永川萱花中学高2021级1,8班二项式系数性质练习题 学生版

二项式定理的练习及答案基础知识训练（一）选择题1．6)x2x (+展开式中常数项是（ ）A.第4项B.464C 2C.46C D.22．(x －1)11展开式中x 的偶次项系数之和是（ ）A.-2048B.-1023C.-1024D.1024 3．7)21(+展开式中有理项的项数是（ ）A.4B.5C.6D.74．若n 17C 与mn C 同时有最大值，则m 等于（ ） A.4或5 B.5或6 C.3或4 D.55．设(2x-3)4=44332210x a x a x a x a a ++++，则a 0+a 1+a 2+a 3的值为（ ）A.1B.16C.-15D.15 6．113)x1x (-展开式中的中间两项为（ ） A.5125121111,C x C x - B.695101111,C x C x - C. 513591111,C x C x - D.5175131111,C x C x -（二）填空题7．在7)y 31x 2(-展开式中，x 5y 2的系数是 8．=++++nn n 2n 21n 0n C 3C 3C 3C 9. 203)515(+的展开式中的有理项是展开式的第 项 10．(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是11．1032)x x 3x 31(+++展开式中系数最大的项是12．0.9915精确到0.01的近似值是 （三）解答题13．求(1+x+x 2)(1-x)10展开式中x 4的系数14．求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x 3的系数15．已知(1-2x)5展开式中第2项大于第1项而不小于第3，求x 的取值范围16．若)N n m ()x 1()x 1()x (f nm ∈⋅+++=展开式中，x 的系数为21，问m 、n 为何值时，x 2的系数最小？17．自然数n 为偶数时，求证： 1n n n 1n n 4n 3n 2n 1n 23C C 2C C 2C C 21--⋅=+++++++18．求1180被9除的余数19．已知n2)x 2x (-的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项20．在(x 2+3x+2)5的展开式中，求x 的系数21．求(2x+1)12展开式中系数最大的项参考解答：1．通项r r 236r6r r6r 61r 2xC )x2(x C T --+==，由4r 0r 236=⇒=-，常数项是44652C T =，选（B ）2．设f(x)=(x-1)11, 偶次项系数之和是10242/)2(2)1(f )1(f 11-=-=-+，选（C ）3．通项2r r 7rr 71r 2C )2(C T ==+，当r=0，2，4，6时，均为有理项，故有理项的项数为4个，选（A ）4．要使n17C 最大，因为17为奇数，则2117n -=或8n 2117n =⇒+=或n=9，若n=8，要使m 8C 最大，则m=28=4，若n=9，要使m9C 最大，则219m -=或4m 219m =⇒+=或m=5，综上知，m=4或m=5，故选（A ） 5.C 6.C 7.3224; 8.4n; 9.3,9,15,21 10．(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和，故令x=1，则所求和为3511．(1+3x+3x 2+x 3)10=(1+x)30,此题中的系数就是二项式系数，系数最大的项是T 16=151530x C .12.0.9915=(1-0.009)5=96.0009.0C C 1505≈+-13．93102)x 1)(x 1()x 1)(x x 1(--=-++,要得到含x 4的项，必须第一个因式中的1与(1-x)9展开式中的项449)x (C -作积，第一个因式中的－x 3与(1-x)9展开式中的项)x (C 19-作积，故x 4的系数是135C C 4919=+14．)x 1(1])x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(10102+-+-+=+++++）（ =xx x )1()1(11+-+，原式中x3实为这分子中的x 4，则所求系数为7C 15．由10141041101)2()2()2(225150515-<≤-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--<⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≥->-x x x x C x C C x C 16．由条件得m+n=21，x 2的项为22n 22m x C x C +，则.4399)221n (C C 22n 2m +-=+因n ∈N ，故当n=10或11时上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11时，x 2的系数最小17．原式=1n 1n n 1n n 5n 3n 1n n n 1n n 2n 1n 0n 2.322)C C C C ()C C C C C (----=+=++++++++++18. )(1811818181)181(80101110111110111111Z k k C C C ∈-=-++-=-= ,∵k ∈Z,∴9k-1∈Z ，∴1181被9除余819．依题意2n 4n 2n 4n C 14C 33:14C :C =⇒= ∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!⇒n=10设第r+1项为常数项，又 2r 510r 10r r 2r10r101r x C )2()x2()x (C T --+-=-=令2r 02r 510=⇒=-，.180)2(C T 221012=-=∴+此所求常数项为18020．5552)2x ()1x ()2x 3x (++=++在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x 的项为x 5C 15=，在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x 的项为x 80x 2C 415=∴展开式中含x 的项为 x 240)32(x 5)x 80(1=+⋅，此展开式中x 的系数为24021．设T r+1的系数最大，则T r+1的系数不小于T r 与T r+2的系数，即有⎩⎨⎧≥≥⇒ ⎝⎛≥≥+--+----1r 12r 121r 12r 12r 111r 12r 12r 12r131r 12r 12r 12C C 2C 2C 12C 2C 2C 2C⇒4r ,314r 313=∴≤≤ ∴展开式中系数最大项为第5项，T 5=44412x 7920x C 16=三.拓展性例题分析例1 在二项式nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．解：二项式的展开式的通项公式为：4324121C 21)(C rn r r n rr n r n r x x x T --+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8141C ,2121C ,123121-=====n n t n t t n n ， 由已知：)1(8112312-+=+=n n n t t t ，∴8=n 通项公式为1431681,82,1,021C +-+==r rr r r T r x T 为有理项，故r 316-是4的倍数，∴.8,4,0=r依次得到有理项为228889448541256121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类似地，1003)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有17页系数和为n 3．例2 （1）求103)1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21(++xx 展开式中的常数项．分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式．解：（1）103)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项： 用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5x 项，可以得到5510C x ；用3)1(x -展开式中的一次项乘以10)1(x +展开式中的4x 项可得到54104410C 3)C )(3(x x x -=-；用3)1(x -中的2x 乘以10)1(x +展开式中的3x 可得到531033102C 3C 3x x x =⋅；用 3)1(x -中的3x 项乘以10)1(x +展开式中的2x 项可得到521022103C C 3x x x -=⋅-，合并同类项得5x 项为： 5521031041051063)C C 3C C (x x -=-+-．（2）2121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x x 1251)21(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x x ． 由121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 展开式的通项公式rr rr r r x x T --+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=61212121C 1)2(C ，可得展开式的常数项为924C 612=．说明：问题（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决．这时我们还可以通过合并项转化为二项式展开的问题来解决．例3 求62)1(x x -+展开式中5x 的系数．分析：62)1(x x -+不是二项式，我们可以通过22)1(1x x x x -+=-+或)(12x x -+把它看成二项式展开．解：方法一：[]6262)1()1(x x x x -+=-+-+++-+=44256)1(15)1(6)1(x x x x x其中含5x 的项为55145355566C 15C 6C x x x x =+-．含5x 项的系数为6．方法二：[]6262)(1)1(x x x x -+=-+62524232222)()(6)(15)(20)(15)(61x x x x x x x x x x x x -+-+-+-+-+-+=其中含5x 的项为555566)4(15)3(20x x x x =+-+-．∴5x 项的系数为6．方法3：本题还可通过把62)1(x x -+看成6个21x x -+相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，5x 项可由下列几种可能得到．5个因式中取x ，一个取1得到556C x ．3个因式中取x ，一个取2x -，两个取1得到)(C C 231336x x -⋅⋅． 1个因式中取x ，两个取2x -，三个取1得到222516)(C C x x -⋅⋅． 合并同类项为5525161336566)C C C C (C x x =+-，5x 项的系数为6．例4 求证：（1）1212C C 2C -⋅=+++n n n n n n n ；（2）)12(11C 11C 31C 21C 1210-+=++++++n n n n n n n n ． 分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值．解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质nn n n n n 2C C C C 210=++++ ．解：（1）11C )!()!1()!1()!()!1(!)!(!!C --=+--⋅=--=-⋅=k n kn n k n k n n k n k n k n k n k k∴左边111101C C C ----+++=n n n n n n n=⋅=+++=-----11111012)C C C (n n n n n n n 右边．（2）)!()!1(!)!(!!11C 11k n k n k n k n k k k n--=-⋅+=+ 11C 11)!()!1()!1(11+++=-++⋅+=k n n k n k n n ． ∴左边112111C 11C 11C 11++++++++++=n n n n n n n =-+=++++=+++++)12(11)C C (C 111112111n n n n n n n 右边． 说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解．此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：例5：求10C 2C 2C 2C 22108107910810109+++++ 的结果．仔细观察可以发现该组合数的式与10)21(+的展开式接近，但要注意：10101099102210110010102C 2C 2C 2C C )21(⋅+⋅++⋅+⋅+=+ 10101091092102C 2C 2C 21021++++⨯+= )C 2C 2C 210(21101099108210+++++=从而可以得到：)13(21C 2C 2C 21010101099108210-=++++ ．例6 利用二项式定理证明：98322--+n n 是64的倍数．分析：64是8的平方，问题相当于证明98322--+n n 是28的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形1122)18(93++++==n n n ，将其展开后各项含有k 8，与28的倍数联系起来．解：∵98322--+n n98)18(98911--+=--=++n n n n9818C 8C 8C 81211111--+⋅+⋅++⋅+=+-+++n nn n n n n n 981)1(88C 8C 8211111--+++⋅++⋅+=-+++n n n n n n n 2111118C 8C 8⋅++⋅+=-+++n n n n n64)C 8C 8(112111⋅++⋅+=-+-++n n n n n 是64的倍数．说明：利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些复杂的指数式除以一个数的余数．例7 展开52232⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ．分析1：用二项式定理展开式．解法1：52232⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x2232524150250523)2(23)2(23)2(⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x C x x C x x C52554245322352323)2(23)2(⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x C x x C x x C10742532243840513518012032xx x x x x -+-+-= 分析2：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．解法2：10535232)34(232x x x x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛- 233254315530510)3()4()3()4()4([321-+-+=x C x C x C x])3()3()4()3()4(5554134532335-+-+-+C x C x C)243716204320576038401024(321369121510-+-+-=x x x x x x10742532243840513518012032x x x x x x -+-+-=． 说明：记准、记熟二项式nb a )(+的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．例8 若将10)(z y x ++展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（ ）． A ．11 B ．33 C ．55 D ．66 分析：10)(z y x ++看作二项式10])[(z y x ++展开．解：我们把z y x ++看成z y x ++)(，按二项式展开，共有11“项”，即∑=-⋅+=++=++10010101010)(])[()(k k k k z y x C z y x z y x ．这时，由于“和”中各项z 的指数各不相同，因此再将各个二项式ky x -+10)(展开，不同的乘积k kk z y x C ⋅+-1010)(（10,,1,0 =k ）展开后，都不会出现同类项． 下面，再分别考虑每一个乘积k kk z y x C ⋅+-1010)(（10,,1,0 =k ）．其中每一个乘积展开后的项数由ky x -+10)(决定，而且各项中x 和y 的指数都不相同，也不会出现同类项． 故原式展开后的总项数为66191011=++++ ， ∴应选D ．例9 若nx x ⎪⎭⎫⎝⎛-+21的展开式的常数项为20-，求n ．分析：题中0≠x ，当0>x 时，把三项式nx x ⎪⎭⎫⎝⎛-+21转化为nnx x x x 2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+；当0<x 时，同理nn nx x x x 21)1(21⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+．然后写出通项，令含x 的幂指数为零，进而解出n ．解：当0>x 时nn x x x x 2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+，其通项为rn r n r r rn r n r x C xx C T 222221)()1()1()(--+-=-=， 令022=-r n ，得r n =，∴展开式的常数项为nn n C 2)1(-；当0<x 时，nn n x x x x 21)1(21⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+， 同理可得，展开式的常数项为nn n C 2)1(-． 无论哪一种情况，常数项均为nn n C 2)1(-．令20)1(2-=-nn n C ，以 ,3,2,1=n ，逐个代入，得3=n ．。

