四川省成都市第七中学2020届高三数学零诊模拟试题理(含解析)

2020届四川省成都市第七中学高三上学期一诊模拟数学（理）试题一、单选题1．复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作Im()z b =，则3Im 1i i +⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ ） A ．-1 B ．0C ．1D ．2【答案】A2．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．3B ．6-C ．10D ．15-【答案】C3．关于函数()tan f x x =的性质，下列叙述不正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为2π B ．()f x 是偶函数C ．()f x 的图象关于直线()2k x k Z π=∈对称 D ．()f x 在每一个区间(,)()2k k k Z πππ+∈内单调递增【答案】A4．已知0,0a b >>，则“1a ≤且1b ≤”是“2a b +≤且1ab ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A5．如果21nx ⎫-⎪⎭的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C6．在约束条件：1210x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩下，目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为1，则ab 的最大值等于（ ） A ．12B ．38C ．14D ．18【答案】D7．设{a n }是有正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝（ ） A ．152B ．314C ．334D ．172【答案】B8．用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有（ ）A ．288个B ．306个C ．324个D ．342个 【答案】C9．已知函数()f x 对x R ∀∈都有()(4)f x f x =-，且其导函数()f x '满足当2x ≠时,(2)()0x f x '->，则当24a <<时，有（ ） A ．()()22(2)log af f f a <<B ．()()2log (2)2af a f f <<C ．()()2log 2(2)af a f f <<D ．()()2(2)log 2af f a f <<【答案】D10．对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，|349||34|x y x y a --+-+的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[6,)+∞ B ．[4,6]-C ．(4,6)-D ．(,4]-∞-【答案】A11．若a r ，b r ，c r 满足，||||2||2a b c ===r r r ，则()()a b c b -⋅-r rr r 的最大值为（ ）A ．10B ．12C ．53D ．62【答案】B12．已知棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -,点E 是棱AB 的中点，12CF FC =u u u r u u u u r，动点P 在正方形11AA DD （包括边界）内运动，且1PB P 面DEF ，则PC 的长度范围为（ ） A ．[13,19] B ．335,19⎡⎤⎢⎥⎣ C ．335,13⎡⎤⎢⎥⎣ D ．339,19⎡⎤⎢⎥⎣ 【答案】B【解析】如图:先作出过1B P 且与平面DEF 平行的平面,可知点P 的轨迹为QN ,然后根据平面几何知识求出DP 的最小值和最大值,根据勾股定理可求出PC 的取值范围. 【详解】 如图所示:在1AA 上取点Q ,使得112AQ QA =,连接1B Q ,因为12CF FC =u u u r u u u u r ,所以1//B Q DF ;取11C D 的中点M ,连接1B M ,因为E 为AB 的中点,所以1//B M DE ; 因此平面1//B QM 平面DEF ,过M 作//MN DF 交1DD 于N ,则四点1,,,B Q N M 共面,且123DN DD =, 因为1//B P 平面DEF ,所以点P 在线段QN 上运动, 连接DP ,根据正方体的性质可知CD DP ⊥, 所以22PC CD DP +,在平面QADN 中,1=AQ ,3AD =,2DQ =,所以23110DN =+=21310DQ =+=,所以点D 到QN 的距离为132310215102⨯⨯=⨯, 所以DP 的最小值为310,最大值为10, 所以PC 的最小值为22310335()355+=,最大值为22(10)319+=. 所以PC 的取值范围是335,195⎡⎤⎢⎥⎣. 故选:B 【点睛】本题考查了作几何体的截面,考查了平面与平面平行的判定,考查了立体几何中的轨迹问题,关键是作出点P 的运动轨迹,属于中档题.二、填空题13．命题“2,1x N x ∀∈>”的否定为__________．” 【答案】2,1x N x ∃∈≤【解析】全称命题“,()x M p x ∀∈”的否定是存在性命题“,()x M p x ∃∈⌝”，所以“2,1x N x ∀∈>”的否定是“2,1x N x ∃∈≤”． 14．在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数,若样本容量为1600, 则中间一组（即第五组）的频数为 ▲ . 【答案】360 【解析】略15．设、分别是抛物线的顶点和焦点，是抛物线上的动点，则的最大值为__________. 【答案】【解析】试题分析：设点的坐标为，由抛物线的定义可知，，则，令，则,,所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为.【考点】1.抛物线的定义及几何性质；2.基本不等式.【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义及几何性质、基本不等式，属中档题；求圆锥曲线的最值问题，可利用定义和圆锥曲线的几何性质，利用其几何意义求之，也可根据已知条件把所求的问题用一个或两个未知数表示，即求出其目标函数，利用函数的性质、基本不等式或线性规划知识求之.16．已知，，则的最小值为．【答案】【解析】试题分析：因为，所以，则（当且仅当，即时，取等号）；故填．【方法点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最值问题，属于难题；解决本题的关键是消元、裂项，难点是合理配凑、恒等变形，目的是出现基本不等式的使用条件（正值、定积），再利用基本不等式进行求解，但要注意验证等号成立的条件.【考点】基本不等式．三、解答题17．设的内角、、所对的边分别为、、,已知,且.（1）求角的大小;（2）若向量与共线, 求的值.【答案】(1);(2)。

