切线长定理的证明及其运用

切线长定理一知识讲解(基础)责编：康红梅【学习目标】1. 了解切线长定义；理解三角形的内切圆及内心的定义；2. 掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明【要点梳理】要点一、切线长定理1.切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称•切线是直线，而非线段•2 .切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等3 •圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等•要点二、三角形的内切圆1.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆•这个三角形叫作圆的外切三角形•2 •三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心•三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点•要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即；:- 1 I'：(S 为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).2内心(三角形三角形三条角平分线X(1)到三角形三边距离相等;内切圆的圆的交点(2)OA、OB OC分别平分心)M BAG M ABG M ACB⑶内心在三角形内部.【典型例题】类型一、切线长定理1. (2015秋?湛江校级月考)已知PA PB分别切OO于A B, E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D.(1 )若PA=6,求厶PCD的周长.(2)若/ P=50°求/ DOC解：(1)连接OE••• PA PB与圆O相切，••• PA=PB=6同理可得：AC=CE BD=DE△ PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+P；=12(2)T PA PB与圆O相切，•••/ OAP M OBP=90 / P=50°,•••/ AOB=360 - 90°- 90°- 50° =130°,在Rt △ AOC和Rt △ EOC 中，r OA=OEOC=OC，L• Rt△AO Q Rt△EOC( HL),•••/ AOC H COE同理：/ DOE M BOD•••/ COD= M AOB=65 .2【总结升华】本题考查的是切线长定理和全等三角形的判定和性质，掌握切线长定理是解题的关键.2 . (2016秋?江阴市校级期中)如图，AB、AC、BD是O O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5 ,AC=3，贝U BD的长为 _________【解析】解: •/ AC 、AP 为O O 的切线, 举一反三： 【变式】已知：如图，OO过点A 作AD _ BF 于点D .求证：DA 为OOAC 、BD 是O O 的切线，贝U AC=AP , BP=BD ，求出BP 的长即可求出 BD 的长.••• AC=AP ,•/ BP 、BD 为O O 的切线,• BP=BD , • BD=PB=AB - AP=5 - 3=2.故答案为：2.【总结升华】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键. 为.：ABC 的外接圆，BC 为OO 的直径，作射线 BF ，使得BA 平分三CBF , 的切线.AO = BO2 = . 3 .BA 平分.CBF ,• • 1 =. 2. • Z 3 Z 1 .DB // AO .AD _DB , • £BDA =90 . /.Z DAO =90 .AO 是O O半径，• DA 为O O 的切线. 3.如图，正方形 ABCD 边长为4cm ，以正方形的一边 BC 为直径在正方形 ABCD 内作半圆，过 A 作半圆的切线，与半圆相切于F 点，与DC 相交于E 点，则△ ADE 的面积（ ）【答案】2.【答案】 连接AO .A.12B.24C.8D.6【答案】D;【解析】••• AE与圆0切于点F,显然根据切线长定理有AF=AB=4cm , EF=EC ,设EF=EC=xcm ,则DE= (4 - x) cm, AE= (4+x) cm ,在三角形ADE中由勾股定理得：2 2 2(4 - x) +4 = (4+x),x=1cm,/• CE=1cm ,.DE=4 -仁3cm ,2--S^\DE=AD ?DE -=2=3 ^4^2=6cm -【总结升华】此题主要考查圆的切线长定理，正方形的性质和勾股定理等知识，解答本题关键是运用切线长定理得出AB=AF , EF=EC .类型二、三角形的内切圆4. (2015?青江市校级二模)如图，在△ABC中，I是内心，O是AB边上一点，00经过B点且与AI相切于I点.(1)求证：AB=AC(2)若BC=16 00的半径是5，求AI的长.【解题思路】(1)延长AI交BC于D,连结OI,如图，根据内心的性质得/ OBI=Z DBI,则可证明OI// BD 再根据切线的性质得OI 丄AI，贝U BDLAD加上AI平分/ BAC所以△ ABC为等腰三角形，得到AB=AC (2)由OI// BC得到△ AOI sA ABD 得到比例式，再根据勾股定理求得A D JA B2— BD2=贸，于是就可得. 【答案与解析】解：(1)延长AI交BC于D,连结OI，如图,• AI= ?AD= 'XBD 8二11 ~=~••T是厶ABC的内心，••• BI 平分/ ABC 即/ OBI=Z DBI, •/ OB=O|•••/ OBI=Z OIB,•••/ DBI=Z OIB,•01 // BD•/AI为OO的切线，•01 丄AI,•BDLAD•/ AI 平分/ BAC•△ ABC为等腰三角形，•AB=AC(2)T OI // BC•△AOI sA ABD•-y•l i. H i ii，•订:•/.=:,AB』• Ai2"32,【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，正确的作出辅助线是解题的关键.举一反三：【变式】已知如图，△ ABC中，/ C=90°, BC=4, AC=3求厶ABC的内切圆O O的半径r.【答案】连结OA OB OC•/△ ABC中，/ C=90°, BC=4, AC=3 • AB=5.1111贝U S\AO+S A CO+S^AO(=S^ABC即卩5r+ 4r+ 3r= 3 4 r=12 2 2 2，。

