九年级数学平行四边形的存在性(二)(含答案)

平行四边形存在性（二）试卷简介:考查平行四边形存在性问题，从分析平行四边形的顶点开始，确定定点、动点，挖掘不变特征，借助平行四边形的性质以及函数特征建等式解决问题。

一、单选题(共4道，每道25分)1.如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点P（1，k）在直线BC上．已知点M在x轴上，点N在抛物线上，若以A，M，N，P为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的点M有( )个．A.2B.3C.4D.5答案：C解题思路：易求得A（-1，0），P（1，-2）．A，P为定点，M，N分别为x轴和抛物线上的动点，要使得以A，M，N，P为顶点的四边形是平行四边形，需把线段AP当作平行四边形的边或者对角线进行分类讨论．当AP为边时，如图，平移AP使得线段两端点分别在抛物线和x轴上，共有4种情况，对应的点M分别为．当AP为对角线时，如图，记AP与y轴的交点为D，易求得，D为线段AP的中点．由点M在x轴上可知，此时PN∥x轴，点和点重合，连接并延长，交x轴于点，易证点与点重合（由于点P在对称轴上，故）．综上可得，满足条件的点M有4个．试题难度：三颗星知识点：平行四边形的存在性2.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO为矩形，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标为（3，4）．E，F分别在OA，AB边上，且点F的坐标为（2，4），将矩形ABCO 沿直线EF折叠，点A落在BC边上的点G处．若点N在x轴上，点M在直线EF上，且以M，N，F，G为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为( )A.B.C.D.答案：C解题思路：1．解题要点①根据题目要求，确定为平行四边形存在性问题．②分析定点、动点，挖掘不变特征．F，G为定点，M，N为动点，FG为定线段，把FG当作平行四边形的边或对角线来分类讨论．③每种情况下，分析几何特征，画出图形，表达线段长，建等式求解．2．解题过程由题意得，AF=2，BF=1，BC=4．由折叠可知，AF=GF=2，∠AFE=∠GFE．在Rt△BFG中，由勾股定理得，．∴∠GFB=60°，∴∠AFE=∠GFE=60°，∴直线EF的斜率为．又∵F（2，4），∴直线EF的解析式为．①如图，当FG为平行四边形的边时，易得点的纵坐标分别为．代入一次函数表达式得，．②如图，当FG为平行四边形的对角线时，过点作⊥AB于点D．易证，∴．∵，CD=4，∴，∴点的纵坐标为，代入一次函数表达式可得，．综上得，点M的坐标为．试题难度：三颗星知识点：平行四边形的存在性3.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点．P为抛物线上一动点，Q为直线y=-x上一动点，若以O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点Q的横坐标为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：1．解题要点①根据题目要求，确定为平行四边形存在性问题．②分析定点、动点，挖掘不变特征．O，B为定点，P，Q分别为抛物线和直线上的动点，把OB当作平行四边形的边或对角线来分类讨论．③每种情况下，分析几何特征，画出图形，表达线段长，建等式求解．2．解题过程设抛物线的解析式为，把点B的坐标代入上式，得，∴．①如图，当OB为边时，OB∥PQ且OB=PQ=4．设点Q的横坐标为m，则Q（m，-m），．或，由得，．由得，m=-4或m=0（舍去）．②如图，当OB为对角线时，记OB的中点为D．则D（0，-2），且点D为的中点．设点，，由中点坐标公式得，∴，即点的坐标．∵点在抛物线上，∴，∴n=4或n=0（舍去）．综上得，点Q的横坐标为．试题难度：三颗星知识点：平行四边形的存在性4.如图，抛物线与直线交于A，B两点，线段MN在线段AB上移动，且MN=2，点A，M分别在点B，N的左侧．设点N的横坐标为，过点M作x轴的垂线，垂足为点P，过点N作x轴的垂线，交抛物线于点Q，若以P，M，Q，N为顶点的四边形是平行四边形，则n的值为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：1．解题要点①根据题目要求，确定为平行四边形存在性问题．②分析定点、动点，挖掘不变特征．P，M，Q，N均为动点，MP∥NQ，要使得以P，M，Q，N为顶点的四边形是平行四边形，只需MP=NQ．③借助坐标表达线段长，建等式求解．2．解题过程如图，分别过点M，N作x轴、y轴的垂线，两垂线交于点C，则∠MCN=90°．直线与x轴负半轴的夹角为60°，故∠MNC=60°，∠NMC=30°．∵MN=2，∴CN=1．∵点N的横坐标为n，∴点M的横坐标为n-1．由题意可知，．∵MP⊥x轴，NQ⊥x轴，∴MP∥NQ，点M与点P的横坐标相等，点N与点Q的横坐标相等，∴，．要使得以P，M，Q，N为顶点的四边形是平行四边形，只需MP=NQ．如图，当点M在y轴左侧时，，由得，．如图，当点M在y轴右侧时，，由得，．综上得，n的值为．试题难度：三颗星知识点：平行四边形的存在性。

