2020年人教版九年级数学上册24.2.2《切线的判定和性质》随堂练习 学生版

2022-2023人教版数学九年级上册同步练习24.2.3 切线的判定和性质一．选择题（共15小题）1．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，若大圆的半径是13，AB=24，则小圆的半径是（）A．4B．5C．6D．72．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D，若AB=5，AC=3，则BD的长是（）A．1.5B．2C．2.5D．33．如图，⊙O中，CD是切线，切点是D，直线CO交⊙O于B、A，∠A=20°，则∠C的度数是（）A．25°B．65°C．50°D．75°4．如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为1，若∠OBA=30°，则OB长为（）A．1B．2C．D．25．如图，∠NAM=30°，O为边AN上一点，以点O为圆心，2为半径作⊙O，交AN边于D、E两点，则当⊙O与AM相切时，AD等于（）A．4B．3C．2D．16．如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD 分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（）A．0B．1C．2D．37．已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是（）A．OP=5B．OE=OFC．O到直线EF的距离是4D．OP⊥EF8．如图，网格中的每个小正方形的边长是1，点M，N，O均为格点，点N在⊙O上，若过点M作⊙O的一条切线MK，切点为K，则MK=（）A．3B．2C．5D．9．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，连接BC，PA．若∠P=40°，当∠B等于（）时，PA与⊙O相切．A．20°B．25°C．30°D．40°10．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（）A．1B．3C．5D．1或511．如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A=60°，∠D=110°，的度数是70°，直线l与⊙O相切于点A．在没有滑动的情况下，将⊙O沿l向右滚动，使O点向右移动70π，则此时⊙O与直线l相切的切点所在的劣弧是（）A．B．C．D．12．如图，在等边△ABC中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC 相交于点D、E、F是AC上的点，判断下列说法错误的是（）A．若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线B．若EF是⊙O的切线，则EF⊥ACC．若BE=EC，则AC是⊙O的切线D．若BE=EC，则AC是⊙O的切线13．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D 是⊙O上一点，连接PD．已知PC=PD=BC．下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=CD；（4）弧AC=弧AD．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．直线MN与l1相交于M；与l2相交于N，⊙O的半径为1，∠1=60°，直线MN从如图位置向右平移，下列结论①l1和l2的距离为2 ②MN=③当直线MN与⊙O相切时，∠MON=90°④当AM+BN=时，直线MN与⊙O相切．正确的个数是（）A．1B．2C．3D．415．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD=30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B 的方向移动，那么（）秒钟后⊙P与直线CD相切．A．4B．8C．4或6D．4或8二．填空题（共6小题）16．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（﹣4，0），半径为1的动圆⊙P沿x 轴正方向运动，若运动后⊙P与y轴相切，则点P的运动距离为．17．如图，直线PA是⊙O的切线，AB是过切点A的直径，连接PO交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=25°，则∠P的度数为．18．如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，∠OAB=30°．（1）∠APB=；（2）当OA=2时，AP=．19．如图所示，直线y=x﹣2与x轴、y轴分别交于M，N两点，⊙O的半径为1，将⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，当移动s时，直线MN 恰好与圆O相切．