4 圆周角和圆心角的关系(第2课时)

∴ ∠ABC = ∠AOC. 你能写出这个命题吗?
B
圆上一条弧O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆 心角∠AOC的大小关系会怎样?
提示:能否也转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得: ∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD,
. O
B
C
1.首先考虑一种特殊情况：当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的 一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
解:∵∠AOC是△ABO的外角， ∴∠AOC=∠B+∠A.
A C
∵OA=OB，
●O
∴∠A=∠B.
B
∴∠AOC=2∠B.
即∠ABC = ∠AOC. 你能写出这个命题吗?
圆周角的定义及性质
圆心角顶点发生变化时,我们得到几种情况?
.A
A.
..A
O
.
.
O
O
B
C
B
C
B
C
思考：三个图中的∠BAC的顶点A各在圆的什么位置？ 角 的两边和圆是什么关系？
你能仿照圆心角的定义给圆周角下定义吗?
圆周角定义: 顶点在圆上,两边都与
圆相交的角叫圆周角.
A
特征： ①角的顶点在圆上. ②角的两边都与圆相交.
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆 心角∠AOC的大小关系会怎样?
提示:能否转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得: ∠ABD = ∠AOD,
AD C
●O
∠CBD = ∠COD,
B ∴∠ABC = ∠AOC.

【点拨】连接BD.∵四边形ABCD是矩形， ∴BD是⊙O的直径， ∵AB＝4，AD＝3，∴BD＝ ∴⊙O的半径为 ，∴⊙O的面积为 又∵矩形的面积为3×4＝12， ∴阴影部分的面积为 π－12.
14．【荣德原创题】如图，⊙O的内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别交于点E，F. (1)若∠E＝∠F，求证：∠ADC＝∠ABC；
第三章 圆
4 圆周角和圆心角的关系
第2课时 圆周角定理的推论
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1．直径所对的圆周角是________；________3随堂练习T2变式】用直角三角尺检查半圆形的工件，下列工件合格的是( )
D
【点拨】如图，连接CO并延长，交⊙O于点E，连接AE. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA. ∵∠ACD＝∠CAB，∴∠DCA＝∠ACO. ∴AE＝AD＝2. ∵CE是直径，∴∠EAC＝90°. 在Rt△EAC中，AE＝2，AC＝4，
13．【2023·重庆】如图，⊙O是矩形ABCD的外接圆，若AB＝4，AD＝3，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留π)
请利用上述两个问题的方法和结论，完成下面的综合问题： (3)如图③，⊙O的直径为 ，弦AB⊥弦CD于点E，连接AD，BC，若AD＝4，求BC的长，请写出解题过程．
解：如图③，连接AO并延长交⊙O于点F，连接BF，DF. ∵AF为直径，∴AB⊥BF，∠ADF＝90°.
∴BC＝1.
外接圆
互补
6．【2022·宜昌】如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，BD，若∠C＝110°，则∠OBD＝( ) A．15° B．20° C．25° D．30°

问题3、如图3，△ABC中，OC是AB边上的中线，且 1 OC = AB，那么你发现了什么样的结论？ 2 C ∠ACB =90º D C C O A B O A B O B A
图1
图2
图3
自学与思考
1、圆周角定理的推论1、2、3的内容分别是什么？ 你是怎样理解这些推论的？ 2、从课本例2的学习中你认为证明等积式的一般思 路是怎样的？ 3、例2是否还有其它证明方法？
例题精解
例:如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直 径。求证：AB · = AE · AC AD A 分析：要证AB · = AE · AC AD
AC AD AE AB
△ADC∽ △ABE
或△ACE∽ △ADB
O B E D C
题后思：1、证明题的思路寻找方法；
2、等积式的证明方法；
小结与作业
1、本节课我们学习了哪些知识？ 2、圆周角定理及其推论的用途你都知道了吗？ 3、证明题思路的寻找方法如何？ 4、证明等积式的一般思路你掌握了吗？
问题解答
1、圆周角定理的推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等；
用于找相 等的弧
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
2、圆周角定理的推论2： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 用于找相等的 90°的圆周角所对的弦是直径。 角 3、圆周角定理的推论3： 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这 用于判断某 用于判断某个 条线是否过 圆周角是否是 个三角形是直角三角形。 圆心 直角 它的逆命题 也成立
九年级数学(下)第三章 圆
3. 圆周角和圆心角的关系 (2)圆周角定理
课前测验
11、一条弧所对的圆心角等于_______，所对的圆周角等于
100º _______。2、一弦分圆成两部分，其中一部分是另一部分的4

北师大版数学九年级下册3.4《圆周角和圆心角的关系》教学设计2一. 教材分析《圆周角和圆心角的关系》是北师大版数学九年级下册第3章第4节的内容。

本节课主要通过探究圆周角和圆心角的关系，让学生理解和掌握圆周角定理，能运用圆周角定理解决相关问题。

教材通过引入圆周角定理，引导学生发现圆周角和圆心角之间的数量关系，进而推导出定理。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、圆的性质以及垂径定理。

但圆周角和圆心角的关系较为抽象，需要学生具有较强的空间想象能力和逻辑思维能力。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习差异，引导学生在探究过程中发现问题、解决问题。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生理解和掌握圆周角定理，能运用圆周角定理解决相关问题。

2.过程与方法目标：通过观察、实验、猜想、证明等方法，培养学生的探究能力和合作精神。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索、积极思考的精神。

四. 教学重难点1.教学重点：圆周角定理的推导和运用。

2.教学难点：圆周角定理的证明和理解。

五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生观察、实验、猜想，发现圆周角和圆心角的关系。

2.小组合作法：学生分组讨论，共同解决问题，培养合作精神。

3.归纳总结法：教师引导学生总结圆周角定理，加深对知识的理解。

六. 教学准备1.教具准备：圆规、直尺、多媒体课件。

2.学具准备：每人一份圆周角和圆心角的实验材料。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾上一节课所学内容，如圆的性质、垂径定理等。

然后提问：“你们认为圆周角和圆心角之间有什么关系？”引发学生的思考。

2.呈现（10分钟）教师利用多媒体课件展示圆周角和圆心角的图形，让学生观察并思考它们之间的关系。

同时，教师引导学生进行实验，用量角器测量圆周角和圆心角的度数，观察它们之间的数量关系。

3.操练（10分钟）教师布置练习题，让学生运用圆周角定理解决问题。