人教版初中数学《第16章几何变换》竞赛专题复习含答案

第16章几何变换§16.1对称和平移16．1．1★设M 是边长为2的正三角形ABC 的边AB 的中点．P 是边BC 上的任意一点，求PA PM +的最小值．CA'M'PA M B解析 作正三角形ABC 关于BC 的对称图形A BC '△．M '是M 的对称点，故M 是A B '的中 点．PM PM '=，如图所示，则 PA PM PA PM AM ''+=+≥.连结CM '，易知90ACM '∠=︒，所以AM '=．所以，PA PM +16．1．2★★已知ABC △中，60A ∠<︒．试在ABC △的边AB 、AC 上分别找出一点P 、Q ，使BQ QP PC ++最小．解析 作B 关于直线AC 的对称点B '，C 关于直线AB 的对称点C '，连B C ''与AB 、AC 分别交于点P 、Q ，则P 、Q 即为所求，如图所示．CA'M'PA M B事实上，对于AB 、AC 上的任意点P '，Q '， BQ Q P P C B Q Q P P C ''''''''''++=++ B C B Q QP PC ''''=++≥ BQ QP PC =++．评注 因为60A ∠<︒，所以所作线段B C ''必与线段AB 、AC 相交．16．1．3★★求证：直角三角形的内接三角形的周长不小于斜边上高的两倍．解析 如图所示，设在直角三角形ABC 中，CD 是斜边上的高，PQR △是它的任一内接三角形．BDP ARC Q S VET G FU将Rt ABC △以BC 为对称轴反射为Rt BCE △，此时PQR △反射为SQV △，再将Rt BCE △以CE 为对称轴反射为Rt FCE △，此时SQV △反射为TUV △延长DC 交EF 于G ．易知FF AB ∥，所以CG CD =，即2GD CD =，且GD 是两平行线AB 与EF 之间的距离． 所以2PQ QR RP PQ QV VT GD CD ++=++=≥.16．1．4★★★在ABC △内取一点M 使10MAB ∠=︒，30MBA ∠=︒．设80ACB ∠=︒， AC BC =．求AMC ∠.CHBME解析 本题中ABC △为等腰三角形，这就提示我们利用对称性解题，先作一条对称轴，作ABC △的高CH 与直线BM 交于点E 由对称性知， 30EAB EBA ∠=∠=︒， 所以20EAM ∠=︒， 从而20CAE ∠=︒，因为40AME MAB MBA ∠=∠+∠=︒，又1402ACE ACB ∠=∠︒=，所以CAF △≌MAE △， 于是AC AM =，所以()118040702AMC ∠=︒-︒=︒． 16．1．5★★在ABC △中，AH 是高，H 在边BC 上，已知45BAC ∠=︒，2BH =，3CH =，求ABC △的面积．解析 作HAC △的关于AC 的对称图形MAC △，作H A B △的关于AB 的对称图形NAB △．分别延长MC 和NB ，它们相交于L ，如图所示．ANMBH CL易知90M N ∠=∠=︒，且 290NAM BAC ∠=∠=︒， AM AH AN ==．所以，四边形LMAN 是正方形． 设正方形LMAN 的边长为a ，则 3CL a =-，2BL a =-．在直角三角形BCL 中，由勾股定理知 222BL CL BC +=．()()222325a a -+-=．解方程，得6a =，即6AH =．所以1152ABC S BC AH =⋅=△． 16．1．6★★★如图，凸四边形PQRS 的四个顶点分别在边长为a 的正方形ABCD 的四条边上，求证：PQRS的周长不小于．解析 作正方形ABCD 关于BC 的轴对称图形，得到正方形11A BCD ，再作正方形11A BCD 关于1CD 的轴对称图形，得到正方形221A B CD ，再作正方形221A B CD 关于21A D 的轴对称图形，得到正方形2331A B C D ，而P 、Q 、R 、S 四点的对应点如图所示．A S DP B P 1A 1S 1D 1R 3C 3Q 3B 3P 3A 2P 2B 2Q 2R C R 1S 2Q显然，2AA =，23AP A P ∥，故32PP AA ∥，所以四边形PQRS 的周长 PQ QR RS SP +++ 11223PQ QR R S S P =+++32PP AA ==≥．即四边形PQRS的周长不小于．16．1．7★★★如图，ABC △和ADE △是两个不全等的等腰直角三角形， 90ABC ADE ∠=∠=︒，现固定ABC △而将ADE △绕点A 在平面上旋转，试证：不论ADE △旋转到什么位置，线段EC 上必存在点M 使BMD △力等腰直角三角形．BAD ECMA'解析 如图，设BMD △为等腰直角三角形，下面证明点M 在线段EC 上．作A 关于BD 的对称点A '，则ADB AD B '∠=∠． 因为902ADE BDM ∠=︒=∠，所以45EDM A DM A DB ''∠=∠=︒-∠ 45ADB =︒-∠， 又DA DA DE '==．所以A '又是E 关于DM 的对称点． 同理A '也是C 关于BM 的对称点，因此 EM D A M D '∠=∠，CMB A MD '∠=∠， 又因90BMD ∠=︒， 所以180CME ∠=︒．即M 在EC 上（且为EC 的中点）．16．1．8★★★如图，矩形ABCD 中，20AB =，10BC =，若在AC 、AB 上各取一点M 、N ，使BM MN +的值最小，试求出这个最小值．DEC GF ANP MBQ解析 作AB 关于直线AC 的对称线段AE ，即B 、E 关于AC 对称，作N 关于AC 的对称点F ，则F 在AE 上，且有BE AC ⊥于Q ，NF AC ⊥于P ．由对称变换可知，MN BM MF MB +=+.欲使M F BM +最小，必须BMF 共线，所以BM MN +最小值为点B 到AE 的距离BG .在Rt ABC △中，20AB =，10BC =，所以AB BCBQ AC⋅==2BE BQ == 在Rt ABQ △中，AQ =20AE AB ==，在ABE △中，1122ABE S BE AQ AE BG =⋅=⋅△，则16BE AQBG AE⋅==．从而BM MN +的最小值为16．16．1．9★★凸四边形ABCD 中，ABD CBD ∠>∠，ADB CDB ∠>∠．求证： AB AD BC CD +>+.D CEPA B解析将BCD △沿BD 翻折，点C 落在点P ．因为ABD CBD ∠>∠，ADB CDB ∠>∠，所以P 必定在ABD △内部．BP 延长线交AD 于点E ，则 AB AD BE FD BP PD BC CD +>+>+=+.16．1．10★★设S 表示凸四边形ABCD 的面积，证明1()2S AB CD BC AD ⋅+⋅≤．B ACD D'l解析如图，作点D 关于AC 的垂直平分线l 的对称点D '，显然ACD △与ACD '△关于l 成轴对称图形．所以 ABCD S S '= BAD BCD S S ''=+△△，11sin sin 22AB AD BAD BC CD BCD ''''=⋅⋅∠+⋅⋅∠ ()AB AD BC CD ''⋅+⋅≤ 1()2AB CD BC AD =⋅+⋅. 16．1．11★★在矩形ABCD 内取一点M ，使180BMC AMD ∠+∠=︒，试求BCM DAM ∠+∠的值．解析 如图将BMC △沿AB 平移至ADM '△，显然M M AD '⊥，BMC AM D '∠=∠．所以，由已知条件180AM D AMD '∠+∠=︒，即A 、M 、D 、M '四点共圆，从而 BCM DAM ADM DAM '∠+∠=∠+∠ 90AMM DAM '=∠+∠=︒．16．1．12★★设P 是平行四边形ABCD 内一点，使得PAB PCB ∠=∠， 证明：PBA PDA ∠=∠．A D PP'BC解析 如图，把AP 平移至DP '，则BAP CDP '∠=∠，及PBA P CD '∠=∠，PP BC '∥， 所以P PC BCP '∠=∠．又已知PAB PCB ∠=∠，故P PC CDP ''∠=∠，从而P 、D 、P '、C 四点共圆．于是 P PD P CD ''∠=∠，又PPDPD A '∠=∠， 所以PBA PDA ∠=∠．16．1．13★（1）如图（a ）所示，在梯形ABCD 中，AD BC ∥.已知：3AD BC +=，AC =，BD ABCD 的面积．（2）如图（b ），在梯形ABCD 中，AD BC ∥．M 是CD 的中点，MN AB ⊥于N ．设A B a =，MN h =，求梯形ABCD 的面积．解析（1）将BD 平移到CE ，连结DE，则CE BD ==DE BC =．所以B CAD E(a)A DENM CF B(b)3AE AD DE AD BC =+=+=．222AE AC CE =+．因此90ACE ∠=︒． 因为ABC CDE S S =△△，所以12ACE ABCD S S AC CE ==⋅=△梯形． （2）将AB 平移至EF ，如图（b ）所示，EF 过点M ．由于MDF △≌MCF △，所以 ABCD ABFE S S AB MN ah ==⋅=梯形梯形．评注 本题的两种添平行线法是解梯形问题的常用方法．16．1．14★★如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，E 、F 分别是DC 及AB 中点，FE 的 延长线与AD 及BC 的延长线分别交于点H 、G ．求证：AHF BGF ∠=∠．G H DAB'F BCE (a)解析1如图（a ），将线段CB 平移至AB '．则四边形AB BC '为平行四边形．由于F 是AB 中 点，故C 、F 、B '共线．现在EF 是CDB '△的中位线，故EF D B '∥，所以 AHF ADB '∠=∠，BGF AB D '∠=∠．又显然AB BC AD '==．故ADB AB D ''∠=∠． 于是AHF BGF ∠=∠．G H E CD MAF B(b)解析2如图（b ），连结AC ，取AC 中点为M ，连结ME 、MF ，则ME 、MF 分别为CDA △、ABC △的中位线，所以12ME DA ∥，12MF BC ∥．故M EF AH F ∠=∠， AFE FGB ∠=∠，且M E M F =，故M EF M FE ∠=∠， 所以AHF FGB ∠=∠．16．1．15★★如图，A B ∠=∠，1AA 、1PP 、1BB 均垂直于11A B ，垂足为1A 、1P 、 1B ，117AA =，116PP =，120BB =，1112A B =．求AP BP +的值．A C D A 1P 1B 1E PB解析 将1PP 平移到1CA，C 在线段1AA 上，延长BP 交1AA 于D ，将1DA 平移到1EB ，E 在1BB 上．因为1AA 、1BB 、1PP 均垂直于11A B ，所以四边形11CAPP 和11DA B E 都是矩形． 由1116CA PP ==，117AA =，得1AC =．又11AA BB ∥，所以P D A B A ∠=∠=∠，90PCD PCA ∠=∠=︒，PC PC =．所以Rt PCD △≌Rt PCA △，PA PD =，1CD AC ==．于是AP BP BD +=， 11115DA AA AD EB =-==， 115BE BB EB =-=．在Rt BED △中，1112DE A B ==，13BD ==，也即 13AP BP +=．16．1．16★★在正三角形ABC 的三条边上，有三条相等的线段12A A 、12B B 、12C C ．证明：直线21B C 、21C A 、21A B 所成的三角形中，三条线段21B C 、21C A 、21A B 与包含它们的边 成比例．CABC 1C 23A 1A 2A 3B 1B 2B 3解析 如图，将12C C 平移到2B P ，连结1PA 、1PB 、2PC ．因为四边形12BC C P 为平行四边形，所以1260B B P A ∠=∠=︒，21212B P C C B B ==，故12B B P △为正三角形，112B P A A ∥．这样所得四边形121A A B P 为平行四边形，121A P A B ∥．因此，由21B C 、21C A 、21A B 这三条线段构成的三角形与12A PC △全等，而12A PC △≌333A B C △，从而命题得证．16．1．17★★如图所示，2AA BB CC '''===且共点于O ，60AOB BOC COA '''∠=∠=∠=︒，求证：AOB BOC COA S S S '''++△△△Q解析 将A OC '△沿A A '方向平移A A '长的距离，得AQR △，将BOC '△沿BB '方向平移BB '长的距离，得B PR ''△．由于 2OP OQ ==，60POQ ∠=︒， 所以2PQ =．又因'2QR R P OC OC CC ''+=+==，故R 与R '重合，且P 、R 、Q 三点共线．在正三角形POQ 中， AOB BOC COA S S S '''++△△△AOB B PR AQR S S S ''=++△△△22OPQ S <==△ 16．1．18★★★如图，由平行四边形的顶点B 引它的高BK 和BH ，已知KH a =，BD b =，求点B 到BKH △的垂心的距离． B PCHD KAaH 1解析 令1H 表示BKH △的垂心．考虑到1KH BH ⊥，D H BH ⊥，有1KH DH ∥．同理有1HH DK ∥，因而四边形1KDHH ，为平行四边形，平移1BKH △到PDH △位置，显然P 为BC 上一点，所求线段1BH 即PH ，已与KH 位于同一直角三角形中．由于四边形KDPB 为矩形，有PK BD =，于是1BH PH ==16．1．19★★★已知ABC △的面积为S ，D 、E 、F 分别为BC 、CA 、AB 上的点，且 1BD CE AF DC EA FB n===，试求以AD 、BE 、CF 为边的三角形的面积S '． GCEDF解析 如图，过点A 作AG 平行且等于FC ．连CG 、GD 、GE ，则四边形AFCG 为平行四边形，GCA CAB ∠=∠．又11CG AF AE AE AB AB AB CA n ====+， 所以CGE △≌ABC △，CEG ACB ∠=∠，因此GE CB ∥. 又因1=1GE BDBC n BC =+， 所以GE BD =．于是四边形GEBD 也为平行四边形，从而GD BE =，即ADG △为AD 、BE 、CF 所构成的三角形，它的面积为S '． 在梯形GABC 中， 1111GABC S GC AB GC S AB AB n +==+=++梯形， 所以111GABC S S n ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭梯形，而11ABD S BD S BC n ==+△， 所以111ABC CG CD nS BA BC n n ⋅==⋅⋅++△， 因此()2111111n S S n n n ⎡⎤⎛⎫'=+--⎢⎥ ⎪++⎝⎭+⎢⎥⎣⎦()2211n n S n ++=+．§16.2旋转16．2．1★★对于边长为1的正ABC △内任一点P PA PB PC ++．ACBPC'P'解析 把ABC △绕点B 旋转60︒到CBC '△．则PBP '△为正三角形，且 PC P C ''=，PB PP '=，因而PA PB PC PA PP P C AC ''''++=++≥16．2．2★★设P 是等边三角形ABC 内一点，3PC =，4PA =，5PB =．试求此等边三角形的边长．BACP 543解析 如图，把CBP △绕点C 逆时针旋转60︒，到达CAP '△的位置，显然， 60PCP '∠=︒，3P C PP ''==，5AP '=．在APP '△中，222222345AP P P AP ''+=+==，所以90APP '∠=︒．故 9060150APC APP P PC ''∠=∠+∠=︒+︒=︒. 在APC △中，由余弦定理，得 2222cos150AC AP PC AP PC =+-⋅⋅︒2234243=+⨯⨯+25=+所以，等边三角形ABC16．2．3★★设O 是正三角形ABC 内一点，已知115AOB ∠=︒，125BOC ∠=︒，求以线段OA 、OB 、OC 为边构成的三角形的各角．解析 以B 为旋转中心，将AOB △按逆时针方向旋转60︒，旋转至CDB △，如图所示． 连结OD ．由于OB OD =，60OBD ∠=︒，所以OBD △是正三角形，故OD OB =． 又CD OA =，故OCD △是以OA 、OB 、OC 为边构成的一个三角形． 因此COD BOC BOD ∠=∠-∠ 1256065=︒-︒=︒，ODC BDC BDO ∠=∠-∠ AOB BDO =∠-∠ 1156055=︒-︒=︒，从而180655560OCD ∠=︒-︒-︒=︒．所以，以线段OA 、OB 、OC 为边构成的三角形的各角分别为65︒、55︒和60︒． 16．2．4★★如图，两个正方形ABCD 与AKLM （顶点按顺时针方向排列），求证：这两个正方形的中心以及线段BM 、DK 的中点是某正方形的顶点．CDQ K LRM SAPB解析 设P 、R 分别是正方形ABCD 、AKLM 的中心，Q 、S 分别是线段DK 、BM 的中点，先证PSR △是以PR 为斜边的等腰直角三角形．连结BK 、DM ，将ADM △绕A 逆时针旋转90︒，则D 、M 分别到B 、K 位置，所以BK DM =，BK DM ⊥．因为P 、S 分别是BD 、BM 的中点，所以12PS DM ∥．同理12SR BK ∥．所以PS SR ⊥，且PS SR =．即PSR △是以PR 为斜边的等腰直角三角形．同理可证PQR △也是以PR 为斜边的等腰直角三角形．故P 、Q 、R 、S 是正方形的四个顶点．16．2．5★★正方形ABCD 内有一点P ，1PA =，3PB =．PD =ABCD 的面积．ADB CPP'解析 将PAB △绕A 点旋转90︒，得P AD '△．连结PP '．易知90PAP '∠=︒，1PA PA '==．于是PP '=在P PD '△中，222279P P PD P D ''+=+==．所以P PD '△是直角三角形，从而135APD ∠=︒．由余弦定理得222AD PA PD PD =+⋅8=16．2．6★★在正方形ABCD 的边AB 和AD 上分别取点M 和K ，使得AM AK =，在线段DM 上取点P ，使得PCD PKA ∠=∠．证明：APM ∠是直角．AM BL K PDC解析 如图所示，在边BC 上取点L ，使BL AK =，连结KL 、AP 、PL ．由于PCD PKA ∠=∠，所以P 、C 、D 、K 四点共圆，作四边形PCDK 的外接圆和矩形 KDCL 的外接圆，因为这两个外接圆均过K 、D 、C 三点，从而这两圆是相同的，所以 90LPD LKD ∠=∠=︒． 易知Rt MAD △≌Rt LBA △.故以正方形ABCD 的中心为旋转中心，将Rt LBA △以逆对针方向旋转90︒，则L B A △旋转至MAD △，从而AL D M ⊥．又LP D M ⊥，故A 、P 、L 三点共线，所以90APM ∠=︒． 16．2．7★★★已知凸六边形123456A A A A A A 中，1223A A A A =，3445A A A A =，5661A A A A =， 135246A A A A A A ∠+∠+∠=∠+∠+∠．求证：（1）24612345612A A A A A A A A A S S =△；（2）624212A A A A ∠=∠，246412A A A A ∠=∠，264612A A A A ∠=∠．A 1A 2A 3A 45A 6A'4解析 （1）将234A A A △绕点2A 旋转，使23A A 与21A A 重合，得到214A A A '△，如图所示．连结46A A '． 因为135246()()A A A A A A ∠+∠+∠+∠+∠+∠ 720=︒，所以135A A A ∠+∠+∠ 246360A A A =∠+∠+∠=︒． 因此4161412360A A A A A A A ''∠=︒-∠-∠ 135360A A A =︒-∠-∠=∠.从而146A A A '△≌546A A A △， 246A A A △≌246A A A '△， 所以24624641234561122A A A A A A A A A A A A A S S S '==△．（2）由（1）可知624624126324A A A A A A A A A A A A '∠=∠=∠+∠ 2624A A A A =∠-∠，所以624212A A A A ∠=∠．同理可证：246412A A A A ∠=∠，264612A A A A ∠=∠．评注 本题通过旋转，把234A A A △、456A A A △、612A A A △拼成一个与246A A A △全等的新三角形246A A A '.也可以采取向246A A A △内部旋转的方法，把234A A A △、456A A A △、612A A A △放在26A A A 4△的内部，使之恰好“拼成”246A A A △．16．2．8★★★如图所示，P 、Q 是边长为1的正方形ABCD 内两点，使得 45PAQ PCQ ∠=∠=︒，求PAB PCQ QAD S S S ++△△△的值．ADQ PBCADQPQ'BQ''C(a)(b)解析 将AQD △绕点A 顺时针旋转90︒至AQ B '△，CQD △绕点C 逆时针旋转90︒至CQ B ''△，连结PQ '、PQ ''，则APQ '△≌APQ △，CPQ ''△≌CPQ △．又90ABQ CBQ ADQ CDQ '''∠+∠=∠+∠=︒，所以Q '、B 、Q ''三点共线，且 BQ DQ BQ '''==， 故PBQ PBQ S S '''=△△， 所以PAB PCQ QAD S S S ++△△△PAQ PBC QCD S S S =++△△△1122ABCD S ==正方形． 16．2．9★★在ABC △中，120A ∠︒≥，点P 不与A 重合．求证PA PB PC AB AC ++>+. 解析 如图，将PAB △绕点A 旋转至P AB ''△的位置，使CA 与AB '共线．于是 AB AC AB AC PC PB ''+=+<+．B'ACPBP'又因为120P AB PAC BAP PAC BAC ''∠+∠=∠+∠=∠︒≥，所以 18060PAP BAC '∠=︒-∠︒≤． 故在等腰PAP '△中， PA P A PP ''=≥．因此PB PP P B PA P B PA PB ''''''++=+≤≤， 从而PA PB PC AB AC ++>+.评注 此题似乎依赖于图形，P 在BAC ∠内，事实上P 在其他位置照样成立，方法完全一样． 16．2．10★★★凸四边形ABCD 中，点M 、N 分别是BC 、CD 的中点，且AM AN a +=（a 是常数），求证：22ABCDa S <四边形．ED NC FMBA解析 如图所示，将ABM △绕点M 旋转180︒得FCM △，将ADN △绕点N 旋转180︒得ECN △，连EF ，于是360ECF ECN BCD FCM ∠=︒-∠-∠-∠ 360ADC BCD ABC =︒-∠-∠-∠ 180DAB =∠<︒，所以EF 与凸四边形ABCD 的边不相交．故 FCM ECN AEF ABCD AMCN S S S S S =++<△△△四边形四边形122AE AF AM AN ⋅=⋅≤ 22222AM AN a +⎛⎫⋅=⎪⎝⎭≤． 16．2．11★★★如图，设D 为锐角ABC △内一点，且AC BD AD BC ⋅=⋅， 90ADB ACB ∠=∠+︒，求AB CDAC BD⋅⋅的值．A DBC解析 将线段BD 绕点B 顺时针旋转90︒到BE ，连结DE 、CE ． 因为ADB CAD CBD ACB ∠=∠+∠+∠，90ADB ACB ∠=∠+︒，所以 90CAD CBD ∠+∠=︒，又90CBD CBE ∠+∠=︒， 则CAD CBE ∠=∠． 由AC BD AD BC ⋅=⋅，得AC AD ADBC BD BE==，于是ACD BCE △∽△，所以ACD BCE ∠=∠， AC AD CDBC BE EC ==．从而A C B A C D B C D E C B B C ∠=∠+∠=∠+∠=∠．所以，A B C D E△△∽，则AB ACDE DC=，即AB CD AC DE ⋅=⋅．在Rt BDE △中，BD BE =，DE =，故AB CDAC BD⋅⋅。

2023年春九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》专题训练（附答案）1．如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，直线AE，BD交于点F．（1）如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，∠AFB的度数为，线段AE与BD的数量关系为．（2）如图2，当△ECD绕点C顺时针旋转α（0°≤α＜360°）时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由；若成立，请就图2给予证明．（3）若AC＝4，CD＝3，当△ECD绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出BD长的取值范围．2．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E两点分别在AC、BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现：当α＝0°时，的值为；（2）拓展探究：当0°≤α＜360°时，若△EDC旋转到如图2的情况时，求出的值；（3）问题解决：当△EDC旋转至A、B、E三点共线时，若CE＝5，AC＝4，直接写出线段AD的长．3．已知：如图1，线段AD＝5，点B从点A出发沿射线AD方向运动，以AB为底作等腰△ABC，使得AC＝BC＝AB．（1）如图2，当AB＝10时，求证：CD⊥AB；（2）当△BCD是以BC为腰的等腰三角形时，求BC的长；（3）当AB＞5时，在线段BC上是否存在点E，使得△BDE与△ACD全等，若存在，求出BC的长；若不存在，请说明理由；（4）作点A关于直线CD的对称点A′，连接CA′当CA′∥AB时，CA′＝（请直接写出答案）．4．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于点E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．（1）试判断BD与AC的位置关系是：；数量关系是：；（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；（3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．①试猜想BD与AC的数量关系为：；②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．5．如图，平面直角坐标系中O为原点，Rt△ABC的直角顶点A在y轴正半轴上，斜边BC 在x轴上，已知B、C两点关于y轴对称，且C（﹣8，0）．（1）请直接写出A、B两点坐标；（2）动点P在线段AB上，横坐标为t，连接OP，请用含t的式子表示△POB的面积；（3）在（2）的条件下，当△POB的面积为24时，延长OP到Q，使得PQ＝OP，在第一象限内是否存在点D，使得△OQD是等腰直角三角形，如果存在，求出D点坐标；如果不存在，请说明理由．6．如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在AB边的延长线上，且CD ＝AB．（Ⅰ）求BD的长度；（Ⅱ）如图2，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'．①若α＝30°，A'D'与CD相交于点E，求DE的长度；②连接A'D、BD'，若旋转过程中A'D＝BD'时，求满足条件的α的度数．（Ⅲ）如图3，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'，若点M 为AC的中点，点N为线段A'D'上任意一点，直接写出旋转过程中线段MN长度的取值范围．7．如图①，将两个等腰直角三角形纸片OAB和OCD放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（0，+1），点B（+1，0），点C（0，1），点D（1，0）．（Ⅰ）求证：AC＝BD；（Ⅱ）如图②，现将△OCD绕点O顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），连接AC，BD，这一过程中AC和BD是否仍然保持相等？说明理由；当旋转角α的度数为时，AC所在直线能够垂直平分BD；（Ⅲ）在（Ⅱ）的情况下，将旋转角α的范围扩大为0°＜α＜360°，那么在旋转过程中，求△BAD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．（直接写出结果即可）8．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，过点A作直线l平行于BC，点D是直线l上一动点，连接CD，射线DC绕点D顺时针旋转α交直线AB于点E．（1）如图1，若α＝60°，当点E在线段AB上时，请直接写出线段AC，AD，AE之间的数量关系，不用证明；（2）如图2，若α＝60°，当点E在线段BA的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明．（3）如图3，若α＝90°，BC＝6，AD＝，请直接写出AE的长．9．有一根直尺短边长4cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长为16cm，如图甲，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D 与点A重合．