专题--多面体的外接球问题

多面体外接球半径常见的5种求法若是一个多面体的各个极点都在同一个球面上，那么称那个多面体是球的内接多面体，那个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，而且还要专门注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到相当重要的作用.公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的极点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，那么那个球的体积为 .解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，那么有263,1,296,8x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离d =.∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结 此题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的经常使用公式.多面体几何性质法例2 已知各极点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，那么那个球的表面积是A.16πB.20πC.24πD.32π解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，那么有2416x =，解得2x =.∴2R R ==∴= .∴那个球的表面积是2424R ππ=.选C.小结 此题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3面积是 .解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把那个三棱锥能够补成一.设其外接球的半径为R ，那么有()222229R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.小结 一样地，假设一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度别离为a b c 、、，那么就能够够将那个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长确实是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，那么有2R =寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD -S A B C D 、、、、都在同一球面上，那么此球的体积为 .解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面.又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上.∴ASC ∆的外接圆确实是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径确实是外接球的半径.在ASC ∆中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=.∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt . ∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球. 小结 CD A B S O 1图3依照题意，咱们能够选择最正确角度找出含有正棱锥特点元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径确实是所求的外接球的半径.此题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方式的实质确实是通过寻觅外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方式值得咱们学习.确信球心位置法例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，那么四面体ABCD 的外接球的体积为 A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π 解 设矩形对角线的交点为O ，那么由矩形对角线相互平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个极点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径52R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C. A O D图4。

多面体与外接球的三种题型 题型一（直接找直径） 1、在三棱锥S-ABC 中，SA=AC=，SB=，BC=1，则三棱锥S-ABC 的外接球的表面积是 。

2、若三棱锥S-ABC 的所有顶点都在同一个球O 的球面上，SA 面ABC ，SA=，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，求球O 的体积。

题型二（作轴截面构造Rt △）1、已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 是球O 的直径，且SC=2，求此棱锥的体积。

2、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，则这个球的体积为 。

题型三（补形法）1、若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积为2、一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和侧视图是腰长为4的两个全等直角三角形，若该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 。

3、已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的一点，SA 面ABC ，AB BC ，SA=AB=1，BC=，则球O 的表面积等于 。

23⊥3233⊥⊥24、四棱锥P -ABCD 的三视图如图所示，四棱锥P -ABCD 的五个顶点都在同一个球面上，E ，F 分别是棱AB ，CD 的中点，直线EF 被球面所截的线段长为，则该球的表面积为5、在三棱锥S -ABC 中，SA=BC=2，SB=AC=3，SC=AB=，则该三棱锥外接球的体积是 。

题型四（割补法）1、如图所示的四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为a的正方形，PD 底面ABCD ，且PD=a ，PA=PA=a ，若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径是 。

2、已知正四面体的外接球的半径为1，则此正四面体的体积为 。

3、已知三棱锥D -ABC 的顶点都在球O 的球面上，AB=4，BC=3，AB BC ，AD=12，且DA 平面ABC ，则三棱锥A -BOD 的体积是 。

多面体外接球、内切球半径常见的5种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体,这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同9一个球面上，且该六棱柱的体积为三，底面周长为3,则这个球的体积为86x=3,f1JQ———解设正六棱柱的底面边长为X,高为则有9后，2'§=6x甘"，]入=右.正六棱柱的底面圆的半径r=~,球心到底面的距离d=—.:.外接球的半径22R=J/+J?=]....v球=—.3小结本题是运用公式R2=r-+d2求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是A.16^B.20ttC.24>tD.32i解设正四棱柱的底面边长为X,外接球的半径为R,则有4/=16,解得%=2, 2R=a/22+22+42=2^6,:.R=£.这个球的表面积是4*=24^,选C.小结本题是运用''正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为右，则其外接球的表面积是—.解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，...把这个三棱锥可以补成一个棱长为73的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R,则有（27?）2=（、厅『+（、行『+（^3）2=9./.R2=|,故其外接球的表面积S=4*=9兀.小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为0、/?、c,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为A,则有2R=7a2+b2+c2.寻求轴截面圆半径法例4正四棱锥S-ABC。

