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第35届全国中学生物理竞赛决赛训练试题第01套解答【第一题】40分如图所示，一均匀杆AB ，质量为m ，长为2b ，中点记为C . 初始时刻，杆静止，其两端点,A B 分别用一轻绳系在其竖直上方的固定悬点,P Q 上，=1AP l 、=2BQ l . 现突然给杆一绕C 的角速度ω（角速度矢量沿竖直方向），求两绳中的张力12,T T ， （1）（15分）若==12l l l ；（2）（25分）若>12l l .解答：（1） 杆两端的线速度：v b ω= [1] 杆两端在竖直方向加速度为向心加速度：222A B v b a a l l ω=== [2]22C A B b a a a lω===[3]由对称性和竖直方向受力平衡：12T T = [4] 12C T T mg ma +-= [5]解得：22121()2b T T m g lω==+ [6][1][2][4][5]各2分 [3]3分 [6]4分（2） 同（1）的第一步：22211A v b a l l ω== [7]22222B v b a l l ω== [8]设：A C a a b β=- [9]BC a a b β=+[10]可解得：2212122C l l a b l l ω+=[11]212122l l b l l βω-=[12]平衡和牛顿第二定律：21T b T b I β-=[13] 2211(2)123I m b mb ==[14] 12C T T mg ma +-=[15]解得：221211221(b )23l l T m g l l ω+=+[16]221221221(b )23l l T m g l l ω+=+[17][7][8][11][12][13][15]各2分[9][10][14]各1分 [16][17]各5分【第二题】40分如图，这时是一种三角打孔机的结构。
其中持钻架A被限制平行运动，A中间有一个正三角形的内孔，边长为l。
第35届全国中学生物理竞赛决赛训练试题第07套解答【第一题】40分如图所示，有一长为2l的轻质细杆，两端各固连一个质量为m的小球（A和B），中点处有一原长为0，劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧一端与杆的中点相连，另一端与一个套在杆上质量也是m的小球C相连，这个小球可以沿杆无摩擦滑动. 初始时系统静止在光滑水平桌面上，一个质量也是m的小球D以速度v0与小球B发生弹性正碰，v0垂直于杆.(1)求碰后瞬间四个小球的速度.(2)在碰后的运动中，如果小球C稍稍偏离杆的中点，为了在中点附近相对于杆做简谐振动，弹簧的劲度系数k至少多大？(3)在(2)的条件下，求出振动的周期.答案(1)选择杆中点为转轴，ABC系统的转动惯量I0=2ml2[1]设碰后ABC系统质心速度（即C的速度）为v C，角速度为ω0，小球D的速度为v D，则有动量守恒mv0=3mv C+mv D[2]角动量守恒mv0l=mv D l+I0ω0[3]机械能守恒1 2mv02=123mv C2+12mv D2+12I0ω02[4]联立解得v C=4v011v D=−v011ω0=6v011l[5] 则有v A=v C−ω0l=−2v011v B=v C+ω0l=10v011[6] (18分，每式2分)(2)在ABC系统质心系研究此问题. 假设杆中点到质心的距离为x，则小球C到质心的距离为2x，C偏离杆中点共3x. 此时系统绕质心的转动惯量I=m(l+x)2+m(l−x)2+m(2x)2=2ml2+6mx2[7] 角动量守恒，有Iω=I0ω0[8] 所以转动动能为T1=12Iω2=L22I=L24m(l2+3x2)[9]其中L=I0ω0=12mv0l/11表示系统的角动量. 研究径向运动时，转动动能化为有效势能的一部分. 