将直尺沿射线AB方向平移，如图乙，设平移的长度为xcm，且满足0≤x ≤12，直尺和三角形纸板重叠部分的面积为Scm2．（1）当x＝0cm时，S＝；当x＝12cm时，S＝．（2）当0＜x＜8（如图乙、图丙），请用含x的代数式表示S．（3）是否存在一个位置，使重叠部分面积为28cm2？若存在求出此时x的值．10．如图①，C为线段BD上的一点，BC≠CD，分别以BC，BD为边在BD的上方作等边△ABC和等边△CDE，连接AE，F，G，H分别是BC，AE，CD的中点，连接FG，GH，FH．（1）△FGH的形状是；（2）将图①中的△CDE绕点C顺时针旋转，其他条件不变，（1）的结论是否成立？结合图②说明理由；（3）若BC＝2，CD＝4，将△CDE绕点C旋转一周，当A，E，D三点共线时，直接写出△FGH的周长．11．已知，射线AB∥CD，P是直线AC右侧一动点，连接AP，CP，E是射线AB上一动点，过点E的直线分别与AP，CP交于点M，N，与射线CD交于点F，设∠BAP＝∠1，∠DCP＝∠2．（1）如图1，当点P在AB，CD之间时，求证：∠P＝∠1+∠2；（2）如图2，在（1）的条件下，作△PMN关于直线EF对称的△P'MN，求证：∠3+∠4＝2（∠1+∠2）；（3）如图3，当点P在AB上方时，作△PMN关于直线EF对称的△P'MN，（1）（2）的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠P，∠1，∠2之间数量关系，以及∠3，∠4与∠1，∠2之间数量关系．12．（1）如图1，平面直角坐标系中A（0，a），B（a，0）（a＞0）．C为线段AB的中点，CD⊥x轴于D，若△AOB的面积为2，则△CDB的面积为．（2）如图2，△AOB为等腰直角三角形，O为直角顶点，点E为线段OB上一点，且OB＝3OE，C与E关于原点对称，线段AB交x轴于点D，连CD，若CD⊥AE，试求的值．（3）如图3，点C、E在x轴上，B在y轴上，OB＝OC，△BDE是以B为直角顶点的等腰直角三角形，直线CB、ED交于点A，CD交y轴于点F，试探究：是否为定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是，请求出其取值范围．13．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．（1）如图1，点P，Q在线段BC上，AP＝AQ，∠BAP＝15°，求∠AQB的度数；（2）点P，Q在线段BC上（不与点B，C重合），AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②用等式表示线段BP，AP，PC之间的数量关系，并证明．14．【问题背景】如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上的一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE，连接CE，求证：△ABD≌△ACE；【尝试应用】如图2，在图1的条件下，延长DE，AC交于点G，BF⊥AB交DE于点F，求证：FG＝AE；【拓展创新】如图3，A是△BDC内一点，∠ABC＝∠ADB＝45°，∠BAC＝90°，BD ＝，直接写出△BDC的面积为．15．在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b）分别是x轴负半轴和y轴正半轴上一点，点C与点A关于y轴对称，点P是x轴正半轴上C点右侧一动点．（1）当2a2+4ab+4b2+2a+1＝0时，求A，B的坐标；（2）当a+b＝0时，①如图1，若D与P关于y轴对称，PE⊥DB并交DB延长线于E，交AB的延长线于F，求证：PB＝PF；②如图2，把射线BP绕点B顺时针旋转45o，交x轴于点Q，当CP＝AQ时，求∠APB的大小．16．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，左右作平行移动的等边三角形DEF的两个顶点E、F始终在边BC上，DE、DF分别与AB相交于点G、H．（1）如图1，当点F与点C重合时，点D恰好在斜边AB上，求△DEF的周长；（2）如图2，在△DEF作平行移动的过程中，图中是否存在与线段CF始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由；（3）假设C点与F点的距离为x，△DEF与△ABC的重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出定义域．17．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝2，点D为边AC的中点（如图），点P、Q 分别是射线BC、BA上的动点，且BQ＝BP，联结PQ、QD、DP．（1）求证：PQ⊥AB；（2）如果点P在线段BC上，当△PQD是直角三角形时，求BP的长；（3）将△PQD沿直线QP翻折，点D的对应点为点D'，如果点D'位于△ABC内，请直接写出BP的取值范围．18．定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM＝2，MN＝3，求BN的长．（2）如图2，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点M，N为边AB上两点满足∠MCN＝45°，求证：点M，N是线段AB的勾股分割点；阳阳同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把△CBN绕点C逆时针旋转90°试一试．请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程．19．问题背景如图（1），△ABD，△AEC都是等边三角形，△ACD可以由△AEB通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小．尝试应用如图（2），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边，作等边△ACD和等边△ABE，连接ED，并延长交BC于点F，连接BD．若BD⊥BC，求的值．拓展创新如图（3），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，连接PB，直接写出PB的最大值．20．【教材呈现】如图是苏科版九年级下册数学教材第92页的第17题．一块直角三角形木板，它的一条直角边AC长为1.5m，面积为1.5m2．甲乙两人分别按图1、图2把它加工成一个正方形的桌面，请说明哪个正方形的面积较大．【解决问题】（1）记图1、图2中的正方形面积分别为S1，S2，则S1S2．（填“＞”、“＜”或“＝”）．【问题变式】若木板形状是锐角三角形A1B1C1．某数学兴趣小组继续思考：按图3、图4、图5三种方式加工，分别记所得的正方形面积为S3、S4、S5，哪一个正方形的面积最大呢？（2）若木板的面积S仍为1.5m2．小明：记图3中的正方形为“沿B1C1边的内接正方形”，图4中的正方形为“沿A1C1边的内接正方形”，依此类推．以图3为例，求“沿B1C1边的内接正方形DEFG”的面积．设EF ＝x ，B 1C 1＝a ，B 1C 1边上的高A 1H ＝h ，则S ＝ah ．由“相似三角形对应高的比等于相似比”易得x ＝；同理可得图4、图5中正方形边长，再比较大小即可．小红：若要内接正方形面积最大，则x 最大即可；小莉：同一块木板，面积相同，即S 为定值，本题中S ＝1.5，因此，只需要a +h 最小即可．我们可以借鉴以前研究函数的经验，令y ＝a +h ＝a +＝a +（a ＞0）．下面来探索函数y ＝a +（a ＞0）的图象和性质．①根据如表，画出函数的图象：（如图6）a… 1 2 3 4 … y … 12 9 6 4 3 3 4 4…②观察图象，发现该函数有最小值，此时a 的取值 ；A ．等于2；B ．在1～之间；C ．在～之间；D ．在～2之间．（3）若在△A 1B 1C 1中（如图7），A 1B 1＝5，A 1C 1＝，高A 1H ＝4．①结合你的发现，得到S 3、S 4、S 5的大小关系是 （用“＜”连接）． ②小明不小心打翻了墨水瓶，已画出最大面积的内接正方形的△A 1B 1C 1原图遭到了污损，请用直尺和圆规帮他复原△A 1B 1C 1．（保留作图痕迹，不写作法）参考答案1．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∵△ECD是等边三角形，∴CE＝CD，∠DCE＝60°，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，在△ABF中，∠AFB＝180°﹣（∠BAF+∠ABF）＝180°﹣（∠BAF+∠CBF+∠ABC）＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）＝180°﹣（60°+60°）＝60°，∴∠AFB＝60°，故答案为：∠AFB＝60°，AE＝BD；（2）（1）中结论仍成立，证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∵△ECD是等边三角形，∴CE＝CD，∠DCE＝60°，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，∵∠AFB+∠CBD＝∠ACB+∠CAE，∴∠AFB＝∠ACB，∵∠ACB＝60°，∴∠AFB＝60°；（3）在△BCD中，BC+CD＞BD，BC﹣CD＜BD，∴点D在BC的延长线上时，BD最大，最大为4+3＝7，当点D在线段BC上时，BD最小，最小为4﹣3＝1，∴1≤BD≤7，即BD长的取值范围为1≤BD≤7．2．解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∠B＝45°，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠B＝45°，∠CDE＝∠A＝90°，∴△DEC为等腰直角三角形，∴cos∠C＝＝，∵DE∥AB，∴＝＝，故答案为：；（2）由（1）知，△BAC和△CDE均为等腰直角三角形，∴＝＝，又∠BCE＝∠ACD＝α，∴△BCE∽△ACD，∴＝＝，即＝；（3）①如图3﹣1，当点E在线段BA的延长线上时，∵∠BAC＝90°，∴∠CAE＝90°，∴AE＝＝＝3，∴BE＝BA+AE＝4+3＝7；由（2）知，＝．故AD＝．②如图3﹣2，当点E在线段BA上时，AE＝＝＝3，∴BE＝BA﹣AE＝4﹣3＝1，由（2）知，＝．故AD＝．综上所述，AD的长为或，故答案为：或．3．解：（1）如图2中，∵AB＝10，AD＝5，∴AD＝DB，∵CA＝CB，AD＝DB，∴CD⊥AB．（2）如图1中，当AB＜AD时，BC＝BD．设AB＝10k，则AC＝BC＝6k，∵AD＝5，∴10k+6k＝5，∴k＝，∴BC＝6k＝．如图1﹣1中，当AB＞AD时，BC＝BD，同法可得10k﹣6k＝5，解得k＝，∴BC＝6k＝，综上所述，BC的值为或．（3）如图3﹣1中，当△ADC≌△BED时，BD＝AC＝BC，由（2）可知，BC＝．如图3﹣2中，当△ADC≌△BCE时，点E与C重合，此时AB＝10k＝10，∴k＝1，BC＝6k＝6．综上所述，BC的值为或6．（4）如图3中，当CA′∥AB时，∵CA′∥AB，∴∠ADC＝∠A′CD，由翻折可知，∠A′CD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠ADC，∴AC＝AD＝5，∴CA′＝CA＝5．故答案为5．4．解：（1）结论：BD＝AC，BD⊥AC．理由：延长BD交AC于F．∵AE⊥CB，∴∠AEC＝∠BED＝90°．在△AEC和△BED中，，∴△AEC≌△BED（SAS），∴AC＝BD，∠CAE＝∠EBD，∵∠AEC＝90°，∴∠ACB+∠CAE＝90°，∴∠CBF+∠ACB＝90°，∴∠BFC＝90°，∴AC⊥BD，故答案为：BD⊥AC，BD＝AC．（2）如图2中，不发生变化，设DE与AC交于点O，BD与AC交于点F．理由是：∵∠BEA＝∠DEC＝90°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，，∴△BED≌△AEC（SAS），∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，∵∠DEC＝90°，∴∠ACE+∠EOC＝90°，∵∠EOC＝∠DOF，∴∠BDE+∠DOF＝90°，∴∠DFO＝180°﹣90°＝90°，∴BD⊥AC；（3）①如图3中，结论：BD＝AC，理由是：∵△ABE和△DEC是等边三角形，∴AE＝BE，DE＝EC，∠BEA＝∠DEC＝60°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，，∴△BED≌△AEC（SAS），∴BD＝AC，故答案为：BD＝AC．②能；设BD与AC交于点F，由①知，△BED≌△AEC，∴∠BDE＝∠ACE，∴∠DFC＝180°﹣（∠BDE+∠EDC+∠DCF）＝180°﹣（∠ACE+∠EDC+∠DCF）＝180°﹣（60°+60°）＝60°，即BD与AC的夹角中的锐角的度数为60°．5．解：（1）∵B、C两点关于y轴对称，且C（﹣8，0），∴点B（8，0），BO＝CO，又∵AO⊥BC，∴AC＝AB，∵∠CAB＝90°，AC＝AB，CO＝BO，∴AO＝CO＝BO＝8，∴点A（0，8）；（2）如图1，过点P作PM⊥OB于M，∵点P的横坐标为t，∴OM＝t，∴MB＝8﹣t，∵∠CAB＝90°，AC＝AB，∴∠ABO＝45°，∴∠BPM＝∠ABO＝45°，∴PM＝MB＝8﹣t，∴S△POB＝×OB×PM＝×8×（8﹣t）＝32﹣4t；（3）∵△POB的面积为24，∴32﹣4t＝24，∴t＝2，∴点P（2，6），如图2，当点Q为直角顶点时，过点Q作HG⊥y轴，过点D作DG⊥HG于点G，∵PQ＝OP，点P（2，6），∴点Q（4，12），∵∠OQD＝90°＝∠OHQ＝∠QGD，∴∠OQH+∠DQG＝90°＝∠OQH+∠HOQ，∴∠HOQ＝∠GQD，又∵OQ＝QD，∴△OHQ≌△QGD（AAS），∴OH＝QG＝12，HQ＝GD＝4，∴HG＝16，∴点D（16，8）；当点D为直角顶点时，过点Q作HG⊥y轴，过点D作DG⊥HG于点G，过点D作DN ⊥y轴于N，同理可求△QDG≌△ODN，∴ON＝QG，DN＝DG，∵DN＝QG+HQ＝4+QG，DG＝HN＝12﹣ON，∴ON＝QG＝4，DN＝DG＝8，∴点D（8，4），综上所述：点D（16，8）或（8，4）．6．解：（Ⅰ）如图1，过点C作CH⊥AB于H，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，CH⊥AB，∴AB＝CD＝6，CH＝BH＝AB＝3，∠CAB＝∠CBA＝45°，∴DH＝＝＝3，∴BD＝DH﹣BH＝3﹣3；（Ⅱ）①如图2，过点E作EF⊥CD'于F，∵将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A′CD′，∴CD＝CD'＝6，∠DCD'＝30°＝∠CDA＝∠CD'A'，∴CE＝D'E，又∵EF⊥CD'，∴CF＝D'F＝3，EF＝，CE＝2EF＝2，∴DE＝DC﹣CE＝6﹣2；②如图2﹣1，∵∠ABC＝45°，∠ADC＝30°，∴∠BCD＝15°，∴∠ACD＝105°，∵将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A′CD′，∴AC＝A'C，CD＝CD'，∠ACA'＝∠DCD'＝α，∴CB＝CA'，又∵A′D＝BD′，∴△A'CD≌△BCD'（SSS），∴∠A'CD＝∠BCD'，∴105°﹣α＝15°+α，∴α＝45°；如图2﹣2，同理可证：△A'CD≌△BCD'，∴∠A'CD＝∠BCD'，∴α﹣105°＝360°﹣α﹣15°，∴α＝225°，综上所述：满足条件的α的度数为45°或225°；（Ⅲ）如图3，当A'D'⊥AC时，N是AC与A'D'的交点时，MN的长度最小，∵∠A'＝45°，A'D'⊥AC，∴∠A'＝∠NCA'＝45°，∴CN＝A'N＝3，∵点M为AC的中点，∴CM＝AC＝3，∴MN的最小值＝NC﹣CM＝3﹣3；如图4，当点A，点C，点D'共线，且点N与点D'重合时，MN有最大值，此时MN＝CM+CN＝6+3，∴线段MN的取值范围是3﹣3≤MN≤6+3．7．解：（Ⅰ）∵点A（0，+1），点B（+1，0），点C（0，1），点D（1，0），∴OA＝+1，OB＝+1，OC＝1，OD＝1，∴AC＝OA﹣OC＝+1﹣1＝，BD＝+1﹣1＝，∴AC＝BD；（Ⅱ）由题意知，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠COB＝90°﹣∠COB，∠BOD＝∠COD﹣∠COB＝90°﹣∠COB，∴∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD，∠OAC＝∠OBD，如图1（注：点C在x轴上，为了不要出现误解，点C没画在x轴上），延长AC交BD 于D，连接BC，在Rt△AOB中，OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∴∠CAB+∠ABD＝∠OAB﹣∠OAC+∠ABO+∠BOD＝∠OAB+∠OBA＝90°，∴AC⊥BD，∵AC垂直平分BD，∴CD＝BC，设点C的坐标为（m，n），∴m2+n2＝1①，由旋转知，CD＝＝，∵B（+1，0），[m﹣（+1）]2+n2＝2②，联立①②解得，m＝1，n＝0，∴点C在x轴上，∴旋转角为∠AOC＝90°，故答案为：90°；（Ⅲ）如图2，∵OA＝OB＝+1，∴AB＝OA＝2+，过点O作OH⊥AB于H，∴S△AOB＝OA•OB＝AB•OH，∴OH＝＝＝＝，过点D作DG⊥AB于G，S△ABD＝AB•DG＝（2+）DG，要使△ABD的面积最大，则DG最大，由旋转知，点D是以O为圆心，1为半径的圆上，∴点D在HO的延长线上时，DG最大，即DG的最大值为D'H＝OD'+OH＝1+＝，∴S△ABD最大＝AB•D'H＝（2+）×＝，在Rt△AOB中，OA＝OB，OH⊥AB，∴∠BOH＝45°，∴旋转角∠BOD'＝180°﹣45°＝135°．8．解：（1）AC＝AE+AD．证明：连接CE，∵线段DC绕点D顺时针旋转α交直线AB于点E，α＝60°，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴CB＝CA＝AB，∠ACB＝60°，∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠ACB＝60°，∵∠FDC＝∠EAF＝60°，∠AFE＝∠DFC，∴△AFE∽△DFC，∴，∴，∵∠AFD＝∠EFC，∴△AFD∽△EFC，∴∠DAF＝∠FEC＝60°，∴△DEC是等边三角形，∴CD＝CE，∠ECD＝60°，∴∠BCE＝∠ACD，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD，∴AB＝AE+BE＝AE+AD，∴AC＝AE+AD；（2）不成立，AD＝AC+AE．理由如下：在AC的延长线上取点F，使AF＝AD，连接DF，当α＝60°时，∠BAC＝∠EDC＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC∠BCA＝60°，∵l∥BC，∴∠DAC＝∠BCA＝60°，∠EAD＝∠ABC＝60°，∵AF＝AD，∴∠ADF＝∠AFD＝60°，AD＝FD＝AF，∴∠EDC＝∠ADF＝60°，∴∠EDC﹣∠ADC＝∠ADF﹣∠ADC，即∠EDA＝∠CDF，∵AD＝FD，∠EAD＝∠AFD＝60°，∴△EAD≌△CFD（ASA），∴AE＝CF，∴AD＝AF＝AC+CF＝AC+AE；（3）AE的长为或．当点E在线段AB上，过点D作直线l的垂线，交AC于点F，如图3所示．∵△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，∴∠ACB＝∠B＝45°．∵直线l∥BC，∴∠DAF＝∠ACB＝45°．∵FD⊥直线l，∴∠DAF＝∠DF A＝45°．∴AD＝FD．∵∠EDC＝∠ADF＝90°，∴∠ADE＝∠FDC．由（1）可知DC＝DE，∴△ADE≌△FDC（SAS），∴AE＝CF．∵AD＝，∴AF＝2，∵BC＝6，∴AC＝AB＝3，∴AE＝AC﹣AF＝3﹣2．当点E在线段AB的延长线上时，如图4所示．过点D作直线l的垂线，交AB于点M，同理可证得△ADC≌△MDE（SAS），∴AC＝EM＝3，∵AD＝，∴AM＝2，∴EM+AM＝3+2．综合以上可得AE的长为3+2或3﹣2．9．解：（1）当x＝0cm时，S＝4×4÷2＝8cm2；当x＝12cm时，S＝4×4÷2＝8cm2．故答案为：8cm2；8cm2．（2）①当0＜x＜4时，∵△CAB为等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，∴△ADG和△AEF都是等腰直角三角形，∴AD＝DG＝x，AE＝EF＝x+4，∴梯形GDEF的面积＝×（GD+EF）×DE＝×（x+x+4）×4＝4x+8．②如图所示：过点C作CM⊥AB于点M．当4＜x＜8时，梯形GDMC的面积＝（GD+CM）×DM＝（x+8）（8﹣x）＝﹣x2+32，梯形CMEF的面积＝（EF+CM）×ME＝[16﹣（x+4）+8][（x+4）﹣8]＝（20﹣x）（x﹣4）＝﹣x2+12x﹣40，S＝梯形GDMC的面积+梯形CMEF的面积＝（﹣x2+32）+（﹣x2+12x﹣40）＝﹣x2+12x ﹣8．综合以上可得，S＝．（3）当0＜x＜4时s最大值小于24，当x＝4时，S＝24cm2，所以当S＝28cm2时，x必然大于4，即﹣x2+12x﹣8＝28，解得x1＝x2＝6，当x＝6cm时，阴影部分面积为28cm2．当8＜≤12时，由对称性可知s的最大值也是小于24，不合题意舍去．∴当x＝6cm时，阴影部分面积为28cm2．10．解：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴∠B＝∠DCE＝60°，AB＝BC，CE＝CD，∴CE∥AB，∵BC≠CD，∴CE≠AB，∴四边形ABCE是梯形，∵点F，G分别是BC，AE的中点，∴FG是梯形ABCE的中位线，∴FG∥AB，∴∠GFC＝60°，同理：∠GHB＝60°，∴∠FGH＝180°﹣∠GFC﹣∠GHB＝60°＝∠GFC＝∠GHB，∴△FGH是等边三角形，故答案为：等边三角形；（2）成立，理由如下：如图1，取AC的中点P，连接PF，PG，∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AB＝BC，CE＝CD，∠BAC＝∠ACB＝∠ECD＝∠B＝60°，又F，G，H分别是BC，AE，CD的中点，∴FP＝AB，FC＝BC，CH＝CD，PG＝CE，PG∥CE，PF∥AB，∴FP＝FC，PG＝CH，∠GPC+∠PCE＝180°，∠FPC＝∠BAC＝60°，∠PFC＝∠B＝60°，∴∠FPG＝∠FPC+∠GPC＝60°+∠GPC，∠GPC＝180°﹣∠PCE，∴∠FCH＝360°﹣∠ACB﹣∠ECD﹣∠PCE＝360°﹣60°﹣60°﹣（180°﹣∠GPC）＝60°+∠GPC，∴∠FPG＝∠FCH，∴△FPG≌△FCH（SAS），∴FG＝FH，∠PFG＝∠CFH，∴∠GFH＝∠GFC+∠CFH＝∠GFC+∠PFG＝∠PFC＝60°，∴△FGH为等边三角形；（3）①当点D在AE上时，如图2，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝BC＝2，∵△CDE是等边三角形，∴∠CED＝∠CDE＝60°，CE＝CD＝DE＝4，过点C作CM⊥AE于M，∴DM＝EM＝DE＝2，在Rt△CME中，根据勾股定理得，CM＝＝＝2，在Rt△AMC中，根据勾股定理得，AM＝＝＝4，∴AD＝AM﹣DM＝4﹣2＝2，∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，连接BE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD＝2，∠ADC＝∠BEC，∵∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°，∴∠BEC＝120°，∴∠BEA＝∠BEC﹣∠CED＝60°，过点B作BN⊥AE于N，∴∠BNE＝90°，在Rt△BNE中，∠EBN＝90°﹣∠BEA＝30°，∴EN＝BE＝1，∴BN＝EN＝，DN＝DE﹣EN＝3，连接BD，根据勾股定理得，BD＝＝＝2，∵点H是CD的中点，点F是BC的中点，∴FH是△BCD的中位线，∴FH＝BD＝，由（2）知，△FGH是等边三角形，∴△FGH的周长为3FH＝3，②当点D在AE的延长线上时，如图3，同①的方法得，FH＝，∴△FGH的周长为3FH＝3，即满足条件的△FGH的周长为3或3．11．（1）证明：如图1中，过点P作PT∥AB．∵AB∥CD，AB∥PT，∴AB∥PT∥CD，∴∠1＝∠APT，∠2＝∠CPT，∴∠APC＝∠APT+∠CPT＝∠1+∠2．（2）证明：如图2中，连接PP′．∵∠3＝∠MPP′+∠MP′P，∠4＝∠NPP′+∠NP′P，∠APC＝∠MP′N，∴∠3+∠4＝2∠APC，∵∠APC＝∠1+∠2，∴∠3+∠4＝2（∠1+∠2）．（3）结论不成立．结论是：∠P＝∠2﹣∠1，∠4﹣∠3＝2（∠2﹣∠1）．理由：如图3中，设PC交AB于E，AP交NP′于F．∵AB∥CD，∴∠PEB＝∠2，∵∠PEB＝∠1+∠P，∴∠2＝∠P+∠1，∴∠P＝∠2﹣∠1．∵∠4＝∠P+∠PFN，∠PFN＝∠3+∠P′，∠P＝∠P′，∴∠4＝∠P+∠3+∠P，∴∠4﹣∠3＝2∠P＝2（∠2﹣∠1），∴∠4﹣∠3＝2（∠2﹣∠1）．12．解：（1）∵A（0，a），B（a，0）（a＞0），∴OA＝a，OB＝a，∵△AOB的面积为2，∴S△AOB＝×a×a＝2，∴a＝2（负值舍去），∴A（0，2），B（2，0），∵C为线段AB的中点，∴C（1，1），∴OD＝BD＝CD＝1，∴S△CDB＝×1×1＝．故答案为：．（2）连AC，过点D作DM⊥BC于M，∵△AOB是等腰直角三角形，∴AO⊥BO，AO＝BO，∠B＝∠OAB＝45°，又CO＝EO，∴AO是CE的垂直平分线，∴AE＝AC，不妨设AE、CD交于F，AO、CD交于G，∴∠CGA＝∠OAE+∠AFC＝∠OCD+∠COA，∵∠AFC＝∠COA＝90°，∴∠OAE＝∠OCD＝∠OAC，又∵∠CAD＝∠CAO+∠OAB＝∠OCD+∠B＝∠CDA，∴CD＝CA＝EA，∴△AOE≌△CMD（AAS），∴OE＝DM，∴＝＝＝3，∴＝2；（3）＝2，理由如下：作点C关于y轴的对称点N，连接BN，作DM∥BC交y轴于M，∵OB＝OC＝ON，∠BON＝90°，∴△BON等腰直角三角形，∴∠BNO＝∠BMD＝45°，∴∠MBD＝∠OBE+∠DBE＝∠OBE+∠BOE＝∠BEN，又∵BD＝BE，∴△BMD≌△ENB（AAS），∴EN＝BM，BN＝DM＝BC，又∵∠BFC＝∠DFM，∠BCF＝∠FDM，∴△BCF≌△MDF（AAS），∴BF＝MF，∴CO﹣EO＝NO﹣EO＝NE＝BM＝2BF，即＝2．13．解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵∠APQ是△ABC的一个外角，∴∠APQ＝∠B+∠BAP，∵∠BAP＝15°，∴∠APQ＝60°，∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQB＝60°．（2）①图形如图2所示．②解：结论：PC2+BP2＝2AP2．理由：连接MC．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴∠BAP＝∠CAQ，∴△ABP≌△ACQ（SAS），∴BP＝CQ，∵点Q关于直线AC的对称点为M，∴AQ＝AM，CQ＝CM，∠CAM＝∠CAQ，∠ACM＝∠ACQ＝45°，∴AP＝AM，∠B＝∠ACM＝45°，∠BAP＝∠CAM，BP＝CM，∴∠BAC＝∠P AM＝90°，在Rt△APM中，AP＝AM，∠P AM＝90°，∴PM＝，∵∠ACQ＝∠ACM＝45°，∴∠PCM＝90°，在Rt△PCM中，∠PCM＝90°，∴PC2+CM2＝PM2，∴PC2+BP2＝2AP2．14．【问题背景】证明：如图1，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠DAB＝∠EAC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．【尝试应用】证明：如图2，过点D作DK⊥DC交FB的延长线于K．∵DK⊥CD，BF⊥AB，∴∠BDK＝∠ABK＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠DBK＝∠K＝45°，∴DK＝DB，∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE＝135°，DB＝EC＝DK，∴∠ECG＝45°，∵BF⊥AB，CA⊥AB，∴AG∥BF，∴∠G＝∠DFK，在△ECG和△DKF中，，∴△ECG≌△DKF（AAS），∴DF＝EG，∵DE＝AE，∴DF+EF＝AE，∴EG+EF＝AE，即FG＝AE．【拓展创新】解：如图3中，过点A作AE⊥AD交BD于E，连接CE．．∵∠ADB＝45°，∠DAE＝90°，∴△ADE与△ABC都是等腰直角三角形，同法可证△ABD≌△ACE，∴CE＝BD＝2，∵∠AEC＝∠ADB＝45°，∴∠CED＝∠CEB＝90°，∴S△BDC＝•BD•CE＝×2×2＝6．故答案为：6．15．