双曲线教师版

《双曲线》达标检测[A组]—应知应会1．（2020•红岗区校级模拟）双曲线的渐近线方程是，则双曲线的焦距为（）A．3B．6C．D．【分析】利用双曲线的渐近线方程，求出b，然后求解c，即可求解双曲线的焦距．【解答】解：双曲线的渐近线方程是，可得b＝2，所以c＝＝3，所以双曲线的焦距为6．故选：B．2．（2020•安徽模拟）已知双曲线的离心率为2．则其渐近线的方程为（）A．B．C．D．x±y＝0【分析】通过双曲线的离心率求出b与a的关系，然后求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：双曲线的离心率为2．可得：，即1+＝4，可得＝，则双曲线C的渐近线方程为：x±y＝0．故选：A．3．（2020•天津二模）抛物线y2＝4x的焦点到双曲线的一条渐近线的距离是，则双曲线的实轴长是（）A．B．C．1D．2【分析】求出抛物线的焦点坐标，双曲线的一条渐近线方程，利用已知条件求解a即可．【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点（1，0），双曲线的一条渐近线x+ay＝0，抛物线y2＝4x的焦点到双曲线的一条渐近线的距离是，可得，解得a＝1．所以双曲线的实轴长为2．故选：D．4．（2020春•成都月考）已知双曲线的两条渐近线的方程分别是x+y＝0和x﹣y＝0，则该双曲线的离心率是（）A．B．或C．或D．【分析】通过双曲线的焦点坐标的位置，结合双曲线的渐近线方程可得c与a的比值，求出该双曲线的离心率．【解答】解：双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，结合题意两条渐近线的方程是x+y＝0和x﹣y＝0，得＝，设a＝t，b＝t，则c＝t（t＞0），∴该双曲线的离心率是e＝，双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，双曲线的渐近线方程为y＝±x，结合题意两条渐近线的方程是x+y＝0和x﹣y＝0，得＝，设b＝t，a＝t，则c＝t（t＞0），∴该双曲线的离心率是e＝，故选：B．5．（2020•东湖区校级三模）已知F1、F2为双曲线的左、右焦点，点M为E 右支上一点．若MF1恰好被y轴平分，且∠MF1F2＝30°，则E的渐近线方程为（）A．B．C．D．y＝±2x【分析】利用已知条件判断M的位置，然后得到a，b的关系，即可推出双曲线的渐近线方程．【解答】解：F1、F2为双曲线的左、右焦点，点M为E右支上一点，若MF1恰好被y轴平分，则MF2垂直x轴，因为∠MF1F2＝30°，所以＝tan∠MF1F2，可得，2ac＝b2，可得4a4+4a2b2＝3b4，可得，则＝．则E的渐近线方程为y＝±x．故选：B．6．（2020•让胡路区校级三模）过双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点F作C的一条渐近线的垂线，设垂足为A，O为坐标原点．若△ABC的面积为a2，则cos∠OF A＝（）A．B．C．D．【分析】利用已知条件，通过三角形的面积，得到关系式，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：由题意得|OA|＝a，|F A|＝b，∠OAF＝90°，所以，得b＝2a，所以，，故选：D．7．（2020•河南模拟）已知点P（5，0），若双曲线的右支上存在两动点M，N，使得，则的最小值为（）A．B．15C．16D．【分析】画出图形，利用向量的数量积的几何意义，转化为双曲线上的点到P距离的平方，然后求解最小值即可．【解答】解：由题意，则＝||||cos＜，＞＝||2，的最小值，就是双曲线上的点M到P距离的平方的最小值，设M（m，n），则：m2﹣＝1，||2＝（m﹣5）2+n2＝（m﹣5）2+3m2﹣3＝4m2﹣10m+22，当m＝时，表达式取得最小值：．故选：D．8．（2020•南岗区校级模拟）已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F2，A和B为双曲线上关于原点对称的两点，且A在第一象限．连结AF2并延长交E于P，连结BF2，PB，若△BF2P是以∠BF2P为直角的等腰直角三角形，则双曲线E的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设双曲线的半焦距为c，|BF2|＝|PF2|＝t，首先判断四边形AF1BF2为平行四边形，可得∠F1AF2＝90°，连接PF1，运用双曲线的定义，在直角三角形AF1F2和直角三角形P AF1中，运用勾股定理，化简可得a，c的关系式，即可得到所求离心率．【解答】解：设双曲线的半焦距为c，|BF2|＝|PF2|＝t，由|OA|＝|OB|，|OF1|＝|OF2|，可得四边形AF1BF2为平行四边形，则|AF1|＝|BF2|＝t，且∠F1AF2＝90°，连接PF1，由双曲线的定义可得|PF1|＝|PF2|+2a＝t+2a，又|AF2|＝|AF1|﹣2a＝t﹣2a，在直角三角形AF1F2中，可得t2+（t﹣2a）2＝4c2，①在直角三角形P AF1中，可得t2+（2t﹣2a）2＝（t+2a）2，化为t＝3a，代入①可得9a2+a2＝4c2，即有c＝a，即e＝＝．故选：C．9．（2020•吉林模拟）已知是双曲线的左焦点，P为双曲线C右支上一点，圆x2+y2＝a2与y轴的正半轴交点为A，|P A|+|PF|的最小值4，则双曲线C的实轴长为（）A．B．2C．2D．【分析】设F′为双曲线的右焦点，得到|PF|＝2a+|PF′|，通过|P A|+|PF′|≥|AF′|＝，三点P，A，F′共线时取等号．求出a，即可．【解答】解：由题意，A（0，a），设F′为双曲线的右焦点，则|PF|＝2a+|PF′|，F（﹣，0），F′（，0）．∴|P A|+|PF|＝|P A|+2a+|PF′|＝2a+（|P A|+|PF′|）≥2a+|AF′|＝2a+，三点P，A，F′共线时取等号．所以2a+＝4，解得a＝1，故实轴长为2．故选：B．10．（2020•武昌区校级模拟）双曲线C的方程为：，过右焦点F作双曲线一条渐近线的平行线，与另一条渐近线交于点P，与双曲线右支交于点M，点M恰好为PF的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．3【分析】由题意画出图形，结合已知求出M的坐标，代入双曲线方程，转化求解离心率即可．【解答】解：双曲线C的方程为：，渐近线方程为：bx±ay＝0，F（c，0），如图：F A的方程为：与OP方程的交点P（，），点M恰好为PF的中点，M（，﹣），代入双曲线方程可得：，，可得e2＝2，e＞1，得e＝．故选：A．11．（多选）（2020春•厦门期末）已知F1，F2是双曲线E：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1作倾斜角为的直线分别交y轴与双曲线右支于点M，P，|PM|＝|MF1|，下列判断正确的是（）A．∠PF2F1＝B．|MF2|＝|PF1|C．E的离心率等于D．E的渐近线方程为y＝x【分析】结合三角形的中位线定理和直角三角形的性质，可判断A，B；由锐角三角函数的定义和双曲线的定义、离心率公式和渐近线方程，可判断C，D．【解答】解：如右图，由|PM|＝|MF1|，可得M为PF1的中点，又O为F1F2的中点，可得OM∥PF2，∠PF2F1＝90°，∠PF1F2＝30°，|MF2|＝|PF1|，故A错误，B正确；设|F1F2|＝2c，则|PF1|＝＝c，|PF2|＝2c tan30°＝c，则2a＝|PF1|﹣|PF2|＝c，可得e＝＝，＝＝，则双曲线的渐近线方程为y＝±x即为y＝±x．故C，D正确．故选：BCD．12．（多选）（2020春•凌源市期末）已知双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为直线l1：y＝2x，l2：y＝﹣2x，则下列表述正确的有（）A．a＞bB．a＝2bC．双曲线E的离心率为D．在平面直角坐标系xOy中，双曲线E的焦点在x轴上【分析】利用双曲线的渐近线方程，推出b与a的关系，求出离心率，然后判断选项的正误即可．【解答】解：双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为直线l1：y＝2x，l2：y＝﹣2x，可得，所以A，B不正确；双曲线的离心率为：e＝＝＝，所以C正确；在平面直角坐标系xOy中，由双曲线方程可知，双曲线E的焦点在x轴上，所以D正确．故选：CD．13．（2020•北京）已知双曲线C：﹣＝1，则C的右焦点的坐标为；C的焦点到其渐近线的距离是．【分析】根据双曲线的方程可得焦点，再根据点到直线的距离可得．【解答】解：双曲线C：﹣＝1，则c2＝a2+b2＝6+3＝9，则c＝3，则C的右焦点的坐标为（3，0），其渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，则点（3，0）到渐近线的距离d＝＝，故答案为：（3，0），．14．（2020•新课标Ⅲ）设双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y＝x，则C的离心率为．【分析】由双曲线的方程求出渐近线的方程，再由题意求出a，b的关系，再由离心率的公式及a，b，c 之间的关系求出双曲线的离心率．