第十章 齿轮机构及其设计 本章学习任务：齿廓啮合定律，渐开线齿形，渐开线圆柱齿轮各部分名称和尺寸，渐开线直齿圆柱齿轮机构的啮合传动，其他齿轮机构的啮合特点。
驱动项目的任务安排：完善项目中齿轮机构的详细设计。
10.4其他齿轮机构的啮合特点10.4.1平行轴斜齿圆柱齿轮机构1．齿面的形成及啮合特点图10-26 渐开螺旋面的形式 图10-27 一对斜齿轮的啮合情况图10-28 斜齿轮齿面接触线如图10-26所示，当发生面S 在基圆柱上相切并作纯滚动时，发生面上一条与基圆柱母线成角的直线KK 在空间所展开的轨迹为斜齿轮的齿廓曲面。
从端面上看（垂直于轴线的b β平面）各点的轨迹均为渐开线，只是各渐开线的起点不同而已。
由于斜线KK 在其上各点依次和基圆柱相切，因此各切点在基圆柱上形成螺旋线，线上各点为渐开线的起始点，00k k 00k k 它们在空间展开的曲面为渐开螺旋面。
角称为基圆柱上的螺旋角。
b β一对平行轴斜齿轮啮合传动时，可以看成发生面（啮合面）分别与两个基圆圆柱相切并作纯滚动，发生面上的斜线KK 分别在两基圆柱上形成螺旋角相同，方向相反的渐开螺旋面，如图10-27所示。
这对齿轮的瞬时接触线即为KK 线，即一对斜齿轮啮合时其接触线为一斜直线。
由于一对斜齿轮的轮齿是反向倾斜的（一个左旋，另一个右旋），因此啮合时，是由前端面进入啮合，由后端面退出啮合，其接触线由短变长，再由长变短变化，图10-28为齿轮啮合时从动轮上接触线的情况，这种接触方式使齿轮传动的冲击与振动减小，传动较平稳，故斜齿轮传动适用于高速传动。
从端面上看，斜齿圆柱齿轮传动与直齿圆柱齿轮传动相同，啮合线为两基圆内公切线，所以斜齿轮传动能保证准确的传动比。
传动过程中，具有啮合角不变及中心距可分性等特点。
2．标准参数及基本尺寸（1）标准参数 由于斜齿轮的轮齿倾斜了角，切制斜齿轮时，刀具沿着螺旋线方向b β进刀，此时轮齿的法面参数与刀具的参数一样。
因此斜齿轮的标准参数为法面参数，即法面模数，法面压力角，法面齿顶高系数，法面顶隙系数为标准值。
n m n α*an h *n c （2）分度圆柱螺旋角及基圆柱螺旋角 与直齿圆柱齿轮一样，斜齿轮的基本尺寸是以其分度圆为基准圆来计算的。
斜齿轮分度圆柱上的螺旋线的切线与其轴线所夹之锐角称为分度圆柱螺旋角（简称螺旋角）用表示。
与间的关系如图10-29所示，可得：ββb β （10-21）tan tan cos b t ββα=（a ） （b ） 图10-29 斜齿轮的螺旋角 图10-30 斜齿轮的端面压力角与法面压力角式中，，，其中L 为螺旋线的导程，对同一个斜齿轮而言，任一圆tan d L πβ=tan bb d L πβ=柱面上螺旋线的导程应相同。
斜齿轮的螺旋角是重要的基本参数之一，由于斜齿轮的轮齿倾斜了角，使斜齿轮ββ传动时产生轴向力，越大，轴向力越大。
β（3）法面参数和端面参数 从斜齿轮的端面来看，斜齿轮形状与直齿轮相同，因此可按端面参数用直齿轮的计算公式进行斜齿轮基本尺寸的计算。
而法面参数为标准值，故需建立法面参数与端面参数之间的关系。
1）模数 如图10-29（b ）所示，、分别为斜齿轮法面和端面的齿距。
它们之间的n p t p 关系为cos n i p p β=由于，因此就求得n n p m π=t t p m π= （10-22）cos n t m m β=2）齿顶高系数、顶隙系数和变位系数 不论从法面和端面看，斜齿轮的齿顶高和齿根高都是相同的。
即**==a an n at t h h m h m 所以（10-23） **cos at an h h β=同理（10-24） ****()()f an n n at t t h h c m h c m =+=+因此（10-25） **cos t n c c β= 切制齿轮时，刀具沿被切齿轮的径向向前移或向后移，其移距量不论从法面或端面来看都是相同的，因此端面变位系数与法面变位系数的关系为（10-26）cos t n x x β=3）压力角 如图10-30所示斜齿条的法面（）与端面（）的夹角为角，a b c ''∆abc ∆β由于斜齿轮法面与端面的齿高相等，即，因此可得，在ab a b ''=t n /tan /tan bc b c αα'=bb c '∆中，，所以cos b c bc β'=（10-27） tan tan cos n t ααβ=斜齿轮的基本尺寸计算公式如表10-7所示。
表10-7 外啮合标准斜齿圆柱齿轮基本尺寸计算公式名称符号 计算公式 分度圆直径d cos n i t i i m d m z z β==基圆直径b d cos bi i t d d α=齿顶高a h ai an n h h m *=齿根高f h ()fi an n n h h c m **+齿顶高直径a d /cos 2ai n i an n d m z h m β*=+齿根高直径f d /cos 2()f n i an n n d m z h c m β**=-+端面齿厚t s /2cos t n s m πβ=端面齿距t p /cos t n p m πβ=端面基节bt p t cos bt t p p α=中心距a 121()/cos 2n a m z z β=+注：公式中下标。