专题17 函数动点问题中平行四边形存在性类型一、平行四边形存在性结论：A C B DA CB Dx x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩类型二、特殊平行四边形存在性 1. 矩形存在性常用解题思路：构造一线三直角（借助相似或三角函数求解）；利用矩形对角线相等（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）借助勾股定理求解等.2. 菱形存在性常用解题思路：利用菱形四条边相等，对角线互相垂直，借助勾股定理等求解. 3. 正方形存在性常用解题思路：兼具矩形和菱形二者.【例1】（2018·郑州预测卷）如图，直线y =334x -+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线y =234ax x c ++经过B 、C 两点.（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E 是直线BC 上方抛物线上的一个动点，当△BEC 的面积最大时，求出点E 的坐标和最大值； （3）在（2）条件下，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，连接AM ，点Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使以点P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）△直线y=334x-+与x轴交于点C，与y轴交于点B，△B(0,3)，C(4,0)，将B(0,3)，C(4,0)代入y= 234ax x c++得：16303a cc++=⎧⎨=⎩，解得：383ac⎧=-⎪⎨⎪=⎩，△抛物线的解析式为：233384y x x=-++.（2）过点E作EF△x轴于F，交BC于M，设E（x，233384x x-++），则M（x，334x-+），△ME=233384x x-++－（334x-+）=23382x x-+△S△BEC=12×EM×OC=2EM=2(23382x x-+)=()23234x--+,△当x=2时，△BEC的面积取最大值3，此时E(2，3).（3）由题意得：M (2，32)，抛物线对称轴为：x =1，A (－2,0), 设P (m ，y )，y =233384m m -++，Q (1，n )△当四边形APQM 为平行四边形时，有：212m -+=+，解得：m =－3， 即P (－3，218-)； △当四边形AMPQ 为平行四边形时，有：－2+m =2+1，即m =5 即P (5, 218-)； △当四边形AQMP 为平行四边形时，有：2－2=1+m ，得：m =－1，即P (－1，158)； 综上所述，抛物线上存在点P ，使以点P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形，点P 的坐标为：(－3，218-)，(5, 218-)，(－1，158).【变式1-1】（2018·河师大附中模拟）如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A (－1，0)、B (3，0)两点，与y 轴交于点C (0，－3).（1）求抛物线的解析式与顶点M 的坐标； （2）求△BCM 的面积与△ABC 面积的比；（3）若P 是x 轴上一个动点，过P 作射线PQ △AC 交抛物线于点Q ，随着P 点的运动，在x 轴上是否存在这样的点P ，使以点A 、P 、Q 、C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (－1，0)，B (3，0)， C (0，－3)代入y =ax 2+bx +c ，得：9303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩， 解得：a =1，b =－2，c =－3，即抛物线的解析式为：y =x 2－2x －3，顶点M 的坐标为：（1，－4）； （2）连接BC ，BM ，CM ，过M 作MD △x 轴于D ，如图所示，S△BCM=S梯形ODMC+S△BDM－S△BOC=3，S△ACB=6，△S△BCM：S△ACB=1：2；（3）存在.△当点Q在x轴上方时，过Q作QF△x轴于F，如图所示，△四边形ACPQ为平行四边形，△QP△AC，QP=AC△△PFQ△△AOC，△FQ=OC=3，△3=x2﹣2x﹣3，解得x或x=1，△Q，3)或(1，3)；△当点Q在x轴下方时，过Q作QE△x轴于E，如图所示，同理，得：△PEQ△△AOC，△EQ=OC=3，△﹣3=x2﹣2x﹣3，解得：x=2或x=0(与C点重合，舍去)，△Q(2，﹣3)；综上所述，点Q 的坐标为：，3)或(1，3)或(2，﹣3).【例2】（2018·郑州三模）如图所示，在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+bx －5与x 轴交于A (-1,0),B (5,0)两点，与y 轴交于点C .（1）求抛物线的解析式；（2）如图2所示，CE △x 轴与抛物线相交于点E ，点H 是直线CE 下方抛物线上的动点，过点H 且与y 轴平行的直线与BC 、CE 分别交于点F 、G ，试探究当点H 运动到何处时，四边形CHEF 的面积最大，求点H 的坐标及最大面积；（3）点M 是（1）中所求抛物线对称轴上一动点，点N 是反比例函数y =kx图象上一点，若以点B 、C 、M 、N 为动点的四边形是矩形，请直接写出满足条件的k 的值.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (-1,0),B (5,0)代入y =ax 2+bx －5得：5025550a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：14a b =⎧⎨=-⎩， 即抛物线的解析式为：y =x 2－4x －5.（2）在y =x 2－4x －5中，当x =0时，y =－5，即C (0，－5), △CE △x 轴，则C 、E 关于直线x =2对称， △E (4，－5), CE =4，由B （5,0）, C (0，－5)得直线BC 的解析式为：y =x －5， 设H (m ，m 2－4m －5)， △FH △CE ， △F (m ，m －5)，△FH = m －5－（m 2－4m －5)= －m 2+5m ，S四边形CHEF=12·FH·CE=12（－m2+5m）×4=－2（m－52）2+252，当m=52时，四边形CHEF的面积取最大值252，此时H(52，354-).（3）设M（2，m），N(n，kn)，B(5,0)，C(0，－5)，△当BC为矩形对角线时，此时：2+n=5+0，m+kn=0－5，即n=3，设BC与MN交于点H，则H(52，52-)，MH=12BC△22255222m⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：m=1或m=－6，当m=1时，k=－18；m=－6时，k=3，△当BC为矩形边时，分两种情况讨论：（i）当点M在直线BC下方时，即四边形BCMN为矩形，则△BCM=90°，2+5=n+0，m=kn－5，过M作MH△y轴于H，则由OB=OC知，△OCB=45°，△△MCH=△CMH=45°，即CH=MH，△－5－m=2，解得：m=－7，n=7，k=－14；（ii）当点M在直线BC上方时，即四边形BCNM为矩形，则△CBM=90°，n+5=2，kn=m－5，设对称轴与x 轴交于点H ，同理可得：BH =MH ， △3=m ，n =－3，k =6；综上所述，k 的值为：－18，3，－14或6.【变式2-1】（2019·驻马店二模）如图，抛物线 y =-x 2+bx +c 经过 A (-1，0)，B (3，0)两点，且与 y 轴交于点 C ，点 D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴 DE 交 x 轴于点 E ，连接BD ．（1）求经过 A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式．（2）点 P 是线段 BD 上一点，当 PE =PC 时，求点 P 的坐标．（3）在（2）的条件下，过点 P 作 PF △x 轴于点 F ，G 为抛物线上一动点，M 为 x 轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点，当以 F ，M ，G ，N 为顶点的四边形是正方形时，请求出点 M 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）△抛物线 y =-x 2+bx +c 经过 A (-1，0)，B (3，0)两点， △10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，即抛物线的解析式为：y =-x 2+2x +3.（2）由y =-x 2+2x +3知，C (0，3)，E (1，0)，D (1,4)， 可得直线BD 的解析式为：y =-2x +6，设P （m ，-2m +6），由勾股定理得：PE 2=()()22126m m -+-+，PC 2=()22263m m +-+-，由PE =PC ，得：()()22126m m -+-+=()22263m m +-+-， 解得：m =2，即P (2，2).（3）△M 在x 轴上，N 在直线PF 上， △△NFM =90°，由四边形MFNG 是正方形，知MF =MG ， 设M (n ，0)，则G (n ，-n 2+2n +3)， MG =|-n 2+2n +3|，MF =|n -2|， △|-n 2+2n +3|=|n -2|， 解得：nn或n或n， 故点M 的坐标为：（32+，0），（320），（12+，0），（12-，0）. 【变式2-2】（2019·大联考）如图1，抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A (-4,0)，B (1,0)，C （0,3），点P 在抛物线上，且在x 轴的上方，点P 的横坐标记为t .（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点P 作y 轴的平行线交直线AC 于点M ，交x 轴于点N ，若MC 平分△PMO ，求t 的值. （3）点D 在直线AC 上，点E 在y 轴上，且位于点C 的上方，那么在抛物线上是否存在点P ，使得以点C 、D 、E 、P 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出菱形的面积.图1 图2【答案】见解析.【解析】解：（1）△抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A (-4,0)，B (1,0)，C （0,3），△31640ca b ca b c=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解得：39434cba⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，即抛物线的解析式为：y=34-x294-x+3.（2）由A(-4,0)，C(0,3)得直线AC的解析式为：y=334x+，△点P的横坐标为t，△M(t, 334t+)，△PN△y轴，△△PMC=△MCO，△MC平分△PMO，△△PMC=△OMC，△△MCO=△OMC，即OM=OC=3，△OM2=9，即223394t t⎛⎫++=⎪⎝⎭，解得：t=0（舍）或t=7225，△当MC平分△PMO时，t=72 25.（3）设P(t,34-t294-t+3)，△当CE为菱形的边时，四边形CEPD为菱形，则PD△y轴，CD=PD，则D(t，33 4t+),△PD =34-t 294-t +3－（334t +）=34-t 23-t ， 由勾股定理得：CD=54t -，△34-t 23-t =54t -，解得：t =0（舍）或t =73-， 即PD =3512，菱形面积为：3512×73=24536；△当CE 为菱形的对角线时，此时P 与D 点关于y 轴对称，则D (-t , 34-t 294-t +3)，将D 点坐标代入y =334x +，得： 34-t 294-t +3=()334t -+，解得：t =0（舍）或t =－2， PD =4，CE =3，菱形的面积为：12×4×3=6；综上所述，菱形的面积为：24536或6.1.（2019·南阳毕业测试）如图1，抛物线y ＝ax 2+bx +2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，AB ＝4，矩形OBDC 的边CD ＝1，延长DC 交抛物线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）如果点N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M ，使得以M ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）△矩形OBDC的边CD＝1，△OB＝1，由AB＝4，得OA＝3，△A（﹣3，0），B（1，0），△抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，△a+b+2=0，9a－3b+2=0，解得：a=23-，b=43-，△抛物线解析式为y＝23-x243-x+2；（2）以AC为边或对角线分类讨论：A（﹣3，0），C（0，2），抛物线y＝23-x243-x+2的对称轴为x＝﹣1，设M(m, y M)，N(－1，n)，y M=23-m243-m+2△当四边形ACMN为平行四边形时，有：312Mmy n-+=-⎧⎨=+⎩，解得：m=2，y M=103-，即M(2，103-)；△当四边形ACNM为平行四边形时，有：312Mmy n --=⎧⎨+=⎩，解得：m=－4，y M=103-，即M(－4，103-)；△当四边形AMCN为平行四边形时，有：312Mmy n -=-⎧⎨=+⎩，解得：m=－2，y M=2，即M(－2，2)；综上所述，点M的坐标为（2，103-）或（﹣4，103-）或（﹣2，2）．2.（2019·开封模拟）如图，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝﹣12x2+bx+c交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得△ABP＝90°，求出点P坐标；（3）点E是抛物线对称轴上一点，点F是抛物线上一点，是否存在点E和点F使得以点E，F，B，O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）在y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，即点A、B的坐标分别为（0，4）、（4，0），将（0，4）、（4，0），代入二次函数表达式，并解得：b=1，c=4，抛物线的解析式为：y＝﹣12x2+x+4；（2）△OA＝OB＝4，△△ABO＝45°，△△ABP＝90°，则△PBO=45°，若直线PB交y轴于点M，则OM=OB=4，可得直线BP的解析式为：y=x－4，联立：y=x－4，y＝﹣12x2+x+4，得：x=4，y=0(即B点)；x=－4，y=－8，即P(－4，－8).（3）存在；由y＝﹣12x2+x+4知抛物线的对称轴为：x=1，设E(1，m)，F(n，﹣12n2+n+4)，O(0,0)，B(4,0)，△当四边形OBEF是平行四边形时，有：EF=4，△n-1=-4，即n=-3，F点坐标为（-3，72 -）；△当四边形OBFE是平行四边形时，有：EF=4，n-1=4，即n=5，F点坐标为（5，72 -）；△当四边形OFBE是平行四边形时，有：41Fnm y=+⎧⎨=+⎩,即n=3，F点坐标为（3，52）；综上所述：点F的坐标为（5，72-），（﹣3，72-），（3，52）．3.（2019·开封二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线y＝﹣x交第二象限于点E，与x轴交于A（﹣3，0），B 两点，与y轴交于点C，EC△x轴．（1）求抛物线的解析式；（2）如果点N是抛物线对称轴上的一个动点，抛物线上存在一动点M，若以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意知：A （﹣3，0），C （0，2），EC △x 轴 △点E 的纵坐标为2， △点E 在直线y ＝﹣x 上， △点E （﹣2，2），△将A （﹣3，0）、E （﹣2，2）代入y ＝ax 2+bx +2，得：93204222a b a b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩抛物线的解析式为：224233y x x =--+； （2）由224233y x x =--+知，抛物线的对称轴为x =－1， 设N (－1，n )，M (m ，224233m m --+)，△A （﹣3，0），C （0，2），（1）当四边形ACNM 是平行四边形时，有：312Mm n y --=⎧⎨=+⎩，得：m =－4，y M = 103-； 即M (－4，103-). （2）当四边形ACMN 是平行四边形时，有：312Mm n y -+=-⎧⎨+=⎩，得：m =2，y M = 103-； 即M (2，103-). （3）当四边形ANCM 是平行四边形时，有：312Mmn y -=-+⎧⎨=+⎩，得：m =－2，y M = 2； 即M (－2，2).综上所述，M 点的坐标是(－4，103-)，(2，103-)，(－2，2). 4.（2019·名校模考）如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1（a ≠0）交x 轴于A ，B （1，0）两点，交y 轴于点C ，一次函数y ＝x +3的图象交坐标轴于A ，D 两点，E 为直线AD 上一点，作EF △x 轴，交抛物线于点F（1）求抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系内存在点G，使得G，E，D，C为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G的坐标．【答案】见解析．【解析】解：（1）将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．△A（﹣3，0）．△抛物线y＝ax2+bx﹣1交x轴于A（﹣3，0），B（1，0）两点，△109310a ba b+-=⎧⎨--=⎩，解得：1323ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；（2）点G的坐标为（2，1），（﹣，﹣﹣1），（，﹣1），（﹣4，3）．△当四边形DCEG是菱形时，CD=CE=EG=4，设E(m，m+3)，则G（m，m+7），由C(0，－1)，E(m，m+3)，得：CE2=m2+(m+4)2=16，解得：m=0（舍）或m=－4，此时G(－4,3)；△当四边形DCGE是菱形时，CG2=16,设E(m，m+3)，则G（m，m－1），即m2+ m2=16，解得：m=m=－此时，G(1)或G(－－1)；△当四边形DGCE是菱形时，设E(m，m+3)，则G（－m，－m－1），此时E在CD的垂直平分线上，即m+3=1，m=－2，此时G(2，1);综上所述，点G的坐标为：(－4,3)、(1)、(－－1)、(2，1).5.（2019·枫杨外国语三模）（2019·枫杨外国语三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C，点A的坐标为(-1，0)，点C的坐标为(0，3)，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）将(-1，0)，(0，3)代入y＝﹣x2+bx+c，得：－1－b+c=0，c=3，解得：b=2，c=3，即抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3.（2）由y＝﹣x2+2x+3知，点M(1，4)，分两种情况讨论，△当四边形MAPQ是矩形时，过M作MH△x轴于H，则MH=4，AH=2，易证得：△APO=△MAH，△tan△APO= tan△MAH，即OA MHOP AH=2，△OP=12，即P（0，－12），由A(-1，0)、M(1，4)，P（0，－12）得：点Q坐标为（2，72），△点T和点Q关于AM所在直线对称，即点Q与点T关于点M(1，4)对称，△T(0，92 )；△当四边形AMPQ是矩形时，同理可得：T(0，12 -)；综上所述，点T的坐标为(0，92)，(0，12-).6.（2019·焦作二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+b的图象经过点A(-2，0)，与反比例函数k yx =（x>0）的图象交于点B(a，4).（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）设M是直线AB上一点，过M作MN△x轴，交反比例函数kyx=（x>0）的图象于点N，若以A，O，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的横坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A(-2,0)代入y=x+b，得：b=2，即一次函数的解析式为：y=x+2，将B(a，4)代入y=x+2，得：a=2，即B(2，4),将B(2，4)代入kyx=得：x=8，即反比例函数的解析式为：8 yx =.（2）设M(m，m+2)，则N(82m+，m+2)，由题意知，MN△OA，则需MN=OA=2时，以A，O，M，N为顶点的四边形是平行四边形，△82mm-+=2，解得：m=2或m=－2（舍）或m=或m=－，△点M的坐标为：（2，+2）.7.（2019·许昌月考）如图1，二次函数y=43x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该二次函数的解析式；（2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积（请在图1中探索）；（3）若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标（请在图2中探索）．图1 图2【答案】见解析．【解析】解：（1）△二次函数y=43x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），△493034103b cb c⎧⨯++=⎪⎪⎨⎪⨯-+=⎪⎩，解得：834bc⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，即抛物线的解析式为：y =43x 2﹣83x ﹣4； （2）过点D 作DM △y 轴于点M ，y =43x 2﹣83x ﹣4 =43（x ﹣1）2﹣163， △点D （1，﹣163）、点C （0，﹣4），S △ACD =S 梯形AOMD ﹣S △CDM ﹣S △AOC=12×（1+3）×163﹣12×（163﹣4）×1﹣12×3×4 =4；（3）四边形APEQ 为菱形，理由如下：E 点关于PQ 与A 点对称，过点Q 作QF △AP 于F ，由折叠性质知： AP =EP ，AQ =EQ △AP =AQ =t ， △AP =AQ =QE =EP ， △四边形AQEP 为菱形， △FQ △OC ，△AF FQ AQOA OC AC ==， △345AF FQ t ==△AF =35t ，FQ =45t ，Q （3﹣35t ，﹣45t ），E （3﹣35t ﹣t ，﹣45t ）， △E 在二次函数y =43x 2﹣83x ﹣4上， △﹣45t =43（3﹣85t ）2﹣83（3﹣85t ）﹣4， △t =14564或t =0（舍去）， △E （﹣58，﹣2916）． 8.（2018·新乡一模）如图，一次函数122y x =-+分别交y 、x 轴于A 、B 两点，抛物线2y x bx c =-++过A ，B 两点.（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直于x 轴的直线x ＝t ，在第一象限交直线AB 于M ，交这个抛物线于N . 求当t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？（3）在(2)的情况下，以A ，M 、N 、D 为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点D 的坐标.【答案】见解析【解析】解：（1）在122y x =-+得，当x =0时，y =2；y =0时，x =4， 即A （0，2），B （4，0），把A (0，2)，B (4，0)代入2y x bx c =-++，得：21640c b c =⎧⎨++=⎩-，解得722b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， △抛物线解析式为2722y x x =-++. （2）由题意知，1(,2)2M t t -+，27(,2)2N t t t -++， △MN =2712(2)22t t t -++--+ =2(2)4t --+，△当t =2时，MN 有最大值4.（3）根据平行四边形的性质，得：D 点坐标为：（0，6），（0，-2）或（4，4）.9.（2019·周口二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于A (-1，0)，B (4，0)两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设E 是该抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，过点E 作x 轴的平行线交抛物线于另一点F ，过点E 作EH △x 轴于点H ，再过点F 作FG △x 轴于点G ，得到矩形EFGH ．在点E 的运动过程中，当矩形EFGH 为正方形时，直接写出该正方形的边长．【答案】见解析.【解析】解：（1）△抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于A (-1，0)，B (4，0)两点，△4016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得：13a b =-⎧⎨=⎩， 即抛物线的解析式为：y =－x 2+3x +4.（2）△四边形EFGH 是矩形，△当EF =EH 时，四边形EFGH 是正方形，设E (m , －m 2+3m +4)，则F (3－m ，－m 2+3m +4)，m >32， △EF =2m －3，EH =|－m 2+3m +4|，△2m －3=|－m 2+3m +4|，解得：m或m（舍）或m或m（舍） △正方形的边长EF2，综上所述，正方形EFGH 的边长为：2.10.（2019·郑州一中模拟）如图所示，平面直角坐标系中直线y =x +1交坐标轴于点A 、D 两点，抛物线y =ax 2+bx －3经过A 、C 两点，点C 坐标为（a ，5）. 点M 为直线AC 上一点，过点M 作x 轴的垂线，垂足为F ，交抛物线于点N .（1）求抛物线解析式；（2）是否存在点M ，使得以点D 、E 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，如果有，求点M 的坐标，如果没有，请说明理由.【解析】解：△直线y =x +1交坐标轴于点A 、D 两点，△A (－1,0)，D (0，1)，△点C （a ，5）在直线y =x +1上，△a =4，即C (4,5)，将A (－1,0)，C (4,5)代入y =ax 2+bx －3得：3016435a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩， △抛物线的解析式为：y =x 2－2x －3.（2）存在，E （0，－3），△DE =4，由题意知：DE △MN ，△当DE =MN =4时，四边形DENM 是平行四边形，设N (m , m 2－2m －3)，则M (m , m +1)，△| m +1-（m 2－2m －3）|=4，解得：m =0（舍）或m =3或m = 或m = ，综上所述，点M 的坐标为：（3,4），（32，52），（32，52）. 11.（2019·郑州模拟）如图，已知二次函数23234y ax a x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭的图象经过点A (4,0),与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点C (m ,0) （0<m <4），过点C 作x 轴的垂线交直线AB 于点E ，交该二次函数图象于点D .（1）求a 的值和直线AB 的解析式；（2）过点D 作DF △AB 于点F ，设△ACE ，△DEF 的面积分别为S 1，S 2，若S 1=4S 2，求m 的值；（3）点H 是该二次函数图象上第一象限内的动点，点G 是线段AB 上的动点，当四边形DEGH 是平行四边形，且平行四边形DEGH 的周长取最大值时，求点G 的坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (4,0)代入23234y ax a x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭得：a =34-， △抛物线的解析式为：239344y x x =-++， 设直线AB 的解析式为：y =kx +b ， △4k +b =0，b =3，即k =34-，b =3， △直线AB 的解析式为：y =34-x +3. （2）△点C 的横坐标为m ，△D (m , 239344m m -++)，E (m , 34-m +3)， AC =4－m ，DE =239344m m -++－(34-m +3)= 2334m m -+， △BC △y 轴， △43AC OA CE OB ==，即443m CE -=， △CE =()344m -，AE =()544m -， △△DF A =△DCA =90°，△DBF =△AEC ，△△DFE △△ACE ，△S 1=4S 2，△AE =2DE ， 即()544m -=2（2334m m -+），解得：m =4（舍）或m =56， 即m 的值为56. （3）如图，过点G 作GM △DC 于M ，设G 、H 点横坐标为n ，由DE =2334m m -+，得GH =2334n n -+， 2334m m -+=2334n n -+，得：m =n （舍）或n =4－m ，△MG =4-2m ， 由45MG EG =得：EG =()5424m -, △C 四边形DEGH =2()25342344m m m ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦=23102m m -++ =23161236m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，△当m=13时，C最大，此时n=113，即G(113，14)，E(13，114),由图象可知当E、G互换位置时满足题意，即G(13，114),E(113，14)，综上所述，G点坐标为：(13，114)，(113，14).13.（2018·郑州模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB．（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m．△当△MBA＝△BDE时，求点M的坐标；△过点M作MN△x轴，与抛物线交于点N，P为x轴上一点，连接PM，PN，将△PMN沿着MN翻折，得△QMN，若四边形MPNQ恰好为正方形，直接写出m的值．【答案】见解析.【解析】解：（1）将点B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，并解得：b=2，c=3，△抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．顶点D（1，4）．（2）△过点M作MG△x轴于G，连接BM．则△MGB＝90°，设M（m，﹣m2+2m+3），△MG＝|﹣m2+2m+3|，BG＝3﹣m，△DE△x轴，D（1，4），B（3，0），△△DEB＝90°，DE＝4，OE＝1，BE＝2，△△MBA＝△BDE，△tan△MBA＝tan△BDE＝12，△2233m mm-++-＝12解得：m=12-或m=32-或m=3（舍）△满足条件的点M坐标（12-，74）或（32-，94-）；△△MN△x轴，△点M、N关于抛物线的对称轴对称，△四边形MPNQ是正方形，△OP＝1，由△QPM=△MPO=45°，得：GM＝GP，即|﹣m2+2m+3|＝|1﹣m|，解得：m或m或m m即满足条件的m.14.（2017·信阳二模）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心做菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）将A（﹣2，0）、B（8，0）代入y=ax2+bx﹣4并解得：a=14，b=32-，即抛物线的解析式为：y=14x232-x－4.（2）由y=14x232-x－4知，C(0，－4),由菱形的性质可知：D（0，4），设直线BD的解析式为：y=kx+n，将点B（8,0）、D（0，4）代入得：k=12-,n=4，即直线BD的解析式为：y=12-x+4,由M（m，12-m+4），Q（m，14m232-m－4）．当MQ=DC时，四边形CQMD为平行四边形．∴12-m+4﹣（14m232-m－4）=8，解得m=4或m=0（舍去）．∴MD∥CQ，MD=CQ，M（4，2），∴M为BD的中点，∴MD=MB．∴CQ=MB，又∵MB∥CQ，∴四边形CQBM为平行四边形．。

