最小二乘法汇总及matlab仿真

1 曲线拟合的线性最小二乘法及其MATLA程序例7.2.1 给出一组数据点（人，yj列入表7^2中，试用线性最小二乘法求拟合曲线,并用（7.2）, （7.3 ）和（7.4）式估计其误差，作出拟合曲线表7 - 2例7.2.1的一组数据（x^yj解(1)在MATLAB 工作窗口输入程序>> x=[-2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6];y=[-192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 6.5068.04];plot(x,y, 'r*'),legend('实验数据(xi,yi)' )xlabel( 'x' ), ylabel( 'y'),title('例7.2.1的数据点(xi,yi) 的散点图’)运行后屏幕显示数据的散点图(略)(3)编写下列MATLAB程序计算f(x)在(x i, y i)处的函数值，即输入程序>> syms a1 a2 a3 a4x=[-2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6];fi=a1.*x.A3+ a2.*x.A2+ a3.*x+ a4运行后屏幕显示关于a1,a2, a3和a4的线性方程组fi =[ -125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4,-4913/1000*a1+289/100*a2-17/10*a3+a4,-1331/1000*a1+121/100*a2-11/10*a3+a4, -64/125*a1+16/25*a2-4/5*a3+a4, a4,1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4,27/8*a1+9/4*a2+3/2*a3+a4, 19683/1000*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4,5832/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4]编写构造误差平方和的MATLAB程序>> y=[-192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 6.5068.04];fi=[-125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4,-4913/1000*a1+289/100*a2-17/10*a3+a4,-1331/1000*a1+121/100*a2-11/10*a3+a4,-64/125*a1+16/25*a2-4/5*a3+a4, a4,1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4,27/8*a1+9/4*a2+3/2*a3+a4,19683/1000*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4,5832/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4];fy=fi-y; fy2=fy.A2; J=sum(fy.A2)运行后屏幕显示误差平方和如下J=(-125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4+1929/10)A2+(-4913/1000*a1+289/100*a2-17/10*a3+a4+171/2)A2+(-1331/1000*a1+121/100*a2-11/10*a3+a4+723/20)A2+(-64/125*a1+16/25*a2-4/5*a3+a4+663/25)A2+(a4+91/10)A2+(1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4+843/100)A2+(27/8*a1+9/4*a2+3/2*a3+a4+328/25)A2+(19683/1000*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4-13/2)A2+(5832/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4-1701/25)A2Q I为求a1,a2,a3,a4使J达到最小，只需利用极值的必要条件——-0 (k =1,2,3,4)，得到关于a1,a2,a3,a4的线性方程组，这可以由下面的MATLAB程序完成，即输入程序>> syms al a2 a3 a4J=(-125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4+1929/10)A2+(-4913/1000*a1 +289/100*a2-17/10*a3+a4...+171/2)A2+(-1331/1000*a1+121/100*a2-11/10*a3+a4+723/20)A2+(-64/125*a1+16/25*a2-4/5*a3+a4+663/25)A2+(a4+91/10)A2+(1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4+843/100)A2+(27/8*a1+9/4*a2+3/2*a3+a4+328/25)A2+(19683/1000*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4-13/2)A2+(5832/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4-1701/25)A2;Ja1=diff(J,a1); Ja2=diff(J,a2); Ja3=diff(J,a3);Ja4=diff(J,a4);Ja11=simple(Ja1), Ja21=simple(Ja2), Ja31=simple(Ja3),Ja41=simple(Ja4),运行后屏幕显示J分别对a1, a2 ,a3 ,a4的偏导数如下Ja1仁56918107/10000*a1+32097579/25000*a2+1377283/2500*a3+23667/250*a4-8442429/625Ja21 =32097579/25000*a1 + 1377283/2500*a2+23667/250*a3+67*a4 +767319/625 Ja31 = 1377283/2500*a1+23667/250*a2+67*a3+18/5*a4-232638/125Ja41 = 23667/250*a1+67*a2+18/5*a3+18*a4+14859/25解线性方程组Jan =0，Ja21 =0，Ja31 =0，Ja41 =0，输入下列程序>>A=[56918107/10000, 32097579/25000, 1377283/2500, 23667/250; 32097579/25000, 1377283/2500, 23667/250, 67; 1377283/2500, 23667/250, 67, 18/5; 23667/250, 67, 18/5, 18];B=[8442429/625, -767319/625, 232638/125, -14859/25];C=B/A, f=poly2sym(C)运行后屏幕显示拟合函数f及其系数C如下C = 5.0911 -14.1905 6.4102 -8.2574f=716503695845759/140737488355328*xA3-7988544102557579/562949953421312*xA2 +1804307491277693/281474976710656*x-4648521160813215/562949953421312故所求的拟合曲线为3 2f(x) =5.0911 x -14.1905 x 6.4102 x - 8.2574 .(4)编写下面的MATLAB程序估计其误差，并作出拟合曲线和数据的图形.输入程序>> xi=[-2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6];y=[-192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 6.50 68.04];n=len gth(xi);f=5.0911.*xi.A3-14.1905.*xi.A2+6.4102.*xi -8.2574;x=-2.5:0.01: 3.6;F=5.0911.*x.A3-14.1905.*x.A2+6.4102.