【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为：y＝±x，由题意可得＝，所以离心率e＝＝＝，故答案为：．15．（2020春•平谷区期末）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点为（3，0），一个顶点为（1，0），那么其渐近线方程为．【分析】利用已知条件，求出a，c，求解b，即可求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点为（3，0），一个顶点为（1，0），可得a＝1，c＝3．则b＝2．所以双曲线的渐近线方程为：y＝x．故答案为：y＝x．16．（2020春•平谷区期末）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且焦点到渐近线的距离为，那么双曲线的离心率为．【分析】由题意画出图形，再由抛物线方程求出焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，由焦点到双曲线一条渐近线的距离列式，求解离心率即可．【解答】解：如图，由抛物线方程y2＝4x，得抛物线的焦点坐标F（1，0），即双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点坐标为F（1，0），双曲线的渐近线方程为y＝±x．不妨取y＝，化为一般式：bx﹣ay＝0．则＝，即4b2＝3a2+3b2，又a2＝1﹣b2，联立解得：a2＝，∴a＝．则双曲线的离心率为：e＝＝＝2故答案为：2．17．（2020•新课标Ⅰ）已知F为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，A为C的右顶点，B 为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为．【分析】利用已知条件求出A，B的坐标，通过AB的斜率为3，转化求解双曲线的离心率即可．【解答】解：F为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点（c，0），A为C的右顶点（a，0），B为C上的点，且BF垂直于x轴．所以B（c，），若AB的斜率为3，可得：，b2＝c2﹣a2，代入上式化简可得c2＝3ac﹣2a2，e＝，可得e2﹣3e+2＝0，e＞1，解得e＝2．故答案为：2．18．（2020春•成都期末）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点P在第一象限的双曲线C上，且PF2⊥x轴，△PF1F2内一点M满足+2+3＝，且点M在直线y＝2x上，则双曲线C的离心率为．【分析】由PF1F2内一点M满足，可得S：S：S＝3：2：1，即可求得M（，），即可得，⇒3（c2﹣a2）＝4ac，从而求得双曲线C的离心率．【解答】解：∵点P在第一象限的双曲线C上，且PF2⊥x轴，∴P（c，y0），，解得：y0＝．∵△PF1F2内一点M满足，如图，取，，则有，故M为△ABF2的重心，∴S△MAB＝S＝S＝，又，S＝，S＝，∴S：S：S＝3：2：1，∴S＝，即y M＝＝，S＝，即x M＝，综上，M（，），∵点M在直线y＝2x上，∴，⇒3（c2﹣a2）＝4ac，⇒3e2﹣4e﹣3＝0，e＝，（负值舍去）则双曲线C的离心率为，故答案为：．19．（2019秋•城关区校级期末）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点．（1）求双曲线的方程；（2）若点M（3，m）在双曲线上，试求的值．【分析】（1）通过离心率设出双曲线方程，利用双曲线经过的点，转化求解双曲线方程即可．（2）求出焦点坐标，利用向量的数量积公式，结合已知条件求解即可．【解答】解：（1）∵e＝，∴可设双曲线的方程为x2﹣y2＝λ（λ≠0）．∵双曲线过点，∴16﹣10＝λ，即λ＝6．∴双曲线的方程为x2﹣y2＝6．（2）由（1）可知，a＝b＝，得c＝2，F1（﹣2，0），F2（2，0），，从而由于点M（3，m）在双曲线上，∴9﹣m2＝6，即m2﹣3＝0，故．20．（2019秋•河西区期末）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，且经过点M（，﹣）．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）求双曲线C的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．【分析】（Ⅰ）由题意设双曲线的方程，代入M的坐标，即可求解双曲线方程．（Ⅱ）利用双曲线方程，然后求解双曲线C的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．【解答】解：（Ⅰ）∵双曲线C与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，∴设双曲线的方程为（λ≠0），代入M（，﹣）．得λ＝，故双曲线的方程为：．（Ⅱ）由方程得a＝1，b＝，c＝，故离心率e＝．其渐近线方程为y＝±x；实轴长为2，焦点坐标F（，0），解得到渐近线的距离为：＝．21．（2020春•山东月考）已知双曲线C的离心率为，且过（，0）点，过双曲线C的右焦点F2，做倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．（1）求双曲线的标准方程；（2）求△AOB的面积．【分析】（1）有题意离心率和过的点的坐标，可得双曲线的焦点在x轴上，可得a的值和c的值，再由a，b，c的关系求出a，b的值，进而求出双曲线的方程；（2）由（1）可得左右焦点的坐标，有题意可得直线AB的方程，与双曲线联立求出两根之积，两根之和进而求出面积．【解答】解：（1）有题意可得，双曲线的焦点在x轴上，且a＝，＝，b2＝c2﹣a2，解得：a2＝3，b2＝6，所以双曲线的方程：﹣＝1；（2）由（1）可得F2（3，0），F1（﹣3，0），由题意设y＝（x﹣3），设交点A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与双曲线的方程：，整理可得：x2﹣18x+33＝0，x1+x2＝18，x1x2＝33，可得y1﹣y2＝[（x1﹣﹣3）﹣（x2﹣3）]＝（x1﹣x2），所以S AOB＝|y1﹣y2|＝＝•＝36，即△AOB的面积为36．22．（2019秋•广陵区校级月考）双曲线C：﹣＝1的左右两个焦点分别为F1、F2，P为双曲线上一动点，且在第一象限内，已知△PF1F2的重心为G，内心为I．（1）若∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积；（2）若IG∥F1F2，求点P的坐标．（1）由曲线方程求得a与c的值，在焦点三角形PF1F2中，由双曲线定义及余弦定理求得|PF1||PF2|，【分析】再由三角形面积公式求解；（2）P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则G（），利用三角形面积相等及G与I的纵坐标求得|PF2|，再由两点间的距离公式及P在双曲线上列方程组求解．【解答】解：（1）如图，由双曲线方程﹣＝1，得a2＝4，b2＝5，c2＝9，∴a＝2，c＝3．设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m﹣n＝4，在三角形PF1F2中，由余弦定理可得：4c2＝m2+n2﹣2mn•cos60°，即36＝（m﹣n）2+mn＝16+mn，得mn＝20．∴△PF1F2的面积S＝；（2）设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则G（），设△PF1F2的内切圆的半径为r，则，于是，得r＝．由IG∥F1F2，知，即m+n＝4c＝12．又m﹣n＝2a＝4，解得n＝4．因此，，解得．∴点P的坐标为（4，）．23．（2020•大同模拟）已知双曲线C的右焦点F，半焦距c＝2，点F到直线的距离为，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N．（1）求双曲线C的标准方程；（2）证明：直线MN必过定点，并求出此定点的坐标．【分析】（1）由题意可得c的值，再由点F到直线的距离为，可得a的值，再由a，b，c之间的关系求出双曲线的方程；（2）设弦AB所在的直线方程，与双曲线的方程联立可得两根之和进而可得AB的中点M的坐标，再由椭圆可得弦CD的中点N的坐标，分别讨论当MN的斜率存在和不存在两种情况可得直线MN恒过定点．【解答】解：（1）由题意可得c＝2，c﹣＝，b2＝c2﹣a2，解得：a2＝3，b2＝1，所以双曲线的方程为：﹣y2＝1；（2）证明：设F（2，0）设过F的弦AB所在的直线方程为：x＝ky+2，A（x1，y1），B（x2，y2），则有中点M（+2，），联立直线AB与双曲线的方程：整理可得：（k2﹣3）y2+4ky+1＝0，因为弦AB与双曲线有两个交点，所以k2﹣3≠0，y1+y2＝，所以x1+x2＝k（y1+y2）+4＝，所以M（，）；（i）当k＝0时，M点即是F，此时直线MN为x轴；（ii）当k≠0时，将M的坐标中的k换成﹣，同理可得N的坐标（，﹣），①当直线MN不垂直于x轴时，直线MN的斜率k MN＝＝，将M代入方程可得直线MN：y﹣＝（x﹣），化简可得y＝（x﹣3），所以直线MN恒过定点P（3，0）；②当直线MN垂直于x轴时，＝可得k＝±1，直线也过定点P（3，0）；综上所述直线MN恒过定点P（3，0）．