2020届四川省成都市第七中学高中高三高中毕业班三诊模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}1,0,1,2,3,4A =-，{}2|,B y y x x A ==∈，则A B =I （ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1,4C ．{}1,0,1,2-D ．{}1,0,1,4-【答案】B【解析】根据集合A 求得集合B ，由此求得A B I . 【详解】由于{}1,0,1,2,3,4A =-，所以对于集合B ，y 的可能取值为()222222111,00,24,39,416-======，即{}0,1,4,9,16B =. 所以{}0,1,4A B =I . 故选：B 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2．已知复数11iz =+，则z =（ ）A ．2B ．1CD ．2【答案】A【解析】首先利用复数除法运算化简z ，再求得z 的模. 【详解】依题意()()()11111122i z i i i ⋅-==-+⋅-，所以z ==. 故选：A 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题. 3．设函数()f x 为奇函数，当0x >时，()22f x x =-，则()()1ff =（ ）A ．-1B ．-2C ．1D ．2【答案】C【解析】根据奇函数的性质以及函数()f x 的解析式，依次求得()1f ，()()1f f 的值.【详解】函数()f x 为奇函数，()21121f =-=-，()()()()()11111ff f f =-=-=--=.故选：C 【点睛】本小题主要考查奇函数的性质，属于基础题.4．已知单位向量1e u r ，2e u u r 的夹角为23π，则122e e -=u r u u r （ ）A ．3B ．7C D【答案】D【解析】利用平方再开方的方法，结合已知条件以及向量运算，求得122e e -u r u u r .【详解】依题意，122e e -==u r u u r==故答案为：D 【点睛】本小题主要考查平面向量模和数量积的运算，属于基础题.5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为3y x =±，则双曲线的离心率是（ ）A ．BC ．10D ．109【答案】A【解析】由渐近线求得b a ，由双曲线的离心率c e a ==. 【详解】Q 双曲线()222210,0x y a b a b-=>> ∴其焦点在x 轴上根据焦点在x 轴上的渐近线为：by x a=±又Q 该双曲线的渐近线方程为3y x =±，∴3ba=， ∴双曲线的离心率2211310c b e a a ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭故选：A. 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，涉及双曲线的渐近线方程，考查了分析能力和计算能力，属于基础题..6．已知等比数列{}n a 中，10a >，则“14a a <”是“35a a <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】结合等比数列通项公式可求得q 的范围，可验证充分性和必要性是否成立，由此得到结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由14a a <得：311a a q <，又10a >，31q ∴>，解得：1q >，243115a a q a q a ∴=<=，充分性成立；由35a a <得：2411a q a q <，又10a >，42q q ∴>，解得：1q >或1q <-， 当1q <-时，3410a a q =<，41a a ∴<，必要性不成立.∴“14a a <”是“35a a <”的充分不必要条件.故选：A . 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，涉及到等比数列通项公式的应用，属于基础题. 7．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（ ）A ．3?i ≤B ．4?i ≤C ．5?i ≤D ．6?i ≤【答案】C【解析】根据程序框图的运行，循环算出当31S =时，结束运行，总结分析即可得出答案. 【详解】由题可知，程序框图的运行结果为31， 当1S =时，9i =； 当1910S =+=时，8i =； 当19818S =++=时，7i =； 当198725S =+++=时，6i =； 当1987631S =++++=时，5i =. 此时输出31S =. 故选：C. 【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.8．已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，下列命题：①若//αβ，//αγ，则//βγ；②若//a α，//a β，则//αβ；③若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥；④若a α⊥，b α⊥，则//a b .其中正确命题序号为( ) A ．②③ B ．②③④C ．①④D ．①②③【答案】C【解析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可. 【详解】根据面面平行的性质以及判定定理可得，若//αβ，//αγ，则//βγ，故①正确； 若//a α，//a β，平面,αβ可能相交，故②错误； 若αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能平行，故③错误； 由线面垂直的性质可得，④正确； 故选：C 【点睛】本题主要考查了判断直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题.9．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，6l ，95，则该数列的第8项为( ) A ．99 B ．131C ．139D ．141【答案】D【解析】根据题中所给高阶等差数列定义，寻找数列的一般规律，即可求得该数列的第8项； 【详解】Q 所给数列为高阶等差数列设该数列的第8项为x根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列， 得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列 即得到了一个等差数列，如图：根据图象可得：3412y -=，解得46y =9546x y -==解得：141x = 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了数列的新定义，解题关键是理解题意和掌握等差数列定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题． 10．已知log e a π=，ln eb π=，2e lnc π=，则（ ） A ．a b c << B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c b a <<【答案】B【解析】因为1b c +=，分别与中间量12做比较，作差法得到12b c <<，再由211log e log e 22a ππ==>，最后利用作差法比较a 、c 的大小即可.【详解】解：因为1b c +=，分别与中间量12做比较，2223111ln ln e ln 022e 2e b ππ⎛⎫-=-=< ⎪⎝⎭，432211e 1e ln ln e ln 0222c ππ⎛⎫-=-=> ⎪⎝⎭，则12b c <<，211log e log e 22a ππ==>，()112ln ln 20ln ln a c ππππ-=--=+->，所以b c a <<， 故选：B . 【点睛】本题考查作差法比较大小，对数的运算及对数的性质的应用，属于中档题.11．过正方形1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ，使得l 与直线1B C ，1C D 所成的角均为60︒，则这样的直线l 的条数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由11//B C A D 将问题转化为过点A 在空间作直线l ，使得l 与直线1A D ，1C D 所成的角均为60︒，1条在平面11AC D 内，2条在平面11AC D 外. 【详解】因为11//B C A D ，所以A 作直线l ，使得l 与直线1B C ，1C D 所成的角均为60︒，即过点A 在空间作直线l ，使得l 与直线1A D ，1C D 所成的角均为60︒.因为1160A DC ∠=o ，11A DC ∠的外角平分线与11,DA DC 所成的角相等，均为60o ，所以在平面11AC D 内有一条满足要求.因为11A DC ∠的角平分线与11,DA DC 所成的角相等均为30o ，将角平分线绕点D 向上转动到与面11AC D 垂直的过程中，存在两条直线与直线11,DA DC 所成的角都等于60o .故符合条件的直线有3条. 故选：C 【点睛】本题考查直线与直线所成的角，属于基础题.12．已知P 是椭圆2214x y +=上一动点，()2,1A-，()2,1B ，则cos ,PA PB u u u r u u u r 的最大值是（ ） A ．62- B ．17 C ．177- D ．1414【答案】A【解析】记,PA PB θ=u u u r u u u r，考虑θ90<o ，当直线AP 、BP 之中有一条直线的斜率不存在时tan 4AB AP θ==，当直线AP 、BP 斜率都存在时由tan 1AP BP AP BPk k k k θ-=+⋅求出tan θ关于y 的表达式，利用换元法和基本不等式即可求得tan θ的范围，再由21cos 1tan θθ=+转化为cos θ的范围即可求得最大值.【详解】记,PA PB θ=u u u r u u u r，若θ90>o ，则cos 0θ<；若90θ=o ，则cos =0θ；考虑θ90<o ，当直线AP 、BP 之中有一条直线的斜率不存在时，不妨设P 点位于左顶点，此时直线AP 斜率不存在，tan 4ABAPθ==； 当直线AP 、BP 斜率都存在时，设(,)P x y ，有2214x y +=，22114(1)22tan 1114(1)122AP BP AP BPy y k k y x x y y k k x y x x θ-----+-===--+⋅-+-+⋅+-2224(1)4(1)444(1)321y y y y y y --==--+---+，(11)y -≤≤令1[0,2]t y =-∈，则24tan 384tt t θ=-+-，当0t =时，tan 0θ=(此时1,,cos 1y θπθ===-)，当(0,2]t ∈，44tan 24443883t t t t θ==≥=⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭，当且仅当43t t =即t =时取等号，则cos θ===. 综上所述，cos ,PA PB u u u r uu u r的最大值是4.故选：A 【点睛】本题考查椭圆中的最值问题、椭圆的几何性质、直线的斜率，涉及换元法求函数的最值、基本不等式、同角三角函数的关系，属于较难题.二、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()112n n a S n -=+≥，则4a =______. 【答案】8【解析】根据()112n n a S n -=+≥可得11n n a S +=+，两式相减可得12n n a a +=(2)n ≥，利用递推关系即可求解. 【详解】()112n n a S n -=+≥Q ①，11n n a S +∴=+②，②-①得，12n n a a +=(2)n ≥，当2n =时，211112a S a =+=+=，3224a a ∴==， 4328a a ∴==，故答案为：8 【点睛】本题主要考查了数列的项n a 与前n 项和n S 的关系，考查了利用递推关系求数列的项，属于中档题.14．已知实数x ，y 满足线性约束条件117x y x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是______. 【答案】15【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用直线2y x z =-+在y 轴上截距的几何意义求最大值即可. 【详解】作出可行域如图，由2z x y =+可得2y x z =-+， 平移直线2y x =-，当直线过点A 时，2z x y =+在y 轴上截距最大，由17y x y =-⎧⎨+=⎩解得8,1x y ==-，即(8,1)A -,此时z 的最大值为28115z =⨯-=， 故答案为：15 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，数形结合，属于中档题. 15．如图是一种圆内接六边形ABCDEF ，其中BC CD DE EF FA ====且AB BC ⊥.则在圆内随机取一点，则此点取自六边形ABCDEF 内的概率是______.【答案】322π【解析】半径为1，利用三角形面积公式得出六边形ABCDEF ，最后由几何概型概率公式计算即可. 【详解】连接AC ，显然，AC 中点O 为ABC ∆的外接圆圆心，设半径为1 连接,,,FO EO DO BO由于BC CD DE EF FA ====，AC 为直径，则180454BOC ︒∠==︒，135AOB ∠=︒该六边形的面积为A F EFO EDO DCO BCO AO O B S S S S S S ∆∆∆∆∆∆=+++++12132551112122BCO AOB S S ∆∆=+=⨯⨯⨯⨯⨯=则此点取自六边形ABCDEF 内的概率为23232212P ππ==⋅故答案为：322π【点睛】本题主要考查了几何概型的概率计算，涉及了三角形面积公式的应用，属于中档题. 16．若指数函数x y a =（0a >且1a ≠）与三次函数3y x =的图象恰好有两个不同的交点，则实数a 的取值范围是______.【答案】31,e e ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】根据题意可得：由两个函数xy a =（0a >且1a ≠）与3y x =图像的交点转化为方程3x a x =的解，再由方程3ln ln xa x=转化为两函数()ln f x a =与3ln ()x g x x =图像的交点，再利用导数求出函数3ln ()x g x x=的单调性及最大值，从而可得到()ln f x a =的取值范围即可求出实数a 的取值范围. 【详解】 由题意可得：指数函数xy a =（0a >且1a ≠）与三次函数3y x =的图象 恰好有两个不同的交点，等价于方程3x a x =有两个不同的解，对方程3x a x =两边同时取对数得：3ln ln x a x =， 即ln 3ln x a x =，0x ≠Q ，3ln ln xa x∴=， 从而可转化为：()ln f x a =与3ln ()xg x x=在图像上有两个不同的交点， ()22133ln 31ln ()x x xx g x x x ⋅--'==当()0,x e ∈时，()0g x '>， 当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，所以函数()g x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， 所以函数()g x 在x e =处取到极大值，也是最大值，最大值为3e， 又因为当()0,1x ∈时，()0<g x ， 当()1,x ∈+∞时，()0>g x ， 所以30()ln f x a e<=≤， 解得31e a e<≤故答案为：31,e e ⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查了函数与方程以及利用导数求函数的最大值，考查了学生的计算能力，属于一般题.三、解答题17．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2tan sin a bA B=. （1）求角A 的大小；（2）若a =2b =，求ABC V 的面积.【答案】（1）3A π=（2 【解析】（1）根据正弦定理sin sin a b A B =和2tan sin a b A B=，得到2sin tan a aA A =，然后利用同角三角函数基本关系式化简求解.（2）根据a =2b =，3A π=，利用余弦定理求得c ，再代入1sin 2ABC S bc A =V 求解. 【详解】（1）由正弦定理知sin sin a b A B=，又2tan sin a bA B =，所以2sin tan a aA A=. 所以1cos 2A =，因为0A π<<， 所以3A π=.（2）因为7a =，2b =，3A π=，由余弦定理得2227222cos 3c c π=+-⨯⨯，即2230c c --=. 又0c >，所以3c =. 故ABC V 的面积为1133sin 23sin 2232ABC S bc A π==⨯⨯⨯=V . 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效，对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查（满分100分，最低分20分）.根据检查结果：得分在[]80,100评定为“优”，奖励3面小红旗；得分在[)60,80评定为“良”，奖励2面小红旗；得分在[)40,60评定为“中”，奖励1面小红旗；得分在[)20,40评定为“差”，不奖励小红旗.已知统计结果的部分频率分布直方图如下图：（1）依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数； （2）学校用分层抽样的方法，从评定等级为“优”、“良”、“中”、“差”的班级中抽取10个班级，再从这10个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核，记抽样复核的2个班级获得的奖励小红旗面数和为X ，求X 的分布列与数学期望()E X . 【答案】（1）中位数为70分.（2）见解析，()195E X =【解析】（1）根据频率分布直方图中中位数的计算公式计算即可.（2）先根据分层抽样确定10个班级中优”、“良”、“中”、“差”的班级的人数，再根据奖励小红旗的面数确定X 的可能取值，再根据古典概型概率计算公式求解X 每个取值对应的概率，最后列出分布列求解数学期望. 【详解】解：（1）得分[)20,40的频率为0.005200.1⨯=； 得分[)40,60的频率为0.010200.2⨯=； 得分[]80,100的频率为0.015200.3⨯=；所以得分[)60,80的频率为()10.10.20.30.4-++=. 设班级得分的中位数为x 分，于是600.10.20.40.520x -++⨯=，解得70x =. 所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为70分.（2）由（1）知题意“优”、“良”、“中”、“差”的频率分别为0.3，0.4，0.2，0.1.又班级总数为40.于是“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为12，16，8，4. 分层抽样的方法抽取的“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为3，4，2，1. 由题意可得X 的所有可能取值为1，2，3，4，5，6.11122102(1)45C C P X C ===，2112142101(2)9C C C P X C +===，1111132441011(3)45C C C C P X C +===， 2114232104(4)15C C C P X C +===，11432104(5)15C C P X C ===，232101(6)15C P X C ===. 所以X 的分布列为211144117119()12345645945151515455E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==. 所以X 的数学期望()195E X =.【点睛】本题考查频率分布直方图中中位数的计算，同时也考查了古典概型概率的计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题.19．如图，在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，22MB =，23MD =.（1）证明：AB ⊥平面ADM ； （2）若//CD AB 且23CD AB =，E 为线段BM 上一点，且2BE EM =，求直线EC 与平面BDM 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析（2）15. 【解析】（1）根据2AB AM ==，22MB =，利用勾股定理得到AB AM ⊥，再由AB AD ⊥，利用线面垂直的判定定理证明.（2）由2AM AD ==，23MD =易得120MAD ∠=︒，在平面ADM 内过点A 作x 轴垂直于AM ，再结合（1）以AM ，AB 所在直线为y ，z 轴建立空间直角坐标系，求得EC uuu r 的坐标，平面BDM 的一个法向量n r，设直线EC 与平面BDM 所成角为θ，则由sin cos ,EC nEC n EC nθ⋅==u u u r ru u u r r u u u r r 求解. 【详解】（1）因为2AB AM ==，22MB = 所以222AM AB MB +=， 所以AB AM ⊥.又AB AD ⊥，且AM AD A =I ，AM ⊂平面ADM ，AD ⊂平面ADM ，所以AB ⊥平面ADM .（2）因为2AM AD ==，23MD =， 所以120MAD ∠=︒，在平面ADM 内过点A 作x 轴垂直于AM ，又由（1）知AB ⊥平面ADM ， 分别以AM ，AB 所在直线为y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系A xyz -.则()3,1,0D-，43,1,3C ⎫-⎪⎭，()0,0,2B ，()0,2,0M .因为2BE EM =，所以420,,33E ⎛⎫⎪⎝⎭. 所以723,,33EC ⎫=-⎪⎭u u u r ，()0,2,2BM =-u u u ur ，)3,1,2BD =--u u u r .设平面BDM 的一个法向量为(),,n x y z =r， 则00BM n BD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v vu u u v v ，即220320y z x y z -=⎧⎪--=，取1z =得)3,1,1n =r.设直线EC 与平面BDM 所成角为θ，则413sin cos ,54553EC n EC n EC nθ⋅====⨯u u u r ru u u r r u u ur r .所以直线EC 与平面BDM 所成角的正弦值为15. 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，向量法求线面角问题，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.20．已知函数()ln x f x xαα=，(),x e ∈+∞.其中Z α∈.（1）证明：0()3x ef x x e+<-； （2）记()()()()2101F x e f x f x f x -=++.若存在[)()*0,1x n n n N∈+∈使得对任意的(),x e ∈+∞都有()()0F x F x ≥成立.求n 的值.（其中 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）.【答案】（1）见解析（2）5n = 【解析】（1）将不等式0()3x e f x x e +<-变形为3ln x ex x e->+，利用导数得出单调性，即可证明0()3x ef x x e+<-； （2）由条件得出()F x 的解析式，进行两次求导，得出()F x 在(],5e 严格单调递减，在41,2e +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭严格单调递增.，由单调性得出n 的值.【详解】解：（1）要证明0()3x e f x x e +<-，即证明3ln x ex x e->+，(),x e ∈+∞. 令3()ln x eg x x x e-=-+，(),x e ∈+∞.则22214()'()0()()e x e g x x x e x x e -=-=>++. 于是()g x 在(),e +∞单调递增，所以()()0g x g e >=即3ln x ex x e->+，(),x e ∈+∞. 所以0()3x ef x x e+<-. （2）221011()()()()ln ln ln e x F x e f x f x f x x x x x -=++=++22ln x x e x x++=，(),x e ∈+∞. 则()222(21)ln (ln 1)'()(ln )x x x x x e x F x x x +-+++=()()22222ln (ln )x e x x x e x x --++=.令()()2222()ln h x x ex xx e =--++，(),x e ∈+∞.当(),x e ∈+∞时，由（1）知3ln x e x x e->+.则()()22223()x e h x x e x x e x e ->--+++2412(41)22e x e x x x +⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭（i ）当41,2e x +⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，于是()0h x >，从而()'0F x >.故()F x 在41,2e +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭严格单调递增.其中41 5.936562e +=L .（ii ）当(],5x e ∈时， 则()()2222()ln5h x x exx e ≤--++()()22222223x e x x e x x e <--++=--22030e ≤-<.（用到了223x x e --在(],5e 单调递增与27e >）于是()'0F x <，故()F x 在(],5e 严格单调递减. 综上所述，()F x 在(],5e 严格单调递减，在41,2e +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭严格单调递增.因为4162e +<，所以[)05,6x ∈.所以5n =. 【点睛】本题主要考查了利用导数证明不等式以及利用导数研究不等式的恒成立问题，属于较难题.21．已知点P 是抛物线C ：212y x =上的一点，其焦点为点F ，且抛物线C 在点P 处的切线l 交圆O ：221x y +=于不同的两点A ，B . （1）若点()2,2P ，求AB 的值；（2）设点M 为弦AB 的中点，焦点F 关于圆心O 的对称点为'F ，求'F M 的取值范围.【答案】（1）AB =（2）12⎫⎪⎪⎢⎣⎭【解析】（1）利用导数求出过点()2,2P 的抛物线的切线，切线与圆相交，根据弦心距、半径、弦长的关系求解即可；（2）设点()00,P x y ，联立切线与圆的方程消元可得一元二次方程，由韦达定理求出中点M的坐标，由两点间距离公式表示出'F M =，令201t x =+换元，利用函数的单调性即可求出取值范围. 【详解】设点()00,P x y ，其中20012y x =. 因为'y x =，所以切线l 的斜率为0x ，于是切线l ：20012y x x x =-. （1）因为()2,2P ，于是切线l ：22y x =-. 故圆心O 到切线l的距离为d =于是5AB ===. （2）联立22200112x y y x x x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩得()223400011104x x x x x +-+-=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，(),M x y .则312201x x x x +=+，()()2324000141104x x x ⎛⎫∆=--+-> ⎪⎝⎭.解得2022x -<<+又200x ≥，于是2002x ≤<+于是()301220221x x x x x +==+，()22000201221x y x x x x =-=-+. 又C 的焦点10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，于是'10,2F ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故'F M ===令21t x =+，则13t ≤<+于是'F M ==因为3t t+在⎡⎣单调递减，在+单调递增.又当1t =时，'12F M =；当t =时，'F M =当3t =+时，'1122F M -=>. 所以'F M的取值范围为12⎫⎪⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数，0απ≤≤）.在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，射线l 的极坐标方程是6πθ=.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若射线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求OA OB ⋅的值. 【答案】（1）24cos 1003πρρθθ⎛⎫-+=≤≤⎪⎝⎭；（2）1 【解析】（1）先将曲线C 的参数方程通过消去参数α得出其普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程；（2）设1,6A πρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,6B πρ⎛⎫⎪⎝⎭，联立射线l 与曲线C 的极坐标方程，得出121ρρ=，根据极坐标的定义即可求解OA OB ⋅的值. 【详解】（1）消去参数α得()()22230x y y -+=≥，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入得22(cos 2)(sin )3ρθρθ-+=，即24cos 10ρρθ-+=.所以曲线C 的极坐标方程为24cos 1003πρρθθ⎛⎫-+=≤≤⎪⎝⎭. （2）将6πθ=代入24cos 1003πρρθθ⎛⎫-+=≤≤⎪⎝⎭得210ρ-+=， 设1,6A πρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,6B πρ⎛⎫⎪⎝⎭，则121ρρ=，于是121OA OB ρρ⋅==. 【点睛】本题主要考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化，以及对极坐标的定义的理解.23．己知0a >，0b >，且24a b +=，函数()2f x x a x b =++-在R 上的最小值为m .（1）求m 的值；（2）若22a mb tab +≥恒成立，求实数t 的最大值.【答案】（1）2（2）最大值为【解析】(1)去绝对值把函数()f x 写成分段函数，再利用函数()f x 的单调性确定当2a x =-时函数()f x 取到最小值m ，代入计算即可求出m 的值； (2)由已知不等式22a mb tab +≥可转化为22a mb t ab +≤，即要求出22a mb ab +的最小值，利用基本不等式可求出22a mb ab+的最小值为t ≤，从而求出实数t 的最大值.【详解】解：（1）()3,,22,,23,(,)a x a b x a f x x a x b x a b x b x a b x b ⎧⎛⎫--+∈-∞- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎡⎤=++-=++∈-⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪+-∈+∞⎪⎩. 当,2a x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，函数()f x 单调递减， 当,2a x b ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增， 当(),x b ∈+∞时，函数()f x 单调递增， 所以当2a x =-时函数()f x 取到最小值， 所以2422222a a ab m f a b +⎛⎫=-=-++=== ⎪⎝⎭. （2）因为22a mb tab +≥恒成立，且0a >，0b >， 所以22a mb t ab+≤恒成立即min a mb t b a ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，由（1）知2m =，于是a mb b a +≥==当且仅当2a b b a =时等号成立即)410a =>，(220b =>，所以t ≤，故实数t 的最大值为【点睛】本题考查了含两个绝对值的分段函数的最值，考查了利用基本不等式求最小值，属于一般题.。