有效势能V eff=12k(3x)2+T1=12k(3x)2+L24m(l2+3x2)[10]利用小量展开1/(1+α)≈1−α，有V eff≈92kx2−3L24ml4x2+L24ml2[11]要形成简谐振动，x=0处V eff应极小，即要求9 2k−3L24ml4>0[12]所以k min=L26ml4=24mv02121l2[13](14分，每式2分)(3)由(14)式，等效劲度系数K=9k−3L22ml4=9k−216mv02121l2[14]径向运动的动能T2=12(2m)ẋ2+12(2ẋ)2=3mẋ2[15]等效质量M=6m[16] 所以周期T=2π√MK =2π√2m3k−72mv02121l2[17](8分，每式2分)【第二题】40分如图所示，在水平地面上放着一个物体，其由两个全同的刚体在O点光滑铰接组成。
2018年第35届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题2018年9月22日一，（40分）假设地球是一个质量分布各向同性的球体。
从地球上空离地面高度为h 的空间站发射一个小物体，该物体相对于地球以某一初速度运动，初速度方向与其到地心的连线垂直。
已知地球半径为R ，质量为M ，引力常量为G 。
地球自转及地球大气的影响可忽略。
（1）若该物体能绕地球做周期运动，其初速度的大小应满足什么条件？（2）若该物体的初速度大小为v 0，且能落到地面，求其落地时速度的大小和方向（即速度与其水平分量之间的夹角），以及它从开始发射直至落地所需的时间。
已知对于2040c b ac <∆=->， 有322()b C c =-+- ，式中C 为积分常数。
二，（40分）如图，一劲度系数为k的轻弹簧左端固定，右端连一质量为m的小球，弹簧水平水平，它处于自然状态时小球位于坐标原点O；小球课在水平地面上滑动，它与地面之间的摩擦因数为 。
初始时小球速度为0，将此时弹簧相对于其原长的伸长记为-A0（A0>0但是它并不是已知量）。
重力加速度大小为g，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力（1）如果小球至多只能向右运动，求小球最终静止的位置，和此种情形下A0应满足的条件；（2）如果小球完成第一次向右运动至原点右边后，至多只能向左运动，求小球最终静止的位置，和此种情形下A0应满足的条件；（3）如果小球只能完成n次往返运动（向右经过原点，然后向左经过原点，算1 次往返）（4）如果小球只能完成n次往返运动，求小球从开始运动直至最终静止的过程中运动的总路程。
三、（40 分）如图，一质量为M 、长为l 的匀质细杆AB 自由悬挂于通过坐标原点O 点的水平光滑转轴上（此时，杆的上端A 未在图中标出，可视为与O 点重合），杆可绕通过O 点的轴在竖直平面（即 x -y 平面， x 轴正方向水平向右）内转动；O 点相对于地面足够高，初始时杆自然下垂；一质量为m 的弹丸以大小为v 0 的水平速度撞击杆的打击中心（打击过程中轴对杆的水平作用力为零）并很快嵌入杆中。
第 35 届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题（上海交大）1、（ 35 分）如图，半径为R、质量为 M的半球静置于光滑水平桌面上，在半球顶点上有一质量为m、半径为r 的匀质小球。
某时刻，小球收到微扰由静止开始沿半球表面运动。
在运动过程中，小球相对半球的位置由角位置描述，为两球心连线与竖直线的夹角。
己知小球绕其对称轴的转动惯量为2mr 2，小球与半球5间的动摩擦因数为，假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
重力加速度大小为 g。