北师大版数学九年级下册《＊7 切线长定理》说课稿2一. 教材分析《切线长定理》是北师大版数学九年级下册第7节的内容。

本节课主要介绍切线长定理及其应用。

切线长定理是初中数学中的一个重要定理，它揭示了圆的切线与圆内接四边形的关系。

通过学习本节课，学生能够掌握切线长定理的内容，并能运用切线长定理解决相关问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对圆的性质和四边形的性质有一定的了解。

但是，对于切线长定理的理解和应用还需要进一步引导和培养。

在学生中存在以下几个问题：1. 对切线长定理的理解不够深入，容易与切线性质混淆；2. 运用切线长定理解决实际问题时，缺乏思路和方法；3. 对于几何图形的观察和分析能力有待提高。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解切线长定理的内容，并能运用切线长定理解决相关问题。

2.过程与方法目标：通过观察、分析、推理等过程，培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极进取精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：切线长定理的内容及其运用。

2.教学难点：切线长定理的证明和运用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等辅助教学。

六. 说教学过程1.导入：通过复习圆的切线性质和四边形的性质，引出切线长定理的概念。

2.新课讲解：讲解切线长定理的内容，并通过几何画板展示切线长定理的证明过程。

3.案例分析：分析几个实际问题，引导学生运用切线长定理解决问题。

4.小组讨论：学生分组讨论，总结切线长定理的运用方法和技巧。

5.课堂练习：布置几道练习题，巩固学生对切线长定理的理解和应用。

6.总结：对本节课的内容进行总结，强调切线长定理的重要性和应用价值。

七. 说板书设计板书设计如下：定义：圆的切线与圆内接四边形的一组对边相等。

证明：利用圆的切线性质和四边形的性质进行证明。

切线长定理及应用切线长定理是解决几何问题中常用的定理之一，它在许多实际应用中发挥着重要的作用。

本文将介绍切线长定理的概念、证明以及一些实际应用。

一、切线长定理的概念切线长定理是指在一个圆上，从圆外一点引出的切线与半径的乘积等于切点到圆心的距离的平方。

换句话说，如果从圆外一点引出一条切线，那么切线与半径的乘积等于切点到圆心的距离的平方。

二、切线长定理的证明为了证明切线长定理，我们可以利用几何推理和一些基本的几何定理。

首先，我们可以通过连接圆心、切点和圆上的一个点，构成一个直角三角形。

然后，利用勾股定理和相似三角形的性质，我们可以得出切线长定理的结论。

三、切线长定理的应用切线长定理在实际应用中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 圆的切线问题：切线长定理可以帮助我们解决与圆相关的问题，例如确定切线的长度、判断两条切线是否相等等。