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向以0.5个单位/秒的速度平移，使⊙P与y轴相切，则平移的时间为秒．21．已知，如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E，连接OD、PC、BC，∠AOD=2∠ABC，∠P=∠D，过E作弦GF⊥BC交圆于G、F两点，连接CF、BG．则下列结论：①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于BG．则其中正确的是（只需填序号）三．解答题（共9小题）22．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上的一点，CF切半圆O于点C，BD ⊥CF于为点D，BD与半圆O交于点E．（1）求证：BC平分∠ABD．（2）若DC=8，BE=4，求圆的直径．23．如图，一圆与平面直角坐标系中的x轴切于点A（8，0），与y轴交于点B （0，4），C（0，16），求该圆的直径．24．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结EP、CP、OP．（1）BD=DC吗？说明理由；（2）求∠BOP的度数；（3）求证：CP是⊙O的切线．25．如图，▱ABCD中，⊙O过点A、C、D，交BC于E，连接AE，∠BAE=∠ACE．（1）求证：AE=CD；（2）求证：直线AB是⊙O的切线．26．已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．（1）如图①，若∠P=35°，求∠ABP的度数；（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．27．如图（1），在△ABC中，∠ACB=90°，以AB为直径作⊙O；过点C作直线CD交AB的延长线于点D，且BD=OB，CD=CA．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）如图（2），过点C作CE⊥AB于点E，若⊙O的半径为8，∠A=30°，求线段BE．28．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作直线BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH；（3）求证：CD=HF．29．如图，已知A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC=BC，AC=OB．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．30．如图，AB是半径为2的⊙O的直径，直线m与AB所在直线垂直，垂足为C，OC=3，点P是⊙O上异于A、B的动点，直线AP、BP分别交m于M、N两点．（1）当点C为MN中点时，连接OP，PC，判断直线PC与⊙O是否相切并说明理由．（2）点P是⊙O上异于A、B的动点，以MN为直径的动圆是否经过一个定点，若是，请确定该定点的位置；若不是，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．【解答】解：∵AB=24，OB=OA=13，∴BC=12；在Rt△OCB中，∴OC==5．故选：B．2．【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC=AP，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP=BD，∴BD=PB=AB﹣AP=5﹣3=2．故选：B．3．【解答】解：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC=90°，∠COD=2∠A=40°，∴∠C=90°﹣40°=50°，故选：C．4．【解答】解：∵直线AB与⊙O相切于点A，连接OA则∠OAB=90°．∵OA=1，∴OB=．故选：B．5．【解答】解：设直线AM与⊙O相切于点K，连接OK．∵AM是⊙O的切线，∴OK⊥AK，∴∠AKO=90°∵∠A=30°，∴AO=2OK=4，∵OD=2，∴AD=OA﹣OD=2，故选：C．6．【解答】解：连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，∵G是BC的中点，∴AG=DG，∴GH垂直平分AD，∴点O在HG上，∵AD∥BC，∴HG⊥BC，∴BC与圆O相切；∵OG=OD，∴点O不是HG的中点，∴圆心O不是AC与BD的交点；而四边形AEFD为⊙O的内接矩形，∴AF与DE的交点是圆O的圆心；∴（1）错误，（2）（3）正确．故选：C．7．【解答】解：∵点P在⊙O上，∴只需要OP⊥EF即可，故选：D．8．【解答】解：如图所示：MK=，故选：B．9．