解：（1）∵2a2+4ab+4b2+2a+1＝0，∴（a+2b）2+（a+1）2＝0，∵（a+2b）2≥0 （a+1）2≥0，∴a+2b＝0，a+1＝0，∴a＝﹣1，b＝，∴A（﹣1，0）B（0，）．（2）①证明：如图1中，∵a+b＝0，∴a＝﹣b，∴OA＝OB，又∵∠AOB＝90°，∴∠BAO＝∠ABO＝45°，∵D与P关于y轴对称，∴BD＝BP，∴∠BDP＝∠BPD，设∠BDP＝∠BPD＝α，则∠PBF＝∠BAP+∠BP A＝45°+α，∵PE⊥DB，∴∠BEF＝90°，∴∠F＝90o﹣∠EBF，又∠EBF＝∠ABD＝∠BAO﹣∠BDP＝45°﹣α，∴∠F＝45o+α，∴∠PBF＝∠F，∴PB＝PF．②解：如图2中，过点Q作QF⊥QB交PB于F，过点F作FH⊥x轴于H．可得等腰直角△BQF，∵∠BOQ＝∠BQF＝∠FHQ＝90°，∴∠BQO+∠FQH＝90°，∠FQH+∠QFH＝90°，∴∠BQO＝∠QFH，∵QB＝QF，∴△FQH≌△QBO（AAS），∴HQ＝OB＝OA，∴HO＝AQ＝PC，∴PH＝OC＝OB＝QH，∴FQ＝FP，又∠BFQ＝45°∴∠APB＝22.5°．16．解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，∴AC＝2，∠A＝60°，∵△DEF是等边三角形，∴∠DCE＝60°，∴∠ACD＝30°，∴∠ADC＝90°，∴CD＝AC＝3，∴△DEF的周长＝9；（2）解：结论：CF＝DG．理由：∵BC＝6，EF＝DF＝DE＝3，∴CF+BE＝BC﹣EF＝6﹣3＝3，∵△DEF是等边三角形，∴∠DEF＝60°，∵∠DEF＝∠B+∠EGB，∴∠B＝∠EGB＝∠DGE＝30°，∴EG＝BE，∵EG+DG＝CF+BE＝3，∴CF＝DG；（3）∵S△DEF＝×32＝，S△DGH＝•GH•DH＝•x•x＝x2，y＝S△DFE﹣S△DHG＝﹣x2（0≤x≤3）．17．解：（1）在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝2，根据勾股定理得，AB＝＝＝4，∴＝，∵BQ＝BP，∴＝，∴，∵∠QBP＝∠CBA，∴△BPQ∽△BAC，∴∠BQP＝∠ACB＝90°，∴PQ⊥AB；（2）∵点D是AC的中点，∴AD＝CD＝AC＝1，由（1）知，PQ⊥AB，∴∠AQP＝90°，∴∠PQD＜90°，∵△PQD是直角三角形，∴①当∠DPQ＝90°时，如图1，在Rt△ABC中，AC＝2，AB＝4，∴sin∠ABC＝＝，∴∠ABC＝30°，∴∠QPB＝90°﹣∠ABC＝60°，∴∠DPC＝90°﹣∠BPQ＝30°，∴CP＝＝＝，∴BP＝BC﹣CP＝，②当∠PDQ＝90°时，∴∠ADQ+∠PDC＝90°，如图2，过Q作QE⊥AC于E，∴∠DEQ＝90°＝∠ACB，∴∠ADQ+∠DQE＝90°，∴∠DQE＝∠PDC，∴△EQD∽△CDP，∴，∴，设BP＝t，则CP＝BC﹣BP＝2﹣t，在Rt△BQP中，BQ＝BP cos30°＝t，∴AQ＝AB﹣BQ＝4﹣t，在Rt△AEQ中，QE＝AQ cos30°＝（4﹣t）•＝2﹣t，AE＝AQ＝2﹣t，∴DE＝AD﹣AE＝t﹣1，∴，∴t＝或t＝（大于2，舍去）∴BP＝；即BP＝或；（3）；理由：如图3，①当点D'恰好落在边BC上时，由折叠知，PD'＝PD，PQ⊥DD'，由（1）知，PQ⊥AB，∴DD'∥AB，∴∠DD'C＝∠ABC＝30°，∴CD'＝CD＝，设BP＝m，则CP＝BC﹣BP＝2﹣m，∴DP＝D'P＝CD'﹣CP＝m﹣，在Rt△CDP中，根据勾股定理得，DP2＝CP2+CD2，∴（m﹣）2＝（2﹣m）2+1，∴m＝，②当点D'落在D时，即PQ过点D，在Rt△CDP'中，∠P'＝90°﹣∠DD'P'＝30°，∴CP'＝＝＝，∴BP'＝BC+CP'＝，综上：．18．（1）解：当MN最长时，BN＝＝＝；当BN最长时，BN＝＝＝，综合以上可得BN的长为或；（2）证明：如图，把△CBN绕点C逆时针旋转90°，得到△CAN'，连接MN'，∴△AN'C≌△BNC，∴CN'＝CN，∠ACN'＝∠BCN，∠CBN＝∠CAN'，∵∠MCN＝45°，∴∠N'CA+∠ACM＝∠ACM+∠BCN＝45°，∴∠MCN'＝∠BCM，∴△MN'C≌△MNC（SAS），∴MN'＝MN，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠B＝∠CAM＝45°，∴∠CAN'＝45°，∴∠MAN'＝∠CAN'+∠CAM＝45°+45°＝90°，在Rt△MN'A中，AN'2+AM2＝N'M2，∴BN2+AM2＝MN2，∴点M，N是线段AB的勾股分割点．19．问题背景解：∵△ABD，△AEC都是等边三角形，∴∠BAD＝60°，∠CAE＝60°，AD＝AB，AC＝AE，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，∴△ACD≌△AEB（SAS），∴△ACD可以由△AEB绕点A顺时针旋转60°得到，即旋转中心是点A，旋转方向是顺时针，旋转角是60°；尝试应用∵△ACD和△ABE都是等边三角形，∴AC＝AD，AB＝AE，∠CAD＝∠BAE＝60°，∴∠CAB＝∠DAE，∴△ADE≌△ACB（SAS），∴∠ADE＝∠ACB＝90°，DE＝CB，∵∠ADE＝90°，∴∠ADF＝90°，∵∠ADC＝∠ACD＝60°，∴∠DCF＝∠CDF＝30°，∴CF＝DF，∵BD⊥BC，∴∠BDF＝30°，∴BF＝DF，设BF＝x，则CF＝DF＝2x，DE＝3x，∴；拓展创新∵∠ACB＝90°，∴点C在以AB为直径的圆上运动，取AB的中点D，连接CD，∴CD＝AB＝1，如图，过点A作AE⊥AB，且使AE＝AD，连接PE，BE，∵将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，∴∠P AC＝90°，P A＝AC，∵∠EAD＝90°，∴∠P AE＝∠CAD，∴△CAD≌△P AE（SAS），∴PE＝CD＝1，∵AB＝2，AE＝AD＝1，∴BE＝＝＝，∴BP≤BE+PE＝+1，当且仅当P、E、B三点共线时取等号，∴BP的最大值为+1．20．解：（1）由AC长为1.5m，△ABC的面积为1.5m2，可得BC＝2m，如图①，设加工桌面的边长为xcm，∵DE∥CB，∴△ADE∽△ACB，∴＝，即＝，解得：x＝；如图②，设加工桌面的边长为ym，过点C作CM⊥AB，分别交DE、AB于点N、M，∵AC＝1.5m，BC＝2m，∴AB＝＝＝2.5（m），∵△ABC的面积为1.5m2，∴CM＝m，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴＝，即＝，解得：y＝，∴x＞y，即S1＞S2，故答案为：＞．（2）①函数图象如图6所示：②观察图象，发现该函数有最小值，此时a的取值～2之间．故选D．（3）①由（2）可知，S5＜S4＜S3．故答案为：S5＜S4＜S3．②如图7，△A1B1C1即为所求作．。

2022-2023学年九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》专题提升训练（附答案）1．如图，已知∠DAC＝90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于E．（1）如图1，猜想∠QEP＝；（2）如图2，若当∠DAC是锐角时，其他条件不变，猜想∠QEP的度数，并证明；（3）如图3，若∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，且AC＝6，求BQ的长．2．如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD为中线，将线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接BE交直线AD于点F，连接CF．（1）若∠BAC＝30°，则∠FBC＝°；（2）若∠BAC是钝角时，①请在图2中依题意补全图形，并标出对应字母；②探究图2中△BCF的形状，并说明理由；③若AB＝5，BC＝8，则EF＝．3．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在射线BC上（不与点B、点C重合），将线段AD绕A逆时针旋转90°得到线段AE，作射线BA与射线CE，两射线交于点F．（1）若点D在线段BC上，如图1，请直接写出CD与EF的关系．（2）若点D在线段BC的延长线上，如图2，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）在（2）的条件下，连接DE，G为DE的中点，连接GF，若tan∠AEC＝，AB＝，求GF的长．4．已知△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后，点A的对应点为点D，点C的对应点为点E，直线DE与直线AC交于点F，连接FB．（1）如图1，当∠BAC＜45°时，①求证：DF⊥AC；②求∠DFB的度数；（2）如图2，当∠BAC＞45°时，①请依意补全图2；②用等式表示线段FC，FB，FE之间的数量关系，并证明．5．实验探究：如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD、CE延长线交于点P．【问题发现】（1）把△ABC绕点A旋转到图1，BD、CE的关系是（“相等”或“不相等”），请直接写出答案；【类比探究】（2）若AB＝3，AD＝5，把△ABC绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，在图中作出旋转后的图形，并求出此时PD的长；【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，请直接写出旋转过程中线段PD的最小值为．6．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（0，3）与点B关于x轴对称，点C（n，0）为x轴的正半轴上一动点．以AC为边作等腰直角三角形ACD，∠ACD＝90°，点D在第一象限内．连接BD，交x轴于点F．（1）如果∠OAC＝38°，求∠DCF的度数；（2）用含n的式子表示点D的坐标；（3）在点C运动的过程中，判断OF的长是否发生变化？若不变求出其值，若变化请说明理由．7．[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连接AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连接EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△，可推证△CEF是三角形，从而求得∠DCE＝°．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．8．如图，在等边△ABC中，点D为BC的中点，点E为AD上一点，连EB、EC，将线段EB绕点E顺时针旋转至EF，使点F落在BA的延长线上．（1）在图1中画出图形：①求∠CEF的度数；②探究线段AB，AE，AF之间的数量关系，并加以证明；（2）如图2，若AB＝4，点G为AC的中点，连DG，将△CDG绕点C顺时针旋转得到△CMN，直线BM、AN交于点P，连CP，在△CDG旋转一周过程中，请直接写出△BCP 的面积最大值为．9．在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，BM⊥直线a于点M．CN⊥直线a于点N，连接PM，PN．（1）如图1，若点B，P在直线a的异侧，延长MP交CN于点E．求证：PM＝PE；（2）若直线a绕点A旋转到图2的位置时，点B，P在直线a的同侧，其它条件不变，此时S△BMP+S△CNP＝7，BM＝1，CN＝3，求MN的长度．（3）若过P点作PG⊥直线a于点G，试探究线段PG、BM和CN的数量关系．10．在Rt△ABC中与Rt△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠DEC＝30°，AC＝DC＝，将Rt△DCE绕点C顺时针旋转，连接BD，AE，点F，G分别是BD，AE的中点，连接CF，CG．（1）观察猜想如图1，当点D与点A重合时，CF与CG的数量关系是，位置关系是；（2）类比探究当点D与点A不重合时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请仅就图2的情形给出证明；如果不成立，请说明理由．（3）问题解决在Rt△DCE旋转过程中，请直接写出△CFG的面积的最大值与最小值．11．如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，点E是AB边上一点，且点E不与A、B重合，ED ⊥AC于点D．（1）当sin B＝时，①求证：BE＝2CD；②当△ADE绕点A旋转到如图2的位置时（60°＜∠CAD＜90°），BE＝2CD是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（2）当sin B＝时，将△ADE绕点A旋转到∠DEB＝90°，若AC＝10，AD＝2，请直接写出线段CD的长．12．如图，已知点A（0，8），B（16，0），点P是x轴上的一个动点（不与原点O重合），连接AP，把△OAP沿着AP折叠后，点O落在点C处，连接PC，BC，设P（t，0）．（1）如图1，当AP∥BC时，试判断△BCP的形状，并说明理由．（2）在点P的运动过程中，当∠PCB＝90°时，求t的值．（3）如图2，过点B作BH⊥直线CP，垂足为点H，连接AH，在点P的运动过程中，是否存在AH＝BC？若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由．13．如图，点B，C，D在同一条直线上，△BCF和△ACD都是等腰直角三角形．连接AB，DF，延长DF交AB于点E．（1）如图1，若AD＝BD，DE是△ABD的平分线，BC＝1，求CD的长度；（2）如图2，连接CE，求证：DE＝CE+AE；（3）如图3，改变△BCF的大小，始终保持点F在线段AC上（点F与点A，C不重合）．将ED绕点E顺时针旋转90°得到EP．取AD的中点O，连接OP．当AC＝2时，直接写出OP长度的最大值．14．综合与实践问题情境从“特殊到一般”是数学探究的常用方法之一，类比特殊图形中的数量关系和探究方法可以发现一般图形具有的普遍规律．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD为BC边上的中线，E为AD上一点，将△AEC以点C为旋转中心，逆时针旋转90°得到△BFC，AD的延长线交线段BF于点P．探究线段EP，FP，BP之间的数量关系．数学思考（1）请你在图1中证明AP⊥BF；特例探究（2）如图2，当CE垂直于AD时，求证：EP+FP＝2BP；类比再探（3）请判断（2）的结论在图1中是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．15．在Rt△ABC中，AB＝AC，OB＝OC，∠A＝90°，∠MON＝α，分别交直线AB、AC于点M、N．（1）如图1，当α＝90°时，求证：AM＝CN；（2）如图2，当α＝45°时，求证：BM＝AN+MN；（3）当α＝45°时，旋转∠MON至图3位置，请你直接写出线段BM、MN、AN之间的数量关系．16．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．2．线段垂直平分线我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线MN 是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连接P A、PB．将线段AB沿直线MN对折，我们发现P A与PB完全重合．由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点求证：P A＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得P A ＝PB．（1）请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程；（2）如图②，在△ABC中，直线l，m，n分别是边AB，BC，AC的垂直平分线．求证：直线l、m、n交于一点；（请将下面的证明过程补充完整）证明：设直线l，m相交于点O．（3）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，若∠ABC＝120°，AC＝15，则DE的长为．17．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（x，y）中的横坐标x与纵坐标y 满足+|y﹣8|＝0，过点A作x轴的垂线，垂足为点D，点E在x轴的负半轴上，且满足AD﹣OD＝OE，线段AE与y轴相交于点F，将线段AD向右平移8个单位长度，得到线段BC．（1）直接写出点A和点E的坐标；（2）在线段BC上有一点G，连接DF，FG，DG，若点G的纵坐标为m，三角形DFG 的面积为S，请用含m的式子表示S（不要求写m的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当S＝26时，动点P从D出发，以每秒1个单位的速度沿着线段DA向终点A运动，动点Q从A出发，以每秒2个单位的速度沿着折线AB→BC向终点C运动，P，Q两点同时出发，当三角形FGP的面积是三角形AGQ面积的2倍时，求出P点坐标18．如图1，在Rt△ACB中，AC＝BC，过B点作BD⊥CD于D点，AB交CD于E．（1）如图1，若AC＝6，tan∠ACD＝2，求DE的长；（2）如图2，若CE＝2BD，连接AD，在AD上找一点F，使CF＝DF，在FD上取一点G，使∠EGF＝∠CFG，求证：AF＝EG；（3）如图3，D为线段BC上方一点，且∠BDC＝90°，AC＝6，连接AD，将AD绕A 点逆时针旋转90°，D点对应点为E点，H为DE中点，求当AH有最小值时，直接写出△ACH的面积．19．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．则：①∠AEB的度数为°；②线段AD、BE之间的数量关系是．（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AD＝a，AE＝b，AB＝c，求a、b、c之间的数量关系．（3）探究发现：图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．20．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到．小明在数学学习中遇到了这样一个问题：“如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝α，点P在AB边上，过点P作PQ⊥AC于点Q，△APQ绕点A逆时针方向旋转，如图2，连接CQ．O 为BC边的中点，连接PO并延长到点M，使OM＝OP，连接CM．探究在△APQ的旋转过程中，线段CM，CQ之间的数量关系和位置关系”小明计划采用从特殊到一般的方法探究这个问题．特例探究：（1）填空：如图3，当α＝30°时，＝，直线CQ与CM所夹锐角的度数为；如图4，当α＝45°时，＝，直线CQ与CM所夹锐角的度数为；一般结论：（2）将△APQ绕点A逆时针方向旋转的过程中，线段CQ，CM之间的数量关系如何（用含α的式子表示）？直线CQ与CM所夹锐角的度数是多少？请仅就图2所示情况说明理由；问题解决（3）如图4，在Rt△ABC中，若AB＝4，α＝45°，AP＝3，将△APQ由初始位置绕点A逆时针方向旋转β角（0°＜β＜180°），当点Q到直线AC的距离为2时，请直接写出线段CM的值．参考答案1．解：（1）∠QEP＝60°；证明：如图1，QE与CP的交点记为M，∵PC＝CQ，且∠PCQ＝60°，∴∠PCQ＝∠ACB＝60°，∴∠BCQ＝∠ACP，则△CQB和△CP A中，，∴△CQB≌△CP A（SAS），∴∠CQB＝∠CP A，在△PEM和△CQM中，∠EMP＝∠CMQ，∴∠QEP＝∠QCP＝60°．故答案为：60°；（2）∠QEP＝60°．理由如下：如图2，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，∴CP＝CQ，∠PCQ＝6O°，∴∠ACB+∠BCP＝∠BCP+∠PCQ，即∠ACP＝∠BCQ，在△ACP和△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ（SAS），∴∠APC＝∠Q，∵∠BOP＝∠COQ，∴∠QEP＝∠PCQ＝60°；（3）作CH⊥AD于H，如图3，与（2）一样可证明△ACP≌△BCQ，∴AP＝BQ，∵∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，∴∠APC＝30°，∠PCB＝45°，∴∠HAC＝45°，∴△ACH为等腰直角三角形，∴AH＝CH＝AC＝3，在Rt△PHC中，PH＝CH＝3，∴P A＝PH﹣AH＝3﹣3，∴BQ＝3﹣3．2．解：（1）如图1中，∵AB＝AC，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）＝75°，∵AE⊥AC，∴∠EAC＝90°，∴∠BAE＝30°+90°＝120°，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠E＝（180°﹣120°）＝30°，∴∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝75°﹣30°＝45°．故答案为：45．（2）①图形如图2所示．②结论：△BCF是等腰直角三角形理由如下：如图2中，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线，∴FB＝FC，又AB＝AC，AF＝AF，∴△ABF≌△ACF（SSS），∴∠1＝∠2，由旋转可知AE＝AC，又AB＝AC，∴AB＝AE，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3．又∠4＝∠5，∴∠CFE＝∠CAE＝90°即∠CFB＝90°，又FB＝FC，∴△BCF为等腰直角三角形．③如图3中，作EH⊥DF交DF的延长线于H．∵AB＝AC＝5，BD＝CD＝4，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴AD＝＝＝3，∵∠ADC＝∠EAC＝∠H＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠DAC+∠HAE＝90°，∴∠ACD＝∠HAE，∵AE＝AC，∴△ADC≌△EHA（AAS），∴EH＝AD＝3，∵△BDF是等腰直角三角形，FD⊥BC，∴∠DFB＝∠BFC＝45°，∴∠HEF＝∠HFE＝45°，∵∠H＝90°，∴∠EHF＝∠HFE＝45°，∴EH＝FH＝3，∴EF＝EH＝，故答案为：3．3．解：（1）CD＝EF，CD⊥EF，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC∠ACB＝45°，∵将线段AD绕A逆时针旋转90°得到线段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴CD⊥EF，又∵∠ABC＝45°，∴∠BFC＝∠ABC，∴BC＝CF，∴CD＝EF；（2）结论仍然成立，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC∠ACB＝45°，∵将线段AD绕A逆时针旋转90°得到线段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴CD⊥EF，又∵∠ABC＝45°，∴∠BFC＝∠ABC，∴BC＝CF，∴CD＝EF；（3）如图，过点A作AN⊥CE于点N，过点G作GH⊥CE于H，∵AB＝AC＝，∴BC＝CF＝2，∵AN⊥CE，∠ACF＝45°，∴AN＝CN＝1，∵tan∠AEC＝＝，∴EN＝2，∴EC＝CN+EN＝3，∴EF＝EC﹣CF＝1＝CD，∵GH⊥CE，∠ECD＝90°，∴HG∥CD，∴＝＝，且EG＝DG，∴HG＝，EH＝，∴FH＝EH﹣EF＝∴GF＝＝＝4．解（1）①由旋转知，∠ABD＝∠ABC＝90°，∠D＝∠A，∴∠D+∠BED＝90°，∴∠A+∠BED＝90°，∵∠BED＝∠AEF，∴∠A+∠AEF＝90°，∴∠AFE＝90°，∴DF⊥AC；②如图1，过点B作BG⊥BF交DF于G，∴∠FBG＝90°，由旋转知，∠D＝∠A，BD＝AB，∠ABD＝90°，∴∠FBG＝∠ABD，∴∠DBG＝∠ABF，∴△BDG≌△BAF（ASA），∴BG＝BF，∵∠FBG＝90°，∴∠BFD＝45°；（2）①如图2所示，②CF﹣EF＝BF．过点B作BG⊥BF交AC于G，∴∠FBG＝90°，由旋转知，∠C＝∠E，BC＝BE，∵∠ABC＝90°，∴∠FBG＝∠ABC，∴∠CBG＝∠EBF，∴△BCG≌△BEF（ASA），∴CG＝EF，BG＝BF，∵∠FBG＝90°，∴∠BFD＝45°，∴FG＝BF，∵CF＝FG+CG，∴FG＝CF﹣CG＝CF﹣EF＝BF，即：CF﹣EF＝BF．5．解：（1）BD、CE的关系是相等．理由：∵△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，DA＝EA，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD＝CE．故答案为：相等．（2）如图2，3即为旋转后的图形．①如图2，当C在AD上时，由（1）知△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC又∵∠PCD＝∠ACE，∴△PCD∽△ACE，∴又∵CE＝＝＝CD＝AD﹣AC＝5﹣3＝2∴，解得；如图3，当C在AD反向延长线上时，同理△PEB∽△ABD＝∵BD＝BE＝AE﹣AB＝5﹣3＝2∴＝解得PB＝∴PD＝DB+PB＝+＝．答：此时PD的长为或．（3）如图4所示，以点A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在圆A下方与圆A相切时，PD的值最小．在Rt△ACE中，CE＝＝＝4在Rt△ADE中，DE＝＝＝5∵四边形ABPC是正方形，∴PC＝AB＝3∴PE＝PC+CE＝3+4＝7在Rt△DEP中，PD＝＝＝1∴线段PD的最小值为1．故答案为：1．6．解：（1）∵∠AOC＝90°，∴∠OAC+∠ACO＝90°，∵∠ACD＝90°，∴∠DCF+∠ACO＝90°，∴∠DCF＝∠OAC，∵∠OAC＝38°，∴∠DCF＝38°；（2）如图，过点D作DH⊥x轴于H，∴∠CHD＝90°∴∠AOC＝∠CHD＝90°，∵等腰直角三角形ACD，∠ACD＝90°∴AC＝CD，由（1）知，∠DCF＝∠OAC，∴△AOC≌△CHD（AAS），∴OC＝DH＝n，AO＝CH＝3，∴点D的坐标（n+3，n）；（3）不会变化，理由：∵点A（0，3）与点B关于x轴对称，∴AO＝BO，又∵OC⊥AB，∴x轴是AB垂直平分线，∴AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC，又∵AC＝CD，∴BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∵∠ACD＝90°，∴∠ACB+∠DCB＝270°，∴∠BAC+∠ABC+∠CBD+∠CDB＝90°，∴∠ABC+∠CBD＝45°，∵∠BOF＝90°，∴∠OFB＝45°，∴∠OBF＝∠OFB＝45°，∴OB＝OF＝3，∴OF的长不会变化．7．解：[问题初探]如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝135°，故答案为：ADB，等腰直角，135；[继续探究]如图3，过点E作EF⊥BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝45°；[拓展延伸]如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝45°当点D在射线BC上时，由[问题初探]知，∠BCM＝135°，∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°，当点D在线段CB的延长线上时，由[继续探究]知，∠BCE＝45°，∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点，∴当BE⊥MN时，BE最小，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∴BE最小＝BC＝，即：BE的最小值为．8．