2020届四川省成都市第七中学高中高三下学期高考适应性考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}{}221,3,M x x N x x x Z =-<<=<∈，则（ ） A ．M N ⊆ B ．N M ⊆C ．{}1,0M N ⋂=-D ．M N M ⋃=【答案】C【解析】先求出N ＝{﹣1，0，1}，然后进行交集的运算即可． 【详解】{}{}2N x x 3,x Z 1,0,1=<∈=-.且{}21M x x =-<<，{}M N 1,0∴⋂=-.故选C 【点睛】本题考查集合的描述法、列举法的定义，以及集合交集的运算，属于基础题． 2．记0cos(80)k -=，那么0tan100=（ ）A ．B ．C D ．【答案】B 【解析】【详解】()0cos 80k -=,cos80k ∴=,从而22sin801cos 801k =-=-，sin 801tan 80cos80∴==， 那么1tan100tan(18080)tan 80k -=-=-=-故选B ．3．放烟花是逢年过节一种传统庆祝节日的方式，已知一种烟花模型的三视图如图中的粗实线所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该烟花模型的体积为（ ）A ．15πB ．413π C ．403π D ．14π【答案】B【解析】由三视图得几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可． 【详解】由三视图可知该几何体是由半径为2，高为3的圆柱，与半径为1，高为1的圆柱，以及底面半径为1，高为2的圆锥组成的几何体，如图所示. 几何体的体积为：2221413π21π12π1π33⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=． 故选B ．【点睛】本题考查组合体的体积，由三视图得几何体的形状是解题的关键，属于基础题． 4．黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为36︒的等腰三角形(另一种是顶角为108︒的等腰三角形)例如，正五角星由五个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形ABC 中，512BC AC =，根据这些信息，可得sin 234︒=（ ）A ．125- B ．35+C ．15+ D ．45+【答案】C【解析】利用正弦定理求出51cos3651+︒==-. 【详解】 由正弦定理得sin sin A BCABC AC=∠，即sin36sin3651sin 722sin36cos36︒︒-==︒︒︒， 得51cos3651+︒==- 则51sin 234=sin(27036)cos36+︒︒-︒=-︒=， 故选C ． 【点睛】本题主要考查正弦定理以及诱导公式的应用，属于中档题.5．“()()22log 2log 21a b x y +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是（ ） A ．0a b << B ．1a b <<C ．2a b <<D ．1b a <<【答案】C【解析】由已知条件求得,a b 之间的关系和范围，再根据充分不必要条件的判定，可得选项. 【详解】若()()22log 2log 21a b x y +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则需log 2>0log 2>0log 2>log 2a b ab ⎧⎪⎨⎪⎩，即>1>1a b a b ⎧⎪⎨⎪<⎩，所以1a b <<， 所以“()()22log 2log 21a b x y +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是2a b <<， 故选：C. 【点睛】本题考查方程表示椭圆的条件，以及命题的充分不必要条件的判定，属于中档题. 6．已知函数()3110sin 6f x x x =+在0x =处的切线与直线0nx y -=平行，则二项式()()211nx x x ++-展开式中4x 的系数为（ ） A ．120 B ．140C ．135D ．100【答案】C【解析】由题意首先求得n 的值，然后结合立方和公式化简所给的二项式，最后利用展开式的通项公式可得展开式中4x 的系数. 【详解】由函数的解析式可得：()21'10cos 2f x x x =+， 函数()31106f x sinx x =+在0x =处的切线与直线0nx y -=平行，则()010n f ='=，则二项式()()()2210391(1)1(1)1(1)nx xx x x x x x ++-=++-=-⋅-，()91x -的展开式的通项公式为19()r rr T C x +=⋅-，故分别令4,1r r ==,可得展开式中4x 的系数为()4199135C C --=. 故选C . 【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．7．执行如图所示的程序框图，那么输出的S 值是（ ）A ．12B ．1-C ．2018D ．2【答案】B【解析】分析：先根据循环语句得S 变化规律（周期），再根据规律确定输出值. 详解：因为11,1;,2;2,3;2S k S k S k =-=====所以3T =, 所以当2008=6693+1k =⨯时1,S =- 选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 8．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC 的顶点()0,4A ，()0,4C -，顶点B 在椭圆221925x y +=上，则()sin sin sin A C A C+=+（ ） A ．35B ．53C ．45D ．54【答案】C【解析】利用椭圆的定义得a c +，由诱导公式及正弦定理化角为边后可得结论． 【详解】椭圆221925x y +=中5,3a b ==，∴2594=-=c ，8BC =，由题意,A C 是椭圆22x y 的焦点，又在椭圆上，∴，∴sin()sin 84sin sin sin sin 105A CB AC A C A C BC BA +====+++．故选：C ． 【点睛】本题考查椭圆的定义与几何性质，考查正弦定理，利用正弦定理进行边角转换是解题关键．9．在梯形ABCD 中，//,,4,2,AB CD AD AB AB AD CD ⊥===将梯形ABCD 沿对角线AC 折叠成三棱锥D ABC -，当二面角D AB C --是直二面角时，三棱锥D ABC -的外接球表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π【答案】D【解析】由题意画出图形，确定三棱锥外接球的半径，则三棱锥D ﹣ABC 的外接球的表面积可求． 【详解】在梯形ABCD 中，AB //CD,AD AB,AB 4⊥=，AD CD 2,==AC 22∴=，BC ＝22，由222AC BC AB +=，得90ACB ∠=,将梯形ABCD 沿对角线AC 折叠成三棱锥D-ABC,如图所示：取AC 的中点E ，AB 的中点O ，连结DE ，OE ，∵平面DCA⊥平面ACB ，平面DCA 平面ACB=AC ，DE⊥AC，∴DE⊥平面ACB ，∵DE＝2，OE ＝2，∴在RT DEO ∆中，OD ＝2，∴OB＝OA ＝OC ＝OD=2，即外接球的半径为2，此时三棱锥外接球的表面积为4π•22＝16π． 故选D ．本题考查折叠问题，三棱锥的外接球表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．10．已知函数()()220,f x x x x =+>若()()()()()*11,,n nf x f x f x ff x n N+==∈，则()2019f x 在[]1,2上的最大值是（ ） A ．201841- B ．201941- C ．201991- D ．2019231-【答案】D【解析】由函数的单调性及函数的最值，得f （x ）在[1，2]为增函数，所以f 1（x ）max ＝8＝32﹣1＞0，同理f 2（x ）max ＝2231-＞0，同理f 3（x ）max ＝3231-＞0，依此类推：f 2019（x ）max ＝2019231-即可.【详解】()()22f x x 2x x 11=+=+-在（0，+∞）为增函数，且f （x ）＞0，()()21f x f x x 2x ∴==+在[1，2]为增函数，即f 1（x ）max ＝8＝32﹣1，且f 1（x ）＞0， 同理()()()()2224221max max f x f f x f 31113131==-+-=-=-，且f 2（x ）＞0，同理()()()()324832max max 2f x f f x f 31113131==--=-=-+，且f 3（x ）＞0，依此类推：f 2019（x ）max ＝f （f 2018（x ）max ）＝2019231-.故选D ． 【点睛】本题考查了函数的单调性及函数的最大值，也考查了归纳推理，属于中档题 11．已知点C 是抛物线24y x =上的动点，以C 为圆心的圆经过抛物线的焦点F ，且圆C 与直线12x =-相交于,A B 两点，则•FA FB 的取值范围是（ ）A ．[)4,+∞B ．[)3,+∞C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞【答案】B【解析】写出圆C 的方程，令x ＝﹣12代入圆的方程可得y 的二次方程，运用判别式大于0和韦达定理，再由两点的距离公式，化简整理，结合0x ≥0求得|FA|•|FB|的取值范围．抛物线y 2＝4x 的焦点为F （1，0），设()00C ,x y ，则圆C 的方程是()()()222200001x x y y x y -+-=-+，令1x 2=-，得20032304y y y x -+-=.又2004y x =,22000412330y x y ∴∆=-+=+>恒成立.设3411A ,,B ,22y y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3402,y y y += 340334y y x =-.==031x ==+，因为0x ≥0，所以|FA|•|FB|≥3，即|FA|•|FB|的取值范围是[3，+∞）． 故选B ． 【点睛】本题考查了抛物线的定义以及直线和圆相交的弦长公式的应用，也考查了两点间的距离，属于中档题．12．已知正实数,m n ，设a m n =+，b =.若以,a b 为某个三角形的两边长，设其第三条边长为c ，且c 满足2c k mn =⋅，则实数k 的取值范围为（ ） A ．()1,6 B ．()2,36C ．()4,20D ．()4,36【答案】D【解析】先根据基本不等式得a m n =+≥b =≥再根据余弦定理得2222cos 41616cos c a b ab C mn mn mn C =+-≥+-，由1cos 1C -<<得2436mn c mn <<，故436k <<.【详解】解：先根据基本不等式得：a m n =+≥，b =≥ 因为其第三条边长为c ，且c 满足2c k mn =⋅，所以由余弦定理得：2222cos 41616cos c a b ab C mn mn mn C =+-≥+-，所以2436mn c mn <<，即436k m m m n n n ⋅<<， 所以436k <<. 故选：D. 【点睛】本题考查满足三角形的条件时求参数的取值范围，解题的关键是结合余弦定理和基本不等式进行，是难题.二、填空题13．若()4331f x x x x =+++，用秦九韶算法计算()fπ时，需要乘法和加法的总次数为______. 【答案】6【解析】由()f π()()()311ππππ=+++观察可知结果. 【详解】因为()4331f x x x x =+++()()()311x x x x =+++，所以()f π()()()311ππππ=+++，所以需要进行3次乘法运算和3次加法运算，故需要乘法和加法的总次数为6次. 故答案为：6. 【点睛】本题考查了秦九韶算法，属于基础题.14．已知向量a ,b 满足2a b ==，且()()22a b a b +⋅-=-，则向量a ,b 的夹角为______. 【答案】3π 【解析】由()()22a b a b +⋅-=-得2a b ，再根据平面向量的夹角公式可得结果.【详解】由()()22a b a b +⋅-=-，得2222a a b b +⋅-=-， 所以482a b +⋅-=-，即2a b ，所以21cos ,222||||a b a b a b ⋅<>===⨯，又因为,[0,]a b π<>∈，所以,3a b π<>=.故答案为：3π. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算律，考查了平面向量的夹角公式，属于基础题. 15．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色，先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，...，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，...，则在这个红色子数列中，由1开始的第2020个数是______. 【答案】3995【解析】按照染色数的出现顺序，按奇偶分组，这样每一组数的个数是按规律出现的，然后分析每一组最后一个数与组数或到这组的所有数的个数和有什么联系得出规律，从而求解． 【详解】按照染色数的出现顺序，按奇偶分组：第一组1个奇数，第二组3个偶数，第三组5个奇数，第四组7个偶数，…，第n 组有21n -个数，显然n 为奇数时，这组数为奇数，n 为偶数时这组数为偶数，通过计算发现第n 组最后一个数是22n n -，到第n 组最后一个数，总共有2n 个数，442＜2020＜452，第2020个数在第45组，到第45组共有2025个数，最后一个是2025×2－45＝4005，去掉后面5个数，得到3995． 故答案为：3995． 【点睛】本题考查推理，解题关键是寻找规律，本题中直接寻找项与项数的关系不太现实，关键是按奇偶数分组，这样每组数的个数与这个组数之间有联系，总的个数与组数间有联系，每组数的最后一个数与组数间也有联系，这就是规律．然后根据这个干什么求解即可． 16．已知,[0,1]a b ∈，则(,)(1)(1)11a bS a b a b b a=++--++的最小值为 ．【答案】132- 【解析】试题分析：,[0,1]a b ∈，()2211(,)(1)(1)1ab ab a b a b a b S a b a b -+++∴=++--==-，令()()()1,11ab ab T x a b -==++()11ab ab T a b ab-=+++1ab ab -≤()()22211x x x -=+()211x x x -=+，令()f x ()[]21,0,11x x x x -=∈+，可得()()()[]2221',0,11x x x f x x x -+-=∈+，所以()f x 在10,2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭上单调递增，在1,12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递增减；所以()max 11122f x f ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，所以(,)S a b得最小值为()max 11131122f x --=-=． 【考点】基本不等式；2．导数在函数单调性中的应用． 【思路点睛】首先对(,)S a b 化简，可得()()()1(,)111ab ab S a b a b -=-++，令()()()1,11ab ab T x a b -==++()11ab ab T a b ab-=+++1ab ab -≤()()22211x x x -=+()211x x x -=+，再构造辅助函数()f x ()[]21,0,11x x x x -=∈+，将原问题转化为求函数()f x 在区间[]0,1x ∈的最大值，利用导数求出函数()f x 在区间[]0,1x ∈上的单调性，进而可求出函数()f x 在区间[]0,1x ∈的最大值，即可求出(,)S a b 的最小值．三、解答题17．把函数()2sin f x x =的图象向左平移π(0)2ϕϕ<<个单位，得到函数()y g x =的图象，函数()y g x =的图象关于直线π6x =对称，记函数()()()h x f x g x =⋅.（1）求函数()y h x =的最小正周期和单调增区间； （2）画出函数()y h x =在区间ππ[,]22-上的大致图象. 【答案】（1）πT =，单调增区间是ππ[π,π]()63k k k -++∈Z .（2）图见解析【解析】（1）根据三角函数图象的平移变换法则以及正弦函数的对称性确定()y g x =的解析式，从而可得()h x 的解析式，利用降幂公式与辅助角公式化简，然后利用正弦函数的周期公式结合正弦函数的单调性即可得结果；（2）利用“五点法”：列表、描点、连线，从而可得结果. 