学习目标 1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念.2.会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题．1．二项式定理及其相关概念2.二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律)(1)对称性：C m n ＝C n－mn；(2)性质：C k n ＋1＝C k －1n ＋C kn ；(3)二项式系数的最大值：当n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即2C n n最大；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即1122CCn n nn -+=最大；(4)二项式系数之和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n，所用方法是赋值法．类型一 二项式定理的灵活应用 命题角度1 两个二项式积的问题例1 (1)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝________.(2)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝________. 答案 (1)120 (2)－1解析 (1)f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.(2)(1＋ax )(1＋x )5＝(1＋x )5＋ax (1＋x )5.∴x 2的系数为C 25＋a C 15，则10＋5a ＝5，解得a ＝－1.反思与感悟 两个二项式乘积的展开式中特定项问题(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点． (2)找到构成展开式中特定项的组成部分． (3)分别求解再相乘，求和即得．跟踪训练1 (x ＋a x )(2x －1x )5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40 答案 D解析 令x ＝1，得(1＋a )(2－1)5＝2，∴a ＝1，故(x ＋1x )(2x －1x )5的展开式中常数项即为(2x －1x )5的展开式中1x 与x 的系数之和．(2x －1x )5的展开式的通项为T k ＋1＝C k 525－k x 5－2k(－1)k ， 令5－2k ＝1，得k ＝2，∴展开式中x 的系数为C 25×25－2×(－1)2＝80， 令5－2k ＝－1，得k ＝3，∴展开式中1x 的系数为C 35×25－3×(－1)3＝－40，∴(x ＋1x )(2x －1x )5的展开式中常数项为80－40＝40.命题角度2 三项展开式问题例2 ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25的展开式中的常数项是________． 答案6322解析 方法一 原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25， ∴展开式的通项为11k T ＋＝15C k ⎝⎛⎭⎫x2＋1x 15k －(2)1k (k 1＝0,1,2，…，5)．当k 1＝5时，T 6＝(2)5＝42，当0≤k 1<5时，⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 15k －的展开式的通项公式为21k T '＋＝215C k k -⎝⎛⎭⎫x 2125k k －－⎝⎛⎭⎫1x 2k ＝215C k k -⎝⎛⎭⎫12125k k －－·1252k k x－－(k 2＝0,1,2，…，5－k 1)．令5－k 1－2k 2＝0，即k 1＋2k 2＝5. ∵0≤k 1<5且k 1∈Z ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝1，k 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝3，k 2＝1.∴常数项为42＋C 15C 24⎝⎛⎭⎫1222＋C 35C 1212×(2)3 ＝42＋1522＋202＝6322.方法二 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋22x ＋22x 5＝132x 5·[(x ＋2)2]5 ＝132x5·(x ＋2)10. 求原式的展开式中的常数项，转化为求(x ＋2)10的展开式中含x 5项的系数，即C 510·(2)5. ∴所求的常数项为C 510·(2)532＝6322.反思与感悟 三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方法，因式分解，项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性． 跟踪训练2 求(x 2＋3x －4)4的展开式中x 的系数．解 方法一 (x 2＋3x －4)4＝[(x 2＋3x )－4]4＝C 04(x 2＋3x )4－C 14(x 2＋3x )3·4＋C 24(x 2＋3x )2·42－C 34(x 2＋3x )·43＋C 44·44， 显然，上式中只有第四项中含x 的项，所以展开式中含x 的项的系数是－C 34·3·43＝－768. 方法二 (x 2＋3x －4)4＝[(x －1)(x ＋4)]4＝(x －1)4·(x ＋4)4＝(C 04x 4－C 14x 3＋C 24x 2－C 34x ＋C 44)(C 04x 4＋C 14x 3·4＋C 24x 2·42＋C 34x ·43＋C 44·44)，所以展开式中含x 的项的系数是－C 3444＋C 3443＝－768.命题角度3 整除和余数问题例3 今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期( ) A ．一 B ．二 C ．三 D ．四答案 A解析 求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数，应用二项式定理将数变形求余数．因为810＝(7＋1)10＝710＋C 110×79＋…＋C 910×7＋1＝7M ＋1(M ∈N *)，所以第810天相当于第1天，故为星期一．反思与感悟 (1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了． (2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．跟踪训练3 设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 015＋a 能被13整除，则a ＝________. 答案 1解析 ∵512 015＋a ＝(52－1)2 015＋a ＝C 02 015522 015－C 12 015522 014＋C 22 015522 013－…＋C 2 0142 015521－1＋a ，能被13整除，0≤a <13. 故－1＋a 能被13整除，故a ＝1. 类型二 二项式系数的综合应用 例4 已知(12＋2x )n .(1)若展开式中第五项、第六项、第七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项．解 (1)由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，即n 2－21n ＋98＝0，得n ＝7或n ＝14.当n ＝7时展开式中二项式系数最大的项是第四项和第五项， ∵T 4＝C 37(12)4(2x )3＝352x 3，T 5＝C 47(12)3(2x )4＝70x 4， ∴第四项的系数是352，第五项的系数是70.当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是第八项，它的系数为C 714(12)7×27＝3 432. (2)由C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，即n 2＋n －156＝0.得n ＝－13(舍去)或n ＝12.设T k ＋1项的系数最大， ∵(12＋2x )12＝(12)12(1＋4x )12， 由⎩⎪⎨⎪⎧C k 12·4k ≥C k －112·4k －1，C k 12·4k ≥C k ＋112·4k ＋1，解得9.4≤k ≤10.4.∵0≤k ≤n ，k ∈N *，∴k ＝10. ∴展开式中系数最大的项是第11项， 即T 11＝(12)12·C 1012·410·x 10＝16 896x 10. 反思与感悟 解决此类问题，首先要分辨二项式系数与二项展开式的项的系数，其次理解记忆其有关性质，最后对解决此类问题的方法作下总结，尤其是有关排列组合的计算问题加以细心．跟踪训练4 已知⎝⎛⎭⎫2x －1x n展开式中二项式系数之和比(2x ＋x lg x )2n 展开式中奇数项的二项式系数之和少112，第二个展开式中二项式系数最大的项的值为1 120，求x . 解 依题意得2n －22n －1＝－112， 整理得(2n －16)(2n ＋14)＝0，解得n ＝4，所以第二个展开式中二项式系数最大的项是第五项．依题意得C 48(2x )4(x lg x )4＝1 120，化简得x 4(1＋lg x )＝1， 所以x ＝1或4(1＋lg x )＝0， 故所求x 的值为1或110.1．在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15 D ．10答案 C解析 因为(1＋x )6的展开式的第(k ＋1)项为T k ＋1＝C k 6x k ，x (1＋x )6的展开式中含x 3的项为C 26x 3＝15x 3，所以系数为15.2.⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－23的展开式中常数项为( ) A ．－8 B ．－12 C ．－20 D ．20 答案 C解析 ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－23＝⎝⎛⎭⎫x －1x 6展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 6(－1)k x 6－2k.令6－2k ＝0解得k ＝3.故展开式中的常数项为－C 36＝－20.3．当n 为正奇数时，7n ＋C 1n ·7n －1＋C 2n ·7n －2＋…＋C n －1n ·7被9除所得的余数是( ) A ．0 B ．2 C ．7 D ．8 答案 C解析 原式＝(7＋1)n －C n n ＝8n －1＝(9－1)n －1＝9n －C 1n ·9n －1＋C 2n ·9n －2－…＋C n －1n·9(－1)n －1＋(－1)n －1.因为n 为正奇数，所以(－1)n －1＝－2＝－9＋7，所以余数为7. 4．已知⎝⎛⎭⎫x －ax 5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a 等于( )A. 3 B ．－ 3 C ．6 D ．－6 答案 D解析 ⎝⎛⎭⎫x －ax 5的展开式通项T k ＋1＝C k 552k x -(－1)k a k·2kx -＝(－1)k a k C k 552k x-，令52－k ＝32，则k ＝1，∴T 2＝－a C 1532x ，∴－a C 15＝30，∴a ＝－6，故选D.5．若(x －m )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，其中a 5＝56，则a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________. 答案 128解析 由已知条件可得a 5＝C 38·(－m )3＝－56m 3＝56，∴m ＝－1， 则a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝(1＋1)8＋(－1＋1)82＝128.1．两个二项展开式乘积的展开式中特定项问题(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点．(2)找到构成展开式中特定项的组成部分． (3)分别求解再相乘，求和即得． 2．三项或三项以上的展开问题应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性．3．用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者前面)一、二项就可以了． 4．求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入．5．确定二项展开式中的最大或最小项：利用二项式系数的性质．课时作业一、选择题1．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 3n ＋C 5n 的值等于( )A ．64B ．32C ．63D ．31 答案 B解析 由已知条件得(1＋2)n ＝3n ＝729，解得n ＝6.C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＝C 16＋C 36＋C 56＝32.2．二项式⎝⎛⎭⎫x 2－1x 6的展开式中不含x 3项的系数之和为( ) A ．20 B ．24 C ．30 D ．36 答案 A解析 由二项式的展开式的通项公式 T k ＋1＝C k 6·(－1)k x 12－3k ， 令12－3k ＝3，解得k ＝3，故展开式中x 3项的系数为C 36·(－1)3＝－20， 而所有系数和为0，不含x 3项的系数之和为20.3．在(1＋x )6(2＋y )4的展开式中，含x 4y 3项的系数为( ) A ．210 B ．120 C ．80 D ．60答案 B解析在(1＋x)6(2＋y)4的展开式中，含x4y3的项为C46x4C342·y3＝120x4y3.故含x4y3项的系数为120.4．在(1＋x)n(n为正整数)的二项展开式中，奇数项的和为A，偶数项的和为B，则(1－x2)n 的值为()A．0 B．ABC．A2－B2D．A2＋B2答案 C解析∵(1＋x)n＝A＋B，(1－x)n＝A－B，∴(1－x2)n＝(1＋x)n(1－x)n＝(A＋B)(A－B)＝A2－B2.5．9192被100除所得的余数为()A．1 B．81 C．－81 D．992答案 B解析利用9192＝(100－9)92的展开式，或利用(90＋1)92的展开式．方法一(100－9)92＝C09210092－C19210091×9＋C29210090×92－…－C9192100×991＋C9292992.展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．由992＝(10－1)92＝C0921092－…＋C9092102－C919210＋1.前91项均能被100整除，后两项和为－919，因原式为正，可从前面的数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81，∴9192被100除可得余数为81.方法二(90＋1)92＝C0929092＋C1929091＋…＋C9092902＋C919290＋C9292.前91项均能被100整除，剩下两项为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得余数为81.6．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m等于()A．5 B．6 C．7 D．8答案 B解析∵(x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为C m2m，∴a＝C m2m.同理，b＝C m＋1.2m＋1∵13a ＝7b ，∴13·C m 2m ＝7·C m ＋12m ＋1，∴13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！(m ＋1)！m ！，∴m ＝6.7．(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60 答案 C解析 易知T k ＋1＝C k 5(x 2＋x )5－k y k， 令k ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，对于二项式(x 2＋x )3，由T t ＋1＝C t 3(x 2)3－t ·x t ＝C t 3x 6－t ， 令t ＝1，所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.二、填空题8．已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝________. 答案 1解析 (a －x )5的展开式的通项公式为T k ＋1＝(－1)k a 5－k C k 5x k ，令k ＝2，得a 2＝a 3C 25＝80， 知a ＝2，令二项展开式的x ＝1，得 15＝1＝a 0＋a 1＋…＋a 5.9．在(a ＋b )n 的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为128，则二项式系数的最大值为________． 答案 70解析 由题意知，2n －1＝128，解得n ＝8. 展开式共n ＋1＝8＋1＝9项． 得中间项的二项式系数最大，故展开式中系数最大的项是第5项，最大值为C 48＝70. 10．(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是________． 答案 1.34解析 (1.05)6＝(1＋0.05)6＝C 06＋C 16×0.05＋C 26×0.052＋C 36×0.053＋…＝1＋0.3＋0.037 5＋0.002 5＋…≈1.34.11．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则a 1＋a 2＋…＋a 7的值是________． 答案 －2解析 在(1－2x )7的二项展开式中，令x ＝0，则a 0＝1，令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1，所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1－1＝－2.三、解答题12．已知(1－2x ＋3x 2)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 13x 13＋a 14x 14. 求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 14； (2)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13.解 (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14＝27， 令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 14＝27－1. (2)由(1)得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14＝27，① 令x ＝－1得a 0－a 1＋a 2－…－a 13＋a 14＝67，②由①－②得：2(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13)＝27－67， 所以a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13＝27－672.13．若等差数列{a n }的首项为a 1＝C 11－2m5m－A 2m －211－3m (m ∈N *)，公差是⎝ ⎛⎭⎪⎫52x －253x 2k 展开式中的常数项，其中k 为7777－15除以19的余数，求通项公式a n .解 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧5m ≥11－2m ，11－3m ≥2m －2，解得117≤m ≤135，∵m ∈N *，∴m ＝2，∴a 1＝C 710－A 25＝100，又7777－15＝(1＋19×4)77－15＝C 077＋C 177(19×4)＋…＋C 7777(19×4)77－15＝(19×4)[C 177＋C 277(19×4)＋…＋C 7777(19×4)76]－19＋5，∴7777－15除以19的余数为5，即k ＝5. 又T k ′＋1＝C k ′5⎝⎛⎭⎫52x 5－k ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－253x 2k ′＝C k ′5⎝⎛⎭⎫525－2k ′5153k x '-(－1)k ′， 令5k ′－15＝0可解得k ′＝3，∴d ＝C 35⎝⎛⎭⎫525－6(－1)3＝－4， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝104－4n .四、探究与拓展14．若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m ＝________.答案 －3或1解析 在(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9中，令x ＝－2，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9＝m 9，即[(a 0＋a 2＋…＋a 8)－(a 1＋a 3＋…＋a 9)]＝m 9，令x ＝0，可得(a 0＋a 2＋…＋a 8)＋(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝(2＋m )9.∵(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，∴[(a 0＋a 2＋…＋a 8)＋(a 1＋a 3＋…＋a 9)][(a 0＋a 2＋…＋a 8)－(a 1＋a 3＋…＋a 9)]＝39， ∴(2＋m )9m 9＝(2m ＋m 2)9＝39，可得2m ＋m 2＝3，解得m ＝1或－3.15．已知f (x )＝(1＋x )m ，g (x )＝(1＋5x )n (m ，n ∈N *)．(1)若m ＝4，n ＝5时，求f (x )·g (x )的展开式中含x 2的项；(2)若h (x )＝f (x )＋g (x )，且h (x )的展开式中含x 的项的系数为24，那么当m ，n 为何值时，h (x )的展开式中含x 2的项的系数取得最小值？(3)若(1＋5x )n (n ≤10，n ∈N *)的展开式中，倒数第2、3、4项的系数成等差数列，求(1＋5x )n 的展开式中系数最大的项．解 (1)当m ＝4，n ＝5时，f (x )＝(1＋x )4＝C 04x 0＋C 14x 1＋C 24x 2＋C 34x 3＋C 44x 4，g (x )＝(1＋5x )5＝C 05(5x )0＋C 15(5x )1＋…＋C 55(5x )5，则f (x )·g (x )的展开式中含x 2的项为(C 24·50C 05＋C 14·5C 15＋C 04·52C 25)x 2， 即f (x )·g (x )的展开式中含x 2的项为356x 2.(2)因为h (x )＝f (x )＋g (x )，且h (x )的展开式中含x 的项的系数为24，则C 1m ＋5C 1n ＝24，即m ＝24－5n (其中1≤n ≤4，n ∈N *)，又h (x )的展开式中含x 2的项的系数为C 2m ＋52C 2n ＝m (m －1)2＋25n (n －1)2＝(24－5n )(23－5n )2＋25n (n －1)2＝25n 2－130n ＋276＝25⎝⎛⎭⎫n －1352＋107(其中1≤n ≤4，n ∈N *)， 又因为⎪⎪⎪⎪2－135>⎪⎪⎪⎪3－135， 所以当n ＝3时(此时m ＝9)，h (x )的展开式中含x 2的项的系数取得最小值111.(3)在(1＋5x )n (n ≤10，n ∈N *)的展开式中，倒数第2、3、4项的系数分别为C n －1n ·5n －1，C n －2n·5n －2，C n －3n·5n －3，又因为倒数第2、3、4项的系数成等差数列，所以2C n －2n ·5n －2＝C n －1n ·5n －1＋C n －3n·5n －3，整理得n 2－33n ＋182＝0，解得n ＝7或n ＝26，又因为n ≤10，n ∈N *，所以n ＝7，n ＝26(舍去)．设二项式(1＋5x )7的展开式中系数最大的项为第k ＋1项(即T k ＋1＝C k 7(5x )k )，则⎩⎪⎨⎪⎧C k －17·5k －1≤C k 7·5k ，C k ＋17·5k ＋1≤C k 7·5k ， 整理并解得173≤k ≤203， 又因为n ≤10，n ∈N *，所以k ＝6， 即(1＋5x )n 的展开式中系数最大的项为T 7＝C 67(5x )6＝109 375x 6.。