多面体外接球问题方法总结
求多面体的外接球的方法有两种：
1. 利用多面体的顶点坐标求解：
a. 首先求解多面体的质心坐标。

可以通过计算多面体的顶点坐标的平均值得到质心坐标。

b. 然后，求解多面体顶点到质心的距离，取最大距离作为外接球的半径。

c. 外接球的中心坐标为质心坐标，半径为最大距离。

2. 利用多面体的边长/面积求解：
a. 首先，根据多面体的类型，求解多面体的特定的边长、面积或者角度。

b. 利用上述的边长、面积或者角度的关系，可以求解外接球的半径。

c. 外接球的中心坐标可以通过找到多面体的对称中心或者中心对称点来获取。

需要注意的是，方法一比方法二更为常用且通用，但对于某些特殊的多面体，可能需要使用方法二来求解。

同时，在实际应用中，还可以借助计算机软件来进行多面体外接球的求解，提高计算的精度和效率。

多面体的外接球专题模型总结终极版题型一、长方体的外接球1.长方体外接球半径R=√a2+b2+c22a2.正方体外接球半径R=√323.长方体外接球的切割体（从长方体八个顶点中任取四个顶点）（1）三条侧棱两两垂直的三棱锥简称墙角型（2）一条侧棱垂直于底面，底面是直角三角形的三棱锥（双垂直）（3）各棱相等的三棱锥（正四面体）（4）对棱相等的三棱锥专题练习例1.在三棱锥BCD A −中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，ABC ∆、ACD ∆、ADB ∆的面积分别为22、32、62，则三棱锥BCD A −的外接球的体积为（ ）A ．6πB ．26πC ．36πD ．46π例2. 如图所示，已知球O 的面上有四点A 、B 、C 、D ，2===⊥⊥BC AB DA BC AB ABC DA ，，面,则球O 的体积等于 ．例 3.已知三棱锥BCD A −的所有棱长都为2，则该三棱锥外接球的体积为_________例4.四面体BCD A −中，5==CD AB ，34==BD AC ，41==BC AD ，则四面体BCD A −外接球的表面积为（ ）A ．π50B ．π100C ．π150D ．π200变式练习1.在三棱锥ABC P −中，4==BC PA ，5==AC PB ，11==AB PC ，则三棱锥ABC P −的外接球的表面积为（ ）A ．π8B ．π12C ．π26D ．π242.已知三棱锥ABC P −的顶点都在球O 的表面上，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且2===PC PB PA ，则球O 的体积为（ ） A ．π312 B ．π28 C ．π34 D ．π43.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥ABC P −为鳖臑，⊥PA 平面ABC ，2==AB PA ，4=AC ，三棱锥ABC P −的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．π8 B ．π12 C ．π20 D ．π244．已知三棱锥ABC S −的各顶点都在一个半径为r 的球面上，且1===SC SB SA ，2===AC BC AB ，则球的表面积为（ ）A ．π12B ．π8C ．π4D ．π35．已知三棱锥ABC P −的各顶点都在同一球面上，且⊥PA 平面ABC ，若该棱锥的体积为332，2=AB ，1=AC ，︒=∠60BAC ，则此球的表面积等于（ ） A ．π5 B ．π8 C ．π16 D ．π206．三棱锥ABC P −的四个顶点都在球O 的球面上，已知PA ，PB ，PC 两两垂直，1=PA ，4=+PC PB ，当三棱锥的体积最大时，球O 的体积为（ ） A ．π36 B ．π9C ．29π D ．49π7．如图所示，平面四边形ABCD 中，2===CD AD AB ，22=BD ，CD BD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体ABCD ，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A ．π328B ．π24C ．π34题型二、上下对称几何体外接球（直棱柱）直棱柱外接球半径R=√r 2+h 24,其中r 是底面外接圆半径，h 是直棱柱的高 r =a 2sinA(正弦定理)例1.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A.πa 2B.73.πa 2 C. 113πa 2 D. 5πa 2例2.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为 ．例3.如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在ABC ∆中，3=AB ，︒=∠60ACB ，︒=∠90BCD ，CD AB ⊥，22=CD ，则该球的体积为 ．例4. 如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（ ） A ．320πB ．π8C ．π9D ．319π例5. 如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形，若该三棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A ．π27 B ．π48 C ．π64D ．π81变式练习1.已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，⊥AD 平面ABC ，62==AB AD ，则该球的体积为（ ） A ．π332 B ．π48 C ．π24 D ．π162.四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，⊥AB 平面BCD ，三角形BCD 是边长为3的等边三角形，若4=AB ，则球O 的表面积为（ ） A ．π36B ．π28C ．π16D ．π43.已知一个三棱锥的三视图如下图所示，其中俯视图是顶角为32π的等腰三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．π20B ．π17C ．π16D ．π8题型三、正N 棱锥外接球正N 棱锥外接球半径R=l 22ℎ,其中l 是侧棱长度，h 是正棱锥的高例1. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A.81π4B. 16πC. 9πD.27π4题型四、等腰三角形底边与一直角三角形斜边构成二面角的四面体如上图中，ABC △为等腰三角形，且AC AB =，DBC △是以BC 为斜边的△Rt ，D BC A −−二面角为α，令ABC △的外接圆半径为2r ，BC 边上的高为21h AO =，12r BC =，F 为ABC △的外心，则根据剖面图可知，外接球半径R 满足以下恒等式()21222221212sin r r h R E O OO OE +⎪⎭⎫ ⎝⎛−==+=α．例1在四面体ABC S −中，BC AB ⊥，2==BC AB ，SAC △为等边三角形，二面角B AC S −−的余弦值为33−，则四面体ABC S −的外接球表面积为 ．CB图3图4图5作二面角剖面⇒例2.在四面体ABCD 中，AB=AD=2,∠BAD =60。