【解答】解：∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°，∴∠AOP=90°﹣∠P=50°，∵OB=OC，∴∠AOP=2∠B，∴∠B=∠AOP=25°，故选：B．10．【解答】解：当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3﹣2=1，当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5，故选：D．11．【解答】解：连结OC、OD、OA，如图，∵∠D=110°，∴∠B=180°﹣∠D=70°，∴∠AOC=2∠B=140°，∵∠A=60°，∴∠BOD=120°，∵的度数是70°，∴∠COD=70°，∴∠AOD=70°，∠BOC=50°，∴AD弧的长度==π，∴BC弧的长度==π，∵70π=6π•12﹣2π，而2π＞π，∴向右移动了70π，此时与直线l相切的弧为．故选：C．12．【解答】解：A、如图1，连接OE，则OB=OE，∵∠B=60°∴∠BOE=60°，∵∠BAC=60°，∴∠BOE=∠BAC，∴OE∥AC，∵EF⊥AC，∴OE⊥EF，∴EF是⊙O的切线∴A选项正确；B、∵EF是⊙O的切线，∴OE⊥EF，由A知：OE∥AC，∴AC⊥EF，∴B选项正确；C、∵∠B=60°，OB=OE，∴BE=OB，∵BE=CE，∴BC=AB=2BO，∴AO=OB，如图2，过O作OH⊥AC于H，∵∠BAC=60°，∴OH=AO≠OB，∴C选项错误；D、如图2，∵BE=EC，∴CE=BE，∵AB=BC，BO=BE，∴AO=CE=OB，∴OH=AO=OB，∴AC是⊙O的切线，∴D选项正确．故选：C．13．【解答】解：（1）连接CO，DO，∵PC与⊙O相切，切点为C，∴∠PCO=90°，在△PCO和△PDO中，，∴△PCO≌△PDO（SSS），∴∠PCO=∠PDO=90°，∴PD与⊙O相切，故（1）正确；（2）由（1）得：∠CPB=∠BPD，在△CPB和△DPB中，，∴△CPB≌△DPB（SAS），∴BC=BD，∴PC=PD=BC=BD，∴四边形PCBD是菱形，故（2）正确；（3）连接AC，∵PC=CB，∴∠CPB=∠CBP，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，在△PCO和△BCA中，，∴△PCO≌△BCA（ASA），∴AC=CO，∴AC=CO=AO，∴∠COA=60°，∴∠CPO=30°，∴CO=PO=AB，∴PO=AB，∵AB是⊙O的直径，CD不是直径，∴AB≠CD，∴PO≠DC，故（3）错误；（4）由（2）证得四边形PCBD是菱形，∴∠ABC=∠ABD，∴弧AC=弧AD，故（4）正确；故选：C．14．【解答】解：如图1，∵⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，∴OA⊥l1，OB⊥l2，∵l1∥l2，∴点A、B、O共线，∴l1和l2的距离=AB=2，所以①正确；作NH⊥AM，如图1，则四边形ABNH为矩形，∴NH=AB=2，在Rt△MNH中，∵∠1=60°，∴MH=NH=，∴MN=2MH=，所以②正确；当直线MN与⊙O相切时，如图2，∠1=∠2，∠3=∠4，∵l1∥l2，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠1+∠3=90°，∴∠MON=90°，所以③正确；过点O作OC⊥MN于C，如图2，=S△OAM+S△OMN+S△OBN，∵S四边形ABNM∴•1•AM+•1•BN+MN•OC=（BN+AM）•2，即（AM+BN）+MN•OC=AM+BN，∵AM+BN=，MN=，∴OC=1，而OC⊥MN，∴直线MN与⊙O相切，所以④正确．故选：D．15．【解答】解：由题意CD与圆P1相切于点E，点P1只能在直线CD的左侧，∴P1E⊥CD又∵∠AOD=30°，r=1cm∴在△OEP1中OP1=2cm又∵OP=6cm∴P1P=4cm∴圆P到达圆P1需要时间为：4÷1=4（秒），或P1P=8cm∴圆P到达圆P1需要时间为：8÷1=8（秒），∴⊙P与直线CD相切时，时间为4或8秒．故选：D．二．填空题（共6小题）16．【解答】解：若运动后⊙P与y轴相切，则点P到y轴的距离为1，此时P点坐标为（﹣1，0）或（1，0），而﹣1﹣（﹣4）=3，1﹣（﹣4）=5，所以点P的运动距离为3或5．故答案为3或5．17．【解答】解：由圆周角定理得，∠AOP=2∠ABC=50°，∵PA是⊙O的切线，AB是过切点A的直径，∴∠PAO=90°，∴∠P=90°﹣∠AOP=40°，故答案为：40°．18．【解答】解：（1）∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°，∴∠AOB=180°﹣2×30°=120°，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，∴在四边形OAPB中，∠APB=360°﹣120°﹣90°﹣90°=60°，故答案为：60°．