二项式定理测试题及答案1.有多少个整数n 能使(n+i)4成为整数（B ） A.0 B.1 C.2 D.3 2. ()82x -展开式中不含．．4x 项的系数的和为（B ）A.-1B.0C.1D.23．若S=123100123100A A A A ++++L L ，则S 的个位数字是（C ）A 0B 3C 5D 8 4．已知（x －xa ）8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是（ C ） A.28B.38C.1或38D.1或285．在3100(25)+的展开式中，有理项的个数是（ D ） Ａ．15个Ｂ．33个Ｃ．17个 Ｄ．16个6.在2431⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有（C ） A ．3项 B ．4项C ．5项D ．6项7．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x 3的项的系数是（ C ）A 、－5B 、 5C 、10D 、－10 8．35)1()1(x x +⋅-的展开式中3x 的系数为（ A ）A ．6B ．-6C ．9D ．-9 9．若x=21，则(3+2x)10的展开式中最大的项为（B ） A.第一项 B.第三项 C.第六项 D.第八项 10.二项式431(2)3nx x-的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ A ） A ．7B ．12C ．14D ．511.设函数,)21()(10x x f -=则导函数)(x f '的展开式2x 项的系数为（Ｃ ）A ．1440B ．-1440C ．-2880D ．2880 12．在51(1)x x+-的展开式中，常数项为（ B ） （A ）51 （B ）－51 （C ）－11 （D ）1113．若32(1)1()n n x x ax bx n *+=+++++∈N L L ，且:3:1a b =，则n 的值为（ Ｃ ） Ａ．9Ｂ．10Ｃ．11Ｄ．1214．若多项式102x x +=10109910)1()1()1(++++⋅⋅⋅+++x a x a x a a ，则=9a （ ）（A ） 9 （B ）10 （C ）9- （D ）10- 解：根据左边x10的系数为1,易知110=a ，左边x 9的系数为0,右边x 9的系数为0109910109=+=+a C a a ,∴109-=a故选D 。