立体几何专题：多面体外接球的半径求法引理：点O 为多边形E ABCD ⋅⋅⋅⋅⋅的外接圆的圆心，过点O 作一条直线l 垂直平面E ABCD ⋅⋅⋅⋅⋅，则l 上的任意一点P 到多边形的顶点的距离相等。

确定多面体外接球的球心方法：先确定一个三角形，找出此三角形外接圆的圆心，过圆心作此三角形所在平面的垂线1l ；再确定另一则外接球的半径h R R h r R 2)(222=⇒-+= 八、三棱锥BCD A -中，若AB ＝CD ＝a ，AC ＝BD ＝b ，AD ＝BC ＝c ，则外接球的半径R 221222c b a ++= 方法：构造长方体，c b a ,,为长方体面对角线的长，设长方体的长、宽、高分别为z y x ,,。

则)(21222222222222222c b a z y x c x z b z y a y x ++=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+，∴外接球的半径R 221222c b a ++= 附：三角形ABC 的外接圆半径r 的求法： 设Cc B b A a r a BC b AC c AB sin 2sin 2sin 2,,,===⇒===（由正弦定理） S Sabc r (4=表示⊿ABC 的面积）①。

②例2 1 2球 3球4 A π26 B π36 C π6 D π125、三棱锥BCD A -，,5,90=︒=∠=∠AC ADC ABC 则三棱锥BCD A -外接球的体积为 。