中考数学复习⑦ 平行四边形及矩形、菱形、正方形存在性问题探究在平行四边形的存在性问题中，常会遇到两类探究性的问题。

第一类问题是已知三点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找一动点，使这四点构成平行四边形（简称“三定一动”）。

第二类问题是已知两个点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找两个动点，使这四点构成平行四边形（简称“两定两动”）。

平行四边形的这四个点有可能是定序的，也有可能没有定序。

在解决这些问题时，容易出现遗漏或方法不当或错解的情况。

因此，需要分清题型并分类讨论且作图，利用几何特征计算，并灵活运用平移坐标法等解题技巧。

可以把存在性问题的基本思路叫做“三步曲”：一“分”二“作”三“算”。

对于“三定一动”，要找出平行四边形第四个顶点，则符合条件的有3个点。

这三个点的找法是以三个定点为顶点画三角形，过每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生所要求的3个点。

对于“两定两动”，要找出平行四边形第三、四个顶点，将两个定点连成定线段，将此线段按照作为平行四边形的边或对角线两种分类讨论。

如果平行四边形的四个顶点都能用坐标来表示，则可以直接利用坐标系中平行四边形的基本特征：即对边平行且相等或对边水平距离相等和竖直距离相等列方程求解。

如果平行四边形的四个顶点中某些点不能用坐标表示，则可以利用列方程组解图形交点的方法解决。

此外，还可以灵活运用平行四边形的中心对称的性质，或者使用平移坐标法。

平移坐标法的具体步骤是先由题目条件探索三点的坐标（若只有两个定点，可设一个动点的坐标），再画出以三点为顶点的平行四边形，根据坐标平移的性质写出第四个顶点的坐标。

最后根据题目的要求（动点在什么曲线上），判断平行四边形的存在性。

除了平行四边形，矩形、菱形和正方形也有存在性问题。

对于矩形，增加对角线相等和邻边垂直的性质，还可以转化为直角三角形的存在性问题。

对于菱形，增加四边相等和对角线垂直的性质，还可以转化为直角三角形或等腰（等边）三角形的存在性问题。

中考数学几何模型第二十二节:二次函数特殊平行四边形存在性问题422.二次函数正方形存在性问题(初三)在平面直角坐标系中,抛物线y =―13x 2+bx +c 交x 轴于A(―3,0),B(4,0)两点,交y 轴于点C .(1)求抛物线的表达式,(2)如图,直线y =34x +94与抛物线交于A,D 两点,与直线BC 交于点E .若M(m,0)是线段AB 上的动点,过点M 作x 轴的垂线,交抛物线于点F ,交直线AD 于点G ,交直线BC 于点H .①当点F 在直线AD 上方的抛物线上,且S △EFG =59S △OFG 时,求m 的值;②在平面内是否存在点P ,使四边形EFHP 为正方形?若存在,请直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.423.二次函数面积最大值矩形存在性问题(初三)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y =ax 2+2x +c(a ≠0)与x 轴交于点A 、B ,与y 轴交于点C ,连接BC,OA =1,对称轴为直线x =2,点D 为此拋物线的顶点.(1)求抛物线的解析式(2)抛物线上C 、D 两点之间的距离是_______(3)点E 是第一象限内抛物线上的动点,连接BE 和CE ,求△BCE 面积的最大值;(4)点P 在抛物线对称轴上，平面内存在点Q ，使以点B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形为矩形,请直接写出点Q 的坐标.424.二次函数线段最大值相等角矩形存在性问题(初三)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(―1,0),点B(―3,0),且0O=OC.(1)求抛物线的解析式(2)点P在抛物线上,且∠POB=∠ACB,求点P的坐标;(3)抛物线上两点M,N,点M的横坐标为m,点N的横坐标为m+4.点D是抛物线上M,N之间的动点,过点D作y轴的平行线交MN于点E.①求DE的最大值②点D关于点E的对称点为F,当m为何值时,四边形MDNF为矩形.425.二次函数菱形存在性三角形相似存在性问题(初三)如图,已知直线y=―2x+4分别交x轴、y轴于点A、B,抛物线过A,B两点,点P是线段AB上一动点,过点P作PC⊥x 轴于点C,交抛物线于点D.(1)若抛物线的解析式为y=―2x2+2x+4,设其顶点为M,其对称轴交AB于点N.①求点M、N的坐标;②是否存在点P,使四边形MNPD为菱形?并说明理由(2)当点P的横坐标为1时,是否存在这样的抛物线,使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,求出满足条件的抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.426.二次函数菱形存在性问题(初三)如图,抛物线y=x2+2x―8与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.(1)求A,B,C三点的坐标(2)连接AC,直线x=m(―4<m<0)与该抛物线交于点E,与AC交于点D,连接OD.当OD⊥AC时,求线段DE的长;(3)点M在y轴上，点N在直线AC上,点P为拋物线对称轴上一点,是否存在点M,使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.427.二次函数菱形存在性问题三角形面积相等问题(初三)x2+2x―6与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接AC,BC.如图,抛物线y=12(1)求A、B,C三点的坐标并直接写出直线AC,BC的函数表达式.(2)点P是直线AC下方抛物线上的一个动点,过点P作BC的平行线1,交线段AC于点D.①试探究:在直线1上是否存在点E,使得以点D,C,B,E为顶点的四边形为菱形,若存在,求出点E的坐标,若不存在,请说明理由;②设抛物线的对称轴与直线1交于点M,与直线AC交于点N.当S△DWN=S△AOC时,请直接写出DM的长.428.二次函数三角形面积最大值菱形存在性问题(初三)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的边BC在x轴上,∠ABC=90∘,以A为顶点的抛物线y=―x2+bx+c经过点C(3,0),交y轴于点E(0,3),动点P在对称轴上.(1)求抛物线解析式;(2)若点P从A点出发,沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止,设运动时间为t秒,过点P作PD⊥AB 交AC于点D,过点D平行于y轴的直线1交抛物线于点Q,连接AQ,CQ,当t为何值时,△ACQ的面积最大?最大值是多少?(3)若点M是平面内的任意一点,在x轴上方是否存在点P,使得以点P,M,EC为顶点的四边形是菱形,若存在,请直接写出符合条件的M点坐标;若不存在,请说明理由.429.二次函数菱形存在性问题(初三)已知抛物线F:y=x2+bx+c的图象经过坐标原点0,且与x轴另一交点为(―33,0).(1)求抛物线F的解析式.x+m(m>0)与抛物线F相交于点A(x1,y1)和点B(x2,y2)(点A在第二象限)，求y2―y1的(2)如图1,直线1:y=33值(用含m的式子表示);,设点A′是点A关于原点0的对称点,如图2.(3)在(2)中,若m=43①判断△AA′B的形状,并说明理由;②平面内是否存在点P,使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.430.二次函数线段最大值菱形存在性问题(初三)如图,二次函数y =x 2+bx +c 的图象交x 轴于点A(―3,0),B(1,0),交y 轴于点C .点P(m,0)是x 轴上的一动点，PM ⊥x 轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N .(1)求这个二次函数的表达式:(2)①若点P 仅在线段A0上运动，如图，求线段MN 的最大值;②若点P 在x 轴上运动,则在y 轴上是否存在点Q ,使以M,N,C,Q 为顶点的四边形为菱形.若存在,请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.431.二次函数菱形存在性问题(初三)如图,一次函数y =33x ―3图象与坐标轴交于点A 、B ,二次函数y =33x 2+bx +c 图象过A 、B 两点.(1)求二次函数解析式(2)点B 关于抛物线对称轴的对称点为点C ,点P 是对称轴上一动点,在抛物线上是否存在点Q ,使得以B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形?若存在,求出Q 点坐标;若不存在,请说明理由.答案422【解】(1)∵抛物线y =―13x 2+bx +c 交x 轴于A(―3,0),B(4,0)两点,∴y =―13(x +3)(x ―4)=―13x 2+13x +4;(2)①如图1,∵B(4,0),C(0,4),∴设BC 的解析式为:y =kx +n,则{4k +n =0n =4,解得{k =―1n =4∴BC 的解析式为:y =―x +4,∴―x +4=34x +94,解得:x =1,∴E(1,3),∵M(m,0),且MH ⊥x 轴,∴G (m,34m +94),F (m,―13m 2+13m +4),∴FG =―13m 2+13m +4―(34m +94)=―13m 2―512m +74∵S △EFG =59S △OEG ,△EFG 和△OEG 的水平宽度相同,∴FG =59ON,∴―13m 2―512m +74=59×94解得:m 1=34,m 2=―2;②存在,由①知:E(1,3),且∠CBM =45∘∴过点E 作AB 的平行线,与抛物线的交点就是正方形EFHP 的顶点F.∴FH =EF,∠EFH =∠FHP =∠HPE =90∘,∵M(m,0),且MH ⊥x 轴,∴H(m,―m +4),F (m,―13m 2+13m +4),分两种情况:第一种情况:当―3⩽m <1时,如图1,点F 在EP 的左侧∴FH =(―m +4)―(―13m 2+13m +4)=13m 2―43m,∴13m 2―43m =1―m,解得:m 1=1+132(舍),m 2=1―132,∴H(1―132,7+132),∴P (1,7+132),第二种情况:当1<m <4时,点F 在PE 的右边,如图2,同理得―13m 2+43m =m ―1,解得:m 1=1+132,m 2=1―132(舍)，同理得P (1,7―132);综上,点P 的坐标为:(1,7+132)或(1,7―132).423【解】(1)∵OA =1,∴A(―1,0),又∵对称轴为x =2,∴B(5,0),将A,B 代入解析式得:{0=a ―2+c0=25a +10+c ,解得{a =―12c =52,∴y =―12x 2+2x +52(2)由(1)得:C (0,52),D (2,92),∴由两点距离公式可得:CD =22,故答案为22;(3)∵B(5,0),C (0,52),∴直线BC 的解析式为:y =―12x +52,设E (x,―12x 2+2x +52),且0<x <5,如图,作EF ⊥x 轴交BC 于点F,则F (x,―12x +52),∴EF =―12x 2+2x +52―(―12x +52)=―12x 2+52x,S △BCE =12×EF ×BO =12×(―12x 2+52x )×5=―54(x ―52)2+12516当x =52时,S △BCE 有最大值为12516;(4).设P(2,y),Q(m,n),由(1)知B(5,0),C (0,52),分三种情况讨论:①若BC 为矩形的对角线,由中点坐标公式得:{5+0=2+m 0+52=y +n ,解得:{m =3n =52―y ,又∵∠BPC =90∘,∴PC 2+PB 2=BC 2,即:22+(52―y )2+32+y 2=52+(52)2,解得y =4或y =―32,∴n =―32或n =4,∴Q (3,―32)或Q(3,4)，②若BP 为矩形的对角线,由中点坐标公式得{5+2=0+m 0+y =52+n ,解得:{m =7n =y ―52,又∵∠BCP =90∘,BC 2+CP 2=BP 2即:52+(52)2+22+(52―y )2=32+y 2,解得y =132,∴Q(7,4),③若BQ 为矩形的对角线,由中点坐标公式得:{5+m =2+00+n =y +52,解得:{m =―3n =y +52,又∵∠BCQ =90∘,∴BC 2+CQ 2=BQ 2,即:52+(52)2+m 2+(52―n )2=(5―m)2+n 2,解得n =―72,∴Q (―3,―72),综上,点Q 的坐标为(3,―32)或(3,4),或(7,4)或(―3,―72).解法二,也可以构造利用一线三等角三角形相似来解决。