解：（1）如图1所示：延长BE，①∵等边△ABC中，点D为BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线，∠BAD＝∠CAD＝30°，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB，∵将线段EB绕点E顺时针旋转至EF，∴BE＝EF，∴∠EBF＝∠EFB，∵∠CEF＝∠FEH+∠HEC＝∠EBF+∠BFE+∠EBC+∠ECB＝2∠ABE+2∠EBC，∴∠CEF＝2∠ABC＝120°；②AB＝AF+AE，理由如下：如图1﹣1，在AB上截取BM＝AF，连接ME，过点E作EN⊥AB于N，∵BM＝AF，∠AFE＝∠EBM，BE＝EF，∴△BME≌△F AE（SAS），∴AE＝EM，又∵EN⊥AB，∴AN＝MN＝AM，∵∠BAD＝30°，∴AE＝2NE，AN＝NE，∴AN＝AE，∴AM＝AE，∴AB＝BM+AM＝AF+AE；（3）如图2，∵△ABC是等边三角形，AB＝4，点G为AC的中点，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，CG＝CD＝2，∵将△CDG绕点C顺时针旋转得到△CMN，∴CM＝CN＝CG＝CD＝2，∠MCN＝∠ACB＝60°，∴∠ACN＝∠BCM，∴△BCM≌△ACN（SAS），∴∠CAN＝∠CBM，∴点A，点B，点C，点P四点共圆，∴∠BPC＝∠BAC＝60°，∵将△CDG绕点C顺时针旋转得到△CMN，∴点M在以点C为圆心，CM为半径的圆上，∴当BM与⊙C相切于点M时，△BCP的面积有最大值，如图所示，过点P作PH⊥BC 于H，∵BM是⊙C的切线，∴∠BMC＝90°＝∠PMC，又∵∠BPC＝60°，∴∠PCM＝30°，∴CM＝PM＝2，∴MP＝，∵BM＝＝＝2，∴BP＝BM+MP＝，∵sin∠PBC＝，∴PH＝＝，∴△BCP的面积最大值＝×4×＝，故答案为．9．（1）证明：如图1中，∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，∴∠BMA＝∠CNM＝90°，∴BM∥CN，∴∠MBP＝∠ECP，又∵P为BC边中点，∴BP＝CP，又∵∠BPM＝∠CPE，∴△BPM≌△CPE（ASA），∴PM＝PE（2）解：延长MP与NC的延长线相交于点E．∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，∴∠BMN＝∠CNM＝90°∴∠BMN+∠CNM＝180°，∴BM∥CN∴∠MBP＝∠ECP，又∵P为BC中点，∴BP＝CP，又∵∠BPM＝∠CPE，∴△BPM≌△CPE（ASA），∴PM＝PE，S△PBM＝S△PCE，∴AE＝CN+CE＝4，∵S△BMP+S△CNP＝7，∴S△PNE＝7，∴S△MNE＝2S△PNE＝14，∴×MN×4＝14，∴MN＝7．（3）解：如图1﹣1中，当点B，P在直线a的异侧时，∵PG⊥a，CN⊥a，∴PG∥CN，∵PM＝PE，∴MG＝GN，∴PG＝EN＝（CN﹣EC），∵EC＝BM，∴PG＝（CN﹣BM）．如图2﹣2中，当点B，P在直线a的同侧时，延长MP交NC的延长线于Q．∵PG⊥a，CN⊥a，∴PG∥CN，∵BM∥CQ，∴∠BMP＝∠Q，∵∠BPM＝∠CPQ，BP＝CP，∴△PMB≌△PQC（AAS），∴PM＝PQ，BM＝CQ，∴MG＝GN，∴PG＝AQ＝（CN+BM）．综上所述，PG＝（CN﹣BM）或PG＝（CN+BM）．10．解：（1）观察猜想∵在Rt△ABC中与Rt△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠DEC＝30°，AC ＝DC＝，∴AE＝2DC＝2，AC＝BC＝，AB＝2BC，∠CDE＝60°，∴BC＝1，AB＝2，∵点F，G分别是BD，AE的中点，∴CG＝AE＝，CG＝AG，CF＝AB＝1，CF＝AF，∴CG＝CF，∠GDC＝∠GCD＝60°，∠ACF＝∠F AC＝30°，∴∠FCG＝90°，∴CF⊥CG，故答案为：CG＝CF，CF⊥CG；（2）类比探究仍然成立，理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠DEC＝30°，AC＝DC＝，∴∠BCD＝∠ACE，AC＝BC，CE＝CD，∴＝，∴△BCD∽△ACE，∴，∠CAE＝∠CBD，∵点F，G分别是BD，AE的中点，∴BF＝BD，AG＝AE，∴∴△ACG∽△BCF，∴，∠BCF＝∠ACG，∴CG＝CF，∠ACB＝∠FCG＝90°，∴CF⊥CG；（3）问题解决如图，延长BC至H，使BC＝CH＝1，连接DH，∵点F是BD中点，BC＝CH＝1，∴CF＝DH，由（2）可知，CF⊥CG，∴△CFG的面积＝×CF×CG＝CF2，∴△CFG的面积＝DH2，∴当DH取最大值时，△CFG的面积有最大值，当DH取最小值时，△CFG的面积有最小值，∵CD＝，∴点D在以点C为圆心，为半径的圆上，∴当点D在射线HC的延长线上时，DH有最大值为+1，∴△CFG的面积最大值＝（+1）2＝，当点D在射线CH的延长线上时，DH有最小值为﹣1，∴△CFG的面积最小值＝（﹣1）2＝．11．解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，∴∠B＝30°，∴∠A＝60°，①如图1，过点E作EH⊥BC于点H，∵ED⊥AC∴∠ADE＝∠C＝90°，∴四边形CDEH是矩形，即EH＝CD，∴在Rt△BEH中，∠B＝30°，∴BE＝2EH∴BE＝2CD；②BE＝2CD成立，理由：∵△ABC和△ADE都是直角三角形，∴∠BAC＝∠EAD＝60°，∴∠CAD＝∠BAE，又∵，，∴，∴△ACD∽△ABE，∴，又∵Rt△ABC中，＝2，∴＝2，即BE＝2CD；（2）∵sin B＝，∴∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝45°，∵ED⊥AD，∴∠AED＝∠BAC＝45°，∴AD＝DE，AC＝BC，将△ADE绕点A旋转∠DEB＝90°，分两种情况：①如图3所示，过A作AF⊥BE交BE的延长线于F，则∠F＝90°，当∠DEB＝90°时，∠ADE＝∠DEF＝90°，又∵AD＝DE，∴四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF＝EF＝2，∵AC＝10＝BC，根据勾股定理得，AB＝10，在Rt△ABF中，BF＝＝6，∴BE＝BF﹣EF＝4，又∵△ABC和△ADE都是直角三角形，且∠BAC＝∠EAD＝45°，∴∠CAD＝∠BAE，∵，，∴，∴△ACD∽△ABE，∴＝，即＝，∴CD＝2；②如图4所示，过A作AF⊥BE于F，则∠AFE＝∠AFB＝90°，当∠DEB＝90°时，∠DEB＝∠ADE＝90°，又∵AD＝ED，∴四边形ADEF是正方形，∴AD＝EF＝AF＝2，又∵AC＝10＝BC，∴AB＝10，在Rt△ABF中，BF＝＝6，∴BE＝BF+EF＝8，又∵△ACD∽△ABE，∴＝，即＝，∴CD＝4，综上所述，线段CD的长为2或4．12．解：（1）等腰直角三角形，理由如下：∵AP∥BC，∴∠APC＝∠BCP，∠APO＝∠CBP，∵△OAP沿着AP折叠，∴∠APO＝∠APC，OP＝PC，∴∠PCB＝∠PBC，∴PC＝PB＝OP＝8，∴△BCP是等腰三角形，∵OA＝OP＝8，∴∠OP A＝∠APC＝45°，∴∠OPC＝90°，∴△BCP是等腰直角三角形；（2）当t＞0时，如图，∵△OAP沿着AP折叠，∴∠AOP＝∠ACP＝90°，OP＝PC＝t，∴∠ACP+∠BCP＝180°，∴点A，点C，点B三点共线，∵点A（0，8），B（16，0），∴OA＝8，OB＝16，∴AB＝＝＝8，∵tan∠ABO＝，∴，∴t＝4﹣4；当t＜0时，如图，同理可求：t＝﹣4﹣4；（3）∵△OAP沿着AP折叠，∴AC＝AO＝8，∠ACP＝∠AOP＝90°，∵BH⊥CP，∴∠ACP＝∠BHC＝90°，∵AH＝BC，CH＝CH，∴Rt△ACH≌Rt△BHC（HL）∴AC＝BH，∴四边形AHBC是平行四边形，如图2，当0≤t≤16时，点H在PC上时，连接AB交CH于G，∵四边形AHBC是平行四边形，∴AG＝BG＝4，HG＝CG，AC＝BH＝8，∴HG＝＝＝4，在Rt△PHB中，PB2＝BH2+PH2，∴（16﹣t）2＝64+（t﹣8）2，∴t＝8；如图3，当0≤t≤16时，点H在PC的延长线上时，∵四边形AHBC是平行四边形，∴AG＝BG＝4，HG＝CG，AC＝BH＝8，∴HG＝＝＝4，在Rt△PHB中，PB2＝BH2+PH2，∴（16﹣t）2＝64+（t+8）2，∴t＝；如图4，当t＜0时，同理可证：四边形ABHC是平行四边形，又∵AH＝BC，∴四边形ABHC是矩形，∴AC＝BH＝8，AB＝CH＝8，在Rt△PHB中，PB2＝BH2+PH2，∴（16﹣t）2＝64+（t+8）2，∴t＝16﹣8；当t＞16时，如图5，∵四边形ABHC是矩形，∴AC＝BH＝8，AB＝CH＝8，CP＝OP＝t，在Rt△PHB中，PB2＝BH2+PH2，∴（t﹣16）2＝64+（t﹣8）2，∴t＝16+8．综上所述：当t＝8或或16﹣8或16+8时，存在AH＝BC．13．（1）解：∵△BCF和△ACD都是等腰直角三角形，∴AC＝CD，FC＝BC＝1，FB＝，∵AD＝BD，DE是△ABD的平分线，∴DE垂直平分AB，∴F A＝FB＝，∴AC＝F A+FC＝，∴CD＝；（2）证明：如图2，过点C作CH⊥CE交ED于点H，∵△BCF和△ACD都是等腰直角三角形，∴AC＝DC，FC＝BC，∠ACB＝∠DCF＝90°；∴△ABC≌△DFC（SAS），∴∠BAC＝∠CDF，∵∠ECH＝90°，∴∠ACE+∠ACH＝90°，∵∠ACD＝90°，∴∠DCH+∠ACH＝90°，∴∠ACE＝∠DCH．在△ACE和△DCH中，，∴△ACE≌△DCH（ASA），∴AE＝DH，CE＝CH，∴EH＝CE．∵DE＝EH+DH＝CE+AE；（3）解：如图3，连接OE，将OE绕点E顺时针旋转90°得到EQ，连接OQ，PQ，则OQ＝OE．由（2）知，∠AED＝∠ABC+∠CDF＝∠ABC+∠BAC＝90°，在Rt△AED中，点O是斜边AD的中点，∴OE＝OD＝AD＝AC＝，∴OQ＝OE＝，在△OED和△QEP中，，∴△OED≌△QEP（SAS），∴PQ＝OD＝．∵OP≤OQ+PQ＝，当且仅当O、P、Q三点共线时，取“＝”号，∴OP的最大值是．14．证明：（1）如图1，∵将△AEC以点C为旋转中心，逆时针旋转90°得到△BFC，∴△AEC≌△BFC，∴∠CAE＝∠CBF，∵∠ACB＝90°，∴∠CAE+∠EAB+∠CBA＝90°，∴∠CBF+∠EAB+∠CBA＝90°，∴∠APB＝90°，∴AP⊥BF；（2）如图2，∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°＝∠CEP，∵将△AEC以点C为旋转中心，逆时针旋转90°得到△BFC，∴△AEC≌△BFC，∠ECF＝90°，∴∠AEC＝∠BFC＝90°，CE＝CF，∴四边形CEPF是正方形，∴EP＝PF＝CE＝CF，∠EPF＝90°，∵AD为BC边上的中线，∴CD＝BD，又∵∠CDE＝∠BDP，∠CED＝∠BPD＝90°，∴△CDE≌△BDP（AAS），∴CE＝BP，∴EP＝PF＝BP，∴EP+FP＝2BP；（3）结论仍然成立，理由如下：如图1，过点C作CN⊥AD于N，作CM⊥BF，交BF的延长线于M，∵将△AEC以点C为旋转中心，逆时针旋转90°得到△BFC，∴∠CAE＝∠CBF，CE＝CF，∵∠ACB＝90°，∴∠CAE+∠EAB+∠CBA＝90°，∴∠CBF+∠EAB+∠CBA＝90°，∴∠APB＝90°，又∵CN⊥AD，CM⊥BM，∴四边形CNPM是矩形，∵∠CAE＝∠CBF，∠ANC＝∠BMC＝90°，AC＝BC，∴△ACN≌△BCM（AAS），∴CM＝CN，∴四边形CNPM是正方形，∴CN＝CM＝NP＝MP，∵AD为BC边上的中线，∴CD＝BD，又∵∠CDN＝∠BDP，∠CND＝∠BPD＝90°，∴△CDN≌△BDP（AAS），∴CN＝BP，∴CN＝BP＝NP＝MP，∴EP+FP＝EN+NP+FP＝NP+MF+PF＝NP+MP＝2BP．15．证明：（1）如图1，连接OA，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OB＝OC，∴AO⊥BC，OA＝OB＝OC，∠ABO＝∠ACO＝∠BAO＝∠CAO＝45°，∴∠MON＝∠AOC＝90°，∴∠AOM＝∠CON，且AO＝CO，∠BAO＝∠ACO＝45°，∴△AOM≌△CON（ASA）∴AM＝CN；（2）证明：如图2，在BA上截取BG＝AN，连接GO，AO，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OB＝OC，∴AO⊥BC，OA＝OB＝OC，∠ABO＝∠ACO＝∠BAO＝∠CAO＝45°，∵BG＝AN，∠ABO＝∠NAO＝45°，AO＝BO，∴△BGO≌△AON（SAS），∴OG＝ON，∠BOG＝∠AON，∵∠MON＝45°＝∠AOM+∠AON，∴∠AOM+∠BOG＝45°，∵∠AOB＝90°，∴∠MOG＝∠MON＝45°，∵MO＝MO，GO＝NO，∴△GMO≌△NMO（SAS），∴GM＝MN，∴BM＝BG+GM＝AN+MN；（3）MN＝AN+BM，理由如下：如图3，过点O作OG⊥ON，连接AO，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OB＝OC，∴AO⊥BC，OA＝OB＝OC，∠ABO＝∠ACO＝∠BAO＝∠CAO＝45°，∴∠GBO＝∠NAO＝135°，∵MO⊥GO，∴∠NOG＝90°＝∠AOB，∴∠BOG＝∠AON，且AO＝BO，∠NAO＝∠GBO，∴△NAO≌△GBO（ASA），∴AN＝GB，GO＝ON，∵MO＝MO，∠MON＝∠GOM＝45°，GO＝NO，∴△MON≌△MOG（SAS），∴MN＝MG，∵MG＝MB+BG，∴MN＝AN+BM．16．证明：（1）如图①中，∵MN⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°．在△P AC和△PBC中，，∴△P AC≌△PBC（SAS），∴P A＝PB．（2）如图②中，设直线l、m交于点O，连接AO、BO、CO．∵直线l是边AB的垂直平分线，又∵直线m是边BC的垂直平分线，∴OB＝OC，∴OA＝OC，∴点O在边AC的垂直平分线n上，∴直线l、m、n交于点O．（3）解：如图③中，连接BD，BE．∵BA＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，∴DA＝DB，EB＝EC，∴∠A＝∠DBA＝30°，∠C＝∠EBC＝30°，∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°，∠BED＝∠C+∠EBC＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC，∵AC＝15，∴DE＝AC＝5．故答案为5．17．解：（1）∵+|y﹣8|＝0，又∵≥0，|y﹣8|≥0，∴x＝2，y＝8，∴A（2，8），∵AD⊥x轴，∴OD＝2，AD＝8，∵AD﹣OD＝OE，∴E（﹣6，0）．（2）如图1中，连接OG．由题意G（10，m）．∵AD＝DE＝8，∠ADE＝90°，∴∠AED＝45°，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∴OE＝OF＝6，∴F（0，6），∴S＝S△ODG+S△OFG﹣S△OFD＝×2×m+×6×10﹣×2×6＝m+24（0≤m≤8）．（3）如图2中，设FG交AD于J，P（2，t），当点P在DJ上，点Q在AB上时，当S＝26时，m＝2，∴G（10，2），∴直线FG的解析式为y＝﹣x+6，∴J（2，），由题意，•（﹣t）×10＝2××2t×6，解得t＝，∴P（2，），当点P在AJ上，点Q在BG上时，同法可得，•（t﹣）×10＝2××（14﹣2t）×8，解得t＝，∴P（2，）．综上所述，满足条件的点P的坐标为（2，）或（2，）．18．解：（1）如图1中，过点E作EH⊥BC于H．∵BD⊥CD，∴∠D＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝90°，∠DCB+∠DBC＝90°，∴∠ACD＝∠DBC，∴tan∠DBC＝tan∠ACD＝2，∴＝2，∵AC＝BC＝6，∴BD＝，CD＝，∵EH⊥BC，∠EBH＝45°，∴∠EHB＝90°，∠EHB＝∠HBE＝45°，∴EH＝BH，设EH＝BH＝m，则HC＝2EH＝2m，∴3m＝6，∴m＝2，∴EH＝2，CH＝4，∴EC＝＝＝2，∴DE＝CD﹣CE＝﹣2＝．（2）如图2中，过点A作AT⊥CE于T，在AG上取一点J，使得EJ＝EG．∵EJ＝EG，∴∠EJG＝∠EGJ，∵∠CFG＝EGJ，∴∠CFG＝∠EJG，∴∠AFC＝∠AJE，∵∠ATC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，∴∠ACT+∠DCB＝90°，∠DCB+∠CBD＝90°，∴∠ACT＝∠CBD，∵AC＝BC，∴△ATC≌△CDB（AAS），∴CT＝BD，∵EC＝2BD，∴CT＝ET，∵AT⊥EC，∴AC＝AE，∴∠ACT＝∠AEC，∴∠ACF+∠FCD＝∠EAJ+∠FDC，∵FC＝FD，∴∠FCD＝∠FDC，∴∠ACF＝∠EAJ，∴△ACF≌△EAJ（AAS），∴AF＝EJ＝EG．（3）如图3中，取BC的中点T，连接DT，AT．∵AC＝BC＝6，∠ACT＝90°，CT＝TB＝3，∴AT＝＝＝3，∵CD⊥BD，∴∠CDB＝90°，∴DT＝BC＝3，∴AD≥AT﹣DT，∴AD≥3﹣3，∴AD的最小值为3﹣3，∵△ADE是等腰直角三角形，AH⊥DE，∴DH＝EH，∴AH＝DE＝AD，∴AH的最小值为﹣，此时，A，D，T共线，如图3﹣1中，过点D作DQ⊥AC于Q，过点E作EP⊥CA交CA 的延长线于P，过点H作HJ⊥AC于J．∵DQ∥CT，∴＝＝，∴＝＝，∴DQ＝，AQ＝，由△AQD≌△EPQ，可得PE＝AQ＝，∵EP∥HJ∥DQ，EH＝HD，∴PJ＝JQ，∴JH＝（PE+DQ）＝∴△ACH的面积＝×6×＝．19．解：（1）①如图1，∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°，∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝120°，∴∠BEC＝120°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°，故答案为：60；②∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，故答案为：AD＝BE；（2）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD，∠ADC＝∠BEC，∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝135°．∴∠BEC＝135°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°，∴AD2+AE2＝AB2，∵AD＝a，AE＝b，AB＝c，∴a2+b2＝c2；（3）如图3，由（1）知△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，∵∠CAB＝∠CBA＝60°，∴∠OAB+∠OBA＝120°，∴∠AOE＝180°﹣120°＝60°，如图4，同理求得∠AOB＝60°，∴∠AOE＝120°，∴∠AOE的度数是60°或120°．20．解：（1）如图3中，连接PB，延长BP交CQ的延长线于J，延长QC到R，设AC交BJ于点K．∵∠P AQ＝∠BAC，∴∠CAQ＝∠BAP，∵＝＝cos30°＝，∴△QAC∽△P AB，。

中考几何变换专题复习（针对几何大题的讲解）几何图形问题的解决，主要借助于基本图形的性质（定义、定理等）和图形之间的关系(平行、全等、相似等）.基本图形的许多性质都源于这个图形本身的“变换特征”，最为重要和最为常用的图形关系“全等三角形”极多的情况也同样具有“变换”形式的联系.本来两个三角形全等是指它们的形状和大小都一样，和相互间的位置没有直接关系，但是，在同一个问题中涉及到的两个全等三角形，大多数都有一定的位置关系（或成轴对称关系，或成平移的关系，或成旋转的关系（包括中心对称）.这样，在解决具体的几何图形问题时，如果我们有意识地从图形的性质或关系中所显示或暗示的“变换特征”出发，来识别、构造基本图形或图形关系，那么将对问题的解决有着极为重要的启发和引导的作用.下面我们从变换视角以三角形的全等关系为主进行研究.解决图形问题的能力，核心要素是善于从综合与复杂的图形中识别和构造出基本图形及基本的图形关系，而“变换视角”正好能提高我们这种识别和构造的能力.1．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；正方形的性质。

专题：压轴题。

分析：（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．（3）结论依然成立．还知道EG⊥CG．解答：（1）证明：在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG=FD，同理，在Rt△DEF中，EG=FD，∴CG=EG．（2）解：（1）中结论仍然成立，即EG=CG．证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG，∴AG=CG；在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG，∴MG=NG；在矩形AENM中，AM=EN，在△AMG与△ENG中，∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，∴△AMG≌△ENG，∴AG=EG，∴EG=CG．证法二：延长CG至M，使MG=CG，连接MF，ME，EC，在△DCG与△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG≌△FMG．∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，∴MF∥CD∥AB，∴EF⊥MF．在Rt△MFE与Rt△CBE中，∵MF=CB，EF=BE，∴△MFE≌△CBE∴∠MEF=∠CEB．∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，∴△MEC为直角三角形．∵MG=CG，∴EG=MC，∴EG=CG．（3）解：（1）中的结论仍然成立．即EG=CG．其他的结论还有：EG⊥CG．点评：本题利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质．2．（1）如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD于点H，试证明CH=EF+EG；（2）若点E在BC的延长线上，如图2，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC的延长线于点G，CH⊥BD于点H，则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；（3）如图3，BD是正方形ABCD的对角线，L在BD上，且BL=BC，连接CL，点E 是CL上任一点，EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；（4）观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF、EG、CH这样的线段，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；正方形的性质。

2022-2023学年九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》专题训练（附答案）1．△ABC≌△ADE，AB＝1，BC＝2，∠B＝120°，将两个三角形完全重合，保持△ABC 不动，将△ADE绕点A逆时针方向旋转角α．（1）如图1，ED的延长线交BC于G点，求∠DGB（用含α的式子表示）．（2）如图2，若α＝60°，连接CD，求∠ADC的度数．（3）如图3，若α＝90°，连接CD，EC，求△EDC的面积．2．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC 以每秒5单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A、C 重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ．设点P的运动时间为t秒．（1）当点D与点E重合时，求t的值．（2）用含t的代数式表示线段CE的长．（3）当△PDQ为直角三角形时，求△PDQ与△ABC重叠部分的面积．（4）连结BE，当BE将△ABC的面积分成1：3两部分时，直接写出t的值．3．如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（0，b）两点，且a、b满足+（a+2b﹣1）2＝0，点C（m，0）在射线AO上（不与原点重合）．将线段AB平移到DC，点D与点A对应，点C与点B对应，连接BC，直线AD交y轴于点E．请回答下列问题：（1）求A、B两点的坐标；（2）设三角形ABC面积为S△ABC，若4＜S△ABC≤7，求m的取值范围；（3）设∠BCA＝α，∠AEB＝β，请给出α，β满足的数量关系式，并说明理由．4．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）为；（2）如图2，连接BE，若∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．5．在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为（3，0），（0，1）．点D是边BC上的动点（与端点B，C不重合），过点D作直线y＝﹣x+b交边OA于点E．（Ⅰ）如图①，求点D和点E的坐标（用含b的式子表示）；（Ⅱ）如图②，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为矩形O1A1B1C1，试探究矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由；（Ⅲ）矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形，请直接写出这个菱形的面积的最小值和最大值．6．如图①，将▱ABCD置于直角坐标系中，其中BC边在x轴上（B在C的左边），点D坐标为（0，4），直线MN：y＝x﹣6沿着x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被▱ABCD截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图②所示．（1）填空：点C的坐标为；在平移过程中，该直线先经过B、D中的哪一点？；（填“B”或“D”）（2）点B的坐标为，n＝，a＝；（3）在平移过程中，求该直线扫过▱ABCD的面积y与t的函数关系式．7．已知，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，∠A＝90°．取一块含45°角的直角三角尺，将直角顶点放在斜边BC边的中点O处，一条直角边过A点（如图1）．三角尺绕O点顺时针方向旋转，使90°角的两边与Rt△ABC的两边AB，AC分别相交于点E，F（如图2）．设BE＝x，CF＝y．（1）探究：在图2中，线段AE与CF有怎样的大小关系？证明你的结论；（2）求在上述旋转过程中y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）若将直角三角尺45°角的顶点放在斜边BC边的中点O处，一条直角边过A点（如图3）．三角尺绕O点顺时针方向旋转，使45°角的两边与Rt△ABC的两边AB，AC分别相交于点E，F（如图4）．在三角尺绕O点旋转的过程中，△OEF是否能成为等腰三角形？若能，直接写出△OEF为等腰三角形时x的值；若不能，请说明理由．8．如图1，E、F为正方形ABCD对角线AC上两点，∠ABE+∠FBC＝45°，将△BEA绕点B逆时针旋转90°得到△BGC，连接FG，△FGC周长为．（1）若F与G关于BC对称，求∠BEF度数；（2）求AC的长；（3）若图1中∠CBG＝30°，将△BGC从起始位置绕点B顺时针旋转n°（0＜n＜360），设点G在运动过程中到AB的距离为d，当△BGC中的两顶点以及A点成共线且不重合三点时，求n°以及（+1）d值．9．在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，过点A作直线MN，使MN∥BC，点D在直线MN 上，作射线BD，将射线BD绕点B顺时针旋转角α后交直线AC于点E．（1）如图1，当α＝60°，且点D在射线AN上时，探究线段AB，AD，AE的数量关系，并说明理由．（2）如图2，当α＝45°，且点D在射线AN上时，请直接写出线段AB，AD，AE的数量关系．（3）当α＝30°时，若点D在射线AM上，∠ABE＝15°，AD＝3﹣，请直接写出线段AE的长度．10．学习了旋转后，老师对教材的习题进行了改编，得到了下面的问题：已知：如图，△ACB和△DCE都是等边三角形，连接AE，BD交于点O．（1）用旋转的角度观察，图中△ACE以点C为旋转中心，逆时针方向旋转60°后得到的图形是：．（2）试判断线段AE与BD的数量关系，并说明理由．（3）∠AOB＝．11．△ABC是等边三角形，AC＝2，点C关于AB对称的点为C'，点P是直线C'B上的一个动点，连接AP，作∠APD＝60°交射线BC于点D．（1）若点P在线段C'B上（不与点C'，点B重合）．①如图1，若点P是线段C'B的中点，则BP的长为；②如图2，点P是线段C'B上任意一点，求证：PD＝P A；（2）若点P在线段C'B的延长线上．①依题意补全图3；②直接写出线段BD，AB，BP之间的数量关系为：．12．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；（3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．