2. 几何建模：在几何建模中，切线长定理可以用于计算和确定物体表面的切线长度，从而帮助我们进行准确的建模和设计。

3. 光学问题：在光学问题中，切线长定理可以用于计算光线的传播路径和角度，从而帮助我们理解光的行为和性质。

4. 工程测量：在工程测量中，切线长定理可以用于计算和确定测量点与目标物之间的距离和位置关系，从而帮助我们进行精确的测量和定位。

5. 数学建模：在数学建模中，切线长定理可以用于建立数学模型，从而帮助我们解决各种实际问题，例如物体运动的轨迹、曲线的切线方程等。

总结：切线长定理是解决几何问题中常用的定理之一，它在圆的切线问题、几何建模、光学问题、工程测量和数学建模等领域都有着广泛的应用。

通过理解和应用切线长定理，我们可以更好地解决实际问题，提高问题求解的准确性和效率。

切线长定理及应用切线长定理是指在一个圆上，从圆外一点引出两条直线与圆相切，这两条直线的切线长相等。

这是一个非常重要的几何定理，其应用广泛，并被用于解决各种与圆相关的问题。

下面我将详细解释切线长定理及其应用。

首先，我们来证明切线长定理。

考虑一个圆C和直线L1与L2，L1和L2分别与圆C相切于点A和点B。

我们需要证明切线长AP等于切线长BP。

假设圆C的半径为r，圆心为O。

连接OA和OB，与切线AP和BP相交于点C 和点D。

根据切线与半径的性质，我们可以发现∠OAB = ∠OBA = 90度（因为OA和OB分别是切线AP和BP所在直线上的半径）。

因此，三角形OAB是等腰直角三角形，所以OA = OB = r。

另外，我们注意到OC = OD （根据切线与直径的性质），以及O为圆心，所以OC = OD = r。

因此，我们可以得出OC = OD = r，OA = OB = r，根据SSS（边-边-边）准则，三角形OAC和三角形OBD是全等的三角形。

根据全等三角形的定义，对应的角相等，因此∠OCA = ∠ODB。

又因为∠OCA =∠OAB（根据直角三角形性质），所以∠OAB = ∠ODB。

考虑直角三角形AOB和三角形BOC，他们共有角∠OBA和∠OAB。

又根据三角形内角和为180度的性质，我们知道∠OAB + ∠OBA + ∠OBA + ∠OCB = 180度（∠OBA + ∠OBA是两个直角）。

将前面得到的∠OAB = ∠OBA代入，我们可以得到2∠OBA + ∠OCB = 180度。

注意到∠OCB是圆心角，且∠BOA是圆周角，如果我们将∠OCB表示为α，将∠BOA表示为β，根据圆周角和圆心角的关系，我们知道α= 2β。

将α= 2β代入之前的等式，我们得到2∠OBA + 2∠OBA = 180度，化简之后得到4∠OBA = 180度，即∠OBA = 45度。

现在，考虑三角形OAB。

我们可以知道∠OAB = 45度，且OB = OA = r。

切线长和切线长定理及圆与圆的位置关系一、切线长和切线长定理：⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．二、三角形内切圆1． 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2． 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3．直角三角形的内切圆半径与三边关系OF ED C BACBA CBAcbacba（1） （2）图（1）中，设a b c ，，分别为ABC ∆中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S则内切圆半径（1）s r p =，其中()12p a b c =++； 图（2）中，90C ∠=︒，则()12r a b c =+-、abr a b c=++重难点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目．1.切线长定理及切线性质的应用例题1（2011·济宁）如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 的两条切线，DE 切⊙O 于点E ，交AM 与于点D ，交BN 于点C ，F 是CD 的中点，连接OF 。

（1） 求证：OD ∥BE;(2) 猜想：OF 与CD 有何数量关系？并说明理由。

解：（1）证明：连接OE∵AM 、DE 是⊙O 的切线，OA 、OE 是⊙O 的半径 ∴∠ADO=∠EDO,∠DAO=∠DEO=90°…………1分∴∠AOD=∠EOD=21∠AOE …………2分 ∵∠ABE=21∠AOE ∴∠AOD=∠ABE ∴OD ∥BE …………3分 (2) OF =21CD …………4分 理由：连接OC∵BE 、CE 是⊙O 的切线∴∠OCB=∠OCE …………5分 ∵AM ∥BN∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180° 由（1）得 ∠ADO=∠EDO∴2∠EDO+2∠OCE=180° 即∠EDO+∠OCE=90° …………6分 在Rt △DOC 中， ∵ F 是DC 的中点 ∴OF =21CD ……7分 三、圆与圆的位置关系重点：两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用． 难点：探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题． 易错点：1）圆与圆位置关系中相交时圆心距在两圆半径和与差之间， 2）没有公共点要考虑外离和内含的两种情况 3）有一个公共点要考虑内切与外切两种情况4）两圆相交求的公共弦多对的圆周角，求出圆心距一般都有两种情况圆与圆的位置关系的应用 例题2（2011•绍兴）如图，相距2cm 的两个点A 、B 在直线l 上．它们分别以2cm/s 和1cm/s的速度在l 上同时向右平移，当点A ，B 分别平移到点A 1，B 1的位置时，半径为1cm 的⊙A 1，与半径为BB 1的⊙B 相切．则点A 平移到点A 1，所用的时间为为多少秒?考点：圆与圆的位置关系。

切线长定理及其应用知识点一 切线长定义及切线长定理1. 切线长定义：过圆外一点作圆的切线，这点和 之间的线段长叫作这点到圆的切线长.注意切线长和切线的区别和联系:切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量。