【详解】（1）由题意知()2sin()g x x ϕ=+， 根据函数()y g x =的图象关于直线π6x =对称， 得πππ()62m m ϕ+=+∈Z ， 即ππ()3m m ϕ=+∈Z ， 又π02ϕ<<，所以π3ϕ=，则π()2sin()3g x x =+， 则π13()()()4sin sin()4sin (sin )32h x f x g x x x x x x =⋅=⋅+=+2π2sin 23sin cos 1cos23sin 22sin(2)16x x x x x x =+=-=-+，则函数()y h x =的最小正周期2ππ2T ==， 令πππ2π22π()262k x k k -+≤-≤+∈Z ，得ππππ()63k x k k -+≤≤+∈Z ，故函数()y h x =的单调增区间是ππ[π,π]()63k k k -++∈Z .（2）列表如下：xπ2-5π12-π6-π12π3 π2π26x -7π6-π-π2-π25π6πsin(2)6x -121- 0112()h x21 1-1 32故()y h x =在区间ππ[,]22-上的大致图象是：【点睛】三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解18．某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示． 组别 [)30,40 [)40,50 [)50,60 [)60,70 [)70,80 [)80,90 [)90,100频数 25150200250 225 100 50（1）已知此次问卷调查的得分Z 服从正态分布(),210N μ，μ近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求()3679.5P Z <≤；（2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案. （ⅰ）得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； （ⅱ）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.现市民甲要参加此次问卷调查，记X 为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列及数学期望．14.5≈，若()2,XN μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，()220.9545P X μσμσ-<≤+=，()330.9973P X μσμσ-<≤+=.【答案】（1）0.8186；（2）见解析.【解析】（1）根据题中所给的统计表，利用公式计算出平均数μ的值，再利用数据之间的关系将36、79.5表示为362μσ=-，79.5μσ=+，利用题中所给数据，以及正态分布的概率密度曲线的对称性，求出对应的概率； （2）根据题意，高于平均数和低于平均数的概率各为12，再结合得20元、40元的概率，分析得出话费的可能数据都有哪些，再利用公式求得对应的概率，进而得出分布列，之后利用离散型随机变量的分布列求出其数学期望. 【详解】 （1）由题意可得352545150552006525075225851009550651000μ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==，易知14.5σ=≈，36652965214.52μσ∴=-=-⨯=-，79.56514.5μσ=+=+，()()()()3679.522P Z P Z P Z P Z μσμσμσμμμσ∴<≤=-<≤+=-<≤+<≤+()()0.95450.6827022.818622P X P X μσμσμσμσ+===-<≤++-<≤+；（2）根据题意，可得出随机变量X 的可能取值有20、40、60、80元，()13320248P X ==⨯=，()1113313402424432P X ==⨯+⨯⨯=，()113360224416P X ==⨯⨯⨯=，()11118024432P X ==⨯⨯=.所以，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，随机变量X 的数学期望为31331752040608083216322EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查概率的计算，涉及到平均数的求法、正态分布概率的计算以及离散型随机变量分布列及其数学期望，在解题时要弄清楚随机变量所满足的分布列类型，结合相应公式计算对应事件的概率，考查计算能力，属于中等题.19．在平面直角坐标系中，点1F 、2F 分别为C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线C 的离心率为2，点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线C 上.不在x 轴上的动点P 与动点Q 关于原点O 对称，且四边形12PFQF 的周长为 （1）求动点P 的轨迹方程；（2）在动点P 的轨迹上有两个不同的点()11,M x y 、()22,N x y ，线段MN 的中点为G ，已知点()12,x x 在圆222x y +=上，求OG MN ⋅的最大值，并判断此时OMN的形状.【答案】（1）()22102x y y +=≠；（2）32；OMN 为直角三角形. 【解析】（1）利用待定系数法求出双曲线的半焦距1c =，再利用椭圆的定义即可求出动点P 的轨迹方程.（2）根据题意将点代入椭圆方程以及点()12,x x 在圆222x y +=上，可得22121y y +=，再利用两点间的距离公式以及基本不等式即可求解.【详解】解：（1）设点1F 、2F 分别为(),0c -，(),0c ()0c >， 由已知2ca=，所以2c a =，224c a =，22223b c a a =-=， 又因为点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线C 上，所以229141a b-=， 则222294b a a b -=，即2249334a a a -=， 解得214a =，12a =. 所以1c =.连接PQ ，因为12OF OF =，OP OQ =，所以四边形12PFQF 为平行四边形， 因为四边形12PFQF的周长为，所以21122PF PF F F +=>=. 所以动点P 的轨迹是以点1F 、2F 分别为左、右焦点，长轴长为.可得动点p 的轨迹方程为：()22102xy y +=≠（2）因为22122x x +=，221112x y +=，222212x y +=，所以22121y y +=，所以OG MN MN OG ⋅=⋅=12==1212121232232213222x x y y x x y y --+++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭. 等号当且仅当12121212322322x x y y x x y y --=++，即12120x x y y +=， 所以OM ON ⊥，即OMN 为直角三角形. 【点睛】本题考查了待定系数法求双曲线的标准方程、椭圆的定义、基本不等式求最值，考查了考生的运算求解能力，属于中档题.20．如图，在正三棱锥A BCD -中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF DE ⊥，且1BC =，（1）求点A 到平面EFD 的距离；（2）设BD 的中点为M ，空间中的点Q ，G 满足2CQ AM AG ==，点P 是线段CQ 上的动点，若二面角P AB D --的大小为α，二面角P BG D --的大小为β，求()cos αβ+的最大值.【答案】（1）1010；（2）35. 【解析】（1）由正棱锥性质结合EF DE ⊥，证明,,AB AC AD 两两垂直，然后在三棱锥A EFD -中由体积法求得点A 到平面EFD 的距离；（2）由,Q G 点的性质，把正棱锥A BCD -补成一个正方体11ABGD CB QD -，然后作出二面角P AB D --，二面角P BG D --的平面角，设OR x =2(02x <<，求出正切值tan()αβ+，判断出αβ+为钝角，求出tan()αβ+的最小值可得cos()αβ+的最大值． 【详解】解：（1）由题意，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，//EF AC ，EF DE ⊥，∴AC DE ⊥， 取BD 中点K ，连接,AK CK ，三棱锥A BCD -则,,AK BD CK BD AK CK K ⊥⊥=，∴BD ⊥平面ACK ，AC ⊂平面ACK ，∴AC BD ⊥，又BD DE D ⋂=，DE ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，∴AC ⊥平面ABD ，∴AC AB ⊥，AC AD ⊥，同理AB AD ⊥，且AB AD AC ==，由1BC =，则2AC =，2EF =，222210424DE ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 15216EFD S EF ED =⋅=△，设A 点到平面EFD 的距离为d 1128ADE S AD AE =⋅=△，点F 到平面ADE 的距离为24∵A EFD F ADE V V --=，所以151123384d =⨯⨯，1010d =，则点A 到平面EFD 的10. （2）由题意：AB AD AC ==，且三条线两两垂直以AB ，AD ，AC 为边，将四面体补形成正方体11ABGD CB QD -2，如图所示 过点P 作PO ⊥面ABGD ，由题意PRO α=∠，PSO β=∠，()()cos cos PRO PSO αβ+=∠+∠，由图知,αβ都是锐角，(0,)αβπ+∈，要求()cos αβ+的最大值即求()cos PRO PSO ∠+∠的最大值，即求PRO PSO ∠+∠的最小值设202OR x x ⎛=<< ⎝⎭，22tan PRO x∠=，22tan 2PSO x ∠=-()22222122tan 22212212xx PRO PSO x x x x +-∠+∠==⎛⎫--⎪-⋅⎝⎭-0<，,2PRO PSO ππ⎛⎫∠+∠∈ ⎪⎝⎭，当24x =时， ()min 4tan 3PRO PSO ∠+∠=-⎡⎤⎣⎦，此时()cos αβ+的最大值为35【点睛】本题考查求点到平面的距离，考查二面角问题，体积法是求点到平面距离的一种常用方法，解决二面角问题的关系是把正三棱锥补形为一个正方体，然后作出二面角的平面角，引入参数，求出三角函数值，得最值． 21．已知函数()ln 1f x x ax =-+，其中a R ∈. （1）求()f x 的单调区间；（2）当1a =时，斜率为k 的直线l 与函数()f x 的图象交于两点()11,A x y ，()22,B x y ，其中12x x <，证明：1211x x k <<+； （3）是否存在k Z ∈，使得()221f x ax k x ⎛⎫+->-⎪⎝⎭对任意1x >恒成立？若存在，请求出k 的最大值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）不存在.【解析】(1)将函数求导，分类讨论a 的不同取值范围时，导数的符号，从而判断出单调性；(2)将斜率用A 、B 的横坐标表示出来，最后将不等式化为只含有x 1、x 2的形式， 再换元、构造函数、求导，判断出新函数的单调性从而证明不等式成立；(3)将不等式移项从而构造出新函数，所以根据求导数，求出最值比较，从而判断出不存在k ∈Z ，使之成立. 【详解】 （1）因为()'1fx a x=-，0x>， 所以当0a ≤时，()'>0fx 恒成立，所以()f x 在()0+∞，上单调递增， 当>0a 时，10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()'>0fx ，()f x 在10a⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增， 1x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，()'0f x <，()f x 在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减， 综上所述：当0a ≤时，()f x 在()0+∞，上单调递增， 当>0a 时，()f x 在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减. （2）当1a =时，()ln 1f x x x =-+，所以21221121212121ln ln +ln ln 1y y x x x x x x k x x x x x x ----===----，所以2121ln ln +1x x k x x -=-，要证1211x x k <<+，即证212211ln 1ln 1x x x x x x -<<-，因为21>0x x -，即证21221211ln x x x x xx x x --<<， 令()21>1x t t x =，即证()11ln 1>1t t t t-<<-，令()ln 1k t t t =-+()>1t ， 由（1）知，()k t 在()1+∞，上单调递减，所以()()10k t k <=，即ln 10t t ，所以ln 1t t <-，令()()1ln +1>1h t t t t =-，则()()()2'2111>0>1t t t t t t t h -=-=， 所以()h t 在()1+∞，上单调递增，所以()()>10h t h =，即1ln 1t t <-()>1t ； 综上可得()11ln 1>1t t t t -<<-，即1211x x k <<+； （3）由已知得()221f x ax k x ⎛⎫+->- ⎪⎝⎭，即为()()()ln 1>2>1x x k x x --，即()ln +2>0>1x x x kx k x --，令()()ln +2>1g x x x x kx k x =--，则()'ln g x x k =-， 当0k ≤时，()'>0g x ，所以()g x 在()1+∞，上单调递增，()11>0g k =-，即>1k ，矛盾，故舍去；当>0k 时，由ln >0x k -，得>k x e ，由ln 0x k -<，得1k x e <<，所以()g x 在()1k e ，上单调递减，(),k e +∞单调递增，所以()()min 2>0k g x k ek =-，即当()()min 2>0>0k g x k e k =-恒成立，求k 的最大值.令()2t G t e t =-，则()'2t G t e =-， 当2>0t e -，即ln 2t <时，()G t 单调递增，当20t e -<，即>ln 2t 时，()G t 单调递减，所以()()max ln 22ln 22G x G ==-，因为1ln 22<<，所以02ln 222<-<，又()()2120,240G e G e ==-<=-<，所以不存在整数k 使2>0k k e -成立，综上所述，不存在满足条件的整数k .【点睛】本题主要考查导数在研究函数时的应用，关键在于构造合适的函数，分析导函数的取得正负的区间，得原函数的单调性，属于难题.22． 已知曲线C ：4cos ,{3sin ,x t y t =-+=+（t 为参数）， C ：8cos ,{3sin ,x y θθ==（为参数）． （1）化C ，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C 上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为C 上的动点，求PQ 中点M 到直线332,:{2x t C y t =+=-+（t 为参数）距离的最小值．【答案】（Ⅰ）1C 为圆心是（4,3)-，半径是1的圆.2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.（Ⅱ）85.5d 取得最小值【解析】【详解】 （1）()()222212:431,:1649x y C x y C ++-=+= 1C 为圆心是()4,3-，半径是1的圆，2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.（2）当2t π=时，()()4,4,8cos ,3sin P Q θθ-，故324cos ,2sin 2M θθ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭ 3C 的普通方程为270x y --=，M 到3C 的距离54cos 3sin 135d θθ=-- 所以当43cos ,sin 55θθ==-时，d 取得最小值855. 【考点】圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程.23．如图，O 为数轴的原点，A,B,M 为数轴上三点，C 为线段OM 上的动点，设x 表示C 与原点的距离，y 表示C 到A 距离4倍与C 道B 距离的6倍的和. （1）将y 表示成x 的函数；（2）要使y 的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？【答案】（1）410620,030.y x x x =-+-≤≤（2）[9,23].【解析】【详解】（1）410620,030.y x x x =-+-≤≤（2）依题意，x 满足{41062070, 030.x xx-+-≤≤≤解不等式组，其解集为[9,23] 所以[9,23].x∈。