永川萱花中学高2021级 二项式系数性质练习题一、选择题（本大题共19小题，共95.0分）1. 图中各数类似“杨辉三角”，每行首末两数分别为1，2，每行除首末两数外，其余各数均等于“肩上”两数之和，则第n 行的n +1个数的和为( )A. 3nB. 3×2n−1C. 3(n 2−n)2+3D. n 2−n +32. 已知数列{a n }的通项为a n =2n −1(n ∈N ∗)，把数列{a n }的各项排列成如图所示的三角形数阵．记M(s,t)表示该数阵中第s行的第t 个数，则该数阵中的数2011对应于( )A. M(45,15)B. M(45,16)C. M(46,15)D. M(46,25)3. 如图所示：在杨辉三角中，斜线上方箭头所连的数组成一个齿形的数列：记这个数列前n 项和为S n ，则S 16等于( )A. 128B. 144C. 155D. 1644. 杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡(1623--1662)是在1654年发现这一规律的，我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就．如图所示，在“杨辉三角”中，去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋅⋅⋅，则此数列前135项的和为( )A. 218−53B. 218−52C. 217−53D. 217−52 5. 若(x −1x )n 的展开式中第6项和第7项的二项式系数最大，则展开式中含x 3项的系数是( )A. 792B. −792C. 330D. −330 6. 若二项式(√x +1x )n 的展开式中各项的系数和为32，则该展开式中含x 的系数为( )A. 1B. 5C. 10D. 20 7. 设二项式(√x 3+3x)n 的展开式各项系数的和为a ，所有二项式系数的和为b.若a +2b =80，则n 的值为( )A. 8B. 4C. 3D. 28. 已知(ax +b)6的展开式中x 4项的系数与x 5项的系数分别为135与−18，则(ax +b)6的展开式中所有项系数之和为( )A. −1B. 1C. 32D. 649. 设(1+x)n =a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+⋯+a n x n ，若a 1+a 2+a 3+⋯+a n =63，则展开式中系数最大的项是( )A. 15x 2B. 20x 3C. 21x 3D. 35x 310. 已知(x +1)5(2x −1)3=a 8x 8+a 7x 7+⋯+a 1x +a 0，则a 7的值为( )A. −2B. 28C. 43D. 5211. 已知(x +1)(2x +a)5的展开式中各项系数和为2，则其展开式中含x 3项的系数是( )A. −40B. −20C. 20D. 4012. 对任意的实数有x 4=a 0+a 1(x −2)+a 2(x −2)2+⋯+a 4(x −2)4，则a 2等于( )A. 24B. 16C. 8D. 3213. 设(1+x +x 2)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 2n x 2n ，则a 0+a 2+⋯+a 2n 的值是( )A. 12(3n −1)B. 12(3n +1)C. 3nD. 3n +114. 若(1−2x)2012=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 2012x 2012，则(a 0+a 1)+(a 1+a 2)+(a 2+a 3)+⋯+(a 2011+a 2012)=( )A. 1B. 22012C. 1−22012D. 2−2201215. 如果(ax −34x )(x +1x )6的展开式中各项系数的和为16，则展开式中x 3项的系数为( ) A. 392 B. −392 C. −212 D. 212 16. 设(x 2−3x +2)4=a 0+a 1x +⋯+a 8x 8，则a 7=( )A. −4B. −8C. −12D. −1617. (x −2)5(√x −1)4的展开式中，无理项的系数和为A. −8B. 8C. 16D. −1618. 设m 为正整数，(x +y)2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x +y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a =7b ，则m =( )A. 5B. 6C. 7D. 819. (x +1)(x 2−x −2)3的展开式中，含x 5项的系数为( )A. −6B. −12C. −18D. 18二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）20. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角形”.现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n 行各数字的和为S n ，如S 1=1，S 2=2，S 3=2，S 4=4，……，则S 126=________．21.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如图1所示的三角形，解释二项和的乘方规律．在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士·帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形．近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)如图1.17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图2.在杨辉三角中相邻两行满足关系式：，其中n是行数，r∈N.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是________．22.将三项式(x2+x+1)n展开，当n=0,1,2,3,...时，得到如图所示的展开式，如图所示的广义杨辉三角形：(x2+x+1)0=1(x2+x+1)1=x2+x+1(x2+x+1)2=x4+2x3+3x2+2x+1(x2+x+1)3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1(x2+x+1)4=x8+4x7+10x6+16x5+19x4+16x3+10x2+4x+1观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数(不足3数的，缺少的数计为0)之和，第k行共有2k+1个数．若在(1+ax)(x2+x+1)5的展开式中，x8项的系数为75，则实数a的值为___________．)n展开式的各项系数之和为32，则n=______，其展开式中的常数项为23.若(x2+1x3______.(用数字作答)三、解答题（本大题共16小题，共192.0分）24.一个正三角形等分成4个全等的小正三角形，将中间的一个正三角形挖掉(如图1)，再将剩余的每个正三角形分成4个全等的小正三角形，并将中间的一个正三角形挖掉，得图2，如此继续下去…(1)图3共挖掉多少个正三角形？(2)设原正三角形边长为a，第n个图形共挖掉多少个正三角形？这些正三角形面积和为多少？25.设(2x−1)5=a0+a1x+a2x2+⋯+a5x5，求：(1)a0+a1+⋯+a5；(2)|a0|+|a1|+⋯+|a5|；(3)a1+a3+a5；(4)(a0+a2+a4)2−(a1+a3+a5)2．26. 设(1+12x)m =a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+⋯+a m x m ，若a 0，a 1，a 2成等差数列． (1)求(1+12x)m 展开式的中间项；(2)求(1+12x)m 展开式中所有含x 奇次幂的系数和；(3)求(1+12x)m+6展开式中系数最大项．27. 已知(x +2√x )n 的展开式所有项中第五项的二项式系数最大． (1)求n 的值；(2)求展开式中1x 的系数．28. 已知在(2x x 3)n 的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5：2．(1)求n 的值；(2)求含x 2的项的系数；(3)求展开式中系数最大的项．29. 已知(x 2+1)(x −1)9=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 11x 11．(1)求a 2的值；(2)求展开式中系数最大的项；(3)求(a 1+3a 3+⋯+11a 11)2−(2a 2+4a 4+⋯+10a 10)2的值．30.(1)设(3x−1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4．①求a0+a1+a2+a3+a4；②求a0+a2+a4；③求a1+a2+a3+a4；(2)求S=C271+C272+⋯+C2727除以9的余数．31.已知(12+2x)n，(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．32.设(1−12x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+a n x n，若|a0|，|a1|，|a2|成等差数列．(1)求(1−12x)n展开式的中间项；(2)求(1−12x)n展开式中所有含x奇次幂的系数和；(3)求a1+2a2+3a3+⋯+na n的值．33. 在(2x −3y)10的展开式中(2x −3y)10=a 0x 10+a 1x 9y +a 2x 8y 2+⋯+a 10y 10，求：(1)各项二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项的系数和与偶数项的系数和；(5)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和．34. 已知(√x 2√x 4)n的展开式中前三项x 的系数为等差数列．(1)求二项式系数最大项；(2)求展开式中系数最大的项．35. 若(1−2x)2018=a 0+a 1x +⋯+a 2018x 2018,x ∈R ，(1)求a 0的值；(2)求a 0+a 1+a 2+⋯+a 2018的值；(3)求 |a 0|+|a 1|+|a 2|+⋯+|a 2018|的值．36. 已知(√x −2x 2)n(n ∈N ∗)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1．(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含x 23的项．37. 已知(1−2x)7=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 7x 7．(1)求a 1+a 2+⋯+a 7的值；(2)求a 1+a 3+a 5+a 7的值；(3)求|a 0|+|a 1|+⋯+|a 7|的值．38. 若二项式 (√x 3√x)n 的展开式中的常数项为第五项．求：(1)n 的值； (2)设展开式中所有项系数和等于A ，求√A 10的值；(3)展开式中系数最大的项．39. 已知(x −m)7=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 7x 7的展开式中x 4的系数是−35，(1)求a 1+a 2+⋯+a 7的值；(2)求a 1+a 3+a 5+a 7的值．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查归纳推理的应用，注意直接分析各行的所有数的和变化规律．根据题意，由所给的表格，依次求出第1行的2个数的和，第2行的3个数的和，第3行的4个数的和，…，分析其变化规律即可得答案．【解答】解：根据题意，由所给的表格：第1行的2个数为1、2，其和为1+2=3=3×20，第2行的3个数为1、3、2，其和为1+3+2=6=3×21，第3行的4个数为1、4、5、2，其和为1+4+5+2=12=3×22，…；则第n行的n+1个数的和为3×2n−1，故选：B．2.【答案】B【解析】解：∵2011=2×1006−1∴2011是数列{a n}的第1006项∵数阵中，前n行的个数为n(n+1)2∴n=44时，n(n+1)2=990；n=45时，n(n+1)2=1035，∴第1006项在第45行，∵1006−990=16，∴M(45,16)故选：B．确定2011是数列{a n}的第1006项，结合数阵中，前n行的个数为n(n+1)2，即可得到结论．本题考查数列的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．3.【答案】D【解析】【分析】本题以杨辉三角为例，求锯齿形数列的前n项和，属于基础题．由图中锯齿形数列排列，列出前16项，即可得到S16的值．【解答】解：根据图中锯齿形数列的排列，前16项分别为1，2，3，3，6，4，10，5，15，6，21，7，28，8，36，9，∴前16项的和S16=1+2+3+3+6+4+10+5+15+6+21+7+28+8+36+9=164．故选：D．4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列等差数列的求和公式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x=1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．【解答】解：n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，例如(x+1)2=x2+2x+1，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第3行，令x=1，就可以求出该行的系数之和，第1行为20，第2行为21，第3行为22，以此类推，即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为S n=1−2n1−2=2n−1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则T n=n(n+1)2，可得当n=15，在加上第16行的前15项时，所有项的个数和为135，由于最右侧为2，3，4，5，……，为首项是2，公差为1的等差数列，则第16行的第16项为17，因为杨辉三角形的前18项的和为S18=218−1，所以此数列前135项的和为S18−35−17=218−53，故选A．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查二项式定理知识；先根据二项式系数特点确定n，再根据通项公式解出x3项的系数．【解答】解：第6项和第7项的二项式系数C n5和C n6，根据杨辉三角数字规律，C n5=C n6，n=11；二项式展开式通向公式为T r+1=C11r x11−r(−1x )r=(−1)r C11r x11−2r令r=4，则T5=(−1)4C114x3=330x3故应选C．6.【答案】B【解析】解：令x=1，则2n=32，解得n=5，∴(√x+1x )5的通项公式：Tr+1=∁5r(√x)5−r(1x)r=∁5r x52−3r2，令52−3r2=1，解得r=1．∴该展开式中含x的系数为∁51=5．故选：B．令x=1，则2n=32，解得n=5，再利用通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二项式定理的应用，属于中档题．赋值法令x=1得展开式中各项系数和a=4n，所有二项式系数和b=2n，得a，b，进而解得n的值．解：令x =1得展开式中各项系数和a =4n ，所有二项式系数和b =2n ， ∴4n +2·2n =80，解得2n =8，∴n =3． 故选C ． 8.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二项式定理的应用问题，属于基础题．由题意先求得a 、b 的值，再令x =1求出展开式中所有项的系数和． 【解答】解：(ax +b)6的展开式中x 4项的系数与x 5项的系数分别为135与−18，∴C 64⋅a 4⋅b 2=135①，C 65⋅a 5⋅b =−18②；由①、②组成方程组{15a 4b 2=1356a 5b =−18， 解得a =1，b =−3或a =−1、b =3；∴令x =1，求得(ax +b)6展开式中所有项系数之和为26=64． 故选D ． 9.【答案】B【解析】【分析】本题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质，属于基础题．先令x =0得a 0=1，再令x =1得a 0+a 1+a 2+⋯…+a n =2n ，求出n =6，最后由二项式系数的性质即可求得． 【解答】解：令x =0可得a 0=1，令x =1可得a 0+a 1+a 2+⋯…+a n =2n ，所以a 1+a 2+⋯…+a n =2n −1=63，所以n =6，所以展开式中系数最大的项为第4项，为C 63x 3=20x 3．故选B ．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查二项式定理的应用，考查计算能力，属于中档题．直接求出(x +1)5中x 的4次方、5次方的系数与(2x −1)3展开式中x 的3次方与2次方的系数，再分别求解即可． 【解答】解：因为(x +1)5中x 的4次方、5次方的系数分别为：5、1， (2x −1)3展开式中x 的3次方、2次方的系数分别为：8、−12， 所以(x +1)5(2x −1)3=a 8x 8+a 7x 7+⋯+a 1x +a 0， 则 a 7的值为5×8−12×1=28． 故选Ｂ．11.【答案】D【解析】【分析】由题意先求得a =−1，再把(2x +a)5按照二项式定理展开，可得(x +1)(2x +a)5的展开式含x 3项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．解：令x=1，可得(x+1)(2x+a)5的展开式中各项系数和为2⋅(2+a)5=2，∴a=−1．二项式(x+1)(2x+a)5 =(x+1)(2x−1)5=(x+1)(32x5−80x4+80x3−40x2+10x−1)，故展开式中含x3项的系数是−40+80=40，故选：D．12.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．根据x4=a0+a1(x−2)+a2(x−2)2+⋯+a4(x−2)4=[2+(x−2)]4，利用二项展开式的通项公式，求得a2的值．【解答】解：对任意的实数有x4=a0+a1(x−2)+a2(x−2)2+⋯+a4(x−2)4=[2+(x−2)]4，故a2=C42⋅22=24，故选A．13.【答案】B【解析】【分析】利用二项展开式的系数关系，采用赋值法将x分别赋值为1，−1，解答即可．本题考查了二项式定理的运用，考查赋值法的运用．【解答】解：(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+⋯+a2n x2n，令x=1得a0+a1+a2+⋯+a2n=3n①，令x=−1得a0−a1+a2+⋯+(−1)2n a2n=1②，(3n+1)．(①+②)÷2得a0+a2+⋯+a2n=12故选：B．14.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，注意分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，属于基础题．在所给的等式中，令x=0求得a0=1；再令x=1，可得a0+a1 +a2 +⋯+a2012 =1，而a2012 =22012，故要求的式子即2(a0+a1 +a2 +⋯+a2012 )−a0−a2012，计算求得结果．【解答】解：在(1−2x)2012=a0+a1x+a2x2+⋯+a2012x2012(x∈R)中，令x=0，可得a0= 1，再令x=1，可得a0+a1+a2+⋯+a2012=1，而a2012=22012，∴(a0+a1)+(a1+a2)+(a2+a3)+⋯+(a2011+a2012)=2(a0+a1+a2+⋯+a2012)−a0−a2012=2−1−22012=1−22012．故选：C．15.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二项式展开式的通项公式应用问题，是中档题．(ax −34x )(x +1x )6展开式中令x =1求得各项系数和，得a 的值；再利用通项公式求得(x +1x )6展开式中含x 2、x 4的系数，即可求得对应展开式中x 3项的系数．【解答】解：(ax −34x )(x +1x )6展开式中，令x =1得展开式中各项系数的和为(a −34)·(1+1)6=16，解得a =1； ∴(ax −34x)(x +1x)6=(x −34x)(x +1x)6，又(x +1x )6的展开式通项公式为T r+1=C 6r ·x 6−r ·(1x )r=C 6r ·x 6−2r ， 由6−2r =2，解得r =2，∴(x +1x )6展开式中含x 2的系数为C 62=15；令6−2r =4，解得r =1，∴(x +1x )6展开式中含x 4的系数为C 61=6；∴(x −34x)(x +1x)6展开式中x 3项的系数为1×15−34×6=212．故选D ．16.【答案】C【解析】解：(x 2−3x +2)4=(x −1)4⋅(x −2)4，a 7是展开式中x 7的系数，∴a 7=C 41⋅(−1)⋅C 40+C 40⋅C 41⋅(−2)=−4+(−8)=−12， 故选：C ．根据(x 2−3x +2)4=(x −1)4⋅(x −2)4，a 7是展开式中x 7的系数，利用二项展开式的通项公式，求得结果．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题． 17.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题． 把所给的式子利用二项式定理展开，可得展开式中无理项的系数． 【解答】解：(x −2)5(√x −1)4的展开式中的无理项由(√x −1)4的展开式的第二，第四项得到， 故系数和为(1−2)5[C 41(−1)1+C 43(−1)3]=8， 故选B ．18.【答案】B【解析】【分析】本题考查二项式定理及其性质，二项式系数的最大值的求法，属于中档． 先推出a =C2m m，b=C 2m+1m+1，13·C 2m m=7·C 2m+1m+1，13·(2m)！m ！m ！=7·(2m+1)！(m+1)！m ！，即可推出结论．【解答】解：(x +2y )2m 展开式中二项式系数的最大值为C 2m m ，∴a =C 2m m .同理，b =C 2m+1m+1.∵13a =7b ，∴13·C 2m m =7·C 2m+1m+1.∴13·(2m)！m ！m ！=7·(2m+1)！(m+1)！m ！=7·(2m+1)(2m )!(m+1)m!·m!， ∴7·2m+1m+1=13，解得m =6．故选B ．19.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．把所给的二项式变形，按照二项式定理展开，求出含x 5项的系数．【解答】解：(x +1)(x 2−x −2)3=(x +1)⋅(x +1)3⋅(x −2)3=(x +1)4⋅(x −2)3 =(x 4+4x 3+6x 2+4x +1)⋅(x 3−6x 2+12x −8)， 故含x 5项的系数为12−24+6=−6， 故选：A ．20.【答案】64【解析】解：由题意，将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，可得第1次全行的数都为1的是第2行，第2次全行的数都为1的是第4行，…， 由此可知全奇数的行出现在2n 的行数，即第n 次全行的数都为1的是第2n 行．126=27−2，故可得第128行全是1，那么第127行就是101010…101，第126行就是11001100…110011，11又126÷4=31+2，∴S 126=2×31+2=64， 故答案为：64将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，可得第1次全行的数都为1的是第2行，第2次全行的数都为1的是第4行，…，由此可知全奇数的行出现在2n 的行数，即第n 次全行的数都为1的是第2n 行．126=27−2，故可得．所以第128行全是1，那么第127行就是101010…101，第126行就是11001100…110011，问题得以解决． 本题考查的知识点是归纳推理，归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)． 21.【答案】1C n+21C n+1r+1C n+21C n+1r+1=1C n+11C nr【解析】【分析】本题考查了杨辉三角和合情推理(归纳、类比推理)． 这是一个考查类比推理的题目，解题的关键是仔细观察图中给出的莱布尼茨三角形，并从三解数阵中，找出行与行之间数的关系，探究规律并其表示出来． 【解答】解：类比观察得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数1C n+11，而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，所以类比式子C n r +C n r+1=C n+1r+1，有1C n+11C nr=1C n+21C n+1r +1C n+21C n+1r+1．故答案为1C n+21C n+1r+1C n+21C n+1r+1=1C n+11C nr ．22.【答案】2【解析】【分析】本题考查归纳推理，考查从特殊到一般的归纳推理能力，属于基础题．解题关键是通过已知广义杨辉三角形，得出(x 2+x +1)5展开式中各项的系数． 【解答】解：根据题意广义杨辉三角形为：因此(x 2+x +1)5展开式中x 7的系数为30，x 8的系数为15， 所以30a +15=75，解得a =2． 故答案为2．23.【答案】5；10【解析】【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，课本中的典型题目，套用公式解题时，易出现计算错误，二项式的考题难度相对较小，注意三基训练．显然展开式的各项系数之和就是二项式系数之和，也即n =5；将5拆分成“前3后2”恰好出现常数项，C 52=10． 【解答】解：∵展开式的各项系数之和为32 ∴2n =32解得n =5(x 2+1x 3)n 展开式的通项为T r+1=C 5r x10−5r 当r =2时，常数项为C 52=10．故答案为5；10．24.【答案】解：(1)图(3)共挖掉正三角形个数为1+3+3×3=13；…(4分)(2)设第n 次挖掉正三角形个数为a n ，则a 1=1，a 2=3，由已知，a n+1=3a n (6))从而a n =3n−1…(8分)第n 个图形共挖掉正三角形个数为a 1+a 2+⋯+a n =1+3+⋯+3n−1=3n −12，…(10分)这些正三角形面积为√34a 2[14a 1+(14)2a 2+⋯+(14)n a n ]=√316a 2[1+(34)+⋯+(34)n−1]=√34a 2[1−(34)n ].…(14分)【解析】(1)图(3)共挖掉正三角形个数为1+3+3×3=13；(2)求出a n =3n−1，即可得出结论．本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 25.【答案】解：∵(2x −1)5=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 5x 5， (1)∴令x =1，可得a 0+a 1+⋯+a 5=1 ①．(2)在(2x +1)5中，令x =1，可得|a 0|+|a 1|+⋯+|a 5|=35=243．(3)在(2x −1)5=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 5x 5，中，令x =−1，可得a 0−a 1+a 2−a 3+a 4−a 5=−243 ②，①−②可得2(a 1+a 3+a 5)=244，∴a 1+a 3+a 5=122．(4)①+②可得2(a 0+a 2+a 4)=−242，∴a 0+a 2+a 4=−121， ∴(a 0+a 2+a 4)2−(a 1+a 3+a 5)2=(−121)2−1222=−243．【解析】(1)在所给的等式中，令x =1，可得a 0+a 1+⋯a 5=1①； (2)在(2x +1)5中，令x =1，可得|a 0|+|a 1|+⋯+|a 5|的值． (3)在所给的等式中，令x =−1，可得a 0−a 1+a 2−a 3+a 4−a 5=−243②，①−②可得a 1+a 3+a 5的值．(4)①+②可得a 0+a 2+a 4的值，从而求得(a 0+a 2+a 4)2−(a 1+a 3+a 5)2的值．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．26.【答案】解：(1)依题意得 T r+1=C m r (12)r x r，r =0，1，…m ． 则a 0=1，a 1=m2，a 2=C m 2(12)2，由2a 1=a 0+a 2得m 2−9m +8=0可得m =1(舍去)，或m =8，所以(1+12x)m 展开式的中间项是第五项为：T 5=C 84(12x)4=358x 4；(2)(1+12x)m =a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+⋯+a m x m ，即(1+12x)8=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+⋯+a 8x 8． 令x =1则a 0+a 1+a 2+a 3+⋯+a 8=(32)8， 令x =−1则a 0−a 1+a 2−a 3+⋯+a 8=(12)8， 所以 a 1+a 3+a 5+a 7=38−12=20516，所以展开式中含x 的奇次幂的系数和为20516；(3)假设第r +1项的系数为T r+1=C 14r (12)r ，令{T r+1≥T rT r+1≥T r+2，解得：4≤r ≤5，所以展开式中系数最大项为T 5=100116x 4和T 6=100116x 5．【解析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质．注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，属于中档题．(1)由条件利用二项展开式的通项公式，求得a 0、a 1、a 2的值，再根据2a 1=a 0+a 2得到n 的值；(2)在所给的式子中，分别令x =1、x =−1得到2个式子，把这2个式子变形可得展开式中所有含x 奇次幂的系数和；(3)假设第r +1项的系数为T r+1=C 14r (12)r，令{T r+1≥T rT r+1≥T r+2，由此求得r 的范围，可得r 的值，从而求得系数最大项．27.【答案】解：(1)由题意，展开式二项式系数C n 0,C n 1,C n 2,C n 3,C n 4,…C n n 中，C n 4最大，故n =8．(2)设展开式中含1x 的为第r +1项，则T r+1=C 8r x8−r (2√x )r=C 8r (12)r x8−32r ， 令8−32r =−1，得r =6，所以展开式中1x 系数为C 86(12)6=716．【解析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．(1)利用二项式系数的性质求得n 的值．(2)在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于−1，求出r 的值，即可求得展开式中1x 的系数．28.【答案】解：(1)∵C n 2：C n 1=5：2， ∴n =6．(2)设(2x √x 3)n 的展开式的通项为T r+1，则T r+1=C 6r ⋅26−r ⋅3r ⋅x 6−43r ， 令6−43r =2得：r =3．∴含x 2的项的系数为C 6326−333=4320； (3)设展开式中系数最大的项为T r+1， 则{C 6r 26−r 3r ≥C 6r−126−r+13r−1C 6r 26−r 3r≥C 6r+126−r−13r+1, ∴r =4．∴展开式中系数最大的项为T 5=4860x 23．【解析】本题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质，求展开式中系数最大的项是难点，考查解不等式组的能力，属于中档题．(1)由C n 2：C n 1=5：2可解得n ；(2)设出其展开式的通项为T r+1，令x 的幂指数为2即可求得r 的值，进而得到含x 2的项的系数；(3)展开式中系数最大的项为T r+1，利用T r+1项的系数≥T r+2项的系数且T r+1项的系数≥T r 项的系数即可．29.【答案】解：(1)∵(x 2+1)(x −1)9=(x 2+1)(C 90x 9−C 91x 8+⋯+C 98x −C 99)=a0+a1x+a2x2+⋯+a11x11，∴a2=−C99−C97=−37.(2)展开式中的系数中，数值为正数的系数为a1=C98=9，a3=C96+C98=93，a5= C94+C96=210，a7=C92+C94=162，a9=C90+C92=37，a11=C90，故展开式中系数最大的项为210x5.(3)对(x2+1)⋅(x−1)9=a0+a1x+a2x2+⋯+a11x11两边同时求导得：(11x2−2x+9)(x−1)8=a1+2a2x+3a3x2+⋯+11a11x10，令x=1，得a1+2a2+3a3+4a4+⋯+10a10+11a11=0，所以(a1+3a3+⋯+11a11)2−(2a2+4a4+⋯+10a10)2=(a1+2a2+3a3+4a4+⋯+10a10+11a11)(a1−2a2+3a3−4a4+⋯−10a10 +11a11)=0．【解析】本题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质，突出等式两边同时求导与赋值的应用，考查运算能力，属于中档题．(1)由(x2+1)(x−1)9=(x2+1)(C90x9−C91x8+⋯+C98x−C99)=a0+a1x+a2x2+⋯+a11x11可求得a2；(2)依题意，求得展开式中的系数值为正数的所有项，即可得到答案；(3)对(x2+1)⋅(x−1)9=a0+a1x+a2x2+⋯+a11x11两边同时求导，再对x赋值1即可求得答案．30.【答案】解：(1)①令x=1，得a0+a1+a2+a3+a4=(3−1)4=16；(3分)②令x=−1，得a0−a1+a2−a3+a4=(−3−1)4=256，而由①知a0+a1+a2+a3+a4=(3−1)4=16，两式相加，得2(a0+a2+a4)=272，所以a0+a2+a4=136；(6分)③令x=0，得a0=(0−1)4=1，所以a1+a2+a3+a4=a0+a1+a2+a3+a4−a0=16−1=15；(2)S=C271+C272+⋯+C2727=227−1=89−1=(9−1)9−1=C90×99−C91×98+⋯+C98×9−C99−1=9×(C90×98−C91×97+⋯+C98)−2=9×(C90×98−C91×97+⋯+C98−1)+7，显然上式括号内的数是正整数．故S被9除的余数为7．【解析】(1)①利用赋值法，令x=1即可计算a0+a1+a2+a3+a4的值；②令x=−1，结合①即可求出a0+a2+a4的值；③令x=0，结合二项式系数和即可求出结果；(2)利用二项式系数和，把S分解为9的倍数形式，再求对应的余数．本题考查了利用赋值法求二项式系数的应用问题，也考查了整除的应用问题，是基础题目．31.【答案】解：(1)∵C n4+C n6=2C n5，∴n2−21n+98=0，∴n=7或n=14．当n=7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，且T 4的系数=C 73(12)423=352，T 5的系数=C 74(12)324=70．当n =14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8，且T 8的系数=C 147(12)727=3432． (2)由C n 0+C n 1+C n 2=79，可得n =12， 设T k+1项的系数最大．∵(12+2x)12=(12)12(1+4x)12，∴{C 12k 4k≥C 12k−14k−1C 12k 4k ≥C 12k+14k+1， ∴9.4≤k ≤10.4，∴k =10， ∴展开式中系数最大的项为T 11， 且T 11=(12)12C 1210410x10=16896x 10．【解析】本题考查二项展开式中特定项的系数，二项式定理的应用，等差数列的性质． (1)由题意可得C n 4+C n 6=2C n 5，求出n ，根据二项式系数最大的项为中间项，n 为奇数时，中间两项二项式系数相等；n 为偶数时，中间只有一项，可得答案；(2)由展开式前三项的二项式系数和等于79，可得关于n 的方程，求出n ，设T k+1项的系数最大，列不等式组，从而可得展开式中系数最大的项．32.【答案】解：(1)依题意得 T r+1=C n r (−12)r x r，r =0，1，…，n ． 则a 0=1，a 1=−n2，a 2=C n 2(−12)2=n(n−1)8，由2|a 1|=|a 0|+|a 2|得n 2−9n +8=0可得n =1(舍去)，或n =8．所以(1−12x)8展开式的中间项是T 5=C 84(−12x)4=358x 4．(2)(1−12x)n =a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+⋯+a n x n ，即(1−12x)8=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+⋯+a 8x 8，令x =1得a 0+a 1+a 2+a 3+⋯+a 8=(12)8，令x =−1得a 0−a 1+a 2−a 3+⋯+a 8=(32)8，两式相减得2(a 1+a 3+a 5+a 7)=1−3828，即a 1+a 3+a 5+a 7=1−3829=−20516，所以展开式中含x 的奇次幂的系数和为−20516．(3)∵(1−1x)8=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+⋯+a 8x 8，两边求导得：−4(1−12x)7=a 1+2a 2x +3a 3x 2+⋯+8a 8x 7，令x =1得 a 1+2a 2+3a 3+⋯+8a 8=−4(12)7=−132．【解析】(1)由条件利用二项展开式的通项公式，等差数列的性质，求得n 的值，可得展开式的中间项．(2)在所给的等式中，分别令x =1，x =−1，再把它们相加，可得展开式中含x 的奇次幂的系数和． (3)在所给的等式中，两边分别对x 求导数，再令x =1，可得a 1+2a 2+3a 3+⋯+na n 的值．本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，等差数列的性质，求函数的导数，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题． 33.【答案】解：各项系数和为a 0+a 1+⋯+a 10，奇数项系数和为a 0+a 2+⋯+a 10，偶数项系数和为a 1+a 3+a 5+⋯+a 9， x 的奇次项系数和为a 1+a 3+a 5+⋯+a 9，x 的偶次项系数和a 0+a 2+a 4+⋯+a 10．(1)二项式系数和为C 100+C 101+⋯+C 1010=210．(2)令x =y =1，各项系数和为(2−3)10=(−1)10=1．(3)奇数项的二项式系数和为C 100+C 102+⋯+C 1010=29， 偶数项的二项式系数和为C 101+C 103+⋯+C 109=29．(4)因为(2x −3y)10=a 0x 10+a 1x 9y +a 2x 8y 2+⋯+a 10y 10 令x =y =1，得到a 0+a 1+a 2+⋯+a 10=1 ① 令x =1，y =−1，得a 0−a 1+a 2−a 3+⋯+a 10=510 ② ①+②得2(a 0+a 2+⋯+a 10)=1+510， ∴奇数项的系数和为1+5102；①−②得2(a 1+a 3+⋯+a 9)=1−510， ∴偶数项的系数和为1−5102．(5)x 的奇次项系数和为a 1+a 3+a 5+⋯+a 9=1−5102；x 的偶次项系数和为a 0+a 2+a 4+⋯+a 10=1+5102．【解析】本题考查二项式系数的性质，考查了利用特值法求二项展开式中项的系数，是中档题．由(2x −3y)10=a 0x 10+a 1x 9y +a 2x 8y 2+⋯+a 10y 10得各项系数和为a 0+a 1+⋯+a 10，奇数项系数和为a 0+a 2+⋯+a 10，偶数项系数和为a 1+a 3+a 5+⋯+a 9，x 的奇次项系数和为a 1+a 3+a 5+⋯+a 9，x 的偶次项系数和a 0+a 2+a 4+⋯+a 10.可用“赋值法”求出相关的系数和．34.【答案】解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C n 0，12C n 1，14C n 2， 由已知得2×12C n 1=C n 0+14C n 2，解得n =8(n =1舍去)，所以二项式系数的最大项为C 84(√x ×2√x4)4=358x ；(2)设第r +1项的系数T r+1最大，显然T r+1>0，故有T r +1T r≥1且T r +2Tr +1≤1，∵T r+1T r =C8r·2−rC8r−1·2−r+1=9−r2r，由9−r2r≥1，得r≤3．又∵T r+2T r+1=C8r+1·2−r−1C8r·2−r=8−r2(r+1)，由8−r2(r+1)≤1，得r≥2．所以系数最大项为第3项T3=7x52和第4项T4=7x74．【解析】本题考查二项式定理的应用及等差数列的性质，考查组合数的计算公式，二项展开式的通项公式，关键是掌握二项展开式的通项公式．(1)由等差数列的性质求出n=8；(2)设第r+1项的系数T r+1最大，显然T r+1>0，故有T r+1T r ≥1且T r+2T r+1≤1，由此可得展开式中系数最大的项．35.【答案】解：(1)在(1−2x)2018=a0+a1x+⋯+a2018x2018,x∈R中，令x=0，a=1；(2)令x=1，则a+a 1+a 2+⋯+a 2018=(1−2)2018=1；(3)令x=−1，则|a0|+|a1|+⋯+|a2018|=a0−a1+a2−⋯+a2018=32018．【解析】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，考查二项式定理的应用，属于中等题.根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求出结果．36.【答案】解：∵由题意，第五项系数和第三项系数分别为：C n4(−2)4,C n2(−2)2，∴C n4(−2)4C n2(−2)2=101，∴化简得n2−5n−24=0，∴解得n=8或n=−3(舍去)，(1)∵令x=1，∴得各项系数和为(1−2)8=1；(2)∵通项公式为T r+1=C8r(√x)8−r·(−2x2)r ，=(−2)r C8r·x4−52r，∴令4−52r=32，∴r=1，∴展开式中含x32的项为T2=−16x32．【解析】本题考查了二项式定理的运用，关键是利用已知求出指数后，找出二项式的展开式通项，根据x 的指数求特征项．通过展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1得到n 值．(1)令x =1，得到各项系数和为(1−2)8=1；(2)由通项得到T r+1=(−2)r C 8r·x 4−52r ，得到r =1，从而得到特定项．37.【答案】解：(1)令x =1可得a 0+a 1+a 2+⋯+a 7=(1−2)7=−1， 令x =0可得，a 0=1，所以a 1+a 2+⋯+a 7=−1−1=−2．(2)令x =1可得，a 0+a 1+a 2+⋯+a 7=−1.①令x =−1可得，a 0−a 1+a 2−a 3+a 4−a 5+a 6−a 7=37.② ①−②得2(a 1+a 3+a 5+a 7)=−1−37， 所以a 1+a 3+a 5+a 7=−1+372=−1094．(3)由展开式知a 1，a 3，a 5，a 7均为负，a 0，a 2，a 4，a 6均为正， 所以由(2)中①+②得2(a 0+a 2+a 4+a 6)=−1+37， 所以a 0+a 2+a 4+a 6=−1+372=1093，所以|a 0|+|a 1|+⋯+|a 7|=a 0−a 1+a 2−a 3+a 4−a 5+a 6−a 7 =(a 0+a 2+a 4+a 6)−(a 1+a 3+a 5+a 7)=37=2187．【解析】本题考查二项展开式的应用，属于中档题． (1)将x =0和x =1代入求解． (2)令x =1，x =−1，作差求解． (3)由展开式知a 1，a 3，a 5，a 7均为负，a 0，a 2，a 4，a 6均为正，由(2)得a 1+a 3+a 5+a 7=−1+372=−1094；又a 0+a 2+a 4+a 6=−1+372=1093，可得结果．38.【答案】解：(1)∵二项式(√x 3√x)n 的展开式中的常数项为第五项．∴T 5=C n 4(√x 3)n−4(√x)4=2n−4C n 4x2+4−n3，令2+4−n 3=0，解得n =10；(2)令x =1，则310=A ，∴√A 10=3；(3)T r+1=C 10r (√x 3)10−r (√x)r =210−r C 10r x 5r 6−103，设第r +1项系数最大，则有：210−r C 10r ≥211−r C 10r−1，且210−r C 10r≥29−r C 10r+1， 化简得83≤r ≤113，解得r =3．∴展开式中系数最大的项是：T 4=C 10327x −56=15360x −56．【解析】本题考查了二项式定理的通项公式性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)二项式(√x 3√x)n 的展开式中的常数项为第五项．可得T 5=C n 4(√x3)n−4(√x)4=2n−4C n 4x2+4−n3，令2+4−n 3=0，解得n ；(2)令x =1，则310=A ，可得√A 10； (3)T r+1=C 10r (x 3)10−r(√x)r =210−r C 10r x 5r 6−103，设第r +1项系数最大，则有：210−r C 10r ≥211−r C 10r−1，210−r C 10r≥29−r C 10r+1，解得r 即可得出．39.【答案】解：∵T r+1=C 7r x7−r(−m)r ,0≤r ≤7,r ∈Z ， ∴C 73(−m)3=−35，∴m =1．(1)令x =1时，a 0+a 1+a 2+⋯+a 7=(1−1)7=0，① 令x =0时，a 0=(−1)7=−1． ∴a 1+a 2+⋯+a 7=1．(2)令x =−1时，a 0−a 1+⋯−a 7=(−1−1)7=−27.② (①−②)/2得a 1+a 3+a 5+a 7=26．【解析】由T r+1=C 7r x 7−r (−m)r ,0≤r ≤7,r ∈Z ，可得C 73(−m)3=−35，m =1．(1)令x =1时，a 1+a 2+⋯+a 7=(1−1)7=0，令x =0时，a 0=(−1)7=−1，即可得出．．(2)令x =−1时，a 0−a 1+⋯−a 7=(−1−1)7=−27.又a 0+a 1+a 2+⋯+a 7=(1−1)7=0，即可得出．本题考查了二项式定理、方程的思想，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．。

