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概率论Ch2.3-1

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一、离散型随机向量
定义：若二维随机向量（X,Y）的全部取值(数对）为有限个或至多可列个，则称随机向量（X,Y）为离散型的。

显然：二维随机向量(X,Y)为离散型的等价于它的每个分量X与Y分别都是一维离散型的。

离散型二维r.v.联合概率分布列的确定方法
(1)找出随机变量X和Y的所有取值结果，得到
(X, Y)的所有取值数对；
(2)利用古典概型或概率的性质计算每个数值
对的概率；
(3)列出联合概率分布表。

例题与解答（续）
(3) P(X≤1,Y≤1)
=P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0) +P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1) = 0.75
边际分布(marginal distribution)
定义：随机向量X =（X 1, X 2, …, X n ）中每一个X i 的分布，称为X i 的边际分布。

对于离散型随机向量(X ,Y ),分量X ,Y 的概率分布列称为边际概率分布列。

称F (x 1,x 2,…,x n )=P {X 1≤x 1, X 2≤x 2,…, X n ≤x n }, (x 1,x 2,…,x n )∈R n
为n 维随机向量(X 1, X 2,…, X n )的联合分布函数。

注意：{X 1≤x 1, X 2≤x 2,…, X n ≤x n }表示n 个事件{X 1≤x 1},{X 2≤x 2},…,{X n ≤x n }同时发生。

特别：二维随机向量(X , Y )的联合分布函数为F (x , y )=P {X ≤x , Y ≤y }, (x , y )∈R 2
二、联合分布函数。

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概率论与数理统计2.3

概率论与数理统计2.3

如果X是某一元件的寿命，已知元件已使用了 s 如果X是某一元件的寿命， 小时， 小时的条件概率， 小时，它还能继续使用至少 t小时的条件概率，与 小时的概率相等。 从开始时算起至少能使用 t 小时的概率相等。 即元件对它已使用过s小时无记忆。 即元件对它已使用过s小时无记忆。
例1 机器里安装的某种元件，已知这种元件的使 用寿命X（年）服从参数为θ＝1/5的指数分布， 1)计算一个元件使用8年后仍能正常工作的概率； 2)一个元件已经使用了3年，求它还能再使用8 年的概率。
950
1 dr = 0.5 200
例2
X ~ U(2, 5). 现在对 X 进行三次独立 观测，试求至少有两次观测值大于 3 的概率.
解： 记 A = { X > 3 }, 则 P(A) = P( X> 3) = 2/3 设 Y 表示三次独立观测中 A 出现的次数, 则 Y~ b(3, 2/3)，所求概率为 P(Y≥2) = P(Y=2)+P(Y=3) 2 3 0 2 2 1 3 2 1 = C3 + C3 =20/27 3 3 3 3
例1 设 X ~ N(0, 1), 求 P(X>−1.96) , P(|X|<1.96) 解: P(X>−1.96) = 1− Φ(−1.96) = 1−(1− Φ(1.96)) = Φ(1.96) = 0.975 (查表得) P(|X|<1.96) = 2 Φ(1.96)−1 = 2 ×0.975−1 = 0.95
4. 点点计较 5. F(x)为阶梯函数。 F(a−0) ≠ F(a).
已知随机变量X概率密度为 概率密度为： 例1 已知随机变量 概率密度为
ax 0 < x ≤ 1 f ( x) = 其它 0
2.3.1期望1

2.3.1期望1

本节课我们讲了一个定义，一个公式
1）E = x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋… 2）若 a b，则 E aE b
（a、b是常数）
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例3 有一批数量很大的产品，其次品率是15％．对这批产品 进行抽查，每次抽出1件，如果抽出次品，则抽查终止，否 则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过10 次．求抽查次数ξ的期望(结果保留三个有效数字)．
解：抽查次数ξ取1～10的整数，从这批数量很大的产品中每 次抽取一件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概 率是0.15，取出正品的概率是0.85，前k－1次取出正品而第k 次(k＝1，2，…，9)取出次品的概率 P(ξ＝k)＝0.85k-1×0.15，(k＝1，2，…，9)； 需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率 P(ξ＝10)＝0.859 由此可得ξ的概率分布如下：
所以，η的分布列为
于是
Eη＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axn＋b)pn＋… ＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…)＋b(p1＋p2＋…+pn＋…) ＝aEξ＋b．即 E(aξ＋b)＝aEξ＋b．
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期望体现了随机变量所有取值的平均水平
例1 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚 不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求 他罚球1次的得分ξ的期望．
np(C0n1p0q n1 C1n1p1q n2
C p q k1 k1 ( n1)( k1) n 1
C
n n
11p
n
1q
0
)
np(p q) np.
所以 若ξ～B(n，p)，则Eξ＝np．
例4 一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个 选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答 案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分．学生甲选 对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选 项中随机地选择一个．求学生甲和学生乙在这次英语单元测 验中的成绩的期望．
3-1概率论与数理统计PPT课件