2. 切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，即PA=PB.推论：（1）△PAB 是等腰三角形；（2）OP 平分△APB ，即△APO=△BPO ；（3）弧AM=弧BM ；（4）在Rt OAP ∆和Rt OBP ∆中，由AB OP ⊥，可通过相似得相关结论；如：222222,,OA OB OE OP AP BP PE PO AE BE OE EP ==⋅==⋅==⋅（5）图中全等的三角形有对，分别是：题型一 切线长定理的直接应用【例1】如图所示，△O 的半径为3cm ，点P 和圆心O 的距离为6cm ，经过点P 的两条切线与△O 切于点E 、F ，求这两条切线的夹角及切线长.【例2】如图，P A 、PB 、DE 分别切△O 于A 、B 、C ，△O 的半径长为6 cm ，PO ＝10 cm ，求△PDE 的周长．【例3】如图所示，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为__________.【过关练习】1.如图所示，PA、PB是△O的切线，A、B为切点，△OAB=30°.（1）求△APB的度数.（2）当OA=3时，求AP的长.2.如图所示，已知PA、PB、DE分别切O于A、B、C三点，△O的半径为5cm，△PED的周长为24cm，△APB=50°.求：（1）PO的长；（2）△EOD的度数.3.如图,在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD,AB ⊥BC,以BC 为直径的△O 与AD 相切,点E 为AD 的中点,下列结论正确的个数是( )(1)AB+CD=AD;(2)DCE ABE BCE S S S △△△+=; (3)241BC CD AB =⋅; (4)∠ABE=∠DCE. A.1B.2C.3D.4知识点二 圆外切四边形1、四边形的内切圆定义：四边形的四条边都与圆相切，把这个四边形叫作圆外切四边形，把这个圆叫作圆的内切圆.2、圆外切四边形的性质：圆外切四边形两组对边之和.（如图，即AB +CD =AD +BC ） 题型一 四边形的内切圆计算【例1】已知四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 与△O 相切于P 、Q 、M 、N ，求证：AB+CD=AD+BC 。

知识点一切线长定义及切线长定理1. _____________________________________________________ 切线长定义：过圆外一点作圆的切线，这点和____________________________________________ 之间的线段长叫作这点到圆的切线长注意切线长和切线的区别和联系：切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量。

2. 切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，即PA=PB.推论:(1) △ PAB是等腰三角形；(2) OP 平分△ APB，即△ APO A BPO ；(3) 弧AM=弧BM ;(4)在Rt OAP和Rt OBP中，由AB OP，可通过相似得相关结论;如：OA2 OB2 OE OP, AP2 BP2 PE PO, AE2 BE2 OE EP(5)图中全等的三角形有对，分别是：题型一切线长定理的直接应用【例1】如图所示，AO的半径为3cm,点P和圆心O的距离为6cm,经过点P的两条切线与AO切于点E、F,求这两条切线的夹角及切线长.【例2】如图，FA、PB、DE分别切A0于A、B、C, A O的半径长为6 cm, PO= 10 cm,求APDE的周长.切线长定理及其应用【例3】如图所示，△ ABC中，/ C=90 , AC=3 , AB=5 , D为BC边的中点，以AD上一点0为圆心的O0和AB、BC均相切，则O 0的半径为 ______________ .£4【过关练习】1•如图所示，PA、PB是AO的切线，A、B为切点，△ OAB=30°.( 1)求厶APB的度数.(2)当0A=3时,求AP的长•2•如图所示，已知PA、PB、DE分别切e 0于A、B、C三点，AO的半径为5cm, △ PED的周长为24cm , △ APB=50°求：(1) P0 的长；(2) △ EOD 的度数•3•如图，在直角梯形 ABCD 中,AB // CD,AB 丄BC,以BC 为直径的 △ 与AD 相切，点E 为AD 的中点，下列结论 正确的个数是( )B1 2知识点二圆外切四边形1、四边形的内切圆定义：四边形的四条边都与圆相切，把这个四边形叫作圆外切四边形，把这个圆叫作圆的内切圆2、圆外切四边形的性质：圆外切四边形两组对边之和 __________________ .（如图，即AB+CD=AD+BC ）题型一 四边形的内切圆计算【例1】已知四边形 ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 与AO 相切于P 、Q 、M 、N ，求证：AB+CD=AD+BC 。