①试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由；②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．13．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB＝4，求BE的长；（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF＝AB．（3）如图3，若∠EDF的两边分别交AB、AC的延长线于E、F两点，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请直接写出线段BE、AB、CF之间的数量关系．14．将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）连接BF，求证：CF＝EF．（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，如图②，求证：AF+EF＝DE．（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③，你认为（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出AF、EF与DE之间的数量关系．15．在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（a，0），（0，b），其中a，b满足+|2a﹣5b﹣30|＝0．将点B向右平移26个单位长度得到点C，如图①所示．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点M，N分别为线段BC，OA上的两个动点，点M从点C向左以1.5个单位长度/秒运动，同时点N从点O向点A以2个单位长度/秒运动，如图②所示，设运动时间为t 秒（0＜t＜15）．①当CM＜AN时，求t的取值范围；②是否存在一段时间，使得S四边形MNOB＞2S四边形MNAC？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．16．已知△ABC是等边三角形，AB＝6，将一块含有30°角的直角三角板DEF如图所示放置，让等边△ABC向右平移（BC只能在EF上移动）．如图1，当点E与点B重合时，点A恰好落在三角板DEF的斜边DF上．（1）若点C平移到与点F重合，求等边△ABC平移的距离；（2）在等边△ABC向右平移的过程中，AB，AC与三角板斜边的交点分别为G，H，连接EH交AB于点P，如图2．①求证：EB＝AH；②若∠HEF＝30°，求EH的长；③判断PG的长度在等边△ABC平移的过程中是否会发生变化？如果不变，请求出PG的长；如果变化，请说明理由．17．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，连接BD，将△ABD绕B点作顺时针方向旋转得到△A′B′D′（B′与B重合），且点D′刚好落在BC的延长线上，A′D′与CD相交于点E．（1）求矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分（如图1中阴影部分A′B′CE）的面积；（2）将△A′B′D′以每秒2cm的速度沿直线BC向右平移，如图2，当B′移动到C 点时停止移动．设矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分的面积为y，移动的时间为x，请你直接写出y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x，使得△AA′B′成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x的值，若不存在，请你说明理由．18．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，（直角三角板只能在直线AB上方旋转）（1）如图1，将三角板MON的一边ON与射线OB重合，则∠MOC＝；（2）如图2，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的角平分线，求旋转角∠BON＝；∠CON＝．（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至∠NOC＝5°，求∠AOM的度数．19．如图1，点O是弹力墙MN上一点，魔法棒从OM的位置开始绕点O向ON的位置顺时针旋转，当转到ON位置时，则从ON位置弹回，继续向OM位置旋转；当转到OM 位置时，再从OM的位置弹回，继续转向ON位置，…，如此反复．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转：第1步，从OA0（OA0在OM上）开始旋转α至OA1；第2步，从OA1开始继续旋转2α至OA2；第3步，从OA2开始继续旋转3α至OA3，…．例如：当α＝30°时，OA1，OA2，OA3，OA4的位置如图2所示，其中OA3恰好落在ON 上，∠A3OA4＝120°；当α＝20°时，OA1，OA2，OA3，OA4，OA3的位置如图3所示，中第4步旋转到ON后弹回，即∠A3ON+∠NOA4＝80°，而OA5恰好与OA2重合．解决如下问题：（1）若α＝35°，在图4中借助量角器画出OA2，OA3，其中∠A3OA2的度数是；（2）若α＜30°，且OA4所在的射线平分∠A2OA3，在如图5中画出OA1，OA2，OA3，OA4并求出α的值；（3）若α＜30°，且∠A2OA4＝20°，求对应的α值．20．定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．理解：如图①，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，那么DE为△ABC的一条中位线．可得DE∥BC且DE＝BC．应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE．点M，N，P分别是DE，BC和CD的中点．已知∠BAC＝α．（1）当α＝90°时，①请直接写出：PM与PN的数量关系；∠MPN＝．②是否存在点D，使得以P，M，N为顶点的三角形与△ADE全等？若存在，请求出点D的位置；若不存在，请说明理由．（2）将△ADE绕点A旋转，当点D在△ABC内时（如图③），①试说明PM与PN的数量关系，并求出∠MPN的度数（用含α的式子表示）；②连接BD，MN，若AD＝BD，直接写出△ADE和△PMN的面积关系：．参考答案1．解：（1）设AC与EG交于点O，∵将△ADE绕点A逆时针方向旋转角α，∴∠EAC＝α，∵△ABC≌△ADE，∴∠C＝∠E，又∵∠AOE＝∠GOC，∴∠EAO＝∠OGC＝α，∴∠DGB＝180°﹣∠EAO＝180°﹣α；（2）连接BD，∵将△ADE绕点A逆时针方向旋转角α，∴∠DAB＝60°，DA＝AB，∴△ABD为等边三角形，∴∠ADB＝∠ABD＝60°，BD＝AB＝1，∵∠ABC＝120°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝60°，在BC上截取BF＝BD，∴△BFD为等边三角形，∴∠BFD＝60°，DF＝BF＝1，又∵BC＝2，∴CF＝1，∴DF＝CF，∴∠FDC＝∠DCF＝30°，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝60°+90°＝150°；（3）过点E作EM⊥AD交AD的延长线于M，过点C作CN⊥AD交AD的延长线于N，∵将△ADE绕点A逆时针方向旋转角α，∴AC＝AE，∠EAC＝90°，∵∠EAM+∠NAC＝90°，∠NAC+∠ACN＝90°，∴∠EAM＝∠ACN，又∵∠AME＝∠ANC，∴△AME≌△CNA（AAS），∴AM＝CN，∵∠ABC＝∠ADE＝120°，∴∠EDM＝60°，∴∠DEM＝30°，∵DE＝AB＝1，∴DM＝1，EM＝，∴AM＝2，∴CN＝2，AE＝＝，∴S△AEC＝＝7，S△ADE+S△ADC＝AD•EM+AD•CN＝，∴S△EDC＝S△AEC﹣（S△ADE+S△ADC）＝7﹣＝．2．解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝＝5，∴sin A＝，cos A＝，当点D与E重合时，AE+CD＝5，∴3t+2t＝5，解得t＝；（2）如图①中，当点P在线段AB上时，在Rt△APE中，AE＝AP•cos A＝4t，∴EC＝5﹣4t．如图②中，当点P在线段BC上时，在Rt△PEC中，PC＝7﹣5t，cos C＝，∴EC＝PC•cos C＝（7﹣5t）＝﹣3t．综上所述，EC＝；（3）当△PDQ是直角三角形时，∵DP＝DQ，∠PDQ＝90°，DE⊥PQ，∴PE＝EQ＝DE，如图③中，当点P在线段AB上时，在Rt△APE中，PE＝P A•sin A＝3t，∵DE＝AC﹣AE﹣CD＝5﹣4t﹣2t＝5﹣6t，∵PE＝DE，∴3t＝5﹣6t，∴t＝，∴PE＝DE＝，∴△PDQ与△ABC重叠部分的面积＝××＝．如图⑤中，当点P在线段BC上时，在Rt△PCE中，PE＝PC•sin C＝（7﹣5t）＝﹣4t，∵DE＝CD﹣CE＝2t﹣（7﹣5t）＝5t﹣，∴﹣4t＝5t﹣，解得t＝，∴PE＝DE＝，∴△PDQ与△ABC重叠部分的面积＝××＝．综上所述：△PDQ与△ABC重叠部分的面积为或；（4）如图①中，当AE＝AB时，即AE＝，满足条件，此时AP＝AE＝，∴t＝．如图②中，当CE＝AC，即EC＝时，满足条件，此时PC＝EC＝，∴AB+PB＝7﹣＝，∴t＝，综上所述，满足条件的t的值为和．3．解：（1）∵+（a+2b﹣1）2＝0，又∵≥0，（a+2b﹣1）2≥0，∴，解得，∴A（﹣3，0），B（0，2）；（2）三角形的面积为，由4＜S△ABC≤7，可得，4＜m+3≤7，∴1＜m≤4；（3）如图1中，当点C在线段OA上时，作ON∥BC，∵AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∵ON∥BC，∴ON∥AD，∴∠ACB＝∠AON，∠AEB＝∠BON，∴α﹣β＝∠BCA﹣∠AEB＝∠NOA﹣∠NOB＝∠AOB＝90°．如图2中，当点C在AO的延长线上时，ON∥BC，∵AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∵ON∥BC，∴ON∥AD，∴∠ACB＝∠AON，∠AEB＝∠BON，∴α+β＝∠BCA+∠AEB＝∠FOA+∠FOB＝∠AOB＝90°．综上所述，α﹣β＝90°或α+β＝90°．4．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝α，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣α），∵∠CBD＝60°，∴∠ABD＝（180°﹣α）﹣60°＝30°﹣α．故答案为：∠ABD＝30°−α；（2）结论：△ABE是等边三角形．理由：如图2，连接AD，CD，∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD，则BC＝BD，∠DBC＝60°，∴△BCD为等边三角形，∵∠ABE＝∠DBC＝60°，∴∠ABD＝∠EBC＝30°−α，∴BD＝CD，在△ABD与△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD＝α，∵∠BCE＝150°，∴∠BEC＝180°−∠BCE﹣∠EBC＝α，∴∠BAD＝∠BEC＝α，在△EBC和△ABD中，，∴△EBC≌△ABD（AAS），∴BE＝AB，∵∠ABE＝60°，∴△ABE是等边三角形；（3）由△BCD为等边三角形，∴∠BCD＝60°，∵∠BCE＝150°，∴∠DCE＝150°−60°＝90°，∵∠DEC＝45°，∴△DEC为等腰直角三角形，∴DC＝CE＝BC，∵∠BCE＝150°，∴∠EBC＝（180°−150°）＝15°，∵∠EBC＝30°−α＝15°，∴α＝30°．5．解：（1）∵四边形OABC是矩形，∴CB∥x轴，由点A，C的坐标分别为（3，0），（0，1）．可得点D的纵坐标为1，当y＝1时，y＝+b，解得：x＝2b﹣2，∴D的坐标为（2b﹣2，1）当y＝0时，y＝+b，解得：x＝2b，∴E的坐标为（2b，0）（Ⅱ）CB与O1A1的交点为M，C1B1与OA的交点为N，如图：∵四边形OABC，四边形O1A1B1C1是矩形，∴CB∥OA，C1B1∥O1A1，∴四边形DMEN是平行四边形，∵矩形OABC关于直线DE的对称图形为矩形O1A1B1C1，∴∠1＝∠2，∵CB∥OA，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴DM＝ME，∴平行四边形DMEN是菱形，过点D作DH⊥OA于点H，由D（2b﹣2，1），E（2b，0），可知CD＝2b﹣2，OE＝2b，OH＝CD＝2b﹣2，∴EH＝OE﹣OH＝2b﹣（2b﹣2）＝2，设菱形DMEN的边长为m，在Rt△DHN中，DH＝1，HN＝EH﹣NE＝2﹣m，DN＝m，由DH2+HN2＝DN2，得12+（2﹣m）2＝m2，解得：m＝，∴，所以重叠部分菱形DMEN的面积不变，为；（Ⅲ）当NE＝1时，菱形面积的最小值是1；当NE＝时，菱形面积的最大值是．（D与C重合，A与E重合，设DN＝AN＝x，在Rt△DNO中利用勾股定理列出方程计算）6．解：（1）令y＝0，则x﹣6＝0，解得x＝8，令x＝0，则y＝﹣6，∴点M（8，0），N（0，﹣6）∴OM＝8，ON＝6，由图2可知5秒后直线经过点C，∴CM＝5，OC＝OM﹣CM＝8﹣5＝3，∴C（3，0），∵10秒～a秒被截线段长度不变，∴先经过点B；故填：（3，0）；B（2）由图2可知BM＝10，∴OB＝BM﹣OM＝10﹣8＝2，∴B（﹣2，0），在Rt△OCD中，由勾股定理得，CD＝＝5，∴BC＝CD＝5，∴▱ABCD是菱形，∵，∴MN⊥CD，∴n＝DO＝4∵设直线MN向x轴负方向平移的速度为每秒1个单位的长度，平移后的直线解析式为y＝（x+t）﹣6，把点D（0，4）代入得，（0+t）﹣6＝4，解得t＝，∴a＝；故答案为：（1）（3，0），B；（2）（﹣2，0），4，；（3）当0≤t≤5时，y＝0；当5＜t≤10，如图1，该直线与BC、CD分别交于F、E，FC＝t﹣5，∵直线CD的解析式为：y＝﹣x+4，∴EF⊥CD，∴△CEF∽△COD，∴，∴，∴EF＝，CE＝，∴y＝××＝＝t2﹣t+6，当10＜t≤，如图2，直线与AB、CD分别交于G、E，与射线CB交于F，FB＝t﹣10，∵△BGF∽△COD，∴∴FG＝，BG＝，y＝S△CEF﹣S△BGF＝﹣＝（10t﹣75）＝t﹣18，当时，如图3，BG＝，AG＝5﹣，∵△EAG∽△DCO，∵＝，∴DG＝×（5﹣），∴y＝20﹣（5﹣）××（5﹣）＝﹣+t﹣，当t≥时y＝20．综上所述：y＝．7．解：（1）AE＝CF．理由：连接AO．如图2，∵AB＝AC，点O为BC的中点，∠BAC＝90°，∴∠AOC＝90°，∠EAO＝∠C＝45°，AO＝OC．∵∠EOF＝90°，∠EOA+∠AOF＝90°，∠COF+∠AOF＝90°，∴∠EOA＝∠FOC，在△EOA和△FOC中，∴△EOA≌△FOC（ASA），∴AE＝CF．（2）∵AE＝CF，∴BE+CF＝BE+AE＝AB＝2，即x+y＝2，∴y与x的函数关系式：y＝2﹣x．x的取值范围是：0≤x≤2．（3）△OEF能构成等腰三角形．当OE＝EF时，如图3，点E为AB中点，点F与点A重合，BE＝AE＝1，即x＝1，当OE＝OF时，如图4，BE＝BO＝CO＝CF＝，即x＝，当EF＝OF时，如图5，点E与点A重合，点F为AC中点，即x＝2，综上所述：△OEF为等腰三角形时x的值为1或或2．8．解：（1）∵F与G关于BC对称，∴BF＝BG，∵将△BEA绕点B逆时针旋转90°得到△BGC，∴BE＝BG，∴BE＝BF，∵∠ABE+∠FBC＝45°，∴∠EBF＝45°，∴∠BEF＝67.5°；（2）∵将△BEA绕点B逆时针旋转90°得到△BGC，∴AE＝CG，∠ABE＝∠CBG，BE＝BG，∵∠ABE+∠FBC＝45°，∴∠EBF＝45°，∠FBC+∠CBG＝45°，∴∠EBF＝∠FBG，又∵BF＝BF，∴△BFE≌△BFG（SAS），∴EF＝FG，∵△FGC周长为a，∴FG+GC+FC＝a＝AE+EF+FC，∴AC＝a；（3）如图，当点G，点A，点B共线时，当点G'在线段AB的延长线上时，∵∠CBG＝30°，∴n°＝60°，d＝0，∴（+1）d＝0，当点G''在线段AB上时，∵∠CBG＝30°，∴n°＝240°，d＝0，∴（+1）d＝0，如图，当点C，点A，点B共线时，过点G'''作G'''H⊥BC'''于H，∴n°＝90°，在如图1，将△BEA绕点B逆时针旋转90°得到△BGC，∴∠BAC＝∠BCG＝45°，∵AC＝a，∴AB＝BC＝a，∵将△BGC从起始位置绕点B顺时针旋转，∴BC＝BC'''＝a，∠BC'''G'''＝45°，∠G'''BC'''＝30°，∵G'''H⊥BC'''，∴G'''H＝C'''H＝d，BH＝G'''H＝d，∴BH+HC'''＝d+d＝（+1）d＝a，综上所述：n°的值为60°或90°或240°，（+1）d的值为0或a．9．解：（1）结论：AE＝AB+AD．理由：∵当α＝60°时，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，又∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝CB，∠ACB＝60°，∴∠BCE＝120°，∵MN∥BC，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝120°，∴∠BAD＝∠BCE，∴△BAD≌△BCE，∴AD＝CE，∴AE＝AC+CE＝AB+AD；（2）结论：AE＝AB+AD．理由：当α＝45°时，∠ABC＝∠DBE＝45°，∴∠ABD＝∠CBE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝AB，∵MN∥BC，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，∵∠BCE＝180°﹣∠ACB＝135°，∴∠BAD＝∠BCE，∴△BAD∽△BCE，∴＝＝，∴CE＝AD，∴AE＝AC+CE＝AB+AD；（3）由题可得，∠ABC＝∠DBE＝∠BAD＝30°，分两种情况：①如图所示，当点E在线段AC上时，∵∠ABE＝15°＝∠ABC＝∠DBE，∴∠ABD＝∠ABE＝15°，在BE上截取BF＝BD，易得△ABD≌△ABF，∴AD＝AF＝3﹣，∠ABC＝∠BAD＝∠BAF＝30°，∴∠AFE＝∠ABF+∠BAF＝15°+30°＝45°，又∵∠AEF＝∠CBE+∠C＝15°+30°＝45°，∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF＝3﹣；②如图所示，当点E在CA的延长线上时，过D作DF⊥AB于F，过E作EG⊥BC于G，∵AD＝3﹣，∠DAF＝30°，∴DF＝，AF＝，∵∠DBF＝15°+30°＝45°，∴∠DBF＝∠BDF，∴BF＝DF＝，AB＝+＝＝AC，∴BC＝3，∵∠EBG＝15°+30°＝45°，∴∠BEG＝∠EBG，设BG＝EG＝x，则CG＝3﹣x，∵Rt△CEG中，tan C＝，即＝，∴x＝＝EG，∴CE＝2EG＝3﹣3，∴AE＝CE﹣AC＝3﹣3﹣＝2﹣3，综上所述所，线段AE的长度为3﹣或2﹣3．10．解：（1）中△ACE以点C为旋转中心，逆时针方向旋转60°后得到的图形是△BCD．故答案为：△BCD；（2）解：结论：AE＝BD．理由：∵△ABC和△DEC都是等边三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD；（3）如图，设DB交AC于点J．∵△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠CBD，∵∠AJO＝∠BJC，∴∠AOB＝∠ACB＝60°，故答案为：60°．11．（1）①解：如图1，连接AC′，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，AB＝AC＝2，∵点C'与点C关于对称，∴∠C'BA＝∠CBA＝60°，BC'＝BC＝BA，∴△ABC'是等边三角形，∵PB＝PC'，∴PB＝1，故答案为：1；②证明：如图2，作∠BPE＝60°交射线AB于点E，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵点C'与点C关于对称，∴∠C'BA＝∠CBA＝60°，∴∠PEB＝60°，∴△PBE是等边三角形，∴PB＝PE，∠AEP＝∠PBD＝120°，∵∠BPD+∠DPE＝60°，∠APE+∠DPE＝60°，∴∠BPD＝∠APE，在△PBD和△PEA中，，∴△PBD≌△PEA（ASA），∴PD＝P A；（2）解：①补全图3如图3所示，②BD＝BP+AB，理由如下：如图3，在BD上取一点E，使BE＝BP，连接PE，∵∠EBP＝60°，BE＝BP，∴△EBP是等边三角形，∴∠BPE＝∠APD＝60°，∴∠APB＝∠DPE，在△BP A和△EPD中，，∴△BP A≌△EPD（SAS），∴AB＝DE，∴BD＝BE+ED＝BP+AB，故答案为：BD＝BP+AB．12．解：（1）BD＝AC，BD⊥AC，理由：延长BD交AC于F．∵AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，在△BED和△AEC中∴△BED≌△AEC，∴BD＝AC，∠DBE＝∠CAE，∵∠BED＝90°，∴∠EBD+∠BDE＝90°，∵∠BDE＝∠ADF，∴∠ADF+∠CAE＝90°，∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，∴BD⊥AC；（2）不发生变化，理由是：∵∠BEA＝∠DEC＝90°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，∴△BED≌△AEC（SAS），∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，∵∠DEC＝90°，∴∠ACE+∠EOC＝90°，∵∠EOC＝∠DOF，∴∠BDE+∠DOF＝90°，∴∠DFO＝180°﹣90°＝90°，∴BD⊥AC；（3）①∵∠BEA＝∠DEC＝90°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，∴△BED≌△AEC（SAS），∴BD＝AC，②能．理由：∵△ABE和△DEC是等边三角形，∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠BEA＝∠DEC＝60°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，，∴△BED≌△AEC（SAS），∴∠BDE＝∠ACE，BD＝AC．∴∠DFC＝180°﹣（∠BDE+∠EDC+∠DCF）＝180°﹣（∠ACE+∠EDC+∠DCF）＝180°﹣（60°+60°）＝60°，即BD与AC所成的角的度数为60°或120°．13．解：（1）如图1中，∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，BC＝AC＝AB＝4，∵点D是线段BC的中点，∴BD＝DC＝BC＝2，∵DF⊥AC，即∠CFD＝90°，∴∠CDF＝30°，又∵∠EDF＝120°，∴∠EDB＝30°，∴∠BED＝90°∴BE＝BD＝1．（2）如图2中，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．∵∠B＝∠C＝60°，BD＝DC，∠BDM＝∠CDN＝30°，∴△BDM≌△CDN，∴BM＝CN，DM＝DN，又∵∠EDF＝120°＝∠MDN，∴∠EDM＝∠NDF，又∵∠EMD＝∠FND＝90°，∴△EDM≌△FDN，∴ME＝NF，∴BE+CF＝BM+EM+NC﹣FN＝2BM＝BD＝AB．（3）结论不成立．结论：BE﹣CF＝AB．∵∠B＝∠C＝60°，BD＝DC，∠BDM＝∠CDN＝30°，∴△BDM≌△CDN，∴BM＝CN，DM＝DN，又∵∠EDF＝120°＝∠MDN，∴∠EDM＝∠NDF，又∵∠EMD＝∠FND＝90°，∴△EDM≌△FDN，∴ME＝NF，∴BE﹣CF＝BM+EM﹣（FN﹣CN）＝2BM＝BD＝AB．14．（1）证明：如图1，连接BF，∵△ABC≌△DBE，∴BC＝BE，∵∠ACB＝∠DEB＝90°，在Rt△BCF和Rt△BEF中，，∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），∴CF＝EF；（2）如图2，连接BF，∵△ABC≌△DBE，∴BC＝BE，∵∠ACB＝∠DEB＝90°，在Rt△BCF和Rt△BEF中，，∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），∴EF＝CF，∴AF+EF＝AF+CF＝AC＝DE；（3）如图3，连接BF，∵△ABC≌△DBE，∴BC＝BE，∵∠ACB＝∠DEB＝90°，∴△BCF和△BEF是直角三角形，在Rt△BCF和Rt△BEF中，，∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），∴CF＝EF，∵AC＝DE，∴AF＝AC+FC＝DE+EF．15．解：（1）∵+|2a﹣5b﹣30＝0，且≥0，|2a﹣5b﹣30|≥0，∴，解得：，∴A（30，0），B（0，6），又∵点C是由点B向右平移26个单位长度得到，∴C（26，6）；（2）①由（1）可知：OA＝30，∵点M从点C向右以1.5个单位长度/秒运动，点N从点O向点A以2个单位长度/秒运动，∴CM＝1.5t，ON＝2t，∴AN＝30﹣2t∵CM＜AN，∴1.5t＜30﹣2t，解得t＜，而0＜t＜15，∴0＜t＜；②由题意可知CM＝1.5t，ON＝2t，∴BM＝BC﹣CM＝26﹣1.5t，AN＝30﹣2t，又B（0，6），∴OB＝6，∴S四边形MNOB＝OB（BM+ON）＝3（26﹣1.5t+2t）＝3（26+0.5t），S四边形MNAC＝OB （AN+CM）＝3（30﹣2t+1.5t）＝3（30﹣0.5t），当S四边形MNOB＞2S四边形MNAC时，则有3（26+0.5t）＞2×3（30﹣0.5t），解得t＞＞15，∴不存在使S四边形MNOB＞2S四边形MNAC的时间段．16．解：（1）等边△ABC未平移时，如图1，∵∠ABC＝60°，BD⊥BF，∴∠DBA＝30°，∵∠BDF＝60°，∴BA⊥DF，∴2AB＝BF＝BC+CF，∵AB＝BC，∴CF＝AB＝6，即：点C平移到与点F重合时，等边△ABC平移的距离为6；（2）①作EM⊥DF于点M，EN⊥AB于点N，如图2，由（1）知AB⊥DF，∴MENG是矩形，∴GN＝EM＝AB，∵∠ACB＝60°，∠DFE＝30°，∴∠CHF＝30°，∴∠AHG＝30°，∵EN∥DF，∴∠BEN＝30°＝∠AHG，∵AG+GB＝AB，BN+GB＝NG＝AB，∴BN＝AG，在△EBN和△HAG中，，∴△EBN≌△HAG（AAS），∴EB＝AH；②如图3，作HI⊥EF于点I，∵∠HEF＝30°＝∠HFE，∴IE＝IF，由（1）知EF＝2AB＝12，∴IE＝6，∴IH＝，∴EH＝4；③不变．如图2，∵△EBN≌△HAG，∴GH＝NE，在△ENP和△HGP中，，∴△ENP≌△HGP（AAS），∴GP＝NP＝NG＝＝3．17．解：（1）∵AB＝6cm，AD＝8cm，∴BD＝10cm，根据旋转的性质可知B′D′＝BD＝10cm，CD′＝B′D′﹣BC＝2cm，∵tan∠B′D′A′＝，∴，∴CE＝cm，∴S A′B′CE＝S A′B′D′﹣S CED′＝（cm2）；（2）①当0≤x＜时，CD′＝2x+2，CE＝（x+1），∴S△CD′E＝x2+3x+，∴y＝×6×8﹣x2﹣3x﹣＝﹣x2﹣3x+；②当≤x≤4时，B′C＝8﹣2x，CE＝（8﹣2x）∴y＝×（8﹣2x）2＝x2﹣x+．（3）①如图1，当AB′＝A′B′时，x＝0秒；②如图2，当AA′＝A′B′时，A′N＝BM＝BB′+B′M＝2x+，A′M＝NB＝，∵AN2+A′N2＝36，∴（6﹣）2+（2x+）2＝36，解得：x＝，x＝（舍去）；③如图2，当AB′＝AA′时，A′N＝BM＝BB′+B′M＝2x+，A′M＝NB＝，∵AB2+BB′2＝AN2+A′N2∴36+4x2＝（6﹣）2+（2x+）2解得：x＝．综上所述，使得△AA′B′成为等腰三角形的x的值有：0秒、秒、．18．解：（1）∵∠MON＝90°，∴∠MOC＝∠MON﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°；故答案为：25°；（2）∵OC是∠MOB的角平分线，∴∠MOB＝2∠BOC＝2×65°＝130°，∴旋转角∠BON＝∠MOB﹣∠MON＝130°﹣90°＝40°，∠CON＝∠BOC﹣∠BON＝65°﹣40°＝25°；故答案为：40°，25°；（3）由直角三角板只能在直线AB上方旋转可知：如图2，当ON在∠BOC内部时，∵∠NOC＝5°，∠BOC＝65°，∴∠BON＝∠BOC﹣∠NOC＝60°，∵点O为直线AB上一点，∴∠AOB＝180°，∵∠MON＝90°，∴∠AOM＝∠AOB﹣∠MON﹣∠BON，＝180°﹣90°﹣60°，＝30°；如备用图，当ON在∠AOC内部时，∵∠NOC＝5°，∠BOC＝65°，∴∠BON＝∠NOC+∠BOC＝70°，∵点O为直线AB上一点，∴∠AOB＝180°，∵∠MON＝90°，∴∠AOM＝∠AOB﹣∠MON﹣∠BON，＝180°﹣90°﹣70°，＝20°．综上所述：∠AOM的度数为30°或20°．19．解：（1）如图1所示．∠a＝45°，故答案为：45°；（2）解：如图1.1所示．∵α＜30°，∴∠A0OA3＜180°，4α＜180°．∵OA4平分∠A2OA3，∴2（180°﹣6α）+α＝4α，解得：α＝（）°；（3）分四种情况：①当魔法棒从OM位置绕点O顺时旋转到OA4位置（不到ON位置），即OA4和OA3都不从ON回弹时，如图2，3α+4α＝20，α＝（）°；②当魔法棒从OM位置绕点O顺时旋转到ON被弹回到OA4位置（在ON与OA3之间），（180°﹣6α）+180°﹣20°﹣3α）＝4α，解得α＝（）°（不合实际）；③当魔法棒从OM位置绕点O顺时旋转到ON被弹回到OA4位置（在OA2与OA3之间），如图3，根据题意得：4α﹣（180﹣6α）+20＝3α，α＝（）°；或者2（180°﹣6α）+（3α﹣20°）＝4α，解得，α＝（）°；④当魔法棒从OM位置绕点O顺时旋转到ON被弹回到OA4位置（在OA1与OA2之间），即OA4在OA2的左边时，如图4，根据题意得：4α﹣（180﹣6α）＝3α+20，α＝（）°；或者2（180°﹣6α）+（3α+20°）＝4α，解得，α＝（）°，综上，对应的α值是（）°或（）°或（）°．20．解：（1）①如图：∵AB＝AC，AD＝AE，∴AB﹣AD＝AC﹣AE，即BD＝CE，∵点M，N，P分别是DE，BC和CD的中点，∴MP是△CDE的中位线，PN是△BCD的中位线，∴PM＝CE，PN＝BD，PM∥CE，PN∥BD，∴PM＝PN，∠DPM＝∠DCA，∠DPN＝∠ADC，∵α＝90°，即∠A＝90°，∴∠DCA+∠ADC＝90°，∴∠DPM+∠DPN＝90°，即∠MPN＝90°，故答案为：PM＝PN，90°；②存在点D，使得以P，M，N为顶点的三角形与△ADE全等，理由如下：连接MN，如图：由①知△PMN是等腰直角三角形，若△PMN≌△ADE，则PN＝PM＝AD＝AE，∵PN＝BD，∴AD＝BD，∴AD＝AB，∴D是AB靠近A的三等分点；（2）连接CE，BD，如图：由旋转可得∠CAE＝∠BAD，∵AC＝AB，AE＝AD，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴CE＝BD，∠AEC＝∠ADB，∵点M，N，P分别是DE，BC和CD的中点，∴MP是△CDE的中位线，PN是△BCD的中位线，∴PM＝CE，PN＝BD，PM∥CE，PN∥BD，∴PM＝PN，∠DPM＝∠DCE，∠DPN＝180°﹣∠BDP，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+180°﹣∠BDP＝∠DCE+180°﹣（360°﹣∠ADB﹣∠ADE﹣∠EDC）＝∠DCE+∠AEC+∠ADE+∠EDC﹣180°＝∠DCE+∠AED+∠DEC+∠ADE+∠EDC﹣180°，∵∠DCE+∠DEC+∠EDC＝180°，∴∠MPN＝∠AED+∠ADE，∵∠AED+∠ADE＝180°﹣∠EAC﹣∠CAD＝＝180°﹣∠BAD﹣∠CAD＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，∴∠MPN＝180°﹣α；②过E作EG⊥AD于G，过N作NH⊥MP，交MP的延长线于H，如图：由①知PM＝PN＝BD，∠MPN＝180°﹣α，∵AD＝BD，∴PM＝PN＝AD＝AE，∵∠HPN＝180°﹣∠MPN，∴∠HPN＝α＝∠BAC＝∠DAE，设PM＝PN＝m，则AE＝AD＝2m，在Rt△AEG中，EG＝AE•sinα＝2m•sinα，在Rt△PHN中，HN＝PN•sinα＝m•sinα，∴S△ADE＝×2m×2m•sinα＝2m2sinα，S△PMN＝×m×m•sinα＝m2sinα，∴S△ADE＝4S△PMN，∴△ADE和△PMN的面积关系为S△ADE＝4S△PMN．。