（2）如图，连接OP；∵PA、PB是⊙O的切线，∴PO平分∠APB，即∠APO=∠APB=30°，又∵在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30°，∴AP===2，故答案为：2．19．【解答】解：作EF平行于MN，且与⊙O切，交x轴于点E，交y轴于点F，如图所示．设直线EF的解析式为y=x+b，即x﹣y+b=0，∵EF与⊙O相切，且⊙O的半径为1，∴b2=×1×|b|，解得：b=或b=﹣，∴直线EF的解析式为y=x+或y=x﹣，∴点E的坐标为（，0）或（﹣，0）．令y=x﹣2中y=0，则x=2，∴点M（2，0）．∵根据运动的相对性，且⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，∴移动的时间为2﹣秒或2+秒．故答案为：2﹣或2+．20．【解答】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．故答案为2或1021．【解答】解：连接BD、OC、AG，过O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，∵OD=OB，∴∠ABD=∠ODB，∵∠AOD=∠OBD+∠ODB=2∠OBD，∵∠AOD=2∠ABC，∴∠ABC=∠ABD，∴弧AC=弧AD，∵AB是直径，∴CD⊥AB，∴①正确；∵CD⊥AB，∴∠P+∠PCD=90°，∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC=∠P，∴∠PCD+∠OCD=90°，∴∠PCO=90°，∴PC是切线，∴②正确；假设OD∥GF，则∠AOD=∠FEB=2∠ABC，∴3∠ABC=90°，∴∠ABC=30°，已知没有给出∠B=30°，∴③错误；∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵EF⊥BC，∴AC∥EF，∴弧CF=弧AG，∴AG=CF，∵OQ⊥CF，OZ⊥BG，∴CQ=AG，OZ=AG，BZ=BG，∴OZ=CQ，∵OC=OB，∠OQC=∠OZB=90°，∴△OCQ≌△BOZ，∴OQ=BZ=BG，∴④正确．故答案为：①②④．三．解答题（共9小题）22．【解答】（1）证明：连结OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∵BD⊥DF，∴OC∥BD，∴∠1=∠3，∵OB=OC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴BC平分∠ABD；（2）解：连结AE交OC于G，如图，∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∵OC∥BD，∴OC⊥CD，∴AG=EG，易得四边形CDEG为矩形，∴GE=CD=8，∴AE=2EG=16，在Rt△ABE中，AB==4，即圆的直径为4．23．【解答】解：过圆心O′作y轴的垂线，垂足为D，连接O′A，∵O′D⊥BC，∴D为BC中点，∴BC=16﹣4=12，OD=6+4=10，∵⊙O′与x轴相切，∴O′A⊥x轴，∴四边形OAO′D为矩形，半径O′A=OD=10，24．【解答】解：（1）BD=DC．理由如下：连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC；（2）∵AD是等腰△ABC底边上的中线，∴∠BAD=∠CAD，∴，∴BD=DE．∴BD=DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，∴∠DCE=∠ABC=（180°﹣30°）=75°，∴∠DEC=75°，∴∠EDC=180°﹣75°﹣75°=30°，∵BP∥DE，∴∠PBC=∠EDC=30°，∴∠ABP=∠ABC﹣∠PBC=75°﹣30°=45°，∵OB=OP，∴∠OBP=∠OPB=45°，∴∠BOP=90°；（3）设OP交AC于点G，如图，则∠AOG=∠BOP=90°，在Rt△AOG中，∠OAG=30°，∴=，又∵==，∴=，∴=，又∵∠AGO=∠CGP，∴△AOG∽△CPG，∴∠GPC=∠AOG=90°，∴OP⊥PC，∴CP是⊙O的切线；25．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，∠B=∠ADC∵四边形ADCE是⊙O内接四边形∴∠ADC+∠AEC=180°∵∠AEC+∠AEB=180°∴∠ADC=∠AEB∴∠B=∠AEB∴AE=CD（2）如图：连接AO，并延长AO交⊙O交于点F，连接EF．∵AF是直径∴∠AEF=90°∴∠AFE+∠EAF=90°∵∠BAE=∠ECA，∠AFE=∠ACE∴∠AFE=∠BAE∴∠BAE+∠EAF=90°∴∠BAF=90°且AO是半径∴直线AB是⊙O的切线26．【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，∴AB⊥AP，∴∠BAP=90°；又∵∠P=35°，∴∠AB=90°﹣35°=55°．