圆的切线长定理及其推论一、引言圆是数学中重要的几何概念之一，它具有许多独特的性质和定理。

本文将重点介绍圆的切线长定理及其推论，通过详细的阐述和推导，帮助读者更好地理解和应用这一定理。

二、圆的切线长定理圆的切线长定理是指：若直线与圆相切，则切线的长度等于切点到圆心的距离的平方根乘以2。

证明：设圆的方程为x²+y²=r²，其中r为圆的半径，切点为P(x₀, y₀)。

设直线方程为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。

由于直线与圆相切，所以切点的坐标满足直线方程和圆的方程，即有：kx₀+b=y₀x₀²+y₀²=r²将直线方程中的y用x和b表示，代入圆的方程，得到：x²+(kx+b)²=r²化简得：(1+k²)x²+2kbx+b²-r²=0由于直线与圆相切，所以直线只有一个交点，即判别式等于0，即有：Δ=4k²b²-4(1+k²)(b²-r²)=0化简得：(k²+1)r²=b²解得：b=r√(k²+1)由直线方程y=kx+b，可得直线长度为：l=√(1+k²)由此可得切线的长度为：2l=2√(1+k²)即圆的切线长定理成立。

三、圆的切线长定理的推论根据圆的切线长定理，我们可以得出以下推论：推论1：若直线过圆的直径中点，则直线与圆相切。

证明：设直线方程为y=kx+b，过圆的直径中点，则直线过圆心，即切点的坐标满足直线方程和圆的方程，即有：kx₀+b=y₀x₀²+y₀²=r²将直线方程中的y用x和b表示，代入圆的方程，得到：x²+(kx+b)²=r²化简得：(1+k²)x²+2kbx+b²-r²=0由于直线过圆的直径中点，所以切点的坐标满足圆的方程，即有：x₀²+y₀²=r²将x₀²+y₀²=r²代入直线方程，得到：(1+k²)x₀²+2kbx₀+b²-r²=0由于直线方程与圆的方程有唯一交点，所以判别式等于0，即有：Δ=4k²b²-4(1+k²)(b²-r²)=0化简得：(k²+1)r²=b²由于直线方程过圆心，即切线的长度为0，所以有：b=0解得：k=0即斜率为0，即直线垂直于x轴，即直线过圆的直径中点。

《切线长定理》教学设计1、教材分析重点、难点分析重点：切线长定理及其应用•因切线长定理再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它属于工具知识, 经常应用，因此它是本节的重点.难点：与切线长定理有关的证明和计算问题•不仅应用切线长定理，还用到方程的知识，是代数与几何的综合题，学生往往不能很好的把知识连贯起来.2、教法建议本节内容需要一个课时.(1)在教学中，组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结；(2)在教学中，以“观察一一猜想一一证明一一剖析一一应用一一归纳” 为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学.教学目标1 •理解切线长的概念，掌握切线长定理；2 •通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想.3 •通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度.教学重点：切线长定理是教学重点教学难点：切线长定理的灵活运用是教学难点教学过程设计：(一)观察、猜想、证明，形成定理1、切线长的概念.如图，P是。

O外一点，PA, PB是。

O的两条切线，我们把线段PA, PB 叫做点P到。

O的切线长.引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量2、观察利用PPT来展示P的位置的变化，观察图形的特征和各量之间的关系.3、猜想引导学生直观判断，猜想图中PA是否等于PB. PA= PB.4、证明猜想，形成定理.猜想是否正确。

需要证明.组织学生分析证明方法.关键是作出辅助线0A，0B，要证明PA= PB.想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？/ OPA=Z OPB（如图），连接AB，有AD=BD 等.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.5、归纳:把前面所学的切线的5条性质与切线长定理一起归纳切线的性质6切线长定理的基本图形研究（小组合作交流）如图，PA, PB是。

