初三数学-平行四边形经典例题

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．四边形ABCD是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是直线AD上两动点，且AE=DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G，连接AG，直线AG交BE于点H．（1）如图1，当点E、F在线段AD上时，①求证：∠DAG=∠DCG；②猜想AG与BE的位置关系，并加以证明；（2）如图2，在（1）条件下，连接HO，试说明HO平分∠BHG；（3）当点E、F运动到如图3所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出∠BHO的度数．【答案】（1）①证明见解析；②AG⊥BE．理由见解析；（2）证明见解析；（3）∠BHO=45°．【解析】试题分析：（1）①根据正方形的性质得DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，则可根据“SAS”证明△ADG≌△CDG，所以∠DAG=∠DCG；②根据正方形的性质得AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°，根据“SAS”证明△ABE≌△DCF，则∠ABE=∠DCF，由于∠DAG=∠DCG，所以∠DAG=∠ABE，然后利用∠DAG+∠BAG=90°得到∠ABE+∠BAG=90°，于是可判断AG⊥BE；（2）如答图1所示，过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，证明△AON≌△BOM，可得四边形OMHN为正方形，因此HO平分∠BHG结论成立；（3）如答图2所示，与（1）同理，可以证明AG⊥BE；过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，构造全等三角形△AON≌△BOM，从而证明OMHN为正方形，所以HO 平分∠BHG，即∠BHO=45°．试题解析：（1）①∵四边形ABCD为正方形，∴DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，在△ADG和△CDG中，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠DAG=∠DCG；②AG⊥BE．理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°，在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠ABE=∠DCF，∵∠DAG=∠DCG，∴∠DAG=∠ABE，∵∠DAG+∠BAG=90°，∴∠ABE+∠BAG=90°，∴∠AHB=90°，∴AG⊥BE；（2）由（1）可知AG⊥BE．如答图1所示，过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，则四边形OMHN为矩形．∴∠MON=90°，又∵OA⊥OB，∴∠AON=∠BOM．∵∠AON+∠OAN=90°，∠BOM+∠OBM=90°，∴∠OAN=∠OBM．在△AON与△BOM中，∴△AON≌△BOM（AAS）．∴OM=ON，∴矩形OMHN为正方形，∴HO平分∠BHG．（3）将图形补充完整，如答图2示，∠BHO=45°．与（1）同理，可以证明AG ⊥BE ．过点O 作OM ⊥BE 于点M ，ON ⊥AG 于点N ，与（2）同理，可以证明△AON ≌△BOM ，可得OMHN 为正方形，所以HO 平分∠BHG ，∴∠BHO=45°．考点：1、四边形综合题；2、全等三角形的判定与性质；3、正方形的性质2．问题发现：（1）如图①，点P 为平行四边形ABCD 内一点，请过点P 画一条直线l ，使其同时平分平行四边形ABCD 的面积和周长．问题探究：（2）如图②，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴正半轴上，点B 坐标为(8,6)．已知点(6,7)P 为矩形外一点，请过点P 画一条同时平分矩形OABC 面积和周长的直线l ，说明理由并求出直线l ，说明理由并求出直线l 被矩形ABCD 截得线段的长度．问题解决：（3）如图③，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABCD 的边OA 、OD 分别在x 轴、y 轴正半轴上，DC x ∥轴，AB y ∥轴，且8OA OD ==，2AB CD ==，点(1052,1052)P --为五边形内一点．请问：是否存在过点P 的直线l ，分别与边OA 与BC 交于点E 、F ，且同时平分五边形OABCD 的面积和周长?若存在，请求出点E 和点F 的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】（1）作图见解析；（2）25y x =-，35；（3）(0,0)E ，(5,5)F ．【解析】试题分析：（1）连接AC 、BD 交于点O ，作直线PO ，直线PO 将平行四边形ABCD 的面积和周长分别相等的两部分．（2）连接AC ，BD 交于点O '，过O '、P 点的直线将矩形ABCD 的面积和周长分为分别相等的两部分．（3）存在，直线y x =平分五边形OABCD 面积、周长．试题解析：（1）作图如下：（2）∵(6,7)P ，(4,3)O '，∴设:6PO y kx =+'，67{43k b k b +=+=，2{5k b ==-， ∴25y x =-，交x 轴于5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 交BC 于11,62M ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 2211563522MN ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭．（3）存在，直线y x =平分五边形OABCD 面积、周长．∵(1052,102)P --在直线y x =上，∴连OP 交OA 、BC 于点E 、F ，设:BC y kx b =+，(8,2)(2,8)B C ，82{28k b k +=+=，1{10k b =-=，∴直线:10BC y x =-+，联立10{y x y x =-+=，得55x y =⎧⎨=⎩， ∴(0,0)E ，(5,5)F ．3．已知：如图，在平行四边形ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，过点O 的直线EF 分别交AD ，BC 于E ，F 两点，连结BE ，DF ．（1）求证：△DOE ≌△BOF ．（2）当∠DOE 等于多少度时，四边形BFDE 为菱形？请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）当∠DOE =90°时，四边形BFED 为菱形，理由见解析.【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出△DOE ≌△BOF （ASA ）；（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD 是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED ，即可得出答案．试题解析：（1）∵在▱ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，∴BO=DO ，∠EDB=∠FBO ，在△EOD 和△FOB 中，∴△DOE ≌△BOF （ASA ）；（2）当∠DOE=90°时，四边形BFDE 为菱形，理由：∵△DOE ≌△BOF ，∴OE=OF ，又∵OB=OD ，∴四边形EBFD 是平行四边形， ∵∠EOD=90°，∴EF ⊥BD ，∴四边形BFDE 为菱形．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．4．已知矩形纸片OBCD 的边OB 在x 轴上，OD 在y 轴上，点C 在第一象限，且86OB OD ==，.现将纸片折叠，折痕为EF （点E ，F 是折痕与矩形的边的交点），点P 为点D 的对应点，再将纸片还原。