[B组]—强基必备1．（2019秋•运城期末）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且与x轴垂直的直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A、B两点，，若双曲线上存在一点P使得|PM|+|PF2|≤t，则t的最小值为（）A．B．C．D．【分析】设出双曲线的焦点和渐近线方程，令x＝c，解得y，可得|AB|，由双曲线的基本量的关系，解得a，b，c，可得双曲线的方程，讨论P在左支和右支上，运用双曲线的定义，结合三点共线的性质，结合两点的距离公式，即可得到所求最小值．【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），渐近线方程为y＝±x，令x＝c，解得y＝±，可得|AB|＝，|AB|＝3，即有＝3，由a＝2，c2＝a2+b2，解得b＝，c＝3，即有双曲线的方程为，由题意可知若P在左支上，由双曲线的定义可得|PF2|＝2a+|PF1|，|PM|+|PF2|＝|PM|+|PF1|+2a≥|MF1|+4＝+4＝5+4，当且仅当M，P，F1共线时，取得最小值4+5；若P在右支上，由双曲线的定义可得|PF2|＝|PF1|﹣2a，|PM|+|PF2|＝|PM|+|PF1|﹣2a≥|MF1|﹣4＝5﹣4，当且仅当M，P，F1共线时，取得最小值5﹣4．综上可得，所求最小值为5﹣4．故选：D．2．（2020春•未央区校级月考）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A，若△AF1F2的内切圆半径为，则双曲线的离心率为．【分析】双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，可得直线AF2的方程为y＝（x﹣c），联立双曲线的方程可得A的坐标，设|AF1|＝m，|AF2|＝n，运用三角形的等积法，以及双曲线的定义，结合锐角三角函数的定义，化简变形可得a，c的方程，结合离心率公式可得所求值．【解答】解：设双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，可得直线AF2的方程为y＝（x﹣c），联立双曲线（b＞a＞0），可得A（，），设|AF1|＝m，|AF2|＝n，由三角形的面积的等积法可得（m+n+2c）＝•2c•，化简可得m+n＝﹣4a﹣2c①由双曲线的定义可得m﹣n＝2a②在三角形AF1F2中n sinθ＝，（θ为直线AF2的倾斜角），由tanθ＝，sin2θ+cos2θ＝1，可得sinθ＝，可得n＝，③由①②③化简可得3c2﹣2ac﹣5a2＝0，即为（3c﹣5a）（c+a）＝0，可得3c＝5a，则e＝＝．故答案为：．3．（2019秋•雁峰区校级月考）已知P为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）右支上的任意一点，经过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B两点．若点A，B分别位于第一、四象限，O为坐标原点，当＝时，△AOB的面积为2b，则双曲线C的实轴长为．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由已知向量等式把P的坐标用A，B的坐标表示，代入双曲线方程，结合A，B分别在双曲线的渐近线上可得，由双曲线的对称性结合角的关系求得sin∠AOB，再由三角形面积公式列式求解a，则答案可求．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由，得，则，∴．由题意知A在直线y＝上，B在y＝﹣上，则，．∴，即，化简得：，由渐近线的对称性可得sin∠AOB＝sin2∠AOx＝＝＝．∴△AOB的面积为＝＝＝＝，解得a＝．∴双曲线C的实轴长为．故答案为：．。

理科数学复习试题选编31：双曲线一、选择题1 ．（六校联盟高三回头联考理科数学试题）已知F 1和F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线左支的一点，1PF ⊥2PF ，1PF =C ，则该双曲线的离心率为（ ）A 1B ．12C 1D ．12【答案】C2 ．（绍兴市高三教学质量调测数学（理）试题（word 版） ）已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于O ，A 两点.若△AOF 的面积为b ，则双曲线的离心率等于 （ ）A ．3B ．5C ．D ．【答案】D3 ．（高考模拟冲刺（提优）测试二数学（理）试题）直线过点(2,1)P 与曲线1422=-y x 恰有一个公共点，则满足条件的直线的条数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 解：因为点(2,1)P 在渐近线上，故旋转直线一周只有2条符合条件.4 ．（杭州高中高三第六次月考数学（理）试题）设双曲线C ：22221x y a b -=(a >0，b >0)的右焦点为F ，左，右顶点分别为A 1，A 2.过F 且与双曲线C 的一条渐近线平行的直线l 与另一条渐近线相交于P ，若P 恰好在以A 1A 2为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为 （ ）AB ．2C D ．3【答案】A5 ．（高考模拟冲刺（提优）测试一数学（理）试题）已知1F ，2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的左、右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段21F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是 （ ）A ．)2,1(B ．)3,2(C ．)2,3(D ．),2(∞+【答案】D6 ．（嘉兴市高三上学期基础测试数学（理）试题）已知焦点在y 轴上的双曲线的渐近线过椭圆221416x x +=和椭圆2231164x y +=的交点，则双曲线的离心率是（ ）A ．233B ．2C ．5D ．52【答案】B7 ．（杭州市第一次高考科目教学质量检测理科数学试题）设双曲线22143x y -=的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线交双曲线左支于,A B 两点，则22BF AF +的最小值为 （ ）A ．192B ．11C ．12D ．16【答案】B 解：由题意，得：21221121248824AF AF a BF AF AF BF AB BF BF a ⎧-==⎪⇒+=++=+⎨-==⎪⎩ 显然，AB 最短即通径，2min23b AB a=⋅=，故()22min11BF AF +=8 ．（温岭中学高三高考提优冲刺考试（三）数学（理）试题 ）已知21F F 、分别是双曲线:C 12222=-by a x 的左、右焦点，若2F 关于渐近线的对称点恰落在以1F 为圆心，||1OF 为半径的圆上，则C 的离心率为： （ ）A ．3B ．3C ．2D ．2【答案】D解析：方法一：设),(y x P 为2F 关于渐近线x aby l =:的对称点，则有： ⎪⎩⎪⎨⎧+⋅=-=-2)2c x a b y b a c x y （，解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=2222222)(b a abc y b a b a c x ， 由⋅1=0可得：0222=++y cx x ，将上式代入化简可得：0))((2)(2222222=+-++b a b a b a ，即223a b =，即224a c =，即2==ace ，故选 D ．方法二：如图：设2F 关于其渐近线的对称点为P ，连接PO ﹑1PF ，由于点P 恰落在以1F 为圆心，||1OF 为半径的圆上，故有11PF PO OF c ===，易得02160PF =∠F ，01230PF =∠F 故12PF PF ⊥，又2OH PF ⊥，故0260OHF ∠=，即3600==tan a b ，即2==ace .故选 D ．9 ．（嘉兴市高三第二次模拟考试理科数学试卷）设m 是平面α内的一条定直线，P 是平面α外的一个定点，动直线n 经过点P 且与m 成︒30角，则直线n 与平面α的交点Q 的轨迹是 （ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】C ：动直线n 的轨迹是以点P 为顶点、以平行于m 的直线为轴的两个圆锥面，而点Q 的轨迹就是这两个圆锥面与平面α的交线.10．（【解析】镇海中学高三5月模拟数学（理）试题）已知双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，离心率为2，12,F F 分别是它的左、右焦点，A 是它的右顶点，过1F 作一条斜率为(0)k k ≠的直线与双曲线交于两个点,M N ，则MAN ∠为 （ ）A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．