专题17 函数动点问题中平行四边形存在性类型一、平行四边形存在性结论：A C B DA CB Dx x x xy y y y+=+⎧⎨+=+⎩类型二、特殊平行四边形存在性1. 矩形存在性常用解题思路：构造一线三直角（借助相似或三角函数求解）；利用矩形对角线相等（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）借助勾股定理求解等.2. 菱形存在性常用解题思路：利用菱形四条边相等，对角线互相垂直，借助勾股定理等求解.3. 正方形存在性常用解题思路：兼具矩形和菱形二者.【例1】（2018·郑州预测卷）如图，直线y=334x-+与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y= 234ax x c++经过B、C两点.（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一个动点，当△BEC的面积最大时，求出点E的坐标和最大值；（3）在（2）条件下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）∵直线y =334x -+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，∴B (0,3)，C (4,0)，将B (0,3)，C (4,0)代入y = 234ax x c ++得： 16303a c c ++=⎧⎨=⎩，解得：383a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式为：233384y x x =-++.（2）过点E 作EF ⊥x 轴于F ，交BC 于M ，设E （x ，233384x x -++），则M （x ，334x -+），∴ME =233384x x -++－（334x -+）=23382x x -+∴S △BEC =12×EM ×OC =2EM=2(23382x x -+)=()23234x --+,∴当x =2时，△BEC 的面积取最大值3，此时E (2，3).（3）由题意得：M (2，32)，抛物线对称轴为：x =1，A (－2,0),设P (m ，y )，y =233384m m -++，Q (1，n )①当四边形APQM 为平行四边形时，有：212m -+=+，解得：m =－3， 即P (－3，218-)； ②当四边形AMPQ 为平行四边形时，有：－2+m =2+1，即m =5 即P (5, 218-)； ③当四边形AQMP 为平行四边形时，有：2－2=1+m ，得：m =－1， 即P (－1，158)； 综上所述，抛物线上存在点P ，使以点P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形，点P 的坐标为：(－3，218-)，(5, 218-)，(－1，158).【变式1-1】（2018·河师大附中模拟）如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A (－1，0)、B (3，0)两点，与y 轴交于点C (0，－3).（1）求抛物线的解析式与顶点M 的坐标； （2）求△BCM 的面积与△ABC 面积的比；（3）若P 是x 轴上一个动点，过P 作射线PQ ∥AC 交抛物线于点Q ，随着P 点的运动，在x 轴上是否存在这样的点P ，使以点A 、P 、Q 、C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (－1，0)，B (3，0)， C (0，－3)代入y =ax 2+bx +c ，得：9303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩， 解得：a =1，b =－2，c =－3，即抛物线的解析式为：y=x2－2x－3，顶点M的坐标为：（1，－4）；（2）连接BC，BM，CM，过M作MD⊥x轴于D，如图所示，S△BCM=S梯形ODMC+S△BDM－S△BOC=3，S△ACB=6，∴S△BCM：S△ACB=1：2；（3）存在.①当点Q在x轴上方时，过Q作QF⊥x轴于F，如图所示，∵四边形ACPQ为平行四边形，∴QP∥AC，QP=AC∴△PFQ≌△AOC，∴FQ=OC=3，∴3=x2﹣2x﹣3，解得x或x=1，∴Q，3)或(1，3)；②当点Q在x轴下方时，过Q作QE⊥x轴于E，如图所示，同理，得：△PEQ≌△AOC，∴EQ=OC=3，∴﹣3=x2﹣2x﹣3，解得：x=2或x=0(与C点重合，舍去)，∴Q(2，﹣3)；综上所述，点Q的坐标为：，3)或(1，3)或(2，﹣3).【例2】（2018·郑州三模）如图所示，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx－5与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点，与y轴交于点C.（1）求抛物线的解析式；（2）如图2所示，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC、CE分别交于点F、G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；（3）点M是（1）中所求抛物线对称轴上一动点，点N是反比例函数y=kx图象上一点，若以点B、C、M、N为动点的四边形是矩形，请直接写出满足条件的k的值.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (-1,0),B (5,0)代入y =ax 2+bx －5得：5025550a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：14a b =⎧⎨=-⎩， 即抛物线的解析式为：y =x 2－4x －5.（2）在y =x 2－4x －5中，当x =0时，y =－5，即C (0，－5), ∵CE ∥x 轴，则C 、E 关于直线x =2对称， ∴E (4，－5), CE =4，由B （5,0）, C (0，－5)得直线BC 的解析式为：y =x －5， 设H (m ，m 2－4m －5)， ∵FH ⊥CE ， ∴F (m ，m －5)，∴FH = m －5－（m 2－4m －5)= －m 2+5m ， S 四边形CHEF =12·FH ·CE =12（－m 2+5m ）×4 =－2（m －52）2+252，当m =52时，四边形CHEF 的面积取最大值252，此时H (52，354-).（3）设M （2，m ），N (n ，kn)，B (5,0)，C (0，－5)， ①当BC 为矩形对角线时，此时：2+n =5+0，m +kn=0－5，即n =3，设BC 与MN 交于点H ，则H (52，52-)，MH =12BC =2，∴222552222m ⎛⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得：m =1或m =－6，当m =1时，k =－18；m =－6时，k =3， ②当BC 为矩形边时，分两种情况讨论：（i ）当点M 在直线BC 下方时，即四边形BCMN 为矩形，则∠BCM=90°，2+5=n+0，m=kn－5，过M作MH⊥y轴于H，则由OB=OC知，∠OCB=45°，∴∠MCH=∠CMH=45°，即CH=MH，∴－5－m=2，解得：m=－7，n=7，k=－14；（ii）当点M在直线BC上方时，即四边形BCNM为矩形，则∠CBM=90°，n+5=2，kn=m－5，设对称轴与x轴交于点H，同理可得：BH=MH，∴3=m，n=－3，k=6；综上所述，k的值为：－18，3，－14或6.【变式2-1】（2019·驻马店二模）如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1，0)，B(3，0)两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式．（2）点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点，当以 F ，M ，G ，N 为顶点的四边形是正方形时，请求出点 M 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线 y =-x 2+bx +c 经过 A (-1，0)，B (3，0)两点，∴10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，即抛物线的解析式为：y =-x 2+2x +3.（2）由y =-x 2+2x +3知，C (0，3)，E (1，0)，D (1,4)， 可得直线BD 的解析式为：y =-2x +6，设P （m ，-2m +6），由勾股定理得：PE 2=()()22126m m -+-+，PC 2=()22263m m +-+-， 由PE =PC ，得：()()22126m m -+-+=()22263m m +-+-， 解得：m =2，即P (2，2).（3）∵M 在x 轴上，N 在直线PF 上， ∴∠NFM =90°，由四边形MFNG 是正方形，知MF =MG ， 设M (n ，0)，则G (n ，-n 2+2n +3)， MG =|-n 2+2n +3|，MF =|n -2|， ∴|-n 2+2n +3|=|n -2|，解得：n n n n ，故点M 的坐标为：0），0），（12，0），（12-，0）.【变式2-2】（2019·大联考）如图1，抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A (-4,0)，B (1,0)，C （0,3），点P 在抛物线上，且在x 轴的上方，点P 的横坐标记为t .（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点P 作y 轴的平行线交直线AC 于点M ，交x 轴于点N ，若MC 平分∠PMO ，求t 的值.（3）点D 在直线AC 上，点E 在y 轴上，且位于点C 的上方，那么在抛物线上是否存在点P ，使得以点C 、D 、E 、P 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出菱形的面积.图1 图2【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A (-4,0)，B (1,0)，C （0,3），∴301640c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解得：39434c b a ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，即抛物线的解析式为：y =34-x 294-x +3. （2）由A (-4,0)，C (0,3)得直线AC 的解析式为：y =334x +， ∵点P 的横坐标为t ， ∴M (t ,334t +)， ∵PN ∥y 轴， ∴∠PMC =∠MCO ， ∵MC 平分∠PMO ， ∴∠PMC =∠OMC ， ∴∠MCO =∠OMC ， 即OM =OC =3，∴OM 2=9，即223394t t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得：t =0（舍）或t =7225，∴当MC 平分∠PMO 时，t =7225. （3）设P (t , 34-t 294-t +3)， ①当CE 为菱形的边时，四边形CEPD 为菱形，则PD ∥y 轴，CD =PD ，则D (t ，334t +),∴PD =34-t 294-t +3－（334t +）=34-t 23-t ， 由勾股定理得：CD =54t -，∴34-t 23-t =54t -，解得：t =0（舍）或t =73-， 即PD =3512，菱形面积为：3512×73=24536； ②当CE 为菱形的对角线时，此时P 与D 点关于y 轴对称，则D (-t , 34-t 294-t +3)，将D 点坐标代入y =334x +，得： 34-t 294-t +3=()334t -+，解得：t =0（舍）或t =－2， PD =4，CE =3，菱形的面积为：12×4×3=6；综上所述，菱形的面积为：24536或6.1.（2019·南阳毕业测试）如图1，抛物线y ＝ax 2+bx +2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，AB ＝4，矩形OBDC 的边CD ＝1，延长DC 交抛物线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）如果点N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M ，使得以M ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵矩形OBDC 的边CD ＝1， ∴OB ＝1，由AB ＝4，得OA ＝3， ∴A （﹣3，0），B （1，0），∵抛物线y ＝ax 2+bx +2与x 轴交于A ，B 两点， ∴a +b +2=0，9a －3b +2=0， 解得：a =23-，b =43-， ∴抛物线解析式为y ＝23-x 243-x +2； （2）以AC 为边或对角线分类讨论： A （﹣3，0），C （0，2），抛物线y ＝23-x 243-x +2的对称轴为x ＝﹣1， 设M (m , y M )，N (－1，n )，y M =23-m 243-m +2 ①当四边形ACMN 为平行四边形时，有：312Mm y n -+=-⎧⎨=+⎩，解得：m =2，y M =103-，即M (2，103-)； ②当四边形ACNM 为平行四边形时，有：312Mmy n --=⎧⎨+=⎩，解得：m =－4，y M =103-，即M (－4，103-)； ③当四边形AMCN 为平行四边形时，有：312Mm y n -=-⎧⎨=+⎩，解得：m =－2，y M =2，即M (－2，2)； 综上所述，点M 的坐标为（2，103-）或（﹣4，103-）或（﹣2，2）． 2.（2019·开封模拟）如图，直线y ＝﹣x +4与抛物线y ＝﹣12x 2+bx +c 交于A ，B 两点，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴下方的抛物线上存在一点P ，使得∠ABP ＝90°，求出点P 坐标；（3）点E 是抛物线对称轴上一点，点F 是抛物线上一点，是否存在点E 和点F 使得以点E ，F ，B ，O 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）在y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，即点A、B的坐标分别为（0，4）、（4，0），将（0，4）、（4，0），代入二次函数表达式，并解得：b=1，c=4，抛物线的解析式为：y＝﹣12x2+x+4；（2）∵OA＝OB＝4，∴∠ABO＝45°，∵∠ABP＝90°，则∠PBO=45°，若直线PB交y轴于点M，则OM=OB=4，可得直线BP的解析式为：y=x－4，联立：y=x－4，y＝﹣12x2+x+4，得：x=4，y=0(即B点)；x=－4，y=－8，即P(－4，－8).（3）存在；由y＝﹣12x2+x+4知抛物线的对称轴为：x=1，设E(1，m)，F(n，﹣12n2+n+4)，O(0,0)，B(4,0)，①当四边形OBEF是平行四边形时，有：EF=4，∴n-1=-4，即n=-3，F点坐标为（-3，72 -）；②当四边形OBFE是平行四边形时，有：EF=4，n-1=4，即n=5，F点坐标为（5，72 -）；③当四边形OFBE 是平行四边形时，有：410Fn m y =+⎧⎨=+⎩,即n =3，F 点坐标为（3，52）；综上所述：点F 的坐标为（5，72-），（﹣3，72-），（3，52）． 3.（2019·开封二模）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +2与直线y ＝﹣x 交第二象限于点E ，与x 轴交于A （﹣3，0），B 两点，与y 轴交于点C ，EC ∥x 轴．（1）求抛物线的解析式；（2）如果点N 是抛物线对称轴上的一个动点，抛物线上存在一动点M ，若以M ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意知：A （﹣3，0），C （0，2），EC ∥x 轴 ∴点E 的纵坐标为2， ∵点E 在直线y ＝﹣x 上， ∴点E （﹣2，2），∵将A （﹣3，0）、E （﹣2，2）代入y ＝ax 2+bx +2，得：93204222a b a b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩抛物线的解析式为：224233y x x =--+；（2）由224233y x x =--+知，抛物线的对称轴为x =－1，设N (－1，n )，M (m ，224233m m --+)，∵A （﹣3，0），C （0，2），（1）当四边形ACNM 是平行四边形时，有：312Mm n y --=⎧⎨=+⎩，得：m =－4，y M = 103-； 即M (－4，103-). （2）当四边形ACMN 是平行四边形时，有：312Mm n y -+=-⎧⎨+=⎩，得：m =2，y M = 103-； 即M (2，103-). （3）当四边形ANCM 是平行四边形时，有：312Mmn y -=-+⎧⎨=+⎩，得：m =－2，y M = 2； 即M (－2，2).综上所述，M 点的坐标是(－4，103-)，(2，103-)，(－2，2). 4.（2019·名校模考）如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1（a ≠0）交x 轴于A ，B （1，0）两点，交y 轴于点C ，一次函数y ＝x +3的图象交坐标轴于A ，D 两点，E 为直线AD 上一点，作EF ⊥x 轴，交抛物线于点F（1）求抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系内存在点G ，使得G ，E ，D ，C 为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G 的坐标．【答案】见解析．【解析】解：（1）将y ＝0代入y ＝x +3，得x ＝﹣3．∴A（﹣3，0）．∵抛物线y＝ax2+bx﹣1交x轴于A（﹣3，0），B（1，0）两点，∴109310a ba b+-=⎧⎨--=⎩，解得：1323ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；（2）点G的坐标为（2，1），（﹣，﹣1），（﹣1），（﹣4，3）．①当四边形DCEG是菱形时，CD=CE=EG=4，设E(m，m+3)，则G（m，m+7），由C(0，－1)，E(m，m+3)，得：CE2=m2+(m+4)2=16，解得：m=0（舍）或m=－4，此时G(－4,3)；②当四边形DCGE是菱形时，CG2=16,设E(m，m+3)，则G（m，m－1），即m2+ m2=16，解得：m=m=－此时，G(1)或G(－－1)；③当四边形DGCE是菱形时，设E(m，m+3)，则G（－m，－m－1），此时E在CD的垂直平分线上，即m+3=1，m=－2，此时G(2，1);综上所述，点G的坐标为：(－4,3)、(1)、(－－1)、(2，1).5.（2019·枫杨外国语三模）（2019·枫杨外国语三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(-1，0)，点C的坐标为(0，3)，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）将(-1，0)，(0，3)代入y＝﹣x2+bx+c，得：－1－b+c=0，c=3，解得：b=2，c=3，即抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3.（2）由y＝﹣x2+2x+3知，点M(1，4)，分两种情况讨论，①当四边形MAPQ是矩形时，过M作MH⊥x轴于H，则MH=4，AH=2，易证得：∠APO=∠MAH，∴tan∠APO= tan∠MAH，即OA MHOP AH=2，∴OP=12，即P（0，－12），由A(-1，0)、M(1，4)，P（0，－12）得：点Q坐标为（2，72），∵点T和点Q关于AM所在直线对称，即点Q与点T关于点M(1，4)对称，∴T(0，92 )；②当四边形AMPQ是矩形时，同理可得：T(0，12 -)；综上所述，点T的坐标为(0，92)，(0，12-).6.（2019·焦作二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+b的图象经过点A(-2，0)，与反比例函数kyx=（x>0）的图象交于点B(a，4).（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）设M是直线AB上一点，过M作MN∥x轴，交反比例函数kyx=（x>0）的图象于点N，若以A，O，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的横坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A(-2,0)代入y=x+b，得：b=2，即一次函数的解析式为：y=x+2，将B(a，4)代入y=x+2，得：a=2，即B(2，4),将B(2，4)代入kyx=得：x=8，即反比例函数的解析式为：8 yx =.（2）设M(m，m+2)，则N(82m+，m+2)，由题意知，MN∥OA，则需MN=OA=2时，以A，O，M，N为顶点的四边形是平行四边形，∴82mm-+=2，解得：m=2或m=－2（舍）或m=m=－（舍），∴点M的坐标为：（2，+2）.7.（2019·许昌月考）如图1，二次函数y=43x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该二次函数的解析式；（2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积（请在图1中探索）；（3）若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标（请在图2中探索）．图1 图2【答案】见解析．【解析】解：（1）∵二次函数y=43x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），∴493034103b cb c⎧⨯++=⎪⎪⎨⎪⨯-+=⎪⎩，解得：834bc⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，即抛物线的解析式为：y=43x2﹣83x﹣4；（2）过点D作DM⊥y轴于点M，y =43x 2﹣83x ﹣4 =43（x ﹣1）2﹣163， ∴点D （1，﹣163）、点C （0，﹣4）， S △ACD =S 梯形AOMD ﹣S △CDM ﹣S △AOC=12×（1+3）×163﹣12×（163﹣4）×1﹣12×3×4 =4；（3）四边形APEQ 为菱形，理由如下：E 点关于PQ 与A 点对称，过点Q 作QF ⊥AP 于F ，由折叠性质知： AP =EP ，AQ =EQ ∵AP =AQ =t ， ∴AP =AQ =QE =EP ， ∴四边形AQEP 为菱形， ∵FQ ∥OC ，∴AF FQ AQOA OC AC ==， ∴345AF FQ t ==∴AF =35t ，FQ =45t ，Q （3﹣35t ，﹣45t ），E （3﹣35t ﹣t ，﹣45t ），∵E 在二次函数y =43x 2﹣83x ﹣4上，∴﹣45t =43（3﹣85t ）2﹣83（3﹣85t ）﹣4，∴t =14564或t =0（舍去）， ∴E （﹣58，﹣2916）．8.（2018·新乡一模）如图，一次函数122y x =-+分别交y 、x 轴于A 、B 两点，抛物线2y x bx c=-++过A ，B 两点.（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直于x 轴的直线x ＝t ，在第一象限交直线AB 于M ，交这个抛物线于N . 求当t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？（3）在(2)的情况下，以A ，M 、N 、D 为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点D 的坐标.【答案】见解析【解析】解：（1）在122y x =-+得，当x =0时，y =2；y =0时，x =4，即A （0，2），B （4，0），把A (0，2)，B (4，0)代入2y x bx c =-++，得： 21640c b c =⎧⎨++=⎩-，解得722b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线解析式为2722y x x =-++. （2）由题意知，1(,2)2M t t -+，27(,2)2N t t t -++，∴MN =2712(2)22t t t -++--+=2(2)4t --+， ∴当t =2时，MN 有最大值4.（3）根据平行四边形的性质，得：D 点坐标为：（0，6），（0，-2）或（4，4）.9.（2019·周口二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于A (-1，0)，B (4，0)两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设E 是该抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，过点E 作x 轴的平行线交抛物线于另一点F ，过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，再过点F 作FG ⊥x 轴于点G ，得到矩形EFGH ．在点E 的运动过程中，当矩形EFGH 为正方形时，直接写出该正方形的边长．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于A (-1，0)，B (4，0)两点，∴4016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：13a b =-⎧⎨=⎩，即抛物线的解析式为：y =－x 2+3x +4. （2）∵四边形EFGH 是矩形，∴当EF =EH 时，四边形EFGH 是正方形，设E(m, －m2+3m+4)，则F(3－m，－m2+3m+4)，m>32，∴EF=2m－3，EH=|－m2+3m+4|，∴2m－3=|－m2+3m+4|，解得：m或m（舍）或m或m（舍）∴正方形的边长EF2，综上所述，正方形EFGH的边长为：2.10.（2019·郑州一中模拟）如图所示，平面直角坐标系中直线y=x+1交坐标轴于点A、D两点，抛物线y=ax2+bx－3经过A、C两点，点C坐标为（a，5）. 点M为直线AC上一点，过点M作x轴的垂线，垂足为F，交抛物线于点N.（1）求抛物线解析式；（2）是否存在点M，使得以点D、E、M、N为顶点的四边形为平行四边形，如果有，求点M的坐标，如果没有，请说明理由.【解析】解：∵直线y =x +1交坐标轴于点A 、D 两点， ∴A (－1,0)，D (0，1)，∵点C （a ，5）在直线y =x +1上， ∴a =4，即C (4,5)，将A (－1,0)，C (4,5)代入y =ax 2+bx －3得：3016435a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为：y =x 2－2x －3. （2）存在，E （0，－3），∴DE =4， 由题意知：DE ∥MN ，∴当DE =MN =4时，四边形DENM 是平行四边形， 设N (m , m 2－2m －3)，则M (m , m +1)， ∴| m +1-（m 2－2m －3）|=4，解得：m =0（舍）或m =3或m =或m = ，综上所述，点M 的坐标为：（3,4），，）.11.（2019·郑州模拟）如图，已知二次函数23234y ax a x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭的图象经过点A (4,0),与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点C (m ,0) （0<m <4），过点C 作x 轴的垂线交直线AB 于点E ，交该二次函数图象于点D .（1）求a 的值和直线AB 的解析式；（2）过点D 作DF ⊥AB 于点F ，设△ACE ，△DEF 的面积分别为S 1，S 2，若S 1=4S 2，求m 的值； （3）点H 是该二次函数图象上第一象限内的动点，点G 是线段AB 上的动点，当四边形DEGH 是平行四边形，且平行四边形DEGH 的周长取最大值时，求点G 的坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (4,0)代入23234y ax a x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭得：a =34-，∴抛物线的解析式为：239344y x x =-++，设直线AB 的解析式为：y =kx +b ， ∴4k +b =0，b =3，即k =34-，b =3， ∴直线AB 的解析式为：y =34-x +3. （2）∵点C 的横坐标为m ，∴D (m , 239344m m -++)，E (m , 34-m +3)，AC =4－m ，DE =239344m m -++－(34-m +3)= 2334m m -+，∵BC ∥y 轴， ∴43AC OA CE OB ==，即443m CE -=， ∴CE =()344m -，AE =()544m -， ∵∠DF A =∠DCA =90°，∠DBF =∠AEC ， ∴△DFE ∽△ACE ， ∵S 1=4S 2， ∴AE =2DE ， 即()544m -=2（2334m m -+），解得：m =4（舍）或m =56， 即m 的值为56.（3）如图，过点G 作GM ⊥DC 于M ，设G 、H 点横坐标为n ，由DE =2334m m -+，得GH =2334n n -+，2334m m -+=2334n n -+，得：m =n （舍）或n =4－m ，∴MG =4-2m ，由45MG EG =得：EG =()5424m -, ∴C 四边形DEGH =2()25342344m m m ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦=23102m m -++=23161236m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，∴当m =13时，C 最大，此时n =113，即G (113，14)，E (13，114), 由图象可知当E 、G 互换位置时满足题意，即G (13，114),E (113，14)，综上所述，G 点坐标为：(13，114)，(113，14).13.（2018·郑州模拟）如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于点A 和点B （3，0），与y 轴交于点C （0，3），点D 是抛物线的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为E ，连接DB ．（1）求此抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）点M 是抛物线上的动点，设点M 的横坐标为m ． ①当∠MBA ＝∠BDE 时，求点M 的坐标；②过点M 作MN ∥x 轴，与抛物线交于点N ，P 为x 轴上一点，连接PM ，PN ，将△PMN 沿着MN 翻折，得△QMN ，若四边形MPNQ 恰好为正方形，直接写出m 的值．【答案】见解析.【解析】解：（1）将点B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，并解得：b=2，c=3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．顶点D（1，4）．（2）①过点M作MG⊥x轴于G，连接BM．则∠MGB＝90°，设M（m，﹣m2+2m+3），∴MG＝|﹣m2+2m+3|，BG＝3﹣m，∵DE⊥x轴，D（1，4），B（3，0），∴∠DEB＝90°，DE＝4，OE＝1，BE＝2，∵∠MBA＝∠BDE，∴tan∠MBA＝tan∠BDE＝12，∴2233m mm-++-＝12解得：m=12-或m=32-或m=3（舍）∴满足条件的点M坐标（12-，74）或（32-，94-）；②∵MN∥x轴，∴点M、N关于抛物线的对称轴对称，∵四边形MPNQ是正方形，∴OP＝1，由∠QPM=∠MPO=45°，得：GM＝GP，即|﹣m2+2m+3|＝|1﹣m|，解得：m或m或m或m即满足条件的m.14.（2017·信阳二模）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心做菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N，试探究m为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）将A（﹣2，0）、B（8，0）代入y=ax2+bx﹣4并解得：a=14，b=32-，即抛物线的解析式为：y=14x232-x－4.（2）由y=14x232-x－4知，C(0，－4),由菱形的性质可知：D（0，4），设直线BD的解析式为：y=kx+n，将点B（8,0）、D（0，4）代入得：k=12-,n=4，即直线BD的解析式为：y=12-x+4,由M（m，12-m+4），Q（m，14m232-m－4）．当MQ=DC时，四边形CQMD为平行四边形．∴12-m+4﹣（14m232-m－4）=8，解得m=4或m=0（舍去）．∴MD∥CQ，MD=CQ，M（4，2），∴M为BD的中点，∴MD=MB．∴CQ=MB，又∵MB∥CQ，∴四边形CQBM为平行四边形．。