1,2i =3．正确啮合条件一对平行轴外啮合斜齿轮传动时，与直齿轮传动一样，两轮的法面模数和法面压力角应分别相等；另外，两轮啮合处的齿向要相同，因此一对外啮合斜齿圆柱轮的正确啮合条件为：（10-28）121212n n n n n m m m ααββ==⎧⎪=⎨⎪=-⎩对于内啮合齿轮对，。
另外，相互啮合的斜齿轮的螺旋角大小相等，旋向相反，12ββ=故其端面模数和端面压力角也分别相等。
即（10-29）12t t m m =12t t αα=4．斜齿轮传动的重合度为便于分析斜齿轮传动的重合度，将端面参数与直齿轮参数相当的斜齿轮一进行比较。
图10-31（a ）、（b ）分别表示直齿圆柱齿轮传动和斜齿圆柱齿轮传动的啮合面。
由于直齿轮传动啮合时是沿整个齿宽进入啮合（图10-31（a ）中的），脱离啮合时也是沿22B B '整个齿宽脱离啮合（图10-31（a ）中线）。
故11B B '其重合度为。
b L p ε=对于斜齿圆柱齿轮传动来说，由于轮齿倾斜了角度，当一对轮齿在前端面的点进bβ2B '人啮合时，后端面还未进入啮合（图10-31（b ）），同样该对轮齿的前端面在，点脱离啮1B '合时，后端面还未脱离啮合，只有当该轮齿的后端面转到虚线处的点，前端面转到点1B 1B '时，该对轮齿才全部脱离啮合，显然斜齿圆柱齿轮传动的实际啮合区比直齿圆柱齿轮传动的实际啮合区增大了（），故斜齿轮传动的重合度为L ∆tan b L b β∆= （10-30）bt L L p γαβεεε+∆==+其中称为轴向重合度（纵向重合度）。
将，代人βεb t tan tan cos ββα=cos bt t t p p α=11/bt B B p '整理后可得（10-31）sin /b n b m εβπ=称为端面重合度。
其值与端面尺寸完全相同的直齿圆柱齿轮传动的重合度相等。
即 αε （10-32） 11221[(tan tan ')(tan tan ')]2at t at z z αεααααπ=-+-由以上分析可知，斜齿轮传动的重合度大于直齿轮传动的重合度，斜齿轮传动时，同时啮合的轮齿对数多，因此传动平稳，承载能力也高。
由式（10-31）可知，愈大，愈大，传动愈平稳，但当太大时，轴向力也增大，βb εβS F 对传动不利，如图10-32（a ）所示。
因此不能过大，设计时一般取。
当用于β8~15β= 高速大功率的传动时，为了消除轴向力采用左右对称人字齿轮，如图10-32（b ）所示。
由于其轴向力可以互相抵消，螺旋角可以增大些，。
β25~40β= 5．斜齿轮的当量齿数由于斜齿轮的作用力是作用于轮齿的法面，其强度设计、制造等都是以法面为依据的，因此需要知道斜齿圆柱齿轮的法面齿形。
一般可以采用近似的方法用一个与斜齿轮法面齿形图10-31 斜齿轮的实际啮合线相当的直齿轮齿形来替代，这个相当直齿轮就是所谓的斜齿轮的当量齿轮，当量齿轮的齿数称为当量齿数，用表示。
v z（a ） （b ） 图10-32 斜齿轮的轴向力图 图10-33 斜齿轮的当量齿轮及人字齿轮 如图10-33所示，过斜齿轮分度圆柱上的一点C 作斜齿轮螺旋线的法截面，显然此截面为椭圆。
椭圆上只有C 点附近的齿形可作为法面齿形。
为求与法面齿形相当的直齿圆柱齿轮的渐开线齿形，可以用椭圆上C 点处的曲率半径作为相当直齿轮的分度圆半径，并ρv r 设当量齿轮的模数和压力角分别等于斜齿轮的法面模数和法面压力角。
这样当量齿轮n m n a 的齿形就与斜齿轮法面的齿形很接近。
当量齿轮的分度圆半径。
由解析几何可知椭圆上C 点处的曲率半径，其v r ρ=2/a b ρ=中a 、b 分别为椭圆的长径和短径。
在图10-33可以得到，，，因此b r =/cos a r β= （10-33）23/cos /2cos v n r r m z ββ==当量齿数（10-34） 3/cos v z z β=由式（10-34）可以求出用范成法切制斜齿轮时不产生根切的最少齿数： （10-35）3min min cos v z z β=是当量齿轮不发生根切的最少齿数。
min v z 综上所述，平行轴斜齿圆柱齿轮与直齿圆柱齿轮比较，具有齿面接触情况好，重合度大，传动平稳，承载能力高，结构紧凑等优点，因此适合于高速重载的机械传动。
例10-4 设已知一对斜齿轮传动的，，，（初选201=z 402=z mm 8=n m 15=β值），，。
试求（应圆整，并精确重算）、，及，及。
mm 30=B 1*=an h a βγε1V z 2V z 解：依据题意有mm 66.248mm 15cos 2)4020(8cos 2)()(212121=⨯+⨯=+=+= βz z m d d a n 取 mm 250=a 则 12()8(2040)arccos arccos 16.26022250n m z z a β+⨯+===⨯ 11332022.586cos cos 16.260V z z β===。