平行四边形的性质及判定〔典型例题〕1．平行四边形及其性质例1 如图，O是ABCD对角线的交点．△OBC的周长为59，BD=38，AC=24，那么AD=____假设△OBC与△OAB的周长之差为15，那么AB=ABCD的周长=____.分析：AC，可得BC，再由平行四边形对边相等知AD=BC，由平行四边形的对角线互相平分，可知△OBC与△OAB的周长之差就为BC与AB之差，可得AB，进而可得ABCD的周长．对角线互相平分)∴△OBC的周长=OB＋OC＋EC=19＋12＋BC=59∴BC=28ABCD中，∴BC=AD(平行四边形对边相等)∴AD=28△OBC的周长-△OAB的周长=(OB＋OC＋BC)-(OB＋OA+AB)=BC-AB=15∴AB=13∴ABCD的周长=AB＋BC＋CD＋AD=2(AB＋BC)=2(13＋28)=82说明：此题条件中的“△OBC占△OAB的周长之差为15”，用符号语言表示出来后，便容易发现其实质，即BC与AB之差是15．例2 判断题(1)两条对边平行的四边形叫做平行四边形．( )(2)平行四边形的两角相等．( )(3)平行四边形的两条对角线相等．( )(4)平行四边形的两条对角线互相平分．( )(5)两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段叫做两条平行线的距离．( )(6)平行四边形的邻角互补．( )分析：根据平行四边形的定义和性质判断．解：(1)错“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形〞是两组对边，而不是两条对边．如图四边形ABCD，两条对边AD∥BC．显然四边形ABCD不是平行四边形．(2)错平行四边形的性定理1，“平行四边形的对角相等．〞对角是指四边形中设有公共边的两个角，也就是相对的两个角．(3)错平行四边形的性质定理3，“平行四边形的对角线互相平分．〞一般地不相等．(矩形的两条对角线相等)．(4)对根据平行四边形的性质定理3可判断是正确的．(5)错线段图形，而距离是指线段的长度，是正值正确的说法是：两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段的长度叫做这两条平行线的距离．(6)对由定义知道，平行四边形的对边平行，根据平行线的性质可知．平行四边形的邻角互补．例3 ．如图1，在ABCD中，E、F是AC上的两点．且AE=CF．求证：ED∥BF．分析：欲址DE∥BF，只需∠DEC=∠AFB,转证=∠ABF≌△CDF,因ABCD，那么有AB CD，从而有∠BAC=∠CDA．再由AF=CF得AF=CE．满足了三角形全等的条件．证明：∵AE=CFAE+EF=CF+EF∴AF=CE在ABCD中AB∥CD(平行四边形的对边平行)∴∠BAC=∠DCA(两直线平行内错角相等)AB=CD(平行四边形的对边也相等)∴△ABF≌△CDE(SAS)∴∠AFB=∠DCE∴ED∥BF(内错角相等两直线平行)说明：解决平行四边形问题的根本思想是化为三角形问题不处理．例4 如图在△ABC中DE∥BC∥FG，假设BD=AF、求证；DE＋FG=BC．分析1：要证DE＋FG=DC由于它们是平行线，由平行四边形定义和性质．考虑将DE平移列BC上为此，过E(或D)作EH∥AB(或DM ∥AC)，得到DE=BH、只需证HC=FG，因AF=BD=EH，∠CEH=∠A.∠AGF＝∠C所以△AFG≌∠EHC．此方法称为截长法．分析2：过C点作CK∥AB交DE的延长线于K，只需证FG=EK，转证△AFG≌△CKE．证法1：过E作EH∥AB交于H∵DE∥BC∴四边形DBHE是平行四边形(平行四边形定义) ∴DB=EHDE=BH(平行四边形对边也相等)又BD=AF∴AF=EH∵BC∥FG∴∠AGF=∠C(两直线平行同位角相等)同理∠A=∠CEH∴△AFG≌△EHC(AAS)∴FG=HC∴BC=BH+HC=DE=FG即CE+FG=BD证法2：. 过C作CK∥AB交DE的延长线于K.∵DE∥BC∴四边形DBCK是平行四边形(平行四边形定义) ∴CK=BD DK=BC(平行四边形对边相等)又BD=AF∴AF=CK∵CK∥AB∴∠A=∠ECK(两直线平行内错角相等)∵BC∥FG∴∠AGF=∠AED(两直线平行同位角相等)又∠CEK=∠AED(对顶角相等)∴∠AGF=∠CEK∴△AFG≌△CKE(AAS)FG=EKDE+EK=BC∴DE+FG=BC例5 如图ABCD中，∠ABC=3∠A，点E在CD上,CE=1，EF⊥CD交CB延长线于F，假设AD=1，求BF的长．分析：根据平行四边形对角相等，邻角互补，可得∠C=∠F=45°进而由勾股定理求出CF，再根据平行四边形对边相等，得BF的长．解：在ABCD中，AD∥BC∴∠A＋∠ABC=180°(两直线平行同旁内角互补)∵∠ABC=3∠A∴∠A=45°，∠ABC=135°∴∠C=∠A=45°(平行四边形的对角相等)∴EF⊥CD∴∠F=45°(直角三角形两锐角互余)∴EF=CE=1∵AD=BC=1例6 如图1，ABCD中，对角线AC长为10cm，∠CAB=30°，AB长为6cm，求ABCD的面积．解：过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H．(图2)∵∠CAB=30°∴S ABCD＝AB·CH＝6×5=30(cm2)答：ABCD的面积为30cm2．说明：由于=底×高，题设中AB的长，须求出与底AB相应的高，由于此题条件的制约，不便于求出过点D的高，应选择过点C作高．例7 如图，E、F分别在ABCD的边CD、BC上，且EF∥BD 求证：S△ACE=S△ABF分析：运用平行四形的性质，利用三角形全等，将其转化为等底同高的三角形．证明：将EF向两边延长分别交AD、AB的延长线于G、H.ABCD DE∥AB∴∠DEG=∠BHF(两直线平行同位角相等)∠GDE=∠DAB(同上)AD∥BC∴∠DAB=∠FBH(同上)∴∠GDE=∠FBH∵DE∥BH，DB∥EH∴四边形BHED是平行四边形∵DE=BH(平行四边形对边相等)∴△GDE≌△FBH(ASA)∴S△GDE=S△FBH(全等三角形面积相等)∴GE=FH(全等三角形对应边相等)∴S△ACE=S△AFH(等底同高的三角形面积相等)∴S△ADE＝S△ABF说明：平行四边形的面积等于它的底和高的积．即S=a·ha．a 可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离．即对应的高，为了区别，可以把高记成ha，说明它所对应的底是a．例8 如图，在ABCD中，BE平分∠B交CD于点E，DF平分∠D交AB于点F，求证BF=DE．证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴DE∥FB，∠ABC=∠ADC(平行四边形的对边也平行对角相等) ∴∠1=∠3(两直线平行内错角相等)∴∠1=∠2∴∠2=∠3∴DF∥BE(同位角相等两条直线平行)∴四边形BEDF为平行四边形(平行四边形定义)∴BF=DE．(平行四边形的对边相等)说明：此例也可通过△ADF≌△CBE来证明，但不如上面的方法简捷．例9 如图，CD的Rt△ABC斜边AB上的高，AE平分∠BAC交CD 于E，EF∥AB，交BC于点F，求证CE=BF．分析作EG∥BC，交AB于G，易得EG=BF．再由根本图，可得EG=EC，从而得出结论．证明：过E点作EG∥BC交AB于G点．∴∠EGA=∠B∵EF∥AB∴EG=BF∵CD为Rt△ABC斜边AB上的高∴∠BAC＋∠B=90°．∠BAC＋∠ACD＝90°∴∠B=∠ACD∴∠ACD=∠EGA∵AE平分∠BAC∴∠1=∠2又AE=AE∴△AGE≌△ACE(AAS)∴CE=EG∴CE=BF．说明：(1)在上述证法中，“平移〞起着把条件集中的作用．(2)此题也可以设法平移AE．(连F点作FG∥AE，交AB于G)例10 如图，ABCD的周长为32cm，AB∶BC=5∶3，AE⊥BC 于E，AF⊥DC于F，∠EAF=2∠C，求AE和AF的长．分析：从化简条件开场①由ABCD的周长及两邻边的比，不难得到平行四边形的边长．②∠EAF=2∠C告诉我们什么？这样，立即可以看出△ADF、△AEB都是有一个锐角为30°的直角三角形．再由勾股定理求出解：ABCD的周长为32cm即AB+BC+CD+DA=32∵AB=CD BC=DA(平行四边形的对边相等)又AB∶BC=5∶3∠EAF+∠AFC+∠C+∠CEA=360°(四边形内角和等于360°) ∵AE⊥BC ∠AEC=90°AF⊥DC ∠AFC=90°∴∠EAF+∠C=180°∠EAF=2∠C∴∠C=60°∵AB∥CD(平行四边形的对边平行)∴∠ABE=∠C=60°(两直线平行同位角相等)同理∠ADF=60°说明：化简条件，化简结论，总之，题目中哪一局部最复杂就从化简那一局部开场，这是一种常用的解题策略，我们把这种解题策略称为：从最复杂的地方开场．它虽简单，却很有效．2．平行四边形的判定例1 填空题(1)如图1，四边形ABCD与四边形BEFC都是平行四边形，那么四边形AEFD是__，理由是__(2) 如图2，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE=EF，AE=EC，DE∥BC那么四边形ADCF是__，理由是__，四边形BCFD是__，理由是___分析：判定一个四边形是平行四边形的方法较多，要从条件出发，具体问题具体分析：(1)根据平行四边形的性质可得AD平行且等于BC，BC平行且等于EF，从而得AD平行且等于EF，由判定定理4可得．(2)由AE=EC，DE=EF，由判定定理3可得四边形ADCF是平行四边形，从而得AD∥CF即BD∥CF，再由条件，可得四边形BCFD 是平行四边形．解：(1)平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(2)平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，平行四边形，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．说明：平行四边形的定义(两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，既是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法．例2 如图，四边形ABCD中，AB=CD．∠ADB=∠CBD=90°．求证：四边形ABCD是平行四边形．分析：判定一个四边形是平行四边形，有三类五个判定方法，这三类也是按边、角和对角线分类，具体的五个方法如下表：因此必须根据条件与图形构造特点，选择判定方法．证法一：∵AB=CD．∠ADB=∠CBD=90°，BD=DB．∴Rt△ABD≌Rt△CDB．∴∠ABD=∠CDB，∠A=∠C．∴∠ABD+∠CBD=∠CDB+∠ADB即∠ABC=∠CDA．∴四边形ABCD是平行四边形(两组对角分别相等的四边形是平行四边形)．证法二：∵∠ADB=∠CBD=90°，AB=CD、BD=DB．∴Rt△ABD≌Rt△CDB．∴∠ABD=∠CDB．∴AB∥CD．(内错角相等两直线平行)∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．证法三：由证法一知，Rt△ABD≌Rt△CDB．∴DA=BC又∵AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)说明：证明一个四边形是平行四边形，往往有多种证题思路，我们必须注意分析，通过比拟，选择最简捷的证题思路．此题三种证法中，证法二与证法三比拟简捷，此题还可用定义来证明．例3 如图，ABCD中，E、G、F、H分别是四条边上的点，且AE=CF，BG=DH，求证：EF与GH互相平分．分析：只须证明EGFH为平行四边形．证明：连结EG、GF、FH、HE．∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A=∠C，AD=CB．∵BG=DH∴AH=CG又AE=CF∴△AEH≌△CFG(SAS)∴HE=GF同理可得EG=FH∴四边形EGFH是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)∴EF与GH互相平分(平行四边形的对角线互相平分)．说明：平行四边形的性质，判定的综合运用是解决有关线段和角问题根本方法．例4 如图，ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．求证：四边形AECF是平行四边形．分析：由平行四边形的性质，可得△ABE≌△CDF∴AE= CF进而可得四边形AECF是平行四边形．证明：ABCD中，AB CD(平行四边形的对边平行，对边相等)∴∠ABD=∠CDB(两直线平行内错角相等)AE⊥BD、CF⊥BD∴AE∥CF∠AEB=∠CFD=90°∴△ABE≌△CDF(AAS)∴AE=CF∴四边形AECF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)说明：平行四边形的定义，既是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法．例5 如图，ABCD中，E、F分别在AD、BC上，且AE=CF，AF、BE相交于G，CE、DF相交于H求证：EF与GH互相平分分析：欲证EF与GH互相平分，只需四边形EGFH为平行四边形，利用条件可知四边形AFCE、四边形EBFD都为平行四边形，所以可得AF∥EC，BE∥DF，从而四边形GEHF为平行四边形．证明：ABCD中，AD BC(平行四边形对边平行且相等)∵AE=CF∴DE=BF∵四边形AFCE、四边形BFDE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平形四边形)∴AF∥CE，BE∥DF(平行四边形对边平行)∴四边形EGFH是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)∴GH与EF互相平分(平行四边形的对角线互相平分)说明：平行四边形问题，并不都是以求证某一个四边形为平行四边形的形式出现的．往往更多的是求证线段的相等、角的相等、直线的平行、线段的互相平分等等．要灵活地根据题中条件，以及定义、定理等．先判定某一四边形为平行四边形，然后再应用平行四边形的性质加以证明．例6 如图，ABCD中，EF在BD上，且BE=DF，点G、H在AD、CB上，且有AG=CH，GH与BD交于点O，求证EG HF分析：证EF、GH互相平分GEHF为平行四边形．证明：连BG、DH、GF、EH∵ABCD为平行四边形．∴AD BC又AG=HC∴DG BH∴四边形BGDH为平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)∴HO＝GO，DO=BO(平行四边形的对角线互相平分)又BE=DF∴OE=OF∴四边形GEHF为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)∴EG HF．(平行四边形的对边平行相等)说明：由于条件BE=DF涉及到对角线BD，所以考虑用对角线互相平分来证明例7 如图，ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，G、H分别为AD、BC的中点，求证：EF和GH互相平分．分析：连结EH，HF、FG、GE，只须证明EHFG为平行四边形．证法一：连结EH，HF、FG、GE∵AE⊥BD，G是AD中点．∠GED=∠GDE同理可得∵四边形ABCD是平行四边形∴AD BC，∠GDE=∠HBF∴GE=HF，∠GED=∠HFB∴GE∥HF∴四边形GEHF为平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)∴EF和GH互相平分．(平行四边形对角线互相平分)证法二：容易证明△ABE≌△CDF∴BE=DF∵四边形ABCD为平行四边形∴AD BC∵G、H分别为AD、BC的中点∴DG BH∴四边形BHDG为平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)∴BD和GH互相平分(平行四边形对角线互相平分)∴OG=OH，OB=OD又BE=DF∴OE=OF∴EF和GH互相平分．例8 如图，线段a、b与∠α，求作：ABCD，使∠ABC=∠α，AB=a，BC=b，分析：两边与夹角，可先确定△ABC，根据判定定理2(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)，再确定点D，从而平行四边形可作出．作法：(1)作∠EBF=∠α，(2)在BE、BF上分别截取BA=a，BC=b，(3)分别为A、C为圆心，b，a为半径作弧，两弧交于点D，∴四边形ABCD为所求．*证明：由作法可知AB=CD＝aBC=AD=b∴四边形ABCD为平行四边形(两组对边分别相等的四边形为平行四边形)且∠ABC=∠α，AB=a，BC=b∴ABCD为所求说明：常见的平行四边形作图有以下几种：(1)两邻边(AB、BC)和夹角(∠B)．(2)一边(BC)和两条对角线(AC，BD)．(3)一边(BC)和这条边与两条对角线的夹角(如∠DBC，∠ACB)．(4)一边(CD)和一个内角(∠ABC)以及过这个角的顶点的一条对角线(BD，且BD＞CD)求作平行四边形(如图)完成这些作图的关键点，都在于先作出一个三角形，然后再完成平行四边形的作图，表达了把平行四边形的问题化归为三角形问题的思想方法．。