2020届四川省成都市第七中学高三统一热身考试数学（理）试题一、单选题1．设集合{}2430A x x x =-+<，{}230B x x =->，则A B =（ ）A ．33,2⎛⎫--⎪⎝⎭B ．33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,+∞【答案】D【解析】先解不等式，化简集合A 、B ，再求并集，即可得出结果. 【详解】∵{}{}243013A x x x x x =-+<=<<，{}32302B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭, 所以{}1A B x x ⋃=>. 故选：D. 【点睛】本题主要考查求集合的并集，熟记并集的概念，以及一元二次不等式的解法即可，属于基础题型. 2．已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是 A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：要使复数对应的点在第四象限,应满足，解得，故选A.【考点】 复数的几何意义【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即可． 复数z ＝a ＋bi复平面内的点Z （a ，b ）（a ，b ∈R ）．复数z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）平面向量.3．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】B【解析】试题分析：由题意，这是几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，到达发车站的时间总长度为40，等车不超过10分钟的时间长度为20，故所求概率为201402=，选B.【考点】几何概型【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等.4．设向量(),1a m =，()1,2b =，且222a b a b +=+，则m =（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．2-【答案】D 【解析】先由222a b a b +=+得到0a b ⋅=，再由向量数量积的坐标表示列出方程，即可得出结果. 【详解】 因为222a ba b +=+，所以22222a b a b a b ++⋅=+，因此0a b ⋅=，又向量(),1a m =，()1,2b =， 所以20a b m ⋅=+=，解得2m =-. 故选：D. 【点睛】本题主要考查由向量数量积求参数，熟记向量数量积的坐标表示即可，属于基础题型. 5．若将函数y=2sin2x 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图像的对称轴为A ．x=26k ππ-（k ∈Z ） B ．x=26k ππ+（k ∈Z ）C ．x=212k ππ-（k ∈Z ）D ．x=212k ππ+（k ∈Z ）【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意得，将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，得到2sin(2)6y x π=+，由2,62x k k Z πππ+=+∈，得,26k x k Z ππ=+∈，即平移后的函数的对称轴方程为,26k x k Z ππ=+∈，故选B ． 【考点】三角函数的图象与性质． 【方法点晴】本题主要考查了三角函数()sin()f x A wx ϕ=+的图象与性质，着重考查了三角函数的图象变换及三角函数的对称轴方程的求解，通过将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，得到函数的解析式2sin(2)6y x π=+，即可求解三角函数的性质，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理与运算能力．6．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是 ( )A ．各月的平均最低气温都在0℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均最高气温高于20℃的月份有5个 【答案】D【解析】【详解】试题分析：由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上，A 正确；由图可知在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，所以不正确．故选D ． 【考点】 统计图 【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．7．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】先还原几何体为一直四棱柱，再根据柱体体积公式求结果. 【详解】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1、2，梯形的高为2，因此几何体的体积为()1122262⨯+⨯⨯=，选C. 【点睛】先由几何体的三视图还原几何体的形状，再在具体几何体中求体积或表面积等. 8．已知432a =，254b =，1325c =，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<【答案】A 【解析】【详解】因为4133216a ==，2155416b ==，1325c =，因为幂函数13y x =在R 上单调递增，所以a c <， 因为指数函数16xy =在R 上单调递增，所以b a <， 即b <a <c . 故选：A.9．在ABC △中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ） A ．310B ．10 C ．1010-D ．310-【答案】C【解析】试题分析：设22,2,5sin cos ,sin ,cos cos 55AD a AB a CD a AC a A ααββ=⇒===⇒====⇒10cos()10αβ=+=-,故选C.【考点】解三角形.10．已知P (x 0,y 0)是椭圆C :24x +y 2=1上的一点,F 1,F 2分别是椭圆C 的左、右焦点,若12PF PF ⋅<0,则x 0的取值范围是A ．2626⎛ ⎝⎭B ．2323⎛ ⎝⎭C ．33⎛ ⎝⎭D ．66⎛ ⎝⎭【答案】A【解析】将原问题转化为椭圆与圆的交点问题，求得临界值，然后求解x 0的取值范围即可. 【详解】如图，设以O 为原点、半焦距3c =为半径的圆x 2+y 2=3与椭圆交于A ，B 两点.由2222314x y x y ⎧+⎪⎨+⎪⎩＝＝得263x ±=， 要使12PF PF ⋅<0，则点P 在A 、B 之间， ∴x 0的取值范围是2626,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．故选A ．【点睛】本题考查了椭圆的方程、性质，向量的数量积的运算，属于中档题． 11．点P 是棱长为3的正四面体ABCD 的面ABC 内一动点，52DP =，设异面直线DP 与BC 所成的角为α，则sin α的最小值为（ ） A ．265B ．35C 3D ．622【答案】A【解析】作DO ⊥平面BAC 于O ， O 是ABC 的中心，DO OB ⊥，DO OP ⊥，6，12OP =，从而平面ABC 内，P 在以O 为圆心，12为半径的圆上，P 运动时，DP 是圆锥的母线，BC 平移到圆锥底面圆直径位置，利用圆锥的性质，这个角的最小值是圆锥轴截面底角，由此可计算正弦值． 【详解】如图1，作DO ⊥平面BAC 于O ，∵ABCD 是正四面体，∴O 是ABC 的中心，DO OB ⊥，DO OP ⊥，易知22239363DO DB BO⎛⎫=-=-⨯=⎪⎪⎝⎭，∴22251622OP DP DO⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭，所以平面ABC内，P在以O为圆心，12为半径的圆上，P运动时，DP是圆锥的母线，如图2，把圆锥PO平移到四面体外部，不妨设//BCMN，MN是圆锥底面圆的一条直径，母线DP与MN所成角的最小值是圆锥轴截面底角DMO∠，626sin2DODMODM∠===．所以异面直线DP与BC所成的角的正弦的最小值是26．故选：A．图1图2【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题关键是找到在平面ABC内P点的轨迹．DP所形成的空间图形，把BC平移到圆直径位置，母线与底面直径所成角的最小值就是轴截面底角，由此可得结论．12．定义在区间[],ππ-的函数()[]2cos2 +2sinf x x x=有（）个零点？（其中[]x 表示不大于实数x的最大整数）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】令2sin x t =，则[][]2,222,t y t t +∈-=-，则问题转化为求[][]22,2,2t t t =-∈-的根的个数.分别作出[]y t =和22y t =-的图象，有3个交点，即可求出x 有5个值，即得答案. 【详解】令2sin x t =，则2cos 212sin x x =-，[][]2,22,2t t y t ∈+-∴=-，则问题转化为求[][]22,2,2t t t =-∈-的根的个数.分别作出[]y t =和22y t =-的图象，如图所示：则有1t =-或[]221,1,2t t -=∈或2t =，即1t =-或3t =或2t =.2sin 1x ∴=-或2sin 3x =2sin 2x =，1sin 2x ∴=-或3sin 2x =或sin 1x =.[],,6x x πππ∈-∴=-或65x π=-或3x π=或23x π=或2x π=.∴函数()[]2cos2+2sin f x x x =有5个零点. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的零点与方程的根，考查数形结合，属于较难的题目.二、填空题13．5(2)x x +的展开式中，x 3的系数是_________.（用数字填写答案） 【答案】10【解析】试题分析：5(2x x 的展开式的通项为555255(2)2r rrr rr C x x C x---=(0r =，1，2，…，5)，令532r -=得4r =，所以3x 的系数是452C 10=. 考点:二项式定理【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项1r T +,再确定r 的值,从而确定指定项系数.14．若,x y 满足约束条件10{20220x y x y x y -+≥-≤+-≤，则z x y =+的最大值为_____________．【答案】32【解析】试题分析：由下图可得在1(1,)2A 处取得最大值，即max 13122z =+=.【考点】线性规划.【方法点晴】本题考查线性规划问题，灵活性较强，属于较难题型.考生应注总结解决线性规划问题的一般步骤（1）在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域；（2）将目标函数变形为a zy x b b=-+；（3）作平行线：将直线0ax by +=平移，使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使zb最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标；（4）求出最优解：将（3）中求出的坐标代入目标函数，从而求出z 的最大（小）值.15．在ABC 中，60A ∠=︒，23BC =D 为BC 中点，则AD 最长为_________. 【答案】3【解析】在ABD ∆和ADC ∆中，分别利用余弦定理，求得22262b c x +=+，再在ABC ∆中，利用余弦定理和基本不等式，即可求解.【详解】如图所示，设AD x =，ADB θ∠=，则ADC πθ∠=-，在ABD ∆中，由余弦定理，可得2222cos AB BD AD BD AD θ=+-⋅， 即22323cos c x x θ=+-，①在ADC ∆中，由余弦定理，可得2222cos()AC CD AD CD AD πθ=+-⋅-， 即22323cos b x x θ=++，② 由①+②，可得22262b c x +=+，在ABC ∆中，由余弦定理，可得2222cos60BC AB AC AB AC =+-⋅，即22222222221(23)()322b c c b bc c b b c x +=+-≥+-=+=+，解得29x ≤，所以3x ≤，即AC 的最大值为3. 故答案为：3.【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，以及利用基本不等式求解最值问题，其中解答中熟练应用余弦定理得到22262b c x +=+，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.16．抛物线()220y px p =>上点A 与焦点F 距离为2，以AF 为直径的圆与y 轴交于点()0,1H ，则p =_________. 【答案】2【解析】法一：首先根据抛物线方程和焦半径公式表示点A 的坐标，再根据0HF HA ⋅=求解点A 的坐标和p 值；法二：利用以AF 为直径的圆与y 轴相切，利用切点为()0,1H ,求得点A 的坐标和p 值.【详解】法一：根据,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据点A 与焦点F 距离为2， 所以A 点横坐标为22p -，所以A 点纵坐标222242p y p p p ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭①；即,12p HF ⎛⎫=-⎪⎝⎭，2,12p HA y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭根据0HF HA ⋅=，得到24104p p y --+=从而根据①解得2y =，从而带入①解得2p =.法二：设()00,A x y ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，由焦半径公式可知022p x +=则线段AF 的中点到y 轴的距离022122px d +===， 所以以AF 为直径的圆与y 轴相切，由题意可知切点为()0,1H ， 则点A 的纵坐标为2，横坐标22p -， 则2242p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得：2p =. 故答案为：2 【点睛】本题考查抛物线方程，几何性质，意在考查转化与化归的思想，计算能力，属于中档题型，本题的关键利用焦半径公式表示点A 的横坐标，以及点A 在抛物线上，建立方程求解.三、解答题17．已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+ ？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.【答案】(1) 通项公式为2n a = 或42n a n =-;(2) 当2n a = 时，不存在满足题意的正整数n ；当42n a n =- 时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41.【解析】【详解】（1）依题意，2,2,24d d ++成等比数列， 故有()()22224d d +=+， ∴240d d -=，解得4d =或0d =. ∴()21442n a n n =+-⋅=-或2n a =.（2）当2n a = 时，不存在满足题意的正整数n ； 当42n a n =-，∴()224222n n n S n ⎡⎤+-⎣⎦==.令2260800n n >+，即2304000n n -->， 解得40n >或10n <-（舍去）， ∴最小正整数41n =. 18．为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求 ①顾客所获的奖励额为60元的概率 ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 【答案】(1)12,参考解析;(2)参考解析 【解析】试题分析：(1)由袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元,又规定每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额..由获得60元的事件数1113C C 除以总的事件数24C 即可. 顾客获得奖励有两种情况20元,60元.分别计算出他们的概率,再利用数学期望的公式即可得结论. (2) 根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元.根据题意有两种获奖励的情况,确定符合题意的方案,分别仅有一种.再分别计算出两种方案相应的概率以及求出数学期望和方差.即可得到结论.试题解析：(1)设顾客所获的奖励为X. ①依题意,得1113241(60)2C C P X C ===.即顾客所获得的奖励额为60元的概率为12. ②依题意,得X 的所有可能取值为20,60.232411(60),(20)22C P X P X C =====.即X 的分布列为所以顾客所获得的奖励额的期望为()200.5600.540E X =⨯+⨯=（元）.(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元.所以先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以数学期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析:对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励为1X ,则1X 的分布列为1X 的期望为1121()206010060636E X =⨯+⨯+⨯=,1X 的方差为22211211600()(2060)(6060)(10060)6363D X =-⨯+-⨯+-⨯=. 对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励为2X ,则2X 的分布列为2X406080P1623162X 的期望为2121()40608060636E X =⨯+⨯+⨯=,2X 的方差为2222121400()(4060)(6060)(8060)6363D X =-⨯+-⨯+-⨯=.由于两种方案的奖励额都符合要求,但方案2奖励的方差比方案1的小,所以应该选择方案2. 【考点】1.概率.2.统计.3.数学期望,方差.19．如图，ABCD 是块矩形硬纸板，其中222AB AD ==，E 为DC 中点，将它沿AE 折成直二面角D AE B --.（1）求证：AD ⊥平面BDE ；（2）如果()0AH HB λλ=>，求二面角H AD E --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）33. 【解析】（1）利用题设条件和线面垂直的性质，分别证得AD DE ⊥和BE AD ⊥，再结合线面垂直的判定定理，即可证得AD ⊥平面BDE ；（2）取AB 中点F ，连结OF ，得到OF ⊥平面ADE ，以O 为原点，OA ，OF ，OD 为x ，y ，z 轴建立直角坐标系分别求得平面ABD 和平面ADE 的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）由题设可知AD DE ⊥，取AE 中点O ，连结OD 、BE ，∵2AD DE ==，∴OD AE ⊥，又∵二面角D AE B --为直二面角，∴OD ⊥平面ABCE ， ∴OD BE ⊥，2AE BE ==，22AB =， ∴222AB AE BE =+，AE BE ⊥，OD AE O =，∴BE ⊥平面ADE ，又∵AD ⊂平面ADE ∴BE AD ⊥， 又∵BE DE E ⋂=，∴AD ⊥平面BDE.（2）二面角H AD E --的平面角即二面角B AD E --的平面角. 取AB 中点F ，连结OF ，则//OF EB ，∴OF ⊥平面ADE ，以O 为原点，OA ，OF ，OD 为x ，y ，z 轴建立直角坐标系（如图所示），则()1,0,0A ，()0,0,1D ，()120B -,,，可得()1,0,1AD =-，()1,21BD =-,， 设(),,m x y z =是平面ABD 的一个法向量，则0m BD ⋅=，0m AD ⋅=，∴200x y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，取1x =，1y =，1z =，则()1,1,1m =，又由平面ADE 的法向量()0,1,0OF =，所以13cos 313m OF m OFθ⋅===⋅， 即二面角H AD E --的余弦值为3.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20．已知椭圆22221x y a b+=，O 为坐标原点，长轴长为4，离心率12e =.（1）求椭圆方程；（2）若点A ，B ，C 都在椭圆上，D 为AB 中点，且 2CO OD =，求ABC 的面积？【答案】（1）22143x y +=；（2）92. 【解析】（1）直接根据离心率和长轴长定义得到答案.（2）考虑斜率存在和不存在两种情况，联立方程根据韦达定理得到根与系数关系，根据向量运算和中点坐标公式得到CD 坐标，计算弦长和点到直线距离，代入面积公式得到答案. 【详解】（1）根据题意知：24a =，2a =，12c e a ==，故1c =，b =22143x y +=. （2）①若直线AB 垂直于x 轴，则AB 中点在x 轴上，不妨取点()2,0C ，根据2CO OD =得()1,0D -，故31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故3AB =，11933222ABCSAB CD =⋅=⨯⨯=． ②若直线斜率存在，设直线:AB y kx m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立椭圆得22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得到()()222438430k x kmx m +++-=，判别式()2204834k m ∆+->=，即22340k m +->，()12221228434343km x x k m x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩， AB 中点2243,4343km m D k k -⎛⎫⎪++⎝⎭，根据2CO OD =得到点2286,4343km m C k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 因为点C 在椭圆上，代入椭圆2222864343143km m k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得22344k m +=.验证满足>0∆，则12x AB =-=3m==，又原点O 到直线AB 的距离d =所以1322ABO S d AB ==△，所以932ABC ABO S S ==△△． 综上所述：ABC 的面积为92. 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，椭圆内的面积问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21．已知()()1xf x e ax a =--∈R .（1）若()0f x ≥对x ∈R 恒成立，求实数a 范围；（2）求证：对*n ∀∈Ne <. 【答案】（1）{}1a a =；（2）证明见解析.【解析】（1）先对函数求导，得到()xf x e a '=-，分别讨论0a ≤，0a >两种情况，用导数的方法判断单调性，求出最值，即可得出结果；（2）先由（1）得到，1a =时，()10xx e f x =--≥，所以1x x e +≤，推出0x >时，()ln 1x x +<，令1xk ，则11ln 1k k⎛⎫ ⎪⎝<⎭+，从而()ln 1ln 1k k k k +-<，用累加法进行处理，即可得出结论成立. 【详解】解：（1）因为()1xf x e ax =--，所以()xf x e a '=-，当0a ≤时，()0f x >对x ∈R 恒成立， 则()f x 在R 上单调递增， 又()1110f a e-=+-<，与题设矛盾； 当0a >时，由0fx，得ln x a <，由0fx，得ln x a >，∴()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增，∴()()ln min ln ln 1ln 1af x f a ea a a a a ==--=--，令()()ln 10g a a a a a =-->， ∴()()()1ln 1ln 0g a a a a '=-+=->.由()0g a '>，得01a <<；由()0g a '<，得1a >. ∴()g a 在0,1单调递增，在(1,)+∞单调递减， ∴()()max 10g a g ==，∴只有1a =满足()0f x ≥对x ∈R 恒成立. 综上，a 的取值范围是{}1a a =.（2）由（1）可知，1a =时，()10xx e f x =--≥，则1x x e +≤，∴当0x >时，()ln 1x x +<， 令1xk ，则11ln 1k k⎛⎫ ⎪⎝<⎭+，从而()ln 1ln 1k k k k +-<，∴()()()11ln 1ln 1ln k k k k k ++-<++，1,2,,k n =.∴()()()11ln 1ln 1ln n n n n n ++-<++，4ln 43ln31ln 4-<+ 3ln32ln 21ln3-<+2ln21ln11ln2-<+以上各式相加，得()()()1ln 1ln 2ln3ln 4ln ln 1n n n n n ++<+++++++，∴()ln 1ln !n n n n +<+，∴()1ln 11ln !n n n+<+∴ln1<，e <. 【点睛】本题主要考查由函数的最值求参数，以及导数的方法证明不等式，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数单调性、最值等，属于常考题型.22．在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.【答案】（1）[]1,0,.x cos y sin ααπα=+⎧∈⎨=⎩为参数；（2）3(2【解析】（1）先求出半圆C 的直角坐标方程，由此能求出半圆C 的参数方程； （2）设点D 对应的参数为α，则点D 的坐标为()1+cos ,sin αα，且[]0,απ∈ ，半圆C 的圆心是()1,0C 因半圆C 在D 处的切线与直线l 垂直，故直线DC 的斜率与直线l 的斜率相等，由此能求出点D 的坐标.【详解】（1）由ρ2cos θ=，得[]2220,01x y x y +-=∈， ，所以C 的参数方程为[]1,0,.x cos y sin ααπα=+⎧∈⎨=⎩为参数（2）[]sin 0πtan 0,,1+cos 1233D αααπαα⎛-=⇒=∈∴= -⎝⎭【点睛】本题主要考查参数方程与极坐标方程，熟记直角坐标方程与参数方程的互化以及普通方程与参数方程的互化即可，属于常考题型.23．若0,0a b >>,且11a b+= （1）求33+a b 的最小值；（2）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.【答案】（1）（2）不存在.【解析】（1）由已知11a b+=，利用基本不等式的和积转化可求2ab ≥，利用基本不等式可将33+a b 转化为ab ，由不等式的传递性，可求33+a b 的最小值；（2）由基本不等式可求23a b +的最小值为6>，故不存在． 【详解】（111a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==故33+a b ≥≥a b ==所以33+a b 的最小值为；（2）由（1）知，23a b +≥≥由于6>，从而不存在,a b ，使得236a b +=成立． 【考点定位】 基本不等式．。