2023年春九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》专题提升训练（附答案）1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为线段AB上一点，线段CD绕点C 逆时针旋转90°能与线段CE重合，点F为AC与BE的交点．（1）若BC＝5，CE＝4，求线段BD的长；（2）猜想BD与AF的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）设CA＝3DA＝6，点M在线段CD上运动，点N在线段CA上运动，运动过程中，DN+MN的值是否有最小值，如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由．2．阅读下列材料，并完成相应的学习任务：图形旋转的应用图形的旋转是全等变换（平移、轴对称、旋转）中重要的变换之一，利用图形旋转中的对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变等性质，可以将一般图形转化成特殊图形，从而达到解决问题的目的．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE平分∠ACB，且AC＝4，BC＝3．过点E作互相垂直的两条直线，即EF⊥ED，EF交AC于点F，ED交BC于点D，求四边形EFCD 的面积．分析：将∠FED以点E为旋转中心顺时针旋转，使得旋转后EF的对应线段所在直线垂直于AC，并且交AC于点M，旋转后ED的对应线段所在直线交BC于点N．则容易证明四边形MENC为正方形．因为∠EMF＝∠END＝90°，ME＝NE，∠MEF＝∠NED，所以△MEF≌△NED，所以S四边形EFCD＝S正方形MENC．学习任务：（1）四边形EFCD的面积等于；（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，①作出△ABC的外接圆O；②作∠ACB的平分线，与⊙O交于点D．要求：尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹．（3）在（2）的基础上，若BC+AC＝14，则四边形ACBD的面积等于．3．△ABC为等边三角形，AB＝4，AD⊥BC于点D，点E为AD的中点．（1）如图1，将AE绕点A顺时针旋转60°至AF，连接EF交AB于点G，求证：G为EF中点．（2）如图2，在（1）的条件下，将△AEF绕点A顺时针旋转，旋转角为α，连接BE，H为BE的中点，连接DH，GH．当30°＜α＜120°时，猜想∠DHG的大小是否为定值，并证明你的结论．（3）在△AEF绕点A顺时针旋转过程中，H为BE的中点，连接CH，问线段CH何时取得最大值，请说明理由，并直接写出此时△ADH的面积．4．如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，CD是边AB上的高线，E是AC上一点，连接BE，交CD于点F．（1）如图1，若∠ABE＝15°，BC＝+1，求DF的长；（2）如图2，若BF＝AC，过点D作DG⊥BE于点G，求证：BE＝CE+2DG；（3）如图3，若R为射线BA上的一个动点，以BR为斜边向外作等腰直角△BRH，M 为RH的中点．在（2）的条件下，将△CEF绕点C旋转，得到△CE'F'，E，F的对应点分别为E'，F'，直线MF'与直线AB交于点P，tan∠ACD＝，直接写出当MF'取最小值时的值．5．如图1，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转一定的角度α得到△A1BC1．（1）若α＝90°，则AA1的长为．（2）如图2，若0°＜α＜90°，直线A1C1分别交AB，AC于点G，H，当△AGH为等腰三角形时，求CH的长．（3）如图3，若0°＜α＜360°，M为边A1C1的中点，N为AM的中点，请直接写出CN的最大值．6．问题发现：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点D为AB上一点，且AD＝2DB，过点D作DE∥BC，填空：＝，＝；类比探究：（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A逆时针旋转得到△AMN，连接DM，BM，EN，CN，请求出，的值；拓展延伸：（3）如图3，△ABC和△DEF同为等边三角形，且AB＝3EF＝6，连接AD，BE，将△DEF绕AC（DF）的中点O逆时针自由旋转，请直接写出在旋转过程中BE﹣AD的最大值．7．【问题提出】如图1，在等边三角形ABC内部有一点P，P A＝3，PB＝4，PC＝5．求∠APB的度数．【数学思考】当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题．【尝试解决】（1）将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP'B，连接PP'，则△APP'为等边三角形．∵P'P＝P A＝3，PB＝4，P'B＝PC＝5，∴P'P2+PB2＝P'B2，△BPP'为三角形，∴∠APB的度数为．（2）如图2，在等边三角形ABC外部有一点P，若∠BP A＝30°，求证：P A2+PB2【类比探究】＝PC2．【联想拓展】（3）如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点P在直线BC上方且∠APB＝45°，PC＝BC＝2，求P A的长．8．如图（1），已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC；AE是过A的一条直线，且B，C 在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．（1）求证：BD＝DE+CE；（2）若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE，CE的数量关系如何？请给予证明．（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD＞CE），其余条件不变，问BD与DE，CE的数量关系如何？请直接写出结果，不需证明；（4）根据以上的讨论，请用简洁的语言表达直线AE在不同位置时BD与DE，CE的数量关系．9．（1）如图1，等腰直角△ABC，∠B＝90°，点D为AC的中点，点E为边AB上的一点，作DE垂直DF交BC于点F，求证：DE＝DF．（2）如图2，等腰直角△ABC，∠B＝90°，点D为AC的中点，点E为边AB上的一点，线段DE绕着点D逆时针旋转90°得到线段DF，求证：点F在线段BC上；（3）如图3，直角△ABC，点D为AC的中点，点E为边AB上的一点，线段DE绕着点D逆时针旋转90°得到线段DF，若AB＝6，BC＝8，①直接写出线段EF＝时，BE的长；②直接写出△ACF是等腰三角形时，BE的长；③直接写出△BEF面积的最大值．10．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣4，0），点B（0，3），△ABO绕点B顺时针旋转，得△A'BO'，点A、O旋转后的对应点为A'、O'，记旋转角为α．（1）如图①，α＝90°，边OA上的一点M旋转后的对应点为N，当OM＝1时，点N 的坐标为；（2）在（1）的条件下，当O'M+BN取得最小值时，在图②中画出点M的位置，并求出点N的坐标．（3）如图③，P为AB上一点，且P A：PB＝2：1，连接PO'、P A'，在△ABO绕点B顺时针旋转一周的过程中，△PO'A'的面积是否存在最大值和最小值，若存在，请求出；若不存在，请说明理由．11．如图①，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D在AB边上，过点D作DE⊥AC于点E，取BC边的中点F，连接DF并延长到点G，使FG＝DF，连接CG．（如需作图或作辅助线，请先将原题草图画在对应题目的答题区域后再作答．）问题发现：（1）填空：CE与CG的数量关系是，直线CE与CG所夹的锐角的度数为．探究证明：（2）将△ADE绕点A逆时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请仅就图②所示情况给出证明，若不成立，请说明理由；问题解决：（3）若AB＝4，AD＝3，将△ADE由图①位置绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜180°），当△ACE是直角三角形时，请直接写出CG的值．12．如图，两直角三角形ABC和DEF有一条边BC与EF在同一直线上，且∠DFE＝∠ACB ＝60°，BC＝1，EF＝2．设EC＝m（0≤m≤4），点M在线段AD上，且∠MEB＝60°．（1）如图1，当点C和点F重合时，＝；（2）如图2，将图1中的△ABC绕点C逆时针旋转，当点A落在DF边上时，求的值；（3）当点C在线段EF上时，△ABC绕点C逆时针旋转α度（0＜α＜90°），原题中其他条件不变，则＝．13．在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，连接DE，将△AED 沿直线AE翻折得到△AEF（点D与点F为对应点），连接DF，过点D作DG⊥DE交BE于点G．（1）如图1，求证：四边形DFEG为平行四边形；（2）如图2，连接CF，若tan∠ABE＝，在不添加任何辅助线与字母的情况下，请直接写出图2中所有正切值等于2的角．14．在△ABC中，∠BAC＝90°，点E为AC上一点，AB＝AE，AG⊥BE，交BE于点H，交BC于点G，点M是BC边上的点．（1）如图1，若点M与点G重合，AH＝2，BC＝，求CE的长；（2）如图2，若AB＝BM，连接MH，∠HMG＝∠MAH，求证：AM＝2HM；（3）如图3，若点M为BC的中点，作点B关于AM的对称点N，连接AN、MN、EN，请直接写出∠AMH、∠NAE、∠MNE之间的角度关系．15．（1）如图1．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CA＝8，BC＝6，点D、E分别在边CA，CB上，且CD＝3，CE＝4，连接AE，BD，F为AE的中点，连接CF交BD于点G，则线段CG所在直线与线段BD所在直线的位置关系是．（提示：延长CF到点M，使FM＝CF，连接AM）（2）将△DCE绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将△DCE绕点C逆时针在平面内旋转，在旋转过程中，当B，D，E三点在同一条直线上时，CF的长为．16．在△ABC和△AEF中，∠AFE＝∠ABC＝90°，∠AEF＝∠ACB＝30°，AE＝AC，连接EC，点G是EC中点，将△AEF绕点A顺时针旋转．（1）如图1，若E恰好在线段AC上，AB＝2，连接FG，求FG的长度；（2）如图2，若点F恰好落在射线CE上，连接BG，证明：GB＝AB+GC；（3）如图3，若AB＝3，在△AEF旋转过程中，当GB﹣GC最大时，直接写出直线AB，AC，BG所围成三角形的面积．17．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AB，BC上运动，将线段DE绕点E按顺时针方向旋转90°得到线段EF．（1）如图1，若D为AB中点，点E与点C重合，AF与DC相交于点O，求证：OE＝OD；（2）如图2，若点E不与C，B重合，点D为AB中点，点G为AF的中点，连接DG，连接BF，判断线段BF，CE，AD的数量关系并说明理由；（3）如图3，若AB＝4，AD＝3BD，点G为AF的中点，连接CG，∠GDE＝90°，请直接写出CE的长．18．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（x，y）中的横坐标x与纵坐标y 满足+|y﹣8|＝0，过点A作x轴的垂线，垂足为点D，点E在x轴的负半轴上，且满足AD﹣OD＝OE，线段AE与y轴相交于点F，将线段AD向右平移8个单位长度，得到线段BC．（1）直接写出点A和点E的坐标；（2）在线段BC上有一点G，连接DF，FG，DG，若点G的纵坐标为m，三角形DFG 的面积为S，请用含m的式子表示S（不要求写m的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当S＝26时，动点P从D出发，以每秒1个单位的速度沿着线段DA向终点A运动，动点Q从A出发，以每秒2个单位的速度沿着折线AB→BC向终点C运动，P，Q两点同时出发，当三角形FGP的面积是三角形AGQ面积的2倍时，求出P点坐标19．如图：直线l1：y＝﹣x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿直线l1翻折后，设点O的对应点为点C，已知双曲线y＝（x＞0）经过点C．（1）求点A，B的坐标．（2）求k的值．（3）将直线l1绕着点A逆时针旋转得到直线l2．直线l2与y轴交于点B′，将△AOB′沿直线l2翻折得到△AB′C'，当四边形OAC′B′为正方形时停止转动，求转动过程中点C运动到点C′的路径长．20．图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一．小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行研究．如图（1），已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，点D，E分别在线段AB，AC上，且∠C＝∠AED＝90°．（1）观察猜想小华将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD，CE，如图（2），当BD的延长线恰好经过点E时，①的值为；②∠BEC的度数为度；（2）类比探究如图（3），小芳在小华的基础上，继续旋转△ADE，连接BD，CE，设BD的延长线交CE于点F，请求出的值及∠BFC的度数，并说明理由．（3）拓展延伸若AE＝DE＝，AC＝BC＝，当CE所在的直线垂直于AD时，请你直接写出BD 的长．参考答案1．解：（1）在Rt△ABC中，AB＝AC,BC＝5,∴AB＝AC＝BC＝5,由旋转知，CD＝CE＝4,在Rt△ADC中，AD＝＝＝,∴BD＝AB﹣AD＝5﹣；(2)猜想：BD＝2AF,理由：如图1，延长BA至G，使AG＝AB，连接EG，则CG＝CB,∴∠ABC＝∠AGC,在Rt△ABC中，AB＝AC,∴∠ABC＝45°,∴∠AGC＝45°,∴∠BCG＝90°,由旋转知，CD＝CE,∠DCE＝90°＝∠BCG,∴∠BCD＝∠GCE,∴△BCD≌△GCE(SAS),∴BD＝GE,∠CBD＝∠CGE＝45°,∴∠BGE＝∠CGB+∠CGE＝90°＝∠BAC,∴AC∥GE,∴,∴＝,∴EG＝2AF,∴BD＝2AF；(3)存在，如图2，延长DA至P，使AP＝AD，∵∠BAC＝90°,∴点P,点D关于AC对称，∴MN+DN＝MH+PN,过点P作PH⊥CD于H,要使MN+DN最小，则点P,N,M在同一条线上，且PM⊥CD，即MN+DN的最小值为PH，∵CA＝3DA＝6，∴AD＝2,∴DP＝2AD＝4,CD＝＝＝2,连接CP，∴S△CDP＝DP•AC＝CD•PH,∴PH＝＝＝,即DN+MN的最小值为．2．解：（1）如图1中，∵EC平分∠ACB，EM⊥AC，EN⊥BC，∴EM＝EN，∵∠EMC＝∠DNC＝∠MCN＝90°，∴四边形EMCN是矩形，∵EM＝EN，∴四边形EMCN是正方形，设正方形的边长为m，则×AC×BC＝×AC×m+×BC×m，解得m＝，∵EF⊥ED∴∠MEN＝∠FED＝90°，∴∠MEF＝∠NDF，∵∠EMF＝∠END＝90°，∴△EMF≌△END（AAS），∴S四边形EFCD＝S正方形EMCN＝，故答案为：；（2）①如图2中，⊙O即为所求作．②如图2中，射线CD即为所求作．（3）如图2中，过点D作DM⊥CB交CB的延长线于M，DN⊥AC于N．∵∠DMC＝∠DNC＝∠MCN＝90°，∴四边形DMCN是矩形，∵DC平分∠ACB，DM⊥CB，DN⊥AC，∴DM＝DN，∴四边形DMCN是正方形，∴CM＝CN，∵∠ACD＝∠BCD，∴＝，∴DB＝DA，∵DM＝DN，∠DMB＝∠DNA＝90°，∴Rt△DMB≌Rt△DNA（HL），∴BM＝AN，S四边形ACBD＝S正方形DMCN，∴AC+BC＝CM﹣BM+CN﹣AN＝2CM＝14，∴CM＝7，∴S四边形ACBD＝49．故答案为：49．3．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30°，∵∠EAF＝60°，∴∠GAE＝∠GAF＝30°，∵AE＝AF，∴FG＝EG．（2）解：结论：∠EHD＝120°，是定值．理由：如图2中，连接BF，CE．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵BH＝EH，∴DH∥EC，∴∠HDB＝∠ECB，∵FG＝GE，EH＝HB，∴GH∥BF，∴∠EHG＝∠EBF，∵∠EAF＝∠BAC＝60°，∴∠BAF＝∠CAE，∵AF＝AE，AB＝AC，∴△BAF≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠ABF，∵∠EHD＝∠HDB+∠HBD，∴∠DHG＝∠EHG+∠EHD＝∠EBF+∠HDB+∠HBD＝∠ABF﹣∠ABE+∠ECB+∠ABD+∠ABE＝∠ACE+∠ECB+∠ABD＝∠ACB+∠ABC＝120°．（3）解：如图3中，取AB的中点N，连接AH，HN，CH，CH交AD于M，过点H作HT⊥AD于T．∵EH＝BH，AN＝BN，∴NH为△ABE的中位线，∴HN＝AE＝，∴点H在以N为圆心，为半径的圆上，当C，N，H共线时，CH的值最大，∵△ABC是等边三角形，∴CN⊥AB，∴∠ACM＝∠MCB＝30°，∵AD＝2，∴CN＝AD＝2，在Rt△CMD中，CD＝2，∠MCD＝30°，∴CM＝＝，∴MN＝CN﹣CM＝，∴HM＝HN+MN＝+＝，∴HT＝HM•sin60°＝，∴S△ADH＝•AD•HT＝．4．（1）解：如图1中，过点F作FH⊥BC于H．∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，∵∠DBC＝45°，∴∠DCB＝90°﹣45°＝45°，∵FH⊥CH，∴∠FHC＝90°，∴∠HFC＝∠HCF＝45°，∴CH＝FH，设FH＝CH＝m，∵∠ABE＝15°，∴∠FBC＝45°﹣15°＝30°，∴BH＝HF＝m，∴m+m＝+1，∴m＝1，∴CF＝CH＝，∵CD＝BC＝，∴DF＝CD﹣CF＝﹣＝．（2）证明：如图2中，连接DE，过点D作DH⊥DE交BE于H．∵∠ADC＝∠FDB＝90°，DB＝DC，BF＝AC，∴Rt△BDF≌Rt△CDA（HL），∴∠DBF＝∠ACD，∵∠BFD＝∠CFE，∴△BFD∽△CFE，∴＝，∴＝，∵∠DFE＝∠BFC，∴△DFE∽△BFC，∴∠DEF＝∠BCF＝45°，∵DH⊥DE，∴∠HDE＝90°，∴∠DHE＝∠DEH＝45°，∴DH＝DE，∵∠BDC＝∠EDH＝90°，∴∠BDH＝∠CDE，∵DB＝DC，DH＝DE，∴△BDH≌△CDE（SAS），∴BH＝EC，∵DH＝DE，DG⊥EH，∴GH＝EG，∴DG＝EH，∴BE＝BH+HE＝EC+2DG．（3）解：如图3中，过点M作MJ⊥BC于J，过点P作PK⊥BC于K．∵△BHR，△DBC都是等腰直角三角形，∴∠DBC＝∠HBR＝45°，∴∠HBC＝90°，∵∠H＝∠HBJ＝∠MJB＝90°，∴四边形BHMJ是矩形，∴BH＝MJ，HM＝BJ，∵BH＝HR，HM＝MR，∴MJ＝2BJ，∴tan∠MBJ＝＝2，∴点M的在射线BM上运动，∴当C，F′，M共线，且CM⊥BM时，F′M的值最小．设AD＝m，∵tan∠ACD＝＝，∴CD＝BD＝3m，DF＝AD＝m，CF＝CF′＝2m，BC＝3m，∵∠CMB＝90°，tan∠CBM＝＝2，∴BM＝m，CM＝m，∴BJ＝HM＝m，JM﹣BH＝HR＝m，∴MR＝m，设BK＝PK＝n，CK＝2n，∴n＝m，∴BK＝PK＝m，CK＝2m，PC＝m，∴PF′＝PC﹣CF′＝m﹣2m，∴＝＝．5．解：（1）∵∠C＝90°，AC＝4，CB＝3，∴AB＝＝＝5，∵α＝90°，∴△ABA1是等腰直角三角形，AA1＝AB＝5．故答案为：5．（2）如图2﹣1中，当AG＝AH时，∵AG＝AH，∴∠AHG＝∠AGH，∵∠A＝∠A1，∠AGH＝∠A1GB，∴∠AHG＝∠A1BG，∴∠A1GB＝∠A1BG，∴AB＝AG＝5，∴GC1＝A1G﹣C1G＝1，∵∠BC1G＝90°，∴BG＝＝＝，∴AH＝AG＝AB﹣BG＝5﹣，∴CH＝AC﹣AH＝4﹣（5﹣）＝﹣1．如图2﹣2中，当GA＝GH时，过点G作GM⊥AH于M．同法可证，GB＝GA1，设GB＝GA1＝x，则有x2＝32+（4﹣x）2，解得x＝，∴BG＝，AG＝5﹣＝，∵GM∥BC，∴＝，∴＝，∴AM＝，∵GA＝GH，GM⊥AH，∴AM＝HM，∴AH＝3，∴CH＝AC﹣AM＝1．综上所述，满足条件的CH的值为﹣1或1．（3）如图3中，取AB的中点J，连接BM，CJ，JN．∵AJ＝BJ，∠ACB＝90°，∴CJ＝AB＝，∵BC1＝BC＝3，MC1＝MA1＝2，∠BC1M＝90°，∴BM＝＝＝，∵AJ＝BJ，AN＝NM，∴JN＝BM＝，∵CN≤CJ+JN，∴CN≤，∴CN的最大值为．6．解：（1）如图1中，在Rt△ABC中，，∵AD＝2DB，∴AB＝AD+DB＝3DB，∵DE∥BC，∴，∵，∴，即，∴，故答案为：，．（2）由旋转性质可知：AD＝AM，AE＝AN，∠BAM＝∠CAN，∵，∠BAM＝∠CAN，∴△ABM∽△ACN，∴，∠ABM＝∠ACN，∵，∠ABM＝∠ACN，∴△DBM∽△ECN，∴．（3）如图3中，连接OB，OE，由三线合一性质可知∠BOC＝∠DOE＝90°，∴∠BOD＝∠COE，∴∠AOB+∠BOD＝∠BOC+∠COE，即∠AOD＝∠BOE，∵，∠AOD＝∠BOE，∴△AOD∽△BOE，∴，∵AB＝3EF＝6，∴，，在△BOE中，由三边关系可得，BE＜BO+OE，当B、O、E三点共线时，BE存在最大值为，∵，∴当BE存在最大值时，BE﹣AD的最大值＝．7．（1）解：如图1，将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，则△APP′为等边三角形．∵PP′＝P A＝3，PB＝4，P′B＝PC＝5，∴P′P2+PB2＝P′B2．∴△BPP′为直角三角形．∴∠APB的度数为90°+60°＝150°．故答案为：直角；150°．（2）证明：如图2中，将△P AB绕点B逆时针旋转60°得到△TCB，连接PT．∵BP＝BT，∠PBT＝60°，∴△PBT是等边三角形，∴PT＝PB，∠PTB＝60°，由旋转的性质可知：△P AB≌△TCB，∴∠APB＝∠CTB＝30°，P A＝CT，∴∠PTC＝∠PTB+∠CTB＝60°+30°＝90°，∴PC2＝PT2+CT2，∵PB＝PT，P A＝CT，∴P A2+PB2＝PC2．（3）解：过点C作CT⊥PB于T，连接AT，设CT交AB于O．∵PC＝BC＝2，CT⊥PB，∴PT＝BT，∵∠CAO＝∠BTO＝90°，∠AOC＝∠BOT，∴∠ACT＝∠ABP，∠ATC＝∠ABC＝45°，∵∠CTB＝90°，∴∠ATP＝∠CTA＝∠APT＝45°∵AC＝AB，∴△CAT≌△BAP（AAS），∴CT＝PB＝2PT，∵PC2＝PT2+CT2，∴（2）2＝m2+（2m）2，解得m＝2或﹣2（舍弃），∴PT＝2，∴P A＝PT＝．8．解：（1）∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，又∵∠BAC＝90°，∴∠EAC+∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（AAS），∴BD＝AE，AD＝EC，∴BD＝DE+CE．（2）∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，又∵∠BAC＝90°，∴∠EAC+∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（AAS），∴BD＝DE﹣CE．（3）同（2）的方法得出，BD＝DE﹣CE．（4）归纳：由（1）（2）（3）可知：当B，C在AE的同侧时，BD＝DE﹣CE．当B，C在AE的异侧时，BD＝DE+CE．9．（1）证明：如图1中，连接BD．∵△ABC是等腰直角三角形，AD＝DC，∴BD⊥AC，BD＝DA＝DC，∴BD⊥AC，∵ED⊥DF，∴∠EDF＝∠BDC＝90°，∴∠EDB＝∠FDC，∵∠DBE＝∠C＝45°，∴△EDB≌△FDC（ASA），∴DE＝DF．（2）证明：如图2中，连接DB，CF．∵∠BDC＝∠EDF＝90°，∴∠BDE＝∠CDF，∵DB＝DC，DE＝DF，∴△EDB≌△FDC（SAS），∴∠DBE＝∠DCF＝45°，∴点F在线段BC上．（3）①如图3﹣1中，过点D作DT⊥AB于T．∵∠ATD＝∠ABC＝90°，∴DT∥CB，∵AD＝DC，∴AT＝TB＝3，∴DT＝BC＝4，∵△DEF是等腰直角三角形，EF＝，∴DE＝DF＝，∴ET＝＝＝1，∴BE＝TB+ET＝3+1＝4，当点E在点T的下方时，BE＝3﹣1＝2，综上所述，满足条件的BE的值为4或2．②如图3﹣2中，∵△ACF是等腰三角形，又∵AD＝DC＝DF，∴∠AFC＝90°，∴△AFC是等腰直角三角形，∴点E与A重合，∴BE＝6．③如图3﹣3中，过点D作DT⊥AB于T，过点F作FR⊥DT于R．∵∠DTE＝∠FRD＝90°，∠EDT＝∠DFR，DE＝DF，∴△DTE≌△FRD（AAS），∴ET＝DR，DT＝FR＝4，设ET＝DR＝m，则RT＝4﹣m，∴S△EFB＝（3+m）（4﹣m）＝（﹣m2+m+12）＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴△BEF的面积有最大值，最大值为．