锐角、直角、钝角都有可能【答案】答案：B 解析：由离心率为2，可得2c a =，223b a =，则双曲线方程为22233xy a -=.设1122(,),(,)M x y N x y ，因直线MN 的斜率不为零，则可设其方程为2x my a =-，与双曲线方程联立得222(31)1290m y amy a --+=，从而有2310m -≠，1221231amy y m +=-，且11．（温岭中学高三高考提优冲刺考试（五）数学（理）试题）已知F 1、F 2是双曲线C ：)0(12222>>=-b a by a x的两个焦点，过曲线C 的左焦点F 1(-c ，0)和虚轴端点B(0，b )作直线l 交曲线C 左支于A 点，右支与D 点，连接AO 、DF 2，AO∥DF 2 ，则双曲线的离心率为 （ ） A ．3B ．6C ．36+D ．25+【答案】C 提示 联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=1)(2222b y ax c x c b y 削去x 得02322=+-b y c by 221221,2b y y b c y y =⋅=+(*)，由题意的2212y y =代入(*)中，得到⎪⎩⎪⎨⎧==2222223by b c y ，削去y 得4489c b =，可以解得2692+=e .12．（考试院高三上学期测试数学（理）试题）如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)的左、右焦A ，B 两点.若 | AB | ： | BF 2 | ： | AF 2 |=3：4 ： 5，（ ）．13．15 C ．2D ．3【答案】A13．（“六市六校”联盟高三下学期第一次联考数学（理）试题）设F 1，F 2 是双曲线)0,(1x 2222>=-b a by a 的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P 满足212F F PF =，且54cos 21=∠F PF ，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．043=±y xB ．053=±y xC ．034=±y xD ．045=±y x 【答案】C14．（海宁市高三2月期初测试数学（理）试题）已知点P 是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a b y a x 左支上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右两个焦点，且PF 1⊥PF 2，PF 2与两条渐近线相交于M ，N 两点(如图)，点N 恰好xy OA B F 1F 2平分线段PF 2，则双曲线的离心率是（ ）5B ．2C ．3D ．215．（普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是（ ）A ．2B ．3C ．23D ．26 【答案】D16．（宁波市高三第一学期期末考试理科数学试卷）设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|：|F 1F 2|：|PF 2|=4：3：2， 则曲线C 的离心率等于 （ ）A ．2332或B ．23或2 C ．12或2 D ．1322或【答案】D17．（嘉兴市第一中学高三一模数学（理）试题）已知双曲线c ： )0(12222>>=-b a b y a x ，以右焦点F为圆心，|OF |为半径的圆交双曲线两渐近线于点M 、N (异于原点O)，若|MN|=a 32，则双曲线C的离心率 是（ ）A 2B ．3C ．2D ．13+【答案】COxyA BF 1F 2xyOM NP 1F 2F18．（黄岩中学高三5月适应性考试数学(理)试卷 ）已知A ，B ，P 是双曲线12222=-by a x (0>a ，0>b )上不同的三点，且A ，B 连线经过坐标原点O ，若直线PA ，PB 的斜率乘积3=⋅PB PA k k ，则双曲线的离心率为 （ ）A ．2B ．3C ．2D ．5【答案】C19．（温州中学高三第三次模拟考试数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，12A A 、是实轴顶点，F 是右焦点，()0,B b 是虚轴端点，若在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点(1,2)i p i =，使得12(1,2)i P A A i ∆=构成以12A A 为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是 （ ）A ．)+∞B ．1,)2+∞C ．1(1,)2D ．1)2【答案】D ．20．（湖州市高三第二次教学质量检测数学(理)试题(word 版) ）已知A B P ，，是双曲线()2222100y x a b a b -=>>，上不同的三点，且A B ，连线经过坐标原点O ，若直线PA PB ，的斜率乘积3PA PB k k ⋅=，则双曲线的离心率为 （ ）AB C ．2D【答案】C21．（温州市高三第三次适应性测试数学(理)试题（word 版） ）已知是双曲线14222=-y ax 的左焦点，双曲线右支上一动点P ，且x PD ⊥轴，D 为垂足，若线段PD FP -的最小值为52，则双曲线的离心率为 （ ）A ．53B ．52C ．25D ．5【答案】A22．（杭州市高三第二次教学质检检测数学（理）试题）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b ，A ，B 是双曲线的两个顶点.P 是双曲线上的一点，且与点B 在双曲线的同一支上.P 关于y 轴的对称点是Q 若直线AP ，BQ 的斜率分别是k 1，k 2，且k 1·k 2=45，则双曲线的离心率是 （ ）A ．355 B ．94C ．32D ．95【答案】C23．（温州市十校联合体高三上学期期末联考理科数学试卷）已知抛物线()022>=p px y 与双曲线()0,012222>>=-b a by a x 有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且x AF ⊥轴，则双曲线的离心率为 （ ）A ．12+B ．13+C ．215+ D ．2122+【答案】A24．（名校新高考研究联盟高三第一次联考数学（理）试题）已知P 为双曲线C ：221916x y -=上的点，点M满足1OM =，且0OM PM ⋅=，则当PM 取得最小值时的点P 到双曲线C 的渐近线的距离为 （ ）A ．95B ．125C ．4D ．5【答案】B 二、填空题25．（永康市高考适应性考试数学理试题 ）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A ，B 两点，且与其中一条渐近线垂直，若FB AF 4=，则该双曲线的离心率为____;【答案】210526．（乐清市普通高中高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）设O 为坐标原点，B A ,是双曲线1322=-y x 的渐近线上异于O 的两点，且2||||==OB OA ，则→→⋅OB OA =_______.【答案】2±，-4 27．（金丽衢十二校高三第二次联合考试理科数学试卷）我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“黄金搭档”.已知1F 、2F 是一对“黄金搭档”的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当6021=∠PF F 时，这一对“黄金搭档”中双曲线的离心率是_______【答案】328．（温州市高三第二次模拟考试数学（理）试题）己知F 1，F 2分别是双曲线1222=-b y x 的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若 |AF 2|=2且∠F 1AF 2=450.廷长AF 2交双曲线右支于点B ，则ΔF 1AB 及的面积等于___【答案】429．（建人高复高三第五次月考数学（理）试题）已知A 、B 分别是双曲线22:4C x y -=的左、右顶点，则P 是双曲线上在第一象限内的任一点，则PBA PAB ∠-∠=__________.【答案】略30．（五校联盟高三下学期第一次联考数学（理）试题）设双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，左右顶点分别为12,A A ，过F 且与双曲线C 的一条渐近线平行的直线l 与另一条渐近线相交于P ，若P 恰好在以12A A 为直径的圆上，则双曲线的离心率为______________.【答案】231．（宁波市高三第一学期期末考试理科数学试卷）如果双曲我的两个焦点分别为12(0,3)(0,3)F F 和，其中一条渐近线的方程是22y x =，则双曲线的实轴长为______. 【答案】2332．（诸暨中学高三上学期期中考试数学（理）试题）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A ，x 轴上有一点(2,0)Q a ，若双曲线上存在点P ，使AP PQ ⊥，则双曲线的离心率的取值范围是____________【答案】33．（温州市高三第一次适应性测试理科数学试题）已知双曲线22221x ya b-=的一条渐近线方程为2y x=，则其离心率为____【答案】34．（五校联盟高三下学期第二次联考数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的渐近线与圆22420x y x+-+=有交点，则该双曲线的离心率的取值范围是___________.【答案】。