6、三棱锥BCD A -，,2,3,90===︒=∠=∠=∠BD CB AB CBD ABD ABC 则三棱锥BCD A -外接球的表面积为 。

7、点D C B A ,,,在同一球面上，,2,2===AC BC AB 若球的表面积为425π，则四面体ABCD 体积的最大值为 。

几类特殊的多面体的外接球问题沈清臣(湖南省长沙市长郡中学㊀４１００００)摘㊀要:本文主要通过空间球体的截面性质引入ꎬ介绍几类锥体㊁柱体的外接球问题的求解策略.关键词:多面体ꎻ外接球ꎻ截面ꎻ补体中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)２８－００６１－０３收稿日期:２０２０－０７－０５作者简介:沈清臣(１９７９.１１－)ꎬ男ꎬ湖南省沅陵人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.基金项目:本文系长沙市教育科学规划重点资助课题«高中数学必修模块易错点提前干预策略的研究»成果.㊀㊀空间几何体与球的组合问题是近几年高考中的一个频考点ꎬ且考查形式灵活多样ꎻ要正确求解此类问题ꎬ学生必须通过读㊁想㊁画㊁转㊁算五个基本环节ꎬ找准熟悉的基本几何模型及相应的求解策略.此类问题可划分为旋转体㊁多面体的内切㊁外接球问题ꎻ而旋转体的内切㊁外接球问题ꎬ通过轴截面可转化为平面几何问题求解ꎻ多面体的内切球问题ꎬ利用等体法可直接求解.因此ꎬ本文主要介绍多面体(棱柱㊁棱锥)的外接球问题ꎬ在此之前ꎬ我们先熟悉空间球体的截面性质及其应用.㊀㊀一㊁球的截面性质及其应用如图１ꎬ空间球体有如下性质:(１)用一个平面去截球ꎬ所得截面是一个圆面ꎻ(２)球心与截面圆心的连线与截面垂直ꎬ且满足:Ｒ２＝ｒ２＋ｄ２(其中Ｒ表示球的半径ꎬｒ表示截面圆的半径ꎬｄ表示球心到截面的距离).图１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图２例１㊀(２０１８年全国卷Ⅲ理第１０题)设ＡꎬＢꎬＣꎬＤ是同一个半径为４的球的球面上四点ꎬәＡＢＣ为等边三角形且其面积为９３ꎬ则三棱锥Ｄ－ＡＢＣ体积的最大值为(㊀㊀).Ａ.１２３㊀Ｂ.１８３㊀Ｃ.２４３㊀Ｄ.５４３分析㊀如图２ꎬ设等边三角形әＡＢＣ外接圆圆心为Ｏ１ꎬ则易知当Ｏ１㊁Ｏ㊁Ｄ共线ꎬ即ＤＯ１为高时ꎬ棱锥体积最大.又由等边三角形әＡＢＣ的面积可求得边长ＡＢ＝６ꎬ所以ＡＯ１＝１２ ＡＢｓｉｎ６０ʎ＝２３ꎬ所以ＯＯ１＝ＡＯ２－ＡＯ２１＝２ꎬ即可得三棱锥Ｄ－ＡＢＣ体积的最大值为１３ＳΔＡＢＣ ＤＯ１＝１３ˑ９３ˑ(４＋２)＝１８３ꎬ故选答案Ｂ.上例的求解过程ꎬ充分利用球体的截面性质ꎬ即球心与截面圆圆心的连线与截面垂直ꎬ使得求解难度大大降低.类似的问题还在高考试题中曾多次出现ꎬ如２０１３年新课标Ⅰ(理)第６题㊁２０１３年新课标Ⅰ卷(文)第１５题㊁２０１３年大纲卷(文)第１６题㊁２０１３年大纲卷(理)第１６题等.其实ꎬ更多几何体的外接球问题的求解均需要利用到球体的截面性质ꎬ在后面的问题中将作介绍.㊀㊀二㊁棱柱的外接球问题此处我们主要介绍直棱柱(侧棱垂直于底面)的外接球问题.因为正方体㊁长方体的外接球直径即为体对角线ꎬ因此遇到直棱柱的外接球问题ꎬ首先可以考虑将该直棱柱补体为长方体或正方体ꎻ若不能补体ꎬ再考虑利用球体的截面性质确定球心位置ꎬ再由勾股定理求解.图３如图３ꎬ设直三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１上㊁下底面的外接圆圆心分别为Ｈ１㊁Ｈꎬ连接Ｈ㊁Ｈ１ꎬ则易知ＨＨ１的中点Ｏ即为该棱柱外接球的球心ꎬＡＨ即为底面外接圆的半径ꎬＡＯ即为球的半径Ｒ.利用平面几何知识求出ＡＨꎬ再结合球的截面性质可直接求解.例２㊀(２０１３年辽宁文㊁理第１０题)已知三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１的６个顶点都在球Ｏ的球面上ꎬ若ＡＢ＝３ꎬＡＣ＝４ꎬＡＢʅＡＣꎬＡＡ１＝１２ꎬ则球Ｏ的半径为(㊀㊀).