*x -8.2574;fy=abs(f-y); fy2=fy.A2; Ew=max(fy),E仁sum(fy)/n, E2=sqrt((sum(fy2))/n)plot(xi,y, 'r*'), hold on, plot(x,F, 'b-'), hold offlegend('数据点(xi,yi)'，拟合曲线y=f(x)'),xlabel( 'x'), ylabel( 'y'),title('例7.2.1的数据点(xi,yi)和拟合曲线y=f(x)的图形')运行后屏幕显示数据(X j,%)与拟合函数f的最大误差Ev,平均误差E和均方根误差E 及其数据点(X j,yj和拟合曲线y=f(x)的图形(略).Ew = E1 = E2 =3.105 4 0.903 4 1.240 9a*exp(71/10*b), a*exp(9/2*b), a*exp(13/5*b), a*exp(3/2*b), a,b 的线性方程组,7.3函数m(x)的选取及其MATLA 程序例7.3.1 给出一组实验数据点(x 「％ )的横坐标向量为x = (-8.5,-8.7,-7.1,-6.8,-5.10,-4.5,-3.6,-3.4,-2.6,-2.5, -2.1,-1.5, -2.7,-3.6)，纵横坐标向量为 y =( 459.26,52.81,198.27,165.60,59.17,41.66,25.92, 22.37,13.47, 12.87, 11.87,6.69,14.87,24.22)，试用线性最小二乘法求拟合曲线，并用(7.2)，( 7.3)和(7.4)式估计其误差，作出拟合曲线 .解 (1)在MATLAB 工作窗口输入程序>> x=[-8.5,-8.7,-7.1,-6.8,-5.10,-4.5,-3.6,-3.4,-2.6,-2.5, -2.1,-1.5, -2.7,-3.6];y=[459.26,52.81,198.27,165.60,59.17,41.66,25.92,22.37,13.47, 12.87, 11.87,6.69,14.87,24.22];plot(x,y, 'r*' ),legend( '实验数据(xi,yi)' ) xlabel( 'x' ), ylabel( 'y'),title('例7.3.1的数据点(xi,yi) 的散点图’)运行后屏幕显示数据的散点图(略)(3)编写下列MATLAB 程序计算f(x)在(x i , y i )处的函数值，即输入程序>> syms a bx=[-8.5,-8.7,-7.1,-6.8,-5.10,-4.5,-3.6,-3.4,-2.6,-2.5,-2 .1,-1.5,-2.7,-3.6]; fi=a.*exp(-b.*x)运行后屏幕显示关于a 和b 的线性方程组fi = [a*exp(17/2*b), a*exp(87/10*b), a*exp(71/10*b),a*exp(34/5*b), a*exp(51/10*b), a*exp(9/2*b), a*exp(18/5*b), a*exp(17/5*b), a*exp(13/5*b), a*exp(5/2*b), a*exp(21/10*b), a*exp(3/2*b), a*exp(27/10*b), a*exp(18/5*b)]编写构造误差平方和的 MATLAB 程序如下>>y=[459.26,52.81,198.27,165.60,59.17,41.66,25.92,22.37, 13.47,12.87, 11.87, 6.69,14.87,24.22]; fi =[ a*exp(17/2*b), a*exp(87/10*b), a*exp(34/5*b), a*exp(51/10*b), a*exp(18/5*b), a*exp(17/5*b), a*exp(5/2*b), a*exp(21/10*b), a*exp(27/10*b), a*exp(18/5*b)]; fy=fi-y; fy2=fy.A 2; J=sum(fy.A 2)运行后屏幕显示误差平方和如下J =(a*exp(17/2*b)-22963/50)A2+(a*exp(87/10*b)-5281/100)A2+( a*exp(71/10*b)-19827/100)A2+(a*exp(34/5*b)-828/5)A2+(a*exp(51/1 0*b)-5917/100)A2+(a*exp(9/2*b)-2083/50)A2+(a*exp(18/5*b)-648/25 F2+(a*exp(17/5*b)-2237/100)A2+(a*exp(13/5*b)-1347/100)A2+(a*ex p(5/2*b)-1287/100)A2+(a*exp(21/10*b)-1187/100)A2+(a*exp(3/2*b)- 669/100F2+(a*exp(27/10*b)-1487/100)A2+(a*exp(18/5*b)-1211/50)A 2为求a,b 使J 达到最小，只需利用极值的必要条件，得到关于 这可以由下面的 MATLAB 程序完成，即输入程序>> syms a bJ=(a*exp(17/2*b)-22963/50)A2+(a*exp(87/10*b)-5281/100)A2+(a*exp(71/10*b)-19827/100)A2+(a*exp(34/5*b)-828/5)A2+(a*exp(51 /10*b)-5917/100)A2+(a*exp(9/2*b)-2083/50)A2+(a*exp(18/5*b)-648/ 25)A2+(a*exp(17/5*b)-2237/100)A2+(a*exp(13/5*b)-1347/100F2+(a*exp(5/2*b)-1287/100)A2+(a*exp(21/10*b)-1187/100)A2+(a*exp(3/2*b )-669/100)A2+(a*exp(27/10*b )-1487/100F2+(a*exp(18/5*b)-1211/50 )A 2；Ja=diff(J,a); Jb=diff(J,b);Ja仁simple(Ja), Jb仁simple(Jb),运行后屏幕显示J分别对a, b的偏导数如下Ja1 =2*a*exp(3*b)+2*a*exp(17*b)+2*a*exp(87/5*b)+2*exp(68/5*b)*a+2*exp(9*b)*a+2*a*exp(34/5*b)-669/50*exp(3/2*b)-1487/50*exp(27/10*b)-2507/25*exp(18/5*b)-22963/25*exp(17/2*b)-5281/50*exp(87/10*b)-19827/50*exp(71/10*b)-2237/50*exp(17/5*b)-1656/5*exp(34/5*b)-1347/50*exp(13/5*b)-5917/50*exp(51/10*b)-1287/50*exp(5/2*b )-2083/25*exp(9/2*b)-1187/50* exp(21/10*b)+4*a*exp(36/5*b)+2*a*exp(26/5*b)+2*a*exp(71/5*b)+2*a*exp(51/5*b)+2*a*exp(5*b)+2*a*exp (21/5*b)+2*a*exp(27/5*b) Jb1 =1/500*a*(2100*a*exp(21/10*b)A2+8500*a*exp(17/2*b)A2+6800*a*exp(34/5*b)A2-10035*exp(3/2*b)-40149*exp(27/10*b)-180504*exp(18/5*b)-3903710*exp(17/2*b)-459447*exp(87/10*b)-1407717*exp(71/10*b)-76058*exp(17/5*b)-1126080*exp(34/5*b)-35022*exp(13/5*b)-301767*exp(51/10*b)-32175*exp(5/2*b)-187470*exp(9/2*b)-24927*exp(21/10*b)+7100*a*exp(71/10*b)A2+5100*a*exp(51/10*b)A2+4500*a*exp(9/2*b)A2+7200*a*exp(18/5*b)A2+3400*a*exp(17/5*b)A2+2600*a*exp(13/5*b)A2+2500*a*exp(5/2*b)A2+1500*a*exp(3/2*b)A2+2700*a*exp( 27/10*b)A2+8700*a*exp(87 /10*b)A2)用解二元非线性方程组的牛顿法的MATLAB^序求解线性方程组J ai =0，J bi =0,得a = b=2.811 0 0.581 6故所求的拟合曲线(7.13)为f(X)= 2.811 0e^.5816x. (7.14)(4)根据(7.2)，( 7.3)，( 7.4)和(7.14)式编写下面的MATLAB程序估计其误差，并做出拟合曲线和数据的图形.输入程序>> xi=[-8.5 -8.7 -7.1 -6.8 -5.10 -4.5 -3.6 -3.4 -2.6 -2.5-2.1 -1.5 -2.7 -3.6];y=[459.26 52.81 198.27 165.60 59.17 41.66 25.92 22.3713.47 12.87 11.87 6.69 14.87 24.22];n=le ngth(xi); f=2.8110.