湘教版9下数学随堂练习 切线的判定

4．【模拟·张家界武陵源区】如图，CD 是⊙O 的直径， ∠A＝∠B，AD＝BD.求证：直线 AB 是⊙O 的切线．
证明：∵∠A＝∠B，∴CA＝CB， 又∵AD＝BD，∴CD⊥AB. ∵CD 是⊙O 的直径，∴直线 AB 是⊙O 的切线．
5．【中考·湘潭】如图，在△ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径的 ⊙O 交 BC 于点 D，过点 D 作 DE⊥AC，垂足为点 E.
第2章 圆
2.5.2 圆的切线 第1课时 圆的切线的判定
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经过半径的外端并且___垂__直___于这条半径的直线是圆的切线．
1．下列说法中，正确的是( B ) A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．若圆心到直线的距离等于圆的半径，则这条直线是圆的 切线 C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线 D．过圆的半径的外端的直线是圆的切线
证明：∵BC 平分∠ABD，∴∠OBC＝∠DBC. ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠OCB＝∠DBC，∴OC∥BD. ∵BD⊥CD，∴OC⊥CD. ∵OC 为⊙O 的半径，∴CD 为⊙O 的切线．
10．【中考·张家界】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以 AB 为直径作⊙O，过点 C 作直线 CD 交 AB 的延长线于点 D， 使∠BCD＝∠A.
解：连接 DE，如图． 易知四边形 EBCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠BCD＋∠DEB＝180°， ∴∠DEB＝180°－120°＝60°. ∵BE 为⊙O 的直径，∴∠BDE＝90°. 在 Rt△BDE 中，BD＝BE·sin 60°＝2 3× 23＝3.

证明：如图，连接OA，过点O作OE⊥AC，垂足为E. ∵AB＝AC，O是BC的中点， ∴∠BAO＝∠CAO. 又∵ OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E， ∴ OE＝OD，∴ AC与⊙O相切．
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【归纳总结】判定圆的切线的常用辅助线的选择： (1)如果已知直线过圆上一点，那么连接这点和圆心，得到半径， 证明这条半径垂直于已知直线即可 可记为：有交点，作半径，证垂直； (2)如果已知直线与圆没有明确是否有公共点，那么过圆心作已 知直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径即可 可记为：无交点，作垂线，证半径．
1．下列说法中，不正确的是( ) 可记为：无交点，作垂线，证半径．
由圆的切线定义可知
3、直线与圆相交 d<r
圆心O到直线l的 ∴∠D＋∠DAE＝90°，即AB⊥AD.
∴△ABC 是等腰三角形.
距离等于半径OA. 求证: 直线BC是圆O的切线.
A．与圆只有一个交点的直线是圆的切线
直线l 与圆O 相切.
随堂演练
1．下列说法中，不正确的是( D ) A．与圆只有一个交点的直线是圆的切线 B. 经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C. 圆心到一条直线的距离等于这个圆的半径，则这条直线是圆的切线 D. 垂直于半径的直线是圆的切线
随堂演练
2．如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝25°，OD的延长线交直线
∴∠D＋∠BDACE＝于90°，点即ACB⊥，AD. 且∠OCB＝40°，直线BC与⊙O的位置关系为__相_切___．
判断一条直线是圆的切线，你现在有几种方法? 2、直线与圆相切 d=r 当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？ 利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件,缺一不可: 2．如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝25°，OD的延长线交直线BC于点C，且∠OCB＝40°，直线BC与⊙O的位置关系为______． 经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 可记为：无交点，作垂线，证半径． ∵ OA是半径，l⊥OA，垂足为A 1．下列说法中，不正确的是( ) 圆心O 到直线l的距离和圆的半径有什么数量关系? 垂直于半径的直线是圆的切线 发现：(1)直线 l 经过半径OA的外端点A； 又∵ OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E， 由圆的切线定义可知直线l 与圆O 相切. ⑵过点A作直线l与OA垂直. 发现：(1)直线 l 经过半径OA的外端点A；

