确的序号都填上）．15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．AC＝8cm，BD＝6cm，点P为AC上一动点，点P以1cm/s的速度从点A出发沿AC向点C运动．设运动时间为ts，当t＝s时，△PAB为等腰三角形．16．如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ．过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE ＝AP ＝1，PB ＝．下列结论：①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为；③EB ⊥ED ；④S △APD +S △APB ＝1+；⑤S 正方形ABCD ＝4+．其中正确结论的序号是 ．17．如图，在3×4的矩形方格图中，不包含阴影部分的矩形个数是 个．18．如图，在四边形ABCD 中，AC ＝BD ＝6，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则EG 2+FH 2＝ ．三．解答题（共7小题，满分88分）19．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝8，∠BAC ＝100°，AD 是∠BAC 的平分线，交BC 于D ，点E 是AB 的中点，连接DE ．（1）求∠BAD 的度数；（2）求∠B 的度数；（3）求线段DE 的长．20．如图，在▱ABCD中，BC＝2AB＝4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．21．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，AE∥DC，EC∥AD，连接DE交AC于点O，（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若AB＝AO，求tan∠OCE的值．22．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的外角平分线于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．23．已知▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB＝4cm，求这个平行四边形的面积．24．如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED．求证：四边形ABCD 是正方形．25．已知，如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连接CF．（1）若DG＝2，求证四边形EFGH为正方形；（2）若DG＝6，求△FCG的面积；（3）当DG为何值时，△FCG的面积最小．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：连接PP′交BC于O，∵若四边形QPCP′为菱形，∴PP′⊥QC，∴∠POQ＝90°，∵∠ACB＝90°，∴PO∥AC，∴＝，∵设点Q运动的时间为t秒，∴AP＝t，QB＝t，∴QC＝6﹣t，∴CO＝3﹣，∵AC＝CB＝6，∠ACB＝90°，∴AB＝6，∴＝，解得：t＝2，故选：B．2．解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，那么可添加的条件是：AB＝BC．故选：C．3．解：∵EF∥AB，∴∠BCF＝∠B，∵∠BCF＝35°，∴∠B＝35°，∵DC是斜边AB上的中线，∴AD＝BD＝CD，∴∠B＝∠BCD，∠ACD＝∠CAD，∵∠ADC ＝∠B +∠BCD ，∴∠ADC ＝70°，∴∠ACD ＝（180°﹣70°）＝55°，故选：C ．4．解：方法一：设AP ＝x ，PB ＝3﹣x ．∵∠EAP ＝∠EAP ，∠AEP ＝∠ABC ；∴△AEP ∽△ABC ，故＝①； 同理可得△BFP ∽△DAB ，故＝②．①+②得＝， ∴PE +PF ＝． 方法二：（面积法）如图，作BM ⊥AC 于M ，则BM ＝＝，∵S △AOB ＝S △AOP +S △POB ，∴•AO •BM ＝•AO •PE +•OB •PF ，∵OA ＝OB ，∴PE +PF ＝BM ＝．故选：B ．5．解：∵在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，∴AB 2+AC 2＝BC 2，即∠BAC ＝90°．又∵PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，∴四边形AEPF 是矩形，∴EF ＝AP ．因为AP 的最小值即为直角三角形ABC 斜边上的高，即2.4，∴EF 的最小值为2.4，故选：C．6．解：A、不能判定为特殊的四边形；B、只能判定为矩形；C、只能判定为菱形；D、能判定为正方形；故选：D．7．解：∵等腰梯形的两条对角线相等，∴顺次连接等腰梯形四边中点得到的四边形是菱形，∵菱形的对角线互相垂直，∴再顺次连接所得四边形四边的中点得到的图形是矩形．故选：D．8．解：方法一：如图，延长DA、BC交于点G，∵四边形ABED是正方形，∴∠BAD＝90°，AD＝AB，∴∠BAG＝180°﹣90°＝90°，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB＝2，∠ABC＝60°，∴AG＝AB•tan∠ABC＝2×tan60°＝2，∴DG＝AD+AG＝2+2，∵∠G＝90°﹣60°＝30°，DF⊥BC，∴DF＝DG＝×（2+2）＝1+，故选D．