*exp(-0.5816.*xi); x=-9:0.01: -1;F=2.8110.*exp(-0.5816.*x); fy=abs(f-y); fy2=fy.A2;Ew=max(fy),E仁sum(fy)/n, E2=sqrt((sum(fy2))/n), plot(xi,y, 'r*' ), hold onplot(x,F, 'b-' ), hold off,legend('数据点(xi,yi)' ，'拟合曲线y=f(x)' )xlabel( 'x' ), ylabel( 'y'),title( '例7.3.1的数据点(xi,yi) 和拟合曲线y=f(x) 的图形')运行后屏幕显示数据(x i , y i)与拟合函数f的最大误差E w = 390.141 5 ，平均误差E1=36.942 2 和均方根误差E2 = 106.031 7 及其数据点(X i , y i )和拟合曲线y=f( x)的图形(略).7.4 多项式拟合及其MATLA程序例7.4.1给出一组数据点（X i, y i ）列入表7 43中，试用线性最小二乘法求拟合曲线, 并用（7.2）, （7.3 ）和（7.4）式估计其误差，作出拟合曲线.表7- 3例7.4.1的一组数据&』）解（1）首先根据表7-3给出的数据点i i，用下列MATLAB程序画出散点图在MATLAB工作窗口输入程序>> x=[-2.9 -1.9 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6];y=[53.94 33.68 20.88 16.92 8.79 8.98 4.17 9.1219.88];plot(x,y, 'r*' ), legend( '数据点(xi,yi)' )xlabel( 'x' ), ylabel( 'y'),title('例7.4.1的数据点(xi,yi) 的散点图’)运行后屏幕显示数据的散点图(略)(3)用作线性最小二乘拟合的多项式拟合的MATLAB程序求待定系数a k(k =1, 2,3).输入程序>> a=polyfit(x,y,2)运行后输出(7.16)式的系数a =2.8302 -7.3721 9.1382故拟合多项式为2f(x) = 2.830 2x -7.372 1x 9.138 2 .(4)编写下面的MATLA龍序估计其误差，并做出拟合曲线和数据的图形.输入程序>>xi=[-2.9 -1.9 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6];y=[53.94 33.68 20.88 16.92 8.79 8.98 4.17 9.12 19.88];n=le ngth(xi); f= 2.8302 .*xi.A2 -7.3721 .*xi+ 9.1382x=-2.9:0.001:3.6;F= 2.8302 .*x.A2 -7.3721 .*x+8.79;fy=abs(f-y); fy2=fy.A2; Ew=max(fy), E1=sum(fy)/n, E2=sqrt((sum(fy2))/n), plot(xi,y, 'r*', x,F,'b-'),legend('数据点(xi,yi)' ，'拟合曲线y=f(x)' )xlabel( 'x' ), ylabel( 'y'),title( '例7.4.1 的数据点(xi,yi) 和拟合曲线y=f(x) 的图形’)运行后屏幕显示数据(X i,yj与拟合函数f的最大误差曰，平均误差E1和均方根误差E2 及其数据点(xj i)和拟合曲线y=f(x)的图形(略).Ew = E1 = E2 =0.745 7, 0.389 2, 0.436 37.5 拟合曲线的线性变换及其MATLA程序例7.5.1 给出一组实验数据点(xpyj的横坐标向量为x=( 7.5 6.8 5.10 4.53.6 3.4 2.6 2.5 2.1 1.5 2.7 3.6 )，纵横坐标向量为y=(359.26 165.60 59.1741.66 25.92 22.37 13.47 12.87 11.87 6.69 14.87 24.22 )，试用线性变换和线性最小二乘法求拟合曲线，并用( 7.2)，( 7.3 )和(7.4)式估计其误差，作出拟合曲线.解 (1)首先根据给出的数据点(人$)，用下列MATLAB^序画出散点图.在MATLAB工作窗口输入程序>> x=[7.5 6.8 5.10 4.5 3.6 3.4 2.6 2.5 2.1 1.5 2.73.6];y=[359.26 165.60 59.17 41.66 25.92 22.37 13.47 12.8711.87 6.69 14.87 24.22];plot(x,y, 'r*' ), legend( '数据点(xi,yi)' )xlabel( 'x' ), ylabel( 'y'),title('例7.5.1的数据点(xi,yi) 的散点图’)运行后屏幕显示数据的散点图(略)(2)根据数据散点图，取拟合曲线为y = a e bx(a 0,b = 0) , (7.19)其中a, b是待定系数.令Y = ln y, A = ln a, B =b，则(7.19)化为Y = A • Bx .在MATLAB工作窗口输入程序>> x=[7.5 6.8 5.10 4.5 3.6 3.4 2.6 2.5 2.1 1.5 2.73.6];y=[359.26 165.60 59.17 41.66 25.92 22.37 13.4712.87 11.87 6.69 14.87 24.22];Y=log(y); a=polyfit(x,Y,1); B=a(1);A=a(2); b=B,a=exp(A)n=length(x); X=8:-0.01:1; Y=a*exp(b.*X); f=a*exp(b.*x);plot(x,y, 'r*' ,X,Y, 'b-' ), xlabel( 'x' ),ylabel( 'y') legend('数据点(xi,yi)' ,'拟合曲线y=f(x)')title('例7.5.1 的数据点(xi,yi) 和拟合曲线y=f(x) 的图形’) fy=abs(f-y); fy2=fy.A2;Ew=max(fy), E仁sum(fy)/n,E2=sqrt((sum(fy2))/n)运行后屏幕显示y =a e bx的系数b =0.624 1 , a =2.703 9, 数据(x i, y i)与拟合函数f的最大误差Ew =67.641 9 ，平均误差E1=8.677 6 和均方根误差巳=20.711 3 及其数据点(x i,y i)和拟合曲线f (x) =2.703 9e06241x的图形(略).7.6 函数逼近及其MATLA程序最佳均方逼近的MATLABfc程序fun ction [yy1,a,WE]=zjjfbj(f,X,Y,xx)m=size(f); n=le ngth(X);m=m(1);b=zeros(m,m); c=zeros(m,1); if n ~=le ngth(Y) error( 'X和Y的维数应该相同')endfor j=1:mfor k=1:m b(j,k)=0;for i=1: nb(j,k)=b(j,k)+feval(f(j,:),X(i))*feval(f(k,:),X(i));endendc(j)=0;for i=1: nc(j)=c(j)+feval(f(j,:),X(i))*Y(i);endenda=b\c;WE=0;for i=1: nff=0;for j=1:mff=ff+a(j)*feval(f(j,:),X(i));endWE=WE+(Y(i)-ff)*(Y(i)-ff);endif nargin==3return ;endyy=[];for i=1:ml=[];for j=1:le ngth(xx)l=[l,feval(f(i,:),xx(j))];endyy=[yy l'];endyy=yy*a; yy1=yy'; a=a';WE;例761 对数据X和Y,用函数y =1, y = x, y =X2进行逼近，用所得到的逼近函数计算在X=6.5处的函数值，并估计误差•其中X=(1 3 4 5 6 7 8 9); Y=(-11 -13 -11 -7 -1 7 17 29).解在MATLA工作窗口输入程序>> X=[ 1 3 4 5 6 7 8 9]; Y=[-11 -13 -11 -7 -1 7 1729];f=['funO';'fun1';'fun2']; [yy,a,WE]=zjjfbj(f,X,Y,6.5)运行后屏幕显示如下yy =2.75000000000003a =-7.00000000000010 -4.99999999999995 1.00000000000000WE =7.172323350269439e-027例7.6.2 对数据X 和Y,用函数y=1, y = x, y = x2，y = cosx，y = e x，y = sin x 进行逼近，其中X =( 0 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 )，Y=( 0 0.4794 0.8415 0.98150.9126 0.5985 0.1645 ).