湘教版九年级数学下册练习：小专题(七) 与圆的切线有关的计算与证明1．如图，Rt△ABC，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，衔接BD.取BC的中点E，衔接ED，求证：ED与⊙O相切．证明：衔接OD.∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠BDO.∵AB是直径()，∴∠ADB＝90°.∴∠ADB＝∠BDC＝90°.在Rt△BDC中，E是BC的中点，∴BE＝CE＝DE.∴∠DBE＝∠BDE.又∵∠ABC＝∠OBD＋∠DBE＝90°，∴∠ODE＝∠BDO＋∠BDE＝90°.∵OD是⊙O的半径，∴ED与⊙O相切．2．如图，四边形ABCD为菱形，△ABD的外接圆⊙O与CD相切于点D，交AC于点E.(1)判别⊙O与BC的位置关系，并说明理由；(2)假定CE＝2，求⊙O的半径r.解：(1)⊙O与BC相切．理由：衔接OD，OB，∵⊙O与CD相切于点D，∴OD⊥CD，∠ODC＝90°.∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝CD＝CB.∵OD＝OB，OC＝OC，CB＝CD.∴△OBC≌△ODC.∴∠OBC＝∠ODC＝90°.又∵OB为半径，∴⊙O与BC相切．(2)∵AD＝CD，∴∠ACD＝∠CAD.∵AO＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∵∠COD＝∠OAD＋∠ADO，∴∠COD＝2∠ACD.又∵∠COD＋∠ACD＝90°，∴∠ACD＝30°.∴OD＝12OC， 即r＝12(r＋2)． ∴r＝2.3．如图，AB是⊙O的直径，且AB＝12，AP是半圆的切线，点C是半圆上的一动点(不与点A，B重合)，过点C作CD⊥AP于点D，记∠COA＝α.(1)当α＝60°时，求CD的长；(2)当α为何值时，CD与⊙O相切？说明理由．解：(1)过点C作CE⊥AB于点E.在Rt△OCE中，OE＝OC·cos∠COA＝12×6＝3， 那么CD＝OA－OE＝6－3＝3.(2)当∠α＝90°时，CD与⊙O相切．理由：∠α＝90°，那么在四边形OCDA中，∠COA＝∠OAD＝∠CDA＝90°，∴∠OCD＝90°.∴OC⊥CD.又∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．4．(2021·宿迁)如图，AB，AC区分是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D.过点A作⊙O的切线与OD的延伸线交于点P，PC，AB的延伸线交于点F.(1)求证：PC是半圆O的切线；(2)假定∠ABC＝60°，AB＝10，求线段BF的长．解：(1)证明：衔接OC.∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD＝CD.∴PA＝PC.在△OAP和△OCP中，⎩⎪⎨⎪⎧OA＝OC， PA＝PC，OP＝OP，∴△OAP≌△OCP(SSS)．∴∠OAP＝∠OCP.∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°.∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC.又∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．(2)∵OB＝OC，∠OBC＝60°，∴△OBC是等边三角形．∴∠COB＝60°.∵AB＝10，∴OC＝5.由(1)知，∠OCF＝90°， ∴CF＝OC·tan∠COB＝5 3.5．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延伸线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC 于点F，衔接AF.(1)判别AF与⊙O的位置关系并说明理由；(2)假定AC＝24，AF＝15，求⊙O的半径．解：(1)AF与⊙O相切．理由如下：衔接OC，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC.∴∠OCF＝90°.∵OF∥BC，∴∠B＝∠AOF，∠OCB＝∠COF.∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB.∴∠AOF＝∠COF.在△OAF和△OCF中，⎩⎪⎨⎪⎧OA＝OC，∠AOF＝∠COF，OF＝OF，∴△OAF≌△OCF(SAS)．∴∠OAF＝∠OCF＝90°.又∵OA是⊙O的半径，∴AF与⊙O相切．(2)∵△OAF≌△OCF，∴∠AOE＝∠COE.∴OE⊥AC，AE＝12AC＝12. ∴EF＝152－122＝9.∵∠OAF＝90°，∴△OAE∽△AFE.∴OA AF ＝AE FE ，即OA 15＝129， ∴OA＝20，即⊙O的半径为20.6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延伸线于点E，点F为CE的中点，衔接DB，DC，DF.(1)求∠CDE的度数；(2)求证：DF是⊙O的切线； (3)假定AC＝25DE，求tan∠ABD的值．解：(1)∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.∴∠CDE＝90°.(2)证明：衔接OD.∵∠CDE＝90°，F为CE中点，∴DF＝12CE＝CF. ∴∠FDC＝∠FCD.又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.∴∠ODC＋∠FDC＝∠OCD＋∠FCD.∴∠ODF＝∠OCF.∵EC⊥AC，∴∠OCF＝90°.∴∠ODF＝90°.∵DO是⊙O的半径，∴DF为⊙O切线．(3)在△ACD与△ACE中，∠ADC＝∠ACE＝90°，∠EAC＝∠CAD，∴△ACD∽△A EC.