3-1概率论与数理统计PPT课件

随机变量的分布包含两个部分： 取哪些值？ 取这些值相应的概率是多少？
3.1.2 离散随机变量及其概率分布
离散随机变量 如果一个随机变量只取有限多个或者可数无穷多个 (可列个) 可能值，这种随机变量就称为离散随机变量。
离散随机变量所有可能的取值以及相应的概率
称为它的概率分布（律），简称分布律。一般表示成：
X
x1 x2 x3 … xn …
pk
p1 p2 p3 … pn …
根据概率的定义，离散随机变量分布律
必须满足下面两个条件：
(1) pi ≥ 0 , i = 1, 2, 3, …
(2) ∑ pi = 1
看例题
3.2 重要的离散型随机变量
3.2.1 独立重复实验序列
1. 随机试验的独立性
对于一些随机试验来说，如果它们的结果互相 不影响，即每个随机试验的各种结果出现的概率不依 赖于其它随机试验出现的结果，就称这些随机试验是 相互独立的。
第3章 离散随机变量
3.1.1随机变量的概念 在涉及随机试验的实际问题中，经常遇到这样的
情况，很大一部分问题与数值发生联系，从而可以 将随机试验量化。
例1. 电话的次数 ，可能是0，1，2，… 例2 某射手对一活动靶进行射击，到击中目标为止， 所进行的射击次数，可能是1，2，…
例3 某一时间段内，车站到来的乘客数， 或在某一个区域里，野生动物的数量 ·····； 它所有可能的取值是一切非负整数。
看例9
例 (金融保险) 根据生命表知道，在某个年龄段的投保人中一年内 每个人死亡的概率是 0.005 ，现在有 10,000 人参加 保险，问未来一年中死亡人数不超过 60 人的概率。
解。 分析： 以 X 记这 10,000 人中死亡的人数，则显然有 X ~ B (104，0.005 ) ，需要计算P { X ≤ 60 } 。 P { X ≤ 60 } = ∑k6=00 [C10000k 0.005k 0.99510000 – k ] ≈ 0.9222 。
概率论与数理统计 2.3

概率论与数理统计 2.3

．
则称 X 在区间 [a, b]上服从均匀分布， 记为 X ~ U [a, b] ．
• 均匀分布的密度函数满足： （1） f ( x) ≥ 0 （显然）；
（2） f ( x) d x a

b
1 d x 1 ． ba
例2 廊坊到北京的长途汽车每隔10min一趟， 若一乘客到站的时间是随机的，问：其候车 时间超过6min的概率是多少？ 解 设 X 为候车时间，则 X 在 [0,10]上服从均匀 分布，其概率密度函数为
• 正态分布的密度曲线呈钟形状（如图2.3.3）， 称其为正态曲线．利用导数讨论函数性质可知， 密度函数还具有下列性质： (1) 在 内处处连续； ( , ) f ( x) （2）对任意实数 ，有 ，即 f ( x) f ( x ) f ( x ) x 图形关于直线 对称； x （3）在 处， 取得最大值为 1 ，即 x X f ( x ) 集中在 附近取值； 2 x （4）曲线在点 处对应有拐点；
1 ( x) e ( x ) ， 2 其图形如图2.3.6所示． 2 X ~ N ( , ) ，则随机变量 • 定理 若随机变量
Y X
x2 2

1
~ N (0,1)
且f X ( x) Nhomakorabea(
x
) ( x ) ．
1 , 0 ≤ x ≤ 10, f ( x) 10 其他, 0,
于是 P{6 X ≤10} 6 ， 即该乘客候车时间超过6min的概率为 0.4 ． • 二、指数分布 • 若连续型随机变量 X 的密度函数为
e x , x ≥ 0, f ( x) x 0, 0,
10
1 1 d x (10 6) 0.4 10 10