（1）（ 15 分）小球开始运动后在一段时间内做纯滚动，求在此过程中，当小球的角位置为的速度大小 V M ( 1) 和加速度大小a M ( 1) ；1 时，半球运动（2）（ 15分）当小球纯滚动到角位置2 时开始相对于半球滑动，求 2 所满足的方程（用半球速度大小V M ( 2 )和加速度大小a M ( 2 ) 以及题给条件表示）；（3）（ 5 分）当小球刚好运动到角位置3时脱离半球，求此时小球质心相对于半球运动速度的大小v m ( 3 ) 2、（ 35 分）平行板电容器极板 1 和 2 的面积均为S，水平固定放置，它们之间的距离为d，接入如图所示的电路中，电源的电动势记为U。
不带电的导体薄平板3（厚度忽略不计）的质量为m、尺寸与电容器极板相同。
平板 3 平放在极板 2 的正上方，且与极板 2 有良好的电接触。
整个系统置于真空室内，真空的介电常量为0 。
合电键K 后，平板 3 与极板 1 和2 相继碰撞，上下往复运动。
假设导体板间的电场均可视为匀强电场；导线电阻和电源内阻足够小，充放电时间可忽略不计；平板 3 与极板 1 或2 碰撞后立即在极短时间内达到静电干衡；所有碰撞都是完全非弹性的。
重力加速度大小为g。
（1）（ 17 分）电源电动势 U至少为多大？（2）（ 18 分）求平板 3 运动的周期（用 U 和题给条件表示）。
已知积分公式dx1ln 2ax b 2 a ax2bx C ，其中a>0，C为积分常数。
第35届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题2018年9月22日说明:所有解答必须写在答题纸上,写在试题纸上的无效（35届复赛）一、(40分)假设地球是一个质量分布各向同性的球体。
地球自转及地球大气的影响可忽略。
从地球上空离地面高度为h 的空间站发射一个小物体,该物体相对于地球以某一初速度运动,初速度方向与其到地心的连线垂直。
已知地球半径为R,质量为M,引力常量为G 。
(1)、若该物体能绕地球做周期运动,其初速度的大小应满足什么条件?(2)、若该物体的初速度大小为0v ,且能落到地面,求其落地时速度的大小和方向(速度与其水平分量之间的夹角)、以及它从开始发射直至落地所需的时间。
已知:对于0c <,240b ac ∆=->,有23/222arcsin 2()xdxa bx cxb cx b Cc c a bx cx +++=-+-∆++⎰式中C 为积分常数。
解：（1）、E 0=时对应的0V 大 201G 02mMmV R h-=+大 解得 02GMV R h=+大 小球做椭圆运动，最近点和地球相切20(R h)mvR mV +=小22011G G 22RmM mMmV mV R h -=-+小 解得 02R()(2R h)GM V R h =++小（2）、如图，角动量守恒 0(R h)mRvcos mV α+=机械能守恒 22011G G22RmM mMmV mV R h -=-+解2：22011G G22mM mM mV mV R h r-=-+ 得 22022GM GMv v R h r=-++ 0(R h)r cos v v α+=得 22222222220sin 1cos cos ()rv rv r v r v r v R h v ααα=-=-=-+则有2222002()r 2(R h)rdr GM v GMr v dt R h=--+-++ 略（35届复赛）二、(40分)如图,一劲度系数为k 的轻弹簧左端固定，右端连一质量为m 的小球;弹簧水平,它处于自然状态时小球位于坐标原点O;小球可在水平地面上滑动,它与地面之间的动摩擦因数为μ。
第35届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题2018年9月22日说明:所有解答必须写在答题纸上，写在试题纸上的无效（35届复赛）一、（40分）假设地球是一个质量分布各向同性的球体。
地球自转及地球 大气的影响可忽略。
从地球上空离地面髙度为h 的空间站发射一个小物体，该物体相对于地球以某一初速 度运动，初速度方向与其到地心的连线垂直。
已知地球半径为R,质呈为M,引力常量为G 。