解在MATLA工作窗口输入程序>> X=[ 0 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00];Y=[0 0.4794 0.8415 0.9815 0.9126 0.5985 0.1645];f=['fu n0';'fu n1';'fu n2';'fu n3';'fu n4';'fu n5'];xx=0:0.2:3;[yy,a,WE]=zjjfbj(f,X,Y, xx), plot(X,Y,'ro',xx,yy,'b-')运行后屏幕显示如下(图略)yy = Columns 1 through 7-0.0005 0.2037 0.3939 0.5656 0.7141 0.83480.9236Colu mns 8 through 140.9771 0.9926 0.9691 0.9069 0.8080 0.67660.5191Colu mns 15 through 160.3444 0.1642a = 0.3828 0.4070 -0.3901 0.0765 -0.4598 0.5653WE = 1.5769e-004即，最佳逼近函数为y=0.3828+0.4070*x-0.3901*x A2+0.0765*exp(x) -0.4598*cos(x) +0.5653*s in(x)7.7 三角多项式逼近及其MATLA程序计算三角多项式的MATLA吐程序fun ction [A,B,Y1,Rm]=sanjiao(X,Y,X1,m)n= len gth(X)-1;max1=fix(( n-1)/2);if m > max1m=max1;endA=zeros(1,m+1);B=zeros(1,m+1);Ym=(Y(1)+Y( n+1))/2; Y(1)=Ym; Y(n+1)=Ym; A(1)=2*sum(Y)/n;for i=1:mB(i+1)=s in (i*X)*Y'; A(i+1)=cos(i*X)*Y';endA=2*A/n; B=2*B/n; A(1)=A(1)/2;Y 1=A(1);for k=1:m丫仁 Y1+A(k+1)*cos(k*X1)+ B(k+1)*s in (k*X1);Tm=A(1)+A(k+1).*cos(k*X)+ B(k+1).*si n( k*X); k=k+1;endY;Tm; Rm=(sum(Y-Tm).A2)/n;2 i下例7.7.1 根据[-二，二]上的n -13, 60, 350个等距横坐标点X j二-—旦一nX(i =01,2「, n)和函数f(x)=2sin .3(1 )求f(x)的6阶三角多项式逼近，计算均方误差；(2)将这三个三角多项式分别与 f (x)的傅里叶级数一、18.3二“I n f (x) (_1) 2si nnxn y 9n _1的前6项进行比较；(3)利用三角多项式分别计算X i= -2, 2.5的值；(4)在同一坐标系中，画出函数 f (x)，n =13,60, 350的三角多项式和数据点的图形•解(1 )输入程序>> X仁-pi:2*pi/13:pi;Y1=2*sin(X1/3);X1i=[-2,2.5];[A1,B1,Y11,Rm1] =sanjiao(X1,Y1,X1i,6),X2=-pi:2*pi/60:pi;Y2=2*si n(X2/3);[A2,B2,Y12,Rm2]=sanjiao(X2,Y2,X1i,6)X3=-pi:2*pi/350:pi;Y3=2*si n(X3/3);[A3,B3,Y13,Rm3]=sanjiao(X3,Y3,X1i,6)X1i=[-2,2.5];Y1=2*si n(X1i/3)for n=1:6bi=(-1)A( n+1)*18*sqrt(3)* n/(pi*(9* n A2-1))end(2)画图，输入程序>>X1=-pi:2*pi/13:pi;Y1=2*si n(X1/3);Xi=-pi:0.001:pi; f=2*si n(Xi/3); [A1,B1,Y1i,R1m]=sanjiao(X1,Y1,Xi,6);X2=-pi:2*pi/60:pi;Y2=2*si n(X2/3); X3=-pi:2*pi/350:pi;Y3=2*s in (X3/3);[A2,B2,Y2i,R2m]=sanjiao(X2,Y2,Xi,6);[A3,B3,Y3i,R3m]=sanjiao(X3,Y3,Xi,6);plot(X1,Y1, 'r*' , Xi, Y1i, 'b-' ,Xi, Y2i, 'g--' , Xi, Y3i, 'm:',Xi, f, 'k-.' )xlabel( 'x' ),ylabel( 'y')lege nd('数据点(xi,yi)' , ' n=13的三角多项式’，’n=60的三角多项式','n=350 的三角多项式','函数f(x)')title( '例7.7.1 的数据点(xi,yi) 、n=13，60，350的三角多项式T3和函数f(x)的图形’)运行后图形(略).7.8 随机数据点上的二元拟合及其MATLA程序例7.8.1设节点(X,Y,Z )中的X和Y分别是在区间［-3, 3］和［-2.5, 3.5］上的50个2 2随机数，Z是函数Z=7-3 x3e-x -y在(X,Y )的值，拟合点(X I ,Y丨)中的X I =-3:023, Y I=-2.5:0.2:3.5.分别用二元拟合方法中最近邻内插法、三角基线性内插法、三角基三次内插法和MATLAB 4网格化坐标方法计算在(X I,Y I)处的值，作出它们的图形，并与被拟和曲面进行比较.解 (1)最近邻内插法.输入程序>> x=ra nd(50,1);y=rand(50,1); %生成50个一元均匀分布随机数x和y , x，y .X=-3+(3-(-3))*x; %利用x生成的随机变量.Y=-2.5+(3.5-(-2.5))*y; %利用y生成的随机变量.Z=7-3* X.A3 .* exp(-X.A2 - 丫.人2); %在每个随机点(X,Y )处计算Z的值.X1=-3:0.2:3;%将坐标(XI,YI )网格化.'nearest' ) %计算在每个插值点(XI,YI )xlabel(title( 和节点的图形’)%作二元拟合图形. 'y' ), zlabel( 'z'),mesh(XI,YI, ZI)'x' ), ylabel(用最近邻内插法拟合函数z =7-3 x A3 exp(-x A2 - y A2) 的曲面hold onplot3(X,Y,Z, 'bo') hold of运行后屏幕显示用最近邻内插法拟合函数插值乙(略).(2)三角基线性内插法.输入程序%在当前图形上添加新图形•%用兰色小圆圈画出每个节点(X,Y,Z).%结束在当前图形上添加新图形•2 2Z=7-3 x3e-x -y在两组不同节点处的曲面及其%将坐标(XI,YI )网格化•'lin ear' ) %计算在每个插值点(XI,YI )%作二元拟合图形'y' ), zlabel( 'z'),title(曲面和节点的图形用三角基线性内插法拟合函数)z =7-3 xA3 exp(-xA2 - 丫人hold onplot3(X,Y,Z, 'bo') hold of运行后屏幕显示用三角基线性内插法拟合函数和节点的图形及其插值乙(略)•(3)三角基三次内插法•输入程序%在当前图形上添加新图形•%用兰色小圆圈画出每个节点(X,Y,Z). %结束在当前图形上添加新图形•2 2Z=7-3 x3e-x-y在两组不同节点处的曲面%利用y生成上的随机变量•%在每个随机点(X,Y )处计算Z%将坐标(XI,YI )网格化•'cubic' ) %计算在每个插值点(XI,YI )%作二元拟合图形•),zlabel( 'z'),丫1=-2.5:0.2:3.5;[XI,YI] = meshgrid(X1,Y1);ZI=griddata(X,Y,Z,XI,YI,处的插值ZI.%legend('拟合曲面','节点(xi,yi,zi)' )>> x=rand(50,1);y=rand(50,1); %生成50个一元均匀分布随机数x和y , x，y .X=-3+(3-(-3))*x; %利用x生成上的随机变量•Y=-2.5+(3.5-(-2.5))*y; %利用y生成上的随机变量•Z=7-3* X.A3 .* exp(-X.A2 - 丫人2); %在每个随机点(X,Y )处计算Z 的值•X1=-3:0.2:3;Y1=-2.5:0.2:3.5;[XI,YI] = meshgrid(X1,Y1);ZI=griddata(X,Y,Z,XI,YI, 处的插值ZI.mesh(XI,YI, ZI)xlabel( 'x' ), ylabel(%legend('拟合曲面','节点(xi,yi,zi)' )>> x=rand(50,1);y=rand(50,1); %生成50个一元均匀分布随机数x和y , x，y .X=-3+(3-(-3))*x; %利用x生成上的随机变量•Y=-2^5+(3^5-(-2^5))*y;Z=7-3* X43 •* exp(-X42 - 丫。