高二数学双曲线练习题1．双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程是( A )A ．y ＝±32xB ．y ＝±23xC ．y ＝±94xD ．y ＝±49x2．双曲线2216436x y -=上一点P 到右焦点的距离是 8，则P 到左焦点的距离是 ( B )A.325 B. 965C. 8D. 27 3.已知双曲线的实轴长为6，焦距为10，则该双曲线的标准方程为（ C ）A.116922=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x 或116922=-x y D. 191622=-y x 或116922=-y x 4、若双曲线标准方程为1222=-y x ，则双曲线的离心率是( C )A.22 B.23 C.26 D.1 5．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ C ） A ．椭圆 B ．线段 C ．双曲线 D ．两条射线6.双曲线14322=-y x 的实轴长和虑轴长分别是( A )A. 32，4B.4，32C.3，4D. 2，37.双曲线221102x y -=的焦距为( D ) A. 32B. 42C. 33D. 438. 双曲线2214x y k-=的离心率e ∈(1, 2)，则k 的取值范围是 ( D ) A .(0, 6) B . (3, 12) C . (1, 3) D . (0, 12)9. “ab<0”是“方程ax 2+by 2=c 表示双曲线”的 ( B )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件10.双曲线221169x y -=上的点P 到点(5, 0)的距离是15则点P 到点(－5, 0)的距离是( D ) A.7 B.23 C.5或25 D.7或2311.已知双曲线22:1916x y C -=的左右焦点分别为F 1、F 2 ，P 为C 的右支上一点，且||||212PF F F =，则△PF 1F 2 的面积等于( C )（A ）24 （B ）36 （C ）48 （D ）9612．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A ．(22，0)B ．(52，0)C ．(62，0) D ．(3，0)13．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.12 B ．1或－2C ．1或12D ．1 解析：选D.依题意：⎩⎪⎨⎪⎧a >0，0<a 2<4，4－a 2＝a ＋2.解得a ＝1.故选D.14．双曲线x 216－y 29＝1上一点P 到点(5,0)的距离为15，那么该点到点(－5,0)的距离为( )A ．7B ．23C ．5或25D ．7或23解析:选D.(－5,0)和(5,0)都是双曲线的焦点，||PF 1|－|PF 2||＝8，∴|PF 1|＝15＋8或15－8，即7或23.15．若双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a 等于( )A ．2 B. 3 C.32D ．116．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( )A ．－14B ．－4C ．4 D.14解析:选A.由双曲线方程mx 2＋y 2＝1，知m <0，则双曲线方程可化为y 2－x 2－1m＝1，则a 2＝1，a ＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b ＝2，∴－1m ＝b 2＝4，∴m ＝－14，故选A.17．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( ) A.y 24－x 24＝1 B.x 24－y 24＝1 C.y 24－x 29＝1 D.x 28－y 24＝1解析：选A.2a ＋2b ＝2²2c ，即a ＋b ＝2c ，∴a 2＋2ab ＋b 2＝2(a 2＋b 2)，∴(a －b )2＝0，即a ＝b .∵一个顶点坐标为(0,2)，∴a 2＝b 2＝4，∴y 2－x 2＝4，即y 24－x 24＝1.18．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率e 为( )A ．2B ．3 C.43 D.53解析：选D.依题意，2a ＋2c ＝2²2b ，∴a 2＋2ac ＋c 2＝4(c 2－a 2)，即3c 2－2ac －5a 2＝0，∴3e 2－2e －5＝0，∴e ＝53或e ＝－1(舍)．故选D.19．(2009²宁夏、海南)双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( )A ．2 3B ．2 C. 3D ．1[答案] A [解析] 本题主要考查双曲线的几何性质．由双曲线x 24－y 212＝1得焦点坐标为(±4,0)，渐近线方程为3x ±y ＝0，∴焦点到渐近线的距离d ＝|43|3＋1＝2 3. 20．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1C.y 24－x 28＝1D.x 28－y 24＝1[答案] B[解析] 顶点为(0,2)，∴a ＝2且焦点在y 轴上，又实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，∴有4＋2b ＝2²2c ，且4＋b 2＝c 2，解得b ＝2.21．如果双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( )A. 2 B ．2 C. 3 D ．2 2[答案] A[解析] ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，又两渐近线互相垂直，所以a ＝b ，c ＝a 2＋b 2＝2a ，e ＝ca＝ 2. 二、填空题22.如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的短轴长为___52_____23.．等轴双曲线的一个焦点是F 1（4，0），则它的标准方程是12222=-y x24.椭圆22143x y +=上一点P 到左焦点的距离为3，则P 到右焦点的距离为___7_____ 25.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线的离心率为_5____26.若曲线22141x y k k+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是 (,4)(1,)-∞-+∞ 。

教师日期学生课程编号课型课题椭圆与双曲线教学目标1．理解椭圆的定义，会推导椭圆的标准方程；掌握两种类型的椭圆的标准方程（焦点位于x轴或y 轴）2．掌握椭圆的几何性质和应用3.掌握双曲线的定义和焦距顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程4掌握椭圆的几何性质和应用5.直线被椭圆所截得的弦长公式；与椭圆有关的弦长、中点、垂直等问题的一些重要解题技巧；6.在最值、定值等问题中进一步树立数形结合、函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想教学重点1．椭圆和双曲线的几何性质和应用；2.直线被椭圆所截得的弦长公式；与椭圆有关的弦长、中点、垂直等问题的一些重要解题技巧；3.在最值、定值等问题中进一步树立数形结合、函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想教学安排版块时长1 知识梳理152 例题解析503 巩固训练354 师生总结105 课后练习10椭圆与双曲线1．已知点A （2，3）、B （1，5）则直线AB 的倾角为（ ）A.arctan2B.arctan(－2)C.2π+arctan2D. 2π+arctan 21【难度】★ 【答案】D2．下列四个命题中的真命题是（ ）A.经过定点000(,)P x y 的直线都可以用方程00()y y k x x -=-．B.经过任意两个不同的点111222(,),(,)P x y P x y 的直线方程都可以用方程121121()()()()y y x x x x y y --=--表示． C.不经过原点的直线方程都可以用方程1x ya b+=表示．D.经过定点(0,)A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示．【难度】★ 【答案】B3．在ABC ∆中，a 、b 、c 为三内角所对的边长，且C 、B 、A sin lg sin lg sin lg 成等差数列，则直线a A y A x =+sin sin 2和c C y B x =+sin sin 2的位置关系是．