平行四边形，矩形，菱形的存在性问题一、平行四边形存在性问题1．在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是A（﹣1，3），B（﹣5，﹣3），C（1，﹣3），在平面内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标是．2．已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于平面直角坐标系中的原点O，点A（﹣1，3），B（1，2），则点C，D的坐标分别为．3．在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，2），点M在x轴上，点N 在y轴上．如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，那么符合条件的点M 有个．4．如图，在平面直角坐标系中，AD∥BC，AD＝5，B（﹣3，0），C（9，0），E是BC的中点，P是线段BC上一动点，当PB＝时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形．第4题第5题第6题5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y 的正半轴上，且OB＝2OC，在直角坐标平面内确定点D，使得以点D、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请写出点D的坐标为．6．如图，已知A（1，0）、C（0，1）、B（m，0）且m＞1，在平面内求一点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为．7．已知点A（4，0），B（0，﹣2），C（a，a）及点D是一个平行四边形的四个顶点，则线段CD长的最小值为．8．（1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图），图1，2，3中的顶点C的坐标分别是，，；（2）在图4中，若平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别为（4，1）、（3，4）、（6，4），则顶点C的坐标为；（3）在图4中，平行四边形ABCD顶点坐标分别为A（a，b）、B（c，d）、C（m，n）、D（e，f），则其横坐标a，c，m，e之间的等量关系为；纵坐标b，d，n，f之间的等量关系为．9．如图，矩形OABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标是（6，8），将矩形OABC沿直线BD折叠，使得点C恰好落在对角线OB上的点E处，折痕所在直线与y 轴、x轴分别交于点D、F．（1）请直接写出线段BO的长；（2）求折痕所在直线BD的解析式；（3）若点M在直线y＝﹣x上，则在直线BD上是否存在点P，使以C、D、M、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；否则，请说明理由．二、矩形存在性问题10．在平面直角坐标系中，已知点A（0，0），B（2，﹣2），C（4，0），D（2，2），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（）A．矩形B．菱形C．梯形D．正方形11．如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，∥BCD＝90°，AB＝AD＝10cm，BC＝8cm．点P 从点A出发，以每秒3cm的速度沿线段AB方向向B运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时出发，当点P运动到点B 时，P、Q同时运动停止，设运动时间为t秒．（1）求CD的长；（2）当t为何值时，四边形PBQD为平行四边形？（3）在运动过程中，是否存在四边形BCQP是矩形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．12．平行四边形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图（1）．（1）写出点C的坐标；（2）在图（1）中，连接AB，OC得到图（2），求AB与OC的交点M点的坐标；（3）将图（2）中的线段BC向两方延长得到图（3），若点D，E为直线BC上不与B，C重合的动点，是否存在这样的D，E点，使得四边形OADE为矩形？若存在，请在图中画出矩形，并求出矩形OADE的面积和点D，E的坐标，若不存在，请说明理由．三、菱形存在性问题13．在直角坐标系中，A，B，C，D四个点的坐标依次为（﹣1，0），（x，y），（﹣1，5），（﹣5，z），若这四个点构成的四边形是菱形，则满足条件的z的值有（）A．1个B．3个C．4个D．5个14．如图1，直线l1：y＝﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，与直线l2：y＝x交于点C．（1）求A，B两点的坐标；（2）求∥BOC的面积；（3）如图2，若有一条垂直于x轴的直线l以每秒1个单位的速度从点A出发沿射线AO 方向作匀速滑动，分别交直线l1，l2及x轴于点M，N和Q．设运动时间为t（s），连接CQ．∥当OA＝3MN时，求t的值；∥试探究在坐标平面内是否存在点P，使得以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．参考答案1.根据题意得：D点的纵坐标一定是3；又由C点相对于B点横坐标移动了1﹣（﹣5）＝6，故可得点D横坐标为﹣1+6＝5，即顶点D的坐标为（5，3）．2．由题意知：点A与点C、点B与点D关于原点对称，∥点A，B的坐标分别为（﹣1，3），（1，2），∥点C，D的坐标分别是（1，﹣3），（﹣1，﹣2），3．有3个点．4．解：∥B（﹣3，0），C（9，0），∥OB＝3，OC＝9，∥BC＝OB+OC＝12，∥E是BC的中点，∥BE＝CE＝BC＝6，分为两种情况：∥当P在E的左边时，∥AD＝PE＝5，CE＝6，∥BP＝12﹣6﹣5＝1；∥当P在E的右边时，∥AD＝EP＝5，∥BP＝BE+EP＝6+5＝11；即当BP为1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；故答案为：1或11．5．如图，∥当BC为对角线时，易求M1（3，2）；∥当AC为对角线时，CM∥AB，且CM＝AB．所以M2（﹣3，2）；∥当AB为对角线时，AC∥BM，且AC＝BM．则|M y|＝OC＝2，|M x|＝OB+OA＝5，所以M3（5，﹣2）．综上所述，符合条件的点D的坐标是M1（3，2），M2（﹣3，2），M3（5，﹣2）．6．根据题意得：OA＝OC＝1，OB＝m，∥AB＝m﹣1，分三种情况：如图所示，∥以BC为对角线时，点P的坐标为（m﹣1，1）；∥以AC为对角线时，点P的坐标为（1﹣m，1）；∥以AB为对角线时，点P的坐标为（m+1，1）；综上所述：点P的坐标为（m﹣1，1）或（1﹣m，1）或（m+1，﹣1）；故答案为：（m﹣1，1）或（1﹣m，1）或（m+1，﹣1）．7．如图，由题意得：点C在直线y＝x上，∥如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC∥直线y＝x时，CD最小，易知直线AB为y＝x﹣2，∥AF＝FB，∥点F坐标为（2，﹣1），∥CF∥直线y＝x，设直线CF为y＝﹣x+b′，F（2，﹣1）代入得b′＝1，∥直线CF为y＝﹣x+1，由，解得：，∥点C坐标（，）．∥CD＝2CF＝2×＝3．∥如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝＝2＞3，∥CD的最小值为3．故答案为：3．8.（1）利用平行四边形的性质：对边平行且相等，得出图1，2，3中顶点C的坐标分别是：（5，2）、（e+c，d），（c+e﹣a，d）．故答案为：（5，2）（e+c，d），（c+e﹣a，d）．（2）若平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别为（4，1）、（3，4）、（6，4），则顶点C的坐标为（5，7）；故答案为：（5，7）；（3）如图4中，分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1，C1，D1，分别过A，D作AE∥BB1于E，DF∥CC1于点F．在平行四边形ABCD中，CD＝BA，又∥BB1∥CC1，∥∥EBA+∥ABC+∥BCF＝∥ABC+∥BCF+∥FCD＝180°．∥∥EBA＝∥FCD．在∥BEA∥∥CFD中，，∥∥BEA∥∥CFD（AAS），∥AE＝DF＝a﹣c，BE＝CF＝d﹣b．设C（x，y）．由e﹣x＝a﹣c，得x＝e+c﹣a．由y﹣f＝d﹣b，得y＝f+d﹣b．∥C（e+c﹣a，f+d﹣b），∥m＝e+c﹣a，n＝f+d﹣b，∥m+a＝e+c，n+b＝d+f．故答案为：m+a＝e+c，n+b＝d+f．9.解：（1）∥矩形OABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标是（6，8），∥OA＝6，AB＝8，∥OAB＝90°，∥OB＝＝10，即线段BO的长是10；（2）设点D的坐标为（0，d），则OD＝d，CD＝8﹣d，∥BC＝6，CD＝DE，OB＝10，，∥，得d＝5，即点D的坐标为（0，5），设折痕所在直线BD的解析式为y＝kx+b，∥点D（0，5），点B（6，8）在直线BD上，∥，得，即折痕所在直线BD的解析式是y＝0.5x+5；（3）在直线BD上存在点P，使以C、D、M、P为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为（﹣2，4）或（﹣8，1）；理由：∥点C（0，8），点D（0，5），∥OC＝8，OD＝5，∥CD＝3，∥以C、D、M、P为顶点的四边形是平行四边形，点M在直线y＝﹣x上，点P在直线BD上，∥CD＝MP，CD∥MP，或CD为平行四边形的对角线，当CD＝MP，CD∥MP时，设点M的坐标为（m，﹣0.5m），则P的坐标为（m，0.5m+5），则|（0.5m+5）﹣（﹣0.5m）|＝3，解得，m1＝﹣2，m2＝﹣8，当m＝﹣2时，点P的坐标为（﹣2，4），当m＝﹣8时，点P的坐标为（﹣8，1），当CD为平行四边形的对角线时，则点C和点D中点的坐标为（0，6.5），设点M的坐标为（m，﹣0.5m），则点P的坐标为（﹣m，13+0.5m），∥点P在直线BD上，直线BD的解析式是y＝0.5x+5，∥13+0.5m＝﹣0.5m+5，得m＝﹣8，∥点P的坐标为（8，9），由上可得，点P的坐标为（﹣2，4）、（﹣8，1）或（8，9）．10．D11．解：（1）过点A作AM∥CD于M，根据勾股定理，AD＝10，AM＝BC＝8，∥DM＝＝6，∥CD＝16；（2）当四边形PBQD为平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，如图1，由题知：BP＝10﹣3t，DQ＝2t ∥10﹣3t＝2t，解得t＝2；（3）在运动过程中，不存在四边形BCQP是矩形，理由如下：∥AB∥CD，∥BCD＝90°，∥∥C＝90°，若要四边形BCQP是矩形，则当PB＝CQ时即10﹣3t＝16﹣2t，解得：t＝﹣6＜0，∥不存在．12.解：（1）∥四边形OACB是平行四边形，∥AC＝OB，∥A（1，3）、B（4，0），∥C（5，3）；（2）如图（2），设AB所在的直线的解析式为y＝kx+b，∥直线AB经过点A（1，3）、B（4，0），∥，∥AB所在直线的解析式为y＝﹣4x+4，由于OC所在直线的表达式为y＝x，联立方程解得：即M的坐标是（2.5，1.5）；（3）存在这样的D、E，使得四边形AOED是矩形．分别过点A、O作AD∥BC于点D，OE∥BC于点E，过E、D分别作x轴的垂线，垂足分别为F、G，∥四边形AOBC是平行四边形，∥AO∥BC，∥AD∥AO，∥四边形AOED是矩形，且与平行四边形AOBC面积相等，∥平行四边形AOBC的面积为12，∥矩形AOED的面积为12，由勾股定理知AO＝，∥OE＝，EB＝，∥EF＝＝＝1.2，OF＝＝＝3.6，∥点E的坐标为（3.6，﹣1.2），∥点D的坐标为（4.6，1.8）．13．如图，∥A（﹣1，0），C（﹣1，5），∥AC∥x轴，且AC＝5﹣0＝5，过点D（﹣5，z）作作x轴的垂线，则z的数值就在直线x＝﹣5上，；∥A、B、C、D四个点构成的四边形是菱形，∥当DC＝DA，z有1个值，当DC＝AC，则42+（5﹣z）2＝52，z有两个值，当AD＝AC，则42+z2＝52，则z有两个值，综上所知，符合条件的z的值有5个．故选：D．14.解：（1）对于直线y＝﹣x+3，令x＝0得到y＝3，令y＝0，得到x＝6，A（6，0）B（0，3）．（2）由，解得，∥C（2，2），∥S∥OBC＝×3×2＝3（3）∥∥M（6﹣t，﹣（6﹣t）+3），N（6﹣t，6﹣t），∥MN＝|﹣（6﹣t）+3﹣（6﹣t）|＝|t﹣6|，∥OA＝3MN，∥6＝3|t﹣6|，解得t＝或∥如图3中，由题意OC＝2，当OC为菱形的边时，可得Q1（﹣2，0），Q2（2，0），Q4（4，0）；当OC为菱形的对角线时，Q3（2，0），∥t＝（6+2）s或（6﹣2）s或2s或4s时，以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形．。