切线长定理内容
切线长定理，又称为“切割定理”或“外切线定理”，是平面几何中的一个重要定理，它主要描述圆内接四边形中的一些关系。

具体来说，该定理指出：圆内接四边形的两条对角线相互垂直，当且仅当它们的对边之和相等。

也就是说，如果在一个圆内接四边形中，对角线BD与AC相互垂直，那么有AD+BC=AB+CD。

反之，如果AD+BC=AB+CD，那么对角线BD 与AC相互垂直。

这个定理的证明可以通过使用勾股定理、相似三角形、正弦定理等几何知识进行推导。

根据勾股定理，我们可以得到在半径为r的圆中，切线长度的平方等于切点到圆心的距离的平方减去半径的平方。

然后，应用正弦定理和相似三角形的性质，就可以得到切线长定理了。

切线长定理不仅是几何学中的重要定理，而且在各种实际应用场合中也有着广泛的应用。

例如，它可以用来计算圆内接四边形的对角线长度，或者用于建模和计算机图形学中。

此外，它还有着许多相关的推论和应用，例如垂径定理、欧拉线等等，在数学研究和应用中都有着重要的地位。

切线长定理的三个推论
//1、切线长定理推论一：给定任意一条曲线，沿着曲线的任何一点，该曲线的切线都会段段相交，切线的长度一定是相等的。

切线长定理是17世纪法国数学家皮埃尔•坎通夫提出的原理。

它给出了沿曲线各点及切线的关系。

它的定义是：一个曲线上任意两点的切线，其长度相等。

坎通夫的切线长定理的三个重要的推论是：给定任意一条曲线，沿着曲线的任何一点，该曲线的切线都会段段相交，切线的长度一定是相等的；沿着曲线的任何一点，曲线的曲率半径一定是相等的；沿着曲线的任何一点，曲线的弧长也一定是相等的。

切线长定理的三个推论，最基本的涉及的是曲线的点与切线的关系。

确实，它显示出了曲线上点以及曲线上点切线的关系，即不论曲线穿过哪一点，切线的长度都是相等的，而曲率半径和弧长也是相等的。

另外，切线长定理还可以非常容易地应用到曲线的区域计算中，由于切线两点之间一定会形成一段小段弧线，如果知道切线的长度，那么可以很容易地计算出一定长度的小弧线的弧长和曲率半径，从而也可以方便地计算出曲线的总长度和曲率总和。

此外，由于切线和曲率半径具有相同的含义，可以用它来表示曲线的曲率，在研究图形的贝塞尔曲线的构造方法时，也可以同样用切线的方法来构造不同类型的曲线。

总之，切线长定理的三个推论，对于研究和绘制曲线来讲，是一项非常重要的定理，沿曲线的任意一点，它都可以提供一些重要的参数信息，帮助我们更有效地描述曲线，更容易地进行曲线方程的求解。

初中数学切线长定理的应用有哪些
切线长定理是初中数学中与圆相关的一个重要定理，它有广泛的应用。

下面我将详细介绍切线长定理的几个常见应用。

1. 判断切线的长度相等：
-已知一个圆上的两条切线与同一个角相交，且角的顶点在切点上，判断这两条切线的长度是否相等。

根据切线长定理可得：如果两条切线与同一个角相交，且角的顶点在切点上，那么这两条切线的长度相等。

2. 求解切点坐标：
-已知一个圆的方程及一条切线的方程，求解切点的坐标。

根据切线长定理的性质可得：切点的坐标可以通过将切线的方程与圆的方程联立求解得到。

3. 求解切线的斜率：
-已知一个圆的方程及切点的坐标，求解切线的斜率。

根据切线长定理的性质可得：切线的斜率可以通过切点的坐标和圆的方程求解得到。

4. 判断切线与其他直线的关系：
-已知一个圆和一条直线，判断这条直线与圆的关系。

根据切线长定理可得：如果一条直线与圆相交于一个点，并且这个点是圆的切点，那么这条直线是圆的切线。

5. 解决圆的切线问题：
-切线长定理可以用于解决与圆的切线相关的问题。

例如，求解切线的长度、判断切线的存在与位置关系、求解切线与角的关系等。

切线长定理在初中数学中有广泛的应用，可以帮助我们解决与切线和圆相关的问题，判断切线的长度相等、求解切点的坐标和切线的斜率，判断切线与其他直线的关系，以及解决圆的切线问题。

在应用切线长定理时，需要注意定理的性质和运用几何知识进行推理和分析。

希望以上内容能够满足你对切线长定理应用的了解。

圆的切线长定理圆的切线长定理是几何学中的重要定理之一，它描述了一个切线与圆的相交关系以及切线的长度和与圆的位置有关。

这个定理被广泛应用于各个领域，包括物理学、工程学和计算机图形学等。

本文将详细介绍圆的切线长定理及其应用。

一、圆的切线长定理的表述圆的切线长定理可以用以下方式表述：如果在圆上有一点P，并且通过这点作一条直线与圆相交于A、B两点，那么线段PA和线段PB 的乘积等于切线与圆心连线的长度的平方。

即PA * PB = PT^2，其中T是切点。

二、圆的切线长定理的证明要证明圆的切线长定理，可以使用几何推理和三角关系。

设圆的半径为r，圆心为O，切点为T，切线与圆心连线为OT。

连接OA、OB，得到△OAT和△OBT两个直角三角形。

由正弦定理可得：sin∠OAT = r / OTsin∠OBT = r / OT又因为∠OAT和∠OBT是互余角（补角），即∠OAT + ∠OBT = 90°，所以sin∠OAT = cos∠OBT。