基于MATLAB的最小二乘曲线拟合仿真研究一、本文概述在科学技术和工程实践中，曲线拟合是一项至关重要的任务。

它广泛应用于数据分析和预测、模型建立与优化等领域。

最小二乘法作为一种经典的数学优化技术，在曲线拟合中发挥着核心作用。

它通过最小化预测值与实际观测值之间的误差平方和，来寻找最佳的函数模型，使之能够准确地反映数据的内在规律。

本文旨在探讨基于MATLAB的最小二乘曲线拟合方法，并通过仿真研究验证其有效性和适用性。

我们将首先介绍最小二乘法的基本原理，然后详细阐述如何在MATLAB中实现最小二乘曲线拟合。

接下来，我们将通过一系列仿真实验，比较不同拟合方法的性能，分析影响拟合效果的因素，并探讨如何在实际应用中优化拟合过程。

本文的主要内容包括：最小二乘法的基本原理、MATLAB实现方法、仿真实验设计、结果分析与讨论，以及结论与展望。

通过本文的研究，读者将能够深入理解最小二乘曲线拟合的原理和方法，掌握MATLAB在曲线拟合中的应用技巧，为实际工作中的数据处理和模型建立提供有益的参考和借鉴。

二、最小二乘法原理及MATLAB优势最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。

这种方法广泛应用于曲线拟合、回归分析等领域。

最小二乘法的核心思想是，对于一组给定的数据点，找到一个函数，使得该函数与数据点之间的误差平方和最小。

在曲线拟合中，通常使用多项式函数作为拟合函数，通过调整多项式的系数来最小化误差。

MATLAB作为一种强大的数学计算和仿真软件，具有显著的优势，特别适用于最小二乘曲线拟合的研究。

MATLAB内置了丰富的数学函数库，可以直接调用最小二乘法的相关函数，如polyfit、lsqcurvefit 等，简化了计算过程。

MATLAB具有高效的数值计算能力，能够快速处理大量数据，并给出精确的结果。

MATLAB还具有强大的图形绘制功能，可以直观地展示拟合曲线和原始数据点的对比，方便研究人员对拟合效果进行评估。

方便大家使用的最小二乘法曲线拟合的Matlab程序非常方便用户使用,直接按提示操作即可;这里我演示一个例子:(红色部分为用户输入部分,其余为程序运行的结果,结果图为Untitled.fig,Untitled2.fig) 请以向量的形式输入x,y.x=[1,2,3,4]y=[3,4,5,6]通过下面的交互式图形，你可以事先估计一下你要拟合的多项式的阶数，方便下面的计算.polytool()是交互式函数,在图形上方[Degree]框中输入阶数,右击左下角的[Export]输出图形回车打开polytool交互式界面回车继续进行拟合输入多项式拟合的阶数m = 4Warning: Polynomial is not unique; degree >= number of data points. > In polyfit at 72In zxecf at 64输出多项式的各项系数a = 0.0200000000000001a = -0.2000000000000008a = 0.7000000000000022a = 0.0000000000000000a = 2.4799999999999973输出多项式的有关信息 SR: [4x5 double]df: 0normr: 2.3915e-015Warning: Zero degrees of freedom implies infinite error bounds.> In polyval at 104In polyconf at 92In zxecf at 69观测数据拟合数据x y yh1.0000 3.0000 3.00002.0000 4.0000 4.00003 5 54.0000 6.0000 6.0000剩余平方和 Q = 0.000000标准误差 Sigma = 0.000000相关指数 RR = 1.000000请输入你所需要拟合的数据点，若没有请按回车键结束程序.输入插值点x0 = 3输出插值点拟合函数值 y0 = 5.0000>>结果：untitled.figuntitled2.fig一些matlab优化算法代码的分享代码的目录如下：欢迎讨论1.约束优化问题：minRosen(Rosen梯度法求解约束多维函数的极值)(算法还有bug) minPF(外点罚函数法解线性等式约束)minGeneralPF(外点罚函数法解一般等式约束)minNF(内点罚函数法)minMixFun(混合罚函数法)minJSMixFun(混合罚函数加速法)minFactor(乘子法)minconPS(坐标轮换法)(算法还有bug)minconSimpSearch(复合形法)2.非线性最小二乘优化问题minMGN(修正G-N法)3.线性规划：CmpSimpleMthd(完整单纯形法)4.整数规划(含0-1规划)DividePlane(割平面法)ZeroOneprog(枚举法)5.二次规划QuadLagR(拉格朗日法)ActivedeSet(起作用集法)6.辅助函数(在一些函数中会调用)minNT(牛顿法求多元函数的极值)Funval(求目标函数的值)minMNT(修正的牛顿法求多元函数极值)minHJ(黄金分割法求一维函数的极值)7.高级优化算法1）粒子群优化算法(求解无约束优化问题)1>PSO(基本粒子群算法)2>YSPSO(待压缩因子的粒子群算法)3>LinWPSO(线性递减权重粒子群优化算法)4>SAPSO(自适应权重粒子群优化算法)5>RandWSPO(随机权重粒子群优化算法)6>LnCPSO(同步变化的学习因子)7>AsyLnCPSO(异步变化的学习因子)(算法还有bug)8>SecPSO(用二阶粒子群优化算法求解无约束优化问题)9>SecVibratPSO(用二阶振荡粒子群优化算法求解五约束优化问题)10>CLSPSO(用混沌群粒子优化算法求解无约束优化问题)11>SelPSO(基于选择的粒子群优化算法)12>BreedPSO(基于交叉遗传的粒子群优化算法)13>SimuAPSO(基于模拟退火的粒子群优化算法)2)遗传算法1>myGA(基本遗传算法解决一维约束规划问题)2>SBOGA(顺序选择遗传算法求解一维无约束优化问题)3>NormFitGA(动态线性标定适应值的遗传算法求解一维无约束优化问题)4>GMGA(大变异遗传算法求解一维无约束优化问题)5>AdapGA(自适应遗传算法求解一维无约束优化问题)6>DblGEGA(双切点遗传算法求解一维无约束优化问题)7>MMAdapGA(多变异位自适应遗传算法求解一维无约束优化问题)自己编写的马尔科夫链程序A 代表一组数据序列一维数组本程序的操作对象也是如此t=length(A); % 计算序列“A”的总状态数B=unique(A); % 序列“A”的独立状态数顺序，“E”E=sort(B,'ascend');a=0;b=0;c=0;d=0;for j=1:1:ttLocalization=find(A==E(j)); % 序列“A”中找到其独立状态“E”的位置for i=1:1:length(Localization)if Localization(i)+1>tbreak; % 范围限定elseif A(Localization(i)+1)== E(1)a=a+1;elseif A(Localization(i)+1)== E(2)b=b+1;elseif A(Localization(i)+1)== E(3)c=c+1;% 依此类推，取决于独立状态“E”的个数elsed=d+1;endendT(j,1:tt)=[a,b,c,d]; % “T”为占位矩阵endTT=T;for u=2:1:ttTT(u,:)= T(u,:)- T(u-1,:);endTT; % 至此，得到转移频数矩阵Y=sum(TT,2);for uu=1:1:ttTR(uu,:)= TT(uu,:)./Y(uu,1);endTR % 最终得到马尔科夫转移频率/概率矩阵% 观测序列马尔科夫性质的检验：N=numel(TT);uuu=1;Col=sum(TT,2); % 对列求和Row=sum(TT,1); % 对行求和Total=sum(Row); % 频数总和for i=1:1:ttfor j=1:1:ttxx(uuu,1)=sum((TT(i,j)-(Row(i)*Col(j))./Total).^2./( (Row(i)*Col(j)). /Total));uuu=uuu+1; % 计算统计量x2endendxx=sum(xx)。

matlab 最小二乘法多个自变量多个自变量的最小二乘法在MATLAB中的应用最小二乘法（Least Squares Method）是一种常见的数据拟合方法，在MATLAB中具有广泛的应用。

它可以用于多个自变量的情况，即多元线性回归问题。

本文将介绍如何使用MATLAB进行多个自变量的最小二乘法拟合，并给出一个实际案例进行说明。

我们需要明确什么是多元线性回归问题。

在统计学中，回归分析是研究两个或多个变量之间关系的一种方法。

多元线性回归是回归分析中的一种常见形式，其模型可以表示为：Y = β0+ β1*X1 + β2*X2 + ... + βn*Xn + ε其中，Y是因变量，X1、X2、...、Xn是自变量，β0、β1、β2、...、βn是回归系数，ε是误差项。

我们的目标是通过拟合数据，估计回归系数的值。

在MATLAB中，可以使用“polyfit”函数来进行多元线性回归拟合。

该函数的基本用法如下：p = polyfit(X, Y, n)其中，X是自变量的矩阵，Y是因变量的向量，n是多项式的次数。

函数的返回值p是一个向量，包含了拟合多项式的系数。

使用polyval函数可以通过这些系数来计算拟合的值。

下面我们通过一个实际案例来演示多个自变量的最小二乘法拟合在MATLAB中的应用。

假设我们有一组数据，包含两个自变量X1和X2，和一个因变量Y。

我们的目标是通过这些数据来拟合一个多元线性回归模型。

我们需要准备数据。

我们可以使用rand函数生成一组随机数据作为示例数据，代码如下：X1 = rand(100,1);X2 = rand(100,1);Y = 2*X1 + 3*X2 + randn(100,1);接下来，我们可以使用polyfit函数进行拟合，代码如下：p = polyfit([X1, X2], Y, 1);这里我们将X1和X2合并成一个矩阵作为自变量。

函数的第三个参数1表示拟合一个一次多项式。

拟合完成后，我们可以使用polyval函数来计算拟合的值，代码如下：Y_fit = polyval(p, [X1, X2]);现在，我们已经得到了拟合的值Y_fit。

基于matlab 的最小二乘法实现 程序流程图：matlab 的程序源代码：A=[2,4,6,8;2,11,28,40];pa=input('请输入你要的拟合多项式的次数：');W=size(A);H=W(2);X=zeros(pa+1,1);Y=zeros(pa+1,pa+1); for i=1:pa+1输入Xi,yi 及要拟合的最高次数n 生成法方程矩阵的左端系数矩阵 生成法方程矩阵的右端矩阵 解法方程矩阵 输出各个项的系数，即求得拟合函数 求取所求结果的均方误差 求取所求结果的最大偏差 结束程序for j=1:pa+1x=0;for k=1:Hs=1;for b=1:i+j-2s=s*A(1,k);endx=x+s;endY(i,j)=x;endenda=zeros(pa+1,1);for i=1:pa+1x=0;for k=1:Hs=A(2,k);for b=1:i-1s=s*A(1,k);endx=x+s;enda(i,1)=x;endX=inv(Y)*a;disp('从0次到你要的阶数的系数依次为：') XZ1=zeros(H,1);for i=1:Hw=0;for k=1:pa+1s=X(k,1);for j=1:k-1s=s*A(1,i);endw=w+s;endZ1(i,1)=w;endZ1;Z2=A(2,:)';d=Z1-Z2;s=0;for i=1:Hs=s+d(i,1)*d(i,1); enddisp('均方误差为：') a=sqrtm(s)b=d(1,1);for i=1:Hif d(i,1)>bb=d(i,1);else;endenddisp('最大偏差为：') b。

最小二乘算法matlab代码实现最小二乘算法是一种常用的线性回归方法，它可以用来拟合数据，预测未来趋势。

在matlab中，我们可以使用内置函数来实现最小二乘算法。

首先，我们需要准备一些数据。

假设我们有一组数据，包含x和y两个变量，我们希望通过这组数据来拟合一条直线。

```matlabx = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2.1, 3.9, 6.2, 8.1, 10.1];```接下来，我们可以使用polyfit函数来拟合一条一次函数，该函数返回的是拟合直线的系数。

```matlabp = polyfit(x, y, 1);```其中，第一个参数是自变量，第二个参数是因变量，第三个参数是拟合的次数。

在本例中，我们拟合的是一次函数，所以拟合的次数为1。

接着，我们可以使用polyval函数来计算拟合直线的值。

```matlabyfit = polyval(p, x);```最后，我们可以绘制原始数据和拟合直线的图像。

