_多面体外接球的求法

外接球公式总结
外接球公式是几何中的重要问题，涉及到多面体、旋转体等空间几何图形的外接球问题。

一般情况下，外接球公式可以用来计算几何体的表面积或体积。

以下是一些关于外接球公式的总结:
1. 多面体外接球公式：对于正多面体，各顶点同在一球面上，这个球叫做正多面体的外接球。

正四棱锥的外接球公式为:DU2tR，其中 D 是底面直径，U 是底面边长，t 是棱锥的高，R 是外接球半径。

2. 旋转体外接球公式：旋转体的外接球公式比较复杂，需要根据旋转轴的不同进行分类。

一般情况下，可分为三类:
(1) 旋转轴与底面垂直时，外接球公式为:S=frac{4}{3}R^2，其中 S 是外接球表面积，R 是外接球半径。

(2) 旋转轴与底面平行时，外接球公式为:S=pi R^2，其中 S 是外接球表面积，R 是外接球半径。

(3) 旋转轴不与底面垂直或平行时，需要分类讨论，一般情况下可以采用轴对称性来求解。

3. 球体外接球公式：球体的外接球公式为:S=4pi R^2，其中 S 是外接球表面积，R 是外接球半径。

在实际应用中，外接球公式常常用于计算几何体的面积或体积，也可以用于求解几何体的表面积或体积最小值等问题。

多面体外接球半径常见的5种求法公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，则有263,1,296,8x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离2d =.∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16πB.20πC.24πD.32π解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C.小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为.设其外接球的半径为R ，则有()222229R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R =.练习1 （2003，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）3π B. 4πC. D. 6π2（2006年山东高考题）在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为（ ）.A. 27B. 2C. 8D. 243 （2008年浙江高考题）已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，O 的体积等于 .4（2008年安徽高考题）已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上，B BCD A ⊥平面，BC DC ⊥，若6,AB =，则B 、C 两点间的球面距离是 .寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD -，点S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面.又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上. ∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC ∆中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=.∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt . ∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球. 小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截CDAB SO 1图3面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --，则四面体ABCD 的外接球的体积为A.12512πB.1259πC.1256πD.1253π 解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径52R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C.外接球内切球问题1. （陕西理•6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A ．433 B ．33 C ． 43 D ．123答案 B2. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 。

数学复习：多面体外接球半径的求法近年来，求多面体的外接球半径成为全国各地高考的热点问题，是考察学生空间想象能力、画图能力和分析问题能力的一类综合题型，难度中等偏上。

因此，这类问题也是学生失分的重灾区，主要存在以下难点：一不能选择恰当的角度认识多面体；二不能准确分析几何体的线面关系找到球心。

这两个困难让学生对此类问题无从下手，渐渐地对此类问题失去信心。

本文从“画法”到“算法”，简单归纳出几类多面体的外接球半径的典型求法，试图突破此类问题在高三复习中的教学难点。

1通过补形直接求半径若多面体的每个顶点都落在长方体（或直三棱柱）的顶点上，那么该多面体的外接球也是该长方体（或直三棱柱）的外接球。

直三棱柱的外接球球心是上下底面外心连线的中点。

已知直三棱柱111C B A ABC -，设其上下底面的外接圆半径为r，三棱柱的高为h，则其外接球半径222r h R +⎪⎭⎫ ⎝⎛=。

长方体的外接球球心是体对角线的中点。

设长方体的长宽高分别为c b a ,,，则其外接球半径2222c b a R ++=。

1.1墙角锥若在一个三棱锥中，共顶点的三条棱两两垂直，那么我们可以把它补形成一个长方体。

例1.三棱锥P－ABC 的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是22、32、62，则该三棱锥的外接球的体积是A．23B．8236π6π分析：如图（1），由题可以把三棱锥看成是以P 为墙角的墙角锥，易得，，3,21===c b a π6262222=∴=++=∴V c b a R 1.2三对对棱分别相等的四面体若一个三棱锥的三对对棱分别相等，那么我们可以把这个三棱锥看成是由一个长方体的六个面对角线构成的。

例2，在三棱锥A BCD -中，2AB CD ==5AD BC AC BD ====，则三棱锥A BCD -外接球的半径为________。

分析：如图（2），易得2,1,1===c b a 262222=++=∴c b a R 1.3四个面都是直角三角形的三棱锥利用长方体的线面关系，可将四个面都是直角三角形的三棱锥放在长方体内。