《二项式有关系数问题》进阶练习一、选择题.若多项式（）…（）（），则…（）.已知(＋)(＋)的展开式中的系数为，则＝()．.－ .－ .－ .－.对任意实数，都有（）（）（）（）…（），则（）. . . .二、填空题.若（）…，则… ．三、解答题.已知（）展开式的二项式系数之和为．（）求；（）若展开式中常数项为，求的值；（）若（）展开式中系数最大项只有第项和第项，求的取值情况．参考答案.解：（）二项式系数之和为，可得．（）设常数项为第项，则，故，即，则，解得．（）易知＞，设第项系数最大．则化简可得．由于只有第项和第项系数最大，所以，即，所以只能等于．.解：令，可得…①，再令，可得…②，由①②可得…．在原来等式中观察的系数，左边为，右边为，所以，∴…，故选．分别令，，可得…；再由，可得…的值．本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于中档题．. 因为(＋ )的二项展开式的通项为(≤ ≤，∈)，则含的项为＋·＝(＋ ) ，所以＋＝，＝－..解：∵，∴．在已知等式中，令，则…；令，则…．两式相减得，，故选：．先求得的值，根据所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，变形求得所求式子的分子，从而求得所求式子的值．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．.解：在（）…中，显然，．令，可得…，∴…，故答案为：．由题意可得，在所给的等式中，令，即可求得…的值．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．.（）根据二项式系数之和为，可得的值．（）二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于，求得的值，即可求得展开式中的常数项，再根据常数项为，求得的值．（）易知＞，设第项系数最大．则，化简，根据只有第项和第项系数最大，求得的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．。