将上述两个等式代入PA * PB = PT^2，得到：r * r = PA * PB因此，圆的切线长定理得证。

三、圆的切线长定理的应用圆的切线长定理可以应用于很多实际问题中。

以下是一些具体应用：1. 圆的切线长定理可以用于计算切线的长度。

如果已知圆的半径和切线与圆的位置，可以通过切线长定理计算切线的长度。

2. 圆的切线长定理可以用于求解与圆相切的直线方程。

通过已知切点和切线长度，可以确定切线的位置，从而求解与圆相切的直线方程。

3. 圆的切线长定理可以应用于计算切线与圆心连线的长度。

通过已知切线长度和切点，可以计算切线与圆心连线的长度。

4. 圆的切线长定理还可以用于解决几何问题。

例如，判断两个圆是否相切，可以通过切线长定理计算切线的长度，从而判断圆是否相切。

圆的切线长定理是几何学中的重要定理，它描述了切线与圆的相交关系以及切线的长度和与圆的位置的关系。

通过应用该定理，我们可以解决各种与圆相关的问题，从而推动几何学的发展和应用。

切线长定理公式及证明一、引言在数学中，切线是曲线上的一条特殊直线，它与曲线仅在一个点相切。

切线长定理是描述切线与半径的关系的重要定理，它可以帮助我们计算切线的长度。

本文将介绍切线长定理的公式及其证明过程。

二、切线长定理公式设直径为d的圆上的一条切线与半径的交点距离圆心的距离为x，则切线的长度L可以由以下公式表示：L = 2√(xd)三、切线长定理的证明为了证明切线长定理，我们首先需要了解一些基本的几何概念和性质。

1. 切线的定义与性质：在圆上的一点的切线是与该点相切且仅与该点相切的直线。

切线与半径垂直。

2. 平行四边形的性质：对于平行四边形，对角线互相平分。

现在开始证明切线长定理。

证明：设O为圆心，A为圆上的一点，C为切点，OB为半径，CD为切线。

由于切线与半径垂直，所以∠CDO为直角。

由平行四边形的性质可知，OD平分BC，即BO=OC。

设切点到圆心的距离为x，则BD=2x。

根据勾股定理，可以得到：BC^2 = BO^2 + OC^2(2x)^2 = x^2 + d^24x^2 = x^2 + d^23x^2 = d^2x^2 = d^2/3x = √(d^2/3)x = d/√3再根据切线长公式可以得到：L = 2√(xd)L = 2√(d * d/√3)L = 2√(d^2/√3)L = 2 * d/√3L = (2√3/3) * d切线长定理得到证明。

四、应用举例切线长定理在几何问题的解决中有很多应用，我们来看一个例子。

例：已知圆的直径为10 cm，求切线的长度。

解：根据切线长定理，可以直接套用公式，得到：L = (2√3/3) * dL = (2√3/3) * 10L ≈ 11.54 cm所以，切线的长度约为11.54 cm。