１６Ａ.３１７２㊀㊀Ｂ.２１０㊀㊀Ｃ.１３２㊀㊀Ｄ.３１０分析１㊀由题设条件ꎬ可将该三棱柱补成长㊁宽㊁高分别为３ꎬ４ꎬ１２的长方体ꎬ则长方体的对角线长为１３ꎬ即外接球的直径为１３ꎬ半径为１３２ꎬ故选答案Ｃ.分析２㊀易知底面әＡＢＣ为Ｒｔәꎬ所以其外接圆半径ｒ＝ＢＣ２＝５２ꎬ球心到底面的距离ｄ＝ＡＡ１２＝６ꎬ因此由球的截面性质可得所求球的半径Ｒ＝ｒ２＋ｄ２＝１３２ꎬ故选答案Ｃ.直接考查正方体㊁长方体的外接球问题ꎬ在高考试题中曾多次出现ꎬ如２０１３年天津文第１０题㊁２０１４年陕西理第５题㊁２０１６全国Ⅱ文第４题㊁２０１７年天津文㊁理第１０题㊁２０１７年全国Ⅱ文第１５题等ꎬ此类问题难度不大.补体的策略在后面的锥体的外接球问题中将进一步详细介绍.㊀㊀三㊁棱锥的外接球问题球与锥体的组合问题ꎬ在高考真题及各地的模拟试题中出现频率最高ꎬ试题形式多样ꎬ灵活多变.类似于柱体的求解策略ꎬ我们首先考虑补体ꎬ再者利用截面性质确定球心ꎬ进而可得解.下面将按四种类型进行详细阐述.１.有条侧棱垂直于底面的棱锥若棱锥的一条侧棱垂直于底ꎬ则补体为直棱柱求解ꎬ如图４ꎬ三棱锥Ｓ－ＡＢＣ中ꎬ侧棱ＳＡʅ底面ＡＢＣꎬ则可补体成直棱柱ＳＱＰ－ＡＢＣ(如图５)ꎬ即转化为直棱柱的外接球问题.图４㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图５例３㊀(２０１９年全国Ⅰ理第１０题)已知三棱锥Ｐ－ＡＢＣ的四个顶点在球Ｏ的球面上ꎬＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣꎬәＡＢＣ是边长为２的正三角形ꎬＥꎬＦ分别是ＰＡꎬＡＢ的中点ꎬøＣＥＦ＝９０ʎꎬ则球Ｏ的体积为(㊀㊀).Ａ.８６π㊀Ｂ.４６π㊀Ｃ.２６π㊀Ｄ.６π分析㊀如图６ꎬ易知三棱锥Ｐ－ＡＢＣ为正棱锥ꎬ故对棱相互垂直ꎬ即ＰＢʅＡＣꎬ又由题设条件知ＥＦʅＥＣꎬＰＢʊＥＦꎬʑＰＢʅＥＣꎬ即ＰＢʅ平面ＰＡＣ.结合正三棱锥的结构特征ꎬ可知ＰＡꎬＰＢꎬＰＣ两两垂直ꎬ且ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ＝２.将三棱锥Ｐ－ＡＢＣ补成正方体ꎬ如图７.所以外接球的半径Ｒ＝３２ˑ２＝６２ꎬ体积为Ｖ＝４３πＲ３＝４３π(６２)３＝６πꎬ故选答案Ｄ.图６㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图７在三棱锥中ꎬ若共顶点的三条棱两两垂直ꎬ则将棱锥补体为正方体或长方体ꎬ可迅速求解.类似问题再如ꎬ２０１２年辽宁文理第１６题.２.对棱相等的锥体正方体或长方体中ꎬ相对面的对角线相等ꎬ因此当三棱锥的对棱相等的时候ꎬ可以将该三棱锥放于正方体或长方体内ꎬ即补体为正方体或长方体.例４㊀三棱锥Ｄ－ＡＢＣ中ꎬＡＢ＝ＣＤ＝６ꎬ其余四条棱均为２ꎬ则三棱锥Ｄ－ＡＢＣ的外接球的表面积为.图８分析㊀如图８ꎬ将三棱锥Ｄ－ＡＢＣ放入到长方体中ꎬ并设该长方体的长㊁宽㊁高分别为ａꎬｂꎬｃꎬ则ａ２＋ｂ２＝６ꎬｂ２＋ｃ２＝４ꎬｃ２＋ａ２＝４{⇒ａ２＋ｂ２＋ｃ２＝７ꎬʑ球的半径Ｒ满足４Ｒ２＝ａ２＋ｂ２＋ｃ２＝７ꎬ故表面积为Ｓ＝４πＲ２＝７π.本例也可以取ＡＢ或ＣＤ的中点ꎬ作出截面ꎬ根据几何体的对称特征ꎬ确定球心的位置ꎬ利用球的截面性质列出方程组求解.但两种解法对比ꎬ可体现上述解法的简便快捷.特别是准确熟悉正四面体与正方体之间的联系ꎬ可快速解决正四面体的外接球问题ꎬ比如下面的例题.３.正棱锥(底面为正三角形ꎬ顶点在底面的射影为底面的中心)由正棱锥的结构特征可知ꎬ其外接球的球心一定在图９其高线上.如图９ꎬ在正三棱锥Ｓ－ＡＢＣ中ꎬ设底面边长为ａꎬ侧棱长为ｂꎬ高为ｈꎬ外接球球心为Ｏꎬ半径为Ｒꎬ则ＡＨ即为底三角形的外接圆半径ꎬ且ＡＨ＝３３ａꎬｈ＝ｂ２－(３３ａ)２ꎬ再由ＡＯ２＝ＡＨ２＋ＯＨ２得ꎬＲ２＝(３３ａ)２＋(ｈ－Ｒ)２ꎬ即可求出外接球半径Ｒ的值.