二项式定理练习题一、单选题A．252B．426二、多选题5．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（）A ．由“在相邻两行中，除1以外的每个数都等于它肩上的两个数字之和”猜想11C C C r r rn n n-+=+B ．由“第n 行所有数之和为2n ”猜想：012C C C C 2n n n n n n +++⋅⋅⋅+=C ．第20行中，第10个数最大D ．第15行中，第7个数与第8个数的比为7：9四、单空题五、双空题二项式定理练习题一、单选题【答案】B【分析】根据二项式系数的性质分析求解.【详解】二项式612x ⎫⎪⎭的展开式共有7项，则二项式系数最大的是第4项.故选：B.2．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记n a 为图中所选数1,1,2,3,6,10,20, 1，构成的数列{}n a 的第n 项，则12a 的值为（）A ．252B ．426C ．462D ．924【答案】C式的二项式系数的性质，即可求解【分析】根据题意，结合数字的构成规律，得到a 12即第11行的第6项，结合二项展开.【详解】由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记n a 为图中所选数1,1,2,3,6,10,20, ，构成的数列{}n a 的第n 项，根据数字的构成规律，可得数列的奇数项为每行数列的2n项，偶数项为每行的第12n +项，则12a 即第11行的第11162+=项，结合二项展开式的二项式系数的性质，可得61211C 462a ==.故选：C.【答案】C【分析】利用二项展开式通项即可得解.【详解】8141x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为418C r r r T x +=，0,1,2,,8r = ，当0,4,8r =时，159,,T T T 为有理项，故3m =.故选：C.4．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a ，b ，m ()0m >均为整数，若a 和b 被m 除得的余数相间，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡，如9和21被6除得的余数都是3，则记()921mod 6≡.若()mod10a b ≡，且0122202020202020C C 2C 2C 2a =+⋅+⋅++⋅ ，则b 的值可以是（）A ．2019B ．20C ．2021D ．2022【答案】C【分析】确定()10203101a ==-，展开计算得到()1mod10a ≡，对比选项得到答案.【详解】()()201001222020201020202020C C 2C 2C 21239101a =+⋅+⋅++⋅=+===- ，()100101991010101010101C 10C 10C 10C -=⋅-⋅+-⋅+ ，故()1mod10a ≡，依次验证选项知()20211mod10≡，故选：C.二、多选题5．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（）A ．由“在相邻两行中，除1以外的每个数都等于它肩上的两个数字之和”猜想11C C C r r rn n n-+=+B ．由“第n 行所有数之和为2n ”猜想：012C C C C 2n n n n n n +++⋅⋅⋅+=C ．第20行中，第10个数最大D ．第15行中，第7个数与第8个数的比为7：9【答案】ABD【分析】对于A 选项，根据“杨辉三角”的规律进行判断即可；对于B 选项，根据二项式系数之和的性质进行计算即可；对于C 选项，第20行的数为()20C 0,1,2,,20ii =⋅⋅⋅，进而求解其最大项即可；对于D 选项，根据规律找到第7、8个数，直接计算即可.【详解】对于A 选项，由“杨辉三角”的规律可得A 正确；对于B 选项，由二项式系数的性质知012C C C C 2n nn n n n +++⋅⋅⋅+=，B 正确；第20行的数是()20C 0,1,2,,20ii =⋅⋅⋅，最大的1020C 是第11个数，C 错误；第15行中，第7个数与第8个数分别是615C 和715C ，615615771515A C 76!A C 97!==，D 正确.故选：ABD.【答案】AD【分析】利用赋值法解决，对于A ：通过给x 赋值0和1即可作出判断；对于B 和C ：通过给x 赋值1和1-，得到两个等式作差得到结果，进而作出判断；对于D ：2202120211212202122021111222222a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+++=⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，通过给x 赋值12得到结果即可作出判断.【详解】由题意，当0x =，2021011a ==，当1x =时，202101232021(1)1a a a a a +++++=-=- ；A 正确；当=1x -时，2021012320213a a a a a -+-+-= ，所以20211352021312a a a a +++++=- ，20210242020312a a a a -++++= ，BC 错误；2202120211212202122021111222222a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+++=⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当12x =时，2202101220211110222a a a a ⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2202112202101111222a a a a ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯++⨯=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．D 正确.故选：AD ．【答案】960【分析】根据二项式定理求出展开式中的第8项，由此即可求解．【详解】因为，()1021x +展开式的第8项为()37310C 2960=x x ，所以，()1021x +的展开式的第8项的系数为960.故答案为：960【答案】4或4【分析】根据二项展开式的通项公式结合二项式系数运算求解.【详解】因为()1sin nx +的展开式的通项公式为()1C 1sin C sin ,0,1,2,,rr n r r rr n n T x x r n -+=⨯⨯==⋅⋅⋅，令1=-r n ，可得111C sin sin n n n n n T x n x ---==⋅；令r n =，可得1C sin sin n n nn n T x x +==；由题意可得：19n +=，解得8n =，所以二项式系数最大的为第5项，则4445835C sin 70sin 2T x x ===，且()0,πx ∈，则sin 0x >，可得sin x =所以π4x =或3π4x =.故答案为：π4或3π4.【答案】240【分析】利用二项式展开式的通项公式求解即得.【详解】二项式61(x -的展开式通项为36621661C ()((2)C ,N,6r r r r r rr T xr r x --+=-=-∈≤，由3602r -=，得4r =，所以所求常数项为4456(2)C 1615240T =-=⨯=.故答案为：240【答案】3【分析】利用二项式展开式的通项公式及给定的常数项求出a 值.【详解】52()x x +的展开式的通项5521552C ()2C (0,1,2,3,4,5)r r r r r rr T x x r x--+===，令521r -=-得3r =，令520r -=，无解，所以52(2)()ax x x-+的展开式中的常数项为3352C 80240a a ⋅==，所以3a =.故答案为：3【答案】2或2-【分析】分别令0x =和2x =-可得系数的和与奇数项与偶数项系数的差，进而利用平方差公式整体代入可得关于m 的方程，求解即可.【详解】在()()()()20232202301220231111x m a a x a x a x ++=+++++++L 中，令0x =得()202301220231m a a a a +=++++L ，令2x =-得()2023012320231m a a a a a -+=-+-+-L ，所以()()2220230220221320233a a a a a a +++-+++=L L ()0123202301232023()a a a a a a a a a a =-+-+-+++++ ()()()202320232023220231113m m m =+-+=-=，所以213m -=，实数m 的值为2±,故答案为：2±.【答案】82【分析】用二项式定理展开，注意合并相反项再求和.【详解】(554321001122334455555551C 1C 1C 1C 1C 1C 1=+++++((((((5543210011223344555555551C 1C 1C 1C 1C 1C 1=+++++可得两式和的结果为82，故答案为：82【答案】8【分析】令1,2x y =-=，可得答案.【详解】注意到()()()()3232248112122a b c d a b c d -+-+=⋅-+⋅-⨯+⋅-⨯+⋅.又33223(106)x y ax bx y cxy dy +=+++，则248a b c d -+-+=()3101628⎡⎤⨯-+⨯=⎣⎦.故答案为：8【答案】16【分析】根据二项式展开式结合其常数项组成形式即可得到答案.【详解】因为)61展开式的通项为()()662166C1C 1r rrrr r r T x--+=-=-，06,N r r ≤≤∈，)6111x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项由两项构成，即()6661C 11⨯-=与()24461C 115x⨯⨯-=，所以)6111x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为11516+=.故答案为：16.15．在2nx ⎫⎪的二项式中，所有的二项式系数之和为64，则各项的系数的绝对值之【答案】729/63【分析】根据二项式系数之和求出n 的值，进而设出各项的系数，然后采用赋值法即可求得答案.【详解】由题意2nx ⎫⎪⎭的二项式中，所有的二项式系数之和为64，即264,6n n =∴=，设62x ⎫⎪⎭的各项的系数为0126,,,,a a a a ，则各项的系数的绝对值之和为0126||||||||a a a a ++++ ，即为62x ⎫⎪⎭中各项的系数的和，令1x =，660126||||||||(12)3a a a a ++++=+= ，即各项的系数的绝对值之和为63729=，故答案为：729【答案】270【分析】利用二项式定理计算即可.【详解】令()5523211332322a x x a a x ⎛⎫=⇒+=+=⇒=- ⎪⎝⎭，则()552233233a x x x x -⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，设()5233x x --的通项为()()()5235102355C 3C 31rrrrrr r r r T x x x -----=-=⋅⋅-⋅，当2r =时，()55C 311027270rrr -⋅⋅-=⨯=，即展开式中的常数项为270.故答案为：270【答案】35-【分析】由条件利用二项式定理，分类讨论求得5221x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中x 项的系数.【详解】5221x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭表示5个因式221x x -+的乘积，在这5个因式中，有1个因式选x ，其余4个因式选1，相乘可得含x 的项；或者有3个因式选x ，1个因式选22x-，1个因式选1，相乘可得含x 的项；故x 项的系数为：()1431154521C C C C 2C 35⨯+⨯⨯-⨯=-.故答案为：35-.【答案】4【分析】由二项展开式通项公式可确定04,a a ，可构造关于n 的方程，解方程求得结果.【详解】()12nx -展开式的通项公式为：()C 2rr n x -，分别令0,4r r ==，01a ∴=，4416C n a =，则0417a a +=，即4116C 17n +=，解得：4n =.故答案为：4.【答案】10【分析】利用二项式展开式的通项公式计算即可．【详解】由522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为5535522C C 2kk k kk k x x x --⎛⎫⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，0,1,,5k = ，令532k -=，得1k =，所以展开式中2x 的系数为115C 210⨯=．故答案为：10．五、双空题【答案】1-364【分析】通过赋值的思路计算即可.【详解】令0x =得，()6011a -==；令1x =得，65432101a a a a a a a =++++++，令=1x -得，6543210729a a a a a a a =-+-+-+，两式相减得，()5317282a a a -=++，解得531364++=-a a a .故答案为：1；-364.。