专题22 平行四边形的存在性问题考向二次函数中的平行四边形的存在性问题【母题来源】2021年中考西藏卷【母题题文】在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A 的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，5）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图（甲）．若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；（3）图（乙）中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）将A的坐标（﹣1，0），点C的坐（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c得：{0=−1−b+c5=c，解得{b=4 c=5，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；（2）过P作PD⊥x轴于D，交BC于Q，过P作PH⊥BC于H，如图：在y＝﹣x2+4x+5中，令y＝0得﹣x2+4x+5＝0，解得x＝5或x＝﹣1，∴B （5，0），∴OB ＝OC ，△BOC 是等腰直角三角形， ∴∠CBO ＝45°，∵PD ⊥x 轴， ∴∠BQD ＝45°＝∠PQH ， ∴△PHQ 是等腰直角三角形，∴PH =√2， ∴当PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为y ＝kx+5，将B （5，0）代入得0＝5k+5， ∴k ＝﹣1，∴直线BC 解析式为y ＝﹣x+5，设P （m ，﹣m 2+4m+5），（0＜m ＜5），则Q （m ，﹣m+5）， ∴PQ ＝（﹣m 2+4m+5）﹣（﹣m+5）＝﹣m 2+5m ＝﹣（m −52）2+254， ∵a ＝﹣1＜0，∴当m =52时，PQ 最大为254，∴m =52时，PH 最大，即点P 到直线BC 的距离最大，此时P （52，354）；（3）存在，理由如下：抛物线y ＝﹣x 2+4x+5对称轴为直线x ＝2，设M （s ，﹣s 2+4s+5），N （2，t ），而B （5，0），C （0，5）， ①以MN 、BC 为对角线，则MN 、BC 的中点重合，如图：∴{s+22=5+02−s 2+4s+5+t 2=0+52，解得{s =3t =−3，∴M （3，8），②以MB 、NC 为对角线，则MB 、NC 的中点重合，如图：∴{s+52=2+02−s 2+4s+4+02=t+52，解得{s =−3t =−21，∴M （﹣3，﹣16），③以MC 、NB 为对角线，则MC 、NB 中点重合，如图：{s+02=2+52−s 2+4s+5+52=t+02，解得{s =7t =−11， ∴M （7，﹣16）；综上所述，M 的坐标为：（3，8）或（﹣3，﹣16）或（7，﹣16）．【试题解析】（1）将A 的坐标（﹣1，0），点C 的坐（0，5）代入y ＝﹣x 2+bx+c ，即可得抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+4x+5；（2）过P 作PD ⊥x 轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH ⊥BC 于H ，由y ＝﹣x 2+4x+5可得B （5，0），故OB ＝OC ，△BOC 是等腰直角三角形，可证明△PHQ 是等腰直角三角形，即知PH =√2，当PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为y ＝kx+5，将B （5，0）代入得直线BC 解析式为y ＝﹣x+5，设P （m ，﹣m 2+4m+5），（0＜m ＜5），则Q （m ，﹣m+5），PQ ＝﹣（m −52）2+254，故当m =52时，PH 最大，即点P 到直线BC 的距离最大，此时P （52，354）；（3）抛物线y ＝﹣x 2+4x+5对称轴为直线x ＝2，设M （s ，﹣s 2+4s+5），N （2，t ），而B （5，0），C （0，5），①以MN 、BC 为对角线，则MN 、BC 的中点重合，可列方程组{s+22=5+02−s 2+4s+5+t 2=0+52，即可解得M （3，8），②以MB 、NC 为对角线，则MB 、NC 的中点重合，同理可得{s+52=2+02−s 2+4s+4+02=t+52，解得M （﹣3，﹣16），③以MC 、NB 为对角线，则MC 、NB 中点重合，则{s+02=2+52−s 2+4s+5+52=t+02，解得M （7，﹣16）．【命题意图】数形结合；分类讨论；待定系数法；函数的综合应用；多边形与平行四边形；几何直观；应用意识．【命题方向】二次函数综合题，一般为压轴题．命题形式有：（1）“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问题；（2）“两个定点、两个动点”的平行四边形存在性问题. 【得分要点】（1）“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问题：以A ，B ，C 三点为顶点的平行四边形构造方法有：①作平行线：如图，连结AB ，BC ，AC ，分别过点A ，B ，C 作其对边的平行线，三条直线的交点为D ，E ，F ．则四边形ABCD ，ACBE ，ABFC 均为平行四边形．②倍长中线：如图，延长边AC ，AB ，BC 上的中线，使延长部分与中线相等，得点D ，E ，F ，连结DE ，EF ，FD ．则四边形ABCD ，ACBE，ABFC 均为平行四边形．FEDCBA（2）“两个定点、两个动点”的平行四边形存在性问题：先确定其中一个动点的位置，转化为“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问题，再构造平行四边形．解平行四边形存在性问题，无论是以上哪种类型，若没有指定四边形顶点顺序，都需要分类讨论．通常这类问题的解题策略有：（1）几何法：先分类，再画出平行四边形，然后根据平行四边形的性质来解答．如图，若AB ∥CD 且AB ＝CD ，分别过点B ，C 作一组平行线BE ，CF ，分别过点A ，D 作一组平行线AE ，DF ，则△AEB ≌△DFC ，从而得到线段间的关系式解决问题．（2）代数法：先罗列四个顶点的坐标，再分类讨论列方程，然后解方程并检验．如图．已知平行四边形ABCD ．连结AC ，BD 交于点O ．设顶点坐标为A （x A ，y A ）．B （x B ，y B ），C （x C ，y C ），D （x D ，y D ）．用平移的性质求未知点的坐标：,,.B ACD B C A D BACDBCAD x x x x x x x x y y y y y y y y 或②利用中点坐标公式求未知点的坐标：,22.22AC BD AC BDx x x x y y y y有时候几何法和代数法相结合，可以使得解题又快又好．ABCDEFABCDEFODCBA1．（2021•陕西模拟）如图，抛物线y ＝﹣x 2+2x+3与x 轴交于点A 、点B ，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点．设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ． （1）求点A 、点B 、点C 及抛物线的顶点坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 交BD 于点M ，试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形？解：（1）在y ＝﹣x 2+2x+3中，令x ＝0得y ＝3，令y ＝0得x ＝﹣1或x ＝3， ∴A （﹣1，0），B （3，0），C （0，3）， ∵y ＝﹣x 2+2x+3＝﹣（x ﹣1）2+4， ∴抛物线的顶点坐标为（1，4）； （2）∵点D 与点C 关于x 轴对称， ∴D （0，﹣3），设直线BD 为y ＝kx+b ，将B （3，0），D （0，﹣3）代入得： {3k +b =0b =−3，解得{k =1b =−3， ∴直线BD 为y ＝x ﹣3，∵点P 的坐标为（m ，0）， ∴M （m ，m ﹣3），Q （m ，﹣m 2+2m+3）， ∵四边形CQMD 是平行四边形， ∴CM 的中点即是QD 的中点，而CM 的中点为（m2，m2），QD 的中点为（m2，−m 2+2m2），∴m 2=−m 2+2m2，解得m ＝0（舍去）或m ＝1，∴m 的值为1．2. （2021•重庆模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3交x 轴于点A （﹣1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点C ，顶点是D ． （1）求抛物线顶点D 的坐标；（2）若P 是抛物线在第四象限内的一点，设点P 的横坐标是m ，连接AC 、CP 、BP ，当四边形ACPB 面积最大时，求点P 的坐标和最大面积；（3）若N 是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在点M ，使得以B 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出线段CN 的长度；若不存在，请说明理由．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），故﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），如图1，过点P作PG⊥AB于G，设P（m，m2﹣2m﹣3），∴OG＝m，PG＝﹣m2+2m+3，∴S四边形ACPB＝S△AOC+S梯形OCPG+S△BGP=12×1×3+12m（3﹣m2+2m+3）+12（3﹣m）（﹣m2+2m+3）=−32m2+92m+6=−32（m−32）2+758，∵−32＜0，∴当m=32时，S四边形ACPB的最大值为758，此时P（32，−154）（3）点C（0，﹣3），点B（3，0），设点M（t，n），n＝t2﹣2t﹣3，点N（1，s），①当BC是边时，点C向右平移3个单位，向上平移3个单位得到B，同样点M（N）向右平移3个单位，向上平移3个单位得到N（M），即t ±3＝1，n ±3＝s ，解得：t ＝﹣2或4，s ＝8或2， ∴点N （1，2）或（1，8），∴CN =√12+(2+3)2=√26或CN =√12+(8+3)2=√122； ②当BC 是对角线时，由中点公式得：3＝t+1，﹣3＝s+n ， 解得：s ＝0，∴点N （1，0），∴CN =√12+(0+3)2=√10． ∴CN 的长为√26或√122或√10．3．（2021•重庆模拟）如图，抛物线y ＝ax 2+bx+4经过点A （﹣1，0），B （2，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线在x 轴上方对称轴右侧上的一个动点，设点D 的横坐标为m ．连接AC ，BC ，DB ，DC ． （1）求抛物线的函数表达式；（2）当△BCD 的面积与△AOC 的面积和为72时，求m 的值；（3）在（2）的条件下，若点M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将点A （﹣1，0），B （2，0）代入y ＝ax 2+bx+4， ∴{a −b +4=04a +2b +c =0，∴{b =2a =−2， ∴y ＝﹣2x 2+2x+4；（2）令x ＝0，则y ＝4， ∴C （0，4），∴OC ＝4， ∵A （﹣1，0），∴OA ＝1， ∴S △OAC =12×1×4＝2， ∵△BCD 的面积与△AOC 的面积和为72，∴S △BCD =32， 过点D 作DE ⊥x 轴交BC 于点E ，设直线BC 的解析式为y ＝kx+b ， ∴{b =42k +b =0，∴{k =−2b =4， ∴y ＝﹣2x+4，∵D （m ，﹣2m 2+2m+4），则E （m ，﹣2m+4），∴DE ＝﹣2m 2+4m ， ∴S △BCD =12×2×ED =32， ∴﹣2m 2+4m =32，∴m =12或m =32，∵y ＝﹣2x 2+2x+4的对称轴为直线x ＝1，D 点在对称轴右侧， ∴m =32；（3）存在点M 使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ∵m =32，∴D （32，52），设M （t ，0），N （n ，﹣2n 2+2n+4）， ①当DM 和BN 为平行四边形对角线时，此时{32+t =n +252=−2n 2+2n +4， ∴{n =−12t =0或{n =32t =2，∴M （0，0）或M （2，0）；②当DB 和MN 为平行四边形的对角线时，此时{32+2=t +n 52=−2n 2+2n +4， ∴{n =−12t =4或{n =32t =2，∴M （4，0）或M （2，0）；③当DN 和BM 为平行四边形的对角线时，此时{32+n =t +252−2n 2+2n +4=0，∴{n =1+√142t =√142或{n =1−√142t =−√142， ∴M （√142，0）或M （−√142，0）； 综上所述：M 点的坐标为（0，0）或（2，0）或（4，0）或（√142，0）或（−√142，0）． 4．（2021•河南南阳模拟）如图，抛物线y =−12x 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），交y 轴于点C ，连接AC ，BC ，已知OA ＝2OC ，且△ABC 的面积为212．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线AC 上方抛物线上一动点，过点P 作PQ ∥y 轴，交直线AC 于点Q ．抛物线上是否存在点P ，使以P ，Q ，O ，C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线交y 轴于点C ， ∴C （0，c ），∴OC ＝c ， ∵OA ＝2OC ，∴OA ＝2c ， ∴A （﹣2c ，0），∵S △ABC =12AB •OC =12×（2c+1）•c ＝c 2+12c =212， ∴c =−72（舍去）或c ＝3， ∴C （0，3），A （﹣6，0），将c ＝3，B （1，0）代入y =−12x 2+bx+c 得， {−12+b +c =0c =3，∴{b =−52c =3∴抛物线的解析式为：y =−12x 2−52x+3． （2）设AC ：y ＝kx+b ，将点A 、C 的坐标代入y ＝kx+b 得， y =12x+3，设P （m ，−12m 2−52m+3）， ∴Q （m ，12m+3），∴PQ ＝（−12m 2−52m+3）﹣（12m+3）=−12m 2﹣3m ，令PQ ＝OC ，∴−12m 2﹣3m ＝3， ∴m 1＝﹣3+√3，m ＝﹣3−√3， ∴P （﹣3+√3，√3+92）或（﹣3−√3，−√3+92）． ∵PQ ∥OC ，∴四边形PQOC 是平行四边形．5．（2021•黑龙江大庆模拟）如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c （a ≠0）的图象经过A （1，0），B （3，0），C （0，6）三点，直线y ＝2x+b ′经过点A ，交抛物线于点D ． （1）求抛物线的解析式；（2）点E 在线段AD 上，且满足S △BDE ＝2S △ABE ，点F 在x 轴下方的抛物线上，设点F 的横坐标为t ，当t 为何值时，△FBE 的面积最大？并求出最大值；（3）P 为抛物线上的一动点，Q 为对称轴上一动点，若以A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形，求出点P 的坐标．解：（1）∵抛物线 y ＝ax 2+bx+c （a ≠0）的图象经过点 A （1，0），B （3，0），∴设抛物线的解析式为 y ＝a （x ﹣1）（x ﹣3），把点 C （0，6）代入，∴6＝a （0﹣1）（0﹣3），∴a ＝2，∴抛物线的解析式为 y ＝2（x ﹣1）（x ﹣3）＝2x 2﹣8x+6．（2）∵直线 y ＝2x+b ′经过点 A （1，0），∴0＝2+b ′，∴b ′＝﹣2，∴直线 AD 的解析式为 y ＝2x ﹣2，联立{y =2x −2y =2x 2−8x +6，解得：{x 1=1y 1=0， ∴点 D （4，6），∵A （1，0），B （3，0），∴AB ＝2，∴S △ABD =12×2×6=6， 设点 E （m ，2m ﹣2），∵S △BDE ＝2S △ABE ，∴S △ABE =13S △ABD =2，∴12×2×(2m −2)=2， ∴m ＝2，∴点 E （2，2），∴直线 BE 的解析式为 y ＝﹣2x+6，过点 F 作 FG ∥y 轴交直线 BE 于点 G ，∵点 F （t ，2t 2﹣8t+6）（1＜t ＜3），∴G （t ，﹣2t+6）．∴FG ＝﹣2t+6﹣（2t 2﹣8t+6）＝﹣2t 2+6t ，设点B 的横坐标为x B ，点E 的坐标为x E ，当1＜t ＜2时，S △FBE ＝S △FBG ﹣S △FEG =12FG •（x B ﹣x F ）−12FG •（x E ﹣x F ）=12FG •（x B ﹣x E ）=12（﹣2t 2+6t ）•（3﹣2）=−(t −32)2+94， ∴当 t =32 时，S △FBE 有最大值为 94． 当2≤t ＜3时，S △FBE ＝S △FBG +△FEG =12FG •（x B ﹣x F ）+12FG •（x F ﹣x E ）=12FG •（x B ﹣x E ）=12（﹣2t 2+6t ）•（3﹣2）=−(t −32)2+94，∴当t ＝2时，S △FBE 有最大值为 2，综上所述，当 t =32 时，△FBE 的最大面积为94．（3）由（2）知，A （1，0），D （4，6），设Q （2，m ），P （x ，2x 2﹣8x+6），①以AD 为对角线时，∵以 A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形，∴{1+4=2+x 0+6=m +2x 2−8x +6，解得：{x =3m =6，∴P （3，0）；②以AP 为对角线时，∵以 A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形，∴{1+x =2+40+2x 2−8x +6=m +6，解得：{x =5m =10，∴P （5，16）；③以AQ 为对角线时，∵以 A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形，∴{1+2=4+x 0+m =2x 2−8x +6+6，解得：{x =−1m =22，∴P （﹣1，16）；综上所述，当点 P 的坐标为 （5，16）或 （﹣1，16）或（3，0）时，以 A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形．5．（2021•四川南充模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 经过点A （4，0）、B （0，4）、C ．其对称轴l 交x 轴于点D ，交直线AB 于点F ，交抛物线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为直线l 上的动点，求△PBC 周长的最小值；（3）点N 为直线AB 上的一点（点N 不与点F 重合），在抛物线上是否存在一点M ，使以点E 、F 、N 、M 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标，不存在，说明理由．解：（1）把点A （4，0）、B （0，4）代入抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 中，得，{−16+4b +c =0c =4，解得{b =3c =4， ∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+3x+4，（2）由抛物线解析式可知，l ：x =32，C （﹣1，0），如图，作点B 关于直线l 的对称轴B ′，连接B ′C 交l 于一点P ，点P 即为使△PBC 周长最小的点，此时B ′（3，4），直线B ′C ：y ＝x+1，∴P （32，52）， ∵B （0，4），C （﹣1，0），B ′（3，4），∴BC =√17，CB ′＝4√2，∴△PBC 周长的最小值为：√17+4√2．（3）存在，以点E 、F 、N 、M 为顶点的四边形为平行四边形的点M 的坐标为（4+√312，−7+2√314），（4−√312，−7−2√314）或（52，214）．理由如下： 由抛物线解析式可知，E （32，254），∵A （4，0）、B （0，4），∴直线AB 的解析式为：y ＝﹣x+4，∴F （32，52）． ∴EF =154． 设M （m ，﹣m 2+3m+4），①当EF 为边时，则EF ∥MN ，∴N （m ，﹣m+4），∴NM ＝EF =154，即|﹣m 2+3m+4﹣（﹣m+4）|=154， 解得m =32（舍）或52或4+√312或4−√312， ∴M （52，214）或（4+√312，7+2√314），（4−√312，−7−2√314））． ②当EF 为对角线时，EF 的中点为（32，358），∴点N 的坐标为（3﹣m ，m 2﹣3m +194）， ∴﹣3+m+4＝m 2﹣3m +194，解得m =32（舍），m =52， ∴M 3（52，214）．综上，满足以点E 、F 、N 、M 为顶点的四边形为平行四边形的点M 的坐标为（4+√312，−7+2√314），（4−√312，−7−2√314）或（52，214）．。