２６例５㊀(２０１４年大纲文第１０题㊁理第８题)正四棱锥的顶点都在同一球面上ꎬ若该棱锥的高为４ꎬ底面边长为２ꎬ则该球的表面积为(㊀㊀).Ａ.８１π４㊀Ｂ.１６π㊀Ｃ.９π㊀Ｄ.２７π４图１０分析㊀如图１０ꎬ正四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ的高为ＰＥꎬ则ＰＥ＝４ꎬＡＢ＝２ꎬＡＥ＝１２ＡＣ＝２.设外接球的球心为Ｏꎬ半径为Ｒꎬ连接ＡＯꎬ则在ＲｔәＡＯＥ中ꎬ有ＡＯ２＝ＡＥ２＋ＯＥ２ꎬ即Ｒ２＝(２)２＋(４－Ｒ)２ꎬ解得Ｒ＝９４.ʑ球的表面积为Ｓ＝４πＲ２＝４πˑ(９４)２＝８１４πꎬ故选择答案Ａ.上述例题的求解过程ꎬ还是利用球体的截面性质.前述例３(２０１９年全国Ⅰ理第１０题)亦可利用上述方法求解.４.有两个面垂直的棱锥如图１１ꎬ已知球Ｏ１㊁Ｏ２的两个截面圆所在平面垂直ꎬ则四边形ＯＯ１ＨＯ２为矩形ꎬ且әＯＡＯ１ꎬәＯＢＯ２均为ＲｔәꎬＡＯ＝ＢＯ＝Ｒ.利用勾股定理结合已知条件列出方程组ꎬ即可求解.例６㊀四面体Ａ－ＢＣＤ中ꎬøＡＢＣ＝øＡＢＤ＝øＣＢＤ＝６０ʎꎬＡＢ＝３ꎬＣＢ＝ＤＢ＝３ꎬ则此四面体外接球的表面积为(㊀㊀).Ａ.１９π２㊀Ｂ.１９３８π２４㊀Ｃ.１７π㊀Ｄ.１７１７π６图１１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图１２分析㊀如图１２ꎬ由题设条件知әＢＣＤ是边长为３的正三角形ꎬ设Ｅ为其外接圆圆心ꎬ则其外接圆半径ｒ１ＢＥ＝２３ＢＦ＝２３３ꎬ且ＥＦ＝３３.又ȵøＡＢＣ＝øＡＢＤ＝６０ʎꎬＡＢ＝３ꎬＣＢ＝ＤＢ＝３ꎬ由余弦定理可得ＡＤ＝ＡＣ＝７ꎬＣＤ边上高ＡＦ＝６ꎬ则ＡＦ２＋ＢＦ２＝ＡＢ２ꎬʑＡＦʅＢＦꎬ即可得ＡＦʅ平面ＢＣＤꎬ即有平面ＡＣＤʅ平面ＢＣＤ.设әＢＣＤꎬәＡＣＤ的外接圆圆心分别为Ｅ㊁Ｈꎬ四面体Ａ－ＢＣＤ的外接球球心为Ｏꎬ则ＯＥʅ平面ＢＣＤꎬＯＨʅ平面ＡＣＤꎬＯＥＦＨ为矩形ꎬʑＯＥ＝ＨＦꎬＯＨ＝ＥＦ.连接ＡＯ㊁ＢＯꎬ并设外接球半径为ＲꎬＯＥ＝ＨＦ＝ｘꎬ则分别在ＲｔәＢＯＥꎬＲｔәＡＯＨ中可得:ＢＯ２＝ＢＥ２＋ＯＥ２ꎬＡＯ２＝ＡＨ２＋ＯＨ２ꎬ{即Ｒ２＝(２３３)２＋ｘ２ꎬＲ２＝(６－ｘ)２＋(３３)２ìîíïïïï解得Ｒ２＝１９８.ʑ四面Ａ－ＢＣＤ的外接球的表面积Ｓ＝４πＲ２＝１９π２ꎬ故选答案为Ａ.上述例题的求解过程ꎬ还是利用球的截面性质(过截面圆圆心且与截面垂直的直线一定过球心)ꎬ通过两个截面来确定球心的位置ꎬ再利用勾股定理求解.其实ꎬ一般情况下ꎬ并要求两个截面圆所在平面垂直.如下例:例７㊀(２０２０年广州市一模文第１２题)在三棱锥Ａ－ＢＣＤ中ꎬәＡＢＤ和әＣＢＤ均为边长为２的等边三角形ꎬ且二面角Ａ－ＢＤ－Ｃ的平面角为１２０ʎꎬ则此三棱锥的外接球的表面为(㊀㊀).Ａ.７π㊀㊀Ｂ.８π㊀㊀Ｃ.１６π３㊀㊀Ｄ.２８π３图１３分析㊀如图１３ꎬ取ＢＤ的中点为Ｅꎬ并连结ＡＥꎬＣＥꎬ易知øＡＥＣ＝１２０ʎ.设әＡＢＤ和әＣＢＤ的外心分别为Ｈ２ꎬＨ１ꎬ并过Ｈ２ꎬＨ１作平面ＡＢＤ和平面ＣＢＤ的垂线交于点Ｏꎬ则Ｏ即为三棱锥Ａ－ＢＣＤ的外接球的球心ꎬ且ＥＨ１＝ＥＨ２＝１３ＣＥ＝３３ꎬʑＲｔәＯＥＨ１≅ＲｔәＯＥＨ２ꎬøＯＥＨ１＝øＯＥＨ２＝１２øＡＥＣ＝６０ʎꎬＯＥ＝２ＥＨ１＝２３３ꎬ故所求外接球半径为Ｒ＝ＯＢ＝ＯＥ２＋ＢＥ２＝２１３.ʑ三棱锥Ａ－ＢＣＤ的外接球的表面积Ｓ＝４πＲ２＝２８π３ꎬ故选答案Ｄ.以上内容是对常见的棱柱㊁棱锥的几类外接球问题及其求解策略的归纳.因为题型可以灵活多变ꎬ问题的求解途径多种多样ꎬ以上肯定有阐述不全面不到位的地方ꎬ期盼读者去补充完善.㊀㊀参考文献:[１]周瑜芽.对一道三棱外接球高考题的解法探究[Ｊ].中学数学研究(华南师范大学版)ꎬ２０２０(０２):５７－５９.[２]熊向前ꎬ杨墁.例析破解三棱锥外接球问题的六种方法[Ｊ].中学数学研究ꎬ２０２０(０３上):３８－４０.[责任编辑:李㊀璟]３６。