初三数学平行四边形练习题1. 已知四边形ABCD为平行四边形，AB = 9 cm，BC = 6 cm。

找出以下各组中所有能构成平行四边形的边长。

a) AD = 9 cm, CD = 6 cmb) AD = 12 cm, CD = 6 cmc) AD = 9 cm, CD = 4 cmd) AD = 15 cm, CD = 12 cm2. 在平行四边形EFGH中，EF = 5 cm，EG = 10 cm，求以下各角度的度数。

a) ∠Fb) ∠Gc) ∠Hd) ∠E3. 已知平行四边形IJKL的周长为40 cm，且IK = 12 cm，求以下各边长的值。

a) IJb) KLc) ILd) JK4. 判断以下命题是否正确，并简要说明理由。

a) 一个矩形一定是平行四边形。

b) 一个梯形一定是平行四边形。

c) 一个菱形一定是平行四边形。

d) 一个正方形一定是平行四边形。

5. 在平行四边形MNPQ中，对角线MQ与边PN相交于点O。

若MQ = 10 cm，PN = 8 cm，求OM的长度。

6. 已知平行四边形ABCD的周长为48 cm，AB = 12 cm，找出所有可能的边长。

7. 已知平行四边形RSTU的面积为72 cm²，RS = 8 cm，求TU的长度。

8. 若平行四边形ABCD中的两角为120°，则另外两个角是多少度？9. 在平行四边形VWXY中，对角线VY与边XW相交于点Z。

若VY的长度是5 cm，ZX的长度是3 cm，求ZY的长度。

10. 在平行四边形ABCD中，对角线AC与边AD的交点为点E。

若AB = 12 cm，AE = 6 cm，求CE的长度。

文章结束。

注意：此练习题旨在帮助初三学生巩固平行四边形的相关知识。

请按题意回答问题，并确保解答的准确性。

平行四边形经典例题一、已知平行四边形的性质求角度例题：在平行四边形ABCD 中，∠A 的度数比∠B 的度数小40°，求∠A 和∠B 的度数。

解析：因为平行四边形的邻角互补，即∠A + ∠B = 180°。

又已知∠A 比∠B 小40°，即∠B - ∠A = 40°。

联立这两个方程可得：∠A = 70°，∠B = 110°。

二、利用平行四边形的性质求边长例题：平行四边形ABCD 的周长为40，AB = 6，求BC 的长。

解析：平行四边形的对边相等，所以AB = CD = 6，BC = AD。

周长为40，则2(AB + BC) = 40，即2×(6 + BC) = 40，解得BC = 14。

三、判断四边形是否为平行四边形例题：已知四边形ABCD 中，AB∠CD，AB = CD，判断四边形ABCD 是否为平行四边形。

解析：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形ABCD 是平行四边形。

四、根据平行四边形的性质求线段长度例题：在平行四边形ABCD 中，AC、BD 是对角线，AC = 10，BD = 8，且AC 与BD 的夹角为60°，求AB 的长度。