（2）证明：如图，连接OC，OD、AC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），∴∠ACP=90°；又∵D为AP的中点，∴AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；在△OAD和△OCD中，，∴△OAD≌△OCD（SSS），∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）；又∵AP是⊙O的切线，A是切点，∴AB⊥AP，∴∠OAD=90°，∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线．27．【解答】（1）证明：如图1，连结OC，∵点O为直角三角形斜边AB的中点，∴OC=OA=OB．∴点C在⊙O上，∵BD=OB，∴AB=DO，∵CD=CA，∴∠A=∠D，∴△ACB≌△DCO，∴∠DCO=∠ACB=90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：如图2，在Rt△ABC中，BC=ABsin∠A=2×8×sin30°=8，∵∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，∴BE=BCcos60°=8×=4．28．【解答】（1）证明：（1）如图，连接OE．∵BE⊥EF，∴∠BEF=90°，∴BF是圆O的直径，∴OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO=∠C=90°，∴AC是⊙O的切线；（2）证明：∵∠C=∠BHE=90°，∠EBC=∠EBA，∴BEC=∠BEH，∵BF是⊙O是直径，∴∠BEF=90°，∴∠FEH+∠BEH=90°，∠AEF+∠BEC=90°，∴∠FEH=∠FEA，∴FE平分∠AEH．（3）证明：如图，连结DE．∵BE是∠ABC的平分线，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC=EH．∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠HFE，∵∠C=∠EHF=90°，∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD=HF，29．【解答】解：（1）如图，连接OA；∵OC=BC，AC=OB，∴OC=BC=AC=OA．∴△ACO是等边三角形．∴∠O=∠OCA=60°，∵AC=BC，∴∠CAB=∠B，又∠OCA为△ACB的外角，∴∠OCA=∠CAB+∠B=2∠B，∴∠B=30°，又∠OAC=60°，∴∠OAB=90°，∴AB是⊙O的切线；（2）解：作AE⊥CD于点E，∵∠O=60°，∴∠D=30°．∵∠ACD=45°，AC=OC=2，∴在Rt△ACE中，CE=AE=；∵∠D=30°，∴AD=2，∴DE=AE=，∴CD=DE+CE=+．30．【解答】解：（1）直线PC与⊙O相切，理由是：如图1，∵AC⊥MN，∴∠ACM=90°，∴∠A+∠AMC=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=∠NPM=90°，∴∠PNM+∠AMC=90°=∠A+∠ABP，∴∠ABP=∠AMC，∵OP=OB，∴∠ABP=∠OPB，Rt△PMN中，C为MN的中点，∴PC=CN，∴∠PNM=∠NPC，∴∠OPC=∠OPB+∠NPC=∠ABP+∠PNM=∠AMC+∠PNM=90°，即OP⊥PC，∴直线PC与⊙O相切；（2）如图2，设该圆与AC的交点为D，连接DM、DN，∵MN为直径，∴∠MDN=90°，则∠MDC+∠NDC=90°，∵∠DCM=∠DCN=90°，∴∠MDC+∠DMC=90°，∴∠NDC=∠DMC，则△MDC∽△DNC，∴，即DC2=MC•NC∵∠ACM=∠NCB=90°，∠A=∠BNC，∴△ACM∽△NCB，∴，即MC•NC=AC•BC；即AC•BC=DC2，∵AC=AO+OC=2+3=5，BC=3﹣2=1，∴DC2=5，∴DC=，∵MN⊥DD'，∴D'C=DC=，∴以MN为直径的一系列圆经过两个定点D和D'，此定点在C的距离都是．。

图24 2 18
A．40°B．50°
C．80°D．100°
2．如图24 2 19所示，⊙O与直线AB相切于点A，BO与⊙O交于点C.若∠BAC＝30°，则∠B等于( )
图24 2 19
A．29°B．30°
C．31°D．32°
3．如图24 2 20，△ABC是⊙O的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与⊙O相切于点A的条件是( )
6．如图24 2 23所示，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD＝∠A.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，CD＝4，求BD的长．
7．如图24 2 24所示，⊙O的直径AB＝12 cm，C为AB延长线上一点，CP与⊙O相切于点P，过点B作弦BD∥CP，连接PD.