【难度】★★【答案】两直线重合4．设),(y x P 为圆1)1(22=-+y x 上任意一点，要使不等式m y x ++≥0恒成立，则m 取值范围是（）A ．m ≥0B ．m ≥12-C ．m ≥12+D ．m ≥21-【难度】★★ 【答案】B5．过圆522=+y x 内点⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,25P 有n 条弦，这n 条弦的长度成等差数列{}n a ，如果过P 点的圆的最短的弦长为1a ，最长的弦长为n a ，且公差)31,61(∈d ，那么n 的取值集合为 ．【难度】★★ 【答案】{}7,6,5热身练习一、椭圆1．椭圆定义：平面内到两个定点1F ，2F （12||2F F c =）的距离的和等于常数2(0)a a c >>的 点的轨迹叫做椭圆（ellipse ）．这两个定点1F ，2F 叫做椭圆的焦点（foci of anellipse ），两个焦点的距离12||2F F c =叫做焦距（distance between two foci ）．注意：若设动点为P ，则 （1）当1212||||||PF PF F F +>时，动点P 的轨迹是椭圆． （2）当1212||||||PF PF F F +=时，动点P 的轨迹是线段．（3）当1212||||||PF PF F F +<时，动点P 的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程及性质（Standard equations and properties of ellipse ）：焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程222222201a b x y b c a a b >>⎛⎫+= ⎪+=⎝⎭222222201a b y x b c a a b >>⎛⎫+= ⎪+=⎝⎭图形焦点坐标 1(,0)F c -，2(,0)F c 1(0,)F c ，2(0,)F c -焦距 2c2c范围 a x a -≤≤，b y b -≤≤b x b -≤≤，a y a -≤≤对称性 x 轴、y 轴和原点对称顶点坐标 (,0)a ，(,0)a -，(0,)b ，(0,)b -(,0)b ，(,0)b -，(0,)a ，(0,)a -两轴 长轴长2a ，短轴长2b3．椭圆的其他性质：①椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．②椭圆上到焦点距离最大、最小的点是长轴的两个端点，最大距离是a c +，最小距离是a c -．知识梳理③设椭圆的两个焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上的点，当点P 在短轴的端点时12F PF ∠最大．④椭圆的焦点的光学性质：从任一焦点发出的光线通过椭圆面反射后，反射光线经过另一焦点． 4．椭圆中的相关结论：①若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是； ②若在椭圆外 ，则过作椭圆的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是； ③ 椭圆 ()的左右焦点分别为，点为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为； ④是椭圆的不平行于对称轴的弦，为的中点，则，即； ⑤已知椭圆，直线交椭圆于，两点，点是椭圆上异于，的任一点，且，均存在，则．⑥过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点F 作直线交y 轴于点P ，交椭圆于点M 和N ，若1PM MF λ=u u u u r u u u u r ，2PN NF λ=u u u r u u u r ，则21222a bλλ+=-．5．直线与椭圆的位置关系(The positional relation between a line and an ellipse) 联立方程，看∆． 0∆>21||k a ∆+（其中a 为二次项系数）； 0∆=，直线与椭圆相切，也即直线与椭圆只有一个公共点；0∆<，直线与椭圆无交点．000(,)P x y 22221x y a b +=0P 00221x x y ya b +=000(,)P x y 22221x y a b +=0P 12P P 、12P P 00221x x y ya b+=22221x y a b+=0a b >>12,F F P 12F PF γ∠=122tan 2F PF S b γ∆=AB 22221x y a b+=00(,)M x y AB 22OM AB b k k a ⋅=-0202y a x b K AB -=22221x y a b+=y kx =A B P A B PA k PB k PA k ⋅PB k 22b a=-二、双曲线1．双曲线定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（12F F <）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola ），这两个定点叫双曲线的焦点（foci of a hyperbola ）．符号语言：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．当|MF 1|－|MF 2|＝2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的双曲线的一支；当|MF 1|－|MF 2|＝－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的双曲线的一支；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹为分别以F 1，F 2为端点的两条射线；当2a >|F 1F 2|时，动点轨迹不存在．2．双曲线标准方程的两种形式：焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程222222201a b x y b a c a b >⎛⎫-= ⎪+=⎝⎭， 222222201a b y x b a c a b >⎛⎫-= ⎪+=⎝⎭， 图形焦点坐标 1(,0)F c -，2(,0)F c 1(0,)F c -，2(0,)F c焦距 2c 2c范围 ,x a y R ≥∈ ,y a x R ≥∈对称性 x 轴、y 轴和原点对称顶点坐标 (,0)a ，(,0)a -(,0)b ，(,0)b -两轴 实轴长2a ，虚轴长2b渐近线x ab y ±= a y x b=±3．双曲线中的相关结论：①若在双曲线（）上，则过的双曲线的切线方程是； x yM F 12F xyMF 12F 000(,)P x y 22221x y a b-=0,0a b >>0P 00221x x y ya b-=②若在双曲线（）外 ，则过作双曲线的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是； ③双曲线（）的左右焦点分别为，点P 为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为；④是双曲线（）的不平行于对称轴的弦，为的中点，则，即；⑤已知双曲线，直线y kx =交双曲线于A ，B 两点，点是双曲线上异于，的任一点，且，均存在，则．⑥过双曲线22221x y a b-=的右焦点F 作直线交y 轴于点P ，交双曲线于点M 和N ，若1PM MF λ=u u u u r u u u u r ，2PN NF λ=u u u r u u u r ，则21222a bλλ+=．4．直线0=++C By Ax 和双曲线12222=-by a x 的位置关系：将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的方程．（1）若方程为一元一次方程，则直线和双曲线的的渐近线平行，直线和双曲线有一个交点，但 不相切不是切点；（2）若为一元二次方程，则 ①若0>∆，则直线和双曲线相交，有两个交点(或两个公共点)； ②若0∆=，则直线和双曲线相切，有一个切点；③若0∆<，则直线和双曲线相离，无公共点．5．弦长公式：直线:l y kx b =+与椭圆或双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，相交于)()(2211y x B y x A ，，，则 2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=．000(,)P x y 22221x y a b-=0,0a b >>0P 12P P 、12P P 00221x x y ya b-=22221x y a b-=0,0a b >>12,F F 12F PF γ∠=122t 2F PF S b co γ∆=AB 22221x y a b -=0,0a b >>00(,)M x y AB 22OM AB b K K a ⋅=0202y a x b K AB =22221x y a b-=P A B PA k PB k PA k ⋅PB k 22b a=一、椭圆1、椭圆的方程及其基本量运算【例1】根据下列条件分别求椭圆的标准方程．