（1） 、若该物体能绕地球做周期运动,其初速度的大小应满足什么条件？ （2） 、若该物体的初速度大小为％，且能落到地而，求其落地时速度的大小和方向（速度与其水平分量之间的夹角）、以及它从开始发射直至落地所需的时间。
已知:对于c<0, A = /?2 -4ac >0,有 dZ _ _JL_arcsin 竺工 + C f , “= bx + cx 2c2(-c)品yja +式中C 为积分常数。
解：（1）、E = 0时对应的扌〃巴二一G#f = 0角动量守恒 加匕(R+ h) = mRvcosa机械能守恒-mV ： -G --------- = -mV^ -G ——2 R+h 2 Rxdx 小球做椭圆运动，最近点和地球相切解得忌佛(R+h)%cos a = —=^== R 込 V 0 R+h解 1、角动量守恒 mV {)(R+ h) = mrv& = mr打吒一G 四哎20 R+h 2r机械能守恒 =l,wt v ；+v ；]-^-1 2 f 、、 GmM =-ni[(—y + 广(—r 一 ------- 2 dt dt rdr _ J (R+h)飞 | 2罗 * 芒 2GM + h)2 v (; + 2GMr + (v ；- 2^)r R + h-r 2 + 2GMr 一 (R+ h)2 vj R + hrdr呂邑)r 2 + 2GMr 一 (R+ h)S ： R + hrclr兰竺)r 2 + 2GM/・ - (R+ h)2 v (;R + h令 C = x ^-Z^£<o h = 2GM “ = -(R+h)fR + h可得 △ = /一4^・>0.r xdxyja +bx + ex 2 b. 2cx + b由. ==- ----------- 一 ---- arcsin ― +Q 可得Ja + bx + cF c 2(-e) * 逅2GMi ：(R+h)丄厂”『R + h ・ v (;/?(R+h)-GM(R-h)+GM -------------- ； ------ — + arcsin ------- ---------------- ； ------ -]2GM - v ；(R+ h) 2 GM(R+ h) - v ：(R+ h)2当初始速度为临界速輕彳册帀时，下落时间仏希［警严解 2: 1 阴 _G 〃M J2R+h 2•加-G “MrF 22 2GM 2GM*T l —T0 R + h rv 0(R+h) = rvcosa得 Avsin a = rvjl_cos'a = y/r 2v 2 - r 2v 2 cos 2 a = JrV -(R + 疔谛解得v/供 de It消掉空可得dt =一 X (2R+h)h(35届复赛)二、(40分)如图，一劲度系数为*的轻弹簧左端固左，右端连一质量为m 的小球;弹簧水平，它处于自然状态时小球位于坐标原点O;小球可在水平地面上滑动，它与 地面之间的动摩擦因数为“ o 初始时小球速度为零，将此时弹簧相对于其原长的伸长记为 -兔(现＞0,但心并不是已知量)。
第35届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题(2018)一、(35分)如图,半径为R 、质量为M 的半球静置于光滑水平桌面上,在半球顶点上有一质量为m 、半径为r 的匀质小球.某时刻,小球受到微小的扰动后有静止开始沿半球表面运动.在运动过程中,小球相对于半球的位置由角位置θ描述,θ为两球心的连线于竖直方向之间的夹角.已知小球绕其对称轴的转动惯量为25mr 2,小球与半球间的动摩擦因数为μ,假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力.重力加速度大小为g .(1)小球开始运动后在一段时间内做纯滚动,求在此过程中,当小球的角位置为θ1时,半球运动的速度大小V M (θ1)和加速度大小a M (θ1);(2)当小球纯滚动到角位置θ2时开始相对于半球滑动,求θ2满足的方程(用半球速度大小V M (θ2)和加速度大小a M (θ2)以及题给条件表示);(3)当小球刚好运动到角位置θ3时脱离半球,求此时小球质心相对于半球运动速度的大小v m (θ3).