10．解：（1）∵点A（﹣4，0），点B（0，3），∴OA＝4，OB＝3，由旋转的性质可知，BO＝BO′＝3，OM＝O′N＝1，∠OBO′＝90°，∴N（﹣3，4）．故答案为：（﹣3，4）．（2）如图②中，∵BM＝BN，∴O′M+BN＝O′M+BM，作点B关于OA的对称点B′，连接O′B′交OA于M，连接BM，O′M+BM的值最小．∵O′（﹣3，3），B′（0，﹣3），∴直线O′B′的解析式为y＝﹣2x﹣3，∴M（﹣，0），∴O′N＝OM＝，∴N（﹣3，）．（3）存在．理由：如图③﹣1中，当点O′落在AB的延长线上时，△PO′A′的面积最大．由题意，OA＝4，OB＝3，∴AB＝＝＝5，∴P A：PB＝2：1，∴PB＝，∴PO′＝PB+PO′＝，∴△PO′A′的面积的最大值＝×4×＝．如图③﹣2中，当点O′落在AB上时，△PO′A′的面积最小，最小值为×4×（3﹣）＝．11．解：（1）如图①中，过点D作DT⊥BC于T．∵DE⊥AC，∴∠DEC＝∠ECT＝∠DTC＝90°，∴四边形ECTD是矩形，∴DT＝EC，DT∥AC，∴∠TDB＝∠A＝30°，∴DT＝BD，∵FC＝FB，∠CFG＝∠BFD，FG＝FD，∴△CFG≌△BFD（SAS），∴CG＝BD，∠FCG＝∠B＝60°，∴EC＝CG，∴∠ACG＝90°+60°＝150°，∴直线CE与CG所夹的锐角的度数为30°，故答案为：EC＝CG，30°．（2）成立．理由如下：连接CD，BG，延长BD交CE的延长线于H，设BH交AC于点O．在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝30°，∴cos∠BAC＝＝，cos∠EAD＝＝，∠EAC＝∠DAB，∴＝＝，∴△ACE∽△ABD，∴＝＝，∠ACE＝∠ABD，∵∠HOC＝∠AOB，∴∠H＝∠OAB＝30°，∵CF＝FB，DF＝FG，∴四边形DCGB是平行四边形，∴CG＝BD，CG∥BH，∴∠1＝∠H＝30°，∴EC＝CG，直线CE与CG所夹的锐角的度数为30°．（3）如图③﹣1中，当∠AEC＝90°时，由题意AC＝AB＝2，AE＝AD＝，∴EC＝＝＝，∴CG＝EC＝，如图③﹣2中，当∠EAC＝90°时，可得EC＝＝，∴CG＝EC＝5．综上所述，CG的值为或5．12．解：（1）由题意得，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BC＝1，∴AC＝2，BC＝，在Rt△DEC中，∠DEC＝90°，∠DCE＝60°，EF＝2，∴DC＝4，DE＝2，∴∠DCA＝180°﹣∠DCE﹣∠ACB＝60°，∴AC＝EF，∠DCE＝∠DCA，DC＝DC，∴△DEF≌△DAC（SAS），∴AD＝DE＝2，∠EDC＝∠CDA＝30°，∵∠MEC＝60°，∴∠DEM＝30°，∴∠DME＝180°﹣∠DEM﹣∠EDM＝180°﹣∠DEM﹣2∠EDC＝90°，∴DM＝DE＝，∴AM＝AD﹣DM＝，∴＝1，故答案为：1；（2）如图2，连接AE，∵AC＝EF＝2，∠ACE＝60°，∴△AEC是等边三角形，∴AE＝2，∠EAC＝∠AEC＝60°，∴∠AEB+∠BEC＝∠AEC＝60°，∵∠MEB＝60°，∴∠AEB+∠MEA＝60°，∴∠BEC＝∠MEA，∵∠DAE＝∠ECB＝120°，AE＝EC，∴△AME≌△CBE（ASA），∴AM＝BC＝1，∵AD＝DC﹣AC＝2，∴DM＝AD﹣AM＝1，∴＝1；（3）如图3，过点B作BG⊥BE交EM延长线于点G，连接AG，BG，∵∠CBA＝∠EBG＝90°，∴∠EBC＝∠GBA，∵∠MEB＝∠ACB＝60°，∴，∴△ECB∽△GAB，∴，∠AGB＝∠CEB，∴AG＝m，∵∠CEB+∠DEG＝30°，∠AGB+∠EGA＝30°，∴∠AGM＝∠DEM，∴AG∥DE，∴△AGM∽△DEM，∴，∵DE＝EF＝2，∴＝＝．故答案为：．13．（1）证明：如图1中，∵∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD，∵BE⊥AC，∴∠GBD+∠C＝90°，∵∠EAD+∠C＝90°，∴∠GBD＝∠EAD，∵∠ADB＝∠EDG＝90°，∴∠ADB﹣∠ADG＝∠EDG﹣∠ADG，即∠BDG＝∠ADE，∴△BDG≌△ADE（ASA），∴BG＝AE，DG＝DE，∵∠EDG＝90°，∴△EDG为等腰直角三角形，∴∠AED＝∠AEB+∠DEG＝90°+45°＝135°，∵△AED沿直线AE翻折得△AEF，∴△AED≌△AEF，∴∠AED＝∠AEF＝135°，ED＝EF，∴∠DEF＝360°﹣∠AED﹣∠AEF＝90°，∴△DEF为等腰直角三角形，∴∠GDE＝∠DEF＝90°，DG＝DE＝EF，∴DG∥EF，∴四边形DFEG是平行四边形．（2）解：如图2中，设AD交BE于P，过点P作PT⊥AB于T．∵tan∠ABE＝＝，∴可以假设PT＝a，BT＝3a，∵△ABD是等腰直角三角形，∴∠P AT＝45°，∵PT⊥AB，∴∠ATP＝90°，∴∠P AT＝∠APT＝45°，∴AT＝PT＝a，∴P A＝a，AB＝4a，AD＝BD＝2a，∴P A＝PD＝a，∴tan∠BPD＝＝2，∵BE⊥AC，∴∠ADC＝∠PEC＝90°，∴∠EPD+∠ACD＝180°，∵∠EPD+∠BPD＝180°，∴∠BPD＝∠ACD，根据对称性可知，∠ACD＝∠ACF，∠ADF＝∠AFD，AC⊥DF，∴∠ACD＝∠ACF＝∠BPD，∵∠ADF+∠CDF＝90°，∠CDF+∠ACD＝90°，∴∠ADF＝∠ACD，∴∠ACD＝∠ACF＝∠ADF＝∠AFD＝∠BPD，∴正切值等于2的角有：∠ACD，∠ACF，∠ADF，∠AFD．14．解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AE，∴△BAE为等腰直角三角形，∵AG⊥BE，∴AH是△BAE的中线，∴BE＝2AH＝4，∵∠BEA＝45°，∴∠BEC＝135°，在△BCE中，过点C作CD⊥BE交BE的延长线于点D，如图1，∵∠DEC＝45°，∴△DEC是等腰直角三角形，设ED＝x，则DC＝x，CE＝x，在Rt△BCD中，BC2＝BD2+DC2，即，∴x1＝1或x2＝﹣5（舍去），∴CE＝；（2）如图2，过H作HD⊥HM交AM于点D，连接BD，∵AB＝AE，∠BAC＝90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵AG⊥BE，∴△ABH为等腰直角三角形，∴BH＝AH，∠BAN＝45°，∠BHA＝90°，∵AB＝BM，∴∠BAM＝∠BMA，∵∠HMG＝∠MAH，∴∠BAM﹣∠MAH＝∠BMA﹣∠HMG，即∠BAH＝∠AMH＝45°，∵HD⊥HM，∴△DHM为等腰直角三角形，∴DH＝HM，∠DHM＝90°，∵∠BHD＝∠BHA+∠AHD，∠AHM＝∠DHM+∠AHD，∴∠BHD＝∠AHM，在△BHD与△AHM中，，∴△BHD≌△AHM（SAS），∴∠DBH＝∠MAH，BD＝AM，∴∠BHA＝∠BDA＝90°，∵BA＝BM，∴D是AM的中点，∴AM＝2DM＝2HM，即AM＝2HM；（3）∵H是BE的中点，M是BC的中点，∴MH是△BCE的中位线，∴MH∥CE，∴∠AMH＝∠MAC，∵∠BAC＝90°，∴AM＝BM，∴∠MAB＝∠ABM，∵点B与点N关于线段AM对称，∴∠ABM＝∠ANM，AB＝AN，∴AE＝AN，∴∠AEN＝∠ANE，在△AEN中，∠NAE+2∠ANE＝180°①，∵∠ANE＝∠ANM+∠MNE，∠ABM＝∠ANM＝∠MAB＝90°﹣∠MAC，∴∠ANE＝90°﹣∠MAC+∠MNE，∴∠ANE＝90°﹣∠AMH+∠MNE②，将②代入①，得：∠NAE+2×（90°﹣∠AMH+∠MNE）＝180°，∴∠NAE+180°﹣2∠AMH+2∠MNE＝180°，∴∠NAE+2∠MNE＝2∠AMH．15．解：（1）结论：CG⊥BD．理由：延长CF到点M，使得FM＝CF，连接AM．∵F A＝FE，∠AFM＝∠EFC，FM＝FC，∴△AMF≌△ECF（SAS），∴AM＝CE＝4，∠AMF＝∠ECF，∴AM∥CE，∴∠MAC＝∠DCB＝90°，∵＝＝，∴△MAC∽△DCB，∴∠DBC＝∠ACM，∵∠ACM+∠GCB＝90°，∴∠DBC+∠GCB＝90°，∴∠CGB＝90°，∴CG⊥BD．故答案为：CG⊥BD．（2）结论仍然成立．理由：延长CF到点M，使得FM＝CF，连接AM．∵F A＝FE，∠AFM＝∠EFC，FM＝FC，∴△AMF≌△ECF（SAS），∴AM＝CE＝4，∠AMF＝∠ECF，∴AM∥CE，∴∠MAC+∠ACE＝180°，∴∠MAC＝180°﹣∠ACE，∵∠DCB＝∠DCE+∠ACB﹣∠ACE＝90°+90°﹣∠ACE＝180°﹣∠ACE，∴∠MAC＝∠DCB，∵＝＝，∴△MAC∽△DCB，∴∠DBC＝∠ACM，∵∠ACM+∠GCB＝90°，∴∠DBC+∠GCB＝90°，∴∠CGB＝90°，∴CG⊥BD．（3）如图3中，当点E在线段BD上时，∵△AMC∽△CDB，∴＝＝，在Rt△DCE中，CD＝3，CE＝4，∴DE＝＝＝5，∵CG⊥DE，∴CG＝＝，在Rt△CGB中，CB＝6，CG＝中，∴BG＝＝＝，在Rt△DCG中，DG＝＝＝，∴BD＝BG+DG＝，∴CM＝BD＝，∴CF＝CM＝如图4中，当点E在线段BD的延长线上时，同法可得CF＝CM＝．综上所述，满足条件的CF的值为或．16．（1）解：如图1中，过点F作FH⊥AE于H．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，∠C＝30°，∴AC＝2AB＝4，BC＝AB＝2，∵AE＝EC＝AC＝2，EG＝GC，∴EG＝CG＝1，∵∠AFE＝90°，∠AEF＝30°，∴EF＝AE•cos30°＝，∴FH＝EF＝，HE＝FH＝，∴GH＝HE+EG＝，∴FG＝＝＝．（2）证明：如图2中，取AC的中点M，连接BM，GM，BF．∵AM＝MC，∠ABC＝90°，∴BM＝AM＝CM，∵AC＝2AB，∴AB＝AM＝BM，∴∠BAM＝∠AMB＝∠ABM＝60°，∴∠BMC＝120°，∵AE＝2AF，∠EAF＝60°，∴∠BAF＝120°+∠EAC，∵AM＝MC，EG＝GC，∴GM＝AE＝AF，GM∥AE，∴∠CMG＝∠EAC，∴∠BMG＝120°+∠CMG＝120°+∠EAC＝∠BAF，∴△BAF≌△BMG（SAS），∴∠ABF＝∠MBG，BF＝BG，∴∠FBG＝∠ABM＝60°，∴△BFG是等边三角形，∴BG＝FG，∴BG＝EF+EG＝AE+CG＝AB+CG．（3）解：如图3中，取AC的中点M，连接BM，GM，BF．在MC上取一点D，使得MD＝MG，连接DG，BD．同法可证：△BAF≌△BMG（SAS），∴∠ABF＝∠MBG，BF＝BG，∴∠FBG＝∠ABM＝60°，∴△BFG是等边三角形，∴BG＝FG，∵AM＝CM，EG＝CG，∴MG＝AE，∵AB＝3，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，∴AC＝2AB＝6，AM＝CM＝3，∵AE＝AC＝3，MG＝，∴MD＝MG＝，∵＝＝，∠DMG＝∠GMC，∴△MDG∽△MGC，∴＝＝，∴DG＝CG，∴GB﹣CG＝GB﹣DG≤BD，∴当B，D，G共线时，BG﹣CG的值最大，最大值为BD的长，∴直线AB，AC，BG围成的三角形为△ABD，∵AD＝AM+DM＝3+＝，∴S△ABD＝××＝，∴当GB﹣GC最大时，直线AB，AC，BG所围成三角形的面积为．17．（1）证明：如图1中，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD⊥AB，CD＝AD＝DB，∵∠DEF＝∠ADC＝90°，DE＝EF，∴AD＝EF，∵∠AOD＝∠EOF，∴△AOD≌△FOE（AAS），∴OE＝OD．（2）解：结论：AD﹣BF＝CE．理由：如图2中，过点E作ET⊥BC交AB于T，过点T作TR⊥AC于R．则四边形ECRT 是矩形，△ART，△EBT都是等腰直角三角形，可得EC＝RT，AT＝RT＝EC．∵∠TEB＝∠DEF＝90°，∴∠TED＝∠BEF，∵ET＝EB，ED＝EF，∴△TED≌△BEF（SAS），∴DT＝BF，∵AD﹣DT＝AT，∴AD﹣BF＝CE．（3）解：如图3中，取AB的中点R，连接GR，BF，过点E作EM⊥AB于M．设GR ＝x，EM＝BM＝y．由（2）可知，△TED≌△BEF（SAS），∴∠ETD＝∠EBF＝45°，∴∠ABC＝45°，∴∠FBA＝90°，∵AG＝GF，AR＝RB＝2，∴GR∥BF，BF＝2GR＝2x，∴∠GRA＝∠FBA＝90°，∵GR⊥AB，∵AB＝4，AD＝3BD，∴AD＝3，BD＝，∴DR＝AD﹣AR＝3﹣2＝，∵∠GRD＝∠EMD＝∠EDG＝90°，∴∠GDR+∠DGR＝90°，∠GDR+∠EDM＝90°，∴∠DGR＝∠EDM，∴△DRG∽△EMD，∴＝，∴＝①又∵AD﹣BF＝CE，∴3﹣2x＝（4﹣y）②，由①②可得y＝（不合题意的解已经舍弃）．∴EC＝4﹣（）＝．18．解：（1）∵+|y﹣8|＝0，又∵≥0，|y﹣8|≥0，∴x＝2，y＝8，∴A（2，8），∵AD⊥x轴，∴OD＝2，AD＝8，∵AD﹣OD＝OE，∴OE＝6，∴E（﹣6，0）．（2）如图1中，连接OG．由题意G（10，m）．∵AD＝DE＝8，∠ADE＝90°，∴∠AED＝45°，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∴OE＝OF＝6，∴F（0，6），∴S＝S△ODG+S△OFG﹣S△OFD＝×2×m+×6×10﹣×2×6＝m+24（0≤m≤8）．（3）如图2中，设FG交AD于J，P（2，t），当点P在DJ上，点Q在AB上时，当S＝26时，m＝2，∴G（10，2），∵F（0，6），∴直线FG的解析式为y＝﹣x+6，∴J（2，），由题意，•（﹣t）×10＝2××2t×6，解得t＝，∴P（2，），当点P在AJ上，点Q在BG上时，同法可得，•（t﹣）×10＝2××（14﹣2t）×8，解得t＝，∴P（2，）．综上所述，满足条件的点P的坐标为（2，）或（2，）．19．解：（1）当x＝0时，y＝6，∴B（0，6），当y＝0时，﹣x+6＝0，∴x＝6，∴A（6，0）；（2）如图1，过点C作CM⊥x轴于M，Rt△ABO中，OA＝6，OB＝6，∴AB＝＝12，∴∠ABO＝30°，由翻折得：∠ABC＝∠ABO＝30°，∠AOB＝∠ACB＝90°，AC＝OA＝6，∴∠CAM＝60°，∴∠ACM＝90°﹣60°＝30°，∴AM＝AC＝3，CM＝3，∴C（9，3），∴k＝9×3＝27；（3）分两种情况：①如图2，当点B'在y轴的负半轴上时，。

专题29 几何变换阅读与思考几何变换是指把一个几何图形1F 变换成另一个几何图形2F 的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、对称、旋转是常见的合同变换.l图3图2图1F 1F 21.平移变换如图1，如果把图形1F 上的各点都按一定方向移动一定距离得到图形2F 后，则由1F 到2F 的变换叫平移变换.平移变换前后的对应线段相等且平行，对应角的两边分别平行且方向一致. 2.对称变换如图2，将平面图形1F 变换到与它成轴对称的图形2F ，这样的几何变换就叫做关于直线l （对称轴）的对称变换.对称变换前后的对应线段相等，对应角相等，其对称轴是连结各对应点线段的垂直平分线. 3.旋转变换如图3，将平面图形1F 绕这一平面内一定点M 旋转一个定角α，得到图形2F ，这样的变换叫旋转变换，M 叫旋转中心，α叫旋转角.旋转变换前后的图形是全等的，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的夹角等于旋转角.例题与求解【例l 】如图，∠AOB =045，角内有点P ，PO =10，在角的两边上有两点Q ，R （均不同于O ），则△PQR 的周长的最小值为_______________. （黄冈市竞赛试题）解题思路：作P 点关于OA ，OB 的对称点，确定Q ，R 的位置，化折线为直线，求△PQR 的最小值.O【例2】如图，P是等边△ABC的内部一点，∠APB，∠BPC，∠CP A的大小之比是5:6:7，则以P A，PB，PC为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是（）A. 2:3:4B. 3:4:5C. 4:5:6D.不能确定（全国通讯赛试题）B C解题思路：解本例的关键是如何构造以P A，PB，PC为边的三角形，若把△P AB，△PBC，△PCA中的60，就可以把P A，PB，PC有效地集中在一起.任一个，绕一个顶点旋转0【例3】如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB+BD=CD.（天津市竞赛试题）解题思路：用截长法或补短法证明，实质都利用AD翻折造全等.C【例4】如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥FE，CD∥AF，对边之差BC-FE=ED-AB=AF-CD ＞0，求证：该六边形的各角都相等.（全俄数学奥林匹克竞赛试题）解题思路：设法能将复杂的条件BC-FE=ED-AB=AF-CD＞0，用一个基本图形表示，题设条件有平行条件，考虑实施平移变换.【例5】已知Rt △ABC 中，AC=BC ，∠ACB =090，∠MCN =045 （1） 如图1，当M 、N 在AB 上时，求证：222MN AM BN =+（2） 如图2，将∠MCN 绕C 点旋转，当M 在BA 的延长线时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（天津市中考试题）解题思路：222MN AM BN =+符合勾股定理的形式，需转化为直角三角形可将△ACM 沿直线CM 对折，得△DCM . 连DN ，只需证DN=BN ，∠MDN =090；或将△ACM (或△BCM )旋转.【例6】如图，∠DAC=012，∠DBC=024，∠CAB=036，∠ABD=048，求∠DCA 的度数.（日本算术奥林匹克试题）解题思路：已知角的度数都是12的倍数，0362460+=，这使我们想到构作正三角形.A图2图1MA B B能力训练1.在如图所示的单位正方形网格中，将△ABC 向右平移3个单位后得到△A B C '''，则BA A '∠的度数是_______.（泰安市中考试题）B(第1题) （第2题） （第3题）2.如图，P 是等边△ABC 内一点，P A =6，PB =8，PC =10，则∠APB =_________.3.如图，直线143y x =与双曲线2(0)k y k x =>交于点A ，将直线143y x =向右平移92个单位后，与双曲线2k y x =交于点B ，与x 轴交于点C . 若2AOBC=，则k =______________. （武汉市中考试题） 4.如图，△ABC 中，∠BAC =045，AD ⊥BC ，DB =3，DC =2，则△ABC 的面积是___________. 5.如图，P 为正方形内一点，若::1:2:3PA PB PC =，则∠APB 的度数是（ ）. A. 0120 B. 0135 C. 0145 D. 0150（第6题）（第5题）（第4题）ACB ABDABDA'6.如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线交于点O ，把边BA 、CD 分别绕点B 、C 同时逆时针旋转060，得四边形A BCD '',下列结论：①四边形A BCD ''为菱形；②12ABCD A BCD S S ''=正方形四边形；③线段OD '的1. 其中正确的结论有（ ）.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个7. 如图，A ，B 两个电话机离电话线l 的距离分别是3米，5米，CD =6米，若由L 上一点分别向A ，B 连电话线，最短为（ ）.A. 11米B. 10米C. 9米D. 8米8. 如图，在△ABC 中，∠BAC =0120，P 是△ABC 内一点，若记x PA PB PC =++，y AB AC =+，则（ ）.A. x y <B. x y =C. x y >D. x 与y 的大小关系不确定l第8题图第7题图CB9. 如图，已知D 是△ABC 中BC 边的中点，过D 作DE ⊥DF ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，求证：BE CF EF +>.（天津市竞赛试题）DB10.如图，△ABC ，△A B C '''其各边交成六边形DEFGHK ，且EF ∥KH ，GH ∥DE ，FG ∥KD ，0KH EF FG KD DE GH -=-=->. 求证：△ABC ，△A B C '''均为为正三角形.（“缙云杯”邀请赛试题）A B C A'11.如图，已知△ABC 中，AB=AC ，P ，Q 分别为AC ，AB 上的点，且AP=PQ=QB=BC ，求∠PCQ .（北京市竞赛试题）B12.如图，已知在平面直角坐标系中，A ，B 两点的坐标分别为(2,3)A -，(4,1)B -. (1) 若(,0)P x 是x 轴上的一个动点，当△P AB 的周长最短时，求x 的值；（2）若(,0),(3,0)C a D a +是x 轴上的两个动点，当四边形ABCD 的周长最短时，求a 的值； （3）设M ，N 分别为x 轴，y 轴上的动点，问：是否存在这样的点(,0)M m 和(0,)N n ，使四边形ABMN 的周长最短？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由.（浙江省湖州市中考试题）13.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，分别以两腰AB ，CD 为边向两边作正方形ABGE 和正方形DCHF ，设线段AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M ，EP ⊥l 于P ，FQ ⊥l 于Q ，求证：EP=FQ.（全国初中数学联赛试题）14.如图所示，已知Rt △ABC 中，AB=BC ，在Rt △ADE 中，AD=DE ，连结EC ，取EC 中点M ，连结DM 和BM .（1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图1，求证：BM=DM ，且BM ⊥DM ； （2）如图2中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于045的角，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.（广州市中考试题）图2图1ACBBCA15.如图，在△ABC 中，∠BAC =045，AD ⊥BC 于D ，若BD =3，CD =2，求△ABC 的面积.（山东省竞赛试题）B专题29 几何变换例1 210例2 A 提示：将ABP ∆绕B 点顺时针旋转︒60得CBD ∆，则ABP ∆≌CBD ∆，BPD ∆为等边三角形. 例3 提示:延长BD 至E ,使AB BE =,连接AE ,E ABC ∠=∠2.例4 提示:过E 作ER ∥,CD 过C 作CP ∥AB ,过A 作AQ ∥EF ,则PQR ∆为等边三角形.例5 (1)如图a ，由DCM ∆≌ACM ∆则AM DM AC DC ==,,,ACM DCM ∠=∠A CDM ∠=∠.又由CB CA =，得CB CD =.由DCM DCN ∠-︒=∠45,得BCN DCN ∠=∠,又CN CN =,则DCN ∆≌BCN ∆,有BN DN =,B CDN ∠=∠, ∴︒=∠+∠=∠+∠=∠90B A CDN CDM MDN ∴222DN MD MN +=即222BN AM MN +=(2)关系式: 222BN AM MN +=仍成立,方法同上,如图b 例6 如图,作ACD ∆关于AD 所在直线的轴对称图形,APD 则,12,60,APD ACD PAD CAD PAB AP AB AC ∠=∠∠=∠=∠===，连接PB ，则PAB 为正三角，得12PBD ∠=.123648,,,DAB DBA AD BD PAD PBD ∠=+==∠∴=∴≅故30.30APD BPD ACD APD ∠=∠=∴∠=∠=能力训练1. 452. 1503. 12 提示: 如图, 设4(,)3A a a 过A 作AD x ⊥轴, 交于点D , 过B 作BE x ⊥轴, 交于点E由,2AO AD OD AOD BCE BC BE CE ∴===, 则2912,,(,)23223a CE BE a B a a ==+ ,A B 都在双曲线上, 4291()3322a a a a ∴=+, 解得 123,0a a ==(舍去) 3412k ∴=⨯=4. 15 提示: 分别以,AB AC 为对称轴作D 点的对称点,E F , 连接,FC EB 相交于G , 证明四边形AFGE 为正方形5. B6. C7. B8. D9. 提示: 延长FD 至G , 使DG FD =, 连接EG10. 提示: 作//,//,//EQ FG PG KH KR DE ，交成等边三角形PQR11. 提示: 作//CD BQ , 连,PD CD ，∴四边形QBCD 为菱形, DQ QB = , 由,AP QB CD AQ PC === ,A PCD ∠=∠ 得,,DCP PAQ PD PQ QB QD ≅=== QPD ∴为等边三角形,又,CDP A PQA ∠=∠=∠2,QPC A ∠=∠360QPD A ∠=∠=20,A ∴∠=80B ACB ∠=∠=又,QB BC = 50QCB ∴∠= 30PCQ ∠=12. 提示: (1) 作(4,1)B -关于x 轴对称点'(4,1)B ,连','AB AB 交x 轴于P ,PAB 周长最短, (3.5,0)P ∴ (2) 将点(4,1)B -向左平移3个单位得1(1,1)B -，再作1B 关于x 的对称点2(1,1)B ，连2AB 交x 轴于C ， 再将C 向右平移3个单位得点D ，(1.25,0), 1.25C a ∴= (3) 作点A 关于y 轴对称点'(2,3)A --,作点B 关于x 轴的对称点'(4,1)B ,连''A B 交x 轴于M , 交y 轴于N 5(2.5,0),(0,)3M N ∴-13. 提示: 过N 作'//NQ DF ,作'//,NP AE 作//,//.NS DC NR AB 由','PP N LNR RN AB AE P N ∠=∠=== 则''Rt PP N Rt LNR PP LN ≅∴= 同理可证: ''PP QQ =又 '//,'//EP AN FQ ND , 又''AN ND EP FP =∴= 从而'',''PE PP P E FQ FQ QQ =+=+则 PE FQ =(1) 11,,22BM EC DM EC BM DM ==∴= 由2BME BCM ∠=∠ 2,DME DCM ∠=∠ 2()90BMD BME DME BCM DCM ∴∠=∠+∠=∠+∠= BM DM ∴⊥(2) 延长DM 至点F ,使DM FM =,连,,BD BF FC . 可证:EMD CMF ≅,ED AD CF DEM FCN ∴==∠=∠ //ED CF延长AD ,交BC 于T ,交CF 延长线于S 90EDS CST ∠=∠= 又BTA CTS ∠=∠BAD BCF ∠=∠,,,AB CB ABD CBF BD BF ABD CBF =∴≅∴=∠=∠,又90ABD DBC CBF DBC ∠+∠=∠+∠=, BDF ∴为等腰三角形, ,BM DM BM DM ∴=⊥15. 如图, 以AB 为对称轴作ADB 的对称AGB ,以AC 为对称轴作ADC 的对称AFC ,并延长,GB FC 交于点E ,则易知四边形AGEF 是正方形, 不妨设AD h =,则2,3,BE h CE h =-=-由2222222(2)(3)5560BC BE CE h h h h =+⇒-+-=⇒--=116561522ABCh S BC AD ⇒=⇒==⨯⨯=。