五、总结切线长定理是描述切线与半径的关系的重要定理，它可以帮助我们计算切线的长度。

通过证明过程，我们可以看到切线长定理的推导过程是基于几何性质和勾股定理的。

切线长定理在解决几何问题中有广泛的应用，可以帮助我们快速计算切线的长度。

教案切线长定理教案一、教学目标1.让学生理解切线长定理的概念和意义，掌握切线长定理的证明和应用方法。

2.培养学生的几何思维能力，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。

3.培养学生运用切线长定理解决实际问题的能力，增强学生的数学应用意识。

二、教学内容1.切线长定理的概念和意义2.切线长定理的证明方法3.切线长定理的应用三、教学重点与难点1.教学重点：切线长定理的概念、证明和应用。

2.教学难点：切线长定理的证明过程，以及如何运用切线长定理解决实际问题。

四、教学方法1.采用启发式教学方法，引导学生自主探究切线长定理的证明和应用。

2.利用多媒体教学手段，展示切线长定理的直观图形，帮助学生理解定理。

3.设计丰富的例题和练习题，让学生在实践操作中掌握切线长定理的应用。

五、教学过程1.导入新课通过生活中的实例，如圆规作图等，引出切线长定理的概念，激发学生的学习兴趣。

2.讲解切线长定理的概念和意义（1）切线的定义：与圆相切，且与圆的半径垂直的直线。

（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。

3.证明切线长定理（1）构造图形，连接圆心与切点，利用圆的半径相等，证明切线长相等。

（2）通过几何画板演示证明过程，让学生直观感受定理的正确性。

4.切线长定理的应用（1）讲解切线长定理在几何作图中的应用，如求圆的切线、等分弦等。

（2）讲解切线长定理在解决实际问题中的应用，如求圆的直径、周长等。

5.课堂练习设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固切线长定理的应用。

6.总结与拓展（1）总结切线长定理的概念、证明和应用方法。

（2）拓展切线长定理的相关知识，如圆的切线方程、切线长定理的推广等。

7.课后作业布置适量的课后作业，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

六、教学评价1.课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和讨论情况，了解学生的学习兴趣和积极性。

2.作业完成情况：检查学生的作业，了解学生对切线长定理的掌握程度。

3.单元测试：通过测试，评价学生对切线长定理的理解和应用能力。

切线长定理几何语言
切线长定理是一个数学定理，它定义了某个特定几何图形的特定部分。

它可以定义圆的外切矩形或者椭圆的外切矩形等。

1. 定义：
切线长定理是指，在几何图形中，曲线上任意一点到图形对称轴（如
椭圆的长轴和短轴）所形成的距离，乘以它到两个焦点之间的距离，
始终等于一定值。

2. 应用：
（1）圆的外切矩形：任意一点到圆心的距离乘以它到两个圆心之间的
距离，始终都等于圆的半径的平方，这就是切线长定理。

（2）椭圆的外切矩形：任意点到椭圆的长轴的距离乘以它到椭圆的两
个焦点之间的距离，始终都等于椭圆的短轴的平方，这也是切线长定理。

3. 证明：
切线长定理可以用几何证明来得到，比如用三角函数证明，则可以把
椭圆看作一个具有参数的曲线，利用曲线两点间的切线的中点的距离
的一定等式，来证明切线长定理。

4. 结论：
根据以上证明，可以得出：在一定特定的几何形状中，曲线上任意一点到图形的对称轴的距离，乘以它到两个焦点之间的距离，始终等于一定值，这就是切线长定理。

【本讲教育信息】一. 教学内容：切线长定理及其应用二. 重点、难点：重点：切线长定理以及应用难点：切线长定理的题设、结论三. 具体内容：1. 切线长：经过圆外一点向圆引两条切线，在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长。

2. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这点的连线平分两切线的夹角。

【典型例题】[例1] 如图，⊙O分别切△ABC三边AB、BC、CA于点D、E、F，若BC=a，CA=b，AB=c，（1）求AD、BE、CF的长；（2）若∠C=90°，求△ABC内切圆半径r。

解：（1）∵⊙O切△ABC三边AB、BC、CA于D、E、F∴AD=AF，BD=BE，CE=CF∴∵BC=a，CA=b，AB=c∴同理（2）连结OE、OF∵⊙O与AB、BC切于D、E ∴OE⊥BC，OF⊥AC∵∠C=90°∴四边形OECF为矩形又∵OE=OF ∴四边形OECF为正方形∴OE=OF=CE=CF由（1）知∴内切圆半径[例2] 如图，⊙O切△ABC的边BC于D，切AB、AC延长线于E、F，△ABC的周长为18，求AE。

解：由已知得CF=CD，BD=BE，AE=AF∴AB+AC+BC=AB+AC+CD+BD=AB+AC+CF+BE=AE+AF=2AE∵△ABC周长为18 ∴[例3] 如图，在中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，以D为圆心，DB为半径作⊙D，求证：（1）AC是⊙O切线；（2）AB+EB=AC。

证明：（1）作DF⊥AC于F∵AD平分∠BAC ∴DB=DF∴AC切⊙D于F（2）由（1）知，AC切⊙D于F又∵∠B=90°∴AB切⊙D于B ∴AB=AF又在和中∴∴CF=BE ∴AC=AF+CF=AB+EB[例4] 如图，CB、CD与⊙O切于B、D，AB为⊙O直径，⊙O半径为r。

求证：AD//OC。

证明：连结OD∵CB、CD切⊙O于B、D∴OD⊥CD，OB⊥CB，∠1=∠2∴∠3=∠4∵OA=OD ∴∠A=∠5∵∠BOD=∠3+∠4=∠A+∠5∴2∠3=2∠5 ∴∠3=∠5∴AD//OC[例5] 如图，两同心圆O，PA、PB是大圆的两条切线，PC、PD是小圆的两条切线，A、B、C、D为切点，求证：AC=BD。