二、(35分)平行板电容器极板1和2的面积均为S ,水平固定放置,它们之间的距离为d ,接入如图所示的电路中,电源的电动势记为U ,.不带电的导体薄平板3(厚度忽略不计)的质量为m 、尺寸与电容器极板相同.平板3平放在极板2的正上方,且与极板2有良好的电接触.整个系统置于真空室内,真空介电常量为ε0.闭合电键K 后,平板3与1和2相继碰撞,上下往复运动.假设导体板间的电场均可视为匀强电场;导线电阻和电源内阻足够小,充放电时间可忽略不计;平板3与极板1或2碰撞后立即在极短时间内达到静电平衡;所有碰撞都是完全非弹性的.重力加速度大小为g .(1)电源电动势U 至少为多大?(2)求平板3运动的周期(用U 和题给条件表示).已知积分公式∫dx √ax 2+bx =1√a ln(2ax +b +2√a√ax 2+bx)+C ,其中a >0,C 为积分常数.三、(35分)如图,质量线密度为λ、不可伸长的软细绳跨过一盘状定滑轮,定滑轮的θ m r M R 1 3 2 KU半径为R ,轴离地面高度为l ,.系统原处于静止状态.在t =0时,滑轮开始以恒定角速度ω逆时针转动,绳子在滑轮带动下开始运动,绳子与滑轮间的动摩擦因数为μ,.滑轮两侧的绳子在运动过程中始终可视为沿竖直方向,绳的两端在运动过程中均没有离开地面,地面上的绳子可视为集中在一点.已知重力加速度为g ,.绳子在与滑轮左、右侧相切处的张力分别记为T 1、T 2(均非已知量).(1)分别列出在绳子速度达到最大值之前,滑轮两侧绳子的竖直部分及滑轮上任意一小段绳子的运动所满足的动力学方程;(2)求绳子可达到的最大速度的大小.(可以参考的数学关系式:dy dx +αy =e −αx d (ye αx )dx , ∫e αx cos x dx =e αx 1+α2(αcos x +sin x )+C 1, ∫e αx sin x dx =e αx 1+α2(αsin x −cos x )+C 2,C 1与C 2为积分常数)四、(35分)如图,一张紧的弦沿x 轴水平放置,长度为L ,.弦的左端位于坐标原点.弦可通过其左、右与振源连接,使弦产生沿y 方向的横向受迫振动,振动传播的速度为u . (1)固定弦的右端P 2,将其左端与P 1与振源连接,稳定时,左端P 1的振动表达式为y (x =0,t )=A 0cos ωt ,其中A 0为振幅,ω为圆频率.(i)已知弦上横波的振幅在传播方向上有衰减,衰减常量为γ(γ>0),求弦上各处振动的振幅;(已知:在无限长弦上沿x 轴正方向传播的振幅逐渐衰减的横波表达式为y (x,t )=Ae −γx cos (ωt −ωxu +φ),其中A 和φ分别为x =0处振动的振幅和初相位)(ii)忽略波的振幅在传播方向上的衰减,求弦上驻波的表达式,并确定波腹和波节处的x 坐标.(2)将P 1、P 2都与振源连接,P 1、P 2处的振动表达式分别为y (x =0,t )=A 0cos ωt 、y (x =L,t )=A 0cos (ωt +φ0),其中φ0为常量.忽略波的振幅在传播方向上的衰减,分别计算φ0=0和φ0=π情形下线上各处振动的表达式以及共振时的圆频率ω应满足的条件.R ω L 地面 O O P 1 P 2 xy五、(35分)质量为M 的绝热薄壁容器处于远离其他星体的太空(可视为真空)中.在某惯性系中观察,该容器的初始速度为零.容器的容积为V ,容器中充有某种单原子分子理想气体,气体的初始分子数、分子质量分别为N 0、m ,气体的初始温度为T 0.t =0时容器壁上出现面积为S 的一个小孔,由于小孔漏气导致容器开始运动.假设小孔较小,容器中的气体在泄露过程中始终处于平衡态.已知气体分子速度沿x 方向的分量v x 的麦克斯韦分布函数为f (v x )=√m 2πkT e mv x 22kT ,(k 为玻尔兹曼常量).