二项式定理训练一、单选题（共15题；共30分）1.的展开式中的系数为（）A. 1B. 9C. 10D. 112．在(32x－12)20的展开式中，系数是有理数的项共有()A．4项B．5项C．6项D．7项3.设复数（是虚数单位），则（）A. iB.C.D.4.展开式中常数项为( )A. B. C. D.5.若的展开式中第6项和第7项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是( )A. 792B. -792C. 330D. -3306.的展开式中第5项的二项式系数是（）A. B. C. D.7.的展开式的常数项是（）A. -3B. -2C. 2D. 38.已知，则（）A. B. C. 1 D. 29.若且，则实数（）A. 1或-3B. 1或3C. -3D. 110.若且，则实数m的值为（）A. 1或﹣3B. ﹣1C. ﹣3D. 111.的展开式中的的系数为（）A. 1B.C. 11D. 2112.设，且，若能被100整除，则等于（）A. 19B. 91C. 18D. 8113.展开式中的系数为（）A. B. C. D.14.二项式的展开式中含项的系数为（）A. 60B. 120C. 240D. 48015.将多项式分解因式得，则（）A. 20B. 15C. 10D. 0二、填空题（共13题；共13分）16.在的二项式中，常数项等于________（结果用数值表示）.17.“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图所示，去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前46项和为________.18.在的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于________.19.已知的展开式中项的系数是-35，则________.20.展开式中的常数项是________(用数字作答)21.的展开式中项的系数为________．22.已知的展开式中，二项式系数和为，各项系数和为，则________．23.的展开式中，的系数是________．（用数字填写答案）24.若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是________．25.若展开式中含项的系数与含项的系数之比为-4，则________．26.的展开式中常数项为________.27.若的展开式中x4的系数为7，则实数a＝________．28.已知的展开式的所有项系数的和为192，则展开式中项的系数是________.三、多选题（共1题；共3分）29.对于二项式，以下判断正确的有（）A. 存在，展开式中有常数项；B. 对任意，展开式中没有常数项；C. 对任意，展开式中没有的一次项；D. 存在，展开式中有的一次项.四、解答题（共9题；共85分）30.已知5名同学站成一排，要求甲站在中间，乙不站在两端，记满足条件的所有不同的排法种数为. （I）求的值；（II）求的展开式中的常数项.31.已知展开式中的倒数第三项的系数为45，求：（1）含的项；（2）含的项；（3）系数最大的项．（4）系数最大的项．32.已知的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是．（Ⅰ）求展开式中各项二项式系数的和；（Ⅱ）求展开式中中间项．33.若，且.（Ⅰ）求实数的值;（Ⅱ）求的值.34.已知的第五项的二项式系数与第三项的二项式系数的比是.（1）求；（2）求；（3）求展开式中有理项．（4）求展开式中有理项．35.已知二项式.（1）求展开式第4项的二项式系数.（2）求第4项.36.若.求：（1）；（2）；（3）.37.已知的展开式前三项中的系数成等差数列．（1）求的值和展开式系数的和；（2）求的值和展开式系数的和；（3）求展开式中所有的有理项．（4）求展开式中所有的有理项．38.设展开式中仅有第1010项的二项式系数最大. （1）求；（2）求；（3）求；（4）求；（5）求.（6）求.答案解析部分一、单选题 1.【答案】 D【考点】二项式系数的性质 【解析】【解答】因为 展开式中含项的系数为,含项的系数为,乘以后含项的系数为，故答案为：D.【分析】求出的展开式中和项的系数，乘以， 即可得到展开式中 的系数 .2.【答案】 A解析：T r ＋1＝C r20(32x )20－r (－12)r ＝(－22)r ·(32)20－r C r 20·x20－r . ∵系数为有理数，∴(2)r 与20r32均为有理数，∴r 能被2整除，且20－r 能被3整除． 故r 为偶数，20－r 是3的倍数，0≤r ≤20， ∴r ＝2,8,14,20. 3.【答案】 D【考点】二项式系数的性质 【解析】【解答】，，故答案为：D.【分析】根据复数的除法运算求出x ，逆用二项式定理的，即可求出式子的值. 4.【答案】 D【考点】二项式系数的性质 【解析】【解答】解:，令得展开式中常数项为，故答案为：D.【分析】根据二项式展开式的通项，令x 的次数为0，求出r ，即可得到展开式的常数项.5.【答案】C【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【解答】因为的展开式中第6项和第7项的二项式系数最大，所以通项为，令得所以展开式中含项的系数是故答案为：C.【分析】利用二项式定理求出展开式中通项公式，再利用通项公式求出二项式系数，再利用的展开式中第6项和第7项的二项式系数最大，所以，从而求出r的值，进而求出展开式中含项的系数。

重庆永川区萱花中学2020-2021学年高三政治月考试题含解析一、选择题（共28小题，每小题2分，共56分。

在每小题的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1. 美国三权分立的阶级局限性和消极作用主要表现在①美国的三权分立与权力制衡是资本主义民主制度的一项原则②美国的三权分立是协调资产阶级内部权力分配的一种机制，③三权分立导致的一个必然结果是三大权力机关之间相互扯皮，效率低下④三权分立原则即使在美国也难以在政治实践中真正贯彻Ａ．②③Ｂ．①②③Ｃ.②③④Ｄ.①②③④参考答案：C2. 某市有个大型企业因经营管理不善停产了，有人竟将这座废弃的工厂廉价租下来进行改装，变成了吸引无数游客参观、休闲、欣赏艺术的新天地，由此带来良好效益。

人们这种处理方式变化的哲学依据在于（）①观念创新可以促进事物价值的转换与创造②观念创新为事物价值转换提供了根本途径③事物价值转换取决于人的认识的发展④事物价值的转换依赖于事物属性的多样性A．①② B．②③ C．①④ D．③④参考答案：C3. 近两年来，政务公开、开门立法，政府在公开中走向民主；重大问题集体决策制度、专家咨询制度、社会公示制度、听证制度、决策责任制度，使政府的决策更加透明，公众参与度大大提高。

这表明①人民民主专政的本质就是人人当家作主②人民民主意识和执政能力增强③社会主义民主政治建设不断深入发展④社会主义民主具有真实性和广泛性A．②④ B．①③C．②③D．③④参考答案：D4. 为了特别的“萝卜”而“量身定做”招聘的“坑”，被称为“萝卜招聘”。

右侧漫画就体现了这一现象。

为防止此类问题发生，从根本上规范政府权力运行，就必须（）A．加快简政放权，限制政府权力的行使B．坚持执政为民，保障人民的各项权益C．做到公正司法，依法制裁“萝卜招聘”D．健全监督体系，让权力在阳光下运行参考答案：D【考点】对政府权力进行制约和监督．【分析】本题考查：对政府权力进行制约和监督（1）必要性：权力是把双刃剑．政府权力运用得好，可以造福人民；权力一旦被滥用，就会滋生腐败，贻害无穷．为了防止权力的滥用，需要对权力进行制约和监督；（2）措施：对政府权力进行监督的关键是建立健全行政监督体系，这个体系，一靠民主，二靠法制；（3）意义：政府接受监督是坚持依法行政、做好工作的必要保证．政府只有接受监督才能做出正确的决策；提高行政水平和工作效率，防止和减少工作失误；防止滥用权力，保证清正廉洁；才能真正做到权为民所用，造福于人民，建立起一个具有威信的政府．【解答】A．不符合题意，规范政府的权力并不是限制政府的权力；B．不符合题意，执政的主体是党不是政府；C．不符合题意，司法的主体是司法机关，不是政府；D．符合题意，规范权力运行就要健全监督体系，让权力在阳光下运行．故本题选D5. 微软公司从2008年10月20日起，正式对盗版XP用户强制实施正版验证和“黑屏”提示。

⾼中数学⼆项式定理经典练习题专题训练（含答案）⾼中数学⼆项式定理经典练习题专题训练姓名班级学号得分说明：１、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（⾮选择题）两部分。