解析：过 A 作AE∠BD 于E。

设O 为AC 与BD 的交点，则AO = 5，BO = 4。

在直角三角形AOE 中，因为∠AOE = 60°，所以OE = AO×cos60° = 5×1/2 = 2.5，AE = AO×sin60° = 5×√3/2。

在直角三角形ABE 中，根据勾股定理可得AB = √(AE² + BE²) = √[(5×√3/2)²+(4 + 2.5)²]。

五、利用平行四边形的性质证明线段相等例题：在平行四边形ABCD 中，E、F 分别是AB、CD 的中点，连接DE、BF。

初三数学平行四边形经典例题【练习】一、选择题1. 下列命题正确的是( )(A)、一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形(B)、对角线相等的四边形一定是矩形(C)、两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形(D) 、在两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形2. 已知平行四边形ABC的周长32, 5AB=3BC,则AC勺取值范围为()A. 6<AC<10;B. 6<AC<16 ;C. 10<AC<16 ;D. 4<AC<163. 两个全等的三角形(不等边)可拼成不同的平形四边形的个数是( )(A) 1 ( B) 2 (C) 3 (D) 44. 延长平形四边形ABCD勺一边AB到E,使BE^ BD连结DE交BC于F,若/ DAB= 120° , / CFE= 135°, A吐1,则AC 的长为( )(A) 1 (B)1.2 (C) ^2 (D) 1.55 .若菱形ABC中, AE垂直平分BC于E, AE= 1cm 则BD勺长是( )(A) 1cm ( B) 2cm (C) 3cm (D) 4cm6. 若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形，那么这个四边形的对角线( )(A)互相垂直(B)相等(C)互相平分(D)互相垂直且相等7. 如图，等腰△ ABC中, D是BC边上的一点，DE// AC, DF// AB AB=5那么四边形AFDE勺周长是( )(A) 5(B) 10 (C)15(D) 20（第7题） （第8题）（第10题）8. 如图，将边长为8cm fi 勺正方形纸片ABCD边中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN 贝懺段CN 勺长是（ ）(A ) 3cm(B ) 4cm(C ) 5cm(D ) 6cm9. 如图，在直角梯形ABCD 中, AD// BC ，/ B=90°，AC 将梯形分成两个三角形， 其中△ ACD 是周长为18 cm 的等边三角形，则该梯形的中位线的长是（）.（A ）9 cm （B ）12cm（c ） 9 cm （D ）18 cm210. 如图，在周长为20cm 的^□ ABCI 中, A 盼AD ，AC BD 相交于点O, OELBD 交AD于巳则厶ABE 勺周长为（）(A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cm11. 如图2,四边形ABCD 为矩形纸片•把纸片 ABC 晰叠，使点B 恰好落在CD(A ) 4、3(B ) 3312. 如图，已知四边形ABCI 中, R 、P 分别是BC CDh 的点,分别是BF CAP 、RP 勺中点，当点P 在CDk 从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论 成立的是（）A 、线段EF 的长逐渐增大B 、线段EF 的长逐渐减小C 、线段EF 的长不变 D、线段EF 的长与点P13.在梯形 ABCD 中, AD//BC ，对角线 AC L BD,且AC 5cm , BD=12c m 则梯 形中位线的长等于（ ）A. 7.5cmB. 7 cmC. 6.5cm14. 国家级历史文化名城一一金华，风光秀丽，花木葱茏•某广场上 一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜 色的花.边的中点E 处，折痕为AF 若C — 6,则AF 等于h ro?第12题图D. 6cm（第 9题）折叠，使点D 落在BCADE'F橙绿红H A 紫F C 第14题如果有AB // EF // DC , BC // GH // AD，那么下列说法中错误的是（3. 若矩形一个内角的平分线，把另一边分为 4cm,5cm 两部分，则这个矩形周长是4. 已知：平行四边形ABC 的周长是30cm 对角线AC BD 相交于点0, △ A0的周长 比厶B0C 勺周长长5cm ,则这个平行四边形的各边长为 _______ 。

平行四边形综合题20道1．已知平行四边形ABCD的对角线交于点E，若BE=4cm，CE=6cm，求平行四边形ABCD的面积。

2．在平行四边形ABCD中，AB=8cm，BC=10cm，∠ABC=120°，求平行四边形ABCD的面积。

3．平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相等，证明平行四边形ABCD是矩形。

4．已知平行四边形ABCD的邻边AB和BC的长度分别为6cm和8cm，求平行四边形的高。

5．在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD互相垂直，证明平行四边形ABCD是菱形。

6．平行四边形ABCD的周长为30cm，AB=8cm，求平行四边形的高。

7．已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD的长度分别为12cm和16cm，求平行四边形ABCD的面积。

8．在平行四边形ABCD中，AB=5cm，AD=7cm，求平行四边形对角线AC的长度。

9．平行四边形ABCD中，∠BAD=135°，AB=6cm，求平行四边形的高。

10．已知平行四边形ABCD的面积是60cm²，AB=10cm，求平行四边形的高。

11．在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD互相平分，证明平行四边形ABCD是矩形。

12．平行四边形ABCD中，AB=8cm，BC=10cm，求平行四边形对角线BD的长度。

13．已知平行四边形ABCD的邻边AB和BC的长度分别为5cm和12cm，求平行四边形的高。

14．在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD互相垂直且相等，证明平行四边形ABCD是正方形。