2020成都市高三零诊考试数学理科试题及详细解析1.题目：已知复数 $z=i(1-i)$，求其虚部。

解析：本题考察复数的定义与代数表示法、虚数单位的定义与性质、复数运算的法则与基本方法、复数虚部的定义与确定的基本方法。

通过复数运算的法则与基本方法，结合问题条件，可以得到复数 $z$ 的代数表示式。

利用复数虚部确定的基本方法，可以求出复数 $z$ 的虚部，选项为 A。

2.题目：已知集合 $A=\{1.2.3.4\}$，$B=\{x|x-x-6<0\}$，求 $A\cap B$。

解析：本题考察集合的表示法、一元二次不等式的定义与解法、集合交集的定义与运算方法。

通过一元二次不等式的解法，结合问题条件化简集合 $B$，利用几何交集运算的基本方法，可以求出 $A\cap B$，选项为 B。

3.题目：已知某赛季甲、乙两名篮球运动员 9 场比赛所得分数的茎叶图，判断下列说法的正确性。

解析：本题考察茎叶图的定义与性质、极差的定义与求法、中位数的定义与求法、众数的定义与求法、平均数的定义与求法。

通过茎叶图的性质，分别求出甲所得分数的极差、乙所得分数的中位数、甲、乙所得分数的众数和平均数，判断选项的正确性。

11+15+17+20+22+22+24+32+3321.8。

98+11+12+16+18+20+22+22+31x乙17.8，21.8>17.8，∴x甲x乙所以选项D错误。

选D。

x+2y-2≤4。

4、若实数x，y满足约束条件x-1≥0，2y≥x，则z=x-2y的最小值为（）AB2y≥x，C4D6x甲解析】考点】不等式表示的平面区域的定义与求法；不等式组表示的平面区域（可行域）的定义与求法；最优解的定义与求法。

解题思路】根据约束条件，画出可行域图形，然后求目标函数在可行域内的最小值，即可得出答案。

详细解答】作出约束条件的可行域如图所示，y由x+2y-2=0，得x=1，x+2y-2=0，得x=2，x-1=0，x-1=0，y=1/2，y=0，y=0，Ax+2y-2=0A（1，1/2），B（1，0），C（2，0），当目标函数经过点A时，z=1-2×1/2=1-1=0；当目标函数经过点B时，z=1-2×0=1-0=1；当目标函数经过点C时，z=2-2×0=2-0=2，∴z=x-2y的最小值为0，所以选项A正确，∴选A。