满分100分。

考试时间90分钟。

２、考⽣请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。

考试结束后，只收第Ⅱ卷第Ⅰ卷（选择题）⼀．单选题（每题,3分，39分）1．已知在的展开式中，第6项为常数项，则n为（）A．10B．9C．8D．72、的展开式中第三项的系数是（）A．B．C．15D．3、的展开式中常数项是（）A．14B．-14C．42D．-424．设a=cos2xdx，则（a-）6展开式中含x2项的系数是（）A．-192B．-190C．192D．1905．在（x-1）6的⼆项展开式中，x3的系数是（）A．-20B．20C．15D．-156．在的⼆项展开式中，x2的系数为（）A．B．C．D．7．在（1-2x）（1+x）5的展开式中，x3的系数是（）A．20B．-20C．10D．-108．在⼆项式（）n的展开式中，各项系数之和为M，各项⼆项式系数之和为N，且M+N=64，则展开式中含x2项的系数为（）A．-90B．90C．10D．-109、展开式中含x项的系数是（）A．-28B．28C．-56D．5610．（x-1）10展开式中系数最⼤的项是（）A．第五项和第六项B．第六项C．第五项和第七项D．第四项和第七项11．在（ax-1）6的⼆项展开式中，若中间项的系数是160，则实数a的值为（）A．2B．C．D．-212．若（1+x）n=1+6x+15x2+20x3+15x4+6x5+x6，则n等于（）A．4B．5C．6D．713．设a=，则⼆项式的展开式中的常数项为（）A．120B．-120C．-240D．240第Ⅱ卷（⾮选择题）⼆．填空题（14-25题，每题3分，26-30题5分，共61分）14．已知（x2-）n）的展开式中第三项与第五项的系数之⽐为，则展开式中常数项是______．15．已知的展开式中x3的系数为，则x3的⼆项式系数为______，常数a的值为______．16．（x2-）5展开式中的常数项为______．17．（1+2x）3（1-x）4展开式中x2的系数为______．18、的展开式中x的系数是______．19．f（x）是（1-2x）6展开式的第五项，则f（x）=______，所有⼆项式系数的和为______．20、的展开式中的第四项是______．21．（x-）4的展开式中的常数项为______．22、的展开式中x2的系数为______．23．若（2x2-）n（n∈N×）展开式中含有常数项，则n的最⼩值是______．24．⼆项式（2-）6展开式中常数项是______．25．设a=（cosx-sinx）dx，则⼆项式（x2+）6展开式中不含x6项的系数和是______．26．（x+）9展开式中x3的系数是______．（⽤数字作答）27．已知（-x2+6x-9）n的展开式中所有的项的系数的和为16，则展开式中的常数项为______．28．（1-）4展开式中的系数是______．29．在的展开式中，x2的系数为______（⽤数字作答）．30．⼆项式的展开式中，x3项的系数为______．参考答案⼀．单选题（共__⼩题）1．已知在的展开式中，第6项为常数项，则n为（）A．10B．9C．8D．7答案：A解析：解：∵在的展开式中，第6项为??为常数项，则n=10，故选：A．2、的展开式中第三项的系数是（）A．B．C．15D．答案：B解析：解：的展开式中第三项是故第三项的系数15×=故选B3、的展开式中常数项是（）A．14B．-14C．42D．-42答案：A解析：解：展开式的通项为=令得r=6故常数项为2C76=14故选A4．设a=cos2xdx，则（a-）6展开式中含x2项的系数是（）A．-192B．-190C．192D．190答案：A解析：解：∵，∵f（-x）=f（x）∴f（x）为偶函数，故∵=∴⼜∴a=cos2xdx=2∵==由⼆项式定理得展开式中含有x2的项为：∴展开式中x2的系数为-192故选A．5．在（x-1）6的⼆项展开式中，x3的系数是（）A．-20B．20C．15D．-15答案：A解析：解：设（x-1）6的⼆项展开式的通项为T r+1，则T r+1=?x6-r（-1）r，令6-r=3得r=3，∴x3的系数是（-1）3?=-20．故选A．6．在的⼆项展开式中，x2的系数为（）A．B．C．D．答案：B解析：解：⼆项式的⼆项展开式的通项公式为=T r+1=??=（-1）r??32r-6?．令x的系数=2，解得=r=1，故x2的系数为-1×6×=-，故选B．7．在（1-2x）（1+x）5的展开式中，x3的系数是（）A．20B．-20C．10D．-10答案：D解析：解：在（1-2x）（1+x）5的展开式中，x3的系数是=1×+（-2）?=-10，故选D．8．在⼆项式（）n的展开式中，各项系数之和为M，各项⼆项式系数之和为N，且M+N=64，则展开式中含x2项的系数为（）A．-90B．90C．10D．-10答案：A解析：解：∵⼆项式（）n的展开式中，令x=1得：各项系数之和M=2n，⼜各项⼆项式系数之和为N，故N=2n，⼜M+N=64，∴2×2n=64，∴n=5．设⼆项式（）5的展开式的通项为T r+1，则T r+1=?35-r?（-1）r?，令-（5-r）+r=2得：r=3．∴展开式中含x2项的系数为?（-1）3?35-3=-90．故选A．9、展开式中含x项的系数是（）A．-28B．28C．-56D．56答案：B解析：解：展开式的通项为令解得r=2故展开式中含x项的系数是C82=28；故选B．10．（x-1）10展开式中系数最⼤的项是（）A．第五项和第六项B．第六项C．第五项和第七项D．第四项和第七项答案：C解析：解：由于（x-1）10展开式的通项公式为?x10-r?（-1）r，故当r=4，或r=6时，展开式中系数最⼤为，即第五项和第七项得系数最⼤，故选C．11．在（ax-1）6的⼆项展开式中，若中间项的系数是160，则实数a的值为（）A．2B．C．D．-2答案：D解析：解：在（ax-1）6的⼆项展开式中，中间项是第四项，由通项公式求得中间项的系数是?a3?（-1）3=160，∴a=-2，故选D．12．若（1+x）n=1+6x+15x2+20x3+15x4+6x5+x6，则n等于（）A．4B．5C．6D．7答案：C解析：解：∵（1+x）n=1+6x+15x2+20x3+15x4+6x5+x6，∴n=6．故选C．13．设a=，则⼆项式的展开式中的常数项为（）A．120B．-120C．-240D．240答案：D解析：解：∵a==（x3-x2）=4-0=4，则⼆项式=的通项公式为T r+1=?（-1）r?46-r?x12-3r，令12-3r=0，求得=r=4，可得展开式中的常数项为?42=210，故选：D．⼆．填空题（共__⼩题）14．已知（x2-）n）的展开式中第三项与第五项的系数之⽐为，则展开式中常数项是______．答案：45解析：解：第三项的系数为C n2，第五项的系数为C n4，由第三项与第五项的系数之⽐为可得n=10，则T i+1=C10i（x2）10-i（-）i=（-1）i C10i=，令40-5r=0，解得r=8，故所求的常数项为（-1）8C108=45，故答案为：45．15．已知的展开式中x3的系数为，则x3的⼆项式系数为______，常数a的值为______．答案：841解析：解：设的展开式的通项为T r+1，则T r+1=?a9-r??x-（9-r）+r，令2r-9=3，解得r=6，∴x3的⼆项式系数为==84；⼜的展开式中x3的系数为，∴×a3×84=，∴a3=1，∴a=1．故答案为：84，1，116．（x2-）5展开式中的常数项为______．答案：40解析：解：（x2-）5展开式中的通项公式为=T r+1=?x10-2r?（-2）r?x-3r=（-2）r??x10-5r，令10-5r=0，r=2，故展开式的常数项为=4?=40，故答案为=40．17．（1+2x）3（1-x）4展开式中x2的系数为______．答案：-6解析：解：∵（1+2x）3（1-x）4展开式中x2项为C3013（2x）0?C4212（-x）2+C3112（2x）1?C4113（-x）1+C3212（2x）2?C4014（-x）0∴所求系数为C30?C42+C31?2?C41（-1）+C32?22?C4014=6-24+12=-6．故答案为：-6．18、的展开式中x的系数是______．答案：-4解析：解：∵=（1-x）4，它的展开式的通项公式为=T r+1=?（-x）r，令r=1，可得展开式中x的系数是-4，故答案为-4．19．f（x）是（1-2x）6展开式的第五项，则f（x）=______，所有⼆项式系数的和为______．答案：240x464解析：解：（1-2x）6展开式的第五项为?（-2x）4=240x4，∴f（x）=240x4．所有⼆项式系数的和为=2n=26=64，故答案为=240x4、64．20、的展开式中的第四项是______．答案：-解析：解：T4=故答案为：-21．（x-）4的展开式中的常数项为______．答案：6解析：解：的通项为=（-1）r C4r x4-2r令4-2r=0得r=2∴展开式的常数项为T3=C42=6故答案为622、的展开式中x2的系数为______．答案：7解析：解：因为的展开式的通项公式为：=，当8-2r=2，即r=3时，的展开式中x2的系数为：=7．故答案为：7．23．若（2x2-）n（n∈N×）展开式中含有常数项，则n的最⼩值是______．答案：5解析：解：展开式的通项T r+1=（-1）r2n-r C n r x2n-5r其中r=0，1，2，3…n令2n-5r=0得到当r=2时n最⼩为5故答案为524．⼆项式（2-）6展开式中常数项是______．答案：-160解析：解：因为=20×8×（-1）=-160．所以展开式中常数项是-160．故答案为：-160．25．设a=（cosx-sinx）dx，则⼆项式（x2+）6展开式中不含x6项的系数和是______．答案：161解析：解：由于a=（cosx-sinx）dx=（sinx+cosx）=-1-1=-2，∴（x2+）6=（x2-）6的通项公式为=T r+1=?（-2）r?x12-2r，令12-2r=6，求得r=3，故含x6项的系数为-×23=-160．由于所有项的系数和为（1-2）6=1，故不含x6项的系数和1+160=161，故答案为：161．26．（x+）9展开式中x3的系数是______．（⽤数字作答）答案：84解析：解：写出（x+）9通项，∵要求展开式中x3的系数∴令9-2r=3得r=3，∴C93=84故答案为：84．27．已知（-x2+6x-9）n的展开式中所有的项的系数的和为16，则展开式中的常数项为______．答案：81解析：解：在（-x2+6x-9）n的展开式中，令x=1，可得所有项系数的和为（-4）n=16，n=2，展开式中的常数项为：-9×（-9）=81．故答案为：81．28．（1-）4展开式中的系数是______．答案：-8解析：解：（1-）4展开式的通项公式为T r+1=?（-2）r?x-r，令-r=-1，可得r=1，故展开式中的系数是?（-2）=-8，故答案为：-8．29．在的展开式中，x2的系数为______（⽤数字作答）．答案：-14解析：解：展开式的通项令得r=1故x2的系数为（-2）×C71=-14故答案为-1430．⼆项式的展开式中，x3项的系数为______．答案：20解析：解：⼆项式展开式的通项为T r+1=C6r?x6-r?（-）r=（-1）r?C6r?，令=3，解可得r=2，当r=2时，T3=（-1）2?C62?x3=20x3，即x3项的系数为20；故答案为20．。

高一数学二项式定理与性质试题1.的展开式中的常数项是（）A．84B．C．D．【答案】B【解析】,由，解，因此常数项为.【考点】二项式定理的应用.2.设（x）21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则的值为________．【答案】1【解析】令得，令得，代入得【考点】赋值法求值.3.在二项式的展开式中，的一次项系数是，则实数的值为．【答案】1【解析】由于二项式的展开式的通项为,令得,从而的一次项系数是【考点】二项式定理.4.在二项式的展开式中，的一次项系数是，则实数的值为【答案】1【解析】解：因为二项式的展开式中所以，（-a）3C53=-10⇒-a3=-10⇒a=1．故答案：1【考点】二项定理点评：本题考查二项定理的性质和应用，解题时要结合实际情况灵活地运用公式．5.的展开式中x的系数是（）A．-4B．-2C．2D．4【答案】C【解析】方法一，将两个二项式展开，按多项式乘法，确定x项。

方法二：故选C。

6.的展开式中的系数是 . （用数字作答）【答案】5【解析】略7.若，则的值为：【答案】1【解析】略8.设是展开式中的一次项的系数，则的值是.【答案】18【解析】略9.设，求使为完全平方数的整数的值【答案】10【解析】解．所以，当时，是完全平方数． 5分下证没有其它整数满足要求．（1）当时，有，又，所以，从而．又，所以此时不是完全平方数． 10分（2）当时，有．令，则，即，所以，即．解此不等式，得的整数值为，但它们对应的均不是完全平方数．综上所述，使为完全平方数的整数的值为10. 12分10.已知的展开式中的系数是－35，则= ．【答案】1【解析】展开式的通项公式，令得令得【考点】二项式定理赋值法求系数。