在泄露过程中,求:(1)当气体的分子数密度为n 、温度为T 时在单位时间内从小孔单位面积泄出的气体分子数; (2)当容器中气体温度为T 时,从小孔泄出的气体分子相对于容器的平均动能;(3)t 时刻容器中气体的温度;(4)t 时刻容器运动速度的大小(假设M ≫N 0m ).已知积分公式:∫xe −Ax 2dx ∞0=12A ,∫x 2e −Ax 2dx ∞0=14√πA 3,∫x 3e −Ax 2dx ∞0=12A 2.六、(35分)介质的折射率n 可以大于0,也可以小于0.n 小于0的介质称为负折射介质.光在负折射介质内传播,其光程为负值(相位随传播距离的变化规律于在折射率为正的介质中的相反).如果定义折射角于入射角在界面法线同侧时折射角为负,可以证明折射定律在界面两边有负折射介质时仍然成立,即n 1sin θ1=n 2sin θ2,其中的n 1和n 2均可以大于0或小于0,θ2为折射角. (1)设想一束平行光入射到界面上,根据惠更斯原理,画出图a 和图b 所示情况下进入介质2的光线及对应的子波的示意图,并依此证明折射定律成立; (2)如图c 所示,半径为R 的球面将空间隔开为两个区域,其折射率分别记为n 1(n 1>0)、n 2(n 2<0),C 点是球面的球心,取某一光轴与球面的交点O 为原点.图中已画出此情形下一段入射光线和折射光线,x 和y 分别为入射光线、折射光线与光轴的交点坐标.记物距为s 1,像距为s 2.在傍轴近似下导出球面的成像公式和横向放大率公式.请明确指出最后结果中各个量的正负号约定;(3)介质1为空气,即n 1=1,n 2可大于0也可小于0.在球面(参考图c )前放置一普通薄凸透镜,透镜的光轴通过球心C ,焦点位于负折射介质区域内,透镜的焦距f =1.5R ,透镜中心O ′点与O 点的距离为d ,.一束沿光轴传播的平行光入射到薄透镜.分n 1>0 n 2>0 n 1>0 n 2<0 图a 图b x y C α1 α2 θ2 θ1 β n 1 n 2 M RO 序号 n2 d 1 1.5 0.35R 2 1.5 0.85R 3 -1.5 0.35R 4 -1.5 0.85R别就表中四组参数计算入射光在光轴上会聚点离O 点的距离,并画出序号4情形的光路示意图.七、(35分)在固体材料中,考虑相互作用后,可以利用“准粒子”的概念研究材料的物理性质.准粒子的动量与能量之间的关系可能与真实粒子的不同.当外加电场或磁场时,准粒子的运动往往可以用经典力学的方法来处理.在某种二维界面结构中,存在电量为q 、有效质量为m 的准粒子,它只能在x −y 平面内运动,其动能K 与动量大小p 之间的关系可表示为K =p 22m +αp ,其中α为正的常量.(1)对于真实的自由粒子,动能K =p 22m ,其中m 为该粒子质量,试从动能定理出发,推导该粒子速度v 与动量p 之间的关系式;(2)仿照(1)的方法,推导准粒子运动的速度v 与动量p 之间的关系式;(3)用动能表示准粒子运动速度的大小(4)将该二维界面结构置于匀强磁场中,磁场沿z 轴正方向,磁感应强度大小为B ,求动能为K 的准粒子做匀速率圆周运动的半径、周期和角动量的大小;(5)将该二维界面结构放置在匀强电场中,准粒子可能在垂直于电场的方向上产生加速度.如果电场沿x 轴正方向,电场强度大小为E ,.当准粒子的速度大小为v (v ≠α)、方向与x 轴正方向成θ角时,求其运动的加速度分量a x 和a y .八、(35分)热辐射入射到反射镜,反射镜可利用热辐射的辐射压力对外做功,这一过程可以用动力学或热学来研究.为简化起见,将热辐射视为一维黑体辐射,正入射到平面理想反射(完全反射)镜上.反射镜所受辐射压力与外界阻力相互平衡,以速度v 做匀速运动,运动方向与入射辐射的方向相同.已知在实验室参考系中温度为T 的一维黑体辐射谱(单位时间内在频率ν附近单位频率间隔内辐射出的辐射能)为φ(ν,T )=2ℎνe ℎνkT ⁄−1,式中ℎ为普朗克常量,k 为玻尔兹曼常量.真空中的光速为c .(1)从一维黑体辐射光子与运动理想反射镜碰撞的动力学观点出发,计算在实验室参考系中镜子利用光子克服阻力做功的功率η.(2)从热学角度看,辐射的入射过程与相继发生的反射过程可视为作为工作物质的反射镜经历一微小的理想热机循环:入射过程可视为镜子从高温热源吸热,反射过程可视为镜子向低温热源放热,最后镜子恢复原状.基于这一观点,证明在反射镜参照系中入射辐射与反射辐射均为一维黑体辐射,并在反射镜参照系中计算该热机的效率.(3)在实验室参考系中计算该热机的效率.。
