2017幂函数知识总结

2017年高考数学知识点：幂函数的性质形如y=x^a（a为常数）的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

定义域和值域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a 为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。

当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

而只有a为正数，0才进入函数的值域性质：对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^（p/q）=q 次根号（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q 是偶数，函数的定义域是[0，+∞）。

当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/（x^k），显然x≠0，函数的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）。

因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x>；0，则a可以是任意实数；排除了为0这种可能，即对于x；0的所有实数，q不能是偶数；排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。

幂函数知识点总结幂函数是数学中常见的一类函数，主要应用于数据分析和物理学中。

它有着独特的数学性质，并且能够解释一系列规律性的现象，因此在各个领域中都有着广泛的应用。

本文将综合介绍幂函数的基本性质、作用机制和表达方式，以及其在实际应用中的各种特性。

一、基本性质幂函数（Power Function）是一类函数，通常定义为 y=x^n，其中x为变量，n为常数。

它同样也是一种一元函数，因为它只有一个变量X，表示函数值由变量X决定。

二、作用机制幂函数的作用机制主要体现在它的图象与数轴上。

因为x的增大会使得y的值也会加大，所以函数的图象通常是一条上凸的曲线。

这条曲线在原点处发散无限，而且具有明显的拐点，即抛物线的最高点。

此外，幂函数的作用机制还表现出了其“加速增长”的性质。

从图象上看，在抛物线最高点处，x增大时，y值会比较稳定，但是在x值增大之后，y值会变化得越来越快，这也是函数的最显著特征。

三、表达方式幂函数的表达方式很简单，一般情况下，以n来表示其幂的值，并且幂的值可以是整数、实数或负数，但必须保证x的值不等于0，这里说明由于x不等于0才有意义，因为若x等于0时，n为任意值，y都等于0.例如：y=x^2，即平方函数，n=2；y=x^3，即立方函数，n=3；y=x^2，即倒数平方函数，n=2.四、实际应用1、数据分析：幂函数在数据分析中应用十分广泛，其特有的“加速增长”性质，让数据分析者能够以规律的路径追求特定的结果。

例如，可以利用幂函数进行回归分析，以拟合给定数据；此外，可以利用幂函数构建概率模型，更好地研究联系型数据间的关系；2、物理学：幂函数在物理学中也有着广泛应用，可以用来模拟夸克的衰变过程，更好地理解物质的衰变规律；另外，也可以利用幂函数，研究物体受力的加速度变化，以及质量变化对物体运动的影响等。

综上所述，幂函数是一类重要的函数，它的基本性质、作用机制和表达方式构成了幂函数的基本框架，而在实际应用中，幂函数又有着广泛的用途，能够用于数据分析和物理学等领域，从而帮助人们更好地理解客观事物的变化规律。