2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第1题5分2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟文科第1题5分设集合A={x|x2−4x+3<0}，B={x|2x−3>0}，则A∪B=（）．)A. (−3,−32)B. (−3,32)C. (1,32D. (1,+∞)2、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第2题5分2018~2019学年天津和平区天津市耀华中学高二下学期期中第2题5分2019~2020学年3月江苏南京建邺区中华中学高二下学期月考第3题5分2016年高考真题全国卷II理科第1题5分2017~2018学年广东广州天河区广州市第八十九中学高三上学期期中理科第1题5分已知z=(m+3)+(m−1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）．A. (−3,1)B. (−1,3)C. (1,+∞)D. (−∞,−3)3、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第3题5分2019~2020学年4月陕西西安碑林区西安市铁一中学高三下学期月考理科（二模）第7题5分2018~2019学年广东深圳福田区深圳明德实验学校高二下学期期中理科第9题5分2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟文科第3题5分某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）．A. 13B. 12C. 23D. 344、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第4题5分 设向量a →=(m,1)，b →=(1,2)，且|a →+b →|2=|a →|2+|b →|2，则m =（ ）．A. 1B. 2C. −1D. −25、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第5题5分 2018~2019学年江苏徐州丰县期末第4题5分2018~2019学年12月北京海淀区中国人民大学附属中学高三上学期月考理科第4题5分 2018~2019学年广东深圳南山区高一上学期期末第8题5分2018~2019学年12月天津津南区天津市咸水沽一中高三上学期月考文科第5题5分若将函数y =2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（ ）．A. x =kπ2−π6(k ∈Z) B. x =kπ2+π6(k ∈Z) C. x =kπ2−π12(k ∈Z) D. x =kπ2+π12(k ∈Z)6、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第6题5分 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟文科第6题5分2016年高考真题全国卷III 理科第4题5分2019~2020学年北京海淀区北京一零一中学高三下学期开学考试第4题某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15∘C ，B 点表示四月的平均最低气温约为5∘C ．下面叙述不正确的是（ ）．A. 各月的平均最低气温都在0∘C以上B. 七月的平均温差比一月的平均温差大C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同D. 平均气温高于20∘C的月份有5个7、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第7题5分2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟文科第7题5分2018~2019学年6月贵州遵义汇川区遵义航天高级中学高三下学期月考理科第7题3分2018~2019学年12月贵州遵义汇川区遵义航天高级中学高三上学期月考文科（四模）第6题5分2018~2019学年3月天津河东区天津市第五十四中学高一下学期月考第7题4分某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是（）．A. 2B. 4C. 6D. 88、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第8题5分2020~2021学年江苏南京玄武区南京外国语学校高一上学期期中第5题3分已知a=243，b=425，c=2513，则（）．A. b<a<cB. a<b<cC. b<c<aD. c<a<b9、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第9题5分2020~2021学年四川成都青羊区成都石室中学（文庙校区）高二上学期开学考试第12题5分2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟文科第9题5分2019~2020学年3月江西南昌青山湖区江西师范大学附属中学高一下学期月考第9题5分2019~2020学年11月陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三上学期月考理科（五模）第7题5分在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则cos⁡∠BAC=（）．A. 3√1010B. √1010C. −√1010D. −3√101010、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第10题5分已知P(x0,y0)是椭圆C:x24+y2=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若PF1→⋅PF2→<0，则x0的取值范围是（）．A. (−2√33,2√3 3)B. (−2√63,2√6 3)C. (−√33,√3 3)D. (−√63,√6 3)11、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第11题5分点P是棱长为3的正四面体ABCD的面ABC内一动点，DP=52，设异面直线DP与BC所成的角为α，则sin⁡α的最小值为（）．A. 2√65B. 2√35C. √34D. √6−√2212、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第12题5分定义在区间[−π,π]的函数f(x)=2cos⁡2x+[2sin⁡x]有（）个零点．（其中[x]表示不大于实数x的最大整数）A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第13题5分2019~2020学年天津和平区天津市第一中学高二下学期期中第15题2016年高考真题全国卷I理科第14题5分2019~2020学年北京海淀区北京一零一中学高三下学期开学考试第11题(2x+√x)5的展开式中，x3的系数是．（用数字填写答案）14、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第14题5分2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟文科第14题5分2017~2018学年10月河北邯郸大名县大名县第一中学高三上学期月考文科第18题4分若x，y满足约束条件{x−y+1⩾0x−2y⩽0x+2y−2⩽0，则z=x+y的最大值为．15、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第15题5分2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟文科第15题5分在△ABC中，∠A=60°，BC=2√3，D为BC中点，则AD最长为．16、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第16题5分2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟文科第16题5分抛物线y2=2px(p>0)上点A与焦点F距离为2，以AF为直径的圆与y轴交于点H(0,1)，则p=．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第17题12分2020~2021学年北京西城区北京师范大学实验中学高二下学期期中第15题10分2014年高考真题湖北卷理科第18题2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟文科第17题12分2018~2019学年10月山东潍坊寿光市山东省寿光市第一中学高三上学期月考第20题12分已知等差数列{a n}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．(1) 求数列{a n}的通项公式；(2) 记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n>60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．18、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第18题12分2017~2018学年4月江苏南通启东市启东中学高二下学期月考理科第19题16分2014年高考真题福建卷理科第18题为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1) 若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2) 商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．19、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第19题12分如图，ABCD是块矩形硬纸板，其中AB=2AD=2√2，E为DC中点，将它沿AE折成直二面角D−AE−B．(1) 求证：AD⊥平面BDE．(2) 如果AH→=λHB→(λ>0)，求二面角H−AD−E的余弦值．20、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第20题12分2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟文科第20题12分已知椭圆x 2a2+y2b2=1，O为坐标原点，长轴长为4，离心率e=12．(1) 求椭圆方程．(2) 若点A，B，C都在椭圆上，D为AB中点，且CO→=2OD→，求△ABC的面积？21、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第21题12分已知f(x)=e x−ax−1(a∈R)．(1) 若f (x )⩾0对x ∈R 恒成立，求实数a 范围．(2) 求证：对∀n ∈N ∗，都有√n!n <e ．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第22题10分 2018~2019学年1月山西太原小店区山西省实验中学高三上学期月考理科第23题10分 2018~2019学年4月湖南长沙雨花区雅礼中学高三下学期月考理科第22题10分2014年高考真题新课标卷II 文科第23题2018~2019学年4月湖南长沙雨花区雅礼中学高三下学期月考文科第22题10分在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ=2cos⁡θ，θ∈[0,π2]．(1) 求C 的参数方程；(2) 设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y =√3x +2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第23题10分 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟文科第23题10分2015~2016学年3月湖南长沙开福区长沙市第一中学高三下学期月考理科第24题10分 若a >0,b >0，且1a +1b=√ab ． (1) 求a 3+b 3的最小值；(2) 是否存在a 、b ，使得2a +3b =6？并说明理由．1 、【答案】 D;2 、【答案】 A;3 、【答案】 B;4 、【答案】 D;5 、【答案】 B;6 、【答案】 D;7 、【答案】 C;8 、【答案】 A;9 、【答案】 C;10 、【答案】 B;11 、【答案】 A;12 、【答案】 D;13 、【答案】10;;14 、【答案】3215 、【答案】3;16 、【答案】2;17 、【答案】 (1) a n=2或a n=4n−2．;(2) 存在，最小值为41．;18 、【答案】 (1) P=1，E(X)=40．2;(2) 选择方案二：20，20，40，40．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) cos⁡θ=√3．3;20 、【答案】 (1)x 24+y 23=1．;(2) 92．;21 、【答案】 (1) {a |a =1}．;(2) 证明见解析．; 22 、【答案】 (1) {x =1+cos⁡t y =sin⁡t，(t 为参数，0⩽t ⩽π)． ;(2) (32,√32)． ;23 、【答案】 (1) a 3+b 3的最小值为4√2;(2) 不存在a ，b 使得2a +3b =6，证明见解析． ;。

数学（理）试题一、单选题1．已知复数满足，则为A． B． C．2 D．1【答案】A【解析】首先利用复数的运算法则，求出复数z，再应用复数的模的运算公式，求得结果.【详解】由，得，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算法则和除法运算法则，还有复数的模，属于简单题目.2．设全集，集合，，则A． B．C． D．【答案】B【解析】由集合或，先求解，再由集合能够求出答案.【详解】因为全集,集合或，所以，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，属于基础题，其中解答中准确计算集合和集合的交集、补集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.3．在的二项展开式中，若第四项的系数为，则（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B【解析】 ， ，，解得： ，故选B.4．在△ABC 中， 60A =︒, 2AB =,且ABC ∆的面积为32，则BC 的长为（ ） A ．32B ．3C ．23D ．2 【答案】B 5．在区间内随机取两个数分别记为，，则使得函数有零点的概率为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B6．如果执行如图所示的程序框图，输出的S ＝110，则判断框内应填入的条件是( )．A．k＜10? B．k≥11? C．k≤10? D．k＞11?【答案】C7．已知函数，将的图像上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图像向上平移1个单位长度，得到函数的图像，若，则的值可能为A． B． C． D．【答案】B8．外接圆的半径为，圆心为，且，，则（）.A． B． C． D．【答案】C【解析】为边BC的中点，因而,又因为,所以为等边三角形，.9．给出下列说法：①“”是“”的充分不必要条件；②命题“，”的否定形式是“，”.③将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为种.其中正确说法的个数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据充要关系、存在性问题否定形式以及排列组合分别判断，最后得结果. 【详解】①时，反之不然，所以“”是“”的充分不必要条件；②命题“，”的否定形式是“，”, ②错；③四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，分法有种，其中甲、乙两名学生分到同一个班，有种，因此甲、乙两名学生不能分到同一个班的分法种数为种.综上正确说法的个数为2，选C.10．某多面体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的体积之比为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A11．设双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b >>）的左右焦点分别为12,F F ，以12,F F 为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P ，若以1OF （O 为坐标原点）为直径的圆与2PF 相切，则双曲线C 的离心率为（ ）A 2362-+ C 3 D 362+ 【答案】D【解析】试题分析：解：设以1OF （O 为坐标原点）为直径的圆与2PF 相切于点K ,圆心为点M ，1PF m = ， 2PF n = ，由题意可知：2222222{4n m am n c c a b -=+==+ ，解得： 2222{m b c aa b c =+-++ ， 设21PF F α∠= ，则222tan m c a b c n α-+== ，在2Rt MKF V 中可得： 2tan 22KM KF α== ， 据此可得： 222222c a b c b -+= ， 整理可得： ()()4222942421890c a c a -+-+= ，则：()()42942421890e e -+-+= ，分解因式有： ()()22942910e e ⎡⎤--⨯-=⎣⎦ ，双曲线的离心率1e ≠ ，故： ()294290e --= ，解得： 22942942e == ⎪--⎝⎭ ，双曲线的离心率： 3627942e +==- . 本题选择D 选项.12．已知函数，若函数恰有5个零点，且最小的零点小于-4，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】设，则充分利用函数的图象，分类讨论ａ的取值情况，得到的取值范围． 【详解】当时，，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故.当时，的图像恒过点，当时，；当时，.有5个零点，即方程有5个解，设，则.结合图像可知，当时，方程有三个根，，（∵，∴），于是有1个解，有1个解，有3个解，共有5个解.由，得，再由，得，∵，∴.而当时，结合图像可知，方程不可能有5个解.故选：C二、填空题13．某人次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为，，，，.已知这组数据的平均数为，方差为，则的值为__________.【答案】14．已知实数，满足，若的最大值为，则实数__________.【答案】【解析】结合不等式组，建立可行域，平移目标函数，计算参数，即可。

2020年四川省成都市七中实验学校高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知实数x，y满足，则z=﹣3x﹣y的最大值为（）A．﹣19 B．﹣7 C．﹣5 D．﹣4参考答案：C【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图所示，联立，解得A（2，﹣1），化目标函数z=﹣3x﹣y为y=﹣3x﹣z，由图可知，当直线z=﹣3x﹣y过点A（2，﹣1）时，z=﹣3x﹣y有最大值，最大值为﹣5．故选：C．2. 已知凸函数的性质定理“对于定义域内的任意自变量，都有”成立。

若函数在区间上是凸函数，则在中，的最大值是（）A B C D参考答案：C略3. 一征棱长为3的正方体内任取一点P，则点P到该正方体的六个面的距离的最小值不大于1的概率为参考答案：D4. 设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件参考答案：A若，使，即两向量反向，夹角是180°，那么，反过来，若，那么两向量的夹角为（90°，180°]，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分不必要条件，故选A.5. 已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（）A.13万件B.11万件C. 9 万件 D. 7万件参考答案：C6. 已知函数f（x）满足f（x+2）=f（x﹣2），y=f（x﹣2）关于y轴对称，当x∈（0，2）时，f（x）=log2x2，则下列结论中正确的是（）A．f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）B．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）C．f（7）＜f （6.5）＜f（4.5）D．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）参考答案：A【考点】抽象函数及其应用．【分析】求解本题需要先把函数的性质研究清楚，由三个条件知函数周期为4，其对称轴方程为x=2，在区间[0，2]上是增函数，观察四个选项发现自变量都不在已知的单调区间内故应用相关的性质将其值用区间[0，2]上的函数值表示出，以方便利用单调性比较大小【解答】解：∵f（x+2）=f（x﹣2），y=f（x﹣2）关于y轴对称，∴f（x）是以4为周期的周期函数，其图象的对称轴为x=2，∵当x∈（0，2）时，f（x）=log2x2，∴f（x）在区间（0，2）是增函数；∴f（4.5）=f（0.5），f（7）=f（3）=f（2+1）=f（2﹣1）=f（1），f（6.5）=f（2.5）=f（2+0.5）=f（2﹣0.5）=f（1.5），∵0＜0.5＜1＜1.5＜2，且函数y=f（x）在区间[0，2]上是增函数，∴f（0.5）＜f（1）＜f（1.5），即f（4.5）＜f（7）＜f（6.5），故选：A．7. 已知定义在上的函数,对任意,都有成立,若函数的图象关于点对称,则 =（A）0 （B）2014 （C）3 （D）—2014参考答案：A8. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，，且，则b =（）A．2 B．3 C. 4 D．5参考答案：C9. 设，则（）A． B． C． D．参考答案：C10. 复数在复平面上位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知五个实数依次成等比数列，则 =___________．参考答案：略12. 设，则等于．参考答案：，所以，故答案为．13. （不等式选做题）不等式| x－5| +|x+3|≥10的解集是____ 。