15．平行四边形ABCD的周长为40cm，AB=12cm，求平行四边形的高。

16．已知平行四边形ABCD的面积是96cm²，AB=8cm，求平行四边形的高。

17．在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD互相垂直，求平行四边形ABCD的面积。

18．平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，AB=10cm，求平行四边形的高。

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图1，正方形ABCD的一边AB在直尺一边所在直线MN上，点O是对角线AC、BD 的交点，过点O作OE⊥MN于点E．（1）如图1，线段AB与OE之间的数量关系为．（请直接填结论）（2）保证点A始终在直线MN上，正方形ABCD绕点A旋转θ（0＜θ＜90°），过点 B作BF⊥MN于点F．①如图2，当点O、B两点均在直线MN右侧时，试猜想线段AF、BF与OE之间存在怎样的数量关系？请说明理由．②如图3，当点O、B两点分别在直线MN两侧时，此时①中结论是否依然成立呢？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明．③当正方形ABCD绕点A旋转到如图4的位置时，线段AF、BF与OE之间的数量关系为．（请直接填结论）【答案】（1）AB=2OE；（2）①AF+BF=2OE,证明见解析;②AF﹣BF=2OE 证明见解析;③BF ﹣AF=2OE，【解析】试题分析：（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；（2）①过点B作BH⊥OE于H，可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBH全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；②过点B作BH⊥OE交OE的延长线于H，可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBH全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；③同②的方法可证．试题解析：（1）∵AC，BD是正方形的对角线，∴OA=OC=OB，∠BAD=∠ABC=90°，∵OE⊥AB，∴OE=12 AB，∴AB=2OE，（2）①AF+BF=2OE证明：如图2，过点B作BH⊥OE于点H∴∠BHE=∠BHO=90°∵OE⊥MN，BF⊥MN∴∠BFE=∠OEF=90°∴四边形EFBH为矩形∴BF=EH，EF=BH∵四边形ABCD为正方形∴OA=OB，∠AOB=90°∴∠AOE+∠HOB=∠OBH+∠HOB=90°∴∠AOE=∠OBH∴△AEO≌△OHB（AAS）∴AE=OH，OE=BH∴AF+BF=AE+EF+BF=OH+BH+EH=OE+OE=2OE．②AF﹣BF=2OE证明：如图3，延长OE，过点B作BH⊥OE于点H ∴∠EHB=90°∵OE⊥MN，BF⊥MN∴∠AEO=∠HEF=∠BFE=90°∴四边形HBFE为矩形∴BF=HE，EF=BH∵四边形ABCD是正方形∴OA=OB，∠AOB=90°∴∠AOE+∠BOH=∠OBH+∠BOH∴∠AOE=∠OBH∴△AOE≌△OBH（AAS）∴AE=OH，OE=BH，∴AF﹣BF=AE+EF﹣HE=OH﹣HE+OE=OE+OE=2OE③BF﹣AF=2OE，如图4，作OG⊥BF于G，则四边形EFGO是矩形，∴EF=GO，GF=EO，∠GOE=90°，∴∠AOE+∠AOG=90°．在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，∴∠AOG+∠BOG=90°，∴∠AOE=∠BOG．∵OG⊥BF，OE⊥AE，∴∠AEO=∠BGO=90°．∴△AOE≌△BOG（AAS），∴OE=OG，AE=BG，∵AE﹣EF=AF，EF=OG=OE，AE=BG=AF+EF=OE+AF，∴BF﹣AF=BG+GF﹣（AE﹣EF）=AE+OE﹣AE+EF=OE+OE=2OE，∴BF﹣AF=2OE．2．如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C 关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P，F是AC′的中点，连接DF．（1）求∠FDP的度数；（2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；（3）连接AC，若正方形的边长为2，请直接写出△ACC′的面积最大值．【答案】（1）45°；（2）BP+DP＝2AP，证明详见解析；（3）2﹣1．【解析】【分析】（1）证明∠CDE＝∠C'DE和∠ADF＝∠C'DF，可得∠FDP'＝12∠ADC＝45°；（2）作辅助线，构建全等三角形，证明△BAP≌△DAP'（SAS），得BP＝DP'，从而得△PAP'是等腰直角三角形，可得结论；（3）先作高线C'G，确定△ACC′的面积中底边AC为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当C'在BD上时，C'G最大，其△ACC′的面积最大，并求此时的面积．【详解】（1）由对称得：CD＝C'D，∠CDE＝∠C'DE，在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，∴AD＝C'D，∵F是AC'的中点，∴DF⊥AC'，∠ADF＝∠C'DF，∴∠FDP＝∠FDC'+∠EDC'＝12∠ADC＝45°；（2）结论：BP+DP＝2AP，理由是：如图，作AP'⊥AP交PD的延长线于P'，∴∠PAP'＝90°，在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90°，∴∠DAP'＝∠BAP，由（1）可知：∠FDP ＝45°∵∠DFP ＝90°∴∠APD ＝45°，∴∠P '＝45°，∴AP ＝AP '，在△BAP 和△DAP '中，∵BA DA BAP DAP AP AP '=⎧⎪∠=∠⎨='⎪⎩，∴△BAP ≌△DAP '（SAS ），∴BP ＝DP '，∴DP +BP ＝PP '＝2AP ；（3）如图，过C '作C 'G ⊥AC 于G ，则S △AC 'C ＝12AC •C 'G ，Rt △ABC 中，AB ＝BC 2，∴AC 22(2)(2)2+=，即AC 为定值，当C 'G 最大值，△AC 'C 的面积最大，连接BD ，交AC 于O ，当C '在BD 上时，C 'G 最大，此时G 与O 重合，∵CD ＝C 'D 2OD ＝12AC ＝1， ∴C 'G 2﹣1，∴S △AC 'C ＝112(21)2122AC C G '•=⨯=． 【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．3．如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AO =CO ，BO =DO ，且∠ABC +∠ADC =180°．（1）求证：四边形ABCD 是矩形．（2）若∠ADF ：∠FDC =3：2，DF ⊥AC ，求∠BDF 的度数．【答案】(1)见解析；（2）18°.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，根据矩形的判定得出即可；（2）求出∠FDC的度数，根据三角形内角和定理求出∠DCO，根据矩形的性质得出OD=OC，求出∠CDO，即可求出答案．【详解】（1）证明：∵AO=CO，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，∴∠FDC=36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO=90°﹣36°=54°，∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴∠ODC=54°∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．4．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°.(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG(如图①)，求证：△AEG≌△AEF；(2)若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N(如图②)，求证：EF2=ME2+NF2；(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变(如图③)，请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF2=2BE2+2DF2.【解析】试题分析：（1）根据旋转的性质可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45°，故可证△AEG≌△AEF；（2）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．由（1）知△AEG≌△AEF，则EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF=DF，然后证明∠GME=90°，MG=NF，利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明EF2=ME2+NF2；（3）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，根据旋转的性质可以得到△ADF≌△ABG，则DF=BG，再证明△AEG≌△AEF，得出EG=EF，由EG=BG+BE，等量代换得到EF=BE+DF．试题解析：（1）∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，∴AF=AG，∠FAG=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAE=45°，在△AGE与△AFE中，，∴△AGE≌△AFE（SAS）；（2）设正方形ABCD的边长为a．将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．则△ADF≌△ABG，DF=BG．由（1）知△AEG≌△AEF，∴EG=EF．∵∠CEF=45°，∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，∴CE=CF，BE=BM，NF=DF，∴a﹣BE=a﹣DF，∴BE=DF，∴BE=BM=DF=BG，∴∠BMG=45°，∴∠GME=45°+45°=90°，∴EG2=ME2+MG2，∵EG=EF，MG=BM=DF=NF，∴EF2=ME2+NF2；（3）EF2=2BE2+2DF2．如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．由（1）知△AEH≌△AEF，则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2，即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2=EH2又∴EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）2+（BE﹣GH）2=EF2，即2（DF2+BE2）=EF2考点：四边形综合题5．（问题情境）在△ABC中，AB＝AC，点P为BC所在直线上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．当P在BC边上时（如图1），求证：PD+PE＝CF．证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE＝CF．（不要证明）（变式探究）（1）当点P在CB延长线上时，其余条件不变（如图3），试探索PD、PE、CF之间的数量关系并说明理由；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：（结论运用）（2）如图4，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD ＝16，CF＝6，求PG+PH的值．（迁移拓展）（3）在直角坐标系中，直线l1：y＝-43x+8与直线l2：y＝﹣2x+8相交于点A，直线l1、l2与x轴分别交于点B、点C．点P是直线l2上一个动点，若点P到直线l1的距离为2．求点P的坐标．【答案】【变式探究】证明见解析【结论运用】8【迁移拓展】（﹣1，6），（1，10）【解析】【变式探究】连接AP，同理利用△ABP与△ACP面积之差等于△ABC的面积可以证得；【结论运用】过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，根据勾股定理和矩形的性质解答即可；【迁移拓展】分两种情况，利用结论，求得点P到x轴的距离，再利用待定系数法可求出P的坐标．【详解】变式探究:连接AP，如图3：∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，且S△ABC＝S△ACP﹣S△ABP，∴12AB•CF＝12AC•PE﹣12AB•PD．∵AB＝AC，∴CF＝PD﹣PE；结论运用:过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，如图④，∵四边形ABCD是长方形，∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝90°．∵AD＝16，CF＝6，∴BF＝BC﹣CF＝AD﹣CF＝5，由折叠可得：DF＝BF，∠BEF＝∠DEF．∴DF＝5．∵∠C＝90°，∴DC2222106DF CF-=-8．∵EQ⊥BC，∠C＝∠ADC＝90°，∴∠EQC＝90°＝∠C＝∠ADC．∴四边形EQCD是长方形．∴EQ＝DC＝4．∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB．∵∠BEF＝∠DEF，∴∠BEF＝∠EFB．∴BE＝BF，由问题情境中的结论可得：PG+PH＝EQ．∴PG+PH＝8．∴PG+PH的值为8；迁移拓展:如图，由题意得：A （0，8），B （6，0），C （﹣4，0）∴AB 2268+10，BC ＝10．∴AB ＝BC ，（1）由结论得：P 1D 1+P 1E 1＝OA ＝8∵P 1D 1＝1＝2，∴P 1E 1＝6 即点P 1的纵坐标为6又点P 1在直线l 2上，∴y ＝2x+8＝6，∴x ＝﹣1，即点P 1的坐标为（﹣1，6）；（2）由结论得：P 2E 2﹣P 2D 2＝OA ＝8∵P 2D 2＝2，∴P 2E 2＝10 即点P 1的纵坐标为10又点P 1在直线l 2上，∴y ＝2x+8＝10，∴x ＝1，即点P 1的坐标为（1，10）【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定及勾股定理等知识点，利用面积法列出等式是解决问题的关键．6．△ABC 为等边三角形，AF AB =．BCD BDC AEC ∠=∠=∠．(1)求证：四边形ABDF 是菱形．(2)若BD 是ABC ∠的角平分线，连接AD ，找出图中所有的等腰三角形．【答案】(1)证明见解析；(2)图中等腰三角形有△ABC，△BDC，△ABD，△ADF，△ADC，△ADE．【解析】【分析】（1）先求证BD∥AF，证明四边形ABDF是平行四边形，再利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）先利用BD平分∠ABC，得到BD垂直平分线段AC，进而证明△DAC是等腰三角形，根据BD⊥AC,AF⊥AC，找到角度之间的关系,证明△DAE是等腰三角形，进而得到BC＝BD＝BA＝AF＝DF，即可解题,见详解.【详解】(1)如图1中，∵∠BCD＝∠BDC，∴BC＝BD，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∵AB＝AF，∴BD＝AF，∵∠BDC＝∠AEC，∴BD∥AF，∴四边形ABDF是平行四边形，∵AB＝AF，∴四边形ABDF是菱形．(2)解：如图2中，∵BA＝BC，BD平分∠ABC，∴BD垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴△DAC是等腰三角形，∵AF∥BD，BD⊥AC∴AF⊥AC，∴∠EAC＝90°，∵∠DAC＝∠DCA，∠DAC+∠DAE＝90°，∠DCA+∠AEC＝90°，∴∠DAE＝∠DEA，∴DA＝DE，∴△DAE是等腰三角形，∵BC＝BD＝BA＝AF＝DF，∴△BCD ，△ABD ，△ADF 都是等腰三角形，综上所述，图中等腰三角形有△ABC ，△BDC ，△ABD ，△ADF ，△ADC ，△ADE ．【点睛】本题考查菱形的判定，等边三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，属于中考常考题型，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．7．在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （﹣6，0）、点C （0，6），若正方形OABC 绕点O 顺时针旋转，得正方形OA′B′C′，记旋转角为α：（1）如图①，当α＝45°时，求BC 与A′B′的交点D 的坐标；（2）如图②，当α＝60°时，求点B′的坐标；（3）若P 为线段BC′的中点，求AP 长的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】（1）(62,6)-；（2）(333,333)+；（3）323323AP +.【解析】【分析】（1）当α＝45°时，延长OA′经过点B ，在Rt △BA′D 中，∠OBC ＝45°，A′B ＝626，可求得BD 的长，进而求得CD 的长，即可得出点D 的坐标；（2）过点C′作x 轴垂线MN ，交x 轴于点M ，过点B′作MN 的垂线，垂足为N ，证明△OMC′≌△C′NB′，可得C′N ＝OM ＝33，B′N ＝C′M ＝3，即可得出点B′的坐标；（3）连接OB ，AC 相交于点K ，则K 是OB 的中点，因为P 为线段BC′的中点，所以PK ＝12OC′＝3，即点P 在以K 为圆心，3为半径的圆上运动，即可得出AP 长的取值范围． 【详解】解：（1）∵A（﹣6，0）、C（0，6），O（0，0），∴四边形OABC是边长为6的正方形，当α＝45°时，如图①，延长OA′经过点B，∵OB＝62，OA′＝OA＝6，∠OBC＝45°，∴A′B＝626-，∴BD＝（626=-，-）×21262∴CD＝6﹣（1262-）=626-，∴BC与A′B′的交点D的坐标为（662-，6）；（2）如图②，过点C′作x轴垂线MN，交x轴于点M，过点B′作MN的垂线，垂足为N，∵∠OC′B′＝90°，∴∠OC′M＝90°﹣∠B′C′N＝∠C′B′N，∵OC′＝B′C′，∠OMC′＝∠C′NB′＝90°，∴△OMC′≌△C′NB′（AAS），当α＝60°时，∵∠A′OC′＝90°，OC′＝6，∴∠C′OM＝30°，∴C′N＝OM＝33，B′N＝C′M＝3，∴点B′的坐标为()-+；333,333（3）如图③，连接OB，AC相交于点K，则K是OB的中点，∵P 为线段BC′的中点，∴PK ＝12OC′＝3， ∴P 在以K 为圆心，3为半径的圆上运动，∵AK ＝32，∴AP 最大值为323+，AP 的最小值为323-，∴AP 长的取值范围为323323AP -+.【点睛】本题考查正方形性质，全等三角形判定与性质，三角形中位线定理．（3）问解题的关键是利用中位线定理得出点P 的轨迹．8．如图，在正方形ABCD 中，点E 在CD 上，AF ⊥AE 交CB 的延长线于F ．求证：AE=AF ．【答案】见解析【解析】【分析】根据同角的余角相等证得∠BAF=∠DAE ，再利用正方形的性质可得AB=AD ，∠ABF=∠ADE=90°，根据ASA 判定△ABF ≌△ADE ，根据全等三角形的性质即可证得AF=AE ．【详解】∵AF ⊥AE ，∴∠BAF+∠BAE=90°，又∵∠DAE+∠BAE=90°，∴∠BAF=∠DAE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∠ABF=∠ADE=90°，在△ABF 和△ADE 中，，∴△ABF≌△ADE（ASA），∴AF=AE．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，证明△ABF≌△ADE是解决本题的关键．9．正方形ABCD的边长为1，对角线AC与BD相交于点O，点E是AB边上的一个动点（点E不与点A、B重合），CE与BD相交于点F，设线段BE的长度为x．（1）如图1，当AD=2OF时，求出x的值；（2）如图2，把线段CE绕点E顺时针旋转90°，使点C落在点P处，连接AP，设△APE的面积为S，试求S与x的函数关系式并求出S的最大值．【答案】（1）x=﹣1；（2）S=﹣（x﹣）2+（0＜x＜1），当x=时，S的值最大，最大值为，．【解析】试题分析：（1）过O作OM∥AB交CE于点M，如图1，由平行线等分线段定理得到CM=ME，根据三角形的中位线定理得到AE=2OM=2OF，得到OM=OF，于是得到BF=BE=x，求得OF=OM=解方程，即可得到结果；（2）过P作PG⊥AB交AB的延长线于G，如图2，根据已知条件得到∠ECB=∠PEG，根据全等三角形的性质得到EB=PG=x，由三角形的面积公式得到S=（1﹣x）•x，根据二次函数的性质即可得到结论．试题解析：（1）过O作OM∥AB交CE于点M，如图1，∵OA=OC，∴CM=ME，∴AE=2OM=2OF，∴OM=OF，∴，∴BF=BE=x，∴OF=OM=，∵AB=1，∴OB=，∴，∴x=﹣1；（2）过P作PG⊥AB交AB的延长线于G，如图2，∵∠CEP=∠EBC=90°，∴∠ECB=∠PEG，∵PE=EC，∠EGP=∠CBE=90°，在△EPG与△CEB中，，∴△EPG≌△CEB，∴EB=PG=x，∴AE=1﹣x，∴S=（1﹣x）•x=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，（0＜x＜1），∵﹣＜0，∴当x=时，S的值最大，最大值为，．考点：四边形综合题10．如图①，在△ABC中，AB=7，tanA=，∠B=45°．点P从点A出发，沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向终点B运动（不与点A、B重合），过点P作PQ⊥AB．交折线AC-CB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设点P的运动时间为t（秒），正方形PQMN 与△ABC重叠部分图形的面积为S（平方单位）．（1）直接写出正方形PQMN的边PQ的长（用含t的代数式表示）．（2）当点M落在边BC上时，求t的值．（3）求S与t之间的函数关系式．（4）如图②，点P运动的同时，点H从点B出发，沿B-A-B的方向做一次往返运动，在B-A上的速度为每秒2个单位长度，在A-B上的速度为每秒4个单位长度，当点H停止运动时，点P也随之停止，连结MH．设MH将正方形PQMN分成的两部分图形面积分别为S1、S2（平方单位）（0＜S1＜S2），直接写出当S2≥3S1时t的取值范围．【答案】(1) PQ=7-t．(2) t=．(3) 当0＜t≤时，S=．当＜t≤4，．当4＜t＜7时，．（4）或或．【解析】试题分析：（1）分两种情况讨论：当点Q在线段AC上时，当点Q在线段BC上时．（2）根据AP+PN+NB=AB，列出关于t的方程即可解答；（3）当0＜t≤时，当＜t≤4，当4＜t＜7时；（4）或或．试题解析：（1）当点Q在线段AC上时，PQ=tanAAP=t．当点Q在线段BC上时，PQ=7-t．（2）当点M落在边BC上时，如图③，由题意得：t+t+t=7，解得：t=．∴当点M落在边BC上时，求t的值为．（3）当0＜t≤时，如图④，S=．当＜t≤4，如图⑤，．当4＜t＜7时，如图⑥，．（4）或或．．考点：四边形综合题.。