平行四边形存在性（习题）巩固练习1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线323y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点C 在y 轴正半轴上，且12OB BC =，直线CD ⊥AB 于点P ，交x 轴于点D ．在坐标平面内是否存在点M ，使得以A ，P ，C ，M 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线1y x=+交=-+与3y x于点A，与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上一动点，则在直线AB上是否存在点E，使得以O，D，A，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，在平面直角坐标系xOy中，长方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA边上，点E在OC 边上，将长方形OABC沿直线DE折叠，点O恰好落在BC边上的点F处，且43CFCE ．已知OC=8，BC=12，OD=10，请解答下列问题．（1）求直线DE的解析式．（2）若M为直线DF上一点，则在直线DE上是否存在点N，使得以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．思考小结1.存在性问题处理框架是什么？①研究背景图形；2分析不变特征，确定分类标准；3分析形成因素，画图求解；4结果验证．2.拿“两定两动”的平行四边形存在性为例，我们一起看看存在性框架分析怎么用：第一步，研究背景图形需要研究哪些内容？答：研究背景图形需要研究边、角、特殊图形；坐标、解析式．第二步，如何分析不变特征，确定分类标准？答：分析谁是定点，谁是动点，两个定点连成定线段，定线段可以作为平行四边形的边或对角线来进行分类．第三步，分析形成因素，画图，求解；根据特征，往往需要利用______（填“判定”或“性质”）分析？定线段为边和为对角线分类作图时，依据的原理是什么？求解坐标的操作手段是什么？答：判定；定线段为边时依据的原理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；定线段为对角线时依据的原理：对角线互相平分的四边形是平行四边形；定线段为边时求解坐标：通过平移找点，“设→传→代”进行求解；定线段为对角线时求解坐标：通过旋转找点，利用中点坐标公式“设→传→代”进行求解．【参考答案】1．存在，点M 的坐标为(33-，3)，(33，9)或(3-，3-)．2．存在，点E 的坐标为(12，12)或(52-，72)．3．（1）152y x =-+．（2）存在，点N 的坐标为(345，85)或(665，85-)．。