第35届全国中学生物理竞赛决赛训练试题第03套解答【第一题】40分如图所示，一个质量为m ，半径为R 的匀质圆环静止竖立在地面上，二者间的摩擦系数为μ.图中A 点所在直径与竖直方向夹角为()0/2θθπ<<，现在在A 点瞬间给予圆环一个冲量I ，与竖直方向夹角为()0/2φφπ<<.假设收到冲击后圆环竖直方向上速度为零。
(1) 参数μ,θ,ϕ满足何种条件时，圆环最低点（M 处）将与地面发生滑动？ (2) 分别在发生滑动与不发生滑动的条件下求出末态圆环的质心速度和转动角速度. (3) 在一定条件下，圆环可能在一段时间之后滚回初始位置. 这要求参数μ,θ,ϕ满足何种条件？解答：(1) 由于冲量是瞬间作用的，可以不考虑重力的作用. 考虑到圆环竖直方向没有运动，地面支持力的冲量为cos I ϕ.设摩擦力冲量为i .先确定冲量i 的方向，如果地面光滑，则容易看出sin C v I ϕ=,()sin //C I mR v R ωϕθ=-<，故最低点速度向右，由此判断摩擦力向左. 水平方向动量定理：sin C mv I i ϕ=- [1]对质心C 的角动量定理：()2sin mR IR iRωϕθ=-+ [2]假设底部没有滑动，则C v R ω= [3]联立以上三式可解得()sin sin 2I i ϕϕθ--⎡⎤⎣⎦= [4]而摩擦力可提供的冲量最大为max cos i I μϕ=,故发生滑动摩擦的条件是()sin sin cos 2ϕϕθμϕ--⎡⎤⎣⎦<[5](16分，判断摩擦力方向2分，[3]式2分，其他四式各3分)（2）不发生滑动摩擦的情况下，联立[1]-[3]式可解得()sin sin 2C I v mϕϕθ+-⎡⎤⎣⎦=,()sin sin 2I mRϕϕθω+-⎡⎤⎣⎦=[6] 发生滑动得情况下，联立[1]、[2]式以及cos i I μϕ=可解得sin cos c I I v mϕμϕ-=, ()cos sin I I mR μϕϕθω+-=[7](12分，两种情况各6分)（3）要滚离初始位置再滚回，首先要求I 作用完成后圆环底部与地面有相对滑动（否则将一直匀速纯滚动，不可能滚回来），即要满足[5]式.在这个前提下，就有可能质心速度向右，但逆时针转动，在地面摩擦力作用下达到纯滚动时向左运动，最终回到初始位置. 以地面上的固定点M 为参考点，I 作用完成后的运动中，重力与支持力的力矩相互抵消，摩擦力过M 点不产生力矩，故圆环角动量守恒. 圆环能滚回来要求初始时角动量向纸面外（逆时针转动）.由于冲量I 作用过程中支持力和摩擦力对M 点也没有力矩，故这就要求M 在I 的延长线上方，即/2ϕθ<.所以参数应满足的条件为()cos sin sin /2/2μϕϕϕθϕθ⎧<--⎡⎤⎪⎣⎦⎨<⎪⎩ [8](12分，利用上一问解得的速度和角速度计算纯滚动速度时得到结果也可，其他方法也可)【第二题】40分在数轴的原点有一只球形猪，每过0t 时间，猪就会随机向左或者向右走单位长度1。
2018年第35届全国中学生物理竞赛复赛试
题与答案
注意：以下为试题与答案，文中没有获奖学生名单，仅供参考。
试题一：
1. 以下哪一个是理想气体的特点？
A. 分子之间有吸引力和排斥力
B. 分子之间无互作用力
C. 分子之间有吸引力但无排斥力
D. 分子之间有排斥力但无吸引力
答案：B
2. 某气体在定容过程中温度升高了1℃，则它的内能变化为：