图1 A B C D 初三数学平行四边形专题练习1．如果边长分别为4cm 和5cm 的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为______cm ．2．如图1，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2．3.若四边形ABCD 是平行四边形，请补充条件(写一个即可)，使四边形ABCD 是菱形．4．在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，△ABO 的周长为17，AB ＝6，那么对角线AC ＋BD ＝⒎以正方形ABCD 的边BC 为边做等边△BCE ，则∠AED 的度数为 .5．已知菱形ABCD 的边长为6，∠A ＝60°，如果点P 是菱形内一点，且PB ＝PD ＝2那么AP 的长为 ．6．在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别是A(－2，5)，B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限内找一点D ，使四边形ABCD 是平行四边形，那么点D 的坐标是 ．二、选择题（每题3分，共30分）7．如图2在平行四边形ABCD 中，∠B=110°，延长AD 至F ，延长CD 至E ，连结EF ，则∠E ＋∠F ＝( )A ．110°B ．30°C ．50°D ．70°图2 图3 图48．菱形具有而矩形不具有的性质是 ( )A ．对角相等B ．四边相等C ．对角线互相平分D ．四角相等9．如图3所示，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是BC 的中点．若OE=3 cm ，则AB 的长为 ( )A ．3 cmB ．6 cmC ．9 cmD ．12 cm10．已知：如图4，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若AB ＝2，AD ＝4，则图中阴影部分的面积为 ( ) E A F D C B HGA．8 B．6 C．4 D．311．将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形（不包括菱形、矩形、正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形( )A．①③⑤B．②③⑤C．①②③D．①③④⑤12．如图5所示，是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示(单位：mm)，则该主板的周长是( )A．88 mm B．96 mm C．80 mm D．84 mm图5 图613、如图6所示，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若150∠=o，则AEF∠=（）A．110° B．115°C．120° D．130°14、四边形ABCD，仅从下列条件中任取两个加以组合，使得ABCD是平行四边形，一共有多少种不同的组合？（）AB∥CD BC∥AD AB=CD BC=ADA.2组B.3组C.4组D.6组15、下列说法错误的是（）A.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形.B.每组邻边都相等的四边形是菱形.C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形.D.四个角都相等的四边形是矩形.三、解答题16、如图7，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8 cm ,BD＝6 cm, DH⊥AB于H，求：DH的长。

平行四边形经典例题
平行四边形的经典例题包括但不限于以下几种：
1. 计算平行四边形的周长：
例题：已知平行四边形的一组邻边分别是3厘米和4厘米，这组对角线长分别为5厘米和6厘米，求这个平行四边形的周长。

答案：根据平行四边形的性质，对角线互相平分，所以可以计算出平行四边形的周长为22厘米。

2. 判断平行四边形：
例题：给出四个四边形，其中一个是平行四边形，另外三个是梯形，请判断哪个是平行四边形。

答案：根据平行四边形的性质，如果一个四边形的两组对边都分别平行，则该四边形是平行四边形。

所以只有一个是平行四边形。

3. 求平行四边形的面积：
例题：已知平行四边形的底为6厘米，高为4厘米，求这个平行四边形的面积。

答案：根据平行四边形的面积公式，面积 = 底× 高，所以这个平行四边形的面积是24平方厘米。

4. 利用平移性质证明平行四边形：
例题：已知一个三角形ABC，D、E分别是AB、AC上的点，且DE 平行于BC，证明三角形ADE是平行四边形。

答案：由于DE平行于BC，根据平移性质，有AE平行于DC，从而得出结论：三角形ADE是平行四边形。

一般平行四边形习题1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD 于F．（1）求证：BE=DF；（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．2．如图所示，▱AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．求证：四边形ABCD是平行四边形．3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．4．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD．5．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．6．如图，已知，▱ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．求证：四边形MFNE是平行四边形．7．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．求证：四边形AECF是平行四边形．8．在▱ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．9．如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE．9．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C 向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？答案与评分标准1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD 于F．（1）求证：BE=DF；（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。

