2020年春冀教版九年级数学下册教案29.3 切线的性质和判定
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29.3 切线的性质和判定
1．掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明(重点)；
2．掌握直线与圆相切的性质，并能运用直线与圆相切的性质进行计算与证明(重点，难点)；
3．能运用直线与圆的位置关系解决实际问题．
一、情境导入
约在6000年前，美索不达米亚人做出了世界上第一个轮子——圆形的木盘，你能设计一个办法测量这个圆形物体的半径吗？
二、合作探究
探究点一：切线的性质
【类型一】切线的性质的运用
如图，点O是∠BAC的边AC上的一点，⊙O与边AB相切于点D，与线段AO
相交于点E，若点P是⊙O上一点，且∠EPD＝35°，则∠BAC的度数为( )
A．20°B．35°C．55°D．70°
解析：连接OD，∵⊙O与边AB相切于点D，∴OD⊥AD，∴∠ADO＝90°.∵∠EPD＝35°，∴∠EOD＝2∠EPD＝70°，∴∠BAC＝90°－∠EOD＝20°.故选A.
方法总结：此题考查了切线的性质以及圆周角定理．解题时要注意运用切线的性质，注意掌握辅助线的作法，灵活运用数形结合思想．
【类型二】利用切线的性质进行证明和计算
如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点．直线PO 与⊙O 交于B 、C 两点，∠P ＝30
°，连接AO 、AB 、AC .
(1)求证：△ACB ≌△APO ；
(2)若AP ＝，求⊙O 的半径．
3(1)证明：∵PA 为⊙O 的切线，A 为切点，∴∠OAP ＝90°.又∵∠P ＝30°，∴∠AOB ＝60°，又OA ＝OB ，∴△AOB 为等边三角形．∴AB ＝AO ，∠ABO ＝60°.又∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°.在△ACB 和△APO 中，∠BAC ＝∠OAP ，AB ＝AO ，∠ABO ＝∠AOB ，∴△ACB ≌△APO ；
(2)解：在Rt △AOP 中，∠P ＝30°，AP ＝，∴AO ＝1，即⊙O 的半径为1.
3方法总结：运用切线进行证明和计算时，一般连接切点与圆心，根据切线的性质转化已知条件，构造出等量关系求解．
【类型三】 探究圆的切线的条件
如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，P 是上的一个动点，BC ︵
过点P 作BC 的平行线交AB 的延长线于点D .
(1)当点P 在什么位置时，DP 是⊙O 的切线？请说明理由；
(2)当DP 为⊙O 的切线时，求线段BP 的长．
解析：(1)当点P 是的中点时，得＝，得出PA 是⊙O 的直径，再利用BC ︵ PBA ︵ PC A ︵
DP ∥BC ，得出DP ⊥PA ，问题得证；(2)利用切线的性质，由勾股定理得出半径长，进而得出AB 的长，在Rt △ABP 中再次利用勾股定理即可求出BP 的长．
解：(1)当点P 是的中点时，DP 是⊙O 的切线．理由如下：∵AB ＝AC ，∴＝，BC ︵ AB ︵ AC ︵
又∵＝，∴＝，∴PA 是⊙O 的直径．∵＝，∴∠1＝∠2，又∵AB ＝AC ，PB ︵ PC ︵ PBA ︵ PCA ︵ PB ︵ PC ︵
∴PA ⊥BC .又∵DP ∥BC ，∴DP ⊥PA ，∴DP 是⊙O 的切线．
(2)连接OB ，设PA 交BC 于点E .由垂径定理，得BE ＝BC ＝6.在Rt △ABE 中，由勾12
股定理，得AE ＝＝8.设⊙O 的半径为r ，则OE ＝8－r ，在Rt △OBE 中，由勾股
AB 2－BE 2定理，得r 2＝62＋(8－r )2，解得r ＝.在Rt △ABP 中，AP ＝2r ＝，AB ＝10，∴BP ＝254252
＝.（25
2）2－102152
方法总结：判定直线是否为圆的切线时要从切线的性质入手，结合垂径定理与勾股定理，合理转化已知条件，得出结论．
探究点二：切线的判定
【类型一】 判定圆的切线
如图，点D 在⊙O 的直径AB 的延长线上，点C 在⊙O 上，AC ＝CD ，∠D ＝30
°，求证：CD 是⊙O 的切线．
证明：连接OC ，∵AC ＝CD ，∠D ＝30°，∴∠A ＝∠D ＝30°.∵OA ＝OC ，∴∠2＝∠A ＝30°，∴∠1＝60°，∴∠OCD ＝90°，∴OC ⊥CD ，∴CD 是⊙O 的切线．
方法总结：切线的判定方法有三种：①利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心距离等于半径长的直线是圆的切线；③经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【类型二】 切线的性质与判定的综合应用
如图，AB 是⊙O 的直径，点F 、C 是⊙O 上的两点，且＝＝，连接AC 、AF ︵
FC ︵ CB ︵
AF ，过点C 作CD ⊥AF 交AF 的延长线于点D ，垂足为D .
(1)求证：CD 是⊙O 的切线；
(2)若CD ＝2，求⊙O 的半径．
3分析：(1)连接OC ，由弧相等得到相等的圆周角，根据等角的余角相等推得∠ACD ＝
∠B ，再根据等量代换得到∠ACO ＋∠ACD ＝90°，从而证明CD 是⊙O 的切线；(2)由＝AF ︵
＝推得∠DAC ＝∠BAC ＝30°，再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一FC ︵ CB ︵
半即可求得AB 的长，进而求得⊙O 的半径．
(1)证明：连接OC ，BC .∵＝，∴∠DAC ＝∠BAC .∵CD ⊥AF ，∴∠ADC ＝90°.∵FC ︵ CB ︵
AB 是直径，∴∠ACB ＝90°.∴∠ACD ＝∠B .∵BO ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC ，∵∠ACO ＋
∠OCB ＝90°，∠OCB ＝∠OBC ，∠ACD ＝∠ABC ，∴∠ACO ＋∠ACD ＝90°，即OC ⊥CD .又∵OC 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线；
(2)解：∵＝＝，∴∠DAC ＝∠BAC ＝30°.∵CD ⊥AF ，CD ＝2，∴AC ＝4.AF ︵ FC ︵ CB ︵
33在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，AC ＝4，∴BC ＝4，AB ＝8，∴⊙O 的半径为4.
3方法总结：若证明切线时有交点，需“连半径，证垂直”然后利用切线的性质构造直角三角形，在解直角三角形时常运用勾股定理求边长．
三、板书设计
1．切线的性质
圆的切线垂直于经过切点的半径．
2．切线的判定
经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
教学过程中，经历切线性质的探究，从中可得出判定切线的条件，整个学习过程是一个逐层深入的过程．因此教师应当对学生在探究过程中遇到的问题及时进行解决，使学生能更全面的掌握知识.。