九年级数学专题平行四边形的存在性解题策略：1.平行四边形存在性问题的类型(1)“三个定点、一个动点”的平行四边形的存在性问题以A,B,C三点为顶点的平行四边形构造方法有：①作平行线.如图,连接AB,BC,AC,分别过点A,B,C作其对边的平行线,三条直线的交点为D,E,F，则四边形ABCD,ACBE,ABFC均为平行四边形.②倍长中线,如图,延长AC,AB,BC边上的中线,使延长部分与对应的中线相等,得到点D,E,F,连接DE,EF,FD,则四边形ABCD,ACBE,ABFC均为平行四边形.(2)“两个定点、两个动点”的平行四边形的存在性问题先确定其中一个动点的位置,转化为“三个定点,一个动点”的平行四边形存在性问题,再构造平行四边形.2.平行四边形存在性问题的解题策略解平行四边形存在性问题时,若没有指定四边形顶点顺序,则需要分类讨论.(1)几何法:先画出平行四边形,再构造三角形全等来解答.如图,已知 ABCD,过点B,C作一组平行线BE,CF,过点A,D作一组平行线AE,DF,则△AEB≌△DFC,从而得到线段间的关系式解决问题.(2)代数法:先罗列四个顶点的坐标,再分类讨论列方程,然后解方程并检验.如图,已知 ABCD,连接AC,BD,交于点O.设顶点坐标为A(x A,y A),B(x B,y B),C(x C,y C),D(x D,y D).①利用平移的性质求未知点的坐标:{x B−x A=x C−x Dy B−y A=y C−y D或{x B−x C=x A−x Dy B−y C=y A−y D②利用中点坐标公式求未知点的坐标:{x A+x C2=x B+x D2y A+y C2=y B+y D2或{x A+x C=x B+x Dy A+y C=y B+y D1.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=12x 2+bx+c 经过原点和点A(-4,0),点B 在y 轴上,且OA=OB,直线AB 与抛物线在第一象限交于点C.(1)求抛物线的解析式(2)在坐标平面内是否存在点N,使以A,O,C,N 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点N 的坐标;若不存在,请说明理由.2.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax 2+6x+c(a ≠0)与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于点C,直线y=x-5经过点B,C.过点A 作AM ⊥BC 于点M,过抛物线上一动点P(不与点B,C 重合)作直线AM 的平行线,与直线BC 交于点Q.若以A,M,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形,求点P 的横坐标.3.如图,在平面直角坐标系中,直线y=-12x+2与x 轴交于点A,与y 轴交于点B,抛物线y=-12x 2+bx+c 经过A,B 两点且与x 轴的负半轴交于点C.(1)求该抛物线的解析式(2)已知E,F 分别是直线AB 和抛物线上的动点,当B,O,E,F 为顶点的四边形是平行四边形时,求出所有符合条件的点E 的坐标.4.如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A(一5,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,5),有一宽度为1,长度足够的矩形(阴影部分)沿x轴方向平移,与y轴平行的一组对边与抛物线交于P,Q两点,与直线AC 交于M,N两点在矩形的平移过程中,当以P,Q,M，N为顶点的四边形是平行四边形时,求出点M的坐标.5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点,直线AD与抛物线的另一交点为D,点D的横坐标为一2,P是线段AD上的动点(不与点A,D重合),过点P作x轴的垂线,与抛物线交于点Q.问:在平面内是否存在整点R(横,纵坐标都为整数),使得以P,Q,D，R为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点R的坐标;若不存在,请说明理由.6.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(-3,0),B(1,0),C(0,3),抛物线的顶点为P.问:直线y=2x+3上是否存在点M,使得以A,P,C,M为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.7.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-2x+c与直线y=kx+b都经过A(0,-3),B(3,0)两点,抛物线的顶点为C.(1)求此抛物线和直线AB的解析式;(2)设直线AB与此抛物线的对称轴交于点E,在射线EB上是否存在一点M,过点M作x轴的垂线交抛物线于点N,使得M,N,C,E是平行四边形的四个顶点?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.8.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-2ax-8a与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,-4).(1)求抛物线的解析式;(2)P是线段BC下方抛物线上的一个动点,如果在x轴上存在点Q,使得以B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求出点Q的坐标.9.如图,在平面直角坐标系中,抛物线过点A(0,1)和C,顶点为D直线AC与抛物的对称轴BD的交点为,四边形BDEF为B(√3,0),平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E,与直线AC交于点F,点F的横坐标为4√33平行四边形.(1)求点F的坐标及抛物线的解析式(2)在抛物线的对称轴上取一点Q,同时在抛物线上取一点R,使以AC为一边且以A,C.Q,R为顶点的四边形为平行四边形,求点Q和点R的坐标.10.如图,在平面直角坐标系中,抛物线L 1:y=x 2+bx+c 过点C(0,-3),与抛物线L 2:y=-12x 2-32x+2的一个交点为A,且点A 的横坐标为2,P,Q 分别是抛物线L 1,L 2上的动点.(1)求抛物线L 1的解析式;(2)若以A,C,P.Q 为顶点的四边形恰为平行四边形,求出点P 的坐标.11.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x 2-2x+a(a>0)与y 轴交于点A,顶点为M,直线y=12x-a 分别与x 轴、y 轴交于点B,C,并且与直线MA 交于点N.问:抛物线上是否存在点P,使得以P,A,C,N 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.。