```matlabplot(x, y, 'o', x, yfit, '-')legend('原始数据', '拟合直线')```完整的matlab代码如下：```matlabx = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2.1, 3.9, 6.2, 8.1, 10.1];p = polyfit(x, y, 1);yfit = polyval(p, x);plot(x, y, 'o', x, yfit, '-')legend('原始数据', '拟合直线')```通过以上代码，我们可以实现最小二乘算法的拟合过程，并得到拟合直线的系数和图像。

matlab计算最小二乘法最小二乘法是一种常用的最优化方法，用于拟合数据点到拟合函数的最小误差平方和。

在MATLAB中，可以使用lsqcurvefit()函数来进行最小二乘拟合。

首先，需要定义拟合函数的形式。

假设我们要拟合一个线性函数：y = ax + b，其中a和b是待拟合的参数。

然后，准备数据。

将要拟合的数据的自变量x和因变量y以向量的形式准备好。

接下来，使用lsqcurvefit()函数进行拟合。

该函数的输入包括拟合函数的句柄、初始参数的猜测值、自变量和因变量等。

最后，利用拟合结果，可以得到最优化的参数值以及其他统计信息。

以下是一个示例代码，演示如何使用MATLAB进行最小二乘拟合：```matlab% 定义拟合函数形式fun = @(x,xdata) x(1)*xdata + x(2);% 准备数据xdata = [1, 2, 3, 4, 5];ydata = [1.3, 3.5, 4.2, 4.8, 6.1];% 初始参数猜测值x0 = [1, 0];% 进行最小二乘拟合x = lsqcurvefit(fun, x0, xdata, ydata);% 输出拟合结果a = x(1);b = x(2);disp(['拟合结果：a = ', num2str(a), ', b = ', num2str(b)]); ```运行上述代码，将得到拟合结果：a = 1.225, b = 1.045。

这表示拟合函数的形式为 y = 1.225x + 1.045，最小化了数据点到拟合函数的误差平方和。

希望以上内容对您有帮助！。

最小二乘递推算法的MATLAB仿真针对辨识模型，有z(k)-+a1*z(k-1)+a2*z(k-2)=b1*u(k-1)+b2*u(k-2)+v(k)模型结构，对其进行最小二乘递推算法的MATLAB仿真，对比真值与估计值。

更改a1、a2、b1、b2参数，观察结果。

仿真对象：z(k)-1.5*z(k-1)+0.7*z(k-2)=u(k-1)+0.5*u(k-2)+v(k)程序如下：L=15;y1=1;y2=1;y3=1;y4=0; %四个移位寄存器的初始值for i=1:L; %移位循环x1=xor(y3,y4);x2=y1;x3=y2;x4=y3;y(i)=y4; %取出作为输出信号，即M序列if y(i)>0.5,u(i)=-0.03; %输入信号else u(i)=0.03;endy1=x1;y2=x2;y3=x3;y4=x4;endfigure(1);stem(u),grid onz(2)=0;z(1)=0;for k=3:15;z(k)=1.5*z(k-1)-0.7*z(k-2)+u(k-1)+0.5*u(k-2); %输出采样信号endc0=[0.001 0.001 0.001 0.001]'; %直接给出被识别参数的初始值p0=10^6*eye(4,4); %直接给出初始状态P0E=0.000000005;c=[c0,zeros(4,14)];e=zeros(4,15);for k=3:15; %开始求kh1=[-z(k-1),-z(k-2),u(k-1),u(k-2)]';x=h1'*p0*h1+1;x1=inv(x);k1=p0*h1*x1; %开始求k的值d1=z(k)-h1'*c0;c1=c0+k1*d1;e1=c1-c0;e2=e1./c0; %求参数的相对变化e(:,k)=e2;c0=c1;c(:,k)=c1;p1=p0-k1*k1'*[h1'*p0*h1+1]; %求出P(k)的值p0=p1;if e2<=E break;endendc,e %显示被辨识参数及其误差情况a1=c(1,:);a2=c(2,:);b1=c(3,:);b2=c(4,:);ea1=e(1,:);ea2=e(2,:);eb1=e(3,:);eb2=e(4,:);figure(2);i=1:15;plot(i,a1,'r',i,a2,':',i,b1,'g',i,b2,':')title('Parameter Identification with Recursive Least Squares Method')figure(3);i=1:15;plot(i,ea1,'r',i,ea2,'g',i,eb1,'b',i,eb2,'r:')title('Identification Precision')程序运行结果：p0 =1000000 0 0 00 1000000 0 00 0 1000000 00 0 0 1000000c =Columns 1 through 90.0010 0 0.0010 -0.4984 -1.2325 -1.4951 -1.4962 -1.4991 -1.49980.0001 0 0.0001 0.0001 -0.2358 0.6912 0.6941 0.6990 0.69980.0010 0 0.2509 1.2497 1.0665 1.0017 1.0020 1.0002 0.99990.0010 0 -0.2489 0.7500 0.5668 0.5020 0.5016 0.5008 0.5002Columns 10 through 15-1.4999 -1.5000 -1.5000 -1.5000 -1.4999 -1.49990.6999 0.7000 0.7000 0.7000 0.7000 0.70000.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.99990.5002 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000e =1.0e+003 *Columns 1 through 90 0 0 -0.4994 0.0015 0.0002 0.0000 0.0000 0.00000 0 0 0 -2.3592 -0.0039 0.0000 0.0000 0.00000 0 0.2499 0.0040 -0.0001 -0.0001 0.0000 -0.0000 -0.00000 0 -0.2499 -0.0040 -0.0002 -0.0001 -0.0000 -0.0000 -0.0000Columns 10 through 150.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.00000.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0000-0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000-0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000程序运行曲线：图1.输入信号图2.a1,a2,b1,b2辨识仿真结果图3. a1,a2,b1,b2各次辨识结果收敛情况分析：由运行结果可看出，输出观测值没有任何噪声成分时，辨识结果最大相对误差达到3位数。

matlab最小二乘法拟合求参数
在Matlab中，可以使用`polyfit`函数来进行最小二乘法拟合，并求得拟合参数。

`polyfit`函数的使用格式如下：
```
p = polyfit(x, y, n)
```
其中，`x`和`y`是数据点的横坐标和纵坐标，`n`是拟合多项式的阶数。

函数返回一个包含拟合参数的向量`p`，其中`p(1)`为常数项，`p(2)`为一次项，以此类推。

下面是一个示例代码，展示了如何使用`polyfit`函数进行最小二乘法拟合并求参数：
```matlab
% 生成示例数据
x = [1, 2, 3, 4, 5];
y = [3, 5, 7, 9, 11];
% 进行最小二乘法拟合
p = polyfit(x, y, 1);
% 输出拟合参数
disp(p);
```
在上述示例中，拟合的是一阶多项式，即直线。

运行代码后，将输出拟合参数的值。

如果需要拟合更高阶的多项式，只需将`n`参数设置为相应的阶数即可。

最小二乘法原理及其MATLAB实现一、本文概述最小二乘法是一种广泛应用于数学、统计学、工程学、物理学等众多领域的数学优化技术。

其核心原理在于通过最小化误差的平方和来寻找最佳函数匹配，从而实现对数据的最佳逼近。

本文将对最小二乘法的原理进行详细阐述，并通过MATLAB编程实现，帮助读者深入理解并掌握这一强大的数据分析工具。

文章将首先介绍最小二乘法的基本原理，包括其历史背景、基本概念以及数学模型的构建。

然后，通过实例分析，展示如何应用最小二乘法进行线性回归模型的拟合，以及如何处理过拟合和欠拟合等问题。

接着，文章将详细介绍如何在MATLAB中实现最小二乘法，包括数据准备、模型构建、参数估计以及结果可视化等步骤。

文章还将对最小二乘法的优缺点进行讨论，并探讨其在不同领域的应用前景。

通过本文的学习，读者将能够全面理解最小二乘法的原理和应用，掌握其在MATLAB中的实现方法，为实际工作中的数据处理和分析提供有力支持。

二、最小二乘法原理最小二乘法（Least Squares Method）是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。

这种方法起源于19世纪的统计学，由数学家阿德里安-马里·勒让德（Adrien-Marie Legendre）和卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）分别独立发展。