∴AC AE ＝AD AC.∴AC 2＝AD·AE. 又AC＝25DE，∴20DE 2＝(AE－DE)·AE.∴(AE－5DE)(AE＋4DE)＝0.∴AE＝5DE，AD＝4DE.在Rt△ACD中，AC 2＝AD 2＋CD 2，∴CD＝2DE.又∵∠ABD＝∠ACD，∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝AD CD＝2. 7．如图，以Rt△ABC的边AC为直径作⊙O交斜边AB于点E，衔接EO并延伸交BC的延伸线于点D，点F为B C的中点，衔接EF.(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)假定⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长．解：(1)证明：衔接FO，易证OF∥AB.∵AC为⊙O的直径，∴CE⊥AE.∵OF∥AB，∴OF⊥CE.∵OE＝OC，∴OF所在直线垂直平分CE.∴FC＝FE.∴∠FEC＝∠FCE，∠OEC＝∠OCE.∵∠ACB＝90°，∴∠OCE＋∠FCE＝90°.∴∠OEC＋∠FEC＝90°，即∠FEO＝90°.又∵OE是⊙O的半径，∴FE为⊙O的切线．(2)∵⊙O的半径为3，∴AO＝CO＝EO＝3.∵∠EAC＝60°，OA＝OE，∴∠EOA＝60°.∴∠COD＝∠EOA＝60°.∵在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3，∴CD＝3 3.∵在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，CD＝33，AC＝6，∴AD＝AC2＋CD2＝37.。

湘教版九年级数学下册测试题测试题湘教版初中数学2.5.2 圆的切线第1课时切线的判定1．过圆上一点可以作圆的______条切线；过圆外一点可以作圆的_____条切线；•过圆内一点的圆的切线______．2．以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是_______．3．下列直线是圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．过圆直径外端点的直线4．OA平分∠BOC，P是OA上任意一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC相切，那么⊙P与OB的位置位置是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切5．△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，以B为圆心，5为半径的圆与直线AC的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定6．菱形的对角线相交于O，以O为圆心，以点O到菱形一边的距离为半径的⊙O•与菱形其它三边的位置关系是（）A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定7．平面直角坐标系中，点A（3，4），以点A为圆心，5为半径的圆与直线y=－x的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能8．如图，AB是半径⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，且AC=CD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若OA=2，求AC的长．9．如图，AB是半圆O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．（1）求证：BC是半圆O的切线；（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长．10．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过点B作BE∥CD，交AC•的延长线于点E，连结BC．（1）求证：BE为⊙O的切线；，求⊙O的直径．（2）如果CD=6，tan∠BCD=1211．如图，已知：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sin=1，2∠D=30°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC=6，求AD的长．12．已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B•点，OC=BC，AC=1OB．2（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD 的长．13．如图，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，过⊙O上一点A作弦AB ⊥PO于E，若∠EAC=∠CAP，求证：PA是⊙O的切线．14．如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结OG并延长与BE相交于点F，延长AF•与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA是⊙O的切线；（3）若FG=BF，且⊙O的半径长为32，求BD和FG的长度．初中生提高做题效率的方法厚薄读书法：复习课本要厚薄结合著名数学家华罗庚先生说:“书要能从薄读到厚,还要能从厚读到薄。