方法二：如图，过点E作EG⊥DF于点G，作EH⊥BC于点H，则∠BHE＝∠DGE＝90°，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB＝2，∠ABC＝60°，∵四边形ABED是正方形，∴BE＝DE＝2，∠ABE＝∠BED＝90°，∴∠EBH＝180°﹣∠ABC﹣∠ABE＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴EH＝BE•sin∠EBH＝2•sin30°＝2×＝1，BH＝BE•cos∠EBH＝2cos30°＝，∵EG⊥DF，EH⊥BC，DF⊥BC，∴∠EGF＝∠EHB＝∠DFH＝90°，∴四边形EGFH是矩形，∴FG＝EH＝1，∠BEH+∠BEG＝∠GEH＝90°，∵∠DEG+∠BEG＝90°，∴∠BEH＝∠DEG，在△BEH和△DEG中，，∴△BEH≌△DEG（AAS），∴DG＝BH＝，∴DF＝DG+FG＝+1，故选：D．二．填空题（共10小题，满分30分）9．解：根据三角形中位线定理得，第一个四边形的边长为＝，周长为2，第二个四边形的周长为＝4，第三个四边形的周长是：4（）3＝，第n个四边形的周长为4（）n，故答案为，4（）n．10．解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC＝BD；根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB⊥BC；故添加的条件为：AC＝BD或AB⊥BC．11．解：连接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°；又∵∠ACB＝90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴AC•BC＝AB•PC，∴PC＝．∴线段EF长的最小值为；故答案是：．12．解：∵入射角与反射角相等，∴∠BQR＝∠AQP，∠APQ＝∠SPD，∠CSR＝∠DSP，∠CRS＝∠BRQ，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴∠DPS+∠DSP＝90°，∠AQP+∠APQ＝90°，∴∠DSP＝∠AQP＝∠CSR＝∠BQR，∴∠RSP＝∠RQP，同理∠SRQ＝∠SPQ，∴四边形SPQR是平行四边形，∴SR＝PQ，PS＝QR，在△DSP和△BQR中∴△DSP≌△BQR，∴BR＝DP＝3，BQ＝DS，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，BC＝AD＝15，∴AQ＝8﹣DS，AP＝15﹣3＝12，∵∠SPD＝∠APQ，∴△SDP∽△QAP，∴＝∴＝，DS＝，在Rt△DSP中，由勾股定理得：PS＝QR＝＝，同理PQ＝RS＝，∴QP+PS+SR+QR＝2×+2×＝34，故答案为：34．13．解：如图，∵∠C＝90°，点D为AB的中点，∴AB＝2CD＝10，∴CD＝5，∴BC＝CD＝5，在Rt△ABC中，AC＝＝＝5．故答案为：5．14．解：∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC＝60°，AE＝AC，∵∠BAC＝30°，∴∠FAE＝∠ACB＝90°，AB＝2BC，∵F为AB的中点，∴AB＝2AF，∴BC＝AF，∴△ABC≌△EFA，∴FE＝AB，∴∠AEF＝∠BAC＝30°，∴EF⊥AC，故①正确，∵EF⊥AC，∠ACB＝90°，∴HF∥BC，∵F是AB的中点，∴HF＝BC，∵BC＝AB，AB＝BD，∴HF＝BD，故④说法正确；∵AD＝BD，BF＝AF，∴∠DFB＝90°，∠BDF＝30°，∵∠FAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，∴∠DFB＝∠EAF，∵EF⊥AC，∴∠AEF＝30°，∴∠BDF＝∠AEF，∴△DBF≌△EFA（AAS），∴AE＝DF，∵FE＝AB，∴四边形ADFE为平行四边形，∵AE≠EF，∴四边形ADFE不是菱形；故②说法不正确；∴AG＝AF，∴AG＝AB，∵AD＝AB，则AD＝4AG，故③说法正确，故答案为：①③④．15．解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8cm，BD＝6cm，∴AC⊥BD，AO＝OC＝4cm，BO＝OD＝3cm，由勾股定理得：BC＝AB＝AD＝CD＝5cm，分为三种情况：①如图1，当PA＝AB＝5cm时，t＝5÷1＝5；②如图2，当P和C重合时，PB＝AB＝5cm，t＝8÷1＝8；③如图3，作AB的垂直平分线交AC于P，此时PB＝PA，连接PB，在Rt△BOP中，由勾股定理得：BP2＝BO2+OP2，AP2＝32+（4﹣AP）2，AP＝；t＝÷1＝，故答案为：5或8或．16．解：①∵∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°，∴∠EAB＝∠PAD，又∵AE＝AP，AB＝AD，∵在△APD和△AEB中，，∴△APD≌△AEB（SAS）；故此选项成立；③∵△APD≌△AEB，∴∠APD＝∠AEB，∵∠AEB＝∠AEP+∠BEP，∠APD＝∠AEP+∠PAE，∴∠BEP＝∠PAE＝90°，∴EB ⊥ED ；故此选项成立；②过B 作BF ⊥AE ，交AE 的延长线于F ，∵AE ＝AP ，∠EAP ＝90°，∴∠AEP ＝∠APE ＝45°，又∵③中EB ⊥ED ，BF ⊥AF ，∴∠FEB ＝∠FBE ＝45°，又∵BE ＝＝＝，∴BF ＝EF ＝， 故此选项不正确；④如图，连接BD ，在Rt △AEP 中，∵AE ＝AP ＝1，∴EP ＝， 又∵PB ＝， ∴BE ＝，∵△APD ≌△AEB ，∴PD ＝BE ＝，∴S △ABP +S △ADP ＝S △ABD ﹣S △BDP ＝S正方形ABCD ﹣×DP ×BE ＝×（4+）﹣××＝+．故此选项不正确．