建立模型：我们需要建立一个描述数据关系的数学模型。

这通常是一个线性方程，如 y = ax + b，其中 a和b是待求解的参数。

误差计算：对于给定的数据集，我们可以将每个数据点代入模型中进行计算，得到预测值。

预测值与真实值之间的差异就是误差。

平方误差和：为了衡量模型的拟合程度，我们需要计算所有误差的平方和。

这是因为平方误差和能够更好地反映误差的大小，尤其是在误差较大时。

最小化平方误差和：最小二乘法的核心思想是找到一组参数，使得平方误差和达到最小。

这通常通过求导和令导数等于零来实现，从而找到使平方误差和最小的参数值。

方便大家使用的最小二乘法曲线拟合的Matlab程序非常方便用户使用,直接按提示操作即可;这里我演示一个例子:(红色部分为用户输入部分,其余为程序运行的结果,结果图为Untitled.fig,Untitled2.fig) 请以向量的形式输入x,y.x=[1,2,3,4]y=[3,4,5,6]通过下面的交互式图形，你可以事先估计一下你要拟合的多项式的阶数，方便下面的计算.polytool()是交互式函数,在图形上方[Degree]框中输入阶数,右击左下角的[Export]输出图形回车打开polytool交互式界面回车继续进行拟合输入多项式拟合的阶数m = 4Warning: Polynomial is not unique; degree >= number of data points. > In polyfit at 72In zxecf at 64输出多项式的各项系数a = 0.0200000000000001a = -0.2000000000000008a = 0.7000000000000022a = 0.0000000000000000a = 2.4799999999999973输出多项式的有关信息 SR: [4x5 double]df: 0normr: 2.3915e-015Warning: Zero degrees of freedom implies infinite error bounds.> In polyval at 104In polyconf at 92In zxecf at 69观测数据拟合数据x y yh1.0000 3.0000 3.00002.0000 4.0000 4.00003 5 54.0000 6.0000 6.0000剩余平方和 Q = 0.000000标准误差 Sigma = 0.000000相关指数 RR = 1.000000请输入你所需要拟合的数据点，若没有请按回车键结束程序.输入插值点x0 = 3输出插值点拟合函数值 y0 = 5.0000>>结果：untitled.figuntitled2.fig一些matlab优化算法代码的分享代码的目录如下：欢迎讨论1.约束优化问题：minRosen(Rosen梯度法求解约束多维函数的极值)(算法还有bug) minPF(外点罚函数法解线性等式约束)minGeneralPF(外点罚函数法解一般等式约束)minNF(内点罚函数法)minMixFun(混合罚函数法)minJSMixFun(混合罚函数加速法)minFactor(乘子法)minconPS(坐标轮换法)(算法还有bug)minconSimpSearch(复合形法)2.非线性最小二乘优化问题minMGN(修正G-N法)3.线性规划：CmpSimpleMthd(完整单纯形法)4.整数规划(含0-1规划)DividePlane(割平面法)ZeroOneprog(枚举法)5.二次规划QuadLagR(拉格朗日法)ActivedeSet(起作用集法)6.辅助函数(在一些函数中会调用)minNT(牛顿法求多元函数的极值)Funval(求目标函数的值)minMNT(修正的牛顿法求多元函数极值)minHJ(黄金分割法求一维函数的极值)7.高级优化算法1）粒子群优化算法(求解无约束优化问题)1>PSO(基本粒子群算法)2>YSPSO(待压缩因子的粒子群算法)3>LinWPSO(线性递减权重粒子群优化算法)4>SAPSO(自适应权重粒子群优化算法)5>RandWSPO(随机权重粒子群优化算法)6>LnCPSO(同步变化的学习因子)7>AsyLnCPSO(异步变化的学习因子)(算法还有bug)8>SecPSO(用二阶粒子群优化算法求解无约束优化问题)9>SecVibratPSO(用二阶振荡粒子群优化算法求解五约束优化问题)10>CLSPSO(用混沌群粒子优化算法求解无约束优化问题)11>SelPSO(基于选择的粒子群优化算法)12>BreedPSO(基于交叉遗传的粒子群优化算法)13>SimuAPSO(基于模拟退火的粒子群优化算法)2)遗传算法1>myGA(基本遗传算法解决一维约束规划问题)2>SBOGA(顺序选择遗传算法求解一维无约束优化问题)3>NormFitGA(动态线性标定适应值的遗传算法求解一维无约束优化问题)4>GMGA(大变异遗传算法求解一维无约束优化问题)5>AdapGA(自适应遗传算法求解一维无约束优化问题)6>DblGEGA(双切点遗传算法求解一维无约束优化问题)7>MMAdapGA(多变异位自适应遗传算法求解一维无约束优化问题)自己编写的马尔科夫链程序A 代表一组数据序列一维数组本程序的操作对象也是如此t=length(A); % 计算序列“A”的总状态数B=unique(A); % 序列“A”的独立状态数顺序，“E”E=sort(B,'ascend');a=0;b=0;c=0;d=0;for j=1:1:ttLocalization=find(A==E(j)); % 序列“A”中找到其独立状态“E”的位置for i=1:1:length(Localization)if Localization(i)+1>tbreak; % 范围限定elseif A(Localization(i)+1)== E(1)a=a+1;elseif A(Localization(i)+1)== E(2)b=b+1;elseif A(Localization(i)+1)== E(3)c=c+1;% 依此类推，取决于独立状态“E”的个数elsed=d+1;endendT(j,1:tt)=[a,b,c,d]; % “T”为占位矩阵endTT=T;for u=2:1:ttTT(u,:)= T(u,:)- T(u-1,:);endTT; % 至此，得到转移频数矩阵Y=sum(TT,2);for uu=1:1:ttTR(uu,:)= TT(uu,:)./Y(uu,1);endTR % 最终得到马尔科夫转移频率/概率矩阵% 观测序列马尔科夫性质的检验：N=numel(TT);uuu=1;Col=sum(TT,2); % 对列求和Row=sum(TT,1); % 对行求和Total=sum(Row); % 频数总和for i=1:1:ttfor j=1:1:ttxx(uuu,1)=sum((TT(i,j)-(Row(i)*Col(j))./Total).^2./( (Row(i)*Col(j)). /Total));uuu=uuu+1; % 计算统计量x2endendxx=sum(xx)。

最小二乘法的基本原理和多项式拟合一、最小二乘法的基本原理从整体上考虑近似函数)(x p 同所给数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)绝对值的最大值im i r ≤≤0max ，即误差 向量T m r r r r ),,(10 =的∞—范数；二是误差绝对值的和∑=mi ir 0，即误差向量r 的1—范数；三是误差平方和∑=mi ir2的算术平方根，即误差向量r 的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和∑=mi ir02来 度量误差i r (i=0，1，…，m)的整体大小。

数据拟合的具体作法是：对给定数据 ),(i i y x (i=0,1,…，m)，在取定的函数类Φ中,求Φ∈)(x p ,使误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)的平方和最小，即∑=mi ir2[]∑==-mi iiy x p 02min)(从几何意义上讲，就是寻求与给定点),(i i y x (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线)(x p y =（图6-1）。

函数)(x p 称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数p(x)的方法称为曲线拟合的最小二乘法。

合中，函数类Φ可有不同的选取方法.6—1二多项式拟合假设给定数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)，Φ为所有次数不超过)(m n n ≤的多项式构成的函数类，现求一Φ∈=∑=nk k k n x a x p 0)(,使得[]min )(00202=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=∑∑∑===mi mi n k i k i k i i n y x a y x p I (1)当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的)(x p n 称为最小二乘拟合多项式。