幂函数的性质知识点总结幂函数是一种常见的函数形式，其形式为$f(x)=x^a$，其中$a$为实数，$x$为正实数。

在初等数学中，我们常常使用幂函数来描述各种各样的问题。

因此，本文将全面总结幂函数的性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性、最值等等。

一、定义域对于幂函数$f(x)=x^a$，其定义域为$x>0$。

这是因为，对于$x\leq 0$的情况，幂函数的值可能会在实数范围内无限制地扩大或缩小，从而变成无意义的虚数或复数。

因此，为了确保$f(x)$在实数范围内有意义，必须限定$x>0$。

二、值域当$a>0$时，$f(x)$的值域为$[0,+\infty)$。

这是因为，对于$x=0$时，$f(x)=0$；而对于$x>0$时，$f(x)$的值随着$x$的增大而增大，趋近于无穷大。

因此，$f(x)$的值域为$[0,+\infty)$。

当$a<0$时，$f(x)$的值域为$(0,+\infty)$。

这是因为，对于$x\neq 0$时，$f(x)>0$；而对于$x=0$时，$f(x)=0$。

因此，$f(x)$的值域为$(0,+\infty)$。

三、单调性当$a>0$时，$f(x)$在定义域内单调递增。

这是因为，对于$x_1<x_2$的情况，$f(x_2)-f(x_1)=(x_2^a-x_1^a)$。

由于$x_2>x_1$且$a>0$，因此$x_2^a>x_1^a$，仅需考虑到$x_2^a$与$x_1^a$的差异即可。

因此，$f(x)$在定义域内单调递增。

当$a<0$时，$f(x)$在定义域内单调递减。

这是因为，对于$x_1<x_2$的情况，$f(x_2)-f(x_1)=(x_2^a-x_1^a)$。

由于$x_2>x_1$且$a<0$，因此$x_2^a<x_1^a$，仅需考虑到$x_2^a$与$x_1^a$的差异即可。

指对幂函数知识点总结幂函数是数学中一类重要的函数，它的形式为y=x^n，其中n为常数。

在数学和实际问题中，幂函数有着广泛的应用。

下面将对幂函数的定义、性质及应用进行总结。

一、定义与性质1. 幂函数的定义：幂数为常数的函数称为幂函数。

幂数n可以是整数、分数或实数。

2. 幂函数的特点：a) 当n为正整数时，幂函数的定义域为实数集，且在定义域上为递增函数或递减函数。

b) 当n为负整数时，幂函数的定义域为（0，+∞），且在此定义域上为递减函数。

c) 当n为零时，幂函数的定义域为（0，+∞），且在此定义域上为常数函数。

d) 当n为分数时，幂函数的定义域为0、正实数或正实数与0的并集，且在此定义域上有特定的变化趋势。

3. 幂函数的图像特点：a) 当n为正数时，随着x的增大，函数图像在y轴的正半轴上逐渐上升。

b) 当n为负数时，随着x的增大，函数图像在y轴的正半轴上逐渐下降。

c) 当n为奇数时，函数图像经过原点，且在第一象限和第三象限上对称。

d) 当n为偶数时，函数图像在y轴正半轴上单调递增，且在第一象限上有特定的变化趋势。

二、应用领域1. 自然科学领域：a) 物理学：幂函数常用于描述机械运动、电磁波传播等现象。

b) 化学：幂函数可用于描述化学反应的速率与温度、浓度等因素的关系。

2. 经济学领域：a) 收入与消费关系：幂函数可用于描述收入与消费之间的关系，如马太效应。

b) 产出与投入关系：幂函数可用于描述生产要素投入与产出之间的关系。

3. 工程学领域：a) 建筑设计：幂函数可用于描述建筑物的荷载、尺寸与结构的关系。

b) 通信工程：幂函数可用于描述信号传输的功率与距离的关系。

4. 生物学领域：a) 生物传感器：幂函数可用于描述生物传感器的输入与输出之间的关系。

b) 增长模型：幂函数可用于描述生物体的生长模式，如人口增长模型等。

总结：幂函数作为一类重要的函数，在数学和实际问题中具有广泛的应用。

通过对幂函数的定义、性质以及应用领域的总结，有助于我们更好地理解和应用幂函数，为解决实际问题提供了有力的工具和方法。

幂函数知识点总结一、幂函数的基本概念1.1 定义幂函数是指以自变量 x 为底数的常数次幂，形式为 y = ax^n，其中 a 为非零实数，n 为实数。

其中，底数 a 称为幂函数的底数，指数 n 称为幂函数的指数。

1.2 定义域和值域幂函数的定义域为全体实数集 R，即 x 可以取任意实数值；而值域则受底数 a 和指数 n 的影响而不同。

当 n 为正数时，值域为全体正实数集 R^+；当 n 为负数时，值域为正实数集R^+，并且x ≠ 0；当 n 为零时，值域为全体实数集 R。

1.3 奇偶性当指数 n 为偶数时，幂函数关于 y 轴对称；当指数 n 为奇数时，幂函数关于原点对称。

1.4 增减性当指数 n 大于 1 时，幂函数在定义域上是增函数；当指数 n 大于 0 且小于 1 时，幂函数在定义域上是减函数。

二、幂函数图像的特点2.1 当底数 a 大于 1 时当底数 a 大于 1 时，幂函数的值域为正实数集 R^+。

图像呈现出从左下方无穷趋近于 x 轴，经过原点后逐渐上升并趋近于正无穷的趋势。

2.2 当底数 0 < a < 1 时当底数 0 < a < 1 时，幂函数的值域同样为正实数集 R^+。

图像呈现出从左下方无穷趋近于x 轴，经过原点后逐渐下降并趋近于 0 的趋势。

2.3 当底数 a 小于 0 时当底数 a 小于 0 时，则根据指数 n 的奇偶性和正负性来确定图像的性质。

当指数 n 为正偶数时，图像同样呈现出从左下方无穷趋近于 x 轴，经过原点后逐渐上升并趋近于正无穷的趋势；当指数 n 为正奇数时，图像同样呈现从左上方无穷趋近于 x 轴，经过原点后逐渐下降并趋近于负无穷的趋势。

2.4 特殊情况当底数 a 等于 1 时，幂函数的图像表现为一条平行于 x 轴的直线 y = 1；当底数 a 等于 -1 时，根据指数 n 的奇偶性不同，图像分别为一条平行于 x 轴的直线 y = -1 和关于 y 轴对称的抛物线。

幂函数高考知识点总结幂函数是高中数学中非常重要的一部分内容，也是高考中经常出现的知识点之一。

幂函数在数学中具有广泛的应用，不仅仅体现在纵坐标的数值关系上，更是涉及到图像特征、函数性质以及解题方法等方面。

下面我将对幂函数的相关知识进行总结和梳理，希望对大家复习和备考有所帮助。

1、幂函数的定义和性质幂函数的一般形式可以表示为：f(x) = ax^b，其中a和b是常数，而x是变量。

其中，a称为幂函数的系数，b称为幂函数的指数。

幂函数的定义域由指数b的正负决定，若b为正整数，则定义域是全体实数；若b为负整数，则定义域是x ≠ 0的一切实数；若b为0，则幂函数的定义域是x > 0的一切实数。