高考数学中的内切球和外接球问题---专题复习高考数学：内切球和外接球问题多面体的顶点都在同一球面上时，称该多面体为球的内接多面体，该球为多面体的外接球。

多面体外接球问题是立体几何的重点，也是高考的热点，考查学生的空间想象能力和化归能力。

解决该问题需要运用多面体和球的知识，并特别注意多面体的几何元素与球的半径之间的关系。

多面体外接球半径的求法在解题中往往起到至关重要的作用。

一、直接法（公式法）1、求正方体的外接球的有关问题例1：若正方体的棱长为3且顶点都在同一球面上，求该球的表面积。

解析：要求球的表面积，只需知道球的半径。

由于正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径。

故表面积为27π。

例2：一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为多少？解析：要求球的体积，还需先求出球的半径。

由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线长为3√3.因此，该球的半径为3，故该球的体积为36π。

2、求长方体的外接球的有关问题例1：一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1、2、3，则该球的表面积为多少？解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。

长方体体对角线长为√14，故球的表面积为14π。

例2：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则该球的表面积为多少？解析：正四棱柱也是长方体。

由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2、2、4.故该球的表面积为24π。

3、求多面体的外接球的有关问题例：一个底面为正六边形的六棱柱，侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的体积为8，底面周长为3，则该球的体积为多少？解析：设正六棱柱的底面边长为x，高为h。

由底面周长可得x=3/6=1/2，由体积可得h=4/3.因此，正六棱柱的底面圆的半径为√3/2，外接球的半径为√13/2.故该球的体积为(52/3)π。

多面体与外接球的三种题型题型一（直接找直径）1、在三棱锥S-ABC 中，SA=AC=，SB=，BC=1，则三棱锥S-ABC 的外接球的表面积是 。

2、若三棱锥S-ABC 的所有顶点都在同一个球O 的球面上，SA 面ABC ，SA=，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，求球O 的体积。

题型二（作轴截面构造Rt △）1、已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 是球O 的直径，且SC=2，求此棱锥的体积。

2、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，则这个球的体积为 。

23 323题型三（补形法）1、若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积为2、一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和侧视图是腰长为4的两个全等直角三角形，若该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 。

3、已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的一点，SA 面ABC ，AB BC ，SA=AB=1，BC=，则球O 的表面积等于 。

4、四棱锥P -ABCD 的三视图如图所示，四棱锥P -ABCD 的五个顶点都在同一个球面上，E ，F 分别是棱AB ，CD 的中点，直线EF 被球面所截的线段长为，则该球的表面积为3⊥⊥2225、在三棱锥S -ABC 中，SA=BC=2，SB=AC=3，SC=AB=，则该三棱锥外接球的体积是 。

题型四（割补法）1、如图所示的四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，PD 底面ABCD ，且PD=a ，PA=PA=a ，若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径是 。

2、已知正四面体的外接球的半径为1，则此正四面体的体积为 。

3、已知三棱锥D -ABC 的顶点都在球O 的球面上，AB=4，BC=3，AB BC ，AD=12，且DA 平面ABC ，则三棱锥A -BOD 的体积是 。

十种题型搞定多面体的外接球，内切球问题题型一 直角四面体的外接球 补成长方体，长方体对角线长为球的直径1．三棱锥P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，2PA PB PC ===，PA PB ⊥，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．48πB ．12πC ．D ．2.在正三棱锥A BCD -中，,E F 分别是,AB BC 的中点，EF DE ⊥，若BC =A BCD -外接球的表面积为A πB 2πC 3πD 4π3.在正三棱锥S ABC -中，,M N 分别是,SC BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱SA =，则正三棱锥S ABC -外接球的表面积为A 12πB 32πC 36πD 48π 4.（2019全国1理12）．已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A ．B ．C ． D5.设A ，B ，C ，D 是半径为2的球面上的四个不同点，且满足AB →·AC →＝0，AD →·AC →＝0，AB →·AD →＝0，用S 1、S 2、S 3分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则S 1＋S 2＋S 3的最大值是________．题型二 等腰四面体的外接球 补成长方体，长方体相对面的对角线为等腰四面体的相对棱1．在四面体ABCD 中，若AB CD ==，2AC BD ==，AD BC ==ABCD 的外接球的表面积为( ) A ．2πB ．4πC ．6πD ．8πA B C D ，，，四点在半径为225的球面上，且5AC BD ==， AD BC ==，AB CD =，则三棱锥D ABC -的体积是____________．3.在三棱锥S ﹣ABC 中，底面△ABC 的每个顶点处的三条棱两两所成的角之和均为180°，△ABC 的三条边长分别为AB=3，AC=5，BC=6， 则三棱锥ABC S -的体积（ ）A ．22B ． 10C ．232D ．234 题型三 有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥 ，球心在公共斜边的中点处1.在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为A. π12125B.π9125C.π6125D.π31252.三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，且SA AC SB BC ====4SC =，则该球的体积为A2563π B 323π C 16π D 64π3．在四面体S ABC -中，,2AB BC AB BC SA SC ⊥====，二面角S AC B --的余弦值是3-）A. B ．6π C ．24π D4.在平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体'A BCD -，使平面'A BD ⊥平面BCD ，若四面体'A BCD -顶点都在同一个球面上，则该球的体积为A 32πB 3πC 23π D 2π 5．平行四边形ABCD 中，AB ·BD =0，沿BD 将四边形折起成直二面角A 一BD －C ，且4222=+BD AB ，则三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为（ ） A ．2π B ．4π C ．π4 D ．2π6已知直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，CD AD ⊥，222AB AD CD ===，沿AC 折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的体积为 ．题型四 侧棱垂直于地面或侧面垂直于地面 过底面外心做垂线，球心有垂线上 1.已知四面体P ABC -,其中ABC ∆是边长为6的等边三角形,PA ⊥平面ABC ,4PA =,则四面体P ABC -外接球的表面积为________．2. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（ ）外接球的半径为33B ．表面积为137++C ．体积为3D ．外接球的表面积为π4． 题型五 其中一条侧棱满足某个特殊的条件1.已知三棱锥BCD A -中，2====CD BD AC AB ,AD BC 2=,直线AD 底面BCD 所成的角是3π，则此时三棱锥外接球的体积是 ( ) A π8 B π32 C π324 D π328 答案。