A. 不变
B. 升高
C. 降低
D. 需要更多信息才能确定
答案：D
3. 下面哪个选项中的物理量在抛物线运动中保持不变？
B. 能量
C. 加速度
D. 速度
答案：B
试题二：
1. 已知某电路中有一个内电阻为R的电池和一个电阻为2R的电阻。
当电路中通过的电流为I时，内电阻产生的电压损失为U1，电阻产生
的电压降为U2。
则以下哪个等式恒成立？
A. UI = UR1 + UR2
B. U1 = UI + U2
C. U2 = UI - U1
D. U1 + U2 = UI
答案：D
2. 下面哪个选项中的物理量与波长有关？
A. 频率
B. 光速
C. 幅度
答案：D
3. 下面哪个选项中的物理量在数值上代表一个物体所承受的力的大小？
A. 惯性
B. 成功
C. 功率
D. 重力
答案：D
以上为2018年第35届全国中学生物理竞赛复赛试题与答案，仅供参考，请勿用于商业用途。
祝您学业有成！。
第35届全国中学生物理竞赛决赛训练试题 第06套【第一题】40分根据伯努利定律，流体沿着一条稳定、不可压缩的流线移动时，根据能量守恒，其动能、势能总保持为常数，也就是212v gh P const ρρ++= （1）由于圆柱比较简单，我们先计算一个质心cx v 水平运动，角速度ω（方向为图示中y 方向），半径为R ，高度为h （对称轴为y 轴，>>h R ）的圆柱受到的合力。
假设其表面的空气和圆柱保持同样的速度，并且假设圆柱转动比较快以至于其表面流体的流动可以看做沿着表面的流管进行流动，并且不同位置的高度差可以忽略，如图请先用对称性分析受到的合力方向再计算出其大小。
（13分）（2）假如圆柱质心以cz v 竖直运动，其他条件和（1）中一样，求受到的气体压力的大小和方向。
（5分）（3）作为一个简单的假设，只考虑流体对圆柱平动的影响而不考虑对其转动的影响，圆柱以初速度00ˆˆ(0)c y z v v y v z =+，角速度ˆy ωω=，求速度与时间的关系。
（12分）解答：（1）关于x-z 平面对称，合力无y 分量，速度大小关于y-z 平面对称，合力无x 分量，故合力应该延z 方向。
以柱为系，认为系统为定常理想流体。
则流体的定常流动如图所示，可以认为如图情形在y 方向是无限延伸的。
流体流场为u v +，其中u 为向x 轴负方向常量，v 为环流场，在R 处速度为R ω，随着距离圆柱的距离增大衰减。
对于环路12,C C ，分别是无限靠近圆柱和远离圆柱的两个环路，它们之间用两个从上和从下无限靠近x 轴的路径连接起来。
考察体积内流体动量变化为零()()()()120C C pds u v u v ds ρ-+++⋅=⎰【1】则有()()()()()()()()12--C C Fpds u v u v ds h pds u v u v ds ρρ=+++⋅=+++⋅⎰⎰【2】对于稳定流体()()2011=22P u v u v P u ρρ++++()()()()2201---2C F P v u v ds u u v ds v u ds v v ds h ρρρρρ⎛⎫⎛⎫=⋅++⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰考虑到在环路2C 上<<v u ，()u v ds +⋅为环路内流体流量，则净流量为零，上式化简为()()()()()22=--=-C C Fu v ds v u ds h u v ds ρρ⋅+⋅⨯⨯⎰⎰可知合力为y 方向，其大小为()()2----x y y x C x y Fuv ds v uds h u v dx v dy ρρ=+=⎰⎰ 【3】由茹可夫斯基定理，以及将u 代换成cx v22cx F hR v πρω=【1】【2】各3分，结果方向2分，大小2分（2）在计算F 时，x 轴与z 轴是等地位的，所以圆柱延z 轴方向运动时所受到的力为22cz F hR v πρω=- 【4】负号代表方向沿x 轴负方向。