（1）对称轴是坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成正三角形，焦点到椭圆的最短距离是3； （2）椭圆中心在原点，对称轴是坐标轴，长轴长是短轴长的3倍，并且过点(3,0)-． 【难度】★【答案】（1）2213627x y +=或2213627y x +=；（2）2219x y +=或221819y x +=． 【例2】已知方程222222(2)60k x k y k k -++--=表示椭圆，求实数k 的取值范围． 【难度】★★【答案】(2,2)(2,2)(2,3)k ∈--U U【巩固训练】1．（1）ABC △周长为20，(4,0)B -，(4,0)C ，则点A 的轨迹方程为 ；（2）方程22132x y k k+=++表示椭圆，则k 的取值范围是 ； （3）长轴长为短轴长的2倍，且过点(2,3)的椭圆标准方程为 ． 【难度】★【答案】（1）221(0)3620x y y +=≠； （2）2k >-； （3）2214010x y +=或22125254y x += 2．已知：焦点在x 轴上的椭圆焦点与短轴两端点的连线互相垂直，求此焦点与长轴较近的端点距离为105-的椭圆的标准方程． 【难度】★★【答案】221105x y += 例题解析2、椭圆定义的应用【例3】点P 在椭圆22143x y +=上运动，Q 、R 分别在两圆22(1)1x y ++=和22(1)1x y -+=上运动，则||||PQ PR +的最大值为 ，最小值为 ． 【难度】★★ 【答案】6，2【解析】1(1,0)C -，11r =，2(1,0)C -，21r = 把点P 想成定点，max 111(||)||||1PQ PC r PC =+=+， max 222(||)||||1PR PC r PC =+=+ 又12||||24PC PC a +==，∴max (||||)6PQ PR +=； 类似，min 12(||||)||1||12PQ PR PC PC +=-+-=．【例4】椭圆2221x y a+=（a 定值，且1a >）的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，FAB △周长的最大值是8，则椭圆上的点与两焦点连线的最大夹角为 ．【难度】★★ 【答案】120︒【巩固训练】1．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点P 满足12F PF θ∠=（1F ，2F 为椭圆的两个焦点），求12F PF △的面积．【难度】★★ 【答案】2tan2b θ2．已知(1,1)A 为椭圆22195x y +=内一点，1F 为椭圆左焦点，P 为椭圆上一动点，则1||||PF PA +的最大值是 ，最小值是 ． 【难度】★★【答案】62+，62-3．椭圆22143x y +=的右焦点为F ，点P 是椭圆上一动点，点M 是圆22:(3)1C x y +-=上一动点，求||||PM PF +的最大值及此时点P 的坐标． 【难度】★★【答案】max (||||)510PM PF +=+，122103610,1313P ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭ 【解析】利用椭圆定义进行转化||||||4|'|4|||'|4|'|4|'|15|'|510PM PF PM PF PM PF MF CF CF +=+-=+-≤+≤++=+=+此时，122103610,1313P ⎛⎫+--⎪ ⎪⎝⎭3、椭圆的综合问题【例5】在椭圆2214x y +=上求一点P ，使它到直线:2100l x y ++=的距离最大（小），并求最大（小）值． 【难度】★★ 【答案】当22,2P ⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭时，min 210255d =-；当22,2P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，max 210255d =+ 【例6】已知P 为椭圆2214x y +=上任意一点，(,0)()M m m ∈R ，求PM 的最小值． 【难度】★★【答案】22341,[2,2]433m m PM x x ⎛⎫=-+-∈- ⎪⎝⎭，2min 3|2|293333223|2|2m m m PM m m m ⎧+<-⎪⎪⎪-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩【巩固训练】1．P 是椭圆224312x y +=上任一点，1F 、2F 是它的两个焦点，则12F PF ∠的最大值是（ ）．A ．32arctan 4B ．12arcsin 4C ．3πD ．23π【难度】★★ 【答案】C2．22(40)(40)1259x y ABC A B C C ∆-+=的顶点是，、，、，又是椭圆上异于长轴端点的点，则=+CBA sin sin sin （ ）A ．2B ．54 C D ．12 【难度】★★ 【答案】B3．设点)0,(m M 在椭圆1121622=+y x 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当MP u u u r 的模最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．二、双曲线1、双曲线的方程和基本量计算【例7】点P 在22125144x y -=上，若116PF =，则2PF = ．【难度】★ 【答案】26【例8】平面直角坐标系xoy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2C x py =()0p >交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的ca的值为 ．【巩固训练】1．若x k y k22211-+-=表示焦点在y 轴上的双曲线，那么它的半焦距c 的取值范围是（ ）A. ()1，+∞B. （0，2）C. ()2，+∞D. （1，2）【难度】★★ 【答案】A2．0ab <时，方程22ax by c +=表示双曲线的是（ ）A. 必要但不充分条件B. 充分但不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【难度】★★ 【答案】A【解答】若22ax by c +=表示双曲线，则一定有0ab <；若000c ab c ≠⎧<⎨=⎩当时，表示双曲线当时，表示直线∴选A2、双曲线定义的应用【例9】圆C 1：()x y ++=3122和圆C 2：()x y -+=3922，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程. 【难度】★★A．①②B．①③C．①④D．③④【难度】★★【答案】A【巩固训练】1．设P是双曲线22xa-219y=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y-=，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若13PF=，则2PF等于．【难度】★★【答案】72．已知点，，，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为（ ）A ．B ．C ．（x > 0）D ． 【难度】★ 【答案】B【解析】，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的右支.3．设1F 、2F 是双曲线C ：12222=-by a x （0>a ，0>b ）的两个焦点，P 是C 上一点，若a PF PF 6||||21=+，且△21F PF 最小内角的大小为︒30，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）A ．02=±y xB ．02=±y xC ．02=±y xD ．02=±y x 【难度】★★ 【答案】B【解析】12112112||||2()||=4||||6||=22||PF PF a PF aPF PF a PF a c F F -=⎧⎧⇒⎨⎨+=<=⎩⎩双曲线定义∵△21F PF 最小内角的大小为︒30，∴1230PF F ∠=︒ 易知3c a =，∴2b a =，∴渐近线方程为2by x x a=±=±3、双曲线的综合问题【例11】已知12,F F 分别为双曲线C ：221927x y -=的左、右焦点，点C A ∈，点M 的坐标为)0,2(，AM 为21AF F ∠的平分线，则2AF = .【难度】★★ 【答案】6【解析】 根据角平分线的性质，211212==MF MF AF AF ，又621=-AF AF ，故26AF =.(3,0)M -(3,0)N (1,0)B C MN B M N C P P 221(1)8y x x -=<-221(1)8y x x -=>1822=+y x 221(1)10y x x -=>2=-=-BN BM PN PM P M N【例12】如图，已知点P 为双曲线221169x y -=右支上一点，12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，I 为21F PF ∆的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ∆∆∆=+成立，则λ的值为 .