当只考虑幂函数f(x)在正数定义域上的取值时，幂函数的图像可以分为两种情况：当a > 1时，图像呈现递增趋势；当0 < a < 1时，图像则呈现递减趋势。

2、幂函数的图像特征通过观察幂函数的图像，我们可以得出一些重要的结论。

首先，当幂函数的系数a为正数时，图像都经过第一象限的点(1, a)。

其次，当幂函数的指数b为奇数时，幂函数的图像对称于y轴；当幂函数的指数b为偶数时，幂函数的图像具有原点对称性。

除此之外，我们还可以通过改变系数a和指数b的值，来改变幂函数图像的特征，如峰值的高低、函数图像的陡峭程度等。

3、幂函数的运算与应用幂函数的求导是高中数学中的重要内容之一。

对于幂函数f(x) =ax^b，其中a为常数，b为实数，我们可以通过求导的方法来确定幂函数的导函数形式。

具体来说，当指数为整数时，我们可以利用幂函数的定义进行求导；当指数为实数且不为整数时，我们则需要利用对数函数的性质来求导。

此外，由于幂函数具有多种性质和特点，在解决实际问题时也能够提供很多启示和方法。

4、幂函数的解题技巧和例题分析在高考中，幂函数常常出现在各种数学题目中，因此熟练掌握幂函数的解题方法是非常重要的。

对于幂函数的解题技巧，我们可以利用以下几点进行分析和总结：首先，要熟悉幂函数的性质和特点，了解其图像形态和函数性质；其次，要能够根据题目给出的条件和要求，建立幂函数方程或不等式；最后，要善于运用数学方法和思维工具，进行合理的推导和计算。

指对幂函数知识点总结幂函数是指将一个变量的函数，其函数表达式类似于ax^b，其中x表示函数的自变量，a与b为实数，a可以为1，b可以为任意实数（包括0）。

2、幂函数的特点（1）该函数的图像一般具有一个模式，当b>0时，以原点为顶点，向右延伸的弧线；当b<0时，以原点为顶点，向左延伸的弧线；当b=0时，是一条水平线。

（2）幂函数是单调函数，当b>0时，其函数值由小到大；当b<0时，其函数值由大到小。

（3）幂函数具有对称性，当b为偶数时，其横轴对称；当b为奇数时，其纵轴对称。

（4）幂函数具有对称性，当b为偶数时，其横轴对称；当b为奇数时，其纵轴对称。

3、幂函数的基本性质（1）幂函数的导数当b=1时，函数的导数为ax；当b≠1时，函数的导数为abx^(b-1)。

（2）幂函数的极值当a>0且b>1时，函数的极大值为+∞，极小值为0；当a<0且b>1时，函数的极大值为-∞，极小值为0；当a>0且b<1时，函数的极大值为a，极小值为0；当a<0且b<1时，函数的极大值为0，极小值为-a。

（3）函数的增减性当b>1时，函数在[0, +∞)内递增；当b<1时，函数在[0, +∞)内递减；当b=1时，函数在x>0和x<0两段位置都是递增的。

4、幂函数的应用（1）实际问题的求解：幂函数主要用于解决一些实际问题，如财务计算中的时间价值计算。

（2）计算机科学：幂函数也被应用于计算机科学中，它用于表示某些算法的时间复杂度，用最好的、最坏的以及平均的情况来表示。

（3）物理学：幂函数在物理学中也有应用，可以用它来描述很多物理现象，如重力加速度的变化曲线、质点运动轨迹等等。

5、总结本文介绍了幂函数的基本概念，特点及其基本性质，同时介绍了它在实际问题、计算机科学以及物理学中的应用，以期让读者对幂函数有一个全面而深入的了解。

幂函数、指数函数知识点整理（1）幂函数的定义： 一般地，函数y=x a叫做幂函数，其中x 为自变量，a 是常数． （2）幂函数的图象 （3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在（0，∞）都有定义，并且图象都通过点（1，1）．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当pqa =（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x =是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．一、根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．②式子n a 叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数时,0a ≥． ③根式的性质：()n na a =；当n 为奇数时，n na a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m nm na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,,,m mm nn naa m n N aa-+==>∈且1)n >． 0的负分数指数幂没有意义。

幂函数知识点总结5篇在平时的学习中，大家都没少背知识点吧？知识点就是掌握某个问题/知识的学习要点。

想要一份整理好的知识点吗？的我精心为您带来了5篇《幂函数知识点总结》，如果能帮助到亲，我们的一切努力都是值得的。

高一数学幂函数知识点总结篇一1、函数的单调性（局部性质）（1）增函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数。

区间D称为y=f(x)的单调减区间。

注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2）图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。

（3）函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：a.任取x1，x2D，且x1b.作差f(x1)-f(x2)；c.变形（通常是因式分解和配方）；d.定号（即判断差f（x1）-f(x2)的正负）；e.下结论（指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）。

(B)图象法（从图象上看升降）(C)复合函数的单调性复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律："同增异减'注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集。

8、函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数。

（2）奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数。

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称。

利用定义判断函数奇偶性的步骤：a.首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；b.确定f(-x)与f(x)的关系；c.作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，则f(x)是奇函数。