平行四边形经典例题（附带详细答案）1．如图，E F 、是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，BE DF ∥，求证：AF CE ．A B EFC【答案】证明：平行四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC =，ACB CAD ∴∠=∠．又BE DF ∥，BEC DFA ∴∠=∠，BEC DFA ∴△≌△，∴CE AF =2．如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=∠D ，，求四边形ABCD 的周长．【答案】解法一: ∵∴又∵∴∴∥即得是平行四边形∴∴四边形的周长解法二: 3 ,6==AB BC AB CD ∥︒=∠+∠180C B B D ∠=∠︒=∠+∠180D C AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=A DCBA D BC连接∵∴又∵∴≌∴∴四边形的周长解法三:AC AB CD ∥DCA BAC ∠=∠B D AC CA ∠=∠=，ABC △CDA △36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=A D BC连接∵∴又∵∴∴∥即是平行四边形∴∴四边形的周长3.（在四边形ABCD 中，∠D =60°，∠B 比∠A 大20°，∠C 是∠A 的2倍，求∠A ，∠B ，∠C 的大小．【关键词】多边形的内角和【答案】设x A =∠（度），则20+=∠x B ，x C 2=∠．根据四边形内角和定理得，360602)20(=++++x x x ．解得，70=x ．∴︒=∠70A ，︒=∠90B ，︒=∠140C ．4．（如图，E F ，是四边形ABCD 的对角线AC 上两点，AF CE DF BE DF BE ==，，∥． 求证：（1）AFD CEB △≌△．（2）四边形ABCD 是平行四边形．BD AB CD ∥CDB ABD ∠=∠ABC CDA ∠=∠ADB CBD ∠=∠AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=DEF CA B【关键词】平行四边形的性质,判定【答案】证明：（1）DF BE ∥，DFE BEF ∴∠=∠．180AFD DFE ∠+∠=°，180CEB BEF ∠+∠=°，AFD CEB ∴∠=∠．又AF CE DF BE ==，，AFD CEB ∴△≌△(SAS)． （2）由（1）知AFD CEB △≌△，DAC BCA AD BC ∴∠=∠=，，AD BC ∴∥．∴四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）5．如图，在边长为5的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点，且AE EF ⊥，2BE =.（1）求EC ∶CF 的值；（2）延长EF 交正方形外角平分线CP P 于点，试判断AE EP 与的大小关系，并说明理由；（3）在图的AB 边上是否存在一点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．A D C BE B C E DA F P F【关键词】平行四边形的判定【答案】解：（1）AE EF⊥∴∠+∠=°2390四边形ABCD为正方形∴∠=∠=°90B C∴∠+∠=°1390∠=∠12°，∠=∠==DAM ABE DA AB90∴△≌△DAM ABE∴=DM AE=AE EP∴=DM PE∴四边形DMEP是平行四边形．解法②：在AB边上存在一点M，使四边形DMEP是平行四边形证明：在AB边上取一点M，使AM BE=，连接ME、MD、DP．，°=∠=∠=AD BA DAM ABE90∴△≌△Rt RtDAM ABE，∴=∠=∠DM AE14∠+∠=°15904590∴∠+∠=°∴⊥AE DMAE EP⊥∴⊥DM EP∴四边形DMEP为平行四边形B CE D AF P5 41 M6．已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象经过点(10)A ，，(20)B ，，(02)C -，，直线x m =（2m >）与x 轴交于点D ．（1）求二次函数的解析式；（2）在直线x m =（2m >）上有一点E （点E 在第四象限），使得E D B 、、为顶点的三角形与以A O C 、、为顶点的三角形相似，求E 点坐标（用含m 的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形？若存在，请求出m 的值及四边形ABEF 的面积；若不存在，请说明理由．yx O【关键词】二次函数、相似三角形、运动变化、抛物线解：（1）根据题意，得0 4202.a b ca b cc++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，，yx OB AD C(x =m ) (F 2)F 1E 1 (E 2)解得132a b c =-==-，，．232y x x ∴=-+-．（2）当EDB AOC △∽△时， 得AO CO ED BD =或AO CO BD ED=， ∵122AO CO BD m ===-，，， 当AO CO ED BD =时，得122ED m =-， ∴22m ED -=， ∵点E 在第四象限，∴122m E m -⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 当AO CO BD ED =时，得122m ED=-，∴24ED m =-， ∵点E 在第四象限，∴2(42)E m m -，． （3）假设抛物线上存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形，则 1EF AB ==，点F 的横坐标为1m -，当点1E 的坐标为22m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，点1F 的坐标为212m m -⎛⎫- ⎪⎝⎭，， ∵点1F 在抛物线的图象上， ∴22(1)3(1)22m m m -=--+--， ∴2211140m m -+=，∴(27)(2)0m m --=， ∴722m m ==，（舍去），∴15324F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， ∴33144ABEF S =⨯=． 当点2E 的坐标为(42)m m -，时，点2F 的坐标为(142)m m --，， ∵点2F 在抛物线的图象上，∴242(1)3(1)2m m m -=--+--，∴27100m m -+=，∴(2)(5)0m m --=，∴2m =（舍去），5m =，∴2(46)F -，， ∴166ABEF S =⨯=．注：各题的其它解法或证法可参照该评分标准给分．7．已知：如图在ABCD 中，过对角线BD 的中点O 作直线EF 分别交DA 的延长线、AB 、DC 、BC 的延长线于点E 、M 、N 、F 。

平行四边形习题1．已知：在矩形ABCD 中，AE BD 于E ，∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC 的度数．2、从平行四边形四边形ABCD 的各顶点作对角线的垂线AE 、BF 、CG 、DH,垂足分别是E 、F 、G 、H ，求证:EF ∥GH ．3、在正方形ABCD 中,直线EF 平行于对角线AC ，与边AB 、BC 的交点为E 、F ，在DA 的延长线上取一点G ，使AG=AD ，若EG 与DF 的交点为H,求证：AH 与正方形的边长相等．4、若以直角三角形ABC 的边AB 为边，在三角形ABC 的外部作正方形ABDE ，AF 是BC 边的高，延长FA 使AG=BC,求证：BG=CD ．5、正方形ABCD,E 、F 分别是AB 、AD 延长线 上的一点,且AE=AF=AC ，EF 交BC 于G,交AC 于K ，交CD 于H ，求证:EG=GC=CH=HF ．6、在正方形ABCD 的对角线BD 上，取BE=AB ，若过E 作BD 的垂线EF 交CD 于F ，求证：CF=ED ．_ D_ C_ B _ C_ F _ C_B_ F_ A_ B_ B_A _ E7、平行四边形ABCD 中,∠A 、∠D 的平分线相交于E ，AE 、DE 与DC 、AB 延长线交于G 、F ，求证：AD=DG=GF=FA ．8、在正方形ABCD 的边CD 上任取一点E,延长BC 到F ，使CF=CE ，求证:BE ⊥DF9、在四边形ABCD 中，AB=CD ，P 、Q 分别是AD 、BC 中点，M 、N 分别是对角线AC 、BD 的中点,求证:PQ ⊥MN ．10、平行四边形ABCD 中,AD=2AB ，AE=AB=BF 求证:CE ⊥DF ．11、在正方形ABCD 中，P 是BD 上一点,过P 引PE ⊥BC 交BC 于E,过P 引PF ⊥CD 于F ，求证：AP ⊥EF ．_ E _ F_ A_ B_ B _ C_ Q_ F_ G_ C_ D_ B_ F12、过正方形ABCD 的顶点B 引对角线AC 的平行线BE ，在BE 上取一点F ，使AF=AC ，若作菱形CAFÉ,求证:AE及AF 三等分∠BAC ．13、以∆ABC 的三边AB 、BC 、CA 分别为边，在BC 的同侧作等边三角形ABD 、BCE 、CAF ，求证：ADEF 是平行四边形．14、M 、N 为∆ABC 的边AB 、AC 的中点,E 、F 为边AC 的三等分点,延长ME 、NF 交于D 点，连结AD 、DC,求证：⑴BFDE 是平行四边形，⑵ABCD 是平行四边形．15、平行四边形ABCD 的对角线交于O ，作OE ⊥BC ，AB=37cm ， BE=26cm ， EC=14cm ，求:平行四边形ABCD的面积．16、平行四边形ABCD 中，EF 平行于对角线AC ，且与AB 、BC 分别交于E 、F ，求证：S ADE ∆=S CDF ∆_ B _C_ E_ B _ C_ N_ F_ B _ C_ E_ C_ D_F17、求证：四边形ABCD 的两条对角线之和小于它的周长而大于它的周长之半．18、平行四边形ABCD 的对边AB 、CD 的中点为E 、F,求证：DE 、BF 三等分对角线AC ．19、证明：顺次连结四边形的各边中点的四边形是平行四边形，其周长等于原四边形的对角线之和．20、在正方形ABCD 的CD 边上取一点G,在CG 上向原正方形外作正方形GCEF ，求证：DE ⊥BG,DE=BG ．21、在直角三角形ABC 中,CD 是斜边AB 的高，∠A 的平分线AE 交CD 于F ，交BC 于E ，EG ⊥AB 于G ，求证：CFGE 是菱形．22、若分别以三角形ABC 的边AB 、AC 为边,在三角形外作正方形ABDE 、ACFG ，求证：BG=EC,BG ⊥EC ．_ A_ B_D_ G_ C _ B _ E_ B_ C_B_ C_ F23、正方形ABCD 中，M 为AB 的任意点，MN ⊥DM,BN 平分∠CBF ，求证：MD=NM24、平行四边形ABCD 中,E 为AB 上的任一点，若CE 的延长线交DA 于F,连结DE ，求证：S ADE ∆=S BEF ∆25、过四边形ABCD 的对角线BD 的中点E 作AC 的平行线FEG,与AB 、AC 的交点分别为F 、G ，求证：AG 或FC 平分此四边形的面积，26、若以三角形ABC 的边AB 、AC 为边向三角形外作正方形ABDE 、ACFG ，求证：S AEG ∆=S ABC ∆．27、四边形ABCD 中，M 、N 分别是对角线AC 、BD 的中点，又AD 、BC 相交于点P,求证:S PMN ∆=41S ABCD ．_ B_ C_ A_B_F_ D_ A_ F__ B_ CPAPAPBA28、正方形ABCD 的边AD 上有一点E ，满足BE=ED+DC,如果M 是AD 的中点，求证：∠EBC=2∠ABM ，EMAB29、若以三角形ABC 的边AB 、BC 为边向三角形外作正方形ABDE 、BCFG ，N 为AC 中点,求证：DG=2BN,BM DG ．30、从正方形ABCD 的一个顶点C 作CE 平行于BD,使BE=BD ，若BE 、CD 的交点为F ，求证：DE=DF ．31、平行四边形ABCD 中，直线FH 与AB 、CD 相交，过A 、D 、C 、B ，向FH 作垂线，垂足为G 、F 、E 、H,求证:AG —DF=CE-BH ．_ C_ B_A _C_N32、正方形ABCD 中，∠EAF=45︒,求证:BE+DF=EF ．33、正方形ABCD 中，点P 与B 、C 的连线和BC 的夹角为15︒，求证:PA=PD=AD ．BA34、四边形ABCD 中，AD=BC,EF 为AB 、DC 的中点的连线，并分别与AD 、BC 延长线交于M 、N ，求证：∠AME=∠BNE ．35、正方形ABCD 中，MN ⊥GH ，求证:MN=HG ．36、正方形ABCD 中,E 是边CD 的中点，F 是线段CE 的中点，求证：∠DAE=21∠BAF ．_ C_ D_ B_ E_A _ B_ E_ B _ E_ F。