最新中考数学总复习“几何变换之翻折探究专题思考与解决几何图形的问题，主要是借助基本图形的性质（定义，定理等）和图形之间的关系.许多基本图形的性质都源于这个图形本身的“变换特征J而最为重要和最为常用的图形关系“全等三角形"很多的情况也是同样具有“变换勺孩式的联系.本来两个三角形全等是指它们的形状和大小都一样，和相互间的位置没有肓接关系，但是，在同一个问题中涉及到的两个全等三角形，绝大多数都有一定的位置关系，或成轴对称关系，或成平移关系, 或成旋转的关系（包括中心对称）.这样，在解决具体的儿何图形问题时，图形本身所显示或暗示的“变换特征J对我们识别出、构造出基本图形和图形关系（如全等三角形），有着极为重耍的启发和引导的作用.图形的翻折问题本质上是轴对称问题，满足轴对称的性质，即:1.折叠图形关于折痕对称2.对应边.角相等3・对应点的连线被折痕垂直平分我们解决翻折问题一般也是从以上性质出发解决的.先讲翻折题的三种常见方法【题目】（16年秋锡山区期屮）如图，在平面直角坐标系屮，矩形ABCO的边0A在x轴上，边0C在y轴上，点B的坐标为（1, 3）,将矩形沿对角线AC翻折，点B落在点D的位置，且AD交y轴于点E,那么点D的坐标为_________________________ ・法一：求定点关于定真线的对称点（万能方法）如答图1,连BD,处AC 于G,贝UABC^AAGB^ABFD,.•.BD = 2BG = AB -«2=3x- x2= , DF=BD- 1x . E \/To io io ioBF=3DF=-,5 95・・・D （-L匕5 5法二：由直角翻折主动寻求K型相似（特殊技巧）• •••••••• • •••如答图1, l±l ZADC=90°=>A ADN^ADCF,相似比为3： 1,设ON=CF=x,则DN=3x, DF=3-3x,由AN = 3DF 得x+l=3 (3-3x),解得x=4,_.・.D (—°,_以2_5 5 5法三:电翻折主动寻求等腰二角形（特殊技巧）如答图2,延长CD交x轴于H,可得CH=AH,设DH = y,则AH = y,在RtAADH +用勾股定理耳［得y=4易得DM=-, AD-）5 5 5法四：出翻折主勿寻求等腰三角形（特殊技巧）如答图2,设CE=AE=a,则OE=3—a,在RtAAOE 中用勾股定理可得a=-,由比例关系可得OM=-, /.D （-1，55 5 5【例题剖析】题型一：利用对应边相等，对应角相等例1一1、（2015 年无锡）10・如图，RtAABC 中，ZACB = 90°, AC= 3, BC=4,将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F,贝U线段BF的长为（）人3 4 2 3A. 一B. -C. - r> —【解答】选BK点评》本题的关键点在于发现并证明ZBTB是直角，由翻折可知ZA=ZADC=ZBQF,又ZB=ZB f=—< ZBTB是肓角=>AB f DF是“345"的三角形乂由翻折可知B，C = BC=4, CD = AC = 3,例1一2、（18年4月锡山区二模）17.如图，在“ABC 中，ZACB=90°，点、D, E 分别在 AC, BC±,且ZCDE=ZB,将ZkCDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点F 处.若AC=8, AB=\O ，则CD 的长为 ___________ ・母子三角形K 点评』本题的关键点在于发现并证明F 是AB 的中点，如答图，由翻折=CF 丄DE===== < Z1 = Z2-= < Z2= ZB=>CF=BF 二=========<F 是AB 中点 木题也可以根据90度翻折构造K 型相似来解决，如答图2K 针对练习》1、（18年4刀宜兴一模）16・如图，在矩形ABCD 中，AB=4, BC=6, E 是BC 的中点, 连结AE,将ZkABE 沿AE 折叠，点B 落在点F 处，连结CF,则sinZEFC= ________________ .【解答】CD=；【解答】；§型二：利用（或构造）等腰三角形例2—1、（18年4月宜兴一模）10. —张矩形纸片ABCD,其中AD = 8cm, AB=6cm,先沿对角线BD对折，点C落在点C的位置，BC交AD于点G （图1）；再折叠一次，使点D与点A 重合，得折痕EN, EN交AD于点M （图2）,则EM的长为（7 —A. 2B.丄C・ 0 D.【解答】选DK点评》木题的关键点在于发现并利用ADEN是等腰三角形，由翻折=>ZCDB = ZEDB, 作高EHEN 是折痕=>EN〃CDnZEND=ZBDC=>ZEND=ZEDN=>EN=ED== v^DEN 是“556”的三角形例2—2、(12年南长区一模)已知正方形ABCD 的边长为6cm,点E 是射线BC 上的一个动【解答】当E 点在BC 边上时，sinZDAB r =5,当E 点在BC 的延长线上时，sinZDAB r 13_3 —, 5K 点评》本题三种方法都可以，方运一：如答图1,构造箏腰三角形AGF,再由勾股定理得到方程x 2+62= (9-x) 2解得 x=,所以sinZDAB r ='2 13 方法二 如答圏2, A ABE^AAHB^AB Z GB,三边之比都为2： 3： 甄 ABH=2B E= 2<4= u_=>BB f =2BH=_=>BG= lBB z =-=>AG=-=>sinZ yrr /TJ /TJ yi3 y/H 13 13 DAB ，=L 13方法三：如答图3，构造相似三角形厶ABT S /XEEG ,且相似比为3： 2,可得方程组[3x+2y=6 ,解得卜=勺 所以sinZDAB z =-l(3x)2 + 0y M6 [y=*另一种情况类似，参考答图4 ' 答图4点，连接AE 交射线DC 于点F,将ZkABE 沿直线AE 翻折，点B 落在点B 处.(1) cm ； 求sinZDAB r 的值；D^-=1 时，CF=DC答图3 答图1 答图2例2—3、（17 年滨湖二模）18・如图，在RtAABC 中，ZC=90°, AC=3cm, BC=4cm,点 E 从C 点出发向终点B 运动，速度为lcm/秒，运动时间为t 秒，作EF 〃AB,点P 是点C 关K 点评为本题的关键点在于CP 与折痕EF 垂直，也即与AB 垂直，在ZAPE=90°Bj,可得 等腰三角形ABE 。

数学初中竞赛几何专题训练1．如图，在正方形ABCD中，N为边AD上一点，连接BN．过点A作AP⊥BN于点P，连接CP，M为边AB上一点，连接PM，∠PMA＝∠PCB，连接CM，有以下结论：①△PAM∽△PBC；②PM ⊥PC；③M、P、C、B四点共圆；④AN＝AM．其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1解：∵AP⊥BN，∴∠PAM+∠PBA＝90°，∵∠PBA+∠PBC＝90°，∴∠PAM＝∠PBC，∵∠PMA＝∠PCB，∴△PAM∽△PBC，故①正确；∵△PAM∽△PBC，∴∠APM＝∠BPC，∴∠CPM＝∠APB＝90°，即PM⊥PC，故②正确；∵∠MPC+∠MBC＝90°+90°＝180°，∴B、C、P、M四点共圆，∴∠MPB＝∠MCB，故③正确；∵AP⊥BN，∴∠APN＝∠APB＝90°，∴∠PAN+∠ANB＝90°，∵∠ANB+∠ABN＝90°，∴∠PAN＝∠ABN，∵∠APN＝∠BPA＝90°，∴△PAN∽△PBA，∴，∵△PAM∽△PBC，∴，∴，∵AB＝BC，∴AM＝AN，故④正确；故选：A．2．如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（）A．2 B．3 C．4 D．6解：如图，以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E），以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D），以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E），以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B），以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C），以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），共6组．故选：D．3．如图，在四边形AOBC中，若∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，则下列结论正确的有（）（1）A、O、B、C四点共圆（2）AC＝BC（3）cos∠1＝＝（4）S四边形AOBCA．1个B．2个C．3个D．4个解：∵∠3+∠4＝180°，∴A、O、B、C四点共圆，（1）正确；作CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，如图所示：则∠CDA＝∠CEB＝90°，∵∠1＝∠2，∴CD＝CE，∵∠3+∠4＝180°，∠3+∠CAD＝180°，∴∠CAD＝∠4，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（AAS），∴AD＝BE，AC＝BC，（2）正确；∵cos∠1＝＝，cos∠2＝＝，∴cos∠1+cos∠2＝+＝＝，∵∠1＝∠2，∴cos∠1＝cos∠2，∴2cos∠1＝，∴cos∠1＝，（3）正确；∵CD＝CE，sin∠1＝，∴CD＝c×sin∠1，∴S四边形AOBC ＝S△OAC+S△BOC＝a×CD+b×CE＝（a+b）CD＝（a+b）×c×sin∠1＝，（4）正确；正确的结论有4个，故选：D．4．点C是半径为1的半圆弧AB的一个三等分点，分别以弦AC、BC为直径向外侧作2个半圆，点D、E也分别是2半圆弧的三等分点，再分别以弦AD、DC、CE、BE为直径向外侧作4个半圆．则图中阴影部分（4个新月牙形）的面积和是（）A．B．C．D．解：易知D、C、E三点共线，点C是半径为1的半圆弧AB的一个三等分点，∴对的圆心角为＝60°，∴∠ABC＝30°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝AB＝1，BC＝AB•COS30°＝，BE＝BC•COS30°＝，CE＝DC＝，AD＝，且四边形ABED为直角梯形，外层4个半圆无重叠．从而，S阴影＝S梯形ABED+S△ABC﹣，＝S△ADC +S△BCE，＝．故选：B．5．如图，已知∠A的平分线分别与边BC、△ABC的外接圆交于点D、M，过D任作一条与直线BC不重合的直线l，直线l分别与直线MB、M C交于点P、Q，下列判断错误的是（）A．无论直线l的位置如何，总有直线PM与△ABD的外接圆相切B．无论直线l的位置如何，总有∠PAQ＞∠BACC．直线l选取适当的位置，可使A、P、M、Q四点共圆D．直线l选取适当的位置，可使S△APQ ＜S△ABC解：假设A、P、M、Q四点共圆，根据相交弦定理可得：DA•DM＝DP•DQ，∵A、B、M、C四点共圆，∴根据相交弦定理可得：DA•DM＝DB•DC，∴DP•DQ＝DB•DC，即＝，∵∠BDP＝∠QDC，∴△DBP∽△DQC，∴∠BPD＝∠QCD，∵AM平分∠BAC，∴∠BAM＝∠MAC，∵∠MBC＝∠MAC，∠MCB＝∠BAM，∴∠MBC＝∠MCB，∴∠BPD＝∠MBC．与∠MBC＝∠BPD+∠BDP矛盾，故假设不成立，因而命题C错误，故选：C．6．已知，在面积为7的梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝4，P为边AD上不与A、D重合的一动点，Q是边BC上的任意一点，连结AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ 交DQ于F．则△PEF面积的最大值是（）A．B．C．D．解：设PD ＝x ，S △PEF ＝y ，S △AQD ＝z ，梯形ABCD 的高为h ，∵AD ＝3，BC ＝4，梯形ABCD 面积为7， ∴， 解得：，∵PE ∥DQ ， ∴∠PEF ＝∠QFE ，∠EPF ＝∠PFD ，又∵PF ∥AQ ，∴∠PFD ＝∠EQF ，∴∠EPF ＝∠EQF ，∵EF ＝FE ，∴△PEF ≌△QFE （AAS ），∵PE ∥DQ ，∴△AEP ∽△AQD ，同理，△DPF ∽△DAQ ， ∴＝（）2，＝（）2，∵S △AQD ＝3，∴S △DPF ＝x 2，S △APE ＝（3﹣x ）2，∴S △PEF ＝（S △AQD ﹣S △DPF ﹣S △APE ）÷2，∴y ＝[3﹣x 2﹣（3﹣x ）2]×＝﹣x 2+x ，∵y 最大值＝＝，即y 最大值＝．∴△PEF 面积最大值是，故选：D ．7．如图，正ABC 中，P 为正三角形内任意一点，过P 作PD ⊥BC 、PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，连AP 、BP 、CP ，如果S △AFP +S △PCD +S △BPE ＝，那么△ABC 的内切圆半径为（ ）A ．1B ．C ．2D ．解：过P 点作正三角形的三边的平行线，于是可得△MPN ，△OPQ ，△RSP 都是正三角形，四边形ASPM ，四边形NCDP ，平行四边形PQBR 是平行四边形，故可知黑色部分的面积＝白色部分的面积，又知S △AFP +S △PCD +S △BPE ＝， 故知S △ABC ＝3，S △ABC ＝AB 2sin60°＝3， 故AB ＝2，三角形ABC 的高h ＝3，△ABC 的内切圆半径r ＝h ＝1．故选：A ．8．如图所示，已知△ABC 面积为l ，点D 、E 、F 分别在BC 、CA 、AB 上，且BD ＝2DC ，CE ＝2EA ，AF ＝2FB ，AD 、BE 、CF 两两相交于P 、Q 、R ，则△PQR 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．解：连接BR ，设△CDR 的面积为a ，△BRF 的面积为b ，∵BD ＝2DC ，AF ＝2FB ，∴△BDR 的面积为2a ，△ARF 的面积为2b ，∵已知△ABC 面积为l ，∴S △CDR +S △B DR +S △BRF ＝，S △BDR +S △BRF +S △ARF ＝ ∴，解得，∴△CDR 的面积为，同理可得S △APE ＝S △BFQ ＝， S △PQR ＝S △BCE ﹣（S △BCF ﹣S △BFQ ）﹣（S △ACD ﹣S △APE ﹣S △CDR ）＝﹣+S △BFQ ﹣+S △APE +S △CDR ＝S △BFQ +S △APE +S △CDR ＝×3＝．故选：C ．9．观察图（1），容易发现图（2）中的∠1＝∠2+∠3．把图（2）推广到图（3），其中有8个角：∠1，∠2，…，∠8．可以验证∠1＝∠2+∠5+∠8成立．除此之外，恰好还有一组正整数x ，y ，z ，满足2≤x ≤y ≤z ≤8，使得∠1＝∠x +∠y +∠z ，那么这组正整数（x ，y ，z ）＝（ ）A ．（3，4，7）B ．（3，5，7）C ．（3，3，7）D ．（4，6，7） 解：∵小正方形的边长为1，∴∠1＝45°，∵∠1＝∠x +∠y +∠z ，∴∠x +∠y +∠z ＝45，∵一组正整数x ，y ，z ，满足2≤x ≤y ≤z ≤8，“第二条对角线和第三条对角线形成的三角形”与“第二条对角线和第七条对角线形成的三角形”相似，∠2是“第二条对角线和第七条对角线形成的三角形”的外角，∠2＝∠7+∠α（∠α是∠3的对应角），而∠1＝∠2+∠3，∴∠1＝∠2+∠3＝∠3+∠3+∠7．∴这组正整数（x ，y ，z ）＝3，3，7；故选：C ．10．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，内切圆⊙I 切AC 、BC 于E 、F ，射线BI 、AI 交直线EF 于点M 、N ，设S △AIB ＝S 1，S △MIN ＝S 2，则的值为（ ）A ．B ．2C ．D ．3解：连接IE 、IF 、IG ，IC 与EF 交于H ，设内切圆⊙I 的半径为r ，∵∠C ＝90°，它的内切圆⊙I 分别与边AC 、BC 相切于点E 、F ，∴四边形CEIF 是正方形，HI ＝IC ＝r ， ∴△CEF 是等腰直角三角形，∴∠CEF ＝∠CFE ＝45°，∴∠NFB ＝∠CFE ＝45°，∠MEA ＝∠CEF ＝45°，∴∠NIB ＝∠AIM ＝∠IAB +∠IBA ＝（∠CAB +∠CBA ）＝45°，∴∠M ＝∠CAN ＝∠IAB ，∠N ＝∠CBM ＝∠IBA ，∴△NIM ∽△BIA ， ∴＝（）2＝（）2＝2，故选：B ．11．如图，若干个正三角形的一边在同一条直线a 上，这边对的顶点也在同一条直线b 上，它们的面积依次为S 1，S 2，S 3，S 4…若S 1＝1，S 2＝2，则S 6等于（ ）A ．16B ．24C ．32D ．不能确定解：∵△AEF 、△BFG 、△CGH 都是等边三角形， ∴∠AFE ＝∠BGF ＝60°，∠BFG ＝∠CGH ＝60°， ∴AF ∥BG ，BF ∥CG ，∴∠BAF ＝∠CBG ，∠ABF ＝∠BCG ， ∴△ABF ∽△BCG ， ∴＝．∵△AEF 、△BFG 、△CGH 都是等边三角形， ∴△AEF ∽△BFG ∽△CGH ， ∴＝（）2，＝（）2，∴＝，∴＝，∴S22＝S1•S3．∵S1＝1，S2＝2，∴S3＝4．同理S32＝S2•S4，则有S4＝8；S 42＝S3•S5，则有S5＝16；S 52＝S4•S6，则有S6＝32．故选：C．12．如图，在四边形ABCD中，AC、BD为对角线，点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点，下列说法：①当AC＝BD时，M、E、N、F四点共圆．②当AC⊥BD时，M、E、N、F四点共圆．③当AC＝BD且AC⊥BD时，M、E、N、F四点共圆．其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③解：连接EM、MF、FN、NE，连接EF、MN，交于点O，如图所示．∵点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点，∴EM∥BD∥NF，EN∥AC∥MF，EM＝NF＝BD，EN＝MF＝AC．∴四边形ENFM是平行四边形．①当AC＝BD时，则有EM＝EN，所以平行四边形ENFM是菱形．而菱形的四个顶点不一定共圆，故①不一定正确．②当AC⊥BD时，由EM∥BD，EN∥AC可得：EM⊥EN，即∠MEN＝90°．所以平行四边形ENFM是矩形．则有OE＝ON＝OF＝OM．所以M、E、N、F四点共圆，故②正确．③当AC＝BD且AC⊥BD时，同理可得：四边形ENFM是正方形．则有OE＝ON＝OF＝OM．所以M、E、N、F四点共圆，故③正确．故选：C．13．如图，已知△ABC的面积是1，D、E、F和G、H、I分别是BC和AC边上的4等分点，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．解：连结IF，如图，设S△IFK的面积为S，∵D、E、F和G、H、I分别是BC和AC边上的4等分点，∴＝＝，而∠ICF＝∠ACB，∴△CIF∽△CAB，∴＝（）2，∴S△CIF＝，∵△CIF∽△CAB，∴∠CIF＝∠CAB，＝＝，∴IF∥AB，∴△IFK∽△BKA，∴＝，∴S△ABK＝16S，∵BF＝3CF，∴S△IBF ＝3S△ICF，即S+S△KBF＝3×，∴S△KBF＝﹣S，∴S△ABF ＝S△ABK+S△KBF＝16S+﹣S，∵BF＝BC，∴S △ABF ＝S △ABC ＝， ∴16S +﹣S ＝， ∴S ＝，∴图中阴影部分的面积＝S △IFK +S △CIF ＝+＝．故选：A ．14．如图，正方形ABCD 中线段A 1A 、AA 2、B 1B 、BB 2、C 1C 、CC 2、D 1D 、DD 2的长度分别等于边长的、、、、、、、，则正方形面积是阴影面积的多少倍（ ）A ．B ．C ．D ．2解：设正方形的边长为a ，则线段A 1A 、AA 2、B 1B 、BB 2、C 1C 、CC 2、D 1D 、DD 2的长度分别为a 、a 、a 、a 、a 、a 、a 、a ，正方形面积的面积为a 2，直角三角形的面积之和为a 2（×+×+×+×）＝a 2， 阴影面积为a 2，则正方形面积是阴影面积倍．故选：C．15．如图，直角△ABC的直角边BC＝6，AC＝5．把BC六等分，等分点是D1，D2，D3，D4，D 5；把AC五等分，等分点是E1，E2，E3，E4．连AD1，AD2，AD3，AD4，AD5．过E1，E2，E3，E 4作BC边的平行线E1F1，E2F2，E3F3，E4F4，交AB边于F1，F2，F3，F4．那么图中所有可以数得出来的三角形的面积的总和为（）A．115.5 B．462 C．420 D．231解：由底边一格组成的三角形的个数为5×5＝25，面积为33，由底边两格组成的三角形的个数为4×5＝20，面积为48+，由底边三格组成的三角形的个数为3×5＝15，面积为54+，由底边四格组成的三角形的个数为2×5＝10，面积为48+，由底边五格组成的三角形的个数为1×5＝5，面积为33，图中所有可以数得出来的三角形的面积的总和为33×2+48×2+54+×2+＝231，故选：D．16．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示：上层正方体底面的四个顶点恰好是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形几何体的全面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是（）A．4 B．5 C．6 D．7解：设有n个正方体构成，其表面积由两部分组成：（1）俯视图、表面只有一个正方形，其边长为2．（2）侧面则由4n个正方形构成，且各层（从下往上看）正方形面积构成一个首项为4，公比为的等比数列．∴表面积为：4+4+4×[4+4×+4×+…+4×]＞39，∴8+4×＞39，∴n的最小值为6．故选：C．17．如图，正方形ABCD的面积为2，现进行如下操作：第1次：分别延长AB、BC、CD、DA至点E、F、G、H，使得BE＝AB，CF＝BC，DG＝CD，AH＝DA，顺次连接E、F、G、H四点得四边形EFGH；第2次：分别延长EF、FG、GH、HE至点J、K、L、M，使得JF＝EF，KG＝GF，LH＝HG，EM＝EH，顺次连接J、K、L、M四点得四边形JKLM，…按此方法操作，要使所得到的四边形面积超过2007，则这样的操作至少需要（）A．7次B．6次C．5次D．4次解：设正方形ABCD的边长为a，第一次操作后得到正方形的边长为a，第二次操作后得到正方形的边长为5a，故第n次操作后正方形的边长为a，故知第n次操作后正方形的面积S＝5n a2，若要使所得到的四边形面积超过2007，即5n a2＞2007，a2＝2，解得n＞4，这样的操作至少需要5步，故选：C ．18．某住宅小区的圆形花坛如图所示，圆中阴影部分种了两种不同的花，O 1，O 2，O 3，O 4分别是小圆的圆心，且小圆的直径等于大圆的半径．设小圆的交叉部分所种花的面积和为S 1．在小圆外、大圆内所种花的面积和为S 2，则S 1和S 2的大小关系是（ ）A ．S 1＞S 2B ．S 1＜S 2C ．S 1＝S 2D ．无法确定解：设大圆的半径为2，则小圆半径是1，S 2＝4π﹣（π+π+π+π﹣S 1）即S 1＝S 2． 故选：C ．19．在一堂“探索与实践”活动课上，小明借助学过的数学知识，利用三角形和长方形为班里的班报设计了一个报徽，设计图案如下：如图，两条线段EF 、MN 将大长方形ABCD 分成四个小长方形，已知DE ＝a ，AE ＝b ，AN ＝c ，BN ＝d ，且S 1的面积为8，S 2的面积为6，S 3的面积为5，则阴影三角形的面积为（ ）A ．B ．3C ．4D ．解：根据题意：DE ＝a ，AE ＝b ，AN ＝c ，BN ＝d ，且S 1的面积为8，S 2的面积为6，S 3的面积为5， 故知ac ＝8…①ad ＝6…② bd ＝5…③，②÷③得：a ＝b …④，把④代入①可得bc ＝，∵阴影三角形的面积＝bc ＝．故选：A ．20．如图，已知凸四边形ABCD 的面积为S ，四边AB ，BC ，CD ，DA 的第1个三等分点是E 、F 、G 、H ，连AF 、BG 、CH 、DE ，相邻两连线交于I 、J 、K 、L ，又△AEL 、△BFI 、△CGJ 、△DHK 的面积分别为a 、b 、c 、d ，S 1＝a +b +c +d ，则四边形IJKL 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．解：如图，连接EF 、FG 、GH 、HE ，设△EFL 、△FGI 、△GKJ 、△HLK 的面积分别为a ′、b ′、c ′、d ′则 a ′＝S △AEF ﹣a＝S △ABF ﹣a ＝S △ABC ﹣a同理，b ′＝S △BCD ﹣b 、c ′＝S △CDA ﹣c 、d ′＝S △DAB ﹣d ． 四式相加得：a ′+b ′+c ′+d ′＝S ﹣（a +b +c +d ） 又S 四边形EFGH ＝S ﹣（S △AHE +S △BEF +S △CGF +S △DGH ）＝S ﹣（×S △ABD +×S △ABD +×S △BCD +×S △BCD ） ＝S ﹣S ＝S∴S 四边形IJIKL ＝S 四边形EFGH ﹣（a ′+b ′+c ′+d ′） ＝S ﹣[S ﹣（a +b +c +d ）] ＝S +a +b +c +d＝S+S1故选：D．。

2020人教版数学中考考点（5.1）：几何变换【★★★】总分：100分班级:__________ 姓名：__________ 学号：__________ 得分：__________ 说明：（1）本节考点：平移、旋转、轴对称；（2）最大难度：☆☆☆☆一、选择题（共10小题；共30分）1. 下列图形中，哪个可以通过如图平移得到A. B.C. D.2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A. B.C. D.3. 下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A. B.C. D.4. 如图，在中，，，，将沿向右平移得到．若四边形的面积等于，则平移距离等于A. B. C. D.5. 如图，将周长为的沿方向平移个单位得到，则四边形的周长为A. B. C. D.6. 如图，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点落在处，折痕为，若，，则和的周长之和为A. B. C. D.7. 如图，将三角尺的一边沿位置固定的直尺推移得到，下列结论不一定正确的是A. B. 四边形是平行四边形C. D.8. 如图，为矩形的中心，将直角三角板的直角顶点与点重合，转动三角板使两直角边始终与、相交，交点分别为、．如果，，，，则与的关系是A. B. C. D.9. 如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，若，则等于A. B. C. D.10. 如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共18分）11. 一副三角板如图放置，将三角板绕点逆时针旋转，使得三角板的一边所在的直线与垂直，则的度数为．12. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，则点与点之间的距离是．13. 如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点落在的中点处，折痕为，点，分别在边，上，则的值为．14. 如图，在等腰中，，，于点，点为边上的动点，点为上一动点，则的最小值为．15. 如图，将平行四边形绕点顺时针旋转，其中，，分别落在点，，处，且点，，，在一直线上，若，，则平行四边形的面积为．16. 如图，正方形的边长为，点在边上运动（不与点，重合），，点在射线上，且，与相交于点，连接，，，则下列结论：①；②的周长为；③；④的面积的最大值．其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）三、解答题（共5小题；共52分）17. 如图所示，将平移，可以得到，点的对应点为点，请画出点的对应点，点的对应点的位置并顺次连接点，，．18. 如图，正方形中，为上一点，绕点顺时针旋转得到，点恰好落在延长线上．（1）；（2）若，求的度数．19. 在同一平面内，和如图1 放置，其中．小明做了如下操作：将绕着边的中点旋转得到，将绕着边的中点旋转得到，如图 2，请完成下列问题：（1）试猜想四边形是什么特殊四边形，并说明理由；（2）连接，，如图 3，求证：四边形是平行四边形．20. 如图，在直角坐标系中，点，的坐标分别是，，将线段向上平移个单位，再向右平移个单位，得到线段，点，的对应点分别是，，连接，．（1）直接写出点，的坐标．（2）求四边形的面积．（3）若点为线段上任意一点（与点，不重合），连接，．求证：．21. 已知，，，斜边，将绕点顺时针旋转，如图，连接．（1）填空：；（2）如图，连接，作，垂足为，求的长度；（3）如图，点，同时从点出发，在边上运动，沿路径匀速运动，沿路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点的运动速度为单位/秒，点的运动速度为单位/秒，设运动时间为秒，的面积为，求当为何值时取得最大值?最大值为多少?答案第一部分1. A2. A 【解析】A、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．3. A 【解析】A、是轴对称图形，也是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、不是轴对称图形，是中心对称图形；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．4. A5. C6. C 【解析】有题意可知：，，，和的周长之和7. D8. D 【解析】提示：过点作，过点作．．9. A 【解析】，.由折叠的性质知，，．故等于．10. D第二部分11. 或【解析】分情况讨论：①当时，，；②当时，．12.13.【解析】如图，连接交于，连接，，则为等边三角形，是的中点，，，中，，，中，，由折叠可得，，，设，则，中，，，解得，即，中，，．14.15.【解析】平行四边形绕点旋转到平行四边形的位置，点恰好是对角线的中点，，，，，，，，，，，，，过作于，则，，，平行四边形的面积．16. ①④【解析】如图中，在上截取，连接．，，，，，，，，，，，，，，，，，，故①正确；如图中，延长到，使得，则，，，，，，，，，，，故③错误；的周长故②错误；设，则，，，时，的面积的最大值为，故④正确．第三部分17. 连接，过，分别做的平行线，并且在平行线上截取，连接，，，得到的即为平移后的新图形．18. （1）（2）由题意知绕点顺时针旋转得到，，，，，．19. （1）四边形是菱形，理由如下：绕着边的中点旋转得到，，，，，四边形是菱形．（2）四边形是菱形，，且，绕着边的中点旋转得到，，，四边形为平行四边形．，且，，，四边形是平行四边形．20. （1）；（2），，．四边形（3）线段是线段平移得到，，作，交轴于点，，，，，，．21. （1）【解析】由旋转知：，，为等边三角形，．（2），，，；以为底，则为的高，．又，，为等边三角形，，．（3）①当时，在上运动，在上运动，如图，此时过点作且交于点．则，，，故当时取最大，．②当时，在上，在上，如图，，，．当时取最大，最大值为：．③当时，如图，过点作交于点，，同时在上，则，，．当时，取最大，最大值为．综上所述，取最大值为．。