方便大家使用的最小二乘法曲线拟合的Matlab程序非常方便用户使用,直接按提示操作即可;这里我演示一个例子:(红色部分为用户输入部分,其余为程序运行的结果,结果图为Untitled.fig,Untitled2.fig) 请以向量的形式输入x,y.x=[1,2,3,4]y=[3,4,5,6]通过下面的交互式图形，你可以事先估计一下你要拟合的多项式的阶数，方便下面的计算.polytool()是交互式函数,在图形上方[Degree]框中输入阶数,右击左下角的[Export]输出图形回车打开polytool交互式界面回车继续进行拟合输入多项式拟合的阶数m = 4Warning: Polynomial is not unique; degree >= number of data points. > In polyfit at 72In zxecf at 64输出多项式的各项系数a = 0.0200000000000001a = -0.2000000000000008a = 0.7000000000000022a = 0.0000000000000000a = 2.4799999999999973输出多项式的有关信息 SR: [4x5 double]df: 0normr: 2.3915e-015Warning: Zero degrees of freedom implies infinite error bounds.> In polyval at 104In polyconf at 92In zxecf at 69观测数据拟合数据x y yh1.0000 3.0000 3.00002.0000 4.0000 4.00003 5 54.0000 6.0000 6.0000剩余平方和 Q = 0.000000标准误差 Sigma = 0.000000相关指数 RR = 1.000000请输入你所需要拟合的数据点，若没有请按回车键结束程序.输入插值点x0 = 3输出插值点拟合函数值 y0 = 5.0000>>结果：untitled.figuntitled2.fig一些matlab优化算法代码的分享代码的目录如下：欢迎讨论1.约束优化问题：minRosen(Rosen梯度法求解约束多维函数的极值)(算法还有bug) minPF(外点罚函数法解线性等式约束)minGeneralPF(外点罚函数法解一般等式约束)minNF(内点罚函数法)minMixFun(混合罚函数法)minJSMixFun(混合罚函数加速法)minFactor(乘子法)minconPS(坐标轮换法)(算法还有bug)minconSimpSearch(复合形法)2.非线性最小二乘优化问题minMGN(修正G-N法)3.线性规划：CmpSimpleMthd(完整单纯形法)4.整数规划(含0-1规划)DividePlane(割平面法)ZeroOneprog(枚举法)5.二次规划QuadLagR(拉格朗日法)ActivedeSet(起作用集法)6.辅助函数(在一些函数中会调用)minNT(牛顿法求多元函数的极值)Funval(求目标函数的值)minMNT(修正的牛顿法求多元函数极值)minHJ(黄金分割法求一维函数的极值)7.高级优化算法1）粒子群优化算法(求解无约束优化问题)1>PSO(基本粒子群算法)2>YSPSO(待压缩因子的粒子群算法)3>LinWPSO(线性递减权重粒子群优化算法)4>SAPSO(自适应权重粒子群优化算法)5>RandWSPO(随机权重粒子群优化算法)6>LnCPSO(同步变化的学习因子)7>AsyLnCPSO(异步变化的学习因子)(算法还有bug)8>SecPSO(用二阶粒子群优化算法求解无约束优化问题)9>SecVibratPSO(用二阶振荡粒子群优化算法求解五约束优化问题)10>CLSPSO(用混沌群粒子优化算法求解无约束优化问题)11>SelPSO(基于选择的粒子群优化算法)12>BreedPSO(基于交叉遗传的粒子群优化算法)13>SimuAPSO(基于模拟退火的粒子群优化算法)2)遗传算法1>myGA(基本遗传算法解决一维约束规划问题)2>SBOGA(顺序选择遗传算法求解一维无约束优化问题)3>NormFitGA(动态线性标定适应值的遗传算法求解一维无约束优化问题)4>GMGA(大变异遗传算法求解一维无约束优化问题)5>AdapGA(自适应遗传算法求解一维无约束优化问题)6>DblGEGA(双切点遗传算法求解一维无约束优化问题)7>MMAdapGA(多变异位自适应遗传算法求解一维无约束优化问题)自己编写的马尔科夫链程序A 代表一组数据序列一维数组本程序的操作对象也是如此t=length(A); % 计算序列“A”的总状态数B=unique(A); % 序列“A”的独立状态数顺序，“E”E=sort(B,'ascend');a=0;b=0;c=0;d=0;for j=1:1:ttLocalization=find(A==E(j)); % 序列“A”中找到其独立状态“E”的位置for i=1:1:length(Localization)if Localization(i)+1>tbreak; % 范围限定elseif A(Localization(i)+1)== E(1)a=a+1;elseif A(Localization(i)+1)== E(2)b=b+1;elseif A(Localization(i)+1)== E(3)c=c+1;% 依此类推，取决于独立状态“E”的个数elsed=d+1;endendT(j,1:tt)=[a,b,c,d]; % “T”为占位矩阵endTT=T;for u=2:1:ttTT(u,:)= T(u,:)- T(u-1,:);endTT; % 至此，得到转移频数矩阵Y=sum(TT,2);for uu=1:1:ttTR(uu,:)= TT(uu,:)./Y(uu,1);endTR % 最终得到马尔科夫转移频率/概率矩阵% 观测序列马尔科夫性质的检验：N=numel(TT);uuu=1;Col=sum(TT,2); % 对列求和Row=sum(TT,1); % 对行求和Total=sum(Row); % 频数总和for i=1:1:ttfor j=1:1:ttxx(uuu,1)=sum((TT(i,j)-(Row(i)*Col(j))./Total).^2./( (Row(i)*Col(j)). /Total));uuu=uuu+1; % 计算统计量x2endendxx=sum(xx)。

matlab三角函数最小二乘法拟合在MATLAB 中，您可以使用内置的polyfit 和polyval 函数来实现使用最小二乘法对数据进行拟合的任务。

下面是一个简单的例子，演示如何使用这些函数来拟合一个简单的三角函数。

假设您有一些数据，这些数据是三角函数的输出，您想要找到这个函数的参数。

三角函数的一般形式是y = a * sin(b * x + c)，其中a、b 和c 是您需要找到的参数。

首先，您需要创建一些模拟数据。

然后，您可以使用polyfit 函数来找到最佳拟合参数。

最后，您可以使用polyval 函数来验证拟合结果。

下面是一个示例代码：matlab复制代码：% 创建模拟数据x = linspace(0, 2*pi, 100); % x 数据a = 1;b = 1;c = 0; % 假设的参数y = a * sin(b * x + c) + 0.1*randn(size(x)); % y 数据，加入一些噪声% 使用最小二乘法拟合数据p = polyfit(x, y, 2); % 2 表示我们要拟合一个二次多项式，这对应于我们的三角函数形式% 验证拟合结果y_fit = polyval(p, x); % 使用拟合参数计算y 值% 绘制原始数据和拟合曲线plot(x, y, 'bo'); % 原始数据hold on;plot(x, y_fit, 'r-'); % 拟合曲线legend('原始数据', '拟合曲线');在这个例子中，polyfit 函数的第三个参数表示我们要拟合的多项式的次数。

对于三角函数，这应该是2，因为我们正在拟合一个二次多项式，其形式为y = a * sin(b * x + c)。

matlab最小二乘拟合代码Matlab是一种强大的科学计算软件，广泛应用于工程、科学、金融等领域。

在数据分析和拟合中，最小二乘拟合是一种常见的方法。

本文将介绍如何使用Matlab进行最小二乘拟合，并给出相应的代码示例。

最小二乘拟合是一种寻找最优拟合曲线的方法，通过最小化实际观测值与拟合曲线之间的残差平方和来实现。

在Matlab中，可以使用lsqcurvefit函数来进行最小二乘拟合。

我们需要准备一组实验数据。

假设我们有一组数据(x, y)，其中x 为自变量，y为因变量。

我们的目标是找到一个拟合曲线，使得该曲线能够最好地描述观测数据。

接下来，我们需要定义一个拟合函数。

拟合函数是一个与自变量x 和待拟合参数有关的函数。

在Matlab中，拟合函数通常定义为一个函数句柄，即一个指向拟合函数的指针。

假设我们要进行线性拟合，即拟合函数为y = a * x + b，其中a 和b为待拟合参数。

我们可以使用匿名函数来定义拟合函数，代码示例如下：```matlabfitfunc = @(p, x) p(1) * x + p(2);```其中p为待拟合参数，x为自变量。

接下来，我们可以使用lsqcurvefit函数进行最小二乘拟合。

该函数的调用形式为：```matlabpfit = lsqcurvefit(fitfunc, p0, x, y);```其中fitfunc为拟合函数，p0为待拟合参数的初始值，x和y为观测数据。

我们可以绘制拟合曲线并与观测数据进行对比。

代码示例如下：```matlabx_fit = linspace(min(x), max(x), 100); % 生成用于绘制拟合曲线的自变量y_fit = fitfunc(pfit, x_fit); % 计算拟合曲线的因变量figure;plot(x, y, 'ro'); % 绘制观测数据hold on;plot(x_fit, y_fit, 'b-'); % 绘制拟合曲线legend('观测数据', '拟合曲线');xlabel('x');ylabel('y');title('最小二乘拟合');```通过运行上述代码，我们可以得到最小二乘拟合的结果，并绘制出观测数据和拟合曲线的图像。

多元最小二乘法matlab
以下是使用MATLAB实现多元最小二乘法的示例代码：
假设我们有以下数据：
X1=[1,2,3,4,5]';。

X2=[2,3,4,5,6]';。

Y=[8,10,12,14,16]';。

我们的目标是拟合一个线性模型Y=b1*X1+b2*X2+e，其中b1和b2是系数，e是误差项。

首先，我们需要将数据构建成矩阵形式：
X=[X1X2];。

A = [ones(length(X1), 1) X];。

然后，可以使用MATLAB内置函数（\）来计算多元最小二乘解：
b=A\Y;。

在这里，MATLAB计算AX≈Yb，其中AX是我们的设计矩阵，Y是响应变量，b是我们的参数估计值。

最后，我们可以使用参数估计值来预测新数据：
X_new = [6,7,8]';。

Y_new = [ones(length(X_new), 1) X_new] * b;。

这将返回一个新的响应变量向量Y_new，其中包含新数据的预测值。

有关更多详细信息，可以阅读MATLAB文档中关于多元最小二乘法的章节。