多面体外接球、内切球半径常见的5种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面周长为3,则这个球的体积为8T 6x=3,T 1I ' I x =—解设正六棱柱的底面边长为x，咼为h，则有丿9 V3 2 2’_=6汉——xh, 石8 4 小一x/3•••正六棱柱的底面圆的半径r =-，球心到底面的距离d二上3.二外接球的半径2 2R=、r2d2「=1. . V球二—.3小结本题是运用公式R2-r2 d2求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是A. 16二B. 20 二C. 24 二D. 32 二解设正四棱柱的底面边长为x ,外接球的半径为R，则有4x2 = 16，解得x = 2.二2R = J22+22+42=2屈,二R = T6. •••这个球的表面积是4兀R2=24兀.选C.小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为.3，则其外接球的表面积是.解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，I把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球设其外接球的半径为R，则有（2R f =（応行（亦丫+（73$ =9.二R2=9.4故其外接球的表面积S =4二R2=9二.小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为 a b、c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2R= a 2b 2c 2.寻求轴截面圆半径法例4正四棱锥S - ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 V 2，点S 、A 、B 、C 、都在同 一球面上，则此球的体积为.解设正四棱锥的底面中心为O i ，外接球的球心为0, 所示.二由球的截面的性质，可得 00i _平面ABCD .又SO i _平面ABCD ，二球心0必在SO 所在的直线上.ASC 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的 是外接球的半径.在 ASC 中，由 SA = SC = .2, AC =2，得 SA 2SC 2二 AC 2.••• AASC 是以AC 为斜边的Rt ：.••• AC =1是外接圆的半径，也是外接球的半径.故V 球二—.23小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴 截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外 接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几 何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，AB = 4,BC = 3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角半径就如图3B - AC -D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为A. 125 -- n 12B.空二C.D.125 3解 设矩形对角线的交点为0 ,则由矩形对角线互相平分,0A =0B =0C =0D . •••点0到四面体的四个顶点A 、B 、C 、D 的距离相等，即点0为四面体的外接球的球心，可知 如图2所示.二外接球的半径R = 0A =总.故2球='二R 3= 125二.选C.236出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥 A - BCD 中，AD _面ABC ，. BAC =120，AB 二AD 二AC = 2， 求该棱锥的外接球半径 解：由已知建立空间直角坐标系 由平面知识得 5-1, 3,0)设球心坐标为x, y, z) 贝U A0 二 B0 二 CO 广 Dq 由.空间两.点 1间C 距离公式知解得 x = 1 y 3z = 13所以半径为R-12（ 3）212=-21\ 33【结论】：空间两点间距离公式：P^ （x 1 -x 2）2（y 〔 - y 2）2 （乙-z 2）2四面体是正四面体外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点,根据勾股定理知，假设正四面体的边长为 a 时，它的外接球半径为a 。

多面体外接球、内切球半径常见的5种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体,这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同9一个球面上，且该六棱柱的体积为三，底面周长为3,则这个球的体积为86x=3,f1JQ———解设正六棱柱的底面边长为X,高为则有9后，2'§=6x甘"，]入=右.正六棱柱的底面圆的半径r=~,球心到底面的距离d=—.:.外接球的半径22R=J/+J?=]....v球=—.3小结本题是运用公式R2=r-+d2求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是A.16^B.20ttC.24>tD.32i解设正四棱柱的底面边长为X,外接球的半径为R,则有4/=16,解得%=2, 2R=a/22+22+42=2^6,:.R=£.这个球的表面积是4*=24^,选C.小结本题是运用''正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为右，则其外接球的表面积是—.解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，...把这个三棱锥可以补成一个棱长为73的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R,则有（27?）2=（、厅『+（、行『+（^3）2=9./.R2=|,故其外接球的表面积S=4*=9兀.小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为0、/?、c,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为A,则有2R=7a2+b2+c2.寻求轴截面圆半径法例4正四棱锥S-ABC。

多面体外接球问题方法总结
求多面体的外接球的方法有两种：
1. 利用多面体的顶点坐标求解：
a. 首先求解多面体的质心坐标。

可以通过计算多面体的顶点坐标的平均值得到质心坐标。

b. 然后，求解多面体顶点到质心的距离，取最大距离作为外接球的半径。

c. 外接球的中心坐标为质心坐标，半径为最大距离。

2. 利用多面体的边长/面积求解：
a. 首先，根据多面体的类型，求解多面体的特定的边长、面积或者角度。

b. 利用上述的边长、面积或者角度的关系，可以求解外接球的半径。

c. 外接球的中心坐标可以通过找到多面体的对称中心或者中心对称点来获取。

需要注意的是，方法一比方法二更为常用且通用，但对于某些特殊的多面体，可能需要使用方法二来求解。

同时，在实际应用中，还可以借助计算机软件来进行多面体外接球的求解，提高计算的精度和效率。

多面体外接球、内切球半径常见的5种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为.解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,84x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⨯⎪⎪=⎩⎩∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离2d =.∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16πB.20πC.24πD.32π解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =. ∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C.小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3 若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长，则其外接球的表面积是.解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R ，则有()222229R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R =寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD -的底面边长和各侧棱长都S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为.解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图3所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面. 又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上.∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC ∆中，由2SA SC AC ===，得C DA B S O 1图3222SA SC AC +=.∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt . ∴12AC=是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球. 小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为 A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π 解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径CA O DB 图452R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C.出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB径。

立体几何专题：多面体外接球的半径求法引理：点O 为多边形E ABCD ⋅⋅⋅⋅⋅的外接圆的圆心，过点O 作一条直线l 垂直平面E ABCD ⋅⋅⋅⋅⋅，则l 上的任意一点P 到多边形的顶点的距离相等。

确定多面体外接球的球心方法：先确定一个三角形，找出此三角形外接圆的圆心，过圆心作此三角形所在平面的垂线1l ；再确定另一则外接球的半径h R R h r R 2)(222=⇒-+= 八、三棱锥BCD A -中，若AB ＝CD ＝a ，AC ＝BD ＝b ，AD ＝BC ＝c ，则外接球的半径R 221222c b a ++= 方法：构造长方体，c b a ,,为长方体面对角线的长，设长方体的长、宽、高分别为z y x ,,。

则)(21222222222222222c b a z y x c x z b z y a y x ++=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+，∴外接球的半径R 221222c b a ++= 附：三角形ABC 的外接圆半径r 的求法： 设Cc B b A a r a BC b AC c AB sin 2sin 2sin 2,,,===⇒===（由正弦定理） S Sabc r (4=表示⊿ABC 的面积）①。

②例2 1 2球 3球4 A π26 B π36 C π6 D π125、三棱锥BCD A -，,5,90=︒=∠=∠AC ADC ABC 则三棱锥BCD A -外接球的体积为 。

6、三棱锥BCD A -，,2,3,90===︒=∠=∠=∠BD CB AB CBD ABD ABC 则三棱锥BCD A -外接球的表面积为 。

7、点D C B A ,,,在同一球面上，,2,2===AC BC AB 若球的表面积为425π，则四面体ABCD 体积的最大值为 。