【例13】已知双曲线的焦点在x 轴上，且过点)0,1(A 和)0,1(-B ，P 是双曲线上异于A 、B 的任一点，如果APB ∆的垂心H 总在此双曲线上，求双曲线的标准方程.【巩固训练】1．已知椭圆和双曲线有公共的焦点， （1）求双曲线的渐近线方程；（2）直线过焦点且垂直于x 轴，若直线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为，求双曲线的方程. 1532222=+n y m x 1322222=-n y m x l l 43三、椭圆与双曲线的综合问题1、椭圆双曲线混合问题【例14】曲线11622=--ky k x 与曲线22525922=+y x 的焦距相等的充要条件是（ ） A ．016≠<k k 且 B ．160≠>k k 且 C ．160<<k D ．160><k k 或 【难度】★★ 【答案】A【例15】已知曲线C ：22||||1x x y y a b-=，下列叙述中错误的是（ ）． A ．垂直于x 轴的直线与曲线C 只有一个交点B ．直线y kx m =+（,k m ∈R ）与曲线C 最多有三个交点 C ．曲线C 关于直线y x =-对称D ．若111(,)P x y ，222(,)P x y 为曲线C 上任意两点，则有12120y y x x ->-【难度】★★ 【答案】C【巩固训练】1．如果函数2y x =-的图像与曲线22:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实 数λ的取值范围是（ ）A ．[1,1)-B ．{}1,0-C ．(,1][0,1)-∞-UD ．[1,0](1,)-+∞U 【难度】★★【答案】A 【解析】①两平行直线：0λ=（符合） ②圆：1λ=（符合） ③椭圆ⅰ）焦点在x 轴的椭圆： (1,)λ∈+∞（不符合） ⅱ）焦点在y 轴的椭圆： (0,1)λ∈（符合） ④双曲线 ⅰ）等轴双曲线：1λ=-（符合）ⅱ）渐近线较陡： (1,0)λ∈-（符合） ⅲ）渐近线较平：(,1)λ∈-∞-（不符合）2、直线与椭圆【例16】设1F ，2F 是椭圆22132x y +=的左、右焦点，弦AB 过2F ，求1ABF △的面积的最大值． 【难度】★★ 【答案】433【例17】已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b >>的左焦点为(,0)F c -，33c a =，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆2224b x y +=截得的线段的长为c ，43||=3FM ．（1）求直线FM 的斜率； （2）求椭圆的方程；（3）设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围． 【难度】★★【巩固训练】1．过点(0,2)P 作直线l 与椭圆2212x y +=交于A 、B 两点，O 为坐标原点， （1）当AOB △面积为23时，求直线l 的方程； （2）当AOB △面积取得最大值时，求直线l 的方程．2．已知椭圆2222:1x y C a b+= （0>>b a ）的一个焦点坐标为(1,0)，且长轴长是短轴长的2倍．（1）求椭圆C 的方程；（2） 设O 为坐标原点，椭圆C 与直线1y kx =+相交于两个不同的点A 、B ，线段AB 的中点为P ，若直线OP 的斜率为1-，求△OAB 的面积．3、直线与双曲线【例18】在双曲线1222=-y x 上，是否存在被点)1,1(M 平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.这里16240∆=-<，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件. 所以不存在符合题设条件的直线.【例19】已知双曲线2213y x -=，曲线上存在关于直线:4l y kx =+对称的两点，求k 的范围. 【难度】★★ 【答案】3113(,)(,0)(0,)(,)3223-∞--+∞U U U 【解析】当0k =时，不满足条件设1122(,),(,)A x y B x y 及其中点坐标为00(,)x y ，则22112222113113x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩:相减2121212113y y x x x x y y ++⋅=--即 0031x k y -=，又004y kx =+所以001,3x y k =-= )1(13:kx k y l AB +-=-∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+-=13131222y x k x k y 联立03)13()13(2)13(22222=----+-⇒k x k k x k 0]3)13)[(13(4)]13(2[22222>+--+-=∆kk k k Θ 2211043k k ⇒<<>或),33()21,0()0,21()33,(+∞---∞∈∴Y Y Y k【例20】已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为，右顶点为.（1）求双曲线C 的方程（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点A 和B 且2OA OB ⋅>u u u r u u u r （其中为原点），求k 的取值范围. 【难度】★★【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设双曲线方程为,由已知得，再由，得()2,0(3,0:2=+l y kx O 2213-=x y 33(1,),133⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭U 22221-=x y a b3,2==a c 2222+=a b 21=b【巩固训练】1．直线1:+=kx y m 和双曲线122=-y x 的左支交于B A ,两点，直线过点)0,2(-P 和线段AB 的中点M ，求在y 轴上的截距b 的取值范围．l l2．已知双曲线方程x y 22421-= （1）过点)1,1(M 的直线交双曲线于B A ,两点，若M 为AB 的中点，求直线AB 的方程；（2）是否存在直线l ，使点N 112，⎛⎝⎫⎭⎪为直线l 被双曲线截得的弦的中点，若存在求出直线l 的方程，若不存在说明理由．（1）根据条件确定椭圆双曲线的标准方程．在解这类问题时，常常先明确椭圆的焦点是在哪一条坐标轴上，选择相应的标准方程，根据题意，利用待定系数法确定相关系数；或者利用定义法求得方程．（2）灵活运用定义解决有关问题，当某点在已知椭圆上时，不仅意味着点的坐标满足椭圆的方程，而且该点到两个焦点的距离和等于椭圆的长轴长，所以在处理与焦点相关的长度问题时多想想定义．（3）在处理与圆锥曲线相关的最值问题时通常化归成求函数最值．（4）在处理弦长问题时注意应用弦长公式．（5）点差法解决与中点相关的问题．（6）注意“设而不求”在解析几何中的应用：不需解方程只需通过韦达定理中根与系数的关系解决问题，在此，要注意韦达定理之前首先要保证有解，要考虑判别式大于零．（7）在处理与椭圆双曲线性质相关的综合问题时，不仅常常应用数形结合法、方程思想，而且还常用到消元思想、类比思想．1．已知方程22132x yk k+=+-表示椭圆，则k的取值范围是．【难度】★【答案】113,,222⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U课后练习反思总结2．经过点(2,3)-且与椭圆229436x y +=有公共焦点的椭圆方程为 ． 3．已知21,F F 是双曲线1222=-y x 的左、右焦点，P 、Q 为右支上的两点，直线PQ 过2F ，且倾斜角为α，则PQ QF PF -+11的值为 ． 4．已知(0,3)A -、(0,3)B 两点，若动点P 满足||||6PA PB +=，则点P 的轨迹为（ ）． A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．x 轴上的线段D ．y 轴上的线段【难度】★★ 【答案】D5．椭圆221164x y +=上的点到直线20x y +=的最大距离是 ． 6．如果过椭圆2249144x y +=内的点(3,2)P 的弦恰好以P 为中点，那么这条弦所在直线的方程为 ．8．若椭圆1252222=-+m y m x 上至少存在一点P ，使得它与两焦点连线互相垂直，则正实数m 的 取值范围为____________．9．设点P 到点)0,1(-M ，)0,1(-N 距离之差为m 2，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围.10．已知定点)0,(a A 和椭圆8222=+y x 上的动点),(y x P ．（1）若2=a 且223||=PA ，计算点P 的坐标； （2）若30<<a 且||PA 的最小值为1，求实数a 的值．11．经过双曲线)0>,0>(1=2222b a b y a x －上任一点M ，作平行于两渐近线的直线，与渐近线交于Q P ,两点，则平行四边形OPMQ 的面积S 为定值，ab S 21=．。