多⾯体的外接球问题
简单多⾯体外接球问题是⽴体⼏何中的难点重要考点,此类问题的实质是解决球的半径R和确定球⼼的位置问题,其中确定球⼼的位置是关键.
由球的定义确定球⼼
在空间，如果⼀个定点与⼀个简单多⾯体的所
有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多
⾯体的外接球的球⼼．
由上述性质，可以得到确定简单多⾯体外接球
的球⼼的如下结论．
结论 1 正⽅体或长⽅体的外接球的球⼼是其
体对⾓线的中点．
结论 2 正棱柱的外接球的球⼼是上下底⾯中
⼼的连线的中点．
结论 3 直三棱柱的外接球的球⼼是上下底⾯
三⾓形外⼼的连线的中点．
结论 4 正棱锥的外接球的球⼼是在其⾼上，
具体位置可通过计算找到．
结论 5 若棱锥的顶点可构成共斜边的直⾓三
⾓形，则公共斜边的中点就是其外接球的球⼼．
⼀、出现“墙⾓”结构利⽤补形知识，联系长⽅体。

⼆、出现两个垂直关系，利⽤直⾓三⾓形结论。

【原理】：直⾓三⾓形斜边中线等于斜边⼀半。

球⼼为直⾓三⾓形斜边中点。

【总结】斜边⼀般为四⾯体中除了直⾓顶点以外的两个点连线。

⼆、出现多个垂直关系时建⽴空间直⾓坐标系，利⽤向量知识求解
【结论】：空间两点间距离公式：
⼆、四⾯体是正四⾯体
外接球与内切球的圆⼼为正四⾯体⾼上的⼀个点，
根据勾股定理知，假设正四⾯体的边长为时，它的外接球半径为
思考题。

专题讲解立体几何中的外接球与内切球问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点与难点，也是高考考查的一个热点。

考查学生的空间想象能力以及化归能力。

研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用。

球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作。

当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积法来求球的半径。

球与多面体的关系是高考考查的重点，但同学们又因为缺乏较强的空间想象能力，较难找到解题的切入点和突破口。

解决这类题目是要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置是关键。

常见题型有求对应外接球或内切球半径、表面积、体积或球内接几何体最值等问题。

本章节将对常见的关于内切球和外接球的模型作一总结，并附有针对性训练题，供教师和学生参考使用。

一.常见模型归纳1. 墙角模型墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决。

外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a 2＋b2＋c2。

)，秒杀公式：R2＝a2＋b2＋c24．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：【例1】已知二面角α－l－β的大小为π3，点P∈α，点P在β内的正投影为点A，过点A作AB⊥l，垂足为点B，点C∈l，BC＝22，P A＝23，点D∈β，且四边形ABCD满足∠BCD＋∠DAB＝π．若四面体P ACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为________．A BCDA1B1C1D1类型ⅠA BCDA1B1C1D1类型ⅡA BCDA1B1C1D1类型ⅢA BCDA1B1C1D1例外型【例2】已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为( )．A ．68πB ．64πC ．62πD ．6π【变式练习1】在空间直角坐标系Oxyz 中，四面体ABCD 各顶点的坐标分别为A (2，2，1)，B (2，2，－1)，C (0，2， 1)，D (0，0，1)，则该四面体外接球的表面积是( )A ．16πB ．12πC ．43πD ．6π【变式练习2】在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为32的正方形，AA 1＝3，E 是线段A 1B 1上一点， 若二面角A －BD －E 的正切值为3，则三棱锥A －A 1D 1E 外接球的表面积为________．2. 对棱相等模型对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决。