⑤∵EF ＝BF ＝，AE ＝1， ∴在Rt △ABF 中，AB 2＝（AE +EF ）2+BF 2＝4+，∴S 正方形ABCD ＝AB 2＝4+， 故此选项正确．故答案为：①③⑤．17．解：第一行有1个矩形，第二行有1个矩形，第三行有6个，第一列有3个，第二列有1个，第四列有3个，那么共有1+1+6+3+1+3＝15个，图中还有11个正方形，因为正方形也是矩形的一种，因此共有26个矩形．故答案为26．18．解：如右图，连接EF，FG，GH，EH，∵E、H分别是AB、DA的中点，∴EH是△ABD的中位线，∴EH＝BD＝3，同理可得EF，FG，GH分别是△ABC，△BCD，△ACD的中位线，∴EF＝GH＝AC＝3，FG＝BD＝3，∴EH＝EF＝GH＝FG＝3，∴四边形EFGH为菱形，∴EG⊥HF，且垂足为O，∴EG＝2OE，FH＝2OH，在Rt△OEH中，根据勾股定理得：OE2+OH2＝EH2＝9，等式两边同时乘以4得：4OE2+4OH2＝9×4＝36，∴（2OE）2+（2OH）2＝36，即EG2+FH2＝36．故答案为：36．三．解答题（共7小题，满分88分）19．解：（1）∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝100°，∴∠BAD＝50°；（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠；（3）∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD是等腰△ABC底边BC上的高，即∠ADB＝90°在直角三角形ABD中，点E是AB的中点，∴DE为斜边AB边上的中线，∴DE＝．20．（1）证明：∵在▱ABCD中，AB＝CD，∴BC＝AD，∠ABC＝∠CDA．又∵BE＝EC＝BC，AF＝DF＝AD，∴BE＝DF．∴△ABE≌△CDF．（2）解：∵四边形AECF为菱形，∴AE＝EC．又∵点E是边BC的中点，∴BE＝EC，即BE＝AE．又∵BC＝2AB＝4，∴AB＝BC＝BE，∴AB＝BE＝AE，即△ABE为等边三角形，如图，过点A作AH⊥BC于H，∴BH＝BE＝1，根据勾股定理得，AH＝∴菱形AECF的面积为2．21．（1）证明：∵AE∥DC，EC∥AD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵∠BAC＝90°，点D是BC的中点，∴AD＝BD＝CD，∴平行四边形ADCE是菱形；（2）解：∵四边形ADCE是菱形，∴∠EOC＝90°，AO＝CO，∠ACE＝∠ACD，∴tan∠ACB＝＝，∴tan∠OCE＝．22．（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的外角平分线于点F，∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，∵MN∥BC，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴EO＝CO，FO＝CO，∴OE＝OF；（2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，∵CE＝12，CF＝5，∴EF＝＝13，∴OC＝EF＝6.5；（3）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．证明：当O为AC的中点时，AO＝CO，∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．23．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC＝AC，BO＝OD＝BD，∵△AOB是等边三角形，∴AO＝BO．∴AC＝BD．∴平行四边形ABCD是矩形，在Rt△ABC中，∵AB＝4cm，AC＝2AO＝8cm，∴BC＝＝4cm，＝AB×BC＝4cm×4cm＝16cm2．∴S平行四边形ABCD24．证明：∵∠CED是△BCE的外角，∠AED是△ABE的外角，∴∠CED＝∠CBE+∠BCE，∠AED＝∠BAE+∠ABE，∵∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED，∴∠CBE＝∠ABE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝90°，AB＝CD，∴∠CBE＝∠ABE＝45°，∴△ABD与△BCD是等腰直角三角形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∴四边形ABCD是正方形．25．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，∴∠D＝∠A＝90°，HG＝HE，又AH＝DG＝2，∴Rt△AHE≌Rt△DGH（HL），∴∠DHG＝∠HEA，∵∠AHE+∠HEA＝90°，∴∠AHE+∠DHG＝90°，∴∠EHG＝90°，∴四边形HEFG为正方形；（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠MGE，∵HE∥GF，∴∠HEG＝∠FGE，∴∠AEH＝∠MGF，在△AHE和△MFG中，∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，∴△AHE≌△MFG，∴FM＝HA＝2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，因此；（3）设DG＝x，则由第（2）小题得，S＝7﹣x，在△AHE中，AE≤AB＝7，△FCG∴HE2≤53，∴x2+16≤53，∴x≤，∴S的最小值为，此时DG＝，△FCG∴当DG＝时，△FCG的面积最小为（）．。