初中数学平行四边形经典例题【练习】一、选择题1.下列命题正确的是（）(A)、一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 (B)、对角线相等的四边形一定是矩形(C)、两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形 (D)、在两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形2. 已知平行四边形ABCD的周长32, 5AB=3BC,则AC的取值范围为( )A. 6<AC<10；B. 6<AC<16；C. 10<AC<16；D. 4<AC<163.两个全等的三角形（不等边）可拼成不同的平形四边形的个数是（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）44．延长平形四边形ABCD的一边AB到E，使BE＝BD，连结DE交BC于F，若∠DAB＝120°,∠CFE＝135°，AB＝1，则AC 的长为（）（A）1 （B）1.2 （C）32（D）1.55．若菱形ABCD中，AE垂直平分BC于E，AE＝1cm，则BD的长是（）（A）1cm （B）2cm （C）3cm （D）4cm6.若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形，那么这个四边形的对角线( )（A）互相垂直（B）相等（C）互相平分（D）互相垂直且相等7. 如图，等腰△ABC中，D是BC边上的一点，DE∥AC，DF∥AB，AB=5那么四边形AFDE的周长是（）（A）5 （B）10 （C）15（D）20AB C DO ERPD CBAEF 第12题图(第7题） （第8题） （第9题） （第10题）8.如图，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD折叠，使点D 落在BC边中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ）． （A ）3cm （B ）4cm （C ）5cm （D ）6cm9. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，AC 将梯形分成两个三角形，其中△ACD 是周长为18 cm 的等边三角形，则该梯形的中位线的长是( )． (A)9 cm (B)12cm (c)29cm (D)18 cm 10.如图，在周长为20cm 的□ABCD中，AB≠AD，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为（ ）(A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cm11. 如图2，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于 （ ）（A ）34 （B ）33 （C ）24 （D ）８12.如图，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是 AP 、RP 的中点，当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是 （ )A 、线段EF 的长逐渐增大B 、线段EF 的长逐渐减小C 、线段EF 的长不变D 、线段EF 的长与点P13. 在梯形ABCD 中，AD//BC ，对角线AC ⊥BD ，且cm AC 5 ，BD=12c m ，则梯形中位线的长等于（ ）A. 7.5cmB. 7cmC. 6.5cmD. 6cm14. 国家级历史文化名城——金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB EF DC ∥∥，BC GH AD ∥∥，那么下列说法中错误的是（ ） A ．红花、绿花种植面积一定相等 B ．紫花、橙花种植面积一定相等ABC DEF图 2 黄蓝紫 橙红 绿 AG EDH C FB第14题第10题图DABCP MN （1）（2）图9A BCDE FO 图C ．红花、蓝花种植面积一定相等D ．蓝花、黄花种植面积一定相等 二、填空题1.如果四边形四个内角之比1：2：3：4，则这四边形为＿＿＿＿形。

平行四边形典题1.如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．（1）求证：BE=DF；（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状.2.AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．求证：四边形ABCD是平行四边形．3.在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．4.已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．5. 已知，ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．求证：四边形MFNE是平行四边形．6.平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．求证：四边形AECF是平行四边形．7.在ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．8.在ABCD中，MN∥AC，试说明MQ=NP．9. 平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O并且分别和AB，CD相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点．求证：四边形EHFG是平行四边形．10. 如图，已知在ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则（1）中的结论是否成立？11. 如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线一点，过点A作BE 的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE、CF．（1）求证：AF=CE；（2）如果AC=EF，且∠ACB=135°，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．12.如图平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，点E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BF，垂足为点F，DF=2（1）求证：D是EC中点；（2）求FC的长．13. 如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；（2）若BF=EF，求证：AE=AD．14. 如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．（1）当AB≠AC时，证明：四边形ADFE为平行四边形；（2）当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．15．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为O（0，0）、A（2，0）、B（1，1），则第四个顶点C的坐标是多少？16．已知平行四边形ABCD的周长为36cm，过D作AB，BC边上的高DE、DF，且cm ，，求平行四边形ABCD的面积．17．如图，在平面直角坐标系中，已知O为原点，四边形ABCD为平行四边形，A、B、C的坐标分别是A（﹣3，），B（﹣2，3），C（2，3），点D在第一象限．（1）求D点的坐标；（2）将平行四边形ABCD 先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少？（3）求平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积？18．如图所示．▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交CB于E．求证：BE=CF．（18）（19）19..已知D、E、F分别是△ABC各边的中点，求证：AE与DF互相平分．（注：不能直接用中位线定理，可用证明中位线定理的方法）。

初三特殊平行四边形练习题题一：已知平行四边形ABCD，AB=10cm，BC=8cm，BD垂直于BC，求BD的长度。

解：由于ABCD为平行四边形，所以AB ∥ CD 且 AD ∥ BC。

根据垂直平行四边形定理可知，垂直于平行边的连线所对应的边长相等。

因此，BD = AC = AB = 10cm。

答案：BD的长度为10cm。

题二：已知平行四边形EFGH，EH=12cm，HF=6cm，EF垂直于HF，求EF的长度。

解：由于EFGH为平行四边形，所以EF ∥ GH 且 EG ∥ FH。

根据垂直平行四边形定理可知，垂直于平行边的连线所对应的边长相等。

因此，EF = GH = HF = 6cm。

答案：EF的长度为6cm。

题三：在平行四边形IJKL中，LJ=12cm，IK=16cm，LK垂直于LJ，求LK的长度。

解：由于IJKL为平行四边形，所以IJ ∥ LK 且 IL ∥ KJ。

根据垂直平行四边形定理可知，垂直于平行边的连线所对应的边长相等。

因此，LK = IJ = LK = 12cm。

答案：LK的长度为12cm。

题四：在平行四边形MNOP中，MN=8cm，NO=6cm，MP垂直于MN，求MP的长度。

解：由于MNOP为平行四边形，所以MN ∥ OP 且 MP ∥ NO。

根据垂直平行四边形定理可知，垂直于平行边的连线所对应的边长相等。

因此，MP = NO = 6cm。

答案：MP的长度为6cm。

题五：已知平行四边形QRST，QT=14cm，RS=10cm，符合B呼W=QW，求QW的长度。

解：在平行四边形QRST中，根据B呼W=QW的性质可知，比例相等的边与对角线共线。

因此，BW ∥ TR 且 BQ ∥ ST。

与TR平行的边的长度为QS。

根据比例B呼W = QW，可以得到QS/QW = TR/BW= QT/QS。

解方程得到QS^2= QW^2，即QS = QW。

由QS = QT - TS 可知，QS = 14cm - 10cm = 4cm。