图24 2 20
A．∠EAB＝∠CB．∠B＝90°
C．EF⊥ACD．AC是⊙O的直径
4．如图24 2 21，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过点C的切线与AB的延长线交于P点．若∠P＝40°，则∠D的度数为____．
图24 2 21
5．如图24 2 22，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E.求证：直线CE是⊙O的切线．
前言：
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（最新精品测试题）
第2课时 切线的判定和性质
1．如图24 2 18所示，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC.若∠BCD＝50°，则∠AOC的度数为 ( )
(1)求证：点P为 的中点；

图 24－2－15
思路点拨：点 E 是△ABC 的内心，AD，BE 分别是∠BAC 和∠ABC 的角平分线，又同弦所对的圆周角相等，易证明∠DBE ＝∠DEB.
证明：∵点 E 是△ABC 的内心， ∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD. ∵∠CBD＝∠CAD，∠DEB＝∠BAD＋∠ABE，∠DBE＝ ∠CBD＋∠EBC， ∴∠DBE＝∠DEB.
自主解答：连接 OC.因为 AC 是⊙O 的切线，所以∠OCA＝ 90°.又因为∠A＝30°，所以∠COB＝60°.所以△OBC 是等边三角 形．所以 OB＝BC＝1，即⊙O 的半径为 1.
规律总结：有切线时连接圆心和切点，得半径垂直切线．
跟踪训练 1．如图 24－2－10，已知点 A 是⊙O 上一点，半径 OC 的
跟踪训练 3．一个钢管放在 V 形架内，图 24－2－13 是其截面图，O
为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm，∠MPN＝60°，则OP ＝( A )
图 24－2－13
A．50 cm B．25 3 cm C.503 3 cm D．50 3 cm
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/152022/1/15January 15, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/152022/1/152022/1/151/15/2022 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/152022/1/15

∴⊙O 的半径为265 .
10.如图，已知 AB 是⊙O 的直径，OC 与⊙O 相交于 点 D，连接 AD 并延长，与 BC 交于点 E. (1)若 BC＝ 3 ，CD＝1，求⊙O 的半径；
(1)解：设⊙O 的半径为 r. ∵AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线， ∴AB⊥BC. 在 Rt△OBC 中，∵OC2＝OB2＋CB2， ∴(r＋1)2＝r2＋( 3 )2.解得 r＝1. ∴⊙O 的半径为 1.
8.如图，已知在△ABC 中，AB＝AC，DE⊥AC 于点 E， DE 与半圆 O 相切于点 D. 求证：△ABC 是等边三角形．
证明：如图，连接 OD. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵DE 是⊙O 的切线，∴∠ODE＝90°. ∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°. ∴∠ODE＋∠DEC＝180°. ∴OD∥EC. ∴∠BDO＝∠A. ∵OB＝OD，∴∠B＝∠BDO. ∴∠A＝∠B＝∠C. ∴△ABC 是等边三角形．
∴A⌒B ＝B⌒D .
(2)若 AB＝5，AD＝8，求⊙O 的半径．
解：如图，连接 OA. ∵OE⊥BC，OE 过圆心 O， ∴AE＝12 AD＝4. 在 Rt△ABE 中，∠AEB＝90°，∴BE＝ 52－42 ＝3. 设⊙O 的半径为 r，则 OE＝r－3. 在 Rt△OEA 中，∠OEA＝90°，OE2＋AE2＝OA2， 即(r－3)2＋42＝r2. 解得 r＝265 .
切线的性质及判定综合运用
【例 3】如图，CD 是⊙O 的切线，点 C 在直径 AB 的 延长线上． (1)求证：∠CAD＝∠BDC；
(1)证明：如图，连接 OD. ∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠ABD. ∵CD 是⊙O 的切线， ∴∠ODC＝90°. ∴∠ODB＋∠BDC＝90°. ∵AB 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点， ∴∠ADB＝90°. ∴∠ABD＋∠BAD＝90°. ∴∠CAD＝∠BDC.