成都七中2020届高中毕业班三诊模拟数 学(理科)命题：巢中俊 审题：钟梁骏 张世永本试卷分选择题和非选择题两部分. 第Ⅰ卷(选择题)1至2页,第Ⅱ卷 (非选择题)3至4页,共4页,满分150分,考试时间120分钟. 注意事项：1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,只将答题卡交回.第Ⅰ卷 (选择题,共60分)一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{1,0,1,2,3,4},{|,}A B y y x x A =-==∈,则A B =I(A){0,1,2} (B){0,1,4} (C){1,0,1,2}- (D){1,0,1,4}- 2. 已知复数11iz =+,则||z =(A)2(B)1 (D)2 3. 设函数()f x 为奇函数,当0x >时,2()2,f x x =-则((1))f f = (A)1- (B)2- (C)1 (D)24. 已知单位向量12,e e 的夹角为2π3,则122e e -=(A)3 (B)75. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为3y x =±,则双曲线的离心率是(B)3 (C)10 (D)1096. 在等比数列{}n a 中,10,a >则“41a a <”是“53a a <”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件7. 如图所示的程序框图,当其运行结果为31时,则图中判断框①处应填入的是(A)6?i ≤ (B)5?i ≤ (C)4?i ≤ (D)3?i ≤8. 已知,a b 为两条不同直线,,,αβγ为三个不同平面,下列命题：①若///,,/ααγβ则//βγ；②若//,//,a a αβ则//αβ；③若,,αγγβ⊥⊥则αβ⊥；④若,,a b αα⊥⊥则//a b .其中正确命题序号为 (A)②③(B)②③④(C)①④(D)①②③9. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为1,5,11,21,37,61,95,则该数列的第8项为 (A)99(B)131(C)139(D)14110. 已知πlog e,a =πln ,eb =2e ln ,πc =则(A)a b c << (B)b c a <<(C)b a c <<(D)c b a <<11. 过正方形1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ,使得l 与直线11,B C C D 所成的角均为60︒,则这样的直线l 的条数为(A)1 (B)2 (C) 3 (D) 412. 已知P 是椭圆2214x y +=上一动点,(2,1),(2,1)A B -,则cos ,PA PB u u u r u u u r 的最大值是第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上. 13.已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 且111,1(2),n n a a S n -==+≥则4a =14. 已知实数,x y 满足线性约束条件117x y x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩,则目标函数2z x y =+的最大值是15. 如图是一种圆内接六边形ABCDEF ,其中BC CD DE EF FA ====且.AB BC ⊥则在圆内随机取一点,则此点取自六边形ABCDEF 内的概率是16. 若指数函数x y a =(0a >且1)a ≠与三次函数3y x =的图象恰好有两个不同的交点,则实数a 的取值范围是三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 已知2.tan sin a bA B= (1)求角A 的大小； (2)若2,a b ==求ABC ∆的面积.18.(本小题满分12分)成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效,对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查(满分100分,最低分20分).根据检查结果：得分在[80,100]评定为“优”,奖励3面小红旗；得分在[60,80)评定为“良”,奖励2面小红旗；得分在[40,60)评定为 “中”,奖励1面小红旗；得分在[20,40)评定为“差”,不奖励小红旗.已知统计结果的部分频率分布直方图如下图：(1)依据统计结果的部分频率分布直方图,求班级卫生量化打分检查得分的中位数；(2)学校用分层抽样的方法,从评定等级为“优”、“良”、“中”、“差”的班级中抽取10个班级,再从这10个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核,记抽样复核的2个班级获得的奖励小红旗面数和为X ,求X 的分布列与数学期望()E X .19.(本小题满分12分)如图,在四棱锥M ABCD -中,2,2.,,3AB AM AD MB MD AB AD =====⊥ (1)证明：AB ⊥平面ADM ； (2)若//CD AB 且23CD AB =,E 为线段BM 上一点,且2BE EM =,求直线EC 与平面BDM 所成角的正弦值.20.(本小题满分12分)已知函数22e (),(e,).ln x xf x x x x++=∈+∞ (1)证明：当(e,)x ∈+∞时,3eln ex x x ->+； (2)若存在*0[,1)()x n n n N ∈+∈使得对任意的(e,)x ∈+∞都有0()()f x f x ≥成立. 求n 的值.(其中e 2.71828=L 是自然对数的底数).21.(本小题满分12分)已知点P 是抛物线21:2C y x =上的一点,其焦点为点,F 且抛物线C 在点P 处的切线l 交圆:O 221x y +=于不同的两点,A B .(1)若点(2,2),P 求||AB 的值；(2)设点M 为弦AB 的中点,焦点F 关于圆心O 的对称点为,F '求||F M '的取值范围.请考生在第22,23题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的标号涂黑.22.(本小题满分10分)选修44-：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为233x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数,0πα≤≤).在以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,射线l 的极坐标方程是π6θ=.(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)若射线l 与曲线C 相交于,A B 两点,求||||OA OB ⋅的值.23.(本小题满分10分)选修45-：不等式选讲已知0,0,a b >>且24,a b +=函数()2f x x a x b =++-在R 上的最小值为.m(1)求m 的值；(2)若22a mb tab +≥恒成立,求实数t 的最大值.成都七中2020届高中毕业班三诊模拟数 学(理科)参考答案及评分意见第Ⅰ卷 (选择题,共60分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.B ；2.A ；3.C ；4.D ；5.A ；6.A ；7.B ；8.C ；9.D ； 10.B ； 11.C ； 12.A.第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)二、填空题(每小题5分,共20分)13.8； 14.15；； 16.3e (1,e ).三、解答题(共70分)17. 解：(1)由正弦定理知sin sin a b A B =,又2,tan sin a b A B =所以2.sin tan a aA A= 于是1cos ,2A =因为0π,A <<所以π.3A = L L 6分(2)因为π2,,3a b A ===22π222cos ,3c c =+-⨯⨯即2230.c c --=又0,c >所以 3.c =故ABC ∆的面积为11πsin 23sin 223bc A =⨯⨯⨯=L L 12分18.解：(1)得分[20,40)的频率为0.005200.1⨯=；得分[40,60)的频率为0.010200.2⨯=； 得分[80,100]的频率为0.015200.3⨯=；所以得分[60,80)的频率为1(0.10.20.3)0.4.-++=设班级得分的中位数为x 分,于是600.10.20.40.520x -++⨯=,解得70.x = 所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为70分. L L 5分 (2)由(1)知题意“优”、“良”、“中”、“差”的频率分别为0.3,0.4,0.2,0.1.又班级总数为40.于是“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为12,16,8,4．分层抽样的方法抽取的“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为3,4,2,1. 由题意可得X 的所有可能取值为1,2,3,4,5,6.211214410101111111324221120211(1),(2),(3,145945)C C C C C C P X P X P C C C X C C C +=======+== 2432111123101021304224(4),(5),(6)41151515.C C C C P X P X P X C C C C C ========+=L L 9分 所以XP245 19 1145415 415 115459451512()123456515.455E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==所以X 的数学期望19().5E X = L L 12分 19.解：(1)因为2AB AM ==,22MB =所以222.AM AB MB +=于是.AB AM ⊥ 又,AB AD ⊥且,AM AD A AM =I 平面,ADM AD ⊂平面ADM ,所以AB ⊥平面.ADM L L 5分 (2)因为2,3AM AD MD ===,所以120.MAD ∠=︒如图所示,在平面ADM 内过点A 作x 轴垂直于AM ,又由(1)知AB ⊥平面ADM ,于是分别以,AM AB 所在直线为,y z 轴建 立空间直角坐标系.A xyz -于是4(3,1,0),(3,1,),(0,0,2),(0,2,0).3D C B M --因为2BE EM =,于是42(0,,).33E 所以72(3,,),(0,2,2),(3,1,2).33EC BM BD =-=-=--u u u r u u u ur u u u r设平面BDM 的法向量为,n r 于是00BM n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r r u u u r r即220.320y z x y z -=⎧⎪--=取1z =得(3,1,1).n =r 设直线EC 与平面BDM 所成角为θ,则413sin cos ,.54553EC n EC n EC nθ⋅====⨯u u u r ru u u r r u u u r r 所以直线EC 与平面BDM 所成角的正弦值为1.5L L 12分20.解：(1)令3e ()ln ,(e,).e x g x x x x -=-∈+∞+则22214e (e)()0.(e)(e)x g x x x x x -'=-=>++于是()g x 在(e,)+∞单调递增,所以()(e)0,g x g >=即3eln ,(e,).ex x x x ->∈+∞+ L L 5分 (2)22222222(21)ln (e )(ln 1)(e )ln (e )().(ln )(ln )x x x x x x x x x x f x x x x x +-+++--++'== 令2222()(e )ln (e ),(e,).h x x x x x x =--++∈+∞当(e,)x ∈+∞时,由(1)知3e ln .e x x x ->+则222223e 4e 1()(e )(e )2(4e 1)2(),e 2x h x x x x x x x x x -+>--++=-+=-+ (i)当4e 1[,)2x +∈+∞时,于是()0h x >,从而()0.f x '>故()f x 在4e 1[,)2++∞严格单调递增.其中4e 15.936562+=LL L 9分 (ii)当(e,5]x ∈时,则2222222222()(e )ln 5(e )2(e )(e )3e h x x x x x x x x x ≤--++<--++=--2203e 0.≤-<(用到了223e x x --在(e,5]单调递增与2e 7>)于是()0f x '<,故()f x 在(e,5]严格单调递减. L L 11分综上所述,()f x 在(e,5]严格单调递减,在4e 1[,)2++∞严格单调递增. 因为4e 16,2+<所以0[5,6).x ∈所以 5.n = L L 12分21.解：设点00(,)P x y ,其中2001.2y x =因为,y x '=所以切线l 的斜率为0,x 于是切线2001:.2l y x x x =-(1)因为(2,2),P 于是切线:2 2.l y x =-故圆心O 到切线l的距离为d =于是||AB === L L 5分(2)联立22200112x y y x x x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩得22340001(1)10.4x x x x x +-+-= 设1122(,),(,),(,).A x y B x y M x y 则301220,1x x x x +=+32240001()4(1)(1)0.4x x x ∆=--+-> 又200,x ≥于是2002x ≤<+于是32200120022001,.22(1)22(1)x x x x x y x x x x x +===-=-++ 又C 的焦点1(0,),F 于是1(0,).F '-故||F M '===L L 9分令201,t x =+则13t ≤<+于是||F M'==因为3t t+在单调递减,在+单调递增.又当1t =时,1||2F M '=；当t =时,||F M '=； 当3t =+时,11||.22F M '=>所以||F M '的取值范围为 L L 12分 22.解：(1)消去参数α得22(2)3(0)x y y -+=≥将cos ,sin x y ρθρθ==代入得22(cos 2)(sin )3,ρθρθ-+=即24cos 10.ρρθ-+=所以曲线C 的极坐标方程为2π4cos 10(0).3ρρθθ-+=≤≤L L 5分 (2)法1：将π6θ=代入2π4cos 10(0)3ρρθθ-+=≤≤得210ρ-+=,设12ππ(,),(,),66A B ρρ则12 1.ρρ=于是12|||| 1.OA OB ρρ⋅== L L 10分法2：π3θ=与曲线C 相切于点,M π||2sin 1,3OM ==由切割线定理知2|||||| 1.OA OB OM ⋅== L L 10分23.解：(1)3, (,),2()2, [,],23, (,).a x a b x a f x x a x b x a b x b x a b x b ⎧--+∈-∞-⎪⎪⎪=++-=++∈-⎨⎪+-∈+∞⎪⎪⎩.当(,)2ax ∈-∞-时,函数()f x 单调递减；当(,)x b ∈+∞时,函数()f x 单调递增.所以m 只能在[,]2a b -上取到.当[,]2ax b ∈-时,函数()f x 单调递增.所以2() 2.222a a a bm f a b +=-=-++== L L 5分 (2)因为22a mb tab +≥恒成立,且0,0a b >>,所以22a mb t ab +≤恒成立即mina b mb t a ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭.由(1)知2m =,于是a b a mb +≥== 当且仅当2aab =时等号成立即1)0,2(20.a b =>=> 所以t ≤,故实数t 的最大值为 L L 10分。

成都七中高2020届零诊热身试卷理科数学第Ⅰ卷一、选择题：每小题5分，共60分.1.已知集合{}11A x x =-<，{}210B x x =-<，则A B =U （ ） A. ()1,1- B. ()1,2-C. ()1,2D. ()0,1【答案】B【解析】由2{|11},{|10}A x x B x x =-<=-<得：{}|02A x x =<<，{}|11B x x =-<<， 则()1,2A B ⋃=-，故选B. 2.若1122aii i+=++，则复数a =（ ） A. 5i -- B. 5i -+C. 5i -D. 5i +【答案】D【解析】解：由题意可知：()()()12125ai i i i +=++= ，则515i a i i-==+ . 本题选择D 选项.3.设()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，当01x <<时，()2f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A. 14-B. 12-C.14D.12【答案】C【详解】因为()f x 的周期为2， 所以5512222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 又()f x 是奇函数，所以1122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以25111122224f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦故选B .4.为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x （万元）8.28.6 10.011.3 11.9 支出y （万元） 6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A. 11.4万元 B. 11.8万元C. 12.0万元D. 12.2万元【答案】B 【解析】由题，，所以．试题解析：由已知，又因为ˆˆˆybx a =+，ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- 所以，即该家庭支出为万元．5.设D 为ABC ∆中BC 边上的中点，且O 为AD 边上靠近点A 的三等分点，则（ ）A. 5166BO AB AC =-+u u u r u u ur u u u rB. 1162BO AB AC =-u u u r u u u r u u u rC. 5166BO AB AC =-u u u r u u u r u u u rD. 1162BO AB AC =-+u u u r u u u r u u u r【答案】A 【解析】由平面向量基本定理可得：()11513666BO AO AB AD AB AB AC AB AB AC =-=-=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，故选A.6.执行如图的程序框图，则输出x 的值是（ ）A. 1B. 2C.12D. 1-【答案】D【详解】计算过程如下：x2 －1 122 1-… 1-y0 1 2 3 4 … 1024 1024y <是是是是是是否当1024x =时，循环结束，所以输出1x =-. 故选D.7.等差数列{}n a 中的2a 、4032a 是函数()3214613f x x x x =-+-的两个极值点，则()2220174032log a a a ⋅⋅=（ ） A. 24log 6+ B. 5C. 23log 3+D. 24log 3+【答案】C 【解析】 由()3214613f x x x x =-+-，得()286f x x x =-+'，由()2860f x x x =-+='，且24032a a 、是()3214613f x x x x =-+-的极值点，得24032201728a a a +==，240326a a ⋅=，∴20174a =，则()222017403222log ?·log 243log 3a a a ==+，故选C.8.以下三个命题正确的个数有（ ）个.①若225a b +≠，则1a ≠或2b ≠；②定义域为R 的函数()f x ，函数()f x 为奇函数是()00f =的充分不必要条件；③若0x >，0y >且21x y +=，则11x y+的最小值为322+ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【答案】D【详解】当1a =且2b =时，225a b +=成立， 根据原命题与逆否命题真假一致，故①正确； 定义域为R 的奇函数()f x 必有()00f =，定义域为R 函数()f x 且满足()00f =不一定是奇函数，如()2f x x =，故②正确；若0x >，0y >且21x y +=， 则21323222112y x y x y y x yx x +=+++≥+⋅=+ 当且仅当2y x x y =即22,212x y -==-时等号成立，故③正确；故选D.9.甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。